A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Partial fractions เศษส่วนย่อย
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อPartial fractionsเศษส่วนย่อย
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงPartial fractions laddersชุดไต่ระดับ · เศษส่วนย่อย
Partial fractions · progressเศษส่วนย่อย · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| Distinct linear factors $(x-1)(x+2)$ตัวประกอบเชิงเส้นต่างกัน $(x-1)(x+2)$ | $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ — cover-up or substitution$\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ — ใช้ cover-up หรือแทนค่าราก | try → ลอง → |
| Repeated factor $(x+1)^2$ตัวประกอบซ้ำ $(x+1)^2$ | $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$ต้องมีทั้งสองพจน์: $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$ | try → ลอง → |
| Top degree ≥ bottom degreeดีกรีตัวเศษ ≥ ดีกรีตัวส่วน | Divide first, then split the remainderหารก่อน แล้วค่อยแยกเศษที่เหลือ | try → ลอง → |
| "Hence integrate / hence expand""แล้วจงหาปริพันธ์ / จงกระจาย" | Partial fractions is step 1 of a calculus or binomial questionเศษส่วนย่อยคือขั้นแรกของโจทย์แคลคูลัสหรือทวินาม | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Two linear เชิงเส้นสองตัว$\dfrac{px+q}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}$
Repeated ตัวประกอบซ้ำ$\dfrac{\cdots}{(x-a)^2}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}$
Cover-up วิธี cover-upSubstitute the root into what's left
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Express $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}$ in partial fractions. (3 marks)
M1
Set $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, so $5x+1=A(x+2)+B(x-1)$
A1
$x=1$: $6=3A \Rightarrow A=2$
A1
$x=-2$: $-9=-3B \Rightarrow B=3$. So $\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}$.
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Express $\dfrac{x+7}{(x+1)(x-3)}$ in partial fractions.3 markssolution ▾
$x+7=A(x-3)+B(x+1)$. $x=-1$: $6=-4A \Rightarrow A=-\tfrac32$. $x=3$: $10=4B \Rightarrow B=\tfrac52$.
$\mathbf{-\dfrac{3}{2(x+1)}+\dfrac{5}{2(x-3)}}$.
$\mathbf{-\dfrac{3}{2(x+1)}+\dfrac{5}{2(x-3)}}$.
P2. Express $\dfrac{3x^2+4x+2}{x(x+1)^2}$ in partial fractions.4 markssolution ▾
$\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{(x+1)^2}$: $3x^2+4x+2=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx$.
$x=0$: $A=2$. $x=-1$: $1=-C \Rightarrow C=-1$. Compare $x^2$: $3=A+B \Rightarrow B=1$.
$\mathbf{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2}}$.
$x=0$: $A=2$. $x=-1$: $1=-C \Rightarrow C=-1$. Compare $x^2$: $3=A+B \Rightarrow B=1$.
$\mathbf{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2}}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
partial fractions เศษส่วนย่อย · numerator / denominator ตัวเศษ / ตัวส่วน · distinct ต่างกัน · repeated factor ตัวประกอบซ้ำ · improper เศษเกิน (ดีกรีบน ≥ ล่าง)
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Repeated factor needs two fractions ตัวประกอบซ้ำต้องมีสองเศษส่วน$(x+1)^2$ generates $\frac{B}{x+1}$ and $\frac{C}{(x+1)^2}$ — one of them missing is the most common lost mark in P4.
✗Improper? Divide first เศษเกินต้องหารก่อนIf the numerator's degree ≥ denominator's, the split starts with a polynomial term.
✗Write the identity line first เขียนบรรทัดเอกลักษณ์ก่อนState the numerator identity (e.g. numerator $=A(\ldots)+B(\ldots)$) before substituting anything — that setup line is the method mark.
✗When roots run out, compare coefficients เทียบสัมประสิทธิ์เมื่อรากไม่พอSubstituting each root finds some constants; the leftover one comes from comparing coefficients (e.g. of $x^2$) or substituting another easy value.
✗Check by recombining ตรวจโดยรวมกลับPut your answer back over a common denominator, or substitute one easy $x$-value into both sides — a ten-second check that protects every following part.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 4 paperข้อสอบ Pure 4
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย