Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Symmetryสมมาตร

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

A line of symmetry is a fold that worksเส้นสมมาตรคือรอยพับที่พับแล้วทับพอดี

Fold and it matches → line of symmetry. Turn and it matches → rotational symmetry.พับแล้วทับ → เส้นสมมาตร · หมุนแล้วเหมือนเดิม → สมมาตรการหมุน

  1. How many lines of symmetry does this rectangle have?สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปนี้มีเส้นสมมาตรกี่เส้น?
    Answer:เฉลย: $2$Diagonal fold fails: unequal sides: $\text{upright fold}\ \checkmark$   $\text{flat fold}\ \checkmark$   $\text{diagonal fold}\ \times$   $\text{lines}=2$พับแนวทแยงไม่ได้ ด้านยาวไม่เท่ากัน: $\text{upright fold}\ \checkmark$   $\text{flat fold}\ \checkmark$   $\text{diagonal fold}\ \times$   $\text{lines}=2$
  2. Which dashed line folds the rectangle exactly in half?เส้นประเส้นไหนพับสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ทับพอดี?
    Answer:เฉลย: Line Aเส้น AThe fold decides, not the eye: $\text{fold}:\ \text{every point}\to\text{matching point}$   $\text{line A}\ \checkmark$ That test is the only definition of a line of symmetry you need.ตัดสินด้วยการพับ ไม่ใช่สายตา: $\text{fold}:\ \text{every point}\to\text{matching point}$   $\text{line A}\ \checkmark$ การทดสอบนี้คือนิยามเดียวของเส้นสมมาตรที่ต้องใช้

2. Lines of symmetryเส้นสมมาตร

Count mirror lines by testing folds — including the ones that fail.นับเส้นสมมาตรด้วยการทดสอบพับ — รวมถึงเส้นที่พับไม่ได้ด้วย

Every point has a partner the same distance awayทุกจุดมีคู่ของมัน ห่างเส้นเท่ากัน

A shape can have $0$ lines of symmetry. That is a real answer, not a mistake.รูปอาจมีเส้นสมมาตร $0$ เส้นก็ได้ · นั่นคือคำตอบจริง ไม่ใช่ตอบผิด

  1. How many lines of symmetry does a parallelogram have?สี่เหลี่ยมด้านขนานมีเส้นสมมาตรกี่เส้น?
    Answer:เฉลย: $0$Balanced by turning, not by folding: $\text{lines}=0$   $\text{rotational order}=2$สมดุลด้วยการหมุน ไม่ใช่การพับ: $\text{lines}=0$   $\text{rotational order}=2$
  2. How many lines of symmetry does a regular pentagon have?ห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ามีเส้นสมมาตรกี่เส้น?
    Answer:เฉลย: $5$Regular $n$-gon: $n$ lines: $n=5\ \Rightarrow\ 5\text{ lines}$   $n\text{ odd}:\ \text{corner}\to\text{opposite side middle}$   $n\text{ even}:\ \text{corner}\to\text{corner},\ \text{side}\to\text{side}$รูป $n$ เหลี่ยมด้านเท่า: $n$ เส้น: $n=5\ \Rightarrow\ 5\text{ lines}$   $n\text{ odd}:\ \text{corner}\to\text{opposite side middle}$   $n\text{ even}:\ \text{corner}\to\text{corner},\ \text{side}\to\text{side}$
  3. How many lines of symmetry does this kite have?ว่าวรูปนี้มีเส้นสมมาตรกี่เส้น?
    Answer:เฉลย: $1$Only the odd-corner diagonal: $\text{2 short sides equal},\ \text{2 long sides equal}$   $\text{lines}=1$ The same diagonal comes back in the tangent questions later.มีแค่เส้นทแยงที่ผ่านสองมุมที่ไม่ซ้ำ: $\text{2 short sides equal},\ \text{2 long sides equal}$   $\text{lines}=1$ เส้นทแยงเส้นเดียวกันนี้กลับมาในโจทย์เส้นสัมผัสตอนท้าย
  4. The dashed line is a line of symmetry of the finished pattern. Which squares must be shaded on the right?เส้นประคือเส้นสมมาตรของลายที่เสร็จแล้ว · ต้องระบายช่องไหนทางขวา?
    Answer:เฉลย: The mirror image — distances from the line are kept, left-right order flipsภาพสะท้อน — ระยะห่างจากเส้นเท่าเดิม แต่ลำดับซ้ายขวากลับกันReflect, never slide: $\text{distance from the line}:\ \text{same}$   $\text{left-right order}:\ \text{flipped}$ The sliding mistake is exactly what the mark scheme is watching for.สะท้อน ไม่ใช่เลื่อน: $\text{distance from the line}:\ \text{same}$   $\text{left-right order}:\ \text{flipped}$ เฉลยจ้องจับจุดผิดแบบเลื่อนรูปนี่แหละ

3. Rotational symmetryสมมาตรการหมุน

Order = how many times a full turn puts the shape back on itself.อันดับ = หมุนครบรอบแล้วรูปกลับมาทับตัวเองกี่ครั้ง

Order of rotational symmetryอันดับของสมมาตรการหมุน

Every shape has order at least $1$; order $1$ means no rotational symmetry.ทุกรูปมีอันดับอย่างน้อย $1$ · อันดับ $1$ แปลว่าไม่มีสมมาตรการหมุน

  1. A rectangle is turned about its centre. What is its order of rotational symmetry?หมุนสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบจุดกึ่งกลาง · อันดับของสมมาตรการหมุนเป็นเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $2$Two matches in a full turn: $360\div 2=180^\circ$   $\text{match at }180^\circ,\ 360^\circ\ \Rightarrow\ \text{order }2$ Lines and order are different questions; never copy one answer into the other.หมุนครบรอบ ทับ $2$ ครั้ง: $360\div 2=180^\circ$   $\text{match at }180^\circ,\ 360^\circ\ \Rightarrow\ \text{order }2$ เส้นสมมาตรกับอันดับเป็นคนละคำถาม ห้ามลอกข้ามกัน
  2. What is the order of rotational symmetry of a regular hexagon?หกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ามีสมมาตรการหมุนอันดับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $6$Regular $n$-gon: order $n$: $360\div 6=60^\circ$   $\text{every }60^\circ\ \text{matches}\ \Rightarrow\ \text{order }6$   $\text{regular}:\ n\text{ lines},\ \text{order }n$รูป $n$ เหลี่ยมด้านเท่า: อันดับ $n$: $360\div 6=60^\circ$   $\text{every }60^\circ\ \text{matches}\ \Rightarrow\ \text{order }6$   $\text{regular}:\ n\text{ lines},\ \text{order }n$
  3. The parallelogram has $0$ lines of symmetry. What is its order of rotational symmetry?สี่เหลี่ยมด้านขนานมีเส้นสมมาตร $0$ เส้น · แล้วสมมาตรการหมุนอันดับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $2$Zero lines, order two: $\text{lines}=0$   $360\div 2=180^\circ\ \Rightarrow\ \text{order }2$ The two counts are independent — one is never evidence for the other.เส้นสมมาตร $0$ อันดับ $2$: $\text{lines}=0$   $360\div 2=180^\circ\ \Rightarrow\ \text{order }2$ สองเลขนี้เป็นอิสระต่อกัน · อันหนึ่งไม่ใช่หลักฐานของอีกอัน
  4. This pinwheel has no lines of symmetry at all. What is its order of rotational symmetry?กังหันรูปนี้ไม่มีเส้นสมมาตรเลยสักเส้น · สมมาตรการหมุนอันดับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $4$A mirror reverses the curl: $\text{mirror}:\ \text{curl reversed}\ \times$   $\text{turn }90^\circ:\ \text{curl kept}\ \checkmark$   $\text{lines}=0,\ \text{order}=4$กระจกกลับความโค้ง การหมุนไม่กลับ: $\text{mirror}:\ \text{curl reversed}\ \times$   $\text{turn }90^\circ:\ \text{curl kept}\ \checkmark$   $\text{lines}=0,\ \text{order}=4$

4. The quadrilateral familyตระกูลสี่เหลี่ยม

Build the table of lines and orders yourself, shape by shape.สร้างตารางเส้นสมมาตรกับอันดับด้วยตัวเอง ทีละรูป

Do not memorise this table — fill it inอย่าท่องตารางนี้ — ให้เติมเอง

Regular $n$-gon: $n$ lines, order $n$. Covers pentagon, hexagon, octagon, equilateral triangle.รูป $n$ เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า: $n$ เส้น อันดับ $n$ · คลุมห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม แปดเหลี่ยม สามเหลี่ยมด้านเท่า

  1. A rhombus (all four sides equal, corners not square). How many lines of symmetry?ขนมเปียกปูน (สี่ด้านยาวเท่ากัน แต่มุมไม่ฉาก) · มีเส้นสมมาตรกี่เส้น?
    Answer:เฉลย: $2$Each equal pair, one diagonal mirror: $\text{kite}:\ 1\text{ equal pair}\ \Rightarrow\ 1\text{ line}$   $\text{rhombus}:\ 2\text{ equal pairs}\ \Rightarrow\ 2\text{ lines}$   $\text{square}:\ 2+2=4$ด้านเท่ากันหนึ่งคู่ ได้เส้นทแยงหนึ่งเส้น: $\text{kite}:\ 1\text{ equal pair}\ \Rightarrow\ 1\text{ line}$   $\text{rhombus}:\ 2\text{ equal pairs}\ \Rightarrow\ 2\text{ lines}$   $\text{square}:\ 2+2=4$
  2. A regular octagon. Give its number of lines of symmetry and its order of rotational symmetry.แปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า · บอกจำนวนเส้นสมมาตร กับอันดับของสมมาตรการหมุน
    Answer:เฉลย: $8$ lines, order $8$Regular, so both counts are $8$: $8\text{ lines}:\ 4\ \text{corner-corner},\ 4\ \text{side-side}$   $360\div 8=45^\circ\ \Rightarrow\ \text{order }8$ด้านเท่ามุมเท่า สองเลขจึงเป็น $8$: $8\text{ lines}:\ 4\ \text{corner-corner},\ 4\ \text{side-side}$   $360\div 8=45^\circ\ \Rightarrow\ \text{order }8$
  3. A quadrilateral has exactly $1$ line of symmetry and rotational symmetry of order $1$. Which two shapes fit?สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นสมมาตร $1$ เส้นพอดี และสมมาตรการหมุนอันดับ $1$ · เข้าได้กับรูปไหนบ้าง?
    Answer:เฉลย: A kite, or an isosceles trapeziumว่าว หรือ คางหมูหน้าจั่วOne mirror, no half-turn match: $\text{kite}:\ 1\text{ line},\ \text{order }1$   $\text{isosceles trapezium}:\ 1\text{ line},\ \text{order }1$ Reading the table backwards is the standard 'name the shape' question.เส้นสมมาตรเส้นเดียว หมุนครึ่งรอบไม่ทับ: $\text{kite}:\ 1\text{ line},\ \text{order }1$   $\text{isosceles trapezium}:\ 1\text{ line},\ \text{order }1$ อ่านตารางย้อนกลับคือโจทย์ 'บอกชื่อรูป' มาตรฐาน
  4. Now the whole row for a square: lines of symmetry, then order of rotational symmetry.คราวนี้ทั้งแถวของจัตุรัส: เส้นสมมาตร แล้วก็อันดับของสมมาตรการหมุน
    Answer:เฉลย: $4$ lines, order $4$The only regular quadrilateral: $4\text{ lines}:\ 2\ \text{through sides},\ 2\ \text{diagonals}$   $360\div 4=90^\circ\ \Rightarrow\ \text{order }4$สี่เหลี่ยมรูปเดียวที่ด้านเท่ามุมเท่า: $4\text{ lines}:\ 2\ \text{through sides},\ 2\ \text{diagonals}$   $360\div 4=90^\circ\ \Rightarrow\ \text{order }4$

5. Symmetry in three dimensionsสมมาตรในสามมิติ

A mirror line becomes a flat cutting plane; the centre becomes an axis.เส้นสมมาตรกลายเป็นระนาบตัด · จุดศูนย์กลางกลายเป็นแกน

A plane of symmetry slices the solid into mirror halvesระนาบสมมาตรผ่าทรงตันเป็นสองซีกที่เป็นเงากัน

Cut the solid in half every way you can; stop when the two pieces are not mirror images.ลองผ่าทรงตันครึ่งหนึ่งทุกวิธี · หยุดเมื่อสองชิ้นไม่เป็นเงากัน

  1. A cuboid whose length, width and height are all different. How many planes of symmetry does it have?ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ยาว กว้าง สูง ไม่เท่ากันสักด้าน · มีระนาบสมมาตรกี่ระนาบ?
    Answer:เฉลย: $3$One cut per pair of faces: $3\text{ pairs of opposite faces}\ \Rightarrow\ 3\text{ planes}$   $\text{diagonal cuts}\ \times\ (\text{faces are not squares})$หนึ่งรอยตัด ต่อหนึ่งคู่ของหน้า: $3\text{ pairs of opposite faces}\ \Rightarrow\ 3\text{ planes}$   $\text{diagonal cuts}\ \times\ (\text{faces are not squares})$
  2. A prism whose cross-section is an equilateral triangle. How many planes of symmetry?ปริซึมที่หน้าตัดเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า · มีระนาบสมมาตรกี่ระนาบ?
    Answer:เฉลย: $4$Prism rule: cross-section lines $+1$: $\text{planes}=(\text{lines of the cross-section})+1$   $\text{equilateral triangle}:\ 3+1=4$   $\text{cuboid}:\ 2+1=3$   $\text{cube}:\ 4+1=5\ (\text{before diagonals})$ The $+1$ is the cut halfway along, and needs the two ends identical.กฎปริซึม: เส้นของหน้าตัด $+1$: $\text{planes}=(\text{lines of the cross-section})+1$   $\text{equilateral triangle}:\ 3+1=4$   $\text{cuboid}:\ 2+1=3$   $\text{cube}:\ 4+1=5\ (\text{before diagonals})$ $+1$ คือรอยตัดขวางตรงกลาง ต้องมีปลายสองด้านเหมือนกัน
  3. Which statement about a cylinder is correct?ข้อความไหนเกี่ยวกับทรงกระบอกถูกต้อง?
    Answer:เฉลย: Infinitely many upright planes, plus one flat plane halfway upระนาบตั้งนับไม่ถ้วน บวกกับระนาบแนวนอนตรงกลางความสูงอีกหนึ่งCurved solids answer 'infinite': $\text{cylinder}:\ \infty\ \text{upright}+1\ \text{flat}$   $\text{cone}:\ \infty\ \text{upright},\ 0\ \text{flat}$   $\text{sphere}:\ \infty\ \text{in every direction}$ The exam wants the word 'infinite' written down.ทรงโค้งตอบว่า 'อนันต์': $\text{cylinder}:\ \infty\ \text{upright}+1\ \text{flat}$   $\text{cone}:\ \infty\ \text{upright},\ 0\ \text{flat}$   $\text{sphere}:\ \infty\ \text{in every direction}$ ข้อสอบต้องการคำว่า 'อนันต์' เขียนลงไปด้วย
  4. A prism $10$ cm long whose cross-section is a square. How many planes of symmetry does it have?ปริซึมยาว $10$ ซม. ที่หน้าตัดเป็นจัตุรัส · มีระนาบสมมาตรกี่ระนาบ?
    Answer:เฉลย: $5$Length never enters the count: $4+1=5$   $\text{length }10\text{ cm}:\ \text{not used}$   $\text{if length}=\text{side}\ \Rightarrow\ \text{cube},\ 9$ความยาวไม่ถูกใช้ในการนับ: $4+1=5$   $\text{length }10\text{ cm}:\ \text{not used}$   $\text{if length}=\text{side}\ \Rightarrow\ \text{cube},\ 9$
  5. The green dashed line runs through the middle of the cuboid, from end to end. Turning the cuboid about it, what is the order of rotational symmetry?เส้นประสีเขียวลากผ่านกลางทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากจากปลายถึงปลาย · หมุนรอบเส้นนี้ ได้สมมาตรการหมุนอันดับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $2$An axis has an order too: $\text{cuboid}:\ 3\text{ axes}$   $\text{each of order }2$   $\text{one axis per pair of opposite faces}$แกนก็มีอันดับเหมือนกัน: $\text{cuboid}:\ 3\text{ axes}$   $\text{each of order }2$   $\text{one axis per pair of opposite faces}$

6. Symmetry in circlesสมมาตรในวงกลม

A circle folds along every diameter — three exam facts fall out of that.วงกลมพับตามเส้นผ่านศูนย์กลางได้ทุกเส้น — ข้อสอบสามข้อหลุดออกมาจากตรงนี้

Three facts, one reasonสามข้อเท็จจริง เหตุผลเดียว

Every one of these makes an isosceles triangle or a kite. Once you see that, the arithmetic is Pythagoras.ทุกข้อสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วหรือว่าวขึ้นมา · พอมองเห็นตรงนี้ การคำนวณก็คือพีทาโกรัส

$OA$ and $OB$ are both radii, so $OAB$ is isosceles$OA$ กับ $OB$ เป็นรัศมีทั้งคู่ · $OAB$ จึงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

Radius, radius, chord → isosceles → right angle at the midpoint → Pythagoras.รัศมี รัศมี คอร์ด → หน้าจั่ว → มุมฉากที่จุดกึ่งกลาง → พีทาโกรัส

Circle centre $O$, radius $13$ cm, chord $AB=24$ cm. Find the distance from $O$ to $AB$.วงกลมจุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $13$ ซม. คอร์ด $AB=24$ ซม. · หาระยะจาก $O$ ถึง $AB$

  1. $OA=13$Mark the given radius on the picture before writing anything else.ทำเครื่องหมายรัศมีที่โจทย์ให้ลงบนรูปก่อน แล้วค่อยเขียนอย่างอื่น
  2. $AB=24$The chord. Call the foot of the perpendicular $M$.คอร์ด · เรียกจุดที่เส้นตั้งฉากลงมาว่า $M$
  3. $AM=\tfrac12\times 24$The perpendicular from the centre bisects the chord — that is the symmetry step, and it earns a mark on its own.เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางแบ่งคอร์ดครึ่ง — นี่คือขั้นสมมาตร และได้คะแนนของมันเอง
  4. $AM=12$Half of $24$.ครึ่งหนึ่งของ $24$
  5. $OM^2+AM^2=OA^2$Angle $OMA=90^\circ$, so triangle $OMA$ is right-angled and Pythagoras applies.มุม $OMA=90^\circ$ สามเหลี่ยม $OMA$ จึงเป็นมุมฉาก ใช้พีทาโกรัสได้
  6. $OM^2+12^2=13^2$Put the two known lengths in. $OA$ is the hypotenuse because it faces the right angle.แทนความยาวสองค่าที่รู้ · $OA$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากเพราะอยู่ตรงข้ามมุม $90^\circ$
  7. $OM^2+144=169$$144$ moves across: write $-144$ under both sides, then strike the pair.$144$ ย้ายข้าง เขียน $-144$ ไว้ใต้ทั้งสองข้าง แล้วขีดฆ่าคู่ที่ตัดกัน
  8. $OM^2=25$What is left after the strike.เหลืออะไรหลังขีดฆ่า
  9. $OM=5$Square root. Take the positive root only — $OM$ is a length.ถอดราก · เอาค่าบวกอย่างเดียว เพราะ $OM$ เป็นความยาว
  10. $OM=5\ \text{cm}$Units in the final line. Check: $5$ is less than the radius $13$ ✓ใส่หน่วยในบรรทัดสุดท้าย · ตรวจ: $5$ น้อยกว่ารัศมี $13$ ✓
  1. A circle has radius $10$ cm and a chord $AB$ of length $16$ cm. How far is the chord from the centre?วงกลมรัศมี $10$ ซม. มีคอร์ด $AB$ ยาว $16$ ซม. · คอร์ดอยู่ห่างจุดศูนย์กลางเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$ cmHalve, square, subtract: $16\div 2=8$   $10^2-8^2=100-64=36$   $\sqrt{36}=6\text{ cm}$ $6\text{-}8\text{-}10$, $5\text{-}12\text{-}13$, $9\text{-}12\text{-}15$: a whole answer means you are on track.แบ่งครึ่ง ยกกำลังสอง ลบ: $16\div 2=8$   $10^2-8^2=100-64=36$   $\sqrt{36}=6\text{ cm}$ $6\text{-}8\text{-}10$, $5\text{-}12\text{-}13$, $9\text{-}12\text{-}15$ · คำตอบลงตัวแปลว่าเดินถูกทาง
  2. Two chords of the same circle are both $14$ cm long. What can you say about them?คอร์ดสองเส้นในวงกลมเดียวกันยาว $14$ ซม. เท่ากัน · สรุปอะไรได้?
    Answer:เฉลย: They are the same distance from the centreอยู่ห่างจุดศูนย์กลางเท่ากันSpin one chord onto the other: $\text{equal chords}\ \Rightarrow\ \text{equal distance from }O$   $\text{equal distance from }O\ \Rightarrow\ \text{equal chords}$ The reversed version is the one the exam usually needs.หมุนคอร์ดเส้นหนึ่งไปทับอีกเส้น: $\text{equal chords}\ \Rightarrow\ \text{equal distance from }O$   $\text{equal distance from }O\ \Rightarrow\ \text{equal chords}$ ข้อสอบมักใช้แบบอ่านย้อนกลับ
  3. $PA$ and $PB$ are tangents to a circle of radius $8$ cm, centre $O$. $PA=15$ cm. Find $OP$.$PA$ กับ $PB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมรัศมี $8$ ซม. จุดศูนย์กลาง $O$ · $PA=15$ ซม. · หา $OP$
    Answer:เฉลย: $OP^2=8^2+15^2=289$, so $OP=17$ cm$OAPB$ is a kite, mirror $OP$: $OA=OB\ (\text{radii}),\ PA=PB\ (\text{tangents})$   $OP^2=8^2+15^2=64+225=289$   $OP=17\text{ cm}$$OAPB$ เป็นว่าว เส้นสมมาตรคือ $OP$: $OA=OB\ (\text{radii}),\ PA=PB\ (\text{tangents})$   $OP^2=8^2+15^2=64+225=289$   $OP=17\text{ cm}$
  4. $PA$ and $PB$ are tangents from $P$ to a circle centre $O$. Angle $APB=40^\circ$. Find angle $AOB$.$PA$ กับ $PB$ เป็นเส้นสัมผัสจาก $P$ ไปยังวงกลมจุดศูนย์กลาง $O$ · มุม $APB=40^\circ$ · หามุม $AOB$
    Answer:เฉลย: $360-90-90-40=140^\circ$Two right angles in the kite: $360-90-90-40=140^\circ$   $\text{or}\ \angle AOP=90-20=70^\circ$   $\angle AOB=2\times 70=140^\circ$ในว่าวมีมุมฉากสองมุม: $360-90-90-40=140^\circ$   $\text{or}\ \angle AOP=90-20=70^\circ$   $\angle AOB=2\times 70=140^\circ$

7. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real paper wording: name the property, then do the arithmetic.ภาษาข้อสอบจริง: บอกชื่อสมบัติก่อน แล้วค่อยคำนวณ

  1. Exam: The diagram shows a solid prism. Its cross-section is a regular hexagon.
    Write down the number of planes of symmetry of the prism. (3 marks)    ข้อสอบ: รูปแสดงปริซึมตัน หน้าตัดเป็นหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า
    เขียนจำนวนระนาบสมมาตรของปริซึมนี้ (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $6+1=7$3 marks: $\text{M1}\ \text{hexagon cross-section}:\ 6\text{ lines}$   $\text{M2}\ \text{each sweeps along the prism}\ \Rightarrow\ 6\text{ upright planes}$   $\text{A1}\ 6+1=7$ Write $6+1$, not $7$ — the across-the-middle plane is the mark people drop.3 คะแนน: $\text{M1}\ \text{hexagon cross-section}:\ 6\text{ lines}$   $\text{M2}\ \text{each sweeps along the prism}\ \Rightarrow\ 6\text{ upright planes}$   $\text{A1}\ 6+1=7$ เขียน $6+1$ อย่าเขียน $7$ เฉย ๆ · ระนาบตัดขวางคือคะแนนที่คนทำหล่น
  2. Exam: $A$ and $B$ are points on a circle, centre $O$, of radius $25$ cm. The distance from $O$ to the chord $AB$ is $7$ cm.
    Work out the length of $AB$. (4 marks)    ข้อสอบ: $A$ กับ $B$ เป็นจุดบนวงกลมจุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $25$ ซม. · ระยะจาก $O$ ถึงคอร์ด $AB$ เท่ากับ $7$ ซม.
    หาความยาว $AB$ (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $AM=\sqrt{25^2-7^2}=24$, so $AB=2\times24=48$ cm4 marks: $\text{M1}\ \text{perpendicular from }O\text{ bisects }AB:\ AM=MB$   $\text{M2}\ AM^2=25^2-7^2$   $\text{M3}\ AM=\sqrt{576}=24$   $\text{A1}\ AB=2\times 24=48\text{ cm}$ The final doubling is the mark most often thrown away.4 คะแนน: $\text{M1}\ \text{perpendicular from }O\text{ bisects }AB:\ AM=MB$   $\text{M2}\ AM^2=25^2-7^2$   $\text{M3}\ AM=\sqrt{576}=24$   $\text{A1}\ AB=2\times 24=48\text{ cm}$ คะแนนที่ทิ้งกันบ่อยที่สุดคือการคูณสองตอนท้าย
  3. Exam: $TA$ and $TB$ are tangents from $T$ to a circle with centre $O$. $OA=9$ cm and $OT=41$ cm.
    (a) Explain why angle $OAT=90^\circ$. (1)
    (b) Work out the area of quadrilateral $OATB$. (4)
    Type the area in cm$^2$. (5 marks)    ข้อสอบ: $TA$ กับ $TB$ เป็นเส้นสัมผัสจาก $T$ ไปยังวงกลมจุดศูนย์กลาง $O$ · $OA=9$ ซม. และ $OT=41$ ซม.
    (ก) อธิบายว่าทำไมมุม $OAT=90^\circ$ (1)
    (ข) หาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม $OATB$ (4)
    ตอบพื้นที่เป็น ตร.ซม. (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $AT=\sqrt{41^2-9^2}=40$; area $=2\times\tfrac12\times9\times40=360$ cm$^2$5 marks: $\text{M1 (a)}\ \text{tangent}\perp\text{radius at the point of contact}$   $\text{M2}\ AT^2=41^2-9^2=1681-81=1600$   $\text{M3}\ AT=40\text{ cm}$   $\text{M4}\ \text{area }OAT=\tfrac12\times 9\times 40=180\text{ cm}^2$   $\text{A1}\ OATB\text{ kite, mirror }OT:\ 2\times 180=360\text{ cm}^2$ The symmetry statement is what earns the doubling; $360$ alone risks the method mark.5 คะแนน: $\text{M1 (a)}\ \text{tangent}\perp\text{radius at the point of contact}$   $\text{M2}\ AT^2=41^2-9^2=1681-81=1600$   $\text{M3}\ AT=40\text{ cm}$   $\text{M4}\ \text{area }OAT=\tfrac12\times 9\times 40=180\text{ cm}^2$   $\text{A1}\ OATB\text{ kite, mirror }OT:\ 2\times 180=360\text{ cm}^2$ ประโยคเรื่องสมมาตรคือสิ่งที่ทำให้คูณสองได้ · เขียน $360$ เฉย ๆ เสี่ยงเสียคะแนนวิธีทำ

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. For an equilateral triangle, write down the number of lines of symmetry and the order of rotational symmetry.The regular-polygon rule with the smallest possible $n$.กฎรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ที่ $n$ น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้
  2. A circle has radius $17$ cm. A chord of the circle is $30$ cm long. How far is the chord from the centre?Same three lines as the walked example, with a $8$-$15$-$17$ triple instead of $5$-$12$-$13$. Halve the chord before squaring.สามบรรทัดเดิมกับตัวอย่างที่เดินให้ดู แต่เปลี่ยนเป็นชุด $8$-$15$-$17$ แทน $5$-$12$-$13$ · แบ่งครึ่งคอร์ดก่อนยกกำลังสอง
  3. Sketch a quadrilateral that has rotational symmetry of order $2$ but no lines of symmetry. Name it.The table read backwards, and the shape that proves the two counts are independent.อ่านตารางย้อนกลับ · และเป็นรูปที่พิสูจน์ว่าสองเลขนี้เป็นอิสระต่อกัน
  4. $PA$ and $PB$ are tangents to a circle of radius $6$ cm, centre $O$, and $OP=10$ cm. Work out the perimeter of the kite $OAPB$.Pythagoras from Chapter 15 feeding a symmetry property, then a perimeter. Exam questions almost never use one chapter at a time.พีทาโกรัสจากบทที่ 15 ป้อนเข้าสมบัติสมมาตร แล้วต่อด้วยเส้นรอบรูป · ข้อสอบแทบไม่เคยใช้บทเดียวโดด ๆ
  5. A prism has $5$ planes of symmetry. Its cross-section is a regular polygon. How many sides does the cross-section have, and what is the prism called?The prism recipe run backwards: subtract the one across-the-middle plane first, then read $n$ off what is left.สูตรปริซึมเดินถอยหลัง: ลบระนาบตัดขวางตรงกลางออกก่อน แล้วค่อยอ่าน $n$ จากที่เหลือ
  6. $AB$ and $CD$ are two chords of a circle with centre $O$ and radius $15$ cm. Both chords are $18$ cm long.
    (a) Write down what you know about the distances of the two chords from $O$, giving a reason. (2)
    (b) Work out that distance. (3 marks)Part (a) is a reason mark with no arithmetic — the examiner wants the property named. Part (b) is the standard halve-square-subtract routine, with the $9$-$12$-$15$ triple.ข้อ (ก) เป็นคะแนนเหตุผลล้วน ไม่ต้องคำนวณ — กรรมการอยากได้ชื่อสมบัติ · ข้อ (ข) คือขั้นตอนมาตรฐาน แบ่งครึ่ง-ยกกำลังสอง-ลบ ด้วยชุด $9$-$12$-$15$
  7. A student writes: 'the shape has $0$ lines of symmetry, so its order of rotational symmetry is $0$ as well.' What is wrong, and what is the smallest possible order?This names the single most common wrong answer in the chapter. $0$ lines is legal; order $0$ is not.ข้อนี้ตั้งชื่อให้คำตอบผิดที่พบบ่อยที่สุดของบทนี้ · เส้นสมมาตร $0$ เส้นมีจริง แต่อันดับ $0$ ไม่มี

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี