Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Transformationsการแปลงรูป (Transformations)
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
A point, and the instruction that moved itจุดหนึ่งจุด กับคำสั่งที่ทำให้มันขยับ
“Go to $(4,4)$” moves one point. Every transformation today is one instruction that moves every point.“ไปที่ $(4,4)$” ขยับได้จุดเดียว · การแปลงทุกแบบวันนี้คือคำสั่งเดียว ที่ขยับทุกจุดของรูป
Start at $(1,2)$. Walk right $3$, up $2$. Which point do you land on?เริ่มที่ $(1,2)$ เดินไปขวา $3$ ขึ้น $2$ ไปจบที่จุดไหน? Answer:เฉลย: $(4,4)$Counting squares is all you need today. Every transformation asks the same question: where does each corner go?การนับช่องคือทั้งหมดที่ต้องใช้ในวันนี้ ทุกการแปลงรูปถามคำถามเดียวกัน: แต่ละมุมไปอยู่ที่ไหน?
You did the move but your friend didn't see it. Which message lets them make the same move?เราเดินเสร็จแล้ว แต่เพื่อนไม่ได้เห็น ข้อความไหนทำให้เพื่อนทำซ้ำแบบเดียวกันได้? Answer:เฉลย:“right 3, up 2”“ขวา 3 ขึ้น 2”Describe a move with enough detail for anyone to repeat it. The exam calls this describe fully.บอกการเคลื่อนที่ให้ละเอียดพอที่ใครก็ทำตามได้ ข้อสอบเรียกคำสั่งนี้ว่า describe fully
2. Slide it - translationเลื่อนรูป = translation
The move you already do, written as a column vector.ท่าที่ทำเป็นอยู่แล้ว แค่เขียนเป็นเวกเตอร์คอลัมน์
Slide the whole shape: every corner moves the same wayเลื่อนทั้งรูป: ทุกมุมเดินเหมือนกันหมด
Translate the point $(2,1)$ by $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$. Where does it land?เลื่อนจุด $(2,1)$ ด้วยเวกเตอร์ $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ ไปตกที่ไหน? Answer:เฉลย: $(5,3)$A translation is adding: top onto $x$, bottom onto $y$. This is the warm-up walk again.translation คือการบวก: ตัวบนเข้า $x$ ตัวล่างเข้า $y$ · การเดินแบบเดิมตอนวอร์มอัพ
What does the vector $\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}$ do to a shape?เวกเตอร์ $\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}$ ทำอะไรกับรูป? Answer:เฉลย:Down 4, no sideways moveลง 4 ไม่ขยับไปข้างTwo independent instructions: $\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}:\ \text{across }0,\ \text{up }-4$ $\text{a zero means: no move in that direction}$สองคำสั่งแยกกัน: $\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}:\ \text{across }0,\ \text{up }-4$ $\text{a zero means: no move in that direction}$
3. Flip it - reflectionพลิกรูป = reflection
Mirror lines: the axes, then x = k, then y = x.เส้นกระจก: แกนทั้งสอง แล้ว x = k แล้ว y = x
Now the shape flips over a lineคราวนี้รูปพลิกข้ามเส้น
Reflect the point $(3,2)$ in the $x$-axis. Write the image as coordinates, $x$ first.สะท้อนจุด $(3,2)$ ในแกน $x$ เขียนภาพเป็นพิกัด เอา $x$ ขึ้นก่อน Answer:เฉลย: $(3,-2)$Flip over the $x$-axis: $(3,2)\ \to\ (3,-2)$ $x\text{ stays},\ \ y\text{ changes sign}$พลิกข้ามแกน $x$: $(3,2)\ \to\ (3,-2)$ $x\text{ stays},\ \ y\text{ changes sign}$
Same point $(3,2)$. Now reflect it in the y-axis. Which is the image?จุดเดิม $(3,2)$ · คราวนี้สะท้อนในแกน y ภาพคือข้อไหน? Answer:เฉลย: $(-3,2)$The matching coordinate stays: $\text{mirror }x\text{-axis}:\ (x,y)\to(x,-y)$ $\text{mirror }y\text{-axis}:\ (x,y)\to(-x,y)$ $(3,2)\ \to\ (-3,2)$พิกัดที่ตรงกับเส้นกระจก อยู่เหมือนเดิม: $\text{mirror }x\text{-axis}:\ (x,y)\to(x,-y)$ $\text{mirror }y\text{-axis}:\ (x,y)\to(-x,y)$ $(3,2)\ \to\ (-3,2)$
The mirror moves off the axis: reflect $(4,2)$ in the line $x=1$. Where is the image?คราวนี้กระจกไม่อยู่บนแกนแล้ว: สะท้อน $(4,2)$ ในเส้น $x=1$ ภาพอยู่ที่ไหน? Answer:เฉลย: $(-2,2)$Same distance, other side: $\text{distance to }x=1:\ 4-1=3$ $\text{image }x=1-3=-2$ $\text{vertical mirror}\ \Rightarrow\ y=2\text{ stays}$ระยะเท่ากัน คนละฝั่ง: $\text{distance to }x=1:\ 4-1=3$ $\text{image }x=1-3=-2$ $\text{vertical mirror}\ \Rightarrow\ y=2\text{ stays}$
One more mirror: reflect $(3,1)$ in the line $y=x$ (the $45^\circ$ line from the Linear Graphs lesson). The image is:กระจกอีกบาน: สะท้อน $(3,1)$ ในเส้น $y=x$ (เส้นเฉียง $45^\circ$ จากบท Linear Graphs) ภาพคือ: Answer:เฉลย: $(1,3)$$y=x$ swaps the coordinates: $(x,y)\to(y,x)$ $(3,1)\ \to\ (1,3)$ A graph and its inverse reflect in $y=x$ for this reason.$y=x$ สลับพิกัด: $(x,y)\to(y,x)$ $(3,1)\ \to\ (1,3)$ กราฟกับอินเวอร์สสะท้อนกันที่ $y=x$ ด้วยเหตุผลนี้
4. Turn it - rotationหมุนรูป = rotation
90° clockwise / anticlockwise and 180°, about a centre.90° ตามเข็ม / ทวนเข็ม และ 180° รอบจุดศูนย์กลาง
Now the shape turns about a pinned pointคราวนี้รูปหมุนรอบจุดที่ปักหมุดไว้
Rotate the point $(3,1)$ by $90^\circ$ clockwise about $O$. Where does it land?หมุนจุด $(3,1)$ ไป $90^\circ$ ตามเข็มรอบ $O$ ไปตกที่ไหน? Answer:เฉลย: $(1,-3)$Direction changes the answer: $90^\circ\text{ clockwise}:\ (x,y)\to(y,-x)$ $90^\circ\text{ anticlockwise}:\ (x,y)\to(-y,x)$ $(3,1)\ \to\ (1,-3)$ Always write the direction.ทิศทางเปลี่ยนคำตอบ: $90^\circ\text{ clockwise}:\ (x,y)\to(y,-x)$ $90^\circ\text{ anticlockwise}:\ (x,y)\to(-y,x)$ $(3,1)\ \to\ (1,-3)$ ต้องเขียนทิศทางเสมอ
Scale factor from a centre, and reading SF and centre backwards.scale factor จากจุดศูนย์กลาง · และอ่านย้อนหา SF กับจุดศูนย์กลาง
Rays from the centreรังสีพุ่งจากจุดศูนย์กลาง
Read the scale factor backwards from a pair of pointsอ่านสเกลแฟกเตอร์ย้อนกลับจากจุดคู่หนึ่ง
$A(1,2)\;\to\;A'(3,6)$Pick one point and its image. Any matching pair will do.เลือกจุดหนึ่งกับภาพของมัน · คู่ไหนก็ได้ที่ตรงกัน
$k=\frac{3}{1}=3$Scale factor $=$ image $\div$ object, measured from the centre.สเกลแฟกเตอร์ $=$ ภาพ $\div$ ต้นแบบ วัดจากจุดศูนย์กลาง
$\frac{6}{2}=3 \;\checkmark$The other coordinate must give the same $k$. If it does not, it is not an enlargement.อีกพิกัดต้องได้ $k$ เท่ากัน · ถ้าไม่เท่า แปลว่าไม่ใช่การขยาย
$(0,0)$Lines $AA'$, extended, meet at the centre. Give type, factor and centre: one mark each.ลาก $AA'$ ต่อออกไป เส้นพวกนี้เจอกันที่จุดศูนย์กลาง · ตอบ ชนิด สเกลแฟกเตอร์ จุดศูนย์กลาง อย่างละคะแนน
Enlargement, scale factor $3$, centre $O$. Write the image of $(2,1)$ as coordinates, $x$ first.enlargement scale factor $3$ จุดศูนย์กลาง $O$ เขียนภาพของ $(2,1)$ เป็นพิกัด เอา $x$ ขึ้นก่อน Answer:เฉลย: $(6,3)$From $O$: multiply both coordinates: $(x,y)\to(kx,ky)$ $(2,1)\ \to\ (6,3)$จากจุด $O$: คูณทั้งสองพิกัด: $(x,y)\to(kx,ky)$ $(2,1)\ \to\ (6,3)$
Enlargement, scale factor $\tfrac12$, centre $O$. What happens to the shape?enlargement scale factor $\tfrac12$ จุดศูนย์กลาง $O$ — รูปจะเป็นยังไง? Answer:เฉลย:Half size — still called an enlargementเหลือครึ่งเดียว — แต่ยังเรียก enlargementFractional $k$ still enlarges: $k=\tfrac12\ \Rightarrow\ \text{half size}$ $\text{the name is still enlargement}$ Writing “reduction” throws the mark away.$k$ เป็นเศษส่วน ก็ยังเรียก enlargement: $k=\tfrac12\ \Rightarrow\ \text{half size}$ $\text{the name is still enlargement}$ เขียน “reduction” เสียคะแนนทิ้ง
Reverse question: the small square is enlarged onto the big one. The scale factor is:โจทย์ย้อนทาง: สี่เหลี่ยมเล็กถูกขยายไปเป็นอันใหญ่ scale factor คือ: Answer:เฉลย:SF $=6\div2=3$SF $=6\div2=3$SF compares lengths, not areas: $\text{SF}=\dfrac{\text{image}}{\text{object}}=\dfrac{6}{2}=3$ $\text{areas}:\ \dfrac{36}{4}=9=k^{2}$ Area is multiplied by $k^{2}$, so the areas give $9$.SF เทียบความยาว ไม่ใช่พื้นที่: $\text{SF}=\dfrac{\text{image}}{\text{object}}=\dfrac{6}{2}=3$ $\text{areas}:\ \dfrac{36}{4}=9=k^{2}$ พื้นที่คูณด้วย $k^{2}$ เอาพื้นที่มาหารจึงได้ $9$
Reverse again: object (navy) and image (orange) are given, and the rays through matching corners are drawn. Where is the centre of enlargement?ย้อนทางอีกข้อ: ให้รูปเดิม (น้ำเงิน) กับภาพ (ส้ม) มา และลากเส้นผ่านมุมที่ตรงกันให้แล้ว จุดศูนย์กลางของการขยายอยู่ที่ไหน? Answer:เฉลย: $(1,0)$Join matching corners and extend: $\text{rays cross}\ \Rightarrow\ \text{centre}=(1,0)$ $\text{any matching pair}\ \Rightarrow\ \text{SF}$ลากเชื่อมมุมที่คู่กัน แล้วต่อเส้นออกไป: $\text{rays cross}\ \Rightarrow\ \text{centre}=(1,0)$ $\text{any matching pair}\ \Rightarrow\ \text{SF}$
6. Say it - describe fullyเขียนบอก = describe fully
Type + every detail. One mark per detail.ชื่อประเภท + รายละเอียดครบ หนึ่งคะแนนต่อหนึ่งรายละเอียด
describe fully = type + every detaildescribe fully = ประเภท + รายละเอียดครบ
“Describe fully the single transformation that maps the navy triangle onto the orange one.” Which answer takes all the marks?“Describe fully the single transformation ที่ส่งสามเหลี่ยมน้ำเงินไปเป็นสีส้ม” คำตอบไหนเก็บคะแนนเต็ม? Answer:เฉลย:Reflection in the line $x=3$Reflection ในเส้น $x=3$Type $+$ every detail: $\text{reflection}\ +\ \text{line }x=3$ For a reflection the detail is the mirror line's equation.ชนิด $+$ รายละเอียดครบ: $\text{reflection}\ +\ \text{line }x=3$ ของ reflection รายละเอียดคือสมการของเส้นกระจก
Which transformation needs three details to be described fully?การแปลงแบบไหนต้องใช้รายละเอียดสามตัวถึงจะ describe fully ได้? Answer:เฉลย:Rotation: centre + angle + directionRotation: จุดศูนย์กลาง + มุม + ทิศEach type, its own details: $\text{translation}:\ \text{vector}$ $\text{reflection}:\ \text{line}$ $\text{rotation}:\ \text{centre}+\text{angle}+\text{direction}$ $\text{enlargement}:\ \text{centre}+\text{SF}$แต่ละชนิด รายละเอียดคนละชุด: $\text{translation}:\ \text{vector}$ $\text{reflection}:\ \text{line}$ $\text{rotation}:\ \text{centre}+\text{angle}+\text{direction}$ $\text{enlargement}:\ \text{centre}+\text{SF}$
Extended only. Enlargement, scale factor $-2$, centre $O$. Where is the image of $(2,1)$?เฉพาะ Extended · enlargement scale factor $-2$ จุดศูนย์กลาง $O$ ภาพของ $(2,1)$ อยู่ที่ไหน? Answer:เฉลย: $(-4,-2)$Negative SF flips through the centre: $(2,1)\ \to\ -2\times(2,1)=(-4,-2)$ $|k|=2\ \Rightarrow\ \text{twice as far from }O$ Write it as “enlargement, SF $-2$, centre $O$”.SF ติดลบ พลิกข้ามจุดศูนย์กลาง: $(2,1)\ \to\ -2\times(2,1)=(-4,-2)$ $|k|=2\ \Rightarrow\ \text{twice as far from }O$ เขียนว่า “enlargement, SF $-2$, centre $O$”
7. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Describe fully for marks, and chain two transformations.describe fully เก็บคะแนนเต็ม และต่อการแปลงสองที
Two question shapes, one rule eachโจทย์สองทรง กติกาทรงละหนึ่งข้อ
Exam: Describe fully the single transformation that maps triangle $P$ onto triangle $Q$. (3 marks)ข้อสอบ: Describe fully the single transformation ที่ส่งสามเหลี่ยม $P$ ไปเป็นสามเหลี่ยม $Q$ (3 คะแนน) Answer:เฉลย:Rotation, $90^\circ$ clockwise, centre $(0,0)$Rotation $90^\circ$ ตามเข็ม จุดศูนย์กลาง $(0,0)$3 marks: $\text{M1}\ \ \text{rotation}$ $\text{M1}\ \ 90^\circ\text{ clockwise}$ $\text{A1}\ \ \text{centre }(0,0)$ One mark per detail. A missing direction costs one.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{rotation}$ $\text{M1}\ \ 90^\circ\text{ clockwise}$ $\text{A1}\ \ \text{centre }(0,0)$ หนึ่งรายละเอียด หนึ่งคะแนน · ลืมทิศ หายหนึ่งคะแนน
Exam: Translate the triangle by $\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$, then reflect the result in the $x$-axis. Where does vertex $V(1,3)$ end up? (2 marks)ข้อสอบ: เลื่อนสามเหลี่ยมด้วย $\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ แล้วค่อยสะท้อนผลลัพธ์ในแกน $x$ มุม $V(1,3)$ ไปจบที่ไหน? (2 คะแนน) Answer:เฉลย: $(1,3)\to(3,2)\to(3,-2)$2 marks: $\text{M1}\ \ \text{translate}:\ (1,3)\to(3,2)$ $\text{A1}\ \ \text{reflect}:\ (3,2)\to(3,-2)$ $\text{reflect first}:\ (3,-4)\ \times$ The order changes the answer, so do $P$ first.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{translate}:\ (1,3)\to(3,2)$ $\text{A1}\ \ \text{reflect}:\ (3,2)\to(3,-2)$ $\text{reflect first}:\ (3,-4)\ \times$ ลำดับเปลี่ยนคำตอบ ต้องทำ $P$ ก่อน
Exam: An enlargement with scale factor $-2$ maps $A(4,3)$ onto $A'(-2,9)$. Find the centre of enlargement, then write down the image of $B(1,1)$ under that same enlargement. Type the image as coordinates, $x$ first. (5 marks)ข้อสอบ: การขยาย (enlargement) scale factor $-2$ ส่ง $A(4,3)$ ไปที่ $A'(-2,9)$ หา centre ของการขยายก่อน แล้วเขียนภาพของ $B(1,1)$ ภายใต้การขยายเดียวกันนี้ · พิมพ์เป็นพิกัด เอา $x$ ก่อน (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $(4,13)$5 marks: $\text{M1}\ \ A'-O=-2(A-O)$ $\text{M1}\ \ 3O=A'+2A=(-2,9)+(8,6)=(6,15)$ $\text{A1}\ \ O=(2,5)$ $\text{M1}\ \ B-O=(-1,-4),\ \ -2\times(-1,-4)=(2,8)$ $\text{A1}\ \ (2,5)+(2,8)=(4,13)$ Every step is measured from the centre, never from the origin.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ A'-O=-2(A-O)$ $\text{M1}\ \ 3O=A'+2A=(-2,9)+(8,6)=(6,15)$ $\text{A1}\ \ O=(2,5)$ $\text{M1}\ \ B-O=(-1,-4),\ \ -2\times(-1,-4)=(2,8)$ $\text{A1}\ \ (2,5)+(2,8)=(4,13)$ ทุกขั้นวัดจากจุดศูนย์กลาง ไม่ใช่จากจุดกำเนิด
A single transformation maps $P(5,3)$ onto $P'(-3,5)$. It is either a reflection in $y=x$ or a $90^{\circ}$ rotation about $O$. Decide which, then use it on $Q(2,-4)$ and type the image as coordinates.transformation เดียวส่ง $P(5,3)$ ไปที่ $P'(-3,5)$ · เป็นได้แค่ reflection ในเส้น $y=x$ หรือ rotation $90^{\circ}$ รอบ $O$ อย่างใดอย่างหนึ่ง ตัดสินใจก่อนว่าอันไหน แล้วเอาไปใช้กับ $Q(2,-4)$ · พิมพ์ภาพเป็นพิกัด Answer:เฉลย: $(4,2)$Both swap: look at signs: $\text{reflect }y=x:\ (5,3)\to(3,5)\ \times$ $\text{rotate }90^\circ:\ (5,3)\to(-3,5)\ \checkmark$ $\text{so }(x,y)\to(-y,x)$ $Q(2,-4)\ \to\ (4,2)$ Swapping alone does not separate them; one sign does.สลับเหมือนกันทั้งคู่ · ดูเครื่องหมาย: $\text{reflect }y=x:\ (5,3)\to(3,5)\ \times$ $\text{rotate }90^\circ:\ (5,3)\to(-3,5)\ \checkmark$ $\text{so }(x,y)\to(-y,x)$ $Q(2,-4)\ \to\ (4,2)$ แค่สลับยังแยกไม่ออก · เครื่องหมายตัวเดียวคือตัวตัดสิน
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
Translate the point $(1,2)$ by $\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$. Answer:เฉลย: $(5,-1)$Identical to the level 1 move, numbers changed. Confidence first; it proves the vector notation stuck.เหมือนท่าขั้นแรก เปลี่ยนแค่ตัวเลข เริ่มจากความมั่นใจก่อน และพิสูจน์ว่าสัญลักษณ์เวกเตอร์ติดตัวแล้ว
Reflect $(-3,-5)$ in the line $y=-1$. Answer:เฉลย: $(-3,3)$Same mirror logic, but negatives everywhere and the mirror is off the axis. This tests sign-handling, not the concept.ตรรกะกระจกเดิม แต่ติดลบทั้งกระดานแถมกระจกไม่อยู่บนแกน · ข้อนี้วัดความแม่นเรื่องเครื่องหมาย ไม่ใช่ความเข้าใจ
A drone hovers at $D(6,2)$ on a radar grid. It is rotated $90^\circ$ anticlockwise about the origin. Find its new position. Answer:เฉลย: $(-2,6)$New context, new letter, same quarter-turn. Memorising 'triangle questions' won't help: the pattern is the point.บริบทใหม่ ตัวอักษรใหม่ แต่หมุนหนึ่งในสี่รอบเหมือนเดิม · ท่องมาว่า ‘โจทย์สามเหลี่ยม’ ช่วยไม่ได้ ต้องจำแพตเทิร์น
$A(1,2)$ is translated by $\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ to $A'$. Find the length $AA'$. Answer:เฉลย: $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$Translation plus Pythagoras. Nothing new: a vector's length is the right triangle from the Trigonometry lesson.translation บวกพีทาโกรัส ไม่มีอะไรใหม่ · ความยาวของเวกเตอร์ก็คือสามเหลี่ยมมุมฉากตัวเก่าจากบทตรีโกณฯ
An enlargement sends $(1,1)\to(3,3)$ and $(2,1)\to(6,3)$. Find the scale factor and the centre. Answer:เฉลย: SF $=3$, centre $(0,0)$Given the image, find the setup. Draw the rays through two matching pairs of points; they cross at the centre.ให้ภาพผลลัพธ์มา ย้อนหาต้นทาง ลากรังสีผ่านจุดที่ตรงกันสองคู่ เส้นจะตัดกันที่จุดศูนย์กลาง
Triangle $T$ has vertices $(1,2)$, $(3,2)$, $(1,5)$; triangle $T'$ has vertices $(2,1)$, $(2,3)$, $(5,1)$. Describe fully the single transformation that maps $T$ onto $T'$. (2 marks) Answer:เฉลย: Reflection in the line $y=x$Real command word, marks stated: 1 for reflection, 1 for the line $y=x$. Every vertex swaps coordinates.คำสั่งจริง คะแนนกำกับจริง: 1 คะแนนสำหรับ reflection อีก 1 สำหรับเส้น $y=x$ · มุมทุกมุมสลับพิกัดกัน
An object triangle has sides $3$, $4$, $5$; its image has sides $6$, $8$, $10$. The object's area is $6$ and the image's area is $24$, so a student writes: “enlargement, centre $O$, scale factor $4$.” Find the error and the correct scale factor. Answer:เฉลย: They read the SF from the areas ($24\div6=4$). SF compares lengths: $6\div3=2$. Area scales by $k^{2}=4$.Marking someone else's work shows whether you understand it. The mistake here is working out the scale factor from areas.การตรวจงานคนอื่นแสดงว่าเราเข้าใจจริงไหม ความผิดในข้อนี้คือคิด scale factor จากพื้นที่