Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Integrationปริพันธ์ (Integration)

A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

In maths, every move comes with its undoทุกท่าในคณิตศาสตร์ มีท่าย้อนกลับเสมอ

Rows 1 and 2 you already know. Row 3 is today's one new idea: the undo of differentiating.แถว 1 กับ 2 รู้อยู่แล้ว · แถว 3 คือของใหม่อย่างเดียวของวันนี้ · ท่าย้อนกลับของการดิฟ

  1. Differentiate $y=x^{3}$.ดิฟ $y=x^{3}$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}$Forward: drop · minus · diff: $x^{3}\ \to\ 3x^{2}$   $\text{drop the power}\ \cdot\ \text{minus one}\ \cdot\ \text{diff the inside}$   $\text{inside}=x\ \Rightarrow\ 1,\ \text{nothing changes}$ Integration is the same three beats backwards: opposite order, opposite direction.ขาไป: ตบ · ลบ · ดิ๊ฟ: $x^{3}\ \to\ 3x^{2}$   $\text{drop the power}\ \cdot\ \text{minus one}\ \cdot\ \text{diff the inside}$   $\text{inside}=x\ \Rightarrow\ 1,\ \text{nothing changes}$ อินทิเกรตคือเดินสามจังหวะนี้ย้อนกลับ · สลับลำดับ สลับทิศ
  2. Differentiate $y=x^{2}+5$.ดิฟ $y=x^{2}+5$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=2x$$x^{2}$ and $x^{2}+5$ have the same derivative, $2x$. The $5$ leaves no trace.$x^{2}$ กับ $x^{2}+5$ ดิฟแล้วได้ $2x$ เท่ากัน · เลข $5$ หายไปไม่เหลือร่องรอย

2. Run the machine backwardsเดินเครื่องย้อนกลับ

Integration = differentiation reversed. You can already do it.อินทิเกรต = ดิฟย้อนกลับ ซึ่งทำเป็นอยู่แล้ว

You already know this machineเครื่องนี้เรียนมาแล้ว

Today you are given $\frac{dy}{dx}$. Find the $y$ it came from.วันนี้ให้ $\frac{dy}{dx}$ มา · หาว่ามาจาก $y$ ตัวไหน · เครื่องเดิม เดินถอยหลัง

  1. $\dfrac{dy}{dx}=2x$.  Which $y$ differentiates to give this?$\dfrac{dy}{dx}=2x$  $y$ ตัวไหนดิฟแล้วได้อันนี้?
    Answer:เฉลย: $y=x^{2}$Guess, then differentiate to check: $\text{guess }y=x^{2}$   $\text{diff}:\ 2x\ \checkmark$เดา แล้วดิฟตรวจ: $\text{guess }y=x^{2}$   $\text{diff}:\ 2x\ \checkmark$
  2. Two students answer. Mek says $y=x^{2}$. Ploy says $y=x^{2}+5$. Who is right?นักเรียนสองคนตอบ เมฆบอก $y=x^{2}$ พลอยบอก $y=x^{2}+5$ ใครถูก?
    Answer:เฉลย: Both are right — and so is $x^{2}+c$ for any constant $c$.ถูกทั้งคู่ — และ $x^{2}+c$ ก็ถูก ไม่ว่า $c$ จะเป็นเท่าไรThe constant leaves no trace: $x^{2}\ \to\ 2x$   $x^{2}+5\ \to\ 2x$   $x^{2}-100\ \to\ 2x$   $\text{backwards}\ \Rightarrow\ x^{2}+c$ค่าคงที่ไม่เหลือร่องรอย: $x^{2}\ \to\ 2x$   $x^{2}+5\ \to\ 2x$   $x^{2}-100\ \to\ 2x$   $\text{backwards}\ \Rightarrow\ x^{2}+c$

3. The rule, backwardsสูตรเดิม กลับหลังหัน

plus · divide · c: power UP by one, divide by the NEW power, $+c$.บวก · หาร · ซี: กำลังเพิ่มหนึ่ง หารด้วยกำลังตัวใหม่ แล้ว $+c$

Backwards: plus · divide · cขากลับ ท่องว่า บวก · หาร · ซี

  1. Differentiating $x^{n}$ is drop · minus · diff. What must the undo be?ดิฟ $x^{n}$ คือ ตบ · ลบ · ดิ๊ฟ แล้วท่าย้อนกลับต้องเป็นยังไง?
    Answer:เฉลย: Power up by one, divide by the new power.เพิ่มกำลังหนึ่ง หารด้วยกำลังตัวใหม่Reverse the beats, reverse the order: $\text{forward}:\ \text{drop}\ \cdot\ \text{minus}\ \cdot\ \text{diff}$   $\text{back}:\ \text{plus}\ \cdot\ \text{divide}\ \cdot\ c$   $\text{minus}\to\text{plus}:\ n\ \to\ n+1$   $\text{drop}\to\text{divide}:\ \div\,(n+1)$ The last beat going out is the first beat coming back.สลับท่า สลับลำดับ: $\text{forward}:\ \text{drop}\ \cdot\ \text{minus}\ \cdot\ \text{diff}$   $\text{back}:\ \text{plus}\ \cdot\ \text{divide}\ \cdot\ c$   $\text{minus}\to\text{plus}:\ n\ \to\ n+1$   $\text{drop}\to\text{divide}:\ \div\,(n+1)$ จังหวะสุดท้ายของขาไป คือจังหวะแรกของขากลับ
  2. $\displaystyle\int x^{4}\,dx = \;?$$\displaystyle\int x^{4}\,dx = \;?$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{x^{5}}{5}+c$Differentiate back to check: $\int x^{4}\,dx=\dfrac{x^{5}}{5}+c$   $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^{5}}{5}=\dfrac{5x^{4}}{5}=x^{4}\ \checkmark$ดิฟกลับมาตรวจ: $\int x^{4}\,dx=\dfrac{x^{5}}{5}+c$   $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^{5}}{5}=\dfrac{5x^{4}}{5}=x^{4}\ \checkmark$
  3. Careful. Same $x^{3}$, opposite directions. $\displaystyle\int x^{3}\,dx = \;?$ระวังดีๆ · $x^{3}$ ตัวเดิม แต่คนละทิศ $\displaystyle\int x^{3}\,dx = \;?$
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}+c$Same input, opposite machines: $\text{diff}:\ x^{3}\ \to\ 3x^{2}$   $\text{int}:\ x^{3}\ \to\ \dfrac{x^{4}}{4}+c$ Working in the wrong direction is the most common lost mark here.อินพุตเดียวกัน คนละเครื่อง: $\text{diff}:\ x^{3}\ \to\ 3x^{2}$   $\text{int}:\ x^{3}\ \to\ \dfrac{x^{4}}{4}+c$ ทำผิดทิศ คือจุดเสียคะแนนที่บ่อยที่สุดของบทนี้

4. Bigger inputใส่ก้อนใหญ่ขึ้น

Term by term, but rewrite into powers first.ทีละพจน์ · แต่ต้องแปลงเป็นเลขยกกำลังก่อน

Term by term, as in differentiatingทีละพจน์ เหมือนตอนดิฟ

One $+c$ covers every term. Rewrite $\frac{4}{x^{2}}$ as $4x^{-2}$ and $\sqrt{x}$ as $x^{1/2}$ first.$+c$ ตัวเดียวพอสำหรับทุกพจน์ · แปลง $\frac{4}{x^{2}}$ เป็น $4x^{-2}$ และ $\sqrt{x}$ เป็น $x^{1/2}$ ก่อน

  1. $\displaystyle\int 3x^{2}\,dx = \;?$$\displaystyle\int 3x^{2}\,dx = \;?$
    Answer:เฉลย: $x^{3}+c$The sign picks the direction: $\int 3x^{2}\,dx=3\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=x^{3}+c$   $\dfrac{d}{dx}\,3x^{2}=6x$เครื่องหมายเป็นคนบอกทิศ: $\int 3x^{2}\,dx=3\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=x^{3}+c$   $\dfrac{d}{dx}\,3x^{2}=6x$
  2. $\displaystyle\int\Big(3x^{2}-\frac{4}{x^{2}}\Big)\,dx = \;?$  (rewrite the second term first)$\displaystyle\int\Big(3x^{2}-\frac{4}{x^{2}}\Big)\,dx = \;?$  (แปลงพจน์หลังก่อน)
    Answer:เฉลย: $x^{3}+\dfrac{4}{x}+c$Rewrite, integrate, simplify. One job at a time. Then check: differentiate $x^{3}+\frac{4}{x}$ and you get $3x^{2}-\frac{4}{x^{2}}$.แปลงรูป · อินทิเกรต · จัดรูป · ทำทีละอย่าง · แล้วตรวจ: ดิฟ $x^{3}+\frac{4}{x}$ กลับไปได้ $3x^{2}-\frac{4}{x^{2}}$

5. Pin down the cตามจับตัว c

One point on the curve is enough to find the unknown constant.จุดเดียวบนเส้นโค้งก็หาค่าคงที่ที่ยังไม่รู้ได้

Which curve did they mean?เขาหมายถึงเส้นไหนกันแน่?

$+c$ gives a family of curves. One point, like $(2,\,1)$, fixes a single curve.$+c$ คือกราฟทั้งครอบครัว · จุดหนึ่งจุด เช่น $(2,\,1)$ เลือกได้เส้นเดียว

$\frac{dy}{dx}=6x^{2}-4$ through $(1,3)$$\frac{dy}{dx}=6x^{2}-4$ ผ่านจุด $(1,3)$

  1. $\frac{dy}{dx}=6x^{2}-4$You are given the gradient function and one point on the curve.โจทย์ให้ฟังก์ชันความชันมา กับจุดบนเส้นโค้งหนึ่งจุด
  2. $y=2x^{3}-4x+c$Integrate: power up, divide by the new power. $+c$ is the unknown.อินทิเกรต: กำลังขึ้นหนึ่ง หารด้วยกำลังใหม่ · $+c$ คือตัวไม่รู้ค่า
  3. $3=2(1)^{3}-4(1)+c$Put the point in: $x=1$, $y=3$.แทนจุดลงไป: $x=1$, $y=3$
  4. $3=-2+c$Write $+2$ under both sides to remove $-2$. Strike the pair.เขียน $+2$ ใต้ทั้งสองข้างเพื่อกำจัด $-2$ แล้วขีดฆ่าคู่นั้น
  5. $c=5$Now $c$ is a number, not a letter.ตอนนี้ $c$ เป็นตัวเลขแล้ว ไม่ใช่ตัวอักษร
  6. $y=2x^{3}-4x+5$Check: at $x=1$, $y=2-4+5=3$ ✓ตรวจ: ที่ $x=1$ ได้ $y=2-4+5=3$ ✓
  1. $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4$ and the curve passes through $(2,\,1)$.  Find the equation of the curve.$\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4$ และเส้นโค้งผ่านจุด $(2,\,1)$  หาสมการของเส้นโค้ง
    Answer:เฉลย: $y=x^{3}-4x+1$Integrate, then pin the $c$: $y=\int(3x^{2}-4)\,dx=x^{3}-4x+c$   $(2,1):\ \ 1=8-8+c$   $c=1\ \Rightarrow\ y=x^{3}-4x+1$อินทิเกรตก่อน แล้วค่อยหา $c$: $y=\int(3x^{2}-4)\,dx=x^{3}-4x+c$   $(2,1):\ \ 1=8-8+c$   $c=1\ \Rightarrow\ y=x^{3}-4x+1$

6. Two limits, one numberสองขอบเขต ได้เลขตัวเดียว

$\int_a^b = F(b)-F(a)$. It measures area.$\int_a^b = F(b)-F(a)$ · และมันคือพื้นที่

  1. $F(x)=x^{2}$ (one integral of $2x$).  Work out $F(3)-F(1)$.$F(x)=x^{2}$ (ผลอินทิเกรตตัวหนึ่งของ $2x$)  คำนวณ $F(3)-F(1)$
    Answer:เฉลย: $F(3)-F(1)=9-1=8$Upper minus lower, always: $F(3)=3^{2}=9$   $F(1)=1^{2}=1$   $F(3)-F(1)=8$ตัวบนลบตัวล่าง เสมอ: $F(3)=3^{2}=9$   $F(1)=1^{2}=1$   $F(3)-F(1)=8$
  2. Redo it with $G(x)=x^{2}+5$ (also an integral of $2x$). What is $G(3)-G(1)$?ลองใหม่กับ $G(x)=x^{2}+5$ (ก็เป็นผลอินทิเกรตของ $2x$ เหมือนกัน) $G(3)-G(1)$ ได้เท่าไร?
    Answer:เฉลย: Still $8$ — any constant cancels in the subtraction.ได้ $8$ เท่าเดิม — ค่าคงที่ตัวไหนก็ตัดกันหายตอนลบThis is why $F(b)-F(a)$ needs no $+c$: whatever constant you carry, the subtraction cancels it.นี่คือเหตุผลที่ $F(b)-F(a)$ ไม่ต้องมี $+c$ · แบกค่าคงที่ตัวไหนมา ก็โดนลบตัดหายอยู่ดี
  3. So what is the real difference between $\displaystyle\int 2x\,dx$ and $\displaystyle\int_{1}^{3}2x\,dx$?สรุปแล้ว $\displaystyle\int 2x\,dx$ กับ $\displaystyle\int_{1}^{3}2x\,dx$ ต่างกันตรงไหนกันแน่?
    Answer:เฉลย: Indefinite = family of functions with $+c$; definite = one number, no $c$.ไม่จำกัดเขต = ครอบครัวฟังก์ชันพ่วง $+c$ · จำกัดเขต = เลขตัวเดียว ไม่มี $c$Limits decide whether $c$ survives: $\int 2x\,dx=x^{2}+c\ \ \text{(a function)}$   $\int_{1}^{3}2x\,dx=8\ \ \text{(a number)}$มีลิมิตไหม ตัดสินว่ามี $c$ หรือเปล่า: $\int 2x\,dx=x^{2}+c\ \ \text{(a function)}$   $\int_{1}^{3}2x\,dx=8\ \ \text{(a number)}$
  4. $\displaystyle\int_{0}^{1}(2x-2)\,dx=\big[x^{2}-2x\big]_{0}^{1}=(1-2)-0=-1$. But the region is a triangle of area $1$. Why the minus sign?$\displaystyle\int_{0}^{1}(2x-2)\,dx=\big[x^{2}-2x\big]_{0}^{1}=(1-2)-0=-1$ แต่บริเวณนั้นเป็นสามเหลี่ยมพื้นที่ $1$ แล้วเครื่องหมายลบมาจากไหน?
    Answer:เฉลย: Below the axis, the integral comes out negative; the area is its size, $1$.ใต้แกน อินทิกรัลออกมาติดลบ ส่วนพื้นที่คือขนาดของมัน คือ $1$Below the axis, integral goes negative: $\int_{0}^{1}(2x-2)\,dx=-1$   $\text{area}=|-1|=1$ If the curve crosses the axis, integrate each piece separately or they cancel.อยู่ใต้แกน อินทิกรัลติดลบ: $\int_{0}^{1}(2x-2)\,dx=-1$   $\text{area}=|-1|=1$ ถ้ากราฟตัดแกน ให้อินทิเกรตทีละช่วง ไม่งั้นพื้นที่หักล้างกันเอง

7. Area: under, below, betweenพื้นที่: ใต้กราฟ ใต้แกน ระหว่างกราฟ

Area is a definite integral. Below the axis, use the size. Between two graphs, integrate top minus bottom.พื้นที่คือปริพันธ์จำกัดเขต · ใต้แกนให้ใช้ขนาด · ระหว่างกราฟสองเส้น อินทิเกรตเส้นบนลบเส้นล่าง

The area under a curve is a definite integralพื้นที่ใต้กราฟคือปริพันธ์จำกัดเขต

The curve meets the $x$-axis at $0$ and $4$. Those are the limits: $\int_{0}^{4}(4x-x^{2})\,dx=\tfrac{32}{3}$.กราฟตัดแกน $x$ ที่ $0$ และ $4$ · นั่นคือขอบเขต: $\int_{0}^{4}(4x-x^{2})\,dx=\tfrac{32}{3}$

Below the $x$-axis, the integral is negativeใต้แกน $x$ ปริพันธ์ติดลบ

Area is never negative. Split at the root $x=3$ and add the sizes: $\tfrac{9}{2}+\tfrac{11}{6}=\tfrac{19}{3}$.พื้นที่ไม่มีวันติดลบ · แบ่งที่ราก $x=3$ แล้วบวกขนาด: $\tfrac{9}{2}+\tfrac{11}{6}=\tfrac{19}{3}$

Area between $y=4x-x^{2}$ and $y=x$พื้นที่ระหว่าง $y=4x-x^{2}$ กับ $y=x$

  1. $4x-x^{2}=x$The graphs meet where the two $y$ are equal. Take $x$ from both sides.กราฟตัดกันเมื่อ $y$ เท่ากัน · ลบ $x$ ออกทั้งสองข้าง
  2. $3x-x^{2}=0$Factorise.แยกตัวประกอบ
  3. $x(3-x)=0$These two roots are the limits.รากสองตัวนี้คือขอบเขต
  4. $x=0$First meeting point: $(0,\,0)$.จุดตัดแรก: $(0,\,0)$
  5. $x=3$Second meeting point: $(3,\,3)$.จุดตัดที่สอง: $(3,\,3)$
  6. $\text{area}=\int_{0}^{3}\big((4x-x^{2})-x\big)\,dx$At $x=1$ the curve is $3$ and the line is $1$. The curve is on top.ที่ $x=1$ เส้นโค้งได้ $3$ เส้นตรงได้ $1$ · เส้นโค้งอยู่บน
  7. $=\int_{0}^{3}(3x-x^{2})\,dx$Subtract first. Then integrate one bracket.ลบกันก่อน · แล้วอินทิเกรตวงเล็บเดียว
  8. $=\Big[\dfrac{3x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{3}$Integrate each term.อินทิเกรตทีละพจน์
  9. $=\Big(\dfrac{27}{2}-9\Big)-0$Upper limit minus lower limit.ขอบบนลบขอบล่าง
  10. $=\dfrac{9}{2}$The area is $\tfrac{9}{2}$ square units.พื้นที่ $\tfrac{9}{2}$ ตารางหน่วย
  1. Find the area under $y=x^{2}+1$ from $x=0$ to $x=3$.หาพื้นที่ใต้ $y=x^{2}+1$ จาก $x=0$ ถึง $x=3$
    Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{x^{3}}{3}+x\Big]_{0}^{3}=12-0=12$Integrate, then upper minus lower: $\int_{0}^{3}(x^{2}+1)\,dx=\Big[\dfrac{x^{3}}{3}+x\Big]_{0}^{3}$   $=(9+3)-0$   $=12$อินทิเกรต แล้วบนลบล่าง: $\int_{0}^{3}(x^{2}+1)\,dx=\Big[\dfrac{x^{3}}{3}+x\Big]_{0}^{3}$   $=(9+3)-0$   $=12$
  2. $y=6x-x^{2}$ meets the $x$-axis at $O$ and $A$. Find the area of the shaded region.$y=6x-x^{2}$ ตัดแกน $x$ ที่ $O$ และ $A$ · หาพื้นที่ของบริเวณที่แรเงา
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{0}^{6}(6x-x^{2})\,dx=\Big[3x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{6}=108-72=36$The roots are the limits: $x(6-x)=0$   $\int_{0}^{6}(6x-x^{2})\,dx=\Big[3x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{6}$   $=108-72$   $=36$รากคือขอบเขต: $x(6-x)=0$   $\int_{0}^{6}(6x-x^{2})\,dx=\Big[3x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{6}$   $=108-72$   $=36$
  3. $y=x^{2}-3x$ is below the $x$-axis for $0\lt x\lt3$. Which gives the total area from $x=0$ to $x=4$?$y=x^{2}-3x$ อยู่ใต้แกน $x$ เมื่อ $0\lt x\lt3$ · อันไหนให้พื้นที่รวมจาก $x=0$ ถึง $x=4$?
    Answer:เฉลย: $\tfrac{9}{2}+\tfrac{11}{6}=\tfrac{19}{3}$$\tfrac{9}{2}+\tfrac{11}{6}=\tfrac{19}{3}$Split at the root: $\int_{0}^{3}(x^{2}-3x)\,dx=-\tfrac{9}{2}$   $\int_{3}^{4}(x^{2}-3x)\,dx=\tfrac{11}{6}$   $\text{area}=\tfrac{9}{2}+\tfrac{11}{6}$   $=\tfrac{19}{3}$แบ่งที่ราก: $\int_{0}^{3}(x^{2}-3x)\,dx=-\tfrac{9}{2}$   $\int_{3}^{4}(x^{2}-3x)\,dx=\tfrac{11}{6}$   $\text{area}=\tfrac{9}{2}+\tfrac{11}{6}$   $=\tfrac{19}{3}$
  4. Find the total area between $y=x^{2}-2x$ and the $x$-axis from $x=0$ to $x=3$.หาพื้นที่รวมระหว่าง $y=x^{2}-2x$ กับแกน $x$ จาก $x=0$ ถึง $x=3$
    Answer:เฉลย: $\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}=\tfrac{8}{3}$Split, then add the sizes: $\int_{0}^{2}(x^{2}-2x)\,dx=-\tfrac{4}{3}$   $\int_{2}^{3}(x^{2}-2x)\,dx=\tfrac{4}{3}$   $\text{area}=\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}$   $=\tfrac{8}{3}$แบ่ง แล้วบวกขนาด: $\int_{0}^{2}(x^{2}-2x)\,dx=-\tfrac{4}{3}$   $\int_{2}^{3}(x^{2}-2x)\,dx=\tfrac{4}{3}$   $\text{area}=\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}$   $=\tfrac{8}{3}$
  5. Find the area of the region between $y=2x$ and $y=x^{2}$.หาพื้นที่ของบริเวณระหว่าง $y=2x$ กับ $y=x^{2}$
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{0}^{2}(2x-x^{2})\,dx=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$Line on top, minus curve: $x(x-2)=0$   $\int_{0}^{2}(2x-x^{2})\,dx=\Big[x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}$   $=4-\dfrac{8}{3}$   $=\dfrac{4}{3}$เส้นตรงอยู่บน ลบด้วยเส้นโค้ง: $x(x-2)=0$   $\int_{0}^{2}(2x-x^{2})\,dx=\Big[x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}$   $=4-\dfrac{8}{3}$   $=\dfrac{4}{3}$
  6. Exam: The diagram shows the curve $y=x^{2}-2x+3$ and the line $y=x+7$. They meet at $A$ and $B$. Find the area of the shaded region.  (5 marks)ข้อสอบ: รูปแสดงเส้นโค้ง $y=x^{2}-2x+3$ และเส้นตรง $y=x+7$ ซึ่งตัดกันที่ $A$ และ $B$ · จงหาพื้นที่ของบริเวณที่แรเงา  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{-1}^{4}(4+3x-x^{2})\,dx=\dfrac{56}{3}-\Big(-\dfrac{13}{6}\Big)=\dfrac{125}{6}$5 marks: $\text{M1}\ \ x^{2}-3x-4=0$   $\text{A1}\ \ x=-1,\ \ x=4$   $\text{M1}\ \ \int(4+3x-x^{2})\,dx=4x+\tfrac{3x^{2}}{2}-\tfrac{x^{3}}{3}$   $\text{M1}\ \ \tfrac{56}{3}-\big(-\tfrac{13}{6}\big)$   $\text{A1}\ \ \tfrac{125}{6}$ Students lose the last mark at the lower limit: $F(-1)=-4+\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{3}$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ x^{2}-3x-4=0$   $\text{A1}\ \ x=-1,\ \ x=4$   $\text{M1}\ \ \int(4+3x-x^{2})\,dx=4x+\tfrac{3x^{2}}{2}-\tfrac{x^{3}}{3}$   $\text{M1}\ \ \tfrac{56}{3}-\big(-\tfrac{13}{6}\big)$   $\text{A1}\ \ \tfrac{125}{6}$ คะแนนสุดท้ายหายที่ขอบล่าง: $F(-1)=-4+\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{3}$

8. Volume of revolution: rotate the regionปริมาตรจากการหมุน: หมุนบริเวณรอบแกน

Rotate a region through $360°$. About the $x$-axis $V=\pi\int y^{2}\,dx$. About the $y$-axis $V=\pi\int x^{2}\,dy$. CAIE 9709 only.หมุนบริเวณ $360°$ · รอบแกน $x$ ใช้ $V=\pi\int y^{2}\,dx$ · รอบแกน $y$ ใช้ $V=\pi\int x^{2}\,dy$ · เฉพาะ CAIE 9709

Rotate the region through $360°$ about the $x$-axisหมุนบริเวณ $360°$ รอบแกน $x$

Each slice is a disc of radius $y$ and area $\pi y^{2}$. Add the discs: $V=\pi\int y^{2}\,dx$.แต่ละชิ้นเป็นแผ่นวงกลมรัศมี $y$ พื้นที่ $\pi y^{2}$ · รวมทุกแผ่น: $V=\pi\int y^{2}\,dx$

Rotate the region under $y=x^{2}+1$ from $x=0$ to $x=1$ about the $x$-axisหมุนบริเวณใต้ $y=x^{2}+1$ จาก $x=0$ ถึง $x=1$ รอบแกน $x$

  1. $V=\pi\int_{0}^{1}y^{2}\,dx$About the $x$-axis: square $y$, then integrate in $x$.รอบแกน $x$: ยกกำลังสอง $y$ แล้วอินทิเกรตตาม $x$
  2. $=\pi\int_{0}^{1}(x^{2}+1)^{2}\,dx$Substitute $y=x^{2}+1$. Each disc has radius $x^{2}+1$.แทน $y=x^{2}+1$ · แต่ละแผ่นมีรัศมี $x^{2}+1$
  3. $=\pi\int_{0}^{1}(x^{4}+2x^{2}+1)\,dx$Expand the bracket. Do not forget the middle term $2x^{2}$.กระจายวงเล็บ · อย่าลืมพจน์กลาง $2x^{2}$
  4. $=\pi\Big[\dfrac{x^{5}}{5}+\dfrac{2x^{3}}{3}+x\Big]_{0}^{1}$Integrate each term. Keep $\pi$ outside.อินทิเกรตทีละพจน์ · เก็บ $\pi$ ไว้ข้างนอก
  5. $=\pi\Big(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}+1\Big)$At $x=0$ every term is $0$.ที่ $x=0$ ทุกพจน์เป็น $0$
  6. $=\dfrac{28\pi}{15}$$\tfrac{3}{15}+\tfrac{10}{15}+\tfrac{15}{15}=\tfrac{28}{15}$.$\tfrac{3}{15}+\tfrac{10}{15}+\tfrac{15}{15}=\tfrac{28}{15}$.

Rotate about the $y$-axis: the radius is $x$หมุนรอบแกน $y$: รัศมีคือ $x$

Write $x^{2}$ in terms of $y$. The limits are $y$ values: $V=\pi\int_{0}^{4}x^{2}\,dy=\pi\int_{0}^{4}y\,dy$.เขียน $x^{2}$ ในรูปของ $y$ · ขอบเขตเป็นค่า $y$: $V=\pi\int_{0}^{4}x^{2}\,dy=\pi\int_{0}^{4}y\,dy$

  1. The region under $y=\sqrt{x}$ rotates about the $x$-axis. The slice at $x=4$ is a disc. What is its area?บริเวณใต้ $y=\sqrt{x}$ หมุนรอบแกน $x$ · ชิ้นที่ $x=4$ เป็นแผ่นวงกลม · พื้นที่ของแผ่นนี้เท่าไร?
    Answer:เฉลย: radius $y=\sqrt{4}=2$, area $\pi\times2^{2}=4\pi$รัศมี $y=\sqrt{4}=2$ · พื้นที่ $\pi\times2^{2}=4\pi$Radius $y$, area $\pi y^{2}$: $y=\sqrt{4}=2$   $\pi y^{2}=\pi\times2^{2}$   $=4\pi$รัศมี $y$ พื้นที่ $\pi y^{2}$: $y=\sqrt{4}=2$   $\pi y^{2}=\pi\times2^{2}$   $=4\pi$
  2. The region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $x=4$ rotates through $360°$ about the $x$-axis. Find the volume in terms of $\pi$.บริเวณใต้ $y=\sqrt{x}$ จาก $x=0$ ถึง $x=4$ หมุน $360°$ รอบแกน $x$ · หาปริมาตรในรูป $\pi$
    Answer:เฉลย: $\pi\displaystyle\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\Big[\dfrac{x^{2}}{2}\Big]_{0}^{4}=8\pi$Square, then integrate: $V=\pi\int_{0}^{4}x\,dx$   $=\pi\Big[\dfrac{x^{2}}{2}\Big]_{0}^{4}$   $=8\pi$ยกกำลังสอง แล้วอินทิเกรต: $V=\pi\int_{0}^{4}x\,dx$   $=\pi\Big[\dfrac{x^{2}}{2}\Big]_{0}^{4}$   $=8\pi$
  3. The region under $y=x+1$ from $x=0$ to $x=3$ rotates through $360°$ about the $x$-axis. Find the volume in terms of $\pi$.บริเวณใต้ $y=x+1$ จาก $x=0$ ถึง $x=3$ หมุน $360°$ รอบแกน $x$ · หาปริมาตรในรูป $\pi$
    Answer:เฉลย: $\pi\displaystyle\int_{0}^{3}(x^{2}+2x+1)\,dx=\pi(9+9+3)=21\pi$Expand, then integrate: $V=\pi\int_{0}^{3}(x^{2}+2x+1)\,dx$   $=\pi\Big[\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}+x\Big]_{0}^{3}$   $=\pi(9+9+3)$   $=21\pi$ The solid is a cone with its top cut off. The cone formula also gives $21\pi$.กระจาย แล้วอินทิเกรต: $V=\pi\int_{0}^{3}(x^{2}+2x+1)\,dx$   $=\pi\Big[\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}+x\Big]_{0}^{3}$   $=\pi(9+9+3)$   $=21\pi$ ทรงตันนี้คือกรวยที่ตัดยอดออก · สูตรกรวยก็ได้ $21\pi$ เหมือนกัน
  4. The region between $y=x^{2}$, the $y$-axis and $y=4$ rotates about the $y$-axis. Which integral gives the volume?บริเวณระหว่าง $y=x^{2}$ แกน $y$ และ $y=4$ หมุนรอบแกน $y$ · อินทิกรัลไหนให้ปริมาตร?
    Answer:เฉลย: $x^{2}=y$, so $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{4}y\,dy=8\pi$$x^{2}=y$ · $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{4}y\,dy=8\pi$Everything in terms of $y$: $V=\pi\int_{0}^{4}x^{2}\,dy$   $=\pi\int_{0}^{4}y\,dy$   $=8\pi$ทุกอย่างเป็นค่า $y$: $V=\pi\int_{0}^{4}x^{2}\,dy$   $=\pi\int_{0}^{4}y\,dy$   $=8\pi$
  5. The shaded region rotates through $360°$ about the $y$-axis. Find the volume in terms of $\pi$.บริเวณที่แรเงาหมุน $360°$ รอบแกน $y$ · หาปริมาตรในรูป $\pi$
    Answer:เฉลย: $\pi\displaystyle\int_{0}^{3}(y+1)\,dy=\pi\Big(\dfrac{9}{2}+3\Big)=\dfrac{15\pi}{2}$Radius $x$, limits in $y$: $V=\pi\int_{0}^{3}(y+1)\,dy$   $=\pi\Big[\dfrac{y^{2}}{2}+y\Big]_{0}^{3}$   $=\pi\Big(\dfrac{9}{2}+3\Big)$   $=\dfrac{15\pi}{2}$รัศมี $x$ · ขอบเขตเป็นค่า $y$: $V=\pi\int_{0}^{3}(y+1)\,dy$   $=\pi\Big[\dfrac{y^{2}}{2}+y\Big]_{0}^{3}$   $=\pi\Big(\dfrac{9}{2}+3\Big)$   $=\dfrac{15\pi}{2}$
  6. Exam: The diagram shows part of the curve $y=\dfrac{6}{x}$. The shaded region is bounded by the curve, the $x$-axis and the lines $x=1$ and $x=3$. Find the volume obtained when the shaded region is rotated through $360°$ about the $x$-axis. Give your answer in terms of $\pi$.  (4 marks)ข้อสอบ: รูปแสดงส่วนหนึ่งของเส้นโค้ง $y=\dfrac{6}{x}$ · บริเวณแรเงาล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และเส้นตรง $x=1$ กับ $x=3$ · จงหาปริมาตรเมื่อหมุนบริเวณแรเงา $360°$ รอบแกน $x$ · ตอบในรูป $\pi$  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\pi\displaystyle\int_{1}^{3}36x^{-2}\,dx=\pi\big[-36x^{-1}\big]_{1}^{3}=\pi(-12+36)=24\pi$4 marks: $\text{M1}\ \ \pi\int_{1}^{3}36x^{-2}\,dx$   $\text{A1}\ \ \pi\big[-36x^{-1}\big]_{1}^{3}$   $\text{M1}\ \ \pi\big(-12-(-36)\big)$   $\text{A1}\ \ 24\pi$ Students lose marks when they write $\big(\tfrac{6}{x}\big)^{2}$ as $\tfrac{12}{x^{2}}$, or leave out $\pi$.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \pi\int_{1}^{3}36x^{-2}\,dx$   $\text{A1}\ \ \pi\big[-36x^{-1}\big]_{1}^{3}$   $\text{M1}\ \ \pi\big(-12-(-36)\big)$   $\text{A1}\ \ 24\pi$ คะแนนหายเมื่อเขียน $\big(\tfrac{6}{x}\big)^{2}$ เป็น $\tfrac{12}{x^{2}}$ หรือลืม $\pi$

9. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Same two moves, exam wording, mark by mark.สองท่าเดิม ภาษาข้อสอบ เก็บทีละคะแนน

The P1 integration question nearly always has these two partsข้ออินทิเกรตใน P1 มีสองส่วนนี้แทบทุกปี

Part (a) is level 4. Part (b) is level 5. Only the wording changes.ข้อ (a) คือขั้นที่ 4 · ข้อ (b) คือขั้นที่ 5 · เปลี่ยนแค่ภาษาโจทย์

  1. Exam: A curve has $\dfrac{dy}{dx}=6x^{2}-6x$ and passes through the point $(2,\,5)$. Find the equation of the curve.  (4 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้งมี $\dfrac{dy}{dx}=6x^{2}-6x$ และผ่านจุด $(2,\,5)$ จงหาสมการของเส้นโค้ง  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $y=2x^{3}-3x^{2}+1$4 marks: $\text{M1}\ \ \text{power raised correctly}$   $\text{M2}\ \ 2x^{3}-3x^{2}+c$   $\text{M3}\ \ (2,5):\ 16-12+c=5$   $\text{A1}\ \ c=1,\ \ y=2x^{3}-3x^{2}+1$ Without the $+c$ at M2, marks 3 and 4 are unreachable.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{power raised correctly}$   $\text{M2}\ \ 2x^{3}-3x^{2}+c$   $\text{M3}\ \ (2,5):\ 16-12+c=5$   $\text{A1}\ \ c=1,\ \ y=2x^{3}-3x^{2}+1$ ถ้าไม่ใส่ $+c$ ตรง M2 คะแนนที่ 3 กับ 4 ก็หมดสิทธิ์
  2. Exam, part (b): For the same curve, evaluate $\displaystyle\int_{0}^{1}\big(2x^{3}-3x^{2}+1\big)\,dx$.  (3 marks)ข้อสอบ ข้อ (b): จากเส้นโค้งเดิม จงหาค่า $\displaystyle\int_{0}^{1}\big(2x^{3}-3x^{2}+1\big)\,dx$  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{x^{4}}{2}-x^{3}+x\Big]_{0}^{1}=\dfrac12-1+1=\dfrac12$3 marks: $\text{M1}\ \ \text{power raised correctly}$   $\text{M2}\ \ \dfrac{x^{4}}{2}-x^{3}+x$   $\text{A1}\ \ F(1)-F(0)=\tfrac12-1+1=\tfrac12$ On this interval the curve is above the axis, so the answer is the area.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{power raised correctly}$   $\text{M2}\ \ \dfrac{x^{4}}{2}-x^{3}+x$   $\text{A1}\ \ F(1)-F(0)=\tfrac12-1+1=\tfrac12$ ช่วงนี้กราฟอยู่เหนือแกน คำตอบจึงเป็นพื้นที่
  3. Exam: Evaluate $\displaystyle\int_{1}^{4}\left(3\sqrt{x}-\frac{4}{x^{2}}\right)dx$, giving your answer as an exact value.  (5 marks)ข้อสอบ: หาค่า $\displaystyle\int_{1}^{4}\left(3\sqrt{x}-\frac{4}{x^{2}}\right)dx$ · ตอบเป็นค่าที่แน่นอน (exact)  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $11$5 marks: $\text{M1}\ \ 3x^{1/2}-4x^{-2}$   $\text{M2}\ \ \int 3x^{1/2}\,dx=2x^{3/2}$   $\text{M3}\ \ \int -4x^{-2}\,dx=+\dfrac{4}{x}$   $\text{M4}\ \ F(4)=16+1=17,\ \ F(1)=2+4=6$   $\text{A1}\ \ 17-6=11$ Rewrite as powers first. Most students do not write this step, so they lose the mark.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ 3x^{1/2}-4x^{-2}$   $\text{M2}\ \ \int 3x^{1/2}\,dx=2x^{3/2}$   $\text{M3}\ \ \int -4x^{-2}\,dx=+\dfrac{4}{x}$   $\text{M4}\ \ F(4)=16+1=17,\ \ F(1)=2+4=6$   $\text{A1}\ \ 17-6=11$ เขียนเป็นเลขยกกำลังก่อน คะแนนตรงนี้คนไม่ค่อยเขียน
  4. A curve has $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4x$ and passes through the point $(1,2)$.
    Find the value of $y$ when $x=3$.    เส้นโค้งเส้นหนึ่งมี $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4x$ และผ่านจุด $(1,2)$
    หาค่า $y$ เมื่อ $x=3$
    Answer:เฉลย: $y=12$Point given, so find $c$ first: $\text{a point}\ \to\ \text{indefinite},\ +c$   $\text{two limits}\ \to\ \text{definite},\ \text{no }c$   $y=x^{3}-2x^{2}+c$   $(1,2):\ 1-2+c=2\ \Rightarrow\ c=3$   $x=3:\ \ 27-18+3=12$ The definite route gives $10$, the change in $y$. Add the starting height $2$.โจทย์ให้จุดมา ต้องหา $c$ ก่อน: $\text{a point}\ \to\ \text{indefinite},\ +c$   $\text{two limits}\ \to\ \text{definite},\ \text{no }c$   $y=x^{3}-2x^{2}+c$   $(1,2):\ 1-2+c=2\ \Rightarrow\ c=3$   $x=3:\ \ 27-18+3=12$ ถ้าไปทางจำกัดเขต จะได้ $10$ ซึ่งคือผลต่างของ $y$ ต้องบวกความสูงเริ่มต้น $2$

10. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}+2$ and the curve passes through $(1,\,4)$. Find the equation of the curve.
    Answer:เฉลย: $y=x^{3}+2x+1$Identical to the level 4 worked example, numbers changed. Builds confidence, proves the integrate-then-substitute move transferred.เหมือนตัวอย่างขั้นที่ 4 ทุกอย่าง เปลี่ยนแค่ตัวเลข สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่าท่าอินทิเกรตแล้วแทนจุดติดตัวไปแล้ว
  2. Find $\displaystyle\int\Big(3\sqrt{x}-\frac{2}{x^{3}}\Big)\,dx$.
    Answer:เฉลย: $2x^{3/2}+\dfrac{1}{x^{2}}+c$Same rule, but with fractional and negative powers. Skip the rewrite step and it is easy to slip.สูตรเดิม แต่เป็นกำลังเศษส่วนและกำลังลบ · ข้ามขั้นแปลงรูปแล้วผิดง่าย
  3. A quantity $P$ grows so that $\dfrac{dP}{dt}=4t-3$, and $P=2$ when $t=2$. Find $P$ in terms of $t$.
    Answer:เฉลย: $P=2t^{2}-3t$  (here $c=0$)New letters, same idea. Anyone who memorised $y$ and $x$ gets stuck here.เปลี่ยนตัวอักษร แต่ไอเดียเดิม · ใครท่องมาแค่ $y$ กับ $x$ จะติดตรงนี้
  4. Find $\displaystyle\int_{1}^{2}x(3x-2)\,dx$.
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{1}^{2}(3x^{2}-2x)\,dx=\big[x^{3}-x^{2}\big]_{1}^{2}=4-0=4$Expanding brackets is an old skill: here you expand first, then run a definite integral.กระจายวงเล็บเป็นของเก่า: ข้อนี้กระจายก่อน แล้วค่อยอินทิเกรตแบบจำกัดเขต
  5. A student integrated correctly and got $x^{3}+5x+c$. What was the question — i.e. what was the $\dfrac{dy}{dx}$ they started from?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}+5$  (differentiate the answer)Given the output, recover the input: only real understanding of integration lets you start this.ให้ผลลัพธ์มา แล้วให้หาโจทย์ตั้งต้น: ต้องเข้าใจอินทิเกรตจริงถึงจะเริ่มถูก
  6. A curve has $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-8x+5$ and passes through $(1,\,3)$.  (3 marks) (a)(ก) Find the equation of the curve. (4 marks) (b)(ข) Evaluate $\displaystyle\int_{0}^{1}\big(3x^{2}-8x+5\big)\,dx$.
    Answer:เฉลย: (a) $y=x^{3}-4x^{2}+5x+1$  (b) $\big[x^{3}-4x^{2}+5x\big]_{0}^{1}=2$Two parts with marks stated, the same skeleton as level $6$: how $7$ marks look on the real paper.สองข้อย่อยมีคะแนนกำกับ โครงเดียวกับขั้น $6$: คะแนน $7$ แต้มในกระดาษจริงหน้าตาแบบนี้
  7. A student writes:  $\displaystyle\int_{1}^{3}2x\,dx=F(1)-F(3)=1-9=-8$, “so the area is $-8$.”  Find both errors and give the correct value.
    Answer:เฉลย: Order swapped — it is $F(3)-F(1)=9-1=8$; and area can never be negative (this region is above the axis anyway). Correct value: $8$.Marking someone else's mistake is harder than avoiding your own. Do it last before closing the topic.จับผิดงานคนอื่นยากกว่าไม่พลาดเอง ทำเป็นข้อสุดท้ายก่อนปิดหัวข้อ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี