Proofการพิสูจน์

A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: not required in 9709 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

An expansion, and one number that breaks a guessการกระจาย กับเลขหนึ่งตัวที่ล้มข้อสันนิษฐาน

Panel 1 proves every case at once. Panel 2 needs only one.ช่อง 1 พิสูจน์ทุกกรณีพร้อมกัน · ช่อง 2 ใช้แค่กรณีเดียว

1. Expand and simplify $(2n+1)^{2}$.กระจายและจัดรูป $(2n+1)^{2}$
   Answer:เฉลย: $4n^{2}+4n+1$Odd squared is always odd: $(2n+1)^2=4n^2+4n+1$   $=2(2n^2+2n)+1$   $\text{even}+1\ \Rightarrow\ \text{odd}$ One line of algebra covers every integer $n$. That is a proof.จำนวนคี่ยกกำลังสอง ได้คี่เสมอ: $(2n+1)^2=4n^2+4n+1$   $=2(2n^2+2n)+1$   $\text{even}+1\ \Rightarrow\ \text{odd}$ พีชคณิตบรรทัดเดียวคลุมจำนวนเต็ม $n$ ทุกตัว นั่นแหละคือการพิสูจน์
2. Is $91$ prime?$91$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่?
   Answer:เฉลย: Not prime: $91=7\times13$ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ: $91=7\times13$One factor ends the question: $91=7\times 13$   $\sqrt{91}\approx 9.5\ \Rightarrow\ \text{test up to }9$   $\text{stop at }5\ \Rightarrow\ \text{miss the }7$ Stopping the test early is stopping before the proof is finished.ตัวประกอบเดียวจบคำถาม: $91=7\times 13$   $\sqrt{91}\approx 9.5\ \Rightarrow\ \text{test up to }9$   $\text{stop at }5\ \Rightarrow\ \text{miss the }7$ หยุดทดสอบก่อนครบ คือหยุดก่อนที่การพิสูจน์จะจบ

2. One counterexample is enoughตัวอย่างค้านตัวเดียวก็จบ

One counterexample makes a claim false for ever; a hundred supporting cases prove nothing.ตัวอย่างค้านตัวเดียวทำให้ข้อความเท็จถาวร · ตัวอย่างสนับสนุนอีกร้อยตัวก็ไม่พิสูจน์อะไร

Prime so far: does that mean always?เป็นจำนวนเฉพาะมาตลอด — แปลว่าตลอดไปไหม?

Three good cases is not a proof. One failing case ends a claim for good.สามกรณีที่ดี ไม่ใช่บทพิสูจน์ · กรณีที่พังกรณีเดียวจบข้อความได้ถาวร

Disprove: $2^{n}-1$ is prime for every $n\ge2$ค้าน: $2^{n}-1$ เป็นจำนวนเฉพาะทุก $n\ge2$

1. $n=4$Try a value not already known to be prime.ลองค่าที่ยังไม่รู้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะ
2. $2^{4}-1=16-1$
3. $=15$
4. $=3\times5$It factorises, so it is not prime.แยกตัวประกอบได้ จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
5. $\text{claim false at }n=4$One case ends it. Write that sentence.กรณีเดียวจบ — ต้องเขียนประโยคนี้ด้วย

1. $2^{n}-1$ comes out prime at $n=2,3,5$. It gives $3$, $7$, $31$. Find one integer $n$ from $2$ to $12$ for which $2^{n}-1$ is not prime.$2^{n}-1$ เป็นจำนวนเฉพาะตอน $n=2,3,5$ · ได้ $3$, $7$, $31$ · หาจำนวนเต็ม $n$ สักตัวตั้งแต่ $2$ ถึง $12$ ที่ทำให้ $2^{n}-1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
   Answer:เฉลย: $n=4$:  $2^{4}-1=15=3\times5$  (so do $n=6,8,9,10,11,12$)One failing case is enough: $2^4-1=15=3\times 5$   $\text{disprove}\ \to\ \text{one case}$   $\text{prove}\ \to\ \text{every case at once}$ Covering every case at once is what algebra is for.กรณีเดียวที่พังก็พอ: $2^4-1=15=3\times 5$   $\text{disprove}\ \to\ \text{one case}$   $\text{prove}\ \to\ \text{every case at once}$ การคลุมทุกกรณีพร้อมกัน คือสิ่งที่พีชคณิตมีไว้ทำ
2. Claim: "$n^{2}-n+11$ is prime for every positive integer $n$."  Which piece of work disproves it?ข้อความ: "$n^{2}-n+11$ เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทุกตัว"  งานชิ้นไหนค้านข้อความนี้ได้?
   Answer:เฉลย: $n=11$ gives $121=11^{2}$, which is not prime$n=11$ ให้ $121=11^{2}$ ซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะMeet the condition, break the conclusion: $n=11\ \text{is a positive integer}\ \checkmark$   $121=11^2\ \text{is not prime}\ \checkmark$   $n=10,\ n=1\ \to\ \text{support, not break}\ \times$ Doing only one of the two scores nothing.เข้าเงื่อนไข แล้วหักข้อสรุป: $n=11\ \text{is a positive integer}\ \checkmark$   $121=11^2\ \text{is not prime}\ \checkmark$   $n=10,\ n=1\ \to\ \text{support, not break}\ \times$ ทำได้แค่อย่างเดียวจากสองอย่าง ได้ศูนย์
3. Exactly one of these three statements is false ($n$ is a positive integer throughout). Which one?ในสามข้อความนี้ มีข้อความที่เท็จอยู่หนึ่งข้อพอดี (ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกทุกข้อ) · ข้อไหน?
   Answer:เฉลย: "Every even number is a multiple of $4$" — $6$ is even and $6$ is not a multiple of $4$"จำนวนคู่ทุกตัวเป็นพหุคูณของ $4$" — $6$ เป็นจำนวนคู่ แต่ไม่ใช่พหุคูณของ $4$Testing finds false, algebra proves true: $6\ \text{even},\ 6\ne 4k\ \Rightarrow\ \text{false}$   $4n=2(2n)\ \Rightarrow\ \text{true}$   $6n=3(2n)\ \Rightarrow\ \text{true}$ Passing every test you try is not the reason a claim is true.ทดสอบเจอข้อผิด พีชคณิตพิสูจน์ข้อถูก: $6\ \text{even},\ 6\ne 4k\ \Rightarrow\ \text{false}$   $4n=2(2n)\ \Rightarrow\ \text{true}$   $6n=3(2n)\ \Rightarrow\ \text{true}$ ผ่านทุกกรณีที่ลอง ไม่ใช่เหตุผลว่าทำไมมันจริง

3. Write numbers as algebraเขียนจำนวนให้เป็นพีชคณิต

$2n$, $2n+1$, $3n$: one letter standing for every case at once.$2n$, $2n+1$, $3n$ — ตัวอักษรตัวเดียวแทนทุกกรณีพร้อมกัน

Double it, and one more than thatคูณสอง แล้วบวกอีกหนึ่ง

Every $2n$ you will ever write is even; every $2n+1$ is odd. No exception yet.$2n$ ทุกตัวที่เขียนได้เป็นคู่เสมอ · $2n+1$ ทุกตัวเป็นคี่เสมอ ยังไม่เจอข้อยกเว้น

Prove: odd $+$ odd $=$ evenพิสูจน์: คี่ $+$ คี่ $=$ คู่

1. $(2m+1)+(2n+1)$Two different letters: two separate numbers.สองตัวอักษรต่างกัน — สองจำนวนที่แยกกัน
2. $=2m+2n+2$
3. $=2(m+n+1)$Take out the common factor $2$ that proves it.ดึง $2$ ที่พิสูจน์เรื่องนี้ออกมา
4. $m+n+1\ \text{is an integer}$
5. $\text{the sum is even}$A proof ends with a sentence, not an expression.บทพิสูจน์จบด้วยประโยค ไม่ใช่จบด้วยนิพจน์

1. $n$ is an integer. Which expression is odd for every integer $n$?ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็ม · นิพจน์ไหนเป็นจำนวนคี่สำหรับ $n$ ทุกตัว?
   Answer:เฉลย: $2n+1$$2n$ is even for every $n$: $2n=2\times\text{integer}\ \Rightarrow\ \text{even}$   $2n+1\ \Rightarrow\ \text{odd, every }n$   $n+1,\ n^2+1\ \Rightarrow\ \text{some }n\ \text{only}$ That is why numbers get written as algebra: no cases are left over.$2n$ เป็นจำนวนคู่ทุกค่า $n$: $2n=2\times\text{integer}\ \Rightarrow\ \text{even}$   $2n+1\ \Rightarrow\ \text{odd, every }n$   $n+1,\ n^2+1\ \Rightarrow\ \text{some }n\ \text{only}$ นี่คือเหตุผลที่เขียนจำนวนเป็นพีชคณิต ไม่มีกรณีตกค้าง
2. Two odd numbers are written $2m+1$ and $2n+1$. Which line is their sum, arranged so that 'even' is obvious?จำนวนคี่สองตัวเขียนเป็น $2m+1$ กับ $2n+1$ · บรรทัดไหนคือผลบวกของมัน ที่จัดรูปจนเห็นชัดว่าเป็นจำนวนคู่?
   Answer:เฉลย: $(2m+1)+(2n+1)=2(m+n+1)$Two numbers, two letters: $(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2$   $=2(m+n+1)$   $m+n+1\ \text{integer}\ \Rightarrow\ \text{even}$ One letter would only prove it for two equal numbers.สองจำนวน ต้องสองตัวอักษร: $(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2$   $=2(m+n+1)$   $m+n+1\ \text{integer}\ \Rightarrow\ \text{even}$ ใช้ตัวอักษรเดียว จะพิสูจน์ได้แค่กรณีสองจำนวนเท่ากัน
3. Two consecutive odd numbers are $2n+1$ and $2n+3$. Simplify their sum, and factorise as far as it will go.จำนวนคี่ที่ติดกันสองตัวคือ $2n+1$ กับ $2n+3$ · จัดรูปผลบวกของมัน แล้วแยกตัวประกอบให้สุด
   Answer:เฉลย: $(2n+1)+(2n+3)=4n+4=4(n+1)$Factorise as far as it goes: $(2n+1)+(2n+3)=4n+4$   $=4(n+1)$   $\Rightarrow\ \text{a multiple of }4,\ \text{not just even}$ Stopping at $2$ only gives 'even'. Exams ask for the stronger answer.แยกตัวประกอบให้สุด: $(2n+1)+(2n+3)=4n+4$   $=4(n+1)$   $\Rightarrow\ \text{a multiple of }4,\ \text{not just even}$ หยุดที่ $2$ ได้แค่ว่า 'คู่' ข้อสอบอยากได้คำตอบที่แรงกว่านั้น

4. Check every caseไล่ให้ครบทุกกรณี

When the cases are finite and every one is checked, checking IS proving.เมื่อกรณีมีจำกัด และไล่ครบจริง การตรวจคือการพิสูจน์

No square ends in $7$: check all ten last digitsไม่มีจำนวนกำลังสองลงท้ายด้วย $7$: ไล่หลักสุดท้ายครบสิบแบบ

Only the last digit of $n$ decides the last digit of $n^{2}$. Ten cases, done.หลักสุดท้ายของ $n$ อย่างเดียวที่กำหนดหลักสุดท้ายของ $n^{2}$ · สิบกรณีจบ

Prove: no square number ends in $7$พิสูจน์: ไม่มีจำนวนกำลังสองลงท้ายด้วย $7$

1. $n=0,1,2,\dots,9$Ten last digits cover every integer.สิบหลักสุดท้ายคลุมจำนวนเต็มทุกตัว
2. $n^{2}=0,1,4,9,16,25,36,49,64,81$
3. $\text{last digit}:0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$Keep only the last digit of each.เก็บแค่หลักสุดท้ายของแต่ละตัว
4. $\text{no }7\text{ in that list}$All ten cases are checked, and none is $7$.ครบสิบกรณีแล้ว ไม่มีตัวไหนเป็น $7$
5. $\text{no square ends in }7$The ten cases are every case, so this holds for all $n$.สิบกรณีคือทุกกรณี — จึงจริงสำหรับ $n$ ทุกตัว

1. You want to prove something about every integer $n$ using two cases. Which split leaves nothing out?ถ้าจะพิสูจน์เรื่องหนึ่งกับจำนวนเต็ม $n$ ทุกตัว โดยแบ่งเป็นสองกรณี · การแบ่งแบบไหนไม่มีอะไรตกหล่น?
   Answer:เฉลย: $n=2k$ or $n=2k+1$ — every integer is exactly one of the two$n=2k$ หรือ $n=2k+1$ — จำนวนเต็มทุกตัวเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งพอดีThe cases must cover everything: $n=2k\ \text{or}\ 2k+1\ \Rightarrow\ \text{every integer, exactly one}$   $\text{prime / composite}\ \Rightarrow\ 1,\ 0\ \text{left out}$   $\text{positive / negative}\ \Rightarrow\ 0\ \text{left out}$ Check the cover before you write 'Case 1'. That check is a mark.กรณีต้องคลุมทุกอย่าง: $n=2k\ \text{or}\ 2k+1\ \Rightarrow\ \text{every integer, exactly one}$   $\text{prime / composite}\ \Rightarrow\ 1,\ 0\ \text{left out}$   $\text{positive / negative}\ \Rightarrow\ 0\ \text{left out}$ ตรวจว่าคลุมครบก่อนเขียน 'กรณีที่ 1' การตรวจนี้มีคะแนน
2. All ten cases done, the last digits of $n^{2}$ come out as $0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$. Which sentence finishes the proof that no square ends in $7$?ไล่ครบสิบกรณีแล้ว หลักหน่วยของ $n^{2}$ ออกมาเป็น $0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$ · ประโยคไหนปิดบทพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนกำลังสองลงท้ายด้วย $7$?
   Answer:เฉลย: None of the ten cases ends in $7$, and the ten cases cover every integer — therefore no square ends in $7$.ไม่มีกรณีไหนในสิบกรณีที่ลงท้ายด้วย $7$ และสิบกรณีนั้นคลุมจำนวนเต็มทุกตัว — ดังนั้นไม่มีจำนวนกำลังสองลงท้ายด้วย $7$Check them all, then say so: $\text{last digits of }n^2:\ 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$   $\text{no }7$   $\text{ten cases}=\text{every integer}$ Write only the first half and an examiner sees a list of examples.ตรวจให้ครบ แล้วบอกว่าครบ: $\text{last digits of }n^2:\ 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$   $\text{no }7$   $\text{ten cases}=\text{every integer}$ เขียนแค่ครึ่งแรก กรรมการเห็นเป็นแค่ลิสต์ตัวอย่าง

5. Assume the oppositeสมมติตรงข้าม

Assume the claim is false and walk on to something impossible. The impossible thing was the assumption.สมมติว่าข้อความเท็จ เดินต่อจนเจอสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ — สิ่งนั้นคือข้อสมมติเอง

Proof by contradiction: assume the oppositeการพิสูจน์แบบขัดแย้ง: สมมติสิ่งที่ตรงข้าม

Use it when a claim gives nothing to start an ordinary proof from.ใช้เมื่อข้ออ้างไม่มีอะไรให้เริ่มพิสูจน์แบบตรงได้

Prove $\sqrt{2}$ is irrationalพิสูจน์ว่า $\sqrt{2}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

1. $\text{assume }\sqrt{2}=\frac{a}{b}\text{, lowest terms}$Assume the OPPOSITE of what you want.สมมติสิ่งตรงข้ามกับที่จะพิสูจน์
2. $2=\frac{a^{2}}{b^{2}}$
3. $a^{2}=2b^{2}$
4. $a^{2}\text{ is even}$Odd squared stays odd: the warm-up.คี่ยกกำลังสองยังคี่ — ข้ออุ่นเครื่อง
5. $a=2k$
6. $4k^{2}=2b^{2}$
7. $b^{2}=2k^{2}$
8. $b\text{ is even too}$Same argument on $b$.เหตุผลเดิมใช้กับ $b$
9. $2\mid a\text{ and }2\mid b$But line one said lowest terms.แต่บรรทัดแรกสมมติว่าอย่างต่ำแล้ว
10. $\sqrt{2}\text{ is irrational}$The assumption broke itself. Write this last line.ข้อสมมติหักล้างตัวเอง — เขียนบรรทัดสุดท้ายนี้ด้วย

1. You are asked to prove that $\sqrt2$ is irrational, by contradiction. What is the first line?โจทย์ให้พิสูจน์ว่า $\sqrt2$ เป็นอตรรกยะ โดยใช้ข้อขัดแย้ง · บรรทัดแรกคืออะไร?
   Answer:เฉลย: Assume the negation: $\sqrt2=\frac{a}{b}$, integers, $b\neq0$, in lowest termsสมมตินิเสธ: $\sqrt2=\frac{a}{b}$ เป็นจำนวนเต็ม $b\neq0$ อยู่ในรูปอย่างต่ำStart from the negation: $\text{claim}:\ \sqrt2\ \text{is irrational}$   $\text{assume}:\ \sqrt2=\dfrac{a}{b},\ a,b\ \text{integers},\ b\ne 0$   $\text{and}\ \dfrac{a}{b}\ \text{in lowest terms}$ Any fraction cancels down, so 'lowest terms' is free. It is the part that breaks.เริ่มจากนิเสธ: $\text{claim}:\ \sqrt2\ \text{is irrational}$   $\text{assume}:\ \sqrt2=\dfrac{a}{b},\ a,b\ \text{integers},\ b\ne 0$   $\text{and}\ \dfrac{a}{b}\ \text{in lowest terms}$ เศษส่วนไหนก็ทอนได้ 'รูปอย่างต่ำ' เลยสมมติได้ฟรี และมันคือจุดที่จะพัง
2. Square both sides of $\sqrt2=\dfrac{a}{b}$ and clear the fraction. What comes out?ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $\sqrt2=\dfrac{a}{b}$ แล้วกำจัดเศษส่วน · ได้อะไรออกมา?
   Answer:เฉลย: $2=\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \;\Rightarrow\; a^{2}=2b^{2}$Both parts get squared: $2=\dfrac{a^2}{b^2}$   $a^2=2b^2$   $a^2\ \text{even}\ \Rightarrow\ a\ \text{even}$ The last step is the warm-up: an odd number squared is odd.ยกกำลังสองทั้งเศษและส่วน: $2=\dfrac{a^2}{b^2}$   $a^2=2b^2$   $a^2\ \text{even}\ \Rightarrow\ a\ \text{even}$ ขั้นสุดท้ายคือข้ออุ่นเครื่อง จำนวนคี่ยกกำลังสองได้คี่
3. Carry on: $a$ is even, so $a=2c$. Then $a^{2}=2b^{2}$ becomes $4c^{2}=2b^{2}$, so $b^{2}=2c^{2}$ and $b$ is even too. Both $a$ and $b$ are even. Write down the whole number that must therefore divide both of them.เดินต่อ: $a$ เป็นคู่ จึงเขียน $a=2c$ · แล้ว $a^{2}=2b^{2}$ กลายเป็น $4c^{2}=2b^{2}$ นั่นคือ $b^{2}=2c^{2}$ · ดังนั้น $b$ ก็เป็นคู่ด้วย · ทั้ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนคู่ · เขียนจำนวนเต็มที่ต้องหารทั้งคู่ลงตัว
   Answer:เฉลย: $2$  — and line one said the fraction was already in its lowest termsThe contradiction is in the assumption: $2\mid a\ \text{and}\ 2\mid b$   $\Rightarrow\ \dfrac{a}{b}\ \text{not in lowest terms}$   $\text{contradicts line 1}\ \Rightarrow\ \sqrt2\ \text{irrational}$ At the end you must point back to the opening assumption.ข้อขัดแย้งอยู่ที่ข้อสมมติ: $2\mid a\ \text{and}\ 2\mid b$   $\Rightarrow\ \dfrac{a}{b}\ \text{not in lowest terms}$   $\text{contradicts line 1}\ \Rightarrow\ \sqrt2\ \text{irrational}$ ตอนจบต้องชี้กลับไปที่ข้อสมมติบรรทัดแรก
4. The other classic. Assume there are only finitely many primes $p_{1},p_{2},\dots,p_{k}$, and build $N=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}+1$. Where is the contradiction?อีกข้อคลาสสิก · สมมติว่าจำนวนเฉพาะมีจำกัด คือ $p_{1},p_{2},\dots,p_{k}$ แล้วสร้าง $N=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}+1$ · ข้อขัดแย้งอยู่ตรงไหน?
   Answer:เฉลย: $N$ has a prime factor that is not on the list, so no finite list can hold every prime$N$ มีตัวประกอบเฉพาะที่ไม่อยู่ในลิสต์ ดังนั้นลิสต์จำกัดใดๆ ก็บรรจุจำนวนเฉพาะครบทุกตัวไม่ได้The list missed a prime: $N=p_1p_2\cdots p_k+1$   $N\div p_i\ \text{leaves }1\ \Rightarrow\ p_i\nmid N$   $N>1\ \Rightarrow\ N\ \text{has a prime factor, not on the list}$ Same plan as $\sqrt2$: assume the negation, build one number, break it.ลิสต์ตกจำนวนเฉพาะไปตัวหนึ่ง: $N=p_1p_2\cdots p_k+1$   $N\div p_i\ \text{leaves }1\ \Rightarrow\ p_i\nmid N$   $N>1\ \Rightarrow\ N\ \text{has a prime factor, not on the list}$ แผนเดียวกับ $\sqrt2$ สมมตินิเสธ สร้างจำนวนขึ้นมาหนึ่งตัว แล้วทำให้ข้อสมมติพัง

6. Hunt the counterexampleล่าตัวอย่างค้าน

Some false claims survive thirty tests. One counterexample, aimed with a reason, still ends them.ข้อความเท็จบางอันรอดสามสิบกรณีได้ — ตัวอย่างค้านตัวเดียวที่เล็งไว้ ก็ยังจบมันได้

Almost always true is still falseจริงเกือบตลอด ก็ยังเท็จอยู่ดี

Prime up to $n=39$. Find the break with a reason, never by guessing.เป็นจำนวนเฉพาะถึง $n=39$ · หาจุดที่พังด้วยเหตุผล ไม่ใช่เดาสุ่ม

A parallel claim: is $n^{2}+n+17$ always prime?ข้ออ้างคล้ายกัน: $n^{2}+n+17$ เป็นจำนวนเฉพาะเสมอไหม?

1. $n=17$Try $n$ equal to the constant.ลอง $n$ เท่ากับค่าคงที่
2. $17^{2}+17+17=17\times19$Every term now shares a factor of $17$.ทุกพจน์มี $17$ เป็นตัวประกอบ
3. $n=16$Check one step below.ตรวจขั้นที่อยู่ต่ำลงมาหนึ่งขั้น
4. $16^{2}+16+17$
5. $=289$
6. $=17^{2}$Found it, without testing $n=1$ to $15$ one by one.เจอแล้ว โดยไม่ต้องไล่ $n=1$ ถึง $15$ ทีละตัว

1. Find the smallest positive integer $n$ for which $n^{2}+n+41$ is not prime.หาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้ $n^{2}+n+41$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
   Answer:เฉลย: $n=40$:  $1600+40+41=1681=41^{2}$Prime to $39$, then not: $40^2+40+41=1681$   $1681=41^2$   $n=1\ \text{to}\ 39\ \Rightarrow\ \text{all prime}$ The search was not luck: make $41$ a factor, then check nearby values.เป็นจำนวนเฉพาะถึง $39$ แล้วก็ไม่: $40^2+40+41=1681$   $1681=41^2$   $n=1\ \text{to}\ 39\ \Rightarrow\ \text{all prime}$ ไม่ได้หาเจอเพราะฟลุก ทำให้ $41$ เป็นตัวประกอบ แล้วค่อยไล่ค่าที่อยู่ใกล้ๆ
2. Claim: "if $n^{2}$ is a multiple of $4$, then $n$ is a multiple of $4$". Which value of $n$ disproves it?ข้อความ: "ถ้า $n^{2}$ เป็นพหุคูณของ $4$ แล้ว $n$ เป็นพหุคูณของ $4$" · ค่า $n$ ตัวไหนค้านข้อความนี้ได้?
   Answer:เฉลย: $n=6$ — $36=4\times9$, yet $6$ is not a multiple of $4$$n=6$ — $36=4\times9$ แต่ $6$ ไม่ใช่พหุคูณของ $4$Both halves, or nothing: $n=6:\ 36=4\times 9\ \checkmark\ \text{condition met}$   $6\ne 4k\ \checkmark\ \text{conclusion broken}$   $n=8:\ \text{claim holds}\ \times$   $n=5:\ \text{condition fails}\ \times$ต้องครบสองส่วน ไม่งั้นได้ศูนย์: $n=6:\ 36=4\times 9\ \checkmark\ \text{condition met}$   $6\ne 4k\ \checkmark\ \text{conclusion broken}$   $n=8:\ \text{claim holds}\ \times$   $n=5:\ \text{condition fails}\ \times$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Find the broken line in someone else's proof; finish your own so it scores.หาบรรทัดที่พังในบทพิสูจน์ของคนอื่น · ปิดบทพิสูจน์ของตัวเองให้ได้คะแนน

Five question shapes, five toolsห้าหน้าตาโจทย์ · ห้าท่า

Marked on structure: each line follows from the last. The last line is a sentence.ตรวจที่โครงสร้าง: ทุกบรรทัดต่อจากบรรทัดก่อน · บรรทัดสุดท้ายเป็นประโยค

1. A student "proves" that $2=1$. Let $a=b$. Then:
   (1) $a^{2}=ab$
   (2) $a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$
   (3) $(a-b)(a+b)=b(a-b)$
   (4) $a+b=b$
   (5) $2b=b$, so $2=1$.
   Which is the first line that is not allowed?  (2 marks)นักเรียนคนหนึ่ง "พิสูจน์" ว่า $2=1$ · ให้ $a=b$ แล้ว:
   (1) $a^{2}=ab$
   (2) $a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$
   (3) $(a-b)(a+b)=b(a-b)$
   (4) $a+b=b$
   (5) $2b=b$ ดังนั้น $2=1$
   บรรทัดไหนคือบรรทัดแรกที่ทำไม่ได้?  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: Line (4): both sides were divided by $a-b$, which is $0$บรรทัด (4): หารทั้งสองข้างด้วย $a-b$ ซึ่งเท่ากับ $0$Cancelling a bracket is dividing: $a=b\ \Rightarrow\ a-b=0$   $\text{line (4)}:\ \div(a-b)=\div 0\ \times$   $\text{every line after (4) is worth nothing}$ You must be able to say the bracket you cancel is not zero.ตัดวงเล็บทิ้ง คือการหาร: $a=b\ \Rightarrow\ a-b=0$   $\text{line (4)}:\ \div(a-b)=\div 0\ \times$   $\text{every line after (4) is worth nothing}$ ต้องบอกได้ว่าวงเล็บที่ตัดทิ้งไม่เท่ากับศูนย์
2. Exam: Prove that the sum of the squares of any two consecutive integers is odd. The proof opens "Let the integers be $n$ and $n+1$".  Expand and simplify $n^{2}+(n+1)^{2}$.  (3 marks)ข้อสอบ: จงพิสูจน์ว่าผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มที่ติดกันสองตัวเป็นจำนวนคี่ · บทพิสูจน์เปิดด้วย "ให้จำนวนทั้งสองเป็น $n$ และ $n+1$"  จงกระจายและจัดรูป $n^{2}+(n+1)^{2}$  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $n^{2}+(n+1)^{2}=2n^{2}+2n+1=2(n^{2}+n)+1$3 marks: $\text{M1}\ \ \text{name them}\ n\ \text{and}\ n+1$   $\text{A1}\ \ n^2+(n+1)^2=2n^2+2n+1$   $\text{A1}\ \ =2(n^2+n)+1\ \Rightarrow\ \text{odd}$ The closing sentence is a mark. Correct algebra with no conclusion misses it.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{name them}\ n\ \text{and}\ n+1$   $\text{A1}\ \ n^2+(n+1)^2=2n^2+2n+1$   $\text{A1}\ \ =2(n^2+n)+1\ \Rightarrow\ \text{odd}$ ประโยคสรุปมีคะแนนของมันเอง พีชคณิตถูกแต่ไม่สรุป ก็ไม่ได้
3. Exam: "Prove that the sum of any three consecutive integers is a multiple of $3$. (2 marks)" Three answers come in. Which one gets both marks?ข้อสอบ: "จงพิสูจน์ว่าผลบวกของจำนวนเต็มที่ติดกันสามตัวใดๆ เป็นพหุคูณของ $3$ (2 คะแนน)" · มีคำตอบส่งมาสามแบบ · แบบไหนได้ครบสองคะแนน?
   Answer:เฉลย: $n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)$ — an integer times $3$, then stated in words$n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)$ — คือ $3$ คูณจำนวนเต็ม แล้วสรุปเป็นประโยคName, do, then state: $n+(n+1)+(n+2)=3n+3$   $=3(n+1)$   $n+1\ \text{integer}\ \Rightarrow\ \text{multiple of }3$ $3n+3$ scores the method only. A proof ends with a sentence.ตั้งชื่อ ทำพีชคณิต แล้วสรุป: $n+(n+1)+(n+2)=3n+3$   $=3(n+1)$   $n+1\ \text{integer}\ \Rightarrow\ \text{multiple of }3$ $3n+3$ ได้แค่คะแนนวิธีทำ การพิสูจน์ต้องจบด้วยประโยค
4. Exam: Prove that the product of any two consecutive even numbers is a multiple of $8$. The proof opens "Let the numbers be $2n$ and $2n+2$, where $n$ is an integer".  Write their product in fully factorised form — the line the rest of the proof stands on.  (5 marks)ข้อสอบ: จงพิสูจน์ว่าผลคูณของจำนวนคู่ที่ติดกันสองตัวใดๆ เป็นพหุคูณของ $8$ · บทพิสูจน์เปิดด้วย "ให้จำนวนทั้งสองเป็น $2n$ และ $2n+2$ โดย $n$ เป็นจำนวนเต็ม"  จงเขียนผลคูณของมันในรูปที่แยกตัวประกอบเต็มที่ — บรรทัดที่บทพิสูจน์ทั้งข้อยืนอยู่บนนั้น  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $2n(2n+2)=4n(n+1)$ — and $n(n+1)$ is a product of two consecutive integers, so it is even, which makes $4n(n+1)$ a multiple of $8$5 marks: $\text{M1}\ \ 2n\ \text{and}\ 2n+2,\ n\ \text{an integer}$   $\text{M1}\ \ 2n(2n+2)=4n^2+4n$   $\text{A1}\ \ =4n(n+1)$   $\text{B1}\ \ n(n+1)\ \text{even}\ \text{(consecutive integers)}$   $\text{A1}\ \ 4\times\text{even}=8\times\text{integer}$ $4n(n+1)$ alone proves a multiple of $4$. Marks 4 and 5 double it.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ 2n\ \text{and}\ 2n+2,\ n\ \text{an integer}$   $\text{M1}\ \ 2n(2n+2)=4n^2+4n$   $\text{A1}\ \ =4n(n+1)$   $\text{B1}\ \ n(n+1)\ \text{even}\ \text{(consecutive integers)}$   $\text{A1}\ \ 4\times\text{even}=8\times\text{integer}$ $4n(n+1)$ เดี่ยวๆ พิสูจน์ได้แค่พหุคูณของ $4$ คะแนนที่ 4 กับ 5 คือตัวที่ทำให้เป็น $8$
5. Two claims about positive integers $n$:
   (i) $n^{2}+3n$ is always even.
   (ii) $n^{2}+n+5$ is always prime.
   One of them can be finished off with a single counterexample; the other one cannot.  Decide which, and give the smallest positive integer $n$ that settles it.ข้อความสองข้อเกี่ยวกับจำนวนเต็มบวก $n$:
   (i) $n^{2}+3n$ เป็นจำนวนคู่เสมอ
   (ii) $n^{2}+n+5$ เป็นจำนวนเฉพาะเสมอ
   มีข้อหนึ่งที่จบได้ด้วย counterexample ตัวเดียว อีกข้อทำแบบนั้นไม่ได้  จงตัดสินว่าข้อไหน แล้วให้จำนวนเต็มบวก $n$ ที่เล็กที่สุดที่ปิดข้อนั้น
   Answer:เฉลย: (ii) is the false one: $n=4$ gives $16+4+5=25=5^{2}$, which is not prime  · (i) is true, so no counterexample exists for itParity is proved, primes are hunted: $\text{(i)}\ n^2+3n=n(n+3)$   $n\ \text{even}\ \Rightarrow\ n\ \text{even};\ \ n\ \text{odd}\ \Rightarrow\ n+3\ \text{even}$   $\Rightarrow\ \text{(i) always even, no counterexample}$   $\text{(ii)}\ n=1,2,3\ \to\ 7,\ 11,\ 17\ \text{prime}$   $n=4:\ 16+4+5=25=5^2\ \times$ Algebra can force even. Nothing forces prime. So test 'always prime' with values.คู่คี่ใช้พิสูจน์ จำนวนเฉพาะใช้ล่า: $\text{(i)}\ n^2+3n=n(n+3)$   $n\ \text{even}\ \Rightarrow\ n\ \text{even};\ \ n\ \text{odd}\ \Rightarrow\ n+3\ \text{even}$   $\Rightarrow\ \text{(i) always even, no counterexample}$   $\text{(ii)}\ n=1,2,3\ \to\ 7,\ 11,\ 17\ \text{prime}$   $n=4:\ 16+4+5=25=5^2\ \times$ พีชคณิตบังคับให้เป็นคู่ได้ แต่บังคับให้เป็นจำนวนเฉพาะไม่ได้ 'เฉพาะเสมอ' จึงต้องโจมตีด้วยการแทนค่า

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Prove that the sum of any two odd numbers is even.
   Answer:เฉลย: Let the numbers be $2m+1$ and $2n+1$, where $m$ and $n$ are integers. Their sum is $2m+2n+2=2(m+n+1)$. Since $m+n+1$ is an integer, the sum is $2\times$ an integer, so it is even.Two things are marked here: two different letters, and a closing sentence.สิ่งที่ถูกตรวจมีสองอย่าง: ใช้ตัวอักษรสองตัวที่ต่างกัน และเขียนประโยคสรุป
2. Prove that $(2n+3)^{2}-(2n+1)^{2}$ is a multiple of $8$ for every integer $n$.
   Answer:เฉลย: $(4n^{2}+12n+9)-(4n^{2}+4n+1)=8n+8=8(n+1)$. Since $n+1$ is an integer, the expression is a multiple of $8$.Same method, heavier algebra: two expansions and a subtraction, so every sign matters.ท่าเดิม แต่พีชคณิตหนักขึ้น: กระจายสองก้อนแล้วลบกัน เครื่องหมายทุกตัวสำคัญ
3. Prove that the product of any two odd numbers is odd.
   Answer:เฉลย: $(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1$, which is one more than $2\times$ an integer, so it is odd.Multiply instead of add: the only change. This catches anyone who memorised the sum proof.เปลี่ยนจากบวกเป็นคูณ เปลี่ยนแค่นั้น · จับคนที่ท่องบทพิสูจน์ของผลบวกมาแทนที่จะจำวิธี
4. Prove by exhaustion that $n^{2}+n+1$ is odd for every integer $n$.
   Answer:เฉลย: Case 1, $n=2k$:  $4k^{2}+2k+1=2(2k^{2}+k)+1$, odd.  Case 2, $n=2k+1$:  $(4k^{2}+4k+1)+(2k+1)+1=4k^{2}+6k+3=2(2k^{2}+3k+1)+1$, odd. Every integer is even or odd, so the result holds for all $n$.Level 2's case split feeds level 1's algebra. The last sentence must say both cases cover every integer.การแบ่งกรณีจากขั้นที่ 2 ป้อนเข้าพีชคณิตของขั้นที่ 1 · ประโยคสุดท้ายต้องบอกว่าสองกรณีคลุมจำนวนเต็มทุกตัว
5. A student writes: "Let the two odd numbers be $2n+1$ and $2n+1$. Their sum is $4n+2=2(2n+1)$, which is even. Proved." Find the error and repair the proof.
   Answer:เฉลย: Both numbers were given the same letter, so only the case "an odd number plus itself" was proved. Repair: let them be $2m+1$ and $2n+1$, giving $2m+2n+2=2(m+n+1)$, which is even.Every calculation is correct, but the error is in the naming, one line before the algebra.การคำนวณถูกทุกบรรทัด แต่ที่ผิดคือการตั้งชื่อ ซึ่งอยู่ก่อนพีชคณิตหนึ่งบรรทัด
6. Disprove the statement: "$n^{2}+3n+1$ is prime for all positive integers $n$." (2 marks)
   Answer:เฉลย: $n=6$:  $36+18+1=55=5\times11$, which is not prime. So the statement is false.Disprove needs three parts: one value, the arithmetic in full, and a sentence saying it is false."Disprove" ต้องการสามส่วน: ค่าหนึ่งค่า การคำนวณเต็ม และประโยคที่บอกว่าข้อความเป็นเท็จ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี