Sine Rule, Cosine Rule and Area · practice ladders ชุดไต่ระดับ · กฎของไซน์ โคไซน์ และพื้นที่สามเหลี่ยม

You are given two sides, $AB = 8$ and $BC = 13$, and the angle $70^\circ$ that sits BETWEEN them, and you are asked for the third side. Try to write the sine rule for this triangle: what pair does it need that you have not been given? So which rule is it?

โจทย์ให้สองด้าน $AB = 8$ กับ $BC = 13$ และมุม $70^\circ$ ที่อยู่ "ระหว่าง" สองด้านนั้น แล้วถามด้านที่สาม · ลองเขียนกฎของไซน์สำหรับสามเหลี่ยมนี้: มันต้องการคู่อะไรที่โจทย์ไม่ได้ให้มา แล้วต้องใช้กฎไหน

The cosine rule is written $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$. Match $8$, $13$, $70^\circ$ and $AC$ onto $a$, $b$, $c$ and $A$. What is the single rule for deciding which side gets to be $a$?

กฎของโคไซน์เขียนว่า $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ · จับคู่ $8$, $13$, $70^\circ$ และ $AC$ เข้ากับ $a$, $b$, $c$, $A$ · กฎข้อเดียวที่ใช้ตัดสินว่าด้านไหนได้เป็น $a$ คืออะไร

Part (b) asks for angle $BAC$, which is opposite $BC = 13$ — the longest side. You could use the sine rule or the cosine rule. One of them can hand you the wrong angle without saying so. Which is safe here, and what can the other one hide?

ข้อ (b) ถามมุม $BAC$ ซึ่งอยู่ตรงข้าม $BC = 13$ คือด้านที่ยาวที่สุด · จะใช้กฎของไซน์หรือโคไซน์ก็ได้ · มีอันหนึ่งที่อาจให้มุมผิดโดยไม่บอก · อันไหนปลอดภัยกว่า และอีกอันซ่อนอะไรไว้

The data is $AB = 12$, $BC = 9$, angle $BAC = 40^\circ$. The sine rule needs a side paired with the angle opposite it. Which side is opposite the $40^\circ$? Write down both matched pairs you can form, and say which rule that makes available.

ข้อมูลคือ $AB = 12$, $BC = 9$, มุม $BAC = 40^\circ$ · กฎของไซน์ต้องการด้านที่จับคู่กับมุมตรงข้าม · ด้านไหนอยู่ตรงข้ามมุม $40^\circ$ · เขียนคู่ที่จับได้ทั้งหมด แล้วบอกว่าใช้กฎไหนได้

You have $\sin(BCA) = 0.8571$. Your calculator returns $59.0^\circ$ and stops there. How many angles between $0^\circ$ and $180^\circ$ have that sine, what is the second one, and why does the calculator only ever offer one?

ได้ $\sin(BCA) = 0.8571$ · เครื่องคิดเลขคืนค่า $59.0^\circ$ แล้วหยุด · มีมุมกี่มุมระหว่าง $0^\circ$ ถึง $180^\circ$ ที่มีไซน์เท่านี้ ตัวที่สองคืออะไร และทำไมเครื่องคิดเลขให้มาแค่ตัวเดียวเสมอ

Two possible triangles is not automatic — the same three pieces of data sometimes give one triangle and sometimes none. Using $BC = 9$, $AB = 12$ and the perpendicular height $12\sin 40^\circ = 7.71$, state the test that decides between two, one and none.

การมีสามเหลี่ยมสองรูปไม่ใช่เรื่องอัตโนมัติ ข้อมูลสามชิ้นแบบเดียวกันบางครั้งได้รูปเดียว บางครั้งไม่ได้เลย · ใช้ $BC = 9$, $AB = 12$ และความสูงตั้งฉาก $12\sin 40^\circ = 7.71$ บอกเกณฑ์ที่ตัดสินระหว่าง สองรูป หนึ่งรูป และไม่มีเลย

A bearing is measured from one fixed direction, in one fixed sense, and written to a fixed number of figures. Name all three conventions, write $48^\circ$ as a bearing should be written, and give the bearing of $A$ from $B$.

bearing วัดจากทิศตายตัวหนึ่ง หมุนไปทางเดียวตายตัว และเขียนด้วยจำนวนหลักที่ตายตัว · บอกทั้งสามอย่าง เขียน $48^\circ$ ให้ถูกแบบ bearing และบอก bearing ของ $A$ จาก $B$

The angle $ABC$ inside the triangle is neither $048^\circ$ nor $125^\circ$. Draw the north line at $B$ and say which two bearings measured AT $B$ you subtract — and why the back bearing has to be found before the subtraction can happen.

มุม $ABC$ ในสามเหลี่ยมไม่ใช่ทั้ง $048^\circ$ และ $125^\circ$ · ลากเส้นทิศเหนือที่จุด $B$ แล้วบอกว่าต้องลบ bearing สองค่าไหนที่วัด "ที่จุด $B$" และทำไมต้องหา back bearing ก่อนจึงจะลบได้

Part (c) asks for the bearing of $C$ from $A$, and you have angle $BAC = 47.1^\circ$. Is $047^\circ$ the answer? Which number does the $47.1^\circ$ have to be combined with, is it added or subtracted, and how is the result written?

ข้อ (c) ขอ bearing ของ $C$ จาก $A$ และเราได้มุม $BAC = 47.1^\circ$ · $047^\circ$ คือคำตอบไหม · ต้องเอา $47.1^\circ$ ไปรวมกับเลขตัวไหน บวกหรือลบ และเขียนผลออกมาอย่างไร

$\sin(\angle DAB)=\tfrac23$, and $\arcsin\tfrac23=41.81°$. Angle $DAB$ is obtuse. Pick the first move.
(A) $\angle DAB=41.81°$
(B) $\angle DAB=180°-41.81°$
(C) $\angle DAB=90°-41.81°$

$\sin(\angle DAB)=\tfrac23$ และ $\arcsin\tfrac23=41.81°$ และมุม $DAB$ เป็นมุมป้าน จงเลือกขั้นแรก
(A) $\angle DAB=41.81°$
(B) $\angle DAB=180°-41.81°$
(C) $\angle DAB=90°-41.81°$

$AD=BC=6$ cm (opposite sides), and $\angle DAB=138.19°$ is already known. To find diagonal $BD$, pick the right triangle and rule.
(A) Triangle $ABD$, using $AB=10$, $AD=6$, with $\angle DAB$ between them
(B) Triangle $BCD$, using $BC=6$, $CD=10$, with $\angle BCD$ between them
(C) Triangle $ABC$, using $AB=10$, $BC=6$, with $\angle ABC$ between them

$AD=BC=6$ ซม. (ด้านตรงข้าม) และ $\angle DAB=138.19°$ รู้ค่าแล้ว หาเส้นทแยงมุม $BD$ จงเลือกสามเหลี่ยมและกฎที่ถูก
(A) สามเหลี่ยม $ABD$ โดยใช้ $AB=10$, $AD=6$ กับมุม $\angle DAB$ ที่อยู่ระหว่างกลาง
(B) สามเหลี่ยม $BCD$ โดยใช้ $BC=6$, $CD=10$ กับมุม $\angle BCD$ ที่อยู่ระหว่างกลาง
(C) สามเหลี่ยม $ABC$ โดยใช้ $AB=10$, $BC=6$ กับมุม $\angle ABC$ ที่อยู่ระหว่างกลาง

In triangle $ABC$, $\sin x^{\circ}=0.6827$, and $AB$ (opposite $x^{\circ}$) is the longest side. Pick the correct value of $x^{\circ}$.
(A) $x=43.05^{\circ}$, the angle the calculator gives from $\arcsin$
(B) $x=136.95^{\circ}$, using $180^{\circ}-43.05^{\circ}$ instead
(C) $x=90^{\circ}$, halfway between the two angles

ในสามเหลี่ยม $ABC$, $\sin x^{\circ}=0.6827$ และ $AB$ (ตรงข้าม $x^{\circ}$) เป็นด้านที่ยาวที่สุด จงเลือกค่า $x^{\circ}$ ที่ถูก
(A) $x=43.05^{\circ}$ มุมที่เครื่องคิดเลขให้มาจาก $\arcsin$
(B) $x=136.95^{\circ}$ โดยใช้ $180^{\circ}-43.05^{\circ}$ แทน
(C) $x=90^{\circ}$ ค่ากึ่งกลางระหว่างสองมุม

You found $\cos\theta^{\circ}=\pm\dfrac{\sqrt{161}}{15}$. Since $\theta>90$, which value goes into the cosine rule for $BC$?
(A) $+\dfrac{\sqrt{161}}{15}$, because squaring removes the sign
(B) $-\dfrac{\sqrt{161}}{15}$, because an obtuse angle has a negative cosine
(C) $\dfrac{8}{15}$, the value of $\sin\theta^{\circ}$ already found

คุณหาได้ $\cos\theta^{\circ}=\pm\dfrac{\sqrt{161}}{15}$ เนื่องจาก $\theta>90$ ค่าไหนที่ต้องใช้ในกฎของโคไซน์เพื่อหา $BC$
(A) $+\dfrac{\sqrt{161}}{15}$ เพราะยกกำลังสองทำให้เครื่องหมายหายไป
(B) $-\dfrac{\sqrt{161}}{15}$ เพราะมุมป้านมี cos เป็นค่าลบ
(C) $\dfrac{8}{15}$ ค่า $\sin\theta^{\circ}$ ที่หาไว้แล้ว

In triangle $BCD$, angle $BCD=\theta^{\circ}$ is at vertex $C$. To write the cosine rule for $\cos\theta^{\circ}$, which side must stand alone, opposite $\theta^{\circ}$? Pick the first move.
(A) $x^{2}=5^{2}+(1+x)^{2}-2(5)(1+x)\cos\theta^{\circ}$
(B) $(1+x)^{2}=5^{2}+x^{2}-2(5)(x)\cos\theta^{\circ}$
(C) $5^{2}=x^{2}+(1+x)^{2}-2(x)(1+x)\cos\theta^{\circ}$

ในสามเหลี่ยม $BCD$ มุม $BCD=\theta^{\circ}$ อยู่ที่จุด $C$ จะเขียนกฎของโคไซน์หา $\cos\theta^{\circ}$ ด้านใดต้องอยู่ตัวเดียว ตรงข้าม $\theta^{\circ}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $x^{2}=5^{2}+(1+x)^{2}-2(5)(1+x)\cos\theta^{\circ}$
(B) $(1+x)^{2}=5^{2}+x^{2}-2(5)(x)\cos\theta^{\circ}$
(C) $5^{2}=x^{2}+(1+x)^{2}-2(x)(1+x)\cos\theta^{\circ}$

You have $\angle BDC=77.06^{\circ}$, and $ADC$ is a straight line. Pick the first move to find $\angle ADB$.
(A) $\angle ADB=77.06^{\circ}$, the same angle
(B) $\angle ADB=180^{\circ}-77.06^{\circ}$
(C) $\angle ADB=90^{\circ}-77.06^{\circ}$

ได้ $\angle BDC=77.06^{\circ}$ และ $ADC$ เป็นเส้นตรง จงเลือกขั้นแรกเพื่อหา $\angle ADB$
(A) $\angle ADB=77.06^{\circ}$ มุมเดียวกัน
(B) $\angle ADB=180^{\circ}-77.06^{\circ}$
(C) $\angle ADB=90^{\circ}-77.06^{\circ}$

Triangle $ABC$ has $AB=p$, $AC=q$, $BC=2\sqrt2$ m and angle $BAC=60°$. You need an equation connecting $p$ and $q$. Pick the first move.
(A) use the sine rule, since an angle and two sides are known
(B) use the cosine rule, since two sides and the angle between them are known
(C) use Pythagoras, since the triangle has three sides

สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=p$, $AC=q$, $BC=2\sqrt2$ เมตร และมุม $BAC=60°$ ต้องการสมการที่เชื่อม $p$ กับ $q$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ใช้กฎของไซน์ เพราะรู้มุมและสองด้าน
(B) ใช้กฎของโคไซน์ เพราะรู้สองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง
(C) ใช้พีทาโกรัส เพราะสามเหลี่ยมมีสามด้าน

Solving $p^{2}+2p-4=0$ by the quadratic formula gives $p=-1\pm\sqrt5$. Pick the value of $p$.
(A) $p=-1+\sqrt5$, since $p$ is a length and must be positive
(B) $p=-1-\sqrt5$, since it came first under the $\pm$
(C) both values, since a quadratic has two roots

แก้ $p^{2}+2p-4=0$ ด้วยสูตรกำลังสองได้ $p=-1\pm\sqrt5$ จงเลือกค่า $p$
(A) $p=-1+\sqrt5$ เพราะ $p$ เป็นความยาว ต้องเป็นค่าบวก
(B) $p=-1-\sqrt5$ เพราะมันมาก่อนในเครื่องหมาย $\pm$
(C) เอาทั้งสองค่า เพราะสมการกำลังสองมีสองคำตอบ

$\sin(\angle AOD)=0.9727$ gives $\angle AOD=1.337$ (acute) or $\angle AOD=1.805$ (obtuse). The question says angle $AOD$ is obtuse. Pick the correct value.
(A) $1.337$
(B) $1.805$
(C) the average, $1.571$

$\sin(\angle AOD)=0.9727$ ให้ $\angle AOD=1.337$ (มุมแหลม) หรือ $\angle AOD=1.805$ (มุมป้าน) โจทย์บอกว่ามุม $AOD$ เป็นมุมป้าน จงเลือกค่าที่ถูกต้อง
(A) $1.337$
(B) $1.805$
(C) ค่าเฉลี่ย $1.571$

Sector $ABCOA$ is the LARGE region, going from $A$ to $C$ the long way round through $B$. Which angle does its arc use?
(A) $1.805$, the angle inside the triangle
(B) $2\pi-1.805$, the angle the long way round
(C) $\pi-1.805=1.337$, the leftover angle

เซกเตอร์ $ABCOA$ เป็นบริเวณใหญ่ จาก $A$ ไป $C$ ทางอ้อมผ่าน $B$ ใช้มุมใดสำหรับส่วนโค้งนี้
(A) $1.805$ มุมภายในสามเหลี่ยม
(B) $2\pi-1.805$ มุมทางอ้อม
(C) $\pi-1.805=1.337$ มุมที่เหลือ

$\alpha=1.6$ is angle $AOB$. To find the area of triangle $AOC$, you need angle $AOC$. Pick the correct angle.
(A) $\alpha=1.6$
(B) $\dfrac{2\pi-\alpha}{2}=2.34$
(C) $\pi-\alpha=1.54$

$\alpha=1.6$ คือมุม $AOB$ การหาพื้นที่สามเหลี่ยม $AOC$ ต้องใช้มุม $AOC$ จงเลือกมุมที่ถูกต้อง
(A) $\alpha=1.6$
(B) $\dfrac{2\pi-\alpha}{2}=2.34$
(C) $\pi-\alpha=1.54$

The badge is walked around by the arc $AB$ and the two slanted sides $AC$, $BC$. Pick the correct perimeter.
(A) arc $AB+AC+BC$
(B) arc $AB+AC+BC+OC$
(C) arc $AB+OA+OB$

เดินรอบเหรียญตราได้ด้วยส่วนโค้ง $AB$ และด้านเฉียงสองด้าน $AC$, $BC$ จงเลือกเส้นรอบรูปที่ถูกต้อง
(A) arc $AB+AC+BC$
(B) arc $AB+AC+BC+OC$
(C) arc $AB+OA+OB$

$\arcsin(0.7731)=0.884$ (question $3$), but angle $ADO$ is obtuse. Pick the correct value.
(A) $0.884$
(B) $\pi-0.884=2.26$
(C) $2\pi-0.884$

$\arcsin(0.7731)=0.884$ (ข้อ $3$) แต่มุม $ADO$ เป็นมุมป้าน จงเลือกค่าที่ถูก
(A) $0.884$
(B) $\pi-0.884=2.26$
(C) $2\pi-0.884$

$D$ lies on $OC$, and $OC=6$ cm. Once you know $OD$ (question $7$), which gives $DC$?
(A) $DC=OD$
(B) $DC=OC-OD$
(C) $DC=OC+OD$

$D$ อยู่บน $OC$ และ $OC=6$ ซม. เมื่อรู้ $OD$ (ข้อ $7$) แล้ว ข้อใดให้ $DC$
(A) $DC=OD$
(B) $DC=OC-OD$
(C) $DC=OC+OD$

$\sin^{-1}(0.8947)=1.108$, the acute angle. The question says $\angle OAB>\tfrac{\pi}{2}$. Pick the next move.
(A) $\angle OAB=1.108$
(B) $\angle OAB=\pi-1.108$
(C) $\angle OAB=2\pi-1.108$

$\sin^{-1}(0.8947)=1.108$ คือมุมแหลม โจทย์กำหนดว่า $\angle OAB>\tfrac{\pi}{2}$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) $\angle OAB=1.108$
(B) $\angle OAB=\pi-1.108$
(C) $\angle OAB=2\pi-1.108$

The ratio sector $OBC$ : triangle $OAB$ is $3:2$, and the area of triangle $OAB$ is $1.78$. Pick the first move.
(A) sector area $=3\times1.78$
(B) sector area $=\tfrac32\times1.78$
(C) sector area $=\tfrac23\times1.78$

อัตราส่วน เซกเตอร์ $OBC$ : สามเหลี่ยม $OAB$ เท่ากับ $3:2$ และพื้นที่สามเหลี่ยม $OAB$ เท่ากับ $1.78$ จงเลือกขั้นแรก
(A) พื้นที่ เซกเตอร์ $=3\times1.78$
(B) พื้นที่ เซกเตอร์ $=\tfrac32\times1.78$
(C) พื้นที่ เซกเตอร์ $=\tfrac23\times1.78$

Sector $AOBX$ goes from $A$ to $B$ the long way round, through $X$ -- not through the $\tfrac{2\pi}{3}$ angle. Pick the angle the sector actually uses.
(A) $\tfrac{2\pi}{3}$, the given angle $AOB$
(B) $2\pi-\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{4\pi}{3}$
(C) $\tfrac12\times\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{3}$

เซกเตอร์ $AOBX$ วนจาก $A$ ไป $B$ ทางอ้อมผ่าน $X$ ไม่ใช่ผ่านมุม $\tfrac{2\pi}{3}$ จงเลือกมุมที่ เซกเตอร์ ใช้จริง
(A) $\tfrac{2\pi}{3}$ มุม $AOB$ ที่ให้มา
(B) $2\pi-\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{4\pi}{3}$
(C) $\tfrac12\times\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{3}$

The sine rule on triangle $ABC$ gives $\sin(\angle BAC)\approx0.770$, so $\angle BAC\approx0.879$ rad or $\angle BAC\approx\pi-0.879\approx2.263$ rad. Which one keeps $AOBC$ a sensible, convex pond shape?
(A) $\approx0.879$ rad
(B) $\approx2.263$ rad
(C) both -- add the two triangle areas

กฎของไซน์ในสามเหลี่ยม $ABC$ ให้ $\sin(\angle BAC)\approx0.770$ จึงได้ $\angle BAC\approx0.879$ เรเดียน หรือ $\angle BAC\approx\pi-0.879\approx2.263$ เรเดียน ค่าใดที่ทำให้ $AOBC$ เป็นรูปสระที่สมเหตุสมผล แบบนูน
(A) $\approx0.879$ เรเดียน
(B) $\approx2.263$ เรเดียน
(C) ทั้งสองค่า -- บวกพื้นที่สามเหลี่ยมทั้งสอง

$B$ lies due south of $A$ (bearing $180°$), and $C$ lies on the east side of line $AB$. Which formula gives the bearing of $C$ from $A$, once angle $BAC$ is known?
(A) bearing $=\angle BAC$
(B) bearing $=180°-\angle BAC$
(C) bearing $=90°-\angle BAC$

$B$ อยู่ทางทิศใต้ (south) ของ $A$ พอดี (แบริ่ง $180°$) และ $C$ อยู่ฝั่งตะวันออกของเส้น $AB$ เมื่อรู้มุม $BAC$ แล้ว สูตรใดให้แบริ่งของ $C$ จาก $A$
(A) แบริ่ง $=\angle BAC$
(B) แบริ่ง $=180°-\angle BAC$
(C) แบริ่ง $=90°-\angle BAC$

The triangle has $AB=3x$, $AC=x$, angle $CAB=60°$, and area $24\sqrt3$. Which first move finds $x$?
(A) cosine rule for $BC$
(B) the area formula $\tfrac12(3x)(x)\sin60°=24\sqrt3$
(C) Pythagoras on $AB$ and $AC$

สามเหลี่ยมมี $AB=3x$, $AC=x$, มุม $CAB=60°$ และพื้นที่ $24\sqrt3$ ขั้นแรกใดหา $x$ ได้
(A) กฎของโคไซน์หา $BC$
(B) สูตรพื้นที่ $\tfrac12(3x)(x)\sin60°=24\sqrt3$
(C) ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับ $AB$ และ $AC$

$x=4\sqrt2$, so $AB=12\sqrt2$ and $AC=4\sqrt2$, with angle $CAB=60°$ between them. Which rule finds $BC$?
(A) cosine rule, using $AB$, $AC$ and $60°$
(B) Pythagoras, $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$
(C) sine rule, using angle $CAB$

$x=4\sqrt2$ ดังนั้น $AB=12\sqrt2$ และ $AC=4\sqrt2$ โดยมีมุม $CAB=60°$ อยู่ระหว่างกลาง กฎใดหา $BC$ ได้
(A) กฎของโคไซน์ ใช้ $AB$, $AC$ และ $60°$
(B) ทฤษฎีบทพีทาโกรัส $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$
(C) กฎของไซน์ ใช้มุม $CAB$

$\sin(\angle ACB)=0.7932$, from the sine rule. Side $AB=6.5$ m is longer than $BC=4.7$ m, so $AB$ is the longest side of triangle $ABC$. Pick angle $ACB$.
(A) $\angle ACB=52.5°$, the acute root
(B) $\angle ACB=180°-52.5°=127.5°$, the obtuse root
(C) $\angle ACB=90°-52.5°$

$\sin(\angle ACB)=0.7932$ จากกฎของไซน์ ด้าน $AB=6.5$ ม. ยาวกว่า $BC=4.7$ ม. ดังนั้น $AB$ เป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม $ABC$ จงเลือกมุม $ACB$
(A) $\angle ACB=52.5°$ มุมแหลม
(B) $\angle ACB=180°-52.5°=127.5°$ มุมป้าน
(C) $\angle ACB=90°-52.5°$

The bearing of $P$ from $A$ is $314°-180°=134°$ (its reverse). $B$ lies on the side of line $AP$ that makes the bearing of $B$ from $A$ SMALLER than $134°$. Pick the formula.
(A) bearing of $B$ from $A$ $=134°+\angle PAB$
(B) bearing of $B$ from $A$ $=134°-\angle PAB$
(C) bearing of $B$ from $A$ $=\angle PAB$

แบริ่งของ $P$ จาก $A$ คือ $314°-180°=134°$ (ค่ากลับทาง) $B$ อยู่ฝั่งของเส้น $AP$ ที่ทำให้แบริ่งของ $B$ จาก $A$ เล็กกว่า $134°$ จงเลือกสูตร
(A) แบริ่งของ $B$ จาก $A$ $=134°+\angle PAB$
(B) แบริ่งของ $B$ จาก $A$ $=134°-\angle PAB$
(C) แบริ่งของ $B$ จาก $A$ $=\angle PAB$