Sine Rule, Cosine Rule and Area · practice ladders ชุดไต่ระดับ · กฎของไซน์ โคไซน์ และพื้นที่สามเหลี่ยม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Triangle rules · the cosine rule both ways
In triangle $ABC$, $AB = 8$ cm, $BC = 13$ cm and angle $ABC = 70^\circ$.
(a) Find the length of $AC$.
(b) Find angle $BAC$.
In triangle $ABC$, name the side that is opposite angle $B$, and name the two sides that meet at $B$.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ จงบอกว่าด้านใดอยู่ตรงข้ามมุม $B$ และด้านใดสองด้านที่มาบรรจบกันที่ $B$
Answershow ▾
The cosine rule always pairs the angle with the side opposite it. Get this labelling right and the formula fills itself in.
You are given two sides, $AB = 8$ and $BC = 13$, and the angle $70^\circ$ that sits BETWEEN them, and you are asked for the third side. Try to write the sine rule for this triangle: what pair does it need that you have not been given? So which rule is it?
โจทย์ให้สองด้าน $AB = 8$ กับ $BC = 13$ และมุม $70^\circ$ ที่อยู่ "ระหว่าง" สองด้านนั้น แล้วถามด้านที่สาม · ลองเขียนกฎของไซน์สำหรับสามเหลี่ยมนี้: มันต้องการคู่อะไรที่โจทย์ไม่ได้ให้มา แล้วต้องใช้กฎไหน
Answershow ▾
Two sides and the included angle is the one shape the sine rule cannot start on, and it is exactly the shape the cosine rule was built for. The whole decision is made before a single number is written, and no mark exists for it — the M1 is for a correct cosine rule, and a sine rule attempt scores nothing however neatly it is set out.สองด้านกับมุมที่อยู่ระหว่างกลาง คือรูปแบบเดียวที่กฎของไซน์เริ่มไม่ได้ และเป็นรูปแบบที่กฎของโคไซน์ถูกสร้างมาเพื่อมันโดยเฉพาะ · การตัดสินใจทั้งหมดเกิดขึ้นก่อนเขียนตัวเลขตัวแรก และไม่มีคะแนนให้ · M1 ให้กับกฎของโคไซน์ที่ถูกต้อง ส่วนการลองใช้กฎของไซน์ไม่ได้อะไรเลย แม้จะเขียนเรียบร้อยแค่ไหน
Use a calculator in degree mode to evaluate $8^2 + 13^2 - 2 \times 8 \times 13 \times \cos 70^\circ$, correct to 4 significant figures.
ใช้เครื่องคิดเลขในโหมดองศา หาค่าของ $8^2 + 13^2 - 2 \times 8 \times 13 \times \cos 70^\circ$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 4 ตัว
Answershow ▾
$64 + 169 = 233$ and $208\cos 70^\circ = 71.14$, so the value is $233 - 71.14 = 161.9$. Keep the unrounded value in the calculator.
Given that $x^2 = 161.86$ and $x > 0$, find $x$ correct to 3 significant figures.
กำหนดให้ $x^2 = 161.86$ และ $x > 0$ จงหา $x$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
The cosine rule gives you $x^2$, never $x$. Forgetting the square root at the very end is the most common single lost mark in this topic.
The cosine rule is written $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$. Match $8$, $13$, $70^\circ$ and $AC$ onto $a$, $b$, $c$ and $A$. What is the single rule for deciding which side gets to be $a$?
กฎของโคไซน์เขียนว่า $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ · จับคู่ $8$, $13$, $70^\circ$ และ $AC$ เข้ากับ $a$, $b$, $c$, $A$ · กฎข้อเดียวที่ใช้ตัดสินว่าด้านไหนได้เป็น $a$ คืออะไร
Answershow ▾
The letters are not fixed to the vertices $A$, $B$, $C$ of the picture — they are roles, and the only rule is that $a$ faces $A$. Here the known angle is at $B$ and the side facing it is $AC$, so $AC$ plays $a$ even though its name starts with $A$. The M1 pays for a correct substitution; nothing pays for the reading that made it correct.ตัวอักษรไม่ได้ผูกกับจุดยอด $A$, $B$, $C$ ในรูป แต่เป็น "บทบาท" และกฎเดียวคือ $a$ ต้องอยู่ตรงข้าม $A$ · ในข้อนี้มุมที่รู้อยู่ที่ $B$ และด้านที่อยู่ตรงข้ามคือ $AC$ ดังนั้น $AC$ รับบท $a$ แม้ชื่อจะขึ้นต้นด้วย $A$ · M1 ให้กับการแทนค่าถูก ไม่มีใครให้คะแนนกับการอ่านที่ทำให้มันถูก
In triangle $PQR$, $PQ = 5$ cm, $QR = 6$ cm and angle $PQR = 60^\circ$. Find the exact length of $PR$.
ในสามเหลี่ยม $PQR$ มี $PQ = 5$ ซม. $QR = 6$ ซม. และมุม $PQR = 60^\circ$ จงหาความยาว $PR$ แบบ exact
Answershow ▾
$PR^2 = 25 + 36 - 2(5)(6)\cos 60^\circ = 61 - 60 \times \tfrac12 = 31$. With $60^\circ$ the cosine is exactly $\tfrac12$, so the answer stays in surd form.
Write the cosine rule $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ rearranged to make $\cos A$ the subject.
จงจัดรูปกฎของโคไซน์ $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ ให้ $\cos A$ อยู่โดดเดี่ยว
Answershow ▾
Move $2bc\cos A$ across and $a^2$ across, then divide both sides by $2bc$. The side opposite the angle you want is the one that carries the minus sign.
A triangle has sides of length $5$ cm, $7$ cm and $8$ cm. Find, to 1 decimal place, the angle opposite the side of length $8$ cm.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาว $5$, $7$ และ $8$ ซม. จงหามุมที่อยู่ตรงข้ามด้านยาว $8$ ซม. ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\cos\theta = \dfrac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2(5)(7)} = \dfrac{10}{70} = \dfrac17$, so $\theta = \cos^{-1}\!\left(\tfrac17\right) = 81.8^\circ$.
Part (b) asks for angle $BAC$, which is opposite $BC = 13$ — the longest side. You could use the sine rule or the cosine rule. One of them can hand you the wrong angle without saying so. Which is safe here, and what can the other one hide?
ข้อ (b) ถามมุม $BAC$ ซึ่งอยู่ตรงข้าม $BC = 13$ คือด้านที่ยาวที่สุด · จะใช้กฎของไซน์หรือโคไซน์ก็ได้ · มีอันหนึ่งที่อาจให้มุมผิดโดยไม่บอก · อันไหนปลอดภัยกว่า และอีกอันซ่อนอะไรไว้
Answershow ▾
The cosine rule reads the sign of the cosine and so returns the obtuse angle when there is one; $\sin^{-1}$ always comes back acute. When the angle wanted is opposite the longest side it is the one most likely to be obtuse, so this is exactly where the sine rule quietly lies. No mark warns you, and the wrong angle is a clean-looking number.กฎของโคไซน์อ่านเครื่องหมายของโคไซน์ จึงคืนมุมป้านมาให้เมื่อมันเป็นมุมป้าน ส่วน $\sin^{-1}$ คืนมุมแหลมเสมอ · เมื่อมุมที่ต้องการอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุด มันมีโอกาสเป็นมุมป้านมากที่สุด ตรงนี้แหละที่กฎของไซน์โกหกอย่างเงียบ ๆ · ไม่มีคะแนนไหนเตือน และมุมที่ผิดก็เป็นเลขที่ดูสะอาดตา
In triangle $ABC$, $AB = 8$ cm, $BC = 13$ cm and angle $ABC = 70^\circ$. Find the length of $AC$, correct to 3 significant figures.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB = 8$ ซม. $BC = 13$ ซม. และมุม $ABC = 70^\circ$ จงหาความยาว $AC$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
$AC^2 = 8^2 + 13^2 - 2(8)(13)\cos 70^\circ = 161.86$, so $AC = 12.72$ cm. The angle $70^\circ$ sits between the two given sides, which is exactly when the cosine rule applies.
Using $AB = 8$ cm, $BC = 13$ cm and $AC = 12.72$ cm, find angle $BAC$ correct to 1 decimal place.
ใช้ $AB = 8$ ซม. $BC = 13$ ซม. และ $AC = 12.72$ ซม. จงหามุม $BAC$ ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\cos(BAC) = \dfrac{8^2 + 12.72^2 - 13^2}{2(8)(12.72)} = \dfrac{56.79}{203.5} = 0.2791$, so $BAC = 73.8^\circ$. Note $BC = 13$ is opposite $A$, so it is the term that is subtracted.
In triangle $ABC$, $AB = 5$ cm, $BC = 8$ cm and angle $ABC = 60^\circ$. (a) Find $AC$. (b) Find angle $BAC$, correct to 1 decimal place.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB = 5$ ซม. $BC = 8$ ซม. และมุม $ABC = 60^\circ$ (a) จงหา $AC$ (b) จงหามุม $BAC$ ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$AC^2 = 25 + 64 - 2(5)(8)\cos 60^\circ = 89 - 40 = 49$, so $AC = 7$ exactly. Then $\cos(BAC) = \dfrac{25 + 49 - 64}{2(5)(7)} = \dfrac17$ — the same triangle as question 6.
In triangle $ABC$, $AB = 8$ cm, $BC = 13$ cm and angle $ABC = 70^\circ$. (a) Find the length of $AC$. (b) Find angle $BAC$.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB = 8$ ซม. $BC = 13$ ซม. และมุม $ABC = 70^\circ$ (a) จงหาความยาว $AC$ (b) จงหามุม $BAC$
Answershow ▾
6 marks. Questions 4 and 7 are part (a); questions 5, 6 and 8 are part (b). Carry the unrounded $AC$ into part (b), never the rounded $12.7$.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$AC^2 = 8^2 + 13^2 - 2(8)(13)\cos 70^\circ$
M1 evaluate the right-hand side:
$AC^2 = 233 - 71.14$
$AC^2 = 161.86$
A1 square root both sides:
$AC = 12.72$
$AC = 12.7$ cm (3 s.f.).
(b) M1 cosine rule rearranged, with $BC = 13$ opposite the required angle:
$\cos(BAC) = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \times AB \times AC}$
M1 substitute the unrounded $AC$:
$\cos(BAC) = \dfrac{64 + 161.86 - 169}{2(8)(12.72)}$
$\cos(BAC) = \dfrac{56.86}{203.5}$
$\cos(BAC) = 0.2794$
A1 $BAC = \cos^{-1}(0.2794)$
$BAC = 73.8^\circ$ (1 d.p.).
Triangle rules · the sine rule and the ambiguous case
In triangle $ABC$, $AB = 12$ cm, $BC = 9$ cm and angle $BAC = 40^\circ$.
(a) Show that there are two possible triangles, and find the two possible sizes of angle $BCA$.
(b) Find the two corresponding lengths of $AC$.
Write down the sine rule for triangle $ABC$ in both of its forms: the form used to find a side, and the form used to find an angle.
จงเขียนกฎของไซน์สำหรับสามเหลี่ยม $ABC$ ทั้งสองรูปแบบ: รูปที่ใช้หาความยาวด้าน และรูปที่ใช้หามุม
Answershow ▾
Put the unknown on top. Sides on top when you want a side, sines on top when you want an angle — it saves a rearrangement every time.
In a triangle, the side $x$ is opposite an angle of $50^\circ$ and a side of length $10$ cm is opposite an angle of $70^\circ$. Find $x$ correct to 3 significant figures.
ในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง ด้าน $x$ อยู่ตรงข้ามมุม $50^\circ$ และด้านยาว $10$ ซม. อยู่ตรงข้ามมุม $70^\circ$ จงหา $x$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
$\dfrac{x}{\sin 50^\circ} = \dfrac{10}{\sin 70^\circ}$, so $x = \dfrac{10\sin 50^\circ}{\sin 70^\circ} = 8.15$. One complete side-and-angle pair is all the sine rule ever needs.
The data is $AB = 12$, $BC = 9$, angle $BAC = 40^\circ$. The sine rule needs a side paired with the angle opposite it. Which side is opposite the $40^\circ$? Write down both matched pairs you can form, and say which rule that makes available.
ข้อมูลคือ $AB = 12$, $BC = 9$, มุม $BAC = 40^\circ$ · กฎของไซน์ต้องการด้านที่จับคู่กับมุมตรงข้าม · ด้านไหนอยู่ตรงข้ามมุม $40^\circ$ · เขียนคู่ที่จับได้ทั้งหมด แล้วบอกว่าใช้กฎไหนได้
Answershow ▾
Here the given angle is NOT between the two given sides, which is the shape the cosine rule cannot start on and the sine rule can. Same three numbers as a cosine-rule question, a different arrangement, a different rule — and the arrangement is the only thing that decides it.ในข้อนี้มุมที่ให้มา "ไม่ได้" อยู่ระหว่างสองด้านที่ให้มา ซึ่งเป็นรูปแบบที่กฎของโคไซน์เริ่มไม่ได้ แต่กฎของไซน์เริ่มได้ · ตัวเลขสามตัวเหมือนโจทย์โคไซน์ แต่วางต่างกัน กฎจึงต่างกัน และการวางนี่เองคือสิ่งเดียวที่ตัดสิน
Solve $\sin\theta = 0.8571$ for $0^\circ < \theta < 180^\circ$, giving both answers correct to 1 decimal place.
จงแก้สมการ $\sin\theta = 0.8571$ เมื่อ $0^\circ < \theta < 180^\circ$ ตอบทั้งสองค่าเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The calculator gives only $59.0^\circ$. The second answer is $180^\circ - 59.0^\circ = 121.0^\circ$, and inside a triangle it is often a legitimate answer — this is where the ambiguous case comes from.
In triangle $ABC$, $AB = 12$ cm, $BC = 9$ cm and angle $BAC = 40^\circ$. Show that $\sin(BCA) = 0.8571$ correct to 4 decimal places.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB = 12$ ซม. $BC = 9$ ซม. และมุม $BAC = 40^\circ$ จงแสดงว่า $\sin(BCA) = 0.8571$ (ทศนิยม 4 ตำแหน่ง)
Answershow ▾
$AB = 12$ is opposite angle $C$, and $BC = 9$ is opposite angle $A$ — pair each side with the angle facing it before writing anything down.
You have $\sin(BCA) = 0.8571$. Your calculator returns $59.0^\circ$ and stops there. How many angles between $0^\circ$ and $180^\circ$ have that sine, what is the second one, and why does the calculator only ever offer one?
ได้ $\sin(BCA) = 0.8571$ · เครื่องคิดเลขคืนค่า $59.0^\circ$ แล้วหยุด · มีมุมกี่มุมระหว่าง $0^\circ$ ถึง $180^\circ$ ที่มีไซน์เท่านี้ ตัวที่สองคืออะไร และทำไมเครื่องคิดเลขให้มาแค่ตัวเดียวเสมอ
Answershow ▾
$\sin^{-1}$ is a function and a function returns one number, so the second angle has to be supplied by you, not by the machine. Part (a) is asking for both, which is why it says "show that there are two possible triangles". The mark scheme lists both values; it never explains that the calculator withheld one.$\sin^{-1}$ เป็นฟังก์ชัน และฟังก์ชันคืนค่าเดียว มุมที่สองจึงต้องมาจากเรา ไม่ใช่จากเครื่อง · ข้อ (a) ขอทั้งสองค่า นั่นคือเหตุผลที่เขียนว่า "แสดงว่ามีสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้สองรูป" · มาร์คสกีมลิสต์ทั้งสองค่าไว้ แต่ไม่เคยอธิบายว่าเครื่องคิดเลขกั๊กไว้ตัวหนึ่ง
Given $\sin(BCA) = 0.8571$ and that $BCA$ is an angle of a triangle, write down the two possible sizes of angle $BCA$, each to 1 decimal place.
กำหนดให้ $\sin(BCA) = 0.8571$ และ $BCA$ เป็นมุมภายในสามเหลี่ยม จงเขียนค่าที่เป็นไปได้ทั้งสองของมุม $BCA$ ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same step as question 3, now with the exam numbers. An angle inside a triangle can be anywhere in $(0^\circ, 180^\circ)$, so the obtuse partner is not automatically ruled out.
In triangle $ABC$, angle $BAC = 40^\circ$. Find angle $ABC$ when (i) $BCA = 59.0^\circ$, and (ii) $BCA = 121.0^\circ$.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มีมุม $BAC = 40^\circ$ จงหามุม $ABC$ เมื่อ (i) $BCA = 59.0^\circ$ และ (ii) $BCA = 121.0^\circ$
Answershow ▾
Angles in a triangle add to $180^\circ$: $180^\circ - 40^\circ - 59.0^\circ = 81.0^\circ$ and $180^\circ - 40^\circ - 121.0^\circ = 19.0^\circ$. Both are positive, so both triangles really exist.
The perpendicular distance from $B$ to the line $AC$ is $12\sin 40^\circ = 7.71$ cm. Explain, using this value, why the data $AB = 12$ cm, $BC = 9$ cm, angle $BAC = 40^\circ$ gives two different triangles.
ระยะตั้งฉากจาก $B$ ไปยังเส้น $AC$ เท่ากับ $12\sin 40^\circ = 7.71$ ซม. จงใช้ค่านี้อธิบายว่าเหตุใดข้อมูล $AB = 12$ ซม. $BC = 9$ ซม. มุม $BAC = 40^\circ$ จึงให้สามเหลี่ยมได้สองรูป
Answershow ▾
Two sides and a non-included angle is the only data set that can be ambiguous. If $BC$ were longer than $AB$, or shorter than $7.71$, there would be exactly one triangle or none.
Two possible triangles is not automatic — the same three pieces of data sometimes give one triangle and sometimes none. Using $BC = 9$, $AB = 12$ and the perpendicular height $12\sin 40^\circ = 7.71$, state the test that decides between two, one and none.
การมีสามเหลี่ยมสองรูปไม่ใช่เรื่องอัตโนมัติ ข้อมูลสามชิ้นแบบเดียวกันบางครั้งได้รูปเดียว บางครั้งไม่ได้เลย · ใช้ $BC = 9$, $AB = 12$ และความสูงตั้งฉาก $12\sin 40^\circ = 7.71$ บอกเกณฑ์ที่ตัดสินระหว่าง สองรูป หนึ่งรูป และไม่มีเลย
Answershow ▾
The side $BC$ is an arc swung from $B$: too short and it never reaches the line, too long and it reaches only on one side. The height is the boundary. Nothing in the mark scheme runs this test — it simply prints two answers, in a question where they happen to exist.ด้าน $BC$ คือส่วนโค้งที่กวาดจากจุด $B$: สั้นเกินไปก็ไปไม่ถึงเส้น ยาวเกินไปก็แตะได้ข้างเดียว · ความสูงคือเส้นแบ่ง · มาร์คสกีมไม่เคยทดสอบข้อนี้ มันแค่พิมพ์คำตอบสองค่าไว้ ในข้อที่บังเอิญมีสองค่า
In triangle $ABC$, $BC = 9$ cm, angle $BAC = 40^\circ$ and angle $ABC = 81.0^\circ$. Find $AC$ correct to 3 significant figures.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $BC = 9$ ซม. มุม $BAC = 40^\circ$ และมุม $ABC = 81.0^\circ$ จงหา $AC$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
$\dfrac{AC}{\sin 81.0^\circ} = \dfrac{9}{\sin 40^\circ}$, so $AC = \dfrac{9\sin 81.0^\circ}{\sin 40^\circ} = 13.8$. $AC$ is opposite $B$, so it must be paired with $\sin B$.
In triangle $ABC$, $AB = 10$ cm, $BC = 8$ cm and angle $BAC = 30^\circ$. Find the two possible sizes of angle $BCA$ and the two corresponding lengths of $AC$.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB = 10$ ซม. $BC = 8$ ซม. และมุม $BAC = 30^\circ$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งสองของมุม $BCA$ และความยาว $AC$ ที่สอดคล้องกัน
Answershow ▾
$\sin(BCA) = \dfrac{10\sin 30^\circ}{8} = 0.625$ — the friendliest possible numbers, since $\sin 30^\circ = \tfrac12$ exactly, but the two-triangle structure is identical.
In triangle $ABC$, $AB = 12$ cm, $BC = 9$ cm and angle $BAC = 40^\circ$. (a) Show that there are two possible triangles and find the two possible sizes of angle $BCA$. (b) Find the two corresponding lengths of $AC$.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB = 12$ ซม. $BC = 9$ ซม. และมุม $BAC = 40^\circ$ (a) จงแสดงว่ามีสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้สองรูป และหาขนาดมุม $BCA$ ทั้งสองค่า (b) จงหาความยาว $AC$ ทั้งสองค่าที่สอดคล้องกัน
Answershow ▾
6 marks. Questions 4 and 5 are part (a); questions 6 and 8 are part (b), done twice. Losing the obtuse case costs half the marks on this question.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{\sin(BCA)}{12} = \dfrac{\sin 40^\circ}{9}$
M1 multiply both sides by $12$:
$\sin(BCA) = \dfrac{12\sin 40^\circ}{9}$
$\sin(BCA) = 0.8571$
A1 $BCA = 59.0^\circ$ (from $\sin^{-1}$)
A1 $BCA = 180^\circ - 59.0^\circ$
$BCA = 121.0^\circ$ (both accepted, since $12\sin 40^\circ = 7.71 < 9 < 12$).
(b) M1 third angle then sine rule, first case:
$ABC = 180^\circ - 40^\circ - 59.0^\circ$
$ABC = 81.0^\circ$
$AC = \dfrac{9\sin 81.0^\circ}{\sin 40^\circ}$
$AC = 13.8$ cm
A1 second case:
$ABC = 180^\circ - 40^\circ - 121.0^\circ$
$ABC = 19.0^\circ$
$AC = \dfrac{9\sin 19.0^\circ}{\sin 40^\circ}$
$AC = 4.55$ cm.
Triangle rules · bearings, distance and area in one question
A ship leaves port $A$ and sails on a bearing of $048^\circ$ for $15$ km to a point $B$. It then changes course and sails on a bearing of $125^\circ$ for $22$ km to a point $C$.
(a) Show that angle $ABC = 103^\circ$.
(b) Find the distance $AC$.
(c) Find the bearing of $C$ from $A$.
(d) Find the area of triangle $ABC$.
The bearing of $B$ from $A$ is $048^\circ$. Find the bearing of $A$ from $B$.
แบริ่งของ $B$ จาก $A$ คือ $048^\circ$ จงหาแบริ่งของ $A$ จาก $B$
Answershow ▾
A back bearing is the original plus $180^\circ$ (or minus $180^\circ$ if that would take you past $360^\circ$): $048^\circ + 180^\circ = 228^\circ$.
A bearing is measured from one fixed direction, in one fixed sense, and written to a fixed number of figures. Name all three conventions, write $48^\circ$ as a bearing should be written, and give the bearing of $A$ from $B$.
bearing วัดจากทิศตายตัวหนึ่ง หมุนไปทางเดียวตายตัว และเขียนด้วยจำนวนหลักที่ตายตัว · บอกทั้งสามอย่าง เขียน $48^\circ$ ให้ถูกแบบ bearing และบอก bearing ของ $A$ จาก $B$
Answershow ▾
Every one of the three is a convention nobody re-states in the question, and each one is worth no mark on its own. Writing $48^\circ$ instead of $048^\circ$ costs an accuracy mark on some boards, and measuring anticlockwise or from the east makes every later angle wrong while leaving the arithmetic perfect.ทั้งสามอย่างเป็นข้อตกลงที่ไม่มีใครเขียนซ้ำในโจทย์ และแต่ละอย่างไม่มีคะแนนของตัวเอง · เขียน $48^\circ$ แทน $048^\circ$ เสียคะแนนความแม่นยำในบางบอร์ด และถ้าวัดทวนเข็มหรือวัดจากทิศตะวันออก มุมทุกตัวหลังจากนั้นจะผิดหมดโดยที่การคำนวณถูกทุกบรรทัด
At the point $B$, the bearing of $A$ is $228^\circ$ and the bearing of $C$ is $125^\circ$. Find the size of angle $ABC$.
ที่จุด $B$ แบริ่งของ $A$ คือ $228^\circ$ และแบริ่งของ $C$ คือ $125^\circ$ จงหาขนาดของมุม $ABC$
Answershow ▾
Both bearings are measured clockwise from the same north line at $B$, so the angle between the two directions is simply their difference.
The angle $ABC$ inside the triangle is neither $048^\circ$ nor $125^\circ$. Draw the north line at $B$ and say which two bearings measured AT $B$ you subtract — and why the back bearing has to be found before the subtraction can happen.
มุม $ABC$ ในสามเหลี่ยมไม่ใช่ทั้ง $048^\circ$ และ $125^\circ$ · ลากเส้นทิศเหนือที่จุด $B$ แล้วบอกว่าต้องลบ bearing สองค่าไหนที่วัด "ที่จุด $B$" และทำไมต้องหา back bearing ก่อนจึงจะลบได้
Answershow ▾
A bearing belongs to the point it was taken from. $048^\circ$ is an angle at $A$ and cannot be subtracted from an angle at $B$; the back bearing is what moves it. Part (a) says "show that angle $ABC = 103^\circ$" and prints the answer, so the only marks are for this reasoning — which is also the only part of it nobody teaches.bearing เป็นของจุดที่วัดมันออกมา · $048^\circ$ เป็นมุมที่จุด $A$ จึงเอาไปลบกับมุมที่จุด $B$ ไม่ได้ · back bearing คือสิ่งที่ย้ายมันมา · ข้อ (a) บอกว่า "แสดงว่ามุม $ABC = 103^\circ$" และพิมพ์คำตอบไว้แล้ว คะแนนทั้งหมดจึงอยู่ที่การให้เหตุผลนี้ ซึ่งก็เป็นส่วนเดียวที่ไม่มีใครสอน
Evaluate $\cos 103^\circ$ correct to 4 decimal places, and state what the sign of this value does to the term $-2ab\cos C$ in the cosine rule.
จงหาค่า $\cos 103^\circ$ เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง และบอกว่าเครื่องหมายของค่านี้ทำให้พจน์ $-2ab\cos C$ ในกฎของโคไซน์เปลี่ยนไปอย่างไร
Answershow ▾
An obtuse angle opens the triangle out, so the side opposite it is longer than Pythagoras would give. The negative cosine is what builds that in automatically — never change the minus sign in the formula by hand.
In triangle $PQR$, $PQ = 6$ cm, $QR = 10$ cm and angle $PQR = 120^\circ$. Find the exact length of $PR$.
ในสามเหลี่ยม $PQR$ มี $PQ = 6$ ซม. $QR = 10$ ซม. และมุม $PQR = 120^\circ$ จงหาความยาว $PR$ แบบ exact
Answershow ▾
$PR^2 = 36 + 100 - 2(6)(10)\left(-\tfrac12\right) = 136 + 60 = 196$, so $PR = 14$. With $\cos 120^\circ = -\tfrac12$ the whole thing stays exact.
In triangle $ABC$, $AB = 15$ km, $BC = 22$ km and angle $ABC = 103^\circ$. Find $AC$ correct to 3 significant figures.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB = 15$ กม. $BC = 22$ กม. และมุม $ABC = 103^\circ$ จงหา $AC$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
$AC^2 = 15^2 + 22^2 - 2(15)(22)\cos 103^\circ = 709 + 148.5 = 857.5$, so $AC = 29.28$ km. The two given sides sandwich the $103^\circ$, so the cosine rule is the only tool that works here.
In triangle $ABC$, $BC = 22$ km, $AC = 29.28$ km and angle $ABC = 103^\circ$. Find angle $BAC$ correct to 1 decimal place.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $BC = 22$ กม. $AC = 29.28$ กม. และมุม $ABC = 103^\circ$ จงหามุม $BAC$ ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\dfrac{\sin(BAC)}{22} = \dfrac{\sin 103^\circ}{29.28}$, so $\sin(BAC) = 0.7320$ and $BAC = 47.1^\circ$. The obtuse partner $132.9^\circ$ is rejected: a triangle cannot hold two obtuse angles.
Part (c) asks for the bearing of $C$ from $A$, and you have angle $BAC = 47.1^\circ$. Is $047^\circ$ the answer? Which number does the $47.1^\circ$ have to be combined with, is it added or subtracted, and how is the result written?
ข้อ (c) ขอ bearing ของ $C$ จาก $A$ และเราได้มุม $BAC = 47.1^\circ$ · $047^\circ$ คือคำตอบไหม · ต้องเอา $47.1^\circ$ ไปรวมกับเลขตัวไหน บวกหรือลบ และเขียนผลออกมาอย่างไร
Answershow ▾
An interior angle of a triangle is measured from a side; a bearing is measured from north. They are different animals and the picture is the only thing that says whether to add or subtract. The A1 pays for $095.1^\circ$; nothing pays for knowing that $47.1^\circ$ was not it, and $047^\circ$ is the standard wrong answer.มุมภายในสามเหลี่ยมวัดจากด้าน ส่วน bearing วัดจากทิศเหนือ เป็นคนละอย่างกัน และมีแต่รูปเท่านั้นที่บอกได้ว่าจะบวกหรือลบ · A1 ให้กับ $095.1^\circ$ ไม่มีใครให้คะแนนกับการรู้ว่า $47.1^\circ$ ไม่ใช่คำตอบ และ $047^\circ$ คือคำตอบผิดมาตรฐาน
The bearing of $B$ from $A$ is $048^\circ$ and angle $BAC = 47.1^\circ$, with $C$ lying clockwise of $B$ as seen from $A$. Find the bearing of $C$ from $A$, correct to the nearest degree.
แบริ่งของ $B$ จาก $A$ คือ $048^\circ$ และมุม $BAC = 47.1^\circ$ โดย $C$ อยู่ทางตามเข็มนาฬิกาจาก $B$ เมื่อมองจาก $A$ จงหาแบริ่งของ $C$ จาก $A$ ตอบเป็นจำนวนเต็มองศา
Answershow ▾
An angle inside the triangle is never the answer to a bearing question on its own — it must be measured from north at $A$, so add it to the bearing already known.
Find the area of triangle $ABC$ in which $AB = 15$ km, $BC = 22$ km and angle $ABC = 103^\circ$. Give your answer correct to 3 significant figures.
จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ ที่มี $AB = 15$ กม. $BC = 22$ กม. และมุม $ABC = 103^\circ$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Area $= \tfrac12(15)(22)\sin 103^\circ = 165 \times 0.9744 = 160.8$. The formula needs two sides and the angle between them — exactly the data the cosine rule used.
A ship leaves $A$ on a bearing of $060^\circ$ and sails $8$ km to $B$, then sails on a bearing of $150^\circ$ for $6$ km to $C$. (a) Find angle $ABC$. (b) Find $AC$. (c) Find the bearing of $C$ from $A$. (d) Find the area of triangle $ABC$.
เรือออกจาก $A$ ด้วยแบริ่ง $060^\circ$ เป็นระยะ $8$ กม. ถึง $B$ จากนั้นแล่นด้วยแบริ่ง $150^\circ$ เป็นระยะ $6$ กม. ถึง $C$ (a) จงหามุม $ABC$ (b) จงหา $AC$ (c) จงหาแบริ่งของ $C$ จาก $A$ (d) จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$
Answershow ▾
$(060^\circ + 180^\circ) - 150^\circ = 90^\circ$, so the triangle is right-angled and $AC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. Then $\tan(BAC) = \tfrac68$ gives $36.9^\circ$ and the bearing $060^\circ + 36.9^\circ = 096.9^\circ$.
A ship leaves port $A$ and sails on a bearing of $048^\circ$ for $15$ km to $B$. It then sails on a bearing of $125^\circ$ for $22$ km to $C$. (a) Show that angle $ABC = 103^\circ$. (b) Find $AC$. (c) Find the bearing of $C$ from $A$. (d) Find the area of triangle $ABC$.
เรือออกจากท่า $A$ แล่นด้วยแบริ่ง $048^\circ$ เป็นระยะ $15$ กม. ถึง $B$ จากนั้นแล่นด้วยแบริ่ง $125^\circ$ เป็นระยะ $22$ กม. ถึง $C$ (a) จงแสดงว่ามุม $ABC = 103^\circ$ (b) จงหา $AC$ (c) จงหาแบริ่งของ $C$ จาก $A$ (d) จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$
Answershow ▾
7 marks. Questions 1 and 2 are part (a); question 5 is part (b); questions 6 and 7 are part (c); question 8 is part (d). Draw the north line at every point before you write a single equation.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$048^\circ + 180^\circ = 228^\circ$
B1 subtract the two bearings at $B$:
$ABC = 228^\circ - 125^\circ$
$ABC = 103^\circ$ ∎
(b) M1 cosine rule:
$AC^2 = 15^2 + 22^2 - 2(15)(22)\cos 103^\circ$
$AC^2 = 709 + 148.5$
$AC^2 = 857.5$
A1 square root both sides:
$AC = 29.3$ km (3 s.f.).
(c) M1 sine rule for the angle at $A$:
$\dfrac{\sin(BAC)}{22} = \dfrac{\sin 103^\circ}{29.28}$
$\sin(BAC) = 0.7320$
$BAC = 47.1^\circ$
A1 measure from north at $A$:
bearing $= 048^\circ + 47.1^\circ$
bearing $= 095^\circ$ (nearest degree).
(d) M1 area formula with the included angle:
Area $= \tfrac12(15)(22)\sin 103^\circ$
A1 Area $= 161$ km$^2$ (3 s.f.).