Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Vectors in 3-Dเวกเตอร์สามมิติ

A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two things you already know from 2-Dสองอย่างที่รู้อยู่แล้วจาก 2 มิติ

In 3-D the only change is one extra number in each column. Both facts still work.ใน 3 มิติ เปลี่ยนแค่เพิ่มเลขอีกตัวในแต่ละคอลัมน์ · ทั้งสองข้อยังใช้ได้เหมือนเดิม

  1. $A(1,2)$ and $B(5,5)$. Find the distance $AB$.$A(1,2)$ กับ $B(5,5)$ · หาระยะ $AB$
    Answer:เฉลย: $AB=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5$One more square under the root: $AB=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$   $\text{3-D}:\ \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}$เพิ่มอีกหนึ่งกำลังสองใต้ราก: $AB=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$   $\text{3-D}:\ \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}$
  2. $A$ and $B$ have position vectors $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$. Which one is $\overrightarrow{AB}$, the vector from $A$ to $B$?$A$ กับ $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่งเป็น $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ · อันไหนคือ $\overrightarrow{AB}$ เวกเตอร์จาก $A$ ไป $B$?
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$Finish minus start: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$   $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\overrightarrow{BA}\ \text{(opposite way)}$   $\mathbf{a}+\mathbf{b}\ \times\ \text{(a joining vector subtracts)}$ Feeding a position vector into a formula that wants a joining one is the main slip here.ปลายทางลบต้นทาง: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$   $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\overrightarrow{BA}\ \text{(opposite way)}$   $\mathbf{a}+\mathbf{b}\ \times\ \text{(a joining vector subtracts)}$ เอาเวกเตอร์ตำแหน่งไปใส่สูตรที่ต้องการเวกเตอร์เชื่อม · นี่คือพลาดหลักของบทนี้

2. Points in 3-D and the distance between themจุดใน 3 มิติ และระยะระหว่างจุด

A third component joins in — every 2-D formula grows by exactly one term.มีองค์ประกอบตัวที่สามเข้ามา — สูตร 2 มิติทุกสูตรยาวขึ้นแค่หนึ่งพจน์

One more row, one more squareเพิ่มอีกหนึ่งแถว อีกหนึ่งกำลังสอง

  1. $A(2,-1,3)$ and $B(5,3,15)$. Which column vector is $\overrightarrow{AB}$?$A(2,-1,3)$ กับ $B(5,3,15)$ · เวกเตอร์หลักไหนคือ $\overrightarrow{AB}$?
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}5-2\\3-(-1)\\15-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\12\end{pmatrix}$2-D rule with a third row: $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}5-2\\3-(-1)\\15-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\12\end{pmatrix}$   $3-(-1)=4\ \text{, not}\ 2$กฎ 2 มิติ เพิ่มแถวที่สาม: $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}5-2\\3-(-1)\\15-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\12\end{pmatrix}$   $3-(-1)=4\ \text{, not}\ 2$
  2. Same two points, $A(2,-1,3)$ and $B(5,3,15)$. Find the distance $AB$.จุดคู่เดิม $A(2,-1,3)$ กับ $B(5,3,15)$ · หาระยะ $AB$
    Answer:เฉลย: $AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}+12^{2}}=\sqrt{169}=13$Memorise the box $3,4,12,13$: $9+16+144=169$   $AB=\sqrt{169}=13$ Examiners like whole-number distances, so this box turns up constantly.จำกล่อง $3,4,12,13$ ไว้: $9+16+144=169$   $AB=\sqrt{169}=13$ ผู้ออกข้อสอบชอบระยะที่เป็นจำนวนเต็ม · กล่องนี้จึงโผล่บ่อยมาก

3. The scalar product as a toolผลคูณเชิงสเกลาร์ในฐานะเครื่องมือ

$\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}$ — label the two vectors, substitute, evaluate.$\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}$ — ระบุเวกเตอร์สองตัว · แทนค่า · คิดออกมา

  1. $A(1,3,2)$, $B(3,2,4)$, $C(2,5,4)$. To find angle $BAC$, which two vectors go into the formula?$A(1,3,2)$, $B(3,2,4)$, $C(2,5,4)$ · ถ้าจะหามุม $BAC$ ต้องเอาเวกเตอร์คู่ไหนใส่สูตร?
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$Both arrows leave the vertex: $\angle BAC\ \Rightarrow\ \text{vertex}\ A$   $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$   $\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ Labelling before the formula is what stops the position-vector slip.ลูกศรทั้งสองต้องออกจากจุดยอด: $\angle BAC\ \Rightarrow\ \text{vertex}\ A$   $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$   $\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ ตั้งชื่อก่อนแทนสูตร · กันพลาดเรื่องเวกเตอร์ตำแหน่ง
  2. Now write the substitution — nothing worked out yet. With $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, which line is correct?ทีนี้เขียนบรรทัดแทนค่า — ยังไม่ต้องคิดเลข · เมื่อ $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{2(1)+(-1)(2)+2(2)}{\sqrt{9}\;\sqrt{9}}$Dot product on top: $\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}$   $=\frac{2(1)+(-1)(2)+2(2)}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}\ \sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}$   $=\frac{4}{3\times3}$ That line earns a method mark on its own, so write it before working anything out.ดอตโปรดักต์อยู่ข้างบน: $\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}$   $=\frac{2(1)+(-1)(2)+2(2)}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}\ \sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}$   $=\frac{4}{3\times3}$ บรรทัดนี้ได้คะแนนวิธีทำในตัวเอง · เขียนก่อนคิดเลข
  3. Evaluate it. The top is $2-2+4=4$ and the bottom is $3\times3=9$, so $\cos\theta=\frac{4}{9}$. Find angle $BAC$ in degrees, to $1$ d.p.คิดออกมาให้จบ · ข้างบนคือ $2-2+4=4$ ข้างล่างคือ $3\times3=9$ ดังนั้น $\cos\theta=\frac{4}{9}$ · หามุม $BAC$ เป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $\theta=\cos^{-1}\!\left(\frac{4}{9}\right)=63.6^{\circ}$ (1 d.p.)Label, substitute, evaluate: $\cos\theta=\frac{4}{9}$   $\theta=\cos^{-1}\!\Big(\frac49\Big)=63.6^{\circ}\ \text{(1 d.p.)}$ Three lines, three marks, and no diagram needed anywhere.ตั้งชื่อ · แทนค่า · คิดเลข: $\cos\theta=\frac{4}{9}$   $\theta=\cos^{-1}\!\Big(\frac49\Big)=63.6^{\circ}\ \text{(1 d.p.)}$ สามบรรทัด สามคะแนน · ไม่ต้องวาดรูปเลย
  4. Your turn, start to finish with fresh points. $P(2,3,3)$, $Q(1,1,1)$, $R(5,1,4)$. Find angle $PQR$ in degrees, to $1$ d.p.ตาน้องบ้าง ทำตั้งแต่ต้นจนจบ ด้วยจุดชุดใหม่ · $P(2,3,3)$, $Q(1,1,1)$, $R(5,1,4)$ · หามุม $PQR$ เป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{QP}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix},\ \overrightarrow{QR}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}$, $\cos\theta=\frac{10}{3\times5}=\frac{2}{3}$, $\theta=48.2^{\circ}$The middle letter is the vertex: $\angle PQR\ \Rightarrow\ \text{vertex}\ Q$   $\overrightarrow{QP}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{QR}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}$   $\cos\theta=\frac{4+0+6}{3\times5}=\frac{10}{15}=\frac23$   $\theta=48.2^{\circ}$ตัวอักษรกลาง คือจุดยอด: $\angle PQR\ \Rightarrow\ \text{vertex}\ Q$   $\overrightarrow{QP}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{QR}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}$   $\cos\theta=\frac{4+0+6}{3\times5}=\frac{10}{15}=\frac23$   $\theta=48.2^{\circ}$

4. Lines, and the angle between two linesเส้นตรง และมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$: a point to stand on, a direction to walk. The angle between two lines uses $\mathbf{d}$ only.$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$: จุดที่ยืน กับทิศที่เดิน · มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นใช้แค่ $\mathbf{d}$

  1. A line passes through $A(1,0,2)$ and $B(3,4,8)$. Which is a correct vector equation of that line?เส้นตรงเส้นหนึ่งผ่าน $A(1,0,2)$ และ $B(3,4,8)$ · สมการเวกเตอร์ข้อไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}$Direction is finish minus start: $\mathbf{d}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}$   $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\ \text{is equally correct}$ Only the direction of $\mathbf{d}$ matters; $t$ absorbs any scaling.ทิศทางคือปลายลบต้น: $\mathbf{d}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}$   $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\ \text{is equally correct}$ สำคัญแค่ทิศของ $\mathbf{d}$ · ขนาดถูก $t$ กลืนไปหมด
  2. The point $(7,12,20)$ lies on $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}$. Find the value of $t$ there.จุด $(7,12,20)$ อยู่บนเส้น $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}$ · หาค่า $t$ ที่จุดนั้น
    Answer:เฉลย: $1+2t=7\Rightarrow t=3$  (check: $4(3)=12$ ✓, $2+6(3)=20$ ✓)Solve one row, check the rest: $1+2t=7\ \Rightarrow\ t=3$   $0+4(3)=12\ \checkmark$   $2+6(3)=20\ \checkmark$ “Show that the point lies on $l$” is a standard 2-mark question — this is the whole answer.แก้แถวเดียว แล้วเช็คแถวที่เหลือ: $1+2t=7\ \Rightarrow\ t=3$   $0+4(3)=12\ \checkmark$   $2+6(3)=20\ \checkmark$ “แสดงว่าจุดนี้อยู่บน $l$” เป็นข้อ 2 คะแนนมาตรฐาน · เท่านี้คือคำตอบทั้งหมด
  3. $l_{1}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$ and $l_{2}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}$. Find the acute angle between them, in degrees to $1$ d.p.$l_{1}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$ และ $l_{2}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}$ · หามุมแหลมระหว่างสองเส้น เป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{-8}{7\times3}$, so take $\dfrac{8}{21}$ and $\theta=67.6^{\circ}$ (1 d.p.)A line has no arrow: $\mathbf{d}_{1}\cdot\mathbf{d}_{2}=-2+6-12=-8$   $|\mathbf{d}_{1}|=7,\qquad |\mathbf{d}_{2}|=3$   $\cos\theta=\frac{|-8|}{21}=\frac{8}{21}\ \Rightarrow\ \theta=67.6^{\circ}$ A negative dot product is not a mistake; $\mathbf{d}$ and $-\mathbf{d}$ describe the same line.เส้นตรงไม่มีหัวลูกศร: $\mathbf{d}_{1}\cdot\mathbf{d}_{2}=-2+6-12=-8$   $|\mathbf{d}_{1}|=7,\qquad |\mathbf{d}_{2}|=3$   $\cos\theta=\frac{|-8|}{21}=\frac{8}{21}\ \Rightarrow\ \theta=67.6^{\circ}$ ดอตโปรดักต์ติดลบไม่ใช่ความผิด · $\mathbf{d}$ กับ $-\mathbf{d}$ คือเส้นเดียวกัน

5. The foot of the perpendicularจุดเท้าตั้งฉาก

Four steps in the same order every time: general point, join it to $P$, dot with $\mathbf{d}$, set to zero.สี่ขั้น เรียงลำดับเดิมทุกครั้ง: เขียนจุดทั่วไป · ลากไปหา $P$ · ดอตกับ $\mathbf{d}$ · ให้เท่ากับศูนย์

From $P$, walk to the line and hit it square onจาก $P$ เดินเข้าหาเส้นตรงให้ชนแบบตั้งฉากพอดี

The whole method has exactly one unknown, and it is $t$.ทั้งวิธีมีตัวไม่รู้ค่าตัวเดียว และมันคือ $t$

Foot of the perpendicular from $P(3,4,1)$หาเท้าของเส้นตั้งฉากจาก $P(3,4,1)$

  1. $\mathbf{r}=(1,0,2)+t(2,1,-1)$Ring it ① — "equation one". The given point becomes ②.วง ① ไว้ อ่านว่า "สมการหนึ่ง" จุดที่โจทย์ให้เป็น ②
  2. $P=(3,4,1)$The given point on its own line, named ②.จุดที่โจทย์ให้อยู่คนละบรรทัด ตั้งชื่อ ②
  3. $Q=(1+2t,\;t,\;2-t)$1. Write the GENERAL point on the line. One letter, $t$, carries every position.1. เขียนจุดทั่วไปบนเส้น · ตัวอักษร $t$ ตัวเดียวแทนทุกตำแหน่ง
  4. $\overrightarrow{PQ}=(2t-2,\;t-4,\;1-t)$2. Join $P$ to it: $Q-P$, component by component.2. ลากจาก $P$ ไปหา: $Q-P$ ทีละคอมโพเนนต์
  5. $\overrightarrow{PQ}\cdot\mathbf{d}=6t-9=0$3. Perpendicular to the line means the dot product with the DIRECTION is zero.3. ตั้งฉากกับเส้น แปลว่า dot กับเวกเตอร์ทิศทางได้ศูนย์
  6. $t=1.5$One equation, one unknown.สมการเดียว ตัวไม่รู้ค่าตัวเดียว
  7. $Q=(4,\;1.5,\;0.5)$4. Put $t$ back into the general point. Distance from $P$ is then one modulus away.4. เอา $t$ ใส่กลับในจุดทั่วไป · ระยะจาก $P$ ก็แค่หาขนาดอีกทีเดียว
  1. Step 1. Which column vector is the general point $N$ on $l$?ขั้นที่ 1 · เวกเตอร์หลักไหนคือจุดทั่วไป $N$ บน $l$?
    Answer:เฉลย: $N\left(1+2t,\ 2-t,\ 3+2t\right)$One $t$ picks out the foot: $N=\mathbf{a}+t\mathbf{d}=\begin{pmatrix}1+2t\\2-t\\3+2t\end{pmatrix}$   $\text{the remaining steps hunt for that}\ t$$t$ ค่าเดียว ที่ชี้จุดเท้าตั้งฉาก: $N=\mathbf{a}+t\mathbf{d}=\begin{pmatrix}1+2t\\2-t\\3+2t\end{pmatrix}$   $\text{the remaining steps hunt for that}\ t$
  2. Step 2, on a test case first. Take $t=1$, giving the point $N_{1}(3,1,5)$ on $l$. With $P(7,2,6)$ and $\mathbf{d}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$, work out $\overrightarrow{PN_{1}}\cdot\mathbf{d}$.ขั้นที่ 2 ลองกับเคสทดสอบก่อน · ให้ $t=1$ จะได้จุด $N_{1}(3,1,5)$ บน $l$ · เมื่อ $P(7,2,6)$ และ $\mathbf{d}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ จงหา $\overrightarrow{PN_{1}}\cdot\mathbf{d}$
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{PN_{1}}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}$, so $\overrightarrow{PN_{1}}\cdot\mathbf{d}=-8+1-2=-9$Zero means perpendicular: $N_{1}(3,1,5),\qquad P(7,2,6)$   $\overrightarrow{PN_{1}}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}$   $\overrightarrow{PN_{1}}\cdot\mathbf{d}=-8+1-2=-9\neq 0$   $\Rightarrow\ t=1\ \text{is not the foot}$ Now run the same test with $t$ as a letter and set the result to zero.ได้ศูนย์ แปลว่าตั้งฉาก: $N_{1}(3,1,5),\qquad P(7,2,6)$   $\overrightarrow{PN_{1}}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}$   $\overrightarrow{PN_{1}}\cdot\mathbf{d}=-8+1-2=-9\neq 0$   $\Rightarrow\ t=1\ \text{is not the foot}$ ทำแบบเดิม แต่ปล่อย $t$ เป็นตัวอักษร แล้วให้ผลลัพธ์เท่ากับศูนย์
  3. Step 3, in general. Which vector is the one that has to be perpendicular to $\mathbf{d}$?ขั้นที่ 3 แบบทั่วไป · เวกเตอร์ตัวไหนคือตัวที่ต้องตั้งฉากกับ $\mathbf{d}$?
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=0$, where $\overrightarrow{PN}=\begin{pmatrix}2t-6\\-t\\2t-3\end{pmatrix}$The joining vector carries $t$: $\overrightarrow{PN}=\begin{pmatrix}2t-6\\-t\\2t-3\end{pmatrix}$   $\overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=0$ If $P$ never appears in your working, you are answering a different question.เวกเตอร์เชื่อมคือตัวที่มี $t$: $\overrightarrow{PN}=\begin{pmatrix}2t-6\\-t\\2t-3\end{pmatrix}$   $\overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=0$ ถ้า $P$ ไม่โผล่ในวิธีทำเลย แปลว่ากำลังตอบคนละข้อ
  4. Step 4. Setting $\overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=0$ gives $2(2t-6)+(-1)(-t)+2(2t-3)=0$, which tidies to $9t-18=0$. Find $t$.ขั้นที่ 4 · ตั้ง $\overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=0$ จะได้ $2(2t-6)+(-1)(-t)+2(2t-3)=0$ ซึ่งจัดรูปเป็น $9t-18=0$ · หา $t$
    Answer:เฉลย: $9t=18$, so $t=2$Same test, letter left in: $2(2t-6)+(-1)(-t)+2(2t-3)=0$   $9t-18=0\ \Rightarrow\ t=2$   $\text{check at}\ t=1:\ 9(1)-18=-9\ \checkmark$เทสต์เดิม แต่คงตัวอักษรไว้: $2(2t-6)+(-1)(-t)+2(2t-3)=0$   $9t-18=0\ \Rightarrow\ t=2$   $\text{check at}\ t=1:\ 9(1)-18=-9\ \checkmark$
  5. Finish it: put $t=2$ back into $N\left(1+2t,\ 2-t,\ 3+2t\right)$. What is the $z$-coordinate of the foot $N$?ปิดจ๊อบ: เอา $t=2$ ใส่กลับเข้า $N\left(1+2t,\ 2-t,\ 3+2t\right)$ · พิกัด $z$ ของจุดเท้าตั้งฉาก $N$ คือเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $N(5,\,0,\,7)$, so the $z$-coordinate is $7$Four steps, one unknown, no diagram: $t=2\ \Rightarrow\ N(1+4,\ 2-2,\ 3+4)=N(5,0,7)$   $z=7$   $\text{general point}\to\text{join to}\ P\to\text{dot with}\ \mathbf{d}\to 0$ The same $\overrightarrow{PN}$ gives how far the foot is, in the next level.สี่ขั้น ตัวแปรเดียว ไม่ต้องวาดรูป: $t=2\ \Rightarrow\ N(1+4,\ 2-2,\ 3+4)=N(5,0,7)$   $z=7$   $\text{general point}\to\text{join to}\ P\to\text{dot with}\ \mathbf{d}\to 0$ $\overrightarrow{PN}$ ตัวเดียวกันนี้ จะบอกระยะทางในระดับถัดไป

6. Shortest distance from a point to a lineระยะสั้นที่สุดจากจุดถึงเส้นตรง

Once you have the foot, the distance is one modulus away: $\left|\overrightarrow{PN}\right|$.พอได้จุดเท้าตั้งฉากแล้ว ระยะทางห่างไปแค่การหาขนาดครั้งเดียว: $\left|\overrightarrow{PN}\right|$

The shortest distance IS the perpendicular oneระยะที่สั้นที่สุดคือระยะตามแนวตั้งฉาก

  1. Same line and point as the previous level: $l:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$, $P(7,2,6)$, foot $N(5,0,7)$. Find the shortest distance from $P$ to $l$.เส้นและจุดชุดเดิมจากขั้นที่แล้ว: $l:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$, $P(7,2,6)$, จุดเท้าตั้งฉาก $N(5,0,7)$ · หาระยะสั้นที่สุดจาก $P$ ถึง $l$
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{PN}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$, distance $=\sqrt{4+4+1}=3$Foot, then modulus: $\overrightarrow{PN}=\begin{pmatrix}5-7\\0-2\\7-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$   $|\overrightarrow{PN}|=\sqrt{4+4+1}=3$   $\text{check}:\ 3\lt PA\approx 6.7\ \checkmark$ The shortest distance must beat every other point on the line.หาเท้าตั้งฉาก แล้วหาขนาด: $\overrightarrow{PN}=\begin{pmatrix}5-7\\0-2\\7-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$   $|\overrightarrow{PN}|=\sqrt{4+4+1}=3$   $\text{check}:\ 3\lt PA\approx 6.7\ \checkmark$ ระยะสั้นสุด ต้องน้อยกว่าระยะไปจุดอื่นทุกจุดบนเส้น
  2. In context. A straight pipeline runs along $l:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ and a wellhead stands at $W(5,-1,6)$, all units in metres. Find the shortest distance from the wellhead to the pipeline.  (5 marks)โจทย์สถานการณ์ · ท่อส่งตรงวางตามแนว $l:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ และหัวบ่ออยู่ที่ $W(5,-1,6)$ หน่วยเป็นเมตรทั้งหมด · หาระยะสั้นที่สุดจากหัวบ่อถึงแนวท่อ  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $9t-9=0\Rightarrow t=1$, foot $(1,3,4)$, $\overrightarrow{WN}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-2\end{pmatrix}$, distance $=\sqrt{36}=6$ m5 marks: $\text{M1}\quad N=(t,\ 1+2t,\ 2+2t)$   $\text{M1}\quad \overrightarrow{WN}=\mathbf{n}-\mathbf{w}$   $\text{M1}\quad \overrightarrow{WN}\cdot\mathbf{d}=9t-9=0$   $\text{A1}\quad t=1,\ \text{foot}\ (1,3,4)$   $\text{A1}\quad \sqrt{16+16+4}=6\ \text{m}$ The words changed, the four steps did not — the extra mark is the unit.5 คะแนน: $\text{M1}\quad N=(t,\ 1+2t,\ 2+2t)$   $\text{M1}\quad \overrightarrow{WN}=\mathbf{n}-\mathbf{w}$   $\text{M1}\quad \overrightarrow{WN}\cdot\mathbf{d}=9t-9=0$   $\text{A1}\quad t=1,\ \text{foot}\ (1,3,4)$   $\text{A1}\quad \sqrt{16+16+4}=6\ \text{m}$ โจทย์เปลี่ยนคำ แต่สี่ขั้นเหมือนเดิม · คะแนนที่เพิ่มมาคือหน่วย

7. Exam form: proving shapesรูปแบบข้อสอบ: พิสูจน์รูปทรง

Equal vectors prove a parallelogram, equal side lengths upgrade it to a rhombus, and the dot product finishes the area of a triangle.เวกเตอร์เท่ากันพิสูจน์สี่เหลี่ยมด้านขนาน · ด้านประชิดยาวเท่ากันอัปเป็นขนมเปียกปูน · ส่วนผลคูณดอตปิดจ๊อบพื้นที่สามเหลี่ยม

“Show that $ABCD$ is a rhombus” and “find the area of triangle $PQR$”“Show that $ABCD$ is a rhombus” กับ “find the area of triangle $PQR$”

  1. $A(1,1,1)$, $B(3,0,3)$, $C(4,2,5)$, $D(2,3,3)$. Which single calculation shows that $ABCD$ is a parallelogram?$A(1,1,1)$, $B(3,0,3)$, $C(4,2,5)$, $D(2,3,3)$ · การคำนวณอันเดียวข้อไหนที่แสดงว่า $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน?
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$Equal vectors: parallel and same length: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$   $\overrightarrow{DC}=\mathbf{c}-\mathbf{d}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\ \Rightarrow\ \text{parallelogram}$ Watch the letter order: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ describes a crossed quadrilateral.เวกเตอร์เท่ากัน คือขนานและยาวเท่ากัน: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$   $\overrightarrow{DC}=\mathbf{c}-\mathbf{d}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\ \Rightarrow\ \text{parallelogram}$ ดูลำดับตัวอักษรให้ดี · $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ คือรูปสี่เหลี่ยมไขว้
  2. Exam, part (b). Given part (a), show $ABCD$ is in fact a rhombus by finding $\left|\overrightarrow{AD}\right|$, where $A(1,1,1)$ and $D(2,3,3)$.  (2 marks)ข้อสอบ ส่วน (b) · ต่อจาก (a) จงแสดงว่า $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยหา $\left|\overrightarrow{AD}\right|$ เมื่อ $A(1,1,1)$ และ $D(2,3,3)$  (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, so $\left|\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{1+4+4}=3=\left|\overrightarrow{AB}\right|$2 marks: $\text{M1}\quad \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$   $\text{A1}\quad |\overrightarrow{AD}|=\sqrt{1+4+4}=3=|\overrightarrow{AB}|$ Say “and it is a parallelogram from (a)” — that sentence is the second mark.2 คะแนน: $\text{M1}\quad \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$   $\text{A1}\quad |\overrightarrow{AD}|=\sqrt{1+4+4}=3=|\overrightarrow{AB}|$ เขียนว่า “และเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานจากข้อ (a)” · ประโยคนี้คือคะแนนที่สอง
  3. Exam. The points $P(1,1,1)$, $Q(3,4,7)$ and $R(7,3,4)$ form a triangle. Find the area of triangle $PQR$, to $1$ d.p.  (5 marks)ข้อสอบ · จุด $P(1,1,1)$, $Q(3,4,7)$ และ $R(7,3,4)$ ประกอบเป็นสามเหลี่ยม · หาพื้นที่สามเหลี่ยม $PQR$ ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\cos\theta=\frac{36}{49}$, $\theta=42.7^{\circ}$, area $=\frac12(7)(7)\sin\theta=16.6$5 marks: $\text{M1}\quad \overrightarrow{PQ},\ \overrightarrow{PR}\ \text{both from}\ P$   $\text{M1}\quad \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=36,\quad |\overrightarrow{PQ}|=|\overrightarrow{PR}|=7$   $\text{A1}\quad \cos\theta=\tfrac{36}{49}\ \Rightarrow\ \theta=42.7^{\circ}$   $\text{M1}\quad \text{area}=\tfrac12(7)(7)\sin\theta$   $\text{A1}\quad 16.6$ Keep the unrounded angle in the calculator until the last line.5 คะแนน: $\text{M1}\quad \overrightarrow{PQ},\ \overrightarrow{PR}\ \text{both from}\ P$   $\text{M1}\quad \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=36,\quad |\overrightarrow{PQ}|=|\overrightarrow{PR}|=7$   $\text{A1}\quad \cos\theta=\tfrac{36}{49}\ \Rightarrow\ \theta=42.7^{\circ}$   $\text{M1}\quad \text{area}=\tfrac12(7)(7)\sin\theta$   $\text{A1}\quad 16.6$ เก็บมุมแบบไม่ปัดไว้ในเครื่องคิดเลข จนถึงบรรทัดสุดท้าย
  4. Exam: The line $l$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$ and $P$ is the point $(7,5,2)$. Find the position vector of $P'$, the reflection of $P$ in $l$. Give it as $(a,b,c)$.  (6 marks)ข้อสอบ: เส้นตรง $l$ คือ $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$ และ $P$ คือจุด $(7,5,2)$ · หาเวกเตอร์ตำแหน่งของ $P'$ ซึ่งเป็นภาพสะท้อนของ $P$ ใน $l$ · ตอบในรูป $(a,b,c)$  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $(3,-3,-6)$6 marks: $\text{M1}\quad N=(1+2t,\ -1+t,\ 2-2t)\ \Rightarrow\ \overrightarrow{PN}=(2t-6,\ t-6,\ -2t)$   $\text{M1}\quad \overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=2(2t-6)+(t-6)-2(-2t)=9t-18$   $\text{A1}\quad t=2$   $\text{A1}\quad N=(5,1,-2)$   $\text{M1}\quad N\ \text{is the midpoint of}\ PP'\ \Rightarrow\ \mathbf{p}'=2\mathbf{n}-\mathbf{p}$   $\text{A1}\quad \mathbf{p}'=(10-7,\ 2-5,\ -4-2)=(3,-3,-6)$ The foot is only halfway — the reflection uses that answer once more.6 คะแนน: $\text{M1}\quad N=(1+2t,\ -1+t,\ 2-2t)\ \Rightarrow\ \overrightarrow{PN}=(2t-6,\ t-6,\ -2t)$   $\text{M1}\quad \overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=2(2t-6)+(t-6)-2(-2t)=9t-18$   $\text{A1}\quad t=2$   $\text{A1}\quad N=(5,1,-2)$   $\text{M1}\quad N\ \text{is the midpoint of}\ PP'\ \Rightarrow\ \mathbf{p}'=2\mathbf{n}-\mathbf{p}$   $\text{A1}\quad \mathbf{p}'=(10-7,\ 2-5,\ -4-2)=(3,-3,-6)$ เท้าตั้งฉากคือครึ่งทาง · ภาพสะท้อนใช้คำตอบนั้นอีกรอบ
  5. $A$ is $(1,2,-3)$ and $B$ is $(4,6,9)$. The line $m$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\3\\-6\end{pmatrix}$.
    Find the acute angle between the line $AB$ and the line $m$, in degrees to $1$ dp.    $A$ คือ $(1,2,-3)$ และ $B$ คือ $(4,6,9)$ · เส้นตรง $m$ คือ $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\3\\-6\end{pmatrix}$
    หามุมแหลมระหว่างเส้น $AB$ กับเส้น $m$ · ตอบเป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $53.6^{\circ}$Two lines: always take the modulus: $\mathbf{d}_{1}=\overrightarrow{AB}=(3,4,12),\qquad |\mathbf{d}_{1}|=13$   $\mathbf{d}_{2}=(2,3,-6),\qquad |\mathbf{d}_{2}|=7$   $\mathbf{d}_{1}\cdot\mathbf{d}_{2}=6+12-72=-54$   $\cos\theta=\frac{|-54|}{91}=\frac{54}{91}\ \Rightarrow\ \theta=53.6^{\circ}$   $\text{at a vertex such as}\ \angle PQR:\ \text{keep the sign, obtuse is allowed}$ Read whether the question names a vertex or names two lines.สองเส้นตรง · ใส่ค่าสัมบูรณ์เสมอ: $\mathbf{d}_{1}=\overrightarrow{AB}=(3,4,12),\qquad |\mathbf{d}_{1}|=13$   $\mathbf{d}_{2}=(2,3,-6),\qquad |\mathbf{d}_{2}|=7$   $\mathbf{d}_{1}\cdot\mathbf{d}_{2}=6+12-72=-54$   $\cos\theta=\frac{|-54|}{91}=\frac{54}{91}\ \Rightarrow\ \theta=53.6^{\circ}$   $\text{at a vertex such as}\ \angle PQR:\ \text{keep the sign, obtuse is allowed}$ อ่านให้ดีว่าโจทย์ระบุจุดยอด หรือระบุเส้นตรงสองเส้น

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. The line $l$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ and the point $P$ has coordinates $(9,1,8)$. Find the coordinates of the foot $N$ of the perpendicular from $P$ to $l$.The Level 4 routine with the numbers changed: general point, $\overrightarrow{PN}$, dot with $\mathbf{d}$, set to zero. One clean minute — confidence first.ขั้นตอนของขั้นที่ 4 เป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข: จุดทั่วไป · $\overrightarrow{PN}$ · ดอตกับ $\mathbf{d}$ · ให้เป็นศูนย์ · จบในนาทีเดียว — เอาความมั่นใจก่อน
  2. The line $l$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$ and $P$ is the point $(4,0,3)$. Find the shortest distance from $P$ to $l$, giving your answer to 3 significant figures.Same four steps, but $t$ lands on a negative fraction, so every component becomes a third. The method never cares how ugly $t$ is — only careless arithmetic does.สี่ขั้นเดิม แต่ $t$ ออกมาเป็นเศษส่วนติดลบ ทุกองค์ประกอบเลยกลายเป็นส่วนสาม · วิธีทำไม่เคยแคร์ว่า $t$ จะโหดแค่ไหน — มีแต่การคิดเลขลวกๆ เท่านั้นที่แคร์
  3. The line $m$ passes through $A(2,-1,0)$ and $B(4,3,4)$. The line $n$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$. Find the acute angle between $m$ and $n$, in degrees to 1 decimal place.One line is given by two points, the other by an equation, and the parameter is called $\lambda$ instead of $t$. Anyone who memorised a layout instead of the idea stalls here — you still just need the two directions.เส้นหนึ่งให้มาเป็นจุดสองจุด อีกเส้นให้มาเป็นสมการ แถมพารามิเตอร์ยังเปลี่ยนจาก $t$ เป็น $\lambda$ · ใครท่องหน้าตาโจทย์มาแทนที่จะเข้าใจแก่น จะสะดุดตรงนี้ — จริงๆ ก็แค่ต้องการทิศทางสองตัวเหมือนเดิม
  4. The point $P$ has position vector $6\mathbf{i}+6\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ and the line $l$ has equation $\mathbf{r}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}+t(2\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k})$. (a) Find the coordinates of the foot of the perpendicular from $P$ to $l$. (b) Hence find the shortest distance from $P$ to $l$.Foot then distance, chained — and written in $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ rather than columns. Rewrite it as columns first; that costs ten seconds and saves a sign.หาจุดเท้าตั้งฉากแล้วต่อด้วยระยะ — และเขียนด้วย $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ แทนเวกเตอร์หลัก · แปลงเป็นเวกเตอร์หลักก่อนเลย เสียเวลาสิบวินาที แต่รอดเรื่องเครื่องหมาย
  5. The points $A$, $B$, $C$ and $D$ have coordinates $(1,2,-1)$, $(4,1,1)$, $(6,4,3)$ and $(3,5,1)$ respectively. (a) Show that $ABCD$ is a parallelogram. (2 marks)  (b) Find the size of angle $BAD$, giving your answer in degrees to 1 decimal place. (4 marks)Full Edexcel wording with the marks split. Part (a) is a one-line vector statement; part (b) is the Level 2 method with both vectors leaving $A$.ภาษา Edexcel เต็มรูปแบบ พร้อมแบ่งคะแนน · ส่วน (a) คือประโยคเวกเตอร์บรรทัดเดียว · ส่วน (b) คือวิธีของขั้นที่ 2 โดยเวกเตอร์ทั้งคู่ออกจาก $A$
  6. A student is asked for the shortest distance from $P(7,2,6)$ to $l:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$. They write: “the general point is $N(1+2t,\,2-t,\,3+2t)$, and $\overrightarrow{ON}\cdot\mathbf{d}=0$ gives $2(1+2t)-(2-t)+2(3+2t)=0$, so $9t+6=0$ and $t=-\frac23$.” Find the error and give the correct shortest distance.The position-vector slip, one last time, now hidden inside working that looks perfectly tidy. If the external point never appears in your algebra, you are solving somebody else's question.กับดักเวกเตอร์บอกตำแหน่งอีกครั้งสุดท้าย คราวนี้ซ่อนอยู่ในวิธีทำที่ดูเรียบร้อยมาก · ถ้าจุดภายนอกไม่โผล่มาในพีชคณิตเลย แปลว่ากำลังแก้โจทย์ของคนอื่นอยู่
  7. The line $l$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ and the point $P$ has coordinates $(9,-1,8)$. (a) Find the coordinates of the point $N$ on $l$ for which $PN$ is perpendicular to $l$. (4 marks)  (b) Find the distance $PN$. (2 marks)  (c) The point $Q$ lies on $l$ and $NQ=8$. Find the area of triangle $PNQ$. (3 marks)Nine marks in three parts, and part (c) uses the answer from part (a).
    Because $PN$ is perpendicular to $l$, the triangle has a right angle at $N$, so $\frac12ab\sin\theta$ becomes $\frac12\times$ base $\times$ height.
    If you see that, the question is short instead of a page of work.    เก้าคะแนน สามส่วน และส่วน (c) ใช้คำตอบจากส่วน (a)
    เพราะ $PN$ ตั้งฉากกับ $l$ สามเหลี่ยมจึงมีมุมฉากที่ $N$ ดังนั้น $\frac12ab\sin\theta$ กลายเป็น $\frac12\times$ ฐาน $\times$ สูง
    ถ้ามองออก ข้อนี้จะสั้น ไม่ต้องเขียนเต็มหน้า

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี