A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: not required in 9709
Proof by contradiction การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อProofการพิสูจน์
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงProof laddersชุดไต่ระดับ · การพิสูจน์
Proof by contradiction · progressการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Prove that $\sqrt2$ is irrational""พิสูจน์ว่า $\sqrt2$ เป็นจำนวนอตรรกยะ" | Assume $\sqrt2=\tfrac{p}{q}$ in lowest terms → force both evenสมมติ $\sqrt2=\tfrac{p}{q}$ เศษส่วนอย่างต่ำ → บังคับให้ทั้งคู่เป็นจำนวนคู่ | try → ลอง → |
| "Prove there are infinitely many primes""พิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะไม่จำกัด" | Assume finitely many → build $N=p_1p_2\cdots p_n+1$สมมติว่ามีจำกัด → สร้าง $N=p_1p_2\cdots p_n+1$ | try → ลอง → |
| "Prove that if $n^2$ is even, $n$ is even""พิสูจน์ว่าถ้า $n^2$ เป็นจำนวนคู่ แล้ว $n$ เป็นจำนวนคู่" | Assume $n$ odd → $n^2$ odd → contradictionสมมติ $n$ เป็นคี่ → $n^2$ เป็นคี่ → ขัดแย้ง | try → ลอง → |
| Any "prove that … is not / cannot"โจทย์ "พิสูจน์ว่า … ไม่เป็น / เป็นไปไม่ได้" | Assume it is, chase the consequences to something impossibleสมมติว่าเป็น แล้วไล่ผลจนเจอสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
The recipe สูตรสำเร็จ1. Assume the opposite · 2. Deduce logically · 3. Reach a contradiction · 4. Conclude
Parity คู่-คี่even $=2k$, odd $=2k+1$
Rational จำนวนตรรกยะ$\tfrac{p}{q}$, $q\neq0$, HCF$(p,q)=1$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Prove by contradiction that $\sqrt{2}$ is irrational. (5 marks)
B1
Assume $\sqrt2$ is rational: $\sqrt2=\dfrac{p}{q}$ with $p,q$ integers, $q\neq0$, fraction in lowest terms.
M1
Square: $2q^2=p^2$, so $p^2$ is even, hence $p$ is even. Write $p=2k$.
M1
Substitute: $2q^2=4k^2 \Rightarrow q^2=2k^2$, so $q$ is also even.
A1
Both $p$ and $q$ even contradicts "lowest terms".
A1
So the assumption is false: $\sqrt2$ is irrational. ∎
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Prove by contradiction that there is no greatest even integer.3 markssolution ▾
Assume $N$ is the greatest even integer. Then $N+2$ is even and $N+2>N$ — contradicting that $N$ is greatest. So no greatest even integer exists. ∎
P2. Prove by contradiction that if $n^2$ is odd, then $n$ is odd.4 markssolution ▾
Assume $n^2$ odd but $n$ even: $n=2k$. Then $n^2=4k^2=2(2k^2)$ is even — contradicting $n^2$ odd. Hence $n$ is odd. ∎
Vocab ศัพท์ต้องรู้
proof การพิสูจน์ · contradiction ข้อขัดแย้ง · assume สมมติ · rational / irrational จำนวนตรรกยะ / อตรรกยะ · even / odd จำนวนคู่ / คี่ · lowest terms เศษส่วนอย่างต่ำ
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Open with the assumption, close with the conclusion เปิดด้วยสมมติฐาน ปิดด้วยบทสรุป"Assume, for contradiction, that…" at the start and "this contradicts… so the statement is true" at the end are each worth a mark.
✗Lowest terms matters อย่าลืม "เศษส่วนอย่างต่ำ"In the $\sqrt2$ proof the contradiction is the shared factor 2 — if you never said "lowest terms", there is nothing to contradict.
✗Negate correctly ปฏิเสธข้อความให้ถูกThe opposite of "if $n^2$ is odd then $n$ is odd" is "$n^2$ is odd and $n$ is even" — keep the hypothesis, negate only the conclusion.
✗Use definitions, not examples ใช้นิยาม ไม่ใช่ตัวอย่างChecking a few numbers is not a proof. Work in general symbols: even $=2k$, odd $=2k+1$, rational $=\tfrac{p}{q}$.
✗Define every symbol you introduce นิยามสัญลักษณ์ให้ครบThe setup line should state the conditions in full — "$p,q$ integers, $q\neq0$, in lowest terms". Missing conditions can cost the opening mark.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 4 paperข้อสอบ Pure 4
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย