Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Proofการพิสูจน์
A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: not required in 9709 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
An expansion, and one number that breaks a guessการกระจาย กับเลขหนึ่งตัวที่ล้มข้อสันนิษฐาน
Those are the only two jobs in this chapter.บทนี้มีงานแค่สองอย่างนี้เท่านั้น
- Expand and simplify $(2n+1)^{2}$.กระจายและจัดรูป $(2n+1)^{2}$
Answer:เฉลย: $4n^{2}+4n+1$Odd squared is always odd: $(2n+1)^2=4n^2+4n+1$ $=2(2n^2+2n)+1$ $\text{even}+1\ \Rightarrow\ \text{odd}$ One line of algebra covers every integer $n$. That is a proof.จำนวนคี่ยกกำลังสอง ได้คี่เสมอ: $(2n+1)^2=4n^2+4n+1$ $=2(2n^2+2n)+1$ $\text{even}+1\ \Rightarrow\ \text{odd}$ พีชคณิตบรรทัดเดียวคลุมจำนวนเต็ม $n$ ทุกตัว นั่นแหละคือการพิสูจน์
- Is $91$ prime?$91$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่?
Answer:เฉลย: Not prime: $91=7\times13$ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ: $91=7\times13$One factor ends the question: $91=7\times 13$ $\sqrt{91}\approx 9.5\ \Rightarrow\ \text{test up to }9$ $\text{stop at }5\ \Rightarrow\ \text{miss the }7$ Stopping the test early is stopping before the proof is finished.ตัวประกอบเดียวจบคำถาม: $91=7\times 13$ $\sqrt{91}\approx 9.5\ \Rightarrow\ \text{test up to }9$ $\text{stop at }5\ \Rightarrow\ \text{miss the }7$ หยุดทดสอบก่อนครบ คือหยุดก่อนที่การพิสูจน์จะจบ
- Work out $n^{2}+n+41$ when $n=3$.หาค่า $n^{2}+n+41$ เมื่อ $n=3$
Answer:เฉลย: $9+3+41=53$Prime for a long run: $3^2+3+41=53$ $n=1,2,4\ \to\ 43,\ 47,\ 61$ $\text{all prime}$ Remember this expression. In level 4 it stops being prime.เป็นจำนวนเฉพาะติดกันยาวมาก: $3^2+3+41=53$ $n=1,2,4\ \to\ 43,\ 47,\ 61$ $\text{all prime}$ จำนิพจน์นี้ไว้ พอถึงระดับ 4 มันจะเลิกเป็นจำนวนเฉพาะ
2. One counterexample is enoughตัวอย่างค้านตัวเดียวก็จบ
One counterexample makes a claim false for ever · a hundred supporting examples prove nothing.ตัวอย่างค้านตัวเดียวทำให้ข้อความเป็นเท็จถาวร · ตัวอย่างที่สนับสนุนอีกร้อยตัวก็ไม่ได้พิสูจน์อะไร
Checking is not provingการไล่เช็ค ไม่ใช่การพิสูจน์
- $2^{n}-1$ comes out prime at $n=2,3,5$ — they give $3$, $7$, $31$. Find one integer $n$ from $2$ to $12$ for which $2^{n}-1$ is not prime.$2^{n}-1$ เป็นจำนวนเฉพาะตอน $n=2,3,5$ — ได้ $3$, $7$, $31$ · หาจำนวนเต็ม $n$ สักตัวตั้งแต่ $2$ ถึง $12$ ที่ทำให้ $2^{n}-1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
Answer:เฉลย: $n=4$: $2^{4}-1=15=3\times5$ (so do $n=6,8,9,10,11,12$)One failing case is enough: $2^4-1=15=3\times 5$ $\text{disprove}\ \to\ \text{one case}$ $\text{prove}\ \to\ \text{every case at once}$ Covering every case at once is what algebra is for.กรณีเดียวที่พังก็พอ: $2^4-1=15=3\times 5$ $\text{disprove}\ \to\ \text{one case}$ $\text{prove}\ \to\ \text{every case at once}$ การคลุมทุกกรณีพร้อมกัน คือสิ่งที่พีชคณิตมีไว้ทำ
- Claim: "$n^{2}-n+11$ is prime for every positive integer $n$." Which piece of work disproves it?ข้อความ: "$n^{2}-n+11$ เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทุกตัว" งานชิ้นไหนค้านข้อความนี้ได้?
Answer:เฉลย: $n=11$ gives $121=11^{2}$, which is not prime$n=11$ ให้ $121=11^{2}$ ซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะMeet the condition, break the conclusion: $n=11\ \text{is a positive integer}\ \checkmark$ $121=11^2\ \text{is not prime}\ \checkmark$ $n=10,\ n=1\ \to\ \text{support, not break}\ \times$ Doing only one of the two scores nothing.เข้าเงื่อนไข แล้วหักข้อสรุป: $n=11\ \text{is a positive integer}\ \checkmark$ $121=11^2\ \text{is not prime}\ \checkmark$ $n=10,\ n=1\ \to\ \text{support, not break}\ \times$ ทำได้แค่อย่างเดียวจากสองอย่าง ได้ศูนย์
- Exactly one of these three statements is false ($n$ is a positive integer throughout). Which one?ในสามข้อความนี้ มีข้อความที่เท็จอยู่หนึ่งข้อพอดี (ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกทุกข้อ) · ข้อไหน?
Answer:เฉลย: "Every even number is a multiple of $4$" — $6$ is even and $6$ is not a multiple of $4$"จำนวนคู่ทุกตัวเป็นพหุคูณของ $4$" — $6$ เป็นจำนวนคู่ แต่ไม่ใช่พหุคูณของ $4$Testing finds false, algebra proves true: $6\ \text{even},\ 6\ne 4k\ \Rightarrow\ \text{false}$ $4n=2(2n)\ \Rightarrow\ \text{true}$ $6n=3(2n)\ \Rightarrow\ \text{true}$ Passing every test you try is not the reason a claim is true.ทดสอบเจอข้อผิด พีชคณิตพิสูจน์ข้อถูก: $6\ \text{even},\ 6\ne 4k\ \Rightarrow\ \text{false}$ $4n=2(2n)\ \Rightarrow\ \text{true}$ $6n=3(2n)\ \Rightarrow\ \text{true}$ ผ่านทุกกรณีที่ลอง ไม่ใช่เหตุผลว่าทำไมมันจริง
3. Write numbers as algebraเขียนจำนวนให้เป็นพีชคณิต
$2n$, $2n+1$, $3n$ — one letter that stands for every case at once.$2n$, $2n+1$, $3n$ — ตัวอักษรตัวเดียวที่แทนทุกกรณีพร้อมกัน
Direct proof: start at the left, arrive at the rightพิสูจน์ตรง: เริ่มจากซ้าย เดินให้ถึงขวา
A proof ends with a sentence, not with an expression.บทพิสูจน์จบด้วยประโยค ไม่ใช่จบด้วยนิพจน์
- $n$ is an integer. Which expression is odd for every integer $n$?ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็ม · นิพจน์ไหนเป็นจำนวนคี่สำหรับ $n$ ทุกตัว?
Answer:เฉลย: $2n+1$$2n$ is even for every $n$: $2n=2\times\text{integer}\ \Rightarrow\ \text{even}$ $2n+1\ \Rightarrow\ \text{odd, every }n$ $n+1,\ n^2+1\ \Rightarrow\ \text{some }n\ \text{only}$ That is why numbers get written as algebra: no cases are left over.$2n$ เป็นจำนวนคู่ทุกค่า $n$: $2n=2\times\text{integer}\ \Rightarrow\ \text{even}$ $2n+1\ \Rightarrow\ \text{odd, every }n$ $n+1,\ n^2+1\ \Rightarrow\ \text{some }n\ \text{only}$ นี่คือเหตุผลที่เขียนจำนวนเป็นพีชคณิต ไม่มีกรณีตกค้าง
- Two odd numbers are written $2m+1$ and $2n+1$. Which line is their sum, arranged so that 'even' is obvious?จำนวนคี่สองตัวเขียนเป็น $2m+1$ กับ $2n+1$ · บรรทัดไหนคือผลบวกของมัน ที่จัดรูปจนเห็นชัดว่าเป็นจำนวนคู่?
Answer:เฉลย: $(2m+1)+(2n+1)=2(m+n+1)$Two numbers, two letters: $(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2$ $=2(m+n+1)$ $m+n+1\ \text{integer}\ \Rightarrow\ \text{even}$ One letter would only prove it for two equal numbers.สองจำนวน ต้องสองตัวอักษร: $(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2$ $=2(m+n+1)$ $m+n+1\ \text{integer}\ \Rightarrow\ \text{even}$ ใช้ตัวอักษรเดียว จะพิสูจน์ได้แค่กรณีสองจำนวนเท่ากัน
- Two consecutive odd numbers are $2n+1$ and $2n+3$. Simplify their sum, and factorise as far as it will go.จำนวนคี่ที่ติดกันสองตัวคือ $2n+1$ กับ $2n+3$ · จัดรูปผลบวกของมัน แล้วแยกตัวประกอบให้สุด
Answer:เฉลย: $(2n+1)+(2n+3)=4n+4=4(n+1)$Factorise as far as it goes: $(2n+1)+(2n+3)=4n+4$ $=4(n+1)$ $\Rightarrow\ \text{a multiple of }4,\ \text{not just even}$ Stopping at $2$ only gives 'even'. Exams ask for the stronger answer.แยกตัวประกอบให้สุด: $(2n+1)+(2n+3)=4n+4$ $=4(n+1)$ $\Rightarrow\ \text{a multiple of }4,\ \text{not just even}$ หยุดที่ $2$ ได้แค่ว่า 'คู่' ข้อสอบอยากได้คำตอบที่แรงกว่านั้น
4. Check every caseไล่ให้ครบทุกกรณี
When the cases are finite and you finish all of them, checking IS proving.ถ้ากรณีมีจำกัด และไล่ครบทุกกรณีจริงๆ · การเช็คก็คือการพิสูจน์
Sometimes there are only a few cases — so do all of themบางทีกรณีมีอยู่ไม่กี่แบบ — งั้นก็ไล่ให้หมด
Exhaustion is only a proof when the cases really do exhaust everything.การแจกแจงกรณีจะเป็นบทพิสูจน์ก็ต่อเมื่อกรณีที่ไล่ครอบคลุมทุกอย่างจริงๆ
- You want to prove something about every integer $n$ using two cases. Which split leaves nothing out?ถ้าจะพิสูจน์เรื่องหนึ่งกับจำนวนเต็ม $n$ ทุกตัว โดยแบ่งเป็นสองกรณี · การแบ่งแบบไหนไม่มีอะไรตกหล่น?
Answer:เฉลย: $n=2k$ or $n=2k+1$ — every integer is exactly one of the two$n=2k$ หรือ $n=2k+1$ — จำนวนเต็มทุกตัวเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งพอดีThe cases must cover everything: $n=2k\ \text{or}\ 2k+1\ \Rightarrow\ \text{every integer, exactly one}$ $\text{prime / composite}\ \Rightarrow\ 1,\ 0\ \text{left out}$ $\text{positive / negative}\ \Rightarrow\ 0\ \text{left out}$ Check the cover before you write 'Case 1'. That check is a mark.กรณีต้องคลุมทุกอย่าง: $n=2k\ \text{or}\ 2k+1\ \Rightarrow\ \text{every integer, exactly one}$ $\text{prime / composite}\ \Rightarrow\ 1,\ 0\ \text{left out}$ $\text{positive / negative}\ \Rightarrow\ 0\ \text{left out}$ เช็คว่าคลุมครบก่อนเขียน 'กรณีที่ 1' การเช็คนี้มีคะแนน
- All ten cases done, the last digits of $n^{2}$ come out as $0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$. Which sentence finishes the proof that no square ends in $7$?ไล่ครบสิบกรณีแล้ว หลักหน่วยของ $n^{2}$ ออกมาเป็น $0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$ · ประโยคไหนปิดบทพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนกำลังสองลงท้ายด้วย $7$?
Answer:เฉลย: None of the ten cases ends in $7$, and the ten cases cover every integer — therefore no square ends in $7$.ไม่มีกรณีไหนในสิบกรณีที่ลงท้ายด้วย $7$ และสิบกรณีนั้นคลุมจำนวนเต็มทุกตัว — ดังนั้นไม่มีจำนวนกำลังสองลงท้ายด้วย $7$Check them all, then say so: $\text{last digits of }n^2:\ 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$ $\text{no }7$ $\text{ten cases}=\text{every integer}$ Write only the first half and an examiner sees a list of examples.ตรวจให้ครบ แล้วบอกว่าครบ: $\text{last digits of }n^2:\ 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$ $\text{no }7$ $\text{ten cases}=\text{every integer}$ เขียนแค่ครึ่งแรก กรรมการเห็นเป็นแค่ลิสต์ตัวอย่าง
5. Assume the oppositeสมมติตรงข้าม
Assume the claim is false, walk on until something impossible appears — the impossible thing was the assumption.สมมติว่าข้อความเป็นเท็จ แล้วเดินต่อจนเจอสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ — สิ่งที่เป็นไปไม่ได้นั้นคือข้อสมมติเอง
When the front door is locked, go round the backถ้าประตูหน้าล็อก ก็เดินอ้อมไปหลังบ้าน
Prove $\sqrt{2}$ is irrationalพิสูจน์ว่า $\sqrt{2}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ
- $\text{Assume }\sqrt{2}=\frac{a}{b}\ \text{in lowest terms}$Assume the OPPOSITE of what you want. 'Lowest terms' is the trap being set.สมมติสิ่งที่ตรงข้ามกับที่จะพิสูจน์ · คำว่า 'เศษส่วนอย่างต่ำ' คือกับดักที่เรากำลังวาง
- $2=\frac{a^{2}}{b^{2}}$Square both sides and clear the fraction.ยกกำลังสองสองข้าง แล้วเคลียร์เศษส่วน
- $a^{2}=2b^{2}$Multiply both sides by $b^{2}$.คูณ $b^{2}$ ทั้งสองข้าง
- $a^{2}\ \text{is even}$An odd number squared stays odd, so $a$ must be even.เลขคี่ยกกำลังสองยังคี่ · $a$ จึงต้องเป็นเลขคู่
- $a=2k$So $a$ itself is even.ดังนั้น $a$ เองก็เป็นเลขคู่
- $4k^{2}=2b^{2}$Put $a=2k$ back in and halve.แทน $a=2k$ กลับเข้าไป แล้วหารสอง
- $b^{2}=2k^{2}$Divide both sides by $2$.หาร $2$ ทั้งสองข้าง
- $b\ \text{is even too}$Same argument. But now $a$ and $b$ share a factor of $2$ — the fraction was NOT in lowest terms.เหตุผลเดิม · แต่ตอนนี้ $a$ กับ $b$ มีตัวประกอบ $2$ ร่วมกัน — เศษส่วนไม่ได้อยู่ในรูปอย่างต่ำ
- $\sqrt{2}\ \text{is irrational}$The assumption broke itself, so it was false. Write this last line — it is a mark.ข้อสมมติหักล้างตัวเอง แปลว่ามันเป็นเท็จ · เขียนบรรทัดสุดท้ายนี้ด้วย เป็นคะแนน
- You are asked to prove that $\sqrt2$ is irrational, by contradiction. What is the first line?โจทย์ให้พิสูจน์ว่า $\sqrt2$ เป็นอตรรกยะ โดยใช้ข้อขัดแย้ง · บรรทัดแรกคืออะไร?
Answer:เฉลย: Assume the negation: $\sqrt2=\frac{a}{b}$, integers, $b\neq0$, in lowest termsสมมตินิเสธ: $\sqrt2=\frac{a}{b}$ เป็นจำนวนเต็ม $b\neq0$ อยู่ในรูปอย่างต่ำStart from the negation: $\text{claim}:\ \sqrt2\ \text{is irrational}$ $\text{assume}:\ \sqrt2=\dfrac{a}{b},\ a,b\ \text{integers},\ b\ne 0$ $\text{and}\ \dfrac{a}{b}\ \text{in lowest terms}$ Any fraction cancels down, so 'lowest terms' is free — and it is what breaks.เริ่มจากนิเสธ: $\text{claim}:\ \sqrt2\ \text{is irrational}$ $\text{assume}:\ \sqrt2=\dfrac{a}{b},\ a,b\ \text{integers},\ b\ne 0$ $\text{and}\ \dfrac{a}{b}\ \text{in lowest terms}$ เศษส่วนไหนก็ทอนได้ 'รูปอย่างต่ำ' เลยสมมติได้ฟรี และมันคือจุดที่จะพัง
- Square both sides of $\sqrt2=\dfrac{a}{b}$ and clear the fraction. What comes out?ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $\sqrt2=\dfrac{a}{b}$ แล้วกำจัดเศษส่วน · ได้อะไรออกมา?
Answer:เฉลย: $2=\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \;\Rightarrow\; a^{2}=2b^{2}$Both parts get squared: $2=\dfrac{a^2}{b^2}$ $a^2=2b^2$ $a^2\ \text{even}\ \Rightarrow\ a\ \text{even}$ The last step is the warm-up: an odd number squared is odd.ยกกำลังสองทั้งเศษและส่วน: $2=\dfrac{a^2}{b^2}$ $a^2=2b^2$ $a^2\ \text{even}\ \Rightarrow\ a\ \text{even}$ ขั้นสุดท้ายคือข้ออุ่นเครื่อง จำนวนคี่ยกกำลังสองได้คี่
- Carry on: $a$ is even, so $a=2c$, and $a^{2}=2b^{2}$ becomes $4c^{2}=2b^{2}$, i.e. $b^{2}=2c^{2}$ — so $b$ is even too. Both $a$ and $b$ are even. Write down the whole number that must therefore divide both of them.เดินต่อ: $a$ เป็นคู่ จึงเขียน $a=2c$ · แล้ว $a^{2}=2b^{2}$ กลายเป็น $4c^{2}=2b^{2}$ นั่นคือ $b^{2}=2c^{2}$ — ดังนั้น $b$ ก็เป็นคู่ด้วย · ทั้ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนคู่ · เขียนจำนวนเต็มที่ต้องหารทั้งคู่ลงตัว
Answer:เฉลย: $2$ — and line one said the fraction was already in its lowest termsThe contradiction is in the assumption: $2\mid a\ \text{and}\ 2\mid b$ $\Rightarrow\ \dfrac{a}{b}\ \text{not in lowest terms}$ $\text{contradicts line 1}\ \Rightarrow\ \sqrt2\ \text{irrational}$ At the end you must point back to the opening assumption.ข้อขัดแย้งอยู่ที่ข้อสมมติ: $2\mid a\ \text{and}\ 2\mid b$ $\Rightarrow\ \dfrac{a}{b}\ \text{not in lowest terms}$ $\text{contradicts line 1}\ \Rightarrow\ \sqrt2\ \text{irrational}$ ตอนจบต้องชี้กลับไปที่ข้อสมมติบรรทัดแรก
- The other classic. Assume there are only finitely many primes $p_{1},p_{2},\dots,p_{k}$, and build $N=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}+1$. Where is the contradiction?อีกข้อคลาสสิก · สมมติว่าจำนวนเฉพาะมีจำกัด คือ $p_{1},p_{2},\dots,p_{k}$ แล้วสร้าง $N=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}+1$ · ข้อขัดแย้งอยู่ตรงไหน?
Answer:เฉลย: $N$ has a prime factor that is not on the list, so no finite list can hold every prime$N$ มีตัวประกอบเฉพาะที่ไม่อยู่ในลิสต์ ดังนั้นลิสต์จำกัดใดๆ ก็บรรจุจำนวนเฉพาะครบทุกตัวไม่ได้The list missed a prime: $N=p_1p_2\cdots p_k+1$ $N\div p_i\ \text{leaves }1\ \Rightarrow\ p_i\nmid N$ $N>1\ \Rightarrow\ N\ \text{has a prime factor, not on the list}$ Same plan as $\sqrt2$: assume the negation, build one number, break it.ลิสต์ตกจำนวนเฉพาะไปตัวหนึ่ง: $N=p_1p_2\cdots p_k+1$ $N\div p_i\ \text{leaves }1\ \Rightarrow\ p_i\nmid N$ $N>1\ \Rightarrow\ N\ \text{has a prime factor, not on the list}$ แผนเดียวกับ $\sqrt2$ สมมตินิเสธ สร้างจำนวนขึ้นมาหนึ่งตัว แล้วทำให้ข้อสมมติพัง
6. Hunt the counterexampleล่าตัวอย่างค้าน
Some false claims survive the first thirty tests — one counterexample still finishes them.ข้อความเท็จบางอันรอดการทดสอบสามสิบครั้งแรกได้ — แต่ตัวอย่างค้านตัวเดียวก็ยังจบมันได้อยู่ดี
Almost always true is still falseจริงเกือบตลอด ก็ยังเท็จอยู่ดี
- Find the smallest positive integer $n$ for which $n^{2}+n+41$ is not prime.หาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้ $n^{2}+n+41$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
Answer:เฉลย: $n=40$: $1600+40+41=1681=41^{2}$Prime to $39$, then not: $40^2+40+41=1681$ $1681=41^2$ $n=1\ \text{to}\ 39\ \Rightarrow\ \text{all prime}$ The search was not luck: make $41$ a factor, then check nearby values.เป็นจำนวนเฉพาะถึง $39$ แล้วก็ไม่: $40^2+40+41=1681$ $1681=41^2$ $n=1\ \text{to}\ 39\ \Rightarrow\ \text{all prime}$ ไม่ได้หาเจอเพราะฟลุก ทำให้ $41$ เป็นตัวประกอบ แล้วค่อยไล่ค่าที่อยู่ใกล้ๆ
- Claim: "if $n^{2}$ is a multiple of $4$, then $n$ is a multiple of $4$". Which value of $n$ disproves it?ข้อความ: "ถ้า $n^{2}$ เป็นพหุคูณของ $4$ แล้ว $n$ เป็นพหุคูณของ $4$" · ค่า $n$ ตัวไหนค้านข้อความนี้ได้?
Answer:เฉลย: $n=6$ — $36=4\times9$, yet $6$ is not a multiple of $4$$n=6$ — $36=4\times9$ แต่ $6$ ไม่ใช่พหุคูณของ $4$Both halves, or nothing: $n=6:\ 36=4\times 9\ \checkmark\ \text{condition met}$ $6\ne 4k\ \checkmark\ \text{conclusion broken}$ $n=8:\ \text{claim holds}\ \times$ $n=5:\ \text{condition fails}\ \times$ต้องครบสองส่วน ไม่งั้นได้ศูนย์: $n=6:\ 36=4\times 9\ \checkmark\ \text{condition met}$ $6\ne 4k\ \checkmark\ \text{conclusion broken}$ $n=8:\ \text{claim holds}\ \times$ $n=5:\ \text{condition fails}\ \times$
7. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Find the broken line in someone else's proof · finish your own so that it scores.หาบรรทัดที่พังในบทพิสูจน์ของคนอื่น · แล้วปิดบทพิสูจน์ของตัวเองให้ได้คะแนน
Two shapes come up every sessionข้อสอบมีสองหน้าตาที่โผล่ทุกรอบ
The last line of a proof is a sentence. No sentence, no final mark.บรรทัดสุดท้ายของบทพิสูจน์คือประโยค · ไม่มีประโยค ไม่ได้คะแนนสุดท้าย
- A student "proves" that $2=1$. Let $a=b$. Then:
(1) $a^{2}=ab$
(2) $a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$
(3) $(a-b)(a+b)=b(a-b)$
(4) $a+b=b$
(5) $2b=b$, so $2=1$.
Which is the first line that is not allowed? (2 marks)นักเรียนคนหนึ่ง "พิสูจน์" ว่า $2=1$ · ให้ $a=b$ แล้ว:
(1) $a^{2}=ab$
(2) $a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$
(3) $(a-b)(a+b)=b(a-b)$
(4) $a+b=b$
(5) $2b=b$ ดังนั้น $2=1$
บรรทัดไหนคือบรรทัดแรกที่ทำไม่ได้? (2 คะแนน)
Answer:เฉลย: Line (4): both sides were divided by $a-b$, which is $0$บรรทัด (4): หารทั้งสองข้างด้วย $a-b$ ซึ่งเท่ากับ $0$Cancelling a bracket is dividing: $a=b\ \Rightarrow\ a-b=0$ $\text{line (4)}:\ \div(a-b)=\div 0\ \times$ $\text{every line after (4) is worth nothing}$ You must be able to say the bracket you cancel is not zero.ตัดวงเล็บทิ้ง คือการหาร: $a=b\ \Rightarrow\ a-b=0$ $\text{line (4)}:\ \div(a-b)=\div 0\ \times$ $\text{every line after (4) is worth nothing}$ ต้องบอกได้ว่าวงเล็บที่ตัดทิ้งไม่เท่ากับศูนย์
- Exam: Prove that the sum of the squares of any two consecutive integers is odd. The proof opens "Let the integers be $n$ and $n+1$". Expand and simplify $n^{2}+(n+1)^{2}$. (3 marks)ข้อสอบ: จงพิสูจน์ว่าผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มที่ติดกันสองตัวเป็นจำนวนคี่ · บทพิสูจน์เปิดด้วย "ให้จำนวนทั้งสองเป็น $n$ และ $n+1$" จงกระจายและจัดรูป $n^{2}+(n+1)^{2}$ (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $n^{2}+(n+1)^{2}=2n^{2}+2n+1=2(n^{2}+n)+1$3 marks: $\text{M1}\ \ \text{name them}\ n\ \text{and}\ n+1$ $\text{A1}\ \ n^2+(n+1)^2=2n^2+2n+1$ $\text{A1}\ \ =2(n^2+n)+1\ \Rightarrow\ \text{odd}$ The closing sentence is a mark. Correct algebra with no conclusion misses it.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{name them}\ n\ \text{and}\ n+1$ $\text{A1}\ \ n^2+(n+1)^2=2n^2+2n+1$ $\text{A1}\ \ =2(n^2+n)+1\ \Rightarrow\ \text{odd}$ ประโยคสรุปมีคะแนนของมันเอง พีชคณิตถูกแต่ไม่สรุป ก็ไม่ได้
- Exam: "Prove that the sum of any three consecutive integers is a multiple of $3$. (2 marks)" Three answers come in. Which one gets both marks?ข้อสอบ: "จงพิสูจน์ว่าผลบวกของจำนวนเต็มที่ติดกันสามตัวใดๆ เป็นพหุคูณของ $3$ (2 คะแนน)" · มีคำตอบส่งมาสามแบบ · แบบไหนได้ครบสองคะแนน?
Answer:เฉลย: $n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)$ — an integer times $3$, then stated in words$n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)$ — คือ $3$ คูณจำนวนเต็ม แล้วสรุปเป็นประโยคName, do, then state: $n+(n+1)+(n+2)=3n+3$ $=3(n+1)$ $n+1\ \text{integer}\ \Rightarrow\ \text{multiple of }3$ $3n+3$ scores the method only. A proof ends with a sentence.ตั้งชื่อ ทำพีชคณิต แล้วสรุป: $n+(n+1)+(n+2)=3n+3$ $=3(n+1)$ $n+1\ \text{integer}\ \Rightarrow\ \text{multiple of }3$ $3n+3$ ได้แค่คะแนนวิธีทำ การพิสูจน์ต้องจบด้วยประโยค
- Exam: Prove that the product of any two consecutive even numbers is a multiple of $8$. The proof opens "Let the numbers be $2n$ and $2n+2$, where $n$ is an integer". Write their product in fully factorised form — the line the rest of the proof stands on. (5 marks)ข้อสอบ: จงพิสูจน์ว่าผลคูณของจำนวนคู่ที่ติดกันสองตัวใดๆ เป็นพหุคูณของ $8$ · บทพิสูจน์เปิดด้วย "ให้จำนวนทั้งสองเป็น $2n$ และ $2n+2$ โดย $n$ เป็นจำนวนเต็ม" จงเขียนผลคูณของมันในรูปที่แยกตัวประกอบเต็มที่ — บรรทัดที่บทพิสูจน์ทั้งข้อยืนอยู่บนนั้น (5 คะแนน)
Answer:เฉลย: $2n(2n+2)=4n(n+1)$ — and $n(n+1)$ is a product of two consecutive integers, so it is even, which makes $4n(n+1)$ a multiple of $8$5 marks: $\text{M1}\ \ 2n\ \text{and}\ 2n+2,\ n\ \text{an integer}$ $\text{M1}\ \ 2n(2n+2)=4n^2+4n$ $\text{A1}\ \ =4n(n+1)$ $\text{B1}\ \ n(n+1)\ \text{even}\ \text{(consecutive integers)}$ $\text{A1}\ \ 4\times\text{even}=8\times\text{integer}$ $4n(n+1)$ alone proves a multiple of $4$. Marks 4 and 5 double it.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ 2n\ \text{and}\ 2n+2,\ n\ \text{an integer}$ $\text{M1}\ \ 2n(2n+2)=4n^2+4n$ $\text{A1}\ \ =4n(n+1)$ $\text{B1}\ \ n(n+1)\ \text{even}\ \text{(consecutive integers)}$ $\text{A1}\ \ 4\times\text{even}=8\times\text{integer}$ $4n(n+1)$ เดี่ยวๆ พิสูจน์ได้แค่พหุคูณของ $4$ คะแนนที่ 4 กับ 5 คือตัวที่ทำให้เป็น $8$
- Two claims about positive integers $n$:
(i) $n^{2}+3n$ is always even.
(ii) $n^{2}+n+5$ is always prime.
One of them can be finished off with a single counterexample; the other one cannot. Decide which, and give the smallest positive integer $n$ that settles it.ข้อความสองข้อเกี่ยวกับจำนวนเต็มบวก $n$:
(i) $n^{2}+3n$ เป็นจำนวนคู่เสมอ
(ii) $n^{2}+n+5$ เป็นจำนวนเฉพาะเสมอ
มีข้อหนึ่งที่จบได้ด้วย counterexample ตัวเดียว อีกข้อทำแบบนั้นไม่ได้ จงตัดสินว่าข้อไหน แล้วให้จำนวนเต็มบวก $n$ ที่เล็กที่สุดที่ปิดข้อนั้น
Answer:เฉลย: (ii) is the false one: $n=4$ gives $16+4+5=25=5^{2}$, which is not prime · (i) is true, so no counterexample exists for itParity is proved, primes are hunted: $\text{(i)}\ n^2+3n=n(n+3)$ $n\ \text{even}\ \Rightarrow\ n\ \text{even};\ \ n\ \text{odd}\ \Rightarrow\ n+3\ \text{even}$ $\Rightarrow\ \text{(i) always even, no counterexample}$ $\text{(ii)}\ n=1,2,3\ \to\ 7,\ 11,\ 17\ \text{prime}$ $n=4:\ 16+4+5=25=5^2\ \times$ Algebra can force even; nothing forces prime — so 'always prime' is attacked with values.คู่คี่ใช้พิสูจน์ จำนวนเฉพาะใช้ล่า: $\text{(i)}\ n^2+3n=n(n+3)$ $n\ \text{even}\ \Rightarrow\ n\ \text{even};\ \ n\ \text{odd}\ \Rightarrow\ n+3\ \text{even}$ $\Rightarrow\ \text{(i) always even, no counterexample}$ $\text{(ii)}\ n=1,2,3\ \to\ 7,\ 11,\ 17\ \text{prime}$ $n=4:\ 16+4+5=25=5^2\ \times$ พีชคณิตบังคับให้เป็นคู่ได้ แต่บังคับให้เป็นจำนวนเฉพาะไม่ได้ 'เฉพาะเสมอ' จึงต้องโจมตีด้วยการแทนค่า
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Prove that the sum of any two odd numbers is even.This is the level 1 proof, written out in full.
Two things are marked, and neither is the algebra.
Use two different letters at the start.
Write a sentence at the end.
With both of those, this question takes about two minutes.นี่คือบทพิสูจน์จากขั้นที่ 1 เขียนเต็มรูป
สิ่งที่ถูกตรวจมีสองอย่าง และไม่ใช่พีชคณิตทั้งคู่
ใช้ตัวอักษรสองตัวที่ต่างกันตอนเริ่ม
เขียนประโยคสรุปตอนจบ
ถ้ามีครบทั้งสองอย่าง ข้อนี้ใช้เวลาราวสองนาที
- Prove that $(2n+3)^{2}-(2n+1)^{2}$ is a multiple of $8$ for every integer $n$.Same move, heavier algebra: two expansions and a subtraction where every sign matters — the minus has to reach both terms of the second bracket. The finish is unchanged: pull out the factor, then say the sentence.ท่าเดิม แต่พีชคณิตหนักขึ้น: กระจายสองก้อนแล้วลบกัน ซึ่งเครื่องหมายทุกตัวสำคัญ — ลบต้องวิ่งไปถึงทั้งสองพจน์ในวงเล็บที่สอง · ตอนจบเหมือนเดิม: ดึงตัวประกอบออก แล้วเขียนประโยคสรุป
- Prove that the product of any two odd numbers is odd.Multiply instead of add — that is the only change. Anyone who memorised the sum proof rather than the method stalls here, which is exactly what this slot is for.เปลี่ยนจากบวกเป็นคูณ — เปลี่ยนแค่นั้น · ใครที่ท่องบทพิสูจน์ของผลบวกมาแทนที่จะจำวิธี จะติดตรงนี้พอดี · ตำแหน่งนี้มีไว้เช็คเรื่องนั้น
- Prove by exhaustion that $n^{2}+n+1$ is odd for every integer $n$.Level 2's case split feeding level 1's algebra, and the last sentence has to declare that the two cases cover every integer. Two known moves in a row, no new idea anywhere.การแบ่งกรณีจากขั้นที่ 2 ป้อนเข้าพีชคณิตของขั้นที่ 1 · และประโยคสุดท้ายต้องประกาศว่าสองกรณีนี้คลุมจำนวนเต็มทุกตัว · ต่อสองท่าที่รู้แล้ว ไม่มีของใหม่เลยสักจุด
- Disprove the statement: "$n^{2}+3n+1$ is prime for all positive integers $n$." (2 marks)"Disprove" always needs the same three parts:
one value,
the arithmetic written out in full,
a sentence saying the statement is false.
One mark for the value, one for showing that it fails.
A general argument is not asked for and gets no marks.คำว่า "Disprove" ต้องการสามส่วนเสมอ:
ค่าหนึ่งค่า
การคำนวณที่เขียนให้เห็นเต็มๆ
ประโยคที่บอกว่าข้อความเป็นเท็จ
หนึ่งคะแนนสำหรับค่าที่เลือก อีกหนึ่งสำหรับการแสดงว่ามันพัง
โจทย์ไม่ได้ขอข้อโต้แย้งทั่วไป เขียนไปก็ไม่ได้คะแนน
- A student writes: "Let the two odd numbers be $2n+1$ and $2n+1$. Their sum is $4n+2=2(2n+1)$, which is even. Proved." Find the error and repair the proof.Every calculation is correct, but the proof still gets almost no marks.
The error is in the naming, one line before the algebra starts.
This is the most common lost mark in this topic.
If you can find it in someone else's work, you can avoid it in your own.การคำนวณถูกทุกบรรทัด แต่บทพิสูจน์แทบไม่ได้คะแนน
ที่ผิดคือการตั้งชื่อ ซึ่งอยู่ก่อนพีชคณิตหนึ่งบรรทัด
นี่คือจุดเสียคะแนนที่พบบ่อยที่สุดของบทนี้
ถ้าเราจับมันได้ในงานของคนอื่น เราก็เลี่ยงมันในงานของเราได้
- (a) Prove that if $n$ is odd then $n^{2}$ is odd. (2 marks) (b) Hence prove by contradiction that if $n^{2}$ is even then $n$ is even. (3 marks)This question uses three things at once.
A direct proof.
The word "hence", which means use part (a) again instead of starting from the beginning.
A proof by contradiction whose first line negates only the conclusion, not the whole statement.
Part (b) is the step used in the $\sqrt2$ proof, so examiners ask for it often.ข้อนี้ใช้สามอย่างพร้อมกัน
การพิสูจน์ตรง
คำว่า "hence" ซึ่งแปลว่าให้ใช้ผลจากข้อ (a) ต่อ ไม่ใช่เริ่มใหม่
การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้งที่บรรทัดแรกนิเสธเฉพาะข้อสรุป ไม่ใช่ทั้งข้อความ
ข้อ (b) คือขั้นที่ใช้ในบทพิสูจน์ $\sqrt2$ คนออกข้อสอบจึงถามบ่อย
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี