Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Statisticsสถิติ

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two things you already knowสองอย่างที่ทำเป็นอยู่แล้ว

Both easy? Then every level of this lesson is easy.ง่ายทั้งคู่ไหม? ถ้าใช่ ทุกขั้นของบทนี้ก็ง่ายตาม

  1. Three test scores: $4,\;7,\;10$.  What is their mean (average)?คะแนนสอบสามครั้ง: $4,\;7,\;10$  มีน (ค่าเฉลี่ย) เท่ากับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{4+7+10}{3}=7$Add everything, divide by the count. The whole lesson is this one move meeting bigger and bigger tables.บวกทุกตัวแล้วหารด้วยจำนวนตัว — ทั้งบทนี้คือท่าเดียวนี้ ที่ค่อยๆ เจอตารางใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ
  2. Goals scored by 14 players:
    goals0123
    players3542
    How many players scored fewer than 2 goals?    จำนวนประตูของนักเตะ 14 คน:
    ประตู0123
    คน3542
    มีกี่คนที่ยิงได้น้อยกว่า 2 ประตู?
    Answer:เฉลย: $3+5=8$A running total: $3+5=8$   $\text{everyone up to and including }1$ This running total is the main idea of the whole lesson.ยอดสะสม: $3+5=8$   $\text{everyone up to and including }1$ ยอดสะสมนี้คือแกนหลักของบทนี้ทั้งบท

2. Averages you already ownค่าเฉลี่ยที่มีอยู่แล้ว

Four names, no new maths: mean, median, mode, range.สี่ชื่อ ไม่มีเลขใหม่ · มีน มีเดียน โหมด พิสัย

Five quiz scoresคะแนนควิซห้าครั้ง

No new arithmetic today. Only new names.วันนี้ไม่มีการคิดเลขแบบใหม่ · มีแต่ชื่อใหม่

  1. $2,\;7,\;3,\;7,\;6$.  The median is the middle value. What is it?$2,\;7,\;3,\;7,\;6$  มีเดียนคือตัวตรงกลาง — เท่ากับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: sorted: $2,3,6,7,7$ — median $=6$Median = middle of the SORTED list. Not sorting first is the most common lost mark in this topic.มีเดียน = ตัวกลางของลิสต์ที่เรียงแล้ว · ไม่เรียงก่อน คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้
  2. What does the median do?แล้วมีเดียนล่ะ?
    Answer:เฉลย: The median barely moves: $6\to6.5$.มีเดียนแทบไม่ขยับ: $6\to6.5$Mean adds every value in, so one giant drags it. Median only counts positions, so outliers barely move it.มีนเอาทุกตัวไปบวก เจอยักษ์ตัวเดียวก็โดนลาก · มีเดียนนับแค่ตำแหน่ง outlier เลยแทบขยับไม่ได้

3. Data arrives in a tableข้อมูลมาเป็นตาราง

Mean from a frequency table: divide by the correct number.หามีนจากตารางความถี่ · หารด้วยตัวที่ถูก

Same question, new packagingโจทย์เดิม แพ็กเกจใหม่

The same list of $20$ values, written short. We still want the mean.ลิสต์เดิม $20$ ค่า เขียนให้สั้นลง · เรายังต้องการมีนเหมือนเดิม

Mean from a frequency tableหาค่าเฉลี่ยจากตารางแจกแจงความถี่

  1. $x=1,2,3$Score $1$ happened $4$ times, score $2$ three times, score $3$ three times.คะแนน $1$ เกิด $4$ ครั้ง คะแนน $2$ สามครั้ง คะแนน $3$ สามครั้ง
  2. $f=4,3,3$Frequencies under the values they belong to.ความถี่อยู่ใต้ค่าที่มันคู่กัน
  3. $\sum f=4+3+3=10$Ten values altogether. Add the frequency column, not the score column.ทั้งหมดสิบค่า · บวกช่องความถี่ ไม่ใช่ช่องคะแนน
  4. $\sum fx=1(4)+2(3)+3(3)$Each score, counted as many times as it happened.คะแนนแต่ละตัว นับตามจำนวนครั้งที่มันเกิด
  5. $\sum fx=4+6+9=19$The running total of all ten values.ผลรวมของทั้งสิบค่า
  6. $\bar{x}=\frac{19}{10}=1.9$Divide by $\sum f$, never by the number of rows. That is the mark people lose.หารด้วย $\sum f$ ห้ามหารด้วยจำนวนแถว · ตรงนี้แหละที่เสียคะแนน
  1. First things first: how many students are in this table altogether?อย่างแรกเลย: ตารางนี้มีนักเรียนทั้งหมดกี่คน?
    Answer:เฉลย: $4+8+6+2=20$$\sum f$ is the head-count: $4+8+6+2=20$   $\sum f=20$ It is about to be the bottom of a fraction.$\sum f$ คือจำนวนคนจริง: $4+8+6+2=20$   $\sum f=20$ เดี๋ยวมันจะไปเป็นตัวส่วนของเศษส่วน
  2. Now the mean number of pets.  ($4$ columns, but $20$ students)ทีนี้หาค่าเฉลี่ยจำนวนสัตว์เลี้ยง  ($4$ คอลัมน์ แต่ $20$ คน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{0\cdot4+1\cdot8+2\cdot6+3\cdot2}{20}=\dfrac{26}{20}=1.3$$\sum fx$ counts all the pets. $\sum f$ counts all the people. Mean $=\dfrac{\sum fx}{\sum f}$. Never divide by the number of rows.$\sum fx$ นับสัตว์ทั้งหมด $\sum f$ นับคนทั้งหมด · ค่าเฉลี่ย $=\dfrac{\sum fx}{\sum f}$ · ห้ามหารด้วยจำนวนแถว

4. Grouped dataข้อมูลแบบจัดกลุ่ม

Midpoints give an estimate of the mean. You should know why.จุดกึ่งกลางชั้นให้ค่าประมาณของมีน · และต้องรู้ว่าทำไม

Now the exact values are goneคราวนี้ค่าจริงหายไปแล้ว

The exam still wants a mean. Something must stand in for the missing heights.ข้อสอบยังถามหามีน · ต้องมีอะไรมาแทนส่วนสูงที่หายไป

  1. All $6$ people in $140\lt h\le150$ have to count as the same height. Which height is fair?ทั้ง $6$ คนในช่วง $140\lt h\le150$ ต้องนับเป็นส่วนสูงเดียวกัน — ใช้ค่าไหนถึงจะแฟร์?
    Answer:เฉลย: Use the midpoint, $145$.ใช้จุดกึ่งกลาง $145$Everyone sits at the midpoint: $\dfrac{140+150}{2}=145$ Real values are gone, so a grouped mean is only an estimate.ทุกคนถือว่าอยู่ที่จุดกึ่งกลาง: $\dfrac{140+150}{2}=145$ ค่าจริงหายไปแล้ว ค่าเฉลี่ยแบบกลุ่มจึงเป็นแค่ค่าประมาณ
  2. Estimate the mean height.ประมาณค่าส่วนสูงเฉลี่ย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{145\cdot6+155\cdot10+165\cdot4}{20}=\dfrac{3080}{20}=154$ cmMidpoints go in the $x$ column: $\dfrac{145\cdot 6+155\cdot 10+165\cdot 4}{20}$   $=\dfrac{3080}{20}=154\text{ cm}$จุดกึ่งกลางไปอยู่คอลัมน์ $x$: $\dfrac{145\cdot 6+155\cdot 10+165\cdot 4}{20}$   $=\dfrac{3080}{20}=154\text{ cm}$
  3. The biggest frequency is $10$, in class $150\lt h\le160$. Which sentence is correct?ความถี่มากสุดคือ $10$ อยู่ในชั้น $150\lt h\le160$ · ประโยคไหนถูก?
    Answer:เฉลย: Only 'the modal class is $150\lt h\le160$' is honest.ที่ถูกคือ 'modal class คือ $150\lt h\le160$' เท่านั้นName the class, not a number: $\text{modal class}=150\lt h\le 160$   $\text{mode}=10\ \times\ (10=\text{frequency})$   $\text{mode}=155\ \times\ (155=\text{midpoint})$ Writing “mode $=10$” loses a mark.บอกเป็นช่วง ไม่ใช่ตัวเลขเดียว: $\text{modal class}=150\lt h\le 160$   $\text{mode}=10\ \times\ (10=\text{frequency})$   $\text{mode}=155\ \times\ (155=\text{midpoint})$ เขียน “mode $=10$” เสียคะแนนทันที

5. The running total gets a nameยอดนับสะสมได้ชื่อจริง

Cumulative frequency: plot at upper bounds, read median and quartiles.ความถี่สะสม: พล็อตที่ขอบบน อ่านมีเดียนกับควอร์ไทล์

A cf curve: 80 students, a 60-mark testเส้นโค้ง cf: นักเรียน 80 คน ข้อสอบ 60 คะแนน

Plot each cf at its upper bound, join with a smooth curve. The median reads straight off.พล็อต cf ที่ขอบบน แล้วลากเส้นโค้งเรียบ · อ่านมีเดียนออกจากกราฟได้เลย

  1. How many students are $160$ cm or shorter?มีนักเรียนกี่คนที่สูง $160$ ซม. หรือต่ำกว่า?
    Answer:เฉลย: $6+10=16$Running total, third time: $6+10=16$ It gets its name on the next slide: cumulative frequency.ยอดสะสม ครั้งที่สาม: $6+10=16$ หน้าถัดไปมันจะได้ชื่อ: cumulative frequency
  2. cf $=16$ goes on the graph. At which height is 'all $16$ counted' true?จะพล็อต cf $=16$ ลงกราฟ · ที่ส่วนสูงเท่าไรถึงพูดได้เต็มปากว่า 'นับครบ $16$ แล้ว'?
    Answer:เฉลย: Plot cf at the upper bound: $(160, 16)$.พล็อต cf ที่ขอบบน: $(160, 16)$cf goes at the upper bound: $\text{cf }16\ \to\ (160,\,16)$   $\text{midpoint }155\ \times$ Midpoints are for the mean estimate; upper bounds are for cf.cf พล็อตที่ขอบบน: $\text{cf }16\ \to\ (160,\,16)$   $\text{midpoint }155\ \times$ จุดกึ่งกลางใช้หาค่าเฉลี่ย · ขอบบนใช้พล็อต cf
  3. 0102030405060020406080markscf$80$ students. Use the curve to read the median mark.0102030405060020406080markscfนักเรียน $80$ คน · อ่านมีเดียนของคะแนนจากเส้นโค้ง
    Answer:เฉลย: across at cf $=40$, down to $30$ marksIn at $\frac{n}{2}$, across, down: $\dfrac{n}{2}=\dfrac{80}{2}=40$   $\text{cf }40\ \to\ 30\text{ marks}$ The answer is read on the marks axis, never the cf axis.เข้าที่ $\frac{n}{2}$ · ลากขวา · ลากลง: $\dfrac{n}{2}=\dfrac{80}{2}=40$   $\text{cf }40\ \to\ 30\text{ marks}$ อ่านคำตอบบนแกนคะแนน ไม่ใช่แกน cf
  4. 0102030405060020406080markscfSame curve. Lower quartile at cf $=20$, upper quartile at cf $=60$.  Find the IQR.0102030405060020406080markscfเส้นโค้งเดิม · ควอร์ไทล์ล่างอ่านที่ cf $=20$ ควอร์ไทล์บนที่ cf $=60$  หา IQR
    Answer:เฉลย: UQ $-$ LQ $=40-20=20$ marksIQR $=$ the middle half: $\text{UQ}-\text{LQ}=40-20=20\text{ marks}$   $\text{middle }40\text{ students inside }20\text{ marks}$ A small IQR means consistent.IQR $=$ ความกว้างของครึ่งกลาง: $\text{UQ}-\text{LQ}=40-20=20\text{ marks}$   $\text{middle }40\text{ students inside }20\text{ marks}$ IQR น้อย แปลว่าสม่ำเสมอ
  5. 0102030405060020406080markscfReverse reading: how many students scored more than $50$?0102030405060020406080markscfอ่านย้อนทาง: มีนักเรียนกี่คนที่ได้มากกว่า $50$ คะแนน?
    Answer:เฉลย: cf at $50$ is $72$, so $80-72=8$cf counts below, so subtract: $\text{cf at }50=72$   $80-72=8$ Read a cf curve both ways: mark $\to$ count, count $\to$ mark.cf นับเฉพาะข้างล่าง จึงต้องลบ: $\text{cf at }50=72$   $80-72=8$ อ่าน cf ได้สองทาง: คะแนน $\to$ จำนวน และจำนวน $\to$ คะแนน

6. When bars have unequal widthsเมื่อแท่งกว้างไม่เท่ากัน

Frequency density: height is per-unit, area is the count.frequency density: ความสูงคือ 'ต่อหนึ่งหน่วย' พื้นที่คือจำนวนจริง

Same data, drawn with fdข้อมูลเดิม วาดด้วย fd

  1. The shaded block looks biggest. Which interval is busiest per minute?บล็อกแรเงาดูใหญ่สุด · แต่ต่อหนึ่งนาที ช่วงไหนแน่นจริง?
    Answer:เฉลย: $10\lt t\le20$, at $3.5$ people per minute.$10\lt t\le20$ ที่ $3.5$ คนต่อนาทีA wide bar holds more people only because it is wide. Divide by the width to compare bars.แท่งกว้างเก็บคนได้มากเพราะมันกว้าง · หารด้วยความกว้างแล้วค่อยเทียบกันได้
  2. So what height is fair for that bar?  (people per minute)งั้นความสูงที่แฟร์ของแท่งนั้นคือเท่าไร?  (คนต่อนาที)
    Answer:เฉลย: $30\div20=1.5$ people per minuteYou invented the correct histogram height yourself, before being told its name. It arrives on the next slide.เมื่อกี้คิดค่าความสูงที่ถูกต้องของฮิสโทแกรมได้เองแล้ว · ก่อนจะรู้ชื่อของมันด้วยซ้ำ · ชื่อจริงมาสไลด์หน้า
  3. Two histogram bars have the same height. Bar P is $5$ wide, bar Q is $20$ wide. Which holds more data?แท่งฮิสโทแกรมสองแท่งสูงเท่ากัน · แท่ง P กว้าง $5$ แท่ง Q กว้าง $20$ · แท่งไหนมีข้อมูลมากกว่า?
    Answer:เฉลย: Q — frequency is the area, and Q has $4\times$ the area.Q — ความถี่คือพื้นที่ และ Q มีพื้นที่มากกว่า $4$ เท่าHeight compares, area counts: $\text{P}:\ h\times 5$   $\text{Q}:\ h\times 20=4\times(h\times 5)$ To read a frequency off a bar, multiply fd by the width.ความสูงใช้เทียบ · พื้นที่ใช้นับ: $\text{P}:\ h\times 5$   $\text{Q}:\ h\times 20=4\times(h\times 5)$ จะอ่านความถี่จากแท่ง ต้องเอา fd คูณความกว้าง

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Read, compare in context, and split the marks.อ่านค่า เปรียบเทียบแบบมีบริบท และเก็บคะแนนทีละมาร์ก

Box plots: a cf curve squashed to five numbersbox plot: เส้นโค้ง cf ที่ถูกบีบเหลือห้าตัวเลข

  1. 'Compare classes A and B.' (2 marks) Which answer scores both?'เปรียบเทียบห้อง A กับ B' (2 คะแนน) · คำตอบไหนได้ครบสอง?
    Answer:เฉลย: Compare median AND spread, with numbers, in context.เทียบทั้งมีเดียนและการกระจาย พร้อมตัวเลข และโยงบริบทTwo marks, two comparisons: average (median) and spread (IQR). Each needs numbers.สองคะแนน สองประเด็น: ค่าเฉลี่ย (มีเดียน) กับ การกระจาย (IQR) · แต่ละอันต้องมีตัวเลข
  2. Exam: Class B has $80$ students and UQ $=44$. How many of B's students scored above $44$?  (3 marks)ข้อสอบ: ห้อง B มีนักเรียน $80$ คน และ UQ $=44$ · มีนักเรียนกี่คนที่ได้เกิน $44$ คะแนน?  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $25\%$ lie above the UQ: $\frac{1}{4}\times80=20$ students3 marks: $\text{M1}\ \ 44=\text{UQ}$   $\text{M1}\ \ 25\%\text{ lie above the UQ}$   $\text{A1}\ \ \tfrac14\times 80=20\text{ students}$ Answering $25$ instead of $20$ throws the last mark away.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ 44=\text{UQ}$   $\text{M1}\ \ 25\%\text{ lie above the UQ}$   $\text{A1}\ \ \tfrac14\times 80=20\text{ students}$ ตอบ $25$ แทน $20$ เสียคะแนนสุดท้ายทิ้งเลย
  3. Exam: A grouped table of times (minutes): $0\lt t\le10$ has frequency $6$, $10\lt t\le20$ has frequency $9$, and $20\lt t\le50$ has frequency $k$. The estimated mean is exactly $20$ minutes.
    Find $k$, then give the frequency density of the class $20\lt t\le50$, in students per minute.  (5 marks)    ข้อสอบ: ตารางแจกแจงความถี่แบบกลุ่ม หน่วยเป็นนาที · $0\lt t\le10$ ความถี่ $6$ · $10\lt t\le20$ ความถี่ $9$ · $20\lt t\le50$ ความถี่ $k$ · ค่าเฉลี่ยโดยประมาณเท่ากับ $20$ นาทีพอดี
    หา $k$ ก่อน แล้วตอบ frequency density ของชั้น $20\lt t\le50$ หน่วยคนต่อนาที  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $0.3$5 marks: $\text{M1}\ \ \text{midpoints }5,\;15,\;35$   $\text{M1}\ \ \sum fx=165+35k,\ \ \sum f=15+k$   $\text{M1}\ \ 165+35k=20(15+k)$   $\text{A1}\ \ 15k=135,\ \ k=9$   $\text{A1}\ \ \text{fd}=\dfrac{9}{30}=0.3$ The last mark is the width $30$, not the frequency $9$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{midpoints }5,\;15,\;35$   $\text{M1}\ \ \sum fx=165+35k,\ \ \sum f=15+k$   $\text{M1}\ \ 165+35k=20(15+k)$   $\text{A1}\ \ 15k=135,\ \ k=9$   $\text{A1}\ \ \text{fd}=\dfrac{9}{30}=0.3$ คะแนนสุดท้ายอยู่ที่ความกว้าง $30$ ไม่ใช่ความถี่ $9$
  4. On a histogram, the bar for $15\lt x\le35$ is drawn at a height of $4.5$. The bar for $35\lt x\le40$ represents $18$ values.
    How many more values are in the first bar than in the second?    ในฮิสโทแกรม · แท่ง $15\lt x\le35$ วาดที่ความสูง $4.5$ · ส่วนแท่ง $35\lt x\le40$ แทนข้อมูล $18$ ตัว
    ถามว่าแท่งแรกมีข้อมูลมากกว่าแท่งหลังกี่ตัว
    Answer:เฉลย: $72$A height is per unit: $\text{height }4.5\ \Rightarrow\ 4.5\times 20=90$   $\text{represents }18\text{ values}\ \Rightarrow\ 18$   $90-18=72$ Use the width once, only for the number called a height.ความสูงคือค่าต่อหน่วย: $\text{height }4.5\ \Rightarrow\ 4.5\times 20=90$   $\text{represents }18\text{ values}\ \Rightarrow\ 18$   $90-18=72$ ความกว้างใช้ครั้งเดียว เฉพาะตัวที่โจทย์เรียกว่าความสูง

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Goals per match, $20$ matches — $x$: $1,2,3,4$ with $f$: $4,7,6,3$. Find the mean.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{4+14+18+12}{20}=\dfrac{48}{20}=2.4$Identical to the pets table, numbers changed. Builds confidence, proves the $\sum fx/\sum f$ move transferred.เหมือนตารางสัตว์เลี้ยง เปลี่ยนแค่ตัวเลข สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่าท่า $\sum fx/\sum f$ ติดตัวไปแล้ว
  2. Lengths of $20$ leaves: $0\lt x\le5$: $4$,  $5\lt x\le15$: $10$,  $15\lt x\le20$: $6$. Estimate the mean.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{2.5\cdot4+10\cdot10+17.5\cdot6}{20}=\dfrac{215}{20}=10.75$Same grouped-mean steps, but the classes have unequal widths, so the midpoints are $2.5, 10, 17.5$. This tests care, not understanding.ขั้นตอนหาค่าเฉลี่ยเหมือนเดิม แต่ชั้นกว้างไม่เท่ากัน จุดกึ่งกลางจึงเป็น $2.5, 10, 17.5$ · ข้อนี้วัดความละเอียด ไม่ได้วัดความเข้าใจ
  3. Ages at a park: $0\lt a\le20$: $30$ people,  $20\lt a\le30$: $25$,  $30\lt a\le60$: $30$. Compute all three frequency densities and name the class you would draw tallest.
    Answer:เฉลย: fd $=1.5,\;2.5,\;1.0$ — tallest bar is $20\lt a\le30$New context, same skill: fd, and the wide-bar trap returns in a new shape.โจทย์เปลี่ยนบริบท แต่ทักษะ fd เดิม · กับดักแท่งกว้างกลับมาอีกครั้ง
  4. $x$: $1,2,3$ with $f$: $3,\;k,\;5$. The mean is $2.1$. Find $k$.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3+2k+15}{8+k}=2.1 \Rightarrow 18+2k=16.8+2.1k \Rightarrow k=12$Frequency-table mean chained with a linear equation: two earlier skills used together, nothing new.มีนจากตารางความถี่ ต่อกับสมการเชิงเส้น · สองทักษะเก่ามาต่อกัน ไม่มีอะไรใหม่
  5. On a histogram, the bar for $20\lt x\le30$ has frequency density $2.6$. How many data values are in that class?
    Answer:เฉลย: $f=\text{fd}\times\text{width}=2.6\times10=26$Given the drawn height, recover the count: area worked backwards, not the usual direction.ให้ความสูงที่วาดแล้ว มาย้อนหาจำนวน · คิดพื้นที่ย้อนกลับ ไม่ใช่ทางปกติ
  6. $48$ girls and $48$ boys sat a test. Girls: median $26$, IQR $8$, UQ $30$. Boys: median $22$, IQR $15$.  (3 marks) (a)(ก) Compare the two distributions. [2] (b)(ข) How many girls scored above $30$? [1]
    Answer:เฉลย: (a) Girls' median higher ($26\gt22$): better on average; girls' IQR smaller ($8\lt15$): more consistent.  (b) $\frac14\times48=12$Multi-part, marks split, and the comparison must stay in context: the real paper wording.หลายข้อย่อย แบ่งคะแนน ต้องเปรียบเทียบแบบมีบริบท · ภาษาแบบข้อสอบจริง
  7. A frequency table has $5$ rows, $\sum fx=60$ and $\sum f=24$. A student writes: mean $=\dfrac{60}{5}=12$. Find the error and the correct mean.
    Answer:เฉลย: They divided by the number of rows. Correct: $\dfrac{60}{24}=2.5$The student divided by the number of rows instead of $\sum f$: a good closer.นักเรียนหารด้วยจำนวนแถว แทนที่จะหารด้วย $\sum f$ · ปิดหัวข้อได้ดี

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี