Indices & Surds · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เลขยกกำลังและกรณฑ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Indices
(a) Find the value of $16^{-3/4}$.
(b) Simplify fully $\dfrac{(2x^{3})^{2}\times 4x^{-1}}{8\sqrt{x}}$, giving your answer in the form $ax^{n}$.
Find the value of $16^{1/4}$.
Answershow ▾
$\frac14$ on top means the fourth root. $2\times2\times2\times2=16$.
$16^{-3/4}$ carries three separate instructions. Say what the $4$ on the bottom of the fraction does, what the $3$ on the top does, and what the minus sign does. Does the order you carry them out change the answer, and does it change how hard the arithmetic is?
$16^{-3/4}$ มีคำสั่งซ่อนอยู่สามอย่าง · บอกว่าเลข $4$ ที่เป็นตัวส่วนทำอะไร เลข $3$ ตัวเศษทำอะไร และเครื่องหมายลบทำอะไร · ลำดับการทำเปลี่ยนคำตอบไหม และเปลี่ยนความยากของการคำนวณไหม
Answershow ▾
Root first turns $16$ into $2$ and the rest is easy; power first turns it into $4096$ and invites a calculator. Both are correct and only one is survivable by hand. There is no mark for the order, and no worked solution ever mentions that there was a choice.ถอดรากก่อนจะเปลี่ยน $16$ เป็น $2$ แล้วที่เหลือง่ายมาก · ถ้ายกกำลังก่อนจะได้ $4096$ แล้วต้องพึ่งเครื่องคิดเลข · ถูกทั้งคู่ แต่มีทางเดียวที่ทำมือได้ · ไม่มีคะแนนให้กับลำดับ และไม่มีเฉลยที่ไหนบอกว่าตรงนี้มีทางเลือก
Find the value of $16^{3/4}$.
Answershow ▾
Fourth root first, $2$; then cube it. Root first keeps the numbers small.
Find the value of $16^{-1}$.
Answershow ▾
A negative index is a reciprocal. It never makes the answer negative.
Find the value of $16^{-3/4}$.
Answershow ▾
Flip, root, power: $\dfrac{1}{16^{3/4}}=\dfrac{1}{8}$. This is part (a).
Simplify $(2x^{3})^{2}$.
Answershow ▾
The $2$ outside applies to everything inside: $2^{2}$ and $(x^{3})^{2}$.
Write $8\sqrt{x}$ in the form $ax^{n}$.
Answershow ▾
$\sqrt{x}=x^{1/2}$. Writing it this way is what lets you use the index laws on it.
Nothing can be divided by $8\sqrt{x}$ while it is still written as a root. Rewrite it as $ax^{n}$, then say which index law is about to be used on the $x$ part — and why that law cannot see a root at all.
ตราบใดที่ $8\sqrt{x}$ ยังเขียนเป็นรากที่สอง จะเอาอะไรไปหารมันไม่ได้ · เขียนใหม่ในรูป $ax^{n}$ แล้วบอกว่ากำลังจะใช้กฎเลขยกกำลังข้อไหนกับส่วน $x$ และทำไมกฎนั้นมองไม่เห็นเครื่องหมายราก
Answershow ▾
The index laws are written entirely in powers, so a root is invisible to them until it is rewritten. Converting every root and every fraction to a power BEFORE starting is the whole method of this question type, and no mark is given for the conversion — the M1 comes later, for the subtraction it makes possible.กฎเลขยกกำลังเขียนด้วยเลขชี้กำลังล้วน ๆ เครื่องหมายรากจึงไม่มีตัวตนจนกว่าจะเขียนใหม่ · การเปลี่ยนรากทุกตัวและเศษส่วนทุกตัวให้เป็นเลขยกกำลัง "ก่อน" เริ่มทำ คือวิธีทั้งหมดของโจทย์แบบนี้ และไม่มีคะแนนให้กับการเปลี่ยน · M1 มาทีหลัง ตอนที่ลบเลขชี้กำลังได้
Simplify $4x^{6}\times 4x^{-1}$.
Answershow ▾
Numbers multiply, indices add: $6+(-1)=5$.
Simplify $\dfrac{16x^{5}}{8x^{1/2}}$, giving your answer in the form $ax^{n}$.
Answershow ▾
Numbers divide, indices subtract: $5-\tfrac12=\tfrac92$. This is part (b).
In $\dfrac{16x^{5}}{8x^{1/2}}$ two different things happen to two different parts. What happens to the $16$ and the $8$, and what happens to the $5$ and the $\frac{1}{2}$? Are those the same operation?
ใน $\dfrac{16x^{5}}{8x^{1/2}}$ มีสองอย่างเกิดขึ้นกับสองส่วนที่ต่างกัน · เลข $16$ กับ $8$ เกิดอะไรขึ้น และเลข $5$ กับ $\frac{1}{2}$ เกิดอะไรขึ้น · เป็นการดำเนินการเดียวกันไหม
Answershow ▾
The coefficients and the indices live in different worlds and obey different rules on the same line. Dividing the indices, or subtracting the coefficients, produces an answer of exactly the right shape, which is why it survives a check. The A1 is for $2x^{9/2}$; nothing pays for keeping the two apart.สัมประสิทธิ์กับเลขชี้กำลังอยู่คนละโลกและใช้กฎคนละข้อบนบรรทัดเดียวกัน · ถ้าหารเลขชี้กำลัง หรือลบสัมประสิทธิ์ จะได้คำตอบที่รูปร่างถูกเป๊ะ ซึ่งเป็นเหตุผลที่มันรอดการตรวจ · A1 ให้กับ $2x^{9/2}$ ไม่มีใครให้คะแนนกับการแยกสองอย่างนี้
Simplify $\dfrac{(3x^{2})^{3}}{9x^{-2}}$, giving your answer in the form $ax^{n}$.
Answershow ▾
$27x^{6}\div 9x^{-2}$: $27\div9=3$ and $6-(-2)=8$.
(a) Find the value of $16^{-3/4}$.
(b) Simplify fully $\dfrac{(2x^{3})^{2}\times 4x^{-1}}{8\sqrt{x}}$, giving your answer in the form $ax^{n}$.
Answershow ▾
5 marks. Part (a) is question 4, part (b) is questions 5 to 8 in a row.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Surds
(a) Express $\sqrt{80}+\sqrt{20}$ in the form $a\sqrt{5}$, where $a$ is an integer.
(b) Express $(2+\sqrt{5})^{2}$ in the form $b+c\sqrt{5}$, where $b$ and $c$ are integers.
Simplify $\sqrt{20}$.
Answershow ▾
$20=4\times5$ and $4$ is a square number, so $\sqrt{20}=\sqrt{4}\,\sqrt{5}$.
Simplify $\sqrt{80}$.
Answershow ▾
$80=16\times5$. Always look for the biggest square factor, or you will have to simplify twice.
$\sqrt{80}$ becomes $4\sqrt{5}$ because $80 = 16 \times 5$. The split $80 = 8 \times 10$ is equally true and completely useless. State the test the factor has to pass, and say why the LARGEST such factor is the one to take.
$\sqrt{80}$ กลายเป็น $4\sqrt{5}$ เพราะ $80 = 16 \times 5$ · การแยก $80 = 8 \times 10$ ก็จริงเหมือนกันแต่ใช้ไม่ได้เลย · บอกเกณฑ์ที่ตัวประกอบต้องผ่าน และบอกว่าทำไมต้องเลือกตัวที่ "ใหญ่ที่สุด"
Answershow ▾
Only a perfect square can come out from under the root sign. Taking $4$ out of $\sqrt{80}$ leaves $2\sqrt{20}$, which is true, unsimplified, and will not match the printed answer $a\sqrt{5}$. The A1 is written against the fully simplified form; the search for the biggest square is worth nothing on its own.มีแต่กำลังสองสมบูรณ์เท่านั้นที่ออกมาจากใต้รากได้ · ถ้าดึงแค่ $4$ ออกจาก $\sqrt{80}$ จะเหลือ $2\sqrt{20}$ ซึ่งจริงแต่ยังไม่ลดรูปสุด และจะไม่ตรงกับรูป $a\sqrt{5}$ ที่โจทย์พิมพ์ไว้ · A1 เขียนไว้ตามรูปที่ลดรูปสุดแล้ว การไล่หากำลังสองที่ใหญ่ที่สุดไม่มีคะแนนของตัวเอง
Simplify $4\sqrt{5}+2\sqrt{5}$.
Answershow ▾
Same surd, so add the numbers in front — exactly like $4x+2x$.
$4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$, but $4\sqrt{5} \times 2\sqrt{5} = 40$. One operation keeps the surd and the other can destroy it. Which is which, and what does that tell you about when a surd answer is allowed to have no root sign left in it?
$4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ แต่ $4\sqrt{5} \times 2\sqrt{5} = 40$ · การดำเนินการหนึ่งเก็บรากไว้ อีกอันทำลายราก · อันไหนเป็นอันไหน และบอกอะไรเราเกี่ยวกับตอนที่คำตอบมีสิทธิ์ไม่เหลือเครื่องหมายรากเลย
Answershow ▾
Adding treats $\sqrt{5}$ like a letter; multiplying uses what the symbol actually means. That is why an expansion of two brackets produces both kinds of term at once — some with a root, some without — and why they are collected separately at the end. No mark separates them for you.การบวกมอง $\sqrt{5}$ เหมือนตัวอักษร ส่วนการคูณใช้ความหมายจริงของสัญลักษณ์ · นั่นคือเหตุผลที่การกระจายวงเล็บสองอันให้พจน์ทั้งสองแบบพร้อมกัน บางพจน์มีราก บางพจน์ไม่มี และต้องรวมแยกกันตอนท้าย · ไม่มีคะแนนไหนแยกให้
Express $\sqrt{80}+\sqrt{20}$ in the form $a\sqrt{5}$.
Answershow ▾
Questions 1, 2 and 3 in a row. Simplify each surd first, then collect.
Work out $(\sqrt{5})^{2}$.
Answershow ▾
Squaring removes the root. This is the term people forget in the expansion below.
Work out $2\sqrt{5}+2\sqrt{5}$.
Answershow ▾
In $(2+\sqrt{5})^{2}$ the two middle terms are both $2\sqrt{5}$. Same sign, so they add — they do not cancel.
Expand $(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})$. Write all four terms before you collect.
Answershow ▾
Front, outer, inner, last. Do not skip straight to the answer — the four terms are where the marks are.
A student writes $(2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$. Which law were they using, and is it ever true? Write the expansion as four terms before you collect, and say which two of the four they threw away.
นักเรียนคนหนึ่งเขียน $(2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$ · เขากำลังใช้กฎอะไร และกฎนั้นจริงบ้างไหม · เขียนการกระจายเป็นสี่พจน์ก่อนรวม แล้วบอกว่าเขาทิ้งพจน์ไหนไปสองพจน์
Answershow ▾
The answer $9$ has the right shape for "$b + c\sqrt{5}$ with $c = 0$" and looks tidy, which is exactly why it survives. Writing all four terms before collecting is the defence, and it is worth no mark by itself — the M1 comes for a correct expansion, and there is nothing to give part marks to once two terms are gone.คำตอบ $9$ มีรูปร่างที่เข้ากับ "$b + c\sqrt{5}$ โดย $c = 0$" และดูเรียบร้อย นั่นคือเหตุผลที่มันรอดสายตา · การเขียนครบสี่พจน์ก่อนรวมคือเกราะป้องกัน และไม่มีคะแนนของตัวเอง · M1 ให้กับการกระจายที่ถูกต้อง และเมื่อหายไปสองพจน์แล้วก็ไม่มีอะไรให้คะแนนบางส่วน
Simplify $4+2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5$.
Answershow ▾
Whole numbers together, surds together. This is part (b).
Express $(3-\sqrt{2})^{2}$ in the form $b+c\sqrt{2}$.
Answershow ▾
$9-3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2$. With a minus in the bracket the middle terms are both negative.
(a) Express $\sqrt{80}+\sqrt{20}$ in the form $a\sqrt{5}$, where $a$ is an integer.
(b) Express $(2+\sqrt{5})^{2}$ in the form $b+c\sqrt{5}$, where $b$ and $c$ are integers.
Answershow ▾
4 marks. Part (a) is question 4, part (b) is questions 7 and 8.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Rationalising the denominator
(a) Write $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ in the form $k\sqrt{3}$, where $k$ is an integer.
(b) Express $\dfrac{5+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ in the form $a+b\sqrt{3}$, where $a$ and $b$ are integers.
Write $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ with a whole number on the bottom.
Answershow ▾
Multiply top and bottom by $\sqrt{3}$: $\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$. This is part (a).
Write down the conjugate of $2-\sqrt{3}$.
Answershow ▾
Change the middle sign only. Nothing else moves.
The conjugate of $2 - \sqrt{3}$ is $2 + \sqrt{3}$ — not $-2 + \sqrt{3}$ and not $\sqrt{3} - 2$. Exactly which sign changes, and what is the one product the conjugate was chosen to produce?
conjugate ของ $2 - \sqrt{3}$ คือ $2 + \sqrt{3}$ ไม่ใช่ $-2 + \sqrt{3}$ และไม่ใช่ $\sqrt{3} - 2$ · เครื่องหมายไหนกันแน่ที่เปลี่ยน และ conjugate ถูกเลือกมาเพื่อให้ได้ผลคูณอะไร
Answershow ▾
The conjugate exists for one reason: it is the partner that makes the two middle terms cancel, so the root squares away. Change the wrong sign and the middle terms survive, the bottom still has a root in it, and the rest of the question cannot be finished. The M1 pays for multiplying by something; it does not check what.conjugate มีอยู่เพื่อเหตุผลเดียว: เป็นคู่ที่ทำให้พจน์กลางสองพจน์ตัดกัน รากจึงถูกยกกำลังสองหายไป · ถ้าเปลี่ยนผิดเครื่องหมาย พจน์กลางจะไม่ตัดกัน ตัวส่วนยังมีรากอยู่ และทำข้อนี้ต่อไม่ได้ · M1 ให้กับการคูณด้วยอะไรสักอย่าง ไม่ได้ตรวจว่าคูณด้วยอะไร
Work out $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$.
Answershow ▾
$2^{2}-(\sqrt{3})^{2}=4-3$. A conjugate pair always leaves a whole number.
To rationalise $\dfrac{7}{3-\sqrt{2}}$ you multiply top and bottom by $3+\sqrt{2}$. Work out the new bottom.
Answershow ▾
$3^{2}-(\sqrt{2})^{2}=9-2$. Do the bottom first — it tells you what you are dividing by.
You multiply the top and the bottom by $3 + \sqrt{2}$. Multiplying a fraction usually changes its value — why does this one keep the same value? What is the fraction really being multiplied by?
เราคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย $3 + \sqrt{2}$ · ปกติการคูณเศษส่วนจะเปลี่ยนค่าของมัน แต่ทำไมครั้งนี้ค่าเท่าเดิม · จริง ๆ แล้วเศษส่วนถูกคูณด้วยอะไร
Answershow ▾
It is one move written on two lines, and it only works because the same factor goes on both. Multiplying only the bottom "to clear the surd" changes the number and is the commonest way this question is lost. No mark is attached to knowing the value has been preserved.นี่คือการเดินหมากครั้งเดียวที่เขียนสองบรรทัด และมันใช้ได้เพราะตัวประกอบเดียวกันไปอยู่ทั้งบนและล่าง · ถ้าคูณแค่ตัวส่วน "เพื่อกำจัดราก" ค่าจะเปลี่ยน และนี่คือวิธีที่คนเสียคะแนนข้อนี้บ่อยที่สุด · ไม่มีคะแนนให้กับการรู้ว่าค่ายังคงเดิม
Work out $7(3+\sqrt{2})$.
Answershow ▾
Multiply each term. Keep the surd as it is.
Simplify $\dfrac{21+7\sqrt{2}}{7}$.
Answershow ▾
Divide every term on the top by the bottom, one at a time.
A student simplifies $\dfrac{21 + 7\sqrt{2}}{7}$ to $3 + 7\sqrt{2}$. Which term did the $7$ fail to reach, and what does "divide through" mean about how many terms are involved?
นักเรียนคนหนึ่งลดรูป $\dfrac{21 + 7\sqrt{2}}{7}$ เป็น $3 + 7\sqrt{2}$ · เลข $7$ ไปไม่ถึงพจน์ไหน และคำว่า "หารตลอด" หมายถึงหารกี่พจน์
Answershow ▾
A single denominator sits under the whole numerator, so it divides every term in it. The half-divided answer is still of the form $a + b\sqrt{2}$ with integer $a$ and $b$, so it passes the shape check the question asks for and fails the value. Nothing pays for dividing all of the terms rather than some.ตัวส่วนตัวเดียวอยู่ใต้ตัวเศษทั้งก้อน จึงหารทุกพจน์ในนั้น · คำตอบที่หารไปครึ่งเดียวยังอยู่ในรูป $a + b\sqrt{2}$ ที่ $a$ กับ $b$ เป็นจำนวนเต็ม จึงผ่านการตรวจรูปแบบที่โจทย์ขอ แต่ค่าผิด · ไม่มีคะแนนให้กับการหารครบทุกพจน์แทนที่จะหารบางพจน์
Expand $(1+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$.
Answershow ▾
$3+\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2$. The last term is $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$, a whole number.
Express $\dfrac{1+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$ in the form $\dfrac{a+b\sqrt{2}}{c}$.
Answershow ▾
Top: question 7. Bottom: $9-2=7$. It does not divide through this time, so leave the $7$ underneath.
Express $\dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ in the form $a+b\sqrt{3}$.
Answershow ▾
Bottom $4-3=1$. Top $\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3$. Dividing by $1$ changes nothing.
(a) Write $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ in the form $k\sqrt{3}$, where $k$ is an integer.
(b) Express $\dfrac{5+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ in the form $a+b\sqrt{3}$, where $a$ and $b$ are integers.
Answershow ▾
5 marks. Part (a) is question 1. Part (b): bottom $=1$ (question 3), top $(5+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=10+5\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3$.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Raise a bracket, then multiply ยกกำลังวงเล็บ แล้วคูณ
$(3pq^{2})^{4}\times 2pq^{4}\equiv ap^{b}q^{c}$
Find the values of the constants $a$, $b$ and $c$.
$(3pq^{2})^{4}\times 2pq^{4}\equiv ap^{b}q^{c}$
หาค่าคงที่ $a$, $b$ และ $c$
Work out $3^{4}$.
จงหาค่า $3^{4}$
Answershow ▾
Multiply $3$ by itself $4$ times.คูณ $3$ กับตัวเอง $4$ ครั้ง
Simplify $(q^{2})^{4}$.
จงทำให้ง่าย $(q^{2})^{4}$
Answershow ▾
Power of a power: multiply the indices, $2\times4$.กำลังของกำลัง: คูณเลขชี้กำลังกัน $2\times4$
Simplify $p^{4}\times p$.
จงทำให้ง่าย $p^{4}\times p$
Answershow ▾
Multiplying: add the indices, $4+1$.การคูณ: บวกเลขชี้กำลังกัน $4+1$
To expand $(3pq^{2})^{4}$, pick the first move.
(A) raise $p$ and $q^{2}$ to the power $4$, leave the $3$ as it is
(B) raise every factor in the bracket - the $3$, the $p$, and the $q^{2}$ - to the power $4$
(C) multiply the $4$ by the $2$ in $2pq^{4}$ first
ในการกระจาย $(3pq^{2})^{4}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ยกกำลัง $4$ ให้ $p$ กับ $q^{2}$ เท่านั้น ส่วน $3$ คงไว้เดิม
(B) ยกกำลัง $4$ ให้ทุกตัวในวงเล็บ - $3$, $p$, และ $q^{2}$
(C) คูณ $4$ กับ $2$ ใน $2pq^{4}$ ก่อน
Answershow ▾
(A) leaves the $3$ un-raised, which is the lost mark - a power outside a bracket raises EVERY factor inside, including a plain number. (C) invents a rule: $4$ and $2$ are separate numbers with nothing connecting them.(A) ไม่ยกกำลัง $3$ ซึ่งคือจุดที่เสียคะแนน - กำลังที่อยู่นอกวงเล็บต้องยกให้ทุกตัวในวงเล็บ รวมถึงจำนวนธรรมดาด้วย · (C) สร้างกฎขึ้นเอง: $4$ กับ $2$ เป็นตัวเลขคนละตัวที่ไม่เกี่ยวข้องกัน
Expand $(3pq^{2})^{4}$ by raising every factor inside it to the power $4$.
จงกระจาย $(3pq^{2})^{4}$ โดยยกกำลัง $4$ ให้ทุกตัวในวงเล็บ
Answershow ▾
The $3$, the $p$, and the $q^{2}$ are each raised to $4$.$3$, $p$, และ $q^{2}$ ถูกยกกำลัง $4$ ทีละตัว
Multiply $81p^{4}q^{8}$ by $2pq^{4}$. Work out the new coefficient (the number out front).
คูณ $81p^{4}q^{8}$ ด้วย $2pq^{4}$ จงหาสัมประสิทธิ์ตัวใหม่ (ตัวเลขด้านหน้า)
Answershow ▾
Multiply the two numbers out front: $81\times2$.คูณตัวเลขด้านหน้าทั้งสองจำนวน: $81\times2$
Multiply $81p^{4}q^{8}$ by $2pq^{4}$. Work out the new power of $p$ and the new power of $q$.
คูณ $81p^{4}q^{8}$ ด้วย $2pq^{4}$ จงหากำลังใหม่ของ $p$ และกำลังใหม่ของ $q$
Answershow ▾
Add the indices of each base on its own: $4+1$ for $p$, $8+4$ for $q$.บวกเลขชี้กำลังของแต่ละฐานแยกกัน: $4+1$ สำหรับ $p$ และ $8+4$ สำหรับ $q$
Write $(3pq^{2})^{4}\times2pq^{4}$ as a single term $ap^{b}q^{c}$.
จงเขียน $(3pq^{2})^{4}\times2pq^{4}$ เป็นพจน์เดียว $ap^{b}q^{c}$
Answershow ▾
Put the coefficient and both powers from the last two answers together.นำสัมประสิทธิ์และกำลังทั้งสองจากสองคำตอบที่แล้วมารวมกัน
Check your answer: let $p=1$ and $q=2$. Does $(3pq^{2})^{4}\times2pq^{4}$ equal $162p^{5}q^{12}$?
ตรวจคำตอบ: ให้ $p=1$ และ $q=2$ จงตรวจว่า $(3pq^{2})^{4}\times2pq^{4}$ เท่ากับ $162p^{5}q^{12}$ หรือไม่
Answershow ▾
The same number on both sides means the identity holds.ตัวเลขเท่ากันทั้งสองข้าง แสดงว่าเอกลักษณ์นี้เป็นจริง
$(2xy^{3})^{2}\times3xy\equiv ax^{b}y^{c}$. Find the values of $a$, $b$, and $c$.
$(2xy^{3})^{2}\times3xy\equiv ax^{b}y^{c}$ จงหาค่า $a$, $b$ และ $c$
Answershow ▾
Same two moves: raise every factor, then add the matching indices.สองขั้นเดิม: ยกกำลังให้ทุกตัว แล้วบวกเลขชี้กำลังของฐานที่ตรงกัน
$(3pq^{2})^{4}\times 2pq^{4}\equiv ap^{b}q^{c}$
Find the values of the constants $a$, $b$ and $c$.
$(3pq^{2})^{4}\times 2pq^{4}\equiv ap^{b}q^{c}$
หาค่าคงที่ $a$, $b$ และ $c$
Answershow ▾
3 marks: one for the coefficient, one for the power of $p$, one for the power of $q$.3 คะแนน: หนึ่งคะแนนสำหรับสัมประสิทธิ์ หนึ่งสำหรับกำลังของ $p$ หนึ่งสำหรับกำลังของ $q$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Three powers, one new letter เลขยกกำลังสามข้อ ตัวแปรใหม่ตัวเดียว
Given $y=3^{x}$, express each of the following in terms of $y$. Write each expression in its simplest form.
(a) $3^{3x}$
(b) $\dfrac{1}{3^{x-2}}$
(c) $\dfrac{81}{9^{2-3x}}$
กำหนดให้ $y=3^{x}$ จงเขียนแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปของ $y$ เขียนแต่ละนิพจน์ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ก) $3^{3x}$
(ข) $\dfrac{1}{3^{x-2}}$
(ค) $\dfrac{81}{9^{2-3x}}$
Write $3^{3x}$ as a power of $3^{x}$.
จงเขียน $3^{3x}$ เป็นกำลังของ $3^{x}$
Answershow ▾
$3^{3x}=3^{x\times3}$, so it is $3^{x}$ cubed.$3^{3x}=3^{x\times3}$ ดังนั้นเป็น $3^{x}$ ยกกำลังสาม
Write $3^{x-2}$ as a division, with no subtraction in the index.
จงเขียน $3^{x-2}$ เป็นการหาร โดยไม่มีการลบในเลขชี้กำลัง
Answershow ▾
A subtracted index splits into a division.เลขชี้กำลังที่ลบกัน แยกออกเป็นการหาร
Write $9$ and $81$ as powers of $3$.
จงเขียน $9$ กับ $81$ เป็นกำลังของ $3$
Answershow ▾
$3^{2}=9$ and $3^{4}=81$; this is the move every part of the question needs.$3^{2}=9$ และ $3^{4}=81$ นี่คือขั้นที่ทุกข้อของคำถามต้องใช้
$\dfrac{81}{9^{2-3x}}$. Pick the first move.
(A) write $81$ and $9$ as powers of $3$
(B) subtract the index: $81-9^{2-3x}$
(C) divide $81$ by $9$ first, then deal with the index
$\dfrac{81}{9^{2-3x}}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) เขียน $81$ กับ $9$ เป็นกำลังของ $3$
(B) ลบเลขชี้กำลัง: $81-9^{2-3x}$
(C) หาร $81$ ด้วย $9$ ก่อน แล้วจัดการเลขชี้กำลังทีหลัง
Answershow ▾
(B) treats a fraction as a subtraction, which is not a law of indices at all. (C) cannot divide $81$ by $9^{2-3x}$ as plain numbers, because the index has $x$ in it; the bases must match $y=3^{x}$ before anything can cancel.(B) ปฏิบัติกับเศษส่วนเหมือนเป็นการลบ ซึ่งไม่ใช่กฎเลขยกกำลังเลย · (C) หาร $81$ ด้วย $9^{2-3x}$ แบบตัวเลขธรรมดาไม่ได้ เพราะเลขชี้กำลังมี $x$ อยู่ ต้องทำให้ฐานเป็น $3$ เหมือนกับ $y=3^{x}$ ก่อนจึงจะตัดกันได้
$y=3^{x}$. Use rung $1$ to write $3^{3x}$ in terms of $y$.
$y=3^{x}$ จงใช้ข้อ $1$ เขียน $3^{3x}$ ในรูปของ $y$
Answershow ▾
Replace $3^{x}$ with $y$.แทน $3^{x}$ ด้วย $y$
$y=3^{x}$. Use rung $2$ to write $\dfrac{1}{3^{x-2}}$ in terms of $y$.
$y=3^{x}$ จงใช้ข้อ $2$ เขียน $\dfrac{1}{3^{x-2}}$ ในรูปของ $y$
Answershow ▾
$\dfrac{1}{3^{x}\div3^{2}}=\dfrac{3^{2}}{3^{x}}=9\times3^{-x}$, and $3^{-x}=y^{-1}$.$\dfrac{1}{3^{x}\div3^{2}}=\dfrac{3^{2}}{3^{x}}=9\times3^{-x}$ และ $3^{-x}=y^{-1}$
$y=3^{x}$. Use rung $3$ to write $9^{2-3x}$ as a single power of $3$.
$y=3^{x}$ จงใช้ข้อ $3$ เขียน $9^{2-3x}$ เป็นกำลังของ $3$ เพียงตัวเดียว
Answershow ▾
Raising $3^{2}$ to a power multiplies the indices: $2\times(2-3x)=4-6x$.ยกกำลัง $3^{2}$ ด้วยกำลังอีกชั้น ต้องคูณเลขชี้กำลัง: $2\times(2-3x)=4-6x$
Use rungs $3$ and $6$ to write $\dfrac{81}{9^{2-3x}}$ in terms of $y$.
จงใช้ข้อ $3$ และ $6$ เขียน $\dfrac{81}{9^{2-3x}}$ ในรูปของ $y$
Answershow ▾
Same base, so subtract the indices: $4-(4-6x)=6x$.ฐานเดียวกัน จึงลบเลขชี้กำลัง: $4-(4-6x)=6x$
Check (b) at $x=2$: $y=3^{2}=9$, so $9y^{-1}$ should equal $\dfrac{1}{3^{x-2}}$ at $x=2$. Work out both sides.
จงตรวจข้อ (b) ที่ $x=2$: $y=3^{2}=9$ ดังนั้น $9y^{-1}$ ต้องเท่ากับ $\dfrac{1}{3^{x-2}}$ ที่ $x=2$ จงคำนวณทั้งสองข้าง
Answershow ▾
A value that checks on both sides supports the working, it does not replace it.ค่าที่ตรวจแล้วตรงกันทั้งสองข้าง ช่วยยืนยันวิธีทำ แต่ไม่ใช่การแทนที่วิธีทำ
Given $y=2^{x}$, express $2^{2x}$ and $\dfrac{1}{2^{x-1}}$ in terms of $y$.
กำหนดให้ $y=2^{x}$ จงเขียน $2^{2x}$ และ $\dfrac{1}{2^{x-1}}$ ในรูปของ $y$
Answershow ▾
Same two moves: power of a power, then split the subtracted index.สองขั้นเดิม: กำลังของกำลัง แล้วแยกเลขชี้กำลังที่ลบกัน
Given $y=3^{x}$, express each of the following in terms of $y$. Write each expression in its simplest form.
(a) $3^{3x}$
(b) $\dfrac{1}{3^{x-2}}$
(c) $\dfrac{81}{9^{2-3x}}$
กำหนดให้ $y=3^{x}$ จงเขียนแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปของ $y$ เขียนแต่ละนิพจน์ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ก) $3^{3x}$
(ข) $\dfrac{1}{3^{x-2}}$
(ค) $\dfrac{81}{9^{2-3x}}$
Answershow ▾
5 marks. Part (c) is worth two, since $9$ and $81$ both need rewriting as powers of $3$ first.5 คะแนน ข้อ (c) ได้สองคะแนน เพราะ $9$ กับ $81$ ต้องเขียนเป็นกำลังของ $3$ ก่อนทั้งคู่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Simplify a surd, then rationalise ลดรูปกรณฑ์ แล้วทำส่วนให้ตรรกยะ
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
(i) Show that $\dfrac{\sqrt{180}-\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$ is an integer and find its value.
(ii) Simplify $\dfrac{4\sqrt{5}-5}{7-3\sqrt{5}}$ giving your answer in the form $a+b\sqrt{5}$ where $a$ and $b$ are rational numbers.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
(i) จงแสดงว่า $\dfrac{\sqrt{180}-\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$ เป็นจำนวนเต็ม แล้วหาค่าของมัน
(ii) จัดรูป $\dfrac{4\sqrt{5}-5}{7-3\sqrt{5}}$ ให้อยู่ในรูป $a+b\sqrt{5}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ
Simplify $\sqrt{80}$, writing it as a multiple of $\sqrt5$.
จงทำให้ง่าย $\sqrt{80}$ โดยเขียนเป็นตัวคูณของ $\sqrt5$
Answershow ▾
$80=16\times5$ and $16$ is a square number.$80=16\times5$ และ $16$ เป็นจำนวนกำลังสอง
Simplify $\sqrt{180}$, writing it as a multiple of $\sqrt5$.
จงทำให้ง่าย $\sqrt{180}$ โดยเขียนเป็นตัวคูณของ $\sqrt5$
Answershow ▾
$180=36\times5$ and $36$ is a square number.$180=36\times5$ และ $36$ เป็นจำนวนกำลังสอง
Work out $(3\sqrt5)^{2}$.
จงหาค่า $(3\sqrt5)^{2}$
Answershow ▾
Square the $3$ and the $\sqrt5$ separately, then multiply.ยกกำลังสอง $3$ กับ $\sqrt5$ แยกกัน แล้วคูณกัน
To show $\dfrac{\sqrt{180}-\sqrt{80}}{\sqrt5}$ is an integer, pick the first move.
(A) simplify $\sqrt{180}$ and $\sqrt{80}$ into multiples of $\sqrt5$, then subtract
(B) combine under one root: $\sqrt{180}-\sqrt{80}=\sqrt{100}$
(C) divide $180$ and $80$ by $5$ first: $\dfrac{180}{5}-\dfrac{80}{5}$
เพื่อแสดงว่า $\dfrac{\sqrt{180}-\sqrt{80}}{\sqrt5}$ เป็นจำนวนเต็ม จงเลือกขั้นแรก
(A) ทำให้ง่าย $\sqrt{180}$ และ $\sqrt{80}$ เป็นตัวคูณของ $\sqrt5$ แล้วลบกัน
(B) รวมภายใต้รากเดียว: $\sqrt{180}-\sqrt{80}=\sqrt{100}$
(C) หาร $180$ และ $80$ ด้วย $5$ ก่อน: $\dfrac{180}{5}-\dfrac{80}{5}$
Answershow ▾
(B) a root does not split over subtraction, so $\sqrt{180}-\sqrt{80}\neq\sqrt{100}$; dividing that by $\sqrt5$ does not even give an integer. (C) drops the root sign - $\sqrt{180}/\sqrt5$ is $\sqrt{180/5}=6$, not $180/5=36$.(B) รากไม่สามารถแยกส่วนด้วยการลบได้ ดังนั้น $\sqrt{180}-\sqrt{80}\neq\sqrt{100}$ เอาไปหาร $\sqrt5$ แล้วก็ไม่ได้จำนวนเต็มอยู่ดี · (C) ทำราก (root) หายไป - $\sqrt{180}/\sqrt5$ คือ $\sqrt{180/5}=6$ ไม่ใช่ $180/5=36$
Use your answers to questions 1 and 2 to simplify $6\sqrt5-4\sqrt5$.
ใช้คำตอบจากข้อ 1 และข้อ 2 เพื่อทำให้ง่าย $6\sqrt5-4\sqrt5$
Answershow ▾
Same surd on both terms, so just subtract the numbers in front.เป็นรากตัวเดียวกันทั้งสองพจน์ จึงลบเฉพาะตัวเลขหน้ารากได้เลย
Divide $2\sqrt5$ by $\sqrt5$, to finish showing part (i) is an integer.
จงหาร $2\sqrt5$ ด้วย $\sqrt5$ เพื่อแสดงว่าข้อ (i) เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
The $\sqrt5$ on top and bottom cancels, leaving a whole number.$\sqrt5$ บนและล่างตัดกัน เหลือจำนวนเต็ม
To simplify $\dfrac{4\sqrt5-5}{7-3\sqrt5}$, pick the first move.
(A) multiply top and bottom by $\sqrt5$
(B) multiply top and bottom by the conjugate of $7-3\sqrt5$
(C) multiply top and bottom by $7-3\sqrt5$ again
เพื่อทำให้ง่าย $\dfrac{4\sqrt5-5}{7-3\sqrt5}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณเศษและส่วนด้วย $\sqrt5$
(B) คูณเศษและส่วนด้วย conjugate ของ $7-3\sqrt5$
(C) คูณเศษและส่วนด้วย $7-3\sqrt5$ อีกครั้ง
Answershow ▾
(A) only clears the root that is already alone - the $7$ is still mixed with a root afterwards: $(7-3\sqrt5)\sqrt5=7\sqrt5-15$. (C) squares the same bracket instead of flipping its sign, so the middle terms double instead of cancelling.(A) ทำได้แค่เอารากที่อยู่ตัวเดียวออกเท่านั้น หลังจากนั้น $7$ ก็ยังติดรากอยู่: $(7-3\sqrt5)\sqrt5=7\sqrt5-15$ · (C) ยกกำลังสองวงเล็บเดิมแทนการเปลี่ยนเครื่องหมาย พจน์กลางจึงเพิ่มเป็นสองเท่าแทนที่จะตัดกัน
Write down the conjugate of $7-3\sqrt5$.
จงเขียน conjugate ของ $7-3\sqrt5$
Answershow ▾
Change the middle sign only, and keep both terms the same.เปลี่ยนแค่เครื่องหมายตรงกลาง ส่วนพจน์อื่นเหมือนเดิม
Multiply $(7-3\sqrt5)(7+3\sqrt5)$. Use your answer to question 3.
จงคูณ $(7-3\sqrt5)(7+3\sqrt5)$ โดยใช้คำตอบจากข้อ 3
Answershow ▾
A conjugate pair gives (front)$^{2}$ minus (root term)$^{2}$, with no root left.คู่ conjugate ให้ (หน้า)$^{2}$ ลบ (พจน์ราก)$^{2}$ ไม่เหลือรากเลย
Expand $(4\sqrt5-5)(7+3\sqrt5)$, collect like terms, then divide every term by $4$.
จงกระจาย $(4\sqrt5-5)(7+3\sqrt5)$ รวมพจน์ แล้วหารทุกพจน์ด้วย $4$
Answershow ▾
Four products, then combine the two surd terms and the two whole numbers.กระจายได้สี่พจน์ แล้วรวมพจน์ราก (surd) สองพจน์ และจำนวนเต็มสองพจน์แยกกัน
(i) Show that $\dfrac{\sqrt{75}-\sqrt{12}}{\sqrt3}$ is an integer and find its value. (ii) Simplify $\dfrac{\sqrt3-1}{2-\sqrt3}$, giving your answer in the form $a+b\sqrt3$.
(i) จงแสดงว่า $\dfrac{\sqrt{75}-\sqrt{12}}{\sqrt3}$ เป็นจำนวนเต็ม แล้วหาค่า (ii) จัดรูป $\dfrac{\sqrt3-1}{2-\sqrt3}$ ให้อยู่ในรูป $a+b\sqrt3$
Answershow ▾
Same two moves: simplify and subtract, then multiply by the conjugate.สองขั้นเดิม: ทำให้ง่ายแล้วลบกัน จากนั้นคูณด้วย conjugate
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
(i) Show that $\dfrac{\sqrt{180}-\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$ is an integer and find its value.
(ii) Simplify $\dfrac{4\sqrt{5}-5}{7-3\sqrt{5}}$ giving your answer in the form $a+b\sqrt{5}$ where $a$ and $b$ are rational numbers.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
(i) จงแสดงว่า $\dfrac{\sqrt{180}-\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$ เป็นจำนวนเต็ม แล้วหาค่าของมัน
(ii) จัดรูป $\dfrac{4\sqrt{5}-5}{7-3\sqrt{5}}$ ให้อยู่ในรูป $a+b\sqrt{5}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ
Answershow ▾
5 marks: 2 for the integer, 3 for the conjugate fraction - show every line.5 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับจำนวนเต็ม 3 คะแนนสำหรับเศษส่วน conjugate ต้องเขียนทุกบรรทัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Rationalise the bottom, then solve ทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ แล้วแก้สมการ
(a) Simplify $\dfrac{1}{4-2\sqrt2}$ giving your answer in the form $a+b\sqrt2$ where $a$ and $b$ are rational numbers.
(b) Hence, or otherwise, solve the equation $4x=2\sqrt2\,x+20\sqrt2$ giving your answer in the form $p+q\sqrt2$ where $p$ and $q$ are rational numbers.
(ก) จัดรูป $\dfrac{1}{4-2\sqrt2}$ ให้อยู่ในรูป $a+b\sqrt2$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ
(ข) จากข้อ (a) หรือวิธีอื่น จงแก้สมการ $4x=2\sqrt2\,x+20\sqrt2$ ตอบในรูป $p+q\sqrt2$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนตรรกยะ
Work out $(2\sqrt2)^{2}$.
จงหาค่า $(2\sqrt2)^{2}$
Answershow ▾
Square the number in front and the root separately, then multiply.ยกกำลังสองตัวเลขหน้ารากและตัวราก แยกกัน แล้วคูณกัน
Expand $(4-\sqrt2)(4+\sqrt2)$.
จงกระจาย $(4-\sqrt2)(4+\sqrt2)$
Answershow ▾
The two middle terms cancel, leaving a square minus a square.สองพจน์กลางตัดกัน เหลือกำลังสองลบกำลังสอง
Simplify $\dfrac{10+4\sqrt2}{2}$.
จงลดรูป $\dfrac{10+4\sqrt2}{2}$
Answershow ▾
Divide each term on top by the number on the bottom.เอาแต่ละพจน์บนตัวเศษ หารด้วยตัวเลขข้างล่าง
To rationalise $\dfrac{1}{4-2\sqrt2}$, pick the fraction to multiply by.
(A) $\dfrac{4+2\sqrt2}{4+2\sqrt2}$
(B) $\dfrac{-4+2\sqrt2}{-4+2\sqrt2}$
(C) $\dfrac{4-2\sqrt2}{4-2\sqrt2}$
ทำส่วนของ $\dfrac{1}{4-2\sqrt2}$ ให้เป็นจำนวนตรรกยะ จงเลือกเศษส่วนที่ใช้คูณ
(A) $\dfrac{4+2\sqrt2}{4+2\sqrt2}$
(B) $\dfrac{-4+2\sqrt2}{-4+2\sqrt2}$
(C) $\dfrac{4-2\sqrt2}{4-2\sqrt2}$
Answershow ▾
(B) flips the sign of the whole number too, not just the root term - that is not the conjugate. (C) is the same as the denominator, so the root is still there after squaring it, not removed.(B) เปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเลขทั้งก้อน ไม่ใช่แค่พจน์ที่มีราก ซึ่งไม่ใช่ conjugate · (C) เหมือนกับตัวส่วนเดิม พอยกกำลังสองแล้วรากก็ยังอยู่ ไม่ถูกกำจัด
Multiply $\dfrac{1}{4-2\sqrt2}$ by $\dfrac{4+2\sqrt2}{4+2\sqrt2}$. Simplify the denominator.
คูณ $\dfrac{1}{4-2\sqrt2}$ ด้วย $\dfrac{4+2\sqrt2}{4+2\sqrt2}$ แล้วลดรูปตัวส่วน
Answershow ▾
The denominator becomes a difference of two squares, like question 2.ตัวส่วนกลายเป็นผลต่างกำลังสอง เหมือนข้อ 2
Simplify $\dfrac{4+2\sqrt2}{8}$ to the form $a+b\sqrt2$.
จงลดรูป $\dfrac{4+2\sqrt2}{8}$ ให้อยู่ในรูป $a+b\sqrt2$
Answershow ▾
Split the fraction and simplify each term, same as question 3.แยกเศษส่วนแล้วลดรูปแต่ละพจน์ เหมือนข้อ 3
Collect the $x$ terms on one side of $4x=2\sqrt2\,x+20\sqrt2$, then factorise out $x$.
รวมพจน์ $x$ ไว้ข้างเดียวของ $4x=2\sqrt2\,x+20\sqrt2$ แล้วแยกตัวประกอบ $x$
Answershow ▾
Subtract $2\sqrt2\,x$ from both sides, then take out the common factor $x$.ลบ $2\sqrt2\,x$ ออกจากทั้งสองข้าง แล้วแยกตัวประกอบร่วม $x$
You have $x(4-2\sqrt2)=20\sqrt2$. Pick the fastest way to find $x$.
(A) divide by $(4-2\sqrt2)$, then rationalise the result from scratch
(B) multiply both sides by $\dfrac12+\dfrac14\sqrt2$, the answer to question 5
(C) divide both sides by $4$ only
ได้ $x(4-2\sqrt2)=20\sqrt2$ จงเลือกวิธีหา $x$ ที่เร็วที่สุด
(A) หารด้วย $(4-2\sqrt2)$ แล้วทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะใหม่ตั้งแต่ต้น
(B) คูณทั้งสองข้างด้วย $\dfrac12+\dfrac14\sqrt2$ คำตอบจากข้อ 5
(C) หารทั้งสองข้างด้วย $4$ เท่านั้น
Answershow ▾
(A) reaches the same answer but redoes work question 5 already finished. (C) divides only the number $4$, so $(4-2\sqrt2)$ no longer multiplies $x$ correctly.(A) ได้คำตอบเดียวกัน แต่ทำงานซ้ำที่ข้อ 5 ทำไปแล้ว · (C) หารเฉพาะตัวเลข $4$ ทำให้ $(4-2\sqrt2)$ ไม่ได้คูณกับ $x$ อย่างถูกต้องอีกต่อไป
Multiply out $20\sqrt2\times\left(\dfrac12+\dfrac14\sqrt2\right)$. Keep the two products separate.
จงคูณ $20\sqrt2\times\left(\dfrac12+\dfrac14\sqrt2\right)$ ออกมา โดยแยกสองพจน์ไว้ก่อน
Answershow ▾
Multiply $20\sqrt2$ by each term in the bracket on its own.คูณ $20\sqrt2$ กับแต่ละพจน์ในวงเล็บ ทีละพจน์
Simplify $10\sqrt2+5(2)$ to the form $p+q\sqrt2$, then check it: work out $4x$ and see it matches $2\sqrt2\,x+20\sqrt2$.
จงลดรูป $10\sqrt2+5(2)$ ให้อยู่ในรูป $p+q\sqrt2$ แล้วตรวจคำตอบ โดยหาค่า $4x$ และดูว่าตรงกับ $2\sqrt2\,x+20\sqrt2$ หรือไม่
Answershow ▾
If $x$ is right, both sides of the original equation give the same value.ถ้า $x$ ถูก สมการเดิมทั้งสองข้างจะได้ค่าเท่ากัน
Simplify $\dfrac{1}{2-\sqrt2}$ giving your answer in the form $p+q\sqrt2$. Hence solve $2x=\sqrt2\,x+5\sqrt2$.
จงลดรูป $\dfrac{1}{2-\sqrt2}$ ให้อยู่ในรูป $p+q\sqrt2$ จากข้อนี้ จงแก้สมการ $2x=\sqrt2\,x+5\sqrt2$
Answershow ▾
Same two moves: rationalise a fraction, then use it to solve the equation.สองขั้นเดิม: ทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ แล้วใช้ผลลัพธ์แก้สมการ
(a) Simplify $\dfrac{1}{4-2\sqrt2}$ giving your answer in the form $a+b\sqrt2$ where $a$ and $b$ are rational numbers.
(b) Hence, or otherwise, solve the equation $4x=2\sqrt2\,x+20\sqrt2$ giving your answer in the form $p+q\sqrt2$ where $p$ and $q$ are rational numbers.
(ก) จัดรูป $\dfrac{1}{4-2\sqrt2}$ ให้อยู่ในรูป $a+b\sqrt2$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ
(ข) จากข้อ (a) หรือวิธีอื่น จงแก้สมการ $4x=2\sqrt2\,x+20\sqrt2$ ตอบในรูป $p+q\sqrt2$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนตรรกยะ
Answershow ▾
5 marks: multiply by the conjugate, simplify to find $a$ and $b$, then use that result ("hence") to solve for $x$.5 คะแนน: คูณด้วย conjugate ลดรูปเพื่อหา $a$ และ $b$ แล้วใช้ผลลัพธ์นั้น ("hence") แก้หา $x$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Expand, collect, divide by a conjugate กระจาย รวมพจน์ แล้วหารด้วย conjugate
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
Solve the equation $\sqrt3\left(4y-3\sqrt3\right)=5y+\sqrt3$ giving your answer in the form $p+q\sqrt3$ where $p$ and $q$ are simplified fractions to be found.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
จงแก้สมการ $\sqrt3\left(4y-3\sqrt3\right)=5y+\sqrt3$ ตอบในรูป $p+q\sqrt3$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Work out $\sqrt3\times3\sqrt3$.
จงหาค่า $\sqrt3\times3\sqrt3$
Answershow ▾
A root times itself gives the number inside; keep the number in front separate.รากคูณกับตัวเอง จะได้จำนวนข้างในกลับมา ตัวเลขหน้ารากคูณแยกกันไปตามปกติ
Factorise $4\sqrt3\,y-5y$, taking out $y$.
จงแยกตัวประกอบ $4\sqrt3\,y-5y$ โดยดึง $y$ ออก
Answershow ▾
Both terms share a factor of $y$; the surd stays attached to its own coefficient.ทั้งสองพจน์มี $y$ เป็นตัวร่วม ส่วนกรณฑ์ยังติดอยู่กับตัวเลขหน้าของมันเหมือนเดิม
Write the conjugate of $4\sqrt3-5$.
จงเขียน conjugate ของ $4\sqrt3-5$
Answershow ▾
Change only the sign between the terms; multiplying the pair gives $48-25=23$, a whole number.เปลี่ยนแค่เครื่องหมายระหว่างพจน์ · คูณคู่นี้เข้าด้วยกันจะได้ $48-25=23$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม
While expanding $\sqrt3\times3\sqrt3$, you need $\sqrt3\times\sqrt3$. Pick its value.
(A) $\sqrt9$
(B) $9$
(C) $3$
ขณะกระจาย $\sqrt3\times3\sqrt3$ ต้องใช้ $\sqrt3\times\sqrt3$ จงเลือกค่าของมัน
(A) $\sqrt9$
(B) $9$
(C) $3$
Answershow ▾
(A) is numerically equal but leaves the root unsimplified, which the mark scheme does not accept. (B) squares the number $3$ in front instead of the root itself: $\sqrt3\times\sqrt3$ is $3$, not $3^{2}$.(A) มีค่าเท่ากันแต่ยังเหลือรากที่ไม่ได้ลดรูป ซึ่งเฉลยข้อสอบไม่รับ · (B) ยกกำลังสองตัวเลข $3$ หน้าราก แทนที่จะเป็นตัวราก: $\sqrt3\times\sqrt3$ คือ $3$ ไม่ใช่ $3^{2}$
Expand $\sqrt3(4y-3\sqrt3)$.
จงกระจาย $\sqrt3(4y-3\sqrt3)$
Answershow ▾
Multiply $\sqrt3$ by each term inside the bracket.คูณ $\sqrt3$ เข้ากับทุกพจน์ในวงเล็บ
The equation is $4\sqrt3\,y-9=5y+\sqrt3$. Collect the $y$ terms on the left and the numbers on the right.
สมการคือ $4\sqrt3\,y-9=5y+\sqrt3$ จงรวมพจน์ $y$ ไว้ทางซ้าย และตัวเลขไว้ทางขวา
Answershow ▾
Move $5y$ to the left and $9$ to the right; each move changes sign.ย้าย $5y$ ไปทางซ้าย และย้าย $9$ ไปทางขวา · การย้ายแต่ละครั้งเปลี่ยนเครื่องหมาย
The denominator is $4\sqrt3-5$. Pick what to multiply top and bottom by.
(A) $4\sqrt3$
(B) $4\sqrt3+5$
(C) $-5$
ตัวส่วนคือ $4\sqrt3-5$ จงเลือกตัวที่จะเอาไปคูณทั้งเศษและส่วน
(A) $4\sqrt3$
(B) $4\sqrt3+5$
(C) $-5$
Answershow ▾
(A) clears only the $4\sqrt3$ term, leaving $-5\times4\sqrt3$ still carrying a root. (C) multiplies by a rational number alone, so $4\sqrt3$ never cancels; only the conjugate of the whole denominator removes it.(A) กำจัดได้แค่พจน์ $4\sqrt3$ ส่วน $-5\times4\sqrt3$ ยังมีรากอยู่ · (C) คูณด้วยจำนวนตรรกยะเฉยๆ $4\sqrt3$ จึงไม่หลุดไป · ต้องคูณด้วย conjugate ของตัวส่วนทั้งก้อน เท่านั้นที่จะกำจัดรากได้
Multiply $\dfrac{9+\sqrt3}{4\sqrt3-5}$ by $\dfrac{4\sqrt3+5}{4\sqrt3+5}$. Write the new fraction, without expanding the top.
คูณ $\dfrac{9+\sqrt3}{4\sqrt3-5}$ ด้วย $\dfrac{4\sqrt3+5}{4\sqrt3+5}$ แล้วเขียนเศษส่วนใหม่ ยังไม่ต้องกระจายตัวเศษ
Answershow ▾
The two factors on the bottom multiply to $23$; keep the top as a product for now.สองตัวประกอบข้างล่างคูณกันได้ $23$ · ส่วนตัวเศษยังไม่ต้องกระจาย
Expand $(9+\sqrt3)(4\sqrt3+5)$, then write $y$ in the form $p+q\sqrt3$.
จงกระจาย $(9+\sqrt3)(4\sqrt3+5)$ แล้วเขียน $y$ ในรูป $p+q\sqrt3$
Answershow ▾
Expand the brackets, add the surd terms, then split into the $p+q\sqrt3$ form.กระจายวงเล็บ รวมพจน์ที่มีกรณฑ์ แล้วแยกเป็นรูป $p+q\sqrt3$
Check: multiply $y=\dfrac{57}{23}+\dfrac{41}{23}\sqrt3$ by $4\sqrt3-5$. Do you get $9+\sqrt3$ back?
ตรวจคำตอบ: คูณ $y=\dfrac{57}{23}+\dfrac{41}{23}\sqrt3$ ด้วย $4\sqrt3-5$ จะได้ $9+\sqrt3$ กลับมาหรือไม่
Answershow ▾
If $y(4\sqrt3-5)$ comes back to $9+\sqrt3$, the division was correct.ถ้า $y(4\sqrt3-5)$ กลับมาเป็น $9+\sqrt3$ แสดงว่าการหารถูกต้อง
Solve $\sqrt2(2y-\sqrt2)=y+\sqrt2$, giving your answer in the form $p+q\sqrt2$.
จงแก้สมการ $\sqrt2(2y-\sqrt2)=y+\sqrt2$ ตอบในรูป $p+q\sqrt2$
Answershow ▾
Same four moves: expand, collect, multiply by the conjugate, then simplify.สี่ขั้นเดิม: กระจาย รวมพจน์ คูณด้วย conjugate แล้วลดรูป
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
Solve the equation $\sqrt3\left(4y-3\sqrt3\right)=5y+\sqrt3$ giving your answer in the form $p+q\sqrt3$ where $p$ and $q$ are simplified fractions to be found.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
จงแก้สมการ $\sqrt3\left(4y-3\sqrt3\right)=5y+\sqrt3$ ตอบในรูป $p+q\sqrt3$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
4 marks: expand the bracket, collect and factorise the $y$ terms, multiply by the conjugate of $4\sqrt3-5$, then simplify to $p+q\sqrt3$.4 คะแนน: กระจายวงเล็บ รวมพจน์ $y$ แล้วแยกตัวประกอบ คูณด้วย conjugate ของ $4\sqrt3-5$ แล้วลดรูปเป็น $p+q\sqrt3$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A square root hiding a quadratic สมการรากที่ซ่อนสมการกำลังสอง
Solve, using algebra, the equation $x-6\sqrt{x}+4=0$.
Fully simplify your answers, writing them in the form $a+b\sqrt{c}$, where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
จงแก้สมการ $x-6\sqrt{x}+4=0$ ด้วยพีชคณิต (using algebra)
จัดรูปคำตอบให้อยู่ในรูป $a+b\sqrt{c}$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
The equation $x-6\sqrt{x}+4=0$ has $\sqrt{x}$ repeated. Let $u=\sqrt{x}$. Write the equation using $u$.
สมการ $x-6\sqrt{x}+4=0$ มี $\sqrt{x}$ ซ้ำกัน ให้ $u=\sqrt{x}$ จงเขียนสมการใหม่โดยใช้ $u$
Answershow ▾
$x=(\sqrt x)^{2}=u^{2}$, so $x$ becomes $u^{2}$ everywhere it appears.$x=(\sqrt x)^{2}=u^{2}$ จึงแทน $x$ ด้วย $u^{2}$ ทุกที่ที่ปรากฏ
Solve $u^{2}-6u+4=0$ using the quadratic formula.
จงแก้สมการ $u^{2}-6u+4=0$ ด้วยสูตรกำลังสอง
Answershow ▾
$b^{2}-4ac=36-16=20$, and $\sqrt{20}=2\sqrt5$.$b^{2}-4ac=36-16=20$ และ $\sqrt{20}=2\sqrt5$
Expand and simplify $(3+\sqrt5)^{2}$.
จงกระจายและจัดรูป $(3+\sqrt5)^{2}$
Answershow ▾
$(\sqrt5)^{2}=5$, and the middle term doubles: $2\times3\times\sqrt5$.$(\sqrt5)^{2}=5$ และพจน์กลางเป็นสองเท่า: $2\times3\times\sqrt5$
You have solved for $u$: $u=3\pm\sqrt5$. The question asks for $x$, not $u$. Pick the next move.
(A) Write $x=3\pm\sqrt5$
(B) Square $u$, since $u=\sqrt x$ means $x=u^{2}$
(C) Take the square root of $u$ to get $x$
แก้หา $u$ ได้ $u=3\pm\sqrt5$ แล้ว คำถามต้องการ $x$ ไม่ใช่ $u$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) เขียน $x=3\pm\sqrt5$
(B) ยกกำลังสอง $u$ เพราะ $u=\sqrt x$ หมายความว่า $x=u^{2}$
(C) ถอดรากที่สองของ $u$ เพื่อหา $x$
Answershow ▾
(A) gives the value of $u$, which is $\sqrt x$, not $x$ itself. (C) goes the wrong way: undoing $u=\sqrt x$ means squaring, not rooting again.(A) ได้ค่า $u$ ซึ่งคือ $\sqrt x$ ไม่ใช่ $x$ · (C) ย้อนกลับผิดทาง เพราะการยกเลิก $u=\sqrt x$ ต้องยกกำลังสอง ไม่ใช่ถอดรากซ้ำ
Using $x=u^{2}$ and $u=3+\sqrt5$, write $x$ as a square, without expanding yet.
ใช้ $x=u^{2}$ กับ $u=3+\sqrt5$ จงเขียน $x$ ในรูปกำลังสอง โดยยังไม่ต้องกระจาย
Answershow ▾
Replace $u$ with its value. Keep the bracket - do not expand it yet.แทน $u$ ด้วยค่าของมัน · เก็บวงเล็บไว้ก่อน ยังไม่ต้องกระจาย
Expand $(3+\sqrt5)^{2}$ to find this value of $x$.
จงกระจาย $(3+\sqrt5)^{2}$ เพื่อหาค่า $x$ นี้
Answershow ▾
Same expansion as before, now labelled as $x$.กระจายแบบเดิม เพียงเปลี่ยนชื่อเป็น $x$
Expand $(3-\sqrt5)^{2}$ to find the other value of $x$.
จงกระจาย $(3-\sqrt5)^{2}$ เพื่อหาอีกค่าหนึ่งของ $x$
Answershow ▾
Minus times minus is plus, so the middle term stays negative but $(\sqrt5)^{2}$ is still $+5$.ลบคูณลบได้บวก พจน์กลางยังติดลบ แต่ $(\sqrt5)^{2}$ ยังเป็น $+5$ เหมือนเดิม
You now have $x=14+6\sqrt5$ and $x=14-6\sqrt5$, from $u=3+\sqrt5$ and $u=3-\sqrt5$. Pick the right check before giving both as final.
(A) No check is needed, both values are automatically valid
(B) Check each value of $u$ is positive, since $u=\sqrt x\ge0$
(C) Reject $u=3-\sqrt5$ because it has a minus sign
ตอนนี้ได้ $x=14+6\sqrt5$ และ $x=14-6\sqrt5$ จาก $u=3+\sqrt5$ และ $u=3-\sqrt5$ จงเลือกการตรวจที่ถูกต้องก่อนสรุปคำตอบ
(A) ไม่ต้องตรวจ ทั้งสองค่าใช้ได้แน่นอน
(B) ตรวจว่าค่า $u$ แต่ละค่าเป็นบวก เพราะ $u=\sqrt x\ge0$
(C) ตัด $u=3-\sqrt5$ เพราะมีเครื่องหมายลบ
Answershow ▾
(A) skips the real condition $u\ge0$ - it happens to be fine here, but the check still matters. (C) judges by the sign in front of $\sqrt5$, not the actual value: $3-\sqrt5\approx0.76$ is positive.(A) ข้ามเงื่อนไข $u\ge0$ ไป · บังเอิญผ่านแต่ก็ต้องตรวจ · (C) ดูเครื่องหมายหน้า $\sqrt5$ ไม่ได้ดูค่าจริง $3-\sqrt5\approx0.76$ เป็นบวก
Starting from $x-6\sqrt x+4=0$, chain the substitution and the quadratic formula to find $u$.
เริ่มจาก $x-6\sqrt x+4=0$ จงใช้การแทนค่าต่อด้วยสูตรกำลังสองเป็นลูกโซ่เพื่อหา $u$
Answershow ▾
Two skills in a row: substitute to get a quadratic, then solve it.สองทักษะต่อกัน: แทนค่าให้ได้สมการกำลังสอง แล้วแก้สมการนั้น
Check that $x=14+6\sqrt5$ satisfies $x-6\sqrt x+4=0$. Use $\sqrt{14+6\sqrt5}=3+\sqrt5$.
จงตรวจว่า $x=14+6\sqrt5$ เป็นจริงกับ $x-6\sqrt x+4=0$ โดยใช้ $\sqrt{14+6\sqrt5}=3+\sqrt5$
Answershow ▾
A value that makes the equation true is a correct solution.ค่าที่ทำให้สมการเป็นจริง คือคำตอบที่ถูกต้อง
Solve, using algebra, $x-5\sqrt x+6=0$.
จงแก้สมการ $x-5\sqrt x+6=0$ ด้วยพีชคณิต
Answershow ▾
Same method: substitute $u=\sqrt x$, solve the quadratic, then square each root.วิธีเดิม: แทน $u=\sqrt x$ แก้สมการกำลังสอง แล้วยกกำลังสองแต่ละราก
Solve, using algebra, the equation $x-6\sqrt{x}+4=0$.
Fully simplify your answers, writing them in the form $a+b\sqrt{c}$, where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
จงแก้สมการ $x-6\sqrt{x}+4=0$ ด้วยพีชคณิต (using algebra)
จัดรูปคำตอบให้อยู่ในรูป $a+b\sqrt{c}$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
5 marks: 2 for solving the quadratic in $u$, 3 for squaring back to find both values of $x$.5 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับแก้สมการกำลังสองของ $u$ และ 3 คะแนนสำหรับยกกำลังสองกลับไปหา $x$ ทั้งสองค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Rewrite powers, solve a surd equation เขียนเลขยกกำลังใหม่ แล้วแก้สมการกรณฑ์
(i) Given that $m=2^{n}$, express each of the following in simplest form in terms of $m$.
(a) $2^{n+3}$
(b) $16^{3n}$
(ii) In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
Solve the equation
$x\sqrt3-3=x+\sqrt3$
giving your answer in the form $p+q\sqrt3$ where $p$ and $q$ are integers.
(i) กำหนดให้ $m=2^{n}$ จงเขียนแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปอย่างง่ายที่สุด ในรูปของ $m$
(a) $2^{n+3}$
(b) $16^{3n}$
(ii) ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
จงแก้สมการ
$x\sqrt3-3=x+\sqrt3$
ตอบในรูป $p+q\sqrt3$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็ม
Write $2^{2+3}$ as a multiplication of two powers of $2$, then evaluate it.
จงเขียน $2^{2+3}$ เป็นการคูณของเลขยกกำลังฐาน $2$ สองตัว แล้วคำนวณค่า
Answershow ▾
Add the exponents means multiply the powers.เลขชี้กำลังบวกกัน หมายถึงตัวเลขยกกำลังคูณกัน
Write $16$ as a power of $2$.
จงเขียน $16$ เป็นเลขยกกำลังฐาน $2$
Answershow ▾
Sixteen is $2^{4}$.สิบหกเท่ากับ $2^{4}$
Rationalise $\dfrac{1}{\sqrt3-1}$ using the conjugate $\sqrt3+1$.
จงทำให้ตัวส่วนไม่มีราก $\dfrac{1}{\sqrt3-1}$ โดยใช้ conjugate $\sqrt3+1$
Answershow ▾
Multiply top and bottom by the conjugate, $\sqrt3+1$.คูณทั้งเศษและส่วนด้วย conjugate คือ $\sqrt3+1$
For $2^{n+3}$, pick the first move.
(A) treat the power as $2^{3n}$
(B) split the power: $2^{n+3}=2^{n}\times2^{3}$
(C) write $2^{n+3}=2^{n}+2^{3}$
สำหรับ $2^{n+3}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) มองเลขชี้กำลังเป็น $2^{3n}$
(B) แยกเลขชี้กำลัง: $2^{n+3}=2^{n}\times2^{3}$
(C) เขียน $2^{n+3}=2^{n}+2^{3}$
Answershow ▾
(A) turns an added exponent into a multiplied one - $n+3$ is a sum, not $3n$. (C) turns a power of a sum into a sum of powers, which is not a law.(A) เปลี่ยนเลขชี้กำลังที่บวกกันให้เป็นการคูณ ทั้งที่ $n+3$ คือการบวก ไม่ใช่ $3n$ · (C) เปลี่ยนเลขยกกำลังของการบวกให้เป็นการบวกของเลขยกกำลัง ซึ่งไม่ใช่กฎที่มีจริง
Given $m=2^{n}$, write $2^{n+3}$ in terms of $m$.
กำหนดให้ $m=2^{n}$ จงเขียน $2^{n+3}$ ในรูปของ $m$
Answershow ▾
Split the power, then swap in $m=2^{n}$.แยกเลขชี้กำลังก่อน แล้วแทน $m=2^{n}$
Write $16^{3n}$ as a power of $2$.
จงเขียน $16^{3n}$ เป็นเลขยกกำลังฐาน $2$
Answershow ▾
Turn $16$ into a power of $2$ before raising it to a power.เปลี่ยน $16$ ให้เป็นเลขยกกำลังฐาน $2$ ก่อน แล้วค่อยยกกำลัง
Given $m=2^{n}$, write $2^{12n}$ in terms of $m$.
กำหนดให้ $m=2^{n}$ จงเขียน $2^{12n}$ ในรูปของ $m$
Answershow ▾
A power of a power multiplies the exponents.เลขยกกำลังซ้อนกำลัง คือการคูณเลขชี้กำลังเข้าด้วยกัน
For $x\sqrt3-3=x+\sqrt3$, pick the first move.
(A) multiply every term by the conjugate $\sqrt3+1$ now
(B) collect the $x$ terms onto one side
(C) square both sides to remove $\sqrt3$
สำหรับ $x\sqrt3-3=x+\sqrt3$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทุกพจน์ด้วย conjugate $\sqrt3+1$ ทันที
(B) รวมพจน์ $x$ ไว้ด้านเดียวกัน
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อกำจัด $\sqrt3$
Answershow ▾
(A) there is no fraction yet, so multiplying by a conjugate now adds surd terms without isolating $x$. (C) $\sqrt3$ is a coefficient of $x$ here, not a root to remove, so squaring makes a wrong equation.(A) ยังไม่มีเศษส่วน การคูณด้วย conjugate ตอนนี้มีแต่เพิ่มพจน์ติดรากโดยไม่ได้แยก $x$ ออกมา · (C) $\sqrt3$ ที่นี่เป็นสัมประสิทธิ์ของ $x$ ไม่ใช่รากที่ต้องกำจัด การยกกำลังสองจะได้สมการที่ผิด
Rearrange $x\sqrt3-3=x+\sqrt3$ so every $x$ term is on one side.
จงจัดรูป $x\sqrt3-3=x+\sqrt3$ ให้พจน์ $x$ ทั้งหมดอยู่ด้านเดียวกัน
Answershow ▾
Move every $x$ term to one side, every number to the other.ย้ายพจน์ $x$ ไปด้านหนึ่ง ย้ายตัวเลขไปอีกด้าน
Divide by $(\sqrt3-1)$, then rationalise using the conjugate $\sqrt3+1$, to find $x$ in the form $p+q\sqrt3$.
จงหารด้วย $(\sqrt3-1)$ แล้วทำให้ไม่มีรากโดยใช้ conjugate $\sqrt3+1$ เพื่อหา $x$ ในรูป $p+q\sqrt3$
Answershow ▾
Multiplying by the conjugate removes the root from the denominator.การคูณด้วย conjugate ทำให้ตัวส่วนไม่มีรากเหลืออยู่
Given $m=2^{n}$, write $2^{n+2}$ in terms of $m$. Then solve $x\sqrt2-2=x+\sqrt2$, giving your answer in the form $p+q\sqrt2$.
กำหนดให้ $m=2^{n}$ จงเขียน $2^{n+2}$ ในรูปของ $m$ แล้วแก้สมการ $x\sqrt2-2=x+\sqrt2$ ตอบในรูป $p+q\sqrt2$
Answershow ▾
Same method: split the power, then collect and rationalise.วิธีเดิม: แยกเลขชี้กำลัง แล้วรวมพจน์และทำให้ไม่มีราก
(i) Given that $m=2^{n}$, express each of the following in simplest form in terms of $m$.
(a) $2^{n+3}$
(b) $16^{3n}$
(ii) In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
Solve the equation
$x\sqrt3-3=x+\sqrt3$
giving your answer in the form $p+q\sqrt3$ where $p$ and $q$ are integers.
(i) กำหนดให้ $m=2^{n}$ จงเขียนแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปอย่างง่ายที่สุด ในรูปของ $m$
(a) $2^{n+3}$
(b) $16^{3n}$
(ii) ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
จงแก้สมการ
$x\sqrt3-3=x+\sqrt3$
ตอบในรูป $p+q\sqrt3$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
6 marks: split the power for (a), rewrite $16$ as a power of $2$ for (b), then collect and rationalise for (ii).6 คะแนน: แยกเลขชี้กำลังสำหรับ (a) เขียน $16$ เป็นเลขยกกำลังฐาน $2$ สำหรับ (b) แล้วรวมพจน์และทำให้ไม่มีรากสำหรับ (ii)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Solve it, then solve it again แก้สมการ แล้วแก้อีกครั้ง
In this question you must show detailed reasoning.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
$f(x)=x^{2}(2x+1)-15x$
(a) Solve $f(x)=0$.
(b) Hence solve $y^{4/3}\left(2y^{2/3}+1\right)-15y^{2/3}=0$
$y>0$
giving your answer in simplified surd form.
ข้อนี้ต้องแสดงเหตุผลอย่างละเอียด
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
$f(x)=x^{2}(2x+1)-15x$
(ก) จงแก้สมการ $f(x)=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $y^{4/3}\left(2y^{2/3}+1\right)-15y^{2/3}=0$
$y>0$
ตอบในรูปกรณฑ์อย่างง่าย
Expand $x^{2}(2x+1)$.
จงกระจาย $x^{2}(2x+1)$
Answershow ▾
Multiply both terms inside the bracket by $x^{2}$.คูณทั้งสองพจน์ในวงเล็บด้วย $x^{2}$
Factorise $2x^{2}+x-15$.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{2}+x-15$
Answershow ▾
ใกล้คูณใกล้, ไกลคูณไกล: check the middle term is $x$.ใกล้คูณใกล้ ไกลคูณไกล: ตรวจว่าพจน์กลางเป็น $x$
Find the value of $\left(\dfrac52\right)^{3/2}$, in simplified surd form.
จงหาค่า $\left(\dfrac52\right)^{3/2}$ ในรูปกรณฑ์อย่างง่าย
Answershow ▾
Take the square root first, then cube it.ถอดรากที่สองก่อน แล้วค่อยยกกำลังสาม
$f(x)=x^{2}(2x+1)-15x=0$. Pick the first move.
(A) divide both sides by $x$
(B) expand the bracket, then take out a common factor of $x$
(C) set $2x+1=0$ and $x^{2}=15x$ separately
$f(x)=x^{2}(2x+1)-15x=0$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $x$
(B) กระจายวงเล็บ แล้วดึง $x$ เป็นตัวร่วม
(C) ตั้ง $2x+1=0$ และ $x^{2}=15x$ แยกกัน
Answershow ▾
(A) divides by $x$, losing $x=0$ - you can only divide by a letter once you know it is not $0$. (C) is invalid: a sum equal to $0$ does not mean each piece of it is $0$.(A) หารด้วย $x$ ทำให้เสีย $x=0$ ไป - จะหารด้วยตัวแปรได้ก็ต่อเมื่อรู้ว่าตัวแปรนั้นไม่เท่ากับ $0$ · (C) ไม่ใช่ขั้นที่ถูก: ผลบวกที่เท่ากับ $0$ ไม่ได้แปลว่าแต่ละพจน์ในผลบวกต้องเท่ากับ $0$
Write $f(x)=x^{2}(2x+1)-15x$ as a single cubic expression.
จงเขียน $f(x)=x^{2}(2x+1)-15x$ เป็นพหุนามกำลังสามพจน์เดียว
Answershow ▾
Expand the bracket, keep the $-15x$ as it is.กระจายวงเล็บ แล้วคง $-15x$ ไว้เหมือนเดิม
Factorise $2x^{3}+x^{2}-15x$ completely.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{3}+x^{2}-15x$ ให้หมด
Answershow ▾
Take out $x$ first, then factorise what is left.ดึง $x$ ออกก่อน แล้วแยกตัวประกอบส่วนที่เหลือ
Solve $x(2x-5)(x+3)=0$.
จงแก้สมการ $x(2x-5)(x+3)=0$
Answershow ▾
Each bracket, and $x$ itself, can equal $0$.แต่ละวงเล็บ รวมถึง $x$ เอง สามารถเท่ากับ $0$ ได้
$y^{4/3}\left(2y^{2/3}+1\right)-15y^{2/3}=0$ has the same shape as $f(x)=0$. Pick the substitution.
(A) let $x=y^{4/3}$
(B) let $x=y^{2/3}$
(C) let $x=y^{1/3}$
$y^{4/3}\left(2y^{2/3}+1\right)-15y^{2/3}=0$ มีรูปร่างเดียวกับ $f(x)=0$ จงเลือกการแทนค่า
(A) ให้ $x=y^{4/3}$
(B) ให้ $x=y^{2/3}$
(C) ให้ $x=y^{1/3}$
Answershow ▾
$f(x)$ needs $x^{2}$ and $x$, in that ratio. Only $x=y^{2/3}$ gives $x^{2}=y^{4/3}$, matching both powers in the question. (A) gives $y^{4/3}=x$, so $y^{2/3}=\sqrt{x}$, which is not the shape of $f$. (C) gives $y^{2/3}=x^{2}$ and $y^{4/3}=x^{4}$, a different power of $x$ than $f$ needs.$f(x)$ ต้องการ $x^{2}$ กับ $x$ ในอัตราส่วนนี้ มีแต่ $x=y^{2/3}$ เท่านั้นที่ให้ $x^{2}=y^{4/3}$ ตรงกับ กำลังทั้งสองในสมการ · (A) ให้ $y^{4/3}=x$ ดังนั้น $y^{2/3}=\sqrt{x}$ ซึ่งไม่ตรงรูปของ $f$ · (C) ให้ $y^{2/3}=x^{2}$ และ $y^{4/3}=x^{4}$ ซึ่งเป็นกำลังของ $x$ ที่ไม่ตรงกับที่ $f$ ต้องการ
With $x=y^{2/3}$ and $y>0$, which of $x=0,\;\dfrac52,\;-3$ is possible?
เมื่อ $x=y^{2/3}$ และ $y>0$ จงหาว่าค่าไหนใน $x=0,\;\dfrac52,\;-3$ เป็นไปได้
Answershow ▾
$y^{2/3}$ is a real cube root squared, so it is always positive when $y>0$.$y^{2/3}$ คือรากที่สามของ $y$ (ค่าจริง) แล้วยกกำลังสอง จึงเป็นบวกเสมอเมื่อ $y>0$
Solve $y^{2/3}=\dfrac52$ for $y$, giving your answer in simplified surd form.
จงแก้สมการ $y^{2/3}=\dfrac52$ หาค่า $y$ ในรูปกรณฑ์อย่างง่าย
Answershow ▾
Raise both sides to the power $\tfrac32$, the reciprocal of $\tfrac23$.ยกกำลัง $\tfrac32$ ทั้งสองข้าง ซึ่งเป็นตัวผกผันของ $\tfrac23$
$g(x)=x^{2}(x+4)-5x$. (a) Solve $g(x)=0$. (b) Hence solve $y^{4/3}(y^{2/3}+4)-5y^{2/3}=0$, $y>0$.
$g(x)=x^{2}(x+4)-5x$ (ก) จงแก้สมการ $g(x)=0$ (ข) จากข้อ (ก) จงแก้สมการ $y^{4/3}(y^{2/3}+4)-5y^{2/3}=0$ โดย $y>0$
Answershow ▾
Same four moves: expand, factorise, keep the positive root, solve for $y$.สี่ขั้นเดิม: กระจาย แยกตัวประกอบ เลือกรากที่เป็นบวก แล้วแก้หา $y$
In this question you must show detailed reasoning.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
$f(x)=x^{2}(2x+1)-15x$
(a) Solve $f(x)=0$.
(b) Hence solve $y^{4/3}\left(2y^{2/3}+1\right)-15y^{2/3}=0$
$y>0$
giving your answer in simplified surd form.
ข้อนี้ต้องแสดงเหตุผลอย่างละเอียด
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
$f(x)=x^{2}(2x+1)-15x$
(ก) จงแก้สมการ $f(x)=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $y^{4/3}\left(2y^{2/3}+1\right)-15y^{2/3}=0$
$y>0$
ตอบในรูปกรณฑ์อย่างง่าย
Answershow ▾
6 marks across two parts: factorise $f(x)$ completely for (a), then substitute for (b).6 คะแนนรวมสองข้อ: แยกตัวประกอบ $f(x)$ ให้หมดในข้อ (a) แล้วแทนค่าในข้อ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A power equation hiding a quadratic สมการเลขยกกำลังที่แฝงสมการกำลังสอง
(a) By substituting $p=3^{x}$, show that the equation $3\times9^{x}+3^{x+2}=1+3^{x-1}$ can be rewritten in the form $9p^{2}+26p-3=0$.
(b) Hence solve $3\times9^{x}+3^{x+2}=1+3^{x-1}$.
(ก) โดยการแทน $p=3^{x}$ จงแสดงว่าสมการ $3\times9^{x}+3^{x+2}=1+3^{x-1}$ เขียนใหม่ได้เป็น $9p^{2}+26p-3=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $3\times9^{x}+3^{x+2}=1+3^{x-1}$
Write $9^{x}$ in terms of $3^{x}$.
จงเขียน $9^{x}$ ในรูปของ $3^{x}$
Answershow ▾
$9=3^{2}$, so $9^{x}=(3^{2})^{x}=(3^{x})^{2}$.$9=3^{2}$ ดังนั้น $9^{x}=(3^{2})^{x}=(3^{x})^{2}$
Write $3^{x+2}$ as $3^{x}$ times a number.
จงเขียน $3^{x+2}$ เป็น $3^{x}$ คูณด้วยจำนวนหนึ่ง
Answershow ▾
Adding to the power means multiplying: $3^{x+2}=3^{x}\times3^{2}$.เลขชี้กำลังบวกกัน หมายถึงการคูณกัน: $3^{x+2}=3^{x}\times3^{2}$
Write $3^{x-1}$ as $3^{x}$ divided by a number.
จงเขียน $3^{x-1}$ เป็น $3^{x}$ หารด้วยจำนวนหนึ่ง
Answershow ▾
Subtracting from the power means dividing: $3^{x-1}=3^{x}\div3^{1}$.เลขชี้กำลังลบกัน หมายถึงการหารกัน: $3^{x-1}=3^{x}\div3^{1}$
With $p=3^{x}$, the equation becomes $3p^{2}+9p=1+\dfrac{p}{3}$. Pick the first move to clear the fraction.
(A) multiply every term by $3$
(B) multiply only $\dfrac{p}{3}$ by $3$
(C) multiply only the $1$ by $3$
เมื่อ $p=3^{x}$ สมการจะเป็น $3p^{2}+9p=1+\dfrac{p}{3}$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อกำจัดเศษส่วน
(A) คูณทุกพจน์ด้วย $3$
(B) คูณเฉพาะ $\dfrac{p}{3}$ ด้วย $3$
(C) คูณเฉพาะ $1$ ด้วย $3$
Answershow ▾
(B) and (C) only multiply one term, so the two sides are no longer equal to the original equation. Only multiplying every term keeps it balanced.(B) และ (C) คูณแค่พจน์เดียว ทำให้สองข้างไม่เท่ากับสมการเดิมอีกต่อไป · การคูณทุกพจน์เท่านั้นที่รักษาความเท่ากันไว้ได้
Given $p=3^{x}$, write $3\times9^{x}$ in terms of $p$.
กำหนด $p=3^{x}$ จงเขียน $3\times9^{x}$ ในรูปของ $p$
Answershow ▾
Use rung $1$: $9^{x}=p^{2}$, and keep the $3$ in front.ใช้ข้อ $1$: $9^{x}=p^{2}$ แล้วคงค่า $3$ ไว้ข้างหน้า
Write the equation $3\times9^{x}+3^{x+2}=1+3^{x-1}$ fully in terms of $p$.
จงเขียนสมการ $3\times9^{x}+3^{x+2}=1+3^{x-1}$ ทั้งหมดในรูปของ $p$
Answershow ▾
Replace each term using rungs $2$, $3$ and the previous rung.แทนแต่ละพจน์ด้วยข้อ $2$, $3$ และข้อที่แล้ว
Multiply $3p^{2}+9p=1+\dfrac{p}{3}$ by $3$, then simplify until one side is $0$.
จงคูณ $3p^{2}+9p=1+\dfrac{p}{3}$ ด้วย $3$ แล้วจัดรูปจนข้างหนึ่งเป็น $0$
Answershow ▾
Multiplying by $3$ clears the fraction, then the $p$ terms and the numbers combine.การคูณด้วย $3$ กำจัดเศษส่วน จากนั้นพจน์ $p$ และตัวเลขจะรวมกัน
Factorise $9p^{2}+26p-3=0$ to find the two values of $p$.
จงแยกตัวประกอบ $9p^{2}+26p-3=0$ เพื่อหาค่า $p$ สองค่า
Answershow ▾
Two numbers that multiply to give $9\times(-3)=-27$ and add to give $26$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $9\times(-3)=-27$ และบวกกันได้ $26$
A quadratic in $p$ has two roots, but $p=3^{x}$. Pick the correct way to choose which root is valid.
(A) keep both roots, since a quadratic has two solutions
(B) keep only a positive root, since $3^{x}\gt0$ for every $x$
(C) keep only a negative root, since negative roots are rarer
สมการกำลังสองในรูป $p$ มีสองราก แต่ $p=3^{x}$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการเลือกรากที่ใช้ได้
(A) เก็บทั้งสองราก เพราะสมการกำลังสองมีสองคำตอบ
(B) เก็บเฉพาะรากที่เป็นบวก เพราะ $3^{x}\gt0$ สำหรับทุกค่า $x$
(C) เก็บเฉพาะรากที่เป็นลบ เพราะรากที่เป็นลบพบน้อยกว่า
Answershow ▾
(A) forgets that $p$ stands for $3^{x}$, which cannot be negative. (C) has the restriction backwards: a negative root is the one to reject, not keep.(A) ลืมว่า $p$ แทน $3^{x}$ ซึ่งเป็นลบไม่ได้ · (C) เข้าใจข้อจำกัดสลับด้าน รากที่เป็นลบคือรากที่ต้องตัดทิ้ง ไม่ใช่เก็บไว้
Reject $p=-3$, then solve $3^{x}=\dfrac19$ for $x$.
จงตัด $p=-3$ ทิ้ง แล้วแก้สมการ $3^{x}=\dfrac19$ เพื่อหาค่า $x$
Answershow ▾
Write $\dfrac19$ as a power of $3$, then match the powers.เขียน $\dfrac19$ ในรูปเลขยกกำลังฐาน $3$ แล้วเทียบเลขชี้กำลัง
(a) By substituting $q=2^{x}$, show that the equation $4^{x}+2^{x+2}=2+2^{x-1}$ can be rewritten in the form $2q^{2}+7q-4=0$.
(b) Hence solve $4^{x}+2^{x+2}=2+2^{x-1}$.
(ก) โดยการแทน $q=2^{x}$ จงแสดงว่าสมการ $4^{x}+2^{x+2}=2+2^{x-1}$ เขียนใหม่ได้เป็น $2q^{2}+7q-4=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $4^{x}+2^{x+2}=2+2^{x-1}$
Answershow ▾
Same moves: rewrite every term in $q$, clear the fraction, factorise, keep the positive root.ขั้นตอนเดิม: เขียนทุกพจน์ในรูป $q$ กำจัดเศษส่วน แยกตัวประกอบ แล้วเก็บเฉพาะรากที่เป็นบวก
(a) By substituting $p=3^{x}$, show that the equation $3\times9^{x}+3^{x+2}=1+3^{x-1}$ can be rewritten in the form $9p^{2}+26p-3=0$.
(b) Hence solve $3\times9^{x}+3^{x+2}=1+3^{x-1}$.
(ก) โดยการแทน $p=3^{x}$ จงแสดงว่าสมการ $3\times9^{x}+3^{x+2}=1+3^{x-1}$ เขียนใหม่ได้เป็น $9p^{2}+26p-3=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $3\times9^{x}+3^{x+2}=1+3^{x-1}$
Answershow ▾
6 marks: three for rewriting every term in $p$ and showing the given quadratic, three for solving it and rejecting the invalid root.6 คะแนน: สามคะแนนสำหรับเขียนทุกพจน์ในรูป $p$ และแสดงสมการกำลังสองที่กำหนด สามคะแนนสำหรับแก้สมการและตัดรากที่ใช้ไม่ได้ทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A substitution in disguise สมการที่ซ่อนการแทนค่าไว้
(a) Find, using algebra, all solutions of $20x^{3}-50x^{2}-30x=0$.
(b) Hence find all real solutions of $20(y+3)^{3/2}-50(y+3)-30(y+3)^{1/2}=0$.
(ก) จงหาคำตอบทั้งหมดของ $20x^{3}-50x^{2}-30x=0$ ด้วยพีชคณิต (using algebra)
(ข) จากข้อ (a) จงหาคำตอบจริงทั้งหมดของ $20(y+3)^{3/2}-50(y+3)-30(y+3)^{1/2}=0$
Factorise $20x^{2}-50x$ by taking out the highest common factor.
จงแยกตัวประกอบ $20x^{2}-50x$ โดยดึงตัวร่วมมากออก
Answershow ▾
10 divides 20 and 50, and $x$ is in every term.10 หาร 20 และ 50 ได้ ส่วน $x$ อยู่ในทุกพจน์
Factorise $2x^{2}-5x-3$.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{2}-5x-3$
Answershow ▾
Split $-5x$ using two numbers that multiply to $-6$ and add to $-5$: $-6$ and $1$.แยก $-5x$ ด้วยสองจำนวนที่คูณกันได้ $-6$ และบวกกันได้ $-5$ คือ $-6$ กับ $1$
Solve $(2x+1)(x-3)=0$.
จงแก้สมการ $(2x+1)(x-3)=0$
Answershow ▾
Each bracket can equal zero on its own.วงเล็บแต่ละอันเป็นศูนย์ได้ด้วยตัวเอง
To solve $20x^{3}-50x^{2}-30x=0$, pick the first move.
(A) divide every term by $x$
(B) take out the common factor $10x$
(C) move $-30x$ to the other side
จะแก้สมการ $20x^{3}-50x^{2}-30x=0$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารทุกพจน์ด้วย $x$
(B) ดึงตัวร่วม $10x$ ออก
(C) ย้าย $-30x$ ไปอีกข้าง
Answershow ▾
(A) treats $x$ as never zero, so it throws away the root $x=0$ before it is found. (C) still leaves three terms with no factor to work with.(A) ถือว่า $x$ ไม่เป็นศูนย์ ทำให้รากที่ $x=0$ หายไปก่อนที่จะหาเจอ · (C) ยังเหลือสามพจน์ ไม่มีตัวร่วมให้ใช้งาน
Take out the common factor $10x$ from $20x^{3}-50x^{2}-30x$.
จงดึงตัวร่วม $10x$ ออกจาก $20x^{3}-50x^{2}-30x$
Answershow ▾
10 is the highest common factor of 20, 50 and 30; $x$ is common to every term.10 เป็นตัวร่วมมากของ 20, 50 และ 30 ส่วน $x$ อยู่ในทุกพจน์
Hence write $20x^{3}-50x^{2}-30x=0$ in fully factorised form.
จากข้อ 4 จงเขียน $20x^{3}-50x^{2}-30x=0$ ในรูปแยกตัวประกอบสมบูรณ์
Answershow ▾
Use question 2 for the quadratic factor.ใช้ข้อ 2 สำหรับตัวประกอบกำลังสอง
Solve $10x(2x+1)(x-3)=0$.
จงแก้สมการ $10x(2x+1)(x-3)=0$
Answershow ▾
A product is zero when any one factor is zero.ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์
Part (b) asks you to solve $20(y+3)^{3/2}-50(y+3)-30(y+3)^{1/2}=0$. Pick the first move.
(A) expand $(y+3)^{3/2}$ as a binomial series
(B) let $u=(y+3)^{1/2}$, so $(y+3)^{3/2}=u^{3}$
(C) try whole-number values of $y$
ข้อ (b) ให้แก้สมการ $20(y+3)^{3/2}-50(y+3)-30(y+3)^{1/2}=0$ จงเลือกขั้นแรก
(A) กระจาย $(y+3)^{3/2}$ แบบอนุกรมทวินาม
(B) กำหนด $u=(y+3)^{1/2}$ ทำให้ $(y+3)^{3/2}=u^{3}$
(C) ลองแทนค่า $y$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
(A) only ends after finitely many terms when the power is a whole number; $\dfrac{3}{2}$ is not one. (C) is not guaranteed to find every solution.(A) จะจบในจำนวนพจน์จำกัดก็ต่อเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม แต่ $\dfrac{3}{2}$ ไม่ใช่ · (C) ไม่การันตีว่าจะเจอคำตอบครบทุกค่า
Using $u=(y+3)^{1/2}$, write $y$ in terms of $u$.
กำหนด $u=(y+3)^{1/2}$ จงเขียน $y$ ในรูปของ $u$
Answershow ▾
Square both sides to undo the square root, then subtract 3 to isolate $y$.ยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อยกเลิกรากที่สอง แล้วลบ 3 เพื่อแยก $y$
The values of $u$ from part (a) are $0$, $-\dfrac12$ and $3$, but $u=(y+3)^{1/2}\geqslant0$. Using $y=u^{2}-3$, find both values of $y$.
ค่า $u$ จากข้อ (a) คือ $0$, $-\dfrac12$ และ $3$ แต่ $u=(y+3)^{1/2}\geqslant0$ จงใช้ $y=u^{2}-3$ หาค่า $y$ ทั้งสองค่า
Answershow ▾
$u=-\dfrac12$ is impossible, since a square root is never negative.$u=-\dfrac12$ เป็นไปไม่ได้ เพราะรากที่สองเป็นลบไม่ได้
(a) Find, using algebra, all solutions of $6x^{3}-3x^{2}-3x=0$. (b) Hence find all real solutions of $6(y+1)^{3/2}-3(y+1)-3(y+1)^{1/2}=0$.
(a) จงหาคำตอบทั้งหมดของ $6x^{3}-3x^{2}-3x=0$ ด้วยพีชคณิต (b) จากข้อ (a) จงหาคำตอบจริงทั้งหมดของ $6(y+1)^{3/2}-3(y+1)-3(y+1)^{1/2}=0$
Answershow ▾
Same two moves as parts (a) and (b): factorise the cubic, then substitute and reject the negative root.สองขั้นเดิมจากข้อ (a) และ (b): แยกตัวประกอบสมการกำลังสาม แล้วแทนค่าและตัดรากที่เป็นลบทิ้ง
(a) Find, using algebra, all solutions of $20x^{3}-50x^{2}-30x=0$.
(b) Hence find all real solutions of $20(y+3)^{3/2}-50(y+3)-30(y+3)^{1/2}=0$.
(ก) จงหาคำตอบทั้งหมดของ $20x^{3}-50x^{2}-30x=0$ ด้วยพีชคณิต (using algebra)
(ข) จากข้อ (a) จงหาคำตอบจริงทั้งหมดของ $20(y+3)^{3/2}-50(y+3)-30(y+3)^{1/2}=0$
Answershow ▾
7 marks: 3 for the cubic, 4 for matching the roots to $u$, squaring back to $y$ and rejecting one root.7 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับสมการกำลังสาม 4 คะแนนสำหรับจับคู่รากกับ $u$ ยกกำลังสองกลับเป็น $y$ และตัดหนึ่งรากทิ้ง