Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Range of a Function from its Graphเรนจ์ของฟังก์ชันจากกราฟ

IB Diploma Maths AA · SL 2.2 & 2.9 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

Range = squash the graph onto the $y$-axisเรนจ์ = บีบกราฟลงบนแกน $y$

$x\to0$ · $y$ stays → the range: $[-1,2]$$x\to0$ · $y$ อยู่ที่เดิม → เรนจ์: $[-1,2]$

  1. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[-2,3]$Squash, then read: $\text{Range}=[-2,3]$ Squash it: every $x$ goes to $0$, every $y$ stays.บีบแล้วอ่าน: $\text{Range}=[-2,3]$ บีบกราฟ: $x$ ทุกตัวไปที่ $0$ · $y$ อยู่ที่เดิม
  2. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[-3,3]$Squash, then read: $\text{Range}=[-3,3]$ Squash it: every $x$ goes to $0$, every $y$ stays.บีบแล้วอ่าน: $\text{Range}=[-3,3]$ บีบกราฟ: $x$ ทุกตัวไปที่ $0$ · $y$ อยู่ที่เดิม

2. ○ or ●○ หรือ ●

A ● end is in the range: [ ]. A ○ end is not: ( ).ปลาย ● อยู่ในเรนจ์: [ ] · ปลาย ○ ไม่อยู่: ( )

○ is not on the graph → ( )○ ไม่อยู่บนกราฟ → ( )

● → [ ]   ○ → ( )   Range: $[-2,3)$● → [ ]   ○ → ( )   เรนจ์: $[-2,3)$

Range of $f(x)=x$ for $-2\le x\lt 3$เรนจ์ของ $f(x)=x$ เมื่อ $-2\le x\lt 3$

  1. $f(-2)=-2$● at the left end: $-2$ is in → [● ที่ปลายซ้าย: $-2$ นับ → [
  2. $f(3)=3$○ at the right end: $3$ is not reached → )○ ที่ปลายขวา: ไปไม่ถึง $3$ → )
  3. $\text{Range}=[-2,3)$Smaller $y$ first, then the bigger $y$.ค่า $y$ น้อยก่อน แล้วค่อยค่าที่มากกว่า
  1. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[-3,2)$Read each end: $\text{Range}=[-3,2)$ ● is on the graph → [ ]. ○ is not → ( ).อ่านปลายทีละข้าง: $\text{Range}=[-3,2)$ ● อยู่บนกราฟ → [ ] · ○ ไม่อยู่ → ( )
  2. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[-2,3)$Read each end: $\text{Range}=[-2,3)$ ● is on the graph → [ ]. ○ is not → ( ).อ่านปลายทีละข้าง: $\text{Range}=[-2,3)$ ● อยู่บนกราฟ → [ ] · ○ ไม่อยู่ → ( )
  3. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-3,3)$Read each end: $\text{Range}=(-3,3)$ ● is on the graph → [ ]. ○ is not → ( ).อ่านปลายทีละข้าง: $\text{Range}=(-3,3)$ ● อยู่บนกราฟ → [ ] · ○ ไม่อยู่ → ( )
  4. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(0,3]$Read each end: $\text{Range}=(0,3]$ ● is on the graph → [ ]. ○ is not → ( ).อ่านปลายทีละข้าง: $\text{Range}=(0,3]$ ● อยู่บนกราฟ → [ ] · ○ ไม่อยู่ → ( )

3. Arrowsลูกศร

An arrow never stops: that end is $\infty$ or $-\infty$, with ( ).ลูกศรไม่มีวันหยุด: ปลายนั้นเป็น $\infty$ หรือ $-\infty$ ใช้ ( )

An arrow keeps going → $\infty$ลูกศรไปต่อเรื่อย ๆ → $\infty$

$\infty$ is never reached, so it always gets ( ). Range: $[-3,\infty)$ไปไม่ถึง $\infty$ จึงใช้ ( ) เสมอ · เรนจ์: $[-3,\infty)$

  1. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[1,\infty)$Arrow → infinity: $\text{Range}=[1,\infty)$ An arrow never stops, so that end is $\infty$ or $-\infty$, always with ( ).ลูกศร → อนันต์: $\text{Range}=[1,\infty)$ ลูกศรไม่มีวันหยุด ปลายนั้นจึงเป็น $\infty$ หรือ $-\infty$ ใช้ ( ) เสมอ
  2. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-\infty,3)$Arrow → infinity: $\text{Range}=(-\infty,3)$ An arrow never stops, so that end is $\infty$ or $-\infty$, always with ( ).ลูกศร → อนันต์: $\text{Range}=(-\infty,3)$ ลูกศรไม่มีวันหยุด ปลายนั้นจึงเป็น $\infty$ หรือ $-\infty$ ใช้ ( ) เสมอ
  3. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-\infty,3]$Arrow → infinity: $\text{Range}=(-\infty,3]$ An arrow never stops, so that end is $\infty$ or $-\infty$, always with ( ).ลูกศร → อนันต์: $\text{Range}=(-\infty,3]$ ลูกศรไม่มีวันหยุด ปลายนั้นจึงเป็น $\infty$ หรือ $-\infty$ ใช้ ( ) เสมอ
  4. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-\infty,\infty)$Arrow → infinity: $\text{Range}=(-\infty,\infty)$ An arrow never stops, so that end is $\infty$ or $-\infty$, always with ( ).ลูกศร → อนันต์: $\text{Range}=(-\infty,\infty)$ ลูกศรไม่มีวันหยุด ปลายนั้นจึงเป็น $\infty$ หรือ $-\infty$ ใช้ ( ) เสมอ

4. Two piecesกราฟสองชิ้น

Squash both pieces. They overlap, or they leave a gap: $\cup$.บีบทั้งสองชิ้น · ทับกัน หรือเว้นช่องว่าง: $\cup$

Squash both pieces onto the $y$-axisบีบทั้งสองชิ้นลงบนแกน $y$

A gap → two intervals: $(-\infty,-3]\cup(1,\infty)$มีช่องว่าง → สองช่วง: $(-\infty,-3]\cup(1,\infty)$

  1. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-\infty,4)$Squash both pieces: $\text{Range}=(-\infty,4)$ Squash both pieces. A gap on the $y$-axis → two intervals joined by $\cup$.บีบทั้งสองชิ้น: $\text{Range}=(-\infty,4)$ บีบทั้งสองชิ้น · มีช่องว่างบนแกน $y$ → สองช่วงเชื่อมด้วย $\cup$
  2. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-\infty,0)\cup[3,\infty)$Squash both pieces: $\text{Range}=(-\infty,0)\cup[3,\infty)$ Squash both pieces. A gap on the $y$-axis → two intervals joined by $\cup$.บีบทั้งสองชิ้น: $\text{Range}=(-\infty,0)\cup[3,\infty)$ บีบทั้งสองชิ้น · มีช่องว่างบนแกน $y$ → สองช่วงเชื่อมด้วย $\cup$
  3. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[-1,2]\cup(3,5]$Squash both pieces: $\text{Range}=[-1,2]\cup(3,5]$ Squash both pieces. A gap on the $y$-axis → two intervals joined by $\cup$.บีบทั้งสองชิ้น: $\text{Range}=[-1,2]\cup(3,5]$ บีบทั้งสองชิ้น · มีช่องว่างบนแกน $y$ → สองช่วงเชื่อมด้วย $\cup$
  4. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[-3,3)$Squash both pieces: $\text{Range}=[-3,3)$ Squash both pieces. A gap on the $y$-axis → two intervals joined by $\cup$.บีบทั้งสองชิ้น: $\text{Range}=[-3,3)$ บีบทั้งสองชิ้น · มีช่องว่างบนแกน $y$ → สองช่วงเชื่อมด้วย $\cup$

5. Flat pieces and holesเส้นแนวนอนและรู

A ○ is a hole only if no other piece reaches that $y$.○ เป็นรูจริงก็ต่อเมื่อไม่มีชิ้นอื่นไปถึงค่า $y$ นั้น

Another piece can fill a ○อีกชิ้นหนึ่งเติม ○ ได้

Filled → [ ]. Range: $[0,4]$ถูกเติม → [ ] · เรนจ์: $[0,4]$

  1. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[-2,2]$Is the hole filled?: $\text{Range}=[-2,2]$ A ○ is a hole only if no other piece reaches that $y$.รูถูกเติมไหม?: $\text{Range}=[-2,2]$ ○ เป็นรูจริงก็ต่อเมื่อไม่มีชิ้นอื่นไปถึงค่า $y$ นั้น
  2. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-3,3]$Is the hole filled?: $\text{Range}=(-3,3]$ A ○ is a hole only if no other piece reaches that $y$.รูถูกเติมไหม?: $\text{Range}=(-3,3]$ ○ เป็นรูจริงก็ต่อเมื่อไม่มีชิ้นอื่นไปถึงค่า $y$ นั้น
  3. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $\{-1\}\cup(0,4)$Is the hole filled?: $\text{Range}=\{-1\}\cup(0,4)$ A ○ is a hole only if no other piece reaches that $y$.รูถูกเติมไหม?: $\text{Range}=\{-1\}\cup(0,4)$ ○ เป็นรูจริงก็ต่อเมื่อไม่มีชิ้นอื่นไปถึงค่า $y$ นั้น
  4. What is the range?เรนจ์คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-\infty,3)$Is the hole filled?: $\text{Range}=(-\infty,3)$ A ○ is a hole only if no other piece reaches that $y$.รูถูกเติมไหม?: $\text{Range}=(-\infty,3)$ ○ เป็นรูจริงก็ต่อเมื่อไม่มีชิ้นอื่นไปถึงค่า $y$ นั้น

6. Parabolaพาราโบลา

The vertex is the top or the bottom, and it is on the graph: [ ].จุดยอดคือบนสุดหรือล่างสุด และอยู่บนกราฟ: [ ]

The vertex sets the rangeจุดยอดเป็นตัวกำหนดเรนจ์

Use the $y$ of the vertex. Range: $[-1,\infty)$ใช้ค่า $y$ ของจุดยอด · เรนจ์: $[-1,\infty)$

Range of $f(x)=(x-2)^2-1$เรนจ์ของ $f(x)=(x-2)^2-1$

  1. $(x-2)^2\ge0$A square is never negative.กำลังสองไม่มีวันติดลบ
  2. $f(x)\ge-1$Subtract $1$: the bottom is the vertex, $y=-1$, and it is reached.ลบ $1$: ล่างสุดคือจุดยอด $y=-1$ และไปถึงได้
  3. $\text{Range}=[-1,\infty)$Both arrows point up: no top.ลูกศรทั้งสองชี้ขึ้น: ไม่มีค่าบนสุด
  1. Range of $y=x^2-2$?เรนจ์ของ $y=x^2-2$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[-2,\infty)$The vertex sets it: $\text{Range}=[-2,\infty)$ The vertex is the top or the bottom, and it is on the graph.จุดยอดเป็นตัวกำหนด: $\text{Range}=[-2,\infty)$ จุดยอดคือบนสุดหรือล่างสุด และอยู่บนกราฟ
  2. Range of $y=-(x-1)^2+3$?เรนจ์ของ $y=-(x-1)^2+3$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-\infty,3]$The vertex sets it: $\text{Range}=(-\infty,3]$ The vertex is the top or the bottom, and it is on the graph.จุดยอดเป็นตัวกำหนด: $\text{Range}=(-\infty,3]$ จุดยอดคือบนสุดหรือล่างสุด และอยู่บนกราฟ
  3. Range of $y=(x+1)^2-3$ for $-2\le x\le 2$?เรนจ์ของ $y=(x+1)^2-3$ เมื่อ $-2\le x\le 2$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[-3,6]$The vertex sets it: $\text{Range}=[-3,6]$ The vertex is the top or the bottom, and it is on the graph.จุดยอดเป็นตัวกำหนด: $\text{Range}=[-3,6]$ จุดยอดคือบนสุดหรือล่างสุด และอยู่บนกราฟ
  4. Range of $y=-(x-2)^2+4$ for $0\lt x\le 5$?เรนจ์ของ $y=-(x-2)^2+4$ เมื่อ $0\lt x\le 5$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $[-5,4]$The vertex sets it: $\text{Range}=[-5,4]$ The vertex is the top or the bottom, and it is on the graph.จุดยอดเป็นตัวกำหนด: $\text{Range}=[-5,4]$ จุดยอดคือบนสุดหรือล่างสุด และอยู่บนกราฟ

7. Exponentialเอกซ์โพเนนเชียล

$y=a\cdot b^{x}+k$ never reaches its asymptote $y=k$: ( ).$y=a\cdot b^{x}+k$ ไม่มีวันถึงเส้นกำกับ $y=k$: ( )

The asymptote is never reached → ( )กราฟไม่มีวันถึงเส้นกำกับ → ( )

Asymptote $y=-1$ → ( ). Range: $(-1,\infty)$เส้นกำกับ $y=-1$ → ( ) · เรนจ์: $(-1,\infty)$

Range of $f(x)=2^{x}-1$เรนจ์ของ $f(x)=2^{x}-1$

  1. $2^{x}\gt0$$2^{x}$ is always positive, and never $0$.$2^{x}$ เป็นบวกเสมอ และไม่มีวันเป็น $0$
  2. $f(x)\gt-1$Subtract $1$. The asymptote is $y=-1$.ลบ $1$ · เส้นกำกับคือ $y=-1$
  3. $\text{Range}=(-1,\infty)$Never reached → ( ).ไปไม่ถึง → ( )
  1. Range of $y=2^{x}$?เรนจ์ของ $y=2^{x}$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(0,\infty)$Asymptote: never reached: $\text{Range}=(0,\infty)$ The asymptote $y=k$ is never reached, so $k$ gets ( ).เส้นกำกับ: ไปไม่ถึง: $\text{Range}=(0,\infty)$ กราฟไม่มีวันถึงเส้นกำกับ $y=k$ · $k$ จึงใช้ ( )
  2. Range of $y=2^{x}+1$?เรนจ์ของ $y=2^{x}+1$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(1,\infty)$Asymptote: never reached: $\text{Range}=(1,\infty)$ The asymptote $y=k$ is never reached, so $k$ gets ( ).เส้นกำกับ: ไปไม่ถึง: $\text{Range}=(1,\infty)$ กราฟไม่มีวันถึงเส้นกำกับ $y=k$ · $k$ จึงใช้ ( )
  3. Range of $y=-2^{x}+3$?เรนจ์ของ $y=-2^{x}+3$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-\infty,3)$Asymptote: never reached: $\text{Range}=(-\infty,3)$ The asymptote $y=k$ is never reached, so $k$ gets ( ).เส้นกำกับ: ไปไม่ถึง: $\text{Range}=(-\infty,3)$ กราฟไม่มีวันถึงเส้นกำกับ $y=k$ · $k$ จึงใช้ ( )
  4. Range of $y=3\left(\tfrac12\right)^{x}-2$?เรนจ์ของ $y=3\left(\tfrac12\right)^{x}-2$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-2,\infty)$Asymptote: never reached: $\text{Range}=(-2,\infty)$ The asymptote $y=k$ is never reached, so $k$ gets ( ).เส้นกำกับ: ไปไม่ถึง: $\text{Range}=(-2,\infty)$ กราฟไม่มีวันถึงเส้นกำกับ $y=k$ · $k$ จึงใช้ ( )

8. Exam formรูปแบบข้อสอบ

The exam says "Find the range of $f$". Squash, then write it.ข้อสอบเขียนว่า "Find the range of $f$" · บีบกราฟ แล้วเขียนคำตอบ

One range, two ways to write itเรนจ์เดียว เขียนได้สองแบบ

Same range. Use the form your course uses.เรนจ์เดียวกัน · ใช้แบบที่หลักสูตรของเราใช้

  1. Exam: The function $f$ is defined by $f(x)=2\cdot3^{x}-1$, for $x\lt1$. Find the range of $f$. (2 marks)ข้อสอบ: ฟังก์ชัน $f$ นิยามโดย $f(x)=2\cdot3^{x}-1$ เมื่อ $x\lt1$ · หาเรนจ์ของ $f$ (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $(-1,5)$2 marks: $\text{A1}\quad f(x)\gt-1$   $\text{A1}\quad f(x)\lt5$ Asymptote $y=-1$: ( ). The ○ at $f(1)=5$: ( ). Range: $(-1,5)$.2 คะแนน: $\text{A1}\quad f(x)\gt-1$   $\text{A1}\quad f(x)\lt5$ เส้นกำกับ $y=-1$: ( ) · ○ ที่ $f(1)=5$: ( ) · เรนจ์: $(-1,5)$
  2. Exam: The function $f$ is defined by $f(x)=2^{x}$ for $x\lt1$, and $f(x)=4-x$ for $x\ge1$. Find the range of $f$. (3 marks)ข้อสอบ: ฟังก์ชัน $f$ นิยามโดย $f(x)=2^{x}$ เมื่อ $x\lt1$ และ $f(x)=4-x$ เมื่อ $x\ge1$ · หาเรนจ์ของ $f$ (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $(-\infty,3]$3 marks: $\text{B1}\quad 0\lt f(x)\lt2$   $\text{B1}\quad f(x)\le3$   $\text{A1}\quad \text{Range}=(-\infty,3]$ The line part already covers $(0,2)$, so the union is one interval.3 คะแนน: $\text{B1}\quad 0\lt f(x)\lt2$   $\text{B1}\quad f(x)\le3$   $\text{A1}\quad \text{Range}=(-\infty,3]$ ส่วนที่เป็นเส้นตรงครอบ $(0,2)$ อยู่แล้ว · รวมกันจึงเป็นช่วงเดียว

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes one thing from the question before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Find the range of $y=\tfrac12x+2$ for $-4\le x\le4$.หาเรนจ์ของ $y=\tfrac12x+2$ เมื่อ $-4\le x\le4$
    Answer:เฉลย: $[0,4]$Both ends are ●: $y=0$ at $x=-4$ and $y=4$ at $x=4$.ปลายทั้งสองเป็น ●: $y=0$ ที่ $x=-4$ และ $y=4$ ที่ $x=4$
  2. Find the range of $y=-2\cdot3^{x}+1$ for $x\le1$.หาเรนจ์ของ $y=-2\cdot3^{x}+1$ เมื่อ $x\le1$
    Answer:เฉลย: $[-5,1)$The ● end gives $-5$. The asymptote $y=1$ is never reached.ปลาย ● ให้ $-5$ · ไม่มีวันถึงเส้นกำกับ $y=1$
  3. Find the range of $y=3$ for $-2\le x\le4$.หาเรนจ์ของ $y=3$ เมื่อ $-2\le x\le4$
    Answer:เฉลย: $\{3\}$A flat line gives one $y$-value. One number is written in $\{\ \}$.เส้นแนวนอนให้ค่า $y$ ค่าเดียว · ค่าเดียวเขียนใน $\{\ \}$
  4. Find the range of $y=2^{x}-3$ for $x\ge0$.หาเรนจ์ของ $y=2^{x}-3$ เมื่อ $x\ge0$
    Answer:เฉลย: $[-2,\infty)$The graph starts at the ● $x=0$: $2^{0}-3=-2$. It stops before the asymptote.กราฟเริ่มที่ ● $x=0$: $2^{0}-3=-2$ · หยุดก่อนถึงเส้นกำกับ
  5. The range of $y=2^{x}+k$ is $(-4,\infty)$. Find $k$.เรนจ์ของ $y=2^{x}+k$ คือ $(-4,\infty)$ · หา $k$
    Answer:เฉลย: $k=-4$The asymptote is $y=k$. The range starts above it, with ( ).เส้นกำกับคือ $y=k$ · เรนจ์เริ่มเหนือเส้นนี้ ใช้ ( )
  6. The function $f$ is defined by $f(x)=5-2^{x}$, for $x\ge1$. Find the range of $f$.ฟังก์ชัน $f$ นิยามโดย $f(x)=5-2^{x}$ เมื่อ $x\ge1$ · หาเรนจ์ของ $f$
    Answer:เฉลย: $(-\infty,3]$The ● end $x=1$ gives the top: $f(1)=3$. The curve falls for ever.ปลาย ● ที่ $x=1$ ให้ค่าบนสุด: $f(1)=3$ · กราฟลงต่อไปเรื่อย ๆ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี