Algebra · practice ladders ชุดไต่ระดับ · พีชคณิต
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Algebra · modulus equations and inequalities
Solve the inequality $|4x - 2| \lt -3x + 5$, giving your answer as a set of values of $x$.
$|x + 4|$ is the distance from $x$ to $-4$ on the number line. Solve $|x + 4| = 4$ using this idea.
$|x + 4|$ คือระยะทางจาก $x$ ถึง $-4$ บนเส้นจำนวน จงแก้สมการ $|x + 4| = 4$ โดยใช้แนวคิดนี้
Answershow ▾
Being a distance of 4 from -4 means $x$ is $4$ to the right of $-4$, or $4$ to the left of it — modulus equations always split into a 'plus' case and a 'minus' case, and this is the picture behind why.
Solve $|2x + 1| = 9$ by splitting into two cases.
จงแก้สมการ $|2x + 1| = 9$ โดยแยกเป็นสองกรณี
Answershow ▾
$|{\rm expr}| = k$ always means expr $= k$ OR expr $= -k$. Solve each linear equation on its own — dropping one of the two cases is the single most common slip.
Solve $|x| \lt 5$ by squaring both sides.
จงแก้อสมการ $|x| \lt 5$ โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง
Answershow ▾
Since $5$ is a positive number, both sides are guaranteed non-negative, so squaring is completely safe here and gives back exactly the right solution set — no extra check is needed when the right-hand side is just a constant.
Question 4 squares $|4x - 2| \lt -3x + 5$. One of these first lines is the safe one. Which — and what is wrong with the other two?
(A) $4x - 2 \lt -3x + 5$ (B) $(4x - 2)^2 \lt (-3x + 5)^2$ (C) $(4x - 2)^2 \lt -3x + 5$
ข้อ 4 จะยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $|4x - 2| \lt -3x + 5$ · บรรทัดแรกข้อไหนปลอดภัย และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $4x - 2 \lt -3x + 5$ (B) $(4x - 2)^2 \lt (-3x + 5)^2$ (C) $(4x - 2)^2 \lt -3x + 5$
Answershow ▾
(A) throws the modulus away and keeps only one of its two cases, so half the answer disappears. (C) squares one side and not the other, which is not an operation at all. Squaring is what removes the modulus, and it has to happen to both sides at once. The M1 pays for a correct squared line however you arrived at it, so choosing the wrong first line costs every mark after it and none of its own.(A) ทิ้งเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ไปเลย เหลือแค่กรณีเดียวจากสองกรณี คำตอบจึงหายไปครึ่งหนึ่ง · (C) ยกกำลังสองข้างเดียว ซึ่งไม่ใช่การกระทำที่ถูกต้อง · การยกกำลังสองคือสิ่งที่กำจัดค่าสัมบูรณ์ และต้องทำพร้อมกันทั้งสองข้าง · M1 ให้กับบรรทัดที่ยกกำลังสองถูก ไม่ว่าจะคิดมาอย่างไร เลือกผิดจึงเสียคะแนนที่เหลือทั้งหมด และตัวมันเองไม่มีคะแนน
Square both sides of $|4x - 2| \lt -3x + 5$, then use $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ to write the result as a product of two linear factors less than zero.
Answershow ▾
Expanding $(ax+b)^2 - (cx+d)^2$ term by term works but is slow and easy to slip on; factoring it immediately as (LHS $-$ RHS)(LHS $+$ RHS) is the fast, safe route.
Find the values of $x$ for which $(7x - 7)(x + 3) = 0$.
Answershow ▾
These are the critical values — the boundaries of the answer, not the answer itself, exactly like solving any quadratic inequality.
You have $(7x - 7)(x + 3) \lt 0$, with critical values $1$ and $-3$. Sketch $y = (7x - 7)(x + 3)$: is the curve BELOW the axis between the two values or outside them? So which is the answer — $-3 \lt x \lt 1$, or $x \lt -3$ or $x \gt 1$?
ได้ $(7x - 7)(x + 3) \lt 0$ โดยมีค่าวิกฤต $1$ กับ $-3$ · ลองร่าง $y = (7x - 7)(x + 3)$: เส้นโค้งอยู่ใต้แกนตรงช่วง "ระหว่าง" หรือ "นอก" สองค่านั้น · แล้วคำตอบคือ $-3 \lt x \lt 1$ หรือ $x \lt -3$ หรือ $x \gt 1$
Answershow ▾
The coefficient of $x^2$ is $7$, which is positive, so the parabola is $\cup$-shaped: negative in the middle, positive at both ends. $\lt 0$ is therefore the single middle piece. The A1 pays for the final line; nobody pays for knowing which side of the critical values to take, and the wrong side is the commonest wrong answer in this topic.สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ คือ $7$ ซึ่งเป็นบวก พาราโบลาจึงหงาย เป็นลบตรงกลางและเป็นบวกที่ปลายทั้งสองข้าง · ดังนั้น $\lt 0$ คือช่วงกลางช่วงเดียว · A1 ให้กับบรรทัดสุดท้าย ไม่มีใครให้คะแนนกับการรู้ว่าเอาด้านไหน และเลือกผิดด้านคือคำตอบผิดที่พบบ่อยที่สุดของหัวข้อนี้
$(7x - 7)(x + 3)$ has a positive coefficient of $x^2$, so it is negative only BETWEEN its two roots. Using the critical values from question 5, write down the candidate solution set.
Answershow ▾
A positive $x^2$ coefficient means a 'happy' parabola, below the axis only between its roots. This candidate answer still needs checking against the ORIGINAL modulus inequality, not just the squared one.
Test $x = -1$, a value inside the candidate interval $-3 \lt x \lt 1$, in the ORIGINAL inequality $|4x - 2| \lt -3x + 5$ to confirm it is correct.
จงทดสอบ $x = -1$ ซึ่งอยู่ในช่วงคำตอบที่คาดไว้ $-3 \lt x \lt 1$ ในอสมการเดิม $|4x - 2| \lt -3x + 5$ เพื่อยืนยันว่าถูกต้อง
Answershow ▾
Squaring is only 'safe' if you check afterwards: substituting a value from your candidate interval back into the ORIGINAL modulus inequality — never the squared version — confirms you have the right region and that the right-hand side is genuinely positive there. Skipping this is the step students lose the mark on.
Squaring hid a condition. Write down the inequality the RIGHT-hand side $-3x + 5$ has to satisfy for the squared line to mean the same thing as the original, solve it, and say whether the candidate interval $-3 \lt x \lt 1$ lies inside it.
การยกกำลังสองซ่อนเงื่อนไขไว้หนึ่งข้อ · เขียนอสมการที่ฝั่งขวา $-3x + 5$ ต้องเป็นจริง เพื่อให้บรรทัดที่ยกกำลังสองแล้วมีความหมายเท่าเดิม แล้วแก้ออกมา และบอกว่าช่วงคำตอบ $-3 \lt x \lt 1$ อยู่ในเงื่อนไขนั้นหรือไม่
Answershow ▾
A modulus is a distance and can never be negative, so $|4x - 2| \lt -3x + 5$ already forces $-3x + 5$ to be positive. Squaring loses that, which is why question 7 substitutes a value back into the ORIGINAL inequality. Here $\dfrac{5}{3} \gt 1$, so nothing is lost. Had the interval spilled past $\dfrac{5}{3}$ the part beyond it would have had to be cut, and no mark would have warned you.ค่าสัมบูรณ์คือระยะทาง จึงติดลบไม่ได้ ดังนั้น $|4x - 2| \lt -3x + 5$ บังคับให้ $-3x + 5$ เป็นบวกอยู่แล้ว · การยกกำลังสองทำให้เงื่อนไขนี้หายไป จึงต้องแทนค่ากลับเข้าอสมการเดิมอย่างที่ข้อ 7 ทำ · ที่นี่ $\dfrac{5}{3} \gt 1$ จึงไม่เสียอะไร · ถ้าช่วงคำตอบเลย $\dfrac{5}{3}$ ออกไป ส่วนที่เลยต้องถูกตัดทิ้ง และไม่มีคะแนนไหนเตือนเลย
Put every step together: solve $|4x - 2| \lt -3x + 5$ from scratch — squaring, critical values, and the check — to find the full set of values of $x$.
Answershow ▾
Questions 4 through 7 chained: square and factorise as a difference of two squares, find the critical values, read off the candidate interval, then check it against the original — every step of the exam question in order.
Solve $|2x - 1| \lt -x + 2$.
จงแก้อสมการ $|2x - 1| \lt -x + 2$
Answershow ▾
The exact same method as the exam question — square, factorise as a difference of two squares, find the critical values, then check — just with smaller numbers throughout.
Solve the inequality $|4x - 2| \lt -3x + 5$, giving your answer as a set of values of $x$.
Answershow ▾
6 marks. Question 4 is the squaring step; question 5 the critical values; question 6 the candidate interval; question 7 is the check that turns the candidate into the confirmed final answer.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
M1 solve $(7x - 7)(x + 3) = 0$ for the critical values A1 $x = 1$ and $x = -3$.
M1 test a value between the critical values in the ORIGINAL inequality, confirming which region works and that $-3x + 5 \gt 0$ there A1 $-3 \lt x \lt 1$.
Algebra · partial fractions
Express $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$.
$\dfrac{x + 4}{(x - 2)(x - 1)^2} \equiv \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 1} + \dfrac{C}{(x - 1)^2}$. Multiply both sides by $(x - 2)(x - 1)^2$ to clear every fraction.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{x + 4}{(x - 2)(x - 1)^2} \equiv \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 1} + \dfrac{C}{(x - 1)^2}$ ด้วย $(x - 2)(x - 1)^2$ เพื่อกำจัดตัวส่วนทั้งหมด
Answershow ▾
This identity holds for EVERY value of x — that is exactly what makes it valid to pick convenient values of x (like the roots of each factor) to find A, B and C one at a time, instead of solving three equations simultaneously.
Before any letter can be found, the SHAPE has to be right. For $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$, which of these is the correct form — and what is wrong with the other two?
(A) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{(x + 1)^2}$ (B) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$ (C) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{Bx + C}{(x + 1)^2}$
ก่อนจะหาค่าตัวอักษรใดได้ "รูปแบบ" ต้องถูกก่อน · สำหรับ $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$ ข้อไหนคือรูปที่ถูก และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{(x + 1)^2}$ (B) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$ (C) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{Bx + C}{(x + 1)^2}$
Answershow ▾
A repeated linear factor $(x + 1)^2$ needs BOTH of its powers, $\dfrac{B}{x + 1}$ and $\dfrac{C}{(x + 1)^2}$, or the identity cannot be made to hold for every $x$. (A) drops the first power and has too few unknowns to match a numerator of degree $1$. (C) uses the $\dfrac{Bx + C}{\text{quadratic}}$ shape, which belongs to an IRREDUCIBLE quadratic such as $x^2 + 1$, never to a repeated linear factor. The exam question writes the correct form out for you; another one will not, and no mark is given for choosing it.ตัวประกอบเชิงเส้นซ้ำ $(x + 1)^2$ ต้องมีทั้งสองกำลัง คือ $\dfrac{B}{x + 1}$ และ $\dfrac{C}{(x + 1)^2}$ ไม่อย่างนั้นเอกลักษณ์จะเป็นจริงทุกค่า $x$ ไม่ได้ · (A) ตัดกำลังหนึ่งทิ้ง เหลือตัวไม่รู้ค่าน้อยเกินกว่าจะจับคู่กับเศษที่มีดีกรี $1$ · (C) ใช้รูป $\dfrac{Bx + C}{\text{quadratic}}$ ซึ่งเป็นของตัวประกอบกำลังสองที่แยกไม่ได้ เช่น $x^2 + 1$ ไม่ใช่ของตัวประกอบเชิงเส้นซ้ำ · ข้อสอบข้อนี้เขียนรูปให้แล้ว แต่ข้ออื่นจะไม่เขียนให้ และไม่มีคะแนนให้กับการเลือกรูป
In the identity from question 1, find $A$ by covering up the $(x - 2)$ factor in the original fraction and substituting $x = 2$ into what's left.
Answershow ▾
Covering up $(x-a)$ and substituting $x=a$ works because every OTHER term in the identity contains a factor of $(x-a)$ and so vanishes — leaving $A$ on its own.
Now find $C$ by covering up the $(x - 1)^2$ factor and substituting $x = 1$ into what's left.
จงหาค่า $C$ โดยปิด $(x - 1)^2$ แล้วแทน $x = 1$ ในส่วนที่เหลือ
Answershow ▾
The same trick works on $(x-b)^2$ — but ONLY for $C$, the coefficient of the highest power $1/(x-b)^2$. Cover-up cannot reach $B$ this way, because covering $(x-b)^2$ does not make the $B$-term's remaining $(x-b)$ factor vanish at $x=b$.
Cover-up is fast but it cannot reach every letter. Of $A$, $B$ and $C$ in $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2} \equiv \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$, name the ones cover-up gives you straight away and the one it cannot, and say why.
วิธีปิดตัวประกอบ (cover-up) เร็วก็จริง แต่ไปไม่ถึงทุกตัว · จาก $A$, $B$, $C$ ใน $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2} \equiv \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$ บอกว่าตัวไหนหาได้ทันทีด้วย cover-up ตัวไหนหาไม่ได้ และเพราะอะไร
Answershow ▾
Cover-up works by choosing an $x$ that makes every other term vanish. At $x = -2$ only the $A$ term survives; at $x = -1$ only the $C$ term survives, because the $B$ term still carries a factor $(x + 1)$. No value of $x$ leaves $B$ alone, so $B$ always needs a second, separate equation. Knowing which letter you can and cannot reach is what stops a student hunting for a shortcut that does not exist, and no mark is attached to it.cover-up ทำงานโดยเลือกค่า $x$ ที่ทำให้พจน์อื่นหายหมด · ที่ $x = -2$ เหลือแต่พจน์ $A$ · ที่ $x = -1$ เหลือแต่พจน์ $C$ เพราะพจน์ $B$ ยังมีตัวประกอบ $(x + 1)$ ติดอยู่ · ไม่มีค่า $x$ ใดที่ทำให้เหลือแต่ $B$ ตัวเดียว $B$ จึงต้องใช้สมการที่สองแยกต่างหากเสมอ · การรู้ว่าตัวไหนไปถึงได้ ตัวไหนไปไม่ถึง คือสิ่งที่กันไม่ให้เสียเวลาหาทางลัดที่ไม่มีอยู่จริง และไม่มีคะแนนให้
$\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2} \equiv \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$. Multiply through to clear the fractions.
Answershow ▾
This is the hidden first step of the exam question — every value of A, B and C found later comes from this one identity.
Using the identity from question 4, use the cover-up rule to find $A$ and $C$.
Answershow ▾
Cover $(x + 2)$ and put $x = -2$ for $A$; cover $(x + 1)^2$ and put $x = -1$ for $C$ — the same two moves as questions 2 and 3, now with the real numbers.
Using $A = -14$ and $C = -10$ in the identity $4x - 6 \equiv A(x + 1)^2 + B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2)$, substitute $x = 0$ and solve for $B$.
Answershow ▾
$x=0$ is just a convenient choice — since the identity holds for every $x$, substituting any value you like (other than a root already used for cover-up) turns it into one equation in the one remaining unknown, $B$.
To find $B$ you substitute one more value of $x$ into $4x - 6 \equiv A(x + 1)^2 + B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2)$. Of $x = -2$, $x = -1$ and $x = 0$, which two are useless here, and why? Name a second value that would work just as well as the one that does.
การหา $B$ ต้องแทนค่า $x$ เพิ่มอีกหนึ่งค่าลงใน $4x - 6 \equiv A(x + 1)^2 + B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2)$ · จาก $x = -2$, $x = -1$ และ $x = 0$ มีสองค่าที่ใช้ไม่ได้ ค่าไหนบ้าง และเพราะอะไร · แล้วบอกอีกหนึ่งค่าที่ใช้แทนค่าที่ใช้ได้นั้นก็ได้ผลเหมือนกัน
Answershow ▾
Both $-2$ and $-1$ are roots of the factor multiplying $B$, so each of them multiplies $B$ by zero and tells you nothing new about it. Any other value of $x$ turns the identity into one equation in the one remaining unknown. Choosing a value that keeps the arithmetic small is worth no mark at all, but choosing one of the two dead values wastes a line and, worse, can look like a contradiction.ทั้ง $-2$ และ $-1$ เป็นรากของตัวประกอบที่คูณอยู่กับ $B$ การแทนค่าทั้งสองจึงคูณ $B$ ด้วยศูนย์ และไม่บอกอะไรใหม่เกี่ยวกับ $B$ เลย · ค่า $x$ อื่นค่าใดก็ได้จะเปลี่ยนเอกลักษณ์เป็นสมการเดียวที่มีตัวไม่รู้ค่าเหลือตัวเดียว · การเลือกค่าที่ทำให้เลขเล็กไม่มีคะแนนให้ แต่ถ้าเผลอเลือกสองค่าที่ใช้ไม่ได้ จะเสียบรรทัดเปล่า และแย่กว่านั้นคืออาจดูเหมือนขัดแย้งกันเอง
Using $A = -14$, $B = 14$, $C = -10$, write down the complete partial fraction decomposition of $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 chained: cover-up gives A and C directly, then substituting x=0 gives B — put all three into the $\dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{x-b} + \dfrac{C}{(x-b)^{2}}$ pattern.
Check the decomposition $-\dfrac{14}{x + 2} + \dfrac{14}{x + 1} - \dfrac{10}{(x + 1)^2}$ by combining the three fractions back into a single fraction, and confirm it equals $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$.
จงตรวจสอบคำตอบโดยรวมเศษส่วนย่อยทั้งสามกลับเป็นเศษส่วนเดียว แล้วยืนยันว่าเท่ากับ $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$
Answershow ▾
Recombining is the standard check: put the three fractions over the common denominator and multiply out the numerator — it must reduce back to the original numerator. Worth doing every time, since a single arithmetic slip in A, B or C is otherwise invisible.
Express $\dfrac{3x - 2}{(x - 1)(x - 2)^2}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{3x - 2}{(x - 1)(x - 2)^2}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
The exact same three moves as the exam question — cover-up for A, cover-up for C, then substitute x=0 for B — with smaller numbers throughout.
Express $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is forming the identity; question 5 finds A and C by cover-up; question 6 finds B by substitution; question 7 assembles the final answer.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
M1 cover-up: let $x = -2$ for $A$, and $x = -1$ for $C$ A1 $A = -14$ A1 $C = -10$.
M1 substitute $x = 0$ (using the values of $A$ and $C$) into the identity and solve A1 $B = 14$.