Geometry · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เรขาคณิต
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
Two tangents from one point เส้นสัมผัสสองเส้นจากจุดเดียว
$TA$ and $TB$ are tangents to a circle, centre $O$. The tangents touch the circle at $A$ and at $B$. Angle $ATB = 44^{\circ}$.
Work out the size of angle $AOB$.
$TA$ และ $TB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และจุด $B$ และมุม $ATB = 44^{\circ}$
จงหาขนาดของมุม $AOB$
Three angles of a quadrilateral are $80^{\circ}$, $95^{\circ}$ and $130^{\circ}$. Work out the fourth angle.
มุมสามมุมของรูปสี่เหลี่ยมคือ $80^{\circ}$, $95^{\circ}$ และ $130^{\circ}$ จงหามุมที่สี่
Answershow ▾
Four corners, so the four angles add to $360^{\circ}$.สี่มุม ผลรวมของมุมทั้งสี่จึงเท่ากับ $360^{\circ}$
$TA$ is a tangent to a circle, centre $O$, touching the circle at $A$. Write down the size of $\angle OAT$.
$TA$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ จงเขียนขนาดของมุม $\angle OAT$
Answershow ▾
A tangent is perpendicular to the radius drawn to the point where it touches.เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส
In quadrilateral $OATB$, $\angle OAT = \angle OBT = 90^{\circ}$ and $\angle ATB = 50^{\circ}$. Work out $\angle AOB$.
ในรูปสี่เหลี่ยม $OATB$ มี $\angle OAT = \angle OBT = 90^{\circ}$ และ $\angle ATB = 50^{\circ}$ จงหา $\angle AOB$
Answershow ▾
The two right angles use up half of the $360^{\circ}$ on their own.มุมฉากสองมุมกินไปครึ่งหนึ่งของ $360^{\circ}$ ตั้งแต่ต้น
The exam prints $O$, $A$, $B$, $T$ and the two tangent lines, and nothing else. Name the two lines you have to draw before a single angle exists, and say which word in the question demands them.
ข้อสอบพิมพ์มาให้แค่ $O$, $A$, $B$, $T$ กับเส้นสัมผัสสองเส้น ไม่มีอย่างอื่น จงบอกชื่อเส้นสองเส้นที่ต้องลากเองก่อนที่จะมีมุมใดๆ และบอกว่าคำใดในโจทย์เรียกร้องให้ลาก
Answershow ▾
The tangent fact is a fact about the radius drawn to the point of contact, and the exam never draws that radius. Nearly every attempt that scores zero here stops at this point: there is a circle, two lines and one angle on the paper, and nothing to work with. The first M1 is for the two right angles, which cannot even be written down until the radii are on the page.ข้อเท็จจริงเรื่องเส้นสัมผัสเป็นข้อเท็จจริงเกี่ยวกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส และข้อสอบไม่เคยวาดรัศมีเส้นนั้นมาให้ · ความพยายามที่ได้ศูนย์คะแนนเกือบทุกครั้งหยุดตรงนี้ เพราะบนกระดาษมีแค่วงกลม เส้นสองเส้น กับมุมหนึ่งมุม · M1 แรกให้กับมุมฉากสองมุม ซึ่งเขียนไม่ได้เลยถ้ายังไม่มีรัศมีในรูป
$TA$ and $TB$ touch the circle at $A$ and at $B$. Write down every angle you now know.
$TA$ และ $TB$ สัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และ $B$ จงเขียนมุมทุกมุมที่รู้ค่าแล้ว
Answershow ▾
Two tangents, so two right angles. One is not enough.เส้นสัมผัสสองเส้น จึงได้มุมฉากสองมุม · มุมเดียวไม่พอ
$O$, $A$, $T$, $B$. Walk round the figure and count the corners. Name the shape, name the angle sum that goes with it, and then write down the answer that the other guess would have produced.
จุด $O$, $A$, $T$, $B$ · จงเดินรอบรูปแล้วนับมุม บอกชื่อรูป บอกผลรวมของมุมที่คู่กัน แล้วเขียนคำตอบที่จะได้ถ้าเดาผิดเป็นอีกแบบหนึ่ง
Answershow ▾
Three known angles and one unknown is exactly the shape of a triangle question, so the reflex is “$180^{\circ}$”, and $180-90-44 = 46$ comes out neat, quick and wrong. Counting corners takes two seconds and is worth no mark: the second M1 is for the angle-sum line once the $360$ is already in it.มีมุมที่รู้สามมุมกับที่ไม่รู้หนึ่งมุม ซึ่งเป็นรูปแบบของโจทย์สามเหลี่ยมพอดี สัญชาตญาณจึงบอกว่า “$180^{\circ}$” และ $180-90-44 = 46$ ก็ออกมาเรียบร้อย รวดเร็ว และผิด · การนับมุมใช้เวลาสองวินาทีและไม่มีคะแนน · M1 ที่สองให้กับบรรทัดผลรวมของมุมเมื่อมี $360$ อยู่ในนั้นแล้ว
Write the angle sum of $OATB$ with every known angle substituted in.
จงเขียนผลรวมของมุมในรูป $OATB$ โดยแทนค่ามุมที่รู้ทั้งหมด
Answershow ▾
Four terms on the left, one of them the unknown. This is the second method mark.ข้างซ้ายมีสี่พจน์ หนึ่งในนั้นคือตัวที่ไม่รู้ · นี่คือคะแนนวิธีทำที่สอง
Solve for $\angle AOB$.
จงแก้หา $\angle AOB$
Answershow ▾
The answer to the exam question. It is obtuse, and the picture agrees.คำตอบของข้อสอบ · เป็นมุมป้าน และภาพก็ตรงกัน
Add your $136^{\circ}$ to the $44^{\circ}$ at $T$. Produce the total, then explain in one line why that total is the same for any pair of tangents from one point.
นำ $136^{\circ}$ ไปบวกกับ $44^{\circ}$ ที่จุด $T$ จงหาผลรวม แล้วอธิบายหนึ่งบรรทัดว่าทำไมผลรวมนี้เท่าเดิมสำหรับเส้นสัมผัสทุกคู่ที่ลากจากจุดเดียวกัน
Answershow ▾
Whatever the tangents do, the two right angles take $180^{\circ}$ of the quadrilateral’s $360^{\circ}$, so the angle at $T$ and the angle at $O$ share the rest. That gives you a thirty-second check on every question of this kind: if your two angles do not add to $180^{\circ}$, one of them is wrong and you still have time. No mark exists for checking, and the A1 is lost in silence without it.ไม่ว่าเส้นสัมผัสจะเป็นอย่างไร มุมฉากสองมุมก็กิน $180^{\circ}$ จาก $360^{\circ}$ ของรูปสี่เหลี่ยม มุมที่ $T$ กับมุมที่ $O$ จึงแบ่งส่วนที่เหลือกัน · นี่คือวิธีตรวจสามสิบวินาทีสำหรับโจทย์แบบนี้ทุกข้อ ถ้ามุมสองมุมรวมกันไม่ได้ $180^{\circ}$ แปลว่ามีมุมหนึ่งผิดและยังมีเวลาแก้ · ไม่มีคะแนนสำหรับการตรวจ และ A1 หายไปเงียบๆ ถ้าไม่ตรวจ
$TA$ and $TB$ are tangents to a circle, centre $O$, and $\angle AOB = 150^{\circ}$. Work out $\angle ATB$.
$TA$ และ $TB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ และ $\angle AOB = 150^{\circ}$ จงหา $\angle ATB$
Answershow ▾
Same quadrilateral, unknown in a different corner.รูปสี่เหลี่ยมเดิม แต่ตัวที่ไม่รู้ย้ายไปอยู่อีกมุมหนึ่ง
$TA$ and $TB$ are tangents to a circle, centre $O$, touching at $A$ and $B$, and $\angle ATB = 70^{\circ}$. Work out $\angle AOB$.
$TA$ และ $TB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ สัมผัสที่ $A$ และ $B$ และ $\angle ATB = 70^{\circ}$ จงหา $\angle AOB$
Answershow ▾
Check: $110 + 70 = 180$.ตรวจ: $110 + 70 = 180$
$PA$ and $PB$ are tangents to a circle, centre $O$, touching at $A$ and $B$. $\angle APB = 37^{\circ}$. Work out $\angle AOB$.
$PA$ และ $PB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ สัมผัสที่ $A$ และ $B$ และ $\angle APB = 37^{\circ}$ จงหา $\angle AOB$
Answershow ▾
Different letters, same three lines. The letters are the only thing the exam changes.ตัวอักษรต่างกัน แต่สามบรรทัดเดิม · ตัวอักษรคือสิ่งเดียวที่ข้อสอบเปลี่ยน
$TA$ and $TB$ are tangents to a circle, centre $O$. The tangents touch the circle at $A$ and at $B$. Angle $ATB = 44^{\circ}$.
Work out the size of angle $AOB$.
$TA$ และ $TB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และจุด $B$ และมุม $ATB = 44^{\circ}$
จงหาขนาดของมุม $AOB$
Answershow ▾
3 marks. The arithmetic took ten seconds; the two silent choices took the rest.3 คะแนน · การคำนวณใช้เวลาสิบวินาที ที่เหลือคือการตัดสินใจเงียบๆ สองครั้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The scheme starts after both silent choices: draw the radii, and count four corners.
A diameter, and a chord seen twice เส้นผ่านศูนย์กลาง กับคอร์ดที่ถูกมองสองครั้ง
$A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle, centre $O$. $AC$ is a diameter of the circle. Angle $BAC = 34^{\circ}$.
(a) Write down the size of angle $ABC$. Give a reason for your answer.
(b) Work out the size of angle $BCA$.
(c) Work out the size of angle $ADB$. Give a reason for your answer.
จุด $A$, $B$, $C$ และ $D$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และมุม $BAC = 34^{\circ}$
(ก) จงเขียนขนาดของมุม $ABC$ พร้อมให้เหตุผล
(ข) จงหาขนาดของมุม $BCA$
(ค) จงหาขนาดของมุม $ADB$ พร้อมให้เหตุผล
A triangle has angles $90^{\circ}$, $34^{\circ}$ and $x$. Work out $x$.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุม $90^{\circ}$, $34^{\circ}$ และ $x$ จงหา $x$
Answershow ▾
Three angles, sum $180^{\circ}$.สามมุม รวมกันได้ $180^{\circ}$
$PQ$ is a diameter of a circle and $R$ is another point on the circle. Write down the size of $\angle PRQ$ and name the theorem.
$PQ$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ $R$ เป็นอีกจุดหนึ่งบนวงกลม จงเขียนขนาดของมุม $\angle PRQ$ และบอกชื่อทฤษฎีบท
Answershow ▾
The right angle is at the point on the circle, never at the ends of the diameter.มุมฉากอยู่ที่จุดบนวงกลม ไม่เคยอยู่ที่ปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง
$P$ and $Q$ are two points on the major arc of a chord $XY$. $\angle XPY = 41^{\circ}$. Write down $\angle XQY$ and name the theorem.
$P$ และ $Q$ เป็นสองจุดบนส่วนโค้งใหญ่ของคอร์ด $XY$ และ $\angle XPY = 41^{\circ}$ จงเขียน $\angle XQY$ และบอกชื่อทฤษฎีบท
Answershow ▾
Same chord, same side of it, so the same angle. The size does not depend on where you stand.คอร์ดเดียวกัน อยู่ข้างเดียวกัน มุมจึงเท่ากัน · ขนาดไม่ขึ้นกับว่ายืนอยู่ตรงไหน
$AC$ is a diameter and $B$ is another point on the circle. Name the theorem the word diameter triggers, and say which of $A$, $B$ and $C$ carries the right angle.
$AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ $B$ เป็นอีกจุดหนึ่งบนวงกลม จงบอกชื่อทฤษฎีบทที่คำว่าเส้นผ่านศูนย์กลางเรียกใช้ และบอกว่ามุมฉากอยู่ที่จุด $A$, $B$ หรือ $C$
Answershow ▾
The diameter is the arms of the right angle, not its corner: $BA$ and $BC$ open out to the two ends of it, and the corner sits on the circle. Putting the $90^{\circ}$ at $A$ or at $C$ makes $\angle BAC = 90^{\circ}$, which contradicts the $34^{\circ}$ the question gave you, and part (b) then comes out as a negative angle. The B1 pays for the number $90$; nothing pays for putting it at the right vertex.เส้นผ่านศูนย์กลางคือแขนของมุมฉาก ไม่ใช่จุดยอด · $BA$ กับ $BC$ กางออกไปยังปลายทั้งสองของมัน และจุดยอดอยู่บนวงกลม · ถ้าใส่ $90^{\circ}$ ที่ $A$ หรือ $C$ จะได้ $\angle BAC = 90^{\circ}$ ซึ่งขัดกับ $34^{\circ}$ ที่โจทย์ให้มา และข้อ (ข) จะออกมาเป็นมุมติดลบ · B1 ให้กับเลข $90$ ไม่มีคะแนนให้กับการวางมันไว้ที่จุดยอดที่ถูกต้อง
Write down the size of angle $ABC$, and give a reason for your answer.
จงเขียนขนาดของมุม $ABC$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
Two marks: one for the number, one for the reason. Write both.สองคะแนน คือเลขหนึ่งคะแนนและเหตุผลอีกหนึ่งคะแนน · ต้องเขียนทั้งสองอย่าง
Two scripts both write $\angle ABC = 90^{\circ}$. One adds “because it looks like a right angle”, the other adds “angle in a semicircle”. Say which one scores the second mark, and write down what a reason has to contain to count.
กระดาษคำตอบสองแผ่นเขียน $\angle ABC = 90^{\circ}$ เหมือนกัน แผ่นหนึ่งเขียนต่อว่า “เพราะดูเหมือนมุมฉาก” อีกแผ่นเขียนว่า “มุมในครึ่งวงกลม” จงบอกว่าแผ่นไหนได้คะแนนที่สอง และเขียนว่าเหตุผลต้องมีอะไรจึงจะนับได้
Answershow ▾
“Give a reason” is worth its own mark, and the mark scheme accepts only the name of the rule — not the arithmetic, not the picture, not “it is obvious”. Half the marks in this question are reason marks, so a student who gets every number right and writes no reasons scores $3$ out of $6$. Knowing that the wording “give a reason” is an instruction and not politeness carries no mark of its own.คำว่า “ให้เหตุผล” มีคะแนนของตัวเอง และเฉลยรับเฉพาะชื่อของกฎเท่านั้น ไม่ใช่การคำนวณ ไม่ใช่รูป และไม่ใช่ “เห็นชัดอยู่แล้ว” · ครึ่งหนึ่งของคะแนนในข้อนี้เป็นคะแนนเหตุผล คนที่ตอบตัวเลขถูกหมดแต่ไม่เขียนเหตุผลจะได้ $3$ จาก $6$ · การรู้ว่า “ให้เหตุผล” เป็นคำสั่ง ไม่ใช่ความสุภาพ ไม่มีคะแนนของตัวเอง
Work out the size of angle $BCA$.
จงหาขนาดของมุม $BCA$
Answershow ▾
Triangle $ABC$ now has two known angles. No reason is asked for here.ตอนนี้สามเหลี่ยม $ABC$ มีมุมที่รู้ค่าสองมุมแล้ว · ข้อนี้ไม่ได้ขอเหตุผล
Part (c) asks for $\angle ADB$. $D$ and $C$ are both on the circle. Pick the chord they are both looking at, and then name the angle that must be equal to $\angle ADB$.
(A) $AB$ (B) $AC$ (C) $BC$
ข้อ (ค) ถามหา $\angle ADB$ · จุด $D$ กับ $C$ อยู่บนวงกลมทั้งคู่ จงเลือกคอร์ดที่ทั้งสองจุดกำลังมองอยู่ แล้วบอกชื่อมุมที่ต้องเท่ากับ $\angle ADB$
(A) $AB$ (B) $AC$ (C) $BC$
Answershow ▾
The two outer letters of $\angle ADB$ are $A$ and $B$, so the chord is $AB$ — the letter in the middle is only where you are standing. Choose $BC$ instead and you copy the $34^{\circ}$ down; choose $AC$ and you copy the $90^{\circ}$. Both are neat, both are wrong, and the working looks identical. The B1 in part (c) is for the number $56$; reading the chord out of the three letters earns nothing.ตัวอักษรสองตัวนอกของ $\angle ADB$ คือ $A$ กับ $B$ คอร์ดจึงเป็น $AB$ · ตัวอักษรตัวกลางบอกแค่ว่าเรายืนอยู่ตรงไหน · ถ้าเลือก $BC$ จะลอก $34^{\circ}$ ลงมา ถ้าเลือก $AC$ จะลอก $90^{\circ}$ ลงมา ทั้งคู่ดูเรียบร้อย ทั้งคู่ผิด และวิธีทำหน้าตาเหมือนกันเป๊ะ · B1 ของข้อ (ค) ให้กับเลข $56$ ส่วนการอ่านคอร์ดออกจากตัวอักษรสามตัวไม่มีคะแนน
Work out the size of angle $ADB$, and give a reason for your answer.
จงหาขนาดของมุม $ADB$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
The same chord $AB$, seen from $C$ and from $D$.คอร์ด $AB$ เดียวกัน มองจาก $C$ และจาก $D$
$A$, $B$, $C$, $D$ are on a circle, $AC$ is a diameter and $\angle BAC = 25^{\circ}$.
Work out $\angle ABC$, $\angle BCA$ and $\angle ADB$.
จุด $A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลม โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ $\angle BAC = 25^{\circ}$
จงหา $\angle ABC$, $\angle BCA$ และ $\angle ADB$
Answershow ▾
The last two are always equal, whatever the $34$ becomes.สองค่าหลังเท่ากันเสมอ ไม่ว่า $34$ จะเปลี่ยนเป็นเท่าไร
$A$, $B$, $C$, $D$ are on a circle and $AC$ is a diameter. $\angle ACB = 62^{\circ}$. Work out $\angle ADB$ and $\angle BAC$.
จุด $A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลม โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ $\angle ACB = 62^{\circ}$ จงหา $\angle ADB$ และ $\angle BAC$
Answershow ▾
$\angle ADB$ needs no triangle at all — it stands on $AB$ next to $\angle ACB$.$\angle ADB$ ไม่ต้องใช้สามเหลี่ยมเลย เพราะยืนบนคอร์ด $AB$ เหมือน $\angle ACB$
$A$, $B$, $C$, $D$ are points on a circle, centre $O$, with $AC$ a diameter and $\angle BAC = 41^{\circ}$.
(a) Write down $\angle ABC$ with a reason. (b) Work out $\angle BCA$. (c) Work out $\angle ADB$ with a reason.
จุด $A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ $\angle BAC = 41^{\circ}$
(ก) จงเขียน $\angle ABC$ พร้อมเหตุผล (ข) จงหา $\angle BCA$ (ค) จงหา $\angle ADB$ พร้อมเหตุผล
Answershow ▾
Two reasons to write, two marks for writing them.ต้องเขียนเหตุผลสองครั้ง และได้สองคะแนนจากการเขียน
$A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle, centre $O$. $AC$ is a diameter of the circle. Angle $BAC = 34^{\circ}$.
(a) Write down the size of angle $ABC$. Give a reason for your answer.
(b) Work out the size of angle $BCA$.
(c) Work out the size of angle $ADB$. Give a reason for your answer.
จุด $A$, $B$, $C$ และ $D$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และมุม $BAC = 34^{\circ}$
(ก) จงเขียนขนาดของมุม $ABC$ พร้อมให้เหตุผล
(ข) จงหาขนาดของมุม $BCA$
(ค) จงหาขนาดของมุม $ADB$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
6 marks, and three of them are for words. Write the theorem names.6 คะแนน สามคะแนนในนั้นให้กับคำพูด · ต้องเขียนชื่อทฤษฎีบท
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $180^{\circ}-90^{\circ}-34^{\circ}$ A1 $56^{\circ}$.
(c) B1 $56^{\circ}$ B1 reason: angles in the same segment are equal.
Half the marks are reason marks, and no mark pays for spotting which chord $D$ is standing on.
A tangent, two radii and a reflex angle เส้นสัมผัส รัศมีสองเส้น และมุมสะท้อน
$P$, $Q$ and $R$ are points on a circle, centre $O$.
$TRV$ is the tangent to the circle at $R$.
Reflex angle $POR = 238°$ angle $QRV = 60°$
Calculate the size of angle $OPQ$.
Give a reason for each stage of your working.
$P$, $Q$ และ $R$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
$TRV$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $R$
มุมสะท้อน $POR = 238°$ มุม $QRV = 60°$
จงหาขนาดของมุม $OPQ$
จงให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
Reflex angle $AOB = 250^{\circ}$. Work out the other angle $AOB$.
มุมสะท้อน $AOB = 250^{\circ}$ จงหามุม $AOB$ อีกมุม
Answershow ▾
The two angles at $O$ make a full turn, $360^{\circ}$.สองมุมที่ $O$ รวมกันได้หนึ่งรอบ คือ $360^{\circ}$
$O$ is the centre of a circle. $A$ and $B$ are on the circle. $\angle AOB = 100^{\circ}$. Work out $\angle OAB$.
$O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม $A$ และ $B$ อยู่บนวงกลม $\angle AOB = 100^{\circ}$ จงหา $\angle OAB$
Answershow ▾
$OA$ and $OB$ are radii, so the base angles are equal.$OA$ กับ $OB$ เป็นรัศมี มุมที่ฐานจึงเท่ากัน
A tangent touches a circle at $A$. The chord $AB$ makes $70^{\circ}$ with the tangent. $C$ is on the circle, on the other side of $AB$. Work out $\angle ACB$.
เส้นสัมผัสแตะวงกลมที่ $A$ คอร์ด $AB$ ทำมุม $70^{\circ}$ กับเส้นสัมผัส $C$ อยู่บนวงกลมอีกฝั่งของ $AB$ จงหา $\angle ACB$
Answershow ▾
Alternate segment theorem: the angle between tangent and chord equals the angle in the other segment.ทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับ: มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด เท่ากับมุมในส่วนโค้งอีกฝั่ง
The question gives reflex angle $POR = 238^{\circ}$. Which angle goes inside triangle $OPR$?
(A) $238^{\circ}$
(B) $122^{\circ}$
(C) $119^{\circ}$
โจทย์ให้มุมสะท้อน $POR = 238^{\circ}$ มุมไหนอยู่ในสามเหลี่ยม $OPR$
(A) $238^{\circ}$
(B) $122^{\circ}$
(C) $119^{\circ}$
Answershow ▾
A triangle cannot hold an angle over $180^{\circ}$. $119^{\circ}$ is half of $238^{\circ}$, which belongs to a different theorem.สามเหลี่ยมมีมุมเกิน $180^{\circ}$ ไม่ได้ · $119^{\circ}$ คือครึ่งหนึ่งของ $238^{\circ}$ ซึ่งเป็นของทฤษฎีบทอื่น
Work out $\angle POR$. Give a reason.
จงหา $\angle POR$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
This line is the M1.บรรทัดนี้คือ M1
Work out $\angle OPR$. Give a reason.
จงหา $\angle OPR$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
Say "radii" in the reason. That is what the B1 checks.ในเหตุผลต้องบอกว่าเป็นรัศมี B1 ตรวจตรงนี้
$\angle QRV = 60^{\circ}$. Work out $\angle RPQ$. Give a reason.
$\angle QRV = 60^{\circ}$ จงหา $\angle RPQ$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
Tangent $RV$ and chord $RQ$ make $60^{\circ}$. $P$ is in the other segment.เส้นสัมผัส $RV$ กับคอร์ด $RQ$ ทำมุม $60^{\circ}$ และ $P$ อยู่ในส่วนโค้งอีกฝั่ง
At $P$ you have $\angle OPR = 29^{\circ}$ and $\angle RPQ = 60^{\circ}$. Is $\angle OPQ$ equal to $60^{\circ}+29^{\circ}$ or $60^{\circ}-29^{\circ}$? Look where $PO$ lies.
ที่ $P$ มี $\angle OPR = 29^{\circ}$ และ $\angle RPQ = 60^{\circ}$ แล้ว $\angle OPQ$ เท่ากับ $60^{\circ}+29^{\circ}$ หรือ $60^{\circ}-29^{\circ}$ ดูว่า $PO$ อยู่ตรงไหน
Answershow ▾
$PO$ is between $PR$ and $PQ$. So $\angle RPQ$ is split into $29^{\circ}$ and the part you want.$PO$ อยู่ระหว่าง $PR$ กับ $PQ$ · $\angle RPQ$ จึงถูกแบ่งเป็น $29^{\circ}$ กับส่วนที่ต้องการหา
Work out $\angle OPQ$.
จงหา $\angle OPQ$
Answershow ▾
This line is the A1.บรรทัดนี้คือ A1
Write the reason for $122^{\circ}$, for $29^{\circ}$ and for $60^{\circ}$.
จงเขียนเหตุผลของ $122^{\circ}$, $29^{\circ}$ และ $60^{\circ}$
Answershow ▾
The question says "give a reason for each stage". No reason, no B1.โจทย์บอกว่า "ให้เหตุผลทุกขั้นตอน" ไม่มีเหตุผลก็ไม่ได้ B1
Same diagram. Reflex angle $POR = 260^{\circ}$ and $\angle QRV = 70^{\circ}$. Work out $\angle OPQ$.
รูปเดิม มุมสะท้อน $POR = 260^{\circ}$ และ $\angle QRV = 70^{\circ}$ จงหา $\angle OPQ$
Answershow ▾
Same three steps, then subtract.สามขั้นเดิม แล้วลบ
$P$, $Q$ and $R$ are points on a circle, centre $O$.
$TRV$ is the tangent to the circle at $R$.
Reflex angle $POR = 238°$ angle $QRV = 60°$
Calculate the size of angle $OPQ$.
Give a reason for each stage of your working.
$P$, $Q$ และ $R$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
$TRV$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $R$
มุมสะท้อน $POR = 238°$ มุม $QRV = 60°$
จงหาขนาดของมุม $OPQ$
จงให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
Answershow ▾
4 marks. Two of them are for reasons.4 คะแนน · สองคะแนนเป็นคะแนนเหตุผล
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
B1 $\angle OPR = (180^{\circ}-122^{\circ})\div2 = 29^{\circ}$ ($OP=OR$, isosceles triangle)
B1 $\angle RPQ = 60^{\circ}$ (alternate segment theorem)
A1 $\angle OPQ = 60^{\circ}-29^{\circ} = 31^{\circ}$.
The two B1 marks need the reasons, not only the numbers.
Isosceles triangle, then a full turn สามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้วมุมรอบจุด
(a) The diagram shows an isosceles triangle with the base extended. Find the value of $x$.
(b) The diagram shows three lines meeting at a point. The ratio $a:b:c = 3:4:5$. Find the value of $c$.
(ก) รูปแสดงสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ต่อฐานออกไป จงหาค่าของ $x$
(ข) รูปแสดงเส้นตรงสามเส้นที่มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง โดยที่ $a:b:c=3:4:5$ จงหาค่าของ $c$
An isosceles triangle has its two equal sides meeting at an angle of $42^{\circ}$. Find each base angle.
สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านเท่ากันสองด้านมาพบกันที่มุม $42^{\circ}$ จงหามุมที่ฐานแต่ละมุม
Answershow ▾
Base angles of an isosceles triangle are equal.มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน
An angle of $69^{\circ}$ lies on a straight line next to another angle, $p$. Find $p$.
มุม $69^{\circ}$ อยู่บนเส้นตรง ติดกับมุมอีกมุมหนึ่งคือ $p$ จงหา $p$
Answershow ▾
Angles on a straight line add up to $180^{\circ}$.มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $180^{\circ}$
Three angles at a point are in the ratio $3:4:5$. Find the largest share of $360^{\circ}$.
มุมสามมุมที่จุดหนึ่งมีอัตราส่วน $3:4:5$ จงหาส่วนแบ่งที่มากที่สุดของ $360^{\circ}$
Answershow ▾
Angles around a point add up to $360^{\circ}$.มุมรอบจุดหนึ่งรวมกันได้ $360^{\circ}$
The diagram shows an isosceles triangle with the base extended; the apex angle is $42^{\circ}$. Pick the first move to find $x$.
(A) $x=180-42$
(B) first find the base angle, $(180-42)\div2$
(C) $x=42$
รูปแสดงสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ต่อฐานออกไป มุมที่ยอดคือ $42^{\circ}$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $x$
(A) $x=180-42$
(B) หามุมที่ฐานก่อน $(180-42)\div2$
(C) $x=42$
Answershow ▾
(A) treats $x$ as next to the apex angle, but $x$ is next to the base angle at $B$, not the apex. (C) copies the apex angle onto $x$ for no reason - they are not vertically opposite or equal.(A) ถือว่า $x$ ติดกับมุมที่ยอด แต่ $x$ ติดกับมุมที่ฐานที่ $B$ ไม่ใช่ยอด · (C) ลอกมุมที่ยอดมาใส่ $x$ ทั้งที่ไม่ใช่มุมตรงข้ามหรือมุมเท่ากัน
In the diagram, the base angle at $B$ and the apex angle $42^{\circ}$ belong to the same isosceles triangle. Work out the base angle at $B$.
ในรูป มุมที่ฐานที่ $B$ และมุมที่ยอด $42^{\circ}$ อยู่ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วเดียวกัน จงหามุมที่ฐานที่ $B$
Answershow ▾
The two base angles of the isosceles triangle are equal, so each is half of what is left after $42^{\circ}$.มุมที่ฐานทั้งสองของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน จึงหารครึ่งจากส่วนที่เหลือหลังหัก $42^{\circ}$
At $B$, the base angle $69^{\circ}$ and $x$ lie on the straight line through $A$, $B$ and the extension. Work out $x$.
ที่ $B$ มุมที่ฐาน $69^{\circ}$ กับ $x$ อยู่บนเส้นตรงที่ลากผ่าน $A$, $B$ และส่วนต่อ จงหา $x$
Answershow ▾
Angles on a straight line add up to $180^{\circ}$.มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $180^{\circ}$
Three lines meet at a point, with $a:b:c=3:4:5$. Pick the first move to find $c$.
(A) $a+b+c=180$
(B) $a+b+c=360$, then $c=\dfrac{5}{3+4+5}\times360$
(C) $c=360\times5$
เส้นตรงสามเส้นมาบรรจบที่จุดหนึ่ง โดย $a:b:c=3:4:5$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $c$
(A) $a+b+c=180$
(B) $a+b+c=360$ แล้ว $c=\dfrac{5}{3+4+5}\times360$
(C) $c=360\times5$
Answershow ▾
(A) is the straight-line total, but these three angles fill a full turn at a point, not a line. (C) multiplies by $360$ instead of taking a share of it, giving a number far bigger than $360$ itself.(A) คือผลรวมบนเส้นตรง แต่สามมุมนี้เติมรอบเต็มที่จุดหนึ่ง ไม่ใช่เส้นตรง · (C) คูณด้วย $360$ แทนการหาส่วนแบ่งจาก $360$ ทำให้ได้ค่ามากกว่า $360$ เองไปอีก
Using $a+b+c=360$ and $a:b:c=3:4:5$, work out $c$.
ใช้ $a+b+c=360$ และ $a:b:c=3:4:5$ จงหา $c$
Answershow ▾
$c$ is the share of $360^{\circ}$ that matches its part of the ratio.$c$ คือส่วนแบ่งของ $360^{\circ}$ ตามสัดส่วนของตัวมันในอัตราส่วน
Work out $x=180-(180-42)\div2$ in one line.
จงหา $x=180-(180-42)\div2$ ในบรรทัดเดียว
Answershow ▾
The base angle and the straight-line fact chained into one calculation.มุมที่ฐานกับกฎเส้นตรง รวมเป็นการคำนวณเดียว
Check your answer for $c$: the other two shares are $a=90^{\circ}$ and $b=120^{\circ}$. Work out $90+120+150$. Does it equal $360^{\circ}$?
ตรวจคำตอบของ $c$: อีกสองส่วนแบ่งคือ $a=90^{\circ}$ และ $b=120^{\circ}$ จงหา $90+120+150$ ได้ $360^{\circ}$ หรือไม่
Answershow ▾
The three real shares add back up to a full turn.สามส่วนแบ่งจริงรวมกันกลับไปเป็นมุมรอบจุดเต็ม
(a) An isosceles triangle has its two equal sides meeting at $40^{\circ}$, and the base is extended. Find $x$, the angle between the extension and the sloping side.
(b) Three lines meet at a point, with $a:b:c=2:3:4$. Find $c$.
(ก) สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านเท่ากันสองด้านมาพบกันที่มุม $40^{\circ}$ และต่อฐานออกไป จงหา $x$ ซึ่งเป็นมุมระหว่างส่วนต่อกับด้านเอียง
(ข) เส้นตรงสามเส้นมาบรรจบที่จุดหนึ่ง โดย $a:b:c=2:3:4$ จงหา $c$
Answershow ▾
Same two moves: the base angle then the straight line; the full turn shared in the ratio.สองขั้นเดิม: มุมที่ฐานแล้วเส้นตรง · มุมรอบจุดแบ่งตามสัดส่วน
(a) The diagram shows an isosceles triangle with the base extended. Find the value of $x$.
(b) The diagram shows three lines meeting at a point. The ratio $a:b:c = 3:4:5$. Find the value of $c$.
(ก) รูปแสดงสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ต่อฐานออกไป จงหาค่าของ $x$
(ข) รูปแสดงเส้นตรงสามเส้นที่มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง โดยที่ $a:b:c=3:4:5$ จงหาค่าของ $c$
Answershow ▾
6 marks: the base angle then the straight line for $x$; the full turn shared in the ratio for $c$.6 คะแนน: มุมที่ฐานแล้วเส้นตรงสำหรับ $x$ · มุมรอบจุดแบ่งตามสัดส่วนสำหรับ $c$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\text{base angle} = \dfrac{180-42}{2} = 69$
A1 the value of $x$ค่าของ $x$
$x = 180-69$
$x = 111$
B1 a full turn is $360°$มุมรอบจุดหนึ่งจุดรวมกันได้ $360°$
$a+b+c = 360$
M1 $c$ as a share of the whole turn$c$ เป็นส่วนแบ่งของมุมรอบจุด
$c = \dfrac{5}{3+4+5}\times360$
A1 the value of $c$ค่าของ $c$
$c = 150$
Parallel sides, find the angle ด้านขนาน หามุมที่ใหญ่ที่สุด
$ABCD$ is a trapezium. $BC$ is parallel to $AD$. Find the size of the largest angle inside the trapezium.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู โดยที่ $BC$ ขนานกับ $AD$ จงหาขนาดของมุมที่ใหญ่ที่สุดในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้
Simplify $(4x-27)+(3x+46)$.
จงทําให้อยู่ในรูปอย่างอย่าง $(4x-27)+(3x+46)$
Answershow ▾
Add the $x$ terms together, then add the numbers together.บวกพจน์ $x$ เข้าด้วยกี้น แล้วบวกจําเพาะเข้าด้วยกี้น
Solve $7x+19=180$ for $x$.
จงแก้สมการ $7x+19=180$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Subtract $19$ from both sides, then divide by $7$.ลบ $19$ ออกจากสองข้าง แล้วหารด้วย $7$
The angle at $C$ is $(3x+10)°$. Using $x=23$, work out this angle.
มุมที่ $C$ คือ $(3x+10)°$ เมื่อ $x=23$ จงหาค่ามุมนี้
Answershow ▾
Substitute $x=23$ into the expression, then work it out.แทน $x=23$ ลงในนิพจน์ แล้วคำนวณ
$ABCD$ is a trapezium, $BC$ parallel to $AD$, and $AB$ is the transversal crossing both. The angle at $A$ is $(4x-27)°$ and the angle at $B$ is $(3x+46)°$. Pick the first move.
(A) $(4x-27)=(3x+46)$ — alternate angles, equal
(B) $(4x-27)+(3x+46)=180$ — co-interior angles, sum to $180°$
(C) $(4x-27)+(3x+46)+(3x+10)=360$ — add all three given angles
$ABCD$ เป็นสิ่เหลี้ยมคางหมู $BC$ ขนานกาบ $AD$ และ $AB$ เป็นเส้นตัดขวางที่พาดผ่านทั้งสองเส้น มุมที่ $A$ คือ $(4x-27)°$ และมุมที่ $B$ คือ $(3x+46)°$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $(4x-27)=(3x+46)$ — มุมแย้ง (alternate) เท่ากัน
(B) $(4x-27)+(3x+46)=180$ — มุมภายในข้างเดียวกิน (co-interior) รวมกันได้ $180°$
(C) $(4x-27)+(3x+46)+(3x+10)=360$ — บวกมุมที่กำหนดมาทั้งสามมุม
Answershow ▾
(A) $A$ and $B$ sit on the same side of $AB$ between the parallels, so they are co-interior (sum $180°$), not alternate; (C) a quadrilateral has four angles and $D$ is still unknown.(A) มอง $A$ และ $B$ เป็นมุมแย้ง (อยู่คนละฝั่งของเส้นตัด) แต่ความจรงอยู่ฝั่งเดียวกัน ระหว่างเส้นขนาน จึงเป็น co-interior ซึ้งรวมกันได้ $180°$ ไม่เท่ากัน · (C) เอามุมที่กำหนดสามมุมมาบวกเป็น $360°$ แต่สิ่เหลี้ยมมีสี่มุม และมุมที่สี่ที่ $D$ ยังไม่รู้ค่า สามพจน์เพียงอย่างเดียวเท่ากับ $360°$ ไม่ได้
The angle at $A$, $(4x-27)°$, and the angle at $B$, $(3x+46)°$, are co-interior. Write the equation, with the $x$-terms and numbers collected.
มุมที่ $A$ ซึ่งคือ $(4x-27)°$ และมุมที่ $B$ ซึ่งคือ $(3x+46)°$ เป็น co-interior จงเข้าสมการ โดยรวมพจน์ $x$ และจําเพาะเข้าด้วยกี้น
Answershow ▾
Collect the $x$ terms and the numbers on the left separately.รวมพจน์ $x$ และจําเพาะรายด้านซ้ายแยกกัน
Solve $7x+19=180$ for $x$.
จงแก้สมการ $7x+19=180$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Same moves as before: subtract $19$, then divide by $7$.ขั้นตอนเดา: ลบ $19$ แล้วหารด้วย $7$
Substitute $x=23$ into the angle at $B$, $(3x+46)°$. Write the calculation.
แทน $x=23$ ลงในมุมที่ $B$ ซึ่งคือ $(3x+46)°$ จงเข้าสมการ
Answershow ▾
Replace $x$ with $23$. Do not evaluate yet.แทน $x$ ด้วย $23$ ยังไม่ต้องคำนวณ
Work out $3(23)+46$.
จงคำนวณ $3(23)+46$
Answershow ▾
Multiply first, then add.คูณก่อน แล้วบวก
Check: the angle at $A$ is $4(23)-27=65°$. Does $65°+115°=180°$, matching the co-interior fact?
ตรวจสอบ: มุมที่ $A$ คือ $4(23)-27=65°$ แล้ว $65°+115°=180°$ หรือไม่ ตรงกับข้อเท็จจริง co-interior หรือไม่
Answershow ▾
A co-interior pair always sums to $180°$ - use this to check the angle at $B$.มุมคู่ co-interior รวมกันได้ $180°$ เสมอ - ใช้ตรวจมุมที่ $B$
$EFGH$ is a trapezium, $FG$ parallel to $EH$. The angle at $E$ is $(3x+10)°$ and the angle at $F$ is $(2x+20)°$. Work out the size of the largest angle inside the trapezium.
$EFGH$ เป็นสิ่เหลี้ยมคางหมู $FG$ ขนานกับ $EH$ มุมที่ $E$ คือ $(3x+10)°$ และมุมที่ $F$ คือ $(2x+20)°$ จงหาขนาดมุมที่ใหญ่ที่สุดในรูปสิ่เหลี้ยมคางหมูนี้
Answershow ▾
Same two moves: the co-interior equation, then substitute $x$ back into the larger angle.สองขั้นตอนเดา: สมการ co-interior แล้วแทน $x$ กลับเข้ามุมที่ใหญ่กว่า
$ABCD$ is a trapezium. $BC$ is parallel to $AD$. Find the size of the largest angle inside the trapezium.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู โดยที่ $BC$ ขนานกับ $AD$ จงหาขนาดของมุมที่ใหญ่ที่สุดในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้
Answershow ▾
4 marks: the co-interior equation, solve for $x$, substitute into the angle at $B$, then evaluate.4 คะแนน: สมการ co-interior แก้หา $x$ แทนก่านมุมที่ $B$ แล้วคำนวณ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(4x-27)+(3x+46) = 180$
A1 the value of $x$ค่าของ $x$
$7x+19 = 180$
$x = 23$
M1ft substitute their $x$ into the angle at $B$แทนค่า $x$ ของตนลงในมุมที่ $B$
$3x+46 = 3(23)+46$
A1 the largest angleมุมที่ใหญ่ที่สุด
$= 115$
Two isosceles triangles sharing a side สามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูปใช้ด้านร่วมกัน
Triangle $ABC$ and triangle $ACD$ are isosceles. Angle $DAB = 86°$ and angle $ADC = 58°$. Find the value of $x$.
สามเหลี่ยม $ABC$ และสามเหลี่ยม $ACD$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุม $DAB = 86°$ และมุม $ADC = 58°$ จงหาค่าของ $x$
In an isosceles triangle, one base angle is $58°$. Write the other base angle.
สามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปหนึ่งมีมุมฐานมุมหนึ่งเท่ากับ $58°$ จงเขียนมุมฐานอีกมุม
Answershow ▾
The two base angles of an isosceles triangle are equal.มุมฐานทั้งสองของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน
A triangle has two angles of $58°$ each. Find the third angle.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมสองมุมเท่ากับ $58°$ ทั้งคู่ จงหามุมที่สาม
Answershow ▾
The three angles of a triangle add to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180°$
A line splits an angle of $86°$ into two parts. One part is $64°$. Find the other part.
เส้นตรงเส้นหนึ่งแบ่งมุม $86°$ ออกเป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งเท่ากับ $64°$ จงหาส่วนที่เหลือ
Answershow ▾
The two parts of a split angle add to the whole angle.สองส่วนของมุมที่ถูกแบ่งรวมกันได้เท่ากับมุมเดิมทั้งหมด
Triangle $ABC$ and triangle $ACD$ are both isosceles, sharing side $AC$. Angle $DAB=86°$ and angle $ADC=58°$. Pick the first move.
(A) in triangle $ABC$, use angle $BAC = 86°$
(B) in triangle $ACD$, use the equal sides to get angle $ACD = 58°$
(C) in triangle $ABC$, use angle $ADC = 58°$ as one of its angles
สามเหลี่ยม $ABC$ และสามเหลี่ยม $ACD$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วทั้งคู่ โดยมีด้าน $AC$ ร่วมกัน มุม $DAB=86°$ และมุม $ADC=58°$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ในสามเหลี่ยม $ABC$ ใช้มุม $BAC = 86°$
(B) ในสามเหลี่ยม $ACD$ ใช้ด้านที่เท่ากันหามุม $ACD = 58°$
(C) ในสามเหลี่ยม $ABC$ ใช้มุม $ADC = 58°$ เป็นมุมหนึ่งของมัน
Answershow ▾
(A) angle $DAB$ is the WHOLE angle at $A$, split by $AC$ into angle $DAC$ and angle $CAB$ - it is not angle $BAC$ on its own. (C) angle $ADC$ is an angle of triangle $ACD$, not of triangle $ABC$ - $B$ is not even one of its vertices.(A) มุม $DAB$ คือมุมเต็มที่จุด $A$ ซึ่งถูกเส้น $AC$ แบ่งเป็นมุม $DAC$ และมุม $CAB$ ไม่ใช่มุม $BAC$ เพียงมุมเดียว · (C) มุม $ADC$ เป็นมุมของสามเหลี่ยม $ACD$ ไม่ใช่ของสามเหลี่ยม $ABC$ เพราะ $B$ ไม่ได้เป็นมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมนั้นเลย
Triangle $ACD$ is isosceles with $AD=AC$, and angle $ADC=58°$. Find angle $ACD$.
สามเหลี่ยม $ACD$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดย $AD=AC$ และมุม $ADC=58°$ จงหามุม $ACD$
Answershow ▾
Base angles of an isosceles triangle are equal.มุมฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน
Using angle $ADC=58°$ and angle $ACD=58°$, find angle $DAC$.
ใช้มุม $ADC=58°$ และมุม $ACD=58°$ จงหามุม $DAC$
Answershow ▾
The three angles of triangle $ACD$ add to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยม $ACD$ รวมกันได้ $180°$
Angle $DAB=86°$ splits into angle $DAC=64°$ (just found) and angle $CAB$. Find angle $CAB$.
มุม $DAB=86°$ ถูกแบ่งเป็นมุม $DAC=64°$ (ที่หาได้) และมุม $CAB$ จงหามุม $CAB$
Answershow ▾
Subtract the part you know from the whole angle.นำส่วนที่รู้ไปลบออกจากมุมเต็ม
Triangle $ABC$ is isosceles with $AB=AC$, and angle $BAC=22°$ (the apex). Find $x$, where $x=$ angle $ABC=$ angle $ACB$.
สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดย $AB=AC$ และมุม $BAC=22°$ (มุมยอด) จงหา $x$ โดยที่ $x=$ มุม $ABC=$ มุม $ACB$
Answershow ▾
$180°$ minus the apex, shared equally between the two base angles.$180°$ ลบมุมยอด แล้วแบ่งเท่า ๆ กันให้มุมฐานทั้งสอง
Check: the angles of quadrilateral $ABCD$ should add to $360°$. Does $86+79+(79+58)+58=360$?
จงตรวจ: มุมของรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ ควรรวมกันได้ $360°$ จงตรวจว่า $86+79+(79+58)+58=360$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
Angle $BCD$ is angle $BCA$ plus angle $ACD$, which is $x+58$.มุม $BCD$ คือมุม $BCA$ รวมกับมุม $ACD$ ซึ่งเท่ากับ $x+58$
Triangle $PQR$ and triangle $PRS$ are isosceles. Angle $SPQ=100°$ and angle $PSR=55°$. Find the value of $x$, where $x=$ angle $PQR$.
สามเหลี่ยม $PQR$ และสามเหลี่ยม $PRS$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุม $SPQ=100°$ และมุม $PSR=55°$ จงหาค่าของ $x$ โดยที่ $x=$ มุม $PQR$
Answershow ▾
Same three moves: base angle, apex, split, then base angle again - this time in the other triangle.สามขั้นเดิม: มุมฐาน มุมยอด แบ่งมุม แล้วมุมฐานอีกครั้ง คราวนี้ในสามเหลี่ยมอีกรูป
Triangle $ABC$ and triangle $ACD$ are isosceles. Angle $DAB = 86°$ and angle $ADC = 58°$. Find the value of $x$.
สามเหลี่ยม $ABC$ และสามเหลี่ยม $ACD$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุม $DAB = 86°$ และมุม $ADC = 58°$ จงหาค่าของ $x$
Answershow ▾
3 marks: the base angle in triangle $ACD$, the split of angle $DAB$, then the base angle in triangle $ABC$.3 คะแนน: มุมฐานในสามเหลี่ยม $ACD$ การแบ่งมุม $DAB$ แล้วมุมฐานในสามเหลี่ยม $ABC$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$86 + x + (x+58) + 58 = 360$
A1 the value of $x$ค่าของ $x$
$2x = 360-202$
$x = 79$
A straight line through a regular polygon เส้นตรงที่ลากผ่านรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า
Here is a $9$-sided regular polygon $ABCDEFGHJ$, with centre $O$. $ODK$ and $FEK$ are straight lines. Work out the value of $x$.
นี่คือรูปเก้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า $ABCDEFGHJ$ มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยที่ $ODK$ และ $FEK$ เป็นเส้นตรง จงหาค่าของ $x$
A regular polygon has $9$ sides and centre $O$. $D$ and $E$ are two vertices next to each other. Work out the angle $\angle DOE$ at the centre.
รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ารูปหนึ่งมี $9$ ด้าน จุดศูนย์กลางคือ $O$ โดย $D$ และ $E$ เป็นจุดยอดที่อยู่ติดกัน จงหามุม $\angle DOE$ ที่จุดศูนย์กลาง
Answershow ▾
A full turn, $360°$, is shared equally among the $9$ vertices.มุมรอบจุด $360°$ ถูกแบ่งเท่าๆ กันให้จุดยอดทั้ง $9$ จุด
In triangle $ODE$, $OD=OE$ and angle $DOE=40°$. Work out the base angles, angle $ODE$ and angle $OED$.
ในสามเหลี่ยม $ODE$ มี $OD=OE$ และมุม $DOE=40°$ จงหามุมที่ฐาน คือมุม $ODE$ และมุม $OED$
Answershow ▾
The two base angles are equal; share what is left of $180°$ between them.มุมที่ฐานทั้งสองเท่ากัน แบ่ง $180°$ ที่เหลือให้มุมทั้งสองเท่าๆ กัน
A regular polygon has $9$ sides. Work out one interior angle.
รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ารูปหนึ่งมี $9$ ด้าน จงหามุมภายในหนึ่งมุม
Answershow ▾
Interior sum is $(9-2)\times180$; share it equally among the $9$ equal angles.ผลรวมมุมภายในคือ $(9-2)\times180$ แบ่งเท่าๆ กันให้มุมทั้ง $9$ มุมที่เท่ากัน
$O$ is the centre and $D$, $E$ are adjacent vertices. To find angle $ODE$, pick the first move.
(A) angle $ODE=$ the interior angle of the polygon $=140°$
(B) find angle $DOE$ at the centre, then use triangle $ODE$ is isosceles
(C) angle $ODE=360\div9=40°$
$O$ เป็นจุดศูนย์กลาง และ $D$, $E$ เป็นจุดยอดที่อยู่ติดกัน หาจะมุม $ODE$ จงเลือกขั้นแรก
(A) มุม $ODE=$ มุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม $=140°$
(B) หามุม $DOE$ ที่จุดศูนย์กลางก่อน แล้วใช้สามเหลี่ยม $ODE$ ที่เป็นหน้าจั่ว
(C) มุม $ODE=360\div9=40°$
Answershow ▾
(A) $140°$ is the whole corner of the polygon at $D$ or $E$, between two sides - a different angle from the triangle base angle. (C) $40°$ is the angle $DOE$ at the centre, not the base angle $ODE$ - it still needs the isosceles-triangle step.(A) $140°$ คือมุมภายในทั้งมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่จุด $D$ หรือ $E$ ระหว่างด้านสองด้าน ซึ่งเป็นมุมคนละมุมกับมุมที่ฐานของสามเหลี่ยม · (C) $40°$ คือมุม $DOE$ ที่จุดศูนย์กลาง ไม่ใช่มุมที่ฐาน $ODE$ ยังต้องใช้ขั้นตอนสามเหลี่ยมหน้าจั่วต่ออยู่ดี
$ABCDEFGHJ$ is the real $9$-sided regular polygon, centre $O$. Work out angle $ODE$.
$ABCDEFGHJ$ คือรูปเก้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าในข้อจริง จุดศูนย์กลางคือ $O$ จงหามุม $ODE$
Answershow ▾
Centre angle first, $360\div9$, then the isosceles base angle.หามุมที่จุดศูนย์กลางก่อน $360\div9$ แล้วหามุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
Work out the interior angle of the regular $9$-sided polygon $ABCDEFGHJ$ at the vertex $E$.
จงหามุมภายในของรูปเก้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า $ABCDEFGHJ$ ที่จุดยอด $E$
Answershow ▾
Same formula as before, $(9-2)\times180\div9$, now at the real vertex $E$.สูตรเดิม $(9-2)\times180\div9$ นำมาใช้ที่จุดยอด $E$ จริง
$F$, $E$, $K$ lie on a straight line, and the interior angle at $E$ is $140°$. Work out angle $DEK$.
$F$, $E$, $K$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมุมภายในที่ $E$ คือ $140°$ จงหามุม $DEK$
Answershow ▾
Angles on a straight line add to $180°$.มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $180°$
$O$, $D$, $K$ lie on a straight line, and angle $ODE=70°$. Work out angle $EDK$.
$O$, $D$, $K$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมุม $ODE=70°$ จงหามุม $EDK$
Answershow ▾
Angles on a straight line add to $180°$, same move as angle $DEK$.มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $180°$ ใช้วิธีเดียวกับมุม $DEK$
In triangle $DEK$, angle $EDK=110°$ and angle $DEK=40°$. Work out $x$, angle $DKE$.
ในสามเหลี่ยม $DEK$ มุม $EDK=110°$ และมุม $DEK=40°$ จงหา $x$ ซึ่งคือมุม $DKE$
Answershow ▾
The three angles of a triangle add to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180°$
A regular $12$-sided polygon has centre $O$. $P$ and $Q$ are two adjacent vertices, and $R$ is the next vertex after $Q$. $OPK$ and $RQK$ are straight lines. Work out angle $PKQ$.
รูปสิบสองเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ารูปหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง $O$ โดย $P$ และ $Q$ เป็นจุดยอดที่อยู่ติดกัน และ $R$ เป็นจุดยอดถัดไปจาก $Q$ $OPK$ และ $RQK$ เป็นเส้นตรง จงหามุม $PKQ$
Answershow ▾
Same four moves: centre angle, isosceles base angle, interior angle, two straight lines, then the triangle sum.สี่ขั้นเดิม: มุมที่จุดศูนย์กลาง มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมภายใน เส้นตรงสองเส้น แล้วผลรวมมุมของสามเหลี่ยม
Here is a $9$-sided regular polygon $ABCDEFGHJ$, with centre $O$. $ODK$ and $FEK$ are straight lines. Work out the value of $x$.
นี่คือรูปเก้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า $ABCDEFGHJ$ มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยที่ $ODK$ และ $FEK$ เป็นเส้นตรง จงหาค่าของ $x$
Answershow ▾
3 marks: the centre angle and isosceles base angle, then the interior angle and the two straight lines, then the triangle angle sum.3 คะแนน: มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้วมุมภายในและเส้นตรงสองเส้น แล้วผลรวมมุมของสามเหลี่ยม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle DOE = \dfrac{360}{9} = 40$
$\angle ODE$
$= \angle OED$
$= \dfrac{180-40}{2}$
$= 70$
M1 angles on the straight lines $ODK$ and $FEK$, using the interior angle at $E$มุมบนเส้นตรง $ODK$ และ $FEK$ โดยใช้มุมภายในที่ $E$
$\text{interior angle}$
$= \dfrac{(9-2)\times180}{9}$
$= 140$
$\angle DEK = 180-140 = 40$
$\angle EDK = 180-70 = 110$
A1 the value of $x$, the angle sum of triangle $DEK$ค่าของ $x$ จากผลรวมมุมของสามเหลี่ยม $DEK$
$x = 180-110-40$
$x = 30$
Reflex angle from two tangents มุมสะท้อนจากเส้นสัมผัสสองเส้น
$A$ and $C$ are points on a circle, centre $O$. $DA$ is the tangent to the circle at $A$ and $DC$ is the tangent to the circle at $C$. Angle $ADC = 48°$. Work out the size of reflex angle $AOC$.
$A$ และ $C$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยที่ $DA$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และ $DC$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $C$ มุม $ADC = 48°$ จงหาขนาดของมุมสะท้อน (reflex angle) $AOC$
$DA$ is the tangent to a circle at $A$, and $O$ is the centre. Write the size of angle $OAD$.
$DA$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ โดย $O$ คือจุดศูนย์กลาง จงเขียนขนาดของมุม $OAD$
Answershow ▾
A tangent meets the radius at the point of contact at a right angle.เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัสเสมอ
A quadrilateral has angles $90°$, $90°$, $48°$, and $x$. Work out $x$.
รูปสี่เหลี่ยมหนึ่งมีมุม $90°$, $90°$, $48°$ และ $x$ จงหา $x$
Answershow ▾
The four angles of any quadrilateral add up to $360°$.มุมทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ รวมกันได้ $360°$
The angles around a point add up to $360°$. One of them is $132°$. Work out the reflex angle on the other side of the point.
มุมรอบจุดหนึ่งรวมกันได้ $360°$ มุมหนึ่งมีขนาด $132°$ จงหามุมสะท้อนอีกด้านของจุดนั้น
Answershow ▾
The reflex angle is what is left of the full turn once the other angle is taken away.มุมสะท้อนคือส่วนที่เหลือของมุมรอบจุด หลังหักมุมอีกมุมออกไปแล้ว
$DA$ and $DC$ are tangents to the circle, touching at $A$ and $C$. Angle $ADC=48°$. Pick the first fact to use.
(A) reflex angle $AOC=2\times48$
(B) angle $OAD=\angle OCD=90°$ (tangent meets radius)
(C) $OADC$ is a parallelogram, so opposite angles are equal
$DA$ และ $DC$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และ $C$ มุม $ADC=48°$ จงเลือกข้อเท็จจริงที่ใช้เป็นขั้นแรก
(A) มุมสะท้อน $AOC=2\times48$
(B) มุม $OAD=\angle OCD=90°$ (เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี)
(C) $OADC$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมตรงข้ามจึงเท่ากัน
Answershow ▾
(A) doubles the tangent angle, but that rule is for the angle a chord makes at the centre, not two tangents. (C) assumes $OADC$ is a shape it was never given to be. The two right angles from the tangent-radius fact are free.(A) เอามุมที่เส้นสัมผัสไปคูณสอง แต่กฎนั้นใช้กับมุมที่จุดศูนย์กลางจากคอร์ด ไม่ใช่เส้นสัมผัสสองเส้น · (C) สมมติว่า $OADC$ เป็นรูปที่ไม่ได้กำหนดให้เป็น มุมฉากสองมุมจากเส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีคือมุมที่ได้มาฟรี
$DA$ and $DC$ are tangents, touching the circle at $A$ and $C$. Write angle $OAD$ and angle $OCD$.
$DA$ และ $DC$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และ $C$ จงเขียนมุม $OAD$ และมุม $OCD$
Answershow ▾
A tangent meets its radius at a right angle, at both points of contact.เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีของมันที่จุดสัมผัสทั้งสองจุด
$OADC$ is a quadrilateral. Using angle $OAD=90°$, angle $OCD=90°$ and angle $ADC=48°$, write the equation for angle $AOC$.
$OADC$ เป็นรูปสี่เหลี่ยม ใช้มุม $OAD=90°$, มุม $OCD=90°$ และมุม $ADC=48°$ จงเขียนสมการของมุม $AOC$
Answershow ▾
The angle sum of quadrilateral $OADC$ is $360°$.ผลรวมมุมของรูปสี่เหลี่ยม $OADC$ คือ $360°$
Work out $360-90-90-48$.
จงคำนวณ $360-90-90-48$
Answershow ▾
This is the angle $AOC$ inside the quadrilateral - not yet the reflex angle the question asks for.นี่คือมุม $AOC$ ภายในรูปสี่เหลี่ยม - ยังไม่ใช่มุมสะท้อนที่โจทย์ถาม
Angle $AOC=132°$ is the angle inside quadrilateral $OADC$. The question asks for the REFLEX angle $AOC$. Pick the move.
(A) $132\times2=264$
(B) $180-132=48$
(C) $360-132=228$
มุม $AOC=132°$ คือมุมภายในรูปสี่เหลี่ยม $OADC$ โจทย์ถามมุมสะท้อน $AOC$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) $132\times2=264$
(B) $180-132=48$
(C) $360-132=228$
Answershow ▾
(A) doubling has no reason - $132$ is not a half-angle. (B) treats it as co-interior with a line, giving back $48°$ by coincidence. A reflex angle and its partner always add to $360°$.(A) การคูณสองไม่มีเหตุผลรองรับ $132$ ไม่ใช่ครึ่งมุม · (B) ปฏิบัติเหมือนมุมประชิดบนเส้นตรง ซึ่งบังเอิญย้อนกลับไปได้ $48°$ · มุมสะท้อนกับมุมคู่ของมันรวมกันได้ $360°$ เสมอ
Work out $360-132$.
จงคำนวณ $360-132$
Answershow ▾
The reflex angle and the $132°$ angle together make one full turn around $O$.มุมสะท้อนกับมุม $132°$ รวมกันเป็นมุมรอบจุด $O$ เต็มหนึ่งรอบ
Check: do angle $OAD$, angle $OCD$, angle $ADC$ and angle $AOC$ (the one inside the quadrilateral, not the reflex one) add up to $360°$? $90+90+48+132={?}$
ตรวจสอบ: มุม $OAD$, มุม $OCD$, มุม $ADC$ และมุม $AOC$ (มุมภายในรูปสี่เหลี่ยม ไม่ใช่มุมสะท้อน) รวมกันได้ $360°$ หรือไม่ $90+90+48+132={?}$
Answershow ▾
A quadrilateral built correctly always checks back to $360°$.รูปสี่เหลี่ยมที่สร้างถูกต้อง ผลรวมมุมจะย้อนกลับไปที่ $360°$ เสมอ
$XT$ and $YT$ are tangents to a circle, centre $O$, touching it at $X$ and $Y$. Angle $XTY=70°$. Work out reflex angle $XOY$.
$XT$ และ $YT$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลม ศูนย์กลาง $O$ สัมผัสที่จุด $X$ และ $Y$ มุม $XTY=70°$ จงหามุมสะท้อน $XOY$
Answershow ▾
Same three moves: two right angles, the quadrilateral angle sum, then subtract from $360°$.สามขั้นเดิม: มุมฉากสองมุม ผลรวมมุมของรูปสี่เหลี่ยม แล้วลบออกจาก $360°$
$A$ and $C$ are points on a circle, centre $O$. $DA$ is the tangent to the circle at $A$ and $DC$ is the tangent to the circle at $C$. Angle $ADC = 48°$. Work out the size of reflex angle $AOC$.
$A$ และ $C$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยที่ $DA$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และ $DC$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $C$ มุม $ADC = 48°$ จงหาขนาดของมุมสะท้อน (reflex angle) $AOC$
Answershow ▾
3 marks: both right angles from the tangent, the quadrilateral angle sum, then $360°$ minus that for the reflex angle.3 คะแนน: มุมฉากทั้งสองจากเส้นสัมผัส ผลรวมมุมของรูปสี่เหลี่ยม แล้วลบออกจาก $360°$ หาได้มุมสะท้อน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle OAD = \angle OCD = 90$
M1 the angle sum of quadrilateral $OADC$ผลรวมมุมของรูปสี่เหลี่ยม $OADC$
$\angle AOC = 360-90-90-48$
$= 132$
A1 the reflex angleมุมสะท้อน (reflex angle)
$\text{reflex}\angle AOC = 360-132$
$= 228$
Diameter angle, then same-segment angle มุมจากเส้นผ้านศูนย์กลาง แล้วมุมในส่วนโค้งเดียวกีน
$P$, $Q$, $R$ and $S$ are points on a circle, centre $O$. $ROP$ is a diameter of the circle. Angle $PRQ = 22°$.
(a)(i) Find the size of angle $RQP$.
(a)(ii) Give a reason for your answer.
(b)(i) Find the size of angle $PSQ$.
(b)(ii) Give a reason for your answer.
$P$, $Q$, $R$ และ $S$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยที่ $ROP$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $PRQ = 22°$
(a)(i) จงหาขนาดของมุม $RQP$
(a)(ii) จงให้เหตุผลประกอบคำตอบของท่าน
(b)(i) จงหาขนาดของมุม $PSQ$
(b)(ii) จงให้เหตุผลประกอบคำตอบของท่าน
Triangle $ABC$ is drawn inside a circle, with $AC$ a diameter. Find the size of angle $ABC$.
สามเหลี่ยม $ABC$ อยู่ในวงกลม โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จงหาขนาดมุม $ABC$
Answershow ▾
A triangle drawn on a diameter always has a right angle at the point on the circle.สามเหลี่ยมที่สองด้านอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลาง จะมีมุมฉากเสมอที่จุดบนวงกลม
Angles $\angle APB$ and $\angle AQB$ both sit in the same segment of a circle, looking at the same chord $AB$. $\angle APB=22°$. Work out $\angle AQB$.
มุม $\angle APB$ และ $\angle AQB$ อยู่ในส่วนโค้งเดียวกีน มองคอร์ด $AB$ เส้นเดียวกีน $\angle APB=22°$ จงหา $\angle AQB$
Answershow ▾
Angles in the same segment, on the same chord, are equal.มุมในส่วนโค้งเดียวกีน บนคอร์ดเดียวกีน มีขนาดเท่ากัน
In a circle with centre $O$, the points $R$, $O$, $P$ lie on one straight line. Name the diameter.
ในวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ จุด $R$, $O$, $P$ อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกัน จงบอกชื่อเส้นผ่านศูนย์กลาง
Answershow ▾
A straight line through the centre, from one point on the circle to another, is a diameter.เส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง จากจุดบนวงกลมไปอีกจุด คือเส้นผ่านศูนย์กลาง
$ROP$ is a diameter. Pick the fact that gives $\angle RQP$ straight away, with no other angle needed.
(A) cyclic quadrilateral: $\angle RQP+\angle RSP=180°$
(B) angle in a semicircle: $\angle RQP=90°$
(C) angles in the same segment: $\angle RQP=\angle RSP$
$ROP$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จงเลือกข้อเท็จจริงที่ให้ $\angle RQP$ ได้ทันที โดยไม่ต้องรู้มุมอื่นเพิ่ม
(A) รูปสี่เหลิ่ยมในวงกลม: $\angle RQP+\angle RSP=180°$
(B) มุมในครื่งวงกลม: $\angle RQP=90°$
(C) มุมในส่วนโค้งเดียวกีน: $\angle RQP=\angle RSP$
Answershow ▾
(A) and (C) both need $\angle RSP$, which is not given yet. The diameter gives (B) directly, with nothing else to know first.(A) และ (C) ต้องรู้ $\angle RSP$ ก่อน ซึ่งยังไม่ได้ให้ ส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางให้ (B) ได้ทันที ไม่ต้องรู้อะไรเพิ่มก้อน
$ROP$ is a diameter of the circle. Work out the size of angle $RQP$.
$ROP$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จงหาขนาดมุม $RQP$
Answershow ▾
A diameter always creates a right angle at a point on the circle.เส้นผ่านศูนย์กลางสร้างมุมฉากที่จุดบนวงกลมเสมอ
Give the reason for your answer to angle $RQP$.
จงให้เหตุผลประกอบคำตอบสำหรับมุม $RQP$
Answershow ▾
Name the theorem - it is what makes the diameter give a right angle.ระบุชื่อทฤษฎีบท - มันคือสาเหตุที่เส้นผ่านศูนย์กลางให้มุมฉาก
Angle $PRQ=22°$. $S$ looks at the same chord $PQ$ from the same side as $R$. Find the size of angle $PSQ$.
มุม $PRQ=22°$ โดย $S$ มองคอร์ด $PQ$ เส้นเดียวกันจากฝั่งเดียวกับ $R$ จงหาขนาดมุม $PSQ$
Answershow ▾
Same segment, same chord, so the angle is unchanged.ส่วนโค้งเดียวกัน คอร์ดเดียวกัน มุมจึงเท่ากัน
$S$ and $R$ both look at chord $PQ$. Pick the fact that gives $\angle PSQ$ straight away.
(A) cyclic quadrilateral: $\angle PSQ+\angle PRQ=180°$
(B) angles in the same segment: $\angle PSQ=\angle PRQ$
(C) angle at the centre: $\angle PSQ=2\times\angle PRQ$
$S$ และ $R$ มองคอร์ด $PQ$ เส้นเดียวกัน จงเลือกข้อเท็จจริงที่ให้ $\angle PSQ$ ได้ทันที
(A) รูปสี่เหลิ่ยมในวงกลม: $\angle PSQ+\angle PRQ=180°$
(B) มุมในส่วนโค้งเดียวกีน: $\angle PSQ=\angle PRQ$
(C) มุมที่จุดศูนย์กลาง: $\angle PSQ=2\times\angle PRQ$
Answershow ▾
(A) treats them as opposite angles of the quadrilateral, but they both look at chord $PQ$ from the same side - that is (B), not (A). (C) is the centre-to-circumference rule, not a rule between two circumference angles.(A) ถือเสมือนเป็นมุมตรงข้ามกันของสี่เหลิ่ยม แต่มองคอร์ด $PQ$ เดียวกันจากฝั่งเดียวกัน ซึ่งคือ (B) ไม่ใช่ (A) ส่วน (C) เป็นกฎระหว่างจุดศูนย์กลางกับเส้นรอบวง ไม่ใช่กฎระหว่างมุมที่เส้นรอบวงสองมุม
Give the reason for your answer to angle $PSQ$.
จงให้เหตุผลประกอบคำตอบสำหรับมุม $PSQ$
Answershow ▾
The same named reason works for any same-segment pair.เหตุผลชื่อเดียวกันนี้ใช้ได้กับมุมในส่วนโค้งเดียวกันคู่ใดก็ได้
Check angle $PSQ$ a different way: the arc $PQ$ has a central angle of $2\times22°=44°$, so the angle at the circumference is half of this, $44°\div2$. Does this match your answer to part (b)(i)?
ตรวจมุม $PSQ$ อีกทาง: ส่วนโค้ง $PQ$ มีมุมที่จุดศูนย์กลาง $2\times22°=44°$ มุมที่เส้นรอบวงเป็นครึ้งหนื่งผลแปน $44°\div2$ ตรงกับการบ้านข้อ (b)(i) หรือไม่
Answershow ▾
The centre-to-circumference rule gives the same $22°$, seen from a different angle.กฎระหว่างจุดศูนย์กลางกับเส้นรอบวง ให้ $22°$ เท่ากัน เพยงมองจากอีกมุม
$K$, $L$, $M$, $N$ are points on a circle, centre $O$. $MON$ is a diameter. Angle $NMK=35°$. Find (a) angle $MKN$ (b) angle $NLK$.
$K$, $L$, $M$, $N$ เป็นจุดบนวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ โดย $MON$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $NMK=35°$ จงหา (a) มุม $MKN$ (b) มุม $NLK$
Answershow ▾
Same two moves: the diameter gives $90°$, the same segment repeats the given angle.สองขั้นเดสกัน: เส้นผ่านศูนย์กลางให้ $90°$ ส่วนโค้งเดียวกันทำมุมเดิมซ้ำ
$P$, $Q$, $R$ and $S$ are points on a circle, centre $O$. $ROP$ is a diameter of the circle. Angle $PRQ = 22°$.
(a)(i) Find the size of angle $RQP$.
(a)(ii) Give a reason for your answer.
(b)(i) Find the size of angle $PSQ$.
(b)(ii) Give a reason for your answer.
$P$, $Q$, $R$ และ $S$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยที่ $ROP$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $PRQ = 22°$
(a)(i) จงหาขนาดของมุม $RQP$
(a)(ii) จงให้เหตุผลประกอบคำตอบของท่าน
(b)(i) จงหาขนาดของมุม $PSQ$
(b)(ii) จงให้เหตุผลประกอบคำตอบของท่าน
Answershow ▾
4 marks: one for each angle, one for each named reason.4 คะแนน: มุมละ 1 คะแนน เหตุผลละ 1 คะแนน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle RQP = 90$
B1 the reason: angle in a semicircle is $90°$เหตุผล: มุมในครึ่งวงกลม (angle in a semicircle) มีค่า $90°$
$RP \text{ is a diameter}$
B1 angle $PSQ$มุม $PSQ$
$\angle PSQ = 22$
B1 the reason: angles in the same segment are equalเหตุผล: มุมในส่วนโค้งเดียวกัน (angles in the same segment) มีค่าเท่ากัน
$\angle PSQ = \angle PRQ$
A diameter, then the same segment เส้นผ่านศูนย์กลาง แล้วส่วนโค้งเดียวกัน
$D$, $E$, $F$ and $G$ are points on a circle, centre $O$. $EOG$ is a diameter of the circle. Angle $EGD = 42°$. Calculate the size of angle $DFG$. Give a reason for each stage of your working.
$D$, $E$, $F$ และ $G$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยที่ $EOG$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $EGD = 42°$ จงหาขนาดของมุม $DFG$ พร้อมให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
$A$ and $B$ are the ends of a diameter of a circle, centre $O$. $C$ is any other point on the circle. What is angle $ACB$?
$A$ และ $B$ เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ศูนย์กลาง $O$ ส่วน $C$ เป็นจุดอื่นบนวงกลม มุม $ACB$ มีขนาดเท่าใด
Answershow ▾
The angle in a semicircle is always $90°$, wherever $C$ sits on the circle.มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90°$ เสมอ ไม่ว่า $C$ อยู่ตรงไหนบนวงกลม
A triangle has one angle $90°$ and another angle $42°$. Work out the third angle.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมหนึ่งเท่ากับ $90°$ และอีกมุมเท่ากับ $42°$ จงหามุมที่สาม
Answershow ▾
The three angles of a triangle add to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180°$
Two angles look at the same chord, from the same side of it. One of them is $48°$. What is the other angle?
มุมสองมุมมองไปที่คอร์ดเดียวกัน จากฝั่งเดียวกันของคอร์ดนั้น มุมหนึ่งเท่ากับ $48°$ อีกมุมมีขนาดเท่าใด
Answershow ▾
Angles in the same segment are equal.มุมในส่วนโค้งเดียวกันมีขนาดเท่ากัน
$D$, $E$, $F$, $G$ are points on a circle, centre $O$. $EOG$ is a diameter and angle $EGD=42°$. Pick the first move to find angle $EDG$.
(A) the angle at the centre is twice the angle at the circumference
(B) the angle in a semicircle is $90°$
(C) opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180°$
$D$, $E$, $F$, $G$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ โดย $EOG$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และมุม $EGD=42°$ จงเลือกขั้นแรกในการหามุม $EDG$
(A) มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
(B) มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90°$
(C) มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรวมกันได้ $180°$
Answershow ▾
(A) needs an angle AT the centre $O$ - none is given. (C) needs two other angles of the quadrilateral already known - none are given. Only $EOG$ being a diameter is usable here.(A) ต้องมีมุมที่จุดศูนย์กลาง $O$ ซึ่งไม่ได้ให้ · (C) ต้องรู้มุมอีกสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมก่อน ซึ่งไม่ได้ให้ มีแค่ $EOG$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางที่ใช้ได้ตรงนี้
$EOG$ is a diameter of the circle and $D$ is on the circle. Work out angle $EDG$.
$EOG$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ $D$ อยู่บนวงกลม จงหามุม $EDG$
Answershow ▾
The angle in a semicircle is $90°$, because $EOG$ is a diameter.มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90°$ เพราะ $EOG$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
Triangle $EDG$ has angle $EDG=90°$ and angle $EGD=42°$. Write the equation for angle $DEG$, using the angle sum of a triangle.
สามเหลี่ยม $EDG$ มีมุม $EDG=90°$ และมุม $EGD=42°$ จงเขียนสมการสำหรับมุม $DEG$ โดยใช้ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม
Answershow ▾
The three angles of triangle $EDG$ add to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยม $EDG$ รวมกันได้ $180°$
Work out $180-90-42$.
จงหาค่า $180-90-42$
Answershow ▾
Angle $DEG=48°$.มุม $DEG=48°$
Angle $DEG=48°$. Pick the move that gives angle $DFG$.
(A) angle $DFG=$ angle $DEG$, because $E$ and $F$ are in the same segment, looking at chord $DG$
(B) angle $DFG=180-$ angle $DEG$, opposite angles of a cyclic quadrilateral
(C) angle $DFG=2\times$ angle $DEG$, the angle at the centre is twice the circumference
มุม $DEG=48°$ จงเลือกขั้นที่ใช้หามุม $DFG$
(A) มุม $DFG=$ มุม $DEG$ เพราะ $E$ และ $F$ อยู่ในส่วนโค้งเดียวกัน มองไปที่คอร์ด $DG$
(B) มุม $DFG=180-$มุม $DEG$ มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
(C) มุม $DFG=2\times$มุม $DEG$ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
Answershow ▾
$E$ and $F$ look at chord $DG$ from the same side, so the angles are equal, not supplementary. (B) uses the OTHER opposite pair of the quadrilateral. (C) needs a centre angle, and $O$ is not one of the three points in angle $DFG$.$E$ กับ $F$ มองไปที่คอร์ด $DG$ จากฝั่งเดียวกัน มุมจึงเท่ากัน ไม่ใช่บวกกันได้ $180°$ และไม่ใช่สองเท่า · (B) ใช้มุมตรงข้ามอีกคู่ของรูปสี่เหลี่ยม · (C) ต้องมีมุมที่จุดศูนย์กลาง แต่ $O$ ไม่ได้อยู่ในมุม $DFG$
Angle $DEG=48°$ and angle $DFG=$ angle $DEG$. Write down angle $DFG$.
มุม $DEG=48°$ และมุม $DFG=$ มุม $DEG$ จงเขียนขนาดของมุม $DFG$
Answershow ▾
Angles in the same segment are equal, so angle $DFG=48°$ too.มุมในส่วนโค้งเดียวกันมีขนาดเท่ากัน ดังนั้นมุม $DFG=48°$ ด้วย
Check: do angle $EDG$, angle $DEG$ and angle $EGD$ add to $180°$?
ตรวจสอบ: มุม $EDG$ มุม $DEG$ และมุม $EGD$ รวมกันได้ $180°$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct set of triangle angles always adds to $180°$.มุมของสามเหลี่ยมที่ถูกต้องรวมกันได้ $180°$ เสมอ
$J$, $K$, $L$ and $M$ are points on a circle, centre $O$. $JOL$ is a diameter. Angle $JLK=35°$. Work out angle $KML$.
$J$, $K$, $L$ และ $M$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ โดย $JOL$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $JLK=35°$ จงหามุม $KML$
Answershow ▾
Same three moves: angle in a semicircle, angle sum of a triangle, then same segment.สามขั้นเดิม: มุมในครึ่งวงกลม ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม แล้วส่วนโค้งเดียวกัน
$D$, $E$, $F$ and $G$ are points on a circle, centre $O$. $EOG$ is a diameter of the circle. Angle $EGD = 42°$. Calculate the size of angle $DFG$. Give a reason for each stage of your working.
$D$, $E$, $F$ และ $G$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยที่ $EOG$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $EGD = 42°$ จงหาขนาดของมุม $DFG$ พร้อมให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
Answershow ▾
4 marks: the semicircle rule, the triangle angle sum, the same-segment reason, then the value.4 คะแนน: กฎมุมในครึ่งวงกลม ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม เหตุผลส่วนโค้งเดียวกัน แล้วค่าของมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle EDG = 90$
B1 angle $DEG$, the angle sum of triangle $EDG$มุม $DEG$ จากผลรวมมุมของสามเหลี่ยม $EDG$
$\angle DEG = 180-90-42$
$= 48$
B1 the reason: angles in the same segment are equalเหตุผล: มุมในส่วนโค้งเดียวกัน (angles in the same segment) มีค่าเท่ากัน
$\angle DFG = \angle DEG$
A1 angle $DFG$มุม $DFG$
$\angle DFG = 48$
Two triangles, two sides to find สามเหลี่ยมคล้ายสองรูป หาสองด้าน
Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$. $AB = 4$ cm, $PQ = 12$ cm, $RQ = 16.5$ cm, $AC = x$ cm, $PR = y$ cm.
(a) Calculate the length of $BC$.
(b) Write down an expression for $y$ in terms of $x$.
สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$ โดยที่ $AB = 4$ ซม., $PQ = 12$ ซม., $RQ = 16.5$ ซม., $AC = x$ ซม., $PR = y$ ซม.
(ก) จงหาความยาวของ $BC$
(ข) จงเขียนนิพจน์ของ $y$ ในรูปของ $x$
Side $AB=4$ cm in the small triangle corresponds to side $PQ=12$ cm in the large triangle. Work out the scale factor from the small triangle to the large triangle.
ด้าน $AB=4$ ซม. ในสามเหลี่ยมเล็ก สมนัยกับด้าน $PQ=12$ ซม. ในสามเหลี่ยมใหญ่ จงหาอัตราส่วนความยาวจากสามเหลี่ยมเล็กไปสามเหลี่ยมใหญ่
Answershow ▾
Divide the large side by the matching small side.หารด้านของรูปใหญ่ด้วยด้านที่สมนัยกันของรูปเล็ก
Two shapes are similar, with scale factor $k=3$ from the small shape to the large shape. A side in the large shape is $21$ cm. Work out the corresponding side in the small shape.
รูปสองรูปคล้ายกัน มีอัตราส่วนความยาว $k=3$ จากรูปเล็กไปรูปใหญ่ ด้านหนึ่งในรูปใหญ่ยาว $21$ ซม. จงหาด้านที่สมนัยกันในรูปเล็ก
Answershow ▾
Going from the large shape to the small shape, divide by $k$.ย้อนจากรูปใหญ่ไปรูปเล็ก ให้หารด้วย $k$
Same shapes, same scale factor $k=3$ from small to large. A side in the small shape has length $m$ cm. Write an expression for the corresponding side in the large shape.
รูปเดิม อัตราส่วนความยาว $k=3$ จากรูปเล็กไปรูปใหญ่เหมือนเดิม ด้านหนึ่งในรูปเล็กยาว $m$ ซม. จงเขียนนิพจน์ของด้านที่สมนัยกันในรูปใหญ่
Answershow ▾
Going from the small shape to the large shape, multiply by $k$ - even when the length is a letter.ไปจากรูปเล็กไปรูปใหญ่ ให้คูณด้วย $k$ แม้ความยาวนั้นจะเป็นตัวแปรก็ตาม
Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$, so $A\leftrightarrow P$, $B\leftrightarrow Q$, $C\leftrightarrow R$. Pick the pair of sides that gives the scale factor.
(A) $AB$ and $RQ$
(B) $AB$ and $PQ$
(C) $BC$ and $RQ$
สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$ ดังนั้น $A\leftrightarrow P$, $B\leftrightarrow Q$, $C\leftrightarrow R$ จงเลือกคู่ด้านที่ใช้หาอัตราส่วนความยาว
(A) $AB$ กับ $RQ$
(B) $AB$ กับ $PQ$
(C) $BC$ กับ $RQ$
Answershow ▾
(A) $AB$ corresponds to $PQ$, not $RQ$ - $R$ corresponds to $C$, not to $B$. (C) $BC$ is one of the sides we are trying to find, so it cannot be used to work out the scale factor.(A) $AB$ สมนัยกับ $PQ$ ไม่ใช่ $RQ$ เพราะ $R$ สมนัยกับ $C$ ไม่ใช่ $B$ · (C) $BC$ คือหนึ่งในด้านที่ต้องหา จึงนำมาใช้หาอัตราส่วนความยาวไม่ได้
$AC$ corresponds to $PR$. $AC$ is a side of the smaller triangle $ABC$, and $PR$ is a side of the larger triangle $PQR$. To write $y$ (which is $PR$) in terms of $x$ (which is $AC$), pick the right working.
(A) $y = x\div3$
(B) $y = 3x$
(C) $y = x - 3$
$AC$ สมนัยกับ $PR$ โดย $AC$ เป็นด้านของสามเหลี่ยมเล็ก $ABC$ และ $PR$ เป็นด้านของสามเหลี่ยมใหญ่ $PQR$ เพื่อเขียน $y$ (คือ $PR$) ในรูปของ $x$ (คือ $AC$) จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) $y = x\div3$
(B) $y = 3x$
(C) $y = x - 3$
Answershow ▾
(A) divides, which is the move for going from the larger triangle to the smaller one - the opposite direction from $AC$ to $PR$. (C) treats the scale factor as something to subtract, but a scale factor always multiplies, it never adds or subtracts.(A) เป็นการหาร ซึ่งเป็นการย้อนจากสามเหลี่ยมใหญ่ไปสามเหลี่ยมเล็ก ตรงข้ามกับทิศจาก $AC$ ไป $PR$ · (C) นำอัตราส่วนความยาวไปลบ แต่อัตราส่วนความยาวต้องใช้การคูณเสมอ ไม่ใช่การบวกหรือลบ
In triangle $ABC$ and triangle $PQR$, $AB=4$ cm and $PQ=12$ cm. Work out the scale factor $k$ from the small triangle to the large triangle.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ และสามเหลี่ยม $PQR$ ด้าน $AB=4$ ซม. และ $PQ=12$ ซม. จงหาอัตราส่วนความยาว $k$ จากสามเหลี่ยมเล็กไปสามเหลี่ยมใหญ่
Answershow ▾
Divide the large side by the matching small side.หารด้านของรูปใหญ่ด้วยด้านที่สมนัยกันของรูปเล็ก
Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$. Which side of triangle $PQR$ corresponds to side $BC$?
สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$ ด้านใดของสามเหลี่ยม $PQR$ สมนัยกับด้าน $BC$
Answershow ▾
Match the letters in order: $B\leftrightarrow Q$ and $C\leftrightarrow R$.จับคู่ตัวอักษรตามลำดับ: $B\leftrightarrow Q$ และ $C\leftrightarrow R$
$RQ=16.5$ cm and $k=3$. Divide $RQ$ by $k$ to find $BC$, for part (a).
$RQ=16.5$ ซม. และ $k=3$ จงหาร $RQ$ ด้วย $k$ เพื่อหา $BC$ สำหรับข้อ (ก)
Answershow ▾
$BC$ is in the smaller triangle, so divide by $k$.$BC$ อยู่ในสามเหลี่ยมที่เล็กกว่า จึงหารด้วย $k$
$AC=x$ and $AC$ corresponds to $PR=y$. Identify the direction, then write $y$ in terms of $x$.
$AC=x$ และ $AC$ สมนัยกับ $PR=y$ จงระบุทิศทาง แล้วเขียน $y$ ในรูปของ $x$
Answershow ▾
$AC$ is in the smaller triangle and $PR$ is in the larger triangle, so multiply by $k=3$.$AC$ อยู่ในสามเหลี่ยมเล็กและ $PR$ อยู่ในสามเหลี่ยมใหญ่ จึงคูณด้วย $k=3$
Check $y=3x$ with $x=5$: use the formula to predict $y$, then check by scaling $5$ cm by $k=3$ directly. Do the two methods agree?
จงตรวจ $y=3x$ ด้วย $x=5$: ใช้สูตรหาค่า $y$ แล้วตรวจโดยคูณ $5$ ซม. ด้วย $k=3$ โดยตรง ทั้งสองวิธีตรงกันหรือไม่
Answershow ▾
The formula and the direct scaling must always give the same answer.สูตรและการคูณตรง ๆ ต้องให้ผลลัพธ์เท่ากันเสมอ
Triangle $GHI$ is similar to triangle $JKL$. $GH=3$ cm, $JK=12$ cm, $KL=20$ cm, $GI=p$ cm, $JL=q$ cm. (a) Work out $HI$. (b) Write $q$ in terms of $p$.
สามเหลี่ยม $GHI$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $JKL$ โดยที่ $GH=3$ ซม., $JK=12$ ซม., $KL=20$ ซม., $GI=p$ ซม., $JL=q$ ซม. (ก) จงหา $HI$ (ข) จงเขียน $q$ ในรูปของ $p$
Answershow ▾
Same two directions: divide to come back from the large triangle, multiply to go out to it.สองทิศทางเดิม: หารเพื่อย้อนจากสามเหลี่ยมใหญ่ คูณเพื่อไปยังสามเหลี่ยมใหญ่
Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$. $AB = 4$ cm, $PQ = 12$ cm, $RQ = 16.5$ cm, $AC = x$ cm, $PR = y$ cm.
(a) Calculate the length of $BC$.
(b) Write down an expression for $y$ in terms of $x$.
สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$ โดยที่ $AB = 4$ ซม., $PQ = 12$ ซม., $RQ = 16.5$ ซม., $AC = x$ ซม., $PR = y$ ซม.
(ก) จงหาความยาวของ $BC$
(ข) จงเขียนนิพจน์ของ $y$ ในรูปของ $x$
Answershow ▾
3 marks: the scale factor, $BC$ from the corresponding side $RQ$, then $y$ from the corresponding side $AC$.3 คะแนน: อัตราส่วนความยาว $BC$ จากด้านที่สมนัยกัน $RQ$ แล้ว $y$ จากด้านที่สมนัยกัน $AC$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$k = \dfrac{PQ}{AB} = \dfrac{12}{4} = 3$
A1 $BC$, using the scale factor on $RQ$$BC$ โดยใช้อัตราส่วนขยายกับ $RQ$
$BC = \dfrac{RQ}{k} = \dfrac{16.5}{3}$
$= 5.5$
B1 $y$ in terms of $x$$y$ ในรูปของ $x$
$y = 3x$
Two triangle pairs, one similarity rule สามเหลี่ยมคล้ายสองคู่ กฎเดียวกัน
In triangle $PQR$, $M$ lies on $QR$ and $S$ lies on $PR$ (the diagram marks a right angle at $M$ and at $S$).
(a) Explain, giving reasons, why triangle $PMR$ is similar to triangle $MSR$.
(b)(i) Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$. $AB = 4.5$ cm, $AC = 8.1$ cm, $PQ = x$ cm, $PR = 9.9$ cm. Find the value of $x$.
(b)(ii) The area of triangle $PQR$ is $25$ cm$^2$. Calculate the area of triangle $ABC$.
ในสามเหลี่ยม $PQR$ จุด $M$ อยู่บน $QR$ และจุด $S$ อยู่บน $PR$ (รูปแสดงมุมฉากที่ $M$ และที่ $S$)
(ก) จงอธิบายพร้อมให้เหตุผลว่าเหตุใดสามเหลี่ยม $PMR$ จึงคล้ายกับสามเหลี่ยม $MSR$
(b)(i) สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$ โดยที่ $AB = 4.5$ ซม., $AC = 8.1$ ซม., $PQ = x$ ซม., $PR = 9.9$ ซม. จงหาค่าของ $x$
(b)(ii) พื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$ คือ $25$ ซม.$^2$ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$
In a triangle, one angle is $90$ and another is $35$. Work out the third angle.
ในสามเหลี่ยมหนึ่ง มุมหนึ่งเป็น $90$ และอีกมุมเป็น $35$ จงหามุมที่สาม
Answershow ▾
Angles in a triangle add to $180$.มุมในสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180$
Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$, with $AC$ matching $PR$. $AC=8.1$ cm and $PR=9.9$ cm. Work out the scale factor $k$ from $AC$ to $PR$.
สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$ โดย $AC$ สมนัยกับ $PR$ $AC=8.1$ ซม. และ $PR=9.9$ ซม. จงหาอัตราส่วนความยาว $k$ จาก $AC$ ไปยัง $PR$
Answershow ▾
Divide the new (matching) side by the old one: new $\div$ old.หารด้านใหม่ (ที่สมนัยกัน) ด้วยด้านเดิม คือใหม่ $\div$ เดิม
Two shapes are similar, with length scale factor $k$. Write the area scale factor in terms of $k$.
รูปสองรูปคล้ายกัน มีอัตราส่วนความยาว $k$ จงเขียนอัตราส่วนพื้นที่ในรูปของ $k$
Answershow ▾
Area scales by the length factor squared.พื้นที่แปรผันตามอัตราส่วนความยาวที่ยกกำลังสอง
Triangle $PMR$ and triangle $MSR$ both have a right angle, and both have angle $R$. Pick the correct reason that they are similar.
(A) matching sides are given, so SSS applies
(B) two pairs of equal angles (AA), so the third angles must also match
(C) one equal angle is enough, since both are right-angled
สามเหลี่ยม $PMR$ และสามเหลี่ยม $MSR$ มีมุมฉากทั้งคู่ และมีมุม $R$ ร่วมกัน จงเลือกเหตุผลที่ถูกต้องว่าทำไมจึงคล้ายกัน
(A) มีด้านที่สมนัยกันให้ จึงใช้ SSS
(B) มุมเท่ากันสองคู่ (AA) มุมที่สามจึงต้องเท่ากันด้วย
(C) มุมเท่ากันมุมเดียวก็พอ เพราะทั้งคู่เป็นมุมฉาก
Answershow ▾
(A) no side lengths are given here, so SSS cannot be checked. (C) one equal angle is not enough; AA needs two, and the third pair then follows from the angle sum.(A) ไม่มีความยาวด้านให้ในส่วนนี้ จึงตรวจ SSS ไม่ได้ · (C) มุมเท่ากันมุมเดียวไม่พอ AA ต้องใช้สองมุม มุมที่สามจะตามมาจากผลรวมมุม
$M$ lies on $QR$ with $PM\perp QR$, and $S$ lies on $PR$ with $MS\perp PR$. Write the statement for the first mark: which two angles are both $90$.
จุด $M$ อยู่บน $QR$ โดย $PM\perp QR$ และจุด $S$ อยู่บน $PR$ โดย $MS\perp PR$ จงเขียนข้อความสำหรับคะแนนแรก: มุมสองมุมใดที่เท่ากับ $90$ ทั้งคู่
Answershow ▾
Both are right angles, by construction.ทั้งสองเป็นมุมฉาก ตามที่กำหนดในรูป
Triangle $PMR$ and triangle $MSR$ share one vertex, $R$. Write the statement for the second mark: which angle is common to both triangles.
สามเหลี่ยม $PMR$ และสามเหลี่ยม $MSR$ มีจุดยอดร่วมกันคือ $R$ จงเขียนข้อความสำหรับคะแนนที่สอง: มุมใดเป็นมุมร่วมของทั้งสองสามเหลี่ยม
Answershow ▾
Angle $R$ in triangle $PMR$ and angle $R$ in triangle $MSR$ are the same angle.มุม $R$ ในสามเหลี่ยม $PMR$ และมุม $R$ ในสามเหลี่ยม $MSR$ คือมุมเดียวกัน
Two pairs of angles already match. Write the conclusion for the third pair, and name the rule that then makes triangle $PMR$ similar to triangle $MSR$.
มุมสองคู่เท่ากันแล้ว จงเขียนข้อสรุปสำหรับมุมคู่ที่สาม และระบุกฎที่ทำให้สามเหลี่ยม $PMR$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $MSR$
Answershow ▾
Two matching angle pairs force the third pair to match (angle sum); matching angles is the AA test.มุมที่ตรงกันสองคู่ ทำให้มุมที่สามตรงกันด้วย (ผลรวมมุม) การมีมุมตรงกันคือเกณฑ์ AA
$ABC$ is similar to $PQR$, and $AC=8.1$ cm is shorter than the matching side $PR=9.9$ cm, so $ABC$ is the smaller triangle. The area of $PQR$ is $25$ cm$^2$. Pick the correct calculation for the area of $ABC$.
(A) $25\times\left(\dfrac{9.9}{8.1}\right)^{2}$
(B) $25\times\left(\dfrac{8.1}{9.9}\right)^{2}$
(C) $25\times\dfrac{8.1}{9.9}$
$ABC$ คล้ายกับ $PQR$ และ $AC=8.1$ ซม. สั้นกว่าด้าน $PR=9.9$ ซม. ที่สมนัยกัน ดังนั้น $ABC$ เป็นรูปที่เล็กกว่า พื้นที่ของ $PQR$ คือ $25$ ซม.$^2$ จงเลือกวิธีคำนวณพื้นที่ของ $ABC$ ที่ถูกต้อง
(A) $25\times\left(\dfrac{9.9}{8.1}\right)^{2}$
(B) $25\times\left(\dfrac{8.1}{9.9}\right)^{2}$
(C) $25\times\dfrac{8.1}{9.9}$
Answershow ▾
(A) uses the scale factor the wrong way round, which grows the area, but $ABC$ is smaller. (C) forgets to square the scale factor.(A) ใช้อัตราส่วนความยาวย้อนทาง ทำให้พื้นที่โตขึ้น แต่ $ABC$ เล็กกว่า · (C) ลืมยกกำลังสองอัตราส่วนความยาว
$AB=4.5$ cm, $AC=8.1$ cm, $PQ=x$ cm, $PR=9.9$ cm, with $AC$ matching $PR$. Find $k$, then use it to find $x$.
$AB=4.5$ ซม., $AC=8.1$ ซม., $PQ=x$ ซม., $PR=9.9$ ซม. โดย $AC$ สมนัยกับ $PR$ จงหา $k$ แล้วใช้หาค่า $x$
Answershow ▾
Same two moves as question $2$: find $k$ from the matching pair, then multiply the other small side by $k$.สองขั้นเดิมจากข้อ $2$: หา $k$ จากคู่ด้านที่สมนัยกัน แล้วคูณด้านเล็กอีกด้านด้วย $k$
$ABC$ is similar to $PQR$, with area scale factor $k^{2}=\left(\dfrac{8.1}{9.9}\right)^{2}$ from $PQR$ to $ABC$. The area of $PQR$ is $25$ cm$^2$. Find the area of $ABC$, correct to $3$ significant figures.
$ABC$ คล้ายกับ $PQR$ โดยมีอัตราส่วนพื้นที่ $k^{2}=\left(\dfrac{8.1}{9.9}\right)^{2}$ จาก $PQR$ ไปยัง $ABC$ พื้นที่ของ $PQR$ คือ $25$ ซม.$^2$ จงหาพื้นที่ของ $ABC$ ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Multiply the known area by the area factor, then round.คูณพื้นที่ที่รู้ด้วยอัตราส่วนพื้นที่ แล้วปัดเศษ
In triangle $XYZ$, $N$ lies on $YZ$ and $T$ lies on $XZ$ (the right angles are at $N$ and at $T$).
(a) Explain, giving reasons, why triangle $XNZ$ is similar to triangle $NTZ$.
(b)(i) Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$. $AB=2$ cm, $AC=3$ cm, $PQ=x$ cm, $PR=9$ cm. Find the value of $x$.
(b)(ii) The area of triangle $PQR$ is $18$ cm$^2$. Calculate the area of triangle $ABC$.
ในสามเหลี่ยม $XYZ$ จุด $N$ อยู่บน $YZ$ และจุด $T$ อยู่บน $XZ$ (มุมฉากอยู่ที่ $N$ และที่ $T$)
(ก) จงอธิบายพร้อมให้เหตุผลว่าเหตุใดสามเหลี่ยม $XNZ$ จึงคล้ายกับสามเหลี่ยม $NTZ$
(ข)(i) สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$ โดยที่ $AB=2$ ซม., $AC=3$ ซม., $PQ=x$ ซม., $PR=9$ ซม. จงหาค่าของ $x$
(ข)(ii) พื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$ คือ $18$ ซม.$^2$ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$
Answershow ▾
Same three moves: right angles plus the shared angle give AA; the scale factor $k=PR/AC$ gives $x$; $k^{2}$ gives the area, in the direction of the small triangle.สามขั้นเดิม: มุมฉากกับมุมร่วมให้ AA · อัตราส่วนความยาว $k=PR/AC$ ให้ค่า $x$ · $k^{2}$ ให้พื้นที่ ในทางของรูปเล็ก
In triangle $PQR$, $M$ lies on $QR$ and $S$ lies on $PR$ (the diagram marks a right angle at $M$ and at $S$).
(a) Explain, giving reasons, why triangle $PMR$ is similar to triangle $MSR$.
(b)(i) Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$. $AB = 4.5$ cm, $AC = 8.1$ cm, $PQ = x$ cm, $PR = 9.9$ cm. Find the value of $x$.
(b)(ii) The area of triangle $PQR$ is $25$ cm$^2$. Calculate the area of triangle $ABC$.
ในสามเหลี่ยม $PQR$ จุด $M$ อยู่บน $QR$ และจุด $S$ อยู่บน $PR$ (รูปแสดงมุมฉากที่ $M$ และที่ $S$)
(ก) จงอธิบายพร้อมให้เหตุผลว่าเหตุใดสามเหลี่ยม $PMR$ จึงคล้ายกับสามเหลี่ยม $MSR$
(b)(i) สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$ โดยที่ $AB = 4.5$ ซม., $AC = 8.1$ ซม., $PQ = x$ ซม., $PR = 9.9$ ซม. จงหาค่าของ $x$
(b)(ii) พื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$ คือ $25$ ซม.$^2$ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$
Answershow ▾
7 marks: the two right angles, the shared angle, and AA for the first $3$; then the scale factor for $x$; then the area factor for the last mark.7 คะแนน: มุมฉากทั้งสอง มุมร่วม และ AA สำหรับ $3$ คะแนนแรก แล้วอัตราส่วนความยาวสำหรับ $x$ แล้วอัตราส่วนพื้นที่สำหรับคะแนนสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle PMR = \angle MSR = 90$
B1 angle $R$ is common to both trianglesมุม $R$ เป็นมุมร่วมของสามเหลี่ยมทั้งสอง
$\angle PRM = \angle MRS$
B1 the third angles must then be equal (AA), so the triangles are similarมุมที่สามจึงเท่ากันด้วย (AA) ทั้งสองสามเหลี่ยมจึงคล้ายกัน
$\angle MPR = \angle SMR$
M1 the scale factor, from $AC$ to $PR$อัตราส่วนขยาย จาก $AC$ ไปยัง $PR$
$k = \dfrac{PR}{AC} = \dfrac{9.9}{8.1}$
A1 the value of $x$ค่าของ $x$
$x = 4.5\times\dfrac{9.9}{8.1}$
$= 5.5$
M1 the area scale factor, $k^2$อัตราส่วนพื้นที่ $k^2$
$k^2 = \left(\dfrac{8.1}{9.9}\right)^{2}$
A1 the area of triangle $ABC$พื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$
$\text{area }ABC$
$= 25\times\left(\dfrac{8.1}{9.9}\right)^{2}$
$= 16.7$
One scale factor, three powers of it อัตราส่วนความยาวเดียว ยกกำลังหนึ่ง สอง สาม
(a)(i) Triangle $PQR$ is mathematically similar to triangle $XYZ$. $PQ = 20.4$ cm, $QR = 15.3$ cm, $XY = 13.6$ cm. Find $YZ$.
(a)(ii) The area of triangle $XYZ$ is $63.6$ cm$^2$. Calculate the area of triangle $PQR$.
(b) Two containers are mathematically similar. The larger container has a capacity of $64.8$ litres and a surface area of $0.792$ m$^2$. The smaller container has a capacity of $37.5$ litres. Calculate the surface area of the smaller container.
(a)(i) สามเหลี่ยม $PQR$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $XYZ$ ในทางคณิตศาสตร์ โดยที่ $PQ = 20.4$ ซม., $QR = 15.3$ ซม., $XY = 13.6$ ซม. จงหา $YZ$
(a)(ii) พื้นที่ของสามเหลี่ยม $XYZ$ คือ $63.6$ ซม.$^2$ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$
(ข) ภาชนะสองใบคล้ายกันในทางคณิตศาสตร์ ภาชนะใบใหญ่มีความจุ $64.8$ ลิตร และมีพื้นที่ผิว $0.792$ ตร.ม. ภาชนะใบเล็กมีความจุ $37.5$ ลิตร จงหาพื้นที่ผิวของภาชนะใบเล็ก
Side $PQ=20.4$ cm in the large triangle corresponds to side $XY=13.6$ cm in the small triangle. Work out the scale factor from $PQ$ to $XY$.
ด้าน $PQ=20.4$ ซม. ในสามเหลี่ยมใหญ่ สมนัยกับด้าน $XY=13.6$ ซม. ในสามเหลี่ยมเล็ก จงหาอัตราส่วนความยาวจาก $PQ$ ไป $XY$
Answershow ▾
Divide new ($XY$) by old ($PQ$).หารค่าใหม่ ($XY$) ด้วยค่าเดิม ($PQ$)
Two shapes are similar, with scale factor $k=2$ from the small shape to the large shape. The area of the small shape is $7$ cm$^2$. Work out the area of the large shape.
รูปสองรูปคล้ายกัน มีอัตราส่วนความยาว $k=2$ จากรูปเล็กไปรูปใหญ่ พื้นที่ของรูปเล็กคือ $7$ ซม.$^2$ จงหาพื้นที่ของรูปใหญ่
Answershow ▾
Multiply the area by $k^{2}$, not by $k$.คูณพื้นที่ด้วย $k^{2}$ ไม่ใช่ $k$
Two solids are similar. The small solid has volume $8$ cm$^3$ and the large solid has volume $27$ cm$^3$. Work out the length scale factor $k$ from the large solid to the small solid.
รูปทรงสองรูปคล้ายกัน รูปทรงเล็กมีปริมาตร $8$ ซม.$^3$ และรูปทรงใหญ่มีปริมาตร $27$ ซม.$^3$ จงหาอัตราส่วนความยาว $k$ จากรูปทรงใหญ่ไปรูปทรงเล็ก
Answershow ▾
Cube-root the volume ratio, because volume is length cubed.ถอดรากที่สามของอัตราส่วนปริมาตร เพราะปริมาตรคือความยาวยกกำลังสาม
Triangle $PQR$ is similar to triangle $XYZ$, so $P\leftrightarrow X$, $Q\leftrightarrow Y$, $R\leftrightarrow Z$. $PQ=20.4$ cm, $XY=13.6$ cm, $QR=15.3$ cm. Pick the calculation for $YZ$.
(A) $QR\times\dfrac{XY}{PQ}$
(B) $QR\times\dfrac{PQ}{XY}$
(C) $QR\div\dfrac{XY}{PQ}$
สามเหลี่ยม $PQR$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $XYZ$ ดังนั้น $P\leftrightarrow X$, $Q\leftrightarrow Y$, $R\leftrightarrow Z$ โดยที่ $PQ=20.4$ ซม. $XY=13.6$ ซม. $QR=15.3$ ซม. จงเลือกวิธีคำนวณ $YZ$
(A) $QR\times\dfrac{XY}{PQ}$
(B) $QR\times\dfrac{PQ}{XY}$
(C) $QR\div\dfrac{XY}{PQ}$
Answershow ▾
(B) uses the scale factor the wrong way round, small triangle to large triangle, so it makes $YZ$ bigger than $QR$ - but $XYZ$ is the smaller triangle. (C) divides by the same ratio used in (A), which gives the same wrong, bigger answer as (B).(B) ใช้อัตราส่วนความยาวย้อนทาง จากสามเหลี่ยมเล็กไปสามเหลี่ยมใหญ่ จึงทำให้ $YZ$ ใหญ่กว่า $QR$ แต่ $XYZ$ เป็นสามเหลี่ยมที่เล็กกว่า · (C) หารด้วยอัตราส่วนเดียวกับ (A) ซึ่งให้คำตอบที่ผิดและใหญ่เกินไป เหมือน (B)
A smaller container and a larger container are mathematically similar. Capacities $37.5$ litres (small) and $64.8$ litres (large). Pick the calculation for the length scale factor $k$, from the large container to the small container.
(A) $k=\sqrt{\dfrac{37.5}{64.8}}$
(B) $k=\sqrt[3]{\dfrac{37.5}{64.8}}$
(C) $k=\left(\dfrac{37.5}{64.8}\right)^{2}$
ภาชนะใบเล็กและภาชนะใบใหญ่คล้ายกันในทางคณิตศาสตร์ ความจุ $37.5$ ลิตร (เล็ก) และ $64.8$ ลิตร (ใหญ่) จงเลือกวิธีคำนวณอัตราส่วนความยาว $k$ จากภาชนะใบใหญ่ไปภาชนะใบเล็ก
(A) $k=\sqrt{\dfrac{37.5}{64.8}}$
(B) $k=\sqrt[3]{\dfrac{37.5}{64.8}}$
(C) $k=\left(\dfrac{37.5}{64.8}\right)^{2}$
Answershow ▾
(A) a square root undoes an AREA ratio; capacity is a volume, so the length factor is the CUBE root. (C) squares instead of rooting.(A) หารากที่สอง ซึ่งให้อัตราส่วนพื้นที่ ไม่ใช่อัตราส่วนความยาว เนื่องจากความจุคือปริมาตร อัตราส่วนความยาวจึงต้องเป็นรากที่สามของอัตราส่วนความจุ · (C) ยกกำลังสองอัตราส่วนแทนการถอดราก ซึ่งไม่ใช่อัตราส่วนความยาวเลย
$QR=15.3$ cm and the scale factor from $PQ$ to $XY$ is $k=\dfrac{2}{3}$. Work out $YZ$.
$QR=15.3$ ซม. และอัตราส่วนความยาวจาก $PQ$ ไป $XY$ คือ $k=\dfrac{2}{3}$ จงหา $YZ$
Answershow ▾
Multiply $QR$ by the scale factor $k$.คูณ $QR$ ด้วยอัตราส่วนความยาว $k$
Work out the scale factor from $XY$ to $PQ$, then square it to get the area scale factor from triangle $XYZ$ to triangle $PQR$.
จงหาอัตราส่วนความยาวจาก $XY$ ไป $PQ$ แล้วยกกำลังสองเพื่อหาอัตราส่วนพื้นที่จากสามเหลี่ยม $XYZ$ ไปสามเหลี่ยม $PQR$
Answershow ▾
Simplify the length ratio first, then square it.ลดรูปอัตราส่วนความยาวก่อน แล้วยกกำลังสอง
The area of triangle $XYZ$ is $63.6$ cm$^2$ and the area scale factor from $XYZ$ to $PQR$ is $k^{2}=\dfrac{9}{4}$. Work out the area of triangle $PQR$.
พื้นที่ของสามเหลี่ยม $XYZ$ คือ $63.6$ ซม.$^2$ และอัตราส่วนพื้นที่จาก $XYZ$ ไป $PQR$ คือ $k^{2}=\dfrac{9}{4}$ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$
Answershow ▾
Multiply the given area by the area scale factor.คูณพื้นที่ที่โจทย์ให้ด้วยอัตราส่วนพื้นที่
The capacities of two similar containers are $37.5$ litres (small) and $64.8$ litres (large), and the surface area of the large container is $0.792$ m$^2$. Work out the surface area of the small container.
ความจุของภาชนะคล้ายสองใบคือ $37.5$ ลิตร (เล็ก) และ $64.8$ ลิตร (ใหญ่) และพื้นที่ผิวของภาชนะใบใหญ่ คือ $0.792$ ตร.ม. จงหาพื้นที่ผิวของภาชนะใบเล็ก
Answershow ▾
Cube-root the capacity ratio for $k$, square it for the area scale factor, then multiply.ถอดรากที่สามของอัตราส่วนความจุเพื่อหา $k$ ยกกำลังสองเพื่อหาอัตราส่วนพื้นที่ แล้วคูณ
Check $0.55$ m$^2$ by multiplying it by $\dfrac{36}{25}$. Does it give back $0.792$ m$^2$?
จงตรวจคำตอบ $0.55$ ตร.ม. โดยคูณด้วย $\dfrac{36}{25}$ ได้ผลลัพธ์กลับไปเป็น $0.792$ ตร.ม. หรือไม่
Answershow ▾
Going backward (small to large), multiply by the reciprocal area scale factor.ย้อนกลับ (จากเล็กไปใหญ่) ให้คูณด้วยอัตราส่วนพื้นที่ที่กลับเศษส่วน
Triangle $MNO$ is similar to triangle $STU$ ($M\leftrightarrow S$, $N\leftrightarrow T$, $O\leftrightarrow U$). $MN=9$ cm, $NO=12$ cm, $ST=3$ cm, and the area of triangle $STU$ is $5$ cm$^2$. Find $TU$, then find the area of triangle $MNO$.
Two similar containers have capacities $125$ litres (small) and $1000$ litres (large). The large container has surface area $40$ m$^2$. Find the surface area of the small container.
สามเหลี่ยม $MNO$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $STU$ ($M\leftrightarrow S$, $N\leftrightarrow T$, $O\leftrightarrow U$) $MN=9$ ซม. $NO=12$ ซม. $ST=3$ ซม. และพื้นที่ของสามเหลี่ยม $STU$ คือ $5$ ซม.$^2$ จงหา $TU$ แล้วหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $MNO$
ภาชนะคล้ายสองใบมีความจุ $125$ ลิตร (เล็ก) และ $1000$ ลิตร (ใหญ่) ภาชนะใบใหญ่มีพื้นที่ผิว $40$ ตร.ม. จงหาพื้นที่ผิวของภาชนะใบเล็ก
Answershow ▾
$\text{area }MNO=45$ cm$^2$
$\text{SA}=10$ m$^2$
Same three moves: the scale factor, its square for area, and the cube root for a volume ratio.สามขั้นตอนเดิม: อัตราส่วนความยาว ยกกำลังสองสำหรับพื้นที่ และรากที่สามสำหรับอัตราส่วนปริมาตร
(a)(i) Triangle $PQR$ is mathematically similar to triangle $XYZ$. $PQ = 20.4$ cm, $QR = 15.3$ cm, $XY = 13.6$ cm. Find $YZ$.
(a)(ii) The area of triangle $XYZ$ is $63.6$ cm$^2$. Calculate the area of triangle $PQR$.
(b) Two containers are mathematically similar. The larger container has a capacity of $64.8$ litres and a surface area of $0.792$ m$^2$. The smaller container has a capacity of $37.5$ litres. Calculate the surface area of the smaller container.
(a)(i) สามเหลี่ยม $PQR$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $XYZ$ ในทางคณิตศาสตร์ โดยที่ $PQ = 20.4$ ซม., $QR = 15.3$ ซม., $XY = 13.6$ ซม. จงหา $YZ$
(a)(ii) พื้นที่ของสามเหลี่ยม $XYZ$ คือ $63.6$ ซม.$^2$ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$
(ข) ภาชนะสองใบคล้ายกันในทางคณิตศาสตร์ ภาชนะใบใหญ่มีความจุ $64.8$ ลิตร และมีพื้นที่ผิว $0.792$ ตร.ม. ภาชนะใบเล็กมีความจุ $37.5$ ลิตร จงหาพื้นที่ผิวของภาชนะใบเล็ก
Answershow ▾
8 marks across three parts: a length scale factor, its square for area, and a cube root for the capacity ratio.8 คะแนน ใน 3 ส่วน: อัตราส่วนความยาว ยกกำลังสองสำหรับพื้นที่ และรากที่สามสำหรับอัตราส่วนความจุ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$k = \dfrac{XY}{PQ} = \dfrac{13.6}{20.4}$
A1 $YZ$ค่าของ $YZ$
$YZ = 15.3\times\dfrac{13.6}{20.4}$
$= 10.2$
M1 the length scale factor, from $XY$ to $PQ$อัตราส่วนขยายความยาว จาก $XY$ ไปยัง $PQ$
$\dfrac{PQ}{XY} = \dfrac{20.4}{13.6}$
M1 the area scale factor, $k^2$, applied to the given areaอัตราส่วนพื้นที่ $k^2$ นำไปใช้กับพื้นที่ที่โจทย์ให้
$\text{area }PQR$
$= 63.6\times\left(\dfrac{20.4}{13.6}\right)^{2}$
A1 the area of triangle $PQR$พื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$
$= 143.1$
M1 the length scale factor, as the cube root of the volume (capacity) ratioอัตราส่วนขยายความยาว เป็นรากที่สามของอัตราส่วนปริมาตร (ความจุ)
$k = \sqrt[3]{\dfrac{37.5}{64.8}}$
M1 the area scale factor, $k^2$อัตราส่วนพื้นที่ $k^2$
$k^{2} = \left(\dfrac{37.5}{64.8}\right)^{2/3}$
A1 the surface area of the smaller containerพื้นที่ผิวของภาชนะใบเล็ก
$\text{SA}$
$= 0.792\times\left(\dfrac{37.5}{64.8}\right)^{2/3}$
$= 0.55$
Midpoint known, one coordinate missing รู้จุดกึ่งกลาง ขาดพิกัดหนึ่งตัว
Point $A$ has coordinates $(-3,11)$
Point $B$ has coordinates $(47,b)$
The midpoint of $AB$ has coordinates $(a,-19)$
Find the value of $a$ and the value of $b$.
จุด $A$ มีพิกัด $(-3,11)$
จุด $B$ มีพิกัด $(47,b)$
จุดกึ่งกลางของ $AB$ มีพิกัด $(a,-19)$
จงหาค่าของ $a$ และค่าของ $b$
Find the mean of $-3$ and $47$.
จงหาค่าเฉลี่ยของ $-3$ และ $47$
Answershow ▾
Add the two numbers, then halve.บวกสองจำนวน แล้วหารด้วย 2
Multiply $-19$ by $2$.
จงคูณ $-19$ ด้วย $2$
Answershow ▾
A negative stays negative when multiplied by a positive number.จำนวนลบคูณด้วยจำนวนบวก ยังคงเป็นลบ
The mean of two numbers is $-19$. One of them is $11$. Find the other number.
ค่าเฉลี่ยของสองจำนวนคือ $-19$ จำนวนหนึ่งคือ $11$ จงหาอีกจำนวนหนึ่ง
Answershow ▾
Double the mean first, then subtract the number you know.คูณค่าเฉลี่ยด้วย 2 ก่อน แล้วลบด้วยจำนวนที่รู้
The midpoint of two points comes from their coordinates. Which calculation gives it?
(A) add the two coordinates, then halve
(B) subtract the two coordinates, then halve
(C) add the two coordinates, then double
จุดกึ่งกลางของสองจุดหาได้จากพิกัดของทั้งสองจุด จงเลือกวิธีคำนวณที่ถูกต้อง
(A) บวกพิกัดทั้งสอง แล้วหารด้วย 2
(B) ลบพิกัดทั้งสอง แล้วหารด้วย 2
(C) บวกพิกัดทั้งสอง แล้วคูณด้วย 2
Answershow ▾
(B) subtracting the two coordinates gives half their distance apart, not the value halfway between them. (C) doubling instead of halving makes the result twice too big.(B) การลบพิกัดทั้งสองได้ครึ่งหนึ่งของระยะห่าง ไม่ใช่ค่ากึ่งกลาง · (C) คูณด้วย 2 แทนการหารด้วย 2 ทำให้ผลลัพธ์ใหญ่เกินไปสองเท่า
Write the equation for $a$, the midpoint’s x-coordinate, using the x-coordinates of $A(-3,11)$ and $B(47,b)$.
จงเขียนสมการของ $a$ ซึ่งเป็นพิกัด x ของจุดกึ่งกลาง โดยใช้พิกัด x ของ $A(-3,11)$ และ $B(47,b)$
Answershow ▾
Add the two x-coordinates, then halve.บวกพิกัด x ทั้งสอง แล้วหารด้วย 2
Evaluate $a$.
จงคำนวณหาค่า $a$
Answershow ▾
$-3+47=44$, then half of $44$.$-3+47=44$ แล้วครึ่งหนึ่งของ $44$
Write the equation for $b$, using the midpoint’s y-coordinate $-19$ and the y-coordinates of $A(-3,11)$ and $B(47,b)$.
จงเขียนสมการของ $b$ โดยใช้พิกัด y ของจุดกึ่งกลาง $-19$ และพิกัด y ของ $A(-3,11)$ และ $B(47,b)$
Answershow ▾
The midpoint’s y-value equals the mean of $11$ and $b$.ค่า y ของจุดกึ่งกลาง เท่ากับค่าเฉลี่ยของ $11$ และ $b$
Solve $-19 = \dfrac{11+b}{2}$ for $b$.
จงแก้สมการ $-19 = \dfrac{11+b}{2}$ หาค่า $b$
Answershow ▾
Multiply both sides by $2$ first, then subtract $11$.คูณทั้งสองข้างด้วย $2$ ก่อน แล้วลบด้วย $11$
Check that $b=-49$ fits: find the mean of $11$ and $-49$.
จงตรวจว่า $b=-49$ ถูกต้อง โดยหาค่าเฉลี่ยของ $11$ และ $-49$
Answershow ▾
The mean of A’s y and B’s y must equal the midpoint’s y.ค่าเฉลี่ยของ y ของ A และ B ต้องเท่ากับค่า y ของจุดกึ่งกลาง
$A(1,5)$ and $B(9,c)$. The midpoint of $AB$ has coordinates $(p,-1)$. Find $p$ and $c$.
$A(1,5)$ และ $B(9,c)$ จุดกึ่งกลางของ $AB$ มีพิกัด $(p,-1)$ จงหาค่าของ $p$ และ $c$
Answershow ▾
Same two moves: average the x’s for $p$, then solve the midpoint equation for $c$.สองขั้นเดิม: เฉลี่ยค่า x เพื่อหา $p$ แล้วแก้สมการจุดกึ่งกลางเพื่อหา $c$
Point $A$ has coordinates $(-3,11)$
Point $B$ has coordinates $(47,b)$
The midpoint of $AB$ has coordinates $(a,-19)$
Find the value of $a$ and the value of $b$.
จุด $A$ มีพิกัด $(-3,11)$
จุด $B$ มีพิกัด $(47,b)$
จุดกึ่งกลางของ $AB$ มีพิกัด $(a,-19)$
จงหาค่าของ $a$ และค่าของ $b$
Answershow ▾
2 marks: the mean for $a$, then the midpoint equation for $b$.2 คะแนน: ค่าเฉลี่ยสำหรับ $a$ แล้วสมการจุดกึ่งกลางสำหรับ $b$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$a = \dfrac{-3+47}{2}$
$= 22$
A1 midpoint equation gives bสมการจุดกึ่งกลางหา b
$-19 = \dfrac{11+b}{2}$
$b = -49$
The gradient hiding in ax+by=c ความชันที่ซ่อนอยู่ในรูป ax+by=c
Find the gradient of the straight line with equation $5x+2y=7$
จงหาความชันของเส้นตรงที่มีสมการ $5x+2y=7$
$5x+2y=7$. Move the $5x$ term to the other side.
$5x+2y=7$ จงย้ายพจน์ $5x$ ไปอีกข้าง
Answershow ▾
Subtract $5x$ from both sides.ลบ $5x$ ออกจากทั้งสองข้าง
$2y=7-5x$. Divide every term by $2$.
$2y=7-5x$ จงหารทุกพจน์ด้วย $2$
Answershow ▾
Divide the $2y$, the $7$ and the $5x$ all by $2$.หาร $2y$, $7$ และ $5x$ ด้วย $2$ ทุกตัว
$y=4-3x$. Write this with the $x$-term first, then state the gradient.
$y=4-3x$ จงเขียนใหม่โดยเอาพจน์ $x$ ขึ้นก่อน แล้วบอกความชัน
Answershow ▾
In $y=mx+c$, the gradient is the number multiplying $x$.ในรูป $y=mx+c$ ความชันคือตัวเลขที่คูณกับ $x$
$5x+2y=7$. To find the gradient, what should you do first?
(A) read the gradient as $5$, the number in front of $x$
(B) move the $5x$ term to the other side, then divide every term by $2$
(C) divide every term by $5$ first
$5x+2y=7$ หาความชัน ควรทำอะไรก่อน
(A) อ่านความชันเป็น $5$ ซึ่งเป็นตัวเลขหน้า $x$
(B) ย้ายพจน์ $5x$ ไปอีกข้าง แล้วหารทุกพจน์ด้วย $2$
(C) หารทุกพจน์ด้วย $5$ ก่อน
Answershow ▾
(A) reads $5$ as the gradient before $y$ is alone - that early read is the mark most students lose. (C) leaves a fraction in front of $y$ and still needs the same two moves.(A) อ่านสมการเหมือนอยู่ในรูป $y=mx+c$ แล้ว แต่ $5$ จะเป็นความชันก็ต่อเมื่อ $y$ อยู่ลำพังก่อน การอ่านเร็วเกินไปคือคะแนนที่เสียบ่อยที่สุด · (C) ไม่ทำให้ $y$ อยู่ลำพัง ยังมีเศษส่วนติดหน้า $y$ และต้องทำสองขั้นเดิมอยู่ดี
Using $y=\dfrac{7}{2}-\dfrac{5}{2}x$ (question $2$), write this with the $x$-term first.
ใช้ $y=\dfrac{7}{2}-\dfrac{5}{2}x$ (ข้อ $2$) จงเขียนใหม่โดยเอาพจน์ $x$ ขึ้นก่อน
Answershow ▾
Swap the order of the two terms on the right.สลับลำดับสองพจน์ฝั่งขวา
From $y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}$ (question $4$), state the gradient.
จาก $y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}$ (ข้อ $4$) จงบอกความชัน
Answershow ▾
The gradient is the number multiplying $x$.ความชันคือตัวเลขที่คูณกับ $x$
From the same equation, $y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}$, state the value of $c$.
จากสมการเดิม $y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}$ จงบอกค่าของ $c$
Answershow ▾
$c$ is the number on its own, with no $x$ attached.$c$ คือตัวเลขที่อยู่เดี่ยวๆ ไม่มี $x$ ติดมา
$5x+2y=7$. Make $y$ the subject, then state the gradient.
$5x+2y=7$ จงจัดให้ $y$ เป็นตัวแปรต้น แล้วบอกความชัน
Answershow ▾
Same two moves as questions $1$, $2$ and $4$, now done together.สองขั้นเดิมจากข้อ $1$, $2$ และ $4$ ทำต่อเนื่องกัน
Using $y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}$, find $y$ at $x=0$ and at $x=2$. Work out $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
ใช้ $y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}$ จงหา $y$ เมื่อ $x=0$ และเมื่อ $x=2$ แล้วคำนวณ $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
Answershow ▾
Two points on the same line give the same gradient.จุดสองจุดบนเส้นตรงเดียวกัน ให้ความชันเท่ากัน
Find the gradient of the line $3x+4y=12$.
จงหาความชันของเส้นตรง $3x+4y=12$
Answershow ▾
Same three moves: move the $x$-term, divide by $4$, then read off $m$.สามขั้นเดิม: ย้ายพจน์ $x$ หารด้วย $4$ แล้วอ่านค่า $m$
Find the gradient of the straight line with equation $5x+2y=7$
จงหาความชันของเส้นตรงที่มีสมการ $5x+2y=7$
Answershow ▾
2 marks: make $y$ the subject, then read off the gradient.2 คะแนน: จัดให้ $y$ เป็นตัวแปรต้น แล้วอ่านค่าความชัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$2y = 7-5x$
$y = \dfrac{7-5x}{2}$
A1 read off the gradientอ่านค่าความชัน
$y = -\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}$
$m = -\dfrac{5}{2}$
Parallel line, then perpendicular เส้นขนาน แล้วเส้นตั้งฉาก
(a) Write down an equation of a line that is parallel to the line with equation $y=7-4x$
(b) The line $L$ passes through the points with coordinates $(-3,1)$ and $(2,-2)$
Find an equation of the line that is perpendicular to $L$ and passes through the point with coordinates $(-6,4)$
Give your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
(ก) จงเขียนสมการเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง $y=7-4x$
(ข) เส้นตรง $L$ ผ่านจุด $(-3,1)$ และ $(2,-2)$
จงหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ $L$ และผ่านจุด $(-6,4)$
ตอบในรูป $ax+by+c=0$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Write down the gradient of the line $y=7-4x$.
จงเขียนความชันของเส้นตรง $y=7-4x$
Answershow ▾
Write the line as $y=mx+c$ first; $m$ is the gradient.เขียนเส้นตรงให้อยู่ในรูป $y=mx+c$ ก่อน · $m$ คือความชัน
Find the gradient of the line through $(-3,1)$ and $(2,-2)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(-3,1)$ และ $(2,-2)$
Answershow ▾
Change in $y$ over change in $x$.ผลต่างของ $y$ หารด้วยผลต่างของ $x$
A line has gradient $\dfrac{2}{5}$. Write the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $\dfrac{2}{5}$ จงเขียนความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับมัน
Answershow ▾
Perpendicular: flip the fraction, then change its sign.ตั้งฉาก: กลับเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
Which of these is a line parallel to $y=7-4x$?
(A) $y=-4x+7$
(B) $y=-4x+2$
(C) $y=4x+7$
ข้อใดคือเส้นตรงที่ขนานกับ $y=7-4x$
(A) $y=-4x+7$
(B) $y=-4x+2$
(C) $y=4x+7$
Answershow ▾
(A) has the same gradient and the same intercept, so it is the SAME line, not a different parallel one. (C) changed the sign of the gradient, so its steepness is wrong.(A) ความชันเท่ากันและจุดตัดแกน y เท่ากัน จึงเป็นเส้นเดียวกัน ไม่ใช่เส้นขนานเส้นใหม่ · (C) เปลี่ยนเครื่องหมายความชัน ทำให้ความชันผิด
Write down an equation of a line that is parallel to the line with equation $y=7-4x$.
จงเขียนสมการเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง $y=7-4x$
Answershow ▾
Any line with gradient $-4$ and intercept not $7$ works; this is one example.เส้นใดก็ได้ที่มีความชัน $-4$ และจุดตัดแกน y ไม่เท่ากับ $7$ ใช้ได้ทั้งหมด นี่คือตัวอย่างหนึ่ง
Part (b): $L$ passes through $(-3,1)$ and $(2,-2)$. To find the line perpendicular to $L$, which first move finds its gradient?
(A) flip and negate the gradient of $y=7-4x$ from part (a)
(B) find the gradient between $(-3,1)$ and $(2,-2)$
(C) substitute $(-6,4)$ into $y=mx+c$ straight away
ข้อ (ข): $L$ ผ่านจุด $(-3,1)$ และ $(2,-2)$ จะหาเส้นตั้งฉากกับ $L$ ต้องหาความชันของ $L$ ก่อน ขั้นแรกคือข้อใด
(A) กลับและสลับเครื่องหมายความชันของ $y=7-4x$ จากข้อ (ก)
(B) หาความชันระหว่าง $(-3,1)$ และ $(2,-2)$
(C) แทน $(-6,4)$ ใน $y=mx+c$ ทันที
Answershow ▾
(A) uses the gradient of the WRONG line - the line in part (a) has nothing to do with $L$. (C) needs a gradient before a point is any use; $(-6,4)$ only comes in once the perpendicular gradient of $L$ is known.(A) ใช้ความชันของเส้นผิด เส้นในข้อ (ก) ไม่เกี่ยวกับ $L$ เลย · (C) ต้องมีความชันก่อนจุดจะใช้ได้ $(-6,4)$ จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อรู้ความชันตั้งฉากของ $L$ แล้ว
$L$ has gradient $-\dfrac{3}{5}$. Find the gradient of a line perpendicular to $L$.
$L$ มีความชัน $-\dfrac{3}{5}$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ $L$
Answershow ▾
Flip $-\dfrac{3}{5}$ to $-\dfrac{5}{3}$, then swap its sign.กลับ $-\dfrac{3}{5}$ เป็น $-\dfrac{5}{3}$ แล้วสลับเครื่องหมาย
Write the equation of the line with gradient $\dfrac{5}{3}$ that passes through $(-6,4)$, using $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.
จงเขียนสมการเส้นตรงที่มีความชัน $\dfrac{5}{3}$ และผ่านจุด $(-6,4)$ โดยใช้ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Answershow ▾
$x_{1}=-6$ and $y_{1}=4$, so $x-x_{1}$ becomes $x+6$.$x_{1}=-6$ และ $y_{1}=4$ ดังนั้น $x-x_{1}$ จึงกลายเป็น $x+6$
Rearrange $y-4=\dfrac{5}{3}(x+6)$ into the form $ax+by+c=0$, with $a$, $b$ and $c$ integers.
จงจัดรูป $y-4=\dfrac{5}{3}(x+6)$ ให้อยู่ในรูป $ax+by+c=0$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
Multiply by $3$ to clear the fraction, then collect everything on one side.คูณด้วย $3$ เพื่อกำจัดเศษส่วน แล้วรวมทุกพจน์มาไว้ฝั่งเดียว
Check that $(-6,4)$ satisfies $5x-3y+42=0$.
จงตรวจว่าจุด $(-6,4)$ เป็นจริงกับ $5x-3y+42=0$
Answershow ▾
A point on the line always makes its equation true.จุดที่อยู่บนเส้นตรง จะทำให้สมการของเส้นเป็นจริงเสมอ
(a) Write down a line parallel to $y=6-3x$.
(b) $L$ passes through $(0,2)$ and $(4,4)$. Find an equation of the line perpendicular to $L$ through $(2,-3)$, in the form $ax+by+c=0$.
(ก) จงเขียนเส้นตรงที่ขนานกับ $y=6-3x$
(ข) $L$ ผ่านจุด $(0,2)$ และ $(4,4)$ จงหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ $L$ ผ่านจุด $(2,-3)$ ในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Same two skills, kinder numbers: same gradient for (a), then the gradient rule and point for (b).สองทักษะเดิม ตัวเลขง่ายลง: ข้อ (ก) ใช้ความชันเดิม ข้อ (ข) ใช้กฎความชันตั้งฉากและจุดที่ให้
(a) Write down an equation of a line that is parallel to the line with equation $y=7-4x$
(b) The line $L$ passes through the points with coordinates $(-3,1)$ and $(2,-2)$
Find an equation of the line that is perpendicular to $L$ and passes through the point with coordinates $(-6,4)$
Give your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
(ก) จงเขียนสมการเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง $y=7-4x$
(ข) เส้นตรง $L$ ผ่านจุด $(-3,1)$ และ $(2,-2)$
จงหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ $L$ และผ่านจุด $(-6,4)$
ตอบในรูป $ax+by+c=0$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
5 marks: 1 for (a), 4 for (b) - the gradient of $L$, the perpendicular rule, the point, then the form.5 คะแนน: ข้อ (ก) 1 คะแนน ข้อ (ข) 4 คะแนน - ความชันของ $L$ กฎตั้งฉาก จุดที่ให้ แล้วจัดรูป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y = -4x+k,\ k\neq 7$
M1 gradient of Lความชันของ L
$m_{L} = \dfrac{-2-1}{2-(-3)}$
$= -\dfrac{3}{5}$
M1 perpendicular gradient ruleกฎความชันตั้งฉาก
$m_{2}=-\dfrac{1}{m_{L}}$
$m_{2} = \dfrac{5}{3}$
M1 line through (-6,4)เส้นผ่าน (-6,4)
$y-4 = \dfrac{5}{3}(x+6)$
A1 rearrange to ax+by+c=0จัดรูป ax+by+c=0
$3y-12 = 5x+30$
$5x-3y+42 = 0$
Perpendicular line, then its x-intercept เส้นตั้งฉาก แล้วจุดตัดแกน x
The straight line $L$ passes through the points $(4,-1)$ and $(6,4)$
The straight line $M$ is perpendicular to $L$ and intersects the $y$-axis at the point $(0,8)$
Find the coordinates of the point where $M$ intersects the $x$-axis.
เส้นตรง $L$ ผ่านจุด $(4,-1)$ และ $(6,4)$
เส้นตรง $M$ ตั้งฉากกับ $L$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $(0,8)$
จงหาพิกัดของจุดที่ $M$ ตัดแกน $x$
Find the gradient of the line through the points $(4,-1)$ and $(6,4)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(4,-1)$ และ $(6,4)$
Answershow ▾
Keep the same point first on top and underneath: $\dfrac{4-(-1)}{6-4}$, not the other way round.ใช้จุดเดียวกันเป็นตัวแรกทั้งบนและล่าง: $\dfrac{4-(-1)}{6-4}$ ไม่ใช่สลับกัน
A line has gradient $\dfrac{5}{2}$. A second line is perpendicular to it. Find the gradient of the second line.
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $\dfrac{5}{2}$ อีกเส้นหนึ่งตั้งฉากกับเส้นนี้ จงหาความชันของเส้นที่สอง
Answershow ▾
Flip the fraction, then change the sign.กลับเศษส่วน แล้วสลับเครื่องหมาย
A line has gradient $-\dfrac{2}{5}$ and crosses the $y$-axis at $(0,8)$. At what value of $x$ does it cross the $x$-axis?
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $-\dfrac{2}{5}$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $(0,8)$ จงหาค่า $x$ ที่เส้นนี้ตัดแกน $x$
Answershow ▾
A point on the $y$-axis gives $c$ directly. Then set $y=0$ and solve.จุดบนแกน $y$ ให้ค่า $c$ ได้ทันที จากนั้นแทน $y=0$ แล้วแก้สมการ
The line $L$ passes through $(4,-1)$ and $(6,4)$. The line $M$ is perpendicular to $L$ and crosses the $y$-axis at $(0,8)$. Pick the first move.
(A) use $(0,8)$ as a point on $L$
(B) find the gradient of $L$ from its two points, then flip and negate it for $M$
(C) find the gradient of $M$ from the single point $(0,8)$
เส้นตรง $L$ ผ่านจุด $(4,-1)$ และ $(6,4)$ เส้นตรง $M$ ตั้งฉากกับ $L$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $(0,8)$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ใช้ $(0,8)$ เป็นจุดบน $L$
(B) หาความชันของ $L$ จากสองจุด แล้วกลับเศษส่วนสลับเครื่องหมายสำหรับ $M$
(C) หาความชันของ $M$ จากจุดเดียว $(0,8)$
Answershow ▾
(A) mixes up the lines: $(0,8)$ is a point on $M$, not $L$. (C) fails because one point alone never fixes a gradient.(A) สลับเส้นผิด: $(0,8)$ เป็นจุดบน $M$ ไม่ใช่ $L$ · (C) ผิดเพราะจุดเดียวหาความชันไม่ได้
$L$ passes through $(4,-1)$ and $(6,4)$. Find the gradient of $L$.
$L$ ผ่านจุด $(4,-1)$ และ $(6,4)$ จงหาความชันของ $L$
Answershow ▾
Same formula as the warm-up, now named $L$.สูตรเดิมจากขั้นอุ่นเครื่อง ตอนนี้ตั้งชื่อว่า $L$
$M$ is perpendicular to $L$. Find the gradient of $M$.
$M$ ตั้งฉากกับ $L$ จงหาความชันของ $M$
Answershow ▾
Flip $\dfrac{5}{2}$ and change the sign.กลับ $\dfrac{5}{2}$ แล้วสลับเครื่องหมาย
You know $m_{M}=-\dfrac{2}{5}$. Which point do you use to write the equation of $M$?
(A) $(4,-1)$
(B) $(6,4)$
(C) $(0,8)$
รู้ว่า $m_{M}=-\dfrac{2}{5}$ แล้ว จะใช้จุดไหนเขียนสมการของ $M$
(A) $(4,-1)$
(B) $(6,4)$
(C) $(0,8)$
Answershow ▾
(A) and (B) are points on $L$, not $M$. (C) is on $M$ and on the $y$-axis, so it hands you $c$ directly.(A) และ (B) เป็นจุดบน $L$ ไม่ใช่ $M$ · (C) อยู่บน $M$ และบนแกน $y$ จึงได้ $c$ ทันที
$M$ has gradient $-\dfrac{2}{5}$ and passes through $(0,8)$. Write the equation of $M$.
$M$ มีความชัน $-\dfrac{2}{5}$ และผ่านจุด $(0,8)$ จงเขียนสมการของ $M$
Answershow ▾
$(0,8)$ is the $y$-intercept, so $c=8$ straight away.$(0,8)$ คือจุดตัดแกน $y$ จึงได้ $c=8$ ทันที
Set $y=0$ in $y=-\dfrac{2}{5}x+8$ and solve for $x$.
แทน $y=0$ ใน $y=-\dfrac{2}{5}x+8$ แล้วแก้สมการหา $x$
Answershow ▾
Same moves as the warm-up: multiply by $5$, add $2x$, then divide by $2$.ขั้นเดิมจากขั้นอุ่นเครื่อง: คูณด้วย $5$ บวก $2x$ แล้วหารด้วย $2$
Check that $x=20,\,y=0$ fits $y=-\dfrac{2}{5}x+8$.
จงตรวจว่า $x=20,\,y=0$ เป็นจริงกับ $y=-\dfrac{2}{5}x+8$
Answershow ▾
A point that fits the equation really is on the line.จุดที่เป็นจริงกับสมการ อยู่บนเส้นตรงจริง
The line $P$ passes through $(1,2)$ and $(3,6)$. The line $Q$ is perpendicular to $P$ and crosses the $y$-axis at $(0,5)$. Find the coordinates of the point where $Q$ crosses the $x$-axis.
เส้นตรง $P$ ผ่านจุด $(1,2)$ และ $(3,6)$ เส้นตรง $Q$ ตั้งฉากกับ $P$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $(0,5)$ จงหาพิกัดของจุดที่ $Q$ ตัดแกน $x$
Answershow ▾
Same four moves: gradient of $P$, flip and negate for $Q$, write the equation, then solve.สี่ขั้นเดิม: หาความชันของ $P$ กลับเศษส่วนสลับเครื่องหมายสำหรับ $Q$ เขียนสมการ แล้วแก้หาคำตอบ
The straight line $L$ passes through the points $(4,-1)$ and $(6,4)$
The straight line $M$ is perpendicular to $L$ and intersects the $y$-axis at the point $(0,8)$
Find the coordinates of the point where $M$ intersects the $x$-axis.
เส้นตรง $L$ ผ่านจุด $(4,-1)$ และ $(6,4)$
เส้นตรง $M$ ตั้งฉากกับ $L$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $(0,8)$
จงหาพิกัดของจุดที่ $M$ ตัดแกน $x$
Answershow ▾
4 marks: gradient of $L$, perpendicular gradient, equation of $M$, then solve for $x$.4 คะแนน: ความชันของ $L$ ความชันตั้งฉาก สมการของ $M$ แล้วแก้หา $x$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$m_{L} = \dfrac{4-(-1)}{6-4}$
$= \dfrac{5}{2}$
M1 perpendicular gradient of Mความชันตั้งฉากของ M
$m_{M}=-\dfrac{1}{m_{L}}$
$m_{M} = -\dfrac{2}{5}$
M1 equation of Mสมการของ M
$y = -\dfrac{2}{5}x+8$
A1 x-intercept of Mจุดตัดแกน x ของ M
$0 = -\dfrac{2}{5}x+8$
$x = 20$
Line from apex to midpoint เส้นจากยอดถึงจุดกึ่งกลาง
$ABC$ is an isosceles triangle with $AB=AC$
$B$ is the point with coordinates $(-1,5)$
$C$ is the point with coordinates $(2,10)$
$M$ is the midpoint of $BC$
Find an equation of the line through the points $A$ and $M$
Give your answer in the form $py+qx=r$ where $p$, $q$ and $r$ are integers.
$ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยที่ $AB=AC$
$B$ มีพิกัด $(-1,5)$
$C$ มีพิกัด $(2,10)$
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC$
จงหาสมการเส้นตรงผ่านจุด $A$ และ $M$
ตอบในรูป $py+qx=r$ โดยที่ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
$B$ is $(-1,5)$ and $C$ is $(2,10)$. Find the midpoint of $BC$.
$B$ คือ $(-1,5)$ และ $C$ คือ $(2,10)$ จงหาจุดกึ่งกลางของ $BC$
Answershow ▾
Average the $x$-coordinates, then average the $y$-coordinates.หาค่าเฉลี่ยของพิกัด $x$ แล้วหาค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$
Find the gradient of the line through $B(-1,5)$ and $C(2,10)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $B(-1,5)$ และ $C(2,10)$
Answershow ▾
Rise over run: change in $y$ over change in $x$.แนวตั้งส่วนแนวนอน คือการเปลี่ยนแปลงของ $y$ ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ $x$
A line has gradient $\dfrac{5}{3}$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $\dfrac{5}{3}$ จงหาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Flip the fraction, then change the sign.กลับเศษเป็นส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$ABC$ is isosceles with $AB=AC$. $M$ is the midpoint of $BC$. Pick the fact that finds the line through $A$ and $M$ without knowing $A$.
(A) $AM$ is the perpendicular bisector of $BC$
(B) let $A=(x,y)$ and solve $AB^{2}=AC^{2}$ for $A$
(C) $AM$ has the same gradient as $BC$
$ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยที่ $AB=AC$ และ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC$ จงเลือกข้อเท็จจริงที่ใช้หาเส้นผ่าน $A$ และ $M$ โดยไม่ต้องรู้จุด $A$
(A) $AM$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $BC$
(B) ให้ $A=(x,y)$ แล้วแก้สมการ $AB^{2}=AC^{2}$ หา $A$
(C) $AM$ มีความชันเท่ากับ $BC$
Answershow ▾
(B) is one equation for the two unknowns in $A$, so $A$ cannot be found, and the question never needs $A$ at all. (C) makes $AM$ the same line as $BC$, so $A$ would sit on $BC$ and $ABC$ would not be a triangle.(B) มีสมการเดียวสำหรับตัวแปรสองตัวใน $A$ จึงหาค่า $A$ ไม่ได้ และคำถามก็ไม่ต้องใช้ $A$ เลย · (C) ทำให้ $AM$ เป็นเส้นเดียวกับ $BC$ ทำให้ $A$ อยู่บน $BC$ และ $ABC$ ไม่เป็นสามเหลี่ยม
Use $M\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{15}{2}\right)$ and gradient $-\dfrac{3}{5}$ to write the equation of line $AM$.
ใช้ $M\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{15}{2}\right)$ และความชัน $-\dfrac{3}{5}$ เขียนสมการของเส้น $AM$
Answershow ▾
Point-slope form is $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.รูปจุด-ความชันคือ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Multiply both sides of $y-\dfrac{15}{2}=-\dfrac{3}{5}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$ by $10$.
คูณทั้งสองข้างของ $y-\dfrac{15}{2}=-\dfrac{3}{5}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$ ด้วย $10$
Answershow ▾
$10$ clears the $2$ and the $5$ denominators in one step.$10$ ตัดตัวหาร $2$ และ $5$ ได้ในขั้นเดียว
Simplify $10y+6x=78$ to the form $py+qx=r$ with the smallest integers.
จงจัด $10y+6x=78$ ให้อยู่ในรูป $py+qx=r$ โดยที่ $p$, $q$, $r$ เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด
Answershow ▾
Every term shares a factor of $2$.ทุกพจน์มีตัวประกอบร่วมคือ $2$
Multiply the gradient of $AM$, $-\dfrac{3}{5}$, by the gradient of $BC$, $\dfrac{5}{3}$.
จงคูณความชันของ $AM$ คือ $-\dfrac{3}{5}$ กับความชันของ $BC$ คือ $\dfrac{5}{3}$
Answershow ▾
Two gradients multiply to $-1$ only when the lines are perpendicular.ความชันสองเส้นคูณกันได้ $-1$ เมื่อเส้นทั้งสองตั้งฉากกันเท่านั้น
$(3,6)$ lies on $5y+3x=39$. Work out $(3-(-1))^{2}+(6-5)^{2}$, the squared distance from $B$.
$(3,6)$ อยู่บน $5y+3x=39$ จงหา $(3-(-1))^{2}+(6-5)^{2}$ ซึ่งคือระยะทางยกกำลังสองจาก $B$
Answershow ▾
The squared distance from $C$ is also $17$, so the two distances are equal.ระยะทางยกกำลังสองจาก $C$ ก็เท่ากับ $17$ ด้วย ดังนั้นระยะทางทั้งสองเท่ากัน
$PQR$ is isosceles with $PQ=PR$. $Q$ is $(0,0)$ and $R$ is $(4,8)$. $N$ is the midpoint of $QR$. Find the equation of the line through $P$ and $N$, in the form $py+qx=r$.
$PQR$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยที่ $PQ=PR$ · $Q$ คือ $(0,0)$ และ $R$ คือ $(4,8)$ · $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $QR$ จงหาสมการเส้นผ่าน $P$ และ $N$ ในรูป $py+qx=r$
Answershow ▾
Same moves: midpoint, gradient, perpendicular gradient, then the line.ขั้นตอนเดิม: จุดกึ่งกลาง ความชัน ความชันตั้งฉาก แล้วหาสมการเส้นตรง
$ABC$ is an isosceles triangle with $AB=AC$
$B$ is the point with coordinates $(-1,5)$
$C$ is the point with coordinates $(2,10)$
$M$ is the midpoint of $BC$
Find an equation of the line through the points $A$ and $M$
Give your answer in the form $py+qx=r$ where $p$, $q$ and $r$ are integers.
$ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยที่ $AB=AC$
$B$ มีพิกัด $(-1,5)$
$C$ มีพิกัด $(2,10)$
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC$
จงหาสมการเส้นตรงผ่านจุด $A$ และ $M$
ตอบในรูป $py+qx=r$ โดยที่ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
5 marks: midpoint, gradient of $BC$, the perpendicular gradient, the equation through $M$, then simplify.5 คะแนน: จุดกึ่งกลาง ความชันของ $BC$ ความชันตั้งฉาก สมการที่ผ่าน $M$ แล้วจัดรูปให้ง่ายที่สุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$M$
$= \left(\dfrac{-1+2}{2},\dfrac{5+10}{2}\right)$
$= \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{15}{2}\right)$
M1 gradient of BCความชันของ BC
$m_{BC} = \dfrac{10-5}{2-(-1)}$
$= \dfrac{5}{3}$
M1 AM perpendicular to BCAM ตั้งฉากกับ BC
$m_{AM}=-\dfrac{1}{m_{BC}}$
$m_{AM} = -\dfrac{3}{5}$
A1 equation of AM through Mสมการของ AM ผ่าน M
$y-\dfrac{15}{2}$
$= -\dfrac{3}{5}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$
A1 rearrange to py+qx=rจัดรูป py+qx=r
$5y-\dfrac{75}{2} = -3x+\dfrac{3}{2}$
$5y+3x = 39$
Right angle, two unknown coordinates มุมฉาก พิกัดไม่ทราบค่าสองตัว
$ABC$ is a triangle in which angle $ABC=90°$
$p$ and $q$ are integers such that the coordinates of $A$ are $(p,10)$, the coordinates of $B$ are $(-1,-5)$ and the coordinates of $C$ are $(8,q)$
Given that the gradient of $AC$ is $-\dfrac{6}{7}$, work out the value of $p$ and the value of $q$
$ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุม $ABC=90°$
$p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $A$ มีพิกัด $(p,10)$, $B$ มีพิกัด $(-1,-5)$ และ $C$ มีพิกัด $(8,q)$
กำหนดให้ความชันของ $AC$ เท่ากับ $-\dfrac{6}{7}$ จงหาค่าของ $p$ และค่าของ $q$
Work out $8-(-1)$.
จงหาค่า $8-(-1)$
Answershow ▾
Subtracting a negative number is the same as adding it.การลบจำนวนลบ คือการบวกจำนวนนั้น
Write $\dfrac{x-10}{8-y}=-\dfrac{6}{7}$ without fractions.
จงเขียน $\dfrac{x-10}{8-y}=-\dfrac{6}{7}$ โดยไม่มีเศษส่วน
Answershow ▾
Multiply both sides by the two denominators.คูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนทั้งสองตัว
A line has gradient $\dfrac{2}{3}$. A line perpendicular to it has gradient $m$. Work out $m$.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $\dfrac{2}{3}$ เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้มีความชัน $m$ จงหาค่า $m$
Answershow ▾
Perpendicular gradients multiply to $-1$.ความชันของเส้นตั้งฉากคูณกันได้ $-1$
$AB$ and $BC$ meet at a right angle at $B$. Which equation must be true?
(A) $m_{AB}=m_{BC}$
(B) $m_{AB}\times m_{BC}=-1$
(C) $m_{AB}\times m_{BC}=1$
$AB$ และ $BC$ ตั้งฉากกันที่ $B$ สมการใดต้องเป็นจริง
(A) $m_{AB}=m_{BC}$
(B) $m_{AB}\times m_{BC}=-1$
(C) $m_{AB}\times m_{BC}=1$
Answershow ▾
(A) is the condition for parallel lines, not perpendicular ones - it gives the same direction. (C) is missing the negative sign; one gradient must be the negative reciprocal of the other.(A) คือเงื่อนไขของเส้นขนาน ไม่ใช่เส้นตั้งฉาก เพราะให้ทิศทางเดียวกัน · (C) ลืมเครื่องหมายลบ ความชันหนึ่งต้องเป็นส่วนกลับติดลบของอีกความชัน
$A=(p,10)$, $C=(8,q)$, and the gradient of $AC$ is $-\dfrac{6}{7}$. Write the gradient equation, then clear the fractions.
$A=(p,10)$, $C=(8,q)$ และความชันของ $AC$ เท่ากับ $-\dfrac{6}{7}$ จงเขียนสมการความชัน แล้วกำจัดเศษส่วน
Answershow ▾
Same move as the warm-up, now with the real points.ขั้นตอนเดียวกับที่ฝึกมา แต่ใช้จุดจริงในข้อสอบ
$A=(p,10)$, $B=(-1,-5)$, $C=(8,q)$. Write the gradients $m_{AB}$ and $m_{BC}$.
$A=(p,10)$, $B=(-1,-5)$, $C=(8,q)$ จงเขียนความชัน $m_{AB}$ และ $m_{BC}$
Answershow ▾
The numbers $15$ and $9$ come from the coordinates of $B$ and the other point.ตัวเลข $15$ และ $9$ มาจากพิกัดของ $B$ กับอีกจุด
Using $m_{AB}$ and $m_{BC}$ from above, write the equation that must be true because $AB$ is perpendicular to $BC$ at $B$.
ใช้ $m_{AB}$ และ $m_{BC}$ จากข้อก่อนหน้า จงเขียนสมการที่ต้องเป็นจริงเพราะ $AB$ ตั้งฉากกับ $BC$ ที่ $B$
Answershow ▾
This is the condition you chose above.นี่คือเงื่อนไขที่เลือกไว้ข้างต้น
Substitute $m_{AB}=\dfrac{15}{p+1}$ and $m_{BC}=\dfrac{q+5}{9}$ into $m_{AB}\times m_{BC}=-1$, then clear the fractions.
แทน $m_{AB}=\dfrac{15}{p+1}$ และ $m_{BC}=\dfrac{q+5}{9}$ ใน $m_{AB}\times m_{BC}=-1$ แล้วกำจัดเศษส่วน
Answershow ▾
This is the equation the right angle gives.นี่คือสมการที่ได้จากมุมฉาก
Solve $7q-70=-48+6p$ and $15(q+5)=-9(p+1)$ together. Find $p$ and $q$.
จงแก้สมการ $7q-70=-48+6p$ และ $15(q+5)=-9(p+1)$ ร่วมกัน หาค่า $p$ และ $q$
Answershow ▾
Multiply the second equation by $2$ so the $p$-terms cancel.คูณสมการที่สองด้วย $2$ เพื่อให้พจน์ $p$ หักกัน
$ABC$ is a triangle with angle $ABC=90°$. $A=(p,8)$, $B=(0,0)$, $C=(6,q)$, where $p$ and $q$ are integers. The gradient of $AC$ is $-\dfrac{11}{2}$. Work out $p$ and $q$.
$ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุม $ABC=90°$ $A=(p,8)$, $B=(0,0)$, $C=(6,q)$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็ม ความชันของ $AC$ เท่ากับ $-\dfrac{11}{2}$ จงหาค่า $p$ และ $q$
Answershow ▾
Same three moves: the gradient equation, the perpendicular condition, then solve together.สามขั้นเดิม: สมการความชัน เงื่อนไขตั้งฉาก แล้วแก้ร่วมกัน
$ABC$ is a triangle in which angle $ABC=90°$
$p$ and $q$ are integers such that the coordinates of $A$ are $(p,10)$, the coordinates of $B$ are $(-1,-5)$ and the coordinates of $C$ are $(8,q)$
Given that the gradient of $AC$ is $-\dfrac{6}{7}$, work out the value of $p$ and the value of $q$
$ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุม $ABC=90°$
$p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $A$ มีพิกัด $(p,10)$, $B$ มีพิกัด $(-1,-5)$ และ $C$ มีพิกัด $(8,q)$
กำหนดให้ความชันของ $AC$ เท่ากับ $-\dfrac{6}{7}$ จงหาค่าของ $p$ และค่าของ $q$
Answershow ▾
5 marks: four for the two equations from the gradient and the right angle, one for solving them.5 คะแนน: สี่คะแนนสำหรับสองสมการจากความชันและมุมฉาก หนึ่งคะแนนสำหรับการแก้สมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{q-10}{8-p} = -\dfrac{6}{7}$
$7q-70 = -48+6p$
M1 gradients AB and BCความชัน AB และ BC
$m_{AB} = \dfrac{15}{p+1}$
$m_{BC} = \dfrac{q+5}{9}$
M1 perpendicular condition at Bเงื่อนไขตั้งฉากที่ B
$m_{AB}\times m_{BC} = -1$
M1 substitute the gradientsแทนค่าความชัน
$\dfrac{15}{p+1}\times\dfrac{q+5}{9} = -1$
$15(q+5) = -9(p+1)$
A1 solve simultaneous equationsแก้ระบบสมการ
$p = -6$
$q = -2$
Perpendicular bisector of a line segment เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนของเส้นตรง
$P$ and $Q$ are two points.
The coordinates of $P$ are $(-1,6)$
The coordinates of $Q$ are $(5,-4)$
Find an equation of the perpendicular bisector of $PQ$
Give your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
$P$ และ $Q$ เป็นจุดสองจุด
$P$ มีพิกัด $(-1,6)$
$Q$ มีพิกัด $(5,-4)$
จงหาสมการเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $PQ$
ตอบในรูป $ax+by+c=0$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Find the midpoint of $P(-1,6)$ and $Q(5,-4)$.
จงหาจุดกึ่งกลางของ $P(-1,6)$ และ $Q(5,-4)$
Answershow ▾
Mean of the $x$-coordinates, mean of the $y$-coordinates.ค่าเฉลี่ยของพิกัด $x$ และค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$
Find the gradient of the line through $P(-1,6)$ and $Q(5,-4)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $P(-1,6)$ และ $Q(5,-4)$
Answershow ▾
Rise over run: $y_{2}-y_{1}$ over $x_{2}-x_{1}$.ความชัน = ระยะในแนวตั้ง หารด้วย ระยะในแนวนอน
The gradient of $PQ$ is $-\dfrac{5}{3}$. Find the gradient of a line perpendicular to $PQ$.
ความชันของ $PQ$ คือ $-\dfrac{5}{3}$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ $PQ$
Answershow ▾
Turn the fraction upside down and change the sign.กลับเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$PQ$ has gradient $-\dfrac{5}{3}$. Pick the gradient of a line perpendicular to $PQ$.
(A) $-\dfrac{5}{3}$
(B) $\dfrac{3}{5}$
(C) $\dfrac{5}{3}$
$PQ$ มีความชัน $-\dfrac{5}{3}$ จงเลือกความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ $PQ$
(A) $-\dfrac{5}{3}$
(B) $\dfrac{3}{5}$
(C) $\dfrac{5}{3}$
Answershow ▾
(A) keeps $PQ$’s own gradient, so that line is parallel to $PQ$, not perpendicular to it. (C) changes the sign but does not flip the fraction, so $m_{PQ}\times m_{\perp}$ is not $-1$.(A) ใช้ความชันเดิมของ $PQ$ เส้นนั้นจึงขนานกับ $PQ$ ไม่ตั้งฉาก · (C) เปลี่ยนเครื่องหมายแต่ไม่กลับเศษส่วน ทำให้ $m_{PQ}\times m_{\perp}$ ไม่เท่ากับ $-1$
The perpendicular bisector of $PQ$ passes through one of these points. Pick it.
(A) $P(-1,6)$
(B) $Q(5,-4)$
(C) the midpoint $M(2,1)$
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $PQ$ ผ่านจุดใดจุดหนึ่งต่อไปนี้ จงเลือก
(A) $P(-1,6)$
(B) $Q(5,-4)$
(C) จุดกึ่งกลาง $M(2,1)$
Answershow ▾
$P$ and $Q$ lie on the line $PQ$ itself, not on its perpendicular bisector. The only point the two lines share is the midpoint.$P$ และ $Q$ อยู่บนเส้น $PQ$ เอง ไม่ได้อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก · จุดเดียวที่เส้นสองเส้นนี้ร่วมกันคือจุดกึ่งกลาง
Use $M(2,1)$ and gradient $\dfrac{3}{5}$ to write the equation of the perpendicular bisector, in the form $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.
ใช้ $M(2,1)$ และความชัน $\dfrac{3}{5}$ เขียนสมการของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ในรูป $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Answershow ▾
Put the midpoint in for $(x_{1},y_{1})$ and the perpendicular gradient in for $m$.แทนจุดกึ่งกลางเป็น $(x_{1},y_{1})$ และความชันตั้งฉากเป็น $m$
Multiply both sides of $y-1=\dfrac{3}{5}(x-2)$ by $5$, then expand the bracket.
คูณทั้งสองข้างของ $y-1=\dfrac{3}{5}(x-2)$ ด้วย $5$ แล้วกระจายวงเล็บ
Answershow ▾
Multiplying by $5$ removes the $5$ underneath. Then expand $3(x-2)$.คูณด้วย $5$ เพื่อตัดตัวหารออก แล้วกระจาย $3(x-2)$
Rearrange $5y-5=3x-6$ into the form $ax+by+c=0$, with $a$, $b$, $c$ integers.
จงจัดรูป $5y-5=3x-6$ ให้อยู่ในรูป $ax+by+c=0$ โดยที่ $a$, $b$, $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
Move every term to one side, then write it with $x$ positive first.ย้ายทุกพจน์ไปไว้ข้างเดียว แล้วเขียนให้พจน์ $x$ เป็นบวกและอยู่หน้าสุด
Using $M(2,1)$ and gradient $\dfrac{3}{5}$, find the equation of the perpendicular bisector with no fractions in it.
ใช้ $M(2,1)$ และความชัน $\dfrac{3}{5}$ หาสมการของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ไม่มีเศษส่วน
Answershow ▾
Point and gradient into the equation, then multiply out the fraction.แทนจุดและความชันในสมการ แล้วคูณกำจัดเศษส่วน
Check that $M(2,1)$ satisfies $3x-5y-1=0$.
จงตรวจว่า $M(2,1)$ เป็นจริงกับ $3x-5y-1=0$
Answershow ▾
A point on the line makes the equation equal to zero.จุดที่อยู่บนเส้นตรง ทำให้สมการมีค่าเป็นศูนย์
$A(1,5)$ and $B(7,-3)$ are two points. Find an equation of the perpendicular bisector of $AB$, in the form $ax+by+c=0$.
$A(1,5)$ และ $B(7,-3)$ เป็นจุดสองจุด จงหาสมการเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $AB$ ในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Same five moves: midpoint, gradient, flip-and-change-sign, the line through the midpoint, clear and rearrange.ห้าขั้นเดิม: จุดกึ่งกลาง ความชัน กลับเศษส่วนเปลี่ยนเครื่องหมาย สมการผ่านจุดกึ่งกลาง แล้วกำจัดเศษส่วนและจัดรูป
$P$ and $Q$ are two points.
The coordinates of $P$ are $(-1,6)$
The coordinates of $Q$ are $(5,-4)$
Find an equation of the perpendicular bisector of $PQ$
Give your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
$P$ และ $Q$ เป็นจุดสองจุด
$P$ มีพิกัด $(-1,6)$
$Q$ มีพิกัด $(5,-4)$
จงหาสมการเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $PQ$
ตอบในรูป $ax+by+c=0$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
6 marks, 5 for method: midpoint, gradient, flip-and-change-sign, the equation through the midpoint, then clear and rearrange.6 คะแนน 5 คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ: จุดกึ่งกลาง ความชัน กลับเศษส่วนเปลี่ยนเครื่องหมาย สมการผ่านจุดกึ่งกลาง แล้วกำจัดเศษส่วนและจัดรูป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x_{M} = \dfrac{-1+5}{2}$
$= 2$
$y_{M} = \dfrac{6+(-4)}{2}$
$= 1$
M1 gradient of PQความชันของ PQ
$m_{PQ} = \dfrac{-4-6}{5-(-1)}$
$= -\dfrac{5}{3}$
M1 perpendicular gradient ruleกฎความชันตั้งฉาก
$m_{\perp}=-\dfrac{1}{m_{PQ}}$
$m_{\perp} = \dfrac{3}{5}$
M1 equation through Mสมการผ่านจุด M
$y-1 = \dfrac{3}{5}(x-2)$
M1 clear the fractionsกำจัดเศษส่วน
$5y-5 = 3(x-2)$
$5y-5 = 3x-6$
A1 rearrange to ax+by+c=0จัดรูป ax+by+c=0
$3x-5y-1 = 0$
Perpendicular line, area from two axes เส้นตั้งฉาก หาพื้นที่จากสองแกน
$L_{1}$ and $L_{2}$ are two straight lines. The origin of the coordinate axes is $O$.
$L_{1}$ has equation $5x+10y=8$
$L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through the point with coordinates $(8,6)$
$L_{2}$ crosses the $x$-axis at the point $A$.
$L_{2}$ intersects the straight line with equation $x=-3$ at the point $B$.
Find the area of triangle $AOB$.
Show your working clearly.
$L_{1}$ และ $L_{2}$ เป็นเส้นตรงสองเส้น จุดกำเนิดของแกนพิกัดคือ $O$
$L_{1}$ มีสมการ $5x+10y=8$
$L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $(8,6)$
$L_{2}$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $A$
$L_{2}$ ตัดเส้นตรง $x=-3$ ที่จุด $B$
จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $AOB$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
$L_{1}$ has equation $5x+10y=8$. Find the gradient of $L_{1}$.
$L_{1}$ มีสมการ $5x+10y=8$ จงหาความชันของ $L_{1}$
Answershow ▾
Rearrange into $y=mx+c$ form before reading the gradient.จัดรูปให้เป็น $y=mx+c$ ก่อน จึงจะอ่านความชันได้
A line has gradient $4$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $4$ จงหาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับมัน
Answershow ▾
Flip the gradient into a fraction, then change its sign.กลับความชันให้เป็นเศษส่วน แล้วสลับเครื่องหมาย
$y=3x-1$. Work out $y$ when $x=-3$.
$y=3x-1$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=-3$
Answershow ▾
Minus times minus is plus, so watch the sign.ลบคูณลบได้บวก ต้องระวังเครื่องหมาย
$L_{1}$ has gradient $m_{1}=-\dfrac12$. $L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$. Pick the first move for $m_{2}$.
(A) negate only: $m_{2}=\dfrac12$
(B) flip only: $m_{2}=-2$
(C) flip and negate: $m_{2}=2$
$L_{1}$ มีความชัน $m_{1}=-\dfrac12$ และ $L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ จงเลือกขั้นแรกสำหรับ $m_{2}$
(A) สลับเครื่องหมายอย่างเดียว: $m_{2}=\dfrac12$
(B) กลับเศษส่วนอย่างเดียว: $m_{2}=-2$
(C) กลับเศษส่วนแล้วสลับเครื่องหมาย: $m_{2}=2$
Answershow ▾
(A) only changes the sign and (B) only flips the fraction; the rule needs both at once.(A) สลับแค่เครื่องหมาย ส่วน (B) กลับแค่เศษส่วน แต่กฎนี้ต้องทำทั้งสองอย่างพร้อมกัน
$m_{1}=-\dfrac12$. Work out $m_{2}$, the gradient of $L_{2}$.
$m_{1}=-\dfrac12$ จงหาค่า $m_{2}$ ซึ่งคือความชันของ $L_{2}$
Answershow ▾
Flipping $-\dfrac12$ gives $-2$; negating that gives $2$.กลับเศษส่วนของ $-\dfrac12$ ได้ $-2$ สลับเครื่องหมายได้ $2$
$L_{2}$ has gradient $2$ and passes through $(8,6)$. Find the equation of $L_{2}$.
$L_{2}$ มีความชัน $2$ และผ่านจุด $(8,6)$ จงหาสมการของ $L_{2}$
Answershow ▾
Use $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, then isolate $y$.ใช้ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ แล้วจัดให้ $y$ อยู่ลำพัง
$L_{2}$: $y=2x-10$. Point $A$ is on the $x$-axis; point $B$ is where $L_{2}$ meets $x=-3$. Pick the matching pair of substitutions.
(A) $x=0$ for $A$; $y=0$ for $B$
(B) $y=0$ for $A$; $x=-3$ for $B$
(C) $y=0$ for both $A$ and $B$
$L_{2}$: $y=2x-10$ จุด $A$ อยู่บนแกน $x$ จุด $B$ คือจุดที่ $L_{2}$ ตัดกับ $x=-3$ จงเลือกคู่การแทนค่าที่ถูกต้อง
(A) แทน $x=0$ สำหรับ $A$; แทน $y=0$ สำหรับ $B$
(B) แทน $y=0$ สำหรับ $A$; แทน $x=-3$ สำหรับ $B$
(C) แทน $y=0$ สำหรับทั้ง $A$ และ $B$
Answershow ▾
(A) swaps which substitution belongs to which point; (C) uses the x-axis test for $B$, who is defined by $x=-3$ instead.(A) สลับว่าแทนค่าไหนให้จุดไหน ส่วน (C) ใช้เงื่อนไขแกน x กับจุด $B$ ทั้งที่ $B$ ถูกกำหนดด้วย $x=-3$
$L_{2}$: $y=2x-10$. Find point $A$, where $L_{2}$ crosses the $x$-axis.
$L_{2}$: $y=2x-10$ จงหาจุด $A$ ซึ่งเป็นจุดที่ $L_{2}$ ตัดแกน $x$
Answershow ▾
On the $x$-axis, $y=0$.บนแกน $x$ ค่า $y=0$
$L_{2}$: $y=2x-10$. Find point $B$, where $L_{2}$ meets $x=-3$.
$L_{2}$: $y=2x-10$ จงหาจุด $B$ ซึ่งเป็นจุดที่ $L_{2}$ ตัดกับ $x=-3$
Answershow ▾
Substitute $x=-3$ into the equation of $L_{2}$.แทน $x=-3$ ลงในสมการของ $L_{2}$
$O=(0,0)$, $A=(5,0)$, $B=(-3,-16)$. Work out the area of triangle $AOB$.
$O=(0,0)$, $A=(5,0)$, $B=(-3,-16)$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $AOB$
Answershow ▾
$OA$ is the base, along the $x$-axis; $|y_{B}|$ is the height.$OA$ เป็นฐาน อยู่บนแกน $x$ ส่วน $|y_{B}|$ เป็นความสูง
$L_{1}$ has equation $4x+2y=12$. $L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through $(2,5)$. $L_{2}$ crosses the $x$-axis at $A$. $L_{2}$ meets the line $x=4$ at $B$. Find the area of triangle $AOB$.
$L_{1}$ มีสมการ $4x+2y=12$ และ $L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $(2,5)$ $L_{2}$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $A$ และ $L_{2}$ ตัดเส้นตรง $x=4$ ที่จุด $B$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $AOB$
Answershow ▾
Same five moves: gradient, perpendicular gradient, equation, both points, area.ห้าขั้นเดิม: ความชัน ความชันตั้งฉาก สมการ จุดทั้งสอง แล้วหาพื้นที่
$L_{1}$ and $L_{2}$ are two straight lines. The origin of the coordinate axes is $O$.
$L_{1}$ has equation $5x+10y=8$
$L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through the point with coordinates $(8,6)$
$L_{2}$ crosses the $x$-axis at the point $A$.
$L_{2}$ intersects the straight line with equation $x=-3$ at the point $B$.
Find the area of triangle $AOB$.
Show your working clearly.
$L_{1}$ และ $L_{2}$ เป็นเส้นตรงสองเส้น จุดกำเนิดของแกนพิกัดคือ $O$
$L_{1}$ มีสมการ $5x+10y=8$
$L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $(8,6)$
$L_{2}$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $A$
$L_{2}$ ตัดเส้นตรง $x=-3$ ที่จุด $B$
จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $AOB$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks, four for method. Show the gradient, the perpendicular gradient, the equation, then both points.5 คะแนน สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ ต้องแสดงความชัน ความชันตั้งฉาก สมการ แล้วจุดทั้งสอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$10y = 8-5x$
$y = \dfrac{4}{5}-\dfrac{x}{2}$
$m_{1} = -\dfrac{1}{2}$
M1 perpendicular gradient of L2ความชันตั้งฉากของ L2
$m_{2}=-\dfrac{1}{m_{1}}$
$m_{2} = 2$
M1 equation of L2 through (8,6)สมการ L2 ผ่าน (8,6)
$y-6 = 2(x-8)$
$y = 2x-10$
M1 find A and Bหาจุด A และ B
$A:\ 0 = 2x-10$
$x = 5$
$y_{B} = 2(-3)-10$
$= -16$
A1 area of triangle AOBพื้นที่สามเหลี่ยม AOB
$\text{Area}$
$= \dfrac{1}{2}\times OA\times |y_{B}|$
$= \dfrac{1}{2}\times5\times16$
$= 40$
Kite on a grid - find both missing vertices ว่าวบนกริด หาจุดยอดที่หายไปทั้งสอง
$ABCD$ is a kite, with diagonals $AC$ and $BD$, drawn on a centimetre square grid, with a scale of $1$ cm for $1$ unit on each axis.
$A$ is the point with coordinates $(-3,4)$
The diagonals of the kite intersect at the point $M$ with coordinates $(0,2)$
Given that $AB=AD=6.5$ cm and the $x$ coordinate of $B$ is positive,
find the coordinates of the points $B$ and $D$.
$ABCD$ เป็นว่าว โดยมีเส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ วาดบนกริดตารางเซนติเมตร มาตราส่วน $1$ ซม. ต่อ $1$ หน่วยในแต่ละแกน
$A$ มีพิกัด $(-3,4)$
เส้นทแยงมุมของว่าวตัดกันที่จุด $M$ ซึ่งมีพิกัด $(0,2)$
กำหนดให้ $AB=AD=6.5$ ซม. และพิกัด $x$ ของ $B$ เป็นบวก
จงหาพิกัดของจุด $B$ และ $D$
Find the gradient of the line joining $A(-3,4)$ and $M(0,2)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $A(-3,4)$ และ $M(0,2)$
Answershow ▾
Divide the change in $y$ by the change in $x$.เอาผลต่างของ $y$ หารด้วยผลต่างของ $x$
A right-angled triangle has a horizontal side of $3$ and a vertical side of $2$. Find the hypotenuse.
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านแนวนอนยาว $3$ และด้านแนวตั้งยาว $2$ จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก
Answershow ▾
Square each side, add, then square root.ยกกำลังสองแต่ละด้าน บวกกัน แล้วถอดราก
A line has gradient $-\dfrac{2}{3}$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $-\dfrac{2}{3}$ จงหาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Flip the fraction, then change its sign.กลับเศษเป็นส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$ABCD$ is a kite with $AB=AD$. Which diagonal is the line of symmetry?
(A) $AC$
(B) $BD$
(C) Not enough information
$ABCD$ เป็นว่าว โดยมี $AB=AD$ จงเลือกว่าเส้นทแยงมุมใดเป็นแกนสมมาตร
(A) $AC$
(B) $BD$
(C) ข้อมูลไม่พอ
Answershow ▾
(B) $BD$ is the diagonal that gets cut in half, not the line of symmetry itself. (C) is wrong because a kite with $AB=AD$ always has $AC$ as its axis.(B) $BD$ เป็นเส้นที่ถูกแบ่งครึ่ง ไม่ใช่แกนสมมาตรเอง · (C) ผิด เพราะว่าวที่มี $AB=AD$ มี $AC$ เป็นแกนสมมาตรเสมอ
$AC$ is the kite’s line of symmetry, so $BD$ is perpendicular to $AC$. Using the gradient of $AM$ from question $1$, find the gradient of $BD$.
$AC$ เป็นแกนสมมาตรของว่าว ดังนั้น $BD$ ตั้งฉากกับ $AC$ จงใช้ความชันของ $AM$ จากข้อ $1$ หาความชันของ $BD$
Answershow ▾
Same move as question $3$: flip the fraction, then change the sign.ขั้นเดียวกับข้อ $3$: กลับเศษเป็นส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
Find the length $AM$, using $A(-3,4)$ and $M(0,2)$.
จงหาความยาว $AM$ โดยใช้ $A(-3,4)$ และ $M(0,2)$
Answershow ▾
Same move as question $2$: the horizontal step is $3$, the vertical step is $2$.ขั้นเดียวกับข้อ $2$: ก้าวแนวนอนคือ $3$ ก้าวแนวตั้งคือ $2$
Triangle $ABM$ has a right angle at $M$, with $AB=6.5$ and $AM=\sqrt{13}$. Find $BM$.
สามเหลี่ยม $ABM$ มีมุมฉากที่ $M$ โดย $AB=6.5$ และ $AM=\sqrt{13}$ จงหา $BM$
Answershow ▾
$AB$ is the hypotenuse here, so square it, then subtract $AM^{2}$.$AB$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากในที่นี้ จึงยกกำลังสอง แล้วลบด้วย $AM^{2}$
Gradient $\dfrac32$ means move $2$ across and $3$ up - but that step has length $\sqrt{13}$, not $BM$. Pick the first move to find $B$.
(A) move $(2,3)$ from $M$, with no scaling
(B) scale $(2,3)$ to length $BM$, then move from $M$
(C) move $(2,3)$ from $A$ instead of $M$
ความชัน $\dfrac32$ หมายถึงก้าว $2$ ทางขวา $3$ ขึ้น แต่ก้าวนั้นยาว $\sqrt{13}$ ไม่ใช่ $BM$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $B$
(A) ก้าว $(2,3)$ จาก $M$ โดยไม่ขยาย
(B) ขยาย $(2,3)$ ให้ยาวเท่า $BM$ แล้วก้าวจาก $M$
(C) ก้าว $(2,3)$ จาก $A$ แทน $M$
Answershow ▾
(A) moves the right direction but the wrong distance: $(2,3)$ itself has length $\sqrt{13}$, not $BM$. (C) starts from the wrong point: $M$ is the midpoint of $BD$, not $A$.(A) ก้าวทิศถูกแต่ระยะผิด: $(2,3)$ เองยาว $\sqrt{13}$ ไม่ใช่ $BM$ · (C) เริ่มจากจุดผิด: $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BD$ ไม่ใช่ $A$
The direction $(2,3)$ has length $\sqrt{13}$. Scale it to length $BM=\sqrt{29.25}$, then add it to $M$ to find $B$.
เวกเตอร์ทิศทาง $(2,3)$ ยาว $\sqrt{13}$ จงขยายให้ยาวเท่า $BM=\sqrt{29.25}$ แล้วบวกเข้ากับ $M$ เพื่อหา $B$
Answershow ▾
Scale factor $=\dfrac{\sqrt{29.25}}{\sqrt{13}}=1.5$, so move $1.5\times(2,3)$ from $M$.ตัวขยาย $=\dfrac{\sqrt{29.25}}{\sqrt{13}}=1.5$ จึงก้าว $1.5\times(2,3)$ จาก $M$
$M$ is the midpoint of $BD$. Find $D=M-1.5\times(2,3)$, then check that $AD=6.5$.
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BD$ จงหา $D=M-1.5\times(2,3)$ แล้วตรวจว่า $AD=6.5$
Answershow ▾
A correct $D$ must give the same length as $AB$, since $AD=AB$ for a kite.$D$ ที่ถูกต้องต้องให้ความยาวเท่ากับ $AB$ เพราะว่าว $AD=AB$
$ABCD$ is a kite with diagonals $AC$ and $BD$. $A=(-2,3)$ and the diagonals meet at $M=(0,2)$. Given $AB=AD=5$ and the $x$ coordinate of $B$ is positive, find $B$ and $D$.
$ABCD$ เป็นว่าว มีเส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ · $A=(-2,3)$ และเส้นทแยงมุมตัดกันที่ $M=(0,2)$ กำหนดให้ $AB=AD=5$ และพิกัด $x$ ของ $B$ เป็นบวก จงหา $B$ และ $D$
Answershow ▾
Same five moves: gradient of $AM$, length $AM$, length $BM$, the perpendicular direction, then scale it from $M$.ห้าขั้นเดิม: ความชันของ $AM$ ความยาว $AM$ ความยาว $BM$ ทิศตั้งฉาก แล้วขยายจาก $M$
$ABCD$ is a kite, with diagonals $AC$ and $BD$, drawn on a centimetre square grid, with a scale of $1$ cm for $1$ unit on each axis.
$A$ is the point with coordinates $(-3,4)$
The diagonals of the kite intersect at the point $M$ with coordinates $(0,2)$
Given that $AB=AD=6.5$ cm and the $x$ coordinate of $B$ is positive,
find the coordinates of the points $B$ and $D$.
$ABCD$ เป็นว่าว โดยมีเส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ วาดบนกริดตารางเซนติเมตร มาตราส่วน $1$ ซม. ต่อ $1$ หน่วยในแต่ละแกน
$A$ มีพิกัด $(-3,4)$
เส้นทแยงมุมของว่าวตัดกันที่จุด $M$ ซึ่งมีพิกัด $(0,2)$
กำหนดให้ $AB=AD=6.5$ ซม. และพิกัด $x$ ของ $B$ เป็นบวก
จงหาพิกัดของจุด $B$ และ $D$
Answershow ▾
7 marks: perpendicular gradients, Pythagoras twice, then a scaled perpendicular step from $M$.7 คะแนน: ความชันตั้งฉาก พีทาโกรัสสองครั้ง แล้วขยายทิศตั้งฉากจาก $M$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$m_{AM} = \dfrac{2-4}{0-(-3)}$
$= -\dfrac{2}{3}$
M1 length AMความยาว AM
$AM = \sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}$
$= \sqrt{13}$
M1 BM by Pythagorasหา BM ด้วยพีทาโกรัส
$BM = \sqrt{AB^{2}-AM^{2}}$
$= \sqrt{6.5^{2}-13}$
$= \sqrt{29.25}$
M1 perpendicular gradient of BDความชันตั้งฉากของ BD
$m_{BD}=-\dfrac{1}{m_{AM}}$
$= \dfrac{3}{2}$
$BD:\ 2\text{ across},\ 3\text{ up}$
M1 scale the direction vectorขยายเวกเตอร์ทิศทาง
$\dfrac{BM}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}$
$= \dfrac{\sqrt{29.25}}{\sqrt{13}}$
$= 1.5$
A1 coordinates of Bพิกัดของ B
$B = (0,2)+1.5\times(2,3)$
$= (3,\ 6.5)$
A1 coordinates of Dพิกัดของ D
$D = (0,2)-1.5\times(2,3)$
$= (-3,\ -2.5)$
Rectangle: missing vertex and perimeter สี่เหลี่ยมผืนผ้า: จุดที่หายไปและเส้นรอบรูป
(a) A rectangle $ABCD$ is to be drawn on a centimetre grid such that $A$ has coordinates $(-4,-2)$, $B$ has coordinates $(1,10)$, $C$ has coordinates $(19,a)$ and $D$ has coordinates $(b,c)$
Work out the value of $a$, the value of $b$ and the value of $c$.
(b) Calculate the perimeter, in centimetres, of rectangle $ABCD$.
(ก) สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ วาดบนกริดตารางเซนติเมตร โดยที่ $A$ มีพิกัด $(-4,-2)$, $B$ มีพิกัด $(1,10)$, $C$ มีพิกัด $(19,a)$ และ $D$ มีพิกัด $(b,c)$
จงหาค่าของ $a$, ค่าของ $b$ และค่าของ $c$
(ข) จงหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ เป็นเซนติเมตร
Find the gradient of the line through $A(-4,-2)$ and $B(1,10)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $A(-4,-2)$ และ $B(1,10)$
Answershow ▾
Gradient is the change in $y$ over the change in $x$.ความชัน คือ การเปลี่ยนแปลงของ $y$ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$
A line has gradient $\dfrac{12}{5}$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $\dfrac{12}{5}$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Flip the fraction, then change its sign.กลับเศษเป็นส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
A line has gradient $-\dfrac{3}{4}$ and passes through $(2,5)$. Find $y$ when $x=10$.
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $-\dfrac{3}{4}$ และผ่านจุด $(2,5)$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=10$
Answershow ▾
Write the line through the point, then substitute the new $x$.เขียนสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดนั้น แล้วแทนค่า $x$ ใหม่
$C$ has coordinates $(19,a)$. $B=(1,10)$ and line $BC$ has gradient $-\dfrac{5}{12}$. Pick the first move to find $a$.
(A) substitute $x=19$ into $y-10=-\dfrac{5}{12}(x-1)$
(B) substitute $x=19$ into $y-10=\dfrac{12}{5}(x-1)$
(C) use the midpoint of $B$ and $C$
$C$ มีพิกัด $(19,a)$ โดย $B=(1,10)$ และเส้น $BC$ มีความชัน $-\dfrac{5}{12}$ จงเลือกขั้นแรกในการหาค่า $a$
(A) แทน $x=19$ ใน $y-10=-\dfrac{5}{12}(x-1)$
(B) แทน $x=19$ ใน $y-10=\dfrac{12}{5}(x-1)$
(C) ใช้จุดกึ่งกลางของ $B$ กับ $C$
Answershow ▾
(B) uses the gradient of $AB$, not the perpendicular gradient of $BC$ - $C$ sits on $BC$, not $AB$. (C) needs both coordinates of $C$ already, which is what the question is asking for.(B) ใช้ความชันของ $AB$ ไม่ใช่ความชันตั้งฉากของ $BC$ ทั้งที่ $C$ อยู่บนเส้น $BC$ ไม่ใช่ $AB$ · (C) ต้องรู้พิกัดครบทั้งสองค่าของ $C$ อยู่แล้ว ซึ่งเป็นสิ่งที่โจทย์กำลังถามหา
Substitute $x=19$ into $y-10=-\dfrac{5}{12}(x-1)$ to find $a$.
แทน $x=19$ ใน $y-10=-\dfrac{5}{12}(x-1)$ เพื่อหาค่า $a$
Answershow ▾
Same move as the warm-up, now with the real numbers.ขั้นเดิมจากข้อฝึก ใช้กับตัวเลขจริง
$B=(1,10)$ and $C=(19,2.5)$. Work out the vector $\overrightarrow{BC}$.
$B=(1,10)$ และ $C=(19,2.5)$ จงหาเวกเตอร์ $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
Subtract the coordinates of $B$ from the coordinates of $C$.นำพิกัดของ $B$ ไปลบออกจากพิกัดของ $C$
$ABCD$ is a rectangle, so $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. With $\overrightarrow{BC}=(18,-7.5)$, pick the equation that gives $D$.
(A) $D=A+\overrightarrow{BC}$
(B) $D=A-\overrightarrow{BC}$
(C) $D=B+\overrightarrow{BC}$
$ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้น $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ เมื่อ $\overrightarrow{BC}=(18,-7.5)$ จงเลือกสมการที่ใช้หา $D$
(A) $D=A+\overrightarrow{BC}$
(B) $D=A-\overrightarrow{BC}$
(C) $D=B+\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
(B) subtracts the vector, which gives $\overrightarrow{DA}$ instead of $\overrightarrow{AD}$ - the wrong direction. (C) adds the vector to $B$, which only walks back to $C$.(B) ลบเวกเตอร์ ทำให้ได้ $\overrightarrow{DA}$ ไม่ใช่ $\overrightarrow{AD}$ ซึ่งเป็นทิศทางที่ผิด · (C) บวกเวกเตอร์เข้ากับ $B$ ซึ่งเดินกลับไปที่ $C$ เท่านั้น
$A=(-4,-2)$ and $\overrightarrow{BC}=(18,-7.5)$. Work out $D=A+\overrightarrow{BC}$, so find $b$ and $c$.
$A=(-4,-2)$ และ $\overrightarrow{BC}=(18,-7.5)$ จงหา $D=A+\overrightarrow{BC}$ เพื่อหาค่า $b$ และ $c$
Answershow ▾
Add the vector to each coordinate of $A$ separately.นำเวกเตอร์ไปบวกกับแต่ละพิกัดของ $A$
$A=(-4,-2)$ and $B=(1,10)$. Use the gradient triangle $5$ and $12$ to find the length $AB$.
$A=(-4,-2)$ และ $B=(1,10)$ จงใช้สามเหลี่ยมความชัน $5$ และ $12$ หาความยาว $AB$
Answershow ▾
$5,12,13$ is a right-angled triangle you can spot without a calculator.$5,12,13$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่สังเกตได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข
$A=(-4,-2)$ and $D=(14,-9.5)$. Find the length $AD$. Does it match $BC$?
$A=(-4,-2)$ และ $D=(14,-9.5)$ จงหาความยาว $AD$ แล้วตรวจว่าตรงกับ $BC$ หรือไม่
Answershow ▾
Opposite sides of a rectangle are equal, so this checks that $D$ is correct.ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวเท่ากัน การตรวจนี้จึงยืนยันว่า $D$ ถูกต้อง
A rectangle $PQRS$ has $P=(0,0)$, $Q=(4,3)$, $R=(16,a)$ and $S=(b,c)$. Find $a$, $b$, $c$ and the perimeter of $PQRS$.
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $PQRS$ มี $P=(0,0)$, $Q=(4,3)$, $R=(16,a)$ และ $S=(b,c)$ จงหาค่า $a$, $b$, $c$ และเส้นรอบรูปของ $PQRS$
Answershow ▾
Same four moves: gradient, perpendicular gradient, line equation, vector to the fourth point.สี่ขั้นตอนเดิม: ความชัน ความชันตั้งฉาก สมการเส้นตรง และเวกเตอร์หาจุดที่สี่
(a) A rectangle $ABCD$ is to be drawn on a centimetre grid such that $A$ has coordinates $(-4,-2)$, $B$ has coordinates $(1,10)$, $C$ has coordinates $(19,a)$ and $D$ has coordinates $(b,c)$
Work out the value of $a$, the value of $b$ and the value of $c$.
(b) Calculate the perimeter, in centimetres, of rectangle $ABCD$.
(ก) สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ วาดบนกริดตารางเซนติเมตร โดยที่ $A$ มีพิกัด $(-4,-2)$, $B$ มีพิกัด $(1,10)$, $C$ มีพิกัด $(19,a)$ และ $D$ มีพิกัด $(b,c)$
จงหาค่าของ $a$, ค่าของ $b$ และค่าของ $c$
(ข) จงหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ เป็นเซนติเมตร
Answershow ▾
7 marks: five for method, two for the final values.7 คะแนน: ห้าคะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ สองคะแนนเป็นคำตอบสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$m_{AB} = \dfrac{10-(-2)}{1-(-4)}$
$= \dfrac{12}{5}$
M1 BC perpendicular to ABBC ตั้งฉากกับ AB
$m_{BC}=-\dfrac{1}{m_{AB}}$
$m_{BC} = -\dfrac{5}{12}$
M1 line BC gives aสมการเส้น BC ได้ a
$y-10 = -\dfrac{5}{12}(x-1)$
$a = 10-\dfrac{5}{12}(19-1)$
$= 2.5$
A1 b and c from ADหา b และ c จาก AD
$D = A+(C-B)$
$= (-4+18,\ -2-7.5)$
$= (14,\ -9.5)$
M1 length ABความยาว AB
$AB = \sqrt{5^{2}+12^{2}}$
$= 13$
M1 length BCความยาว BC
$BC = \sqrt{18^{2}+7.5^{2}}$
$= 19.5$
A1 perimeterเส้นรอบรูป
$P = 2(AB+BC)$
$= 2(13+19.5)$
$= 65\text{ cm}$
Five points, one diameter จุดห้าจุด เส้นผ้านศูนย์กลางหนึ้งเส้น
(a)(i) $P$, $Q$, $R$, $S$ and $T$ are points on a circle with centre $O$.
$QOS$ is a diameter of the circle.
Angle $POS = 124°$ angle $PRS = m°$ angle $PTS = n°$
Find the value of $m$.
(a)(ii) Find the value of $n$.
(b) Find the size of angle $QPO$.
(a)(i) $P$, $Q$, $R$, $S$ และ $T$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
$QOS$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
มุม $POS = 124°$ มุม $PRS = m°$ มุม $PTS = n°$
จงหาค่าของ $m$
(a)(ii) จงหาค่าของ $n$
(ข) จงหาขนาดของมุม $QPO$
The angle at the centre of a circle is $124°$. Another angle, at the circumference, stands on the same arc. Work out this angle.
มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาด $124°$ มุมอีกมุมที่เส้นรอบวง มองไปที่ส่วนโค้งเดียวกี้น จงหาขนาดของมุมนี้
Answershow ▾
The angle at the centre is twice the angle at the circumference, standing on the same arc.มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง ที่มองไปที่ส่วนโค้งเดียวกี้น
Two angles stand on the same chord, from the same side of it. One of them is $62°$. Work out the other angle.
มุมสองมุมมองไปที่คอร์ดเดียวกี้น จากฝ่งเดียวกี้นของคอร์ดนาดอัน มุมหนึ่งมีขนาด $62°$ จงหาขนาดของอิกมุม
Answershow ▾
Angles in the same segment are equal.มุมในส่วนโค้งเดียวกี้นมีขนาดเท่ากัน
A triangle has two equal sides. The angle between them is $56°$. Work out one of the other two angles.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีสองด้านยาวเท่ากัน มุมระหว่างสองด้านนั้นมีขนาด $56°$ จงหาขนาดของมุมอีกสองมุมมุมใดมุมหนึ้ง
Answershow ▾
The other two angles are equal, and all three angles add to $180°$.มุมอีกสองมุมมีขนาดเท่ากัน และมุมทั้งสามรวมกันได้ $180°$
Angle $POS=124°$ is at the centre $O$. Pick the first move to find angle $PRS=m°$ at the circumference.
(A) the angle at the centre is twice the angle at the circumference
(B) angles in the same segment are equal
(C) opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180°$
มุม $POS=124°$ อยู่ที่จุดศูนย์กลาง $O$ จงเลือกขั้นแรกในการหามุม $PRS=m°$ ที่เส้นรอบวง
(A) มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
(B) มุมในส่วนโค้งเดียวกี้นมีขนาดเท่ากัน
(C) มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรวมกันได้ $180°$
Answershow ▾
(B) needs another circumference angle on the same arc, and none is given yet. (C) needs a cyclic quadrilateral, and no quadrilateral is given here.(B) ต้องมีมุมที่เส้นรอบวงอีกมุมบนส่วนโค้งเดียวกี้น ซึ่งยางไม่ได้ให้ · (C) ต้องมีรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม ซึ่งไม่ได้ให้ที่นี้
$P$, $Q$, $R$, $S$ and $T$ are points on a circle, centre $O$. Angle $POS=124°$. Work out angle $PRS=m°$.
$P$, $Q$, $R$, $S$ และ $T$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ มุม $POS=124°$ จงหามุม $PRS=m°$
Answershow ▾
The angle at the centre is twice the angle at the circumference.มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
Angle $PRS=62°$. $R$ and $T$ stand on the same side of chord $PS$. Work out angle $PTS=n°$.
มุม $PRS=62°$ โดย $R$ และ $T$ อยู่ฝ่งเดียวกองคอร์ด $PS$ จงหามุม $PTS=n°$
Answershow ▾
$R$ and $T$ are in the same segment, so angle $PTS=$ angle $PRS$.$R$ และ $T$ อยู่ในส่วนโค้งเดียวกี้น ดูงนั้นมุม $PTS=$ มุม $PRS$
$QOS$ is a diameter, so $Q$, $O$, $S$ lie on a straight line. Angle $POS=124°$. Work out angle $POQ$.
$QOS$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้น $Q$, $O$, $S$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกี้น มุม $POS=124°$ จงหามุม $POQ$
Answershow ▾
Angles on a straight line add to $180°$.มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $180°$
$OP=OQ$, both radii. Angle $POQ=56°$. Pick the move that gives angle $QPO$.
(A) triangle $OPQ$ is isosceles; the other two angles are equal, and all three add to $180°$
(B) angle $QPO=$ angle $PRS$, because they are in the same segment
(C) angle $QPO=180-124=56°$
$OP=OQ$ เป็นรัศมีทั้งคู่ มุม $POQ=56°$ จงเลือกวิธีที่ให้มุม $QPO$
(A) สามเหลี่ยม $OPQ$ เป็นหน้าจั๊ว มุมอีกสองมุมเท่ากัน และมุมทั้งสองรวมกันได้ $180°$
(B) มุม $QPO=$ มุม $PRS$ เพราะอยู่ในส่วนโค้งเดียวกี้น
(C) มุม $QPO=180-124=56°$
Answershow ▾
(B) needs both angles to stand on points on the circle; $O$ is the centre, not a point on the circle, so this rule does not apply. (C) finds angle $POQ$ again, the angle at $O$, not angle $QPO$, the angle at $P$.(B) ต้องใช้มุมที่อยู่บนวงกลมทั้งสองมุม แต่ $O$ เป็นจุดศูนย์กลาง ไม่ใช่จุดบนวงกลม จึงใช้กฎนี้ไม่ได้ · (C) หามุม $POQ$ ซ้ำอีกครั้ง ซึ่งเป็นมุมที่ $O$ ไม่ใช่มุม $QPO$ ที่ $P$
$OP=OQ$. Angle $POS=124°$ and $QOS$ is a straight line. Work out angle $QPO$.
$OP=OQ$ มุม $POS=124°$ และ $QOS$ เป็นเส้นตรง จงหามุม $QPO$
Answershow ▾
First find angle $POQ$ on the straight line, then halve what is left of $180°$ between the two equal angles.หามุม $POQ$ บนเส้นตรงก่อน แล้วหารครึ้งส่วนที่เหลือจาก $180°$ ระหว่างมุมที่เท่ากันสองมุม
Check: do angle $QPO$, angle $POQ$ and angle $OQP$ add to $180°$?
ตรวจสอบ: มุม $QPO$ มุม $POQ$ และมุม $OQP$ รวมกันได้ $180°$ หรือไม่
Answershow ▾
Triangle $OPQ$ is isosceles, so angle $OQP=$ angle $QPO=62°$, and the three angles of a triangle add to $180°$.สามเหลี่ยม $OPQ$ เป็นหน้าจั๊ว ดังนั้นมุม $OQP=$ มุม $QPO=62°$ และมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180°$
$A$, $B$, $C$, $D$ and $E$ are points on a circle, centre $O$. $BOE$ is a diameter. Angle $AOE=100°$. Work out angle $ACE$, angle $ADE$, and angle $BAO$.
$A$, $B$, $C$, $D$ และ $E$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ โดย $BOE$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $AOE=100°$ จงหามุม $ACE$ มุม $ADE$ และมุม $BAO$
Answershow ▾
$\angle ADE=50°$
$\angle BAO=50°$
Same three moves: halve the centre angle, same segment, then the straight line and the isosceles triangle.สามขั้นเดีม: หารครึ้งมุมที่ศูนย์กลาง ส่วนโค้งเดียวกี้น แล้วเส้นตรงกับสามเหลี่ยมหน้าจั๊ว
(a)(i) $P$, $Q$, $R$, $S$ and $T$ are points on a circle with centre $O$.
$QOS$ is a diameter of the circle.
Angle $POS = 124°$ angle $PRS = m°$ angle $PTS = n°$
Find the value of $m$.
(a)(ii) Find the value of $n$.
(b) Find the size of angle $QPO$.
(a)(i) $P$, $Q$, $R$, $S$ และ $T$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
$QOS$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
มุม $POS = 124°$ มุม $PRS = m°$ มุม $PTS = n°$
จงหาค่าของ $m$
(a)(ii) จงหาค่าของ $n$
(ข) จงหาขนาดของมุม $QPO$
Answershow ▾
3 marks: the centre angle halved, the same segment, then the straight line and the isosceles triangle.3 คะแนน: มุมที่ศูนย์กลางหารครึ้ง ส่วนโค้งเดียวกี้น แล้วเส้นตรงกับสามเหลี่ยมหน้าจั๊ว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$m = 124\div 2$
$= 62$
B1 R and T, same segmentR และ T ส่วนโค้งเดียวกัน
$n = m$
$= 62$
B1 isosceles OP=OQ, angle sumOP=OQ หน้าจั่ว บวกมุม
$\angle POQ = 180-124$
$= 56$
$\angle QPO = (180-56)\div 2$
$= 62$
The angle at the centre, then isosceles radii มุมที่จุดศูนย์กลาง แล้วรัศมีที่เท่ากันทำให้เป็นหน้าจั่ว
$A$, $B$ and $C$ are points on a circle, centre $O$.
Angle $ABC = 38°$
Work out the size of angle $OAC$.
Give a reason for each stage of your working.
$A$, $B$ และ $C$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
มุม $ABC = 38°$
จงหาขนาดของมุม $OAC$
จงให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
$P$, $Q$ and $R$ are points on a circle, centre $O$. Angle $PQR=38°$. Work out angle $POR$, the angle at the centre on the same arc $PR$.
$P$, $Q$ และ $R$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ มุม $PQR=38°$ จงหามุม $POR$ ซึ่งเป็นมุมที่จุดศูนย์กลางบนส่วนโค้ง $PR$ เดียวกัน
Answershow ▾
The angle at the centre is twice the angle at the circumference, on the same arc.มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง บนส่วนโค้งเดียวกัน
$O$ is the centre of a circle. $P$ and $R$ are points on the circle. $OP$ and $OR$ are both radii. Write $OP$ and $OR$ as an equation.
$O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม $P$ และ $R$ เป็นจุดบนวงกลม $OP$ และ $OR$ เป็นรัศมีทั้งคู่ จงเขียน $OP$ และ $OR$ เป็นสมการ
Answershow ▾
Every radius of a circle has the same length.รัศมีทุกเส้นของวงกลมยาวเท่ากัน
Solve $2x=104$ for $x$.
จงแก้สมการ $2x=104$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Divide both sides by $2$.หารทั้งสองข้างด้วย $2$
$A$, $B$ and $C$ are points on a circle, centre $O$. Angle $ABC=38°$. Pick the first move to find angle $AOC$.
(A) angle $AOC=$ angle $ABC$ (angles in the same segment)
(B) angle $AOC=2\times$ angle $ABC$ (the angle at the centre)
(C) angle $AOC=180-$ angle $ABC$ (opposite angles of a cyclic quadrilateral)
$A$, $B$ และ $C$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ มุม $ABC=38°$ จงเลือกขั้นแรกในการหามุม $AOC$
(A) มุม $AOC=$ มุม $ABC$ (มุมในส่วนโค้งเดียวกัน)
(B) มุม $AOC=2\times$มุม $ABC$ (มุมที่จุดศูนย์กลาง)
(C) มุม $AOC=180-$มุม $ABC$ (มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม)
Answershow ▾
(A) needs two points on the circumference, not the centre $O$. (C) needs a cyclic quadrilateral - four points on the circle, but only three points, $A$, $B$, $C$, are given.(A) ต้องมีจุดสองจุดบนเส้นรอบวง ไม่ใช่จุดศูนย์กลาง $O$ · (C) ต้องมีรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม สี่จุด แต่ที่นี่มีแค่สามจุด $A$, $B$, $C$
$A$, $B$ and $C$ are points on a circle, centre $O$. Angle $ABC=38°$. Work out angle $AOC$.
$A$, $B$ และ $C$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ มุม $ABC=38°$ จงหามุม $AOC$
Answershow ▾
The angle at the centre is twice the angle at the circumference.มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
$OA$ and $OC$ are both radii of the same circle. Write $OA$ and $OC$ as an equation.
$OA$ และ $OC$ เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกันทั้งคู่ จงเขียน $OA$ และ $OC$ เป็นสมการ
Answershow ▾
Every radius of a circle has the same length.รัศมีทุกเส้นของวงกลมยาวเท่ากัน
Triangle $OAC$ has $OA=OC$, so it is isosceles, and angle $AOC=76°$. Let angle $OAC=$ angle $OCA=x$. Write the equation for $x$, using the angle sum of a triangle.
สามเหลี่ยม $OAC$ มี $OA=OC$ จึงเป็นหน้าจั่ว และมุม $AOC=76°$ ให้มุม $OAC=$ มุม $OCA=x$ จงเขียนสมการหา $x$ โดยใช้ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม
Answershow ▾
The three angles of triangle $OAC$ add to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยม $OAC$ รวมกันได้ $180°$
$2x=180-76=104$. Pick the move that gives angle $OAC$.
(A) angle $OAC=104$
(B) angle $OAC=104\div2$
(C) angle $OAC=76\div2$
$2x=180-76=104$ จงเลือกขั้นที่ใช้หามุม $OAC$
(A) มุม $OAC=104$
(B) มุม $OAC=104\div2$
(C) มุม $OAC=76\div2$
Answershow ▾
(A) stops at $2x$ and forgets the triangle has two equal angles, not one. (C) halves the wrong number - the centre angle $76$, not $104$.(A) หยุดที่ $2x$ ลืมว่าสามเหลี่ยมมีมุมเท่ากันสองมุม ไม่ใช่มุมเดียว · (C) หารเลขผิดตัว - หารมุมที่ศูนย์กลาง $76$ ไม่ใช่ $104$
Work out $104\div2$.
จงหาค่า $104\div2$
Answershow ▾
Angle $OAC=52°$.มุม $OAC=52°$
Check: do angle $OAC$, angle $OCA$ and angle $AOC$ add to $180°$?
ตรวจสอบ: มุม $OAC$ มุม $OCA$ และมุม $AOC$ รวมกันได้ $180°$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct set of triangle angles always adds to $180°$.มุมของสามเหลี่ยมที่ถูกต้องรวมกันได้ $180°$ เสมอ
$X$, $Y$ and $Z$ are points on a circle, centre $O$. Angle $XYZ=25°$. Work out angle $OXZ$.
$X$, $Y$ และ $Z$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ มุม $XYZ=25°$ จงหามุม $OXZ$
Answershow ▾
Same three moves: angle at the centre, the isosceles equation, then solve.สามขั้นเดิม: มุมที่จุดศูนย์กลาง สมการหน้าจั่ว แล้วแก้สมการ
$A$, $B$ and $C$ are points on a circle, centre $O$.
Angle $ABC = 38°$
Work out the size of angle $OAC$.
Give a reason for each stage of your working.
$A$, $B$ และ $C$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
มุม $ABC = 38°$
จงหาขนาดของมุม $OAC$
จงให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
Answershow ▾
4 marks: the centre rule, the radii reason, the isosceles equation, then the value.4 คะแนน: กฎมุมที่จุดศูนย์กลาง เหตุผลเรื่องรัศมี สมการหน้าจั่ว แล้วค่าของมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle AOC = 2\times 38$
$= 76$
B1 OA and OC are radiiOA และ OC เป็นรัศมี
$OA = OC$
M1 isosceles triangle equationสมการสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
$2\times\angle OAC = 180-76$
$= 104$
A1 solve for angle OACแก้หามุม OAC
$\angle OAC = 104\div 2$
$= 52$
A sector's area, then its angle พื้นที่เซกเตอร์ แล้วมุมของมัน
$A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle with centre $O$ and radius $12$ cm.
The area of the sector $OADC$ of the circle is $100$ cm$^2$
Work out the size of angle $ABC$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
$A$, $B$, $C$ และ $D$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $12$ ซม.
พื้นที่ของเซกเตอร์ $OADC$ เท่ากับ $100$ ซม.$^2$
จงหาขนาดของมุม $ABC$
ตอบให้ถูกต้อง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
A sector of a circle has radius $12$ cm and angle $60°$. Work out its area.
เซกเตอร์ของวงกลมรัศมี $12$ ซม. มีมุม $60°$ จงหาพื้นที่ของเซกเตอร์นี้
Answershow ▾
$\dfrac{60}{360}=\dfrac16$ of the full circle, $\pi\times12^{2}$.$\dfrac{60}{360}=\dfrac16$ ของวงกลมเต็มวง คูณกับ $\pi\times12^{2}$
Solve $9\pi=\dfrac{\theta}{360}\times\pi\times36$ for $\theta$.
จงแก้สมการ $9\pi=\dfrac{\theta}{360}\times\pi\times36$ หา $\theta$
Answershow ▾
Multiply both sides by $360$, then divide both sides by $36\pi$.คูณทั้งสองข้างด้วย $360$ แล้วหารทั้งสองข้างด้วย $36\pi$
The angle at the centre of a circle is $150°$. A point on the circumference, on the other arc, looks at the same chord. Work out the angle at the circumference.
มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาด $150°$ จุดหนึ่งบนเส้นรอบวง อยู่บนอาร์กอีกฝั่ง มองไปที่คอร์ดเดียวกัน จงหามุมที่เส้นรอบวง
Answershow ▾
Centre to circumference: halve.จากจุดศูนย์กลางไปเส้นรอบวง: หารด้วยสอง
$A$, $B$, $C$, $D$ are points on a circle, centre $O$, radius $12$ cm. The area of sector $OADC$ is $100$ cm$^{2}$. Pick the equation for the sector angle $\theta$.
(A) $100=\pi\times12^{2}$
(B) $100=\dfrac{\theta}{360}\times\pi\times12^{2}$
(C) $100=\dfrac12\times12^{2}\times\theta$
$A$, $B$, $C$, $D$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ รัศมี $12$ ซม. พื้นที่ของเซกเตอร์ $OADC$ เท่ากับ $100$ ซม.$^{2}$ จงเลือกสมการสำหรับมุมเซกเตอร์ $\theta$
(A) $100=\pi\times12^{2}$
(B) $100=\dfrac{\theta}{360}\times\pi\times12^{2}$
(C) $100=\dfrac12\times12^{2}\times\theta$
Answershow ▾
(A) leaves out $\theta$ altogether, so the sector is treated as the whole circle. (C) is the formula for $\theta$ in radians; using it with $\theta$ in degrees gives the wrong number, because a degree is not a radian.(A) ไม่มี $\theta$ เลย จึงเหมือนคิดพื้นที่วงกลมเต็มวง · (C) เป็นสูตรสำหรับ $\theta$ ที่เป็นเรเดียน การใช้สูตรนี้กับ $\theta$ ที่เป็นองศาจึงได้ค่าผิด เพราะองศาไม่ใช่เรเดียน
$A$, $B$, $C$, $D$ are points on a circle, centre $O$, radius $12$ cm. The area of sector $OADC$ is $100$ cm$^{2}$. Write the equation for $\theta$, the angle of this sector.
$A$, $B$, $C$, $D$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ รัศมี $12$ ซม. พื้นที่ของเซกเตอร์ $OADC$ เท่ากับ $100$ ซม.$^{2}$ จงเขียนสมการสำหรับ $\theta$ มุมของเซกเตอร์นี้
Answershow ▾
Use question $1$: substitute the given area and radius into the sector-area formula.ใช้ข้อ $1$: แทนพื้นที่และรัศมีที่กำหนดลงในสูตรพื้นที่เซกเตอร์
Use the method from question $2$ to solve $100=\dfrac{\theta}{360}\times\pi\times12^{2}$ for $\theta$. Leave your answer as a fraction, in terms of $\pi$.
ใช้วิธีจากข้อ $2$ แก้สมการ $100=\dfrac{\theta}{360}\times\pi\times12^{2}$ หา $\theta$ เขียนคำตอบเป็นเศษส่วนในรูป $\pi$
Answershow ▾
Same two moves: multiply by $360$, then divide by $144\pi$.สองขั้นเดิม: คูณด้วย $360$ แล้วหารด้วย $144\pi$
Evaluate $\theta=\dfrac{250}{\pi}$. Give your answer correct to $3$ significant figures.
จงคำนวณ $\theta=\dfrac{250}{\pi}$ ตอบให้ถูกต้อง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$250\div\pi=79.5775...$, which rounds to $79.6$.$250\div\pi=79.5775...$ ปัดเป็น $79.6$
$\theta\approx79.6°$ is angle $AOC$, the angle at the centre on the same arc as $D$. Pick the move that gives angle $ABC$.
(A) angle $ABC=\theta\div2$, centre to circumference
(B) angle $ABC=\theta$, angles in the same segment
(C) angle $ABC=180-\theta$, opposite angles of a cyclic quadrilateral
$\theta\approx79.6°$ คือมุม $AOC$ มุมที่จุดศูนย์กลางซึ่งอยู่บนอาร์กเดียวกับ $D$ จงเลือกขั้นที่ใช้หามุม $ABC$
(A) มุม $ABC=\theta\div2$ จากศูนย์กลางไปเส้นรอบวง
(B) มุม $ABC=\theta$ มุมในส่วนโค้งเดียวกัน
(C) มุม $ABC=180-\theta$ มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
Answershow ▾
(B) needs two circumference angles on the same chord, but $\theta$ is a centre angle. (C) needs $O$ to be a point ON the circle, and it is the centre, not a point on it.(B) ต้องมีมุมสองมุมที่เส้นรอบวงมองคอร์ดเดียวกัน แต่ $\theta$ อยู่ที่จุดศูนย์กลาง จึงใช้ส่วนโค้งเดียวกันไม่ได้ · (C) ต้องมีมุมตรงข้ามอีกคู่ของสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมบนวงกลมเดียวกัน แต่ $O$ เป็นจุดศูนย์กลาง ไม่ใช่จุดบนวงกลม จึงไม่ใช่สี่เหลี่ยมนั้น
Angle $AOC=\theta\approx79.6°$. Use question $3$: centre to circumference, halve. Work out angle $ABC$.
มุม $AOC=\theta\approx79.6°$ ใช้ข้อ $3$: จากศูนย์กลางไปเส้นรอบวง หารสอง จงหามุม $ABC$
Answershow ▾
Same move as question $3$, now with the real angle.ขั้นเดิมจากข้อ $3$ ใช้กับมุมจริง
Check: double your answer for angle $ABC$. Does it match $\theta\approx79.6°$?
ตรวจสอบ: นำคำตอบของมุม $ABC$ มาคูณสอง ตรงกับ $\theta\approx79.6°$ หรือไม่
Answershow ▾
Doubling the circumference angle must give back the centre angle.การคูณสองมุมที่เส้นรอบวง ต้องได้มุมที่จุดศูนย์กลางกลับมา
$P$, $Q$, $R$, $S$ are points on a circle, centre $O$, radius $4$ cm. The area of sector $OPSR$ is $2\pi$ cm$^{2}$. Work out the size of angle $PQR$.
$P$, $Q$, $R$, $S$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ รัศมี $4$ ซม. พื้นที่ของเซกเตอร์ $OPSR$ เท่ากับ $2\pi$ ซม.$^{2}$ จงหาขนาดของมุม $PQR$
Answershow ▾
Same three moves: set up the sector equation, solve for the centre angle, then halve it.สามขั้นเดิม: ตั้งสมการเซกเตอร์ แก้หามุมที่จุดศูนย์กลาง แล้วหารสอง
$A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle with centre $O$ and radius $12$ cm.
The area of the sector $OADC$ of the circle is $100$ cm$^2$
Work out the size of angle $ABC$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
$A$, $B$, $C$ และ $D$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $12$ ซม.
พื้นที่ของเซกเตอร์ $OADC$ เท่ากับ $100$ ซม.$^2$
จงหาขนาดของมุม $ABC$
ตอบให้ถูกต้อง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
4 marks: set up the sector equation, solve for $\theta$, then halve it for the angle at the circumference.4 คะแนน: ตั้งสมการเซกเตอร์ แก้หา $\theta$ แล้วหารสองเพื่อหามุมที่เส้นรอบวง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$100$
$= \dfrac{\theta}{360}\times\pi\times 12^{2}$
A1 solve for the sector angleแก้หามุมเซกเตอร์
$\theta = \dfrac{100\times 360}{144\pi}$
$\approx 79.6$
M1 angle at the centre, halvedมุมที่จุดศูนย์กลาง หารครึ่ง
$\angle ABC = \theta\div 2$
A1 evaluate to 3 s.f.ตอบ 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
$\angle ABC \approx 39.8$
A cyclic quadrilateral, then its centre สี่เหลี่ยมแนบวงกลม แล้วจุดศูนย์กลาง
(a) $L$, $M$, $N$ and $P$ are points on a circle, centre $O$.
Angle $MNP = 58°$
Find the size of angle $MLP$. Give a reason for your answer.
(b) Find the size of the reflex angle $MOP$.
(ก) $L$, $M$, $N$ และ $P$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
มุม $MNP = 58°$
จงหาขนาดของมุม $MLP$ พร้อมให้เหตุผล
(ข) จงหาขนาดของมุมสะท้อน $MOP$
Two opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to $180°$. One of them is $58°$. Work out the other one.
มุมตรงข้ามสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรวมกันได้ $180°$ มุมหนึ่งเท่ากับ $58°$ จงหาอีกมุมหนึ่ง
Answershow ▾
Subtract the known angle from $180°$.นำ $180°$ ลบด้วยมุมที่รู้แล้ว
An angle at the circumference is $58°$. The angle at the centre, on the same arc, is twice as big. Work it out.
มุมที่เส้นรอบวงเท่ากับ $58°$ มุมที่จุดศูนย์กลางบนส่วนโค้งเดียวกันมีขนาดเป็นสองเท่า จงหาค่านั้น
Answershow ▾
Multiply the angle at the circumference by $2$.คูณมุมที่เส้นรอบวงด้วย $2$
An angle at a point is $116°$. Work out the reflex angle at that point.
มุมที่จุดหนึ่งเท่ากับ $116°$ จงหามุมสะท้อนที่จุดนั้น
Answershow ▾
Angles at a point sum to $360°$.มุมรอบจุดรวมกันได้ $360°$
$L$, $M$, $N$ and $P$ are points on a circle, centre $O$. Angle $MNP=58°$. Pick the first move to find angle $MLP$.
(A) angle $MLP=$ angle $MNP$, because they look at chord $MP$ from the same side
(B) angle $MLP=180-$ angle $MNP$, opposite angles of a cyclic quadrilateral
(C) angle $MLP=2\times$ angle $MNP$, the angle at the centre is twice the angle at the circumference
$L$, $M$, $N$ และ $P$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ มุม $MNP=58°$ จงเลือกขั้นแรกในการหามุม $MLP$
(A) มุม $MLP=$ มุม $MNP$ เพราะมองไปที่คอร์ด $MP$ จากฝั่งเดียวกัน
(B) มุม $MLP=180-$มุม $MNP$ มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
(C) มุม $MLP=2\times$มุม $MNP$ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
Answershow ▾
$L$ and $N$ are opposite corners of the quadrilateral $NPLM$, not the same side of chord $MP$, so (A) is wrong. (C) needs $O$, the centre, not $L$.$L$ กับ $N$ เป็นมุมตรงข้ามกันของรูปสี่เหลี่ยม $NPLM$ ไม่ได้มองคอร์ด $MP$ จากฝั่งเดียวกัน (A) จึงผิด ส่วน (C) ต้องใช้จุดศูนย์กลาง $O$ ไม่ใช่ $L$
$L$, $M$, $N$ and $P$ are points on a circle, centre $O$. Angle $MNP=58°$. Write the equation for angle $MLP$, using opposite angles of a cyclic quadrilateral.
$L$, $M$, $N$ และ $P$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ มุม $MNP=58°$ จงเขียนสมการสำหรับมุม $MLP$ โดยใช้มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบวงกลม
Answershow ▾
Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to $180°$.มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบวงกลมรวมกันได้ $180°$
Work out $180-58$.
จงหาค่า $180-58$
Answershow ▾
Angle $MLP=122°$.มุม $MLP=122°$
Angle $MNP=58°$. Pick the first move to find angle $MOP$ (not reflex).
(A) angle $MOP=180-$ angle $MNP$, opposite angles of a cyclic quadrilateral
(B) angle $MOP=2\times$ angle $MNP$, the angle at the centre is twice the angle at the circumference
(C) angle $MOP=$ angle $MNP$, the centre and the circumference give the same angle
มุม $MNP=58°$ จงเลือกขั้นแรกในการหามุม $MOP$ (ไม่ใช่มุมสะท้อน)
(A) มุม $MOP=180-$มุม $MNP$ มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
(B) มุม $MOP=2\times$มุม $MNP$ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
(C) มุม $MOP=$มุม $MNP$ จุดศูนย์กลางกับเส้นรอบวงให้มุมเท่ากัน
Answershow ▾
(A) is a cyclic-quadrilateral rule, but $O$ is the centre, not a point on the circle. (C) forgets the centre angle is double the circumference angle, not equal to it.(A) เป็นกฎของรูปสี่เหลี่ยมแนบวงกลม แต่ $O$ คือจุดศูนย์กลาง ไม่ใช่จุดบนวงกลม ส่วน (C) ลืมว่ามุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง ไม่ใช่เท่ากัน
Angle $MNP=58°$. Work out angle $MOP$ (not reflex), using the angle at the centre is twice the angle at the circumference.
มุม $MNP=58°$ จงหามุม $MOP$ (ไม่ใช่มุมสะท้อน) โดยใช้กฎมุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
Answershow ▾
The angle at the centre is double the angle at the circumference, on the same arc.มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง บนส่วนโค้งเดียวกัน
Angle $MOP=116°$ (not reflex). Work out the reflex angle $MOP$.
มุม $MOP=116°$ (ไม่ใช่มุมสะท้อน) จงหามุมสะท้อน $MOP$
Answershow ▾
Angles at a point $O$ sum to $360°$.มุมรอบจุด $O$ รวมกันได้ $360°$
Check: does angle $MOP$ (not reflex) plus the reflex angle $MOP$ sum to $360°$?
ตรวจสอบ: มุม $MOP$ (ไม่ใช่มุมสะท้อน) รวมกับมุมสะท้อน $MOP$ ได้ $360°$ หรือไม่
Answershow ▾
The angle and its reflex, at the same point, always sum to $360°$.มุมกับมุมสะท้อนของมันที่จุดเดียวกัน รวมกันได้ $360°$ เสมอ
$W$, $X$, $Y$ and $Z$ are points on a circle, centre $O$. Angle $YXZ=70°$. Work out angle $YWZ$, and work out the reflex angle $YOZ$.
$W$, $X$, $Y$ และ $Z$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ มุม $YXZ=70°$ จงหามุม $YWZ$ และจงหามุมสะท้อน $YOZ$
Answershow ▾
reflex $\angle YOZ=220°$$\angle YWZ=110°$
มุมสะท้อน $\angle YOZ=220°$
Same two moves: opposite angles of a cyclic quadrilateral, then double and subtract from $360°$ for the centre.สองขั้นเดิม: มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบวงกลม แล้วคูณสองและลบจาก $360°$ สำหรับจุดศูนย์กลาง
(a) $L$, $M$, $N$ and $P$ are points on a circle, centre $O$.
Angle $MNP = 58°$
Find the size of angle $MLP$. Give a reason for your answer.
(b) Find the size of the reflex angle $MOP$.
(ก) $L$, $M$, $N$ และ $P$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
มุม $MNP = 58°$
จงหาขนาดของมุม $MLP$ พร้อมให้เหตุผล
(ข) จงหาขนาดของมุมสะท้อน $MOP$
Answershow ▾
reflex $\angle MOP=244°$$\angle MLP=122°$
มุมสะท้อน $\angle MOP=244°$
4 marks: opposite angles give $122$, doubling $58$ gives $116$, then $360-116$ gives the reflex angle.4 คะแนน: มุมตรงข้ามให้ $122$ คูณสอง $58$ ได้ $116$ แล้ว $360-116$ ให้มุมสะท้อน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle MLP = 180-58$
$= 122$
B1 name the circle theoremระบุชื่อทฤษฎีบท
$\angle MLP + \angle MNP = 180$
M1 central angle, doubledมุมที่จุดศูนย์กลาง เป็นสองเท่า
$\angle MOP = 2\times 58$
$= 116$
A1 reflex angle, 360 minusมุมสะท้อน 360 ลบ
$\text{reflex }\angle MOP = 360-116$
$= 244$
A diameter, then the matching angle เส้นผ่านศูนย์กลาง แล้วมุมที่เท่ากัน
$A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle, centre $O$.
$AOC$ is a diameter of the circle.
Angle $BAC = 55°$
Work out the size of angle $ADB$.
Give a reason for each stage of your working.
$A$, $B$, $C$ และ $D$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
$AOC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
มุม $BAC = 55°$
จงหาขนาดของมุม $ADB$
จงให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
$X$ and $Y$ are the ends of a diameter of a circle, centre $O$. $Z$ is any other point on the circle. What is angle $XZY$?
$X$ และ $Y$ เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ศูนย์กลาง $O$ ส่วน $Z$ เป็นจุดอื่นบนวงกลม มุม $XZY$ มีขนาดเท่าใด
Answershow ▾
The angle in a semicircle is always $90°$, wherever $Z$ sits on the circle.มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90°$ เสมอ ไม่ว่า $Z$ อยู่ตรงไหนบนวงกลม
A triangle has one angle $90°$ and another angle $55°$. Work out the third angle.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมหนึ่งเท่ากับ $90°$ และอีกมุมเท่ากับ $55°$ จงหามุมที่สาม
Answershow ▾
The three angles of a triangle add to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180°$
Two angles look at the same chord, from the same side of it. One of them is $35°$. What is the other angle?
มุมสองมุมมองไปที่คอร์ดเดียวกัน จากฝั่งเดียวกันของคอร์ดนั้น มุมหนึ่งเท่ากับ $35°$ อีกมุมมีขนาดเท่าใด
Answershow ▾
Angles in the same segment are equal.มุมในส่วนโค้งเดียวกันมีขนาดเท่ากัน
$A$, $B$, $C$, $D$ are points on a circle, centre $O$. $AOC$ is a diameter and angle $BAC=55°$. Pick the first move to find angle $ABC$.
(A) the angle at the centre is twice the angle at the circumference
(B) the angle in a semicircle is $90°$
(C) opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180°$
$A$, $B$, $C$, $D$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ โดย $AOC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และมุม $BAC=55°$ จงเลือกขั้นแรกในการหามุม $ABC$
(A) มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
(B) มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90°$
(C) มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรวมกันได้ $180°$
Answershow ▾
(A) needs an angle AT the centre $O$ - none is given. (C) needs two other angles of the quadrilateral already known - none are given. Only $AOC$ being a diameter is usable here.(A) ต้องมีมุมที่จุดศูนย์กลาง $O$ ซึ่งไม่ได้ให้ · (C) ต้องรู้มุมอีกสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมก่อน ซึ่งไม่ได้ให้ มีแค่ $AOC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางที่ใช้ได้ตรงนี้
$AOC$ is a diameter of the circle and $B$ is on the circle. Work out angle $ABC$.
$AOC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ $B$ อยู่บนวงกลม จงหามุม $ABC$
Answershow ▾
The angle in a semicircle is $90°$, because $AOC$ is a diameter.มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90°$ เพราะ $AOC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
Triangle $ABC$ has angle $ABC=90°$ and angle $BAC=55°$. Write the equation for angle $BCA$, using the angle sum of a triangle.
สามเหลี่ยม $ABC$ มีมุม $ABC=90°$ และมุม $BAC=55°$ จงเขียนสมการสำหรับมุม $BCA$ โดยใช้ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม
Answershow ▾
The three angles of triangle $ABC$ add to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยม $ABC$ รวมกันได้ $180°$
Work out $180-90-55$.
จงหาค่า $180-90-55$
Answershow ▾
Angle $BCA=35°$.มุม $BCA=35°$
Angle $BCA=35°$. Pick the move that gives angle $ADB$.
(A) angle $ADB=$ angle $BCA$, because $C$ and $D$ are in the same segment, looking at chord $AB$
(B) angle $ADB=180-$ angle $BCA$, opposite angles of a cyclic quadrilateral
(C) angle $ADB=2\times$ angle $BCA$, the angle at the centre is twice the circumference
มุม $BCA=35°$ จงเลือกขั้นที่ใช้หามุม $ADB$
(A) มุม $ADB=$ มุม $BCA$ เพราะ $C$ และ $D$ อยู่ในส่วนโค้งเดียวกัน มองไปที่คอร์ด $AB$
(B) มุม $ADB=180-$มุม $BCA$ มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
(C) มุม $ADB=2\times$มุม $BCA$ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
Answershow ▾
$C$ and $D$ look at chord $AB$ from the same side, so the angles are equal, not added. (B) is the other opposite pair. (C) needs a centre angle, and $O$ is not in angle $ADB$.$C$ กับ $D$ มองไปที่คอร์ด $AB$ จากฝั่งเดียวกัน มุมจึงเท่ากัน ไม่ใช่บวกกัน · (B) ใช้มุมตรงข้ามอีกคู่ · (C) ต้องมีมุมที่จุดศูนย์กลาง แต่ $O$ ไม่ได้อยู่ในมุม $ADB$
Angle $BCA=35°$ and angle $ADB=$ angle $BCA$. Write down angle $ADB$.
มุม $BCA=35°$ และมุม $ADB=$ มุม $BCA$ จงเขียนขนาดของมุม $ADB$
Answershow ▾
Angles in the same segment are equal, so angle $ADB=35°$ too.มุมในส่วนโค้งเดียวกันมีขนาดเท่ากัน ดังนั้นมุม $ADB=35°$ ด้วย
Check: do angle $ABC$, angle $BAC$ and angle $BCA$ add to $180°$?
ตรวจสอบ: มุม $ABC$ มุม $BAC$ และมุม $BCA$ รวมกันได้ $180°$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct set of triangle angles always adds to $180°$.มุมของสามเหลี่ยมที่ถูกต้องรวมกันได้ $180°$ เสมอ
$P$, $Q$, $R$ and $S$ are points on a circle, centre $O$. $PR$ is a diameter. Angle $QPR=40°$. Work out angle $PSQ$.
$P$, $Q$, $R$ และ $S$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ โดย $PR$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $QPR=40°$ จงหามุม $PSQ$
Answershow ▾
Same three moves: angle in a semicircle, angle sum of a triangle, then same segment.สามขั้นเดิม: มุมในครึ่งวงกลม ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม แล้วส่วนโค้งเดียวกัน
$A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle, centre $O$.
$AOC$ is a diameter of the circle.
Angle $BAC = 55°$
Work out the size of angle $ADB$.
Give a reason for each stage of your working.
$A$, $B$, $C$ และ $D$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
$AOC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
มุม $BAC = 55°$
จงหาขนาดของมุม $ADB$
จงให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
Answershow ▾
4 marks: the semicircle rule, the triangle angle sum, the same-segment reason, then the value.4 คะแนน: กฎมุมในครึ่งวงกลม ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม เหตุผลส่วนโค้งเดียวกัน แล้วค่าของมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle ABC = 90$
M1 angle sum in triangle ABCผลบวกมุมในสามเหลี่ยม ABC
$\angle BCA = 180-90-55$
A1 evaluateคำนวณ
$= 35$
B1 angles in the same segmentมุมในส่วนโค้งเดียวกัน
$\angle ADB = \angle BCA$
$= 35$
A diameter, then opposite angles เส้นผ่านศูนย์กลาง แล้วมุมตรงข้าม
$A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle, centre $O$.
$AOD$ is a diameter of the circle.
Angle $CBD = 28°$ angle $BDA = 32°$
Find the size of angle $BDC$. Give a reason for each stage of your working.
$A$, $B$, $C$ และ $D$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
$AOD$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
มุม $CBD = 28°$ มุม $BDA = 32°$
จงหาขนาดของมุม $BDC$
จงให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
$A$ and $D$ are the ends of a diameter of a circle, centre $O$. $B$ is any other point on the circle. What is angle $ABD$?
$A$ และ $D$ เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ศูนย์กลาง $O$ ส่วน $B$ เป็นจุดอื่นบนวงกลม มุม $ABD$ มีขนาดเท่าใด
Answershow ▾
The angle in a semicircle is always $90°$, wherever $B$ sits on the circle.มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90°$ เสมอ ไม่ว่า $B$ อยู่ตรงไหนบนวงกลม
A triangle has one angle $90°$ and another angle $32°$. Work out the third angle.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมหนึ่งเท่ากับ $90°$ และอีกมุมเท่ากับ $32°$ จงหามุมที่สาม
Answershow ▾
The three angles of a triangle add to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180°$
Two opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to $180°$. One of them is $58°$. What is the other?
มุมตรงข้ามสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรวมกันได้ $180°$ มุมหนึ่งเท่ากับ $58°$ อีกมุมมีขนาดเท่าใด
Answershow ▾
Opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180°$.มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรวมกันได้ $180°$
$A$, $B$, $C$, $D$ are points on a circle, centre $O$. $AOD$ is a diameter and angle $BDA=32°$. Pick the first move to find angle $ABD$.
(A) the angle at the centre is twice the angle at the circumference
(B) the angle in a semicircle is $90°$
(C) opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180°$
$A$, $B$, $C$, $D$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ โดย $AOD$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และมุม $BDA=32°$ จงเลือกขั้นแรกในการหามุม $ABD$
(A) มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
(B) มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90°$
(C) มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรวมกันได้ $180°$
Answershow ▾
(A) needs an angle AT the centre $O$ - none is given. (C) needs two other angles of the quadrilateral already known - none are given. Only $AOD$ being a diameter is usable here.(A) ต้องมีมุมที่จุดศูนย์กลาง $O$ ซึ่งไม่ได้ให้ · (C) ต้องรู้มุมอีกสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมก่อน ซึ่งไม่ได้ให้ มีแค่ $AOD$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางที่ใช้ได้ตรงนี้
$AOD$ is a diameter of the circle and $B$ is on the circle. Work out angle $ABD$.
$AOD$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ $B$ อยู่บนวงกลม จงหามุม $ABD$
Answershow ▾
The angle in a semicircle is $90°$, because $AOD$ is a diameter.มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90°$ เพราะ $AOD$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
Triangle $ABD$ has angle $ABD=90°$ and angle $BDA=32°$. Write the equation for angle $BAD$, using the angle sum of a triangle.
สามเหลี่ยม $ABD$ มีมุม $ABD=90°$ และมุม $BDA=32°$ จงเขียนสมการสำหรับมุม $BAD$ โดยใช้ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม
Answershow ▾
The three angles of triangle $ABD$ add to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยม $ABD$ รวมกันได้ $180°$
Work out $180-90-32$.
จงหาค่า $180-90-32$
Answershow ▾
Angle $BAD=58°$.มุม $BAD=58°$
Angle $BAD=58°$. Pick the move that gives angle $BCD$.
(A) angle $BCD=180-$ angle $BAD$, opposite angles of a cyclic quadrilateral
(B) angle $BCD=$ angle $BAD$, because $A$ and $C$ are in the same segment, looking at chord $BD$
(C) angle $BCD=2\times$ angle $BAD$, the angle at the centre is twice the circumference
มุม $BAD=58°$ จงเลือกขั้นที่ใช้หามุม $BCD$
(A) มุม $BCD=180-$มุม $BAD$ มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
(B) มุม $BCD=$มุม $BAD$ เพราะ $A$ และ $C$ อยู่ในส่วนโค้งเดียวกัน มองไปที่คอร์ด $BD$
(C) มุม $BCD=2\times$มุม $BAD$ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
Answershow ▾
$A$ and $C$ sit on opposite sides of chord $BD$, so their angles are supplementary, not equal - (B) wrongly applies the same-segment rule. (C) needs a centre angle, and $O$ is not one of the three points in angle $BCD$.$A$ กับ $C$ อยู่คนละฝั่งของคอร์ด $BD$ มุมจึงบวกกันได้ $180°$ ไม่ใช่เท่ากัน · (B) ใช้กฎส่วนโค้งเดียวกันผิดฝั่ง · (C) ต้องมีมุมที่จุดศูนย์กลาง แต่ $O$ ไม่ได้อยู่ในมุม $BCD$
Angle $BAD=58°$. Use opposite angles of a cyclic quadrilateral to work out angle $BCD$.
มุม $BAD=58°$ จงใช้มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมหาค่ามุม $BCD$
Answershow ▾
Opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180°$, so angle $BCD=180-58=122°$.มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรวมกันได้ $180°$ ดังนั้นมุม $BCD=180-58=122°$
Angle $CBD=28°$ (given) and angle $BCD=122°$. Use the angle sum of triangle $BCD$ to work out angle $BDC$.
มุม $CBD=28°$ (ที่กำหนด) และมุม $BCD=122°$ จงใช้ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม $BCD$ หาค่ามุม $BDC$
Answershow ▾
The three angles of triangle $BCD$ add to $180°$: $180-28-122=30°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยม $BCD$ รวมกันได้ $180°$: $180-28-122=30°$
$W$, $X$, $Y$ and $Z$ are points on a circle, centre $O$. $WOZ$ is a diameter. Angle $YXZ=20°$ and angle $XZW=25°$. Work out angle $XZY$.
$W$, $X$, $Y$ และ $Z$ เป็นจุดบนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ โดย $WOZ$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $YXZ=20°$ และมุม $XZW=25°$ จงหามุม $XZY$
Answershow ▾
Same four moves: semicircle rule, triangle angle sum, opposite angles, then triangle angle sum again.สี่ขั้นเดิม: กฎมุมในครึ่งวงกลม ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม มุมตรงข้าม แล้วผลรวมมุมของสามเหลี่ยมอีกครั้ง
$A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle, centre $O$.
$AOD$ is a diameter of the circle.
Angle $CBD = 28°$ angle $BDA = 32°$
Find the size of angle $BDC$. Give a reason for each stage of your working.
$A$, $B$, $C$ และ $D$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
$AOD$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
มุม $CBD = 28°$ มุม $BDA = 32°$
จงหาขนาดของมุม $BDC$
จงให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
Answershow ▾
4 marks: the semicircle rule, the triangle angle sum, the opposite-angles rule, then the triangle angle sum again.4 คะแนน: กฎมุมในครึ่งวงกลม ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม กฎมุมตรงข้าม แล้วผลรวมมุมของสามเหลี่ยมอีกครั้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle ABD = 90$
M1 angle sum, triangle ABDผลบวกมุม สามเหลี่ยม ABD
$\angle BAD = 180-90-32$
$= 58$
B1 opposite angles, cyclic quadมุมตรงข้าม สี่เหลี่ยมแนบวงกลม
$\angle BCD = 180-58$
$= 122$
A1 angle sum, triangle BCDผลบวกมุม สามเหลี่ยม BCD
$\angle BDC = 180-28-122$
$= 30$
A reflex angle, then the alternate segment มุมสะท้อน แล้วทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับ
$P$, $Q$ and $R$ are points on a circle, centre $O$.
$TRV$ is the tangent to the circle at $R$.
Reflex angle $POR = 238°$ angle $QRV = 60°$
Calculate the size of angle $OPQ$.
Give a reason for each stage of your working.
$P$, $Q$ และ $R$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
$TRV$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $R$
มุมสะท้อน $POR = 238°$ มุม $QRV = 60°$
จงหาขนาดของมุม $OPQ$
จงให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
Reflex angle $POR=238°$. The angles at point $O$ add up to $360°$. Work out angle $POR$ (not reflex).
มุมสะท้อน $POR=238°$ มุมรอบจุด $O$ รวมกันได้ $360°$ จงหามุม $POR$ (ไม่ใช่มุมสะท้อน)
Answershow ▾
Subtract the reflex angle from the full turn.ลบมุมสะท้อนออกจากมุมรอบจุดเต็มหนึ่งรอบ
$OP$ and $OR$ are both radii of the circle, so triangle $OPR$ is isosceles. Angle $POR=122°$. Work out angle $OPR$.
$OP$ และ $OR$ เป็นรัศมีของวงกลมทั้งคู่ สามเหลี่ยม $OPR$ จึงเป็นหน้าจั่ว มุม $POR=122°$ จงหามุม $OPR$
Answershow ▾
The two base angles of an isosceles triangle are equal, and all three angles add to $180°$.มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน และมุมทั้งสามรวมกันได้ $180°$
$TRV$ is the tangent to a circle at $R$. Chord $RQ$ makes an angle $QRV=60°$ with the tangent. Write angle $RPQ$, the angle in the alternate segment.
$TRV$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $R$ คอร์ด $RQ$ ทำมุม $QRV=60°$ กับเส้นสัมผัส จงเขียนมุม $RPQ$ ซึ่งเป็นมุมในส่วนโค้งสลับ
Answershow ▾
The angle between a tangent and a chord equals the angle in the alternate segment.มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด เท่ากับมุมในส่วนโค้งสลับ
$TRV$ is the tangent at $R$, and angle $QRV=60°$. To find angle $RPQ$, pick the fact to use.
(A) angle $ORV=90°$ (tangent perpendicular to radius)
(B) angle $RPQ=$ angle $QRV=60°$ (alternate segment theorem)
(C) angle $ROQ=2\times60=120°$ (angle at the centre is twice the angle at the circumference)
$TRV$ เป็นเส้นสัมผัสที่ $R$ และมุม $QRV=60°$ หามุม $RPQ$ จงเลือกข้อเท็จจริงที่ใช้
(A) มุม $ORV=90°$ (เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี)
(B) มุม $RPQ=$ มุม $QRV=60°$ (ทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับ)
(C) มุม $ROQ=2\times60=120°$ (มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง)
Answershow ▾
(A) is true but it links $O$, $R$ and the tangent, not point $P$, so it cannot give angle $RPQ$. (C) doubles a tangent-chord angle, but the centre-doubles-circumference rule needs an angle at the circumference, not a tangent-chord angle.(A) เป็นจริงแต่เกี่ยวกับ $O$, $R$ และเส้นสัมผัสเท่านั้น ไม่เกี่ยวกับจุด $P$ จึงให้มุม $RPQ$ ไม่ได้ · (C) เอามุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ดไปคูณสอง แต่กฎมุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าใช้กับมุมที่เส้นรอบวง ไม่ใช่มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด
Reflex angle $POR=238°$. Write the equation for angle $POR$ (not reflex).
มุมสะท้อน $POR=238°$ จงเขียนสมการของมุม $POR$ (ไม่ใช่มุมสะท้อน)
Answershow ▾
Subtract the reflex angle from the full turn, the same move as question 1.ลบมุมสะท้อนออกจากมุมรอบจุดเต็มหนึ่งรอบ ขั้นเดิมจากข้อ 1
$OP$ and $OR$ are radii, so triangle $OPR$ is isosceles with angle $POR=122°$. Write the equation for angle $OPR$.
$OP$ และ $OR$ เป็นรัศมี สามเหลี่ยม $OPR$ จึงเป็นหน้าจั่ว มุม $POR=122°$ จงเขียนสมการของมุม $OPR$
Answershow ▾
The vertex angle is $122°$; the two equal base angles share what is left of $180°$.มุมที่จุดยอดคือ $122°$ มุมที่ฐานสองมุมเท่ากัน แบ่งส่วนที่เหลือของ $180°$
Evaluate $(180-122)\div 2$.
จงคำนวณ $(180-122)\div 2$
Answershow ▾
This is angle $OPR$, one piece of angle $OPQ$.นี่คือมุม $OPR$ ส่วนหนึ่งของมุม $OPQ$
You know angle $OPR=29°$ and angle $RPQ=60°$. Ray $PO$ lies between rays $PR$ and $PQ$. Pick the way to get angle $OPQ$.
(A) $60+29=89$
(B) $60-29=31$
(C) use $29$ alone, since $OP$ is a radius
มุม $OPR=29°$ และมุม $RPQ=60°$ รังสี $PO$ อยู่ระหว่างรังสี $PR$ และ $PQ$ จงเลือกวิธีหามุม $OPQ$
(A) $60+29=89$
(B) $60-29=31$
(C) ใช้ $29$ อย่างเดียว เพราะ $OP$ เป็นรัศมี
Answershow ▾
(A) adds the two angles, but ray $PO$ sits INSIDE angle $RPQ$, so angle $OPQ$ is part of it, not beyond it. (C) ignores angle $RPQ$ entirely, throwing away the alternate segment theorem that fixed point $Q$.(A) บวกมุมทั้งสอง แต่รังสี $PO$ อยู่ภายในมุม $RPQ$ มุม $OPQ$ จึงเป็นส่วนหนึ่งของมันเท่านั้น ไม่ใช่มุมที่เกินออกไป · (C) ไม่ใช้มุม $RPQ$ เลย ทิ้งทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับที่ใช้หาจุด $Q$ ไปโดยเปล่าประโยชน์
Work out $60-29$.
จงคำนวณ $60-29$
Answershow ▾
Angle $RPQ$ minus angle $OPR$, because ray $PO$ lies inside angle $RPQ$.มุม $RPQ$ ลบมุม $OPR$ เพราะรังสี $PO$ อยู่ภายในมุม $RPQ$
Check: angle $RPO$ and angle $OPQ$ together should make angle $RPQ$. Does $29+31$ give $60$?
ตรวจสอบ: มุม $RPO$ และมุม $OPQ$ รวมกันควรได้มุม $RPQ$ จงตรวจว่า $29+31$ ได้ $60$ หรือไม่
Answershow ▾
Ray $PO$ splits angle $RPQ$ into exactly these two pieces.รังสี $PO$ แบ่งมุม $RPQ$ ออกเป็นสองส่วนนี้พอดี
$P$, $Q$ and $R$ are points on a circle, centre $O$. $TRV$ is the tangent to the circle at $R$. Reflex angle $POR=240°$, angle $QRV=50°$. Work out angle $OPQ$.
$P$, $Q$ และ $R$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ $TRV$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $R$ มุมสะท้อน $POR=240°$ มุม $QRV=50°$ จงหามุม $OPQ$
Answershow ▾
Same three theorems: angles at a point, isosceles triangle, alternate segment, then subtract.สามทฤษฎีบทเดิม: มุมรอบจุด สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับ แล้วลบ
$P$, $Q$ and $R$ are points on a circle, centre $O$.
$TRV$ is the tangent to the circle at $R$.
Reflex angle $POR = 238°$ angle $QRV = 60°$
Calculate the size of angle $OPQ$.
Give a reason for each stage of your working.
$P$, $Q$ และ $R$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$
$TRV$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $R$
มุมสะท้อน $POR = 238°$ มุม $QRV = 60°$
จงหาขนาดของมุม $OPQ$
จงให้เหตุผลประกอบทุกขั้นตอน
Answershow ▾
4 marks: angles at a point, the isosceles triangle, the alternate segment theorem, then subtract.4 คะแนน: มุมรอบจุด สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับ แล้วลบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle POR = 360-238$
$= 122$
B1 OP=OR, isosceles triangleOP=OR สามเหลี่ยมหน้าจั่ว
$\angle OPR = \angle ORP$
$= (180-122)\div 2$
$= 29$
B1 alternate segment theoremทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับ
$\angle RPQ = \angle QRV$
$= 60$
A1 angle OPQ by subtractionมุม OPQ โดยการลบ
$\angle OPQ = 60-29$
$= 31$
Alternate segment, then cyclic quadrilateral ส่วนโค้งสลับ แล้วสี่เหลี่ยมแนบวงกลม
$B$, $D$, $E$ and $F$ are points on a circle.
$ABC$ is the tangent at $B$ to the circle.
Angle $ABD = 39°$ angle $EFD = 18°$
Work out the size of angle $BDE$.
Give reasons for your working.
$B$, $D$, $E$ และ $F$ เป็นจุดบนวงกลม
$ABC$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $B$
มุม $ABD = 39°$ มุม $EFD = 18°$
จงหาขนาดของมุม $BDE$
จงให้เหตุผลประกอบการหาคำตอบ
$AB$ is a tangent to a circle at $B$. $BD$ is a chord, and $F$ is a point on the circle in the alternate segment. Angle $ABD=39°$. Work out angle $BFD$.
$AB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $B$ $BD$ เป็นคอร์ด และ $F$ เป็นจุดบนวงกลมในส่วนโค้งฝั่งตรงข้าม มุม $ABD=39°$ จงหามุม $BFD$
Answershow ▾
The tangent-chord angle equals the angle in the alternate segment (the alternate segment theorem).มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด เท่ากับมุมในส่วนโค้งฝั่งตรงข้าม (ทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับ)
Ray $OZ$ lies between rays $OX$ and $OY$. Angle $XOZ=18°$ and angle $ZOY=39°$. Work out angle $XOY$.
รังสี $OZ$ อยู่ระหว่างรังสี $OX$ และ $OY$ มุม $XOZ=18°$ และมุม $ZOY=39°$ จงหามุม $XOY$
Answershow ▾
When one ray lies between two others, the whole angle is the sum of its two parts.เมื่อรังสีหนึ่งอยู่ระหว่างรังสีอีกสองเส้น มุมทั้งหมดคือผลบวกของสองส่วนนั้น
Two opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to $180°$. One of them is $57°$. Work out the other, $y$.
มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมแนบวงกลมสองมุมรวมกันได้ $180°$ มุมหนึ่งมีขนาด $57°$ จงหามุมอีกมุม $y$
Answershow ▾
Subtract the known angle from $180°$.นำ $180°$ ลบด้วยมุมที่รู้ค่าแล้ว
$B$, $D$, $E$ and $F$ are points on a circle. $ABC$ is the tangent at $B$. Angle $ABD=39°$, angle $EFD=18°$. Pick the first fact to use.
(A) angle $BDE=180-39=141°$ (opposite angles of a cyclic quadrilateral)
(B) angle $BFD=$ angle $ABD=39°$ (alternate segment theorem)
(C) angle $BDE=18+39=57°$ (add the two given angles)
$B$, $D$, $E$ และ $F$ เป็นจุดบนวงกลม $ABC$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $B$ มุม $ABD=39°$ มุม $EFD=18°$ จงเลือกข้อเท็จจริงที่ใช้เป็นขั้นแรก
(A) มุม $BDE=180-39=141°$ (มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมแนบวงกลม)
(B) มุม $BFD=$ มุม $ABD=39°$ (ทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับ)
(C) มุม $BDE=18+39=57°$ (บวกมุมที่ให้มาทั้งสอง)
Answershow ▾
(A) treats angle $ABD$ (the tangent-chord angle) as if it were already the angle of the quadrilateral at $B$ - it is not. (C) adds $18°$ and $39°$ before they share a vertex: that needs angle $DFB$ first, from the alternate segment theorem.(A) ปฏิบัติกับมุม $ABD$ (มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด) เหมือนเป็นมุมของสี่เหลี่ยมที่จุด $B$ เองอยู่แล้ว ซึ่งไม่ใช่ · (C) บวก $18°$ กับ $39°$ ทั้งที่ยังไม่ร่วมจุดยอดเดียวกัน ต้องรู้มุม $DFB$ จากทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับก่อน
$AB$ is the tangent at $B$. $F$ is a point on the circle in the alternate segment to chord $BD$. Angle $ABD=39°$. Write angle $BFD$, giving the reason.
$AB$ เป็นเส้นสัมผัสที่จุด $B$ $F$ เป็นจุดบนวงกลมในส่วนโค้งฝั่งตรงข้ามของคอร์ด $BD$ มุม $ABD=39°$ จงเขียนมุม $BFD$ พร้อมเหตุผล
Answershow ▾
Alternate segment theorem: the tangent-chord angle carries straight across to $F$.ทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับ: มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ดยกไปให้ $F$ โดยค่าไม่เปลี่ยน
Ray $FD$ lies between $FE$ and $FB$. Angle $EFD=18°$ and angle $DFB=39°$. Write the equation for angle $EFB$.
รังสี $FD$ อยู่ระหว่าง $FE$ และ $FB$ มุม $EFD=18°$ และมุม $DFB=39°$ จงเขียนสมการของมุม $EFB$
Answershow ▾
The two parts on either side of ray $FD$ add to the whole angle.สองส่วนที่อยู่คนละข้างของรังสี $FD$ รวมกันเป็นมุมทั้งหมด
Work out $18+39$.
จงคำนวณ $18+39$
Answershow ▾
This is angle $EFB$, not yet the angle the question asks for.นี่คือมุม $EFB$ ยังไม่ใช่มุมที่โจทย์ถาม
$BDEF$ is a cyclic quadrilateral. Angle $BDE$ and angle $EFB$ are opposite angles. Angle $EFB=57°$. Work out angle $BDE$.
$BDEF$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบวงกลม มุม $BDE$ และมุม $EFB$ เป็นมุมตรงข้ามกัน มุม $EFB=57°$ จงหามุม $BDE$
Answershow ▾
Opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to $180°$.มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมแนบวงกลมรวมกันได้ $180°$
Check: angle $BDE$ and angle $EFB$ are opposite angles of a cyclic quadrilateral, so they should add up to $180°$. Does $123+57={?}$
ตรวจสอบ: มุม $BDE$ และมุม $EFB$ เป็นมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมแนบวงกลม จึงควรรวมกันได้ $180°$ ลองรวม $123+57={?}$
Answershow ▾
A cyclic quadrilateral built correctly always checks back to $180°$ for each opposite pair.สี่เหลี่ยมแนบวงกลมที่สร้างถูกต้อง มุมตรงข้ามแต่ละคู่จะย้อนกลับไปที่ $180°$ เสมอ
$TP$ is the tangent to a circle at $P$. $P$, $Q$, $R$ and $S$ are points on the circle. Angle $TPQ=30°$ and angle $RSQ=20°$. Work out angle $PQR$.
$TP$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $P$ $P$, $Q$, $R$ และ $S$ เป็นจุดบนวงกลม มุม $TPQ=30°$ และมุม $RSQ=20°$ จงหามุม $PQR$
Answershow ▾
Same three moves: alternate segment theorem, add the two parts, then the cyclic quadrilateral.สามขั้นเดิม: ทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับ บวกสองส่วน แล้วสี่เหลี่ยมแนบวงกลม
$B$, $D$, $E$ and $F$ are points on a circle.
$ABC$ is the tangent at $B$ to the circle.
Angle $ABD = 39°$ angle $EFD = 18°$
Work out the size of angle $BDE$.
Give reasons for your working.
$B$, $D$, $E$ และ $F$ เป็นจุดบนวงกลม
$ABC$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $B$
มุม $ABD = 39°$ มุม $EFD = 18°$
จงหาขนาดของมุม $BDE$
จงให้เหตุผลประกอบการหาคำตอบ
Answershow ▾
4 marks: alternate segment theorem for angle $BFD$, add the two angles at $F$, then opposite angles of a cyclic quadrilateral to evaluate.4 คะแนน: ทฤษฎีบทส่วนโค้งสลับหามุม $BFD$ บวกมุมสองส่วนที่ $F$ แล้วใช้มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมแนบวงกลมคำนวณคำตอบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\angle BFD = \angle ABD$
$= 39$
M1 angle EFB, two parts addedมุม EFB บวกสองส่วน
$\angle EFB = 18+39$
$= 57$
B1 opposite angles, cyclic quadมุมตรงข้าม สี่เหลี่ยมแนบวงกลม
$\angle BDE = 180-\angle EFB$
A1 evaluateคำนวณ
$= 123$
Two secants, crossing outside เส้นตัดสองเส้น ตัดกันนอกวงกลม
$A$, $B$, $D$ and $E$ are points on a circle.
$ABC$ and $EDC$ are straight lines.
$BC = (2+\sqrt5)$ cm $ED = (4+\sqrt5)$ cm $DC = 2\sqrt5$ cm
Show that the length of $AB$ is $(p\sqrt5+q)$ cm, where $p$ and $q$ are integers whose values are to be found.
Show your working clearly.
$A$, $B$, $D$ และ $E$ เป็นจุดบนวงกลม
$ABC$ และ $EDC$ เป็นเส้นตรง
$BC = (2+\sqrt5)$ ซม. $ED = (4+\sqrt5)$ ซม. $DC = 2\sqrt5$ ซม.
จงแสดงว่าความยาวของ $AB$ เท่ากับ $(p\sqrt5+q)$ ซม. โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหาค่า
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Simplify $2\sqrt5+(4+\sqrt5)$.
จงทำให้ $2\sqrt5+(4+\sqrt5)$ ง่ายขึ้น
Answershow ▾
Add the whole-number parts, then add the surd parts.บวกส่วนที่เป็นจำนวนเต็มเข้าด้วยกัน แล้วบวกส่วนที่เป็น surd เข้าด้วยกัน
Simplify $(2+\sqrt5)(\sqrt5-2)$.
จงทำให้ $(2+\sqrt5)(\sqrt5-2)$ ง่ายขึ้น
Answershow ▾
The surd terms cancel, leaving a whole number.พจน์ surd จะตัดกัน เหลือเป็นจำนวนเต็ม
Expand $2\sqrt5\times(4+3\sqrt5)$.
จงกระจาย $2\sqrt5\times(4+3\sqrt5)$
Answershow ▾
Multiply the surd into each term, then collect the whole-number term.คูณ surd เข้าไปในแต่ละพจน์ แล้วรวมพจน์ที่เป็นจำนวนเต็ม
$EDC$ is a straight line, with $DC=2\sqrt5$ cm and $ED=(4+\sqrt5)$ cm. Pick the first useful step.
(A) $CE=DC+ED$
(B) $CE=ED-DC$
(C) $CE=DC\times ED$
$EDC$ เป็นเส้นตรง โดย $DC=2\sqrt5$ ซม. และ $ED=(4+\sqrt5)$ ซม. จงเลือกขั้นแรกที่ใช้ได้
(A) $CE=DC+ED$
(B) $CE=ED-DC$
(C) $CE=DC\times ED$
Answershow ▾
(B) puts $D$ outside segment $CE$; but $EDC$ is one line through $D$, so the parts ADD. (C) multiplies the two parts of one line; multiplying compares near times far between two DIFFERENT secants, not within one line.(B) มองว่า $D$ ไม่อยู่ระหว่าง $C$ กับ $E$ แต่ $EDC$ เป็นเส้นตรงเส้นเดียวผ่าน $D$ ส่วนสองส่วนจึงต้องบวกกัน · (C) คูณสองส่วนของเส้นตรงเส้นเดียวกัน การคูณใช้เทียบความยาวใกล้/ไกลของเส้นตัดสองเส้นที่ต่างกัน ไม่ใช่ใช้บวกสองส่วนของเส้นเดียว
$EDC$ is a straight line, with $DC=2\sqrt5$ cm and $ED=(4+\sqrt5)$ cm. Work out $CE$.
$EDC$ เป็นเส้นตรง โดย $DC=2\sqrt5$ ซม. และ $ED=(4+\sqrt5)$ ซม. จงหา $CE$
Answershow ▾
$CE$ is the whole line from $C$ to $E$, so add the two parts.$CE$ คือเส้นทั้งเส้นจาก $C$ ถึง $E$ จึงบวกสองส่วนเข้าด้วยกัน
$ABC$ and $EDC$ are two straight lines through the point $C$, outside the circle through $A,B,D,E$. Write down the equation connecting $CB$, $CA$, $CD$ and $CE$.
$ABC$ และ $EDC$ เป็นเส้นตรงสองเส้นที่ผ่านจุด $C$ ภายนอกวงกลมที่ผ่าน $A,B,D,E$ จงเขียนสมการที่เชื่อม $CB$, $CA$, $CD$ และ $CE$
Answershow ▾
From the same outside point, (near point) times (far point) is equal on both secants: $CB$, $CD$ are near; $CA$, $CE$ are far.จากจุดภายนอกจุดเดียวกัน (ระยะถึงจุดใกล้) คูณ (ระยะถึงจุดไกล) เท่ากันทั้งสองเส้น $CB$, $CD$ คือใกล้ · $CA$, $CE$ คือไกล
$CB=(2+\sqrt5)$ cm, $CD=2\sqrt5$ cm and $CE=(4+3\sqrt5)$ cm. Substitute into $CB\times CA=CD\times CE$ and rearrange for $CA$.
$CB=(2+\sqrt5)$ ซม. $CD=2\sqrt5$ ซม. และ $CE=(4+3\sqrt5)$ ซม. แทนค่าใน $CB\times CA=CD\times CE$ แล้วจัดรูปหา $CA$
Answershow ▾
Divide both sides by $(2+\sqrt5)$ to leave $CA$ on its own.หารทั้งสองข้างด้วย $(2+\sqrt5)$ เพื่อให้เหลือ $CA$ เดี่ยว ๆ
$CA=\dfrac{30+8\sqrt5}{2+\sqrt5}$. Pick the way to simplify this.
(A) multiply top and bottom by $\sqrt5-2$
(B) multiply top and bottom by $\sqrt5+2$
(C) divide $30$ by $2$ and $8\sqrt5$ by $\sqrt5$, separately
$CA=\dfrac{30+8\sqrt5}{2+\sqrt5}$ จงเลือกวิธีทำให้ง่ายขึ้น
(A) คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt5-2$
(B) คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt5+2$
(C) หาร $30$ ด้วย $2$ และหาร $8\sqrt5$ ด้วย $\sqrt5$ แยกกัน
Answershow ▾
(B) leaves a surd behind: $(2+\sqrt5)(\sqrt5+2)=4\sqrt5+9$, still not a whole number. Only the conjugate with the SIGN FLIPPED, $\sqrt5-2$, removes the surd. (C) cannot split a fraction this way: every term on top divides by the WHOLE bottom, not by one piece of it.(B) ยังเหลือ surd อยู่ $(2+\sqrt5)(\sqrt5+2)=4\sqrt5+9$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม ต้องใช้คอนจูเกตที่ สลับเครื่องหมาย คือ $\sqrt5-2$ เท่านั้นจึงตัด surd ได้ · (C) แยกเศษส่วนแบบนี้ไม่ได้ เพราะทุกพจน์บนเศษต้องหารด้วยส่วนทั้งก้อน ไม่ใช่หารทีละพจน์
Rationalise $CA=\dfrac{30+8\sqrt5}{2+\sqrt5}$ by multiplying top and bottom by $\sqrt5-2$. Write $CA$ in the form $a\sqrt5+b$.
ทำตัวส่วนของ $CA=\dfrac{30+8\sqrt5}{2+\sqrt5}$ ให้เป็นจำนวนตรรกยะ โดยคูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt5-2$ จงเขียน $CA$ ในรูป $a\sqrt5+b$
Answershow ▾
The bottom becomes $1$, so $CA$ is just the top, simplified.ตัวส่วนจะกลายเป็น $1$ ดังนั้น $CA$ คือเศษที่ทำให้ง่ายขึ้นแล้วนั่นเอง
$CA=(14\sqrt5-20)$ cm and $CB=(2+\sqrt5)$ cm. Work out $AB=CA-CB$, in the form $(p\sqrt5+q)$.
$CA=(14\sqrt5-20)$ ซม. และ $CB=(2+\sqrt5)$ ซม. จงหา $AB=CA-CB$ ในรูป $(p\sqrt5+q)$
Answershow ▾
$AB$ and $CB$ are both measured from $C$ along the same line, so $AB=CA-CB$.$AB$ และ $CB$ วัดจาก $C$ บนเส้นตรงเส้นเดียวกัน ดังนั้น $AB=CA-CB$
$V$, $W$, $X$ are on one straight line and $V$, $Y$, $Z$ are on another, both through the point $V$ outside a circle through $W,X,Y,Z$. $VW=3$ cm, $VY=4$ cm, $YZ=5$ cm. Work out $WX$.
$V$, $W$, $X$ อยู่บนเส้นตรงเส้นหนึ่ง และ $V$, $Y$, $Z$ อยู่บนเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง ทั้งสองเส้นผ่านจุด $V$ ภายนอกวงกลมที่ผ่าน $W,X,Y,Z$ $VW=3$ ซม. $VY=4$ ซม. $YZ=5$ ซม. จงหา $WX$
Answershow ▾
Same three moves: add to find $VZ$, write the secant equation, then solve.สามขั้นเดิม: บวกเพื่อหา $VZ$ เขียนสมการของเส้นตัดสองเส้น แล้วแก้สมการ
$A$, $B$, $D$ and $E$ are points on a circle.
$ABC$ and $EDC$ are straight lines.
$BC = (2+\sqrt5)$ cm $ED = (4+\sqrt5)$ cm $DC = 2\sqrt5$ cm
Show that the length of $AB$ is $(p\sqrt5+q)$ cm, where $p$ and $q$ are integers whose values are to be found.
Show your working clearly.
$A$, $B$, $D$ และ $E$ เป็นจุดบนวงกลม
$ABC$ และ $EDC$ เป็นเส้นตรง
$BC = (2+\sqrt5)$ ซม. $ED = (4+\sqrt5)$ ซม. $DC = 2\sqrt5$ ซม.
จงแสดงว่าความยาวของ $AB$ เท่ากับ $(p\sqrt5+q)$ ซม. โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหาค่า
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks: add to find $CE$, the secant equation, substitute and rationalise for $CA$, then subtract $CB$.5 คะแนน: บวกเพื่อหา $CE$ สมการของเส้นตัดสองเส้น แทนค่าและทำตัวส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะเพื่อหา $CA$ แล้วลบด้วย $CB$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$CE = 2\sqrt5+(4+\sqrt5)$
$= 4+3\sqrt5$
M1 two secants from an outside pointเส้นตัดสองเส้นจากจุดภายนอก
$CB\times CA = CD\times CE$
M1 substitute and rearrange for CAแทนค่าและจัดรูปหา CA
$(2+\sqrt5)\times CA = 2\sqrt5\times(4+3\sqrt5)$
$CA = \dfrac{30+8\sqrt5}{2+\sqrt5}$
A1 rationalise the denominatorทำตัวส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ
$(2+\sqrt5)(\sqrt5-2) = 1$
$30(\sqrt5-2) = 30\sqrt5-60$
$8\sqrt5(\sqrt5-2) = 40-16\sqrt5$
$CA = 14\sqrt5-20$
A1 AB = CA - CBAB = CA ลบ CB
$AB = CA-CB$
$= 14\sqrt5-\sqrt5-22$
$= 13\sqrt5-22$
A triangle's hypotenuse, then the perimeter หาด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้วหาเส้นรอบรูป
The diagram shows a triangle $ABC$ inside a semicircle.
$A$, $B$ and $C$ are points on the semicircle.
$AB$ is the diameter of the semicircle.
Angle $ACB = 90°$ angle $BAC = 50°$ $AC = 18$ cm
Work out the perimeter of the semicircle.
Give your answer correct to 2 significant figures.
รูปแสดงสามเหลี่ยม $ABC$ ภายในครึ่งวงกลม
$A$, $B$ และ $C$ เป็นจุดบนครึ่งวงกลม
$AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวงกลม
มุม $ACB = 90°$ มุม $BAC = 50°$ $AC = 18$ ซม.
จงหาเส้นรอบรูปของครึ่งวงกลม
ตอบให้ถูกต้อง 2 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Work out $\cos 50$, correct to $4$ decimal places.
จงหา $\cos 50$ ให้ถูกต้องถึง $4$ ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Use the cos button on your calculator, in degree mode.กดปุ่ม cos บนเครื่องคิดเลข โดยตั้งหน่วยเป็นองศา
Make $x$ the subject: $\cos 50 = \dfrac{18}{x}$.
จงจัดรูปให้ $x$ เป็นตัวตั้ง: $\cos 50 = \dfrac{18}{x}$
Answershow ▾
Swap $x$ with $\cos 50$ across the fraction.สลับตำแหน่ง $x$ กับ $\cos 50$ ในเศษส่วน
A semicircle has diameter $10$ cm. The curved arc is half the circumference: arc $=\dfrac{\pi\times10}{2}$. Work it out, correct to $1$ decimal place.
ครึ่งวงกลมวงหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลาง $10$ ซม. ส่วนโค้งเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง: ส่วนโค้ง $=\dfrac{\pi\times10}{2}$ จงคำนวณ ให้ถูกต้องถึง $1$ ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Multiply $\pi$ by the diameter, then halve it.คูณ $\pi$ ด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง แล้วหารด้วย $2$
In this right triangle, angle $ACB=90°$, angle $BAC=50°$ and $AC=18$ cm. Pick the first move to find $AB$.
(A) $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$
(B) $\cos 50 = \dfrac{AC}{AB}$
(C) $\sin 50 = \dfrac{AC}{AB}$
ในสามเหลี่ยมมุมฉากนี้ มุม $ACB=90°$ มุม $BAC=50°$ และ $AC=18$ ซม. จงเลือกขั้นแรกในการหา $AB$
(A) $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$
(B) $\cos 50 = \dfrac{AC}{AB}$
(C) $\sin 50 = \dfrac{AC}{AB}$
Answershow ▾
(A) needs $BC$, which is not given - Pythagoras needs two known sides, but only one side is known here. (C) puts $AC$ opposite the $50°$ angle, but $AC$ is adjacent to it, so that calls for cosine, not sine.(A) ต้องใช้ $BC$ ซึ่งไม่ได้ให้มา · พีทาโกรัสต้องรู้สองด้าน แต่ที่นี่รู้แค่ด้านเดียว · (C) ให้ $AC$ อยู่ตรงข้ามมุม $50°$ แต่จริงๆ $AC$ อยู่ประชิดมุมนั้น จึงต้องใช้โคไซน์ ไม่ใช่ไซน์
Using angle $BAC=50°$ and $AC=18$ cm, write $\cos 50=\dfrac{AC}{AB}$ with the number in it.
ใช้มุม $BAC=50°$ และ $AC=18$ ซม. จงเขียน $\cos 50=\dfrac{AC}{AB}$ โดยแทนตัวเลข
Answershow ▾
Replace $AC$ with its value; $AB$ stays as the unknown.แทน $AC$ ด้วยค่าของมัน ส่วน $AB$ ยังเป็นตัวไม่รู้ค่า
Rearrange $\cos 50=\dfrac{18}{AB}$ to make $AB$ the subject, and work it out. Give your answer correct to $1$ decimal place.
จงจัดรูป $\cos 50=\dfrac{18}{AB}$ ให้ $AB$ เป็นตัวตั้ง แล้วคำนวณค่า ให้ถูกต้องถึง $1$ ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
$AB$ is on the bottom, so swap it with $\cos 50$.$AB$ อยู่ด้านล่าง จึงสลับตำแหน่งกับ $\cos 50$
The curved arc of the semicircle is half the circumference: arc $=\dfrac{\pi\times AB}{2}$. Using $AB=28.0$ cm, work out the arc. Give your answer correct to $1$ decimal place.
ส่วนโค้งของครึ่งวงกลมเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง: ส่วนโค้ง $=\dfrac{\pi\times AB}{2}$ ใช้ $AB=28.0$ ซม. จงหาส่วนโค้ง ให้ถูกต้องถึง $1$ ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Multiply $\pi$ by $AB$, then halve it.คูณ $\pi$ ด้วย $AB$ แล้วหารด้วย $2$
The diameter is $AB\approx28.0$ cm and the arc is $\approx44.0$ cm. Pick the correct way to find the perimeter of the semicircle.
(A) perimeter $=\text{arc}$
(B) perimeter $=AB+\text{arc}$
(C) perimeter $=2\times\text{arc}$
เส้นผ่านศูนย์กลาง $AB\approx28.0$ ซม. และส่วนโค้งยาว $\approx44.0$ ซม. จงเลือกวิธีหาเส้นรอบรูปของครึ่งวงกลมที่ถูกต้อง
(A) เส้นรอบรูป $=\text{arc}$
(B) เส้นรอบรูป $=AB+\text{arc}$
(C) เส้นรอบรูป $=2\times\text{arc}$
Answershow ▾
(A) leaves out the straight edge $AB$, which is also part of the semicircle's boundary. (C) doubles the arc as if finding the whole circle's circumference, but a semicircle's boundary has only one curved arc, not two.(A) ไม่ได้รวมด้าน $AB$ ที่เป็นเส้นตรง ซึ่งก็เป็นส่วนหนึ่งของขอบครึ่งวงกลม · (C) คูณส่วนโค้งสองเท่าเหมือนหาเส้นรอบวงเต็มวง แต่ขอบของครึ่งวงกลมมีส่วนโค้งเพียงส่วนเดียว ไม่ใช่สองส่วน
Work out the perimeter of the semicircle, using $AB=28.0$ cm and arc $=44.0$ cm.
จงหาเส้นรอบรูปของครึ่งวงกลม โดยใช้ $AB=28.0$ ซม. และส่วนโค้ง $=44.0$ ซม.
Answershow ▾
The perimeter is the diameter plus the arc.เส้นรอบรูปคือเส้นผ่านศูนย์กลางบวกกับส่วนโค้ง
Check: the perimeter must be more than the arc alone ($44.0$ cm) and less than the circumference of the full circle ($\pi\times28.0\approx88.0$ cm). Does $72.0$ cm fit between them?
จงตรวจ: เส้นรอบรูปต้องมากกว่าส่วนโค้งเพียงอย่างเดียว ($44.0$ ซม.) และน้อยกว่าเส้นรอบวงของวงกลมเต็มวง ($\pi\times28.0\approx88.0$ ซม.) $72.0$ ซม. อยู่ระหว่างสองค่านี้หรือไม่
Answershow ▾
The perimeter adds one straight edge to part of a curved one, so it sits between the curve alone and the whole circle.เส้นรอบรูปคือส่วนโค้งบวกกับเส้นตรงหนึ่งด้าน จึงอยู่ระหว่างส่วนโค้งเพียงอย่างเดียวกับวงกลมเต็มวง
A triangle $XYZ$ is inside a semicircle. $X$, $Y$ and $Z$ are points on the semicircle. $XY$ is the diameter. Angle $XZY=90°$, angle $YXZ=60°$, $XZ=10$ cm. Work out the perimeter of the semicircle, correct to $2$ significant figures.
สามเหลี่ยม $XYZ$ อยู่ภายในครึ่งวงกลม $X$, $Y$ และ $Z$ เป็นจุดบนครึ่งวงกลม $XY$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $XZY=90°$ มุม $YXZ=60°$ $XZ=10$ ซม. จงหาเส้นรอบรูปของครึ่งวงกลม ให้ถูกต้องถึง $2$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Same three moves: cosine for the diameter, half the circumference for the arc, then add and round.สามขั้นเดิม: โคไซน์หาเส้นผ่านศูนย์กลาง ครึ่งเส้นรอบวงหาส่วนโค้ง แล้วบวกและปัดเศษ
The diagram shows a triangle $ABC$ inside a semicircle.
$A$, $B$ and $C$ are points on the semicircle.
$AB$ is the diameter of the semicircle.
Angle $ACB = 90°$ angle $BAC = 50°$ $AC = 18$ cm
Work out the perimeter of the semicircle.
Give your answer correct to 2 significant figures.
รูปแสดงสามเหลี่ยม $ABC$ ภายในครึ่งวงกลม
$A$, $B$ และ $C$ เป็นจุดบนครึ่งวงกลม
$AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวงกลม
มุม $ACB = 90°$ มุม $BAC = 50°$ $AC = 18$ ซม.
จงหาเส้นรอบรูปของครึ่งวงกลม
ตอบให้ถูกต้อง 2 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
5 marks: the cosine ratio, solve for $AB$, the arc as half the circumference, perimeter $=AB+\text{arc}$, then $2$ s.f.5 คะแนน: อัตราส่วนโคไซน์ แก้หา $AB$ ส่วนโค้งเป็นครึ่งเส้นรอบวง เส้นรอบรูป $=AB+\text{arc}$ แล้วปัดเศษเป็น $2$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\cos 50 = \dfrac{AC}{AB}$
A1 solve for ABแก้หา AB
$AB = \dfrac{18}{\cos 50}$
$\approx 28.0\text{ cm}$
M1 arc = half the circumferenceส่วนโค้ง = ครึ่งเส้นรอบวง
$\text{arc} = \dfrac{\pi\times AB}{2}$
$\approx 44.0\text{ cm}$
M1 perimeter = diameter + arcเส้นรอบรูป = เส้นผ่านศูนย์กลาง + ส่วนโค้ง
$\text{perimeter} = AB+\text{arc}$
A1 evaluate to 2 s.f.ตอบ 2 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
$\approx 72\text{ cm}$