Statistics · practice ladders ชุดไต่ระดับ · สถิติ
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
Reading a cumulative frequency curve อ่านเส้นโค้งความถี่สะสม
$60$ students each sat the same test, marked out of $80$. The cumulative frequency curve shows the results.
(a) Use the curve to find an estimate for the median mark.
(b) Find an estimate for the interquartile range of the marks.
(c) Work out an estimate for the number of students who scored more than $60$ marks.
นักเรียน $60$ คนสอบข้อสอบชุดเดียวกัน คะแนนเต็ม $80$ เส้นโค้งความถี่สะสมแสดงผลการสอบ
(ก) จงใช้เส้นโค้งประมาณค่ามัธยฐานของคะแนน
(ข) จงประมาณพิสัยควอไทล์ของคะแนน
(ค) จงประมาณจำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า $60$ คะแนน
$60$ students took a test and the results are on a cumulative frequency curve. Write down the cumulative frequency you read across from to estimate the median.
นักเรียน $60$ คนสอบ และผลอยู่บนเส้นโค้งความถี่สะสม จงเขียนค่าความถี่สะสมที่ใช้อ่านไปทางขวาเพื่อประมาณค่ามัธยฐาน
Answershow ▾
Half of $60$. On a curve you use $\tfrac{n}{2}$, not $\tfrac{n+1}{2}$.ครึ่งหนึ่งของ $60$ · บนเส้นโค้งใช้ $\tfrac{n}{2}$ ไม่ใช่ $\tfrac{n+1}{2}$
For $n = 60$, write down the cumulative frequencies you read across from for $Q_{1}$ and for $Q_{3}$.
เมื่อ $n = 60$ จงเขียนค่าความถี่สะสมที่ใช้อ่านหา $Q_{1}$ และ $Q_{3}$
Answershow ▾
A quarter of the way up, and three quarters of the way up.หนึ่งในสี่ของทางขึ้น และสามในสี่ของทางขึ้น
$Q_{1} = 25$ and $Q_{3} = 47$. Work out the interquartile range.
$Q_{1} = 25$ และ $Q_{3} = 47$ จงหาพิสัยควอไทล์
Answershow ▾
Upper take away lower, and the answer is a single number.ควอไทล์บนลบควอไทล์ล่าง และคำตอบเป็นตัวเลขตัวเดียว
To estimate the median of $60$ students you can enter the graph at $30$ or at $30.5$, and you can enter from the mark axis or from the cumulative frequency axis. Pick the number, pick the axis, and say why the other number is the one you use for a list, not a curve.
การประมาณมัธยฐานของนักเรียน $60$ คน อาจเข้ากราฟที่ $30$ หรือ $30.5$ และอาจเข้าจากแกนคะแนนหรือแกนความถี่สะสม จงเลือกตัวเลข เลือกแกน และบอกว่าทำไมอีกตัวเลขหนึ่งใช้กับรายการข้อมูล ไม่ใช่เส้นโค้ง
Answershow ▾
$\tfrac{n+1}{2}$ counts positions in a written-out list, where the $30$th and $31$st values are separate people. A curve is continuous: there is no 30th dot on it, so you cut it in half at $\tfrac{n}{2}$. Entering from the wrong axis is the bigger error — going in at $30$ marks and reading up gives $22$ students, which is a real number about this data and answers no part of this question. The B1 in part (a) is for $35$; the two decisions that produce it carry nothing.$\tfrac{n+1}{2}$ ใช้นับตำแหน่งในรายการที่เขียนออกมา ซึ่งค่าที่ $30$ กับที่ $31$ เป็นคนละคน · เส้นโค้งเป็นแบบต่อเนื่อง ไม่มีจุดที่ $30$ อยู่บนนั้น จึงตัดครึ่งที่ $\tfrac{n}{2}$ · การเข้าผิดแกนเป็นความผิดพลาดที่ใหญ่กว่า · ถ้าเข้าที่ $30$ คะแนน แล้วอ่านขึ้นไป จะได้ $22$ คน ซึ่งเป็นตัวเลขจริงของข้อมูลชุดนี้ แต่ไม่ตอบข้อย่อยใดเลยของโจทย์นี้ · B1 ของข้อ (ก) ให้กับเลข $35$ ส่วนการตัดสินใจสองอย่างที่พาไปถึงไม่มีคะแนน
Use the curve to find an estimate for the median mark.
จงใช้เส้นโค้งประมาณค่ามัธยฐานของคะแนน
Answershow ▾
Part (a), one mark. Across at $30$, down to the mark axis.ข้อ (ก) หนึ่งคะแนน · อ่านไปทางขวาที่ $30$ แล้วลงมาที่แกนคะแนน
Use the curve to find $Q_{1}$ and $Q_{3}$.
จงใช้เส้นโค้งหา $Q_{1}$ และ $Q_{3}$
Answershow ▾
Two more read-offs, at $15$ and at $45$ on the same axis as before.อ่านค่าอีกสองครั้ง ที่ $15$ และ $45$ บนแกนเดิม
Part (b) says “find an estimate for the interquartile range”. You have $25$ and $47$. Decide what the answer looks like: two numbers, or one, and produce it.
ข้อ (ข) บอกว่า “จงประมาณพิสัยควอไทล์” และเรามี $25$ กับ $47$ จงตัดสินว่าคำตอบหน้าตาเป็นอย่างไร สองตัวเลขหรือตัวเดียว แล้วเขียนคำตอบนั้น
Answershow ▾
A range is a width, so it is always one number, and it never carries a unit of position — $25$ to $47$ describes where the middle half sits, not how wide it is. The A1 in part (b) is for the number $22$: a script that reads both quartiles perfectly and stops there has earned the two method marks and thrown away the accuracy mark, and this is the commonest three-mark question in statistics to score two out of three on.คำว่า พิสัย คือความกว้าง จึงเป็นตัวเลขตัวเดียวเสมอ และไม่ได้บอกตำแหน่ง · $25$ ถึง $47$ บอกว่าครึ่งกลางอยู่ตรงไหน ไม่ได้บอกว่ากว้างเท่าไร · A1 ของข้อ (ข) ให้กับเลข $22$ · กระดาษที่อ่านควอไทล์ถูกทั้งสองค่าแล้วหยุด จะได้คะแนนวิธีทำสองคะแนนและทิ้งคะแนนความแม่นยำไป · นี่คือข้อสามคะแนนที่ได้สองในสามบ่อยที่สุดในวิชาสถิติ
Find an estimate for the interquartile range of the marks.
จงประมาณพิสัยควอไทล์ของคะแนน
Answershow ▾
Part (b), three marks: two read-offs and one subtraction.ข้อ (ข) สามคะแนน คืออ่านค่าสองครั้งและลบหนึ่งครั้ง
Go up from $60$ marks and the curve is at $55$. Part (c) wants the number who scored more than $60$. Give the answer, and say what the $55$ is counting.
ขึ้นจาก $60$ คะแนน เส้นโค้งอยู่ที่ $55$ · ข้อ (ค) ต้องการจำนวนคนที่ได้คะแนนมากกว่า $60$ จงตอบ และบอกว่าเลข $55$ นับอะไรอยู่
Answershow ▾
A cumulative frequency graph only ever counts upwards from the bottom, so every height on it answers “how many scored no more than this”. To turn that into “more than” you take it away from the total. Writing $55$ is not a small slip: it is $55$ students out of $60$ scoring over $60$ marks out of $80$, in a test whose median was $35$. The A1 in part (c) is for $5$; the subtraction that gets there is a decision the mark scheme never names.กราฟความถี่สะสมนับขึ้นจากล่างเสมอ ความสูงทุกจุดจึงตอบคำถามว่า “มีกี่คนที่ได้ไม่เกินค่านี้” · ถ้าต้องการ “มากกว่า” ให้เอาไปลบออกจากจำนวนรวม · การตอบ $55$ ไม่ใช่ความผิดเล็กๆ เพราะแปลว่ามีนักเรียน $55$ จาก $60$ คนได้เกิน $60$ จาก $80$ คะแนน ในข้อสอบที่มัธยฐานอยู่ที่ $35$ · A1 ของข้อ (ค) ให้กับเลข $5$ ส่วนการลบที่พาไปถึงเป็นการตัดสินใจที่เฉลยไม่เคยเอ่ยถึง
Work out an estimate for the number of students who scored more than $60$ marks.
จงประมาณจำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า $60$ คะแนน
Answershow ▾
Part (c), two marks: the read-off, then the subtraction.ข้อ (ค) สองคะแนน คืออ่านค่า แล้วลบ
Use the curve to estimate how many students scored between $25$ and $47$ marks.
จงใช้เส้นโค้งประมาณจำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนระหว่าง $25$ ถึง $47$
Answershow ▾
Those are $Q_{1}$ and $Q_{3}$, so it is the middle half of $60$ — and it always will be.สองค่านั้นคือ $Q_{1}$ กับ $Q_{3}$ จึงเป็นครึ่งกลางของ $60$ · และเป็นแบบนี้เสมอ
Use the same curve to estimate: (a) the number of students who scored $50$ marks or fewer; (b) the number who scored more than $50$; (c) the mark that only the top $5$ students beat.
จงใช้เส้นโค้งเดิมประมาณ: (ก) จำนวนนักเรียนที่ได้ $50$ คะแนนหรือน้อยกว่า (ข) จำนวนนักเรียนที่ได้มากกว่า $50$ คะแนน (ค) คะแนนที่มีเพียง $5$ คนบนสุดทำได้เกิน
Answershow ▾
Part (c) is part (a) of the exam question run backwards: enter at $60 - 5 = 55$ on the cf axis.ข้อ (ค) คือข้อ (ก) ของข้อสอบที่ทำย้อนกลับ · เข้าที่ $60 - 5 = 55$ บนแกนความถี่สะสม
$60$ students each sat the same test, marked out of $80$. The cumulative frequency curve shows the results.
(a) Use the curve to find an estimate for the median mark.
(b) Find an estimate for the interquartile range of the marks.
(c) Work out an estimate for the number of students who scored more than $60$ marks.
นักเรียน $60$ คนสอบข้อสอบชุดเดียวกัน คะแนนเต็ม $80$ เส้นโค้งความถี่สะสมแสดงผลการสอบ
(ก) จงใช้เส้นโค้งประมาณค่ามัธยฐานของคะแนน
(ข) จงประมาณพิสัยควอไทล์ของคะแนน
(ค) จงประมาณจำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า $60$ คะแนน
Answershow ▾
6 marks, all read off one curve. The reading is easy; knowing where to enter is not.6 คะแนน อ่านจากเส้นโค้งเดียวทั้งหมด · การอ่านง่าย แต่การรู้ว่าเข้าตรงไหนไม่ง่าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $Q_{1}$ at $\tfrac{1}{4}n = 15$, so $Q_{1} = 25$ M1 $Q_{3}$ at $\tfrac{3}{4}n = 45$, so $Q_{3} = 47$ A1 IQR $= 47 - 25 = 22$ marks.
(c) M1 cf at $60$ marks is $55$ A1 $60 - 55 = 5$ students.
Every mark is for a number read off. Which axis you enter from carries none of them.
Modal class, and a mean that is only an estimate ชั้นฐานนิยม กับค่าเฉลี่ยที่เป็นแค่ค่าประมาณ
A call centre recorded the length, $t$ minutes, of each of $40$ calls. The table shows the results.
(a) Write down the modal class.
(b) Work out an estimate for the mean length of a call. Give your answer correct to 3 significant figures.
(c) Explain why your answer to part (b) is an estimate.
ศูนย์รับสายบันทึกความยาวของสาย $t$ นาที ของสายทั้ง $40$ สาย ตารางแสดงผลที่ได้
(ก) จงเขียนชั้นฐานนิยม
(ข) จงประมาณค่าเฉลี่ยของความยาวสาย ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ค) จงอธิบายว่าทำไมคำตอบข้อ (ข) เป็นเพียงค่าประมาณ
The five frequencies are $6$, $11$, $14$, $6$, $3$. Write down the largest one and the class it belongs to.
ความถี่ทั้งห้าคือ $6$, $11$, $14$, $6$, $3$ จงเขียนค่ามากที่สุดและชั้นที่มันอยู่
Answershow ▾
The mode is about how many, so you look down the frequency column.ฐานนิยมเป็นเรื่องของจำนวน จึงต้องดูที่คอลัมน์ความถี่
Work out the midpoint of the class $10 \lt t \le 15$.
จงหาจุดกึ่งกลางของชั้น $10 \lt t \le 15$
Answershow ▾
Add the two ends and halve. The midpoint is not one of the ends.บวกปลายทั้งสองแล้วหารสอง · จุดกึ่งกลางไม่ใช่ปลายด้านใดด้านหนึ่ง
$40$ calls have a total length of $445$ minutes. Work out the mean, correct to 3 significant figures.
สายทั้ง $40$ สาย มีความยาวรวม $445$ นาที จงหาค่าเฉลี่ย เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Total divided by how many things, not by how many classes.ผลรวมหารด้วยจำนวนสิ่งของ ไม่ใช่จำนวนชั้น
Part (a) asks for the modal class. Pick the answer from $14$, $12.5$ and $10 \lt t \le 15$, and name what each of the other two is.
ข้อ (ก) ถามหาชั้นฐานนิยม จงเลือกคำตอบจาก $14$, $12.5$ และ $10 \lt t \le 15$ และบอกว่าอีกสองอันคืออะไร
Answershow ▾
The word class is the instruction: the answer is an interval, written with its two ends and its inequality signs, not a single number. $14$ is how many calls are in it and $12.5$ is the middle of it, and both are true statements about the same row. The B1 in part (a) is awarded for the interval only, so a script that writes $14$ has found the right row and scored nothing for it.คำว่า ชั้น คือคำสั่ง · คำตอบเป็นช่วง เขียนด้วยปลายสองข้างและเครื่องหมายอสมการ ไม่ใช่ตัวเลขตัวเดียว · $14$ คือจำนวนสายในชั้นนั้น และ $12.5$ คือจุดกึ่งกลางของชั้นนั้น ทั้งคู่เป็นข้อความจริงเกี่ยวกับแถวเดียวกัน · B1 ของข้อ (ก) ให้กับช่วงเท่านั้น · กระดาษที่เขียน $14$ หาแถวถูกแล้วแต่ไม่ได้คะแนนเลย
Write down the modal class.
จงเขียนชั้นฐานนิยม
Answershow ▾
Part (a), one mark. Copy the interval exactly as the table writes it.ข้อ (ก) หนึ่งคะแนน · ลอกช่วงตามที่ตารางเขียนไว้ทุกตัวอักษร
To estimate the mean you need one number to stand for every call in a class. Pick it, and say what using each of the other two would assume about the calls.
(A) the lower end, e.g. $10$ (B) the midpoint, e.g. $12.5$ (C) the upper end, e.g. $15$
การประมาณค่าเฉลี่ยต้องใช้ตัวเลขหนึ่งค่าแทนทุกสายในชั้นหนึ่ง จงเลือกค่านั้น และบอกว่าถ้าใช้อีกสองค่าจะเป็นการสมมติอะไรเกี่ยวกับสายเหล่านั้น
(A) ปลายล่าง เช่น $10$ (B) จุดกึ่งกลาง เช่น $12.5$ (C) ปลายบน เช่น $15$
Answershow ▾
The table has thrown the real times away and only says how many calls landed in each band. The midpoint is the fairest single stand-in, because the calls are spread across the band and the middle is as likely to be too high as too low. (A) assumes every call was as short as possible and (C) that every call was as long as possible, and both give a number that is wrong in a known direction. The first M1 in part (b) is for the five midpoints; choosing them over the boundaries carries no mark, and part (c) is a whole mark for saying out loud what this decision was.ตารางทิ้งเวลาจริงไปแล้ว บอกเพียงว่ามีกี่สายอยู่ในแต่ละช่วง · จุดกึ่งกลางเป็นตัวแทนที่ยุติธรรมที่สุด เพราะสายกระจายอยู่ทั่วช่วง ตรงกลางจึงมีโอกาสสูงเกินไปเท่ากับต่ำเกินไป · (A) สมมติว่าทุกสายสั้นที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ และ (C) สมมติว่าทุกสายยาวที่สุด ทั้งคู่ให้ตัวเลขที่ผิดในทิศทางที่รู้อยู่แล้ว · M1 แรกของข้อ (ข) ให้กับจุดกึ่งกลางทั้งห้าค่า · การเลือกจุดกึ่งกลางแทนปลายช่วงไม่มีคะแนน · และข้อ (ค) คือคะแนนเต็มหนึ่งคะแนนสำหรับการพูดออกมาว่าการตัดสินใจนี้คืออะไร
Write down the midpoint of each of the five classes.
จงเขียนจุดกึ่งกลางของทั้งห้าชั้น
Answershow ▾
They go up in $5$s, the same width as the classes. That is a quick check.เพิ่มขึ้นทีละ $5$ เท่ากับความกว้างของชั้น · นี่คือวิธีตรวจเร็วๆ
Work out $\sum fx$ for the five classes.
จงหา $\sum fx$ ของทั้งห้าชั้น
Answershow ▾
Frequency times midpoint on every row, then add the column.คูณความถี่กับจุดกึ่งกลางในทุกแถว แล้วบวกทั้งคอลัมน์
You have $\sum fx = 445$. Pick what you divide it by, and say what each of the other two would be counting.
(A) $5$ (B) $40$ (C) $25$
ได้ $\sum fx = 445$ แล้ว จงเลือกตัวหาร และบอกว่าอีกสองอันนับอะไร
(A) $5$ (B) $40$ (C) $25$
Answershow ▾
A mean is a total shared out between the things, and the things here are calls, not classes and not minutes. (A) divides by the number of rows and gives $89$ minutes a call; (C) divides by the longest time in the table. $89$ is absurd and $17.8$ is not, which is why (C) is the dangerous one. The A1 in part (b) is for $11.1$; knowing that $\sum f$ is the divisor is worth nothing, and the table even prints the $40$ for you.ค่าเฉลี่ยคือผลรวมที่แบ่งให้สิ่งของ และสิ่งของในที่นี้คือสาย ไม่ใช่ชั้น และไม่ใช่นาที · (A) หารด้วยจำนวนแถว ได้ $89$ นาทีต่อสาย · (C) หารด้วยเวลาที่ยาวที่สุดในตาราง · $89$ ดูไร้สาระ แต่ $17.8$ ไม่ดูไร้สาระ นั่นแหละคือเหตุผลที่ (C) อันตรายกว่า · A1 ของข้อ (ข) ให้กับ $11.1$ · การรู้ว่า $\sum f$ คือตัวหารไม่มีคะแนน และตารางก็พิมพ์เลข $40$ มาให้แล้วด้วย
Work out an estimate for the mean length of a call, correct to 3 significant figures.
จงประมาณค่าเฉลี่ยของความยาวสาย เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Part (b), three marks. Sensible: it sits inside the modal class.ข้อ (ข) สามคะแนน · สมเหตุสมผล เพราะอยู่ในชั้นฐานนิยมพอดี
Explain why your answer to part (b) is an estimate.
จงอธิบายว่าทำไมคำตอบข้อ (ข) เป็นเพียงค่าประมาณ
Answershow ▾
Part (c), one mark, and it is a mark for a sentence. Name the midpoints.ข้อ (ค) หนึ่งคะแนน และเป็นคะแนนสำหรับประโยค · ต้องเอ่ยถึงจุดกึ่งกลาง
$30$ parcels have mass $m$ kg: $0 \lt m \le 2$ (7), $2 \lt m \le 4$ (12), $4 \lt m \le 6$ (8), $6 \lt m \le 8$ (3).
(a) Write down the modal class. (b) Work out an estimate for the mean mass, correct to 3 significant figures.
พัสดุ $30$ ชิ้น มีมวล $m$ กก. ดังนี้: $0 \lt m \le 2$ (7 ชิ้น), $2 \lt m \le 4$ (12 ชิ้น), $4 \lt m \le 6$ (8 ชิ้น), $6 \lt m \le 8$ (3 ชิ้น)
(ก) จงเขียนชั้นฐานนิยม (ข) จงประมาณค่าเฉลี่ยของมวล เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Midpoints $1, 3, 5, 7$; $\sum fx = 104$; $104 \div 30 = 3.466\ldots$จุดกึ่งกลางคือ $1, 3, 5, 7$; $\sum fx = 104$; $104 \div 30 = 3.466\ldots$
A call centre recorded the length, $t$ minutes, of each of $40$ calls. The table shows the results.
(a) Write down the modal class.
(b) Work out an estimate for the mean length of a call. Give your answer correct to 3 significant figures.
(c) Explain why your answer to part (b) is an estimate.
ศูนย์รับสายบันทึกความยาวของสาย $t$ นาที ของสายทั้ง $40$ สาย ตารางแสดงผลที่ได้
(ก) จงเขียนชั้นฐานนิยม
(ข) จงประมาณค่าเฉลี่ยของความยาวสาย ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ค) จงอธิบายว่าทำไมคำตอบข้อ (ข) เป็นเพียงค่าประมาณ
Answershow ▾
5 marks. Two of them are for reading a word: class, and estimate.5 คะแนน · สองคะแนนมาจากการอ่านคำ คือ ชั้น กับ ค่าประมาณ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 midpoints $2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5$ M1 $\sum fx = 445$ A1 $445 \div 40 = 11.1$ min.
(c) B1 the midpoint stands in for every call in its class.
Nothing pays for using the midpoint rather than a boundary, or for dividing by $40$ rather than by $5$.