Transformations & Vectors · practice ladders ชุดไต่ระดับ · การแปลงทางเรขาคณิตและเวกเตอร์
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
Two mirrors, one after the other กระจกสองบาน ทำทีละบาน
A wallpaper pattern is made by reflecting a shape in two vertical mirror lines, one after the other. Triangle $T$ has vertices at $(2,\,1)$, $(2,\,4)$ and $(4,\,1)$. The two dashed lines are $x=1$ and $x=4$.
(a) $T$ is reflected in the line $x=1$ to give triangle $U$. Write down the coordinates of the vertices of triangle $U$.
(b) $U$ is then reflected in the line $x=4$ to give triangle $V$. Write down the coordinates of the vertices of triangle $V$.
(c) Describe fully the single transformation that maps triangle $T$ onto triangle $V$.
ลายวอลเปเปอร์สร้างจากการสะท้อนรูปในเส้นกระจกแนวตั้งสองเส้น ทำทีละเส้น สามเหลี่ยม $T$ มีจุดยอดที่ $(2,\,1)$, $(2,\,4)$ และ $(4,\,1)$ เส้นประสองเส้นคือ $x=1$ และ $x=4$
(ก) สะท้อน $T$ ในเส้น $x=1$ ได้สามเหลี่ยม $U$ จงเขียนพิกัดจุดยอดของ $U$
(ข) สะท้อน $U$ ต่อในเส้น $x=4$ ได้สามเหลี่ยม $V$ จงเขียนพิกัดจุดยอดของ $V$
(ค) จงบรรยายการแปลงเดี่ยวที่ส่ง $T$ ไปเป็น $V$ ให้ครบถ้วน
Reflect the point $(4,\,1)$ in the line $x=1$.
จงสะท้อนจุด $(4,\,1)$ ในเส้น $x=1$
Answershow ▾
The point is $3$ to the right of the mirror, so the image is $3$ to the left of it. The $y$ never moves.จุดอยู่ทางขวาของกระจก $3$ หน่วย ภาพจึงอยู่ทางซ้ายของกระจก $3$ หน่วย · ค่า $y$ ไม่เปลี่ยน
Reflect the point $(2,\,3)$ in the line $x=4$.
จงสะท้อนจุด $(2,\,3)$ ในเส้น $x=4$
Answershow ▾
Two to the left of the mirror becomes two to the right.อยู่ทางซ้ายของกระจกสองหน่วย ก็ไปอยู่ทางขวาสองหน่วย
Translate the point $(2,\,1)$ by the vector $\binom{6}{0}$.
จงเลื่อนขนานจุด $(2,\,1)$ ด้วยเวกเตอร์ $\binom{6}{0}$
Answershow ▾
The top number moves $x$, the bottom number moves $y$. A $0$ means no movement at all.ตัวเลขบนเลื่อนแกน $x$ ตัวเลขล่างเลื่อนแกน $y$ · เลข $0$ แปลว่าไม่เลื่อนเลย
Reflect $(4,\,1)$ in the line $x=1$. One script writes $(-4,\,1)$ and another writes $(-2,\,1)$. Name the right one, and write down the rule for reflecting in $x = a$.
สะท้อนจุด $(4,\,1)$ ในเส้น $x=1$ กระดาษแผ่นหนึ่งเขียน $(-4,\,1)$ อีกแผ่นเขียน $(-2,\,1)$ จงบอกว่าแผ่นไหนถูก และเขียนกฎการสะท้อนในเส้น $x = a$
Answershow ▾
$(-4,\,1)$ is the reflection in the $y$-axis, and the $y$-axis is not the mirror here. The only rule that always works is to measure the distance from the point to the mirror and go the same distance out the other side. Every mirror in this question is somewhere other than an axis, which is exactly why it was set. The B2 in part (a) is for the three coordinates; the distance-from-the-mirror idea that produces them carries nothing.$(-4,\,1)$ คือการสะท้อนในแกน $y$ และแกน $y$ ไม่ใช่กระจกในข้อนี้ · กฎที่ใช้ได้เสมอคือวัดระยะจากจุดถึงกระจก แล้วออกไปอีกฝั่งด้วยระยะเท่ากัน · กระจกทุกเส้นในข้อนี้ไม่ได้อยู่บนแกน และนั่นคือเหตุผลที่โจทย์ออกมาแบบนี้ · B2 ของข้อ (ก) ให้กับพิกัดสามจุด ส่วนแนวคิดเรื่องระยะจากกระจกไม่มีคะแนน
$T$ has vertices $(2,\,1)$, $(2,\,4)$, $(4,\,1)$. Reflect it in $x=1$ to give $U$.
$T$ มีจุดยอด $(2,\,1)$, $(2,\,4)$, $(4,\,1)$ จงสะท้อนในเส้น $x=1$ ให้ได้ $U$
Answershow ▾
Every $y$ stays put; only the $x$ values move.ค่า $y$ ทุกตัวอยู่ที่เดิม เปลี่ยนเฉพาะค่า $x$
The question does $x=1$ first and then $x=4$. Somebody does them the other way round. Produce the coordinates their triangle would have, and say whether the final answer to part (c) changes.
โจทย์ทำ $x=1$ ก่อน แล้วค่อย $x=4$ · มีคนทำสลับลำดับ จงหาพิกัดของสามเหลี่ยมที่คนนั้นได้ และบอกว่าคำตอบของข้อ (ค) เปลี่ยนไปหรือไม่
Answershow ▾
Reflecting in $x=4$ first sends $T$ to $(6,1),(6,4),(4,1)$, and reflecting that in $x=1$ lands on $(-4,1),(-4,4),(-2,1)$: the same shape, the same distance moved, the other direction. Doing two transformations in the wrong order is not a small slip, and nothing on the paper flags it — each individual reflection is still done perfectly. The B marks in (a) and (b) are for the coordinates the question’s own order produces.ถ้าสะท้อนในเส้น $x=4$ ก่อน $T$ จะไปที่ $(6,1),(6,4),(4,1)$ แล้วสะท้อนต่อในเส้น $x=1$ จะได้ $(-4,1),(-4,4),(-2,1)$ · รูปเดียวกัน ระยะเท่ากัน แต่คนละทิศ · การทำการแปลงสองครั้งผิดลำดับไม่ใช่ความผิดเล็กๆ และไม่มีอะไรบนกระดาษเตือน เพราะการสะท้อนแต่ละครั้งยังทำถูกอยู่ · คะแนน B ของข้อ (ก) และ (ข) ให้กับพิกัดที่ได้จากลำดับที่โจทย์กำหนด
Reflect $U$ in the line $x=4$ to give $V$.
จงสะท้อน $U$ ในเส้น $x=4$ ให้ได้ $V$
Answershow ▾
$U$ is a long way to the left of this mirror, so $V$ is a long way to the right of it.$U$ อยู่ห่างทางซ้ายของกระจกมาก $V$ จึงอยู่ห่างทางขวาเท่ากัน
Put the vertices of $T$ and $V$ side by side. What has happened to each coordinate?
จงนำจุดยอดของ $T$ กับ $V$ มาเทียบกัน ค่าพิกัดแต่ละตัวเปลี่ยนไปอย่างไร
Answershow ▾
Same size, same way up, same way round: it has only slid across.ขนาดเท่าเดิม หันทางเดิม ไม่พลิก · มันแค่เลื่อนไปด้านข้างเท่านั้น
Part (c) says describe fully. Three scripts write: “a translation”, “moved 6 to the right”, and “Translation by $\binom{6}{0}$”. Name the one that gets both marks and say what each of the other two is missing.
ข้อ (ค) บอกว่า บรรยายให้ครบถ้วน กระดาษสามแผ่นเขียนว่า “การเลื่อนขนาน” “เลื่อนไปทางขวา 6 หน่วย” และ “การเลื่อนขนานด้วยเวกเตอร์ $\binom{6}{0}$” จงบอกว่าแผ่นไหนได้ทั้งสองคะแนน และอีกสองแผ่นขาดอะไร
Answershow ▾
“Describe fully” asks for the type of transformation plus everything needed to pin it down: a translation needs its vector, a reflection needs the equation of its mirror line, a rotation needs the angle, the direction and the centre, and an enlargement needs the scale factor and the centre. The first script gives the name with nothing to pin it down; the second describes the movement but never names the transformation. Each is one mark out of two, and the missing half is never a calculation.“บรรยายให้ครบถ้วน” ต้องบอกชนิดของการแปลง บวกกับทุกอย่างที่ระบุมันได้ชัดเจน · การเลื่อนขนานต้องมีเวกเตอร์ การสะท้อนต้องมีสมการของเส้นกระจก การหมุนต้องมีมุม ทิศทาง และจุดศูนย์กลาง ส่วนการขยายต้องมีอัตราส่วนและจุดศูนย์กลาง · แผ่นแรกบอกชื่อแต่ไม่มีอะไรระบุ แผ่นที่สองบรรยายการเคลื่อนที่แต่ไม่ได้บอกชื่อการแปลง · ทั้งคู่ได้หนึ่งจากสองคะแนน และครึ่งที่ขาดไปไม่ใช่การคำนวณเลย
Describe fully the single transformation that maps $T$ onto $V$.
จงบรรยายการแปลงเดี่ยวที่ส่ง $T$ ไปเป็น $V$ ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
Part (c), two marks: one for the word, one for the vector.ข้อ (ค) สองคะแนน คือชื่อหนึ่งคะแนนและเวกเตอร์อีกหนึ่งคะแนน
A shape is reflected in $x=0$ and then in $x=3$. Describe fully the single transformation that does the same job.
รูปหนึ่งถูกสะท้อนในเส้น $x=0$ แล้วสะท้อนต่อในเส้น $x=3$ จงบรรยายการแปลงเดี่ยวที่ให้ผลเหมือนกัน ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
The mirrors are $3$ apart again, so the translation is $2 \times 3 = 6$ again.กระจกห่างกัน $3$ เท่าเดิม การเลื่อนขนานจึงเป็น $2 \times 3 = 6$ เท่าเดิม
Triangle $S$ has vertices $(3,\,1)$, $(3,\,3)$, $(5,\,1)$. The mirrors are $x=2$ and $x=5$.
(a) Reflect $S$ in $x=2$ to give $P$. (b) Reflect $P$ in $x=5$ to give $Q$. (c) Describe fully the transformation from $S$ to $Q$.
สามเหลี่ยม $S$ มีจุดยอด $(3,\,1)$, $(3,\,3)$, $(5,\,1)$ กระจกคือ $x=2$ และ $x=5$
(ก) สะท้อน $S$ ในเส้น $x=2$ ได้ $P$ (ข) สะท้อน $P$ ในเส้น $x=5$ ได้ $Q$ (ค) จงบรรยายการแปลงจาก $S$ ไป $Q$ ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
The mirrors are $3$ apart, so it is $\binom{6}{0}$ once more.กระจกห่างกัน $3$ จึงเป็น $\binom{6}{0}$ อีกครั้ง
Triangle $T$ has vertices at $(2,\,1)$, $(2,\,4)$ and $(4,\,1)$. The two dashed lines are $x=1$ and $x=4$.
(a) $T$ is reflected in the line $x=1$ to give triangle $U$. Write down the coordinates of the vertices of $U$.
(b) $U$ is then reflected in the line $x=4$ to give triangle $V$. Write down the coordinates of the vertices of $V$.
(c) Describe fully the single transformation that maps $T$ onto $V$.
สามเหลี่ยม $T$ มีจุดยอดที่ $(2,\,1)$, $(2,\,4)$ และ $(4,\,1)$ เส้นประสองเส้นคือ $x=1$ และ $x=4$
(ก) สะท้อน $T$ ในเส้น $x=1$ ได้สามเหลี่ยม $U$ จงเขียนพิกัดจุดยอดของ $U$
(ข) สะท้อน $U$ ต่อในเส้น $x=4$ ได้สามเหลี่ยม $V$ จงเขียนพิกัดจุดยอดของ $V$
(ค) จงบรรยายการแปลงเดี่ยวที่ส่ง $T$ ไปเป็น $V$ ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
6 marks. Four are for coordinates and two are for a sentence written in full.6 คะแนน · สี่คะแนนให้กับพิกัด และสองคะแนนให้กับประโยคที่เขียนครบถ้วน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) B2 $(8,\,1)$, $(8,\,4)$, $(10,\,1)$.
(c) B1 translation B1 by the vector $\binom{6}{0}$.
Both marks in (c) need the word AND the vector. Nothing pays for knowing which one is missing.
Shrinking a plan about a centre ย่อแบบแปลนรอบจุดศูนย์กลาง
An architect’s plan is drawn on a coordinate grid. Triangle $A$, with vertices at $(2,\,2)$, $(8,\,2)$ and $(2,\,5)$, is one room on the plan. The point $(-1,\,-1)$ is marked on the grid.
(a) Triangle $A$ is enlarged with scale factor $\dfrac13$, centre $(-1,\,-1)$, to give triangle $B$. Write down the coordinates of the vertices of triangle $B$.
(b) Describe fully the single transformation that maps triangle $B$ onto triangle $A$.
แบบแปลนของสถาปนิกเขียนบนระบบพิกัด สามเหลี่ยม $A$ มีจุดยอดที่ $(2,\,2)$, $(8,\,2)$ และ $(2,\,5)$ เป็นห้องหนึ่งในแบบแปลน และมีจุด $(-1,\,-1)$ ทำเครื่องหมายไว้
(ก) ขยายสามเหลี่ยม $A$ ด้วยอัตราส่วน $\dfrac13$ จุดศูนย์กลาง $(-1,\,-1)$ ได้สามเหลี่ยม $B$ จงเขียนพิกัดจุดยอดของ $B$
(ข) จงบรรยายการแปลงเดี่ยวที่ส่ง $B$ ไปเป็น $A$ ให้ครบถ้วน
The centre is $(-1,\,-1)$ and a vertex is at $(2,\,2)$. Write the vector from the centre to the vertex.
จุดศูนย์กลางคือ $(-1,\,-1)$ และจุดยอดอยู่ที่ $(2,\,2)$ จงเขียนเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอด
Answershow ▾
Vertex take away centre, in both directions.จุดยอดลบจุดศูนย์กลาง ทั้งสองแกน
Work out $\dfrac13$ of the vector $\binom{3}{3}$, then add it to $(-1,\,-1)$.
จงหา $\dfrac13$ ของเวกเตอร์ $\binom{3}{3}$ แล้วบวกกับ $(-1,\,-1)$
Answershow ▾
Scale the vector, then start again from the centre.ย่อเวกเตอร์ก่อน แล้วเริ่มนับใหม่จากจุดศูนย์กลาง
An enlargement has scale factor $\dfrac13$. Write down the scale factor that undoes it.
การขยายมีอัตราส่วน $\dfrac13$ จงเขียนอัตราส่วนที่ทำให้กลับคืนเหมือนเดิม
Answershow ▾
The reverse of shrinking to a third is growing to three times, about the same centre.การกลับของการย่อลงหนึ่งในสาม คือการขยายสามเท่า รอบจุดศูนย์กลางเดิม
Enlarge $(2,\,2)$ by scale factor $\tfrac13$ about the centre $(-1,\,-1)$. One script writes $\left(\tfrac23,\,\tfrac23\right)$ and another writes $(0,\,0)$. Name the right one, and say what the first script measured from.
ขยายจุด $(2,\,2)$ ด้วยอัตราส่วน $\tfrac13$ รอบจุดศูนย์กลาง $(-1,\,-1)$ กระดาษแผ่นหนึ่งเขียน $\left(\tfrac23,\,\tfrac23\right)$ อีกแผ่นเขียน $(0,\,0)$ จงบอกว่าแผ่นไหนถูก และบอกว่าแผ่นแรกวัดจากจุดใด
Answershow ▾
Multiplying the coordinates by $\tfrac13$ is an enlargement about $(0,\,0)$, and the centre here is somewhere else. The centre is the one point that does not move, and everything is measured out from it. The M1 in part (a) needs a vector that starts at the centre; multiplying the coordinates instead gives three neat points, a triangle of exactly the right size and shape, sitting in the wrong place.การคูณพิกัดด้วย $\tfrac13$ คือการขยายรอบจุด $(0,\,0)$ แต่จุดศูนย์กลางในข้อนี้อยู่ที่อื่น · จุดศูนย์กลางคือจุดเดียวที่ไม่ขยับ และทุกอย่างวัดออกไปจากจุดนั้น · M1 ของข้อ (ก) ต้องการเวกเตอร์ที่เริ่มจากจุดศูนย์กลาง · ถ้าคูณพิกัดแทน จะได้จุดสามจุดที่ดูเรียบร้อย สามเหลี่ยมขนาดและรูปร่างถูกต้องเป๊ะ แต่ไปอยู่ผิดที่
Enlarge triangle $A$, vertices $(2,\,2)$, $(8,\,2)$, $(2,\,5)$, by scale factor $\dfrac13$ about $(-1,\,-1)$.
จงขยายสามเหลี่ยม $A$ ที่มีจุดยอด $(2,\,2)$, $(8,\,2)$, $(2,\,5)$ ด้วยอัตราส่วน $\dfrac13$ รอบจุด $(-1,\,-1)$
Answershow ▾
Part (a), three marks. Three vectors from the centre, each cut to a third.ข้อ (ก) สามคะแนน · เวกเตอร์สามเส้นจากจุดศูนย์กลาง ย่อลงเหลือหนึ่งในสามทุกเส้น
Triangle $B$ is smaller than triangle $A$. Decide what the transformation is called on an exam script, and say what a scale factor between $0$ and $1$ does to the shape.
สามเหลี่ยม $B$ เล็กกว่าสามเหลี่ยม $A$ จงตัดสินว่าในข้อสอบต้องเรียกการแปลงนี้ว่าอะไร และบอกว่าอัตราส่วนที่อยู่ระหว่าง $0$ กับ $1$ ทำอะไรกับรูป
Answershow ▾
In everyday English an enlargement makes things bigger, and in this topic it does not: an enlargement is any change of size about a centre, and a scale factor between $0$ and $1$ shrinks. “Reduction”, “shrink” and “scaling down” are not the word the mark scheme accepts. The B1 in part (b) needs the word enlargement written out, so a script that describes the shrinking perfectly and calls it a reduction has done the mathematics and lost the mark for the vocabulary.ในภาษาพูด การขยายแปลว่าทำให้ใหญ่ขึ้น แต่ในหัวข้อนี้ไม่ใช่ · การขยายคือการเปลี่ยนขนาดรอบจุดศูนย์กลาง และอัตราส่วนระหว่าง $0$ กับ $1$ ทำให้เล็กลง · คำว่า “ย่อ” หรือ “ลดขนาด” ไม่ใช่คำที่เฉลยรับ · B1 ของข้อ (ข) ต้องมีคำว่า การขยาย เขียนออกมา · กระดาษที่บรรยายการย่อได้ถูกต้องทุกอย่างแต่เรียกว่าการลดขนาด ทำคณิตศาสตร์ถูกแต่เสียคะแนนเพราะคำศัพท์
Triangle $B$ is mapped onto triangle $A$. Write down the scale factor of that enlargement.
สามเหลี่ยม $B$ ถูกส่งไปเป็นสามเหลี่ยม $A$ จงเขียนอัตราส่วนของการขยายนั้น
Answershow ▾
$A$ is three times the size of $B$, so going back is scale factor $3$.$A$ ใหญ่กว่า $B$ สามเท่า การกลับไปจึงมีอัตราส่วน $3$
Part (b) says describe fully the transformation from $B$ to $A$. Write down every item the description must contain, and then say which single point can be used to check it.
ข้อ (ข) บอกว่าให้บรรยายให้ครบถ้วนสำหรับการแปลงจาก $B$ ไป $A$ จงเขียนทุกอย่างที่คำบรรยายต้องมี แล้วบอกว่ามีจุดใดจุดหนึ่งที่ใช้ตรวจได้
Answershow ▾
Three items, three chances to drop a mark, and the centre is the one people leave out because it feels like scenery rather than an answer. It is also the easiest thing to check: the centre is the only point that stays where it is under an enlargement, so draw a line through matching vertices of $B$ and $A$ and they all cross there. The two B1s in part (b) split as one for the name and factor, one for the centre; the check that finds the centre earns nothing.มีสามอย่าง จึงมีสามโอกาสที่จะเสียคะแนน และจุดศูนย์กลางคือสิ่งที่คนลืมบ่อยที่สุด เพราะรู้สึกเหมือนเป็นฉากหลังมากกว่าคำตอบ · มันยังตรวจง่ายที่สุดด้วย เพราะจุดศูนย์กลางคือจุดเดียวที่ไม่ขยับในการขยาย · ถ้าลากเส้นผ่านจุดยอดที่คู่กันของ $B$ กับ $A$ เส้นทั้งหมดจะตัดกันที่นั่น · B1 สองคะแนนของข้อ (ข) แบ่งเป็นชื่อกับอัตราส่วนหนึ่งคะแนน และจุดศูนย์กลางอีกหนึ่งคะแนน · ส่วนการตรวจที่หาจุดศูนย์กลางได้ ไม่มีคะแนน
Describe fully the single transformation that maps triangle $B$ onto triangle $A$.
จงบรรยายการแปลงเดี่ยวที่ส่งสามเหลี่ยม $B$ ไปเป็นสามเหลี่ยม $A$ ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
Part (b), two marks. All three items, or you lose one of them.ข้อ (ข) สองคะแนน · ต้องครบทั้งสามอย่าง ไม่งั้นเสียคะแนนหนึ่ง
Draw the line through $(0,\,0)$ on $B$ and its partner $(2,\,2)$ on $A$, and the line through $(2,\,0)$ and $(8,\,2)$. Where do they cross?
ลากเส้นผ่านจุด $(0,\,0)$ ของ $B$ กับจุดคู่ของมันคือ $(2,\,2)$ ของ $A$ และลากเส้นผ่าน $(2,\,0)$ กับ $(8,\,2)$ · เส้นทั้งสองตัดกันที่ไหน
Answershow ▾
Every such line goes through the centre. That is what a centre of enlargement is.เส้นแบบนี้ทุกเส้นผ่านจุดศูนย์กลาง · นั่นแหละคือความหมายของจุดศูนย์กลางการขยาย
Enlarge the point $(7,\,5)$ by scale factor $\dfrac12$ about the centre $(1,\,1)$.
จงขยายจุด $(7,\,5)$ ด้วยอัตราส่วน $\dfrac12$ รอบจุดศูนย์กลาง $(1,\,1)$
Answershow ▾
The vector from the centre is $\binom{6}{4}$; half of it is $\binom{3}{2}$.เวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางคือ $\binom{6}{4}$ · ครึ่งหนึ่งคือ $\binom{3}{2}$
Triangle $P$ has vertices $(3,\,3)$, $(9,\,3)$, $(3,\,9)$.
(a) Enlarge $P$ by scale factor $\dfrac13$ about $(0,\,0)$ to give $R$. (b) Describe fully the transformation from $R$ to $P$.
สามเหลี่ยม $P$ มีจุดยอด $(3,\,3)$, $(9,\,3)$, $(3,\,9)$
(ก) จงขยาย $P$ ด้วยอัตราส่วน $\dfrac13$ รอบจุด $(0,\,0)$ ได้ $R$ (ข) จงบรรยายการแปลงจาก $R$ ไป $P$ ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
With the centre at the origin you may just multiply the coordinates. That is the only time you may.เมื่อจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จะคูณพิกัดตรงๆ ได้ · และเป็นกรณีเดียวที่ทำได้
Triangle $A$, with vertices at $(2,\,2)$, $(8,\,2)$ and $(2,\,5)$, is one room on an architect’s plan. The point $(-1,\,-1)$ is marked on the grid.
(a) Triangle $A$ is enlarged with scale factor $\dfrac13$, centre $(-1,\,-1)$, to give triangle $B$. Write down the coordinates of the vertices of triangle $B$.
(b) Describe fully the single transformation that maps triangle $B$ onto triangle $A$.
สามเหลี่ยม $A$ มีจุดยอดที่ $(2,\,2)$, $(8,\,2)$ และ $(2,\,5)$ เป็นห้องหนึ่งในแบบแปลนของสถาปนิก และมีจุด $(-1,\,-1)$ ทำเครื่องหมายไว้
(ก) ขยายสามเหลี่ยม $A$ ด้วยอัตราส่วน $\dfrac13$ จุดศูนย์กลาง $(-1,\,-1)$ ได้สามเหลี่ยม $B$ จงเขียนพิกัดจุดยอดของ $B$
(ข) จงบรรยายการแปลงเดี่ยวที่ส่ง $B$ ไปเป็น $A$ ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
5 marks. The centre is in the question twice and is the thing most often left out of the answer.5 คะแนน · จุดศูนย์กลางอยู่ในโจทย์สองครั้ง และเป็นสิ่งที่คนลืมใส่ในคำตอบบ่อยที่สุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) B1 enlargement, scale factor $3$ B1 centre $(-1,\,-1)$.
The M1 needs the vector to start at the centre. Nothing pays for not starting at the origin.
Two routes to one point สองเส้นทางไปจุดเดียวกัน
$OAN$, $OMB$, $APB$ and $MPN$ are straight lines.
$OA : AN = 1 : 4$ $OM : MB = 1 : 1$ $\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$
By using a vector method, find the ratio $AP : PB$
Give your answer in its simplest form.
$OAN$, $OMB$, $APB$ และ $MPN$ เป็นเส้นตรง
$OA : AN = 1 : 4$ $OM : MB = 1 : 1$ $\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$
จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $AP : PB$
ตอบในรูปอย่างง่าย
$\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{AB}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{AB}$ ในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Go back to $O$, then out to $B$.ย้อนกลับไปที่ $O$ ก่อน แล้วค่อยออกไปที่ $B$
$OAN$ is a straight line, $OA : AN = 1 : 4$ and $\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$. Write $\overrightarrow{ON}$.
$OAN$ เป็นเส้นตรง $OA : AN = 1 : 4$ และ $\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ จงเขียน $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
$ON$ is $1 + 4 = 5$ parts, and $OA$ is one part.$ON$ มี $1 + 4 = 5$ ส่วน และ $OA$ คือหนึ่งส่วน
$M$ is the midpoint of $OB$ and $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{OM}$.
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OB$ และ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{OM}$
Answershow ▾
$OM : MB = 1 : 1$ is the same as the midpoint.$OM : MB = 1 : 1$ ก็คือจุดกึ่งกลางนั่นเอง
$OA : AN = 1 : 4$ and $\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$. One script writes $\overrightarrow{ON} = 8\mathbf{a}$ and another writes $\overrightarrow{ON} = 10\mathbf{a}$. Name the right one, and say what the first script found.
$OA : AN = 1 : 4$ และ $\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ กระดาษแผ่นหนึ่งเขียน $\overrightarrow{ON} = 8\mathbf{a}$ อีกแผ่นเขียน $\overrightarrow{ON} = 10\mathbf{a}$ จงบอกว่าแผ่นไหนถูก และบอกว่าแผ่นแรกหาอะไรได้
Answershow ▾
$4$ in the ratio is $AN$, the part after $A$. $ON$ is the whole line, so add $OA$ back on.$4$ ในอัตราส่วนคือ $AN$ ส่วนที่อยู่หลัง $A$ แต่ $ON$ คือทั้งเส้น จึงต้องบวก $OA$ กลับเข้าไป
Use $\overrightarrow{ON} = 10\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OM} = \mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{NM}$.
ใช้ $\overrightarrow{ON} = 10\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OM} = \mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{NM}$
Answershow ▾
Same move as question 1: back to $O$, then out.ทำแบบเดียวกับข้อ 1: ย้อนไป $O$ แล้วออกไป
$P$ is on $AB$ with $\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AB}$. Write $\overrightarrow{OP}$ in terms of $k$, $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$P$ อยู่บน $AB$ โดยที่ $\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AB}$ จงเขียน $\overrightarrow{OP}$ ในเทอมของ $k$, $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Start at $O$, go to $A$, then a fraction $k$ of the way to $B$.เริ่มที่ $O$ ไป $A$ แล้วเดินต่ออีกสัดส่วน $k$ ของทางไป $B$
$P$ is also on $NM$, with $\overrightarrow{NP} = l\overrightarrow{NM}$. Write $\overrightarrow{OP}$ a second way.
$P$ อยู่บน $NM$ ด้วย โดยที่ $\overrightarrow{NP} = l\overrightarrow{NM}$ จงเขียน $\overrightarrow{OP}$ อีกแบบหนึ่ง
Answershow ▾
Start at $O$, go to $N$, then a fraction $l$ of the way to $M$.เริ่มที่ $O$ ไป $N$ แล้วเดินต่ออีกสัดส่วน $l$ ของทางไป $M$
Both routes end at $P$. Why does the working use two letters, $k$ and $l$, and not one letter twice?
ทั้งสองเส้นทางจบที่ $P$ ทำไมวิธีทำจึงใช้ตัวแปรสองตัวคือ $k$ และ $l$ ไม่ใช้ตัวเดียวกันสองครั้ง
Answershow ▾
One letter for both would say $P$ is the same fraction along $AB$ and along $NM$, which is not true here. Two letters give two equations, one for $\mathbf{a}$ and one for $\mathbf{b}$.ถ้าใช้ตัวเดียว จะแปลว่า $P$ อยู่ที่สัดส่วนเดียวกันทั้งบน $AB$ และบน $NM$ ซึ่งไม่จริง · สองตัวแปรให้สองสมการ คือของ $\mathbf{a}$ หนึ่งสมการ และของ $\mathbf{b}$ อีกหนึ่ง
The two expressions for $\overrightarrow{OP}$ are equal. Write one equation for the $\mathbf{a}$ terms and one for the $\mathbf{b}$ terms, then solve them.
นิพจน์ทั้งสองของ $\overrightarrow{OP}$ เท่ากัน จงเขียนสมการหนึ่งสำหรับพจน์ $\mathbf{a}$ และอีกสมการสำหรับพจน์ $\mathbf{b}$ แล้วแก้สมการ
Answershow ▾
Put $l = 2k$ into the first equation.แทน $l = 2k$ ลงในสมการแรก
$k = \tfrac49$. One script writes $AP : PB = 4 : 9$ and another writes $4 : 5$. Name the right one.
$k = \tfrac49$ กระดาษแผ่นหนึ่งเขียน $AP : PB = 4 : 9$ อีกแผ่นเขียน $4 : 5$ จงบอกว่าแผ่นไหนถูก
Answershow ▾
$k$ is a fraction of the whole line, and $AP : PB$ is part to part. The A1 is for $4 : 5$ only.$k$ คือสัดส่วนของทั้งเส้น แต่ $AP : PB$ คือส่วนต่อส่วน · A1 ให้เฉพาะ $4 : 5$ เท่านั้น
$k = \tfrac49$. Write the ratio $AP : PB$.
$k = \tfrac49$ จงเขียนอัตราส่วน $AP : PB$
Answershow ▾
Multiply both parts by $9$.คูณทั้งสองส่วนด้วย $9$
$OAN$, $OMB$, $APB$ and $MPN$ are straight lines. $OA : AN = 1 : 1$ and $OM : MB = 1 : 1$. $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. Find the ratio $AP : PB$.
$OAN$, $OMB$, $APB$ และ $MPN$ เป็นเส้นตรง $OA : AN = 1 : 1$ และ $OM : MB = 1 : 1$ $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$ จงหาอัตราส่วน $AP : PB$
Answershow ▾
The same five steps with $\overrightarrow{ON} = 2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OM} = \tfrac12\mathbf{b}$.ห้าขั้นเดิม โดยที่ $\overrightarrow{ON} = 2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OM} = \tfrac12\mathbf{b}$
$OAN$, $OMB$, $APB$ and $MPN$ are straight lines.
$OA : AN = 1 : 4$ $OM : MB = 1 : 1$ $\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$
By using a vector method, find the ratio $AP : PB$
Give your answer in its simplest form.
$OAN$, $OMB$, $APB$ และ $MPN$ เป็นเส้นตรง
$OA : AN = 1 : 4$ $OM : MB = 1 : 1$ $\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$
จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $AP : PB$
ตอบในรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
5 marks. Four of them are for writing $\overrightarrow{OP}$ two ways and matching it; the ratio is the last step.5 คะแนน · สี่คะแนนให้กับการเขียน $\overrightarrow{OP}$ สองแบบแล้วเทียบกัน ส่วนอัตราส่วนคือขั้นสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
M2 for writing $\overrightarrow{OP}$ (or $\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{PN}$) in two different ways in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ (M1 for one way).
M1 dep on M2, a pair of equations from the coefficients, e.g. $2 - 2k = 10 - 10l$ and $2k = l$.
A1 $4 : 5$ cao.
Source: Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Higher tier, paper reference P64693A. Question © Pearson Education Ltd.
Enlarge a shape by a fraction, from a centre ขยายรูปด้วยอัตราส่วนเศษส่วน จากจุดศูนย์กลาง
On the grid, enlarge the shaded shape with scale factor $\dfrac12$ and centre $(1, 2)$.
จากรูปบนกริด จงขยาย (enlarge) รูปทรงแรเงาด้วยอัตราส่วนสเกล (scale factor) $\dfrac12$ โดยมีจุดศูนย์กลางการขยาย (centre) ที่ $(1, 2)$
The centre of enlargement is $(1, 2)$. Vertex $A$ is at $(11, 4)$. Find the vector from the centre to $A$.
จุดศูนย์กลางการขยายคือ $(1, 2)$ จุดยอด $A$ อยู่ที่ $(11, 4)$ จงหาเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางไปยัง $A$
Answershow ▾
Subtract the centre from the point.เอาจุดลบด้วยจุดศูนย์กลาง
Multiply the vector $(10, 2)$ by the scale factor $\dfrac12$.
จงคูณเวกเตอร์ $(10, 2)$ ด้วยอัตราส่วนสเกล $\dfrac12$
Answershow ▾
Multiply each number in the vector by $\dfrac12$.คูณแต่ละจำนวนในเวกเตอร์ด้วย $\dfrac12$
Add the vector $(5, 1)$ to the centre $(1, 2)$.
จงบวกเวกเตอร์ $(5, 1)$ เข้ากับจุดศูนย์กลาง $(1, 2)$
Answershow ▾
Add the matching numbers together.บวกจำนวนที่ตรงกันเข้าด้วยกัน
To enlarge vertex $A(11,4)$ by scale factor $\dfrac12$ about centre $(1,2)$, pick the first move.
(A) multiply $(11,4)$ by $\dfrac12$
(B) find the vector from the centre to $A$, then scale it by $\dfrac12$
(C) add $(1,2)$ to $(11,4)$, then multiply by $\dfrac12$
ต้องการขยายจุดยอด $A(11,4)$ ด้วยอัตราส่วนสเกล $\dfrac12$ จากจุดศูนย์กลาง $(1,2)$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณ $(11,4)$ ด้วย $\dfrac12$
(B) หาเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางไปยัง $A$ แล้วคูณด้วย $\dfrac12$
(C) บวก $(1,2)$ เข้ากับ $(11,4)$ แล้วคูณด้วย $\dfrac12$
Answershow ▾
(A) scales $A$ from the origin, not from the centre at $(1,2)$ - that enlarges about the wrong point. (C) shifts $A$ sideways by the centre first; the scale factor must multiply a vector from the centre, not the point itself.(A) ขยาย $A$ จากจุดกำเนิด ไม่ใช่จากจุดศูนย์กลาง $(1,2)$ ซึ่งเป็นการขยายรอบจุดผิด · (C) เลื่อน $A$ ด้วยจุดศูนย์กลางก่อน ทั้งที่อัตราส่วนสเกลต้องคูณกับเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลาง ไม่ใช่ตัวจุดเอง
Enlarge vertex $B(15,4)$ by scale factor $\dfrac12$ about centre $(1,2)$.
จงขยายจุดยอด $B(15,4)$ ด้วยอัตราส่วนสเกล $\dfrac12$ จากจุดศูนย์กลาง $(1,2)$
Answershow ▾
Same three moves: subtract the centre, scale by $\dfrac12$, add the centre back.สามขั้นเดิม: ลบด้วยจุดศูนย์กลาง คูณด้วย $\dfrac12$ แล้วบวกจุดศูนย์กลางกลับ
Enlarge vertex $C(15,10)$ by scale factor $\dfrac12$ about centre $(1,2)$.
จงขยายจุดยอด $C(15,10)$ ด้วยอัตราส่วนสเกล $\dfrac12$ จากจุดศูนย์กลาง $(1,2)$
Answershow ▾
Same three moves again, on $C$.ทำสามขั้นเดิมอีกครั้ง กับ $C$
Enlarge vertex $D(7,10)$ by scale factor $\dfrac12$ about centre $(1,2)$.
จงขยายจุดยอด $D(7,10)$ ด้วยอัตราส่วนสเกล $\dfrac12$ จากจุดศูนย์กลาง $(1,2)$
Answershow ▾
Same three moves on the fourth vertex.ทำสามขั้นเดิมกับจุดยอดที่สี่
Write the images of $A$, $B$, $C$ and $D$ together, to describe the whole enlarged shape.
จงเขียนภาพของ $A$, $B$, $C$ และ $D$ รวมกัน เพื่ออธิบายรูปที่ขยายแล้วทั้งรูป
Answershow ▾
Put the image of each vertex, $A$ then $B$ then $C$ then $D$, in order.นำภาพของแต่ละจุดยอด $A$ แล้ว $B$ แล้ว $C$ แล้ว $D$ มาเรียงตามลำดับ
Check the answer: the original side from $(11,4)$ to $(15,4)$ has length $4$. Find the length of the matching image side, from $(6,3)$ to $(8,3)$, and check it is half.
ตรวจคำตอบ: ด้านเดิมจาก $(11,4)$ ถึง $(15,4)$ ยาว $4$ จงหาความยาวด้านของภาพที่ตรงกัน จาก $(6,3)$ ถึง $(8,3)$ แล้วตรวจว่าได้ครึ่งหนึ่ง
Answershow ▾
Every length in the image is scale factor $\dfrac12$ times the original length.ทุกความยาวในภาพเท่ากับอัตราส่วนสเกล $\dfrac12$ คูณความยาวเดิม
A shape has vertices $(2,4)$ and $(6,8)$. Enlarge it by scale factor $\dfrac12$ about centre $(0,0)$. Find both image vertices.
รูปทรงหนึ่งมีจุดยอด $(2,4)$ และ $(6,8)$ จงขยายด้วยอัตราส่วนสเกล $\dfrac12$ จากจุดศูนย์กลาง $(0,0)$ แล้วหาจุดยอดของภาพทั้งสองจุด
Answershow ▾
Same moves, but the centre at the origin skips the subtract-and-add-back.ขั้นตอนเดิม แต่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จึงไม่ต้องลบและบวกกลับ
On the grid, enlarge the shaded shape with scale factor $\dfrac12$ and centre $(1, 2)$.
จากรูปบนกริด จงขยาย (enlarge) รูปทรงแรเงาด้วยอัตราส่วนสเกล (scale factor) $\dfrac12$ โดยมีจุดศูนย์กลางการขยาย (centre) ที่ $(1, 2)$
Answershow ▾
2 marks: enlarge each vertex from the centre by scale factor $\dfrac12$; full marks need all four image vertices.2 คะแนน: ขยายแต่ละจุดยอดจากจุดศูนย์กลางด้วยอัตราส่วนสเกล $\dfrac12$ ได้คะแนนเต็มต้องมีจุดยอดของภาพทั้งสี่จุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(1,2)+\tfrac12\big((11,4)-(1,2)\big) = (6,3)$
$\text{similarly } (15,4)\to(8,3)$
$(15,10)\to(8,6),\ (7,10)\to(4,6)$
Two column vectors, one magnitude เวกเตอร์คอลัมน์สองตัว หาขนาดเดียว
Here are two vectors. $\overrightarrow{AB} = \dbinom{6}{-9}$, $\overrightarrow{CB} = \dbinom{1}{3}$. Find the magnitude of $\overrightarrow{AC}$.
กำหนดเวกเตอร์สองตัวคือ $\overrightarrow{AB} = \dbinom{6}{-9}$ และ $\overrightarrow{CB} = \dbinom{1}{3}$ จงหาขนาด (magnitude) ของ $\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{CB} = \dbinom{1}{3}$. Find $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{CB} = \dbinom{1}{3}$ จงหา $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
Reversing a vector flips the sign of both numbers.การกลับทิศเวกเตอร์คือเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสองตัว
Add $\dbinom{6}{-9}$ and $\dbinom{-1}{-3}$.
จงบวก $\dbinom{6}{-9}$ และ $\dbinom{-1}{-3}$
Answershow ▾
Add the top numbers together, then the bottom numbers together.บวกตัวบนกับตัวบน แล้วบวกตัวล่างกับตัวล่าง
Find the magnitude of $\dbinom{5}{-12}$.
จงหาขนาดของ $\dbinom{5}{-12}$
Answershow ▾
$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, using the two numbers in the vector.$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ โดยใช้สองจำนวนในเวกเตอร์
$\overrightarrow{AB} = \dbinom{6}{-9}$, $\overrightarrow{CB} = \dbinom{1}{3}$. $\overrightarrow{AC}$ goes $A\to B\to C$. Pick the first move.
(A) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$
(B) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, with $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$
(C) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB} = \dbinom{6}{-9}$, $\overrightarrow{CB} = \dbinom{1}{3}$ $\overrightarrow{AC}$ เดินทางจาก $A\to B\to C$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$
(B) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ โดย $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$
(C) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
(A) adds $\overrightarrow{CB}$ as given, but that vector points from C to B, the wrong way for a journey A to B to C - it needs reversing first. (C) swaps the order, which reverses the direction of the whole answer.(A) บวก $\overrightarrow{CB}$ ตามที่กำหนด แต่เวกเตอร์นั้นชี้จาก C ไป B ซึ่งผิดทิศสำหรับการเดินทาง A ไป B ไป C ต้องกลับทิศก่อน · (C) สลับลำดับ ทำให้คำตอบทั้งหมดกลับทิศ
Write $\overrightarrow{AC}$ using $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{BC}$.
จงเขียน $\overrightarrow{AC}$ โดยใช้ $\overrightarrow{AB}$ และ $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
This is the move chosen in the last question.นี่คือขั้นที่เลือกไว้จากข้อก่อนหน้า
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{6}{-9}$, $\overrightarrow{BC}=\dbinom{-1}{-3}$. Find $\overrightarrow{AC}$ as a column vector.
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{6}{-9}$, $\overrightarrow{BC}=\dbinom{-1}{-3}$ จงหา $\overrightarrow{AC}$ ในรูปเวกเตอร์คอลัมน์
Answershow ▾
Add the top numbers, then the bottom numbers.บวกตัวบนกับตัวบน แล้วบวกตัวล่างกับตัวล่าง
$\overrightarrow{AC}=\dbinom{5}{-12}$. Find $|\overrightarrow{AC}|$.
$\overrightarrow{AC}=\dbinom{5}{-12}$ จงหา $|\overrightarrow{AC}|$
Answershow ▾
Square both numbers, add, then take the square root.ยกกำลังสองทั้งสองตัว บวกกัน แล้วถอดรากที่สอง
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{6}{-9}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{1}{3}$. Find $\overrightarrow{AC}$ as a column vector.
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{6}{-9}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{1}{3}$ จงหา $\overrightarrow{AC}$ ในรูปเวกเตอร์คอลัมน์
Answershow ▾
Reverse CB first, then add it to AB.กลับทิศ CB ก่อน แล้วนำไปบวกกับ AB
Check: does $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$ give the same column vector as $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$?
จงตรวจว่า $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$ ให้เวกเตอร์คอลัมน์เดียวกับ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ หรือไม่
Answershow ▾
Subtracting CB and adding its reverse, BC, are the same move.การลบ CB กับการบวกตัวกลับทิศของมันคือ BC เป็นขั้นเดียวกัน
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{5}{6}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{2}{2}$. Find the magnitude of $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{5}{6}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{2}{2}$ จงหาขนาดของ $\overrightarrow{AC}$
Answershow ▾
Same three moves: reverse CB, add it to AB, then use Pythagoras.สามขั้นเดิม: กลับทิศ CB บวกกับ AB แล้วใช้พีทาโกรัส
Here are two vectors. $\overrightarrow{AB} = \dbinom{6}{-9}$, $\overrightarrow{CB} = \dbinom{1}{3}$. Find the magnitude of $\overrightarrow{AC}$.
กำหนดเวกเตอร์สองตัวคือ $\overrightarrow{AB} = \dbinom{6}{-9}$ และ $\overrightarrow{CB} = \dbinom{1}{3}$ จงหาขนาด (magnitude) ของ $\overrightarrow{AC}$
Answershow ▾
3 marks: write AC in terms of AB and CB, subtract the column vectors, then use Pythagoras for the magnitude.3 คะแนน: เขียน AC ในรูปของ AB และ CB ลบเวกเตอร์ในรูปคอลัมน์ แล้วใช้พีทาโกรัสหาขนาด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{AC}$
$= \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$
M1 subtract the column vectorsลบเวกเตอร์ในรูปคอลัมน์
$\overrightarrow{AC}$
$= \dbinom{6}{-9}-\dbinom{1}{3}$
$= \dbinom{5}{-12}$
A1 use Pythagoras' theorem for the magnitudeใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาขนาด
$|\overrightarrow{AC}|$
$= \sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}$
$= \sqrt{169}$
$= 13$
Splitting a vector into a ratio แบ่งเวกเตอร์เป็นอัตราส่วน
$ABC$ is a triangle. The midpoint of $BC$ is $M$. $P$ is a point on $AM$. $\overrightarrow{AB} = 4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AC} = 2\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AP} = \tfrac32\mathbf{a}+\tfrac34\mathbf{b}$. Find the ratio $AP:PM$.
$ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม จุดกึ่งกลางของ $BC$ คือ $M$ และ $P$ เป็นจุดบน $AM$ กำหนด $\overrightarrow{AB} = 4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AC} = 2\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AP} = \tfrac32\mathbf{a}+\tfrac34\mathbf{b}$ จงหาอัตราส่วน $AP:PM$
$X$, $Y$ and $Z$ are points with $\overrightarrow{XY}=4\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{XZ}=2\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{YZ}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$X$, $Y$ และ $Z$ เป็นจุดที่ $\overrightarrow{XY}=4\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{XZ}=2\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{YZ}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Reverse the first route, then add the second.ย้อนเส้นทางแรก แล้วบวกเส้นทางที่สอง
$N$ is the midpoint of $YZ$, where $\overrightarrow{YZ}=-4\mathbf{a}+2\mathbf{b}$ (question $1$). Find $\overrightarrow{YN}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $YZ$ โดย $\overrightarrow{YZ}=-4\mathbf{a}+2\mathbf{b}$ (ข้อ $1$) จงหา $\overrightarrow{YN}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
A midpoint is reached by half the route vector.จุดกึ่งกลางคือครึ่งหนึ่งของเวกเตอร์เส้นทาง
Write $3\mathbf{m}+1.5\mathbf{n}$ as a number times $2\mathbf{m}+\mathbf{n}$.
จงเขียน $3\mathbf{m}+1.5\mathbf{n}$ เป็นจำนวนคูณกับ $2\mathbf{m}+\mathbf{n}$
Answershow ▾
Find the number that scales every part of the second vector to the first.หาจำนวนที่คูณทุกส่วนของเวกเตอร์ที่สองให้ได้เวกเตอร์แรก
$M$ is the midpoint of $BC$. $\overrightarrow{AB}=4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{b}$. Pick the first move to find $\overrightarrow{AM}$.
(A) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$
(B) $\overrightarrow{AM}=\tfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
(C) $\overrightarrow{AM}=\tfrac12(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC$ · $\overrightarrow{AB}=4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{b}$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อหา $\overrightarrow{AM}$
(A) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$
(B) $\overrightarrow{AM}=\tfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
(C) $\overrightarrow{AM}=\tfrac12(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$
Answershow ▾
(A) gives the route $\overrightarrow{BC}$, which starts at $B$, not at $A$. (C) gives $\overrightarrow{BM}$, half of $BC$, which also starts at $B$. Only the average of $AB$ and $AC$ starts at $A$.(A) ให้เวกเตอร์เส้นทาง $\overrightarrow{BC}$ ซึ่งเริ่มจาก $B$ ไม่ใช่ $A$ · (C) ให้ $\overrightarrow{BM}$ ครึ่งหนึ่งของ $BC$ ซึ่งก็เริ่มจาก $B$ เช่นกัน มีแต่ค่าเฉลี่ยของ $AB$ กับ $AC$ เท่านั้นที่เริ่มจาก $A$
Use the midpoint-average move to find $\overrightarrow{AM}$, where $\overrightarrow{AB}=4\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{b}$.
ใช้วิธีเฉลี่ยเวกเตอร์เพื่อหา $\overrightarrow{AM}$ โดย $\overrightarrow{AB}=4\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{b}$
Answershow ▾
Halve the sum of the two given vectors.หาครึ่งหนึ่งของผลรวมเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัว
$\overrightarrow{AP}=\tfrac32\mathbf{a}+\tfrac34\mathbf{b}$ and $\overrightarrow{AM}=2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ (question $4$). Write $\overrightarrow{AP}$ as a number times $\overrightarrow{AM}$.
$\overrightarrow{AP}=\tfrac32\mathbf{a}+\tfrac34\mathbf{b}$ และ $\overrightarrow{AM}=2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ (ข้อ $4$) จงเขียน $\overrightarrow{AP}$ เป็นจำนวนคูณกับ $\overrightarrow{AM}$
Answershow ▾
Same skill as question $3$: find the number that scales $AM$ into $AP$.ทักษะเดียวกับข้อ $3$: หาจำนวนที่คูณ $AM$ ให้ได้ $AP$
$\overrightarrow{AP}=\tfrac34\overrightarrow{AM}$ (question $5$), and $P$ lies on $AM$. What fraction of $\overrightarrow{AM}$ is $\overrightarrow{PM}$?
$\overrightarrow{AP}=\tfrac34\overrightarrow{AM}$ (ข้อ $5$) และ $P$ อยู่บน $AM$ จงหาว่า $\overrightarrow{PM}$ เป็นเศษส่วนเท่าใดของ $\overrightarrow{AM}$
Answershow ▾
AP and PM together make the whole of AM.$AP$ และ $PM$ รวมกันเป็น $AM$ ทั้งเส้น
$\overrightarrow{AP}=\tfrac34\overrightarrow{AM}$ and $\overrightarrow{PM}=\tfrac14\overrightarrow{AM}$ (question $6$). Pick the ratio $AP:PM$.
(A) $3:4$
(B) $3:1$
(C) $4:1$
$\overrightarrow{AP}=\tfrac34\overrightarrow{AM}$ และ $\overrightarrow{PM}=\tfrac14\overrightarrow{AM}$ (ข้อ $6$) จงเลือกอัตราส่วน $AP:PM$
(A) $3:4$
(B) $3:1$
(C) $4:1$
Answershow ▾
(A) copies the $\tfrac34$ straight into a ratio against $4$, but $PM$ is $\tfrac14$ of $AM$, not $\tfrac44$. (C) swaps which fraction belongs to $AP$ and which belongs to $PM$.(A) เอา $\tfrac34$ มาใส่เป็นอัตราส่วนกับ $4$ ตรงๆ แต่ $PM$ คือ $\tfrac14$ ของ $AM$ ไม่ใช่ $\tfrac44$ · (C) สลับว่าเศษส่วนใดเป็นของ $AP$ และใดเป็นของ $PM$
Write the ratio $\tfrac34:\tfrac14$ as whole numbers in simplest form.
จงเขียนอัตราส่วน $\tfrac34:\tfrac14$ เป็นจำนวนเต็มในรูปอย่างต่ำ
Answershow ▾
Multiply both parts by the same number to clear the fractions.คูณทั้งสองส่วนด้วยจำนวนเดียวกันเพื่อกำจัดเศษส่วน
Check the ratio $AP:PM=3:1$ by adding the fractions back together. Does $\tfrac34\overrightarrow{AM}+\tfrac14\overrightarrow{AM}$ equal $\overrightarrow{AM}$?
จงตรวจอัตราส่วน $AP:PM=3:1$ โดยบวกเศษส่วนกลับเข้าด้วยกัน $\tfrac34\overrightarrow{AM}+\tfrac14\overrightarrow{AM}$ เท่ากับ $\overrightarrow{AM}$ หรือไม่
Answershow ▾
The two parts of a split line must add back to the whole line.สองส่วนที่แบ่งเส้นตรงต้องรวมกันได้เส้นเดิม
$DEF$ is a triangle. $N$ is the midpoint of $EF$. $Q$ is a point on $DN$. $\overrightarrow{DE}=4\mathbf{m}$, $\overrightarrow{DF}=2\mathbf{n}$, $\overrightarrow{DQ}=\tfrac43\mathbf{m}+\tfrac23\mathbf{n}$. Find the ratio $DQ:QN$.
$DEF$ เป็นรูปสามเหลี่ยม $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $EF$ และ $Q$ เป็นจุดบน $DN$ กำหนด $\overrightarrow{DE}=4\mathbf{m}$, $\overrightarrow{DF}=2\mathbf{n}$, $\overrightarrow{DQ}=\tfrac43\mathbf{m}+\tfrac23\mathbf{n}$ จงหาอัตราส่วน $DQ:QN$
Answershow ▾
Same three moves: average for AM, write it as a multiple, then compare the two parts.สามขั้นเดิม: เฉลี่ยหา AM เขียนเป็นผลคูณ แล้วเทียบสองส่วน
$ABC$ is a triangle. The midpoint of $BC$ is $M$. $P$ is a point on $AM$. $\overrightarrow{AB} = 4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AC} = 2\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AP} = \tfrac32\mathbf{a}+\tfrac34\mathbf{b}$. Find the ratio $AP:PM$.
$ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม จุดกึ่งกลางของ $BC$ คือ $M$ และ $P$ เป็นจุดบน $AM$ กำหนด $\overrightarrow{AB} = 4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AC} = 2\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AP} = \tfrac32\mathbf{a}+\tfrac34\mathbf{b}$ จงหาอัตราส่วน $AP:PM$
Answershow ▾
3 marks: find $AM$, write $AP$ as a fraction of it, then compare that fraction with what is left.3 คะแนน: หา $AM$ เขียน $AP$ เป็นเศษส่วนของ $AM$ แล้วเทียบเศษส่วนนั้นกับส่วนที่เหลือ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{AM}$
$= \tfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
$= 2\mathbf{a}+\mathbf{b}$
M1 write AP as a fraction of AMเขียน $\overrightarrow{AP}$ เป็นเศษส่วนของ $\overrightarrow{AM}$
$\overrightarrow{AP}$
$= \tfrac32\mathbf{a}+\tfrac34\mathbf{b}$
$= \tfrac34(2\mathbf{a}+\mathbf{b})$
$= \tfrac34\overrightarrow{AM}$
A1 the ratioอัตราส่วนที่ได้
$AP:PM = \tfrac34:\tfrac14 = 3:1$
Rotation that needs its centre การหมุนที่ต้องบอกจุดศูนย์กลาง
Triangle A and triangle B are shown on the grid.
(a) Describe fully the single transformation that maps triangle A onto triangle B.
(b) On the grid, translate triangle A by the vector $\dbinom{2}{-5}$. Label the new triangle C.
รูปสามเหลี่ยม A และรูปสามเหลี่ยม B แสดงอยู่บนกริด
(ก) จงบรรยาย (describe fully) การแปลงเรขาคณิตครั้งเดียวที่แปลงรูปสามเหลี่ยม A ไปเป็นรูปสามเหลี่ยม B ให้ครบถ้วน
(ข) จากรูปบนกริด จงเลื่อนขนาน (translate) รูปสามเหลี่ยม A ด้วยเวกเตอร์ $\dbinom{2}{-5}$ แล้วเขียนชื่อรูปสามเหลี่ยมใหม่ว่า C
Triangle $A$ has a vertex at $(-4,7)$ and the centre of rotation is $(-2,3)$. Find the vector from the centre to this vertex.
รูปสามเหลี่ยม $A$ มีจุดยอดที่ $(-4,7)$ และจุดศูนย์กลางการหมุนคือ $(-2,3)$ จงหาเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอดนี้
Answershow ▾
Subtract the centre from the point, $x$ then $y$.ลบจุดศูนย์กลางออกจากจุด ทำทีละพิกัด $x$ แล้ว $y$
The rule for a $90°$ clockwise turn about $O$ is $(x,y)\to(y,-x)$. Apply it to the vector $(-2,4)$.
กฎการหมุน $90°$ ตามเข็มนาฬิการอบ $O$ คือ $(x,y)\to(y,-x)$ จงใช้กฎนี้กับเวกเตอร์ $(-2,4)$
Answershow ▾
Swap the coordinates, then make the new second one negative.สลับพิกัดทั้งสอง แล้วเปลี่ยนตัวที่สองเป็นลบ
Add the turned vector $(4,2)$ onto the centre $(-2,3)$ to find the image of the vertex.
จงบวกเวกเตอร์ที่หมุนแล้ว $(4,2)$ เข้ากับจุดศูนย์กลาง $(-2,3)$ เพื่อหาจุดภาพของจุดยอด
Answershow ▾
The centre plus the turned vector gives the new point.จุดศูนย์กลางบวกเวกเตอร์ที่หมุนแล้ว ได้จุดใหม่
Triangle $A$ and triangle $B$ are the same size, and $B$ is not a mirror image of $A$. Pick the transformation.
(A) Enlargement
(B) Reflection
(C) Rotation
รูปสามเหลี่ยม $A$ และรูปสามเหลี่ยม $B$ มีขนาดเท่ากัน และ $B$ ไม่ใช่ภาพสะท้อนของ $A$ จงเลือกการแปลงที่ถูกต้อง
(A) Enlargement (การขยาย)
(B) Reflection (การสะท้อน)
(C) Rotation (การหมุน)
Answershow ▾
(A) changes size, but $A$ and $B$ are the same size. (B) would mirror the triangle, flipping its turning direction, but $B$ is not mirrored.(A) ทำให้ขนาดเปลี่ยน แต่ $A$ กับ $B$ มีขนาดเท่ากัน · (B) จะทำให้รูปสามเหลี่ยมกลับด้าน ซึ่งเปลี่ยนทิศการวนของจุดยอด แต่ $B$ ไม่ได้กลับด้าน
Triangle $A$ has another vertex at $(-4,9)$. Repeat the method: subtract the centre, turn the vector, then add the centre back. Where does it land?
รูปสามเหลี่ยม $A$ มีจุดยอดอีกจุดที่ $(-4,9)$ จงทำวิธีเดิม: ลบจุดศูนย์กลาง หมุนเวกเตอร์ แล้วบวกจุดศูนย์กลางกลับ จุดนี้ไปตกที่ไหน
Answershow ▾
Same three moves as questions $1$ to $3$, on a different point.สามขั้นเดิมจากข้อ $1$ ถึง $3$ แต่ใช้กับจุดที่ต่างออกไป
The last vertex of triangle $A$ is $(-3,9)$. Use the same three moves to find its image.
จุดยอดสุดท้ายของรูปสามเหลี่ยม $A$ คือ $(-3,9)$ จงใช้สามขั้นเดิมหาจุดภาพของมัน
Answershow ▾
All three images, $(2,5)$, $(4,5)$, $(4,4)$, are exactly triangle $B$.ภาพทั้งสามจุด $(2,5)$, $(4,5)$, $(4,4)$ คือรูปสามเหลี่ยม $B$ พอดี
Every vertex of $A$ lands exactly on $B$ using this rotation. Write the full description: type, direction, and centre.
จุดยอดทุกจุดของ $A$ ไปตกที่ $B$ พอดีด้วยการหมุนนี้ จงเขียนคำตอบให้ครบ: ชนิด ทิศทาง และจุดศูนย์กลาง
Answershow ▾
One mark for each detail; a missing centre or direction loses a mark.หนึ่งรายละเอียด หนึ่งคะแนน ขาดจุดศูนย์กลางหรือทิศทางเสียคะแนนไปหนึ่ง
For part (b), translate the vertex $(-4,7)$ of triangle $A$ by the vector $\dbinom{2}{-5}$.
สำหรับส่วน (ข) จงเลื่อนขนานจุดยอด $(-4,7)$ ของรูปสามเหลี่ยม $A$ ด้วยเวกเตอร์ $\dbinom{2}{-5}$
Answershow ▾
Add the top numbers, then add the bottom numbers.บวกตัวเลขบนเข้าด้วยกัน แล้วบวกตัวเลขล่างเข้าด้วยกัน
Translate the other two vertices, $(-4,9)$ and $(-3,9)$, by the same vector to finish triangle $C$. Then check: is the side between the first two points of $C$ still length $2$, like the matching side of $A$?
จงเลื่อนขนานจุดยอดอีกสองจุด $(-4,9)$ และ $(-3,9)$ ด้วยเวกเตอร์เดิมเพื่อให้รูปสามเหลี่ยม $C$ ครบ แล้วตรวจว่า: ด้านระหว่างสองจุดแรกของ $C$ ยังยาว $2$ เท่ากับด้านที่ตรงกันของ $A$ หรือไม่
Answershow ▾
A translation never changes a shape, only its position.การเลื่อนขนานไม่เปลี่ยนรูปร่าง เปลี่ยนแค่ตำแหน่ง
Triangle $P$ has vertices $(1,1)$, $(1,3)$, $(2,3)$. Triangle $Q$ has vertices $(1,-1)$, $(3,-1)$, $(3,-2)$. (a) Describe fully the single transformation that maps $P$ onto $Q$. (b) Translate $P$ by the vector $\dbinom{3}{1}$ to find triangle $R$.
รูปสามเหลี่ยม $P$ มีจุดยอด $(1,1)$, $(1,3)$, $(2,3)$ รูปสามเหลี่ยม $Q$ มีจุดยอด $(1,-1)$, $(3,-1)$, $(3,-2)$ (ก) จงบรรยายการแปลงเรขาคณิตครั้งเดียวที่แปลง $P$ ไปเป็น $Q$ ให้ครบถ้วน (ข) จงเลื่อนขนาน $P$ ด้วยเวกเตอร์ $\dbinom{3}{1}$ เพื่อหารูปสามเหลี่ยม $R$
Answershow ▾
Same three facts, centre $(0,0)$ this time, then the same translation method.สามข้อเท็จจริงเดิม แต่จุดศูนย์กลางเป็น $(0,0)$ ในครั้งนี้ แล้วใช้วิธีเลื่อนขนานแบบเดิม
Triangle A and triangle B are shown on the grid.
(a) Describe fully the single transformation that maps triangle A onto triangle B.
(b) On the grid, translate triangle A by the vector $\dbinom{2}{-5}$. Label the new triangle C.
รูปสามเหลี่ยม A และรูปสามเหลี่ยม B แสดงอยู่บนกริด
(ก) จงบรรยาย (describe fully) การแปลงเรขาคณิตครั้งเดียวที่แปลงรูปสามเหลี่ยม A ไปเป็นรูปสามเหลี่ยม B ให้ครบถ้วน
(ข) จากรูปบนกริด จงเลื่อนขนาน (translate) รูปสามเหลี่ยม A ด้วยเวกเตอร์ $\dbinom{2}{-5}$ แล้วเขียนชื่อรูปสามเหลี่ยมใหม่ว่า C
Answershow ▾
4 marks: name the rotation, give $90°$ clockwise, give the centre $(-2,3)$, then the translated triangle.4 คะแนน: ระบุว่าเป็นการหมุน ให้มุม $90°$ ตามเข็มนาฬิกา ให้จุดศูนย์กลาง $(-2,3)$ แล้วรูปสามเหลี่ยมที่เลื่อนขนานแล้ว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\text{rotation}$
B1 state the angle, $90°$ clockwiseระบุมุม $90°$ ตามเข็มนาฬิกา
$90°\ \text{clockwise}$
$\text{(accept }-90°\text{ or }270°\text{ anticlockwise)}$
B1 state the centre, $(-2, 3)$ระบุจุดศูนย์กลาง $(-2, 3)$
$\text{centre } (-2,3)$
B1 the translated triangleรูปสามเหลี่ยมที่เลื่อนขนานแล้ว
$A(-4,7),(-4,9),(-3,9)$
$\to\ C(-2,2),(-2,4),(-1,4)$
Where a trapezium’s diagonals cross จุดตัดเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู
$OACB$ is a trapezium. $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=5\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AC}=3\mathbf{b}$. The diagonals, $OC$ and $AB$, of the trapezium intersect at the point $P$. Find and simplify an expression, in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$, for $\overrightarrow{OP}$.
$OACB$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู กำหนด $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=5\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AC}=3\mathbf{b}$ เส้นทแยงมุม $OC$ และ $AB$ ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่จุด $P$ จงหาและทำให้เป็นรูปอย่างง่ายของ $\overrightarrow{OP}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AC}=3\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{OC}$.
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AC}=3\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{OC}$
Answershow ▾
Walking O to A then A to C is the same journey as O to C directly.เดินจาก O ไป A แล้วไป C เท่ากับเดินจาก O ไป C ตรงๆ
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB}=5\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OB}=5\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
Go backward along OA, then forward along OB.ย้อนไปตามเส้นทาง OA แล้วเดินหน้าตาม OB
$P$ lies on $OC$ with $\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OC}$. Question $1$ gives $\overrightarrow{OC}=2\mathbf{a}+3\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{OP}$ in terms of $n$.
$P$ อยู่บน $OC$ โดย $\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OC}$ จากข้อ $1$ ได้ $\overrightarrow{OC}=2\mathbf{a}+3\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{OP}$ ในรูปของ $n$
Answershow ▾
n is the fraction of the way from O to C.n คือเศษส่วนของเส้นทางจาก O ไปยัง C
$P$ also lies on $AB$ with $\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}$. Using $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ and question $2$, write $\overrightarrow{OP}$ in terms of $m$.
$P$ อยู่บน $AB$ ด้วย โดย $\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}$ ใช้ $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ กับข้อ $2$ จงเขียน $\overrightarrow{OP}$ ในรูปของ $m$
Answershow ▾
Walk from O to A, then m of the way along AB.เดินจาก O ไป A แล้วเดินอีก m ส่วนตาม AB
Expand and collect $2\mathbf{a}+m(5\mathbf{b}-2\mathbf{a})$ as one term in $\mathbf{a}$ and one in $\mathbf{b}$.
จงกระจายและรวมพจน์ $2\mathbf{a}+m(5\mathbf{b}-2\mathbf{a})$ ให้เหลือพจน์ $\mathbf{a}$ หนึ่งพจน์และ $\mathbf{b}$ หนึ่งพจน์
Answershow ▾
Multiply m into the bracket, then collect the a terms.คูณ m เข้าไปในวงเล็บ แล้วรวมพจน์ a เข้าด้วยกัน
$P$ lies on both diagonals, so $\overrightarrow{OP}=n(2\mathbf{a}+3\mathbf{b})$ and $\overrightarrow{OP}=(2-2m)\mathbf{a}+5m\mathbf{b}$ are the same vector. Pick the first move.
(A) set $2n=2-2m$ and stop
(B) set $2n=2-2m$ and also $3n=5m$
(C) add the two expressions together
$P$ อยู่บนเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้น ดังนั้น $\overrightarrow{OP}=n(2\mathbf{a}+3\mathbf{b})$ กับ $\overrightarrow{OP}=(2-2m)\mathbf{a}+5m\mathbf{b}$ เป็นเวกเตอร์เดียวกัน จงเลือกขั้นแรก
(A) ตั้ง $2n=2-2m$ แล้วหยุด
(B) ตั้ง $2n=2-2m$ และ $3n=5m$ ด้วย
(C) บวกสองนิพจน์เข้าด้วยกัน
Answershow ▾
(A) is one equation with two unknowns, n and m, so it cannot be solved alone. (C) adding the expressions throws away the fact that both describe the same vector.(A) ได้สมการเดียวแต่มีตัวไม่รู้ค่าสองตัวคือ n กับ m จึงแก้ไม่ได้ลำพัง · (C) การบวกสองนิพจน์ ทำให้เสียข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งสองเป็นเวกเตอร์เดียวกัน
Solve $2n=2-2m$ and $3n=5m$ for $n$.
จงแก้สมการ $2n=2-2m$ และ $3n=5m$ หาค่า $n$
Answershow ▾
Two equations, two unknowns: rearrange one for a variable, then substitute into the other.สองสมการ สองตัวไม่รู้ค่า: จัดสมการหนึ่งให้เหลือตัวแปรเดียว แล้วแทนลงในอีกสมการ
Using $n=\tfrac58$ from question $6$, substitute into $\overrightarrow{OP}=n(2\mathbf{a}+3\mathbf{b})$ and simplify.
ใช้ $n=\tfrac58$ จากข้อ $6$ แทนลงใน $\overrightarrow{OP}=n(2\mathbf{a}+3\mathbf{b})$ แล้วทำให้เป็นรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
Multiply the fraction into both terms separately.คูณเศษส่วนเข้าไปในทั้งสองพจน์แยกกัน
Check: $m=\tfrac38$ from question $6$. Does $\overrightarrow{OP}=2\mathbf{a}+m(5\mathbf{b}-2\mathbf{a})$ give the same answer?
ตรวจสอบ: $m=\tfrac38$ จากข้อ $6$ แล้ว $\overrightarrow{OP}=2\mathbf{a}+m(5\mathbf{b}-2\mathbf{a})$ ให้คำตอบเดียวกันหรือไม่
Answershow ▾
A point that fits both diagonals really is their intersection.จุดที่สอดคล้องกับเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้น เป็นจุดตัดจริง
$WXZY$ is a trapezium. $\overrightarrow{WX}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{WY}=4\mathbf{b}$, $\overrightarrow{XZ}=\mathbf{b}$. The diagonals $WZ$ and $XY$ meet at $Q$. Find $\overrightarrow{WQ}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$WXZY$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู $\overrightarrow{WX}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{WY}=4\mathbf{b}$, $\overrightarrow{XZ}=\mathbf{b}$ เส้นทแยงมุม $WZ$ และ $XY$ ตัดกันที่ $Q$ จงหา $\overrightarrow{WQ}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Same four moves: add, subtract, set up two equations in the coefficients, then solve.สี่ขั้นเดิม: บวก ลบ ตั้งสมการสองสมการจากสัมประสิทธิ์ แล้วแก้สมการ
$OACB$ is a trapezium. $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=5\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AC}=3\mathbf{b}$. The diagonals, $OC$ and $AB$, of the trapezium intersect at the point $P$. Find and simplify an expression, in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$, for $\overrightarrow{OP}$.
$OACB$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู กำหนด $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=5\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AC}=3\mathbf{b}$ เส้นทแยงมุม $OC$ และ $AB$ ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่จุด $P$ จงหาและทำให้เป็นรูปอย่างง่ายของ $\overrightarrow{OP}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
5 marks: express OC, set up both parametrised forms of OP, equate the a- and b-coefficients, then solve and simplify.5 คะแนน: หา OC ตั้งนิพจน์ OP แบบพารามิเตอร์ทั้งสองเส้น เทียบสัมประสิทธิ์ของ a และ b แล้วแก้สมการและทำให้เป็นรูปอย่างง่าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{OC}$
$= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}$
$= 2\mathbf{a}+3\mathbf{b}$
M1 set up two vector equations for OP using a parameter on each diagonalตั้งสมการเวกเตอร์สองสมการสำหรับ $\overrightarrow{OP}$ บนเส้นทแยงมุมแต่ละเส้นโดยใช้พารามิเตอร์
$\overrightarrow{OP}$
$= n(2\mathbf{a}+3\mathbf{b})$
$\overrightarrow{OP}$
$= 2\mathbf{a}+m(5\mathbf{b}-2\mathbf{a})$
M1 equate coefficients of a and b to form equations in n and mเทียบสัมประสิทธิ์ของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ เพื่อตั้งสมการของ $n$ และ $m$
$2n = 2-2m$
$3n = 5m$
M1 solve for a scalarแก้หาค่าพารามิเตอร์
$n = \tfrac58\ \ (\text{or }m=\tfrac38)$
A1 the simplified answerคำตอบที่ทำให้เป็นรูปอย่างง่ายแล้ว
$\overrightarrow{OP}$
$= \tfrac58(2\mathbf{a}+3\mathbf{b})$
$= \tfrac54\mathbf{a}+\tfrac{15}{8}\mathbf{b}$
A line from O cuts AB เส้นจาก O ตัดผ่าน AB
$OAB$ is a triangle. $Q$ is the point on $AB$ such that $OQP$ is a straight line. $\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AP}=2\mathbf{a}+8\mathbf{b}$. Using a vector method, find the ratio $AQ:QB$.
$OAB$ เป็นรูปสามเหลี่ยม $Q$ เป็นจุดบน $AB$ ที่ทำให้ $O$, $Q$, $P$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน กำหนด $\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AP}=2\mathbf{a}+8\mathbf{b}$ จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $AQ:QB$
$\overrightarrow{OX}=4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{XY}=2\mathbf{a}+8\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{OY}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$\overrightarrow{OX}=4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{XY}=2\mathbf{a}+8\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{OY}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Walk from $O$ to $X$, then from $X$ to $Y$. Add the two journeys.เดินจาก $O$ ไป $X$ แล้วเดินจาก $X$ ไป $Y$ แล้วบวกเส้นทางทั้งสองเข้าด้วยกัน
$\overrightarrow{OX}=4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OY}=6\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{XY}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$\overrightarrow{OX}=4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OY}=6\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{XY}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Walk backward along $\overrightarrow{OX}$, then forward along $\overrightarrow{OY}$.เดินถอยหลังตาม $\overrightarrow{OX}$ แล้วเดินไปข้างหน้าตาม $\overrightarrow{OY}$
$Z$ is $\tfrac13$ of the way from $X$ to $Y$ along $\overrightarrow{XY}$. $\overrightarrow{OX}=\mathbf{p}$, $\overrightarrow{XY}=6\mathbf{q}$. Find $\overrightarrow{OZ}$ in terms of $\mathbf{p}$ and $\mathbf{q}$.
$Z$ อยู่ $\tfrac13$ ของเส้นทางจาก $X$ ไป $Y$ ตาม $\overrightarrow{XY}$ · $\overrightarrow{OX}=\mathbf{p}$, $\overrightarrow{XY}=6\mathbf{q}$ จงหา $\overrightarrow{OZ}$ ในรูปของ $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{q}$
Answershow ▾
Walk to $X$, then $\tfrac13$ of the way along $\overrightarrow{XY}$.เดินไปที่ $X$ แล้วเดินต่ออีก $\tfrac13$ ของเส้นทาง $\overrightarrow{XY}$
$OAB$ is a triangle, $Q$ is on $AB$, and $O$, $Q$, $P$ lie on one straight line. $\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AP}=2\mathbf{a}+8\mathbf{b}$, so $\overrightarrow{OP}=6\mathbf{a}+8\mathbf{b}$. Pick the way to write $\overrightarrow{OQ}$.
(A) $\overrightarrow{OQ}=6\mathbf{a}+8\mathbf{b}$
(B) $\overrightarrow{OQ}=k(6\mathbf{a}+8\mathbf{b})$ for some scalar $k$
(C) $\overrightarrow{OQ}=\tfrac12(6\mathbf{a}+8\mathbf{b})$
$OAB$ เป็นรูปสามเหลี่ยม $Q$ อยู่บน $AB$ และ $O$, $Q$, $P$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AP}=2\mathbf{a}+8\mathbf{b}$ จึง $\overrightarrow{OP}=6\mathbf{a}+8\mathbf{b}$ จงเลือกวิธีเขียน $\overrightarrow{OQ}$
(A) $\overrightarrow{OQ}=6\mathbf{a}+8\mathbf{b}$
(B) $\overrightarrow{OQ}=k(6\mathbf{a}+8\mathbf{b})$ สำหรับสเกลาร์ $k$ ค่าหนึ่ง
(C) $\overrightarrow{OQ}=\tfrac12(6\mathbf{a}+8\mathbf{b})$
Answershow ▾
(A) makes $Q$ and $P$ the same point, which the question never says. (C) guesses the scalar instead of leaving it as $k$; only the $\mathbf{a}:\mathbf{b}$ ratio $6:8$ is fixed by the straight line, not the overall size.(A) ทำให้ $Q$ กับ $P$ เป็นจุดเดียวกัน ซึ่งโจทย์ไม่ได้บอก · (C) เดาสเกลาร์เอง ทั้งที่ควรปล่อยเป็น $k$ เส้นตรงบอกแค่ว่าอัตราส่วน $\mathbf{a}:\mathbf{b}$ คือ $6:8$ เท่านั้น ขนาดโดยรวมยังไม่รู้
$\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AP}=2\mathbf{a}+8\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{OP}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AP}=2\mathbf{a}+8\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{OP}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Same move as question $1$: add the two given journeys.ขั้นเดียวกับข้อ $1$: บวกเส้นทางที่กำหนดทั้งสอง
$\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{AB}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Same move as question $2$: walk back along $\overrightarrow{OA}$, then along $\overrightarrow{OB}$.ขั้นเดียวกับข้อ $2$: เดินถอยหลังตาม $\overrightarrow{OA}$ แล้วเดินตาม $\overrightarrow{OB}$
$Q$ is on $AB$, so $\overrightarrow{AQ}=t\overrightarrow{AB}$ for some fraction $t$. Using $\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AB}=6\mathbf{b}-4\mathbf{a}$ (question $5$), write $\overrightarrow{OQ}$ in terms of $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ and $t$.
$Q$ อยู่บน $AB$ จึง $\overrightarrow{AQ}=t\overrightarrow{AB}$ สำหรับเศษส่วน $t$ ค่าหนึ่ง · ใช้ $\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AB}=6\mathbf{b}-4\mathbf{a}$ (ข้อ $5$) เขียน $\overrightarrow{OQ}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ และ $t$
Answershow ▾
Same move as question $3$: walk to $A$, then $t$ of the way along $\overrightarrow{AB}$.ขั้นเดียวกับข้อ $3$: เดินไปที่ $A$ แล้วเดินต่ออีก $t$ ของเส้นทาง $\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{OQ}=4(1-t)\mathbf{a}+6t\mathbf{b}$ (question $6$) and $\overrightarrow{OQ}=k(6\mathbf{a}+8\mathbf{b})$ (the decision above). Match the $\mathbf{a}$-parts and the $\mathbf{b}$-parts to write two equations in $k$ and $t$. Label them ① and ②.
$\overrightarrow{OQ}=4(1-t)\mathbf{a}+6t\mathbf{b}$ (ข้อ $6$) และ $\overrightarrow{OQ}=k(6\mathbf{a}+8\mathbf{b})$ (ขั้นตัดสินใจข้างต้น) จงเทียบส่วน $\mathbf{a}$ และส่วน $\mathbf{b}$ เพื่อเขียนสมการสองสมการในรูปของ $k$ และ $t$ แล้วติดเลข ① และ ②
Answershow ▾
Two expressions for the same vector must have the same $\mathbf{a}$-part and the same $\mathbf{b}$-part.เวกเตอร์เดียวกันที่เขียนสองแบบ ต้องมีส่วน $\mathbf{a}$ เท่ากัน และส่วน $\mathbf{b}$ เท่ากัน
Using ① and ② from question $7$, eliminate $k$ and solve for $t$. Then write $AQ:QB$.
ใช้ ① และ ② จากข้อ $7$ กำจัด $k$ แล้วแก้หา $t$ จากนั้นเขียน $AQ:QB$
Answershow ▾
$t$ is the fraction $AQ$ is of $AB$, so $AQ:QB=t:(1-t)$.$t$ คือเศษส่วนที่ $AQ$ เป็นของ $AB$ จึงได้ $AQ:QB=t:(1-t)$
$OAB$ is a triangle. $Q$ is on $AB$ such that $O$, $Q$, $P$ lie on one straight line. $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AP}=\mathbf{a}+2\mathbf{b}$. Using a vector method, find the ratio $AQ:QB$.
$OAB$ เป็นรูปสามเหลี่ยม $Q$ เป็นจุดบน $AB$ ที่ทำให้ $O$, $Q$, $P$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน กำหนด $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AP}=\mathbf{a}+2\mathbf{b}$ จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $AQ:QB$
Answershow ▾
Same four moves: find $\overrightarrow{OP}$, write $\overrightarrow{OQ}$ two ways, match $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$, solve for $t$.สี่ขั้นเดิม: หา $\overrightarrow{OP}$ เขียน $\overrightarrow{OQ}$ สองแบบ เทียบส่วน $\mathbf{a}$ กับ $\mathbf{b}$ แล้วแก้หา $t$
$OAB$ is a triangle. $Q$ is the point on $AB$ such that $OQP$ is a straight line. $\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AP}=2\mathbf{a}+8\mathbf{b}$. Using a vector method, find the ratio $AQ:QB$.
$OAB$ เป็นรูปสามเหลี่ยม $Q$ เป็นจุดบน $AB$ ที่ทำให้ $O$, $Q$, $P$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน กำหนด $\overrightarrow{OA}=4\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AP}=2\mathbf{a}+8\mathbf{b}$ จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $AQ:QB$
Answershow ▾
5 marks: find $\overrightarrow{OP}$, write $\overrightarrow{OQ}$ as $k\overrightarrow{OP}$, write it again from $Q$ on $AB$, solve for $t$, then the ratio.5 คะแนน: หา $\overrightarrow{OP}$ เขียน $\overrightarrow{OQ}$ เป็น $k\overrightarrow{OP}$ เขียนอีกแบบจาก $Q$ บน $AB$ แก้หา $t$ แล้วหาอัตราส่วน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{OP}$
$= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$
$= 6\mathbf{a}+8\mathbf{b}$
M1 write OQ as a parameter times OP, since O, Q, P are collinearเขียน $\overrightarrow{OQ}$ เป็นพารามิเตอร์คูณ $\overrightarrow{OP}$ เนื่องจาก $O,Q,P$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
$\overrightarrow{OQ}$
$= k(6\mathbf{a}+8\mathbf{b})$
M1 write OQ using Q on AB, and equate coefficientsเขียน $\overrightarrow{OQ}$ โดยใช้ $Q$ บน $AB$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์
$\overrightarrow{OQ}$
$= \overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$
$= 4(1-t)\mathbf{a}+6t\mathbf{b}$
$6k = 4(1-t),\quad 8k = 6t$
A1 solve the equationsแก้สมการ
$t = \tfrac{8}{17}$
A1 the ratioอัตราส่วนที่ได้
$AQ:QB = t:(1-t) = 8:9$
Two lines crossing inside a triangle เส้นสองเส้นตัดกันในสามเหลี่ยม
The diagram shows triangle $OAB$. $\overrightarrow{OA}=8\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$. $M$ is the point on $OB$ such that $OM:MB = 1:2$. $N$ is the midpoint of $AB$. $P$ is the point of intersection of $ON$ and $AM$. Using a vector method, find $\overrightarrow{OP}$ as a simplified expression in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
รูปแสดงสามเหลี่ยม $OAB$ กำหนด $\overrightarrow{OA}=8\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$ จุด $M$ อยู่บน $OB$ โดย $OM:MB=1:2$ จุด $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ และจุด $P$ คือจุดตัดของ $ON$ กับ $AM$ จงใช้วิธีเวกเตอร์หา $\overrightarrow{OP}$ ในรูปอย่างง่ายในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
$M$ lies on $OB$ such that $OM:MB=1:2$. Write $\overrightarrow{OM}$ as a fraction of $\overrightarrow{OB}$.
จุด $M$ อยู่บน $OB$ โดย $OM:MB=1:2$ จงเขียน $\overrightarrow{OM}$ เป็นเศษส่วนของ $\overrightarrow{OB}$
Answershow ▾
The ratio $1:2$ splits $OB$ into $3$ equal parts; $OM$ is $1$ of them.อัตราส่วน $1:2$ แบ่ง $OB$ เป็น $3$ ส่วนเท่าๆกัน $OM$ คือ $1$ ส่วนในนั้น
$N$ is the midpoint of $AB$. Write $\overrightarrow{ON}$ in terms of $\overrightarrow{OA}$ and $\overrightarrow{OB}$.
จุด $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ จงเขียน $\overrightarrow{ON}$ ในรูปของ $\overrightarrow{OA}$ และ $\overrightarrow{OB}$
Answershow ▾
A midpoint vector is always half the sum of the two ends.เวกเตอร์ไปจุดกึ่งกลาง เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกเวกเตอร์ไปปลายทั้งสองเสมอ
Using the route $A\to O\to M$, write $\overrightarrow{AM}$ in terms of $\overrightarrow{OA}$ and $\overrightarrow{OM}$.
ใช้เส้นทาง $A\to O\to M$ จงเขียน $\overrightarrow{AM}$ ในรูปของ $\overrightarrow{OA}$ และ $\overrightarrow{OM}$
Answershow ▾
Go backwards along $OA$, then forwards along $OM$.ย้อนไปตามแนว $OA$ แล้วเดินหน้าไปตามแนว $OM$
$\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$. Use question $1$ to work out $\overrightarrow{OM}$.
$\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$ จงใช้ข้อ $1$ หา $\overrightarrow{OM}$
Answershow ▾
Multiply $6\mathbf{b}$ by the fraction from question $1$.คูณ $6\mathbf{b}$ ด้วยเศษส่วนจากข้อ $1$
$\overrightarrow{OA}=8\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$. Use question $2$ to work out $\overrightarrow{ON}$.
$\overrightarrow{OA}=8\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$ จงใช้ข้อ $2$ หา $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
Substitute, then halve each term separately.แทนค่า แล้วหารครึ่งแต่ละพจน์แยกกัน
$\overrightarrow{OA}=8\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OM}=2\mathbf{b}$ (question $4$). Use question $3$ to work out $\overrightarrow{AM}$.
$\overrightarrow{OA}=8\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OM}=2\mathbf{b}$ (ข้อ $4$) จงใช้ข้อ $3$ หา $\overrightarrow{AM}$
Answershow ▾
Substitute both vectors into the rule from question $3$.แทนทั้งสองเวกเตอร์ลงในกฎจากข้อ $3$
Write $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AM}$, using $\overrightarrow{OA}=8\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AM}=2\mathbf{b}-8\mathbf{a}$ (question $6$). Expand and collect the $\mathbf{a}$-terms and the $\mathbf{b}$-terms.
จงเขียน $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AM}$ โดยใช้ $\overrightarrow{OA}=8\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AM}=2\mathbf{b}-8\mathbf{a}$ (ข้อ $6$) จงกระจายแล้วรวมพจน์ $\mathbf{a}$ กับพจน์ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Expand the bracket first, then group the two letters separately.กระจายวงเล็บก่อน แล้วจัดกลุ่มสองตัวแปรแยกกัน
$P$ lies on both $ON$ and $AM$, so $\overrightarrow{OP}=t(4\mathbf{a}+3\mathbf{b})$ (along $ON$, question $5$) and $\overrightarrow{OP}=8(1-s)\mathbf{a}+2s\mathbf{b}$ (along $AM$, question $7$). Pick the right way to use this to find $t$.
(A) set only the $\mathbf{a}$-parts equal: $4t=8(1-s)$
(B) set the $\mathbf{a}$-parts equal AND the $\mathbf{b}$-parts equal: $4t=8(1-s)$ and $3t=2s$
(C) add the two expressions together and solve one equation
$P$ อยู่บนทั้ง $ON$ และ $AM$ ดังนั้น $\overrightarrow{OP}=t(4\mathbf{a}+3\mathbf{b})$ (ตามแนว $ON$ ข้อ $5$) และ $\overrightarrow{OP}=8(1-s)\mathbf{a}+2s\mathbf{b}$ (ตามแนว $AM$ ข้อ $7$) จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการหา $t$
(A) ให้เฉพาะพจน์ $\mathbf{a}$ เท่ากัน: $4t=8(1-s)$
(B) ให้พจน์ $\mathbf{a}$ เท่ากัน และพจน์ $\mathbf{b}$ เท่ากันด้วย: $4t=8(1-s)$ และ $3t=2s$
(C) บวกสองสมการเข้าด้วยกันแล้วแก้สมการเดียว
Answershow ▾
(A) throws away the $\mathbf{b}$-part, leaving $s$ unknown; (C) mixes the $\mathbf{a}$-part and $\mathbf{b}$-part into one equation, which only works if $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ point the same way, and here they do not.(A) ทิ้งพจน์ $\mathbf{b}$ ไป ทำให้ $s$ ยังไม่รู้ค่า · (C) ผสมพจน์ $\mathbf{a}$ กับพจน์ $\mathbf{b}$ เข้าสมการเดียว ซึ่งใช้ได้เฉพาะถ้า $\mathbf{a}$ กับ $\mathbf{b}$ ไปทิศทางเดียวกัน แต่ในที่นี้ไม่ใช่
Using $4t=8(1-s)$ and $3t=2s$, solve for $t$.
ใช้ $4t=8(1-s)$ และ $3t=2s$ จงแก้หา $t$
Answershow ▾
Use the second equation to replace $s$, then solve the first for $t$.ใช้สมการที่สองแทน $s$ แล้วแก้สมการแรกหา $t$
Triangle $OXY$: $\overrightarrow{OX}=8\mathbf{x}$, $\overrightarrow{OY}=12\mathbf{y}$. $M$ lies on $OY$ with $OM:MY=1:2$, $N$ is the midpoint of $XY$, and $P$ is the intersection of $ON$ and $XM$. Find $\overrightarrow{OP}$.
สามเหลี่ยม $OXY$: $\overrightarrow{OX}=8\mathbf{x}$, $\overrightarrow{OY}=12\mathbf{y}$ จุด $M$ อยู่บน $OY$ โดย $OM:MY=1:2$ จุด $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $XY$ และจุด $P$ คือจุดตัดของ $ON$ กับ $XM$ จงหา $\overrightarrow{OP}$
Answershow ▾
Same five moves as before, now with $8\mathbf{x}$ and $12\mathbf{y}$.ห้าขั้นเดิม แต่คราวนี้ใช้ $8\mathbf{x}$ และ $12\mathbf{y}$
The diagram shows triangle $OAB$. $\overrightarrow{OA}=8\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$. $M$ is the point on $OB$ such that $OM:MB = 1:2$. $N$ is the midpoint of $AB$. $P$ is the point of intersection of $ON$ and $AM$. Using a vector method, find $\overrightarrow{OP}$ as a simplified expression in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
รูปแสดงสามเหลี่ยม $OAB$ กำหนด $\overrightarrow{OA}=8\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$ จุด $M$ อยู่บน $OB$ โดย $OM:MB=1:2$ จุด $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ และจุด $P$ คือจุดตัดของ $ON$ กับ $AM$ จงใช้วิธีเวกเตอร์หา $\overrightarrow{OP}$ ในรูปอย่างง่ายในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
5 marks: OM and ON first, then two expressions for OP, then compare both coefficients.5 คะแนน: หา OM และ ON ก่อน แล้วตั้งสองสมการของ OP แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ทั้งสองพจน์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{OM}$
$= \tfrac13\overrightarrow{OB}$
$= 2\mathbf{b}$
$\overrightarrow{ON}$
$= \tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$
$= 4\mathbf{a}+3\mathbf{b}$
M2 set up two parametric expressions for OP, on ON and on AMตั้งสมการเวกเตอร์สองสมการสำหรับ $\overrightarrow{OP}$ บน $ON$ และบน $AM$
$\overrightarrow{OP}$
$= t(4\mathbf{a}+3\mathbf{b})$
$\overrightarrow{OP}$
$= 8\mathbf{a}+s(2\mathbf{b}-8\mathbf{a})$
$= 8(1-s)\mathbf{a}+2s\mathbf{b}$
M1 equate coefficients and solveเทียบสัมประสิทธิ์แล้วแก้สมการ
$4t = 8(1-s),\quad 3t = 2s$
$t = \tfrac12$
A1 the simplified answerคำตอบที่ทำให้เป็นรูปอย่างง่ายแล้ว
$\overrightarrow{OP}$
$= \tfrac12(4\mathbf{a}+3\mathbf{b})$
$= 2\mathbf{a}+\tfrac32\mathbf{b}$
Trapezium sides, exact vector length ด้านสี่เหลี่ยมคางหมู ความยาวเวกเตอร์แน่นอน
$ABCD$ is a trapezium. $\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DA}=\dbinom{-2}{3}$, $\overrightarrow{DB}=\dbinom{-1}{7}$. Find the exact magnitude of $\overrightarrow{BC}$.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู กำหนด $\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DA}=\dbinom{-2}{3}$, $\overrightarrow{DB}=\dbinom{-1}{7}$ จงหาขนาดที่แน่นอน (exact) ของ $\overrightarrow{BC}$
$D$ is the start of both $\overrightarrow{DA}$ and $\overrightarrow{DB}$. $\overrightarrow{DA}=\dbinom{-2}{3}$ and $\overrightarrow{DB}=\dbinom{-1}{7}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
$D$ เป็นจุดเริ่มต้นของทั้ง $\overrightarrow{DA}$ และ $\overrightarrow{DB}$ โดย $\overrightarrow{DA}=\dbinom{-2}{3}$ และ $\overrightarrow{DB}=\dbinom{-1}{7}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
The route from $A$ to $B$ is $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}$: back along $\overrightarrow{DA}$, then forward along $\overrightarrow{DB}$.เส้นทางจาก $A$ ไป $B$ คือ $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}$ ถอยกลับตาม $\overrightarrow{DA}$ แล้วเดินหน้าตาม $\overrightarrow{DB}$
Multiply the column vector $\dbinom{1}{4}$ by $3$.
จงคูณเวกเตอร์คอลัมน์ $\dbinom{1}{4}$ ด้วย $3$
Answershow ▾
Multiply both numbers in the column by $3$.คูณทั้งสองตัวเลขในคอลัมน์ด้วย $3$
Find the exact magnitude of $\dbinom{4}{5}$. Do not round.
จงหาขนาดที่แน่นอนของ $\dbinom{4}{5}$ ไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Square each number, add, then leave the square root exact.ยกกำลังสองแต่ละตัว บวกกัน แล้วปล่อยกรณฑ์ไว้แบบแน่นอน
$\overrightarrow{BC}$ goes from $B$ to $D$ to $C$, so $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$. You are given $\overrightarrow{DB}$, not $\overrightarrow{BD}$. Pick the correct way to write $\overrightarrow{BC}$ using $\overrightarrow{DB}$ and $\overrightarrow{DC}$.
(A) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$
(B) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$
(C) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{BC}$ เดินทางจาก $B$ ไป $D$ แล้วไป $C$ ดังนั้น $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$ แต่ที่กำหนดให้คือ $\overrightarrow{DB}$ ไม่ใช่ $\overrightarrow{BD}$ จงเลือกวิธีเขียน $\overrightarrow{BC}$ ที่ถูกต้องโดยใช้ $\overrightarrow{DB}$ และ $\overrightarrow{DC}$
(A) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$
(B) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$
(C) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$
Answershow ▾
(B) uses $\overrightarrow{DB}$ as if it were $\overrightarrow{BD}$, but reversing a vector flips its sign, so $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$. (C) uses $\overrightarrow{DA}$, which belongs to point $A$, not $B$.(B) ใช้ $\overrightarrow{DB}$ เหมือนเป็น $\overrightarrow{BD}$ แต่การกลับทางเวกเตอร์ต้องใส่เครื่องหมายลบ คือ $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$ · (C) ใช้ $\overrightarrow{DA}$ ซึ่งเป็นของจุด $A$ ไม่ใช่ $B$
$ABCD$ is a trapezium with $\overrightarrow{DA}=\dbinom{-2}{3}$ and $\overrightarrow{DB}=\dbinom{-1}{7}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู กำหนด $\overrightarrow{DA}=\dbinom{-2}{3}$ และ $\overrightarrow{DB}=\dbinom{-1}{7}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
Same move as the warm-up: $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}$.ขั้นตอนเดียวกับที่อุ่นเครื่อง: $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}$
$\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}$. Using $\overrightarrow{AB}=\dbinom{1}{4}$, find $\overrightarrow{DC}$.
$\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}$ โดยใช้ $\overrightarrow{AB}=\dbinom{1}{4}$ จงหา $\overrightarrow{DC}$
Answershow ▾
Multiply both numbers in $\overrightarrow{AB}$ by $3$.คูณทั้งสองตัวเลขใน $\overrightarrow{AB}$ ด้วย $3$
You now have $\overrightarrow{DC}=\dbinom{3}{12}$ and $\overrightarrow{DB}=\dbinom{-1}{7}$. Find $\overrightarrow{BC}$.
ตอนนี้มี $\overrightarrow{DC}=\dbinom{3}{12}$ และ $\overrightarrow{DB}=\dbinom{-1}{7}$ จงหา $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
Use the move you picked: $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$.ใช้ขั้นที่เลือกไว้: $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$
Find the exact magnitude of $\overrightarrow{BC}=\dbinom{4}{5}$.
จงหาขนาดที่แน่นอนของ $\overrightarrow{BC}=\dbinom{4}{5}$
Answershow ▾
Square each number, add, then leave the surd exact.ยกกำลังสองแต่ละตัว บวกกัน แล้วปล่อยกรณฑ์ไว้แบบแน่นอน
Check: does $41$ have a square factor greater than $1$? Can $\sqrt{41}$ be written more simply?
ตรวจสอบ: $41$ มีตัวประกอบที่เป็นจำนวนกำลังสองมากกว่า $1$ หรือไม่ เขียน $\sqrt{41}$ ให้ง่ายกว่านี้ได้หรือไม่
Answershow ▾
$41$ is prime, so it has no square factor, and $\sqrt{41}$ cannot be simplified or rounded.$41$ เป็นจำนวนเฉพาะ จึงไม่มีตัวประกอบกำลังสอง และ $\sqrt{41}$ ไม่สามารถทำให้ง่ายหรือปัดเศษได้
$PQRS$ is a trapezium. $\overrightarrow{SR}=2\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{SP}=\dbinom{2}{1}$, $\overrightarrow{SQ}=\dbinom{5}{3}$. Find the exact magnitude of $\overrightarrow{QR}$.
$PQRS$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู กำหนด $\overrightarrow{SR}=2\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{SP}=\dbinom{2}{1}$, $\overrightarrow{SQ}=\dbinom{5}{3}$ จงหาขนาดที่แน่นอนของ $\overrightarrow{QR}$
Answershow ▾
Same four moves: find PQ, then SR, then QR, then Pythagoras.สี่ขั้นเดิม: หา PQ แล้ว SR แล้ว QR แล้วใช้พีทาโกรัส
$ABCD$ is a trapezium. $\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DA}=\dbinom{-2}{3}$, $\overrightarrow{DB}=\dbinom{-1}{7}$. Find the exact magnitude of $\overrightarrow{BC}$.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู กำหนด $\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DA}=\dbinom{-2}{3}$, $\overrightarrow{DB}=\dbinom{-1}{7}$ จงหาขนาดที่แน่นอน (exact) ของ $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
5 marks: find AB, then DC, then BC, then use Pythagoras, then keep the surd exact.5 คะแนน: หา AB แล้ว DC แล้ว BC แล้วใช้พีทาโกรัส แล้วคงกรณฑ์ไว้แบบแน่นอน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{AB}$
$= \overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}$
$= \dbinom{-1}{7}-\dbinom{-2}{3}$
$= \dbinom{1}{4}$
M1 find DCหา $\overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{DC}$
$= 3\overrightarrow{AB}$
$= \dbinom{3}{12}$
M1 find BCหา $\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{BC}$
$= \overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$
$= \dbinom{3}{12}-\dbinom{-1}{7}$
$= \dbinom{4}{5}$
M1 use Pythagoras' theoremใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
$|\overrightarrow{BC}|$
$= \sqrt{4^{2}+5^{2}}$
$= \sqrt{41}$
A1 the exact answerคำตอบที่แน่นอน (exact)
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{41}$
Where two routes meet จุดที่เส้นทางสองเส้นพบกัน
$OAB$ is a triangle. $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$. $M$ is the midpoint of $AB$. $N$ is the point on $OB$ such that $ON:NB=2:1$. $P$ is the point on $AN$ such that $OPM$ is a straight line. Use a vector method to find $OP:PM$.
$OAB$ เป็นรูปสามเหลี่ยม กำหนด $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$ จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ จุด $N$ อยู่บน $OB$ โดย $ON:NB=2:1$ และจุด $P$ อยู่บน $AN$ โดยที่ $O$, $P$, $M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จงใช้วิธีเวกเตอร์หา $OP:PM$
$M$ is the midpoint of $AB$. $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{OM}$.
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ กำหนด $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{OM}$
Answershow ▾
The midpoint vector is half the sum of the two position vectors.เวกเตอร์จุดกึ่งกลาง คือครึ่งหนึ่งของผลรวมเวกเตอร์ตำแหน่งทั้งสอง
$N$ is on $OB$ with $ON:NB=2:1$, so $\overrightarrow{ON}=\tfrac23\overrightarrow{OB}$. Using $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$, find $\overrightarrow{ON}$.
$N$ อยู่บน $OB$ โดย $ON:NB=2:1$ ดังนั้น $\overrightarrow{ON}=\tfrac23\overrightarrow{OB}$ กำหนด $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
Multiply $\overrightarrow{OB}$ by the fraction two-thirds.คูณ $\overrightarrow{OB}$ ด้วยเศษส่วนสองในสาม
Using $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{ON}=\tfrac43\mathbf{b}$ (question $2$), find $\overrightarrow{AN}$.
กำหนด $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{ON}=\tfrac43\mathbf{b}$ (จากข้อ $2$) จงหา $\overrightarrow{AN}$
Answershow ▾
Walk from $A$ back to $O$, then on to $N$: that is $-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}$.เดินจาก $A$ กลับไป $O$ แล้วไปต่อที่ $N$ คือ $-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}$
$O$, $P$, $M$ lie on a straight line through the origin. Pick what this tells you about $\overrightarrow{OP}$.
(A) $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}$
(B) $\overrightarrow{OP}=k(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ for some number $k$
(C) $\overrightarrow{OP}=\tfrac12\overrightarrow{OM}$
$O$, $P$, $M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกันที่ผ่านจุดกำเนิด จงเลือกสิ่งที่รู้แน่นอนเกี่ยวกับ $\overrightarrow{OP}$
(A) $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}$
(B) $\overrightarrow{OP}=k(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนหนึ่ง
(C) $\overrightarrow{OP}=\tfrac12\overrightarrow{OM}$
Answershow ▾
(A) collinear is not equal - $P$ can sit anywhere on the line, not just at $M$. (C) assumes $P$ bisects $OM$, but that ratio is not given - it comes from $N$ and $A$ placing $P$ on $AN$.(A) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ไม่ได้แปลว่าเท่ากัน $P$ อยู่ที่ไหนบนเส้นก็ได้ ไม่จำเป็นต้องอยู่ที่ $M$ · (C) สมมติว่า $P$ แบ่งครึ่ง $OM$ แต่อัตราส่วนนี้ยังไม่ได้ให้มา ต้องหาจากตำแหน่งของ $N$ และ $A$ บน $AN$
Since $O,P,M$ are collinear, $\overrightarrow{OP}=k(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ for some number $k$. Write this with $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ separate.
เนื่องจาก $O,P,M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $\overrightarrow{OP}=k(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนหนึ่ง จงเขียนแยก $\mathbf{a}$ กับ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Multiply $k$ into both terms inside the bracket.คูณ $k$ เข้าไปทั้งสองพจน์ในวงเล็บ
$P$ is also on $AN$, so $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AN}$ for some number $s$. Using $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AN}=\tfrac43\mathbf{b}-2\mathbf{a}$ (question $3$), write $\overrightarrow{OP}$ with $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ separate.
$P$ อยู่บน $AN$ ด้วย ดังนั้น $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AN}$ เมื่อ $s$ เป็นจำนวนหนึ่ง กำหนด $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AN}=\tfrac43\mathbf{b}-2\mathbf{a}$ (จากข้อ $3$) จงเขียน $\overrightarrow{OP}$ แยก $\mathbf{a}$ กับ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Expand $s$ into the bracket, then collect the $\mathbf{a}$ terms together.คูณ $s$ เข้าไปในวงเล็บ แล้วรวมพจน์ $\mathbf{a}$ เข้าด้วยกัน
Both expressions for $\overrightarrow{OP}$ are the same vector, so the $\mathbf{a}$-coefficients are equal, and the $\mathbf{b}$-coefficients are equal: $k=2(1-s)$ and $k=\tfrac43s$. Solve for $s$.
สองนิพจน์ของ $\overrightarrow{OP}$ เป็นเวกเตอร์เดียวกัน ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $\mathbf{a}$ เท่ากัน และสัมประสิทธิ์ของ $\mathbf{b}$ เท่ากัน: $k=2(1-s)$ และ $k=\tfrac43s$ จงแก้หา $s$
Answershow ▾
Set the two expressions for $k$ equal, clear the fraction, then balance.ให้สองนิพจน์ของ $k$ เท่ากัน กำจัดเศษส่วน แล้วถ่วงดุลสมการ
Using $s=\tfrac35$ in $k=\tfrac43s$, work out $k$.
แทน $s=\tfrac35$ ใน $k=\tfrac43s$ แล้วหาค่า $k$
Answershow ▾
Multiply the two fractions together.คูณเศษส่วนทั้งสองเข้าด้วยกัน
Check: substitute $s=\tfrac35$ into $\overrightarrow{OP}=2(1-s)\mathbf{a}+\tfrac43s\mathbf{b}$. Does this match $k(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ with $k=\tfrac45$?
ตรวจสอบ: แทน $s=\tfrac35$ ใน $\overrightarrow{OP}=2(1-s)\mathbf{a}+\tfrac43s\mathbf{b}$ แล้วตรงกับ $k(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ เมื่อ $k=\tfrac45$ หรือไม่
Answershow ▾
Two routes to the same point must give the identical vector.สองเส้นทางไปจุดเดียวกัน ต้องได้เวกเตอร์เดียวกันเสมอ
$OCD$ is a triangle. $\overrightarrow{OC}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OD}=2\mathbf{b}$. $M$ is the midpoint of $CD$. $N$ is the point on $OD$ with $ON:ND=1:2$. $P$ is the point on $CN$ such that $OPM$ is a straight line. Find $OP:PM$.
$OCD$ เป็นรูปสามเหลี่ยม กำหนด $\overrightarrow{OC}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OD}=2\mathbf{b}$ จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $CD$ จุด $N$ อยู่บน $OD$ โดย $ON:ND=1:2$ และจุด $P$ อยู่บน $CN$ โดยที่ $O$, $P$, $M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จงหา $OP:PM$
Answershow ▾
Same two routes as before, with a different ratio on $ON:ND$.สองเส้นทางเดิม แต่อัตราส่วน $ON:ND$ เปลี่ยนไป
$OAB$ is a triangle. $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$. $M$ is the midpoint of $AB$. $N$ is the point on $OB$ such that $ON:NB=2:1$. $P$ is the point on $AN$ such that $OPM$ is a straight line. Use a vector method to find $OP:PM$.
$OAB$ เป็นรูปสามเหลี่ยม กำหนด $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$ จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ จุด $N$ อยู่บน $OB$ โดย $ON:NB=2:1$ และจุด $P$ อยู่บน $AN$ โดยที่ $O$, $P$, $M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จงใช้วิธีเวกเตอร์หา $OP:PM$
Answershow ▾
6 marks: three for the routes OM, ON, AN; two for writing OP two ways and equating; one for the ratio.6 คะแนน: สามคะแนนจากเส้นทาง OM, ON, AN สองคะแนนจากการเขียน OP สองแบบแล้วเทียบ และหนึ่งคะแนนจากอัตราส่วน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{OM}$
$= \tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$
$= \mathbf{a}+\mathbf{b}$
M1 find ONหา $\overrightarrow{ON}$
$\overrightarrow{ON}$
$= \tfrac23\overrightarrow{OB}$
$= \tfrac43\mathbf{b}$
M1 find ANหา $\overrightarrow{AN}$
$\overrightarrow{AN}$
$= \overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}$
$= \tfrac43\mathbf{b}-2\mathbf{a}$
M1 write OP as a parameter times OM, since O, P, M are collinearเขียน $\overrightarrow{OP}$ เป็นพารามิเตอร์คูณ $\overrightarrow{OM}$ เนื่องจาก $O,P,M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
$\overrightarrow{OP} = k(\mathbf{a}+\mathbf{b})$
M1 write OP using P on AN, and equate coefficientsเขียน $\overrightarrow{OP}$ โดยใช้ $P$ บน $AN$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์
$\overrightarrow{OP}$
$= \overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AN}$
$= 2(1-s)\mathbf{a}+\tfrac43s\mathbf{b}$
$k = 2(1-s),\quad k = \tfrac43s$
A1 the ratioอัตราส่วนที่ได้
$s = \tfrac35,\quad k=\tfrac45$
$OP:PM = \tfrac45:\tfrac15 = 4:1$
Three moves, then describe the link สามการแปลงรูป แล้วบรรยายความเชื่อมโยง
Triangle A and triangle B are shown on the grid.
(a)(i) Draw the image of triangle A after a reflection in the line $x = 2$.
(a)(ii) Draw the image of triangle A after a translation by the vector $\dbinom{-2}{4}$.
(a)(iii) Draw the image of triangle A after an enlargement by scale factor $-\dfrac12$, centre $(3, 1)$.
(b) Describe fully the single transformation that maps triangle A onto triangle B.
รูปสามเหลี่ยม A และรูปสามเหลี่ยม B แสดงอยู่บนกริด
(a)(i) จงวาดภาพของรูปสามเหลี่ยม A หลังจากสะท้อน (reflect) ในเส้นตรง $x = 2$
(a)(ii) จงวาดภาพของรูปสามเหลี่ยม A หลังจากเลื่อนขนาน (translate) ด้วยเวกเตอร์ $\dbinom{-2}{4}$
(a)(iii) จงวาดภาพของรูปสามเหลี่ยม A หลังจากขยาย (enlarge) ด้วยอัตราส่วนสเกล $-\dfrac12$ จุดศูนย์กลาง $(3, 1)$
(ข) จงบรรยาย (describe fully) การแปลงเรขาคณิตครั้งเดียวที่แปลงรูปสามเหลี่ยม A ไปเป็นรูปสามเหลี่ยม B ให้ครบถ้วน
Reflect the point $(1,-3)$ in the line $x=2$. Write the image point.
จงสะท้อน (reflect) จุด $(1,-3)$ ในเส้นตรง $x=2$ แล้วเขียนจุดภาพ
Answershow ▾
The mirror is vertical, so $y$ stays the same and only $x$ reflects across $2$.กระจกเป็นแนวตั้ง $y$ คงเดิม มีแค่ $x$ ที่สะท้อนข้ามเส้น $2$
Translate the point $(1,-3)$ by the vector $\dbinom{-2}{4}$. Write the image point.
จงเลื่อนขนาน (translate) จุด $(1,-3)$ ด้วยเวกเตอร์ $\dbinom{-2}{4}$ แล้วเขียนจุดภาพ
Answershow ▾
Add the top number of the vector to $x$, and the bottom number to $y$.บวกเลขบนของเวกเตอร์เข้ากับ $x$ และเลขล่างเข้ากับ $y$
Enlarge the point $(1,-3)$ by scale factor $-\dfrac12$, centre $(3,1)$. Write the image point.
จงขยาย (enlarge) จุด $(1,-3)$ ด้วยอัตราส่วนสเกล $-\dfrac12$ จุดศูนย์กลาง $(3,1)$ แล้วเขียนจุดภาพ
Answershow ▾
Find the vector from the centre to the point, scale that vector, then add it back onto the centre.หาเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางไปยังจุด คูณเวกเตอร์นั้น แล้วบวกกลับเข้ากับจุดศูนย์กลาง
An enlargement has scale factor $-\dfrac12$ from a centre $(3,1)$. Pick the first move.
(A) scale the point's coordinates directly by $-\dfrac12$
(B) find the vector from the centre to the point, scale it by $-\dfrac12$, then add it to the centre
(C) scale the vector from the centre to the point by $\dfrac12$, dropping the minus sign
อัตราส่วนสเกลของการขยายคือ $-\dfrac12$ จากจุดศูนย์กลาง $(3,1)$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณพิกัดของจุดด้วย $-\dfrac12$ โดยตรง
(B) หาเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางไปยังจุด คูณด้วย $-\dfrac12$ แล้วบวกเข้ากับจุดศูนย์กลาง
(C) หาเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางไปยังจุด คูณด้วย $\dfrac12$ โดยทิ้งเครื่องหมายลบ
Answershow ▾
(A) scales from the origin, not from the centre $(3,1)$ - that only works when the centre is $(0,0)$. (C) uses the right distance but drops the minus sign, so the image lands on the wrong side of the centre.(A) ขยายจากจุดกำเนิด ไม่ใช่จากจุดศูนย์กลาง $(3,1)$ ซึ่งใช้ได้แค่ตอนจุดศูนย์กลางเป็น $(0,0)$ · (C) ระยะถูกแต่ทิ้งเครื่องหมายลบไป ทำให้ภาพไปอยู่คนละฝั่งของจุดศูนย์กลาง
Triangle $A$ has vertices $(1,-3),(-3,-3),(-3,-5)$. Reflect triangle $A$ in the line $x=2$. Write the three image vertices.
รูปสามเหลี่ยม $A$ มีจุดยอด $(1,-3),(-3,-3),(-3,-5)$ จงสะท้อน (reflect) รูปสามเหลี่ยม $A$ ในเส้นตรง $x=2$ แล้วเขียนจุดยอดของภาพทั้งสามจุด
Answershow ▾
Reflect each vertex the same way as question $1$: $y$ stays, $x$ reflects across $2$.สะท้อนแต่ละจุดยอดแบบเดียวกับข้อ $1$: $y$ คงเดิม $x$ สะท้อนข้ามเส้น $2$
Translate triangle $A$, vertices $(1,-3),(-3,-3),(-3,-5)$, by the vector $\dbinom{-2}{4}$. Write the three image vertices.
จงเลื่อนขนาน (translate) รูปสามเหลี่ยม $A$ ที่มีจุดยอด $(1,-3),(-3,-3),(-3,-5)$ ด้วยเวกเตอร์ $\dbinom{-2}{4}$ แล้วเขียนจุดยอดของภาพทั้งสามจุด
Answershow ▾
Add the same vector to every vertex, the same move as question $2$.บวกเวกเตอร์เดียวกันเข้ากับทุกจุดยอด เหมือนข้อ $2$
Enlarge triangle $A$, vertices $(1,-3),(-3,-3),(-3,-5)$, by scale factor $-\dfrac12$, centre $(3,1)$. Write the three image vertices.
จงขยาย (enlarge) รูปสามเหลี่ยม $A$ ที่มีจุดยอด $(1,-3),(-3,-3),(-3,-5)$ ด้วยอัตราส่วนสเกล $-\dfrac12$ จุดศูนย์กลาง $(3,1)$ แล้วเขียนจุดยอดของภาพทั้งสามจุด
Answershow ▾
Same three moves as question $3$, repeated for each vertex.สามขั้นเดิมจากข้อ $3$ ทำซ้ำกับทุกจุดยอด
Triangle $B$ is congruent to triangle $A$, just in a different position. To tell a rotation from a reflection, pick the first move.
(A) compare the side lengths of $A$ and $B$
(B) compare the turning direction of the vertices - clockwise or anticlockwise - in $A$ and in $B$
(C) compare how far each vertex moved
รูปสามเหลี่ยม $B$ มีขนาดและรูปร่างเท่ากับ $A$ เพียงอยู่คนละตำแหน่ง หากต้องการแยกการหมุนจากการสะท้อน จงเลือกขั้นแรก
(A) เทียบความยาวด้านของ $A$ กับ $B$
(B) เทียบทิศทางการวนของจุดยอด - ตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา - ใน $A$ กับใน $B$
(C) เทียบว่าจุดยอดแต่ละจุดเคลื่อนไปไกลเท่าไร
Answershow ▾
(A) is always equal here, since both a rotation and a reflection keep every side length the same, so it cannot tell them apart. (C) fails because a rotation moves each vertex a different distance, so there is no single common move to compare.(A) ได้ค่าเท่ากันเสมอ เพราะทั้งการหมุนและการสะท้อนรักษาความยาวด้านทุกด้านไว้ จึงแยกไม่ได้ · (C) ใช้ไม่ได้เพราะการหมุนทำให้จุดยอดแต่ละจุดเคลื่อนไปไกลคนละระยะ จึงไม่มีท่าเดียวที่ใช้เทียบได้
Side $A_1A_2$ is the vector $(-4,0)$ in triangle $A$. The matching side $B_1B_2$ is the vector $(0,-4)$ in triangle $B$. State the angle and direction of the rotation that turns one vector into the other.
ด้าน $A_1A_2$ เป็นเวกเตอร์ $(-4,0)$ ในรูปสามเหลี่ยม $A$ ด้าน $B_1B_2$ ที่ตรงกันเป็นเวกเตอร์ $(0,-4)$ ในรูปสามเหลี่ยม $B$ จงระบุมุมและทิศทางของการหมุนที่เปลี่ยนเวกเตอร์หนึ่งไปเป็นอีกเวกเตอร์
Answershow ▾
A $90°$ anticlockwise turn sends the vector $(x,y)$ to $(-y,x)$; check it on $(-4,0)$.การหมุน $90°$ ทวนเข็มนาฬิกา ส่งเวกเตอร์ $(x,y)$ ไปเป็น $(-y,x)$ ลองตรวจกับ $(-4,0)$
A candidate centre is $(-6,-2)$. Rotate the vertex $(1,-3)$ by $90°$ anticlockwise about $(-6,-2)$: subtract the centre, swap and negate, then add the centre back. Does it land on $(-5,5)$?
จุดศูนย์กลางที่คาดไว้คือ $(-6,-2)$ จงหมุนจุดยอด $(1,-3)$ ด้วยมุม $90°$ ทวนเข็มนาฬิกา รอบจุด $(-6,-2)$: ลบด้วยจุดศูนย์กลาง สลับที่แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วบวกจุดศูนย์กลางกลับ ตรงกับ $(-5,5)$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct centre sends every vertex of $A$ onto its matching vertex of $B$, not just one.จุดศูนย์กลางที่ถูกต้องต้องส่งทุกจุดยอดของ $A$ ไปตรงกับจุดยอดที่ตรงกันของ $B$ ไม่ใช่แค่จุดเดียว
Triangle $A$ has vertices $(2,1),(4,1),(4,3)$ and triangle $B$ has vertices $(-1,2),(-1,4),(-3,4)$.
(a)(i) Reflect $A$ in the line $x=1$.
(a)(ii) Translate $A$ by the vector $\dbinom{1}{-1}$.
(a)(iii) Enlarge $A$ by scale factor $-\dfrac12$, centre $(0,1)$.
(b) Describe fully the single transformation that maps $A$ onto $B$.
รูปสามเหลี่ยม $A$ มีจุดยอด $(2,1),(4,1),(4,3)$ และรูปสามเหลี่ยม $B$ มีจุดยอด $(-1,2),(-1,4),(-3,4)$
(a)(i) จงสะท้อน $A$ ในเส้นตรง $x=1$
(a)(ii) จงเลื่อนขนาน $A$ ด้วยเวกเตอร์ $\dbinom{1}{-1}$
(a)(iii) จงขยาย $A$ ด้วยอัตราส่วนสเกล $-\dfrac12$ จุดศูนย์กลาง $(0,1)$
(b) จงบรรยาย (describe fully) การแปลงเรขาคณิตครั้งเดียวที่แปลง $A$ ไปเป็น $B$ ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
Same four moves as the exam question: reflect, translate, enlarge from a centre, then describe the rotation.สี่ขั้นเดิมจากข้อสอบ: สะท้อน เลื่อนขนาน ขยายจากจุดศูนย์กลาง แล้วบรรยายการหมุน
Triangle A and triangle B are shown on the grid.
(a)(i) Draw the image of triangle A after a reflection in the line $x = 2$.
(a)(ii) Draw the image of triangle A after a translation by the vector $\dbinom{-2}{4}$.
(a)(iii) Draw the image of triangle A after an enlargement by scale factor $-\dfrac12$, centre $(3, 1)$.
(b) Describe fully the single transformation that maps triangle A onto triangle B.
รูปสามเหลี่ยม A และรูปสามเหลี่ยม B แสดงอยู่บนกริด
(a)(i) จงวาดภาพของรูปสามเหลี่ยม A หลังจากสะท้อน (reflect) ในเส้นตรง $x = 2$
(a)(ii) จงวาดภาพของรูปสามเหลี่ยม A หลังจากเลื่อนขนาน (translate) ด้วยเวกเตอร์ $\dbinom{-2}{4}$
(a)(iii) จงวาดภาพของรูปสามเหลี่ยม A หลังจากขยาย (enlarge) ด้วยอัตราส่วนสเกล $-\dfrac12$ จุดศูนย์กลาง $(3, 1)$
(ข) จงบรรยาย (describe fully) การแปลงเรขาคณิตครั้งเดียวที่แปลงรูปสามเหลี่ยม A ไปเป็นรูปสามเหลี่ยม B ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
10 marks: $2$ for each image in (a)(i) and (a)(ii), $3$ for the enlargement in (a)(iii), then $3$ for the rotation's angle, direction and centre in (b).10 คะแนน: (a)(i) และ (a)(ii) ได้ $2$ คะแนนต่อข้อ (a)(iii) การขยายได้ $3$ คะแนน แล้ว (b) การหมุนได้ $3$ คะแนนจากมุม ทิศทาง และจุดศูนย์กลาง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x' = 4-x,\ \ y'=y$
$(1,-3),(-3,-3),(-3,-5)$
$\to\ (3,-3),(7,-3),(7,-5)$
B2 translate each vertex by the vectorเลื่อนขนานแต่ละจุดยอดด้วยเวกเตอร์
$(x,y)\to(x-2,\,y+4)$
$(1,-3),(-3,-3),(-3,-5)$
$\to\ (-1,1),(-5,1),(-5,-1)$
B3 enlarge each vertex from the centre by scale factor $-\tfrac12$ขยายแต่ละจุดยอดจากจุดศูนย์กลางด้วยอัตราส่วนสเกล $-\tfrac12$
$\text{image}$
$= (3,1)-\tfrac12\big((x,y)-(3,1)\big)$
$(1,-3),(-3,-3),(-3,-5)$
$\to\ (4,3),(6,3),(6,4)$
B1 state the transformation is a rotationระบุว่าการแปลงคือการหมุน (rotation)
$\text{rotation}$
B1 state the angle, $90°$ anticlockwiseระบุมุม $90°$ ทวนเข็มนาฬิกา
$90°\ \text{anticlockwise}$
B1 state the centre, $(-6, -2)$ระบุจุดศูนย์กลาง $(-6, -2)$
$\text{centre } (-6,-2)$
AB and CB given, find AC กำหนด AB และ CB หา AC
Here are two vectors.
$\overrightarrow{AB} = \dbinom{5}{3}$ $\overrightarrow{CB} = \dbinom{-2}{4}$
Find, as a column vector, $\overrightarrow{AC}$
กำหนดเวกเตอร์สองตัว
$\overrightarrow{AB} = \dbinom{5}{3}$ $\overrightarrow{CB} = \dbinom{-2}{4}$
จงหา $\overrightarrow{AC}$ ในรูปเวกเตอร์หลัก
$\overrightarrow{CB} = \dbinom{-2}{4}$. Find $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{CB} = \dbinom{-2}{4}$ จงหา $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
Reversing a vector flips the sign of both numbers.การกลับทิศเวกเตอร์คือเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสองตัว
Add $\dbinom{5}{3}$ and $\dbinom{2}{-4}$.
จงบวก $\dbinom{5}{3}$ และ $\dbinom{2}{-4}$
Answershow ▾
Add the top numbers together, then the bottom numbers together.บวกตัวบนกับตัวบน แล้วบวกตัวล่างกับตัวล่าง
For a journey $A\to B\to C$, write $\overrightarrow{AC}$ using $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{BC}$.
สำหรับการเดินทาง $A\to B\to C$ จงเขียน $\overrightarrow{AC}$ โดยใช้ $\overrightarrow{AB}$ และ $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
Travel the first leg, then the second leg.เดินช่วงแรกก่อน แล้วเดินช่วงที่สอง
$\overrightarrow{AB} = \dbinom{5}{3}$, $\overrightarrow{CB} = \dbinom{-2}{4}$. $\overrightarrow{AC}$ goes $A\to B\to C$. Pick the first move.
(A) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$
(B) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, with $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$
(C) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB} = \dbinom{5}{3}$, $\overrightarrow{CB} = \dbinom{-2}{4}$ $\overrightarrow{AC}$ เดินทางจาก $A\to B\to C$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$
(B) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ โดย $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$
(C) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
(A) adds $\overrightarrow{CB}$ as given, but that vector points from C to B, the wrong way for a journey A to B to C - it needs reversing first. (C) swaps the order, which reverses the direction of the whole answer.(A) บวก $\overrightarrow{CB}$ ตามที่กำหนด แต่เวกเตอร์นั้นชี้จาก C ไป B ซึ่งผิดทิศสำหรับการเดินทาง A ไป B ไป C ต้องกลับทิศก่อน · (C) สลับลำดับ ทำให้คำตอบทั้งหมดกลับทิศ
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{5}{3}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{-2}{4}$. Find $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{5}{3}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{-2}{4}$ จงหา $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
Same reversal as before, now alongside AB.การกลับทิศแบบเดิม ครั้งนี้มี AB กำกับอยู่ด้วย
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{5}{3}$, $\overrightarrow{BC}=\dbinom{2}{-4}$. Find $\overrightarrow{AC}$ as a column vector.
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{5}{3}$, $\overrightarrow{BC}=\dbinom{2}{-4}$ จงหา $\overrightarrow{AC}$ ในรูปเวกเตอร์หลัก
Answershow ▾
Add the top numbers, then the bottom numbers.บวกตัวบนกับตัวบน แล้วบวกตัวล่างกับตัวล่าง
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{5}{3}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{-2}{4}$. Write $\overrightarrow{AC}$ as $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$, then simplify.
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{5}{3}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{-2}{4}$ จงเขียน $\overrightarrow{AC}$ เป็น $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$ แล้วจัดให้เป็นรูปง่าย
Answershow ▾
Adding BC is the same as subtracting CB, because BC is CB reversed.การบวก BC เท่ากับการลบ CB เพราะ BC คือ CB ที่กลับทิศ
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{5}{3}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{-2}{4}$. Find $\overrightarrow{AC}$ as a column vector.
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{5}{3}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{-2}{4}$ จงหา $\overrightarrow{AC}$ ในรูปเวกเตอร์หลัก
Answershow ▾
Reverse CB first, then add it to AB.กลับทิศ CB ก่อน แล้วนำไปบวกกับ AB
Check: does $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$ give the same column vector as $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$?
จงตรวจว่า $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$ ให้เวกเตอร์คอลัมน์เดียวกับ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ หรือไม่
Answershow ▾
Subtracting CB and adding its reverse, BC, are the same move.การลบ CB กับการบวกตัวกลับทิศของมันคือ BC เป็นขั้นเดียวกัน
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{4}{1}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{1}{5}$. Find $\overrightarrow{AC}$ as a column vector.
$\overrightarrow{AB}=\dbinom{4}{1}$, $\overrightarrow{CB}=\dbinom{1}{5}$ จงหา $\overrightarrow{AC}$ ในรูปเวกเตอร์หลัก
Answershow ▾
Same two moves: reverse CB, then add it to AB.สองขั้นเดิม: กลับทิศ CB แล้วนำไปบวกกับ AB
Here are two vectors.
$\overrightarrow{AB} = \dbinom{5}{3}$ $\overrightarrow{CB} = \dbinom{-2}{4}$
Find, as a column vector, $\overrightarrow{AC}$
กำหนดเวกเตอร์สองตัว
$\overrightarrow{AB} = \dbinom{5}{3}$ $\overrightarrow{CB} = \dbinom{-2}{4}$
จงหา $\overrightarrow{AC}$ ในรูปเวกเตอร์หลัก
Answershow ▾
2 marks: the route (M1) and the column vector (A1).2 คะแนน: เส้นทาง (M1) และเวกเตอร์หลักที่ได้ (A1)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{AC}$
$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$
$= \dbinom{5}{3} - \dbinom{-2}{4}$
A1 the column vectorเวกเตอร์หลักที่ได้
$= \dbinom{7}{-1}$
Triangle translated - three missing letters เลื่อนขนานสามเหลี่ยม - ตัวแปรที่หายสามตัว
The diagram shows a sketch of triangle $A$ and triangle $B$ on a coordinate grid.
(a) Given that triangle $A$ has been translated to give triangle $B$, work out the value of $d$, the value of $e$ and the value of $f$
แผนภาพแสดงภาพร่างของสามเหลี่ยม $A$ และสามเหลี่ยม $B$ บนระบบพิกัด
(ก) กำหนดให้สามเหลี่ยม $A$ ถูกเลื่อนขนานไปเป็นสามเหลี่ยม $B$ จงหาค่าของ $d$ ค่าของ $e$ และค่าของ $f$
Triangle $A$ has a vertex at $(-7,2)$. The matching vertex of triangle $B$ is at $(6,12)$. Find the column vector of the move from $A$ to $B$.
สามเหลี่ยม $A$ มีจุดยอดที่ $(-7,2)$ ส่วนจุดที่ตรงกันบนสามเหลี่ยม $B$ อยู่ที่ $(6,12)$ จงหาเวกเตอร์คอลัมน์ของการเลื่อนจาก $A$ ไป $B$
Answershow ▾
Subtract the $A$ coordinates from the $B$ coordinates, top and bottom.นำพิกัดของ $A$ ไปลบออกจากพิกัดของ $B$ ทั้งบนและล่าง
A point $(5,-2)$ is translated by the vector $\dbinom{3}{4}$. Find the new point.
จุด $(5,-2)$ ถูกเลื่อนขนานด้วยเวกเตอร์ $\dbinom{3}{4}$ จงหาจุดใหม่
Answershow ▾
Add the vector top number to $x$, the bottom number to $y$.บวกตัวเลขด้านบนของเวกเตอร์เข้ากับ $x$ และตัวเลขด้านล่างเข้ากับ $y$
Solve $t+5=13$.
จงแก้สมการ $t+5=13$
Answershow ▾
Subtract $5$ from both sides.นำ $5$ ไปลบออกจากทั้งสองข้าง
You need the column vector of the move from $A$ to $B$. Pick the pair of vertices to subtract.
(A) $(-7,2)$ and $(2,d)$
(B) $(-7,2)$ and $(6,12)$
(C) $(f,-3)$ and $(9,e)$
คุณต้องหาเวกเตอร์คอลัมน์ของการเลื่อนจาก $A$ ไป $B$ จงเลือกคู่จุดที่จะนำมาลบกัน
(A) $(-7,2)$ และ $(2,d)$
(B) $(-7,2)$ และ $(6,12)$
(C) $(f,-3)$ และ $(9,e)$
Answershow ▾
(A) and (C) each contain an unknown letter, so the subtraction cannot be done. Only (B) has two fully numeric points.(A) และ (C) มีตัวแปรที่ยังไม่รู้ค่าอยู่ จึงลบกันไม่ได้ · มีแค่ (B) ที่เป็นจุดตัวเลขครบทั้งสองจุด
The move from $A$ to $B$ is $\dbinom{13}{10}$. Triangle $A$ has a vertex $(-11,-5)$; the matching vertex of $B$ is $(2,d)$. Add the move to $(-11,-5)$ to find $d$.
การเลื่อนจาก $A$ ไป $B$ คือ $\dbinom{13}{10}$ สามเหลี่ยม $A$ มีจุดยอด $(-11,-5)$ ส่วนจุดที่ตรงกัน บน $B$ คือ $(2,d)$ จงบวกการเลื่อนเข้ากับ $(-11,-5)$ เพื่อหา $d$
Answershow ▾
Add the bottom number of the move to the $y$-coordinate.บวกตัวเลขด้านล่างของการเลื่อนเข้ากับพิกัด $y$
Triangle $A$ has a vertex with $y$-coordinate $-3$; the matching vertex of $B$ is $(9,e)$. Add the bottom number of the move, $10$, to $-3$ to find $e$.
สามเหลี่ยม $A$ มีจุดยอดที่พิกัด $y$ เท่ากับ $-3$ ส่วนจุดที่ตรงกันบน $B$ คือ $(9,e)$ จงบวกตัวเลขด้านล่างของการเลื่อน คือ $10$ เข้ากับ $-3$ เพื่อหา $e$
Answershow ▾
Same move as question $4$, applied to a different vertex.การเลื่อนเดียวกันกับข้อ $4$ นำไปใช้กับจุดยอดอีกจุด
The move from $A$ to $B$ is $\dbinom{13}{10}$. The point $(f,-3)$ is on $A$; its matching point on $B$ has $x$-coordinate $9$. Pick the move to find $f$.
(A) $f = 9 + 13$
(B) $f = 9 - 13$
(C) $f = 13 - 9$
การเลื่อนจาก $A$ ไป $B$ คือ $\dbinom{13}{10}$ จุด $(f,-3)$ อยู่บน $A$ ส่วนจุดที่ตรงกันบน $B$ มีพิกัด $x$ เท่ากับ $9$ จงเลือกวิธีหา $f$
(A) $f = 9 + 13$
(B) $f = 9 - 13$
(C) $f = 13 - 9$
Answershow ▾
(A) moves forward again, away from $A$, not back to it. (C) subtracts in the wrong order, giving the wrong sign.(A) เลื่อนไปข้างหน้าอีกครั้ง ไม่ใช่ย้อนกลับมาที่ $A$ · (C) ลบสลับลำดับ ทำให้เครื่องหมายผิด
The matching point of $(f,-3)$ on $B$ has $x$-coordinate $9$. Subtract the top number of the move, $13$, from $9$ to find $f$.
จุดที่ตรงกับ $(f,-3)$ บน $B$ มีพิกัด $x$ เท่ากับ $9$ จงนำตัวเลขด้านบนของการเลื่อน คือ $13$ ไปลบออกจาก $9$ เพื่อหา $f$
Answershow ▾
$f$ is on $A$, the start, so the move is undone here.$f$ อยู่บน $A$ ซึ่งเป็นจุดเริ่ม จึงต้องย้อนการเลื่อนตรงนี้
Using the move $\dbinom{13}{10}$, find $d$ from $(-11,-5)$ and $e$ from the vertex with $y$-coordinate $-3$, one line each.
จงใช้การเลื่อน $\dbinom{13}{10}$ หา $d$ จาก $(-11,-5)$ และหา $e$ จากจุดยอดที่พิกัด $y$ เท่ากับ $-3$ อย่างละหนึ่งบรรทัด
Answershow ▾
Both use the bottom number of the move, $10$, added.ทั้งสองค่าใช้ตัวเลขด้านล่างของการเลื่อน คือ $10$ บวกเหมือนกัน
Check your value $f=-4$: add the top number of the move, $13$, to it. Confirm you get $9$.
จงตรวจค่า $f=-4$: นำตัวเลขด้านบนของการเลื่อน คือ $13$ มาบวกเข้าไป แล้วยืนยันว่าได้ $9$
Answershow ▾
If the forward move returns the known value, $f$ is correct.ถ้าการเลื่อนไปข้างหน้าให้ค่าที่รู้อยู่แล้ว แสดงว่า $f$ ถูกต้อง
Triangle $P$ has vertices $(1,2)$, $(0,-3)$ and $(r,1)$. It is translated to triangle $Q$ with vertices $(5,9)$, $(4,p)$ and $(9,q)$. Work out $p$, $q$ and $r$.
สามเหลี่ยม $P$ มีจุดยอด $(1,2)$, $(0,-3)$ และ $(r,1)$ ถูกเลื่อนขนานไปเป็นสามเหลี่ยม $Q$ ที่มีจุดยอด $(5,9)$, $(4,p)$ และ $(9,q)$ จงหาค่า $p$, $q$ และ $r$
Answershow ▾
Same three moves: the move from the known pair, add it forward for $p$ and $q$, undo it for $r$.สามขั้นเดิม: หาการเลื่อนจากคู่จุดที่รู้ครบ บวกไปข้างหน้าเพื่อหา $p$ และ $q$ แล้วย้อนกลับเพื่อหา $r$
The diagram shows a sketch of triangle $A$ and triangle $B$ on a coordinate grid.
(a) Given that triangle $A$ has been translated to give triangle $B$, work out the value of $d$, the value of $e$ and the value of $f$
แผนภาพแสดงภาพร่างของสามเหลี่ยม $A$ และสามเหลี่ยม $B$ บนระบบพิกัด
(ก) กำหนดให้สามเหลี่ยม $A$ ถูกเลื่อนขนานไปเป็นสามเหลี่ยม $B$ จงหาค่าของ $d$ ค่าของ $e$ และค่าของ $f$
Answershow ▾
3 marks: the move from the known pair, add it forward for $d$ and $e$, undo it for $f$.3 คะแนน: หาการเลื่อนจากคู่จุดที่รู้ครบ บวกไปข้างหน้าเพื่อหา $d$ และ $e$ แล้วย้อนกลับเพื่อหา $f$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dbinom{6-(-7)}{12-2} = \dbinom{13}{10}$
M1 add the move to Aบวกการเลื่อนเข้ากับจุดของ A
$d = -5 + 10$
$= 5$
$e = -3 + 10$
$= 7$
A1 f is on A, so subtractf อยู่บน A จึงต้องลบ
$f = 9 - 13$
$= -4$
A ratio on two sides อัตราส่วนบนสองด้าน
$OAB$ is a triangle.
$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$
The point $C$ lies on $OA$ such that $OC : CA = 1 : 2$
The point $D$ lies on $OB$ such that $OD : DB = 1 : 2$
Using a vector method, prove that $ABDC$ is a trapezium.
$OAB$ เป็นรูปสามเหลี่ยม
$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$
จุด $C$ อยู่บน $OA$ โดยที่ $OC : CA = 1 : 2$
จุด $D$ อยู่บน $OB$ โดยที่ $OD : DB = 1 : 2$
จงใช้วิธีเวกเตอร์พิสูจน์ว่า $ABDC$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
$C$ lies on $OA$ with $OC:CA=1:2$. Using $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$, write $\overrightarrow{OC}$ as a fraction of $\mathbf{a}$.
จุด $C$ อยู่บน $OA$ โดยที่ $OC:CA=1:2$ กำหนด $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ จงเขียน $\overrightarrow{OC}$ เป็นเศษส่วนของ $\mathbf{a}$
Answershow ▾
1:2 splits OA into 3 equal parts. OC is 1 of them.1:2 แบ่ง OA ออกเป็น 3 ส่วนเท่ากัน OC คือ 1 ส่วนในนั้น
Write the route $\overrightarrow{AB}$ using the routes $\overrightarrow{OA}$ and $\overrightarrow{OB}$.
จงเขียนเส้นทาง $\overrightarrow{AB}$ โดยใช้เส้นทาง $\overrightarrow{OA}$ และ $\overrightarrow{OB}$
Answershow ▾
Go back along OA, then forward along OB.เดินถอยตามเส้นทาง OA แล้วเดินไปข้างหน้าตามเส้นทาง OB
Factorise $-\tfrac13\mathbf{a}+\tfrac13\mathbf{b}$.
จงแยกตัวประกอบ $-\tfrac13\mathbf{a}+\tfrac13\mathbf{b}$
Answershow ▾
Both terms share the factor one third.ทั้งสองพจน์มีตัวร่วมเป็นหนึ่งในสาม
$D$ lies on $OB$ with $OD:DB=1:2$. Pick $\overrightarrow{OD}$.
(A) $\tfrac12\mathbf{b}$
(B) $\tfrac13\mathbf{b}$
(C) $\tfrac23\mathbf{b}$
จุด $D$ อยู่บน $OB$ โดยที่ $OD:DB=1:2$ จงเลือก $\overrightarrow{OD}$
(A) $\tfrac12\mathbf{b}$
(B) $\tfrac13\mathbf{b}$
(C) $\tfrac23\mathbf{b}$
Answershow ▾
1:2 is 3 parts total, and OD is 1 of them, not 1 of 2. (C) is the fraction for DB, not OD.1:2 คือ 3 ส่วนทั้งหมด และ OD คือ 1 ส่วน ไม่ใช่ 1 ใน 2 · (C) เป็นเศษส่วนของ DB ไม่ใช่ OD
Write $\overrightarrow{OD}$ as a fraction of $\mathbf{b}$.
จงเขียน $\overrightarrow{OD}$ เป็นเศษส่วนของ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Same rule as OC: 1:2 gives one third.กฎเดียวกับ OC: 1:2 ให้หนึ่งในสาม
Write $\overrightarrow{AB}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
จงเขียน $\overrightarrow{AB}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Back along a, forward along b.ถอยตาม a แล้วเดินหน้าตาม b
Using $\overrightarrow{OC}=\tfrac13\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OD}=\tfrac13\mathbf{b}$, write $\overrightarrow{CD}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
กำหนด $\overrightarrow{OC}=\tfrac13\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OD}=\tfrac13\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{CD}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Same route rule as AB, now from C to D.กฎเส้นทางเดียวกับ AB แต่คราวนี้จาก C ไป D
$\overrightarrow{CD}=\tfrac13(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ and $\overrightarrow{AB}=-\mathbf{a}+\mathbf{b}$. Pick the conclusion.
(A) $\overrightarrow{CD}=\tfrac13\overrightarrow{AB}$, so $CD$ is parallel to $AB$
(B) stop - $CD$ is already written in $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$
(C) $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$, since both use $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$
$\overrightarrow{CD}=\tfrac13(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ และ $\overrightarrow{AB}=-\mathbf{a}+\mathbf{b}$ จงเลือกข้อสรุป
(A) $\overrightarrow{CD}=\tfrac13\overrightarrow{AB}$ ดังนั้น $CD$ ขนานกับ $AB$
(B) หยุด - $CD$ อยู่ในรูป $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ แล้ว
(C) $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ เพราะทั้งคู่ใช้ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
(B) stops before the mark that needs the comparison to AB. (C) confuses parallel with equal - CD is one third the size of AB, not the same vector.(B) หยุดก่อนถึงคะแนนที่ต้องเทียบกับ AB · (C) สับสนระหว่างขนานกับเท่ากัน CD มีขนาดเป็นหนึ่งในสามของ AB ไม่ใช่เวกเตอร์เดียวกัน
Factorise $\overrightarrow{CD}=-\tfrac13\mathbf{a}+\tfrac13\mathbf{b}$.
จงแยกตัวประกอบ $\overrightarrow{CD}=-\tfrac13\mathbf{a}+\tfrac13\mathbf{b}$
Answershow ▾
The same factoring move as question 3, now with the real letters.การแยกตัวร่วมแบบเดียวกับข้อ 3 แต่คราวนี้ใช้ตัวอักษรจริง
Check: does $\tfrac13\overrightarrow{AB}$, using $\overrightarrow{AB}=-\mathbf{a}+\mathbf{b}$, equal $\overrightarrow{CD}$?
ตรวจสอบ: $\tfrac13\overrightarrow{AB}$ โดยใช้ $\overrightarrow{AB}=-\mathbf{a}+\mathbf{b}$ เท่ากับ $\overrightarrow{CD}$ หรือไม่
Answershow ▾
A multiple of AB that matches CD confirms the parallel claim.ผลคูณของ AB ที่ตรงกับ CD เป็นการยืนยันข้อสรุปเรื่องขนาน
$OXY$ is a triangle, $\overrightarrow{OX}=\mathbf{x}$, $\overrightarrow{OY}=\mathbf{y}$. $M$ lies on $OX$ with $OM:MX=1:3$, and $N$ lies on $OY$ with $ON:NY=1:3$. Using a vector method, write $\overrightarrow{MN}$ as a fraction of $\overrightarrow{XY}$.
$OXY$ เป็นรูปสามเหลี่ยม $\overrightarrow{OX}=\mathbf{x}$ $\overrightarrow{OY}=\mathbf{y}$ จุด $M$ อยู่บน $OX$ โดยที่ $OM:MX=1:3$ และจุด $N$ อยู่บน $OY$ โดยที่ $ON:NY=1:3$ จงใช้วิธีเวกเตอร์เขียน $\overrightarrow{MN}$ เป็นเศษส่วนของ $\overrightarrow{XY}$
Answershow ▾
Same two moves: 1:3 gives quarters, then MN as a fraction of XY.สองขั้นตอนเดิม: 1:3 ให้หนึ่งในสี่ แล้วเขียน MN เป็นเศษส่วนของ XY
$OAB$ is a triangle.
$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$
The point $C$ lies on $OA$ such that $OC : CA = 1 : 2$
The point $D$ lies on $OB$ such that $OD : DB = 1 : 2$
Using a vector method, prove that $ABDC$ is a trapezium.
$OAB$ เป็นรูปสามเหลี่ยม
$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$
จุด $C$ อยู่บน $OA$ โดยที่ $OC : CA = 1 : 2$
จุด $D$ อยู่บน $OB$ โดยที่ $OD : DB = 1 : 2$
จงใช้วิธีเวกเตอร์พิสูจน์ว่า $ABDC$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
Answershow ▾
3 marks: AB through O, CD from the thirds, then CD as a fraction of AB so they are parallel.3 คะแนน: AB ผ่าน O, CD จากเศษหนึ่งในสาม แล้วเขียน CD เป็นเศษส่วนของ AB เพื่อยืนยันว่าขนานกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{AB} = -\mathbf{a} + \mathbf{b}$
M1 CD from the thirdsหา CD จากหนึ่งในสาม
$\overrightarrow{CD}$
$= -\tfrac13\mathbf{a} + \tfrac13\mathbf{b}$
$= \tfrac13(-\mathbf{a} + \mathbf{b})$
A1 one-third of AB, so parallelเป็นหนึ่งในสามของ AB จึงขนานกัน
$\overrightarrow{CD}$
$= \tfrac13\overrightarrow{AB}$
Trapezium OACB, find ON สี่เหลี่ยมคางหมู OACB หา ON
The diagram shows trapezium $OACB$.
$\overrightarrow{OA} = 3\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 6\mathbf{b}$ $\overrightarrow{AC} = 4\mathbf{b}$
$N$ is the point on $OC$ such that $ANB$ is a straight line.
Find $\overrightarrow{ON}$ as a simplified expression in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
แผนภาพแสดงสี่เหลี่ยมคางหมู $OACB$
$\overrightarrow{OA} = 3\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 6\mathbf{b}$ $\overrightarrow{AC} = 4\mathbf{b}$
$N$ เป็นจุดบน $OC$ ที่ทำให้ $ANB$ เป็นเส้นตรง
จงหา $\overrightarrow{ON}$ ในรูปอย่างง่ายในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
$\overrightarrow{OA}=3\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AC}=4\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{OC}$ as a route through $A$.
$\overrightarrow{OA}=3\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AC}=4\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{OC}$ เป็นเส้นทางผ่านจุด $A$
Answershow ▾
Travel the first leg, $O$ to $A$, then the second, $A$ to $C$.เดินช่วงแรกจาก $O$ ไป $A$ แล้วเดินช่วงที่สองจาก $A$ ไป $C$
$\overrightarrow{OA}=3\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{AB}$ as a route through $O$.
$\overrightarrow{OA}=3\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{AB}$ เป็นเส้นทางผ่านจุด $O$
Answershow ▾
Go back from $A$ to $O$, which reverses $\overrightarrow{OA}$, then on to $B$.ย้อนจาก $A$ ไป $O$ ซึ่งกลับทิศ $\overrightarrow{OA}$ แล้วต่อไปยัง $B$
$N$ lies on $OC$, a fraction $t$ of the way from $O$ to $C$. Given $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{a}+4\mathbf{b}$ (question $1$), write $\overrightarrow{ON}$ in terms of $t$.
$N$ อยู่บน $OC$ เป็นเศษส่วน $t$ ของระยะจาก $O$ ไป $C$ กำหนด $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{a}+4\mathbf{b}$ (ข้อ $1$) จงเขียน $\overrightarrow{ON}$ ในเทอมของ $t$
Answershow ▾
A fraction of the way along a route is that fraction times the route vector.เศษส่วนของระยะทางตามเส้นทาง คือเศษส่วนนั้นคูณกับเวกเตอร์เส้นทาง
$\overrightarrow{ON}=t(3\mathbf{a}+4\mathbf{b})$ because $N$ is on $OC$. $N$ is also on $AB$, since $ANB$ is a straight line. Pick the first move.
(A) guess $t=0.5$, since $N$ looks about halfway along $OC$
(B) write a second expression for $\overrightarrow{ON}$ using $A$ and $\overrightarrow{AB}$, then compare the $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ parts of both expressions
(C) set $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}$ and solve
$\overrightarrow{ON}=t(3\mathbf{a}+4\mathbf{b})$ เพราะ $N$ อยู่บน $OC$ และ $N$ ยังอยู่บน $AB$ ด้วย เพราะ $ANB$ เป็นเส้นตรง จงเลือกขั้นแรก
(A) เดา $t=0.5$ เพราะ $N$ ดูอยู่ประมาณกึ่งกลาง $OC$
(B) หานิพจน์ที่สองของ $\overrightarrow{ON}$ โดยใช้ $A$ และ $\overrightarrow{AB}$ แล้วเทียบส่วนของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ ของทั้งสองนิพจน์
(C) ให้ $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}$ แล้วแก้สมการ
Answershow ▾
(A) assumes $t=0.5$ with no reason to - $t$ is exactly what the question asks for. (C) treats $OC$ and $AB$ as equal routes, but they point in different directions - only a shared point on both lines can be compared.(A) เดา $t=0.5$ โดยไม่มีเหตุผล $t$ คือสิ่งที่ข้อนี้ต้องการหา · (C) มอง $OC$ กับ $AB$ เป็นเส้นทางเดียวกัน แต่ทั้งสองไปคนละทิศทาง มีเพียงจุดที่อยู่บนทั้งสองเส้นเท่านั้นที่เทียบกันได้
$N$ also lies on $AB$, a fraction $s$ of the way from $A$ to $B$, so $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}$. Using $\overrightarrow{OA}=3\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AB}=6\mathbf{b}-3\mathbf{a}$ (question $2$), write $\overrightarrow{ON}$ in terms of $s$.
$N$ อยู่บน $AB$ ด้วย เป็นเศษส่วน $s$ ของระยะจาก $A$ ไป $B$ ดังนั้น $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}$ ใช้ $\overrightarrow{OA}=3\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AB}=6\mathbf{b}-3\mathbf{a}$ (ข้อ $2$) จงเขียน $\overrightarrow{ON}$ ในเทอมของ $s$
Answershow ▾
Start at $A$ (the way in, from question $2$), then add the fraction $s$ of $\overrightarrow{AB}$.เริ่มที่ $A$ (ทางเข้าของข้อ $2$) แล้วบวกเศษส่วน $s$ ของ $\overrightarrow{AB}$
Expand $3\mathbf{a}+s(6\mathbf{b}-3\mathbf{a})$, collecting the $\mathbf{a}$ terms together.
จงกระจาย $3\mathbf{a}+s(6\mathbf{b}-3\mathbf{a})$ โดยรวมพจน์ $\mathbf{a}$ เข้าด้วยกัน
Answershow ▾
Multiply $s$ into the bracket, then collect the two $\mathbf{a}$ terms.คูณ $s$ เข้าไปในวงเล็บ แล้วรวมพจน์ $\mathbf{a}$ ทั้งสอง
Two expressions for $\overrightarrow{ON}$: $t(3\mathbf{a}+4\mathbf{b})$ (question $3$) and $(3-3s)\mathbf{a}+6s\mathbf{b}$ (question $5$). Match the $\mathbf{a}$ parts, and match the $\mathbf{b}$ parts, to write two equations in $t$ and $s$.
สองนิพจน์ของ $\overrightarrow{ON}$ คือ $t(3\mathbf{a}+4\mathbf{b})$ (ข้อ $3$) และ $(3-3s)\mathbf{a}+6s\mathbf{b}$ (ข้อ $5$) จงเทียบพจน์ $\mathbf{a}$ และเทียบพจน์ $\mathbf{b}$ เพื่อเขียนสองสมการในเทอมของ $t$ และ $s$
Answershow ▾
The $\mathbf{a}$ parts give one equation, the $\mathbf{b}$ parts give another - two separate equations.พจน์ $\mathbf{a}$ ให้สมการหนึ่ง และพจน์ $\mathbf{b}$ ให้อีกสมการหนึ่ง เป็นสองสมการแยกกัน
Solve $3t=3-3s$ and $4t=6s$ simultaneously for $s$ and $t$.
จงแก้สมการ $3t=3-3s$ และ $4t=6s$ พร้อมกัน หา $s$ และ $t$
Answershow ▾
Write $t$ from the second equation, then substitute it into the first.เขียน $t$ จากสมการที่สอง แล้วแทนลงในสมการแรก
Check: put $t=0.6$ into $\overrightarrow{ON}=t(3\mathbf{a}+4\mathbf{b})$, and $s=0.4$ into $\overrightarrow{ON}=(3-3s)\mathbf{a}+6s\mathbf{b}$. Do both give the same vector?
ตรวจสอบ: แทน $t=0.6$ ใน $\overrightarrow{ON}=t(3\mathbf{a}+4\mathbf{b})$ และแทน $s=0.4$ ใน $\overrightarrow{ON}=(3-3s)\mathbf{a}+6s\mathbf{b}$ ได้เวกเตอร์เดียวกันหรือไม่
Answershow ▾
A point found two different ways should land on the same vector.จุดที่หาได้จากสองวิธีที่ต่างกัน ควรได้เวกเตอร์เดียวกัน
$OPQR$ is a trapezium. $\overrightarrow{OP}=5\mathbf{a}$, $\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{b}$, $\overrightarrow{OR}=3\mathbf{b}$. $M$ is the point on $OQ$ such that $PMR$ is a straight line. Find $\overrightarrow{OM}$ as a simplified expression in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$OPQR$ เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู $\overrightarrow{OP}=5\mathbf{a}$ $\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{b}$ $\overrightarrow{OR}=3\mathbf{b}$ $M$ เป็นจุดบน $OQ$ ที่ทำให้ $PMR$ เป็นเส้นตรง จงหา $\overrightarrow{OM}$ ในรูปอย่างง่ายในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Same two routes for $M$, matched the same way: along $OQ$, and along $PR$ from $P$.ใช้สองเส้นทางของ $M$ แบบเดิม: ตามแนว $OQ$ และตามแนว $PR$ จากจุด $P$
The diagram shows trapezium $OACB$.
$\overrightarrow{OA} = 3\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 6\mathbf{b}$ $\overrightarrow{AC} = 4\mathbf{b}$
$N$ is the point on $OC$ such that $ANB$ is a straight line.
Find $\overrightarrow{ON}$ as a simplified expression in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
แผนภาพแสดงสี่เหลี่ยมคางหมู $OACB$
$\overrightarrow{OA} = 3\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 6\mathbf{b}$ $\overrightarrow{AC} = 4\mathbf{b}$
$N$ เป็นจุดบน $OC$ ที่ทำให้ $ANB$ เป็นเส้นตรง
จงหา $\overrightarrow{ON}$ ในรูปอย่างง่ายในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
5 marks: the route to $OC$, two routes to $N$, match the $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ parts, then simplify.5 คะแนน: หาเส้นทาง $OC$ หาสองเส้นทางไปยัง $N$ เทียบพจน์ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ แล้วทำให้อย่างง่าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{OC}$
$= 3\mathbf{a} + 4\mathbf{b}$
M1 N on OCN อยู่บน OC
$\overrightarrow{ON}$
$= t(3\mathbf{a} + 4\mathbf{b})$
M1 N on ABN อยู่บน AB
$\overrightarrow{AB}$
$= 6\mathbf{b} - 3\mathbf{a}$
$\overrightarrow{ON}$
$= 3\mathbf{a} + s\overrightarrow{AB}$
A1 match the a and the bเทียบสัมประสิทธิ์ของ a และ b
$3t = 3 - 3s$
$4t = 6s$
$4.5s = 3 - 3s$
$s = 0.4$
$t = 0.6$
A1 ON in simplest formON ในรูปอย่างง่าย
$\overrightarrow{ON}$
$= 0.6(3\mathbf{a} + 4\mathbf{b})$
$= 1.8\mathbf{a} + 2.4\mathbf{b}$
A triangle, a ratio point, and a line extended สามเหลี่ยม จุดแบ่งอัตราส่วน และเส้นที่ต่อออกไป
The diagram shows triangle $OAB$ with $OA$ extended to $E$
$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$
$M$ is the point on $OB$ such that $OM : MB = 4 : 1$
$N$ is the point on $AB$ such that $AN : NB = 3 : 2$
$OA : AE = 5 : 3$
(a) Find an expression for $\overrightarrow{ON}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$
Give your answer in its simplest form.
(b) Use a vector method to show that $MNE$ is a straight line.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยม $OAB$ ที่ต่อ $OA$ ออกไปถึง $E$
$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$
$M$ เป็นจุดบน $OB$ ที่ $OM : MB = 4 : 1$
$N$ เป็นจุดบน $AB$ ที่ $AN : NB = 3 : 2$
$OA : AE = 5 : 3$
(ก) จงหา $\overrightarrow{ON}$ ในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
ตอบในรูปอย่างง่าย
(ข) จงใช้วิธีเวกเตอร์แสดงว่า $MNE$ เป็นเส้นตรง
$M$ is the point on $OB$ such that $OM:MB=4:1$. Write $\overrightarrow{OM}$ as a fraction of $\overrightarrow{OB}$.
$M$ เป็นจุดบน $OB$ ที่ $OM:MB=4:1$ จงเขียน $\overrightarrow{OM}$ เป็นเศษส่วนของ $\overrightarrow{OB}$
Answershow ▾
Add the two parts of the ratio to get the whole: $4+1=5$ parts, and $OM$ is $4$ of them.บวกสองส่วนของอัตราส่วนเพื่อหาทั้งหมด $4+1=5$ ส่วน และ $OM$ คือ $4$ ใน $5$ ส่วนนั้น
$N$ is the point on $AB$ such that $AN:NB=3:2$. Write $\overrightarrow{AN}$ as a fraction of $\overrightarrow{AB}$.
$N$ เป็นจุดบน $AB$ ที่ $AN:NB=3:2$ จงเขียน $\overrightarrow{AN}$ เป็นเศษส่วนของ $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
Same idea: $3+2=5$ parts, and $AN$ is $3$ of them.แนวคิดเดียวกัน $3+2=5$ ส่วน และ $AN$ คือ $3$ ใน $5$ ส่วนนั้น
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{AB}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{AB}$ ในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Destination minus start: walk back to $O$, then out to $B$.ปลายทาง ลบ จุดเริ่ม เดินกลับไปที่ $O$ ก่อน แล้วออกไปที่ $B$
$N$ is on $AB$ with $AN:NB=3:2$, so $\overrightarrow{AN}=\tfrac35(\mathbf{b}-\mathbf{a})$. Pick the correct $\overrightarrow{ON}$.
(A) $\overrightarrow{ON}=\mathbf{a}+\tfrac35(\mathbf{b}-\mathbf{a})$
(B) $\overrightarrow{ON}=\mathbf{a}+\tfrac25(\mathbf{b}-\mathbf{a})$
(C) $\overrightarrow{ON}=\tfrac35\mathbf{a}+\tfrac25\mathbf{b}$
$N$ อยู่บน $AB$ ที่ $AN:NB=3:2$ ดังนั้น $\overrightarrow{AN}=\tfrac35(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ จงเลือก $\overrightarrow{ON}$ ที่ถูก
(A) $\overrightarrow{ON}=\mathbf{a}+\tfrac35(\mathbf{b}-\mathbf{a})$
(B) $\overrightarrow{ON}=\mathbf{a}+\tfrac25(\mathbf{b}-\mathbf{a})$
(C) $\overrightarrow{ON}=\tfrac35\mathbf{a}+\tfrac25\mathbf{b}$
Answershow ▾
(B) uses $\tfrac25$, the fraction for $NB$, not $AN$. (C) weights $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ by the wrong fractions; it does not equal $\mathbf{a}+\tfrac35(\mathbf{b}-\mathbf{a})$.(B) ใช้ $\tfrac25$ ซึ่งเป็นเศษส่วนของ $NB$ ไม่ใช่ $AN$ · (C) ใส่เศษส่วนผิดให้ $\mathbf{a}$ กับ $\mathbf{b}$ ซึ่งไม่เท่ากับ $\mathbf{a}+\tfrac35(\mathbf{b}-\mathbf{a})$
Write $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AN}$, using $\overrightarrow{AN}=\tfrac35(\mathbf{b}-\mathbf{a})$. Do not expand the bracket yet.
จงเขียน $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AN}$ โดยใช้ $\overrightarrow{AN}=\tfrac35(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ ยังไม่ต้องกระจายวงเล็บ
Answershow ▾
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$, so just add the two routes.$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ จึงบวกสองเส้นทางเข้าด้วยกัน
Expand and simplify $\mathbf{a}+\tfrac35(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ to find $\overrightarrow{ON}$ in its simplest form.
จงกระจายและทำให้ $\mathbf{a}+\tfrac35(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ อยู่ในรูปอย่างง่าย เพื่อหา $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
$\mathbf{a}-\tfrac35\mathbf{a}=\tfrac25\mathbf{a}$, the $\mathbf{b}$ term stays as it is.$\mathbf{a}-\tfrac35\mathbf{a}=\tfrac25\mathbf{a}$ ส่วน $\mathbf{b}$ คงเดิม
Using $\overrightarrow{OM}=\tfrac45\mathbf{b}$ and $\overrightarrow{ON}=\tfrac25\mathbf{a}+\tfrac35\mathbf{b}$, find $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$.
ใช้ $\overrightarrow{OM}=\tfrac45\mathbf{b}$ และ $\overrightarrow{ON}=\tfrac25\mathbf{a}+\tfrac35\mathbf{b}$ หา $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$
Answershow ▾
Subtract the $\mathbf{b}$ terms: $\tfrac35\mathbf{b}-\tfrac45\mathbf{b}=-\tfrac15\mathbf{b}$.ลบพจน์ $\mathbf{b}$: $\tfrac35\mathbf{b}-\tfrac45\mathbf{b}=-\tfrac15\mathbf{b}$
$\overrightarrow{OE}=\tfrac85\mathbf{a}$. You want $\overrightarrow{NE}$. Pick the correct route.
(A) $\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OE}$
(B) $\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{ON}$
(C) $\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{ON}$
$\overrightarrow{OE}=\tfrac85\mathbf{a}$ ต้องการหา $\overrightarrow{NE}$ จงเลือกเส้นทางที่ถูก
(A) $\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OE}$
(B) $\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{ON}$
(C) $\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
(A) gives $\overrightarrow{EN}$, the reverse. (C) adds two position vectors, which is not a route between two points.(A) ได้ $\overrightarrow{EN}$ ซึ่งเป็นทิศตรงข้าม · (C) บวกเวกเตอร์ตำแหน่งสองตัว ไม่ใช่เส้นทางระหว่างสองจุด
$OA:AE=5:3$, so $\overrightarrow{AE}=\tfrac35\mathbf{a}$, in the same direction as $\overrightarrow{OA}$. Find $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}$, then use it to find $\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{ON}$.
$OA:AE=5:3$ ดังนั้น $\overrightarrow{AE}=\tfrac35\mathbf{a}$ ทิศทางเดียวกับ $\overrightarrow{OA}$ จงหา $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}$ แล้วใช้หา $\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{OE}=\tfrac85\mathbf{a}$, then subtract $\overrightarrow{ON}$ term by term.$\overrightarrow{OE}=\tfrac85\mathbf{a}$ แล้วลบ $\overrightarrow{ON}$ ทีละพจน์
Check: using $\overrightarrow{MN}=\tfrac25\mathbf{a}-\tfrac15\mathbf{b}$, work out $3\overrightarrow{MN}$. Does it match $\overrightarrow{NE}$?
ตรวจสอบ: ใช้ $\overrightarrow{MN}=\tfrac25\mathbf{a}-\tfrac15\mathbf{b}$ คำนวณ $3\overrightarrow{MN}$ ตรงกับ $\overrightarrow{NE}$ หรือไม่
Answershow ▾
$\overrightarrow{NE}=3\overrightarrow{MN}$ means $N$, $E$ and $M$ share a direction, with $N$ on the line $ME$.$\overrightarrow{NE}=3\overrightarrow{MN}$ แปลว่า $N$, $E$ และ $M$ มีทิศทางเดียวกัน โดย $N$ อยู่บนเส้น $ME$
Triangle $OXY$: $\overrightarrow{OX}=\mathbf{p}$, $\overrightarrow{OY}=\mathbf{q}$. $M$ is the point on $OY$ such that $OM:MY=2:1$. $N$ is the point on $XY$ such that $XN:NY=1:2$. $OX:XZ=3:1$, with $Z$ on the extension of $OX$.
(a) Find $\overrightarrow{ON}$ in terms of $\mathbf{p}$ and $\mathbf{q}$.
(b) Use a vector method to show that $M$, $N$, $Z$ are collinear.
สามเหลี่ยม $OXY$: $\overrightarrow{OX}=\mathbf{p}$, $\overrightarrow{OY}=\mathbf{q}$ · $M$ เป็นจุดบน $OY$ ที่ $OM:MY=2:1$ · $N$ เป็นจุดบน $XY$ ที่ $XN:NY=1:2$ · $OX:XZ=3:1$ โดย $Z$ อยู่บนส่วนต่อของ $OX$
(ก) จงหา $\overrightarrow{ON}$ ในเทอมของ $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{q}$
(ข) จงใช้วิธีเวกเตอร์แสดงว่า $M$, $N$, $Z$ อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน
Answershow ▾
Same three moves: the position-vector formula for $N$, then $\overrightarrow{OZ}-\overrightarrow{ON}$ for the last leg.สามขั้นตอนเดิม: สูตรเวกเตอร์ตำแหน่งหา $N$ แล้ว $\overrightarrow{OZ}-\overrightarrow{ON}$ สำหรับช่วงสุดท้าย
The diagram shows triangle $OAB$ with $OA$ extended to $E$
$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$
$M$ is the point on $OB$ such that $OM : MB = 4 : 1$
$N$ is the point on $AB$ such that $AN : NB = 3 : 2$
$OA : AE = 5 : 3$
(a) Find an expression for $\overrightarrow{ON}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$
Give your answer in its simplest form.
(b) Use a vector method to show that $MNE$ is a straight line.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยม $OAB$ ที่ต่อ $OA$ ออกไปถึง $E$
$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$
$M$ เป็นจุดบน $OB$ ที่ $OM : MB = 4 : 1$
$N$ เป็นจุดบน $AB$ ที่ $AN : NB = 3 : 2$
$OA : AE = 5 : 3$
(ก) จงหา $\overrightarrow{ON}$ ในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
ตอบในรูปอย่างง่าย
(ข) จงใช้วิธีเวกเตอร์แสดงว่า $MNE$ เป็นเส้นตรง
Answershow ▾
5 marks: 2 for $\overrightarrow{ON}$, 3 for $\overrightarrow{NE}=3\overrightarrow{MN}$. Find $\overrightarrow{OE}$ before $\overrightarrow{NE}$.5 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับ $\overrightarrow{ON}$ อีก 3 คะแนนสำหรับ $\overrightarrow{NE}=3\overrightarrow{MN}$ · ต้องหา $\overrightarrow{OE}$ ก่อน $\overrightarrow{NE}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{ON}$
$= \mathbf{a} + \tfrac35(\mathbf{b} - \mathbf{a})$
A1 (a) simplest form(ก) รูปอย่างง่าย
$= \tfrac25\mathbf{a} + \tfrac35\mathbf{b}$
M1 (b) M to N(ข) จาก M ไป N
$\overrightarrow{MN}$
$= \tfrac25\mathbf{a} - \tfrac15\mathbf{b}$
M1 (b) N to E(ข) จาก N ไป E
$\overrightarrow{NE}$
$= \tfrac85\mathbf{a} - \overrightarrow{ON}$
$= \tfrac65\mathbf{a} - \tfrac35\mathbf{b}$
A1 (b) NE is 3 times MN(ข) NE เป็น 3 เท่าของ MN
$\overrightarrow{NE} = 3\overrightarrow{MN}$
Two lines cross, find the ratio สองเส้นตัดกัน หาอัตราส่วน
$OMA$, $ONB$, $MPB$ and $NPA$ are straight lines.
$M$ is the midpoint of $OA$
$ON : NB = 1 : 5$
$\overrightarrow{OM} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{ON} = \mathbf{b}$
(a) Find in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ the vector $\overrightarrow{AN}$
(b) Use a vector method to find the ratio $AP : PN$
$OMA$, $ONB$, $MPB$ และ $NPA$ เป็นเส้นตรง
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OA$
$ON : NB = 1 : 5$
$\overrightarrow{OM} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{ON} = \mathbf{b}$
(ก) จงหาเวกเตอร์ $\overrightarrow{AN}$ ในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
(ข) จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $AP : PN$
$M$ is the midpoint of $OA$, and $\overrightarrow{OM}=\mathbf{a}$. Write $\overrightarrow{OA}$ in terms of $\mathbf{a}$.
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OA$ และ $\overrightarrow{OM}=\mathbf{a}$ จงเขียน $\overrightarrow{OA}$ ในเทอมของ $\mathbf{a}$
Answershow ▾
A midpoint splits the line into two equal halves, so the whole line is twice one half.จุดกึ่งกลางแบ่งเส้นออกเป็นสองส่วนเท่ากัน เส้นทั้งเส้นจึงเป็นสองเท่าของครึ่งเดียว
$ON:NB=1:5$, and $\overrightarrow{ON}=\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{OB}$ in terms of $\mathbf{b}$.
$ON:NB=1:5$ และ $\overrightarrow{ON}=\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{OB}$ ในเทอมของ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
$ON:NB=1:5$ splits $OB$ into $6$ equal parts, and $ON$ is $1$ of them.$ON:NB=1:5$ แบ่ง $OB$ เป็น $6$ ส่วนเท่ากัน และ $ON$ คือ $1$ ส่วนในนั้น
Write $\overrightarrow{AN}$ as a route: go backward along $\overrightarrow{OA}$ to $O$, then forward along $\overrightarrow{ON}$.
จงเขียน $\overrightarrow{AN}$ เป็นเส้นทาง: เดินย้อนตาม $\overrightarrow{OA}$ ไปที่ $O$ แล้วเดินหน้าตาม $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
Going backward along a vector reverses its sign.การเดินย้อนตามเวกเตอร์ ทำให้เครื่องหมายกลับ
To find $\overrightarrow{AN}$ in terms of $\overrightarrow{OA}$ and $\overrightarrow{ON}$, pick the first move.
(A) $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}$
(B) $\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}$
(C) $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{ON}$
จะหา $\overrightarrow{AN}$ ในเทอมของ $\overrightarrow{OA}$ และ $\overrightarrow{ON}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}$
(B) $\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}$
(C) $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
(A) adds $\overrightarrow{OA}$ as if walking from $A$ back through $O$ needs no sign change - it does. (C) swaps the direction, giving $\overrightarrow{NA}$ instead of $\overrightarrow{AN}$.(A) บวก $\overrightarrow{OA}$ เหมือนกับเดินจาก $A$ ย้อนผ่าน $O$ ไม่ต้องกลับเครื่องหมาย ซึ่งไม่จริง · (C) กลับทิศทาง ได้ $\overrightarrow{NA}$ แทนที่จะเป็น $\overrightarrow{AN}$
Using $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ (question $1$) and $\overrightarrow{ON}=\mathbf{b}$, write $\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
ใช้ $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ (ข้อ $1$) และ $\overrightarrow{ON}=\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}$ ในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Substitute $2\mathbf{a}$ for $\overrightarrow{OA}$ and $\mathbf{b}$ for $\overrightarrow{ON}$.แทน $2\mathbf{a}$ ลงใน $\overrightarrow{OA}$ และ $\mathbf{b}$ ลงใน $\overrightarrow{ON}$
$\overrightarrow{OM}=\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$ (question $2$). Write $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
$\overrightarrow{OM}=\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$ (ข้อ $2$) จงเขียน $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}$ ในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{MB}$ is the way from $M$ to $B$: the end minus the start.$\overrightarrow{MB}$ คือเส้นทางจาก $M$ ไป $B$: ปลายทางลบด้วยจุดเริ่ม
$P$ lies on the line through $A$ and $N$. Write $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AN}$, using $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AN}$ from question $4$.
$P$ อยู่บนเส้นที่ผ่าน $A$ และ $N$ จงเขียน $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AN}$ โดยใช้ $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AN}$ จากข้อ $4$
Answershow ▾
$P$ is somewhere along $AN$, a fraction $x$ of the way from $A$.$P$ อยู่บน $AN$ ที่สัดส่วน $x$ จาก $A$
To find $x$, pick the first move.
(A) assume $x=\tfrac15$, the ratio given for $ON:NB$
(B) write $\overrightarrow{OP}$ a second way, through $M$, and match the $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ parts
(C) measure $AP$ and $PN$ on the sketch
จะหา $x$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้ $x=\tfrac15$ ตามอัตราส่วนของ $ON:NB$
(B) เขียน $\overrightarrow{OP}$ อีกเส้นทาง ผ่าน $M$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
(C) วัด $AP$ และ $PN$ จากภาพ
Answershow ▾
(A) the ratio $1:5$ belongs to $O$, $N$, $B$ - there is no reason it carries over to $A$, $P$, $N$. (C) the sketch is not drawn to scale, so a measurement proves nothing.(A) อัตราส่วน $1:5$ เป็นของ $O$, $N$, $B$ ไม่มีเหตุผลที่จะใช้กับ $A$, $P$, $N$ · (C) ภาพไม่ได้วาดตามสเกล วัดแล้วไม่มีความหมาย
$P$ also lies on the line through $M$ and $B$. Write $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+y\overrightarrow{MB}$, using $\overrightarrow{MB}$ from question $5$. Collect both expressions for $\overrightarrow{OP}$ into one $\mathbf{a}$ term and one $\mathbf{b}$ term, then match the $\mathbf{a}$ parts and the $\mathbf{b}$ parts.
$P$ อยู่บนเส้นที่ผ่าน $M$ และ $B$ ด้วย จงเขียน $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+y\overrightarrow{MB}$ โดยใช้ $\overrightarrow{MB}$ จากข้อ $5$ รวมทั้งสองนิพจน์ของ $\overrightarrow{OP}$ ให้เหลือพจน์ $\mathbf{a}$ หนึ่งพจน์และ $\mathbf{b}$ หนึ่งพจน์ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ของ $\mathbf{a}$ และของ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Two different routes to the same point $P$ give the same vector, so the $\mathbf{a}$ parts must match and the $\mathbf{b}$ parts must match.สองเส้นทางไปจุด $P$ จุดเดียวกัน ต้องให้เวกเตอร์เท่ากัน พจน์ $\mathbf{a}$ จึงต้องเท่ากัน และพจน์ $\mathbf{b}$ ก็ต้องเท่ากันด้วย
Substitute $x=6y$ (②) into $2-2x=1-y$ (①). Solve for $y$, then find $x$.
แทน $x=6y$ (②) ลงใน $2-2x=1-y$ (①) จงแก้หา $y$ แล้วหา $x$
Answershow ▾
Once $y$ is known, question $7$’s second equation gives $x$ straight away.เมื่อรู้ $y$ แล้ว สมการที่สองของข้อ $7$ จะให้ $x$ ได้ทันที
$M$ is the midpoint of $OA$ with $\overrightarrow{OM}=\mathbf{p}$. $ON:NB=1:2$ with $\overrightarrow{ON}=\mathbf{q}$. $P$ is where line $MB$ meets line $NA$. Find $AP:PN$.
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OA$ โดย $\overrightarrow{OM}=\mathbf{p}$ และ $ON:NB=1:2$ โดย $\overrightarrow{ON}=\mathbf{q}$ ส่วน $P$ คือจุดที่เส้น $MB$ ตัดกับเส้น $NA$ จงหา $AP:PN$
Answershow ▾
Same two routes for $P$, matched coefficients, solved - now with $ON:NB=1:2$ instead of $1:5$.สองเส้นทางไปจุด $P$ เหมือนเดิม เทียบสัมประสิทธิ์ แล้วแก้สมการ - เปลี่ยนเป็น $ON:NB=1:2$ แทน $1:5$
$OMA$, $ONB$, $MPB$ and $NPA$ are straight lines.
$M$ is the midpoint of $OA$
$ON : NB = 1 : 5$
$\overrightarrow{OM} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{ON} = \mathbf{b}$
(a) Find in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ the vector $\overrightarrow{AN}$
(b) Use a vector method to find the ratio $AP : PN$
$OMA$, $ONB$, $MPB$ และ $NPA$ เป็นเส้นตรง
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OA$
$ON : NB = 1 : 5$
$\overrightarrow{OM} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{ON} = \mathbf{b}$
(ก) จงหาเวกเตอร์ $\overrightarrow{AN}$ ในเทอมของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
(ข) จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $AP : PN$
Answershow ▾
5 marks: $1$ for $\overrightarrow{AN}$, $4$ for method - write $\overrightarrow{OP}$ two ways, match the $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ parts, and solve.5 คะแนน: $1$ คะแนนสำหรับ $\overrightarrow{AN}$ และ $4$ คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ - เขียน $\overrightarrow{OP}$ สองเส้นทาง เทียบสัมประสิทธิ์ของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ แล้วแก้สมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{AN}$
$= -2\mathbf{a} + \mathbf{b}$
M2 (b) OP two ways(ข) เขียน OP สองแบบ
$\overrightarrow{MB}$
$= -\mathbf{a} + 6\mathbf{b}$
$\overrightarrow{OP}$
$= 2\mathbf{a} + x\overrightarrow{AN}$
$\overrightarrow{OP}$
$= \mathbf{a} + y\overrightarrow{MB}$
M1 (b) match a and b(ข) เทียบสัมประสิทธิ์ a และ b
$2 - 2x = 1 - y$
$x = 6y$
$2 - 12y = 1 - y$
$y = \tfrac{1}{11}$
$x = \tfrac{6}{11}$
A1 (b) AP is 6/11 of AN(ข) AP คือ 6/11 ของ AN
$AP : PN = \tfrac{6}{11} : \tfrac{5}{11}$
$= 6 : 5$
Where two lines cross จุดตัดของเส้นสองเส้น
$OAN$, $OMB$, $APB$ and $MPN$ are straight lines.
$OA : AN = 1 : 4$
$OM : MB = 1 : 1$
$\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$
By using a vector method, find the ratio $AP : PB$
Give your answer in its simplest form.
$OAN$, $OMB$, $APB$ และ $MPN$ เป็นเส้นตรง
$OA : AN = 1 : 4$
$OM : MB = 1 : 1$
$\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$
จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $AP : PB$
ตอบในรูปอย่างง่าย
$OAN$ is a straight line with $OA:AN=1:4$. If $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$, find $\overrightarrow{ON}$.
$OAN$ เป็นเส้นตรง โดย $OA:AN=1:4$ ถ้า $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ จงหา $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
$ON$ is $5$ times $OA$, since $OA:AN=1:4$ makes $ON=OA+AN=5\times OA$.$ON$ ยาวเป็น $5$ เท่าของ $OA$ เพราะ $OA:AN=1:4$ ทำให้ $ON=OA+AN=5\times OA$
$OMB$ is a straight line with $OM:MB=1:1$. If $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$, find $\overrightarrow{OM}$.
$OMB$ เป็นเส้นตรง โดย $OM:MB=1:1$ ถ้า $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{OM}$
Answershow ▾
$OM:MB=1:1$ means $M$ is the midpoint of $OB$, so $OM$ is half of $OB$.$OM:MB=1:1$ แปลว่า $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OB$ ดังนั้น $OM$ เป็นครึ่งหนึ่งของ $OB$
$\overrightarrow{OM}=\mathbf{b}$ and $\overrightarrow{ON}=10\mathbf{a}$. Find $\overrightarrow{NM}$.
$\overrightarrow{OM}=\mathbf{b}$ และ $\overrightarrow{ON}=10\mathbf{a}$ จงหา $\overrightarrow{NM}$
Answershow ▾
Go backward along $ON$, then forward along $OM$.เดินถอยกลับตาม $ON$ แล้วเดินไปตาม $OM$
$P$ lies on line $AB$ and on line $NM$. You plan to write $\overrightarrow{OP}$ two ways, using $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{NM}$. Pick the first move.
(A) set $2\mathbf{a}+k\overrightarrow{AB}=10\mathbf{a}+l\overrightarrow{NM}$, then match the $\mathbf{a}$ parts and the $\mathbf{b}$ parts separately
(B) solve $2\mathbf{a}+k\overrightarrow{AB}=10\mathbf{a}+l\overrightarrow{NM}$ for $k$ directly, as one ordinary equation
(C) assume $k=l$, since both measure how far along a line
$P$ อยู่บนเส้น $AB$ และเส้น $NM$ คุณจะเขียน $\overrightarrow{OP}$ สองแบบ โดยใช้ $\overrightarrow{AB}$ และ $\overrightarrow{NM}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้ $2\mathbf{a}+k\overrightarrow{AB}=10\mathbf{a}+l\overrightarrow{NM}$ แล้วเทียบส่วนของ $\mathbf{a}$ และส่วนของ $\mathbf{b}$ แยกกัน
(B) แก้สมการ $2\mathbf{a}+k\overrightarrow{AB}=10\mathbf{a}+l\overrightarrow{NM}$ หาค่า $k$ โดยตรง เหมือนสมการธรรมดาสมการเดียว
(C) สมมติว่า $k=l$ เพราะทั้งสองตัวบอกว่าไปได้ไกลแค่ไหนบนเส้น
Answershow ▾
(B) one equation has two unknowns; matching the $\mathbf{a}$ parts and the $\mathbf{b}$ parts separately gives two equations, not one. (C) $k$ is how far along $AB$, $l$ along $NM$ - different lines, so they need not match.(B) สมการเดียวมีตัวไม่รู้ค่าสองตัว การเทียบส่วนของ $\mathbf{a}$ และส่วนของ $\mathbf{b}$ แยกกัน จะได้สองสมการ ไม่ใช่สมการเดียว · (C) $k$ บอกว่าไปไกลแค่ไหนบน $AB$ ส่วน $l$ บอกบน $NM$ คนละเส้น จึงไม่จำเป็นต้องเท่ากัน
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
Go backward along $OA$, then forward along $OB$.เดินถอยกลับตาม $OA$ แล้วเดินไปตาม $OB$
$P$ is on $AB$, with $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$. Write $\overrightarrow{OP}$ in terms of $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ and $k$.
$P$ อยู่บน $AB$ โดย $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$ จงเขียน $\overrightarrow{OP}$ ในรูป $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ และ $k$
Answershow ▾
Go to $A$ first, then add the fraction $k$ of $\overrightarrow{AB}$.ไปที่ $A$ ก่อน แล้วบวกด้วยเศษส่วน $k$ ของ $\overrightarrow{AB}$
$P$ is also on $NM$, with $\overrightarrow{NP}=l\overrightarrow{NM}$. Write $\overrightarrow{OP}$ in terms of $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ and $l$.
$P$ อยู่บน $NM$ ด้วย โดย $\overrightarrow{NP}=l\overrightarrow{NM}$ จงเขียน $\overrightarrow{OP}$ ในรูป $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ และ $l$
Answershow ▾
Go to $N$ first, then add the fraction $l$ of $\overrightarrow{NM}$.ไปที่ $N$ ก่อน แล้วบวกด้วยเศษส่วน $l$ ของ $\overrightarrow{NM}$
$2\mathbf{a}+k(2\mathbf{b}-2\mathbf{a})=10\mathbf{a}+l(\mathbf{b}-10\mathbf{a})$. Match the $\mathbf{a}$ parts, then the $\mathbf{b}$ parts.
$2\mathbf{a}+k(2\mathbf{b}-2\mathbf{a})=10\mathbf{a}+l(\mathbf{b}-10\mathbf{a})$ จงเทียบส่วนของ $\mathbf{a}$ แล้วส่วนของ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
a and b point in different directions, so the a-coefficient on each side must match, and the b-coefficient on each side must match.$\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ ชี้คนละทิศ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $\mathbf{a}$ ต้องเท่ากัน และสัมประสิทธิ์ของ $\mathbf{b}$ ต้องเท่ากัน
$2-2k=10-10l$ ① and $2k=l$ ②. Substitute ② into ① and solve for $k$.
$2-2k=10-10l$ ① และ $2k=l$ ② จงแทน ② ลงใน ① แล้วแก้หาค่า $k$
Answershow ▾
Replace $l$ with $2k$, then solve the equation for $k$.แทน $l$ ด้วย $2k$ แล้วแก้สมการหาค่า $k$
$OAN$, $OMB$, $APB$ and $MPN$ are straight lines. $OA:AN=1:2$, $OM:MB=1:1$. $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$. Find $AP:PB$.
$OAN$, $OMB$, $APB$ และ $MPN$ เป็นเส้นตรง $OA:AN=1:2$, $OM:MB=1:1$ $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$ จงหา $AP:PB$
Answershow ▾
Same method: write $AB$ and $NM$, write $OP$ two ways, then match the $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ parts.วิธีเดิม: เขียน $AB$ และ $NM$ เขียน $OP$ สองแบบ แล้วเทียบส่วนของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
$OAN$, $OMB$, $APB$ and $MPN$ are straight lines.
$OA : AN = 1 : 4$
$OM : MB = 1 : 1$
$\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$
By using a vector method, find the ratio $AP : PB$
Give your answer in its simplest form.
$OAN$, $OMB$, $APB$ และ $MPN$ เป็นเส้นตรง
$OA : AN = 1 : 4$
$OM : MB = 1 : 1$
$\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$
จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $AP : PB$
ตอบในรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
5 marks: $AB$ and $NM$ first, $OP$ two ways, match the $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ parts, then simplify the ratio.5 คะแนน: หา $AB$ และ $NM$ ก่อน เขียน $OP$ สองแบบ เทียบส่วนของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ แล้วทำให้เป็นอัตราส่วนอย่างง่าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{AB}$
$= 2\mathbf{b} - 2\mathbf{a}$
$\overrightarrow{NM}$
$= \mathbf{b} - 10\mathbf{a}$
M2 OP two waysเขียน OP สองแบบ
$\overrightarrow{OP}$
$= 2\mathbf{a} + k\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{OP}$
$= 10\mathbf{a} + l\overrightarrow{NM}$
M1 match a and bเทียบสัมประสิทธิ์ a และ b
$2 - 2k = 10 - 10l$
$2k = l$
$2 - 2k = 10 - 20k$
$k = \tfrac49$
A1 AP is 4/9 of ABAP คือ 4/9 ของ AB
$AP : PB = \tfrac49 : \tfrac59$
$= 4 : 5$
A crossed quadrilateral, two routes to C รูปสี่เหลี่ยมไขว้ สองเส้นทางไปจุด C
$OAED$ is a quadrilateral.
$\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$ $\overrightarrow{DE} = 7\mathbf{a} + 3\mathbf{b}$
$AB : BD = 1 : 2$
The point $C$ on $AB$ is such that $OCE$ is a straight line.
Use a vector method to find the ratio of $OC : CE$
$OAED$ เป็นรูปสี่เหลี่ยม
$\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$ $\overrightarrow{DE} = 7\mathbf{a} + 3\mathbf{b}$
$AB : BD = 1 : 2$
จุด $C$ บน $AB$ ทำให้ $OCE$ เป็นเส้นตรง
จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $OC : CE$
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
Go back along OA, then forward along OB.ถอยตามเส้นทาง OA แล้วเดินหน้าตามเส้นทาง OB
$A$, $B$, $D$ lie on one line, with $AB:BD=1:2$. Write $\overrightarrow{AD}$ as a multiple of $\overrightarrow{AB}$.
$A$, $B$, $D$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดย $AB:BD=1:2$ จงเขียน $\overrightarrow{AD}$ เป็นผลคูณของ $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
AB is 1 part and BD is 2 parts, so AD is all 3 parts.AB คือ 1 ส่วน และ BD คือ 2 ส่วน ดังนั้น AD คือทั้งหมด 3 ส่วน
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AD}=6\mathbf{b}-6\mathbf{a}$. Find $\overrightarrow{OD}$.
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AD}=6\mathbf{b}-6\mathbf{a}$ จงหา $\overrightarrow{OD}$
Answershow ▾
Walk from O to A, then from A to D.เดินจาก O ไปยัง A แล้วจาก A ไปยัง D
$AB:BD=1:2$. Pick the correct multiple of $\overrightarrow{AB}$ for $\overrightarrow{AD}$.
(A) $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}$
(B) $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}$
(C) $\overrightarrow{AD}=\tfrac12\overrightarrow{AB}$
$AB:BD=1:2$ จงเลือกผลคูณของ $\overrightarrow{AB}$ ที่ถูกต้องสำหรับ $\overrightarrow{AD}$
(A) $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}$
(B) $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}$
(C) $\overrightarrow{AD}=\tfrac12\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
(A) uses only the $2$ from the ratio $1:2$ and forgets that AB itself is the first part - AD is $1+2=3$ parts, not $2$. (C) treats the ratio as a fraction of AB instead of a multiple of it.(A) ใช้แค่เลข $2$ จากอัตราส่วน $1:2$ และลืมว่า AB เองก็เป็นส่วนหนึ่งด้วย - AD คือ $1+2=3$ ส่วน ไม่ใช่ $2$ ส่วน · (C) มองอัตราส่วนเป็นเศษส่วนของ AB แทนผลคูณของ AB
$\overrightarrow{OD}=-4\mathbf{a}+6\mathbf{b}$ and $\overrightarrow{DE}=7\mathbf{a}+3\mathbf{b}$. Find $\overrightarrow{OE}$.
$\overrightarrow{OD}=-4\mathbf{a}+6\mathbf{b}$ และ $\overrightarrow{DE}=7\mathbf{a}+3\mathbf{b}$ จงหา $\overrightarrow{OE}$
Answershow ▾
Add the a-parts together, then the b-parts together.บวกส่วนของ a เข้าด้วยกัน แล้วบวกส่วนของ b เข้าด้วยกัน
$C$ lies on $AB$, so $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AB}$ for some number $\lambda$. Using $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{AB}=2\mathbf{b}-2\mathbf{a}$, write $\overrightarrow{OC}$ in terms of $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ and $\lambda$.
$C$ อยู่บน $AB$ ดังนั้น $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AB}$ สำหรับตัวเลข $\lambda$ จงใช้ $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{AB}=2\mathbf{b}-2\mathbf{a}$ เขียน $\overrightarrow{OC}$ ในรูป $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ และ $\lambda$
Answershow ▾
Multiply lambda into the bracket, then collect the a-terms and the b-terms.คูณ $\lambda$ เข้าไปในวงเล็บ แล้วรวมพจน์ a และพจน์ b แยกกัน
$C$ also lies on $OE$, so $\overrightarrow{OC}=\mu\overrightarrow{OE}$ for some number $\mu$. Using $\overrightarrow{OE}=3\mathbf{a}+9\mathbf{b}$, write $\overrightarrow{OC}$ in terms of $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ and $\mu$.
$C$ อยู่บน $OE$ ด้วย ดังนั้น $\overrightarrow{OC}=\mu\overrightarrow{OE}$ สำหรับตัวเลข $\mu$ จงใช้ $\overrightarrow{OE}=3\mathbf{a}+9\mathbf{b}$ เขียน $\overrightarrow{OC}$ ในรูป $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ และ $\mu$
Answershow ▾
Multiply mu into both terms of OE.คูณ $\mu$ เข้าไปในทั้งสองพจน์ของ OE
$\overrightarrow{OC}$ equals both $(2-2\lambda)\mathbf{a}+2\lambda\mathbf{b}$ and $3\mu\mathbf{a}+9\mu\mathbf{b}$. Pick the first move to find $\mu$.
(A) set only the a-coefficients equal
(B) set the a-coefficients equal AND the b-coefficients equal - two equations
(C) add the two expressions together
$\overrightarrow{OC}$ เท่ากับทั้ง $(2-2\lambda)\mathbf{a}+2\lambda\mathbf{b}$ และ $3\mu\mathbf{a}+9\mu\mathbf{b}$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อหา $\mu$
(A) ให้สัมประสิทธิ์ของ a เท่ากันอย่างเดียว
(B) ให้สัมประสิทธิ์ของ a เท่ากัน และสัมประสิทธิ์ของ b เท่ากัน - ได้สองสมการ
(C) บวกสองนิพจน์เข้าด้วยกัน
Answershow ▾
(A) throws away half the information - a and b point in different directions, so one equation alone cannot pin down two unknowns, $\lambda$ and $\mu$. (C) adding mixes the a-parts and b-parts together instead of comparing them.(A) ทิ้งข้อมูลไปครึ่งหนึ่ง - a กับ b ชี้คนละทิศ สมการเดียวจึงหาตัวไม่รู้ค่าสองตัวคือ $\lambda$ กับ $\mu$ ไม่ได้ · (C) การบวกจะปนพจน์ a กับพจน์ b เข้าด้วยกันแทนการเทียบ
Compare the a-coefficients and the b-coefficients of $(2-2\lambda)\mathbf{a}+2\lambda\mathbf{b}$ and $3\mu\mathbf{a}+9\mu\mathbf{b}$ to write two equations. Add them to find $\mu$.
เทียบสัมประสิทธิ์ของ a และของ b ระหว่าง $(2-2\lambda)\mathbf{a}+2\lambda\mathbf{b}$ และ $3\mu\mathbf{a}+9\mu\mathbf{b}$ เพื่อเขียนสองสมการ แล้วบวกสมการทั้งสองเพื่อหา $\mu$
Answershow ▾
The a-equation and the b-equation add to cancel lambda.สมการของ a และสมการของ b บวกกันแล้ว $\lambda$ จะตัดกันหมด
Use $\mu=\tfrac16$ in equation ② to find $\lambda$. Does it fit equation ① too?
ใช้ $\mu=\tfrac16$ ในสมการ ② เพื่อหา $\lambda$ แล้วตรวจว่าเข้ากับสมการ ① หรือไม่
Answershow ▾
Both equations must give the same point C, so both must check out.สมการทั้งสองต้องให้จุด C เดียวกัน จึงต้องตรวจผ่านทั้งคู่
$OPST$ is a quadrilateral. $\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OQ}=\mathbf{b}$, $\overrightarrow{ST}=3\mathbf{a}+\mathbf{b}$, and $PQ:QS=1:1$. The point $R$ on $PQ$ is such that $ORT$ is a straight line. Find $OR:RT$.
$OPST$ เป็นรูปสี่เหลี่ยม $\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OQ}=\mathbf{b}$, $\overrightarrow{ST}=3\mathbf{a}+\mathbf{b}$ และ $PQ:QS=1:1$ จุด $R$ บน $PQ$ ทำให้ $ORT$ เป็น เส้นตรง จงหา $OR:RT$
Answershow ▾
Same five moves: PQ, then PS as a multiple of it, then OS, OT, and the two coefficient equations.ห้าขั้นเดิม: หา PQ แล้ว PS เป็นผลคูณของมัน จากนั้น OS, OT และสองสมการจากสัมประสิทธิ์
$OAED$ is a quadrilateral.
$\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$ $\overrightarrow{DE} = 7\mathbf{a} + 3\mathbf{b}$
$AB : BD = 1 : 2$
The point $C$ on $AB$ is such that $OCE$ is a straight line.
Use a vector method to find the ratio of $OC : CE$
$OAED$ เป็นรูปสี่เหลี่ยม
$\overrightarrow{OA} = 2\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB} = 2\mathbf{b}$ $\overrightarrow{DE} = 7\mathbf{a} + 3\mathbf{b}$
$AB : BD = 1 : 2$
จุด $C$ บน $AB$ ทำให้ $OCE$ เป็นเส้นตรง
จงใช้วิธีเวกเตอร์หาอัตราส่วน $OC : CE$
Answershow ▾
5 marks: AB then AD as 3AB, OE from two legs, OC two ways, compare coefficients for $\mu$.5 คะแนน: หา AB แล้ว AD เป็น 3AB, หา OE จากสองเส้นทาง, เขียน OC สองแบบ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์หา $\mu$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{AB}$
$= 2\mathbf{b} - 2\mathbf{a}$
$\overrightarrow{AD}$
$= 6\mathbf{b} - 6\mathbf{a}$
M2 two paths, OE and OCสองเส้นทาง OE และ OC
$\overrightarrow{OD}$
$= 2\mathbf{a} + \overrightarrow{AD}$
$= -4\mathbf{a} + 6\mathbf{b}$
$\overrightarrow{OE}$
$= \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DE}$
$= 3\mathbf{a} + 9\mathbf{b}$
$\overrightarrow{OC}$
$= 2\mathbf{a} + \lambda\overrightarrow{AB}$
M1 OC is a multiple of OEOC เป็นพหุคูณของ OE
$\overrightarrow{OC} = \mu\overrightarrow{OE}$
$2 - 2\lambda = 3\mu$
$2\lambda = 9\mu$
$\mu = \tfrac16$
A1 OC is 1/6 of OEOC คือ 1/6 ของ OE
$OC : CE = \tfrac16 : \tfrac56$
$= 1 : 5$
Two routes to the same point สองเส้นทางสู่จุดเดียวกัน
$OXYZ$ is a trapezium.
$\overrightarrow{OX} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{XY} = \mathbf{b}$ $\overrightarrow{OZ} = 3\mathbf{b}$
$M$ is the midpoint of $OX$
$N$ is the point such that $MNZ$ and $ONY$ are straight lines.
Given that $ON : OY = \lambda : 1$
use a vector method to find the value of $\lambda$
$OXYZ$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
$\overrightarrow{OX} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{XY} = \mathbf{b}$ $\overrightarrow{OZ} = 3\mathbf{b}$
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OX$
$N$ เป็นจุดที่ทำให้ $MNZ$ และ $ONY$ เป็นเส้นตรง
กำหนดให้ $ON : OY = \lambda : 1$
จงใช้วิธีเวกเตอร์หาค่าของ $\lambda$
$M$ is the midpoint of $OX$, and $\overrightarrow{OX}=\mathbf{a}$. Write $\overrightarrow{OM}$ in terms of $\mathbf{a}$.
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OX$ และ $\overrightarrow{OX}=\mathbf{a}$ จงเขียน $\overrightarrow{OM}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$
Answershow ▾
A midpoint vector is always half of the whole vector.เวกเตอร์จุดกึ่งกลาง มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของเวกเตอร์ทั้งเส้นเสมอ
$\overrightarrow{OX}=\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{XY}=\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{OY}$ as a route through $X$.
$\overrightarrow{OX}=\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{XY}=\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{OY}$ โดยผ่านเส้นทาง $X$
Answershow ▾
Walk the route you know: $O$ to $X$, then $X$ to $Y$.เดินตามเส้นทางที่รู้: จาก $O$ ไป $X$ แล้วจาก $X$ ไป $Y$
$N$ is on $OY$ with $ON:OY=\lambda:1$, and $\overrightarrow{OY}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{ON}$ in terms of $\lambda$, $\mathbf{a}$, and $\mathbf{b}$.
$N$ อยู่บน $OY$ โดย $ON:OY=\lambda:1$ และ $\overrightarrow{OY}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{ON}$ ในรูปของ $\lambda$, $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
A fraction $\lambda$ along a line scales the whole route vector by $\lambda$.สัดส่วน $\lambda$ บนเส้นตรง คือการคูณเวกเตอร์เส้นทางทั้งเส้นด้วย $\lambda$
$M$ is the midpoint of $OX$, and $\overrightarrow{OZ}=3\mathbf{b}$. You need $\overrightarrow{MZ}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$. Pick the first move.
(A) $\overrightarrow{MZ}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OZ}$
(B) $\overrightarrow{MZ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OZ}$
(C) $\overrightarrow{MZ}=\overrightarrow{MX}+\overrightarrow{XZ}$
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OX$ และ $\overrightarrow{OZ}=3\mathbf{b}$ ต้องหา $\overrightarrow{MZ}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $\overrightarrow{MZ}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OZ}$
(B) $\overrightarrow{MZ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OZ}$
(C) $\overrightarrow{MZ}=\overrightarrow{MX}+\overrightarrow{XZ}$
Answershow ▾
(B) uses $\overrightarrow{OM}$, the wrong direction - going $M$ to $O$ is $-\overrightarrow{OM}$, not $+\overrightarrow{OM}$. (C) needs $\overrightarrow{XZ}$, which is not one of the three given vectors.(B) ใช้ $\overrightarrow{OM}$ ทิศผิด เพราะจาก $M$ ไป $O$ คือ $-\overrightarrow{OM}$ ไม่ใช่ $+\overrightarrow{OM}$ · (C) ต้องใช้ $\overrightarrow{XZ}$ ซึ่งไม่ใช่หนึ่งในสามเวกเตอร์ที่กำหนดมา
$\overrightarrow{ON}=\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})$, and also $\overrightarrow{ON}=\tfrac12\mathbf{a}+\mu(-\tfrac12\mathbf{a}+3\mathbf{b})$. Pick the first move to find $\lambda$.
(A) compare the $\mathbf{a}$-coefficients only
(B) compare the $\mathbf{a}$-coefficients AND the $\mathbf{b}$-coefficients
(C) add the two expressions together
$\overrightarrow{ON}=\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ และ $\overrightarrow{ON}=\tfrac12\mathbf{a}+\mu(-\tfrac12\mathbf{a}+3\mathbf{b})$ ด้วย จงเลือกขั้นแรกเพื่อหา $\lambda$
(A) เทียบสัมประสิทธิ์ $\mathbf{a}$ อย่างเดียว
(B) เทียบสัมประสิทธิ์ $\mathbf{a}$ และสัมประสิทธิ์ $\mathbf{b}$
(C) บวกสองนิพจน์เข้าด้วยกัน
Answershow ▾
(A) gives one equation with two unknowns, $\lambda$ and $\mu$ - not enough to solve. (C) does not use that the two expressions are equal; it just builds a new vector.(A) ได้สมการเดียวที่มีสองตัวไม่รู้ค่า $\lambda$ กับ $\mu$ ไม่พอแก้ · (C) ไม่ได้ใช้ข้อเท็จจริงว่าทั้งสองนิพจน์เท่ากัน เป็นแค่การสร้างเวกเตอร์ใหม่
Work out $\overrightarrow{MZ}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OZ}$, using $\overrightarrow{OM}=\tfrac12\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OZ}=3\mathbf{b}$.
จงหา $\overrightarrow{MZ}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OZ}$ โดยใช้ $\overrightarrow{OM}=\tfrac12\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OZ}=3\mathbf{b}$
Answershow ▾
Going from $M$ to $O$ reverses $\overrightarrow{OM}$, so it becomes $-\tfrac12\mathbf{a}$.จาก $M$ ไป $O$ คือทิศตรงข้ามของ $\overrightarrow{OM}$ จึงกลายเป็น $-\tfrac12\mathbf{a}$
Let $\mu$ be the fraction of the way from $M$ to $Z$ that $N$ lies. Using $\overrightarrow{OM}=\tfrac12\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{MZ}=-\tfrac12\mathbf{a}+3\mathbf{b}$, write $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\mu\overrightarrow{MZ}$.
ให้ $\mu$ เป็นสัดส่วนจาก $M$ ไป $Z$ ที่จุด $N$ อยู่ โดยใช้ $\overrightarrow{OM}=\tfrac12\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{MZ}=-\tfrac12\mathbf{a}+3\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\mu\overrightarrow{MZ}$
Answershow ▾
$N$ is $\mu$ of the way from $M$ to $Z$, so add $\mu$ lots of $\overrightarrow{MZ}$ to $\overrightarrow{OM}$.$N$ อยู่ที่สัดส่วน $\mu$ จาก $M$ ไป $Z$ จึงบวก $\mu$ เท่าของ $\overrightarrow{MZ}$ เข้ากับ $\overrightarrow{OM}$
You now have $\overrightarrow{ON}=\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ and $\overrightarrow{ON}=\tfrac12\mathbf{a}+\mu(-\tfrac12\mathbf{a}+3\mathbf{b})$. Compare the $\mathbf{a}$-coefficients and the $\mathbf{b}$-coefficients to write two equations.
ตอนนี้มี $\overrightarrow{ON}=\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ และ $\overrightarrow{ON}=\tfrac12\mathbf{a}+\mu(-\tfrac12\mathbf{a}+3\mathbf{b})$ จงเทียบสัมประสิทธิ์ $\mathbf{a}$ และสัมประสิทธิ์ $\mathbf{b}$ เพื่อเขียนสองสมการ
Answershow ▾
$\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ point in different directions, so each coefficient must match on its own.$\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ เป็นทิศทางที่ต่างกัน สัมประสิทธิ์ของแต่ละตัวต้องเท่ากันแยกกัน
Solve the pair $\lambda=\tfrac12-\tfrac12\mu$ and $\lambda=3\mu$ for $\mu$.
จงแก้ระบบสมการ $\lambda=\tfrac12-\tfrac12\mu$ และ $\lambda=3\mu$ หาค่า $\mu$
Answershow ▾
Substitute $\lambda=3\mu$ into the first equation, then solve for $\mu$.แทน $\lambda=3\mu$ ลงในสมการแรก แล้วแก้หา $\mu$
Check: use $\mu=\tfrac17$ in $\lambda=3\mu$. Does this match $\lambda=\tfrac12-\tfrac12\mu$?
ตรวจสอบ: แทน $\mu=\tfrac17$ ใน $\lambda=3\mu$ แล้วตรงกับ $\lambda=\tfrac12-\tfrac12\mu$ หรือไม่?
Answershow ▾
Both routes to $\overrightarrow{ON}$ describe the same point, so $\lambda$ must come out the same both ways.ทั้งสองเส้นทางไปยัง $\overrightarrow{ON}$ คือจุดเดียวกัน $\lambda$ จึงต้องได้ค่าเท่ากันทั้งสองทาง
$OPQR$ is a trapezium. $\overrightarrow{OP}=\mathbf{p}$, $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{q}$, $\overrightarrow{OR}=2\mathbf{q}$. $M$ is the midpoint of $OP$. $N$ is the point such that $MNR$ and $ONQ$ are straight lines, with $ON:OQ=\lambda:1$. Find $\lambda$.
$OPQR$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู $\overrightarrow{OP}=\mathbf{p}$ $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{q}$ $\overrightarrow{OR}=2\mathbf{q}$ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OP$ $N$ เป็นจุดที่ทำให้ $MNR$ และ $ONQ$ เป็นเส้นตรง โดย $ON:OQ=\lambda:1$ จงหาค่า $\lambda$
Answershow ▾
Same four moves: route to $Q$, route $M$ to $R$, match $\mathbf{p}$ and $\mathbf{q}$, then solve.สี่ขั้นเดิม: เส้นทางไป $Q$ เส้นทาง $M$ ไป $R$ เทียบสัมประสิทธิ์ $\mathbf{p}$ กับ $\mathbf{q}$ แล้วแก้สมการ
$OXYZ$ is a trapezium.
$\overrightarrow{OX} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{XY} = \mathbf{b}$ $\overrightarrow{OZ} = 3\mathbf{b}$
$M$ is the midpoint of $OX$
$N$ is the point such that $MNZ$ and $ONY$ are straight lines.
Given that $ON : OY = \lambda : 1$
use a vector method to find the value of $\lambda$
$OXYZ$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
$\overrightarrow{OX} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{XY} = \mathbf{b}$ $\overrightarrow{OZ} = 3\mathbf{b}$
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OX$
$N$ เป็นจุดที่ทำให้ $MNZ$ และ $ONY$ เป็นเส้นตรง
กำหนดให้ $ON : OY = \lambda : 1$
จงใช้วิธีเวกเตอร์หาค่าของ $\lambda$
Answershow ▾
5 marks: two routes to $N$, match the $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ coefficients, then solve the pair.5 คะแนน: สองเส้นทางไป $N$ เทียบสัมประสิทธิ์ $\mathbf{a}$ กับ $\mathbf{b}$ แล้วแก้ระบบสมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{ON}$
$= \lambda(\mathbf{a} + \mathbf{b})$
M1 M to Zจาก M ไป Z
$\overrightarrow{MZ}$
$= -\tfrac12\mathbf{a} + 3\mathbf{b}$
M1 ON through MON ผ่านจุด M
$\overrightarrow{ON}$
$= \tfrac12\mathbf{a} + \mu\overrightarrow{MZ}$
M1 match a and bเทียบสัมประสิทธิ์ a และ b
$\lambda = \tfrac12 - \tfrac12\mu$
$\lambda = 3\mu$
A1 solve the pairแก้ระบบสมการ
$3\mu = \tfrac12 - \tfrac12\mu$
$\mu = \tfrac17$
$\lambda = \tfrac37$
A parallelogram, two ratios, one straight line สี่เหลี่ยมด้านขนาน สองอัตราส่วน หนึ่งเส้นตรง
$ABCD$ is a parallelogram and $ADM$ is a straight line.
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{BC} = \mathbf{b}$ $\overrightarrow{DM} = \tfrac12\mathbf{b}$
$K$ is the point on $AB$ such that $AK : AB = \lambda : 1$
$L$ is the point on $CD$ such that $CL : CD = \mu : 1$
$KLM$ is a straight line.
Given that $\lambda : \mu = 1 : 2$
use a vector method to find the value of $\lambda$ and the value of $\mu$
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ $ADM$ เป็นเส้นตรง
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{BC} = \mathbf{b}$ $\overrightarrow{DM} = \tfrac12\mathbf{b}$
$K$ เป็นจุดบน $AB$ ที่ $AK : AB = \lambda : 1$
$L$ เป็นจุดบน $CD$ ที่ $CL : CD = \mu : 1$
$KLM$ เป็นเส้นตรง
กำหนดให้ $\lambda : \mu = 1 : 2$
จงใช้วิธีเวกเตอร์หาค่าของ $\lambda$ และค่าของ $\mu$
$ABCD$ is a parallelogram. $\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{BC}=\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{AD}$ and $\overrightarrow{DC}$, each in terms of $\mathbf{a}$ and/or $\mathbf{b}$.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน $\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}$ $\overrightarrow{BC}=\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{AD}$ และ $\overrightarrow{DC}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ/หรือ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Opposite sides of a parallelogram are equal, parallel vectors.ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เป็นเวกเตอร์ที่เท่ากันและขนานกัน
$A$, $D$, $M$ lie on a straight line. $\overrightarrow{AD}=\mathbf{b}$ and $\overrightarrow{DM}=\tfrac12\mathbf{b}$. Write $\overrightarrow{AM}$ in terms of $\mathbf{b}$.
$A$, $D$, $M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $\overrightarrow{AD}=\mathbf{b}$ และ $\overrightarrow{DM}=\tfrac12\mathbf{b}$ จงเขียน $\overrightarrow{AM}$ ในรูปของ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Add the two vectors along the same straight line.บวกเวกเตอร์ทั้งสองที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
Write the diagonal $\overrightarrow{AC}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$, using the route through $B$.
จงเขียนเส้นทแยงมุม $\overrightarrow{AC}$ ในรูปของ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ โดยผ่านทาง $B$
Answershow ▾
Add the two vectors along the route from $A$ to $B$ to $C$.บวกเวกเตอร์ตามเส้นทางจาก $A$ ไป $B$ ไป $C$
$K$ is on $AB$ with $AK:AB=\lambda:1$. $L$ is on $CD$ with $CL:CD=\mu:1$, and $\lambda:\mu=1:2$ means $\mu=2\lambda$. Using $\overrightarrow{DC}=\mathbf{a}$ from question $1$ (so $\overrightarrow{CD}=-\mathbf{a}$), write $\overrightarrow{AK}$ and $\overrightarrow{CL}$, each in terms of $\lambda$ and $\mathbf{a}$.
$K$ อยู่บน $AB$ ที่ $AK:AB=\lambda:1$ · $L$ อยู่บน $CD$ ที่ $CL:CD=\mu:1$ และ $\lambda:\mu=1:2$ หมายความว่า $\mu=2\lambda$ · ใช้ $\overrightarrow{DC}=\mathbf{a}$ จากข้อ $1$ (ดังนั้น $\overrightarrow{CD}=-\mathbf{a}$) จงเขียน $\overrightarrow{AK}$ และ $\overrightarrow{CL}$ ในรูปของ $\lambda$ และ $\mathbf{a}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{AK}$ comes straight from the ratio; substitute $\mu=2\lambda$ into $\overrightarrow{CL}=\mu\overrightarrow{CD}$.$\overrightarrow{AK}$ ได้ตรงจากอัตราส่วน แทน $\mu=2\lambda$ ลงใน $\overrightarrow{CL}=\mu\overrightarrow{CD}$
Using $\overrightarrow{AM}=\tfrac32\mathbf{b}$ (question $2$) and $\overrightarrow{AK}=\lambda\mathbf{a}$ (question $4$), write $\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AM}$ in terms of $\lambda$ and $\mathbf{b}$.
ใช้ $\overrightarrow{AM}=\tfrac32\mathbf{b}$ จากข้อ $2$ และ $\overrightarrow{AK}=\lambda\mathbf{a}$ จากข้อ $4$ จงเขียน $\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AM}$ ในรูปของ $\lambda$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{KA}$ is the reverse of $\overrightarrow{AK}$.$\overrightarrow{KA}$ เป็นเวกเตอร์ย้อนกลับของ $\overrightarrow{AK}$
Using $\overrightarrow{AC}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ (question $3$), $\overrightarrow{AK}=\lambda\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{CL}=-2\lambda\mathbf{a}$ (question $4$), write $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CL}$ in terms of $\lambda$, $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
ใช้ $\overrightarrow{AC}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ จากข้อ $3$ และ $\overrightarrow{AK}=\lambda\mathbf{a}$ กับ $\overrightarrow{CL}=-2\lambda\mathbf{a}$ จากข้อ $4$ จงเขียน $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CL}$ ในรูปของ $\lambda$ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
Answershow ▾
Collect the $\mathbf{a}$ terms: $-\lambda+1-2\lambda=1-3\lambda$.รวมพจน์ $\mathbf{a}$: $-\lambda+1-2\lambda=1-3\lambda$
You have $\overrightarrow{KM}=-\lambda\mathbf{a}+\tfrac32\mathbf{b}$ and $\overrightarrow{KL}=(1-3\lambda)\mathbf{a}+\mathbf{b}$. $K$, $L$, $M$ lie on a straight line. Pick the first move.
(A) set $\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{KL}$ and solve
(B) compare the $\mathbf{b}$-coefficients to find the scale factor, then compare the $\mathbf{a}$-coefficients
(C) add the $\mathbf{a}$- and $\mathbf{b}$-coefficients of each vector and solve one equation
ได้ $\overrightarrow{KM}=-\lambda\mathbf{a}+\tfrac32\mathbf{b}$ และ $\overrightarrow{KL}=(1-3\lambda)\mathbf{a}+\mathbf{b}$ · $K$, $L$, $M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้ $\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{KL}$ แล้วแก้สมการ
(B) เทียบสัมประสิทธิ์ $\mathbf{b}$ เพื่อหาตัวคูณร่วม แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ $\mathbf{a}$
(C) บวกสัมประสิทธิ์ $\mathbf{a}$ กับ $\mathbf{b}$ ของแต่ละเวกเตอร์ แล้วแก้สมการเดียว
Answershow ▾
(A) is wrong because collinear vectors are parallel, not necessarily equal in length. (C) is wrong because it merges two different directions into one equation and throws away the information needed to find $\lambda$ - that is the usual lost mark.(A) ผิด เพราะเวกเตอร์ที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันเพียงขนานกัน ไม่จำเป็นต้องยาวเท่ากัน · (C) ผิด เพราะรวม สองทิศทางที่ต่างกันเป็นสมการเดียว ทำให้เสียข้อมูลที่ต้องใช้หาค่า $\lambda$ ซึ่งเป็นจุดที่เสียคะแนนบ่อย
Compare the $\mathbf{b}$-coefficients of $\overrightarrow{KM}$ and $\overrightarrow{KL}$ to find $k$ in $\overrightarrow{KM}=k\overrightarrow{KL}$. Then compare the $\mathbf{a}$-coefficients to write the equation in $\lambda$.
เทียบสัมประสิทธิ์ $\mathbf{b}$ ของ $\overrightarrow{KM}$ กับ $\overrightarrow{KL}$ เพื่อหา $k$ ใน $\overrightarrow{KM}=k\overrightarrow{KL}$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ $\mathbf{a}$ เพื่อตั้งสมการของ $\lambda$
Answershow ▾
The $\mathbf{b}$-coefficient of $\overrightarrow{KL}$ is $1$, so $k$ equals the $\mathbf{b}$-coefficient of $\overrightarrow{KM}$, $1.5$.สัมประสิทธิ์ $\mathbf{b}$ ของ $\overrightarrow{KL}$ คือ $1$ ดังนั้น $k$ เท่ากับสัมประสิทธิ์ $\mathbf{b}$ ของ $\overrightarrow{KM}$ คือ $1.5$
Solve $-\lambda=1.5(1-3\lambda)$ for $\lambda$. Then use $\mu=2\lambda$ to find $\mu$.
จงแก้สมการ $-\lambda=1.5(1-3\lambda)$ หา $\lambda$ แล้วใช้ $\mu=2\lambda$ หา $\mu$
Answershow ▾
Expand, collect the $\lambda$ terms onto one side, then divide.กระจายวงเล็บ รวมพจน์ $\lambda$ไว้ด้านเดียว แล้วหาร
$PQRS$ is a parallelogram and $PSN$ is a straight line. $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{p}$, $\overrightarrow{QR}=\mathbf{q}$, $\overrightarrow{SN}=\mathbf{q}$. $K$ is on $PQ$ with $PK:PQ=\lambda:1$. $L$ is on $RS$ with $RL:RS=\lambda:1$. $KLN$ is a straight line. Find $\lambda$.
$PQRS$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ $PSN$ เป็นเส้นตรง $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{p}$ $\overrightarrow{QR}=\mathbf{q}$ $\overrightarrow{SN}=\mathbf{q}$ · $K$ อยู่บน $PQ$ ที่ $PK:PQ=\lambda:1$ $L$ อยู่บน $RS$ ที่ $RL:RS=\lambda:1$ และ $KLN$ เป็นเส้นตรง จงหาค่า $\lambda$
Answershow ▾
Same method: write $K$, $L$ and $N$ as route vectors, then compare the $\mathbf{p}$- and $\mathbf{q}$-coefficients.วิธีเดิม: เขียน $K$ $L$ และ $N$ เป็นเวกเตอร์เส้นทาง แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{q}$
$ABCD$ is a parallelogram and $ADM$ is a straight line.
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{BC} = \mathbf{b}$ $\overrightarrow{DM} = \tfrac12\mathbf{b}$
$K$ is the point on $AB$ such that $AK : AB = \lambda : 1$
$L$ is the point on $CD$ such that $CL : CD = \mu : 1$
$KLM$ is a straight line.
Given that $\lambda : \mu = 1 : 2$
use a vector method to find the value of $\lambda$ and the value of $\mu$
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ $ADM$ เป็นเส้นตรง
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}$ $\overrightarrow{BC} = \mathbf{b}$ $\overrightarrow{DM} = \tfrac12\mathbf{b}$
$K$ เป็นจุดบน $AB$ ที่ $AK : AB = \lambda : 1$
$L$ เป็นจุดบน $CD$ ที่ $CL : CD = \mu : 1$
$KLM$ เป็นเส้นตรง
กำหนดให้ $\lambda : \mu = 1 : 2$
จงใช้วิธีเวกเตอร์หาค่าของ $\lambda$ และค่าของ $\mu$
Answershow ▾
5 marks: K and L from the ratios, K to M, K to L, then compare the a- and b-coefficients.5 คะแนน: หา K และ L จากอัตราส่วน จาก K ไป M จาก K ไป L แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ a และ b
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\overrightarrow{AK} = \lambda\mathbf{a}$
$\overrightarrow{CL} = -2\lambda\mathbf{a}$
M1 K to Mจาก K ไป M
$\overrightarrow{KM}$
$= -\lambda\mathbf{a} + 1.5\mathbf{b}$
M1 K to Lจาก K ไป L
$\overrightarrow{KL}$
$= (1 - 3\lambda)\mathbf{a} + \mathbf{b}$
A1 KM is 1.5 times KLKM เป็น 1.5 เท่าของ KL
$-\lambda = 1.5(1 - 3\lambda)$
$3.5\lambda = 1.5$
$\lambda = \tfrac37$
A1 mu is double lambdaμ เป็นสองเท่าของ λ
$\mu = 2\times\tfrac37$
$= \tfrac67$