Integration · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Integration

Part (b) needs a definite integral, but no limits are printed anywhere in the question. The stem says only that the curve meets the $x$-axis at $x = 2$ and $x = 7$. Why are those the limits — and if the question had not told you, which equation would you have solved to find them?

ข้อ (b) ต้องใช้ปริพันธ์จำกัดเขต แต่โจทย์ไม่ได้พิมพ์ขอบเขตไว้เลย · บอกแค่ว่าเส้นโค้งตัดแกน $x$ ที่ $x = 2$ และ $x = 7$ · ทำไมสองค่านี้จึงเป็นขอบเขต และถ้าโจทย์ไม่บอก ต้องแก้สมการอะไรเพื่อหามัน

You are about to get $\int_{2}^{7} f(x)\,dx = -\frac{125}{2}$. An area cannot be negative. Is the integral wrong? Sketch the curve between $x = 2$ and $x = 7$ and say what the minus sign is actually reporting.

กำลังจะได้ $\int_{2}^{7} f(x)\,dx = -\frac{125}{2}$ · พื้นที่ติดลบไม่ได้ · ปริพันธ์ผิดหรือเปล่า · ลองร่างเส้นโค้งช่วง $x = 2$ ถึง $x = 7$ แล้วบอกว่าเครื่องหมายลบกำลังรายงานอะไร

Write the final answer for part (b). Then answer this: if the curve had crossed the $x$-axis at $x = 4$ as well, somewhere inside the interval, would a single integral from $2$ to $7$ still give the area?

เขียนคำตอบสุดท้ายของข้อ (b) · แล้วตอบต่อ: ถ้าเส้นโค้งตัดแกน $x$ ที่ $x = 4$ ด้วย คืออยู่ข้างในช่วงพอดี ปริพันธ์เดียวจาก $2$ ถึง $7$ จะยังให้พื้นที่ถูกไหม

Integrating $\dfrac{dy}{dx}$ gives $y = 2x^3 - \dfrac{3}{x} + c$, with $c$ unknown. Which line of the question makes $c$ findable, and what would the answer be if that line were deleted?

อินทิเกรต $\dfrac{dy}{dx}$ ได้ $y = 2x^3 - \dfrac{3}{x} + c$ โดยยังไม่รู้ $c$ · บรรทัดไหนของโจทย์ที่ทำให้หา $c$ ได้ และถ้าลบบรรทัดนั้นทิ้ง คำตอบจะเป็นอะไร

You have $y = 2x^3 - \dfrac{3}{x} + c$ and the point $(1,\,5)$. Two substitutions are possible and only one is right: is it $x = 1$, $y = 5$, or $x = 5$, $y = 1$? And do you substitute into $y$ or into $\dfrac{dy}{dx}$?

มี $y = 2x^3 - \dfrac{3}{x} + c$ กับจุด $(1,\,5)$ · แทนค่าได้สองแบบ ถูกแบบเดียว: $x = 1$, $y = 5$ หรือ $x = 5$, $y = 1$ · และแทนลงใน $y$ หรือลงใน $\dfrac{dy}{dx}$

You have found $c = 6$. The question says "Find the equation of the curve". Is $c = 6$ the answer? Write down the line that is.

หาได้ $c = 6$ แล้ว · โจทย์บอกว่า "จงหาสมการของเส้นโค้ง" · $c = 6$ คือคำตอบไหม เขียนบรรทัดที่เป็นคำตอบจริง ๆ ออกมา

$\mathrm{f}'(x)=3x^{2}-7$ and $\mathrm{f}(3)=5$. Pick the first move.
(A) differentiate $\mathrm{f}'(x)$
(B) integrate $\mathrm{f}'(x)$ term by term, then use $\mathrm{f}(3)=5$ to find $c$
(C) substitute $x=3$ into $\mathrm{f}'(x)=3x^{2}-7$

$\mathrm{f}'(x)=3x^{2}-7$ และ $\mathrm{f}(3)=5$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ดิฟ $\mathrm{f}'(x)$
(B) อินทิเกรต $\mathrm{f}'(x)$ ทีละพจน์ แล้วใช้ $\mathrm{f}(3)=5$ หาค่า $c$
(C) แทน $x=3$ ใน $\mathrm{f}'(x)=3x^{2}-7$

$\mathrm{f}^{\prime}(x)=kx^{2}-2x$, and you must find $y=\mathrm{f}(x)$. Pick the first move.
(A) differentiate $\mathrm{f}^{\prime}(x)$ again
(B) integrate $\mathrm{f}^{\prime}(x)$
(C) set $\mathrm{f}^{\prime}(x)=0$ and solve for $x$

$\mathrm{f}^{\prime}(x)=kx^{2}-2x$ และต้องหา $y=\mathrm{f}(x)$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ดิฟ $\mathrm{f}^{\prime}(x)$ อีกครั้ง
(B) อินทิเกรต $\mathrm{f}^{\prime}(x)$
(C) ให้ $\mathrm{f}^{\prime}(x)=0$ แล้วแก้หา $x$

$y=\dfrac{k}{3}x^{3}-x^{2}+c$ has two unknowns, $k$ and $c$, and you know two points: $(0,\,2)$ and $(3,\,-1)$. Pick what to do first.
(A) substitute $(3,\,-1)$ and solve for $k$ directly
(B) substitute $(0,\,2)$ first, since it removes the $x$ terms
(C) substitute both points into $\mathrm{f}^{\prime}(x)=kx^{2}-2x$ instead

$y=\dfrac{k}{3}x^{3}-x^{2}+c$ มีค่าไม่รู้สองตัวคือ $k$ กับ $c$ และรู้จุดสองจุด: $(0,\,2)$ กับ $(3,\,-1)$ จงเลือกว่าจะทำอะไรก่อน
(A) แทน $(3,\,-1)$ แล้วแก้หา $k$ ตรงๆ
(B) แทน $(0,\,2)$ ก่อน เพราะพจน์ $x$ จะหายไป
(C) แทนทั้งสองจุดลงใน $\mathrm{f}^{\prime}(x)=kx^{2}-2x$ แทน

Integrate $8(4x+1)^{-1/2}$. $(4x+1)$ is not just $x$, so the plain power rule is not the whole story. Pick the correct result.
(A) $16(4x+1)^{1/2}+c$ - divide by the new power only
(B) $4(4x+1)^{1/2}+c$ - divide by the new power, then by the $4$ inside the bracket
(C) $-\dfrac{16}{3}(4x+1)^{-3/2}+c$ - lower the power instead of raising it

จงอินทิเกรต $8(4x+1)^{-1/2}$ · $(4x+1)$ ไม่ใช่ $x$ เฉยๆ สูตรกำลังตรงๆ จึงไม่พอ จงเลือกคำตอบที่ถูก
(A) $16(4x+1)^{1/2}+c$ - หารด้วยกำลังใหม่อย่างเดียว
(B) $4(4x+1)^{1/2}+c$ - หารด้วยกำลังใหม่ แล้วหารด้วย $4$ ที่อยู่ในวงเล็บด้วย
(C) $-\dfrac{16}{3}(4x+1)^{-3/2}+c$ - ลดกำลังลงแทนที่จะเพิ่มกำลัง

$\mathrm{f}$ is decreasing where its gradient is negative. Pick the correct condition to solve.
(A) $\mathrm{f}(x) \lt 0$
(B) $\mathrm{f}'(x) \lt 0$
(C) $\mathrm{f}''(x) \lt 0$

$\mathrm{f}$ ลดลงในช่วงที่ความชันเป็นลบ จงเลือกเงื่อนไขที่ถูกต้องสำหรับการแก้สมการ
(A) $\mathrm{f}(x) \lt 0$
(B) $\mathrm{f}'(x) \lt 0$
(C) $\mathrm{f}''(x) \lt 0$

To integrate the root term $3(2x-1)^{\frac12}$, which rule is correct?
(A) power up, divide by the new power only
(B) power up, divide by the new power and by the inner coefficient $2$
(C) power up, divide by the new power, then multiply by the inner coefficient $2$

จะอินทิเกรตพจน์ราก $3(2x-1)^{\frac12}$ ต้องใช้กฎใด
(A) เพิ่มกำลัง แล้วหารด้วยกำลังใหม่เท่านั้น
(B) เพิ่มกำลัง แล้วหารด้วยกำลังใหม่ และหารด้วยสัมประสิทธิ์ภายใน $2$ ด้วย
(C) เพิ่มกำลัง แล้วหารด้วยกำลังใหม่ แล้วคูณด้วยสัมประสิทธิ์ภายใน $2$

The curve has $\dfrac{dy}{dx}=ax^{2}+bx-4$ and passes through $(0,\,11)$. What do you do first to find the equation of the curve?
(A) substitute $x=0,\,y=11$ into $\dfrac{dy}{dx}$
(B) integrate $\dfrac{dy}{dx}$, add $c$, then use $(0,11)$ to find $c$
(C) differentiate $\dfrac{dy}{dx}$ again

เส้นโค้งมี $\dfrac{dy}{dx}=ax^{2}+bx-4$ และผ่านจุด $(0,\,11)$ จะหาสมการเส้นโค้งได้ ต้องทำอะไรก่อน
(A) แทน $x=0,\,y=11$ ใน $\dfrac{dy}{dx}$
(B) อินทิเกรต $\dfrac{dy}{dx}$ บวก $c$ แล้วใช้ $(0,11)$ หาค่า $c$
(C) ดิฟ $\dfrac{dy}{dx}$ อีกครั้ง

The curve also has a stationary point at $(2,\,3)$. Which equations do you need to find $a$ and $b$?
(A) only $\dfrac{dy}{dx}=0$ at $x=2$
(B) only substitute $(2,3)$ into the curve
(C) both: $\dfrac{dy}{dx}=0$ at $x=2$, and substitute $(2,3)$ into the curve

เส้นโค้งยังมีจุดนิ่งที่ $(2,\,3)$ ด้วย จะหาค่า $a$ และ $b$ ต้องใช้สมการใด
(A) ใช้แค่ $\dfrac{dy}{dx}=0$ ที่ $x=2$
(B) ใช้แค่การแทน $(2,3)$ ในสมการเส้นโค้ง
(C) ใช้ทั้งสองอย่าง: $\dfrac{dy}{dx}=0$ ที่ $x=2$ และแทน $(2,3)$ ในสมการเส้นโค้ง

A curve is built from $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ by integrating twice, so there are two unknown constants - one in $\dfrac{dy}{dx}$, one in $y$. You are given: the gradient is zero at $x=3$, and the curve passes through $(3,6)$. Which fact finds which constant?
(A) the point $(3,6)$ finds the constant in $\dfrac{dy}{dx}$
(B) the gradient fact finds the constant in $\dfrac{dy}{dx}$, the point finds the constant in $y$
(C) either fact can find either constant

เส้นโค้งได้มาจาก $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ โดยอินทิเกรตสองครั้ง จึงมีค่าคงที่ที่ไม่รู้สองตัว - ตัวหนึ่งอยู่ใน $\dfrac{dy}{dx}$ อีกตัวอยู่ใน $y$ โจทย์ให้: ความชันเป็นศูนย์ที่ $x=3$ และเส้นโค้งผ่าน $(3,6)$ ข้อมูลไหนหาค่าคงที่ตัวไหน?
(A) จุด $(3,6)$ หาค่าคงที่ใน $\dfrac{dy}{dx}$
(B) ข้อมูลความชันหาค่าคงที่ใน $\dfrac{dy}{dx}$ ส่วนจุด $(3,6)$ หาค่าคงที่ใน $y$
(C) ข้อมูลไหนก็หาค่าคงที่ตัวไหนก็ได้

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx$ has an infinite upper limit. Pick the first move.
(A) the integral cannot exist, because you cannot reach $\infty$
(B) find the antiderivative, then use what happens to it as $x$ grows without bound
(C) put $x=\infty$ straight into $f(x)$, which gives $0$

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx$ มีขอบเขตบนเป็นอนันต์ จงเลือกขั้นแรก
(A) ปริพันธ์นี้หาค่าไม่ได้ เพราะไปถึง $\infty$ ไม่ได้
(B) หาผลอินทิเกรตก่อน แล้วดูว่ามันเป็นอย่างไรเมื่อ $x$ โตขึ้นไม่มีขอบเขต
(C) แทน $x=\infty$ ลงใน $f(x)$ ตรงๆ ซึ่งได้ $0$

$\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ and $(-1,\,-1)$ lies on the curve. Which equation do you substitute the point into, to find $c$?
(A) $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$
(B) $y=-\dfrac{2}{x+2}+c$
(C) $f(x)=\dfrac{2}{(x+2)^{2}}$

$\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ และจุด $(-1,\,-1)$ อยู่บนเส้นโค้ง จะแทนจุดลงในสมการใดเพื่อหา $c$
(A) $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$
(B) $y=-\dfrac{2}{x+2}+c$
(C) $f(x)=\dfrac{2}{(x+2)^{2}}$

The region is rotated about the $y$-axis, between $y=1$ and $y=5$. Pick the correct volume setup.
(A) $V=\pi\int y^{2}\,dx$, using $x$ from $0$ to $2$
(B) $V=\pi\int x^{2}\,dy$, using $y$ from $0$ to $5$
(C) $V=\pi\int x^{2}\,dy$, using $y$ from $1$ to $5$

บริเวณนี้หมุนรอบแกน $y$ ระหว่าง $y=1$ กับ $y=5$ จงเลือกรูปแบบปริมาตรที่ถูกต้อง
(A) $V=\pi\int y^{2}\,dx$ โดยใช้ $x$ จาก $0$ ถึง $2$
(B) $V=\pi\int x^{2}\,dy$ โดยใช้ $y$ จาก $0$ ถึง $5$
(C) $V=\pi\int x^{2}\,dy$ โดยใช้ $y$ จาก $1$ ถึง $5$

The region between the line and the curve, for $1\lt x\lt4$, is rotated about the $x$-axis. Pick the correct volume.
(A) $\pi\displaystyle\int_{1}^{4}(5-x)^{2}\,dx-\pi\displaystyle\int_{1}^{4}\left(\dfrac4x\right)^{2}dx$
(B) $\pi\displaystyle\int_{1}^{4}\left[(5-x)-\dfrac4x\right]^{2}dx$
(C) $\pi\displaystyle\int_{1}^{4}\left(\dfrac4x\right)^{2}dx-\pi\displaystyle\int_{1}^{4}(5-x)^{2}\,dx$

บริเวณระหว่างเส้นตรงกับเส้นโค้ง เมื่อ $1\lt x\lt4$ ถูกหมุนรอบแกน $x$ จงเลือกปริมาตรที่ถูกต้อง
(A) $\pi\displaystyle\int_{1}^{4}(5-x)^{2}\,dx-\pi\displaystyle\int_{1}^{4}\left(\dfrac4x\right)^{2}dx$
(B) $\pi\displaystyle\int_{1}^{4}\left[(5-x)-\dfrac4x\right]^{2}dx$
(C) $\pi\displaystyle\int_{1}^{4}\left(\dfrac4x\right)^{2}dx-\pi\displaystyle\int_{1}^{4}(5-x)^{2}\,dx$

You need $\displaystyle\int\dfrac{16}{x^{2}}\,dx$. Pick the correct result.
(A) $-\dfrac{16}{x}$
(B) $\dfrac{16}{x}$
(C) $-\dfrac{8}{x}$

ต้องหา $\displaystyle\int\dfrac{16}{x^{2}}\,dx$ จงเลือกผลลัพธ์ที่ถูกต้อง
(A) $-\dfrac{16}{x}$
(B) $\dfrac{16}{x}$
(C) $-\dfrac{8}{x}$

To find $k$, you need a point that is on the curve AND gives new information about $k$. Pick which one to substitute.
(A) $O(0,0)$
(B) $A(2,\,2)$
(C) the point where $x=5$

การหาค่า $k$ ต้องใช้จุดที่อยู่บนเส้นโค้ง และให้ข้อมูลใหม่เกี่ยวกับ $k$ ได้ จงเลือกจุดที่จะแทนค่า
(A) $O(0,0)$
(B) $A(2,\,2)$
(C) จุดที่ $x=5$

Between $x=0$ and $x=2$ the curve is above the line. Pick the integral that gives the shaded area.
(A) $\displaystyle\int_{0}^{2}\left[x-k(x^{3}-7x^{2}+12x)\right]dx$
(B) $\displaystyle\int_{0}^{2}\left[k(x^{3}-7x^{2}+12x)-x\right]dx$
(C) $\displaystyle\int_{0}^{2}k(x^{3}-7x^{2}+12x)\,dx$

ระหว่าง $x=0$ กับ $x=2$ เส้นโค้งอยู่สูงกว่าเส้นตรง จงเลือกปริพันธ์ที่ให้พื้นที่แรเงา
(A) $\displaystyle\int_{0}^{2}\left[x-k(x^{3}-7x^{2}+12x)\right]dx$
(B) $\displaystyle\int_{0}^{2}\left[k(x^{3}-7x^{2}+12x)-x\right]dx$
(C) $\displaystyle\int_{0}^{2}k(x^{3}-7x^{2}+12x)\,dx$