A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: not required in 9709
Proof by contradiction การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Prove that $\sqrt2$ is irrational""พิสูจน์ว่า $\sqrt2$ เป็นจำนวนอตรรกยะ" | Assume $\sqrt2=\tfrac{p}{q}$ in lowest terms → force both evenสมมติ $\sqrt2=\tfrac{p}{q}$ เศษส่วนอย่างต่ำ → บังคับให้ทั้งคู่เป็นจำนวนคู่ | try → ลอง → |
| "Prove there are infinitely many primes""พิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะไม่จำกัด" | Assume finitely many → build $N=p_1p_2\cdots p_n+1$สมมติว่ามีจำกัด → สร้าง $N=p_1p_2\cdots p_n+1$ | try → ลอง → |
| "Prove that if $n^2$ is even, $n$ is even""พิสูจน์ว่าถ้า $n^2$ เป็นจำนวนคู่ แล้ว $n$ เป็นจำนวนคู่" | Assume $n$ odd → $n^2$ odd → contradictionสมมติ $n$ เป็นคี่ → $n^2$ เป็นคี่ → ขัดแย้ง | try → ลอง → |
| Any "prove that … is not / cannot"โจทย์ "พิสูจน์ว่า … ไม่เป็น / เป็นไปไม่ได้" | Assume it is, chase the consequences to something impossibleสมมติว่าเป็น แล้วไล่ผลจนเจอสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
The recipe สูตรสำเร็จ1. Assume the opposite · 2. Deduce logically · 3. Reach a contradiction · 4. Conclude
Parity คู่-คี่even $=2k$, odd $=2k+1$
Rational จำนวนตรรกยะ$\tfrac{p}{q}$, $q\neq0$, HCF$(p,q)=1$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Prove by contradiction that $\sqrt{2}$ is irrational. (5 marks)
B1
Assume $\sqrt2$ is rational: $\sqrt2=\dfrac{p}{q}$ with $p,q$ integers, $q\neq0$, fraction in lowest terms.
M1
Square: $2q^2=p^2$, so $p^2$ is even, hence $p$ is even. Write $p=2k$.
M1
Substitute: $2q^2=4k^2 \Rightarrow q^2=2k^2$, so $q$ is also even.
A1
Both $p$ and $q$ even contradicts "lowest terms".
A1
So the assumption is false: $\sqrt2$ is irrational. ∎
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Prove by contradiction that there is no greatest even integer.3 markssolution ▾
Assume $N$ is the greatest even integer. Then $N+2$ is even and $N+2>N$ — contradicting that $N$ is greatest. So no greatest even integer exists. ∎
P2. Prove by contradiction that if $n^2$ is odd, then $n$ is odd.4 markssolution ▾
Assume $n^2$ odd but $n$ even: $n=2k$. Then $n^2=4k^2=2(2k^2)$ is even — contradicting $n^2$ odd. Hence $n$ is odd. ∎
Vocab ศัพท์ต้องรู้
proof การพิสูจน์ · contradiction ข้อขัดแย้ง · assume สมมติ · rational / irrational จำนวนตรรกยะ / อตรรกยะ · even / odd จำนวนคู่ / คี่ · lowest terms เศษส่วนอย่างต่ำ
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Open with the assumption, close with the conclusion เปิดด้วยสมมติฐาน ปิดด้วยบทสรุป"Assume, for contradiction, that…" at the start and "this contradicts… so the statement is true" at the end are each worth a mark.
✗Lowest terms matters อย่าลืม "เศษส่วนอย่างต่ำ"In the $\sqrt2$ proof the contradiction is the shared factor 2 — if you never said "lowest terms", there is nothing to contradict.
✗Negate correctly ปฏิเสธข้อความให้ถูกThe opposite of "if $n^2$ is odd then $n$ is odd" is "$n^2$ is odd and $n$ is even" — keep the hypothesis, negate only the conclusion.
✗Use definitions, not examples ใช้นิยาม ไม่ใช่ตัวอย่างChecking a few numbers is not a proof. Work in general symbols: even $=2k$, odd $=2k+1$, rational $=\tfrac{p}{q}$.
✗Define every symbol you introduce นิยามสัญลักษณ์ให้ครบThe setup line should state the conditions in full — "$p,q$ integers, $q\neq0$, in lowest terms". Missing conditions can cost the opening mark.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ