Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Partial fractionsเศษส่วนย่อย

A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two fractions added, and a substitution that kills a bracketบวกเศษส่วนสองตัว กับการแทนค่าที่ฆ่าวงเล็บ

And panel 2 is how you find the unknowns fast: make a bracket zero.ช่อง 2 คือวิธีหาค่าที่ไม่รู้ให้ไว: ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์

  1. Write $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+2}$ as a single fraction over $(x-1)(x+2)$. What is the numerator?เขียน $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+2}$ เป็นเศษส่วนก้อนเดียวที่มีส่วนเป็น $(x-1)(x+2)$ · ตัวเศษคืออะไร?
    Answer:เฉลย: $1(x+2)+2(x-1)=3x$,  so $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{3x}{(x-1)(x+2)}$Read this line backwards and you get partial fractions.
    Everything today is this same line, used in the other direction.    อ่านบรรทัดนี้ย้อนกลับ ก็คือเศษส่วนย่อย
    ทั้งบทวันนี้คือบรรทัดเดียวกันนี้ ใช้กลับทาง
  2. Work out $5(x-3)+2(x+1)$ when $x=3$.หาค่า $5(x-3)+2(x+1)$ เมื่อ $x=3$
    Answer:เฉลย: $5(0)+2(4)=0+8=8$Pick $x$ that zeroes a bracket: $5(3-3)+2(3+1)$   $=5(0)+2(4)=8$ That one move is what this whole lesson is built on.เลือก $x$ ที่ทำวงเล็บเป็นศูนย์: $5(3-3)+2(3+1)$   $=5(0)+2(4)=8$ ท่าเดียวนี้ คือสิ่งที่ทั้งบทเรียนสร้างขึ้นมาจากมัน

2. Adding fractions, backwardsบวกเศษส่วน แล้วอ่านย้อนกลับ

$\dfrac{3x}{(x-1)(x+2)}$ IS $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+2}$ — same line, opposite direction.$\dfrac{3x}{(x-1)(x+2)}$ ก็คือ $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+2}$ — บรรทัดเดิม อ่านกลับทิศ

Adding two fractions, one step at a timeบวกเศษส่วนสองก้อน ทีละขั้น

Read the list upwards, step 4 to step 1. The exam gives you step 4 and asks for step 1.อ่านรายการย้อนขึ้น จากขั้น 4 ไปขั้น 1 · ข้อสอบให้ขั้น 4 มา แล้วถามหาขั้น 1

  1. Here is a step 4.
    $\dfrac{3x}{(x+1)(x-2)}$
    Which pair of fractions adds back up to it?    นี่คือขั้น 4
    $\dfrac{3x}{(x+1)(x-2)}$
    เศษส่วนคู่ไหนบวกกันแล้วได้อันนี้?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x-2}$,  because $1(x-2)+2(x+1)=3x$$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x-2}$  เพราะ $1(x-2)+2(x+1)=3x$Read the same line backwards: $1(x-2)+2(x+1)=3x$   $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-2}=\frac{3x}{(x+1)(x-2)}$ Check every answer by adding your two pieces back up.อ่านบรรทัดเดิม ย้อนกลับ: $1(x-2)+2(x+1)=3x$   $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-2}=\frac{3x}{(x+1)(x-2)}$ เช็คทุกคำตอบ ด้วยการบวกสองชิ้นกลับขึ้นมา
  2. Check that line yourself. What is $\dfrac{3x}{(x-1)(x+2)}$ when $x=2$?ตรวจบรรทัดนั้นด้วยตัวเอง: $\dfrac{3x}{(x-1)(x+2)}$ เมื่อ $x=2$ มีค่าเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3(2)}{(1)(4)}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$One value catches most slips: $\frac{3(2)}{(1)(4)}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$   $\frac{1}{2-1}+\frac{2}{2+2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\ \ \checkmark$ One value cannot prove an identity, but it takes five seconds.ค่าเดียว จับพลาดได้เกือบหมด: $\frac{3(2)}{(1)(4)}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$   $\frac{1}{2-1}+\frac{2}{2+2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\ \ \checkmark$ ค่าเดียวพิสูจน์เอกลักษณ์ไม่ได้ แต่ใช้เวลาแค่ห้าวินาที
  3. One more, this time with a minus. Write $\dfrac{5}{x+1}-\dfrac{2}{x-3}$ over $(x+1)(x-3)$ — what is the numerator?อีกข้อ คราวนี้มีเครื่องหมายลบ · เขียน $\dfrac{5}{x+1}-\dfrac{2}{x-3}$ ให้มีส่วนเป็น $(x+1)(x-3)$ — ตัวเศษคืออะไร?
    Answer:เฉลย: $5(x-3)-2(x+1)=5x-15-2x-2=3x-17$The minus reaches both terms: $5(x-3)-2(x+1)$   $=5x-15-2x-2$   $=3x-17$ A negative constant on top of one piece is normal, not a mistake.เครื่องหมายลบ ต้องถึงทั้งสองพจน์: $5(x-3)-2(x+1)$   $=5x-15-2x-2$   $=3x-17$ ค่าคงที่ติดลบบนชิ้นใดชิ้นหนึ่ง เป็นเรื่องปกติ ไม่ใช่ความผิด

3. Picking the formเลือกรูปให้ถูก

One constant per linear factor — and the form is chosen before you touch a number.หนึ่งค่าคงที่ต่อหนึ่งตัวประกอบเชิงเส้น · และต้องเลือกรูปให้เสร็จก่อนแตะตัวเลข

  1. $\dfrac{4x-1}{(x+3)(x-2)}$ is to be split. Which form do you write down first?จะแยก $\dfrac{4x-1}{(x+3)(x-2)}$ · ต้องเขียนรูปไหนลงไปก่อน?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{x-2}$One constant per linear factor: $(x+3)(x-2)\ \Rightarrow\ 2\ \text{factors}$   $\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$ Edexcel gives a mark for the form before any working. Easiest mark here.หนึ่งค่าคงที่ ต่อหนึ่งตัวประกอบเชิงเส้น: $(x+3)(x-2)\ \Rightarrow\ 2\ \text{factors}$   $\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$ Edexcel ให้คะแนนที่การเขียนรูปถูก ก่อนลงมือทำ · คะแนนที่ง่ายที่สุดในบทนี้
  2. Exam denominators arrive multiplied out. Factorise $x^{2}+x-6$.ตัวส่วนในข้อสอบมักมาแบบกระจายแล้ว · แยกตัวประกอบ $x^{2}+x-6$
    Answer:เฉลย: $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$Factorise before anything else: $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$   $\frac{4x-1}{x^{2}+x-6}\equiv\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$ A denominator you cannot factorise is one you cannot split.แยกตัวประกอบก่อนทำอย่างอื่น: $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$   $\frac{4x-1}{x^{2}+x-6}\equiv\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$ ตัวส่วนที่แยกตัวประกอบไม่ได้ ก็แยกเป็นเศษส่วนย่อยไม่ได้
  3. Multiply both sides of $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\equiv\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ by $(x-1)(x+2)$. What is left?คูณสองข้างของ $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\equiv\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ ด้วย $(x-1)(x+2)$ · เหลืออะไร?
    Answer:เฉลย: $5x+1\equiv A(x+2)+B(x-1)$Each letter keeps the other bracket: $\frac{A}{x-1}\times(x-1)(x+2)=A(x+2)$   $\frac{B}{x+2}\times(x-1)(x+2)=B(x-1)$   $5x+1\equiv A(x+2)+B(x-1)$ตัวอักษรแต่ละตัว เก็บวงเล็บอีกอันไว้: $\frac{A}{x-1}\times(x-1)(x+2)=A(x+2)$   $\frac{B}{x+2}\times(x-1)(x+2)=B(x-1)$   $5x+1\equiv A(x+2)+B(x-1)$

4. Kill a bracketฆ่าวงเล็บทิ้งไปหนึ่งตัว

The identity holds for every $x$, so pick the $x$ that deletes a whole term.เอกลักษณ์เป็นจริงทุกค่าของ $x$ · งั้นก็เลือกค่า $x$ ที่ลบทั้งพจน์ทิ้งไปเลย

This holds for every value of $x$บรรทัดนี้จริงสำหรับ $x$ ทุกค่า

Split $\dfrac{3x}{(x-1)(x+2)}$แยก $\dfrac{3x}{(x-1)(x+2)}$

  1. $\frac{3x}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$Two linear factors, so one constant each. Choose the form before you calculate.ตัวประกอบเชิงเส้นสองตัว ก็ค่าคงที่ตัวละหนึ่ง · เลือกรูปก่อนคิดเลข
  2. $3x=A(x+2)+B(x-1)$Multiply through by the bottom. No fractions left.คูณด้วยตัวส่วนทั้งหมด · ไม่เหลือเศษส่วน
  3. $3=3A$This holds for EVERY $x$, so pick the $x$ that deletes a whole bracket.สมการนี้จริงทุกค่า $x$ · เลือก $x$ ที่ลบวงเล็บทิ้งไปทั้งก้อน
  4. $A=1$One line, one unknown found.หนึ่งบรรทัด หาได้หนึ่งตัว
  5. $-6=-3B$Same trick on the other bracket.ทริกเดิมกับวงเล็บอีกอัน
  6. $B=2$Same move for the other bracket.ทำแบบเดียวกันกับวงเล็บอีกอัน
  7. $\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+2}$Check at $x=0$: left $=0$, right $=-1+1=0$ ✓ตรวจที่ $x=0$: ซ้าย $=0$ ขวา $=-1+1=0$ ✓
  1. You want $A$.
    Start from $5x+1\equiv A(x+2)+B(x-1)$.
    Which value of $x$ do you put in?    ต้องการหา $A$
    เริ่มจาก $5x+1\equiv A(x+2)+B(x-1)$
    จะแทน $x$ ด้วยค่าอะไร?
    Answer:เฉลย: $x=1$, because $(x-1)=0$ removes the $B$ term$x=1$ เพราะ $(x-1)=0$ ทำให้พจน์ของ $B$ หายไปSolve the bracket, never copy it: $B\ \text{is over}\ (x-1)\ \Rightarrow\ x-1=0$   $x=+1\qquad\text{not}\qquad x=-1$ That sign is the most common lost mark in this topic.แก้วงเล็บ อย่าลอกตัวเลขออกมา: $B\ \text{is over}\ (x-1)\ \Rightarrow\ x-1=0$   $x=+1\qquad\text{not}\qquad x=-1$ เครื่องหมายตรงนี้ คือคะแนนที่เสียบ่อยที่สุดในบทนี้
  2. Put $x=1$ into $5x+1\equiv A(x+2)+B(x-1)$. Which line is correct?แทน $x=1$ ลงใน $5x+1\equiv A(x+2)+B(x-1)$ · บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $5(1)+1=A(1+2)+B(0)$,  so $6=3A$One unknown left: $5(1)+1=A(1+2)+B(0)$   $6=3A$ Both sides get the same $x$. That is the whole point of the method.เหลือตัวไม่รู้ค่าตัวเดียว: $5(1)+1=A(1+2)+B(0)$   $6=3A$ แทน $x$ ค่าเดียวกันทั้งสองข้าง · นั่นคือหัวใจของวิธีนี้
  3. Finish it: from $6=3A$, what is $A$?ปิดจ๊อบ: จาก $6=3A$ แล้ว $A$ เท่ากับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $A=\dfrac{6}{3}=2$Now do the same for $B$: $A=\frac{6}{3}=2$   $x=-2:\ \ 5(-2)+1=-9=B(-2-1)=-3B$   $B=3$   $\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\equiv\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}$ Check it: $2(x+2)+3(x-1)=5x+1$.ทีนี้ทำแบบเดียวกันกับ $B$: $A=\frac{6}{3}=2$   $x=-2:\ \ 5(-2)+1=-9=B(-2-1)=-3B$   $B=3$   $\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\equiv\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}$ เช็ค: $2(x+2)+3(x-1)=5x+1$

5. Three brackets, and coefficientsสามวงเล็บ กับการเทียบสัมประสิทธิ์

The same method works with three factors. When you cannot substitute any more, compare coefficients.วิธีเดิมใช้กับสามตัวประกอบได้ · พอแทนค่าต่อไม่ได้แล้ว ให้เทียบสัมประสิทธิ์

Three factors, three constantsสามตัวประกอบ สามค่าคงที่

Three constants, three numbered equationsสามค่าคงที่ สามสมการที่มีเลขกำกับ

A $3\times3$ system is a $2\times2$ system with one extra step in front of it.ระบบ $3\times3$ ก็คือระบบ $2\times2$ ที่มีอีกหนึ่งก้าวมาก่อน

  1. Which form for $\dfrac{6}{x(x+1)(x+3)}$?$\dfrac{6}{x(x+1)(x+3)}$ ใช้รูปไหน?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x+3}$Unknowns equal brackets: $x(x+1)(x+3)\ \Rightarrow\ 3\ \text{factors}$   $\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+3}$ The count of brackets is also how many substitutions you make.จำนวนตัวไม่รู้ค่า เท่ากับจำนวนวงเล็บ: $x(x+1)(x+3)\ \Rightarrow\ 3\ \text{factors}$   $\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+3}$ จำนวนวงเล็บ ยังบอกจำนวนครั้งที่ต้องแทนค่าด้วย
  2. From $6\equiv A(x+1)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x+1)$, find $C$.จาก $6\equiv A(x+1)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x+1)$ · หา $C$
    Answer:เฉลย: $x=-3$:  $6=C(-3)(-3+1)=C(-3)(-2)=6C$, so $C=1$Longer, not harder: $x=-3:\ \ 6=C(-3)(-2)=6C$   $C=1$   $A=2,\qquad B=-3$ยาวขึ้น ไม่ได้ยากขึ้น: $x=-3:\ \ 6=C(-3)(-2)=6C$   $C=1$   $A=2,\qquad B=-3$
  3. Substitution gave $A=2$, $B=-3$, $C=1$. Check them another way: compare the coefficients of $x^{2}$ on both sides of $6\equiv A(x+1)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x+1)$. Which equation appears?แทนค่าได้ $A=2$, $B=-3$, $C=1$ · ลองตรวจอีกทาง: เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ สองฝั่งของ $6\equiv A(x+1)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x+1)$ · ได้สมการไหน?
    Answer:เฉลย: $0=A+B+C$,  and $2+(-3)+1=0$ ✓Comparing coefficients: method two: $x^{2}:\qquad 0=A+B+C$   $2+(-3)+1=0\ \ \checkmark$ With a repeated bracket, no substitution finds the last constant. Only this does.เทียบสัมประสิทธิ์ · วิธีที่สอง: $x^{2}:\qquad 0=A+B+C$   $2+(-3)+1=0\ \ \checkmark$ ถ้าวงเล็บซ้ำ ไม่มีการแทนค่าไหนหาค่าคงที่ตัวสุดท้ายได้ · มีแต่วิธีนี้

6. When the form changesตอนที่รูปไม่เหมือนเดิม

A repeated bracket needs two pieces; a top-heavy fraction needs a whole part in front.วงเล็บซ้ำต้องแยกเป็นสองชิ้น · เศษส่วนหัวหนักต้องมีส่วนจำนวนเต็มนำหน้า

$\dfrac{3x+1}{(x-2)^{2}}$  and  $\dfrac{x^{2}+2x+3}{(x+1)(x+2)}$$\dfrac{3x+1}{(x-2)^{2}}$  กับ  $\dfrac{x^{2}+2x+3}{(x+1)(x+2)}$

  1. Which form for $\dfrac{3x+1}{(x-2)^{2}}$?$\dfrac{3x+1}{(x-2)^{2}}$ ใช้รูปไหน?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{(x-2)^{2}}$Count powers, not brackets: $\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^{2}}$   $(x-2)^{3}\ \Rightarrow\ (x-2),\ (x-2)^{2},\ (x-2)^{3}$นับกำลัง ไม่ใช่นับวงเล็บ: $\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^{2}}$   $(x-2)^{3}\ \Rightarrow\ (x-2),\ (x-2)^{2},\ (x-2)^{3}$
  2. Multiplying up gives $3x+1\equiv A(x-2)+B$. Find $B$.คูณขึ้นมาได้ $3x+1\equiv A(x-2)+B$ · หา $B$
    Answer:เฉลย: $x=2$:  $3(2)+1=A(0)+B$, so $B=7$Highest power comes out first: $x=2:\ \ 3(2)+1=A(0)+B$   $B=7$ It is the only bracket that cancels completely.กำลังสูงสุด ออกมาก่อน: $x=2:\ \ 3(2)+1=A(0)+B$   $B=7$ มันคือวงเล็บเดียวที่ตัดกันหมดพอดี
  3. Only $x=2$ deletes anything here, so substitution has run out with $A$ still missing. Compare the coefficients of $x$ on both sides of $3x+1\equiv A(x-2)+B$. Which equation appears?ข้อนี้มีแค่ $x=2$ ที่ลบอะไรได้ · แทนค่าหมดมุกแล้วแต่ $A$ ยังไม่โผล่ · เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x$ สองฝั่งของ $3x+1\equiv A(x-2)+B$ · ได้สมการไหน?
    Answer:เฉลย: $3=A$,  so $\dfrac{3x+1}{(x-2)^{2}}\equiv\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{7}{(x-2)^{2}}$Substitution has run out: $x\ \text{terms}:\qquad 3=A$   $\frac{3x+1}{(x-2)^{2}}\equiv\frac{3}{x-2}+\frac{7}{(x-2)^{2}}$   $\frac{3(x-2)+7}{(x-2)^{2}}=\frac{3x+1}{(x-2)^{2}}\ \ \checkmark$ A repeated factor gives one useful substitution. Match coefficients for the rest.แทนค่าจนหมดทางแล้ว: $x\ \text{terms}:\qquad 3=A$   $\frac{3x+1}{(x-2)^{2}}\equiv\frac{3}{x-2}+\frac{7}{(x-2)^{2}}$   $\frac{3(x-2)+7}{(x-2)^{2}}=\frac{3x+1}{(x-2)^{2}}\ \ \checkmark$ ตัวประกอบซ้ำ ให้การแทนค่าที่ใช้ได้ครั้งเดียว · ที่เหลือใช้เทียบสัมประสิทธิ์
  4. A student skips the degree check and writes $\dfrac{x^{2}+2x+3}{(x+1)(x+2)}\equiv\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{3}{x+2}$. Test it: what is $\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{3}{x+2}$ when $x=0$?นักเรียนคนหนึ่งข้ามการเช็คดีกรี แล้วเขียนว่า $\dfrac{x^{2}+2x+3}{(x+1)(x+2)}\equiv\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{3}{x+2}$ · ลองทดสอบ: $\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{3}{x+2}$ มีค่าเท่าไรเมื่อ $x=0$?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{2}{1}-\dfrac{3}{2}=2-1.5=\dfrac{1}{2}$Out by exactly $1$: $\text{original at }x=0:\ \ \frac{3}{2}$   $\text{the split}:\ \ 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$   $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\ \Rightarrow\ 1+\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}$ The missing $1$ is the whole part. One substitution found it in ten seconds.ต่างกันพอดี $1$: $\text{original at }x=0:\ \ \frac{3}{2}$   $\text{the split}:\ \ 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$   $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\ \Rightarrow\ 1+\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}$ เลข $1$ ที่หายไป คือส่วนจำนวนเต็ม · แทนค่าครั้งเดียวเจอในสิบวินาที

7. What it is all forเอาไปใช้ทำอะไร

Part (a) splits it, part (b) integrates or expands it — that is the whole exam question.ข้อ (a) แยกเศษส่วน · ข้อ (b) อินทิเกรตหรือกระจาย — ข้อสอบทั้งข้อคือแบบนี้

“(a) Express … in partial fractions. (b) Hence …”“(a) Express … in partial fractions. (b) Hence …”

  1. Part (a) gave $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\equiv\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}$.  Part (b): find $\displaystyle\int\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx$.ข้อ (a) ได้ $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\equiv\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}$ · ข้อ (b): หา $\displaystyle\int\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx$
    Answer:เฉลย: $2\ln|x-1|+3\ln|x+2|+c \;=\; \ln\big|(x-1)^{2}(x+2)^{3}\big|+c$Each piece is a standard log: $\int\frac{2}{x-1}\,dx+\int\frac{3}{x+2}\,dx$   $=2\ln|x-1|+3\ln|x+2|+c$ The modulus signs and the $+c$ carry the last marks.แต่ละชิ้น เป็น log มาตรฐาน: $\int\frac{2}{x-1}\,dx+\int\frac{3}{x+2}\,dx$   $=2\ln|x-1|+3\ln|x+2|+c$ เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ กับ $+c$ คือคะแนนท้ายสุด
  2. The other 'hence': expand $\dfrac{3}{x+2}$ in ascending powers of $x$. Which form must you put it in first?'hence' อีกแบบ: กระจาย $\dfrac{3}{x+2}$ ตามกำลังเพิ่มของ $x$ · ต้องจัดให้อยู่ในรูปไหนก่อน?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3}{x+2}=3\big[2\big(1+\tfrac{x}{2}\big)\big]^{-1}=\dfrac{3}{2}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{-1}$The bracket must start with $1$: $\frac{3}{x+2}=\frac{3}{2\left(1+\frac{x}{2}\right)}$   $=\frac{3}{2}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-1}$   $\left|\frac{x}{2}\right|\lt 1\ \Rightarrow\ |x|\lt 2$ $(1+y)^{-1}$ has a known expansion; the original fraction has none.วงเล็บต้องขึ้นต้นด้วย $1$: $\frac{3}{x+2}=\frac{3}{2\left(1+\frac{x}{2}\right)}$   $=\frac{3}{2}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-1}$   $\left|\frac{x}{2}\right|\lt 1\ \Rightarrow\ |x|\lt 2$ $(1+y)^{-1}$ มีสูตรกระจาย แต่เศษส่วนตัวเดิมไม่มี
  3. Exam question — part (a)
    Express $\dfrac{7x-1}{(x-3)(x+1)}$ in partial fractions.
    (2 marks)    ข้อสอบ — ข้อ (a)
    เขียน $\dfrac{7x-1}{(x-3)(x+1)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
    (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{5}{x-3}+\dfrac{2}{x+1}$2 marks: $\text{M1}\ \ \text{correct form, then multiply up}$   $x=3:\ \ 20=4A\ \Rightarrow\ A=5$   $x=-1:\ \ -8=-4B\ \Rightarrow\ B=2$   $\text{A1}\ \ \frac{5}{x-3}+\frac{2}{x+1}$ Check by adding back up: $5(x+1)+2(x-3)=7x-1$.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{correct form, then multiply up}$   $x=3:\ \ 20=4A\ \Rightarrow\ A=5$   $x=-1:\ \ -8=-4B\ \Rightarrow\ B=2$   $\text{A1}\ \ \frac{5}{x-3}+\frac{2}{x+1}$ เช็คด้วยการบวกกลับ: $5(x+1)+2(x-3)=7x-1$
  4. Exam question — part (b)
    Hence find $\displaystyle\int\dfrac{7x-1}{(x-3)(x+1)}\,dx$.
    (3 marks)    ข้อสอบ — ข้อ (b)
    จากข้อ (a) จงหา $\displaystyle\int\dfrac{7x-1}{(x-3)(x+1)}\,dx$
    (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $5\ln|x-3|+2\ln|x+1|+c$3 marks: $\text{M1}\ \ \text{each piece as a }k\ln|\ |\ \text{term}$   $\text{A1}\ \ 5\ln|x-3|+2\ln|x+1|$   $\text{A1}\ \ +c$ The two marks lost most often: the sign on the second constant, and the $+c$.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{each piece as a }k\ln|\ |\ \text{term}$   $\text{A1}\ \ 5\ln|x-3|+2\ln|x+1|$   $\text{A1}\ \ +c$ สองคะแนนที่เสียบ่อยสุด: เครื่องหมายของค่าคงที่ตัวที่สอง กับ $+c$
  5. Exam: $f(x)=\dfrac{3x^{2}+6}{(x+2)(x-1)^{2}}$.  (7 marks)ข้อสอบ: $f(x)=\dfrac{3x^{2}+6}{(x+2)(x-1)^{2}}$  (7 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $f(x)=\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3}{(x-1)^{2}}$  · the integral is $\dfrac32+\ln\dfrac{25}{8}$, so $k=\dfrac{25}{8}$7 marks: $\text{M1}\ \ \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}}$   $\text{A1}\ \ x=-2:\ A=2\ \ \text{and}\ \ x=1:\ C=3$   $\text{A1}\ \ x^{2}:\ 3=A+B\ \Rightarrow\ B=1$   $\text{M1}\ \ 2\ln|x+2|+\ln|x-1|-\frac{3}{x-1}$   $\text{M1}\ \ \text{limits }2\ \text{and}\ 3$   $\text{A1}\ \ 2\ln\frac{5}{4}+\ln 2+\frac{3}{2}$   $\text{A1}\ \ k=\frac{25}{8}$ The $\frac32$ comes from $-\frac{3}{x-1}$, not from a log.7 คะแนน: $\text{M1}\ \ \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}}$   $\text{A1}\ \ x=-2:\ A=2\ \ \text{and}\ \ x=1:\ C=3$   $\text{A1}\ \ x^{2}:\ 3=A+B\ \Rightarrow\ B=1$   $\text{M1}\ \ 2\ln|x+2|+\ln|x-1|-\frac{3}{x-1}$   $\text{M1}\ \ \text{limits }2\ \text{and}\ 3$   $\text{A1}\ \ 2\ln\frac{5}{4}+\ln 2+\frac{3}{2}$   $\text{A1}\ \ k=\frac{25}{8}$ $\frac32$ มาจาก $-\frac{3}{x-1}$ ไม่ได้มาจาก log
  6. $\dfrac{7x+4}{(x+2)^{2}}\equiv\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{(x+2)^{2}}$.  One of $A$ and $B$ drops straight out of a substitution; the other one never will. Find the one that substitution cannot give you.$\dfrac{7x+4}{(x+2)^{2}}\equiv\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{(x+2)^{2}}$  ใน $A$ กับ $B$ มีตัวหนึ่งที่แทนค่าแล้วหลุดออกมาเลย อีกตัวแทนยังไงก็ไม่ได้ · จงหาตัวที่แทนค่าไม่ได้
    Answer:เฉลย: $A=7$  · substitution gives $B=-10$ at $x=-2$, and $A$ comes from comparing the coefficients of $x$Ask what substitution can delete: $7x+4\equiv A(x+2)+B$   $x=-2:\ \ A\ \text{term}\to 0\ \Rightarrow\ B=-10$   $\text{no }x\ \text{kills}\ B\ \Rightarrow\ x\ \text{terms}:\ 7=A$ Repeated bracket: substitution gives the highest power, coefficients give the rest.ถามว่าการแทนค่า ลบอะไรได้บ้าง: $7x+4\equiv A(x+2)+B$   $x=-2:\ \ A\ \text{term}\to 0\ \Rightarrow\ B=-10$   $\text{no }x\ \text{kills}\ B\ \Rightarrow\ x\ \text{terms}:\ 7=A$ วงเล็บซ้ำ: แทนค่าได้ตัวบนกำลังสูงสุด · ที่เหลือใช้เทียบสัมประสิทธิ์

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Express $\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}$ in partial fractions.Same as the worked example, with different numbers.
    Write the form, multiply up, then put in $x=-1$ and $x=2$.
    If Level 3 made sense, this should take about a minute.    เหมือนตัวอย่างที่ทำไปแล้ว เปลี่ยนแค่ตัวเลข
    เขียนรูป คูณขึ้น แล้วแทน $x=-1$ กับ $x=2$
    ถ้าเข้าใจขั้นที่ 3 แล้ว ข้อนี้ใช้เวลาราวหนึ่งนาที
  2. Express $\dfrac{4x+7}{(2x+1)(x+3)}$ in partial fractions.A factor with a $2$ in front.
    The method does not change, but the value that makes $(2x+1)$ zero is $x=-\frac{1}{2}$, not $-1$.
    Solve the bracket, and expect a fraction.    ตัวประกอบที่มี $2$ นำหน้า
    วิธีไม่เปลี่ยน แต่ค่าที่ทำให้ $(2x+1)$ เป็นศูนย์คือ $x=-\frac{1}{2}$ ไม่ใช่ $-1$
    ให้แก้วงเล็บให้เป็นศูนย์ และเตรียมเจอเศษส่วน
  3. Express $\dfrac{4p+2}{p^{2}+p-2}$ in partial fractions.New letter, and the denominator arrives multiplied out — exactly how the exam prints it. Anyone who memorised '$x$' and a ready-factorised bottom stalls here; that is what this position checks.เปลี่ยนตัวอักษร แถมตัวส่วนมาแบบกระจายแล้ว — ข้อสอบพิมพ์มาแบบนี้เป๊ะ · ใครท่องมาเป็นตัว '$x$' และเคยเห็นแต่ตัวส่วนที่แยกไว้ให้แล้ว จะสะดุดตรงนี้ · ตำแหน่งนี้มีไว้เช็คเรื่องนั้น
  4. Express $\dfrac{4x-5}{(x-1)(x-2)^{2}}$ in partial fractions.Three constants but only two useful substitutions: $x=1$ gives $A=-1$ and $x=2$ gives $C=3$, then comparing the $x^{2}$ coefficients ($0=A+B$) delivers $B=1$. Both methods in one question, plus a negative constant that is perfectly normal.มีสามค่าคงที่ แต่แทนค่าได้ผลแค่สองครั้ง: $x=1$ ให้ $A=-1$ และ $x=2$ ให้ $C=3$ · แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ ($0=A+B$) ได้ $B=1$ · ใช้สองวิธีในข้อเดียว แถมมีค่าคงที่ติดลบซึ่งเป็นเรื่องปกติมาก
  5. Given that $\dfrac{px+q}{(x-1)(x+4)}\equiv\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{x+4}$, find the values of $p$ and $q$.The answer is given and the question is what is missing — just add the two fractions back up, which is the warm-up. Procedure-memorisers cannot start it, and it proves the two directions really are the same line.ให้คำตอบมา แล้วถามหาโจทย์ — แค่บวกเศษส่วนสองก้อนกลับ ซึ่งก็คือข้อวอร์มอัพ · คนที่ท่องขั้นตอนมาจะเริ่มไม่ถูก และข้อนี้พิสูจน์ว่าสองทิศทางคือบรรทัดเดียวกันจริงๆ
  6. $f(x)=\dfrac{x+7}{(x-1)(x+3)}$.  (a) Express $f(x)$ in partial fractions. (3 marks)  (b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{2}^{5}f(x)\,dx$, giving your answer as a single logarithm. (4 marks)Multi-part, marks stated, 'hence', definite limits and a single-logarithm demand that drags in the log laws — exactly how the 7 marks appear on an IAL P4 paper. Note the negative constant survives all the way into the integral as a minus.หลายข้อย่อย มีคะแนนกำกับ มีคำว่า 'hence' มีขอบเขต แถมบังคับตอบเป็น log ก้อนเดียวซึ่งลากกฎ log เข้ามาด้วย — คะแนน 7 แต้มในกระดาษ IAL P4 หน้าตาแบบนี้เป๊ะ · สังเกตว่าค่าคงที่ติดลบเดินทางเข้าไปในอินทิกรัลเป็นเครื่องหมายลบจนจบ
  7. A student writes $\dfrac{3x+1}{(x-2)^{2}}\equiv\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-2}$ and then gets stuck. Explain why the form is wrong and give the correct partial fractions.Here you mark someone else's mistake in the form. That is the trap Level 5 was built around.
    The whole lesson in one line: count a repeated factor by powers, not by brackets.    ข้อนี้ให้ตรวจรูปที่ผิดของคนอื่น · เป็นกับดักตัวเดียวกับที่ขั้นที่ 5 สร้างขึ้นมา
    สรุปทั้งบทหนึ่งบรรทัด: ตัวประกอบซ้ำให้นับด้วยกำลัง ไม่ใช่นับวงเล็บ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี