Complex numbers · practice ladders ชุดไต่ระดับ · จำนวนเชิงซ้อน
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Complex numbers · a polynomial with a complex root
$f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$, where $f$ has real coefficients. Given that $z = 3 + 3i$ is a root of $f(x) = 0$:
(a) write down the other complex root of $f(x) = 0$, and explain how you know.
(b) find the remaining real root of $f(x) = 0$.
(c) hence express $f(x)$ as a product of a linear factor and a quadratic factor, each with real coefficients.
Solve $x^2 + 4x + 13 = 0$, giving your answers in the form $a \pm bi$.
แก้สมการ $x^2 + 4x + 13 = 0$ โดยเขียนคำตอบในรูป $a \pm bi$
Answershow ▾
Complete the square, or use the quadratic formula: a negative discriminant gives a conjugate pair of complex roots $p \pm qi$.
A cubic $g(x)$ has real coefficients. One root is $w = -2 + 3i$. Write down the other complex root of $g(x) = 0$, and explain how you know.
พหุนามกำลังสาม $g(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง รากหนึ่งคือ $w = -2 + 3i$ จงเขียนรากเชิงซ้อนอีกตัวหนึ่งของ $g(x) = 0$ พร้อมอธิบายเหตุผล
Answershow ▾
This is the one fact the whole ladder rests on: for a REAL polynomial, complex roots always come in conjugate pairs $p+qi$ and $p-qi$ together.
Show that $(x - (-2 + 3i))(x - (-2 - 3i)) = x^2 + 4x + 13$.
Answershow ▾
Multiply out using $(x-p)^2 - (qi)^2$, and remember $i^2 = -1$ turns the $-(qi)^2$ into $+q^2$ — that is exactly why the result comes out real.
The conjugate pair rule needs one word from the question. Which of these three cubics is GUARANTEED to have $3 - 3i$ as a root, given that $3 + 3i$ is one — and which word decides it?
(A) $x^3 + ix^2 + 5$ (B) $3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$ (C) $x^3 - (3 + 3i)x^2$
กฎรากสังยุคต้องอาศัยคำ ๆ เดียวจากโจทย์ · ถ้า $3 + 3i$ เป็นราก สมการกำลังสามข้อไหนรับประกันว่ามี $3 - 3i$ เป็นรากด้วย และคำไหนเป็นตัวตัดสิน
(A) $x^3 + ix^2 + 5$ (B) $3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$ (C) $x^3 - (3 + 3i)x^2$
Answershow ▾
(A) and (C) both carry an $i$ in a coefficient, and for those the conjugate of a root is not a root at all. The rule is not about complex numbers being tidy; it is about the coefficients being real. Part (a) says “explain how you know”, and that B1 pays for the sentence once it is written — nothing pays for spotting which word in the question licenses it.ทั้ง (A) และ (C) มี $i$ อยู่ในสัมประสิทธิ์ กรณีแบบนั้นสังยุคของรากไม่จำเป็นต้องเป็นรากเลย · กฎนี้ไม่ได้เกี่ยวกับความสวยงามของจำนวนเชิงซ้อน แต่เกี่ยวกับการที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง · ข้อ (a) สั่งว่า "explain how you know" และ B1 ให้กับประโยคที่เขียนออกมา ไม่มีคะแนนให้กับการมองเห็นว่าคำไหนในโจทย์อนุญาตให้ใช้กฎนี้
$f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$ has real coefficients. Given that $z = 3 + 3i$ is a root of $f(x) = 0$, write down the other complex root, and explain how you know.
Answershow ▾
Same move as question 2, now with the numbers from the exam question. This is part (a).
Given that $z = 3 + 3i$ and $\bar z = 3 - 3i$ are both roots of $f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$, form the real quadratic factor of $f(x)$ that corresponds to this conjugate pair.
Answershow ▾
Same move as question 3 — multiply out $(x-z)(x-\bar z)$. This quadratic factor is needed before the remaining root can be found.
Count before you divide. How many roots does a cubic have in total, how many do you already have, how many are left — and what kind must each remaining one be? Say why it cannot be complex.
นับก่อนจะหาร · สมการกำลังสามมีรากทั้งหมดกี่ราก ตอนนี้ได้มาแล้วกี่ราก เหลืออีกกี่ราก และรากที่เหลือต้องเป็นชนิดใด · บอกด้วยว่าทำไมมันเป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้
Answershow ▾
A complex root would drag its own conjugate in with it, making four roots for a cubic. So the last one has no choice but to be real. That count is what tells you the quotient after dividing by the quadratic must be LINEAR, and so what to expect before you start — a wrong expectation here is what makes a student divide again and again looking for a factor that was never there. No mark is attached to the count.ถ้ารากที่เหลือเป็นจำนวนเชิงซ้อน มันจะลากสังยุคของตัวเองมาด้วย กลายเป็นสี่รากในสมการกำลังสาม · รากสุดท้ายจึงต้องเป็นจำนวนจริงเท่านั้น · การนับนี้บอกว่าผลหารหลังหารด้วยพหุนามกำลังสองต้องเป็นพหุนามเชิงเส้น จึงรู้ล่วงหน้าว่าจะเจออะไร · ถ้าคาดผิด นักเรียนจะหารวนไปมาเพื่อหาตัวประกอบที่ไม่เคยมีอยู่ · ไม่มีคะแนนให้กับการนับนี้
$f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$, and $x^2 - 6x + 18$ is a factor of $f(x)$. Divide $f(x)$ by $x^2 - 6x + 18$ to find the remaining real root.
Answershow ▾
Divide $f(x)$ by the quadratic factor; the quotient is linear, and setting it to $0$ gives the last root. This is part (b).
Hence factorise $f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$ as a product of a linear factor and a quadratic factor, each with real coefficients.
Answershow ▾
Put the factor from question 6, $(x-r)$, together with the quadratic factor from question 5. This is part (c).
Part (c) asks for “a product of a linear factor and a quadratic factor, each with real coefficients”. Both of these are correct factorisations. Which one answers the question as asked, and what is wrong with the other?
(A) $3(x - 2)\left(x - 3 - 3i\right)\left(x - 3 + 3i\right)$ (B) $3(x - 2)\left(x^2 - 6x + 18\right)$
ข้อ (c) สั่งให้เขียนเป็น "ผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นกับตัวประกอบกำลังสอง ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงทั้งคู่" · ทั้งสองรูปแยกตัวประกอบถูกต้อง ข้อไหนตอบตรงคำสั่ง และอีกข้อผิดตรงไหน
(A) $3(x - 2)\left(x - 3 - 3i\right)\left(x - 3 + 3i\right)$ (B) $3(x - 2)\left(x^2 - 6x + 18\right)$
Answershow ▾
“Each with real coefficients” is the whole instruction: it forbids leaving the conjugate pair split apart, which is exactly why they were multiplied back together in question 5. Multiplying $(x - 3 - 3i)(x - 3 + 3i)$ is what makes the $i$ disappear. The A1 is for the real factorisation; a correct complex one scores nothing for it, and no mark warns you about the words.คำว่า "each with real coefficients" คือคำสั่งทั้งหมด: มันห้ามทิ้งคู่สังยุคไว้แยกกัน ซึ่งเป็นเหตุผลที่ข้อ 5 คูณกลับเข้าด้วยกัน · การคูณ $(x - 3 - 3i)(x - 3 + 3i)$ คือสิ่งที่ทำให้ $i$ หายไป · A1 ให้กับรูปที่มีสัมประสิทธิ์จริง รูปเชิงซ้อนที่ถูกต้องไม่ได้คะแนนส่วนนี้ และไม่มีคะแนนไหนเตือนเรื่องถ้อยคำ
$f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$ has real coefficients, and $z = 3 + 3i$ is a root of $f(x) = 0$. Find the remaining real root, and hence factorise $f(x)$ fully over the reals.
Answershow ▾
Questions 5, 6 and 7 chained: form the quadratic factor, divide it out, then write down the full factorisation.
$f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4$, where $f$ has real coefficients. Given that $z = 1 + i$ is a root of $f(x) = 0$:
(a) write down the other complex root, and explain how you know.
(b) find the remaining real root.
(c) hence factorise $f(x)$ fully over the reals.
กำหนด $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และ $z = 1 + i$ เป็นรากหนึ่งของ $f(x) = 0$ (a) จงเขียนรากเชิงซ้อนอีกตัวหนึ่ง พร้อมเหตุผล (b) จงหารากจำนวนจริงที่เหลือ (c) จงแยกตัวประกอบ $f(x)$ อย่างสมบูรณ์
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$, where $f$ has real coefficients. Given that $z = 3 + 3i$ is a root of $f(x) = 0$:
(a) write down the other complex root of $f(x) = 0$, and explain how you know.
(b) find the remaining real root of $f(x) = 0$.
(c) hence express $f(x)$ as a product of a linear factor and a quadratic factor, each with real coefficients.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 7 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 form the real quadratic factor $(x - (3 + 3i))(x - (3 - 3i))$ A1 quadratic factor $= x^2 - 6x + 18$ M1 divide $f(x)$ by $x^2 - 6x + 18$ A1 remaining real root $x = 2$.
(c) M1 combine the linear and quadratic real factors A1 $f(x) = 3(x - 2)(x^2 - 6x + 18)$.
Complex numbers · modulus, argument and an Argand locus
$z_1 = \dfrac{-2 + i}{1 + 2i}$.
(a) Express $z_1$ in the form $x + iy$.
(b) Hence find $|z_1|$ and $\arg z_1$, giving each answer exactly.
(c) The complex number $z$ satisfies $|z - z_1| = 2$. Sketch the locus of the point representing $z$ on an Argand diagram, and state what the locus represents.
Simplify $\dfrac{1 + 7i}{-2 + i}$ by multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. Give your answer in the form $x + iy$.
จงทำให้ $\dfrac{1 + 7i}{-2 + i}$ อยู่ในรูป $x+iy$ โดยคูณเศษและส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
Answershow ▾
Multiply top and bottom by the conjugate of the denominator so the denominator becomes real: $(c+di)(c-di) = c^2+d^2$.
Find $|4 + 4i|$.
Answershow ▾
$|x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$ — Pythagoras applied to the point on the Argand diagram.
Find $\arg(-3i)$ exactly, in terms of $\pi$.
จงหา $\arg(-3i)$ อย่างชัดเจนในรูปของ $\pi$
Answershow ▾
Sketch the point on an Argand diagram first — which quadrant it sits in tells you whether the argument is the reference angle itself, $\pi$ minus it, or negative.
Part (b) says give each answer exactly. Your calculator, set to radians, shows $\arg z_1 = 1.5707963$. Which of these is the answer the question asked for, and what is wrong with the other two?
(A) $1.5707963$ (B) $90^\circ$ (C) $\dfrac{\pi}{2}$
ข้อ (b) สั่งให้ตอบแบบ exact · เครื่องคิดเลขในโหมดเรเดียนแสดง $\arg z_1 = 1.5707963$ · ข้อไหนคือคำตอบที่โจทย์ต้องการ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $1.5707963$ (B) $90^\circ$ (C) $\dfrac{\pi}{2}$
Answershow ▾
“Exactly” forbids a decimal, so (A) is out however many digits it carries. (B) is the same angle but in the wrong unit: an argument in Pure 3 is written in radians unless the question uses degrees, and $z_1$ appears in $|z - z_1|$ next, where radians are the only sensible currency. Set the calculator to radians before part (b) and the exact form is easy to recognise. The A1 is for the value; nothing pays for reading the word or for the calculator mode that made it visible.คำว่า "exactly" ห้ามตอบเป็นทศนิยม (A) จึงตกไปไม่ว่าจะกี่ตำแหน่ง · (B) เป็นมุมเดียวกันแต่ผิดหน่วย: อาร์กิวเมนต์ใน Pure 3 เขียนเป็นเรเดียน เว้นแต่โจทย์ใช้องศา · ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นเรเดียนก่อนทำข้อ (b) แล้วรูปที่แน่นอนจะมองออกง่าย · A1 ให้กับค่า ไม่มีคะแนนให้กับการอ่านคำสั่งหรือการตั้งโหมดเครื่องคิดเลข
$z_1 = \dfrac{-2 + i}{1 + 2i}$. Express $z_1$ in the form $x + iy$.
Answershow ▾
Same move as question 1: multiply by the conjugate of the denominator. This is part (a).
$z_1 = i$. Find $|z_1|$ and $\arg z_1$ exactly.
Answershow ▾
Same moves as questions 2 and 3, now on the value found in part (a). This is part (b).
In part (c), $|z - z_1| = 2$, two letters look alike. Which one is a FIXED number you have already found, and which one is the variable the locus is made of? Write down the sentence “the distance from ___ to ___ is always $2$” with the two letters in the right places.
ในข้อ (c) $|z - z_1| = 2$ มีตัวอักษรสองตัวที่หน้าตาคล้ายกัน · ตัวไหนเป็นค่าคงที่ที่หาได้แล้ว และตัวไหนเป็นตัวแปรที่ประกอบกันเป็นเส้นทาง · เขียนประโยค "ระยะจาก ___ ถึง ___ เท่ากับ $2$ เสมอ" โดยใส่ตัวอักษรให้ถูกที่
Answershow ▾
$z_1$ stopped being an unknown at the end of part (a); from there on it is the single point $i$. $z$ is what moves. Read the two the other way round and you draw a circle centred on the origin, or a single point, instead of the circle the question wants. The B1 pays for the correct circle and the sentence naming it; nothing pays for sorting out which letter is which.$z_1$ เลิกเป็นตัวไม่รู้ค่าตั้งแต่จบข้อ (a) จากนั้นมันคือจุด $i$ จุดเดียว · ส่วน $z$ คือตัวที่เคลื่อนที่ · ถ้าอ่านสลับกัน จะได้วงกลมที่มีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลาง หรือได้แค่จุดเดียว แทนที่จะเป็นวงกลมที่โจทย์ต้องการ · B1 ให้กับวงกลมที่ถูกและประโยคที่บอกว่ามันคืออะไร ไม่มีคะแนนให้กับการแยกว่าตัวไหนเป็นตัวไหน
On an Argand diagram, sketch the locus of the point representing $z$ given that $|z - (-3 - 3i)| = 4$, and state what the locus represents.
Answershow ▾
$|z - w|$ is the distance from the point representing $z$ to the fixed point $w$; fixing that distance gives every point at that distance from $w$ — a circle.
$z_1 = \dfrac{-2 + i}{1 + 2i}$. Find $z_1$ in the form $x+iy$, and hence write down $|z_1|$ and $\arg z_1$ exactly.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 chained: simplify the quotient first, then read off its modulus and argument. This is parts (a) and (b) together.
$z_1 = i$. The complex number $z$ satisfies $|z - z_1| = 2$. Sketch the locus of the point representing $z$ on an Argand diagram, and state what the locus represents.
Answershow ▾
Same skill as question 6, now using the actual $z_1$ found in part (a). This is part (c).
Three loci, all built from the same $z_1 = i$. Match each to its picture:
(i) $|z - i| = 2$ · (ii) $|z - i| \lt 2$ · (iii) $|z + i| = 2$
and say which one part (c) asks for.
เส้นทางสามแบบ สร้างจาก $z_1 = i$ เหมือนกัน · จับคู่แต่ละแบบกับภาพของมัน
(i) $|z - i| = 2$ · (ii) $|z - i| \lt 2$ · (iii) $|z + i| = 2$
แล้วบอกว่าข้อ (c) ถามแบบไหน
Answershow ▾
The sign inside the modulus moves the centre, and it moves it to the point that makes the bracket zero: $|z + i| = |z - (-i)|$, so the centre is $-i$, not $+i$. An $=$ draws the curve; a $\lt$ shades a region and needs a dashed boundary. Both choices are made before a single line of working, and the B1 pays only for the finished sketch and the words “a circle, centre $i$, radius $2$”.เครื่องหมายในค่าสัมบูรณ์เป็นตัวย้ายจุดศูนย์กลาง และย้ายไปที่จุดที่ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์: $|z + i| = |z - (-i)|$ ศูนย์กลางจึงเป็น $-i$ ไม่ใช่ $+i$ · เครื่องหมาย $=$ วาดเส้นโค้ง ส่วน $\lt$ แรเงาพื้นที่และต้องใช้เส้นประที่ขอบ · ทั้งสองอย่างตัดสินใจก่อนลงมือเขียนบรรทัดแรก และ B1 ให้เฉพาะรูปที่วาดเสร็จกับข้อความ "วงกลม ศูนย์กลาง $i$ รัศมี $2$"
$z_1 = \dfrac{2i}{1 + i}$.
(a) Express $z_1$ in the form $x+iy$.
(b) Find $|z_1|$ and $\arg z_1$ exactly.
(c) The complex number $z$ satisfies $|z - z_1| = 2$. Sketch the locus of the point representing $z$, and state what it represents.
$z_1 = \dfrac{2i}{1 + i}$ (a) จงเขียน $z_1$ ในรูป $x+iy$ (b) จงหา $|z_1|$ และ $\arg z_1$ อย่างชัดเจน (c) จำนวนเชิงซ้อน $z$ สอดคล้องกับ $|z - z_1| = 2$ จงร่างวิถีของจุดที่แทน $z$ บนแผนภาพอาร์กองด์ พร้อมบอกว่าคืออะไร
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$z_1 = \dfrac{-2 + i}{1 + 2i}$.
(a) Express $z_1$ in the form $x + iy$.
(b) Hence find $|z_1|$ and $\arg z_1$, giving each answer exactly.
(c) The complex number $z$ satisfies $|z - z_1| = 2$. Sketch the locus of the point representing $z$ on an Argand diagram, and state what the locus represents.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 8 builds part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) B1 $|z_1| = 1$ B1 $\arg z_1 = \frac{\pi}{2}$.
(c) M1 recognise $|z - z_1| = 2$ as every point at fixed distance $2$ from the point representing $z_1$ A1 radius $= 2$ B1 the locus is a circle, centre $z_1 = i$, radius $2$.