Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Sine & Cosine Ruleกฎ sine และกฎ cosine
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Both tools you own need a right angleเครื่องมือสองอย่างที่มี ต้องมีมุมฉากทั้งคู่
Both lines need a right angle. The sine and cosine rules do not.สองบรรทัดนี้ต้องมีมุมฉาก · กฎ sine กับ cosine ไม่ต้องมี
Right-angled triangle. Find the side marked $x$.สามเหลี่ยมมุมฉาก หาด้านที่ทำเครื่องหมาย $x$ Answer:เฉลย: $10\sin30^{\circ}=5$That is the whole right-angled toolkit. But what if the triangle has no right angle for O, A and H?นี่คือเครื่องมือฉบับมุมฉากทั้งชุด · แล้วถ้าสามเหลี่ยมไม่มีมุมฉากให้ยึด O, A, H ล่ะ?
A right angle sits between sides $5$ and $7$. Find the third side $c$ to 3 s.f.มุมฉากอยู่ระหว่างด้าน $5$ กับ $7$ หาด้านที่สาม $c$ (3 ตัวเลขนัยสำคัญ) Answer:เฉลย: $c^{2}=5^{2}+7^{2}=74$, so $c=\sqrt{74}=8.60$Remember the $74$: $5^{2}+7^{2}=74$ $c=\sqrt{74}=8.60$ The same $5$ and $7$ come back later, with the angle no longer $90^{\circ}$.จำเลข $74$ ไว้: $5^{2}+7^{2}=74$ $c=\sqrt{74}=8.60$ เลข $5$ กับ $7$ คู่นี้จะกลับมาอีก แต่มุมจะไม่ใช่ $90^{\circ}$ แล้ว
2. No right angle, new labelsไม่มีมุมฉาก ป้ายชื่อใหม่
Lowercase side faces uppercase angle.ด้านตัวเล็กหันหน้าเข้าหามุมตัวใหญ่
Where did the hypotenuse go?hypotenuse หายไปไหน?
No right angle, so no hypotenuse. New labels: sides lowercase, angles uppercase.ไม่มีมุมฉาก ก็ไม่มี hypotenuse · ป้ายใหม่: ด้านใช้ตัวเล็ก มุมใช้ตัวใหญ่
Triangle $ABC$. Which side is $a$?สามเหลี่ยม $ABC$ · ด้านไหนคือ $a$? Answer:เฉลย:$BC$ — the side whose name has no $A$$BC$ — ด้านที่ชื่อไม่มีตัว $A$Every mark here starts with this pairing. Pair a side with the wrong angle and both rules give wrong answers.ทุกคะแนนในบทนี้เริ่มจากการจับคู่นี้ · จับด้านผิดมุมเมื่อไร สูตรทั้งสองตัวจะให้คำตอบผิดทันที
3. Sine rule: find a sideกฎ sine: หาด้าน
Bigger angle faces bigger side. Sin measures how much bigger.มุมใหญ่กว่าหันหน้าเข้าหาด้านยาวกว่า · sin คือตัววัดว่ายาวกว่าเท่าไร
Bigger angle faces bigger side. How much bigger?มุมใหญ่กว่าหันหน้าเข้าหาด้านยาวกว่า · แต่ยาวกว่าเท่าไร?
Divide each side by the sin of its facing angle.เอาแต่ละด้านหารด้วย sin ของมุมที่มันหันหน้าเข้าหา
Use your calculator. Work out $\dfrac{6}{\sin30^{\circ}}$ and $\dfrac{8.49}{\sin45^{\circ}}$. What do you get?หยิบเครื่องคิดเลข · กด $\dfrac{6}{\sin30^{\circ}}$ กับ $\dfrac{8.49}{\sin45^{\circ}}$ · เจออะไร? Answer:เฉลย:$\dfrac{6}{\sin30^{\circ}}=\dfrac{6}{0.5}=12$ and $\dfrac{8.49}{\sin45^{\circ}}=\dfrac{8.49}{0.7071}=12.0$ — the same number for the whole triangle$\dfrac{6}{\sin30^{\circ}}=\dfrac{6}{0.5}=12$ และ $\dfrac{8.49}{\sin45^{\circ}}=\dfrac{8.49}{0.7071}=12.0$ — เลขตัวเดียวกันของทั้งสามเหลี่ยมSame number every time: $\dfrac{6}{\sin30^{\circ}}=\dfrac{6}{0.5}=12$ $\dfrac{8.49}{\sin45^{\circ}}=\dfrac{8.49}{0.7071}=12.0$ $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ได้เลขเดิมทุกครั้ง: $\dfrac{6}{\sin30^{\circ}}=\dfrac{6}{0.5}=12$ $\dfrac{8.49}{\sin45^{\circ}}=\dfrac{8.49}{0.7071}=12.0$ $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$
4. Sine rule backwards: find an angleกฎ sine ย้อนกลับ: หามุม
Flip the fractions, make sin B the subject, then press undo.กลับเศษส่วน ทำ sin B เป็นตัวตั้ง แล้วกดปุ่มย้อน
Angle unknown? Flip every fraction firstมุมคือตัวไม่รู้? กลับเศษส่วนทุกตัวก่อน
Same rule as right-angled trig: unknown the subject first, undo last. Undo is SHIFT + sin.กฎเดิมจากตรีโกณฯ มุมฉาก: ทำตัวไม่รู้ให้เป็นตัวตั้งก่อน กดย้อนทีหลัง · ปุ่มย้อนคือ SHIFT + sin
Your working has reached $\sin B=0.689$. What is the correct next line?ทำมาจนถึง $\sin B=0.689$ แล้ว · บรรทัดถัดไปที่ถูกคืออะไร? Answer:เฉลย: $B=\sin^{-1}(0.689)=43.6^{\circ}$Ratio in, angle out: $\sin B=0.689\ \text{(a ratio)}$ $B=\sin^{-1}(0.689)=43.6^{\circ}$ใส่อัตราส่วน ได้มุมออกมา: $\sin B=0.689\ \text{(a ratio)}$ $B=\sin^{-1}(0.689)=43.6^{\circ}$
5. Pythagoras with a correctionพีทาโกรัสฉบับมีตัวแก้
When the sine rule cannot even start, Pythagoras with a correction term takes over.ตอนที่กฎ sine เริ่มไม่ได้เลย พีทาโกรัสฉบับมีตัวแก้จะเข้ามารับช่วงต่อ
If that angle were 90°, you would already know the answerถ้ามุมนั้นเป็น 90° เรารู้คำตอบอยู่แล้ว
$a^{2}=5^{2}+7^{2}=74$Pythagoras: the answer if the angle were $90^{\circ}$.พีทาโกรัส: คำตอบถ้ามุมเป็น $90^{\circ}$
$a^{2}=5^{2}+7^{2}-2(5)(7)\cos 60^{\circ}$The correction. $\cos90^{\circ}=0$, so at $90^{\circ}$ it vanishes.ตัวแก้ · $\cos90^{\circ}=0$ ถ้ามุมเป็น $90^{\circ}$ ตัวแก้หายไป
$a^{2}=74-70(0.5)$$\cos 60^{\circ}=0.5$, and $2(5)(7)=70$.$\cos 60^{\circ}=0.5$ และ $2(5)(7)=70$
$a^{2}=39$$74-35=39$: smaller, because the arms closed in.$74-35=39$ · น้อยกว่าเดิม เพราะแขนสองข้างหุบเข้า
$a=\sqrt{39}=6.24$Shorter than $\sqrt{74}=8.60$, as the picture shows.สั้นกว่า $\sqrt{74}=8.60$ ตรงกับที่รูปบอกไว้
Sides $5$ and $7$ hug a known $60^{\circ}$ at $A$ (side–angle–side). Try to start the sine rule. What happens?ด้าน $5$ กับ $7$ กอดมุม $60^{\circ}$ ที่ $A$ ไว้ (ด้าน–มุม–ด้าน) · ลองเริ่มกฎ sine ดูสิ · เกิดอะไรขึ้น? Answer:เฉลย:The sine rule cannot start — SAS gives no complete pairกฎ sine เริ่มไม่ได้ — แบบด้าน–มุม–ด้าน ไม่มีคู่ที่รู้ครบเลยSine rule gap: two sides hugging the known angle (SAS) gives no complete pair. We need a new tool.ช่องโหว่ของกฎ sine: สองด้านกอดมุมที่รู้ (SAS) แปลว่าไม่มีคู่ที่รู้ครบ · ต้องใช้เครื่องมือตัวใหม่
Same triangle: $b=5$, $c=7$, $A=60^{\circ}$. Find $a$ to 3 s.f.สามเหลี่ยมเดิม: $b=5$, $c=7$, $A=60^{\circ}$ หา $a$ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ Answer:เฉลย: $a^{2}=5^{2}+7^{2}-2(5)(7)\cos60^{\circ}=74-35=39\;\Rightarrow\;a=\sqrt{39}=6.24$Follow the $74$: $a^{2}=5^{2}+7^{2}-2(5)(7)\cos60^{\circ}$ $=74-35=39$ $a=\sqrt{39}=6.24<8.60$ตามเลข $74$ ต่อ: $a^{2}=5^{2}+7^{2}-2(5)(7)\cos60^{\circ}$ $=74-35=39$ $a=\sqrt{39}=6.24<8.60$
Two triangles: ① two sides and the angle between them ② two angles and one side. Which rule starts which?สองสามเหลี่ยม: ① สองด้านกับมุมที่คั่นกลาง ② สองมุมกับหนึ่งด้าน · ข้อไหนเริ่มด้วยกฎอะไร? Answer:เฉลย:SAS starts with the cosine rule; AAS starts with the sine ruleด้าน–มุม–ด้าน เริ่มด้วยกฎ cosine · มุม–มุม–ด้าน เริ่มด้วยกฎ sineThe pair test picks the rule: $\text{complete pair}\ \Rightarrow\ \text{sine rule}$ $\text{SAS or 3 sides}\ \Rightarrow\ \text{cosine rule}$ Choosing the rule is the first mark on the paper.ดูว่ามีคู่ครบไหม แล้วเลือกกฎ: $\text{complete pair}\ \Rightarrow\ \text{sine rule}$ $\text{SAS or 3 sides}\ \Rightarrow\ \text{cosine rule}$ การเลือกกฎให้ถูก คือคะแนนแรกในข้อสอบ
Keep $b=5$, $c=7$, but open the angle to $A=120^{\circ}$, so $\cos120^{\circ}=-0.5$. What happens to $a^{2}$?คง $b=5$, $c=7$ ไว้ แต่ง้างมุมออกเป็น $A=120^{\circ}$ ซึ่ง $\cos120^{\circ}=-0.5$ · เกิดอะไรขึ้นกับ $a^{2}$? Answer:เฉลย:$a^{2}=109$, so $a=10.4$ — longer than the right-angle version$a^{2}=109$ ได้ $a=10.4$ — ยาวกว่าเวอร์ชันมุมฉากThe sign does the work: $a^{2}=74-2(5)(7)(-0.5)=74+35=109$ $a=10.4>8.60$ $A<90^{\circ}:\ \cos A>0\ \Rightarrow\ a\ \text{shorter}$ $A>90^{\circ}:\ \cos A<0\ \Rightarrow\ a\ \text{longer}$ $A=90^{\circ}:\ \cos A=0\ \Rightarrow\ \text{Pythagoras}$เครื่องหมายจัดการให้เอง: $a^{2}=74-2(5)(7)(-0.5)=74+35=109$ $a=10.4>8.60$ $A<90^{\circ}:\ \cos A>0\ \Rightarrow\ a\ \text{shorter}$ $A>90^{\circ}:\ \cos A<0\ \Rightarrow\ a\ \text{longer}$ $A=90^{\circ}:\ \cos A=0\ \Rightarrow\ \text{Pythagoras}$
6. Backwards again, plus areaย้อนกลับอีกรอบ แถมพื้นที่
Three sides give the angle; two sides and the angle give the area.รู้สามด้านได้มุม · รู้สองด้านกับมุมได้พื้นที่
All three sides known, angle wantedรู้ครบสามด้าน อยากได้มุม
The side facing your wanted angle is the square with the minus sign.ด้านที่หันหน้าเข้าหามุมที่อยากได้ คือตัวที่กำลังสองติดเครื่องหมายลบ
Sides $5$, $7$, $8$. Find the angle $\theta$ that faces the side $7$. (Exact degrees.)ด้าน $5$, $7$, $8$ · หามุม $\theta$ ที่หันหน้าเข้าหาด้าน $7$ (ตอบเป็นองศาลงตัว) Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{5^{2}+8^{2}-7^{2}}{2(5)(8)}=\dfrac{40}{80}=0.5\;\Rightarrow\;\theta=\cos^{-1}(0.5)=60^{\circ}$Facing side takes the minus: $\cos\theta=\dfrac{5^{2}+8^{2}-7^{2}}{2(5)(8)}=\dfrac{40}{80}=0.5$ $\theta=\cos^{-1}(0.5)=60^{\circ}$ $\cos\theta>0\ \Rightarrow\ \text{acute}$ด้านที่หันหน้าเข้าหามุม อยู่ช่องลบ: $\cos\theta=\dfrac{5^{2}+8^{2}-7^{2}}{2(5)(8)}=\dfrac{40}{80}=0.5$ $\theta=\cos^{-1}(0.5)=60^{\circ}$ $\cos\theta>0\ \Rightarrow\ \text{acute}$
Sides $5$ and $8$ with $60^{\circ}$ between them. A student writes: Area $=\tfrac12\times5\times8=20$. What is wrong?ด้าน $5$ กับ $8$ มีมุม $60^{\circ}$ คั่นกลาง · เพื่อนคนหนึ่งเขียนว่า พื้นที่ $=\tfrac12\times5\times8=20$ · ผิดตรงไหน? Answer:เฉลย:$h=8\sin60^{\circ}$, so Area $=\tfrac12\times5\times8\sin60^{\circ}$$h=8\sin60^{\circ}$ ดังนั้นพื้นที่ $=\tfrac12\times5\times8\sin60^{\circ}$$\sin$ turns slant into height: $h=8\sin60^{\circ}=6.93$ $\text{Area}=\tfrac12\times5\times h$ $=\tfrac12\times5\times8\sin60^{\circ}$$\sin$ เปลี่ยนด้านเอียงเป็นความสูงจริง: $h=8\sin60^{\circ}=6.93$ $\text{Area}=\tfrac12\times5\times h$ $=\tfrac12\times5\times8\sin60^{\circ}$
Sides $5$ and $8$, included angle $60^{\circ}$. Find the area to 3 s.f.ด้าน $5$ กับ $8$ มุมคั่นกลาง $60^{\circ}$ หาพื้นที่ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ Answer:เฉลย: $\text{Area}=\tfrac12(5)(8)\sin60^{\circ}=17.3$ (3 s.f.)Same fact, written twice: $\text{Area}=\tfrac12(5)(8)\sin60^{\circ}=17.3$ $\tfrac12\times5\times6.93=17.3$เรื่องเดียวกัน เขียนสองแบบ: $\text{Area}=\tfrac12(5)(8)\sin60^{\circ}=17.3$ $\tfrac12\times5\times6.93=17.3$
7. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Bearings feed the triangle; the triangle earns the marks.แบริ่งป้อนข้อมูลให้สามเหลี่ยม · สามเหลี่ยมเก็บคะแนน
The ship problemโจทย์เรือเดินทะเล
Bearings: clockwise from North, 3 digits. The back-bearing is $\pm180^{\circ}$.แบริ่ง: ตามเข็มนาฬิกาจากทิศเหนือ สามหลักเสมอ · แบริ่งขากลับคือ $\pm180^{\circ}$
At $Q$, two known sides hug the $100^{\circ}$ angle, and we want $PR$. Which tool starts?ที่ $Q$ มีสองด้านที่รู้ค่ากอดมุม $100^{\circ}$ และเราอยากได้ $PR$ · เริ่มด้วยเครื่องมือไหน? Answer:เฉลย:Cosine rule — two sides hugging the known angleกฎ cosine — สองด้านกอดมุมที่รู้Angle first, then the rule: $\text{bearings}\ \Rightarrow\ \angle PQR=100^{\circ}$ $10,\ 8\ \text{hug}\ 100^{\circ}\ \Rightarrow\ \text{cosine rule}$หามุมก่อน แล้วค่อยเลือกกฎ: $\text{bearings}\ \Rightarrow\ \angle PQR=100^{\circ}$ $10,\ 8\ \text{hug}\ 100^{\circ}\ \Rightarrow\ \text{cosine rule}$
Exam: A ship sails from $P$ on a bearing of $070^{\circ}$ for $10$ km to $Q$. It then sails on a bearing of $150^{\circ}$ for $8$ km to $R$. Calculate the distance $PR$. Give your answer to 3 s.f. (5 marks)ข้อสอบ: เรือแล่นจาก $P$ ตามแบริ่ง $070^{\circ}$ เป็นระยะ $10$ กม. ถึง $Q$ · แล้วแล่นต่อตามแบริ่ง $150^{\circ}$ อีก $8$ กม. ถึง $R$ คำนวณระยะ $PR$ · ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $\angle PQR=100^{\circ}$; $PR^{2}=10^{2}+8^{2}-2(10)(8)\cos100^{\circ}=191.8\;\Rightarrow\;PR=13.8$ km (3 s.f.)5 marks: $\text{M1}\ \angle PQR=250^{\circ}-150^{\circ}=100^{\circ}$ $\text{M1}\ \text{cosine rule}$ $\text{M1}\ PR^{2}=10^{2}+8^{2}-2(10)(8)\cos100^{\circ}$ $\text{M1}\ PR^{2}=191.8$ $\text{A1}\ PR=13.8\text{ km}$ The units on the last line are part of the final mark.5 คะแนน: $\text{M1}\ \angle PQR=250^{\circ}-150^{\circ}=100^{\circ}$ $\text{M1}\ \text{cosine rule}$ $\text{M1}\ PR^{2}=10^{2}+8^{2}-2(10)(8)\cos100^{\circ}$ $\text{M1}\ PR^{2}=191.8$ $\text{A1}\ PR=13.8\text{ km}$ หน่วยในบรรทัดสุดท้าย เป็นส่วนหนึ่งของคะแนนสุดท้าย
Exam: In triangle $ABC$, $AB=7$ cm, $BC=12$ cm and $AC=17$ cm. (5 marks)ข้อสอบ: สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=7$ cm, $BC=12$ cm, $AC=17$ cm (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $\cos B=\dfrac{7^{2}+12^{2}-17^{2}}{2(7)(12)}=-\dfrac{4}{7}$, so $B=124.8^{\circ}$; Area $=\tfrac12(7)(12)\sin B=34.5$ cm$^2$5 marks: $\text{M1}\ \cos B=\dfrac{7^{2}+12^{2}-17^{2}}{2(7)(12)}$ $\text{M1}\ =\dfrac{-96}{168}=-\dfrac{4}{7}$ $\text{M1}\ B=\cos^{-1}\!\left(-\tfrac47\right)=124.8^{\circ}$ $\text{M1}\ \text{Area}=\tfrac12(7)(12)\sin B$ $\text{A1}\ =34.5\text{ cm}^{2}$ A negative cosine means an obtuse angle. Keep the minus sign.5 คะแนน: $\text{M1}\ \cos B=\dfrac{7^{2}+12^{2}-17^{2}}{2(7)(12)}$ $\text{M1}\ =\dfrac{-96}{168}=-\dfrac{4}{7}$ $\text{M1}\ B=\cos^{-1}\!\left(-\tfrac47\right)=124.8^{\circ}$ $\text{M1}\ \text{Area}=\tfrac12(7)(12)\sin B$ $\text{A1}\ =34.5\text{ cm}^{2}$ cos ติดลบ แปลว่ามุมป้าน · อย่าทำเครื่องหมายลบหาย
In triangle $PQR$, $QR=10$ cm, $PQ=7$ cm and angle $P=40^{\circ}$. Find angle $R$, to $1$ d.p.สามเหลี่ยม $PQR$ มี $QR=10$ cm, $PQ=7$ cm และมุม $P=40^{\circ}$ หามุม $R$ ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง Answer:เฉลย: $\dfrac{\sin R}{7}=\dfrac{\sin40^{\circ}}{10}\Rightarrow\sin R=0.450\Rightarrow R=26.7^{\circ}$Where the angle sits decides: $40^{\circ}\ \text{at}\ P\ \text{faces}\ QR=10\ \Rightarrow\ \text{pair}$ $\dfrac{\sin R}{7}=\dfrac{\sin40^{\circ}}{10}$ $\sin R=0.450\ \Rightarrow\ R=\sin^{-1}(0.450)=26.7^{\circ}$ $7<10\ \Rightarrow\ R<40^{\circ}$ The cosine rule needs the angle sitting between the two sides.ตำแหน่งของมุม เป็นตัวตัดสิน: $40^{\circ}\ \text{at}\ P\ \text{faces}\ QR=10\ \Rightarrow\ \text{pair}$ $\dfrac{\sin R}{7}=\dfrac{\sin40^{\circ}}{10}$ $\sin R=0.450\ \Rightarrow\ R=\sin^{-1}(0.450)=26.7^{\circ}$ $7<10\ \Rightarrow\ R<40^{\circ}$ กฎ cosine ใช้ตอนมุมอยู่ระหว่างสองด้านเท่านั้น
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
Triangle: $A=35^{\circ}$, $a=10$, $B=75^{\circ}$. Find $b$ to 3 s.f. Answer:เฉลย: $b=\dfrac{10\sin75^{\circ}}{\sin35^{\circ}}=16.8$ (3 s.f.)Same as the worked example, with new numbers. It builds confidence and shows the method transfers.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปทุกอย่าง เปลี่ยนแค่ตัวเลข สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่าท่านี้ติดตัวไปแล้ว
$b=6.2$, $c=9.5$, $A=47^{\circ}$. Find $a$ to 3 s.f. Answer:เฉลย: $a^{2}=6.2^{2}+9.5^{2}-2(6.2)(9.5)\cos47^{\circ}=48.35\;\Rightarrow\;a=6.95$ (3 s.f.)Same cosine rule, all decimals: tests calculator discipline, brackets, full number kept, round once.กฎ cosine เดิม แต่ทศนิยมเต็มไปหมด · วัดวินัยการกดเครื่อง: ใส่วงเล็บ เก็บเลขเต็ม ปัดครั้งเดียว
Sides $6$ cm and $10$ cm with an included angle of $30^{\circ}$. (a)(ก) Find the area. (b)(ข) Hence find the perpendicular height measured from the $10$ cm side. Answer:เฉลย: (a) $\tfrac12(6)(10)\sin30^{\circ}=15$ cm$^{2}$ (b) $\tfrac12(10)h=15\Rightarrow h=3$ cmUse the new area formula forwards, then run $\tfrac12bh$ backwards to get the height. Part (b) needs what (a) found.ใช้สูตรพื้นที่ตัวใหม่เดินหน้า แล้วใช้ $\tfrac12bh$ เดินย้อนกลับเพื่อหาความสูง · ข้อ (b) ต้องใช้ผลจากข้อ (a)
A student's final lines read: $\cos\theta=\dfrac{7^{2}+9^{2}-13^{2}}{2\times7\times9}=-0.310$, so $\theta=108.0^{\circ}$. What were the three sides of the triangle, which side does $\theta$ face, and how could you predict from the working that $\theta$ would be obtuse? Answer:เฉลย: Sides $7$, $9$, $13$; $\theta$ faces the $13$ (it carries the minus); $\cos\theta$ came out negative $\Rightarrow$ obtuse — as it must be, since $13$ is the longest side.Given the answer, rebuild the setup. This is the best understanding check in the set.ให้คำตอบมา แล้วสร้างโจทย์กลับ · ข้อนี้วัดความเข้าใจได้ดีที่สุดในชุด
From a lighthouse $L$, boat $A$ is $15$ km away on a bearing of $040^{\circ}$, and boat $B$ is $11$ km away on a bearing of $110^{\circ}$. Calculate the distance $AB$. Give your answer to 3 s.f. (5 marks) Answer:เฉลย: $\angle ALB=110^{\circ}-040^{\circ}=70^{\circ}$; $AB^{2}=15^{2}+11^{2}-2(15)(11)\cos70^{\circ}=233.1\;\Rightarrow\;AB=15.3$ km (3 s.f.)Full exam style. M1 angle $L=70^{\circ}$, M1 cosine rule, M1 substitution, M1 $AB^{2}=233.1$, A1 $15.3$ km.ข้อนี้แต่งเต็มยศแบบข้อสอบ · M1 มุม $L=70^{\circ}$, M1 เลือกกฎ cosine, M1 แทนค่า, M1 $AB^{2}=233.1$, A1 ตอบ $15.3$ กม.
Sides $4$, $6$, $9$. A student wants the angle facing the $9$ and writes: $\cos\theta=\dfrac{6^{2}+9^{2}-4^{2}}{2\times6\times9}=0.935$, so $\theta=20.7^{\circ}$. Find the mistake and the correct answer. Answer:เฉลย: The $9$ (the facing side) must carry the minus — they gave it to the $4$. Correct: $\cos\theta=\dfrac{4^{2}+6^{2}-9^{2}}{2\times4\times6}=-0.604\Rightarrow\theta=127.2^{\circ}$. Instant giveaway: the longest side cannot face a tiny $20.7^{\circ}$.The wrong side after the minus sign is the most common lost mark here. Check your answer’s size.ใส่ด้านผิดตัวในช่องหลังเครื่องหมายลบ คือคะแนนที่เสียบ่อยที่สุดในบทนี้ · ตรวจขนาดของคำตอบก็เจอได้เร็ว