Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Complex Numbersจำนวนเชิงซ้อน

A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 · Edexcel: Further Pure only (not in IAL Maths) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A negative discriminant, and the method that clears a surdดิสคริมิแนนต์ติดลบ กับเทคนิคกำจัดกรณฑ์

"No real roots" gets fixed today. CAIE 9709 only, not Edexcel IAL Pure 3."ไม่มีรากจริง" แก้ได้วันนี้ · เฉพาะข้อสอบ CAIE 9709 ไม่ออกใน Edexcel IAL Pure 3

  1. $x^{2}+2x+5=0$.  Work out $b^{2}-4ac$.$x^{2}+2x+5=0$  คำนวณ $b^{2}-4ac$
    Answer:เฉลย: $b^{2}-4ac=4-20=-16$Where Quadratics stopped: $b^{2}-4ac=4-20=-16$   $-16\lt 0\ \Rightarrow\ \text{no real roots}$   $\text{today: carry on anyway}$จุดที่บทกำลังสองหยุดไว้: $b^{2}-4ac=4-20=-16$   $-16\lt 0\ \Rightarrow\ \text{no real roots}$   $\text{today: carry on anyway}$
  2. From Indices & Surds: rationalise $\dfrac{1}{3-\sqrt{2}}$.จากบท Indices & Surds: ทำตัวส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ $\dfrac{1}{3-\sqrt{2}}$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{3-\sqrt{2}}\times\dfrac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\dfrac{3+\sqrt{2}}{7}$Remember this move. In about ten minutes you will use it, step for step, on a brand-new kind of number.จำท่านี้ไว้ให้ดี อีกสักสิบนาทีจะได้ใช้ท่าเดิมทุกขั้นกับตัวเลขชนิดใหม่

2. A new number, an old moveเลขตัวใหม่ ท่าเดิม

Define one number and the locked door opens.นิยามเลขตัวเดียว ประตูที่เคยล็อกก็เปิด

Every real square is positive or zeroจำนวนจริงยกกำลังสอง ไม่ติดลบเลย

No real $x$ solves $x^{2}=-1$. Quadratics stopped there; today we define one number so it doesn't.ไม่มี $x$ จริงที่ $x^{2}=-1$ · บท Quadratics หยุดตรงนี้ วันนี้เรานิยามเลขใหม่หนึ่งตัวให้มันเป็นไปได้

$\sqrt{-50}$, the same way you split $\sqrt{50}$$\sqrt{-50}$ ด้วยท่าเดียวกับที่แยก $\sqrt{50}$

  1. $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}$Split into a perfect square and what's left.แยกเป็นกำลังสองสมบูรณ์กับส่วนที่เหลือ
  2. $=5\sqrt{2}$The skill you already have.ท่าที่ทำเป็นอยู่แล้ว
  3. $\sqrt{-50}=\sqrt{50}\times\sqrt{-1}$Same split. The minus sign is now its own factor.แยกแบบเดิม เครื่องหมายลบแยกออกมาเป็นตัวประกอบของมันเอง
  4. $=5\sqrt{2}\times i$$\sqrt{-1}$ has a name now: $i$.$\sqrt{-1}$ มีชื่อแล้ว คือ $i$
  5. $=5\sqrt{2}\,i$Number first, $i$ last. This is the house style.เขียนตัวเลขก่อน ค่อยเขียน $i$ ทีหลัง
  1. Simplify $\sqrt{-49}$.ลดรูป $\sqrt{-49}$
    Answer:เฉลย: $\sqrt{-49}=7i$Same move as a surd: $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$   $\sqrt{-49}=\sqrt{49}\times\sqrt{-1}=7i$ท่าเดียวกับกรณฑ์: $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$   $\sqrt{-49}=\sqrt{49}\times\sqrt{-1}=7i$
  2. Everything in this topic follows from $i^{2}=-1$. So what is $(3i)^{2}$?ทุกอย่างในบทนี้งอกมาจาก $i^{2}=-1$ ทั้งนั้น แล้ว $(3i)^{2}$ เท่ากับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $(3i)^{2}=9i^{2}=-9$Same fact, read backwards: $(3i)^{2}=9i^{2}=9(-1)=-9$   $\sqrt{-9}=3i$ข้อเท็จจริงเดียวกัน อ่านย้อนทาง: $(3i)^{2}=9i^{2}=9(-1)=-9$   $\sqrt{-9}=3i$

3. Arithmetic you already knowบวกลบคูณที่ทำเป็นอยู่แล้ว

Expand as usual; the new rule is used only when $i$ meets $i$.กระจายตามปกติ กฎใหม่ทำงานแค่ตอน i เจอ i

Collect like terms, as with xรวมพจน์เหมือนตอนมี x

Add and subtract $i$ like the $x$ in $2+3x$. The only new step: write $i\times i$ as $-1$.บวกลบ $i$ เหมือน $x$ ใน $2+3x$ · ขั้นใหม่อย่างเดียว: เจอ $i\times i$ เขียน $-1$

$(4+i)(1+3i)$$(4+i)(1+3i)$

  1. $(4+i)(1+3i)$Expand like two linear brackets (FOIL).กระจายเหมือนวงเล็บเชิงเส้นสองตัว — FOIL
  2. $=4+12i+i+3i^{2}$Four products, same as with $x$.สี่พจน์ เหมือนตอนมี $x$
  3. $=4+13i+3i^{2}$Collect the middle terms first.รวมพจน์กลางก่อน
  4. $=4+13i-3$Now use the new rule: $i^{2}\to -1$.ทีนี้ใช้กฎใหม่: $i^{2}\to -1$
  5. $=1+13i$Real and imaginary parts, collected.ส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ รวมแล้ว

$i^{1},i^{2},i^{3},i^{4}$: then what?$i^{1},i^{2},i^{3},i^{4}$ — แล้วต่อไปล่ะ?

  1. $i^{1}=i$
  2. $i^{2}=-1$
  3. $i^{3}=-i$
  4. $i^{4}=1$Back to a real number after one full cycle.กลับมาเป็นจำนวนจริง หนึ่งรอบเต็ม
  5. $i^{5}=i^{4}\times i$
  6. $=i$Round two starts the same way as round one.รอบสองเริ่มเหมือนรอบแรก
  7. $i^{6}=i^{4}\times i^{2}$
  8. $=-1$Every four powers, the cycle repeats.ทุกสี่กำลัง จะวนซ้ำ
  1. Expand and simplify $(2+3i)(1-2i)$.กระจายแล้วลดรูป $(2+3i)(1-2i)$
    Answer:เฉลย: $2-4i+3i-6i^{2}=2-i+6=8-i$Expanding brackets is an old skill. The new rule is used once, right at the end: $i^{2}\to-1$.การกระจายวงเล็บเป็นของเก่า · กฎใหม่ใช้แค่ครั้งเดียวตอนท้ายสุด: $i^{2}\to-1$
  2. Powers of $i$ cycle: $i^{1}=i,\;i^{2}=-1,\;i^{3}=-i,\;i^{4}=1$, then repeat.  So $i^{7}=?$กำลังของ $i$ วนลูป: $i^{1}=i,\;i^{2}=-1,\;i^{3}=-i,\;i^{4}=1$ แล้ววนใหม่  แล้ว $i^{7}=?$
    Answer:เฉลย: $i^{7}=i^{4}\cdot i^{3}=1\cdot(-i)=-i$Divide the power by $4$: $7\div 4=1\ \text{ remainder }3$   $i^{7}=(i^{4})^{1}\cdot i^{3}=1\cdot(-i)=-i$หารเลขชี้กำลังด้วย $4$: $7\div 4=1\ \text{ remainder }3$   $i^{7}=(i^{4})^{1}\cdot i^{3}=1\cdot(-i)=-i$

4. Division is rationalisingการหารก็คือท่าเคลียร์ราก

The warm-up surd move, letter for letter.ท่ารากจากวอร์มอัพ ยกมาทั้งดุ้น

Same problem, new costumeโจทย์เดิม เปลี่ยนชุด

Same calculation as the warm-up: multiply top and bottom by the sign-flipped partner.คำนวณแบบเดียวกับตอนวอร์มอัพ · คูณทั้งเศษและส่วนด้วยคู่ที่กลับเครื่องหมาย

$\dfrac{3+2i}{1-i}$ in the form $a+bi$ทำ $\dfrac{3+2i}{1-i}$ ให้อยู่ในรูป $a+bi$

  1. $\frac{3+2i}{1-i}$$i$ is in the denominator: the warm-up surd problem, with a new letter.$i$ อยู่ในตัวส่วน · ปัญหาเดียวกับกรณฑ์ตอนวอร์มอัพ แค่เปลี่ยนตัวอักษร
  2. $=\frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$Multiply top and bottom by the conjugate: same number, sign flipped.คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุค: เลขเดิม กลับเครื่องหมาย
  3. $=\frac{3+3i+2i+2i^{2}}{1-i^{2}}$Expand both. The denominator loses its $i$ term. That is why the conjugate works.กระจายทั้งคู่ · ตัวส่วนไม่เหลือพจน์ $i$ · นี่คือเหตุผลที่สังยุคใช้ได้
  4. $=\frac{1+5i}{2}$$i^{2}=-1$: top is $3+5i-2$, bottom is $1+1$.$i^{2}=-1$: เศษได้ $3+5i-2$ ส่วนได้ $1+1$
  5. $=\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{2}i$Split it so the real and imaginary parts are visible. That is the required form.แยกให้เห็นส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ · นี่คือรูปที่โจทย์ขอ
  1. To make the denominator of $\dfrac{1}{3-2i}$ real, multiply top and bottom by:จะทำตัวส่วนของ $\dfrac{1}{3-2i}$ ให้เป็นจำนวนจริง ต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วย:
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3+2i}{3+2i}$The conjugate clears the bottom: $(3-2i)(3+2i)=9-4i^{2}$   $=9+4=13$สังยุคทำตัวส่วนเป็นจำนวนจริง: $(3-2i)(3+2i)=9-4i^{2}$   $=9+4=13$
  2. $z=3+4i$.  Work out $z\,z^{*}$.$z=3+4i$  คำนวณ $z\,z^{*}$
    Answer:เฉลย: $(3+4i)(3-4i)=9-16i^{2}=9+16=25$So $\dfrac{1}{3-2i}=\dfrac{3+2i}{13}$. Remember the shape $a^{2}+b^{2}$. You will meet it again two levels from now.เพราะฉะนั้น $\dfrac{1}{3-2i}=\dfrac{3+2i}{13}$ · จำหน้าตา $a^{2}+b^{2}$ ไว้ให้ดี อีกสองขั้นจะได้เจอมันอีก

5. The door opensเปิดประตูที่เคยล็อก

Solve the equation Quadratics could not.แก้สมการที่บท Quadratics ทำไม่ได้

Back to the warm-up equationกลับไปที่สมการตอนวอร์มอัพ

In Quadratics this was the end. Now $\sqrt{-16}$ is a number, so solve it by completing the square.ในบท Quadratics ตรงนี้คือสุดทาง · ตอนนี้ $\sqrt{-16}$ เป็นเลขแล้ว · แก้ด้วยการจัดกำลังสองสมบูรณ์

Take the conjugate of the whole equationหาคอนจูเกตของสมการทั้งสองข้าง

  1. $x^{2}+2x+5=0$The coefficients are real. Nothing complex yet.สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ยังไม่มีจำนวนเชิงซ้อนเลย
  2. $\overline{x^{2}+2x+5}=\overline{0}$Take the conjugate of both sides.หาคอนจูเกตของทั้งสองข้าง
  3. $\bar{x}^{2}+2\bar{x}+5=0$Conjugating a real number does nothing, so $2,5$ stay.คอนจูเกตของจำนวนจริงไม่เปลี่ยนแปลง $2,5$ จึงเหมือนเดิม
  4. $\text{so } \bar{x} \text{ is also a root}$Same equation, so $x$'s root and its conjugate both solve it.สมการเดียวกัน รากของ $x$ กับคอนจูเกตของมันแก้สมการนี้ได้ทั้งคู่
  1. Complete the square: $x^{2}+2x+5=0$ becomes $(x+1)^{2}=\;?$จัดกำลังสองสมบูรณ์: $x^{2}+2x+5=0$ กลายเป็น $(x+1)^{2}=\;?$
    Answer:เฉลย: $(x+1)^{2}=-4$A square equal to a negative: $x^{2}+2x+5=0$   $(x+1)^{2}-1+5=0$   $(x+1)^{2}=-4$กำลังสอง เท่ากับจำนวนติดลบ: $x^{2}+2x+5=0$   $(x+1)^{2}-1+5=0$   $(x+1)^{2}=-4$
  2. $(x+1)^{2}=-4$.  So $x=\;?$  (give both roots)$(x+1)^{2}=-4$  ดังนั้น $x=\;?$  (ตอบทั้งสองราก)
    Answer:เฉลย: $x+1=\pm 2i \;\Rightarrow\; x=-1\pm 2i$Two roots, off the real line: $x+1=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i$   $x=-1\pm 2i$ Every quadratic now has exactly two roots, counting repeats.สองราก แค่ไม่อยู่บนเส้นจำนวนจริง: $x+1=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i$   $x=-1\pm 2i$ ต่อจากนี้ สมการกำลังสองมีสองรากเสมอ นับรากซ้ำด้วย
  3. Now reverse it: a quadratic $x^{2}+bx+c$ has real coefficients and one root is $2+i$. Write down the quadratic.ย้อนทิศ: สมการกำลังสอง $x^{2}+bx+c$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และรากตัวหนึ่งคือ $2+i$ · จงเขียนสมการนั้น
    Answer:เฉลย: $x^{2}-4x+5$Conjugate pairs give real coefficients: $\text{roots }2+i,\ 2-i$   $\text{sum}=4,\qquad \text{product}=4-i^{2}=5$   $x^{2}-4x+5$คู่สังยุค ให้สัมประสิทธิ์จริง: $\text{roots }2+i,\ 2-i$   $\text{sum}=4,\qquad \text{product}=4-i^{2}=5$   $x^{2}-4x+5$

6. Give it a pictureวาดรูปให้มัน

A complex number is a point; mod-arg form earns its keep multiplying two.จำนวนเชิงซ้อนคือจุดหนึ่งจุด รูปเชิงขั้วได้ใช้งานจริงตอนคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัว

a + bi is a pointa + bi คือจุดหนึ่งจุด

One complex number, one point, one arrow from the origin.จำนวนเชิงซ้อนหนึ่งตัว คือจุดหนึ่งจุด คือลูกศรหนึ่งดอกจากจุดกำเนิด

Drop $r$ and $\theta$ onto the axesโยน $r$ กับ $\theta$ ลงบนแกน

  1. $a=r\cos\theta$Old trig, adjacent over hypotenuse, rearranged.ตรีโกณเดิม จัดสมการใหม่
  2. $b=r\sin\theta$Opposite over hypotenuse, same move.ด้านตรงข้ามมุมฉาก ท่าเดิม
  3. $z=a+bi$
  4. $=r\cos\theta+i\,r\sin\theta$
  5. $=r(\cos\theta+i\sin\theta)$Take out the common factor $r$. This is mod-arg form.แยก $r$ ออกมา — นี่คือรูปเชิงขั้ว

$z_{1}z_{2}$: moduli and arguments$z_{1}z_{2}$ — มอดุลัสกับอาร์กิวเมนต์

  1. $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos A+i\sin A)(\cos B+i\sin B)$Multiply the two mod-arg forms together.คูณสองรูปเชิงขั้วเข้าด้วยกัน
  2. $(\cos A+i\sin A)(\cos B+i\sin B)$Expand the bracket pair on its own.กระจายเฉพาะคู่วงเล็บก่อน
  3. $=\cos A\cos B-\sin A\sin B$The real part: $i^{2}=-1$ flips this one negative.ส่วนจริง · $i^{2}=-1$ ทำให้พจน์นี้ติดลบ
  4. $\ \ +\,i(\sin A\cos B+\cos A\sin B)$The imaginary part.ส่วนจินตภาพ
  5. $=\cos(A+B)+i\sin(A+B)$Both are compound-angle formulas, read backwards.ทั้งคู่คือสูตรมุมรวม อ่านย้อนกลับ
  6. $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big[\cos(A+B)+i\sin(A+B)\big]$Moduli multiply, arguments add.มอดุลัสคูณกัน · อาร์กิวเมนต์บวกกัน
  1. Where does $z=3+4i$ sit on the Argand diagram?$z=3+4i$ นั่งอยู่ตรงไหนบนแผนภาพ Argand?
    Answer:เฉลย: $(3,4)$ — real across, imaginary up$(3,4)$ — จริงไปขวา จินตภาพขึ้นบนOne complex number = one point = one arrow from the origin. All three pictures are the same object.จำนวนเชิงซ้อนหนึ่งตัว = จุดหนึ่งจุด = ลูกศรหนึ่งดอกจากจุดกำเนิด สามภาพนี้คือของชิ้นเดียวกัน
  2. The modulus $|z|$ is the arrow's length. From the picture, $|3+4i|=\;?$มอดุลัส $|z|$ คือความยาวของลูกศร จากรูป $|3+4i|=\;?$
    Answer:เฉลย: $|z|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$. The conjugate level had this shape too: $z\,z^{*}=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$. Same quantity, twice.$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ · คุ้นไหม หน้าตาเดียวกับขั้นคอนจูเกต: $z\,z^{*}=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$ · ปริมาณเดียวกัน เจอสองรอบ
  3. The argument $\arg z$ is the angle marked, in radians ($-\pi \lt \arg z \le \pi$). For $z=1+i$, $\arg z=\;?$อาร์กิวเมนต์ $\arg z$ คือมุมที่ทำเครื่องหมายไว้ เป็นเรเดียน ($-\pi \lt \arg z \le \pi$) · สำหรับ $z=1+i$, $\arg z=\;?$
    Answer:เฉลย: $\arg(1+i)=\tan^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{4}$First quadrant only: $\tan\theta=\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{1}=1$   $\theta=\tan^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{4}$ That formula is safe only in the first quadrant. The next slide shows why.ใช้ได้เฉพาะควอดรันต์ที่หนึ่ง: $\tan\theta=\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{1}=1$   $\theta=\tan^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{4}$ สูตรนี้ปลอดภัยเฉพาะควอดรันต์ที่หนึ่ง · สไลด์ถัดไปจะให้ดูว่าทำไม
  4. Now flip only the real part: $\arg(-1+i)=\;?$ทีนี้กลับเครื่องหมายเฉพาะส่วนจริง: $\arg(-1+i)=\;?$
    Answer:เฉลย: $\arg(-1+i)=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$Plot first, then calculate. The reference angle $\tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|$ is only a first step. The sketch shows where to place it.พล็อตก่อน แล้วค่อยคำนวณ · มุมอ้างอิง $\tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|$ เป็นแค่ขั้นแรก รูปวาดบอกว่าต้องวางมุมไว้ตรงไหน
  5. $z_{1}=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$, $z_{2}=3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$. Find $|z_{1}z_{2}|$ and $\arg(z_{1}z_{2})$.กำหนด $z_{1}=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$ และ $z_{2}=3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ จงหา $|z_{1}z_{2}|$ และ $\arg(z_{1}z_{2})$
    Answer:เฉลย: $|z_{1}z_{2}|=2\times3=6$; $\arg(z_{1}z_{2})=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$Moduli multiply, arguments add: $|z_{1}z_{2}|=r_{1}r_{2}=6$   $\arg(z_{1}z_{2})=\theta_{1}+\theta_{2}=\dfrac{\pi}{2}$มอดุลัสคูณกัน อาร์กิวเมนต์บวกกัน: $|z_{1}z_{2}|=r_{1}r_{2}=6$   $\arg(z_{1}z_{2})=\theta_{1}+\theta_{2}=\dfrac{\pi}{2}$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Same ideas in CAIE wording, and one sentence that draws a circle.ความคิดเดิม ภาษาข้อสอบ CAIE · แถมประโยคเดียวที่วาดวงกลมได้

Distance from a fixed point = r … that IS a circleระยะห่างจากจุดคงที่ = r … นั่นแหละวงกลม

Distance from $z$ to $2+i$ is $2$: a circle.ระยะจาก $z$ ถึง $2+i$ เท่ากับ $2$: วงกลม

  1. $|z-(3-2i)|=4$ describes:$|z-(3-2i)|=4$ บรรยายรูปอะไร?
    Answer:เฉลย: circle, centre $3-2i$, radius $4$วงกลม จุดศูนย์กลาง $3-2i$ รัศมี $4$Force it into $z-(\text{centre})$: $|z-(3-2i)|=4\ \Rightarrow\ \text{centre }3-2i,\ r=4$   $|z+1-i|=|z-(-1+i)|\ \Rightarrow\ \text{centre }-1+i$จัดให้อยู่ในรูป $z-c$ · $c$ คือจุดศูนย์กลาง: $|z-(3-2i)|=4\ \Rightarrow\ \text{centre }3-2i,\ r=4$   $|z+1-i|=|z-(-1+i)|\ \Rightarrow\ \text{centre }-1+i$
  2. Exam (CAIE style): the equation $z^{2}+2z+2=0$, and $w$ is the root with positive imaginary part.ข้อสอบ (แนว CAIE): สมการ $z^{2}+2z+2=0$ และ $w$ คือรากที่ส่วนจินตภาพเป็นบวก
    Answer:เฉลย: $(z+1)^{2}=-1 \Rightarrow z=-1\pm i$;  $w=-1+i$:  $|w|=\sqrt{2}$, $\arg w=\dfrac{3\pi}{4}$;  circle: centre $-1+i$, radius $2$7 marks: $\text{M1}\ \ (z+1)^{2}=-1$   $\text{A1}\ \ z=-1+i$   $\text{A1}\ \ z=-1-i$   $\text{B1}\ \ |w|=\sqrt{2}\ \text{ exact}$   $\text{B1}\ \ \arg w=\dfrac{3\pi}{4}\ \text{ (second quadrant)}$   $\text{B1}\ \ \text{circle, centre }w$   $\text{B1}\ \ \text{radius }2$ Exact values only. A decimal for $|w|$ or degrees for $\arg w$ scores nothing.7 คะแนน: $\text{M1}\ \ (z+1)^{2}=-1$   $\text{A1}\ \ z=-1+i$   $\text{A1}\ \ z=-1-i$   $\text{B1}\ \ |w|=\sqrt{2}\ \text{ exact}$   $\text{B1}\ \ \arg w=\dfrac{3\pi}{4}\ \text{ (second quadrant)}$   $\text{B1}\ \ \text{circle, centre }w$   $\text{B1}\ \ \text{radius }2$ ต้องเป็นค่าตรงเท่านั้น · ตอบทศนิยมหรือองศา ไม่ได้คะแนน
  3. Exam: $z=\dfrac{a+3i}{2-i}$, where $a$ is a real constant.  (6 marks)ข้อสอบ: $z=\dfrac{a+3i}{2-i}$ โดย $a$ เป็นค่าคงที่ จำนวนจริง  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $a=-6$, so $z=-3$;  $|z|=3$ and $\arg z=\pi$6 marks: $\text{M1}\ \ z=\dfrac{(a+3i)(2+i)}{5}$   $\text{A1}\ \ z=\dfrac{(2a-3)+(a+6)i}{5}$   $\text{M1}\ \ \text{real}\ \Rightarrow\ a+6=0\ \Rightarrow\ a=-6$   $\text{A1}\ \ z=\dfrac{-15}{5}=-3$   $\text{A1}\ \ |z|=3$   $\text{A1}\ \ \arg z=\pi\ \text{ (negative real axis)}$ “$z$ is real” sets the imaginary part to zero, not the real part.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ z=\dfrac{(a+3i)(2+i)}{5}$   $\text{A1}\ \ z=\dfrac{(2a-3)+(a+6)i}{5}$   $\text{M1}\ \ \text{real}\ \Rightarrow\ a+6=0\ \Rightarrow\ a=-6$   $\text{A1}\ \ z=\dfrac{-15}{5}=-3$   $\text{A1}\ \ |z|=3$   $\text{A1}\ \ \arg z=\pi\ \text{ (negative real axis)}$ “$z$ เป็นจำนวนจริง” คือให้ส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ ไม่ใช่ส่วนจริง
  4. The equation $z^{2}+(2+i)z+c=0$ has $z=i$ as one root, where $c$ is a constant.
    A student says the other root must be $-i$, 'because complex roots come in conjugate pairs'.
    Find the other root.    สมการ $z^{2}+(2+i)z+c=0$ มี $z=i$ เป็นรากหนึ่ง โดย $c$ เป็นค่าคงที่
    นักเรียนคนหนึ่งบอกว่าอีกรากต้องเป็น $-i$ 'เพราะรากเชิงซ้อนมาเป็นคู่ conjugate เสมอ'
    จงหารากอีกตัว
    Answer:เฉลย: $-2-2i$  (sum of roots $=-(2+i)$, so $i+w=-2-i$)Coefficients are not real: $\text{conjugate pairs need real coefficients}$   $\text{here } b=2+i\ \Rightarrow\ \text{rule does not apply}$   $\text{sum of roots}=-(2+i)=-2-i$   $w=(-2-i)-i=-2-2i$   $\text{check}:\ \text{product}=i(-2-2i)=2-2i=c$ Read the coefficients before reaching for conjugate pairs.สัมประสิทธิ์ไม่ใช่จำนวนจริง: $\text{conjugate pairs need real coefficients}$   $\text{here } b=2+i\ \Rightarrow\ \text{rule does not apply}$   $\text{sum of roots}=-(2+i)=-2-i$   $w=(-2-i)-i=-2-2i$   $\text{check}:\ \text{product}=i(-2-2i)=2-2i=c$ ดูสัมประสิทธิ์ก่อน แล้วค่อยคิดถึงคู่สังยุค

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Solve $x^{2}+6x+13=0$.
    Answer:เฉลย: $(x+3)^{2}=-4 \Rightarrow x=-3\pm 2i$The level 4 move with new numbers. Complete the square, meet a negative, keep going.ท่าขั้นที่ 4 ตัวเดิมทุกอย่าง เปลี่ยนแค่ตัวเลข จัดกำลังสองสมบูรณ์ เจอค่าติดลบ แล้วไปต่อ
  2. Solve $2x^{2}-2x+5=0$.
    Answer:เฉลย: $x=\dfrac{2\pm\sqrt{-36}}{4}=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{3}{2}i$Leading coefficient 2 forces the formula and leaves fractions. Same concept: the arithmetic is the test.สัมประสิทธิ์หน้าเป็น 2 บังคับให้ใช้สูตรและเจอเศษส่วน ความคิดเดิม · สิ่งที่ถูกทดสอบคือการคำนวณ
  3. $w=-1-i$.  Find $|w|$ and $\arg w$ exactly.
    Answer:เฉลย: $|w|=\sqrt{2}$,  $\arg w=-\dfrac{3\pi}{4}$  (third quadrant, measured negative)New letter, third quadrant: the one this lesson never showed. Plot first, or the argument’s sign goes wrong.เปลี่ยนตัวอักษร แถมจตุภาคสาม จตุภาคเดียวที่บทเรียนยังไม่เคยโชว์ · ไม่พล็อตก่อน เครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์พังแน่
  4. Show that $1+2i$ is a root of $z^{3}-z^{2}+3z+5=0$, and find the other two roots.
    Answer:เฉลย: $(1+2i)^{3}-(1+2i)^{2}+3(1+2i)+5=0$ ✓. Conjugate pair gives $1-2i$; quadratic factor $z^{2}-2z+5$; dividing leaves $(z+1)$, so the third root is $z=-1$.Complex roots chain with the factor theorem and long division from Polynomials: conjugate pair, real quadratic factor, then divide.รากเชิงซ้อนต่อกับทฤษฎีบทตัวประกอบและการหารยาวจากบท Polynomials · คู่คอนจูเกต ตัวประกอบกำลังสองจริง แล้วหาร
  5. A quadratic $z^{2}+bz+c$ has real coefficients and one root is $4-3i$. Find $b$ and $c$.
    Answer:เฉลย: Other root $4+3i$; sum $=8$, product $=16+9=25$, so $b=-8$, $c=25$:  $z^{2}-8z+25$Given the answer, rebuild the question: this course's reverse move. Only knowing the forward recipe will not start it.ให้คำตอบมา แล้วสร้างโจทย์กลับ ท่าย้อนที่ใช้ทั้งบท · ท่องได้แค่ขาไปจะเริ่มข้อนี้ไม่ถูก
  6.  (5 marks) (a)(ก) Solve $z^{2}-4z+13=0$. (b)(ข) Show the roots on an Argand diagram and find the exact modulus of each root.
    Answer:เฉลย: (a) $(z-2)^{2}=-9 \Rightarrow z=2\pm3i$  (b) points $(2,3)$ and $(2,-3)$ — mirror images in the real axis; $|z|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ for bothMulti-part with marks, and the diagram itself carries credit: conjugate roots must appear as reflections in the real axis.หลายข้อย่อยมีคะแนนกำกับ และรูปวาดก็มีคะแนนด้วย: รากคู่คอนจูเกตต้องเป็นภาพสะท้อนกันข้ามแกนจริง

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี