A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Vectors in 3-D เวกเตอร์สามมิติ
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อVectors in 3-Dเวกเตอร์สามมิติ
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงVectors laddersชุดไต่ระดับ · เวกเตอร์
Vectors in 3-D · progressเวกเตอร์สามมิติ · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Find the angle between the vectors""หามุมระหว่างเวกเตอร์" | $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$สูตรมุม $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ | try → ลอง → |
| "Show the lines intersect / are skew""แสดงว่าเส้นตรงตัดกัน / เป็นเส้นไขว้" | Equate $\mathbf{r}_1=\mathbf{r}_2$, solve two equations, check the thirdให้ $\mathbf{r}_1=\mathbf{r}_2$ แก้สองสมการ แล้วตรวจสมการที่สาม | try → ลอง → |
| "Perpendicular""ตั้งฉาก" | $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ | try → ลอง → |
| "Find the point on $\ell$ closest to $P$""หาจุดบน $\ell$ ที่ใกล้ $P$ ที่สุด" | General point on $\ell$, then $\overrightarrow{XP}\cdot\mathbf{d}=0$จุดทั่วไปบน $\ell$ แล้วให้ $\overrightarrow{XP}\cdot\mathbf{d}=0$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Line เส้นตรง$\mathbf{r}=\mathbf{a}+\lambda\mathbf{d}$
Dot product ผลคูณสเกลาร์$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
Magnitude ขนาด$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
Angle มุม$\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Find the acute angle between $\mathbf{a}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}$ and $\mathbf{b}=3\mathbf{i}-4\mathbf{k}$, to 1 d.p. (4 marks)
M1
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(2)(3)+(1)(0)+(-2)(-4)=14$
M1
$|\mathbf{a}|=\sqrt{4+1+4}=3,\quad |\mathbf{b}|=\sqrt{9+16}=5$
M1
$\cos\theta=\dfrac{14}{15}$
A1
$\theta=21.0^\circ$ (1 d.p.)
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. $\mathbf{p}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$ and $\mathbf{q}=\begin{pmatrix}2\\k\\4\end{pmatrix}$ are perpendicular. Find $k$.2 markssolution ▾
$6-k+8=0 \Rightarrow \mathbf{k=14}$.
P2. Lines $\ell_1: \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ and $\ell_2: \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}$. Show that $\ell_1$ and $\ell_2$ intersect and find the point of intersection.5 markssolution ▾
Equate: $1+\lambda=\mu$; $2=2$ ✓; $3+2\lambda=1+4\mu$.
Substitute $\mu=1+\lambda$: $3+2\lambda=1+4+4\lambda \Rightarrow -2=2\lambda \Rightarrow \lambda=-1,\ \mu=0$.
All three components agree → intersect at $\mathbf{(0,\ 2,\ 1)}$.
Substitute $\mu=1+\lambda$: $3+2\lambda=1+4+4\lambda \Rightarrow -2=2\lambda \Rightarrow \lambda=-1,\ \mu=0$.
All three components agree → intersect at $\mathbf{(0,\ 2,\ 1)}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
vector เวกเตอร์ · magnitude ขนาด · scalar (dot) product ผลคูณสเกลาร์ · direction vector เวกเตอร์ทิศทาง · intersect ตัดกัน · skew lines เส้นไขว้ (ไม่ตัด ไม่ขนาน) · perpendicular ตั้งฉาก
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Different parameters for different lines คนละเส้น คนละพารามิเตอร์Use $\lambda$ and $\mu$ — one shared letter forces the lines to move in step and wrecks the intersection test.
✗Check the third equation ตรวจสมการที่สามSolving two components isn't enough; the intersection mark is for verifying the remaining one.
✗"Acute" means acute โจทย์ขอมุมแหลมIf your $\cos\theta$ comes out negative, the angle is obtuse — subtract from $180^\circ$ when the question asks for the acute angle.
✗Angle between lines uses direction vectors ใช้เวกเตอร์ทิศทางเท่านั้นFor lines $\mathbf{r}=\mathbf{a}+\lambda\mathbf{d}$, the angle comes from the $\mathbf{d}$'s — never dot the position vectors $\mathbf{a}$.
✗Show the dot-product working แสดงวิธีคูณให้เห็นWrite out the component-by-component products before summing — the method mark needs visible working, not just the total.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 4 paperข้อสอบ Pure 4
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย