Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Bearings, Nets & Drawing Anglesแบริ่ง รูปคลี่ และการวัดมุม

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

North, East, South, West, and the turn between themเหนือ ตะวันออก ใต้ ตะวันตก กับมุมที่หมุนระหว่างกัน

A bearing is a turn: from North, clockwise. One number names the direction.แบริ่งคือการหมุน: จากทิศเหนือ ตามเข็มนาฬิกา · ตัวเลขตัวเดียวบอกทิศ

  1. A full turn, all the way round, is how many degrees?หมุนครบหนึ่งรอบเต็ม เท่ากับกี่องศา?
    Answer:เฉลย: $360^\circ$Bearings live inside $000$–$360$: $\text{full turn}=360^\circ$   $400^\circ\ \to\ 040^\circ$แบริ่งอยู่ระหว่าง $000^\circ$ ถึง $360^\circ$: $\text{full turn}=360^\circ$   $400^\circ\ \to\ 040^\circ$
  2. Stand facing North and turn a quarter of a full turn clockwise. Which way are you facing?ยืนหันหน้าไปทางเหนือ แล้วหมุนตามเข็มไปหนึ่งในสี่รอบ · ตอนนี้หันไปทางไหน?
    Answer:เฉลย: EastตะวันออกClockwise is $N,E,S,W$: $\tfrac{1}{4}\times 360=90^\circ$   $\text{East}=090^\circ$ Learn it as $N,E,S,W$. The other order mirrors every bearing you write.ตามเข็มคือ $N,E,S,W$: $\tfrac{1}{4}\times 360=90^\circ$   $\text{East}=090^\circ$ จำเป็น $N,E,S,W$ ถ้าจำสลับทาง แบริ่งทุกตัวจะกลับด้านหมด

2. Reading the protractorอ่านไม้โปรแทรกเตอร์

Read the scale that starts at $0$ on your own arm.อ่านสเกลที่เริ่มนับ $0$ บนแขนของเราเอง

A protractor carries two scales on purposeไม้โปรแทรกเตอร์มีสองสเกล และมีเหตุผล

Line the arm up with a $0$, then follow that same scale round to the other arm.ทาบแขนให้ตรงกับ $0$ แล้วไล่สเกลเส้นเดียวกันนั้นไปจนถึงแขนอีกข้าง

  1. The orange arm sits on the $0$ of the inner scale. What is the marked angle?แขนสีส้มวางอยู่ที่ $0$ ของสเกลใน · มุมที่ทำเครื่องหมายไว้มีค่าเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $50^\circ$Acute or obtuse picks the scale: $50+130=180$   $\text{acute}\ \Rightarrow\ <90^\circ\ \Rightarrow\ 50^\circ$มุมแหลมหรือป้าน เป็นตัวเลือกสเกล: $50+130=180$   $\text{acute}\ \Rightarrow\ <90^\circ\ \Rightarrow\ 50^\circ$
  2. Same protractor, same orange arm on the inner $0$. Read this one.ไม้อันเดิม แขนสีส้มอยู่ที่ $0$ ของสเกลใน · อ่านมุมนี้
    Answer:เฉลย: $135^\circ$Say the word before you read: $45+135=180$   $\text{obtuse}\ \Rightarrow\ >90^\circ\ \Rightarrow\ 135^\circ$พูดว่าแหลมหรือป้านก่อนอ่าน: $45+135=180$   $\text{obtuse}\ \Rightarrow\ >90^\circ\ \Rightarrow\ 135^\circ$
  3. Now draw an angle of $118^\circ$ at the marked point. What is the first thing you do?คราวนี้ต้องวาดมุม $118^\circ$ ที่จุดที่ทำเครื่องหมายไว้ · ทำอะไรก่อน?
    Answer:เฉลย: Arm on the zero line first, then count round on that same scale.วางแขนบนเส้นศูนย์ก่อน แล้วนับไปตามสเกลเดียวกันนั้นDrawing is reading, run backwards: $\text{centre on the vertex}$   $\text{one arm on a }0$   $\text{mark }118\ \text{on that same scale}$   $118^\circ\ \Rightarrow\ \text{must look obtuse}$ Exam tolerance is about $\pm 2^\circ$, so the eye check is worth a mark.การวาด คือการอ่านย้อนกลับ: $\text{centre on the vertex}$   $\text{one arm on a }0$   $\text{mark }118\ \text{on that same scale}$   $118^\circ\ \Rightarrow\ \text{must look obtuse}$ ข้อสอบยอมให้คลาดราว $\pm 2^\circ$ ตรวจด้วยสายตาจึงมีค่าหนึ่งคะแนน

3. Clockwise from Northหมุนตามเข็มจากทิศเหนือ

Start the turn at North. Always go clockwise.เริ่มหมุนที่ทิศเหนือ · ไปตามเข็มเสมอ

Every bearing is the clockwise turn from Northแบริ่งทุกค่าคือมุมที่หมุนตามเข็มจากทิศเหนือ

North first, clockwise second: one direction, exactly one bearing.ทิศเหนือก่อน ตามเข็มทีหลัง · หนึ่งทิศ มีแบริ่งค่าเดียว

  1. What is the bearing of East? Write it with three figures.แบริ่งของทิศตะวันออกคือเท่าไร? เขียนเป็นสามหลัก
    Answer:เฉลย: $090^\circ$Learn the four as numbers: $N=000^\circ$   $E=090^\circ$   $S=180^\circ$   $W=270^\circ$ They are the check: 'a bit east of north' must be a small number.จำสี่ทิศเป็นตัวเลข: $N=000^\circ$   $E=090^\circ$   $S=180^\circ$   $W=270^\circ$ ใช้ตรวจได้: 'เยื้องไปทางตะวันออกนิดเดียว' ต้องเป็นเลขน้อยๆ
  2. What is the bearing of South-West?แบริ่งของทิศตะวันตกเฉียงใต้ (SW) คือเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $225^\circ$Diagonals sit halfway: $NE=045^\circ,\ \ SE=135^\circ$   $SW=180+45=225^\circ$   $NW=315^\circ$ The letters are a label. The turn always goes forward, clockwise.ทิศเฉียงอยู่ตรงกลางพอดี: $NE=045^\circ,\ \ SE=135^\circ$   $SW=180+45=225^\circ$   $NW=315^\circ$ ตัวอักษรเป็นแค่ป้ายชื่อ การหมุนเดินหน้าตามเข็มเสมอ
  3. A student measured the bearing of $B$ from $A$ and wrote $070^\circ$. What has gone wrong, and what is the correct bearing?นักเรียนวัดแบริ่งของ $B$ จาก $A$ แล้วเขียน $070^\circ$ · ผิดตรงไหน และค่าที่ถูกคือเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $290^\circ$Left of North means reflex: $\text{anticlockwise reading}=70^\circ$   $360-70=290^\circ$   $\text{west of }N\ \Rightarrow\ >180^\circ$อยู่ซ้ายของเหนือ แปลว่ามุมกลับ: $\text{anticlockwise reading}=70^\circ$   $360-70=290^\circ$   $\text{west of }N\ \Rightarrow\ >180^\circ$
  4. Read the bearing of $Q$ from $P$ off the diagram.อ่านแบริ่งของ $Q$ จาก $P$ จากรูป
    Answer:เฉลย: $145^\circ$Bracket the answer first: $\text{down and right}\ \Rightarrow\ 090^\circ\ \text{to}\ 180^\circ$   $180-35=145^\circ$ตีกรอบคำตอบก่อนวัด: $\text{down and right}\ \Rightarrow\ 090^\circ\ \text{to}\ 180^\circ$   $180-35=145^\circ$

4. Three figures, and 'from'สามหลัก และคำว่า 'จาก'

Write every bearing with three figures, and start at the right point.เขียนแบริ่งสามหลักเสมอ และเริ่มวัดที่จุดที่ถูก

  1. A plane turns $7^\circ$ clockwise from North. Write that as a bearing.เครื่องบินหมุนตามเข็มจากทิศเหนือ $7^\circ$ · เขียนเป็นแบริ่ง
    Answer:เฉลย: $007^\circ$Always three figures: $7^\circ\ \to\ 007^\circ$   $45^\circ\ \to\ 045^\circ$ Zeros pad in front, never behind. The mark scheme lists it too.สามหลักเสมอ: $7^\circ\ \to\ 007^\circ$   $45^\circ\ \to\ 045^\circ$ เติมศูนย์ข้างหน้า ไม่ใช่ข้างหลัง และเฉลยเก็บคะแนนตรงนี้ด้วย
  2. To find the bearing of $A$ from $B$, which North line do you measure from?การหาแบริ่งของ $A$ จาก $B$ ต้องวัดจากเส้นเหนือที่จุดไหน?
    Answer:เฉลย: The North line at $B$เส้นเหนือที่ $B$Start at the letter after 'from': $\text{bearing of }A\ \text{from}\ B\ \to\ N\ \text{line at }B$   $\text{bearing of }B\ \text{from}\ A\ \to\ N\ \text{line at }A$   $055^\circ\ \text{and}\ 235^\circ$ Circle that letter before you touch the protractor.เริ่มที่ตัวอักษรหลังคำว่า from: $\text{bearing of }A\ \text{from}\ B\ \to\ N\ \text{line at }B$   $\text{bearing of }B\ \text{from}\ A\ \to\ N\ \text{line at }A$   $055^\circ\ \text{and}\ 235^\circ$ วงกลมตัวอักษรนั้นก่อนจับไม้โปรฯ
  3. Find the bearing of $K$ from $H$. The small angle marked in red is $65^\circ$.หาแบริ่งของ $K$ จาก $H$ · มุมเล็กที่ทำเครื่องหมายสีแดงคือ $65^\circ$
    Answer:เฉลย: $360^\circ-65^\circ=295^\circ$Left of North: $360$ minus it: $\text{a protractor reaches }180^\circ\ \text{only}$   $360-65=295^\circ$ Say the check out loud: $K$ is west of $H$, so the bearing is over $180$.อยู่ซ้ายของเหนือ: เอาไปลบจาก $360$: $\text{a protractor reaches }180^\circ\ \text{only}$   $360-65=295^\circ$ พูดออกมาเลย: $K$ อยู่ทางตะวันตกของ $H$ แบริ่งจึงต้องเกิน $180$

5. Back bearingsแบริ่งย้อนกลับ

Turn round: add $180^\circ$, or take $180^\circ$ off.หันกลับหลัง: บวก $180^\circ$ หรือลบ $180^\circ$

The two North lines are parallel: the key factเส้นเหนือสองเส้นขนานกัน · นี่คือข้อเท็จจริงสำคัญ

Under $180$: add. At $180$ or over: subtract. Keep the answer inside $000$–$360$.ต่ำกว่า $180$: บวก · ตั้งแต่ $180$ ขึ้นไป: ลบ · คำตอบต้องอยู่ใน $000$–$360$

  1. The bearing of $B$ from $A$ is $070^\circ$. What is the bearing of $A$ from $B$?แบริ่งของ $B$ จาก $A$ คือ $070^\circ$ · แบริ่งของ $A$ จาก $B$ คือเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $070^\circ+180^\circ=250^\circ$Under $180$, so add: $70+180=250^\circ$   $000\le 250\le 360\ \checkmark$ต่ำกว่า $180$ ก็บวก: $70+180=250^\circ$   $000\le 250\le 360\ \checkmark$
  2. The bearing of $T$ from $S$ is $215^\circ$. What is the bearing of $S$ from $T$?แบริ่งของ $T$ จาก $S$ คือ $215^\circ$ · แบริ่งของ $S$ จาก $T$ คือเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $215^\circ-180^\circ=035^\circ$$180$ or over, so subtract: $215-180=035^\circ$   $\text{or}\ \ 215+180=395,\ \ 395-360=035^\circ$ Subtracting first saves a step and never leaves $395^\circ$ on the page.ตั้งแต่ $180$ ขึ้นไป ให้ลบ: $215-180=035^\circ$   $\text{or}\ \ 215+180=395,\ \ 395-360=035^\circ$ ลบก่อนช่วยลดขั้นตอน และไม่มีทางเหลือ $395^\circ$ ค้างไว้บนกระดาษ
  3. A student says: 'For a back bearing, always add $180$.' When does that break?นักเรียนบอกว่า 'แบริ่งย้อนกลับ บวก $180$ ตลอด' · กฎนี้พังตอนไหน?
    Answer:เฉลย: At $180^\circ$ and above, subtract instead.ตั้งแต่ $180^\circ$ ขึ้นไป ให้ลบแทนOne half turn, written two ways: $<180\ \to\ +180$   $\ge 180\ \to\ -180$   $\text{answer must land in }000\text{–}360$ครึ่งรอบเดียว เขียนได้สองแบบ: $<180\ \to\ +180$   $\ge 180\ \to\ -180$   $\text{answer must land in }000\text{–}360$

6. Bearings inside a triangleแบริ่งในรูปสามเหลี่ยม

Parallel North lines turn a bearing into an angle you can use.เส้นเหนือที่ขนานกัน เปลี่ยนแบริ่งให้เป็นมุมที่เอาไปใช้ต่อได้

Two bearings meeting at one point make an angleแบริ่งสองค่าที่มาบรรจบที่จุดเดียว ทำให้เกิดมุม

At the corner point: draw its North line, find the back bearing, then subtract.ที่จุดหักมุม: ลากเส้นเหนือของจุดนั้น หาแบริ่งย้อนกลับ แล้วลบ

$P \to Q$ on $070^\circ$ for $8$ km, then $Q \to R$ on $160^\circ$ for $6$ km. Find $PR$.$P \to Q$ แบริ่ง $070^\circ$ ระยะ $8$ กม. แล้ว $Q \to R$ แบริ่ง $160^\circ$ ระยะ $6$ กม. · หา $PR$

  1. $\text{bearing of } Q \text{ from } P = 070^\circ$Given. Draw the North line at $P$. Mark the $070^\circ$ turn on the picture before any arithmetic.โจทย์ให้มา · ลากเส้นเหนือที่ $P$ แล้วทำเครื่องหมายมุม $070^\circ$ ลงในรูปก่อนคำนวณอะไร
  2. $\text{bearing of } R \text{ from } Q = 160^\circ$Given. Second North line, this time at $Q$, because the second leg starts there.โจทย์ให้มา · เส้นเหนือเส้นที่สอง คราวนี้ที่ $Q$ เพราะขาที่สองเริ่มจากตรงนั้น
  3. $\text{bearing of } P \text{ from } Q = 070^\circ + 180^\circ$At the corner, first look back down the road you came along. That is the back bearing.ที่จุดหักมุม ให้มองย้อนกลับไปตามทางที่เดินมาก่อน · นั่นคือแบริ่งย้อนกลับ
  4. $= 250^\circ$$070$ is under $180$, so adding is safe. $250^\circ$ is still a legal bearing.$070$ ต่ำกว่า $180$ บวกได้ปลอดภัย · $250^\circ$ ยังเป็นแบริ่งที่ถูกต้อง
  5. $\angle PQR = 250^\circ - 160^\circ$The corner angle is the gap between 'where I came from' and 'where I am going'.มุมที่หักคือช่องว่างระหว่าง 'ที่มาจาก' กับ 'ที่จะไป'
  6. $= 090^\circ$A right angle. Mark it on the picture. The diagram tells you which tool to use.เป็นมุมฉาก · ทำเครื่องหมายลงในรูป · รูปบอกแล้วว่าให้หยิบเครื่องมืออะไร
  7. $PR^2 = 8^2 + 6^2$Right-angled, so Pythagoras. No sine rule needed, no calculator angle to key in.มุมฉาก ก็ใช้พีทาโกรัส · ไม่ต้องใช้กฎไซน์ ไม่ต้องกดมุมเข้าเครื่องคิดเลข
  8. $= 100$$64+36$. Keep it as $PR^2$ for one more line. Do not write $PR$ yet.$64+36$ · เก็บไว้เป็น $PR^2$ อีกหนึ่งบรรทัด · ยังไม่ต้องเขียน $PR$
  9. $PR = 10 \text{ km}$Square root, then add the unit. Sense check: $10$ km is longer than each leg, shorter than $8+6$ ✓ถอดราก แล้วใส่หน่วยกลับ · ตรวจความสมเหตุสมผล: $10$ กม. ยาวกว่าขาแต่ละข้าง แต่สั้นกว่า $8+6$ ✓

Back bearing at the corner, subtract, and the bearings problem becomes an ordinary triangle.หาแบริ่งย้อนกลับที่จุดหักมุม แล้วลบ · โจทย์แบริ่งก็กลายเป็นสามเหลี่ยมธรรมดา

  1. The bearing of $B$ from $A$ is $118^\circ$. Find the angle $x$ between the North line at $B$ and $BA$.แบริ่งของ $B$ จาก $A$ คือ $118^\circ$ · หามุม $x$ ระหว่างเส้นเหนือที่ $B$ กับ $BA$
    Answer:เฉลย: $x=180^\circ-118^\circ=62^\circ$North lines are parallel: $118+x=180\ \ \text{(co-interior)}$   $x=62^\circ$ Every bearing diagram is parallel lines with a transversal. Angle rules apply.เส้นเหนือทุกจุดขนานกัน: $118+x=180\ \ \text{(co-interior)}$   $x=62^\circ$ รูปแบริ่งทุกรูปคือเส้นขนานที่มีเส้นตัด กฎมุมใช้ได้หมด
  2. A boat sails $A\to B\to C$ on the bearings shown. Find the size of angle $ABC$.เรือแล่น $A\to B\to C$ ตามแบริ่งในรูป · หาขนาดของมุม $ABC$
    Answer:เฉลย: $(040+180)-160 = 220-160 = 60^\circ$Same North line, then subtract: $\text{back bearing}:\ 040+180=220^\circ$   $220-160=60^\circ$ $160-40$ uses two different North lines. That is the $120^\circ$ trap.ให้เป็นเส้นเหนือเดียวกันก่อน ค่อยลบ: $\text{back bearing}:\ 040+180=220^\circ$   $220-160=60^\circ$ $160-40$ ใช้เส้นเหนือคนละเส้น นั่นคือกับดัก $120^\circ$
  3. $P$, $Q$, $R$ again, with the angles shown. Find the bearing of $R$ from $Q$.$P$, $Q$, $R$ อีกครั้ง ตามมุมในรูป · หาแบริ่งของ $R$ จาก $Q$
    Answer:เฉลย: $(065+180)-130 = 245-130 = 115^\circ$Same equation, different unknown: $065+180=245^\circ$   $245-130=115^\circ$   $\text{back bearing}-\text{corner angle}=\text{next bearing}$สมการเดิม แต่หาอีกตัว: $065+180=245^\circ$   $245-130=115^\circ$   $\text{back bearing}-\text{corner angle}=\text{next bearing}$

7. Nets: the solid laid flatรูปคลี่: ทรงตันที่แผ่ราบ

Unfold the solid; every face appears once. Add the faces to get the surface area.คลี่ทรงตันออก · ทุกหน้าปรากฏครั้งเดียว · บวกทุกหน้าได้พื้นที่ผิว

A net is the solid cut open and pressed flatรูปคลี่คือทรงตันที่ถูกผ่าออกแล้วกดให้แบน

Surface area is easier on the net: nothing is hidden round the back.หาพื้นที่ผิวจากรูปคลี่ง่ายกว่า · ไม่มีหน้าไหนซ่อนอยู่ด้านหลัง

  1. Which solid folds up from this net?รูปคลี่นี้พับขึ้นเป็นทรงอะไร?
    Answer:เฉลย: A triangular prismปริซึมสามเหลี่ยมRead a net by its shapes: $2\ \text{triangles}+3\ \text{rectangles}\ \to\ \text{triangular prism}$   $6\ \text{rectangles}\ \to\ \text{cuboid}$   $1\ \text{square}+4\ \text{triangles}\ \to\ \text{pyramid}$   $1\ \text{rectangle}+2\ \text{circles}\ \to\ \text{cylinder}$อ่านรูปคลี่จากรูปทรงที่เห็น: $2\ \text{triangles}+3\ \text{rectangles}\ \to\ \text{triangular prism}$   $6\ \text{rectangles}\ \to\ \text{cuboid}$   $1\ \text{square}+4\ \text{triangles}\ \to\ \text{pyramid}$   $1\ \text{rectangle}+2\ \text{circles}\ \to\ \text{cylinder}$
  2. Which of these three arrangements of six squares will not fold into a cube?การจัดวางสี่เหลี่ยมหกรูปแบบไหนที่พับไม่ได้เป็นลูกบาศก์?
    Answer:เฉลย: $B$ — the $2\times3$ block$B$ — บล็อก $2\times3$Find a run of four: $4\ \text{in a line}\ \to\ \text{the ring}$   $+2\ \text{on opposite sides}\ \to\ \text{lid and base}$   $B:\ \text{rows of }3\ \text{only}\ \times$ There are $11$ nets of a cube. Apply the test, do not memorise them.หาแถวสี่ช่องเรียงกัน: $4\ \text{in a line}\ \to\ \text{the ring}$   $+2\ \text{on opposite sides}\ \to\ \text{lid and base}$   $B:\ \text{rows of }3\ \text{only}\ \times$ รูปคลี่ลูกบาศก์มี $11$ แบบ ใช้วิธีทดสอบเอา ไม่ต้องท่อง
  3. This is the net of a cuboid $8\text{ cm} \times 5\text{ cm} \times 3\text{ cm}$. Find its total surface area in $\text{cm}^2$.นี่คือรูปคลี่ของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก $8$ ซม. ${}\times 5$ ซม. ${}\times 3$ ซม. · หาพื้นที่ผิวรวมเป็น ซม.${}^2$
    Answer:เฉลย: $2(8\times5) + 2(8\times3) + 2(5\times3) = 80+48+30 = 158\ \text{cm}^2$The net shows the pairs: $2(8\times 5)=80$   $2(8\times 3)=48$   $2(5\times 3)=30$   $80+48+30=158\text{ cm}^2$ That is why $2(lw+lh+wh)$ has a $2$ in front: it is the net as algebra.รูปคลี่โชว์คู่ที่เหมือนกัน: $2(8\times 5)=80$   $2(8\times 3)=48$   $2(5\times 3)=30$   $80+48+30=158\text{ cm}^2$ นี่คือเหตุผลที่ $2(lw+lh+wh)$ มี $2$ อยู่หน้า มันคือรูปคลี่ที่เขียนเป็นพีชคณิต
  4. A cylinder has radius $5$ cm. On its net, the curved surface opens out into a rectangle. How wide is that rectangle, to $1$ d.p.?ทรงกระบอกรัศมี $5$ ซม. · บนรูปคลี่ ผิวโค้งจะคลี่ออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า · สี่เหลี่ยมนั้นกว้างเท่าไร ตอบทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $2\pi r = 2\pi(5) = 31.4\ \text{cm}$The curved face unrolls to $2\pi r$: $2\pi r=2\pi(5)=31.4\text{ cm}$   $\text{so CSA}=2\pi r\times h$ผิวโค้งคลี่ออกกว้าง $2\pi r$: $2\pi r=2\pi(5)=31.4\text{ cm}$   $\text{so CSA}=2\pi r\times h$

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real 4MA1 / 0580 wording, and the marks that go with it.ภาษาข้อสอบ 4MA1 / 0580 จริง พร้อมคะแนนที่ได้

Three lines of working, three marksเขียนสามบรรทัด ได้สามคะแนน

Mark every North line, bearing and distance first. The sine and cosine rules are given (separate lesson).ลากเส้นเหนือ เขียนแบริ่งและระยะลงรูปให้ครบก่อน · กฎไซน์กับโคไซน์โจทย์ให้มา (อยู่คนละบท)

  1. Exam: The bearing of a ship $S$ from a port $P$ is $308^\circ$. Work out the bearing of $P$ from $S$. (2 marks)ข้อสอบ: แบริ่งของเรือ $S$ จากท่าเรือ $P$ คือ $308^\circ$ · จงหาแบริ่งของ $P$ จาก $S$ (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $308^\circ-180^\circ=128^\circ$2 marks: $\text{M1}\ \ 308-180\ \ (\text{or}\ 308+180-360)$   $\text{A1}\ \ =128^\circ$ Write the three figures. On a longer question the habit saves the method mark.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ 308-180\ \ (\text{or}\ 308+180-360)$   $\text{A1}\ \ =128^\circ$ เขียนสามหลักไว้ พอเจอข้อยาวๆ นิสัยนี้จะช่วยรักษาคะแนนวิธีทำ
  2. Exam: $B$ is $12$ km from $A$ on a bearing of $040^\circ$. $C$ is $9$ km from $B$ on a bearing of $155^\circ$. Calculate the distance $AC$, giving your answer to $3$ significant figures.
    You may use $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. (4 marks)    ข้อสอบ: $B$ อยู่ห่างจาก $A$ $12$ กม. แบริ่ง $040^\circ$ · $C$ อยู่ห่างจาก $B$ $9$ กม. แบริ่ง $155^\circ$ · จงหาระยะ $AC$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
    ใช้สูตรได้ $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\angle ABC = 220-155 = 65^\circ$;  $AC^2=12^2+9^2-2(12)(9)\cos 65^\circ = 133.7$;  $AC=11.6$ km4 marks: $\text{M1}\ \ \text{back bearing}\ 040+180=220^\circ$   $\text{M1}\ \ \angle ABC=220-155=65^\circ$   $\text{M1}\ \ AC^2=12^2+9^2-2(12)(9)\cos 65^\circ$   $\text{A1}\ \ AC=11.6\text{ km}$ Three of the four marks are earned before the calculator is touched.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{back bearing}\ 040+180=220^\circ$   $\text{M1}\ \ \angle ABC=220-155=65^\circ$   $\text{M1}\ \ AC^2=12^2+9^2-2(12)(9)\cos 65^\circ$   $\text{A1}\ \ AC=11.6\text{ km}$ สามในสี่คะแนน ได้มาก่อนจะแตะเครื่องคิดเลขด้วยซ้ำ
  3. Exam: The diagram shows the net of a square-based pyramid. The base is a square of side $10$ cm and each triangular face has a perpendicular height of $12$ cm. Work out the total surface area of the pyramid. (4 marks)ข้อสอบ: รูปแสดงรูปคลี่ของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส · ฐานเป็นจัตุรัสด้านยาว $10$ ซม. และหน้าสามเหลี่ยมแต่ละหน้าสูงตั้งฉาก $12$ ซม. · จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิด (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $10^2 + 4\left(\tfrac12\times10\times12\right) = 100 + 240 = 340\ \text{cm}^2$4 marks: $\text{M1}\ \ 10^2=100$   $\text{M1}\ \ \tfrac{1}{2}\times 10\times 12=60$   $\text{M1}\ \ 4\times 60=240$   $\text{A1}\ \ 100+240=340\text{ cm}^2$ The base counts as a face, and the unit carries the accuracy mark.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ 10^2=100$   $\text{M1}\ \ \tfrac{1}{2}\times 10\times 12=60$   $\text{M1}\ \ 4\times 60=240$   $\text{A1}\ \ 100+240=340\text{ cm}^2$ ฐานก็นับเป็นหน้าหนึ่ง และหน่วยคือที่อยู่ของคะแนนความถูกต้อง

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. The bearing of $B$ from $A$ is $072^\circ$. Write down the bearing of $A$ from $B$.
    Answer:เฉลย: $072+180 = 252^\circ$The plain back bearing, with a starting value under $180^\circ$ so you add.แบริ่งย้อนกลับตรงๆ · ค่าตั้งต้นต่ำกว่า $180^\circ$ จึงใช้บวก
  2. The bearing of $Q$ from $P$ is $236.5^\circ$. Find the bearing of $P$ from $Q$.
    Answer:เฉลย: $236.5-180 = 056.5^\circ$Over 180, so subtract. A bearing may carry a decimal, but still needs three figures before the point.เกิน 180 จึงลบ · แบริ่งมีทศนิยมได้ แต่หน้าจุดยังต้องเป็นสามหลัก
  3. A boat lies south-west of a lighthouse. Write that as a three-figure bearing, and give the bearing of the lighthouse from the boat.
    Answer:เฉลย: $SW = 225^\circ$; back bearing $= 225-180 = 045^\circ$ (which is $NE$, as it should be)Words instead of numbers. Converting $SW$ to $225^\circ$ first turns a compass question into the arithmetic you already know.โจทย์เป็นคำ ไม่ใช่ตัวเลข · แปลง $SW$ เป็น $225^\circ$ ก่อน คำถามเรื่องเข็มทิศก็กลายเป็นเลขคณิตที่ทำเป็นอยู่แล้ว
  4. $A$ to $B$: $5$ km on a bearing of $070^\circ$. $B$ to $C$: $12$ km on a bearing of $160^\circ$. Find the distance $AC$.
    Answer:เฉลย: Bearing of $A$ from $B = 250^\circ$, so $\angle ABC = 250-160 = 90^\circ$. $AC^2 = 5^2+12^2 = 169$, $AC = 13$ km.Bearings give the angle; Pythagoras finishes it. Spotting the 90° avoids reaching for the cosine rule.แบริ่งให้มุมมา พีทาโกรัสจบงาน · เห็น 90° แล้วไม่ต้องใช้กฎโคไซน์
  5. At $B$, $\angle ABC = 75^\circ$ and the bearing of $C$ from $B$ is $200^\circ$, with $A$ to the west of $BC$. Find the bearing of $B$ from $A$.
    Answer:เฉลย: Bearing of $A$ from $B = 200+75 = 275^\circ$. Then bearing of $B$ from $A = 275-180 = 095^\circ$.Two reversals in a row: the corner angle backwards, then a back bearing. Track which North line each number uses.ย้อนสองชั้นติดกัน: ย้อนมุมที่หักก่อน แล้วค่อยแบริ่งย้อนกลับ · ดูว่าเลขแต่ละตัวเป็นของเส้นเหนือเส้นไหน
  6. A solid cylinder has radius $4$ cm and height $10$ cm. By sketching its net, work out the total surface area, correct to $3$ significant figures. (4 marks)
    Answer:เฉลย: Net $=$ two circles $+$ one rectangle. $2\pi(4)^2 + 2\pi(4)(10) = 100.53 + 251.33 = 352\ \text{cm}^2$ ($3$ s.f.).The net is the method: two circles plus a rectangle of width 2πr. Sketch it first.รูปคลี่คือวิธีทำ: วงกลมสองวง บวกสี่เหลี่ยมกว้าง 2πr · ร่างรูปคลี่ก่อนเสมอ
  7. A student writes: 'the bearing of $A$ from $B$ is $180^\circ$ minus the bearing of $B$ from $A$'. Test it on $070^\circ$ and on $215^\circ$, and state the correct rule.
    Answer:เฉลย: $180-70 = 110^\circ$, but the true back bearing is $250^\circ$. $180-215 = -35^\circ$, which is not even a bearing. The rule is $\pm 180^\circ$: add if under $180$, subtract if not.This is the mix-up between a co-interior angle (180 minus something) and a back bearing (plus or minus 180).ข้อนี้คือความสับสนระหว่างมุมภายในบนข้างเดียวกัน (180 ลบ) กับแบริ่งย้อนกลับ (บวกลบ 180)

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี