Indices & Surds · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เลขยกกำลังและกรณฑ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Indices
(a) Find the value of $16^{-3/4}$.
(b) Simplify fully $\dfrac{(2x^{3})^{2}\times 4x^{-1}}{8\sqrt{x}}$, giving your answer in the form $ax^{n}$.
Find the value of $16^{1/4}$.
Answershow ▾
$\frac14$ on top means the fourth root. $2\times2\times2\times2=16$.
$16^{-3/4}$ carries three separate instructions. Say what the $4$ on the bottom of the fraction does, what the $3$ on the top does, and what the minus sign does. Does the order you carry them out change the answer, and does it change how hard the arithmetic is?
$16^{-3/4}$ มีคำสั่งซ่อนอยู่สามอย่าง · บอกว่าเลข $4$ ที่เป็นตัวส่วนทำอะไร เลข $3$ ตัวเศษทำอะไร และเครื่องหมายลบทำอะไร · ลำดับการทำเปลี่ยนคำตอบไหม และเปลี่ยนความยากของการคำนวณไหม
Answershow ▾
Root first turns $16$ into $2$ and the rest is easy; power first turns it into $4096$ and invites a calculator. Both are correct and only one is survivable by hand. There is no mark for the order, and no worked solution ever mentions that there was a choice.ถอดรากก่อนจะเปลี่ยน $16$ เป็น $2$ แล้วที่เหลือง่ายมาก · ถ้ายกกำลังก่อนจะได้ $4096$ แล้วต้องพึ่งเครื่องคิดเลข · ถูกทั้งคู่ แต่มีทางเดียวที่ทำมือได้ · ไม่มีคะแนนให้กับลำดับ และไม่มีเฉลยที่ไหนบอกว่าตรงนี้มีทางเลือก
Find the value of $16^{3/4}$.
Answershow ▾
Fourth root first, $2$; then cube it. Root first keeps the numbers small.
Find the value of $16^{-1}$.
Answershow ▾
A negative index is a reciprocal. It never makes the answer negative.
Find the value of $16^{-3/4}$.
Answershow ▾
Flip, root, power: $\dfrac{1}{16^{3/4}}=\dfrac{1}{8}$. This is part (a).
Simplify $(2x^{3})^{2}$.
Answershow ▾
The $2$ outside applies to everything inside: $2^{2}$ and $(x^{3})^{2}$.
Write $8\sqrt{x}$ in the form $ax^{n}$.
Answershow ▾
$\sqrt{x}=x^{1/2}$. Writing it this way is what lets you use the index laws on it.
Nothing can be divided by $8\sqrt{x}$ while it is still written as a root. Rewrite it as $ax^{n}$, then say which index law is about to be used on the $x$ part — and why that law cannot see a root at all.
ตราบใดที่ $8\sqrt{x}$ ยังเขียนเป็นรากที่สอง จะเอาอะไรไปหารมันไม่ได้ · เขียนใหม่ในรูป $ax^{n}$ แล้วบอกว่ากำลังจะใช้กฎเลขยกกำลังข้อไหนกับส่วน $x$ และทำไมกฎนั้นมองไม่เห็นเครื่องหมายราก
Answershow ▾
The index laws are written entirely in powers, so a root is invisible to them until it is rewritten. Converting every root and every fraction to a power BEFORE starting is the whole method of this question type, and no mark is given for the conversion — the M1 comes later, for the subtraction it makes possible.กฎเลขยกกำลังเขียนด้วยเลขชี้กำลังล้วน ๆ เครื่องหมายรากจึงไม่มีตัวตนจนกว่าจะเขียนใหม่ · การเปลี่ยนรากทุกตัวและเศษส่วนทุกตัวให้เป็นเลขยกกำลัง "ก่อน" เริ่มทำ คือวิธีทั้งหมดของโจทย์แบบนี้ และไม่มีคะแนนให้กับการเปลี่ยน · M1 มาทีหลัง ตอนที่ลบเลขชี้กำลังได้
Simplify $4x^{6}\times 4x^{-1}$.
Answershow ▾
Numbers multiply, indices add: $6+(-1)=5$.
Simplify $\dfrac{16x^{5}}{8x^{1/2}}$, giving your answer in the form $ax^{n}$.
Answershow ▾
Numbers divide, indices subtract: $5-\tfrac12=\tfrac92$. This is part (b).
In $\dfrac{16x^{5}}{8x^{1/2}}$ two different things happen to two different parts. What happens to the $16$ and the $8$, and what happens to the $5$ and the $\frac{1}{2}$? Are those the same operation?
ใน $\dfrac{16x^{5}}{8x^{1/2}}$ มีสองอย่างเกิดขึ้นกับสองส่วนที่ต่างกัน · เลข $16$ กับ $8$ เกิดอะไรขึ้น และเลข $5$ กับ $\frac{1}{2}$ เกิดอะไรขึ้น · เป็นการดำเนินการเดียวกันไหม
Answershow ▾
The coefficients and the indices live in different worlds and obey different rules on the same line. Dividing the indices, or subtracting the coefficients, produces an answer of exactly the right shape, which is why it survives a check. The A1 is for $2x^{9/2}$; nothing pays for keeping the two apart.สัมประสิทธิ์กับเลขชี้กำลังอยู่คนละโลกและใช้กฎคนละข้อบนบรรทัดเดียวกัน · ถ้าหารเลขชี้กำลัง หรือลบสัมประสิทธิ์ จะได้คำตอบที่รูปร่างถูกเป๊ะ ซึ่งเป็นเหตุผลที่มันรอดการตรวจ · A1 ให้กับ $2x^{9/2}$ ไม่มีใครให้คะแนนกับการแยกสองอย่างนี้
Simplify $\dfrac{(3x^{2})^{3}}{9x^{-2}}$, giving your answer in the form $ax^{n}$.
Answershow ▾
$27x^{6}\div 9x^{-2}$: $27\div9=3$ and $6-(-2)=8$.
(a) Find the value of $16^{-3/4}$.
(b) Simplify fully $\dfrac{(2x^{3})^{2}\times 4x^{-1}}{8\sqrt{x}}$, giving your answer in the form $ax^{n}$.
Answershow ▾
5 marks. Part (a) is question 4, part (b) is questions 5 to 8 in a row.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $(2x^{3})^{2}=4x^{6}$ and $\sqrt{x}=x^{1/2}$ M1 $\dfrac{16x^{5}}{8x^{1/2}}$, subtracting indices A1 $2x^{9/2}$ (accept $2x^{4.5}$).
Surds
(a) Express $\sqrt{80}+\sqrt{20}$ in the form $a\sqrt{5}$, where $a$ is an integer.
(b) Express $(2+\sqrt{5})^{2}$ in the form $b+c\sqrt{5}$, where $b$ and $c$ are integers.
Simplify $\sqrt{20}$.
Answershow ▾
$20=4\times5$ and $4$ is a square number, so $\sqrt{20}=\sqrt{4}\,\sqrt{5}$.
Simplify $\sqrt{80}$.
Answershow ▾
$80=16\times5$. Always look for the biggest square factor, or you will have to simplify twice.
$\sqrt{80}$ becomes $4\sqrt{5}$ because $80 = 16 \times 5$. The split $80 = 8 \times 10$ is equally true and completely useless. State the test the factor has to pass, and say why the LARGEST such factor is the one to take.
$\sqrt{80}$ กลายเป็น $4\sqrt{5}$ เพราะ $80 = 16 \times 5$ · การแยก $80 = 8 \times 10$ ก็จริงเหมือนกันแต่ใช้ไม่ได้เลย · บอกเกณฑ์ที่ตัวประกอบต้องผ่าน และบอกว่าทำไมต้องเลือกตัวที่ "ใหญ่ที่สุด"
Answershow ▾
Only a perfect square can come out from under the root sign. Taking $4$ out of $\sqrt{80}$ leaves $2\sqrt{20}$, which is true, unsimplified, and will not match the printed answer $a\sqrt{5}$. The A1 is written against the fully simplified form; the search for the biggest square is worth nothing on its own.มีแต่กำลังสองสมบูรณ์เท่านั้นที่ออกมาจากใต้รากได้ · ถ้าดึงแค่ $4$ ออกจาก $\sqrt{80}$ จะเหลือ $2\sqrt{20}$ ซึ่งจริงแต่ยังไม่ลดรูปสุด และจะไม่ตรงกับรูป $a\sqrt{5}$ ที่โจทย์พิมพ์ไว้ · A1 เขียนไว้ตามรูปที่ลดรูปสุดแล้ว การไล่หากำลังสองที่ใหญ่ที่สุดไม่มีคะแนนของตัวเอง
Simplify $4\sqrt{5}+2\sqrt{5}$.
Answershow ▾
Same surd, so add the numbers in front — exactly like $4x+2x$.
$4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$, but $4\sqrt{5} \times 2\sqrt{5} = 40$. One operation keeps the surd and the other can destroy it. Which is which, and what does that tell you about when a surd answer is allowed to have no root sign left in it?
$4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ แต่ $4\sqrt{5} \times 2\sqrt{5} = 40$ · การดำเนินการหนึ่งเก็บรากไว้ อีกอันทำลายราก · อันไหนเป็นอันไหน และบอกอะไรเราเกี่ยวกับตอนที่คำตอบมีสิทธิ์ไม่เหลือเครื่องหมายรากเลย
Answershow ▾
Adding treats $\sqrt{5}$ like a letter; multiplying uses what the symbol actually means. That is why an expansion of two brackets produces both kinds of term at once — some with a root, some without — and why they are collected separately at the end. No mark separates them for you.การบวกมอง $\sqrt{5}$ เหมือนตัวอักษร ส่วนการคูณใช้ความหมายจริงของสัญลักษณ์ · นั่นคือเหตุผลที่การกระจายวงเล็บสองอันให้พจน์ทั้งสองแบบพร้อมกัน บางพจน์มีราก บางพจน์ไม่มี และต้องรวมแยกกันตอนท้าย · ไม่มีคะแนนไหนแยกให้
Express $\sqrt{80}+\sqrt{20}$ in the form $a\sqrt{5}$.
Answershow ▾
Questions 1, 2 and 3 in a row. Simplify each surd first, then collect.
Work out $(\sqrt{5})^{2}$.
Answershow ▾
Squaring removes the root. This is the term people forget in the expansion below.
Work out $2\sqrt{5}+2\sqrt{5}$.
Answershow ▾
In $(2+\sqrt{5})^{2}$ the two middle terms are both $2\sqrt{5}$. Same sign, so they add — they do not cancel.
Expand $(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})$. Write all four terms before you collect.
Answershow ▾
Front, outer, inner, last. Do not skip straight to the answer — the four terms are where the marks are.
A student writes $(2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$. Which law were they using, and is it ever true? Write the expansion as four terms before you collect, and say which two of the four they threw away.
นักเรียนคนหนึ่งเขียน $(2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$ · เขากำลังใช้กฎอะไร และกฎนั้นจริงบ้างไหม · เขียนการกระจายเป็นสี่พจน์ก่อนรวม แล้วบอกว่าเขาทิ้งพจน์ไหนไปสองพจน์
Answershow ▾
The answer $9$ has the right shape for "$b + c\sqrt{5}$ with $c = 0$" and looks tidy, which is exactly why it survives. Writing all four terms before collecting is the defence, and it is worth no mark by itself — the M1 comes for a correct expansion, and there is nothing to give part marks to once two terms are gone.คำตอบ $9$ มีรูปร่างที่เข้ากับ "$b + c\sqrt{5}$ โดย $c = 0$" และดูเรียบร้อย นั่นคือเหตุผลที่มันรอดสายตา · การเขียนครบสี่พจน์ก่อนรวมคือเกราะป้องกัน และไม่มีคะแนนของตัวเอง · M1 ให้กับการกระจายที่ถูกต้อง และเมื่อหายไปสองพจน์แล้วก็ไม่มีอะไรให้คะแนนบางส่วน
Simplify $4+2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5$.
Answershow ▾
Whole numbers together, surds together. This is part (b).
Express $(3-\sqrt{2})^{2}$ in the form $b+c\sqrt{2}$.
Answershow ▾
$9-3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2$. With a minus in the bracket the middle terms are both negative.
(a) Express $\sqrt{80}+\sqrt{20}$ in the form $a\sqrt{5}$, where $a$ is an integer.
(b) Express $(2+\sqrt{5})^{2}$ in the form $b+c\sqrt{5}$, where $b$ and $c$ are integers.
Answershow ▾
4 marks. Part (a) is question 4, part (b) is questions 7 and 8.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 expand to four terms, $4+2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5$ (or $4+4\sqrt{5}+5$) A1 $9+4\sqrt{5}$.
Rationalising the denominator
(a) Write $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ in the form $k\sqrt{3}$, where $k$ is an integer.
(b) Express $\dfrac{5+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ in the form $a+b\sqrt{3}$, where $a$ and $b$ are integers.
Write $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ with a whole number on the bottom.
Answershow ▾
Multiply top and bottom by $\sqrt{3}$: $\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$. This is part (a).
Write down the conjugate of $2-\sqrt{3}$.
Answershow ▾
Change the middle sign only. Nothing else moves.
The conjugate of $2 - \sqrt{3}$ is $2 + \sqrt{3}$ — not $-2 + \sqrt{3}$ and not $\sqrt{3} - 2$. Exactly which sign changes, and what is the one product the conjugate was chosen to produce?
conjugate ของ $2 - \sqrt{3}$ คือ $2 + \sqrt{3}$ ไม่ใช่ $-2 + \sqrt{3}$ และไม่ใช่ $\sqrt{3} - 2$ · เครื่องหมายไหนกันแน่ที่เปลี่ยน และ conjugate ถูกเลือกมาเพื่อให้ได้ผลคูณอะไร
Answershow ▾
The conjugate exists for one reason: it is the partner that makes the two middle terms cancel, so the root squares away. Change the wrong sign and the middle terms survive, the bottom still has a root in it, and the rest of the question cannot be finished. The M1 pays for multiplying by something; it does not check what.conjugate มีอยู่เพื่อเหตุผลเดียว: เป็นคู่ที่ทำให้พจน์กลางสองพจน์ตัดกัน รากจึงถูกยกกำลังสองหายไป · ถ้าเปลี่ยนผิดเครื่องหมาย พจน์กลางจะไม่ตัดกัน ตัวส่วนยังมีรากอยู่ และทำข้อนี้ต่อไม่ได้ · M1 ให้กับการคูณด้วยอะไรสักอย่าง ไม่ได้ตรวจว่าคูณด้วยอะไร
Work out $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$.
Answershow ▾
$2^{2}-(\sqrt{3})^{2}=4-3$. A conjugate pair always leaves a whole number.
To rationalise $\dfrac{7}{3-\sqrt{2}}$ you multiply top and bottom by $3+\sqrt{2}$. Work out the new bottom.
Answershow ▾
$3^{2}-(\sqrt{2})^{2}=9-2$. Do the bottom first — it tells you what you are dividing by.
You multiply the top and the bottom by $3 + \sqrt{2}$. Multiplying a fraction usually changes its value — why does this one keep the same value? What is the fraction really being multiplied by?
เราคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย $3 + \sqrt{2}$ · ปกติการคูณเศษส่วนจะเปลี่ยนค่าของมัน แต่ทำไมครั้งนี้ค่าเท่าเดิม · จริง ๆ แล้วเศษส่วนถูกคูณด้วยอะไร
Answershow ▾
It is one move written on two lines, and it only works because the same factor goes on both. Multiplying only the bottom "to clear the surd" changes the number and is the commonest way this question is lost. No mark is attached to knowing the value has been preserved.นี่คือการเดินหมากครั้งเดียวที่เขียนสองบรรทัด และมันใช้ได้เพราะตัวประกอบเดียวกันไปอยู่ทั้งบนและล่าง · ถ้าคูณแค่ตัวส่วน "เพื่อกำจัดราก" ค่าจะเปลี่ยน และนี่คือวิธีที่คนเสียคะแนนข้อนี้บ่อยที่สุด · ไม่มีคะแนนให้กับการรู้ว่าค่ายังคงเดิม
Work out $7(3+\sqrt{2})$.
Answershow ▾
Multiply each term. Keep the surd as it is.
Simplify $\dfrac{21+7\sqrt{2}}{7}$.
Answershow ▾
Divide every term on the top by the bottom, one at a time.
A student simplifies $\dfrac{21 + 7\sqrt{2}}{7}$ to $3 + 7\sqrt{2}$. Which term did the $7$ fail to reach, and what does "divide through" mean about how many terms are involved?
นักเรียนคนหนึ่งลดรูป $\dfrac{21 + 7\sqrt{2}}{7}$ เป็น $3 + 7\sqrt{2}$ · เลข $7$ ไปไม่ถึงพจน์ไหน และคำว่า "หารตลอด" หมายถึงหารกี่พจน์
Answershow ▾
A single denominator sits under the whole numerator, so it divides every term in it. The half-divided answer is still of the form $a + b\sqrt{2}$ with integer $a$ and $b$, so it passes the shape check the question asks for and fails the value. Nothing pays for dividing all of the terms rather than some.ตัวส่วนตัวเดียวอยู่ใต้ตัวเศษทั้งก้อน จึงหารทุกพจน์ในนั้น · คำตอบที่หารไปครึ่งเดียวยังอยู่ในรูป $a + b\sqrt{2}$ ที่ $a$ กับ $b$ เป็นจำนวนเต็ม จึงผ่านการตรวจรูปแบบที่โจทย์ขอ แต่ค่าผิด · ไม่มีคะแนนให้กับการหารครบทุกพจน์แทนที่จะหารบางพจน์
Expand $(1+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$.
Answershow ▾
$3+\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2$. The last term is $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$, a whole number.
Express $\dfrac{1+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$ in the form $\dfrac{a+b\sqrt{2}}{c}$.
Answershow ▾
Top: question 7. Bottom: $9-2=7$. It does not divide through this time, so leave the $7$ underneath.
Express $\dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ in the form $a+b\sqrt{3}$.
Answershow ▾
Bottom $4-3=1$. Top $\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3$. Dividing by $1$ changes nothing.
(a) Write $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ in the form $k\sqrt{3}$, where $k$ is an integer.
(b) Express $\dfrac{5+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ in the form $a+b\sqrt{3}$, where $a$ and $b$ are integers.
Answershow ▾
5 marks. Part (a) is question 1. Part (b): bottom $=1$ (question 3), top $(5+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=10+5\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3$.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 multiply top and bottom by $2+\sqrt{3}$ M1 bottom $4-3=1$ M1 top expanded to four terms $10+5\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3$ A1 $13+7\sqrt{3}$.