A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Parametric equations สมการพาราเมตริก
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อParametric equationsสมการพาราเมตริก
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงParametric equations laddersชุดไต่ระดับ · สมการอิงตัวแปรเสริม
Parametric equations · progressสมการพาราเมตริก · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Find a cartesian equation""หาสมการคาร์ทีเซียน" | Eliminate $t$: solve one equation for $t$, or use a trig identityกำจัด $t$: แก้หา $t$ จากสมการหนึ่ง หรือใช้เอกลักษณ์ตรีโกณ | try → ลอง → |
| "Find the gradient at $t=…$""หาความชันที่ $t=…$" | $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ใช้อนุพันธ์เทียบ $t$ หารกัน | try → ลอง → |
| "Where does the curve cross the $x$-axis?""เส้นโค้งตัดแกน $x$ ที่ไหน" | Set $y=0$, solve for $t$, feed back into $x$ให้ $y=0$ แก้หา $t$ แล้วแทนกลับใน $x$ | try → ลอง → |
| $x=a\cos t,\ y=b\sin t$รูปตรีโกณ $x=a\cos t,\ y=b\sin t$ | $\cos^2 t+\sin^2 t=1$ eliminates $t$ใช้ $\cos^2 t+\sin^2 t=1$ กำจัด $t$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Chain กฎลูกโซ่$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$
Identities เอกลักษณ์ตรีโกณ$\cos^2t+\sin^2t=1$ · $\sec^2t=1+\tan^2t$
Axis crossings จุดตัดแกน$x$-axis: $y=0$ · $y$-axis: $x=0$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
A curve has parametric equations $x=2\cos t$, $y=3\sin t$, $0\le t<2\pi$. Find a cartesian equation, and the gradient at $t=\dfrac{\pi}{4}$. (5 marks)
M1
$\cos t=\dfrac{x}{2},\ \sin t=\dfrac{y}{3}$; use $\cos^2t+\sin^2t=1$
A1
$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ (an ellipse)
M1
$\dfrac{dx}{dt}=-2\sin t,\ \dfrac{dy}{dt}=3\cos t \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3\cos t}{2\sin t}$
M1
At $t=\tfrac{\pi}{4}$: $\cos t=\sin t=\tfrac{\sqrt2}{2}$
A1
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{2}$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Find a cartesian equation for $x=t-1$, $y=t^2+3$.2 markssolution ▾
$t=x+1 \Rightarrow \mathbf{y=(x+1)^2+3}$.
P2. The curve $x=t^2$, $y=2t$ passes through $P$ where $t=3$. Find the equation of the tangent at $P$.4 markssolution ▾
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac1t=\dfrac13$ at $t=3$. $P=(9,6)$.
$y-6=\tfrac13(x-9) \Rightarrow \mathbf{x-3y+9=0}$.
$y-6=\tfrac13(x-9) \Rightarrow \mathbf{x-3y+9=0}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
parameter พารามิเตอร์ · parametric equations สมการพาราเมตริก · cartesian equation สมการคาร์ทีเซียน ($x,y$ ล้วน) · eliminate กำจัดตัวแปร · gradient ความชัน
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Don't invert by accident อย่ากลับเศษส่วนโดยไม่ตั้งใจ$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — $dy/dt$ on top. Writing the reciprocal flips every gradient in the question.
✗State the domain when asked ระบุโดเมนเมื่อโจทย์ถามEliminating $t$ can widen the curve — quote any restriction on $x$ that the parameter imposes.
✗A tangent needs a point and a gradient เส้นสัมผัสต้องมีจุดกับความชันSubstitute the given $t$-value into both $x$ and $y$ to get the point before writing the line equation.
✗Answer in the form the question asks for ตอบตามรูปแบบที่โจทย์ขอIf coordinates are wanted, convert your $t$-values back to $(x,y)$ — a bare parameter value is not the final answer.
✗Simplify $\frac{dy}{dx}$ before substituting จัดรูปก่อนแทนค่าCancel common factors in $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ first — a tidy expression makes the substitution cleaner and slips easier to spot.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 4 paperข้อสอบ Pure 4
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย