Algebra · practice ladders ชุดไต่ระดับ · พีชคณิต
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Algebra · modulus equations and inequalities
Solve the inequality $|4x - 2| \lt -3x + 5$, giving your answer as a set of values of $x$.
$|x + 4|$ is the distance from $x$ to $-4$ on the number line. Solve $|x + 4| = 4$ using this idea.
$|x + 4|$ คือระยะทางจาก $x$ ถึง $-4$ บนเส้นจำนวน จงแก้สมการ $|x + 4| = 4$ โดยใช้แนวคิดนี้
Answershow ▾
Being a distance of 4 from -4 means $x$ is $4$ to the right of $-4$, or $4$ to the left of it — modulus equations always split into a 'plus' case and a 'minus' case, and this is the picture behind why.
Solve $|2x + 1| = 9$ by splitting into two cases.
จงแก้สมการ $|2x + 1| = 9$ โดยแยกเป็นสองกรณี
Answershow ▾
$|{\rm expr}| = k$ always means expr $= k$ OR expr $= -k$. Solve each linear equation on its own — dropping one of the two cases is the single most common slip.
Solve $|x| \lt 5$ by squaring both sides.
จงแก้อสมการ $|x| \lt 5$ โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง
Answershow ▾
Since $5$ is a positive number, both sides are guaranteed non-negative, so squaring is completely safe here and gives back exactly the right solution set — no extra check is needed when the right-hand side is just a constant.
Question 4 squares $|4x - 2| \lt -3x + 5$. One of these first lines is the safe one. Which — and what is wrong with the other two?
(A) $4x - 2 \lt -3x + 5$ (B) $(4x - 2)^2 \lt (-3x + 5)^2$ (C) $(4x - 2)^2 \lt -3x + 5$
ข้อ 4 จะยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $|4x - 2| \lt -3x + 5$ · บรรทัดแรกข้อไหนปลอดภัย และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $4x - 2 \lt -3x + 5$ (B) $(4x - 2)^2 \lt (-3x + 5)^2$ (C) $(4x - 2)^2 \lt -3x + 5$
Answershow ▾
(A) throws the modulus away and keeps only one of its two cases, so half the answer disappears. (C) squares one side and not the other, which is not an operation at all. Squaring is what removes the modulus, and it has to happen to both sides at once. The M1 pays for a correct squared line however you arrived at it, so choosing the wrong first line costs every mark after it and none of its own.(A) ทิ้งเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ไปเลย เหลือแค่กรณีเดียวจากสองกรณี คำตอบจึงหายไปครึ่งหนึ่ง · (C) ยกกำลังสองข้างเดียว ซึ่งไม่ใช่การกระทำที่ถูกต้อง · การยกกำลังสองคือสิ่งที่กำจัดค่าสัมบูรณ์ และต้องทำพร้อมกันทั้งสองข้าง · M1 ให้กับบรรทัดที่ยกกำลังสองถูก ไม่ว่าจะคิดมาอย่างไร เลือกผิดจึงเสียคะแนนที่เหลือทั้งหมด และตัวมันเองไม่มีคะแนน
Square both sides of $|4x - 2| \lt -3x + 5$, then use $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ to write the result as a product of two linear factors less than zero.
Answershow ▾
Expanding $(ax+b)^2 - (cx+d)^2$ term by term works but is slow and easy to slip on; factoring it immediately as (LHS $-$ RHS)(LHS $+$ RHS) is the fast, safe route.
Find the values of $x$ for which $(7x - 7)(x + 3) = 0$.
Answershow ▾
These are the critical values — the boundaries of the answer, not the answer itself, exactly like solving any quadratic inequality.
You have $(7x - 7)(x + 3) \lt 0$, with critical values $1$ and $-3$. Sketch $y = (7x - 7)(x + 3)$: is the curve BELOW the axis between the two values or outside them? So which is the answer — $-3 \lt x \lt 1$, or $x \lt -3$ or $x \gt 1$?
ได้ $(7x - 7)(x + 3) \lt 0$ โดยมีค่าวิกฤต $1$ กับ $-3$ · ลองร่าง $y = (7x - 7)(x + 3)$: เส้นโค้งอยู่ใต้แกนตรงช่วง "ระหว่าง" หรือ "นอก" สองค่านั้น · แล้วคำตอบคือ $-3 \lt x \lt 1$ หรือ $x \lt -3$ หรือ $x \gt 1$
Answershow ▾
The coefficient of $x^2$ is $7$, which is positive, so the parabola is $\cup$-shaped: negative in the middle, positive at both ends. $\lt 0$ is therefore the single middle piece. The A1 pays for the final line; nobody pays for knowing which side of the critical values to take, and the wrong side is the commonest wrong answer in this topic.สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ คือ $7$ ซึ่งเป็นบวก พาราโบลาจึงหงาย เป็นลบตรงกลางและเป็นบวกที่ปลายทั้งสองข้าง · ดังนั้น $\lt 0$ คือช่วงกลางช่วงเดียว · A1 ให้กับบรรทัดสุดท้าย ไม่มีใครให้คะแนนกับการรู้ว่าเอาด้านไหน และเลือกผิดด้านคือคำตอบผิดที่พบบ่อยที่สุดของหัวข้อนี้
$(7x - 7)(x + 3)$ has a positive coefficient of $x^2$, so it is negative only BETWEEN its two roots. Using the critical values from question 5, write down the candidate solution set.
Answershow ▾
A positive $x^2$ coefficient means a 'happy' parabola, below the axis only between its roots. This candidate answer still needs checking against the ORIGINAL modulus inequality, not just the squared one.
Test $x = -1$, a value inside the candidate interval $-3 \lt x \lt 1$, in the ORIGINAL inequality $|4x - 2| \lt -3x + 5$ to confirm it is correct.
จงทดสอบ $x = -1$ ซึ่งอยู่ในช่วงคำตอบที่คาดไว้ $-3 \lt x \lt 1$ ในอสมการเดิม $|4x - 2| \lt -3x + 5$ เพื่อยืนยันว่าถูกต้อง
Answershow ▾
Squaring is only 'safe' if you check afterwards: substituting a value from your candidate interval back into the ORIGINAL modulus inequality — never the squared version — confirms you have the right region and that the right-hand side is genuinely positive there. Skipping this is the step students lose the mark on.
Squaring hid a condition. Write down the inequality the RIGHT-hand side $-3x + 5$ has to satisfy for the squared line to mean the same thing as the original, solve it, and say whether the candidate interval $-3 \lt x \lt 1$ lies inside it.
การยกกำลังสองซ่อนเงื่อนไขไว้หนึ่งข้อ · เขียนอสมการที่ฝั่งขวา $-3x + 5$ ต้องเป็นจริง เพื่อให้บรรทัดที่ยกกำลังสองแล้วมีความหมายเท่าเดิม แล้วแก้ออกมา และบอกว่าช่วงคำตอบ $-3 \lt x \lt 1$ อยู่ในเงื่อนไขนั้นหรือไม่
Answershow ▾
A modulus is a distance and can never be negative, so $|4x - 2| \lt -3x + 5$ already forces $-3x + 5$ to be positive. Squaring loses that, which is why question 7 substitutes a value back into the ORIGINAL inequality. Here $\dfrac{5}{3} \gt 1$, so nothing is lost. Had the interval spilled past $\dfrac{5}{3}$ the part beyond it would have had to be cut, and no mark would have warned you.ค่าสัมบูรณ์คือระยะทาง จึงติดลบไม่ได้ ดังนั้น $|4x - 2| \lt -3x + 5$ บังคับให้ $-3x + 5$ เป็นบวกอยู่แล้ว · การยกกำลังสองทำให้เงื่อนไขนี้หายไป จึงต้องแทนค่ากลับเข้าอสมการเดิมอย่างที่ข้อ 7 ทำ · ที่นี่ $\dfrac{5}{3} \gt 1$ จึงไม่เสียอะไร · ถ้าช่วงคำตอบเลย $\dfrac{5}{3}$ ออกไป ส่วนที่เลยต้องถูกตัดทิ้ง และไม่มีคะแนนไหนเตือนเลย
Put every step together: solve $|4x - 2| \lt -3x + 5$ from scratch — squaring, critical values, and the check — to find the full set of values of $x$.
Answershow ▾
Questions 4 through 7 chained: square and factorise as a difference of two squares, find the critical values, read off the candidate interval, then check it against the original — every step of the exam question in order.
Solve $|2x - 1| \lt -x + 2$.
จงแก้อสมการ $|2x - 1| \lt -x + 2$
Answershow ▾
The exact same method as the exam question — square, factorise as a difference of two squares, find the critical values, then check — just with smaller numbers throughout.
Solve the inequality $|4x - 2| \lt -3x + 5$, giving your answer as a set of values of $x$.
Answershow ▾
6 marks. Question 4 is the squaring step; question 5 the critical values; question 6 the candidate interval; question 7 is the check that turns the candidate into the confirmed final answer.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Algebra · partial fractions
Express $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$.
$\dfrac{x + 4}{(x - 2)(x - 1)^2} \equiv \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 1}$ $+\, \dfrac{C}{(x - 1)^2}$. Multiply both sides by $(x - 2)(x - 1)^2$ to clear every fraction.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{x + 4}{(x - 2)(x - 1)^2} \equiv \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 1}$ $+\, \dfrac{C}{(x - 1)^2}$ ด้วย $(x - 2)(x - 1)^2$ เพื่อกำจัดตัวส่วนทั้งหมด
Answershow ▾
This identity holds for EVERY value of x — that is exactly what makes it valid to pick convenient values of x (like the roots of each factor) to find A, B and C one at a time, instead of solving three equations simultaneously.
Before any letter can be found, the SHAPE has to be right. For $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$, which of these is the correct form — and what is wrong with the other two?
(A) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{(x + 1)^2}$ (B) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$ (C) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{Bx + C}{(x + 1)^2}$
ก่อนจะหาค่าตัวอักษรใดได้ "รูปแบบ" ต้องถูกก่อน · สำหรับ $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$ ข้อไหนคือรูปที่ถูก และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{(x + 1)^2}$ (B) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$ (C) $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{Bx + C}{(x + 1)^2}$
Answershow ▾
A repeated linear factor $(x + 1)^2$ needs BOTH of its powers, $\dfrac{B}{x + 1}$ and $\dfrac{C}{(x + 1)^2}$, or the identity cannot be made to hold for every $x$. (A) drops the first power and has too few unknowns to match a numerator of degree $1$. (C) uses the $\dfrac{Bx + C}{\text{quadratic}}$ shape, which belongs to an IRREDUCIBLE quadratic such as $x^2 + 1$, never to a repeated linear factor. The exam question writes the correct form out for you; another one will not, and no mark is given for choosing it.ตัวประกอบเชิงเส้นซ้ำ $(x + 1)^2$ ต้องมีทั้งสองกำลัง คือ $\dfrac{B}{x + 1}$ และ $\dfrac{C}{(x + 1)^2}$ ไม่อย่างนั้นเอกลักษณ์จะเป็นจริงทุกค่า $x$ ไม่ได้ · (A) ตัดกำลังหนึ่งทิ้ง เหลือตัวไม่รู้ค่าน้อยเกินกว่าจะจับคู่กับเศษที่มีดีกรี $1$ · (C) ใช้รูป $\dfrac{Bx + C}{\text{quadratic}}$ ซึ่งเป็นของตัวประกอบกำลังสองที่แยกไม่ได้ เช่น $x^2 + 1$ ไม่ใช่ของตัวประกอบเชิงเส้นซ้ำ · ข้อสอบข้อนี้เขียนรูปให้แล้ว แต่ข้ออื่นจะไม่เขียนให้ และไม่มีคะแนนให้กับการเลือกรูป
In the identity from question 1, find $A$ by covering up the $(x - 2)$ factor in the original fraction and substituting $x = 2$ into what's left.
Answershow ▾
Covering up $(x-a)$ and substituting $x=a$ works because every OTHER term in the identity contains a factor of $(x-a)$ and so vanishes — leaving $A$ on its own.
Now find $C$ by covering up the $(x - 1)^2$ factor and substituting $x = 1$ into what's left.
จงหาค่า $C$ โดยปิด $(x - 1)^2$ แล้วแทน $x = 1$ ในส่วนที่เหลือ
Answershow ▾
The same trick works on $(x-b)^2$ — but ONLY for $C$, the coefficient of the highest power $1/(x-b)^2$. Cover-up cannot reach $B$ this way, because covering $(x-b)^2$ does not make the $B$-term's remaining $(x-b)$ factor vanish at $x=b$.
Cover-up is fast but it cannot reach every letter. Of $A$, $B$ and $C$ in $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2} \equiv \dfrac{A}{x + 2}$ $+ \dfrac{B}{x + 1}$ $+\, \dfrac{C}{(x + 1)^2}$, name the ones cover-up gives you straight away and the one it cannot, and say why.
วิธีปิดตัวประกอบ (cover-up) เร็วก็จริง แต่ไปไม่ถึงทุกตัว · จาก $A$, $B$, $C$ ใน $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2} \equiv \dfrac{A}{x + 2}$ $+ \dfrac{B}{x + 1}$ $+\, \dfrac{C}{(x + 1)^2}$ บอกว่าตัวไหนหาได้ทันทีด้วย cover-up ตัวไหนหาไม่ได้ และเพราะอะไร
Answershow ▾
Cover-up works by choosing an $x$ that makes every other term vanish. At $x = -2$ only the $A$ term survives; at $x = -1$ only the $C$ term survives, because the $B$ term still carries a factor $(x + 1)$. No value of $x$ leaves $B$ alone, so $B$ always needs a second, separate equation. Knowing which letter you can and cannot reach is what stops a student hunting for a shortcut that does not exist, and no mark is attached to it.cover-up ทำงานโดยเลือกค่า $x$ ที่ทำให้พจน์อื่นหายหมด · ที่ $x = -2$ เหลือแต่พจน์ $A$ · ที่ $x = -1$ เหลือแต่พจน์ $C$ เพราะพจน์ $B$ ยังมีตัวประกอบ $(x + 1)$ ติดอยู่ · ไม่มีค่า $x$ ใดที่ทำให้เหลือแต่ $B$ ตัวเดียว $B$ จึงต้องใช้สมการที่สองแยกต่างหากเสมอ · การรู้ว่าตัวไหนไปถึงได้ ตัวไหนไปไม่ถึง คือสิ่งที่กันไม่ให้เสียเวลาหาทางลัดที่ไม่มีอยู่จริง และไม่มีคะแนนให้
$\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2} \equiv \dfrac{A}{x + 2}$ $+ \dfrac{B}{x + 1}$ $+\, \dfrac{C}{(x + 1)^2}$. Multiply through to clear the fractions.
Answershow ▾
This is the hidden first step of the exam question — every value of A, B and C found later comes from this one identity.
Using the identity from question 4, use the cover-up rule to find $A$ and $C$.
Answershow ▾
Cover $(x + 2)$ and put $x = -2$ for $A$; cover $(x + 1)^2$ and put $x = -1$ for $C$ — the same two moves as questions 2 and 3, now with the real numbers.
Using $A = -14$ and $C = -10$ in the identity $4x - 6 \equiv A(x + 1)^2$ $+\, B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2)$, substitute $x = 0$ and solve for $B$.
Answershow ▾
$x=0$ is just a convenient choice — since the identity holds for every $x$, substituting any value you like (other than a root already used for cover-up) turns it into one equation in the one remaining unknown, $B$.
To find $B$ you substitute one more value of $x$ into $4x - 6 \equiv A(x + 1)^2$ $+\, B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2)$. Of $x = -2$, $x = -1$ and $x = 0$, which two are useless here, and why? Name a second value that would work just as well as the one that does.
การหา $B$ ต้องแทนค่า $x$ เพิ่มอีกหนึ่งค่าลงใน $4x - 6 \equiv A(x + 1)^2$ $+\, B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2)$ · จาก $x = -2$, $x = -1$ และ $x = 0$ มีสองค่าที่ใช้ไม่ได้ ค่าไหนบ้าง และเพราะอะไร · แล้วบอกอีกหนึ่งค่าที่ใช้แทนค่าที่ใช้ได้นั้นก็ได้ผลเหมือนกัน
Answershow ▾
Both $-2$ and $-1$ are roots of the factor multiplying $B$, so each of them multiplies $B$ by zero and tells you nothing new about it. Any other value of $x$ turns the identity into one equation in the one remaining unknown. Choosing a value that keeps the arithmetic small is worth no mark at all, but choosing one of the two dead values wastes a line and, worse, can look like a contradiction.ทั้ง $-2$ และ $-1$ เป็นรากของตัวประกอบที่คูณอยู่กับ $B$ การแทนค่าทั้งสองจึงคูณ $B$ ด้วยศูนย์ และไม่บอกอะไรใหม่เกี่ยวกับ $B$ เลย · ค่า $x$ อื่นค่าใดก็ได้จะเปลี่ยนเอกลักษณ์เป็นสมการเดียวที่มีตัวไม่รู้ค่าเหลือตัวเดียว · การเลือกค่าที่ทำให้เลขเล็กไม่มีคะแนนให้ แต่ถ้าเผลอเลือกสองค่าที่ใช้ไม่ได้ จะเสียบรรทัดเปล่า และแย่กว่านั้นคืออาจดูเหมือนขัดแย้งกันเอง
Using $A = -14$, $B = 14$, $C = -10$, write down the complete partial fraction decomposition of $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 chained: cover-up gives A and C directly, then substituting x=0 gives B — put all three into the $\dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{x-b} + \dfrac{C}{(x-b)^{2}}$ pattern.
Check the decomposition $-\dfrac{14}{x + 2} + \dfrac{14}{x + 1} - \dfrac{10}{(x + 1)^2}$ by combining the three fractions back into a single fraction, and confirm it equals $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$.
จงตรวจสอบคำตอบโดยรวมเศษส่วนย่อยทั้งสามกลับเป็นเศษส่วนเดียว แล้วยืนยันว่าเท่ากับ $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$
Answershow ▾
Recombining is the standard check: put the three fractions over the common denominator and multiply out the numerator — it must reduce back to the original numerator. Worth doing every time, since a single arithmetic slip in A, B or C is otherwise invisible.
Express $\dfrac{3x - 2}{(x - 1)(x - 2)^2}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{3x - 2}{(x - 1)(x - 2)^2}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
The exact same three moves as the exam question — cover-up for A, cover-up for C, then substitute x=0 for B — with smaller numbers throughout.
Express $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2}$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is forming the identity; question 5 finds A and C by cover-up; question 6 finds B by substitution; question 7 assembles the final answer.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Long division by a quadratic การหารยาวด้วยตัวหารกำลังสอง
Find the quotient and remainder when $x^{4}$ is divided by $x^{2}+2x-1$.
จงหาผลหาร (quotient) และเศษเหลือ (remainder) เมื่อหาร $x^{4}$ ด้วย $x^{2}+2x-1$
Divide the leading term $x^{4}$ by the leading term of $x^{2}+2x-1$, which is $x^{2}$.
จงหารพจน์นำ $x^{4}$ ด้วยพจน์นำของ $x^{2}+2x-1$ ซึ่งคือ $x^{2}$
Answershow ▾
Match the highest power each time.จับคู่กำลังสูงสุดทุกครั้ง
Multiply $x^{2}+2x-1$ by $x^{2}$.
จงคูณ $x^{2}+2x-1$ ด้วย $x^{2}$
Answershow ▾
Multiply every term of the divisor by $x^{2}$.คูณทุกพจน์ของตัวหารด้วย $x^{2}$
Subtract $x^{4}+2x^{3}-x^{2}$ from $x^{4}$.
จงลบ $x^{4}+2x^{3}-x^{2}$ ออกจาก $x^{4}$
Answershow ▾
$x^{4}$ cancels completely; only the new, lower-degree terms remain.$x^{4}$ หักกันหมด เหลือแต่พจน์ดีกรีต่ำกว่าที่เกิดใหม่
The new expression is $-2x^{3}+x^{2}$, degree $3$. What do you do next?
(A) stop - $x^{4}$ has been fully dealt with
(B) divide the new leading term $-2x^{3}$ by $x^{2}$ and repeat the same three moves
(C) divide $-2x^{3}+x^{2}$ by $-2x$, the coefficient you are trying to find
พจน์ใหม่คือ $-2x^{3}+x^{2}$ ดีกรี $3$ ขั้นต่อไปควรทำอะไร
(A) หยุด เพราะจัดการ $x^{4}$ ไปแล้ว
(B) หารพจน์นำใหม่ $-2x^{3}$ ด้วย $x^{2}$ แล้วทำสามขั้นตอนเดิมซ้ำ
(C) หาร $-2x^{3}+x^{2}$ ด้วย $-2x$ ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ที่กำลังหาอยู่
Answershow ▾
(A) fails: the new expression has degree $3$, still $\geqslant$ the divisor's degree $2$, so the division is not finished. (C) fails: you always divide by the DIVISOR's leading term $x^{2}$, never by a coefficient you just found.(A) ผิด: พจน์ใหม่มีดีกรี $3$ ซึ่งยังมากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของตัวหารคือ $2$ จึงยังหารไม่จบ (C) ผิด: ต้องหารด้วยพจน์นำของตัวหารคือ $x^{2}$ เสมอ ไม่ใช่สัมประสิทธิ์ที่เพิ่งหาได้
Divide $-2x^{3}$ by $x^{2}$.
จงหาร $-2x^{3}$ ด้วย $x^{2}$
Answershow ▾
Same move as rung 1, with the new leading term.ท่าเดิมกับข้อ 1 แต่ใช้พจน์นำใหม่
Multiply $x^{2}+2x-1$ by $-2x$, then subtract the result from $-2x^{3}+x^{2}$.
จงคูณ $x^{2}+2x-1$ ด้วย $-2x$ แล้วลบผลลัพธ์ออกจาก $-2x^{3}+x^{2}$
Answershow ▾
$-2x(x^{2}+2x-1)=-2x^{3}-4x^{2}+2x$; subtracting it flips every sign.$-2x(x^{2}+2x-1)=-2x^{3}-4x^{2}+2x$ การลบทำให้ทุกเครื่องหมายกลับ
$5x^{2}-2x$ still has degree $2$. Divide $5x^{2}$ by $x^{2}$, multiply by the divisor, then subtract.
$5x^{2}-2x$ ยังมีดีกรี $2$ จงหาร $5x^{2}$ ด้วย $x^{2}$ คูณกลับด้วยตัวหาร แล้วลบ
Answershow ▾
Degree $1\lt2$ now, so this is the remainder - the division stops here.ตอนนี้ดีกรี $1\lt2$ จึงเป็นเศษเหลือ และการหารหยุดที่นี่
The three terms divided out were $x^{2}$, $-2x$ and $5$. Write the quotient $Q(x)$.
พจน์ที่หารออกมาได้ทั้งสามคือ $x^{2}$, $-2x$ และ $5$ จงเขียนผลหาร $Q(x)$
Answershow ▾
Each division step contributes one term of the quotient, in order.แต่ละขั้นของการหารให้พจน์ของผลหารมาหนึ่งพจน์ ตามลำดับ
Check: does $(x^{2}+2x-1)(x^{2}-2x+5)+(-12x+5)$ equal $x^{4}$?
จงตรวจว่า $(x^{2}+2x-1)(x^{2}-2x+5)+(-12x+5)$ เท่ากับ $x^{4}$ หรือไม่
Answershow ▾
divisor $\times$ quotient $+$ remainder must rebuild the original polynomial.ตัวหาร $\times$ ผลหาร $+$ เศษเหลือ ต้องกลับไปเป็นพหุนามเดิม
Find the quotient and remainder when $x^{4}$ is divided by $x^{2}+x-2$.
จงหาผลหารและเศษเหลือเมื่อหาร $x^{4}$ ด้วย $x^{2}+x-2$
Answershow ▾
Same three moves, three times: divide, multiply, subtract.ท่าเดิมสามขั้น ทำซ้ำสามรอบ: หาร คูณ ลบ
Find the quotient and remainder when $x^{4}$ is divided by $x^{2}+2x-1$.
จงหาผลหาร (quotient) และเศษเหลือ (remainder) เมื่อหาร $x^{4}$ ด้วย $x^{2}+2x-1$
Answershow ▾
3 marks: one for the first division step, two for finishing it and reading off both parts.3 คะแนน: ขั้นหารแรก 1 คะแนน หารจนจบและอ่านผลหาร-เศษเหลือออกมาอีก 2 คะแนน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Modulus on one side only ค่าสัมบูรณ์อยู่ด้านเดียว
Solve the inequality $|x-3| \lt 3x-4$.
จงแก้อสมการ $|x-3| \lt 3x-4$
For $x\lt3$, write $|x-3|$ without the modulus bars.
สำหรับ $x\lt3$ จงเขียน $|x-3|$ โดยไม่มีแถบค่าสัมบูรณ์
Answershow ▾
$x-3$ is negative when $x\lt3$, so the modulus flips its sign.$x-3$ ติดลบเมื่อ $x\lt3$ ค่าสัมบูรณ์จึงสลับเครื่องหมายให้
Solve $3-x\lt3x-4$.
จงแก้อสมการ $3-x\lt3x-4$
Answershow ▾
Collect the $x$ terms on one side, the numbers on the other.รวมพจน์ $x$ ไว้ข้างหนึ่ง ตัวเลขไว้อีกข้าง
For $x\geqslant3$, $|x-3|=x-3$. Solve $x-3\lt3x-4$.
สำหรับ $x\geqslant3$, $|x-3|=x-3$ จงแก้อสมการ $x-3\lt3x-4$
Answershow ▾
This is already true for every $x\geqslant3$, since $\dfrac12\lt3$.ข้อนี้จริงอยู่แล้วสำหรับทุก $x\geqslant3$ เพราะ $\dfrac12\lt3$
$|x-3|\lt3x-4$ has $x$ both inside and outside the modulus. Pick the right first move.
(A) always replace $|x-3|$ with $x-3$
(B) split into the two cases $x\lt3$ and $x\geqslant3$, where the definition of $|x-3|$ changes, solve each, then combine
(C) pull the $3$ out and treat $|x-3|$ as $|x|-3$
$|x-3|\lt3x-4$ มี $x$ อยู่ทั้งในและนอกค่าสัมบูรณ์ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้อง
(A) แทน $|x-3|$ ด้วย $x-3$ เสมอ
(B) แบ่งเป็นสองกรณี $x\lt3$ และ $x\geqslant3$ ที่นิยามของ $|x-3|$ เปลี่ยนไป แก้แต่ละกรณี แล้วรวมกัน
(C) ดึง $3$ ออกมา แล้วถือว่า $|x-3|$ คือ $|x|-3$
Answershow ▾
(A) fails: for $x\lt3$, $x-3$ is negative, so $|x-3|=-(x-3)=3-x$, not $x-3$. (C) fails: the modulus applies to the WHOLE bracket; $|x-3|$ is not $|x|-3$ (test $x=1$: $|1-3|=2$, but $|1|-3=-2$).(A) ผิด: เมื่อ $x\lt3$, $x-3$ ติดลบ ดังนั้น $|x-3|=-(x-3)=3-x$ ไม่ใช่ $x-3$ (C) ผิด: ค่าสัมบูรณ์ครอบวงเล็บทั้งก้อน $|x-3|$ ไม่ใช่ $|x|-3$ (ลอง $x=1$: $|1-3|=2$ แต่ $|1|-3=-2$)
For $x\lt3$ you found $x\gt\dfrac74$. Since $\dfrac74\lt3$, what range comes from this branch?
กรณี $x\lt3$ ได้ $x\gt\dfrac74$ และ $\dfrac74\lt3$ จงหาช่วงที่ได้จากกรณีนี้
Answershow ▾
Keep only the overlap with the restriction on this branch, $x\lt3$.เก็บเฉพาะส่วนที่ซ้อนกับเงื่อนไขของกรณีนี้คือ $x\lt3$
For $x\geqslant3$ you found $x\gt\dfrac12$, which already holds. What range comes from this branch?
กรณี $x\geqslant3$ ได้ $x\gt\dfrac12$ ซึ่งจริงอยู่แล้ว จงหาช่วงที่ได้จากกรณีนี้
Answershow ▾
$x\geqslant3$ is a stronger condition than $x\gt\dfrac12$, which it already satisfies.$x\geqslant3$ เป็นเงื่อนไขที่แน่นกว่า $x\gt\dfrac12$ ซึ่งมันเป็นจริงอยู่แล้ว
Combine $\dfrac74\lt x\lt3$ and $x\geqslant3$ into one inequality.
จงรวม $\dfrac74\lt x\lt3$ และ $x\geqslant3$ เป็นอสมการเดียว
Answershow ▾
The two branches share the boundary $x=3$, joining into a single ray.สองกรณีมีจุดร่วมที่ $x=3$ จึงต่อกันเป็นรังสีเดียว
Test $x=2$ (inside $\dfrac74\lt x\lt3$) in $|x-3|\lt3x-4$.
ลองแทน $x=2$ (อยู่ในช่วง $\dfrac74\lt x\lt3$) ใน $|x-3|\lt3x-4$
Answershow ▾
A true check at an interior point confirms the branch combination.การตรวจที่จุดภายในช่วงได้ผลจริง ช่วยยืนยันการรวมกรณี
Test $x=\dfrac74$ itself. Should it be included in the answer?
ลองแทน $x=\dfrac74$ เอง ควรรวมจุดนี้ไว้ในคำตอบหรือไม่
Answershow ▾
The boundary makes both sides equal, so the strict inequality excludes it.จุดขอบทำให้สองข้างเท่ากัน อสมการที่เป็นแบบเคร่งครัดจึงไม่รวมจุดนี้
Solve the inequality $|x-2|\lt2x-3$.
จงแก้อสมการ $|x-2|\lt2x-3$
Answershow ▾
Same two branches: split at $x=2$, solve each, then combine using the shared boundary.สองกรณีเดิม: แบ่งที่ $x=2$ แก้แต่ละกรณี แล้วรวมกันโดยใช้จุดร่วม
Solve the inequality $|x-3| \lt 3x-4$.
จงแก้อสมการ $|x-3| \lt 3x-4$
Answershow ▾
4 marks: the critical-case inequality, solving it, the critical value, then the one-sided final answer.4 คะแนน: ตั้งอสมการกรณีวิกฤต แก้สมการ หาค่าวิกฤต แล้วตอบขั้นสุดท้ายเป็นด้านเดียว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Pull out the bracket first ดึงตัวเลขออกจากวงเล็บก่อน
(a) Expand $(2-x)^{-2}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, simplifying the coefficients.
(b) State the set of values of $x$ for which the expansion is valid.
(ก) จงกระจาย $(2-x)^{-2}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $x$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ โดยจัดสัมประสิทธิ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
(ข) จงบอกช่วงของค่า $x$ ที่การกระจายนี้ใช้ได้ (valid)
Write $2-x$ as $2\left(1-\dfrac{x}{2}\right)$, then write $(2-x)^{-2}$ using that bracket.
จงเขียน $2-x$ เป็น $2\left(1-\dfrac{x}{2}\right)$ แล้วเขียน $(2-x)^{-2}$ ด้วยวงเล็บนั้น
Answershow ▾
Take the power of each factor: $2^{-2}=\dfrac14$.ยกกำลังแยกแต่ละตัวประกอบ: $2^{-2}=\dfrac14$
Write the first three terms of $(1+u)^{-2}$ in ascending powers of $u$: $1+(-2)u+\dfrac{(-2)(-3)}{2}u^{2}+\ldots$. Simplify the coefficients.
จงเขียนสามพจน์แรกของ $(1+u)^{-2}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $u$: $1+(-2)u+\dfrac{(-2)(-3)}{2}u^{2}+\ldots$ แล้วจัดสัมประสิทธิ์ให้ง่าย
Answershow ▾
$\dfrac{(-2)(-3)}{2}=\dfrac{6}{2}=3$.$\dfrac{(-2)(-3)}{2}=\dfrac{6}{2}=3$
In $1-2u+3u^{2}$, replace $u$ with $-\dfrac{x}{2}$ and simplify.
ใน $1-2u+3u^{2}$ จงแทน $u$ ด้วย $-\dfrac{x}{2}$ แล้วจัดรูปให้ง่าย
Answershow ▾
$-2\left(-\dfrac{x}{2}\right)=x$ and $3\left(-\dfrac{x}{2}\right)^{2}=3\cdot\dfrac{x^{2}}{4}=\dfrac34x^{2}$.$-2\left(-\dfrac{x}{2}\right)=x$ และ $3\left(-\dfrac{x}{2}\right)^{2}=3\cdot\dfrac{x^{2}}{4}=\dfrac34x^{2}$
The expansion is only valid while $(1+u)^{-2}$ converges, $|u|\lt1$. Here $u=-\dfrac{x}{2}$. Which condition on $x$ is that?
(A) $|x|\lt1$, the same number as in $|u|\lt1$
(B) $\left|-\dfrac{x}{2}\right|\lt1$, so $|x|\lt2$
(C) $x\lt1$, dropping the modulus since $u$ is a fraction
การกระจายนี้ใช้ได้เมื่อ $(1+u)^{-2}$ ลู่เข้า คือ $|u|\lt1$ ในที่นี้ $u=-\dfrac{x}{2}$ นี่คือเงื่อนไขใดของ $x$
(A) $|x|\lt1$ ใช้ตัวเลขเดียวกับ $|u|\lt1$
(B) $\left|-\dfrac{x}{2}\right|\lt1$ ดังนั้น $|x|\lt2$
(C) $x\lt1$ ตัดค่าสัมบูรณ์ทิ้งเพราะ $u$ เป็นเศษส่วน
Answershow ▾
(A) fails: $|u|\lt1$ is a condition on $u$, not directly on $x$ — it must be translated through $u=-\dfrac{x}{2}$. (C) fails: dropping the modulus throws away the negative half of the range.(A) ผิด: $|u|\lt1$ เป็นเงื่อนไขของ $u$ ไม่ใช่ $x$ ตรงๆ ต้องแปลงผ่าน $u=-\dfrac{x}{2}$ ก่อน (C) ผิด: การตัดค่าสัมบูรณ์ทิ้งทำให้เสียช่วงค่าลบไป
Multiply $1+x+\dfrac34x^{2}$ by the $\dfrac14$ that was factored out in rung 1.
จงคูณ $1+x+\dfrac34x^{2}$ ด้วย $\dfrac14$ ที่ดึงออกมาตั้งแต่ข้อ 1
Answershow ▾
Multiply every term: $\dfrac14\times\dfrac34=\dfrac{3}{16}$.คูณทุกพจน์: $\dfrac14\times\dfrac34=\dfrac{3}{16}$
Write the expansion of $(2-x)^{-2}$ up to and including the term in $x^{2}$.
จงเขียนการกระจาย $(2-x)^{-2}$ จนถึงพจน์ $x^{2}$
Answershow ▾
This is rung 4’s answer — it already is the expansion.นี่คือคำตอบของข้อ 4 ซึ่งก็คือการกระจายนั่นเอง
Using rung 3’s $D$ step, state the set of values of $x$ for which this expansion is valid.
ใช้ผลจากข้อ $D$ ของข้อ 3 จงบอกช่วงของค่า $x$ ที่การกระจายนี้ใช้ได้
Answershow ▾
$|x|\lt2$ written as a double inequality.$|x|\lt2$ เขียนเป็นอสมการสองชั้น
Check: does the expansion give $\dfrac14$ when $x=0$, matching $(2-0)^{-2}$?
จงตรวจว่าเมื่อ $x=0$ การกระจายให้ $\dfrac14$ ตรงกับ $(2-0)^{-2}$ หรือไม่
Answershow ▾
Setting $x=0$ checks the constant term alone.แทน $x=0$ เป็นการตรวจเฉพาะพจน์คงที่
Check the expansion against the exact value at $x=\dfrac{1}{10}$, to 4 decimal places.
จงตรวจการกระจายกับค่าจริงที่ $x=\dfrac{1}{10}$ ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
A valid $x$ (inside $-2\lt x\lt2$) should match closely.ค่า $x$ ที่ใช้ได้ (อยู่ในช่วง $-2\lt x\lt2$) ควรให้ผลใกล้เคียงกัน
Expand $(2-2x)^{-1}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, simplifying the coefficients, and state the set of values of $x$ for which it is valid.
จงกระจาย $(2-2x)^{-1}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $x$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ โดยจัดสัมประสิทธิ์ให้ง่าย แล้วบอกช่วงค่า $x$ ที่ใช้ได้
Answershow ▾
Same three moves: factor out the $2$, expand $(1-x)^{-1}$, multiply back, read off the validity.สามขั้นเดิม: ดึง $2$ ออกมา กระจาย $(1-x)^{-1}$ คูณกลับ แล้วอ่านช่วงค่าที่ใช้ได้
(a) Expand $(2-x)^{-2}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, simplifying the coefficients.
(b) State the set of values of $x$ for which the expansion is valid.
(ก) จงกระจาย $(2-x)^{-2}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $x$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ โดยจัดสัมประสิทธิ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
(ข) จงบอกช่วงของค่า $x$ ที่การกระจายนี้ใช้ได้ (valid)
Answershow ▾
5 marks: 4 for part (a) — the unsimplified terms and both simplified coefficients — and 1 for part (b).5 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับส่วน (ก) ทั้งพจน์ที่ยังไม่จัดและสัมประสิทธิ์ที่จัดแล้ว และ 1 คะแนนสำหรับส่วน (ข)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An improper fraction, partial fractions เศษส่วนไม่แท้ แยกเป็นเศษส่วนย่อย
Express $\dfrac{4x^{2}-13x+13}{(2x-1)(x-3)}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{4x^{2}-13x+13}{(2x-1)(x-3)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Compare the degree of the top, $4x^{2}-13x+13$, with the degree of the bottom, $(2x-1)(x-3)$.
จงเทียบดีกรีของเศษ $4x^{2}-13x+13$ กับดีกรีของส่วน $(2x-1)(x-3)$
Answershow ▾
The bottom multiplies out to degree $2$ as well, so the fraction is improper.ตัวส่วนคูณกระจายแล้วได้ดีกรี $2$ เท่ากัน เศษส่วนนี้จึงเป็นเศษส่วนไม่แท้
If the top had degree $1$ instead, write the partial-fraction form for $\dfrac{\ldots}{(2x-1)(x-3)}$.
ถ้าเศษมีดีกรี $1$ จงเขียนรูปเศษส่วนย่อยของ $\dfrac{\ldots}{(2x-1)(x-3)}$
Answershow ▾
One unknown numerator per linear factor on the bottom.ตัวเศษไม่รู้ค่าหนึ่งตัวต่อหนึ่งตัวประกอบเชิงเส้นด้านล่าง
Because the degrees are equal here, an extra constant term is needed. Write the full form $\dfrac{4x^{2}-13x+13}{(2x-1)(x-3)}\equiv A+\dfrac{B}{2x-1}+\dfrac{C}{x-3}$ and say what the $A$ is for.
เนื่องจากดีกรีเท่ากัน ต้องมีพจน์คงที่เพิ่มอีกตัว จงเขียนรูปเต็ม $\dfrac{4x^{2}-13x+13}{(2x-1)(x-3)}\equiv A+\dfrac{B}{2x-1}+\dfrac{C}{x-3}$ แล้วบอกว่า $A$ มีไว้ทำไม
Answershow ▾
A proper fraction only needs $B$ and $C$; the equal degrees force an extra whole-number-style term.เศษส่วนแท้ต้องการแค่ $B$ กับ $C$ แต่ดีกรีที่เท่ากันบีบให้ต้องมีพจน์เพิ่มแบบจำนวนเต็ม
Spot the fraction is improper. What should you do before splitting it?
(A) split it as $\dfrac{B}{2x-1}+\dfrac{C}{x-3}$ anyway, ignoring the degrees
(B) include a constant term $A$ in the form, since the top and bottom share the same degree
(C) divide the top by the bottom first with long division, then split the remainder
สังเกตว่าเศษส่วนนี้ไม่แท้ ควรทำอะไรก่อนแยกเศษส่วนย่อย
(A) แยกเป็น $\dfrac{B}{2x-1}+\dfrac{C}{x-3}$ ไปเลย ไม่สนใจดีกรี
(B) ใส่พจน์คงที่ $A$ ในรูป เพราะเศษกับส่วนมีดีกรีเท่ากัน
(C) หารเศษด้วยส่วนด้วยการหารยาวก่อน แล้วค่อยแยกเศษที่เหลือ
Answershow ▾
(A) fails: a proper-fraction form cannot match an improper fraction. (C) also works, but needs a full long division just to find the single number $A$; comparing coefficients gets the same $A$ in one line.(A) ผิด: รูปเศษส่วนแท้แทนเศษส่วนไม่แท้ไม่ได้ (C) ก็ใช้ได้ แต่ต้องหารยาวทั้งก้อนเพื่อหาตัวเลข $A$ ตัวเดียว ในขณะที่เทียบสัมประสิทธิ์ได้ $A$ ตัวเดียวกันในบรรทัดเดียว
Multiply both sides of the identity from rung 3 by $(2x-1)(x-3)$ to clear every fraction.
จงคูณทั้งสองข้างของเอกลักษณ์จากข้อ 3 ด้วย $(2x-1)(x-3)$ เพื่อกำจัดตัวส่วนทั้งหมด
Answershow ▾
Each fraction bottom cancels with one factor of $(2x-1)(x-3)$.ตัวส่วนแต่ละตัวตัดกับหนึ่งตัวประกอบของ $(2x-1)(x-3)$
Compare the $x^{2}$ coefficients on both sides of rung 4’s identity.
จงเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ ทั้งสองข้างของเอกลักษณ์จากข้อ 4
Answershow ▾
Only the $A(2x-1)(x-3)$ term can produce an $x^{2}$ on the right.มีแต่พจน์ $A(2x-1)(x-3)$ เท่านั้นที่ให้ $x^{2}$ ทางขวา
Substitute $x=\dfrac12$, then $x=3$, into rung 4’s identity to find $B$ and $C$.
จงแทน $x=\dfrac12$ แล้ว $x=3$ ในเอกลักษณ์จากข้อ 4 เพื่อหา $B$ และ $C$
Answershow ▾
Each substitution zeroes out one bracket, leaving one unknown at a time.การแทนค่าแต่ละครั้งทำให้วงเล็บตัวหนึ่งเป็นศูนย์ เหลือตัวไม่รู้ค่าทีละตัว
Collect $A=2$, $B=-3$, $C=2$ into $A+\dfrac{B}{2x-1}+\dfrac{C}{x-3}$.
จงรวม $A=2$, $B=-3$, $C=2$ เข้าในรูป $A+\dfrac{B}{2x-1}+\dfrac{C}{x-3}$
Answershow ▾
Each constant drops straight into its own slot.แต่ละค่าคงที่ใส่ลงในช่องของตัวเองโดยตรง
Check the split at $x=0$: does $2-\dfrac{3}{2x-1}+\dfrac{2}{x-3}$ equal $\dfrac{4x^{2}-13x+13}{(2x-1)(x-3)}$?
จงตรวจที่ $x=0$: $2-\dfrac{3}{2x-1}+\dfrac{2}{x-3}$ เท่ากับ $\dfrac{4x^{2}-13x+13}{(2x-1)(x-3)}$ หรือไม่
Answershow ▾
A value NOT used in finding $A$, $B$, $C$ makes this a genuine check.ใช้ค่าที่ไม่ได้ใช้ตอนหา $A$, $B$, $C$ ทำให้เป็นการตรวจจริง
Express $\dfrac{3x^{2}-7x+4}{(x-1)(x-2)}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{3x^{2}-7x+4}{(x-1)(x-2)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Same four moves: spot it is improper, include $A$, clear fractions, substitute to find each constant.สี่ขั้นเดิม: สังเกตว่าไม่แท้ ใส่ $A$ กำจัดตัวส่วน แทนค่าหาแต่ละค่าคงที่
Express $\dfrac{4x^{2}-13x+13}{(2x-1)(x-3)}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{4x^{2}-13x+13}{(2x-1)(x-3)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
5 marks: 1 for spotting the improper form, 1 for clearing the fractions, 3 for the three constants.5 คะแนน: 1 คะแนนสังเกตว่าเป็นเศษส่วนไม่แท้ 1 คะแนนกำจัดตัวส่วน และ 3 คะแนนสำหรับค่าคงที่สามตัว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Unknown coefficients from a remainder หาสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้ค่าจากเศษเหลือ
The polynomial $x^{4}+3x^{3}+ax+b$, where $a$ and $b$ are constants, is denoted by $p(x)$. When $p(x)$ is divided by $x^{2}+x-1$ the remainder is $2x+3$.
Find the values of $a$ and $b$.
พหุนาม $x^{4}+3x^{3}+ax+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ เขียนแทนด้วย $p(x)$ เมื่อหาร $p(x)$ ด้วย $x^{2}+x-1$ เศษเหลือ (remainder) คือ $2x+3$
จงหาค่าของ $a$ และ $b$
Divide $x^{4}+3x^{3}$ by $x^{2}+x-1$: divide the leading terms, multiply back, then subtract.
จงหาร $x^{4}+3x^{3}$ ด้วย $x^{2}+x-1$: หาพจน์นำ คูณกลับ แล้วลบ
Answershow ▾
Same three moves as a quotient-and-remainder question.ท่าเดิมสามขั้นของโจทย์หาผลหารและเศษเหลือ
Continue dividing $2x^{3}+x^{2}$ by $x^{2}+x-1$ (two more rounds) until the leftover has degree less than $2$.
จงหาร $2x^{3}+x^{2}$ ด้วย $x^{2}+x-1$ ต่อ (อีกสองรอบ) จนเหลือพจน์ดีกรีต่ำกว่า $2$
Answershow ▾
Each round divides, multiplies, subtracts — same moves, new numbers.ทุกรอบทำซ้ำ: หาร คูณ ลบ เปลี่ยนแต่ตัวเลข
The real polynomial also has $+ax+b$ added on, degree less than the divisor, so it adds straight onto the leftover. Write the total remainder in terms of $a$ and $b$.
พหุนามจริงมี $+ax+b$ เพิ่มมาด้วย ดีกรีต่ำกว่าตัวหาร จึงบวกเข้ากับส่วนที่เหลือได้ตรงๆ จงเขียนเศษเหลือรวมในรูป $a$ และ $b$
Answershow ▾
$3x-1$ plus $ax+b$, grouped by power of $x$.$3x-1$ บวกกับ $ax+b$ แล้วจัดกลุ่มตามกำลังของ $x$
The remainder $(a+3)x+(b-1)$ must equal $2x+3$ for EVERY $x$. Which equations do you set up?
(A) treat it as one equation, $(a+3)x+(b-1)=2x+3$, and solve for $a$ and $b$ together
(B) match the $x$ coefficients and the constant terms separately: two equations
(C) substitute one value of $x$, like $x=0$, to get a single equation
เศษเหลือ $(a+3)x+(b-1)$ ต้องเท่ากับ $2x+3$ สำหรับ $x$ ทุกตัว จะตั้งสมการอย่างไร
(A) ถือเป็นสมการเดียว $(a+3)x+(b-1)=2x+3$ แล้วแก้หา $a$ กับ $b$ พร้อมกัน
(B) เทียบสัมประสิทธิ์ $x$ และพจน์คงที่แยกกัน ได้สองสมการ
(C) แทนค่า $x$ ค่าเดียว เช่น $x=0$ เพื่อได้สมการเดียว
Answershow ▾
(A) fails: one relation with two unknowns has no unique solution on its own. (C) fails: one substitution pins down only one combination of $a$ and $b$ — a second value would be needed, and matching coefficients does both at once.(A) ผิด: สมการเดียวที่มีตัวไม่รู้ค่าสองตัวไม่มีคำตอบเดียวที่แน่นอน (C) ผิด: แทนค่าครั้งเดียวได้เพียงความสัมพันธ์เดียวของ $a$ กับ $b$ ต้องแทนอีกค่าหนึ่งเพิ่ม ขณะที่การเทียบสัมประสิทธิ์ได้ทั้งสองพร้อมกัน
Match the $x$ coefficients in $(a+3)x+(b-1)=2x+3$.
จงเทียบสัมประสิทธิ์ $x$ ใน $(a+3)x+(b-1)=2x+3$
Answershow ▾
$a+3=2$, so $a=-1$.$a+3=2$ ดังนั้น $a=-1$
Match the constant terms in $(a+3)x+(b-1)=2x+3$.
จงเทียบพจน์คงที่ใน $(a+3)x+(b-1)=2x+3$
Answershow ▾
$b-1=3$, so $b=4$.$b-1=3$ ดังนั้น $b=4$
Write $p(x)=x^{4}+3x^{3}+ax+b$ with $a=-1$ and $b=4$.
จงเขียน $p(x)=x^{4}+3x^{3}+ax+b$ เมื่อ $a=-1$ และ $b=4$
Answershow ▾
Substitute both values straight into $p(x)$.แทนค่าทั้งสองตัวลงใน $p(x)$ ตรงๆ
Check: does $(x^{2}+x-1)(x^{2}+2x-1)+(2x+3)$ equal $p(x)=x^{4}+3x^{3}-x+4$?
จงตรวจว่า $(x^{2}+x-1)(x^{2}+2x-1)+(2x+3)$ เท่ากับ $p(x)=x^{4}+3x^{3}-x+4$ หรือไม่
Answershow ▾
divisor $\times$ quotient $+$ remainder must rebuild $p(x)$ exactly.ตัวหาร $\times$ ผลหาร $+$ เศษเหลือ ต้องกลับไปเป็น $p(x)$ เดิมเป๊ะ
Confirm $2x+3$ has degree less than $x^{2}+x-1$’s degree $2$, so it really is a remainder.
จงตรวจว่า $2x+3$ มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ $x^{2}+x-1$ คือ $2$ จึงเป็นเศษเหลือที่ถูกต้อง
Answershow ▾
A genuine remainder must have lower degree than the divisor, or the division is not finished.เศษเหลือที่ถูกต้องต้องมีดีกรีต่ำกว่าตัวหาร ไม่เช่นนั้นการหารยังไม่จบ
The polynomial $x^{4}+2x^{3}+ax+b$ is divided by $x^{2}+x-2$, leaving remainder $3x+1$. Find $a$ and $b$.
พหุนาม $x^{4}+2x^{3}+ax+b$ หารด้วย $x^{2}+x-2$ เหลือเศษ $3x+1$ จงหาค่า $a$ และ $b$
Answershow ▾
Same moves: divide out the whole-number part, add $ax+b$ on, match coefficients with $3x+1$.ท่าเดิม: หารส่วนที่เป็นจำนวนเต็มออกก่อน บวก $ax+b$ เข้าไป แล้วเทียบสัมประสิทธิ์กับ $3x+1$
The polynomial $x^{4}+3x^{3}+ax+b$, where $a$ and $b$ are constants, is denoted by $p(x)$. When $p(x)$ is divided by $x^{2}+x-1$ the remainder is $2x+3$.
Find the values of $a$ and $b$.
พหุนาม $x^{4}+3x^{3}+ax+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ เขียนแทนด้วย $p(x)$ เมื่อหาร $p(x)$ ด้วย $x^{2}+x-1$ เศษเหลือ (remainder) คือ $2x+3$
จงหาค่าของ $a$ และ $b$
Answershow ▾
5 marks: 2 for the long division, 1 for the remainder equation, 2 for the two coefficients.5 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับการหารยาว 1 คะแนนสำหรับสมการเศษเหลือ และ 2 คะแนนสำหรับสัมประสิทธิ์สองตัว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Square away the modulus ยกกำลังสองกำจัดค่าสัมบูรณ์
Solve the inequality $2-5x \gt 2|x-3|$.
จงแก้อสมการ $2-5x \gt 2|x-3|$
Write $2-5x\gt2|x-3|$ with both sides squared.
จงเขียน $2-5x\gt2|x-3|$ โดยยกกำลังสองทั้งสองข้าง
Answershow ▾
$(2|x-3|)^{2}=4(x-3)^{2}$; squaring removes the modulus completely.$(2|x-3|)^{2}=4(x-3)^{2}$ การยกกำลังสองกำจัดค่าสัมบูรณ์ได้หมด
Expand $(2-5x)^{2}$ and $4(x-3)^{2}$.
จงกระจาย $(2-5x)^{2}$ และ $4(x-3)^{2}$
Answershow ▾
Square the bracket first, then multiply the second one by $4$.กระจายวงเล็บก่อน แล้วค่อยคูณวงเล็บที่สองด้วย $4$
From $25x^{2}-20x+4\gt4x^{2}-24x+36$, collect everything onto one side.
จาก $25x^{2}-20x+4\gt4x^{2}-24x+36$ จงจัดทุกพจน์มาไว้ข้างเดียว
Answershow ▾
Subtract the right side from both sides.ลบฝั่งขวาออกจากทั้งสองข้าง
Solving gives critical values $x=-\dfrac43$ or $x=\dfrac87$. Before stating the final answer, what must you do?
(A) nothing - squaring never changes the solution set
(B) substitute a point from each branch back into the ORIGINAL inequality, since squaring can introduce extra roots
(C) only check the smaller root, since the larger one is always valid
แก้สมการได้ค่าวิกฤต $x=-\dfrac43$ หรือ $x=\dfrac87$ ก่อนตอบคำตอบสุดท้ายต้องทำอะไร
(A) ไม่ต้องทำอะไร เพราะการยกกำลังสองไม่เปลี่ยนเซตคำตอบ
(B) แทนค่าจากแต่ละกิ่งกลับไปในอสมการเดิม เพราะการยกกำลังสองอาจเพิ่มรากเกินมา
(C) ตรวจแค่รากที่น้อยกว่า เพราะรากที่มากกว่าใช้ได้เสมอ
Answershow ▾
(A) fails: squaring can satisfy the squared version while the original fails, if $2-5x$ is negative. (C) fails: there is no rule that the larger root is always safe - here it is the one that gets rejected.(A) ผิด: การยกกำลังสองเทียบขนาดเท่านั้น กิ่งที่ $2-5x$ ติดลบอาจผ่านสมการที่ยกกำลังสองแล้ว แต่ไม่ผ่านอสมการเดิมซึ่งต้องการให้ $2-5x$ มากกว่าตัวเลขที่ไม่ติดลบจริงๆ (C) ผิด: ไม่มีกฎว่ารากที่มากกว่าใช้ได้เสมอ ในข้อนี้รากที่มากกว่าคือตัวที่ถูกตัดทิ้ง
Factorise $21x^{2}+4x-32=0$ to find the critical values.
จงแยกตัวประกอบ $21x^{2}+4x-32=0$ เพื่อหาค่าวิกฤต
Answershow ▾
Check: $3\times7=21$ and $4\times(-8)=-32$.ตรวจ: $3\times7=21$ และ $4\times(-8)=-32$
$21x^{2}+4x-32$ opens upward (positive leading coefficient). Where is it positive?
$21x^{2}+4x-32$ หงายขึ้น (สัมประสิทธิ์พจน์นำเป็นบวก) เป็นบวกตรงไหน
Answershow ▾
An upward parabola is positive outside its two roots, negative between them.พาราโบลาหงายขึ้นจะเป็นบวกด้านนอกสองราก และเป็นลบระหว่างราก
Test $x=-2$ and $x=2$ in the ORIGINAL inequality $2-5x\gt2|x-3|$.
จงลองแทน $x=-2$ และ $x=2$ ในอสมการเดิม $2-5x\gt2|x-3|$
Answershow ▾
Only a point from the ORIGINAL inequality can tell you which branch is real.ต้องแทนในอสมการเดิมเท่านั้น จึงจะรู้ว่ากิ่งไหนใช้ได้จริง
Combine: which branch survives the check?
จงสรุป: กิ่งไหนผ่านการตรวจ
Answershow ▾
The branch that failed its test point is rejected completely.กิ่งที่จุดทดสอบไม่ผ่าน ถูกตัดทิ้งไปทั้งกิ่ง
Check $x=-\dfrac43$ itself in the original inequality. Should it be included?
จงตรวจ $x=-\dfrac43$ เองในอสมการเดิม ควรรวมจุดนี้ไว้หรือไม่
Answershow ▾
Equal sides fail a strict inequality, so the boundary is excluded.สองข้างเท่ากัน จึงไม่ผ่านอสมการแบบเคร่งครัด จุดขอบถูกตัดออก
Solve the inequality $4-3x\gt2|x-1|$.
จงแก้อสมการ $4-3x\gt2|x-1|$
Answershow ▾
Same four moves: square, expand, factorise, then test a point from each branch.สี่ขั้นเดิม: ยกกำลังสอง กระจาย แยกตัวประกอบ แล้วทดสอบจุดจากแต่ละกิ่ง
Solve the inequality $2-5x \gt 2|x-3|$.
จงแก้อสมการ $2-5x \gt 2|x-3|$
Answershow ▾
4 marks: squaring away the modulus, expanding to a 3-term quadratic, factorising, then rejecting one root.4 คะแนน: ยกกำลังสองกำจัดค่าสัมบูรณ์ กระจายเป็นสมการกำลังสองสามพจน์ แยกตัวประกอบ แล้วตัดหนึ่งรากทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two theorems, two equations สองทฤษฎีบท สองสมการ
The polynomial $2x^{3}+ax^{2}-11x+b$ is denoted by $p(x)$. It is given that $p(x)$ is divisible by $2x-1$ and that when $p(x)$ is divided by $x+1$ the remainder is $12$.
Find the values of $a$ and $b$.
พหุนาม $2x^{3}+ax^{2}-11x+b$ เขียนแทนด้วย $p(x)$ กำหนดว่า $p(x)$ หารด้วย $2x-1$ ลงตัว และเมื่อหาร $p(x)$ ด้วย $x+1$ เศษเหลือคือ $12$
จงหาค่าของ $a$ และ $b$
$p(x)$ is divisible by $2x-1$. Which value of $x$ makes $2x-1$ equal to zero?
$p(x)$ หารด้วย $2x-1$ ลงตัว จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $2x-1$ เท่ากับศูนย์
Answershow ▾
Solve $2x-1=0$ for $x$, the same move as reading $a$ from any divisor $(x-a)$.แก้ $2x-1=0$ หา $x$ ท่าเดียวกับอ่านค่า $a$ จากตัวหาร $(x-a)$ ทุกครั้ง
Since $2x-1$ is a factor of $p(x)$, what does the factor theorem say $p\left(\dfrac12\right)$ equals?
เมื่อ $2x-1$ เป็นตัวประกอบของ $p(x)$ ทฤษฎีตัวประกอบบอกว่า $p\left(\dfrac12\right)$ เท่ากับอะไร
Answershow ▾
Factor theorem: a zero remainder means $(x-a)$ is a factor, so $p(a)=0$.ทฤษฎีตัวประกอบ: เศษเหลือเป็นศูนย์ แปลว่า $(x-a)$ เป็นตัวประกอบ ดังนั้น $p(a)=0$
When $p(x)$ is divided by $x+1$, the remainder is $12$. Write this as a statement about $p(-1)$.
เมื่อ $p(x)$ หารด้วย $x+1$ เศษเหลือคือ $12$ จงเขียนเป็นข้อความเกี่ยวกับ $p(-1)$
Answershow ▾
$(x+1)=\left(x-(-1)\right)$, so the remainder theorem reads $p(-1)$, not $p(1)$.$(x+1)=\left(x-(-1)\right)$ ทฤษฎีเศษเหลือจึงอ่านค่า $p(-1)$ ไม่ใช่ $p(1)$
You need two equations in $a$ and $b$. Which pair of facts gives them?
(A) $p\left(\dfrac12\right)=0$ and $p(-1)=12$, one from each given condition
(B) $p(0)=0$ and $p(1)=12$, reading the coefficients straight off
(C) $p\left(\dfrac12\right)=12$ and $p(-1)=0$, swapping which fact goes with which factor
ต้องได้สองสมการในตัวแปร $a$ กับ $b$ คู่ข้อเท็จจริงใดที่ให้สองสมการนี้
(A) $p\left(\dfrac12\right)=0$ และ $p(-1)=12$ จากเงื่อนไขที่ให้มาข้อละหนึ่งสมการ
(B) $p(0)=0$ และ $p(1)=12$ อ่านสัมประสิทธิ์ออกมาตรงๆ
(C) $p\left(\dfrac12\right)=12$ และ $p(-1)=0$ สลับว่าข้อเท็จจริงไหนคู่กับตัวประกอบไหน
Answershow ▾
(B) fails: $0$ and $1$ are not the roots of $2x-1$ or $x+1$. (C) fails: it swaps the remainder $12$ onto the factor $2x-1$ (which must give $0$, not $12$) and the zero onto $x+1$ (which must give $12$).(B) ผิด: $0$ กับ $1$ ไม่ใช่รากของ $2x-1$ หรือ $x+1$ (C) ผิด: สลับเอาเศษเหลือ $12$ ไปไว้กับตัวประกอบ $2x-1$ (ซึ่งต้องได้ $0$ ไม่ใช่ $12$) และเอาศูนย์ไปไว้กับ $x+1$ (ซึ่งต้องได้ $12$)
$p(x)=2x^{3}+ax^{2}-11x+b$. Write $p\left(\dfrac12\right)$ in full, then set it to $0$.
$p(x)=2x^{3}+ax^{2}-11x+b$ จงเขียน $p\left(\dfrac12\right)$ ให้ครบ แล้วตั้งให้เท่ากับ $0$
Answershow ▾
Substitute $x=\dfrac12$ into every term.แทน $x=\dfrac12$ ลงในทุกพจน์
Multiply $\dfrac14+\dfrac{a}{4}-\dfrac{11}{2}+b=0$ through by $4$ and simplify.
จงคูณ $\dfrac14+\dfrac{a}{4}-\dfrac{11}{2}+b=0$ ด้วย $4$ ตลอด แล้วจัดให้ง่าย
Answershow ▾
$4\times\dfrac14=1$, $4\times\dfrac{11}{2}=22$, and $1-22=-21$ moves to the other side as $+21$.$4\times\dfrac14=1$, $4\times\dfrac{11}{2}=22$ และ $1-22=-21$ ย้ายข้างเป็น $+21$
Write $p(-1)$ in full and set it to $12$, then simplify.
จงเขียน $p(-1)$ ให้ครบ แล้วตั้งให้เท่ากับ $12$ จากนั้นจัดให้ง่าย
Answershow ▾
$2(-1)^{3}=-2$ and $-11(-1)=11$; collect the constants on one side.$2(-1)^{3}=-2$ และ $-11(-1)=11$ จัดรวมค่าคงที่ไว้ข้างเดียว
Solve $a+4b=21$ and $a+b=3$ simultaneously.
จงแก้สมการ $a+4b=21$ และ $a+b=3$ พร้อมกัน
Answershow ▾
Subtract the second equation from the first to eliminate $a$.ลบสมการที่สองออกจากสมการแรก เพื่อกำจัด $a$
With $a=-3$, $b=6$, check that $p\left(\dfrac12\right)=0$ and $p(-1)=12$.
เมื่อ $a=-3$, $b=6$ จงตรวจว่า $p\left(\dfrac12\right)=0$ และ $p(-1)=12$
Answershow ▾
Substitute both values back into the ORIGINAL two conditions, not into the simplified equations.แทนค่าทั้งสองกลับไปในเงื่อนไขเดิม ไม่ใช่สมการที่จัดง่ายแล้ว
The polynomial $p(x)=x^{3}+ax^{2}-5x+b$ is divisible by $x-1$, and when $p(x)$ is divided by $x+2$ the remainder is $9$. Find $a$ and $b$.
พหุนาม $p(x)=x^{3}+ax^{2}-5x+b$ หารด้วย $x-1$ ลงตัว และเมื่อหาร $p(x)$ ด้วย $x+2$ เศษเหลือคือ $9$ จงหา $a$ และ $b$
Answershow ▾
Same two theorems: $p(1)=0$ and $p(-2)=9$, then solve the pair simultaneously.ทฤษฎีสองตัวเดิม: $p(1)=0$ และ $p(-2)=9$ แล้วแก้สมการคู่นี้พร้อมกัน
The polynomial $2x^{3}+ax^{2}-11x+b$ is denoted by $p(x)$. It is given that $p(x)$ is divisible by $2x-1$ and that when $p(x)$ is divided by $x+1$ the remainder is $12$.
Find the values of $a$ and $b$.
พหุนาม $2x^{3}+ax^{2}-11x+b$ เขียนแทนด้วย $p(x)$ กำหนดว่า $p(x)$ หารด้วย $2x-1$ ลงตัว และเมื่อหาร $p(x)$ ด้วย $x+1$ เศษเหลือคือ $12$
จงหาค่าของ $a$ และ $b$
Answershow ▾
5 marks: 2 for each theorem (setting it up and simplifying) and 1 for solving the pair.5 คะแนน: ทฤษฎีบทละ 2 คะแนน (ตั้งสมการและจัดให้ง่าย) และ 1 คะแนนสำหรับแก้สมการคู่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A polynomial times a series พหุนามคูณกับอนุกรม
Expand $\dfrac{2-x}{(1+2x)^{3/2}}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, simplifying the coefficients.
จงกระจาย $\dfrac{2-x}{(1+2x)^{3/2}}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $x$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ โดยจัดสัมประสิทธิ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
Write the first two terms of $(1+u)^{-3/2}$ in ascending powers of $u$: $1+\left(-\dfrac32\right)u+\ldots$
จงเขียนสองพจน์แรกของ $(1+u)^{-3/2}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $u$: $1+\left(-\dfrac32\right)u+\ldots$
Answershow ▾
$\left(-\dfrac32\right)u$ is already simplified.$\left(-\dfrac32\right)u$ จัดรูปอย่างง่ายแล้ว
Simplify $\dfrac{\left(-\dfrac32\right)\left(-\dfrac52\right)}{2}$.
จงจัดให้ง่าย $\dfrac{\left(-\dfrac32\right)\left(-\dfrac52\right)}{2}$
Answershow ▾
Multiply the top first: $\left(-\dfrac32\right)\left(-\dfrac52\right)=\dfrac{15}{4}$, then halve it.คูณข้างบนก่อน: $\left(-\dfrac32\right)\left(-\dfrac52\right)=\dfrac{15}{4}$ แล้วค่อยหารด้วย $2$
Multiply $\dfrac{15}{8}$ by $(2x)^{2}$.
จงคูณ $\dfrac{15}{8}$ ด้วย $(2x)^{2}$
Answershow ▾
$(2x)^{2}=4x^{2}$, and $\dfrac{15}{8}\times4=\dfrac{15}{2}$.$(2x)^{2}=4x^{2}$ และ $\dfrac{15}{8}\times4=\dfrac{15}{2}$
The series to expand is $(1+2x)^{-3/2}$, matched against the general term $\binom{n}{k}u^{k}$. Which substitution is right?
(A) $u=2x$, $n=-\dfrac32$
(B) $u=x$, $n=-\dfrac32$, since the $2$ can be added back in later
(C) $u=2x$, $n=\dfrac32$, keeping the power positive
อนุกรมที่จะกระจายคือ $(1+2x)^{-3/2}$ เทียบกับพจน์ทั่วไป $\binom{n}{k}u^{k}$ ควรแทนค่าใด
(A) $u=2x$, $n=-\dfrac32$
(B) $u=x$, $n=-\dfrac32$ เพราะจะเติม $2$ กลับเข้ามาทีหลังได้
(C) $u=2x$, $n=\dfrac32$ เพื่อให้กำลังยังเป็นบวกอยู่
Answershow ▾
(B) fails: the bracket is $(1+2x)$, not $(1+x)$ — dropping the $2$ loses that factor from EVERY power of $u$, not just one term. (C) fails: the exponent is genuinely $-\dfrac32$; using $+\dfrac32$ flips the sign pattern of every coefficient.(B) ผิด: วงเล็บคือ $(1+2x)$ ไม่ใช่ $(1+x)$ การตัด $2$ ทิ้งทำให้หายไปจากทุกกำลังของ $u$ ไม่ใช่แค่พจน์เดียว (C) ผิด: กำลังจริงคือ $-\dfrac32$ การใช้ $+\dfrac32$ ทำให้เครื่องหมายของทุกสัมประสิทธิ์สลับหมด
Write $(1+2x)^{-3/2}$ up to and including the term in $x^{2}$, using rungs 1-3.
จงเขียน $(1+2x)^{-3/2}$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ โดยใช้ผลจากข้อ 1-3
Answershow ▾
$-\dfrac32(2x)=-3x$, and rung 3 already gave the $x^{2}$ term.$-\dfrac32(2x)=-3x$ และข้อ 3 ให้พจน์ $x^{2}$ มาแล้ว
Multiply $(2-x)$ by $1-3x+\dfrac{15}{2}x^{2}$, keeping only terms up to $x^{2}$.
จงคูณ $(2-x)$ ด้วย $1-3x+\dfrac{15}{2}x^{2}$ โดยเก็บแค่พจน์ถึง $x^{2}$
Answershow ▾
$2$ times each term, then $-x$ times each term; drop anything above $x^{2}$.$2$ คูณทุกพจน์ แล้ว $-x$ คูณทุกพจน์ ตัดพจน์ที่เกิน $x^{2}$ ทิ้ง
Collect $2-6x+15x^{2}-x+3x^{2}$.
จงรวม $2-6x+15x^{2}-x+3x^{2}$
Answershow ▾
$-6x-x=-7x$ and $15x^{2}+3x^{2}=18x^{2}$.$-6x-x=-7x$ และ $15x^{2}+3x^{2}=18x^{2}$
Check: does the expansion give $2$ at $x=0$, matching $\dfrac{2-0}{(1+0)^{3/2}}$?
จงตรวจว่าเมื่อ $x=0$ การกระจายให้ $2$ ตรงกับ $\dfrac{2-0}{(1+0)^{3/2}}$ หรือไม่
Answershow ▾
Setting $x=0$ checks the constant term alone.แทน $x=0$ เป็นการตรวจเฉพาะพจน์คงที่
Check the expansion against the exact value at $x=\dfrac{1}{100}$, to 4 decimal places.
จงตรวจการกระจายกับค่าจริงที่ $x=\dfrac{1}{100}$ ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
A small $x$ makes the truncated series agree closely with the exact value.เมื่อ $x$ เล็ก อนุกรมที่ตัดทอนแล้วจะใกล้เคียงกับค่าจริงมาก
Expand $\dfrac{3-x}{(1+x)^{3/2}}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, simplifying the coefficients.
จงกระจาย $\dfrac{3-x}{(1+x)^{3/2}}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $x$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ โดยจัดสัมประสิทธิ์ให้ง่าย
Answershow ▾
Same moves: expand $(1+x)^{-3/2}$ to $x^{2}$, multiply by $(3-x)$, then collect.ท่าเดิม: กระจาย $(1+x)^{-3/2}$ ถึง $x^{2}$ คูณด้วย $(3-x)$ แล้วรวมพจน์
Expand $\dfrac{2-x}{(1+2x)^{3/2}}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, simplifying the coefficients.
จงกระจาย $\dfrac{2-x}{(1+2x)^{3/2}}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $x$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ โดยจัดสัมประสิทธิ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
4 marks: 2 for the unsimplified series terms, 1 for multiplying by $(2-x)$, 1 for the simplified answer.4 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับพจน์อนุกรมที่ยังไม่จัด 1 คะแนนสำหรับคูณด้วย $(2-x)$ และ 1 คะแนนสำหรับคำตอบที่จัดแล้ว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Multiply two binomial series คูณสองอนุกรมทวินาม
Expand $\sqrt{\dfrac{1+2x}{1-2x}}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, simplifying the coefficients.
จงกระจาย $\sqrt{\dfrac{1+2x}{1-2x}}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $x$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ โดยจัดสัมประสิทธิ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
Write the first two terms of $(1+2x)^{1/2}$.
จงเขียนสองพจน์แรกของ $(1+2x)^{1/2}$
Answershow ▾
$\dfrac12(2x)=x$.$\dfrac12(2x)=x$
Simplify $\dfrac{\left(\dfrac12\right)\left(-\dfrac12\right)}{2}(2x)^{2}$.
จงจัดให้ง่าย $\dfrac{\left(\dfrac12\right)\left(-\dfrac12\right)}{2}(2x)^{2}$
Answershow ▾
$\dfrac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)}{2}=-\dfrac18$, and $-\dfrac18\times4x^{2}=-\dfrac12x^{2}$.$\dfrac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)}{2}=-\dfrac18$ และ $-\dfrac18\times4x^{2}=-\dfrac12x^{2}$
Write $(1-2x)^{-1/2}$ up to and including the term in $x^{2}$ (use $u=-2x$, $n=-\dfrac12$).
จงเขียน $(1-2x)^{-1/2}$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ (ใช้ $u=-2x$, $n=-\dfrac12$)
Answershow ▾
$\left(-\dfrac12\right)(-2x)=x$, and the $x^{2}$ coefficient works out to $\dfrac32$.$\left(-\dfrac12\right)(-2x)=x$ และสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ จัดได้เป็น $\dfrac32$
To expand $\sqrt{\dfrac{1+2x}{1-2x}}$, what is the right first move?
(A) expand the top and bottom as two separate series, then do long division of one by the other
(B) write it as $(1+2x)^{1/2}(1-2x)^{-1/2}$, expand each bracket separately, then multiply the series
(C) expand $\sqrt{1+4x}$ directly, since $\dfrac{1+2x}{1-2x}\approx1+4x$ for small $x$
จะกระจาย $\sqrt{\dfrac{1+2x}{1-2x}}$ ควรทำอะไรก่อน
(A) กระจายเศษและส่วนเป็นสองอนุกรมแยกกัน แล้วหารยาวอนุกรมหนึ่งด้วยอีกอนุกรม
(B) เขียนเป็น $(1+2x)^{1/2}(1-2x)^{-1/2}$ กระจายแต่ละวงเล็บแยกกัน แล้วคูณสองอนุกรมเข้าด้วยกัน
(C) กระจาย $\sqrt{1+4x}$ ตรงๆ เพราะ $\dfrac{1+2x}{1-2x}\approx1+4x$ เมื่อ $x$ เล็ก
Answershow ▾
(A) works in principle but long division of two series is far more error-prone than splitting the power. (C) fails: $\dfrac{1+2x}{1-2x}$ is actually $1+4x+8x^{2}+\ldots$, not just $1+4x$ — the approximation throws away the real $x^{2}$ behaviour before you even start.(A) ใช้ได้ในหลักการ แต่การหารยาวสองอนุกรมผิดพลาดง่ายกว่าการแยกกำลังมาก (C) ผิด: $\dfrac{1+2x}{1-2x}$ จริงๆแล้วคือ $1+4x+8x^{2}+\ldots$ ไม่ใช่แค่ $1+4x$ การประมาณนี้ทิ้งพฤติกรรม $x^{2}$ จริงไปตั้งแต่ต้น
Multiply $\left(1+x-\dfrac12x^{2}\right)$ by $\left(1+x+\dfrac32x^{2}\right)$, keeping terms up to $x^{2}$.
จงคูณ $\left(1+x-\dfrac12x^{2}\right)$ ด้วย $\left(1+x+\dfrac32x^{2}\right)$ โดยเก็บแค่พจน์ถึง $x^{2}$
Answershow ▾
Multiply term by term, dropping anything above $x^{2}$.คูณทีละพจน์ ตัดพจน์ที่เกิน $x^{2}$ ทิ้ง
Simplify $\dfrac32+1-\dfrac12$.
จงจัดให้ง่าย $\dfrac32+1-\dfrac12$
Answershow ▾
$\dfrac32-\dfrac12=1$, then $1+1=2$.$\dfrac32-\dfrac12=1$ แล้ว $1+1=2$
Collect rungs 4-5 into the full expansion of $\sqrt{\dfrac{1+2x}{1-2x}}$ up to $x^{2}$.
จงรวมผลจากข้อ 4-5 เป็นการกระจายเต็มของ $\sqrt{\dfrac{1+2x}{1-2x}}$ จนถึงพจน์ $x^{2}$
Answershow ▾
The $x$ terms were $x+x=2x$ from rung 4, and rung 5 gave the $x^{2}$ coefficient.พจน์ $x$ จากข้อ 4 คือ $x+x=2x$ และข้อ 5 ให้สัมประสิทธิ์ $x^{2}$
Check: does the expansion give $1$ at $x=0$, matching $\sqrt{\dfrac{1+0}{1-0}}$?
จงตรวจว่าเมื่อ $x=0$ การกระจายให้ $1$ ตรงกับ $\sqrt{\dfrac{1+0}{1-0}}$ หรือไม่
Answershow ▾
Setting $x=0$ checks the constant term alone.แทน $x=0$ เป็นการตรวจเฉพาะพจน์คงที่
Check the expansion against the exact value at $x=\dfrac{1}{100}$, to 4 decimal places.
จงตรวจการกระจายกับค่าจริงที่ $x=\dfrac{1}{100}$ ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
A small $x$ makes the truncated series agree closely with the exact value.เมื่อ $x$ เล็ก อนุกรมที่ตัดทอนแล้วจะใกล้เคียงกับค่าจริงมาก
Expand $\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, simplifying the coefficients.
จงกระจาย $\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $x$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ โดยจัดสัมประสิทธิ์ให้ง่าย
Answershow ▾
Same moves: split into $(1+x)^{1/2}(1-x)^{-1/2}$, expand each, multiply, then collect.ท่าเดิม: แยกเป็น $(1+x)^{1/2}(1-x)^{-1/2}$ กระจายแต่ละตัว คูณกัน แล้วรวมพจน์
Expand $\sqrt{\dfrac{1+2x}{1-2x}}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, simplifying the coefficients.
จงกระจาย $\sqrt{\dfrac{1+2x}{1-2x}}$ ในรูปกำลังเพิ่มของ $x$ จนถึงพจน์ $x^{2}$ โดยจัดสัมประสิทธิ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
5 marks: 3 for the two series to $x^{2}$ each, 1 for multiplying them, 1 for the simplified answer.5 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับสองอนุกรมถึง $x^{2}$ และ 1 คะแนนสำหรับการคูณ และ 1 คะแนนสำหรับคำตอบที่จัดแล้ว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Partial fractions with a repeated factor เศษส่วนย่อยที่มีตัวประกอบซ้ำ
$f(x)=\dfrac{10x+9}{(2x+1)(2x+3)^{2}}$.
Express $f(x)$ in partial fractions.
$f(x)=\dfrac{10x+9}{(2x+1)(2x+3)^{2}}$
จงเขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย
If the bottom were $(2x+1)(2x+3)$, with no repeat, write the partial-fraction form with numerators $A$ and $B$.
ถ้าตัวส่วนคือ $(2x+1)(2x+3)$ ไม่มีซ้ำ จงเขียนรูปเศษส่วนย่อยด้วยตัวเศษ $A$ และ $B$
Answershow ▾
One unknown numerator per linear factor.ตัวเศษไม่รู้ค่าหนึ่งตัวต่อหนึ่งตัวประกอบเชิงเส้น
$(2x+3)$ appears squared in $(2x+1)(2x+3)^{2}$. Write the TWO terms it contributes, with numerators $B$ and $C$.
$(2x+3)$ ปรากฏแบบยกกำลังสองใน $(2x+1)(2x+3)^{2}$ จงเขียนสองพจน์ที่มันก่อให้เกิด ด้วยตัวเศษ $B$ และ $C$
Answershow ▾
A factor repeated to the power $2$ gives one term for each power, up to and including $2$.ตัวประกอบที่ซ้ำยกกำลัง $2$ ให้พจน์หนึ่งพจน์ต่อแต่ละกำลัง จนถึงกำลัง $2$
Multiply $\dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{B}{2x+3}+\dfrac{C}{(2x+3)^{2}}$ by $(2x+1)(2x+3)^{2}$ to write the equation for the top.
จงคูณ $\dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{B}{2x+3}+\dfrac{C}{(2x+3)^{2}}$ ด้วย $(2x+1)(2x+3)^{2}$ เพื่อเขียนสมการของตัวเศษ
Answershow ▾
Each term is missing exactly one factor of $(2x+1)(2x+3)^{2}$, which the multiply supplies.แต่ละพจน์ขาดตัวประกอบของ $(2x+1)(2x+3)^{2}$ อยู่หนึ่งตัว การคูณจะเติมให้ครบ
To find $A$ and $C$ quickly, which values of $x$ should you substitute?
(A) $x=-\dfrac12$ and $x=-\dfrac32$, the values that make a bracket zero
(B) $x=0$ and $x=1$, simple round numbers
(C) $x=-\dfrac32$ twice, since that is the repeated factor
ต้องการหา $A$ และ $C$ อย่างรวดเร็ว ควรแทนค่า $x$ ใด
(A) $x=-\dfrac12$ และ $x=-\dfrac32$ ค่าที่ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์
(B) $x=0$ และ $x=1$ ตัวเลขกลมๆ
(C) $x=-\dfrac32$ ซ้ำสองครั้ง เพราะเป็นตัวประกอบที่ซ้ำ
Answershow ▾
(B) fails: $0$ and $1$ zero no bracket, so all three unknowns stay mixed together in one equation each time. (C) fails: substituting the same value twice gives the same single equation twice, never isolating $A$.(B) ผิด: $0$ กับ $1$ ไม่ทำให้วงเล็บใดเป็นศูนย์ ตัวไม่รู้ค่าทั้งสามจึงปนกันอยู่ทุกครั้ง (C) ผิด: แทนค่าเดิมซ้ำสองครั้งได้สมการเดียวกันซ้ำ ไม่ช่วยแยก $A$ ออกมาได้
Substitute $x=-\dfrac12$ into the identity from rung 3 to find $A$.
จงแทน $x=-\dfrac12$ ในเอกลักษณ์จากข้อ 3 เพื่อหา $A$
Answershow ▾
Both the $B$ and $C$ terms carry a factor of $(2x+1)$, which vanishes here.พจน์ $B$ และ $C$ มีตัวประกอบ $(2x+1)$ อยู่ด้วย ซึ่งเป็นศูนย์ที่ค่านี้
Substitute $x=-\dfrac32$ into the identity from rung 3 to find $C$.
จงแทน $x=-\dfrac32$ ในเอกลักษณ์จากข้อ 3 เพื่อหา $C$
Answershow ▾
Both the $A$ and $B$ terms carry a factor of $(2x+3)$, which vanishes here.พจน์ $A$ และ $B$ มีตัวประกอบ $(2x+3)$ อยู่ด้วย ซึ่งเป็นศูนย์ที่ค่านี้
Compare the $x^{2}$ coefficients in the identity from rung 3, using $A=1$, to find $B$.
จงเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ ในเอกลักษณ์จากข้อ 3 เมื่อ $A=1$ เพื่อหา $B$
Answershow ▾
The left side has no $x^{2}$ term, so the right side’s $x^{2}$ terms must cancel.ฝั่งซ้ายไม่มีพจน์ $x^{2}$ ฝั่งขวาจึงต้องหักกันหมด
Collect $A=1$, $B=-1$, $C=3$ into the partial-fraction form.
จงรวม $A=1$, $B=-1$, $C=3$ เข้าในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Each constant drops straight into its own slot.แต่ละค่าคงที่ใส่ลงในช่องของตัวเองโดยตรง
Check the split at $x=0$: does $\dfrac{1}{2x+1}-\dfrac{1}{2x+3}+\dfrac{3}{(2x+3)^{2}}$ equal $\dfrac{10x+9}{(2x+1)(2x+3)^{2}}$?
จงตรวจที่ $x=0$: $\dfrac{1}{2x+1}-\dfrac{1}{2x+3}+\dfrac{3}{(2x+3)^{2}}$ เท่ากับ $\dfrac{10x+9}{(2x+1)(2x+3)^{2}}$ หรือไม่
Answershow ▾
A value not used in finding $A$, $B$, $C$ makes this a genuine check.ใช้ค่าที่ไม่ได้ใช้ตอนหาค่าคงที่ ทำให้เป็นการตรวจจริง
Express $\dfrac{6x+5}{(x+1)(x+2)^{2}}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{6x+5}{(x+1)(x+2)^{2}}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Same four moves: the repeated-factor form, clear fractions, substitute the two zeroing values, then match coefficients for the last constant.สี่ขั้นเดิม: รูปตัวประกอบซ้ำ กำจัดตัวส่วน แทนค่าที่ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์สองค่า แล้วเทียบสัมประสิทธิ์หาค่าสุดท้าย
$f(x)=\dfrac{10x+9}{(2x+1)(2x+3)^{2}}$.
Express $f(x)$ in partial fractions.
$f(x)=\dfrac{10x+9}{(2x+1)(2x+3)^{2}}$
จงเขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
5 marks: 1 for the repeated-factor form, 1 for clearing the fractions, 3 for the three constants.5 คะแนน: 1 คะแนนสำหรับรูปตัวประกอบซ้ำ 1 คะแนนสำหรับกำจัดตัวส่วน และ 3 คะแนนสำหรับค่าคงที่สามตัว