Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Angles & Circle Theoremsมุมและทฤษฎีวงกลม
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Two facts, and both of them are $180^{\circ}$สองข้อเท็จจริง และทั้งคู่คือ $180^{\circ}$
Every circle theorem today is built out of these two.ทฤษฎีบทวงกลมทุกข้อวันนี้ สร้างจากสองข้อนี้
Angles on a straight line. Find $x$.มุมบนเส้นตรง หา $x$ Answer:เฉลย: $x=70^{\circ}$$180-110=70$. Remember this step. You will use it many times today.$180-110=70$ · จำท่านี้ไว้ให้ดี วันนี้ได้ใช้ซ้ำอีกหลายรอบเลย
The tick marks say two sides are equal. The top angle is $40^{\circ}$. Find $x$.ขีดเล็กๆ บอกว่าสองด้านนี้ยาวเท่ากัน มุมยอดคือ $40^{\circ}$ หา $x$ Answer:เฉลย: $x=(180-40)\div2=70^{\circ}$Two radii always make this triangle: $180-40=140$ $140\div 2=70^{\circ}$ Every circle theorem today starts by spotting this isosceles triangle.รัศมีสองเส้น ได้สามเหลี่ยมนี้เสมอ: $180-40=140$ $140\div 2=70^{\circ}$ ทฤษฎีบทวงกลมทุกข้อวันนี้ เริ่มจากการมองหาสามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปนี้
2. Old facts, tidied upของเก่า จัดระเบียบใหม่
Vertically opposite and around-a-point are the straight-line fact reused.มุมตรงข้ามและมุมรอบจุด คือกติกาเส้นตรงเอามาใช้ซ้ำ
One rule, many diagramsกฎเดียว หลายรูป
Angles on a straight line add to $180^{\circ}$. The next slides reuse this rule.มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $180^{\circ}$ · สไลด์ต่อไปใช้กฎเดิมนี้
Two straight lines cross. Only the $110^{\circ}$ is given. What is $c$, and why?เส้นตรงสองเส้นตัดกัน โจทย์ให้แค่ $110^{\circ}$ · $c$ เท่ากับเท่าไร และเพราะอะไร? Answer:เฉลย:$c=110^{\circ}$ — vertically opposite angles are equal$c=110^{\circ}$ — มุมตรงข้ามเท่ากันVertically opposite angles are equal is the straight-line rule used twice. Every rule today comes back to $180^{\circ}$.มุมตรงข้ามเท่ากัน คือกติกาเส้นตรงใช้ซ้ำสองรอบ ไม่ใช่ของใหม่ · ทุกกติกาวันนี้ย้อนกลับไปที่ $180^{\circ}$
Three angles meet at a point: $165^{\circ}$, $105^{\circ}$ and $x$. Find $x$.สามมุมเจอกันที่จุดเดียว: $165^{\circ}$, $105^{\circ}$ และ $x$ หา $x$ Answer:เฉลย: $x=360-165-105=90^{\circ}$Round a point $=2\times 180$: $2\times 180=360^{\circ}$ $x=360-165-105=90^{\circ}$รอบจุดหนึ่ง $=2\times 180$: $2\times 180=360^{\circ}$ $x=360-165-105=90^{\circ}$
3. Parallel linesเส้นขนาน
The two crossings are identical. This gives three angle patterns.จุดตัดสองจุดเหมือนกันทุกอย่าง · จึงได้สามแพตเทิร์น
A transversal cuts two parallel linesเส้นตัดพาดผ่านเส้นขนานสองเส้น
Arrows mean parallel. The slanted line is the transversal.หัวลูกศรแปลว่าขนาน · เส้นเฉียงคือเส้นตัด (transversal)
The lines with arrows are parallel. $x$ sits in the same position at the bottom crossing as $65^{\circ}$ does at the top. Find $x$.เส้นที่มีลูกศรขนานกัน · $x$ อยู่ตำแหน่งเดียวกันของจุดตัดล่าง แบบเดียวกับที่ $65^{\circ}$ อยู่ที่จุดตัดบน หา $x$ Answer:เฉลย: $x=65^{\circ}$Corresponding: same position, same size: $\text{parallel}\ \Rightarrow\ \text{the crossing is copied}$ $x=65^{\circ}$Corresponding: ตำแหน่งเดียวกัน ขนาดเท่ากัน: $\text{parallel}\ \Rightarrow\ \text{the crossing is copied}$ $x=65^{\circ}$
Now $65^{\circ}$ and $x$ are both inside the parallels, on the same side of the transversal. Find $x$.คราวนี้ $65^{\circ}$ กับ $x$ อยู่ระหว่างเส้นขนานทั้งคู่ และอยู่ฝั่งเดียวกันของเส้นตัด หา $x$ Answer:เฉลย: $x=180-65=115^{\circ}$Co-interior: same side, add to $180$: $\text{opposite sides (Z)}:\ \text{equal}$ $\text{same side (C)}:\ \text{sum}=180$ $x=180-65=115^{\circ}$Co-interior: ฝั่งเดียวกัน รวมได้ $180$: $\text{opposite sides (Z)}:\ \text{equal}$ $\text{same side (C)}:\ \text{sum}=180$ $x=180-65=115^{\circ}$
4. Polygons from trianglesหลายเหลี่ยมจากสามเหลี่ยม
Interior sum comes from counting triangles; the exterior walk is always 360.ผลรวมมุมภายในมาจากการนับสามเหลี่ยม · เดินรอบนอกได้ 360 เสมอ
Pick one corner of a hexagon and draw every diagonal from it. How many triangles do you get?เลือกมุมหนึ่งของหกเหลี่ยม แล้วลากเส้นทแยงมุมจากมุมนั้นให้ครบทุกเส้น ได้สามเหลี่ยมกี่รูป? Answer:เฉลย:$4$ triangles — so the hexagon's angles total $4\times180=720^{\circ}$$4$ รูป — มุมของหกเหลี่ยมจึงรวมได้ $4\times180=720^{\circ}$One corner cuts $n-2$ triangles: $6-2=4$ $4\times 180=720^{\circ}$จากมุมเดียว ตัดได้ $n-2$ รูป: $6-2=4$ $4\times 180=720^{\circ}$
Walk once around this regular pentagon. The five turns together make one full turn. Find one turn: the exterior angle.เดินรอบห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่านี้หนึ่งรอบ · การเลี้ยวห้าครั้งรวมกันได้ครบหนึ่งรอบพอดี · หาการเลี้ยวหนึ่งครั้ง คือมุมภายนอก Answer:เฉลย: $360\div5=72^{\circ}$Exterior angles always total $360$: $360\div 5=72^{\circ}$ $\text{check}:\ 180-108=72$ Interior sum grows with $n$; the exterior total never does.มุมภายนอกรวมได้ $360$ เสมอ: $360\div 5=72^{\circ}$ $\text{check}:\ 180-108=72$ ผลรวมมุมภายในโตตาม $n$ · แต่มุมภายนอกรวมได้ $360$ ตลอด
5. Circle theorems, part oneทฤษฎีวงกลม ภาคหนึ่ง
Centre doubles, same segment matches, semicircle gives 90. All three come from one isosceles triangle.มุมที่ศูนย์กลางคูณสอง มุมใน segment เดียวกันเท่ากัน ครึ่งวงกลมได้ 90 · ทั้งสามข้อมาจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วตัวเดียวกัน
Every radius is the same lengthรัศมีทุกเส้นยาวเท่ากันหมด
Centre $+$ two points on the circle $\Rightarrow$ isosceles, like the warm-up triangle.ศูนย์กลาง $+$ จุดบนวงกลมสองจุด $\Rightarrow$ หน้าจั่ว · แบบเดียวกับตอนวอร์มอัพ
Centre doubles, then same segment matchesมุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่า แล้วมุมในส่วนโค้งเดียวกันเท่ากัน
$\angle AOB=100^{\circ}$Given: the angle at the centre, standing on arc $AB$.โจทย์ให้: มุมที่จุดศูนย์กลาง ยืนอยู่บนส่วนโค้ง $AB$
$\angle ACB=\tfrac{1}{2}\times100^{\circ}$Same arc, but $C$ is on the circumference. The centre is double, so the edge is half.ส่วนโค้งเดียวกัน แต่ $C$ อยู่บนเส้นรอบวง · ตรงกลางเป็นสองเท่า ขอบก็เป็นครึ่ง
$\angle ACB=50^{\circ}$Write the reason next to it. The reason is a mark.เขียนเหตุผลกำกับไว้ด้วย · เหตุผลคือคะแนน
$\angle ADB=50^{\circ}$$D$ sits on the same arc as $C$: angles in the same segment are equal.$D$ อยู่บนส่วนโค้งเดียวกับ $C$ · มุมในส่วนโค้งเดียวกันเท่ากัน
$O$ is the centre; $OP$ and $OA$ are radii. Angle $OPA=30^{\circ}$. Find $x$, the angle $OAP$.$O$ คือจุดศูนย์กลาง · $OP$ กับ $OA$ เป็นรัศมี · มุม $OPA=30^{\circ}$ หา $x$ คือมุม $OAP$ Answer:เฉลย: $x=30^{\circ}$ (isosceles: base angles equal)Two radii $\Rightarrow$ isosceles: $OP=OA$ $\text{base angles equal}\ \Rightarrow\ x=30^{\circ}$ Spotting these triangles is the whole skill in circle theorems.รัศมีสองเส้น $\Rightarrow$ หน้าจั่ว: $OP=OA$ $\text{base angles equal}\ \Rightarrow\ x=30^{\circ}$ มองหาสามเหลี่ยมพวกนี้ให้เจอ คือทักษะหลักของทฤษฎีบทวงกลม
Both marked angles stand on the orange arc $AB$. Coincidence?มุมสองมุมนี้ยืนอยู่บนอาร์ก $AB$ สีส้มเดียวกัน · บังเอิญหรือเปล่า? Answer:เฉลย:centre $=2\times$ circumferenceศูนย์กลาง $=2\times$ เส้นรอบวงCentre $=2\times$ circumference: $\text{cut along }PO$ $\triangle OPA:\ 30,30\ \Rightarrow\ 2\times 30=60^{\circ}$ $\triangle OPB:\ 35,35\ \Rightarrow\ 2\times 35=70^{\circ}$ $60+70=130=2\times 65$ The doubling comes from the equal base angles.มุมศูนย์กลาง $=2\times$ มุมเส้นรอบวง: $\text{cut along }PO$ $\triangle OPA:\ 30,30\ \Rightarrow\ 2\times 30=60^{\circ}$ $\triangle OPB:\ 35,35\ \Rightarrow\ 2\times 35=70^{\circ}$ $60+70=130=2\times 65$ ที่คูณสองได้ เพราะมุมฐานของหน้าจั่วเท่ากัน
$O$ is the centre and angle $AOB=140^{\circ}$. Find $x$, the angle $APB$.$O$ คือจุดศูนย์กลาง มุม $AOB=140^{\circ}$ หา $x$ คือมุม $APB$ Answer:เฉลย: $x=140\div2=70^{\circ}$Centre $\to$ circumference: halve: $\text{centre}\to\text{circumference}:\ \div 2$ $\text{circumference}\to\text{centre}:\ \times 2$ $x=140\div 2=70^{\circ}$ศูนย์กลาง $\to$ เส้นรอบวง: หารสอง: $\text{centre}\to\text{circumference}:\ \div 2$ $\text{circumference}\to\text{centre}:\ \times 2$ $x=140\div 2=70^{\circ}$
One chord $AB$; two points $P$ and $Q$ on the same arc. $\angle APB=60^{\circ}$. What is $x=\angle AQB$?คอร์ด $AB$ เส้นเดียว · จุด $P$ กับ $Q$ อยู่บนอาร์กเดียวกัน · $\angle APB=60^{\circ}$ แล้ว $x=\angle AQB$ คือ? Answer:เฉลย:$x=60^{\circ}$ — angles in the same segment are equal$x=60^{\circ}$ — มุมใน segment เดียวกันเท่ากันBoth halve the same centre angle: $\angle P=\tfrac12\times 120=60^{\circ}$ $\angle Q=\tfrac12\times 120=60^{\circ}$ Reason words: angles in the same segment are equal.ทั้งคู่หารครึ่งมุมศูนย์กลางเดียวกัน: $\angle P=\tfrac12\times 120=60^{\circ}$ $\angle Q=\tfrac12\times 120=60^{\circ}$ คำที่ต้องเขียน: angles in the same segment are equal
$AB$ is a diameter. Find $x$, the angle $APB$.$AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง หา $x$ คือมุม $APB$ Answer:เฉลย: $x=180\div2=90^{\circ}$Diameter $\Rightarrow$ centre angle $180$: $\angle AOB=180^{\circ}$ $x=180\div 2=90^{\circ}$ Reason words: the angle in a semicircle is $90^{\circ}$.เส้นผ่านศูนย์กลาง $\Rightarrow$ มุมศูนย์กลาง $180$: $\angle AOB=180^{\circ}$ $x=180\div 2=90^{\circ}$ คำที่ต้องเขียน: the angle in a semicircle is $90^{\circ}$
6. Circle theorems, part twoทฤษฎีวงกลม ภาคสอง
Cyclic quadrilaterals, tangents, and the alternate segment.สี่เหลี่ยมแนบในวงกลม เส้นสัมผัส และ alternate segment
All four corners of $ABCD$ sit on the circle. $\angle A=95^{\circ}$. Find $x=\angle C$.มุมทั้งสี่ของ $ABCD$ อยู่บนวงกลมครบ · $\angle A=95^{\circ}$ หา $x=\angle C$ Answer:เฉลย: $x=180-95=85^{\circ}$Two centre angles wrap to $360$: $\angle A=\tfrac12 c_1,\quad \angle C=\tfrac12 c_2$ $c_1+c_2=360$ $\angle A+\angle C=180$ $x=180-95=85^{\circ}$ Reason words: opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180^{\circ}$.มุมศูนย์กลางสองมุม รวมรอบได้ $360$: $\angle A=\tfrac12 c_1,\quad \angle C=\tfrac12 c_2$ $c_1+c_2=360$ $\angle A+\angle C=180$ $x=180-95=85^{\circ}$ คำที่ต้องเขียน: opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180^{\circ}$
$PT$ is a tangent at $T$, and $O$ is the centre. Find $x$.$PT$ เป็นเส้นสัมผัสที่ $T$ · $O$ คือจุดศูนย์กลาง · หา $x$ Answer:เฉลย: $x=180-90-32=58^{\circ}$Tangent $\perp$ radius: write $90$ first: $\angle OTP=90^{\circ}$ $x=180-90-32$ $x=58^{\circ}$เส้นสัมผัส $\perp$ รัศมี · เขียน $90$ ก่อนเลย: $\angle OTP=90^{\circ}$ $x=180-90-32$ $x=58^{\circ}$
(Extended only) The bottom line is a tangent at $A$. Find $x=\angle ACB$.(เฉพาะ Extended) เส้นล่างเป็นเส้นสัมผัสที่ $A$ · หา $x=\angle ACB$ Answer:เฉลย:$x=62^{\circ}$ — alternate segment theorem$x=62^{\circ}$ — alternate segment theoremTangent–chord angle crosses unchanged: $\angle(\text{tangent},\text{chord})=62^{\circ}$ $x=\angle ACB=62^{\circ}$ Reason words: alternate segment theorem. Quote the full name.มุมเส้นสัมผัส–คอร์ด ข้ามไปเท่าเดิม: $\angle(\text{tangent},\text{chord})=62^{\circ}$ $x=\angle ACB=62^{\circ}$ คำที่ต้องเขียน: alternate segment theorem · ต้องเรียกชื่อเต็ม
7. Exam form: reasons are marksข้อสอบ: เหตุผลคือคะแนน
Angle chase where every step must name its theorem.ไล่มุมหลายขั้น โดยทุกขั้นต้องบอกชื่อทฤษฎี
Half the marks are wordsคะแนนครึ่งหนึ่งเป็นตัวหนังสือ
Each step pays for the value and for the reason.แต่ละขั้นได้คะแนนจากค่าที่ได้ และจากเหตุผล
A student writes: "$\angle ABC=70^{\circ}$ because of circle theorems". The value is correct. Mark it.นักเรียนคนหนึ่งเขียนว่า "$\angle ABC=70^{\circ}$ because of circle theorems" ตัวเลขถูกต้อง · ให้คะแนนยังไง? Answer:เฉลย:Value ✓ · reason ✗ until the theorem is named in fullตัวเลข ✓ · เหตุผล ✗ จนกว่าจะเรียกชื่อทฤษฎีเต็มๆReasons are marked word by word. Learn each theorem as a full sentence. The words themselves are the marks.เหตุผลถูกตรวจแบบคำต่อคำ · ท่องชื่อทฤษฎีเป็นประโยคเต็มให้ได้ · ตัวหนังสือพวกนี้คือคะแนนจริงๆ
Exam: $A,B,C,D$ lie on a circle, centre $O$. The non-reflex angle $AOC=140^{\circ}$. (a) Find $\angle ABC$. Write the reason on paper, then type the size. (2 marks)ข้อสอบ: $A,B,C,D$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ · มุม $AOC$ ที่ไม่ใช่มุมกลับ (non-reflex) $=140^{\circ}$ (a) หา $\angle ABC$ · เขียนเหตุผลลงกระดาษ แล้วพิมพ์ขนาดมุม (2 คะแนน) Answer:เฉลย: $\angle ABC=70^{\circ}$ — the angle at the centre is twice the angle at the circumference2 marks: $\text{M1}\quad \angle ABC=140\div 2=70^{\circ}$ $\text{A1}\quad \text{“the angle at the centre is twice the angle at the circumference”}$ “Because of circle theorems” names nothing, so it scores nothing.2 คะแนน: $\text{M1}\quad \angle ABC=140\div 2=70^{\circ}$ $\text{A1}\quad \text{“the angle at the centre is twice the angle at the circumference”}$ เขียนว่า “because of circle theorems” ไม่ได้คะแนน เพราะไม่ได้เรียกชื่อทฤษฎี
(b) $ABCD$ is a cyclic quadrilateral. Find $\angle ADC$. Write the reason on paper, then type the size. (2 marks)(b) $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม · หา $\angle ADC$ · เขียนเหตุผลลงกระดาษ แล้วพิมพ์ขนาดมุม (2 คะแนน) Answer:เฉลย: $\angle ADC=180-70=110^{\circ}$ — opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180^{\circ}$2 marks: $\text{M1}\quad \angle ADC=180-70=110^{\circ}$ $\text{A1}\quad \text{“opposite angles of a cyclic quadrilateral add to }180^{\circ}\text{”}$ $\text{alt}\quad \text{reflex }\angle AOC=360-140=220,\ \ 220\div 2=110^{\circ}$ Across (a) and (b), two of the four marks are words.2 คะแนน: $\text{M1}\quad \angle ADC=180-70=110^{\circ}$ $\text{A1}\quad \text{“opposite angles of a cyclic quadrilateral add to }180^{\circ}\text{”}$ $\text{alt}\quad \text{reflex }\angle AOC=360-140=220,\ \ 220\div 2=110^{\circ}$ รวมข้อ (a) กับ (b) · 4 คะแนน เป็นคำพูดซะ 2
Exam: $A$ and $B$ lie on a circle, centre $O$. $TA$ is the tangent to the circle at $A$. $\angle TAB=(2x+5)^{\circ}$ and the obtuse angle at the centre $\angle AOB=(5x-20)^{\circ}$. Find $\angle OAB$, in degrees. (5 marks)ข้อสอบ: $A$ กับ $B$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ · $TA$ เป็น tangent ที่จุด $A$ · $\angle TAB=(2x+5)^{\circ}$ และมุมป้านที่จุดศูนย์กลาง $\angle AOB=(5x-20)^{\circ}$ · หา $\angle OAB$ เป็นองศา (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $\angle OAB=25^{\circ}$5 marks: $\text{M1}\quad \angle OAB=90-(2x+5)=85-2x$ $\text{M2}\quad OA=OB:\ \angle OAB=\dfrac{180-(5x-20)}{2}=\dfrac{200-5x}{2}$ $\text{M3}\quad 170-4x=200-5x$ $\text{M4}\quad x=30\ \Rightarrow\ \angle TAB=65^{\circ},\ \angle AOB=130^{\circ}$ $\text{A1}\quad \angle OAB=90-65=25^{\circ}$ The mark is lost by stopping at $x=30$ instead of the angle.5 คะแนน: $\text{M1}\quad \angle OAB=90-(2x+5)=85-2x$ $\text{M2}\quad OA=OB:\ \angle OAB=\dfrac{180-(5x-20)}{2}=\dfrac{200-5x}{2}$ $\text{M3}\quad 170-4x=200-5x$ $\text{M4}\quad x=30\ \Rightarrow\ \angle TAB=65^{\circ},\ \angle AOB=130^{\circ}$ $\text{A1}\quad \angle OAB=90-65=25^{\circ}$ เสียคะแนนตรงหยุดที่ $x=30$ แล้วไม่แทนกลับไปหามุม
$A$, $B$, $P$ and $Q$ lie on one circle, with $Q$ on the minor arc $AB$. Find $\angle AQB$, in degrees.$A$, $B$, $P$, $Q$ อยู่บนวงกลมวงเดียวกัน โดย $Q$ อยู่บนส่วนโค้ง minor $AB$ · หา $\angle AQB$ เป็นองศา Answer:เฉลย: $\angle AQB=104^{\circ}$Which side of the chord?: $\text{same side}:\ \angle AQB=\angle APB=76^{\circ}$ $\text{opposite sides}:\ \angle APB+\angle AQB=180$ $\text{“minor arc”}\ \Rightarrow\ \text{opposite}$ $\angle AQB=180-76=104^{\circ}$ The words “minor arc” are what choose the theorem.อยู่ฝั่งไหนของคอร์ด?: $\text{same side}:\ \angle AQB=\angle APB=76^{\circ}$ $\text{opposite sides}:\ \angle APB+\angle AQB=180$ $\text{“minor arc”}\ \Rightarrow\ \text{opposite}$ $\angle AQB=180-76=104^{\circ}$ คำว่า “minor arc” คือตัวที่บอกว่าใช้ทฤษฎีไหน
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes one thing from the one before it. From question 6 onwards, write the reason next to every angle.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว · ตั้งแต่ข้อ 6 เป็นต้นไป เขียนเหตุผลกำกับทุกมุมด้วย
$O$ is the centre; angle $AOB=130^{\circ}$; $P$ is on the major arc. Find $\angle APB$. Answer:เฉลย: $130\div2=65^{\circ}$Identical to the worked example, numbers changed. Confidence first, and proof that the doubling theorem transferred.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปทุกอย่าง เปลี่ยนแค่ตัวเลข เอาความมั่นใจก่อน และพิสูจน์ว่าทฤษฎีคูณสองติดตัวมาแล้ว
The reflex angle $AOB=214^{\circ}$; $P$ is on the minor arc. Find $\angle APB$. Answer:เฉลย: $214\div2=107^{\circ}$Both angles stand on the same arc. P is on the minor arc, so pair it with the reflex 214.มุมศูนย์กลางกับเส้นรอบวงต้องยืนบนอาร์กเดียวกัน · P อยู่อาร์กเล็ก จึงคู่กับมุมกลับ 214
$PQRS$ is a cyclic quadrilateral with $\angle QPS=101^{\circ}$. Find $\angle QRS$. Answer:เฉลย: $180-101=79^{\circ}$New letters, same idea. This checks whether the pattern was learned, not only the letters.เปลี่ยนตัวอักษร ความคิดเดิม · ตรวจว่าเรียนแพตเทิร์นได้จริง ไม่ใช่ท่องตัวอักษร
A cyclic quadrilateral has opposite angles $(2x+30)^{\circ}$ and $(3x-25)^{\circ}$. Find $x$. Answer:เฉลย: $2x+30+3x-25=180 \Rightarrow 5x=175 \Rightarrow x=35$Circle theorem sets up the equation. Solving it is the linear-equation skill you already have.ทฤษฎีวงกลมตั้งสมการให้ · การแก้สมการคือทักษะสมการเชิงเส้นที่มีอยู่แล้ว
$P$ lies on a circle and $\angle APB$ is exactly $90^{\circ}$. What must be true about the chord $AB$? Explain. Answer:เฉลย: $AB$ is a diameter — $90^{\circ}$ at the circumference doubles to $180^{\circ}$ at the centre, a straight line through $O$.Given the answer, work backwards to the setup. This checks understanding, not memorised steps.ให้คำตอบมาแล้วย้อนกลับไปหาต้นเรื่อง · ตรวจความเข้าใจ ไม่ใช่ท่องขั้นตอน
$TA$ is a tangent to the circle at $A$, centre $O$; $AB$ is a chord with $\angle TAB=68^{\circ}$; $C$ lies on the major arc. (4 marks)(a)(ก) Find $\angle ACB$, with a reason. (b)(ข) Find $\angle AOB$, with a reason. Answer:เฉลย: (a) $68^{\circ}$ — alternate segment theorem (b) $2\times68=136^{\circ}$ — angle at the centre is twice the angle at the circumferenceB1 value 68, B1 alternate segment theorem, B1 value 136, B1 angle at centre twice circumference.B1 ค่า 68 · B1 alternate segment theorem · B1 ค่า 136 · B1 angle at centre twice circumference
$A$, $B$, $C$ lie on a circle and $D$ is the centre of that circle. For quadrilateral $ABCD$, a student writes: "$\angle B+\angle D=180$ (opposite angles of a cyclic quadrilateral)". Mark the work and state the correct relationship. Answer:เฉลย: Mark lost: the theorem needs all four vertices ON the circle, and $D$ is the centre, so $ABCD$ is not cyclic. Correct link: $\angle ADC=2\times\angle ABC$ (angle at the centre).Check all four corners are on the circle before quoting cyclic quadrilateral. Here D is the centre.ตรวจว่ามุมทั้งสี่อยู่บนวงกลมครบก่อนอ้าง cyclic quadrilateral · ข้อนี้ D คือจุดศูนย์กลาง