A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Vectors in 3-D เวกเตอร์สามมิติ
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Find the angle between the vectors""หามุมระหว่างเวกเตอร์" | $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$สูตรมุม $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ | try → ลอง → |
| "Show the lines intersect / are skew""แสดงว่าเส้นตรงตัดกัน / เป็นเส้นไขว้" | Equate $\mathbf{r}_1=\mathbf{r}_2$, solve two equations, check the thirdให้ $\mathbf{r}_1=\mathbf{r}_2$ แก้สองสมการ แล้วตรวจสมการที่สาม | try → ลอง → |
| "Perpendicular""ตั้งฉาก" | $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ | try → ลอง → |
| "Find the point on $\ell$ closest to $P$""หาจุดบน $\ell$ ที่ใกล้ $P$ ที่สุด" | General point on $\ell$, then $\overrightarrow{XP}\cdot\mathbf{d}=0$จุดทั่วไปบน $\ell$ แล้วให้ $\overrightarrow{XP}\cdot\mathbf{d}=0$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Line เส้นตรง$\mathbf{r}=\mathbf{a}+\lambda\mathbf{d}$
Dot product ผลคูณสเกลาร์$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
Magnitude ขนาด$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
Angle มุม$\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Find the acute angle between $\mathbf{a}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}$ and $\mathbf{b}=3\mathbf{i}-4\mathbf{k}$, to 1 d.p. (4 marks)
M1
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(2)(3)+(1)(0)+(-2)(-4)=14$
M1
$|\mathbf{a}|=\sqrt{4+1+4}=3,\quad |\mathbf{b}|=\sqrt{9+16}=5$
M1
$\cos\theta=\dfrac{14}{15}$
A1
$\theta=21.0^\circ$ (1 d.p.)
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. $\mathbf{p}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$ and $\mathbf{q}=\begin{pmatrix}2\\k\\4\end{pmatrix}$ are perpendicular. Find $k$.2 markssolution ▾
$6-k+8=0 \Rightarrow \mathbf{k=14}$.
P2. Lines $\ell_1: \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ and $\ell_2: \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}$. Show that $\ell_1$ and $\ell_2$ intersect and find the point of intersection.5 markssolution ▾
Equate: $1+\lambda=\mu$; $2=2$ ✓; $3+2\lambda=1+4\mu$.
Substitute $\mu=1+\lambda$: $3+2\lambda=1+4+4\lambda \Rightarrow -2=2\lambda \Rightarrow \lambda=-1,\ \mu=0$.
All three components agree → intersect at $\mathbf{(0,\ 2,\ 1)}$.
Substitute $\mu=1+\lambda$: $3+2\lambda=1+4+4\lambda \Rightarrow -2=2\lambda \Rightarrow \lambda=-1,\ \mu=0$.
All three components agree → intersect at $\mathbf{(0,\ 2,\ 1)}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
vector เวกเตอร์ · magnitude ขนาด · scalar (dot) product ผลคูณสเกลาร์ · direction vector เวกเตอร์ทิศทาง · intersect ตัดกัน · skew lines เส้นไขว้ (ไม่ตัด ไม่ขนาน) · perpendicular ตั้งฉาก
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Different parameters for different lines คนละเส้น คนละพารามิเตอร์Use $\lambda$ and $\mu$ — one shared letter forces the lines to move in step and wrecks the intersection test.
✗Check the third equation ตรวจสมการที่สามSolving two components isn't enough; the intersection mark is for verifying the remaining one.
✗"Acute" means acute โจทย์ขอมุมแหลมIf your $\cos\theta$ comes out negative, the angle is obtuse — subtract from $180^\circ$ when the question asks for the acute angle.
✗Angle between lines uses direction vectors ใช้เวกเตอร์ทิศทางเท่านั้นFor lines $\mathbf{r}=\mathbf{a}+\lambda\mathbf{d}$, the angle comes from the $\mathbf{d}$'s — never dot the position vectors $\mathbf{a}$.
✗Show the dot-product working แสดงวิธีคูณให้เห็นWrite out the component-by-component products before summing — the method mark needs visible working, not just the total.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ