A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Partial fractions เศษส่วนย่อย
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| Distinct linear factors $(x-1)(x+2)$ตัวประกอบเชิงเส้นต่างกัน $(x-1)(x+2)$ | $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ — cover-up or substitution$\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ — ใช้ cover-up หรือแทนค่าราก | try → ลอง → |
| Repeated factor $(x+1)^2$ตัวประกอบซ้ำ $(x+1)^2$ | $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$ต้องมีทั้งสองพจน์: $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$ | try → ลอง → |
| Top degree ≥ bottom degreeดีกรีตัวเศษ ≥ ดีกรีตัวส่วน | Divide first, then split the remainderหารก่อน แล้วค่อยแยกเศษที่เหลือ | try → ลอง → |
| "Hence integrate / hence expand""แล้วจงหาปริพันธ์ / จงกระจาย" | Partial fractions is step 1 of a calculus or binomial questionเศษส่วนย่อยคือขั้นแรกของโจทย์แคลคูลัสหรือทวินาม | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Two linear เชิงเส้นสองตัว$\dfrac{px+q}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}$
Repeated ตัวประกอบซ้ำ$\dfrac{\cdots}{(x-a)^2}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}$
Cover-up วิธี cover-upSubstitute the root into what's left
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Express $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}$ in partial fractions. (3 marks)
M1
Set $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, so $5x+1=A(x+2)+B(x-1)$
A1
$x=1$: $6=3A \Rightarrow A=2$
A1
$x=-2$: $-9=-3B \Rightarrow B=3$. So $\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}$.
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Express $\dfrac{x+7}{(x+1)(x-3)}$ in partial fractions.3 markssolution ▾
$x+7=A(x-3)+B(x+1)$. $x=-1$: $6=-4A \Rightarrow A=-\tfrac32$. $x=3$: $10=4B \Rightarrow B=\tfrac52$.
$\mathbf{-\dfrac{3}{2(x+1)}+\dfrac{5}{2(x-3)}}$.
$\mathbf{-\dfrac{3}{2(x+1)}+\dfrac{5}{2(x-3)}}$.
P2. Express $\dfrac{3x^2+4x+2}{x(x+1)^2}$ in partial fractions.4 markssolution ▾
$\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{(x+1)^2}$: $3x^2+4x+2=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx$.
$x=0$: $A=2$. $x=-1$: $1=-C \Rightarrow C=-1$. Compare $x^2$: $3=A+B \Rightarrow B=1$.
$\mathbf{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2}}$.
$x=0$: $A=2$. $x=-1$: $1=-C \Rightarrow C=-1$. Compare $x^2$: $3=A+B \Rightarrow B=1$.
$\mathbf{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2}}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
partial fractions เศษส่วนย่อย · numerator / denominator ตัวเศษ / ตัวส่วน · distinct ต่างกัน · repeated factor ตัวประกอบซ้ำ · improper เศษเกิน (ดีกรีบน ≥ ล่าง)
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Repeated factor needs two fractions ตัวประกอบซ้ำต้องมีสองเศษส่วน$(x+1)^2$ generates $\frac{B}{x+1}$ and $\frac{C}{(x+1)^2}$ — one of them missing is the most common lost mark in P4.
✗Improper? Divide first เศษเกินต้องหารก่อนIf the numerator's degree ≥ denominator's, the split starts with a polynomial term.
✗Write the identity line first เขียนบรรทัดเอกลักษณ์ก่อนState the numerator identity (e.g. numerator $=A(\ldots)+B(\ldots)$) before substituting anything — that setup line is the method mark.
✗When roots run out, compare coefficients เทียบสัมประสิทธิ์เมื่อรากไม่พอSubstituting each root finds some constants; the leftover one comes from comparing coefficients (e.g. of $x^2$) or substituting another easy value.
✗Check by recombining ตรวจโดยรวมกลับPut your answer back over a common denominator, or substitute one easy $x$-value into both sides — a ten-second check that protects every following part.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ