Geometry · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เรขาคณิต
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
Two tangents from one point เส้นสัมผัสสองเส้นจากจุดเดียว
$TA$ and $TB$ are tangents to a circle, centre $O$. The tangents touch the circle at $A$ and at $B$. Angle $ATB = 44^{\circ}$.
Work out the size of angle $AOB$.
$TA$ และ $TB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และจุด $B$ และมุม $ATB = 44^{\circ}$
จงหาขนาดของมุม $AOB$
Three angles of a quadrilateral are $80^{\circ}$, $95^{\circ}$ and $130^{\circ}$. Work out the fourth angle.
มุมสามมุมของรูปสี่เหลี่ยมคือ $80^{\circ}$, $95^{\circ}$ และ $130^{\circ}$ จงหามุมที่สี่
Answershow ▾
Four corners, so the four angles add to $360^{\circ}$.สี่มุม ผลรวมของมุมทั้งสี่จึงเท่ากับ $360^{\circ}$
$TA$ is a tangent to a circle, centre $O$, touching the circle at $A$. Write down the size of $\angle OAT$.
$TA$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ จงเขียนขนาดของมุม $\angle OAT$
Answershow ▾
A tangent is perpendicular to the radius drawn to the point where it touches.เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส
In quadrilateral $OATB$, $\angle OAT = \angle OBT = 90^{\circ}$ and $\angle ATB = 50^{\circ}$. Work out $\angle AOB$.
ในรูปสี่เหลี่ยม $OATB$ มี $\angle OAT = \angle OBT = 90^{\circ}$ และ $\angle ATB = 50^{\circ}$ จงหา $\angle AOB$
Answershow ▾
The two right angles use up half of the $360^{\circ}$ on their own.มุมฉากสองมุมกินไปครึ่งหนึ่งของ $360^{\circ}$ ตั้งแต่ต้น
The exam prints $O$, $A$, $B$, $T$ and the two tangent lines, and nothing else. Name the two lines you have to draw before a single angle exists, and say which word in the question demands them.
ข้อสอบพิมพ์มาให้แค่ $O$, $A$, $B$, $T$ กับเส้นสัมผัสสองเส้น ไม่มีอย่างอื่น จงบอกชื่อเส้นสองเส้นที่ต้องลากเองก่อนที่จะมีมุมใดๆ และบอกว่าคำใดในโจทย์เรียกร้องให้ลาก
Answershow ▾
The tangent fact is a fact about the radius drawn to the point of contact, and the exam never draws that radius. Nearly every attempt that scores zero here stops at this point: there is a circle, two lines and one angle on the paper, and nothing to work with. The first M1 is for the two right angles, which cannot even be written down until the radii are on the page.ข้อเท็จจริงเรื่องเส้นสัมผัสเป็นข้อเท็จจริงเกี่ยวกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส และข้อสอบไม่เคยวาดรัศมีเส้นนั้นมาให้ · ความพยายามที่ได้ศูนย์คะแนนเกือบทุกครั้งหยุดตรงนี้ เพราะบนกระดาษมีแค่วงกลม เส้นสองเส้น กับมุมหนึ่งมุม · M1 แรกให้กับมุมฉากสองมุม ซึ่งเขียนไม่ได้เลยถ้ายังไม่มีรัศมีในรูป
$TA$ and $TB$ touch the circle at $A$ and at $B$. Write down every angle you now know.
$TA$ และ $TB$ สัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และ $B$ จงเขียนมุมทุกมุมที่รู้ค่าแล้ว
Answershow ▾
Two tangents, so two right angles. One is not enough.เส้นสัมผัสสองเส้น จึงได้มุมฉากสองมุม · มุมเดียวไม่พอ
$O$, $A$, $T$, $B$. Walk round the figure and count the corners. Name the shape, name the angle sum that goes with it, and then write down the answer that the other guess would have produced.
จุด $O$, $A$, $T$, $B$ · จงเดินรอบรูปแล้วนับมุม บอกชื่อรูป บอกผลรวมของมุมที่คู่กัน แล้วเขียนคำตอบที่จะได้ถ้าเดาผิดเป็นอีกแบบหนึ่ง
Answershow ▾
Three known angles and one unknown is exactly the shape of a triangle question, so the reflex is “$180^{\circ}$”, and $180-90-44 = 46$ comes out neat, quick and wrong. Counting corners takes two seconds and is worth no mark: the second M1 is for the angle-sum line once the $360$ is already in it.มีมุมที่รู้สามมุมกับที่ไม่รู้หนึ่งมุม ซึ่งเป็นรูปแบบของโจทย์สามเหลี่ยมพอดี สัญชาตญาณจึงบอกว่า “$180^{\circ}$” และ $180-90-44 = 46$ ก็ออกมาเรียบร้อย รวดเร็ว และผิด · การนับมุมใช้เวลาสองวินาทีและไม่มีคะแนน · M1 ที่สองให้กับบรรทัดผลรวมของมุมเมื่อมี $360$ อยู่ในนั้นแล้ว
Write the angle sum of $OATB$ with every known angle substituted in.
จงเขียนผลรวมของมุมในรูป $OATB$ โดยแทนค่ามุมที่รู้ทั้งหมด
Answershow ▾
Four terms on the left, one of them the unknown. This is the second method mark.ข้างซ้ายมีสี่พจน์ หนึ่งในนั้นคือตัวที่ไม่รู้ · นี่คือคะแนนวิธีทำที่สอง
Solve for $\angle AOB$.
จงแก้หา $\angle AOB$
Answershow ▾
The answer to the exam question. It is obtuse, and the picture agrees.คำตอบของข้อสอบ · เป็นมุมป้าน และภาพก็ตรงกัน
Add your $136^{\circ}$ to the $44^{\circ}$ at $T$. Produce the total, then explain in one line why that total is the same for any pair of tangents from one point.
นำ $136^{\circ}$ ไปบวกกับ $44^{\circ}$ ที่จุด $T$ จงหาผลรวม แล้วอธิบายหนึ่งบรรทัดว่าทำไมผลรวมนี้เท่าเดิมสำหรับเส้นสัมผัสทุกคู่ที่ลากจากจุดเดียวกัน
Answershow ▾
Whatever the tangents do, the two right angles take $180^{\circ}$ of the quadrilateral’s $360^{\circ}$, so the angle at $T$ and the angle at $O$ share the rest. That gives you a thirty-second check on every question of this kind: if your two angles do not add to $180^{\circ}$, one of them is wrong and you still have time. No mark exists for checking, and the A1 is lost in silence without it.ไม่ว่าเส้นสัมผัสจะเป็นอย่างไร มุมฉากสองมุมก็กิน $180^{\circ}$ จาก $360^{\circ}$ ของรูปสี่เหลี่ยม มุมที่ $T$ กับมุมที่ $O$ จึงแบ่งส่วนที่เหลือกัน · นี่คือวิธีตรวจสามสิบวินาทีสำหรับโจทย์แบบนี้ทุกข้อ ถ้ามุมสองมุมรวมกันไม่ได้ $180^{\circ}$ แปลว่ามีมุมหนึ่งผิดและยังมีเวลาแก้ · ไม่มีคะแนนสำหรับการตรวจ และ A1 หายไปเงียบๆ ถ้าไม่ตรวจ
$TA$ and $TB$ are tangents to a circle, centre $O$, and $\angle AOB = 150^{\circ}$. Work out $\angle ATB$.
$TA$ และ $TB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ และ $\angle AOB = 150^{\circ}$ จงหา $\angle ATB$
Answershow ▾
Same quadrilateral, unknown in a different corner.รูปสี่เหลี่ยมเดิม แต่ตัวที่ไม่รู้ย้ายไปอยู่อีกมุมหนึ่ง
$TA$ and $TB$ are tangents to a circle, centre $O$, touching at $A$ and $B$, and $\angle ATB = 70^{\circ}$. Work out $\angle AOB$.
$TA$ และ $TB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ สัมผัสที่ $A$ และ $B$ และ $\angle ATB = 70^{\circ}$ จงหา $\angle AOB$
Answershow ▾
Check: $110 + 70 = 180$.ตรวจ: $110 + 70 = 180$
$PA$ and $PB$ are tangents to a circle, centre $O$, touching at $A$ and $B$. $\angle APB = 37^{\circ}$. Work out $\angle AOB$.
$PA$ และ $PB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ สัมผัสที่ $A$ และ $B$ และ $\angle APB = 37^{\circ}$ จงหา $\angle AOB$
Answershow ▾
Different letters, same three lines. The letters are the only thing the exam changes.ตัวอักษรต่างกัน แต่สามบรรทัดเดิม · ตัวอักษรคือสิ่งเดียวที่ข้อสอบเปลี่ยน
$TA$ and $TB$ are tangents to a circle, centre $O$. The tangents touch the circle at $A$ and at $B$. Angle $ATB = 44^{\circ}$.
Work out the size of angle $AOB$.
$TA$ และ $TB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดยสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และจุด $B$ และมุม $ATB = 44^{\circ}$
จงหาขนาดของมุม $AOB$
Answershow ▾
3 marks. The arithmetic took ten seconds; the two silent choices took the rest.3 คะแนน · การคำนวณใช้เวลาสิบวินาที ที่เหลือคือการตัดสินใจเงียบๆ สองครั้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The scheme starts after both silent choices: draw the radii, and count four corners.
A diameter, and a chord seen twice เส้นผ่านศูนย์กลาง กับคอร์ดที่ถูกมองสองครั้ง
$A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle, centre $O$. $AC$ is a diameter of the circle. Angle $BAC = 34^{\circ}$.
(a) Write down the size of angle $ABC$. Give a reason for your answer.
(b) Work out the size of angle $BCA$.
(c) Work out the size of angle $ADB$. Give a reason for your answer.
จุด $A$, $B$, $C$ และ $D$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และมุม $BAC = 34^{\circ}$
(ก) จงเขียนขนาดของมุม $ABC$ พร้อมให้เหตุผล
(ข) จงหาขนาดของมุม $BCA$
(ค) จงหาขนาดของมุม $ADB$ พร้อมให้เหตุผล
A triangle has angles $90^{\circ}$, $34^{\circ}$ and $x$. Work out $x$.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุม $90^{\circ}$, $34^{\circ}$ และ $x$ จงหา $x$
Answershow ▾
Three angles, sum $180^{\circ}$.สามมุม รวมกันได้ $180^{\circ}$
$PQ$ is a diameter of a circle and $R$ is another point on the circle. Write down the size of $\angle PRQ$ and name the theorem.
$PQ$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ $R$ เป็นอีกจุดหนึ่งบนวงกลม จงเขียนขนาดของมุม $\angle PRQ$ และบอกชื่อทฤษฎีบท
Answershow ▾
The right angle is at the point on the circle, never at the ends of the diameter.มุมฉากอยู่ที่จุดบนวงกลม ไม่เคยอยู่ที่ปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง
$P$ and $Q$ are two points on the major arc of a chord $XY$. $\angle XPY = 41^{\circ}$. Write down $\angle XQY$ and name the theorem.
$P$ และ $Q$ เป็นสองจุดบนส่วนโค้งใหญ่ของคอร์ด $XY$ และ $\angle XPY = 41^{\circ}$ จงเขียน $\angle XQY$ และบอกชื่อทฤษฎีบท
Answershow ▾
Same chord, same side of it, so the same angle. The size does not depend on where you stand.คอร์ดเดียวกัน อยู่ข้างเดียวกัน มุมจึงเท่ากัน · ขนาดไม่ขึ้นกับว่ายืนอยู่ตรงไหน
$AC$ is a diameter and $B$ is another point on the circle. Name the theorem the word diameter triggers, and say which of $A$, $B$ and $C$ carries the right angle.
$AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ $B$ เป็นอีกจุดหนึ่งบนวงกลม จงบอกชื่อทฤษฎีบทที่คำว่าเส้นผ่านศูนย์กลางเรียกใช้ และบอกว่ามุมฉากอยู่ที่จุด $A$, $B$ หรือ $C$
Answershow ▾
The diameter is the arms of the right angle, not its corner: $BA$ and $BC$ open out to the two ends of it, and the corner sits on the circle. Putting the $90^{\circ}$ at $A$ or at $C$ makes $\angle BAC = 90^{\circ}$, which contradicts the $34^{\circ}$ the question gave you, and part (b) then comes out as a negative angle. The B1 pays for the number $90$; nothing pays for putting it at the right vertex.เส้นผ่านศูนย์กลางคือแขนของมุมฉาก ไม่ใช่จุดยอด · $BA$ กับ $BC$ กางออกไปยังปลายทั้งสองของมัน และจุดยอดอยู่บนวงกลม · ถ้าใส่ $90^{\circ}$ ที่ $A$ หรือ $C$ จะได้ $\angle BAC = 90^{\circ}$ ซึ่งขัดกับ $34^{\circ}$ ที่โจทย์ให้มา และข้อ (ข) จะออกมาเป็นมุมติดลบ · B1 ให้กับเลข $90$ ไม่มีคะแนนให้กับการวางมันไว้ที่จุดยอดที่ถูกต้อง
Write down the size of angle $ABC$, and give a reason for your answer.
จงเขียนขนาดของมุม $ABC$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
Two marks: one for the number, one for the reason. Write both.สองคะแนน คือเลขหนึ่งคะแนนและเหตุผลอีกหนึ่งคะแนน · ต้องเขียนทั้งสองอย่าง
Two scripts both write $\angle ABC = 90^{\circ}$. One adds “because it looks like a right angle”, the other adds “angle in a semicircle”. Say which one scores the second mark, and write down what a reason has to contain to count.
กระดาษคำตอบสองแผ่นเขียน $\angle ABC = 90^{\circ}$ เหมือนกัน แผ่นหนึ่งเขียนต่อว่า “เพราะดูเหมือนมุมฉาก” อีกแผ่นเขียนว่า “มุมในครึ่งวงกลม” จงบอกว่าแผ่นไหนได้คะแนนที่สอง และเขียนว่าเหตุผลต้องมีอะไรจึงจะนับได้
Answershow ▾
“Give a reason” is worth its own mark, and the mark scheme accepts only the name of the rule — not the arithmetic, not the picture, not “it is obvious”. Half the marks in this question are reason marks, so a student who gets every number right and writes no reasons scores $3$ out of $6$. Knowing that the wording “give a reason” is an instruction and not politeness carries no mark of its own.คำว่า “ให้เหตุผล” มีคะแนนของตัวเอง และเฉลยรับเฉพาะชื่อของกฎเท่านั้น ไม่ใช่การคำนวณ ไม่ใช่รูป และไม่ใช่ “เห็นชัดอยู่แล้ว” · ครึ่งหนึ่งของคะแนนในข้อนี้เป็นคะแนนเหตุผล คนที่ตอบตัวเลขถูกหมดแต่ไม่เขียนเหตุผลจะได้ $3$ จาก $6$ · การรู้ว่า “ให้เหตุผล” เป็นคำสั่ง ไม่ใช่ความสุภาพ ไม่มีคะแนนของตัวเอง
Work out the size of angle $BCA$.
จงหาขนาดของมุม $BCA$
Answershow ▾
Triangle $ABC$ now has two known angles. No reason is asked for here.ตอนนี้สามเหลี่ยม $ABC$ มีมุมที่รู้ค่าสองมุมแล้ว · ข้อนี้ไม่ได้ขอเหตุผล
Part (c) asks for $\angle ADB$. $D$ and $C$ are both on the circle. Pick the chord they are both looking at, and then name the angle that must be equal to $\angle ADB$.
(A) $AB$ (B) $AC$ (C) $BC$
ข้อ (ค) ถามหา $\angle ADB$ · จุด $D$ กับ $C$ อยู่บนวงกลมทั้งคู่ จงเลือกคอร์ดที่ทั้งสองจุดกำลังมองอยู่ แล้วบอกชื่อมุมที่ต้องเท่ากับ $\angle ADB$
(A) $AB$ (B) $AC$ (C) $BC$
Answershow ▾
The two outer letters of $\angle ADB$ are $A$ and $B$, so the chord is $AB$ — the letter in the middle is only where you are standing. Choose $BC$ instead and you copy the $34^{\circ}$ down; choose $AC$ and you copy the $90^{\circ}$. Both are neat, both are wrong, and the working looks identical. The B1 in part (c) is for the number $56$; reading the chord out of the three letters earns nothing.ตัวอักษรสองตัวนอกของ $\angle ADB$ คือ $A$ กับ $B$ คอร์ดจึงเป็น $AB$ · ตัวอักษรตัวกลางบอกแค่ว่าเรายืนอยู่ตรงไหน · ถ้าเลือก $BC$ จะลอก $34^{\circ}$ ลงมา ถ้าเลือก $AC$ จะลอก $90^{\circ}$ ลงมา ทั้งคู่ดูเรียบร้อย ทั้งคู่ผิด และวิธีทำหน้าตาเหมือนกันเป๊ะ · B1 ของข้อ (ค) ให้กับเลข $56$ ส่วนการอ่านคอร์ดออกจากตัวอักษรสามตัวไม่มีคะแนน
Work out the size of angle $ADB$, and give a reason for your answer.
จงหาขนาดของมุม $ADB$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
The same chord $AB$, seen from $C$ and from $D$.คอร์ด $AB$ เดียวกัน มองจาก $C$ และจาก $D$
$A$, $B$, $C$, $D$ are on a circle, $AC$ is a diameter and $\angle BAC = 25^{\circ}$.
Work out $\angle ABC$, $\angle BCA$ and $\angle ADB$.
จุด $A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลม โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ $\angle BAC = 25^{\circ}$
จงหา $\angle ABC$, $\angle BCA$ และ $\angle ADB$
Answershow ▾
The last two are always equal, whatever the $34$ becomes.สองค่าหลังเท่ากันเสมอ ไม่ว่า $34$ จะเปลี่ยนเป็นเท่าไร
$A$, $B$, $C$, $D$ are on a circle and $AC$ is a diameter. $\angle ACB = 62^{\circ}$. Work out $\angle ADB$ and $\angle BAC$.
จุด $A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลม โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ $\angle ACB = 62^{\circ}$ จงหา $\angle ADB$ และ $\angle BAC$
Answershow ▾
$\angle ADB$ needs no triangle at all — it stands on $AB$ next to $\angle ACB$.$\angle ADB$ ไม่ต้องใช้สามเหลี่ยมเลย เพราะยืนบนคอร์ด $AB$ เหมือน $\angle ACB$
$A$, $B$, $C$, $D$ are points on a circle, centre $O$, with $AC$ a diameter and $\angle BAC = 41^{\circ}$.
(a) Write down $\angle ABC$ with a reason. (b) Work out $\angle BCA$. (c) Work out $\angle ADB$ with a reason.
จุด $A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ $\angle BAC = 41^{\circ}$
(ก) จงเขียน $\angle ABC$ พร้อมเหตุผล (ข) จงหา $\angle BCA$ (ค) จงหา $\angle ADB$ พร้อมเหตุผล
Answershow ▾
Two reasons to write, two marks for writing them.ต้องเขียนเหตุผลสองครั้ง และได้สองคะแนนจากการเขียน
$A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle, centre $O$. $AC$ is a diameter of the circle. Angle $BAC = 34^{\circ}$.
(a) Write down the size of angle $ABC$. Give a reason for your answer.
(b) Work out the size of angle $BCA$.
(c) Work out the size of angle $ADB$. Give a reason for your answer.
จุด $A$, $B$, $C$ และ $D$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดย $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และมุม $BAC = 34^{\circ}$
(ก) จงเขียนขนาดของมุม $ABC$ พร้อมให้เหตุผล
(ข) จงหาขนาดของมุม $BCA$
(ค) จงหาขนาดของมุม $ADB$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
6 marks, and three of them are for words. Write the theorem names.6 คะแนน สามคะแนนในนั้นให้กับคำพูด · ต้องเขียนชื่อทฤษฎีบท
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $180^{\circ}-90^{\circ}-34^{\circ}$ A1 $56^{\circ}$.
(c) B1 $56^{\circ}$ B1 reason: angles in the same segment are equal.
Half the marks are reason marks, and no mark pays for spotting which chord $D$ is standing on.