A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Parametric equations สมการพาราเมตริก
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Find a cartesian equation""หาสมการคาร์ทีเซียน" | Eliminate $t$: solve one equation for $t$, or use a trig identityกำจัด $t$: แก้หา $t$ จากสมการหนึ่ง หรือใช้เอกลักษณ์ตรีโกณ | try → ลอง → |
| "Find the gradient at $t=…$""หาความชันที่ $t=…$" | $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ใช้อนุพันธ์เทียบ $t$ หารกัน | try → ลอง → |
| "Where does the curve cross the $x$-axis?""เส้นโค้งตัดแกน $x$ ที่ไหน" | Set $y=0$, solve for $t$, feed back into $x$ให้ $y=0$ แก้หา $t$ แล้วแทนกลับใน $x$ | try → ลอง → |
| $x=a\cos t,\ y=b\sin t$รูปตรีโกณ $x=a\cos t,\ y=b\sin t$ | $\cos^2 t+\sin^2 t=1$ eliminates $t$ใช้ $\cos^2 t+\sin^2 t=1$ กำจัด $t$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Chain กฎลูกโซ่$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$
Identities เอกลักษณ์ตรีโกณ$\cos^2t+\sin^2t=1$ · $\sec^2t=1+\tan^2t$
Axis crossings จุดตัดแกน$x$-axis: $y=0$ · $y$-axis: $x=0$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
A curve has parametric equations $x=2\cos t$, $y=3\sin t$, $0\le t<2\pi$. Find a cartesian equation, and the gradient at $t=\dfrac{\pi}{4}$. (5 marks)
M1
$\cos t=\dfrac{x}{2},\ \sin t=\dfrac{y}{3}$; use $\cos^2t+\sin^2t=1$
A1
$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ (an ellipse)
M1
$\dfrac{dx}{dt}=-2\sin t,\ \dfrac{dy}{dt}=3\cos t \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3\cos t}{2\sin t}$
M1
At $t=\tfrac{\pi}{4}$: $\cos t=\sin t=\tfrac{\sqrt2}{2}$
A1
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{2}$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Find a cartesian equation for $x=t-1$, $y=t^2+3$.2 markssolution ▾
$t=x+1 \Rightarrow \mathbf{y=(x+1)^2+3}$.
P2. The curve $x=t^2$, $y=2t$ passes through $P$ where $t=3$. Find the equation of the tangent at $P$.4 markssolution ▾
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac1t=\dfrac13$ at $t=3$. $P=(9,6)$.
$y-6=\tfrac13(x-9) \Rightarrow \mathbf{x-3y+9=0}$.
$y-6=\tfrac13(x-9) \Rightarrow \mathbf{x-3y+9=0}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
parameter พารามิเตอร์ · parametric equations สมการพาราเมตริก · cartesian equation สมการคาร์ทีเซียน ($x,y$ ล้วน) · eliminate กำจัดตัวแปร · gradient ความชัน
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Don't invert by accident อย่ากลับเศษส่วนโดยไม่ตั้งใจ$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — $dy/dt$ on top. Writing the reciprocal flips every gradient in the question.
✗State the domain when asked ระบุโดเมนเมื่อโจทย์ถามEliminating $t$ can widen the curve — quote any restriction on $x$ that the parameter imposes.
✗A tangent needs a point and a gradient เส้นสัมผัสต้องมีจุดกับความชันSubstitute the given $t$-value into both $x$ and $y$ to get the point before writing the line equation.
✗Answer in the form the question asks for ตอบตามรูปแบบที่โจทย์ขอIf coordinates are wanted, convert your $t$-values back to $(x,y)$ — a bare parameter value is not the final answer.
✗Simplify $\frac{dy}{dx}$ before substituting จัดรูปก่อนแทนค่าCancel common factors in $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ first — a tidy expression makes the substitution cleaner and slips easier to spot.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ