Complex numbers · practice ladders ชุดไต่ระดับ · จำนวนเชิงซ้อน
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Complex numbers · a polynomial with a complex root
$f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$, where $f$ has real coefficients. Given that $z = 3 + 3i$ is a root of $f(x) = 0$:
(a) write down the other complex root of $f(x) = 0$, and explain how you know.
(b) find the remaining real root of $f(x) = 0$.
(c) hence express $f(x)$ as a product of a linear factor and a quadratic factor, each with real coefficients.
Solve $x^2 + 4x + 13 = 0$, giving your answers in the form $a \pm bi$.
แก้สมการ $x^2 + 4x + 13 = 0$ โดยเขียนคำตอบในรูป $a \pm bi$
Answershow ▾
Complete the square, or use the quadratic formula: a negative discriminant gives a conjugate pair of complex roots $p \pm qi$.
A cubic $g(x)$ has real coefficients. One root is $w = -2 + 3i$. Write down the other complex root of $g(x) = 0$, and explain how you know.
พหุนามกำลังสาม $g(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง รากหนึ่งคือ $w = -2 + 3i$ จงเขียนรากเชิงซ้อนอีกตัวหนึ่งของ $g(x) = 0$ พร้อมอธิบายเหตุผล
Answershow ▾
This is the one fact the whole ladder rests on: for a REAL polynomial, complex roots always come in conjugate pairs $p+qi$ and $p-qi$ together.
Show that $(x - (-2 + 3i))(x - (-2 - 3i))$ $= x^2 + 4x + 13$.
Answershow ▾
Multiply out using $(x-p)^2 - (qi)^2$, and remember $i^2 = -1$ turns the $-(qi)^2$ into $+q^2$ — that is exactly why the result comes out real.
The conjugate pair rule needs one word from the question. Which of these three cubics is GUARANTEED to have $3 - 3i$ as a root, given that $3 + 3i$ is one — and which word decides it?
(A) $x^3 + ix^2 + 5$ (B) $3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$ (C) $x^3 - (3 + 3i)x^2$
กฎรากสังยุคต้องอาศัยคำ ๆ เดียวจากโจทย์ · ถ้า $3 + 3i$ เป็นราก สมการกำลังสามข้อไหนรับประกันว่ามี $3 - 3i$ เป็นรากด้วย และคำไหนเป็นตัวตัดสิน
(A) $x^3 + ix^2 + 5$ (B) $3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$ (C) $x^3 - (3 + 3i)x^2$
Answershow ▾
(A) and (C) both carry an $i$ in a coefficient, and for those the conjugate of a root is not a root at all. The rule is not about complex numbers being tidy; it is about the coefficients being real. Part (a) says “explain how you know”, and that B1 pays for the sentence once it is written — nothing pays for spotting which word in the question licenses it.ทั้ง (A) และ (C) มี $i$ อยู่ในสัมประสิทธิ์ กรณีแบบนั้นสังยุคของรากไม่จำเป็นต้องเป็นรากเลย · กฎนี้ไม่ได้เกี่ยวกับความสวยงามของจำนวนเชิงซ้อน แต่เกี่ยวกับการที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง · ข้อ (a) สั่งว่า "explain how you know" และ B1 ให้กับประโยคที่เขียนออกมา ไม่มีคะแนนให้กับการมองเห็นว่าคำไหนในโจทย์อนุญาตให้ใช้กฎนี้
$f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$ has real coefficients. Given that $z = 3 + 3i$ is a root of $f(x) = 0$, write down the other complex root, and explain how you know.
Answershow ▾
Same move as question 2, now with the numbers from the exam question. This is part (a).
Given that $z = 3 + 3i$ and $\bar z = 3 - 3i$ are both roots of $f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$, form the real quadratic factor of $f(x)$ that corresponds to this conjugate pair.
Answershow ▾
Same move as question 3 — multiply out $(x-z)(x-\bar z)$. This quadratic factor is needed before the remaining root can be found.
Count before you divide. How many roots does a cubic have in total, how many do you already have, how many are left — and what kind must each remaining one be? Say why it cannot be complex.
นับก่อนจะหาร · สมการกำลังสามมีรากทั้งหมดกี่ราก ตอนนี้ได้มาแล้วกี่ราก เหลืออีกกี่ราก และรากที่เหลือต้องเป็นชนิดใด · บอกด้วยว่าทำไมมันเป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้
Answershow ▾
A complex root would drag its own conjugate in with it, making four roots for a cubic. So the last one has no choice but to be real. That count is what tells you the quotient after dividing by the quadratic must be LINEAR, and so what to expect before you start — a wrong expectation here is what makes a student divide again and again looking for a factor that was never there. No mark is attached to the count.ถ้ารากที่เหลือเป็นจำนวนเชิงซ้อน มันจะลากสังยุคของตัวเองมาด้วย กลายเป็นสี่รากในสมการกำลังสาม · รากสุดท้ายจึงต้องเป็นจำนวนจริงเท่านั้น · การนับนี้บอกว่าผลหารหลังหารด้วยพหุนามกำลังสองต้องเป็นพหุนามเชิงเส้น จึงรู้ล่วงหน้าว่าจะเจออะไร · ถ้าคาดผิด นักเรียนจะหารวนไปมาเพื่อหาตัวประกอบที่ไม่เคยมีอยู่ · ไม่มีคะแนนให้กับการนับนี้
$f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$, and $x^2 - 6x + 18$ is a factor of $f(x)$. Divide $f(x)$ by $x^2 - 6x + 18$ to find the remaining real root.
Answershow ▾
Divide $f(x)$ by the quadratic factor; the quotient is linear, and setting it to $0$ gives the last root. This is part (b).
Hence factorise $f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$ as a product of a linear factor and a quadratic factor, each with real coefficients.
Answershow ▾
Put the factor from question 6, $(x-r)$, together with the quadratic factor from question 5. This is part (c).
Part (c) asks for “a product of a linear factor and a quadratic factor, each with real coefficients”. Both of these are correct factorisations. Which one answers the question as asked, and what is wrong with the other?
(A) $3(x - 2)\left(x - 3 - 3i\right)\left(x - 3 + 3i\right)$ (B) $3(x - 2)\left(x^2 - 6x + 18\right)$
ข้อ (c) สั่งให้เขียนเป็น "ผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นกับตัวประกอบกำลังสอง ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงทั้งคู่" · ทั้งสองรูปแยกตัวประกอบถูกต้อง ข้อไหนตอบตรงคำสั่ง และอีกข้อผิดตรงไหน
(A) $3(x - 2)\left(x - 3 - 3i\right)\left(x - 3 + 3i\right)$ (B) $3(x - 2)\left(x^2 - 6x + 18\right)$
Answershow ▾
“Each with real coefficients” is the whole instruction: it forbids leaving the conjugate pair split apart, which is exactly why they were multiplied back together in question 5. Multiplying $(x - 3 - 3i)(x - 3 + 3i)$ is what makes the $i$ disappear. The A1 is for the real factorisation; a correct complex one scores nothing for it, and no mark warns you about the words.คำว่า "each with real coefficients" คือคำสั่งทั้งหมด: มันห้ามทิ้งคู่สังยุคไว้แยกกัน ซึ่งเป็นเหตุผลที่ข้อ 5 คูณกลับเข้าด้วยกัน · การคูณ $(x - 3 - 3i)(x - 3 + 3i)$ คือสิ่งที่ทำให้ $i$ หายไป · A1 ให้กับรูปที่มีสัมประสิทธิ์จริง รูปเชิงซ้อนที่ถูกต้องไม่ได้คะแนนส่วนนี้ และไม่มีคะแนนไหนเตือนเรื่องถ้อยคำ
$f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$ has real coefficients, and $z = 3 + 3i$ is a root of $f(x) = 0$. Find the remaining real root, and hence factorise $f(x)$ fully over the reals.
Answershow ▾
Questions 5, 6 and 7 chained: form the quadratic factor, divide it out, then write down the full factorisation.
$f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4$, where $f$ has real coefficients. Given that $z = 1 + i$ is a root of $f(x) = 0$:
(a) write down the other complex root, and explain how you know.
(b) find the remaining real root.
(c) hence factorise $f(x)$ fully over the reals.
กำหนด $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และ $z = 1 + i$ เป็นรากหนึ่งของ $f(x) = 0$ (a) จงเขียนรากเชิงซ้อนอีกตัวหนึ่ง พร้อมเหตุผล (b) จงหารากจำนวนจริงที่เหลือ (c) จงแยกตัวประกอบ $f(x)$ อย่างสมบูรณ์
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$f(x) = 3x^3 - 24x^2 + 90x - 108$, where $f$ has real coefficients. Given that $z = 3 + 3i$ is a root of $f(x) = 0$:
(a) write down the other complex root of $f(x) = 0$, and explain how you know.
(b) find the remaining real root of $f(x) = 0$.
(c) hence express $f(x)$ as a product of a linear factor and a quadratic factor, each with real coefficients.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 7 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Complex numbers · modulus, argument and an Argand locus
$z_1 = \dfrac{-2 + i}{1 + 2i}$.
(a) Express $z_1$ in the form $x + iy$.
(b) Hence find $|z_1|$ and $\arg z_1$, giving each answer exactly.
(c) The complex number $z$ satisfies $|z - z_1| = 2$. Sketch the locus of the point representing $z$ on an Argand diagram, and state what the locus represents.
Simplify $\dfrac{1 + 7i}{-2 + i}$ by multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. Give your answer in the form $x + iy$.
จงทำให้ $\dfrac{1 + 7i}{-2 + i}$ อยู่ในรูป $x+iy$ โดยคูณเศษและส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
Answershow ▾
Multiply top and bottom by the conjugate of the denominator so the denominator becomes real: $(c+di)(c-di) = c^2+d^2$.
Find $|4 + 4i|$.
Answershow ▾
$|x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$ — Pythagoras applied to the point on the Argand diagram.
Find $\arg(-3i)$ exactly, in terms of $\pi$.
จงหา $\arg(-3i)$ อย่างชัดเจนในรูปของ $\pi$
Answershow ▾
Sketch the point on an Argand diagram first — which quadrant it sits in tells you whether the argument is the reference angle itself, $\pi$ minus it, or negative.
Part (b) says give each answer exactly. Your calculator, set to radians, shows $\arg z_1 = 1.5707963$. Which of these is the answer the question asked for, and what is wrong with the other two?
(A) $1.5707963$ (B) $90^\circ$ (C) $\dfrac{\pi}{2}$
ข้อ (b) สั่งให้ตอบแบบ exact · เครื่องคิดเลขในโหมดเรเดียนแสดง $\arg z_1 = 1.5707963$ · ข้อไหนคือคำตอบที่โจทย์ต้องการ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $1.5707963$ (B) $90^\circ$ (C) $\dfrac{\pi}{2}$
Answershow ▾
“Exactly” forbids a decimal, so (A) is out however many digits it carries. (B) is the same angle but in the wrong unit: an argument in Pure 3 is written in radians unless the question uses degrees, and $z_1$ appears in $|z - z_1|$ next, where radians are the only sensible currency. Set the calculator to radians before part (b) and the exact form is easy to recognise. The A1 is for the value; nothing pays for reading the word or for the calculator mode that made it visible.คำว่า "exactly" ห้ามตอบเป็นทศนิยม (A) จึงตกไปไม่ว่าจะกี่ตำแหน่ง · (B) เป็นมุมเดียวกันแต่ผิดหน่วย: อาร์กิวเมนต์ใน Pure 3 เขียนเป็นเรเดียน เว้นแต่โจทย์ใช้องศา · ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นเรเดียนก่อนทำข้อ (b) แล้วรูปที่แน่นอนจะมองออกง่าย · A1 ให้กับค่า ไม่มีคะแนนให้กับการอ่านคำสั่งหรือการตั้งโหมดเครื่องคิดเลข
$z_1 = \dfrac{-2 + i}{1 + 2i}$. Express $z_1$ in the form $x + iy$.
Answershow ▾
Same move as question 1: multiply by the conjugate of the denominator. This is part (a).
$z_1 = i$. Find $|z_1|$ and $\arg z_1$ exactly.
Answershow ▾
Same moves as questions 2 and 3, now on the value found in part (a). This is part (b).
In part (c), $|z - z_1| = 2$, two letters look alike. Which one is a FIXED number you have already found, and which one is the variable the locus is made of? Write down the sentence “the distance from ___ to ___ is always $2$” with the two letters in the right places.
ในข้อ (c) $|z - z_1| = 2$ มีตัวอักษรสองตัวที่หน้าตาคล้ายกัน · ตัวไหนเป็นค่าคงที่ที่หาได้แล้ว และตัวไหนเป็นตัวแปรที่ประกอบกันเป็นเส้นทาง · เขียนประโยค "ระยะจาก ___ ถึง ___ เท่ากับ $2$ เสมอ" โดยใส่ตัวอักษรให้ถูกที่
Answershow ▾
$z_1$ stopped being an unknown at the end of part (a); from there on it is the single point $i$. $z$ is what moves. Read the two the other way round and you draw a circle centred on the origin, or a single point, instead of the circle the question wants. The B1 pays for the correct circle and the sentence naming it; nothing pays for sorting out which letter is which.$z_1$ เลิกเป็นตัวไม่รู้ค่าตั้งแต่จบข้อ (a) จากนั้นมันคือจุด $i$ จุดเดียว · ส่วน $z$ คือตัวที่เคลื่อนที่ · ถ้าอ่านสลับกัน จะได้วงกลมที่มีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลาง หรือได้แค่จุดเดียว แทนที่จะเป็นวงกลมที่โจทย์ต้องการ · B1 ให้กับวงกลมที่ถูกและประโยคที่บอกว่ามันคืออะไร ไม่มีคะแนนให้กับการแยกว่าตัวไหนเป็นตัวไหน
On an Argand diagram, sketch the locus of the point representing $z$ given that $|z - (-3 - 3i)| = 4$, and state what the locus represents.
Answershow ▾
$|z - w|$ is the distance from the point representing $z$ to the fixed point $w$; fixing that distance gives every point at that distance from $w$ — a circle.
$z_1 = \dfrac{-2 + i}{1 + 2i}$. Find $z_1$ in the form $x+iy$, and hence write down $|z_1|$ and $\arg z_1$ exactly.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 chained: simplify the quotient first, then read off its modulus and argument. This is parts (a) and (b) together.
$z_1 = i$. The complex number $z$ satisfies $|z - z_1| = 2$. Sketch the locus of the point representing $z$ on an Argand diagram, and state what the locus represents.
Answershow ▾
Same skill as question 6, now using the actual $z_1$ found in part (a). This is part (c).
Three loci, all built from the same $z_1 = i$. Match each to its picture:
(i) $|z - i| = 2$ · (ii) $|z - i| \lt 2$ · (iii) $|z + i| = 2$
and say which one part (c) asks for.
เส้นทางสามแบบ สร้างจาก $z_1 = i$ เหมือนกัน · จับคู่แต่ละแบบกับภาพของมัน
(i) $|z - i| = 2$ · (ii) $|z - i| \lt 2$ · (iii) $|z + i| = 2$
แล้วบอกว่าข้อ (c) ถามแบบไหน
Answershow ▾
The sign inside the modulus moves the centre, and it moves it to the point that makes the bracket zero: $|z + i| = |z - (-i)|$, so the centre is $-i$, not $+i$. An $=$ draws the curve; a $\lt$ shades a region and needs a dashed boundary. Both choices are made before a single line of working, and the B1 pays only for the finished sketch and the words “a circle, centre $i$, radius $2$”.เครื่องหมายในค่าสัมบูรณ์เป็นตัวย้ายจุดศูนย์กลาง และย้ายไปที่จุดที่ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์: $|z + i| = |z - (-i)|$ ศูนย์กลางจึงเป็น $-i$ ไม่ใช่ $+i$ · เครื่องหมาย $=$ วาดเส้นโค้ง ส่วน $\lt$ แรเงาพื้นที่และต้องใช้เส้นประที่ขอบ · ทั้งสองอย่างตัดสินใจก่อนลงมือเขียนบรรทัดแรก และ B1 ให้เฉพาะรูปที่วาดเสร็จกับข้อความ "วงกลม ศูนย์กลาง $i$ รัศมี $2$"
$z_1 = \dfrac{2i}{1 + i}$.
(a) Express $z_1$ in the form $x+iy$.
(b) Find $|z_1|$ and $\arg z_1$ exactly.
(c) The complex number $z$ satisfies $|z - z_1| = 2$. Sketch the locus of the point representing $z$, and state what it represents.
$z_1 = \dfrac{2i}{1 + i}$ (a) จงเขียน $z_1$ ในรูป $x+iy$ (b) จงหา $|z_1|$ และ $\arg z_1$ อย่างชัดเจน (c) จำนวนเชิงซ้อน $z$ สอดคล้องกับ $|z - z_1| = 2$ จงร่างวิถีของจุดที่แทน $z$ บนแผนภาพอาร์กองด์ พร้อมบอกว่าคืออะไร
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$z_1 = \dfrac{-2 + i}{1 + 2i}$.
(a) Express $z_1$ in the form $x + iy$.
(b) Hence find $|z_1|$ and $\arg z_1$, giving each answer exactly.
(c) The complex number $z$ satisfies $|z - z_1| = 2$. Sketch the locus of the point representing $z$ on an Argand diagram, and state what the locus represents.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 8 builds part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Shade: outside one circle, inside another แรเงา: นอกวงกลมหนึ่ง ในอีกวงกลมหนึ่ง
On a sketch of an Argand diagram, shade the region whose points represent complex numbers $z$ satisfying the inequalities $|z|\ge2$ and $|z-(1-\mathrm{i})|\le1$.
จากภาพร่าง Argand diagram ให้แรเงา (shade) พื้นที่ของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $|z|\ge2$ และ $|z-(1-\mathrm{i})|\le1$
Write down the centre and radius of the circle $|z-(1-\mathrm{i})|=1$.
จงเขียนจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $|z-(1-\mathrm{i})|=1$
Answershow ▾
$|z-a|=r$ is a circle, centre $a$, radius $r$.$|z-a|=r$ คือวงกลม จุดศูนย์กลาง $a$ รัศมี $r$
Write down the centre and radius of the circle $|z|=2$.
จงเขียนจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $|z|=2$
Answershow ▾
$|z|=r$ is short for $|z-0|=r$.$|z|=r$ คือรูปย่อของ $|z-0|=r$
Does the centre of the small circle, $z=1-\mathrm{i}$, satisfy $|z|\ge2$?
จุดศูนย์กลางของวงกลมเล็ก $z=1-\mathrm{i}$ สอดคล้องกับ $|z|\ge2$ หรือไม่
Answershow ▾
Work out $|1-\mathrm{i}|$ with Pythagoras, then compare it with $2$.หา $|1-\mathrm{i}|$ ด้วยพีทาโกรัส แล้วเทียบกับ $2$
$|z|\ge2$ and $|z-(1-\mathrm{i})|\le1$. Pick the region.
(A) inside both circles
(B) outside the big circle $|z|=2$ and inside the small circle $|z-(1-\mathrm{i})|=1$
(C) inside the big circle and outside the small circle
$|z|\ge2$ และ $|z-(1-\mathrm{i})|\le1$ จงเลือกพื้นที่ที่ถูกต้อง
(A) ในวงกลมทั้งสองวง
(B) นอกวงกลมใหญ่ $|z|=2$ และในวงกลมเล็ก $|z-(1-\mathrm{i})|=1$
(C) ในวงกลมใหญ่ และนอกวงกลมเล็ก
Answershow ▾
(A) is wrong because $|z|\ge2$ means ON or AWAY FROM the big circle, never inside it. (C) swaps the two inequalities round the wrong way.(A) ผิดเพราะ $|z|\ge2$ หมายถึงอยู่บนหรือนอกวงกลมใหญ่ ไม่ใช่ข้างใน (C) สลับอสมการทั้งสองวงกลับทางกัน
Find the distance between the centres $0$ and $1-\mathrm{i}$.
จงหาระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลาง $0$ และ $1-\mathrm{i}$
Answershow ▾
The distance between two points representing complex numbers is the modulus of their difference.ระยะห่างระหว่างสองจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน คือมอดุลัส (modulus) ของผลต่าง
The centres are $\sqrt2$ apart and the small circle has radius $1$. Work out the farthest a point of the small circle can be from the origin.
จุดศูนย์กลางห่างกัน $\sqrt2$ และวงกลมเล็กมีรัศมี $1$ จงหาระยะไกลที่สุดของจุดบนวงกลมเล็กจากจุดกำเนิด
Answershow ▾
The farthest point is the distance between centres, plus the radius of the small circle itself.จุดที่ไกลที่สุด คือระยะระหว่างจุดศูนย์กลาง บวกรัศมีของวงกลมเล็กเอง
Work out the nearest a point of the small circle can be to the origin.
จงหาระยะใกล้ที่สุดของจุดบนวงกลมเล็กจากจุดกำเนิด
Answershow ▾
The nearest point is the distance between centres, minus the radius of the small circle itself.จุดที่ใกล้ที่สุด คือระยะระหว่างจุดศูนย์กลาง ลบรัศมีของวงกลมเล็กเอง
$z=2-\mathrm{i}$ lies on the small circle. Check whether it satisfies $|z|\ge2$.
$z=2-\mathrm{i}$ อยู่บนวงกลมเล็ก จงตรวจว่าสอดคล้องกับ $|z|\ge2$ หรือไม่
Answershow ▾
Since $2.41>2>0.41$, only part of the small circle is far enough from the origin.เพราะ $2.41>2>0.41$ จึงมีแค่บางส่วนของวงกลมเล็กที่ไกลจากจุดกำเนิดพอ
$z=-\mathrm{i}$ also lies on the small circle. Check whether it satisfies $|z|\ge2$.
$z=-\mathrm{i}$ ก็อยู่บนวงกลมเล็กเช่นกัน จงตรวจว่าสอดคล้องกับ $|z|\ge2$ หรือไม่
Answershow ▾
A point can be on the small circle and still fail $|z|\ge2$ -- only an arc of it is shaded.จุดบนวงกลมเล็กบางจุดก็ยังไม่สอดคล้อง $|z|\ge2$ มีเพียงส่วนโค้งหนึ่งเท่านั้นที่ถูกแรเงา
Describe the region satisfying $|z|\ge5$ and $|z-(3+4\mathrm{i})|\le1$. State whether the whole, part, or none of the small circle lies in this region.
จงบรรยายพื้นที่ที่สอดคล้องกับ $|z|\ge5$ และ $|z-(3+4\mathrm{i})|\le1$ แล้วระบุว่าวงกลมเล็กอยู่ในพื้นที่นี้ ทั้งวง บางส่วน หรือไม่มีเลย
Answershow ▾
Same two moves: distance between centres, then add and subtract the small radius.สองขั้นเดิม: ระยะระหว่างจุดศูนย์กลาง แล้วบวกและลบรัศมีวงกลมเล็ก
On a sketch of an Argand diagram, shade the region whose points represent complex numbers $z$ satisfying the inequalities $|z|\ge2$ and $|z-(1-\mathrm{i})|\le1$.
จากภาพร่าง Argand diagram ให้แรเงา (shade) พื้นที่ของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $|z|\ge2$ และ $|z-(1-\mathrm{i})|\le1$
Answershow ▾
4 marks: each circle is a mark, and the sliver is right only when both circles are placed correctly.4 คะแนน: วงกลมแต่ละวงคือ 1 คะแนน และส่วนที่แรเงาจะถูกก็ต่อเมื่อวางวงกลมทั้งสองวงถูกต้อง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic with complex coefficients สมการกำลังสองที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน
Solve the quadratic equation $(3+\mathrm{i})w^{2}-2w+(3-\mathrm{i})=0$, giving your answers in the form $x+\mathrm{i}y$, where $x$ and $y$ are real.
แก้สมการกำลังสอง $(3+\mathrm{i})w^{2}-2w+(3-\mathrm{i})=0$ โดยตอบในรูป $x+\mathrm{i}y$ เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง
Simplify $(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})$.
จงจัดรูป $(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})$
Answershow ▾
Expand, then use $\mathrm{i}^{2}=-1$.กระจาย แล้วใช้ $\mathrm{i}^{2}=-1$
Simplify $\sqrt{-36}$.
จงจัดรูป $\sqrt{-36}$
Answershow ▾
Take out the $-1$ as $\mathrm{i}^{2}$, then take the square root of what is left.แยก $-1$ ออกมาเป็น $\mathrm{i}^{2}$ แล้วถอดรากที่เหลือ
Simplify $\dfrac{1+3\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$ by multiplying top and bottom by the conjugate $3-\mathrm{i}$.
จงจัดรูป $\dfrac{1+3\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$ โดยคูณเศษและส่วนด้วยสังยุค $3-\mathrm{i}$
Answershow ▾
The denominator becomes real: $(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})=10$ from question 1.ตัวส่วนจะกลายเป็นจำนวนจริง: $(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})=10$ จากข้อ 1
$(3+\mathrm{i})w^{2}-2w+(3-\mathrm{i})=0$ has complex coefficients. Pick the first move.
(A) try to factorise by inspection
(B) use the quadratic formula with $a=3+\mathrm{i}$, $b=-2$, $c=3-\mathrm{i}$
(C) assume the two roots are a conjugate pair and substitute
$(3+\mathrm{i})w^{2}-2w+(3-\mathrm{i})=0$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน จงเลือกขั้นแรก
(A) ลองแยกตัวประกอบด้วยการสังเกต
(B) ใช้สูตรกำลังสองโดย $a=3+\mathrm{i}$, $b=-2$, $c=3-\mathrm{i}$
(C) สมมติว่ารากทั้งสองเป็นคู่สังยุค แล้วแทนค่า
Answershow ▾
(A) fails -- these coefficients do not factorise by inspection. (C) is invalid: the conjugate-pair rule only holds when EVERY coefficient of the equation is real, and $3+\mathrm{i}$, $3-\mathrm{i}$ are not.(A) ไม่ได้ เพราะสัมประสิทธิ์เหล่านี้แยกตัวประกอบด้วยการสังเกตไม่ได้ (C) ใช้ไม่ได้ เพราะกฎคู่สังยุคใช้ได้เมื่อ สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริงเท่านั้น แต่ $3+\mathrm{i}$ และ $3-\mathrm{i}$ ไม่ใช่
Write $w=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ for $a=3+\mathrm{i}$, $b=-2$, $c=3-\mathrm{i}$.
จงเขียน $w=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ โดย $a=3+\mathrm{i}$, $b=-2$, $c=3-\mathrm{i}$
Answershow ▾
$-b=2$ and $b^{2}=4$. Keep the brackets around $(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})$ for now.$-b=2$ และ $b^{2}=4$ · คงวงเล็บ $(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})$ ไว้ก่อน
Using $(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})=10$ from question 1, simplify $4-4(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})$, then take its square root.
โดยใช้ $(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})=10$ จากข้อ 1 จงจัดรูป $4-4(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})$ แล้วถอดราก
Answershow ▾
$4-4(10)=-36$, and $\sqrt{-36}=6\mathrm{i}$ from question 2.$4-4(10)=-36$ และ $\sqrt{-36}=6\mathrm{i}$ จากข้อ 2
Substitute back to get $w=\dfrac{2\pm6\mathrm{i}}{2(3+\mathrm{i})}$, then cancel the common factor of $2$.
แทนกลับเพื่อได้ $w=\dfrac{2\pm6\mathrm{i}}{2(3+\mathrm{i})}$ แล้วตัดตัวประกอบร่วม $2$ ออก
Answershow ▾
Divide every term, top and bottom, by $2$.หารทุกพจน์ ทั้งเศษและส่วน ด้วย $2$
Multiply $\dfrac{1-3\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$ by $\dfrac{3-\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}$ to find the other root.
จงคูณ $\dfrac{1-3\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$ ด้วย $\dfrac{3-\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}$ เพื่อหารากที่เหลือ
Answershow ▾
Same rationalising move as question 3, with the minus sign carried through.ท่าทำรากเดิมจากข้อ 3 แต่พกเครื่องหมายลบติดไปด้วย
Check that $w=-\mathrm{i}$ satisfies $(3+\mathrm{i})w^{2}-2w+(3-\mathrm{i})=0$.
จงตรวจว่า $w=-\mathrm{i}$ สอดคล้องกับ $(3+\mathrm{i})w^{2}-2w+(3-\mathrm{i})=0$
Answershow ▾
Substitute, use $(-\mathrm{i})^{2}=-1$, then collect.แทนค่า ใช้ $(-\mathrm{i})^{2}=-1$ แล้วรวมพจน์
Solve the quadratic equation $(1+\mathrm{i})w^{2}-2w+(1-\mathrm{i})=0$, giving your answers in the form $x+\mathrm{i}y$.
จงแก้สมการกำลังสอง $(1+\mathrm{i})w^{2}-2w+(1-\mathrm{i})=0$ โดยตอบในรูป $x+\mathrm{i}y$
Answershow ▾
Same three moves: formula, simplify the discriminant, then divide out by the conjugate.สามขั้นเดิม: สูตร จัดรูปตัวจำแนก แล้วหารด้วยสังยุค
Solve the quadratic equation $(3+\mathrm{i})w^{2}-2w+(3-\mathrm{i})=0$, giving your answers in the form $x+\mathrm{i}y$, where $x$ and $y$ are real.
แก้สมการกำลังสอง $(3+\mathrm{i})w^{2}-2w+(3-\mathrm{i})=0$ โดยตอบในรูป $x+\mathrm{i}y$ เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง
Answershow ▾
5 marks: 2 for reaching an unsimplified root, 1 for rationalising, 2 for both final answers.5 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับรากที่ยังไม่จัดรูป 1 คะแนนสำหรับทำราก และ 2 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้ายทั้งสองค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Expand a cube, then read off the argument กระจายกำลังสาม แล้วหาอาร์กิวเมนต์
The complex number $2+y\mathrm{i}$ is denoted by $a$, where $y$ is a real number and $y\lt0$. It is given that $\mathrm{f}(a)=a^{3}-a^{2}-2a$.
(a) Find a simplified expression for $\mathrm{f}(a)$ in terms of $y$.
(b) Given that $\mathrm{Re}(\mathrm{f}(a))=-20$, find $\arg a$.
จำนวนเชิงซ้อน $2+y\mathrm{i}$ แทนด้วย $a$ เมื่อ $y$ เป็นจำนวนจริงและ $y\lt0$ กำหนดให้ $\mathrm{f}(a)=a^{3}-a^{2}-2a$
(ก) หานิพจน์ของ $\mathrm{f}(a)$ ในรูปของ $y$ แบบจัดรูปแล้ว
(ข) กำหนดว่า $\mathrm{Re}(\mathrm{f}(a))=-20$ จงหา $\arg a$
Expand $(2+y\mathrm{i})^{2}$.
จงกระจาย $(2+y\mathrm{i})^{2}$
Answershow ▾
Expand as usual, then use $\mathrm{i}^{2}=-1$ on the $y^{2}\mathrm{i}^{2}$ term.กระจายตามปกติ แล้วใช้ $\mathrm{i}^{2}=-1$ กับพจน์ $y^{2}\mathrm{i}^{2}$
Simplify $4y\mathrm{i}\times y\mathrm{i}$.
จงจัดรูป $4y\mathrm{i}\times y\mathrm{i}$
Answershow ▾
$\mathrm{i}\times\mathrm{i}=\mathrm{i}^{2}=-1$.$\mathrm{i}\times\mathrm{i}=\mathrm{i}^{2}=-1$
Solve $-5y^{2}=-20$, given that $y\lt0$.
จงแก้สมการ $-5y^{2}=-20$ โดยกำหนดว่า $y\lt0$
Answershow ▾
$y^{2}=4$ gives $y=2$ or $y=-2$; the question rules out the positive one.$y^{2}=4$ ให้ $y=2$ หรือ $y=-2$ โจทย์ตัดค่าบวกทิ้งไป
You have simplified $f(a)$ to $A+B\mathrm{i}$ in terms of $y$, and you are told $\mathrm{Re}(f(a))=-20$. Which equation do you solve?
(A) $B=-20$, the imaginary part
(B) $A=-20$, the real part
(C) $A+B=-20$, treating the whole expression as one real number
คุณจัดรูป $f(a)$ เป็น $A+B\mathrm{i}$ ในรูปของ $y$ แล้ว และโจทย์บอกว่า $\mathrm{Re}(f(a))=-20$ จะแก้สมการใด
(A) $B=-20$ ส่วนจินตภาพ
(B) $A=-20$ ส่วนจริง
(C) $A+B=-20$ โดยถือว่าทั้งนิพจน์เป็นจำนวนจริงตัวเดียว
Answershow ▾
(A) uses the wrong part -- $\mathrm{Re}$ means the real part, $A$, not $B$. (C) is invalid: $A$ and $B\mathrm{i}$ cannot be added as if $\mathrm{i}=1$.(A) ใช้ส่วนผิด -- $\mathrm{Re}$ คือส่วนจริง ($A$) ไม่ใช่ $B$ (C) ใช้ไม่ได้ เพราะเอา $A$ กับ $B\mathrm{i}$ มาบวกกันตรงๆไม่ได้ เหมือนให้ $\mathrm{i}=1$
Expand $a^{3}=\left[(4-y^{2})+4y\mathrm{i}\right](2+y\mathrm{i})$, without simplifying $\mathrm{i}^{2}$ yet.
จงกระจาย $a^{3}=\left[(4-y^{2})+4y\mathrm{i}\right](2+y\mathrm{i})$ โดยยังไม่ต้องจัดรูป $\mathrm{i}^{2}$
Answershow ▾
Multiply every term in the first bracket by every term in the second.คูณทุกพจน์ในวงเล็บแรก กับทุกพจน์ในวงเล็บที่สอง
Use $4y\mathrm{i}\times y\mathrm{i}=-4y^{2}$ from question 2, then collect real and imaginary parts to simplify $a^{3}$.
ใช้ $4y\mathrm{i}\times y\mathrm{i}=-4y^{2}$ จากข้อ 2 แล้วรวมส่วนจริงและส่วนจินตภาพให้ได้ $a^{3}$ แบบจัดรูปแล้ว
Answershow ▾
$-2y^{2}-4y^{2}=-6y^{2}$, and $4y+8y=12y$.$-2y^{2}-4y^{2}=-6y^{2}$ และ $4y+8y=12y$
Find $f(a)=a^{3}-a^{2}-2a$ and simplify, using $a^{2}=(4-y^{2})+4y\mathrm{i}$ from question 1.
จงหา $f(a)=a^{3}-a^{2}-2a$ แล้วจัดรูป โดยใช้ $a^{2}=(4-y^{2})+4y\mathrm{i}$ จากข้อ 1
Answershow ▾
Collect the real parts together, then the imaginary parts together.รวมส่วนจริงเข้าด้วยกัน แล้วรวมส่วนจินตภาพเข้าด้วยกัน
Using $y=-2$ from question 3, write down $a$, then find $\arg a$.
โดยใช้ $y=-2$ จากข้อ 3 จงเขียน $a$ แล้วหา $\arg a$
Answershow ▾
$a=2-2\mathrm{i}$ has equal real and imaginary size, in the fourth quadrant.$a=2-2\mathrm{i}$ มีขนาดส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน อยู่ในควอดรันต์ที่สี่
Check that $y=-2$ really gives $\mathrm{Re}(f(a))=-20$, by substituting into $-5y^{2}$.
จงตรวจว่า $y=-2$ ให้ $\mathrm{Re}(f(a))=-20$ จริง โดยแทนค่าลงใน $-5y^{2}$
Answershow ▾
Squaring removes the sign, so $(-2)^{2}=4$, the same as $2^{2}$.การยกกำลังสองทำให้เครื่องหมายหายไป ดังนั้น $(-2)^{2}=4$ เท่ากับ $2^{2}$
The complex number $1+y\mathrm{i}$ is denoted by $a$, where $y\lt0$. Given that $f(a)=a^{3}-a^{2}-2a$, find a simplified expression for $f(a)$ in terms of $y$, then use $\mathrm{Re}(f(a))=-4$ to find $\arg a$.
จำนวนเชิงซ้อน $1+y\mathrm{i}$ แทนด้วย $a$ โดย $y\lt0$ กำหนด $f(a)=a^{3}-a^{2}-2a$ จงหานิพจน์ของ $f(a)$ ในรูปของ $y$ แบบจัดรูปแล้ว จากนั้นใช้ $\mathrm{Re}(f(a))=-4$ หา $\arg a$
Answershow ▾
Same four moves: square $a$, cube $a$, subtract to get $f(a)$, then solve the real part.สี่ขั้นเดิม: ยกกำลังสอง $a$ ยกกำลังสาม $a$ ลบเพื่อได้ $f(a)$ แล้วแก้ส่วนจริง
The complex number $2+y\mathrm{i}$ is denoted by $a$, where $y$ is a real number and $y\lt0$. It is given that $\mathrm{f}(a)=a^{3}-a^{2}-2a$.
(a) Find a simplified expression for $\mathrm{f}(a)$ in terms of $y$.
(b) Given that $\mathrm{Re}(\mathrm{f}(a))=-20$, find $\arg a$.
จำนวนเชิงซ้อน $2+y\mathrm{i}$ แทนด้วย $a$ เมื่อ $y$ เป็นจำนวนจริงและ $y\lt0$ กำหนดให้ $\mathrm{f}(a)=a^{3}-a^{2}-2a$
(ก) หานิพจน์ของ $\mathrm{f}(a)$ ในรูปของ $y$ แบบจัดรูปแล้ว
(ข) กำหนดว่า $\mathrm{Re}(\mathrm{f}(a))=-20$ จงหา $\arg a$
Answershow ▾
6 marks: 3 for (a), the full expansion; 3 for (b), solving the real part then reading off the argument.6 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับ (a) การกระจายทั้งหมด และ 3 คะแนนสำหรับ (b) การแก้ส่วนจริงแล้วหาอาร์กิวเมนต์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Verify a root, then find the rest พิสูจน์รากที่ให้มา แล้วหารากที่เหลือ
(a) Verify that $-1+\sqrt5\,\mathrm{i}$ is a root of the equation $2x^{3}+x^{2}+6x-18=0$.
(b) Find the other roots of this equation.
(ก) พิสูจน์ (verify) ว่า $-1+\sqrt5\,\mathrm{i}$ เป็นรากของสมการ $2x^{3}+x^{2}+6x-18=0$
(ข) หารากที่เหลือของสมการนี้
Expand $(-1+\sqrt5\,\mathrm{i})^{2}$.
จงกระจาย $(-1+\sqrt5\,\mathrm{i})^{2}$
Answershow ▾
Expand as usual, then use $\mathrm{i}^{2}=-1$ on the $5\mathrm{i}^{2}$ term.กระจายตามปกติ แล้วใช้ $\mathrm{i}^{2}=-1$ กับพจน์ $5\mathrm{i}^{2}$
Simplify $(-2\sqrt5\,\mathrm{i})(\sqrt5\,\mathrm{i})$.
จงจัดรูป $(-2\sqrt5\,\mathrm{i})(\sqrt5\,\mathrm{i})$
Answershow ▾
$\sqrt5\times\sqrt5=5$, and $\mathrm{i}\times\mathrm{i}=-1$.$\sqrt5\times\sqrt5=5$ และ $\mathrm{i}\times\mathrm{i}=-1$
A quadratic has roots $-1+\sqrt5\,\mathrm{i}$ and $-1-\sqrt5\,\mathrm{i}$. Write it as $\left(x-(-1+\sqrt5\mathrm{i})\right)\left(x-(-1-\sqrt5\mathrm{i})\right)$, then simplify using $(x+1)^{2}+5$.
สมการกำลังสองมีราก $-1+\sqrt5\,\mathrm{i}$ และ $-1-\sqrt5\,\mathrm{i}$ จงเขียนเป็น $\left(x-(-1+\sqrt5\mathrm{i})\right)\left(x-(-1-\sqrt5\mathrm{i})\right)$ แล้วจัดรูปโดยใช้ $(x+1)^{2}+5$
Answershow ▾
The two factors are a difference of two squares: $(x+1)^{2}-(\sqrt5\mathrm{i})^{2}$.สองตัวประกอบนี้เป็นผลต่างกำลังสอง: $(x+1)^{2}-(\sqrt5\mathrm{i})^{2}$
You have verified $-1+\sqrt5\,\mathrm{i}$ is a root. Pick the next move to find the OTHER roots.
(A) guess rational roots by trial and error, ignoring the root you already found
(B) state that $-1-\sqrt5\,\mathrm{i}$ is also a root, since the coefficients are all real, then divide out its quadratic factor
(C) solve the cubic directly using the cubic formula
คุณพิสูจน์แล้วว่า $-1+\sqrt5\,\mathrm{i}$ เป็นราก จงเลือกขั้นต่อไปเพื่อหารากที่เหลือ
(A) ลองเดารากที่เป็นจำนวนตรรกยะ โดยไม่ใช้รากที่หาได้แล้ว
(B) ระบุว่า $-1-\sqrt5\,\mathrm{i}$ ก็เป็นรากด้วย เพราะสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงทั้งหมด แล้วหารด้วยตัวประกอบกำลังสองของมัน
(C) แก้สมการกำลังสามโดยตรงด้วยสูตรกำลังสาม
Answershow ▾
(A) throws away the one piece of information the question gave you, and may never find the right root. (C) is needlessly complicated when a known root lets you divide down to a quadratic.(A) ทิ้งข้อมูลที่โจทย์ให้มาแล้ว และอาจไม่เจอรากที่ถูกเลย (C) ยุ่งยากเกินจำเป็น ในเมื่อรากที่รู้แล้ว ทำให้หารลงเหลือสมการกำลังสองได้
Using $x^{2}=-4-2\sqrt5\,\mathrm{i}$ from question 1, expand $x^{3}=x^{2}\cdot x=(-4-2\sqrt5\mathrm{i})(-1+\sqrt5\mathrm{i})$, without simplifying $\mathrm{i}^{2}$ yet.
โดยใช้ $x^{2}=-4-2\sqrt5\,\mathrm{i}$ จากข้อ 1 จงกระจาย $x^{3}=x^{2}\cdot x=(-4-2\sqrt5\mathrm{i})(-1+\sqrt5\mathrm{i})$ โดยยังไม่ต้องจัดรูป $\mathrm{i}^{2}$
Answershow ▾
Multiply every term in the first bracket by every term in the second.คูณทุกพจน์ในวงเล็บแรก กับทุกพจน์ในวงเล็บที่สอง
Use $\mathrm{i}^{2}=-1$, then collect terms to simplify $x^{3}$.
ใช้ $\mathrm{i}^{2}=-1$ แล้วรวมพจน์ให้ได้ $x^{3}$ แบบจัดรูปแล้ว
Answershow ▾
$-10\mathrm{i}^{2}=10$, and $-4\sqrt5\mathrm{i}+2\sqrt5\mathrm{i}=-2\sqrt5\mathrm{i}$.$-10\mathrm{i}^{2}=10$ และ $-4\sqrt5\mathrm{i}+2\sqrt5\mathrm{i}=-2\sqrt5\mathrm{i}$
Substitute $x^{3}=14-2\sqrt5\,\mathrm{i}$, $x^{2}=-4-2\sqrt5\,\mathrm{i}$ and $x=-1+\sqrt5\,\mathrm{i}$ into $2x^{3}+x^{2}+6x-18$, and show it equals $0$.
จงแทน $x^{3}=14-2\sqrt5\,\mathrm{i}$, $x^{2}=-4-2\sqrt5\,\mathrm{i}$ และ $x=-1+\sqrt5\,\mathrm{i}$ ลงใน $2x^{3}+x^{2}+6x-18$ แล้วแสดงว่าได้ $0$
Answershow ▾
Add the real parts together, then the imaginary parts together.บวกส่วนจริงเข้าด้วยกัน แล้วบวกส่วนจินตภาพเข้าด้วยกัน
State the second root, then write down the quadratic factor it forms with the first, using question 3.
จงระบุรากที่สอง แล้วเขียนตัวประกอบกำลังสองที่เกิดจากรากทั้งสองนี้ โดยใช้ข้อ 3
Answershow ▾
The coefficients of the cubic are all real, so its complex roots form a conjugate pair.สัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสามเป็นจำนวนจริงทั้งหมด รากเชิงซ้อนจึงเป็นคู่สังยุค
Divide $2x^{3}+x^{2}+6x-18$ by $x^{2}+2x+6$ to find the third root.
จงหาร $2x^{3}+x^{2}+6x-18$ ด้วย $x^{2}+2x+6$ เพื่อหารากที่สาม
Answershow ▾
The quotient is linear, since a cubic divided by a quadratic leaves degree $1$.ผลหารเป็นเชิงเส้น เพราะสมการกำลังสามหารด้วยสมการกำลังสองเหลือดีกรี $1$
(a) Verify that $-1+2\mathrm{i}$ is a root of the equation $x^{3}+x-10=0$. (b) Find the other roots of this equation.
(a) จงพิสูจน์ว่า $-1+2\mathrm{i}$ เป็นรากของสมการ $x^{3}+x-10=0$ (b) หารากที่เหลือของสมการนี้
Answershow ▾
Same moves: square it, cube it, substitute to verify, then use the conjugate to divide down.ขั้นเดิม: ยกกำลังสอง ยกกำลังสาม แทนค่าพิสูจน์ แล้วใช้สังยุคหารลง
(a) Verify that $-1+\sqrt5\,\mathrm{i}$ is a root of the equation $2x^{3}+x^{2}+6x-18=0$.
(b) Find the other roots of this equation.
(ก) พิสูจน์ (verify) ว่า $-1+\sqrt5\,\mathrm{i}$ เป็นรากของสมการ $2x^{3}+x^{2}+6x-18=0$
(ข) หารากที่เหลือของสมการนี้
Answershow ▾
7 marks: 3 for verifying the given root, 4 for dividing down with the conjugate to find the other two.7 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับพิสูจน์รากที่ให้มา และ 4 คะแนนสำหรับหารด้วยสังยุคเพื่อหารากที่เหลืออีกสองราก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Divide, then an argument identity หารจำนวนเชิงซ้อน แล้วพิสูจน์เอกลักษณ์อาร์กิวเมนต์
The complex number $u$ is defined by $u=\dfrac{7+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$.
(a) Express $u$ in the form $x+\mathrm{i}y$, where $x$ and $y$ are real.
(b) Show on a sketch of an Argand diagram the points $A$, $B$ and $C$ representing $u$, $7+\mathrm{i}$ and $1-\mathrm{i}$ respectively.
(c) By considering the arguments of $7+\mathrm{i}$ and $1-\mathrm{i}$, show that $\tan^{-1}\left(\dfrac43\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac17\right)+\dfrac14\pi$.
จำนวนเชิงซ้อน $u$ นิยามโดย $u=\dfrac{7+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$
(ก) หา $u$ ในรูป $x+\mathrm{i}y$ เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง
(ข) แสดงบนภาพร่าง Argand diagram จุด $A$, $B$ และ $C$ ที่แทน $u$, $7+\mathrm{i}$ และ $1-\mathrm{i}$ ตามลำดับ
(ค) โดยพิจารณาอาร์กิวเมนต์ของ $7+\mathrm{i}$ และ $1-\mathrm{i}$ จงแสดงว่า $\tan^{-1}\left(\dfrac43\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac17\right)+\dfrac14\pi$
Simplify $(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})$.
จงจัดรูป $(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})$
Answershow ▾
This is a difference of two squares: $1^{2}-\mathrm{i}^{2}$.นี่คือผลต่างกำลังสอง: $1^{2}-\mathrm{i}^{2}$
Expand $(7+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})$.
จงกระจาย $(7+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})$
Answershow ▾
Expand as usual, then use $\mathrm{i}^{2}=-1$.กระจายตามปกติ แล้วใช้ $\mathrm{i}^{2}=-1$
Find $\arg(1-\mathrm{i})$.
จงหา $\arg(1-\mathrm{i})$
Answershow ▾
Equal real and imaginary size, imaginary part negative, so the angle is a negative $\dfrac{\pi}{4}$.ส่วนจริงและส่วนจินตภาพขนาดเท่ากัน ส่วนจินตภาพเป็นลบ มุมจึงเป็น $\dfrac{\pi}{4}$ ติดลบ
$u=\dfrac{7+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$. Pick the correct relationship between the arguments.
(A) $\arg u = \arg(7+\mathrm{i})+\arg(1-\mathrm{i})$
(B) $\arg u = \arg(7+\mathrm{i})-\arg(1-\mathrm{i})$, since $u$ is a quotient
(C) $\arg u = \arg(7+\mathrm{i})\times\arg(1-\mathrm{i})$
$u=\dfrac{7+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ จงเลือกความสัมพันธ์ที่ถูกต้องระหว่างอาร์กิวเมนต์
(A) $\arg u = \arg(7+\mathrm{i})+\arg(1-\mathrm{i})$
(B) $\arg u = \arg(7+\mathrm{i})-\arg(1-\mathrm{i})$ เพราะ $u$ เป็นผลหาร
(C) $\arg u = \arg(7+\mathrm{i})\times\arg(1-\mathrm{i})$
Answershow ▾
(A) is the rule for MULTIPLYING two complex numbers, $\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}$ -- but $u$ is a quotient, not a product. (C) is never valid: arguments add or subtract, they never multiply.(A) คือกฎของการ "คูณ" จำนวนเชิงซ้อนสองตัว $\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}$ แต่ $u$ เป็นผลหาร ไม่ใช่ผลคูณ (C) ใช้ไม่ได้เลย เพราะอาร์กิวเมนต์บวกหรือลบกัน ไม่คูณกัน
Using questions 1 and 2, multiply $u=\dfrac{7+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ by $\dfrac{1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$.
โดยใช้ข้อ 1 และข้อ 2 จงคูณ $u=\dfrac{7+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ ด้วย $\dfrac{1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$
Answershow ▾
The numerator is from question 2, the denominator from question 1.ตัวเศษมาจากข้อ 2 ตัวส่วนมาจากข้อ 1
Simplify $\dfrac{6+8\mathrm{i}}{2}$ to find $u$ in the form $x+\mathrm{i}y$.
จงจัดรูป $\dfrac{6+8\mathrm{i}}{2}$ เพื่อหา $u$ ในรูป $x+\mathrm{i}y$
Answershow ▾
Divide every term, top and bottom, by $2$.หารทุกพจน์ ทั้งเศษและส่วน ด้วย $2$
Find $\arg(7+\mathrm{i})$ and $\arg u$.
จงหา $\arg(7+\mathrm{i})$ และ $\arg u$
Answershow ▾
Both are in the first quadrant, so the argument is just the inverse tan of (imaginary over real).ทั้งสองอยู่ในควอดรันต์ที่หนึ่ง อาร์กิวเมนต์จึงเป็นแทนเจนต์ผกผันของ (ส่วนจินตภาพ หารด้วย ส่วนจริง) ตรงๆ
Substitute the three arguments into $\arg u=\arg(7+\mathrm{i})-\arg(1-\mathrm{i})$.
จงแทนอาร์กิวเมนต์ทั้งสามค่าลงใน $\arg u=\arg(7+\mathrm{i})-\arg(1-\mathrm{i})$
Answershow ▾
$\arg(1-\mathrm{i})=-\dfrac{\pi}{4}$ from question 3, so subtracting it adds $\dfrac{\pi}{4}$.$\arg(1-\mathrm{i})=-\dfrac{\pi}{4}$ จากข้อ 3 ดังนั้นการลบมันคือการบวก $\dfrac{\pi}{4}$
Simplify the right side of question 7 to complete the identity.
จงจัดรูปข้างขวาของข้อ 7 ให้ครบเป็นเอกลักษณ์
Answershow ▾
Subtracting a negative is the same as adding its positive.การลบด้วยจำนวนลบ ก็คือการบวกด้วยจำนวนบวกนั้น
The complex number $v$ is defined by $v=\dfrac{1+7\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$. (a) Express $v$ in the form $x+\mathrm{i}y$. (b) Hence show that $\tan^{-1}\left(\dfrac34\right)=\tan^{-1}(7)-\dfrac14\pi$.
จำนวนเชิงซ้อน $v$ กำหนดโดย $v=\dfrac{1+7\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$ (a) จงหา $v$ ในรูป $x+\mathrm{i}y$ (b) จากนั้นจงแสดงว่า $\tan^{-1}\left(\dfrac34\right)=\tan^{-1}(7)-\dfrac14\pi$
Answershow ▾
Same four moves: rationalise, simplify, find both arguments, substitute into the quotient rule.สี่ขั้นเดิม: ทำราก จัดรูป หาอาร์กิวเมนต์ทั้งสองค่า แล้วแทนในกฎของผลหาร
The complex number $u$ is defined by $u=\dfrac{7+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$.
(a) Express $u$ in the form $x+\mathrm{i}y$, where $x$ and $y$ are real.
(b) Show on a sketch of an Argand diagram the points $A$, $B$ and $C$ representing $u$, $7+\mathrm{i}$ and $1-\mathrm{i}$ respectively.
(c) By considering the arguments of $7+\mathrm{i}$ and $1-\mathrm{i}$, show that $\tan^{-1}\left(\dfrac43\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac17\right)+\dfrac14\pi$.
จำนวนเชิงซ้อน $u$ นิยามโดย $u=\dfrac{7+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$
(ก) หา $u$ ในรูป $x+\mathrm{i}y$ เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง
(ข) แสดงบนภาพร่าง Argand diagram จุด $A$, $B$ และ $C$ ที่แทน $u$, $7+\mathrm{i}$ และ $1-\mathrm{i}$ ตามลำดับ
(ค) โดยพิจารณาอาร์กิวเมนต์ของ $7+\mathrm{i}$ และ $1-\mathrm{i}$ จงแสดงว่า $\tan^{-1}\left(\dfrac43\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac17\right)+\dfrac14\pi$
Answershow ▾
8 marks: 3 for (a); 2 for (b), plotting the points; 3 for (c), the argument identity.8 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับ (a); 2 คะแนนสำหรับ (b) การวางจุด; 3 คะแนนสำหรับ (c) เอกลักษณ์อาร์กิวเมนต์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Divide into mod-arg form, then a locus หารแล้วเขียนรูปเชิงขั้ว จากนั้นหาโลคัส
(a) Showing all necessary working, express the complex number $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}$ in the form $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, where $r\gt0$ and $-\pi\lt\theta\le\pi$. Give the values of $r$ and $\theta$ correct to 3 significant figures.
(b) On an Argand diagram sketch the locus of points representing complex numbers $z$ satisfying the equation $|z-3+2\mathrm{i}|=1$. Find the least value of $|z|$ for points on this locus, giving your answer in an exact form.
(ก) โดยแสดงวิธีทำครบถ้วน จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}$ ในรูป $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ เมื่อ $r\gt0$ และ $-\pi\lt\theta\le\pi$ โดยให้ค่า $r$ และ $\theta$ ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ (significant figures)
(ข) บน Argand diagram จงร่างโลคัส (locus) ของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $|z-3+2\mathrm{i}|=1$ แล้วหาค่าต่ำสุดของ $|z|$ สำหรับจุดบนโลคัสนี้ โดยตอบแบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม)
Simplify $(1-2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})$.
จงจัดรูป $(1-2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})$
Answershow ▾
This is a difference of two squares: $1^{2}-4\mathrm{i}^{2}$.นี่คือผลต่างกำลังสอง: $1^{2}-4\mathrm{i}^{2}$
Expand $(2+3\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})$.
จงกระจาย $(2+3\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})$
Answershow ▾
Expand as usual, then use $\mathrm{i}^{2}=-1$.กระจายตามปกติ แล้วใช้ $\mathrm{i}^{2}=-1$
Find $|3-2\mathrm{i}|$.
จงหา $|3-2\mathrm{i}|$
Answershow ▾
Use Pythagoras on the real and imaginary parts.ใช้พีทาโกรัสกับส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
$-0.8+1.4\mathrm{i}$ lies in the second quadrant. Pick the correct value of $\theta$.
(A) $\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{1.4}{-0.8}\right)$, straight off the calculator
(B) $\theta=\pi-\tan^{-1}\left(\dfrac{1.4}{0.8}\right)$, using the reference angle
(C) $\theta=-\tan^{-1}\left(\dfrac{1.4}{0.8}\right)$
$-0.8+1.4\mathrm{i}$ อยู่ในควอดรันต์ที่สอง จงเลือกค่า $\theta$ ที่ถูกต้อง
(A) $\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{1.4}{-0.8}\right)$ จากเครื่องคิดเลขตรงๆ
(B) $\theta=\pi-\tan^{-1}\left(\dfrac{1.4}{0.8}\right)$ โดยใช้มุมอ้างอิง
(C) $\theta=-\tan^{-1}\left(\dfrac{1.4}{0.8}\right)$
Answershow ▾
(A) puts the calculator angle straight in, but that angle sits in the FOURTH quadrant -- a calculator cannot see which quadrant the point is really in. (C) also lands in the wrong quadrant.(A) ใส่มุมจากเครื่องคิดเลขตรงๆ แต่มุมนั้นอยู่ในควอดรันต์ที่สี่ เพราะเครื่องคิดเลขไม่รู้ว่าจุดจริงอยู่ควอดรันต์ไหน (C) ก็ตกควอดรันต์ผิดเช่นกัน
Using questions 1 and 2, multiply $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}$ by $\dfrac{1+2\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}$.
โดยใช้ข้อ 1 และข้อ 2 จงคูณ $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}$ ด้วย $\dfrac{1+2\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}$
Answershow ▾
The numerator is from question 2, the denominator from question 1.ตัวเศษมาจากข้อ 2 ตัวส่วนมาจากข้อ 1
Simplify $\dfrac{-4+7\mathrm{i}}{5}$ to decimal form.
จงจัดรูป $\dfrac{-4+7\mathrm{i}}{5}$ เป็นทศนิยม
Answershow ▾
Divide each term, top and bottom, by $5$.หารแต่ละพจน์ ทั้งเศษและส่วน ด้วย $5$
Find $r=\sqrt{0.8^{2}+1.4^{2}}$, correct to 3 significant figures.
จงหา $r=\sqrt{0.8^{2}+1.4^{2}}$ ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$0.8^{2}+1.4^{2}=2.6$, and $\sqrt{2.6}\approx1.6125$.$0.8^{2}+1.4^{2}=2.6$ และ $\sqrt{2.6}\approx1.6125$
Using the reference angle from question D, find $\theta$ correct to 3 significant figures.
โดยใช้มุมอ้างอิงจากข้อ D จงหา $\theta$ ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$\tan^{-1}(1.4/0.8)\approx1.0517$, and $\pi-1.0517\approx2.0899$.$\tan^{-1}(1.4/0.8)\approx1.0517$ และ $\pi-1.0517\approx2.0899$
Check that $r=1.61$, $\theta=2.09$ really sits in the second quadrant, matching $-0.8+1.4\mathrm{i}$.
จงตรวจว่า $r=1.61$, $\theta=2.09$ อยู่ในควอดรันต์ที่สองจริง ตรงกับ $-0.8+1.4\mathrm{i}$
Answershow ▾
Negative cosine and positive sine both point to the second quadrant.โคไซน์เป็นลบและไซน์เป็นบวก ทั้งสองชี้ไปที่ควอดรันต์ที่สอง
(a) Express $\dfrac{1+3\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}$ in the form $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, correct to 3 significant figures. (b) The locus of points satisfying $|z-4+3\mathrm{i}|=2$ has what least value of $|z|$?
(a) จงหา $\dfrac{1+3\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}$ ในรูป $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ (b) โลคัสของจุดที่สอดคล้องกับ $|z-4+3\mathrm{i}|=2$ มีค่าต่ำสุดของ $|z|$ เท่าใด
Answershow ▾
Same moves: rationalise, decimals, $r$, $\theta$ by reference angle, then the centre of the circle minus its radius.ขั้นเดิม: ทำราก แปลงทศนิยม หา $r$ หา $\theta$ ด้วยมุมอ้างอิง แล้วจุดศูนย์กลางวงกลมลบรัศมี
(a) Showing all necessary working, express the complex number $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}$ in the form $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, where $r\gt0$ and $-\pi\lt\theta\le\pi$. Give the values of $r$ and $\theta$ correct to 3 significant figures.
(b) On an Argand diagram sketch the locus of points representing complex numbers $z$ satisfying the equation $|z-3+2\mathrm{i}|=1$. Find the least value of $|z|$ for points on this locus, giving your answer in an exact form.
(ก) โดยแสดงวิธีทำครบถ้วน จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}$ ในรูป $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ เมื่อ $r\gt0$ และ $-\pi\lt\theta\le\pi$ โดยให้ค่า $r$ และ $\theta$ ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ (significant figures)
(ข) บน Argand diagram จงร่างโลคัส (locus) ของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $|z-3+2\mathrm{i}|=1$ แล้วหาค่าต่ำสุดของ $|z|$ สำหรับจุดบนโลคัสนี้ โดยตอบแบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม)
Answershow ▾
9 marks: 4 for (a), the division then r and theta; 2 for a correct off-origin circle; 3 for the least-|z| method and answer.9 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับ (a) การหาร แล้ว r กับ $\theta$; 2 คะแนนสำหรับวงกลมนอกจุดกำเนิดที่ถูกต้อง; 3 คะแนนสำหรับวิธีหาค่าต่ำสุดของ |z| และคำตอบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Powers in polar form, then a wedge region ยกกำลังในรูปเชิงขั้ว แล้วหาพื้นที่รูปลิ่ม
The complex number $-\sqrt3+\mathrm{i}$ is denoted by $u$.
(a) Express $u$ in the form $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, where $r\gt0$ and $-\pi\lt\theta\le\pi$, giving the exact values of $r$ and $\theta$.
(b) Hence show that $u^{6}$ is real and state its value.
(c)(i) On a sketch of an Argand diagram, shade the region whose points represent complex numbers $z$ satisfying the inequalities $0\le\arg(z-u)\le\dfrac14\pi$ and $\mathrm{Re}\,z\le2$.
(c)(ii) Find the greatest value of $|z|$ for points in the shaded region. Give your answer correct to 3 significant figures.
จำนวนเชิงซ้อน $-\sqrt3+\mathrm{i}$ แทนด้วย $u$
(ก) หา $u$ ในรูป $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ เมื่อ $r\gt0$ และ $-\pi\lt\theta\le\pi$ โดยให้ค่า $r$ และ $\theta$ แบบ exact
(ข) จากนั้นแสดงว่า $u^{6}$ เป็นจำนวนจริง พร้อมระบุค่า
(c)(i) จากภาพร่าง Argand diagram ให้แรเงาพื้นที่ของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $0\le\arg(z-u)\le\dfrac14\pi$ และ $\mathrm{Re}\,z\le2$
(c)(ii) หาค่าสูงสุดของ $|z|$ สำหรับจุดในพื้นที่ที่แรเงา โดยตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Find $r=|-\sqrt3+\mathrm{i}|$.
จงหา $r=|-\sqrt3+\mathrm{i}|$
Answershow ▾
$r=\sqrt{(\sqrt3)^{2}+1^{2}}$.$r=\sqrt{(\sqrt3)^{2}+1^{2}}$
Find the reference angle $\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)$.
จงหามุมอ้างอิง $\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)$
Answershow ▾
This is one of the two standard exact-angle triangles.นี่คือหนึ่งในสามเหลี่ยมมุมมาตรฐานสองรูปที่ควรจำได้
Simplify $\mathrm{e}^{5\pi\mathrm{i}}$.
จงจัดรูป $\mathrm{e}^{5\pi\mathrm{i}}$
Answershow ▾
$5\pi$ and $\pi$ point the same direction: subtract $2\pi$ twice.$5\pi$ กับ $\pi$ ชี้ไปทิศเดียวกัน ลบ $2\pi$ ออกสองรอบ
The region is bounded by two half-lines from $u$ and the line $\mathrm{Re}\,z=2$. Pick the point where $|z|$ is greatest.
(A) where $\arg(z-u)=0$ meets $\mathrm{Re}\,z=2$
(B) where $\arg(z-u)=\dfrac14\pi$ meets $\mathrm{Re}\,z=2$
(C) at $u$ itself, the corner where the two half-lines meet
พื้นที่นี้ล้อมด้วยครึ่งเส้นตรงสองเส้นจาก $u$ และเส้น $\mathrm{Re}\,z=2$ จงเลือกจุดที่ $|z|$ มากที่สุด
(A) จุดที่ $\arg(z-u)=0$ ตัดกับ $\mathrm{Re}\,z=2$
(B) จุดที่ $\arg(z-u)=\dfrac14\pi$ ตัดกับ $\mathrm{Re}\,z=2$
(C) ที่ $u$ เอง ซึ่งเป็นมุมที่ครึ่งเส้นตรงทั้งสองมาพบกัน
Answershow ▾
(A) gives the point $(2,1)$, which is closer to the origin than the corner in (B). (C) is the NEAREST corner of the wedge to the origin, not the farthest.(A) ให้จุด $(2,1)$ ซึ่งใกล้จุดกำเนิดกว่ามุมในข้อ (B) (C) คือมุมที่ใกล้จุดกำเนิดที่สุดของรูปลิ่ม ไม่ใช่ที่ไกลที่สุด
Using questions 1 and 2, write down the exact value of $\theta=\arg(-\sqrt3+\mathrm{i})$.
โดยใช้ข้อ 1 และข้อ 2 จงเขียนค่าแม่นตรงของ $\theta=\arg(-\sqrt3+\mathrm{i})$
Answershow ▾
Second quadrant: $\theta=\pi$ minus the reference angle.ควอดรันต์ที่สอง: $\theta=\pi$ ลบด้วยมุมอ้างอิง
Using $r=2$ and $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$, find $u^{6}=r^{6}\mathrm{e}^{6\mathrm{i}\theta}$, before simplifying the angle.
โดยใช้ $r=2$ และ $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$ จงหา $u^{6}=r^{6}\mathrm{e}^{6\mathrm{i}\theta}$ ก่อนจัดรูปมุม
Answershow ▾
$2^{6}=64$, and $6\times\dfrac{5\pi}{6}=5\pi$.$2^{6}=64$ และ $6\times\dfrac{5\pi}{6}=5\pi$
Using question 3, simplify $64\mathrm{e}^{5\pi\mathrm{i}}$ to show $u^{6}$ is real, and state its value.
โดยใช้ข้อ 3 จงจัดรูป $64\mathrm{e}^{5\pi\mathrm{i}}$ เพื่อแสดงว่า $u^{6}$ เป็นจำนวนจริง พร้อมระบุค่า
Answershow ▾
$\mathrm{e}^{5\pi\mathrm{i}}=-1$ from question 3, a real number, so $u^{6}$ is too.$\mathrm{e}^{5\pi\mathrm{i}}=-1$ จากข้อ 3 เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $u^{6}$ ก็เป็นจำนวนจริงด้วย
At the corner from question D, $\mathrm{Re}\,z=2$. Using $u=-\sqrt3+\mathrm{i}$ and the half-line at angle $\dfrac14\pi$, show that $\mathrm{Im}\,z=3+\sqrt3$.
ที่มุมจากข้อ D, $\mathrm{Re}\,z=2$ โดยใช้ $u=-\sqrt3+\mathrm{i}$ และครึ่งเส้นตรงที่มุม $\dfrac14\pi$ จงแสดงว่า $\mathrm{Im}\,z=3+\sqrt3$
Answershow ▾
Moving at $45^{\circ}$, the step along the real axis equals the step along the imaginary axis.เคลื่อนที่ที่มุม $45^{\circ}$ ระยะตามแกนจริงเท่ากับระยะตามแกนจินตภาพ
Hence find $|z|=\sqrt{2^{2}+(3+\sqrt3)^{2}}$, correct to 3 significant figures.
จากนั้นจงหา $|z|=\sqrt{2^{2}+(3+\sqrt3)^{2}}$ ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$(3+\sqrt3)^{2}=9+6\sqrt3+3=12+6\sqrt3$.$(3+\sqrt3)^{2}=9+6\sqrt3+3=12+6\sqrt3$
The complex number $1+\sqrt3\,\mathrm{i}$ is denoted by $v$. (a) Express $v$ in the form $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, with exact $r$ and $\theta$. (b) Hence show that $v^{6}$ is real and state its value. (c) The region satisfies $0\leqslant\arg(z-v)\leqslant\dfrac14\pi$ and $\mathrm{Re}\,z\leqslant3$. Find the greatest value of $|z|$, correct to 3 significant figures.
จำนวนเชิงซ้อน $1+\sqrt3\,\mathrm{i}$ แทนด้วย $v$ (a) จงหา $v$ ในรูป $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ ค่าแม่นตรง (b) จากนั้นจงแสดงว่า $v^{6}$ เป็นจำนวนจริง พร้อมระบุค่า (c) พื้นที่สอดคล้องกับ $0\leqslant\arg(z-v)\leqslant\dfrac14\pi$ และ $\mathrm{Re}\,z\leqslant3$ จงหาค่าสูงสุดของ $|z|$ ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Same moves: r and theta, raise to the power, reduce the angle, then the far corner of the wedge.ขั้นเดิม: หา r กับ $\theta$ ยกกำลัง ลดมุม แล้วหามุมที่ไกลที่สุดของรูปลิ่ม
The complex number $-\sqrt3+\mathrm{i}$ is denoted by $u$.
(a) Express $u$ in the form $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, where $r\gt0$ and $-\pi\lt\theta\le\pi$, giving the exact values of $r$ and $\theta$.
(b) Hence show that $u^{6}$ is real and state its value.
(c)(i) On a sketch of an Argand diagram, shade the region whose points represent complex numbers $z$ satisfying the inequalities $0\le\arg(z-u)\le\dfrac14\pi$ and $\mathrm{Re}\,z\le2$.
(c)(ii) Find the greatest value of $|z|$ for points in the shaded region. Give your answer correct to 3 significant figures.
จำนวนเชิงซ้อน $-\sqrt3+\mathrm{i}$ แทนด้วย $u$
(ก) หา $u$ ในรูป $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ เมื่อ $r\gt0$ และ $-\pi\lt\theta\le\pi$ โดยให้ค่า $r$ และ $\theta$ แบบ exact
(ข) จากนั้นแสดงว่า $u^{6}$ เป็นจำนวนจริง พร้อมระบุค่า
(c)(i) จากภาพร่าง Argand diagram ให้แรเงาพื้นที่ของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $0\le\arg(z-u)\le\dfrac14\pi$ และ $\mathrm{Re}\,z\le2$
(c)(ii) หาค่าสูงสุดของ $|z|$ สำหรับจุดในพื้นที่ที่แรเงา โดยตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
10 marks: 2 for (a); 2 for (b); 4 for (c)(i), the two half-lines and the line $\mathrm{Re}\,z=2$; 2 for the greatest $|z|$.10 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับ (a); 2 คะแนนสำหรับ (b); 4 คะแนนสำหรับ (c)(i) ครึ่งเส้นตรงสองเส้นและเส้น $\mathrm{Re}\,z=2$; 2 คะแนนสำหรับค่าสูงสุดของ $|z|$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Solve with a conjugate, then a half-circle region แก้สมการด้วยสังยุค แล้วหาพื้นที่ครึ่งวงกลม
(a) Solve the equation $(1+2\mathrm{i})w+\mathrm{i}w^{*}=3+5\mathrm{i}$. Give your answer in the form $x+\mathrm{i}y$, where $x$ and $y$ are real.
(b)(i) On a sketch of an Argand diagram, shade the region whose points represent complex numbers $z$ satisfying the inequalities $|z-2-2\mathrm{i}|\le1$ and $\arg(z-4\mathrm{i})\ge-\dfrac14\pi$.
(b)(ii) Find the least value of $\mathrm{Im}\,z$ for points in this region, giving your answer in an exact form.
(ก) แก้สมการ $(1+2\mathrm{i})w+\mathrm{i}w^{*}=3+5\mathrm{i}$ โดยตอบในรูป $x+\mathrm{i}y$ เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง
(b)(i) จากภาพร่าง Argand diagram ให้แรเงาพื้นที่ของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $|z-2-2\mathrm{i}|\le1$ และ $\arg(z-4\mathrm{i})\ge-\dfrac14\pi$
(b)(ii) หาค่าต่ำสุดของ $\mathrm{Im}\,z$ สำหรับจุดในพื้นที่นี้ โดยตอบแบบ exact
Substitute $w=x+\mathrm{i}y$ into $(1+2\mathrm{i})w$, and expand.
จงแทน $w=x+\mathrm{i}y$ ลงใน $(1+2\mathrm{i})w$ แล้วกระจาย
Answershow ▾
Expand as usual, then use $\mathrm{i}^{2}=-1$.กระจายตามปกติ แล้วใช้ $\mathrm{i}^{2}=-1$
Simplify $\mathrm{i}(x-\mathrm{i}y)$, where $x-\mathrm{i}y$ is the conjugate of $w$.
จงจัดรูป $\mathrm{i}(x-\mathrm{i}y)$ เมื่อ $x-\mathrm{i}y$ เป็นสังยุคของ $w$
Answershow ▾
$\mathrm{i}\times(-\mathrm{i}y)=-\mathrm{i}^{2}y=y$.$\mathrm{i}\times(-\mathrm{i}y)=-\mathrm{i}^{2}y=y$
Solve the simultaneous equations $x-y=3$ and $3x+y=5$.
จงแก้ระบบสมการ $x-y=3$ และ $3x+y=5$
Answershow ▾
Adding the two equations removes $y$.การบวกสองสมการทำให้ $y$ หายไป
The boundary line through $4\mathrm{i}$ at angle $-\dfrac14\pi$ happens to pass through the circle’s centre $2+2\mathrm{i}$. Pick what this means.
(A) the line cuts the circle’s disc into two UNEQUAL pieces
(B) the line cuts the circle’s disc into two EQUAL halves, since it passes through the centre
(C) the line never meets the circle at all
เส้นขอบเขตผ่าน $4\mathrm{i}$ ที่มุม $-\dfrac14\pi$ บังเอิญผ่านจุดศูนย์กลางวงกลม $2+2\mathrm{i}$ จงเลือกความหมายที่ถูกต้อง
(A) เส้นนี้แบ่งวงกลมเป็นสองส่วนไม่เท่ากัน
(B) เส้นนี้แบ่งวงกลมเป็นสองส่วนเท่ากัน เพราะผ่านจุดศูนย์กลาง
(C) เส้นนี้ไม่ตัดกับวงกลมเลย
Answershow ▾
(A) would be true for a line that misses the centre, but this one is a diameter. (C) is wrong -- a diameter always meets its own circle, at two points.(A) จะจริงถ้าเส้นไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง แต่เส้นนี้คือเส้นผ่านศูนย์กลาง (C) ผิด เพราะเส้นผ่านศูนย์กลางตัดวงกลมเสมอที่สองจุด
Add the two expansions from questions 1 and 2 to form one equation equal to $3+5\mathrm{i}$, then equate real and imaginary parts.
จงบวกนิพจน์ที่กระจายแล้วจากข้อ 1 และข้อ 2 ให้เท่ากับ $3+5\mathrm{i}$ แล้วเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
Answershow ▾
$(x-2y)+y=x-y$, and $(2x+y)+x=3x+y$.$(x-2y)+y=x-y$ และ $(2x+y)+x=3x+y$
Using question 3, write down $w$ in the form $x+\mathrm{i}y$.
โดยใช้ข้อ 3 จงเขียน $w$ ในรูป $x+\mathrm{i}y$
Answershow ▾
$x=2$ and $y=-1$ from question 3.$x=2$ และ $y=-1$ จากข้อ 3
Find $\left(\cos\left(-\dfrac14\pi\right),\sin\left(-\dfrac14\pi\right)\right)$.
จงหา $\left(\cos\left(-\dfrac14\pi\right),\sin\left(-\dfrac14\pi\right)\right)$
Answershow ▾
$-45^{\circ}$ has equal cosine and sine size, cosine positive, sine negative.$-45^{\circ}$ มีขนาดโคไซน์และไซน์เท่ากัน โคไซน์เป็นบวก ไซน์เป็นลบ
Using the circle’s radius $1$ and the unit vector from question 6, find the two points where the boundary line meets $|z-2-2\mathrm{i}|=1$.
โดยใช้รัศมีวงกลม $1$ และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยจากข้อ 6 จงหาสองจุดที่เส้นขอบเขตตัดกับ $|z-2-2\mathrm{i}|=1$
Answershow ▾
The two points are the centre, plus and minus the radius times the unit vector.สองจุดนี้คือจุดศูนย์กลาง บวกและลบรัศมีคูณเวกเตอร์หนึ่งหน่วย
Of the two points in question 7, give the least value of $\mathrm{Im}\,z$, in exact form.
จากสองจุดในข้อ 7 จงให้ค่าต่ำสุดของ $\mathrm{Im}\,z$ แบบแม่นตรง
Answershow ▾
$2-\dfrac{\sqrt2}{2}$ is smaller than $2+\dfrac{\sqrt2}{2}$.$2-\dfrac{\sqrt2}{2}$ น้อยกว่า $2+\dfrac{\sqrt2}{2}$
(a) Solve the equation $(1+2\mathrm{i})w+\mathrm{i}w^{*}=-1+5\mathrm{i}$, giving your answer in the form $x+\mathrm{i}y$. (b) The region satisfies $|z-3-3\mathrm{i}|\leqslant2$ and $\arg(z-6\mathrm{i})\geqslant-\dfrac14\pi$. Find the least value of $\mathrm{Im}\,z$, in an exact form.
(a) จงแก้สมการ $(1+2\mathrm{i})w+\mathrm{i}w^{*}=-1+5\mathrm{i}$ ตอบในรูป $x+\mathrm{i}y$ (b) พื้นที่สอดคล้องกับ $|z-3-3\mathrm{i}|\leqslant2$ และ $\arg(z-6\mathrm{i})\geqslant-\dfrac14\pi$ จงหาค่าต่ำสุดของ $\mathrm{Im}\,z$ แบบแม่นตรง
Answershow ▾
Same moves: equate real and imaginary parts, solve, then the centre minus the radius times the unit vector.ขั้นเดิม: เทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพ แก้สมการ แล้วจุดศูนย์กลางลบรัศมีคูณเวกเตอร์หนึ่งหน่วย
(a) Solve the equation $(1+2\mathrm{i})w+\mathrm{i}w^{*}=3+5\mathrm{i}$. Give your answer in the form $x+\mathrm{i}y$, where $x$ and $y$ are real.
(b)(i) On a sketch of an Argand diagram, shade the region whose points represent complex numbers $z$ satisfying the inequalities $|z-2-2\mathrm{i}|\le1$ and $\arg(z-4\mathrm{i})\ge-\dfrac14\pi$.
(b)(ii) Find the least value of $\mathrm{Im}\,z$ for points in this region, giving your answer in an exact form.
(ก) แก้สมการ $(1+2\mathrm{i})w+\mathrm{i}w^{*}=3+5\mathrm{i}$ โดยตอบในรูป $x+\mathrm{i}y$ เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง
(b)(i) จากภาพร่าง Argand diagram ให้แรเงาพื้นที่ของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $|z-2-2\mathrm{i}|\le1$ และ $\arg(z-4\mathrm{i})\ge-\dfrac14\pi$
(b)(ii) หาค่าต่ำสุดของ $\mathrm{Im}\,z$ สำหรับจุดในพื้นที่นี้ โดยตอบแบบ exact
Answershow ▾
10 marks: 4 for (a), the linear system and its solution; 4 for (b)(i), the circle and the half-line; 2 for the least $\mathrm{Im}\,z$.10 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับ (a) ระบบสมการเชิงเส้นและคำตอบ; 4 คะแนนสำหรับ (b)(i) วงกลมและครึ่งเส้นตรง; 2 คะแนนสำหรับค่าต่ำสุดของ $\mathrm{Im}\,z$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Square root a complex number, by comparing parts ถอดรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน โดยเทียบส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ
(a) The complex number $u$ is given by $u=-3-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$. Showing all necessary working and without using a calculator, find the square roots of $u$. Give your answers in the form $a+\mathrm{i}b$, where the numbers $a$ and $b$ are real and exact.
(b) On a sketch of an Argand diagram shade the region whose points represent complex numbers $z$ satisfying the inequalities $|z-3-\mathrm{i}|\le3$, $\arg z\ge\dfrac14\pi$ and $\mathrm{Im}\,z\ge2$, where $\mathrm{Im}\,z$ denotes the imaginary part of the complex number $z$.
(ก) จำนวนเชิงซ้อน $u$ กำหนดโดย $u=-3-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$ โดยแสดงวิธีทำครบถ้วนและห้ามใช้เครื่องคิดเลข จงหารากที่สอง (square roots) ของ $u$ โดยตอบในรูป $a+\mathrm{i}b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงแบบ exact
(ข) บนภาพร่าง Argand diagram ให้แรเงาพื้นที่ของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $|z-3-\mathrm{i}|\le3$, $\arg z\ge\dfrac14\pi$ และ $\mathrm{Im}\,z\ge2$ โดยที่ $\mathrm{Im}\,z$ คือส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของจำนวนเชิงซ้อน $z$
Square $a+\mathrm{i}b$ and expand.
จงยกกำลังสอง $a+\mathrm{i}b$ แล้วกระจาย
Answershow ▾
Expand as usual, then use $\mathrm{i}^{2}=-1$.กระจายตามปกติ แล้วใช้ $\mathrm{i}^{2}=-1$
Solve $k^{2}+3k-10=0$ for $k$.
จงแก้สมการ $k^{2}+3k-10=0$ หา $k$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-10$ and add to $3$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-10$ และบวกกันได้ $3$
Given $a=\sqrt2$ and $2ab=-2\sqrt{10}$, find $b$.
กำหนด $a=\sqrt2$ และ $2ab=-2\sqrt{10}$ จงหา $b$
Answershow ▾
Divide both sides by $2a=2\sqrt2$, then simplify the surd.หารทั้งสองข้างด้วย $2a=2\sqrt2$ แล้วจัดรูปจำนวนกรณฑ์
To find the square roots of $u=-3-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$ without a calculator, pick the first move.
(A) write $u$ in mod-arg form, then halve $r$ and $\theta$
(B) let the root be $a+\mathrm{i}b$, square it, and compare with $u$
(C) guess small integer values of $a$ and $b$
หารากที่สองของ $u=-3-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$ โดยห้ามใช้เครื่องคิดเลข จงเลือกขั้นแรก
(A) เขียน $u$ ในรูปเชิงขั้ว แล้วลด $r$ กับ $\theta$ ลงครึ่งหนึ่ง
(B) ให้รากเป็น $a+\mathrm{i}b$ ยกกำลังสอง แล้วเทียบกับ $u$
(C) ลองเดาค่า $a$ และ $b$ ที่เป็นจำนวนเต็มน้อยๆ
Answershow ▾
(A) needs $\theta=\arg u$, which is not a standard angle here, so finding it needs a calculator -- banned by the question. (C) is not "showing all necessary working", and may never terminate.(A) ต้องใช้ $\theta=\arg u$ ซึ่งไม่ใช่มุมมาตรฐาน จึงต้องใช้เครื่องคิดเลข ซึ่งโจทย์ห้าม (C) ไม่ใช่การแสดงวิธีทำครบถ้วน และอาจหาคำตอบไม่ได้เลย
Using question 1, compare $(a^{2}-b^{2})+2ab\,\mathrm{i}$ with $u=-3-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$ to write down two equations in $a,b$.
โดยใช้ข้อ 1 จงเทียบ $(a^{2}-b^{2})+2ab\,\mathrm{i}$ กับ $u=-3-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$ เพื่อเขียนสองสมการใน $a,b$
Answershow ▾
Match the real part to the real part, and the imaginary part to the imaginary part.จับคู่ส่วนจริงกับส่วนจริง และส่วนจินตภาพกับส่วนจินตภาพ
Use $2ab=-2\sqrt{10}$ to write $b$ in terms of $a$, then substitute into $a^{2}-b^{2}=-3$.
จงใช้ $2ab=-2\sqrt{10}$ เขียน $b$ ในรูปของ $a$ แล้วแทนลงใน $a^{2}-b^{2}=-3$
Answershow ▾
$b=-\dfrac{\sqrt{10}}{a}$, so $b^{2}=\dfrac{10}{a^{2}}$.$b=-\dfrac{\sqrt{10}}{a}$ ดังนั้น $b^{2}=\dfrac{10}{a^{2}}$
Multiply $a^{2}-\dfrac{10}{a^{2}}=-3$ by $a^{2}$ to get a quartic equation in $a$.
จงคูณ $a^{2}-\dfrac{10}{a^{2}}=-3$ ด้วย $a^{2}$ เพื่อให้ได้สมการดีกรีสี่ใน $a$
Answershow ▾
Multiply every term by $a^{2}$, then move everything to one side.คูณทุกพจน์ด้วย $a^{2}$ แล้วย้ายทุกอย่างไปข้างเดียว
Using question 2 with $k=a^{2}$, solve the quartic for $a$, rejecting any value where $a^{2}$ is negative.
โดยใช้ข้อ 2 กับ $k=a^{2}$ จงแก้สมการดีกรีสี่หา $a$ โดยตัดค่าที่ทำให้ $a^{2}$ ติดลบทิ้งไป
Answershow ▾
$a^{2}=-5$ has no real solution, since a real number squared is never negative.$a^{2}=-5$ ไม่มีคำตอบจริง เพราะจำนวนจริงยกกำลังสองไม่ติดลบ
Check that $a=\sqrt2$, $b=-\sqrt5$ really squares to give $u=-3-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$.
จงตรวจว่า $a=\sqrt2$, $b=-\sqrt5$ ยกกำลังสองแล้วได้ $u=-3-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$ จริง
Answershow ▾
$\sqrt2\times\sqrt5=\sqrt{10}$, so the cross term is $-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$.$\sqrt2\times\sqrt5=\sqrt{10}$ ดังนั้นพจน์กลางคือ $-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$
Find the square roots of $u=-5-12\mathrm{i}$. Give your answers in the form $a+\mathrm{i}b$, where $a$ and $b$ are real.
จงหารากที่สองของ $u=-5-12\mathrm{i}$ ตอบในรูป $a+\mathrm{i}b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง
Answershow ▾
Same moves: square, compare, eliminate, clear the fraction, then reject the negative $a^{2}$.ขั้นเดิม: ยกกำลังสอง เทียบส่วน กำจัด $b$ กำจัดเศษส่วน แล้วตัด $a^{2}$ ที่ติดลบทิ้ง
(a) The complex number $u$ is given by $u=-3-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$. Showing all necessary working and without using a calculator, find the square roots of $u$. Give your answers in the form $a+\mathrm{i}b$, where the numbers $a$ and $b$ are real and exact.
(b) On a sketch of an Argand diagram shade the region whose points represent complex numbers $z$ satisfying the inequalities $|z-3-\mathrm{i}|\le3$, $\arg z\ge\dfrac14\pi$ and $\mathrm{Im}\,z\ge2$, where $\mathrm{Im}\,z$ denotes the imaginary part of the complex number $z$.
(ก) จำนวนเชิงซ้อน $u$ กำหนดโดย $u=-3-2\sqrt{10}\,\mathrm{i}$ โดยแสดงวิธีทำครบถ้วนและห้ามใช้เครื่องคิดเลข จงหารากที่สอง (square roots) ของ $u$ โดยตอบในรูป $a+\mathrm{i}b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงแบบ exact
(ข) บนภาพร่าง Argand diagram ให้แรเงาพื้นที่ของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $|z-3-\mathrm{i}|\le3$, $\arg z\ge\dfrac14\pi$ และ $\mathrm{Im}\,z\ge2$ โดยที่ $\mathrm{Im}\,z$ คือส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของจำนวนเชิงซ้อน $z$
Answershow ▾
10 marks: 5 for (a), eliminating $b$ to a quartic then rejecting the invalid root; 5 for (b), the circle, half-line and horizontal line.10 คะแนน: 5 คะแนนสำหรับ (a) กำจัด $b$ เป็นสมการดีกรีสี่แล้วตัดรากที่ใช้ไม่ได้; 5 คะแนนสำหรับ (b) วงกลม ครึ่งเส้นตรง และเส้นแนวนอน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A whole cubic, then a tangent to a circle สมการกำลังสามทั้งข้อ แล้วเส้นสัมผัสวงกลม
The complex number $-1+\sqrt7\,\mathrm{i}$ is denoted by $u$. It is given that $u$ is a root of the equation $2x^{3}+3x^{2}+14x+k=0$, where $k$ is a real constant.
(a) Find the value of $k$.
(b) Find the other two roots of the equation.
(c) On an Argand diagram, sketch the locus of points representing complex numbers $z$ satisfying the equation $|z-u|=2$.
(d) Determine the greatest value of $\arg z$ for points on this locus, giving your answer in radians.
จำนวนเชิงซ้อน $-1+\sqrt7\,\mathrm{i}$ แทนด้วย $u$ กำหนดว่า $u$ เป็นรากของสมการ $2x^{3}+3x^{2}+14x+k=0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่จำนวนจริง
(ก) หาค่าของ $k$
(ข) หารากที่เหลืออีกสองรากของสมการ
(ค) บน Argand diagram จงร่างโลคัสของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $|z-u|=2$
(ง) หาค่าสูงสุดของ $\arg z$ สำหรับจุดบนโลคัสนี้ โดยตอบเป็นเรเดียน
Expand $(-1+\sqrt7\,\mathrm{i})^{2}$.
จงกระจาย $(-1+\sqrt7\,\mathrm{i})^{2}$
Answershow ▾
Expand as usual, then use $\mathrm{i}^{2}=-1$ on the $7\mathrm{i}^{2}$ term.กระจายตามปกติ แล้วใช้ $\mathrm{i}^{2}=-1$ กับพจน์ $7\mathrm{i}^{2}$
Find $|{-1+\sqrt7\,\mathrm{i}}|$.
จงหา $|{-1+\sqrt7\,\mathrm{i}}|$
Answershow ▾
Use Pythagoras, then simplify the surd: $\sqrt8=2\sqrt2$.ใช้พีทาโกรัส แล้วจัดรูปจำนวนกรณฑ์: $\sqrt8=2\sqrt2$
A right triangle has hypotenuse $2\sqrt2$ and the side opposite the angle is $2$. Find the angle, using $\sin^{-1}$.
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $2\sqrt2$ และด้านตรงข้ามมุมที่ต้องการยาว $2$ จงหามุม โดยใช้ $\sin^{-1}$
Answershow ▾
$\sin^{-1}\left(\dfrac{2}{2\sqrt2}\right)=\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$, a standard angle.$\sin^{-1}\left(\dfrac{2}{2\sqrt2}\right)=\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ ซึ่งเป็นมุมมาตรฐาน
To find the greatest $\arg z$ on the circle $|z-u|=2$, pick the method.
(A) the greatest $\arg z$ is simply $\arg u$, the argument of the centre
(B) draw the two tangent lines from the origin to the circle; the greatest $\arg z$ is at the upper tangent point, $\arg u$ plus the half-angle $\sin^{-1}(r/|u|)$
(C) the greatest $\arg z$ is $\arg u+\dfrac{\pi}{2}$, a quarter turn from the centre
หาค่าสูงสุดของ $\arg z$ บนวงกลม $|z-u|=2$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) ค่าสูงสุดของ $\arg z$ คือ $\arg u$ ของจุดศูนย์กลางตรงๆ
(B) ลากเส้นสัมผัสสองเส้นจากจุดกำเนิดไปยังวงกลม ค่าสูงสุดของ $\arg z$ อยู่ที่จุดสัมผัสบน คือ $\arg u$ บวกครึ่งมุม $\sin^{-1}(r/|u|)$
(C) ค่าสูงสุดของ $\arg z$ คือ $\arg u+\dfrac{\pi}{2}$ หมุนหนึ่งในสี่รอบจากจุดศูนย์กลาง
Answershow ▾
(A) ignores the radius of the circle entirely, as if it were a single point. (C) has no geometric basis -- the right angle depends on how big the circle is relative to its distance from the origin.(A) ไม่สนใจรัศมีของวงกลมเลย เหมือนวงกลมเป็นจุดจุดเดียว (C) การหมุนหนึ่งในสี่รอบไม่มีที่มาทางเรขาคณิต มุมที่ถูกต้องขึ้นกับขนาดวงกลมเทียบกับระยะห่างจากจุดกำเนิด
Using $x^{2}=-6-2\sqrt7\,\mathrm{i}$ from question 1, find $x^{3}=x^{2}\cdot x$.
โดยใช้ $x^{2}=-6-2\sqrt7\,\mathrm{i}$ จากข้อ 1 จงหา $x^{3}=x^{2}\cdot x$
Answershow ▾
Expand $(-6-2\sqrt7\mathrm{i})(-1+\sqrt7\mathrm{i})$, then use $\mathrm{i}^{2}=-1$.จงกระจาย $(-6-2\sqrt7\mathrm{i})(-1+\sqrt7\mathrm{i})$ แล้วใช้ $\mathrm{i}^{2}=-1$
Substitute $x^{3}=20-4\sqrt7\,\mathrm{i}$, $x^{2}=-6-2\sqrt7\,\mathrm{i}$ and $x=-1+\sqrt7\,\mathrm{i}$ into $2x^{3}+3x^{2}+14x+k$, and collect real and imaginary parts.
จงแทน $x^{3}=20-4\sqrt7\,\mathrm{i}$, $x^{2}=-6-2\sqrt7\,\mathrm{i}$ และ $x=-1+\sqrt7\,\mathrm{i}$ ลงใน $2x^{3}+3x^{2}+14x+k$ แล้วรวมส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
Answershow ▾
The imaginary parts cancel completely: $-8\sqrt7-6\sqrt7+14\sqrt7=0$.ส่วนจินตภาพหักล้างกันหมด: $-8\sqrt7-6\sqrt7+14\sqrt7=0$
Solve $8+k=0$ for $k$.
จงแก้สมการ $8+k=0$ หา $k$
Answershow ▾
The equation must equal $0$, so $k$ undoes the $8$.สมการต้องเท่ากับ $0$ ดังนั้น $k$ ต้องหักล้างกับ $8$
State the second root, then find the quadratic factor it forms with the first.
จงระบุรากที่สอง แล้วหาตัวประกอบกำลังสองที่เกิดจากรากทั้งสองนี้
Answershow ▾
The coefficients are all real, so the non-real roots form a conjugate pair.สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนจริง รากที่ไม่ใช่จำนวนจริงจึงเป็นคู่สังยุค
Divide $2x^{3}+3x^{2}+14x-8$ by $x^{2}+2x+8$ to find the third root.
จงหาร $2x^{3}+3x^{2}+14x-8$ ด้วย $x^{2}+2x+8$ เพื่อหารากที่สาม
Answershow ▾
The quotient is linear, since a cubic divided by a quadratic leaves degree $1$.ผลหารเป็นเชิงเส้น เพราะสมการกำลังสามหารด้วยสมการกำลังสองเหลือดีกรี $1$
The complex number $-1+2\mathrm{i}$ is denoted by $u$. It is given that $u$ is a root of $2x^{3}+2x^{2}+6x+k=0$, where $k$ is a real constant. (a) Find $k$. (b) Find the other two roots. (c) The locus of points satisfying $|z-u|=2$ is a circle. Find the greatest value of $\arg z$ for points on this circle.
จำนวนเชิงซ้อน $-1+2\mathrm{i}$ แทนด้วย $u$ กำหนดว่า $u$ เป็นรากของ $2x^{3}+2x^{2}+6x+k=0$ โดย $k$ เป็นค่าคงที่ (a) หา $k$ (b) หารากที่เหลืออีกสองราก (c) โลคัสของจุดที่สอดคล้องกับ $|z-u|=2$ เป็นวงกลม จงหาค่าสูงสุดของ $\arg z$ สำหรับจุดบนวงกลมนี้
Answershow ▾
Same moves: cube the root, collect to solve for k, divide out the conjugate, then the tangent half-angle.ขั้นเดิม: ยกกำลังสามราก รวมพจน์เพื่อแก้หา k หารด้วยสังยุค แล้วครึ่งมุมของเส้นสัมผัส
The complex number $-1+\sqrt7\,\mathrm{i}$ is denoted by $u$. It is given that $u$ is a root of the equation $2x^{3}+3x^{2}+14x+k=0$, where $k$ is a real constant.
(a) Find the value of $k$.
(b) Find the other two roots of the equation.
(c) On an Argand diagram, sketch the locus of points representing complex numbers $z$ satisfying the equation $|z-u|=2$.
(d) Determine the greatest value of $\arg z$ for points on this locus, giving your answer in radians.
จำนวนเชิงซ้อน $-1+\sqrt7\,\mathrm{i}$ แทนด้วย $u$ กำหนดว่า $u$ เป็นรากของสมการ $2x^{3}+3x^{2}+14x+k=0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่จำนวนจริง
(ก) หาค่าของ $k$
(ข) หารากที่เหลืออีกสองรากของสมการ
(ค) บน Argand diagram จงร่างโลคัสของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $|z-u|=2$
(ง) หาค่าสูงสุดของ $\arg z$ สำหรับจุดบนโลคัสนี้ โดยตอบเป็นเรเดียน
Answershow ▾
11 marks: 3 for (a); 4 for (b); 2 for (c), the circle; 2 for (d), the tangent half-angle construction.11 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับ (a); 4 คะแนนสำหรับ (b); 2 คะแนนสำหรับ (c) วงกลม; 2 คะแนนสำหรับ (d) การสร้างครึ่งมุมของเส้นสัมผัส