Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Vectorsเวกเตอร์
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
A journey's length, and the same journey reversedความยาวของการเดินทาง กับการเดินทางเดิมที่กลับทาง
The column is the journey. Its length is Pythagoras. Reversing it is a minus sign.คอลัมน์คือการเดินทาง · ความยาวใช้พีทาโกรัส · กลับทางก็แค่ใส่เครื่องหมายลบ
You walk $3$ right and $4$ up. How far are you from the start in a straight line?เดินไปทางขวา $3$ แล้วขึ้น $4$ ถามว่าอยู่ห่างจากจุดเริ่มตามเส้นตรงเท่าไร? Answer:เฉลย: $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$Pythagoras. You will use this same move later to measure how long a vector is. Nothing about it changes.พีทาโกรัส · เดี๋ยวจะใช้ท่าเดิมนี้วัดว่าเวกเตอร์ยาวเท่าไร · ไม่มีอะไรเปลี่ยน
You walked $3$ right, $2$ up. To get back to the start, you walk:เดินขวา $3$ ขึ้น $2$ ไปแล้ว ถ้าจะกลับไปจุดเริ่ม ต้องเดินยังไง? Answer:เฉลย:$3$ left, $2$ down — the same journey with every part reversed.ซ้าย $3$ ลง $2$ — เส้นทางเดิมแต่กลับทิศทุกส่วนWalking a journey backwards puts a minus on every part.เดินย้อนเส้นทางเดิม คือใส่เครื่องหมายลบให้ทุกส่วน
2. The journey gets a nameเส้นทางเดินได้ชื่อใหม่
A movement instruction is already a vector.คำสั่งเลื่อนที่ใช้อยู่ก็คือเวกเตอร์อยู่แล้ว
You have written this in every translation questionเขียนแบบนี้มาแล้วในโจทย์เลื่อนรูปทุกข้อ
The column you wrote for a translation is a vector: the top value is across, the bottom value is up.คอลัมน์ในโจทย์เลื่อนรูปคือเวกเตอร์ · ตัวบนแนวนอน ตัวล่างแนวตั้ง
Write “$2$ left, $5$ up” as a column vector. (type it like (3,2))เขียน “ซ้าย $2$ ขึ้น $5$” เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ (พิมพ์แบบนี้ (3,2)) Answer:เฉลย: $\binom{-2}{5}$Same as in translation questions. Only the name changed.เหมือนที่ทำในโจทย์เลื่อนรูป · เปลี่ยนแค่ชื่อเรียก
What does $\binom{3}{2}$ mean?$\binom{3}{2}$ แปลว่าอะไร? Answer:เฉลย:A journey — from any starting point.เส้นทางเดิน — เริ่มจากที่ไหนก็ได้A journey, not a place: $\binom{3}{2}=3\text{ across},\ 2\text{ up}$ $\text{start anywhere}$ Same length and same direction means the same vector, wherever it is drawn.เส้นทางเดิน ไม่ใช่ตำแหน่ง: $\binom{3}{2}=3\text{ across},\ 2\text{ up}$ $\text{start anywhere}$ ยาวเท่ากัน ทิศเดียวกัน = เวกเตอร์เดียวกัน วาดตรงไหนก็ได้
3. Journeys you can calculate withเอาเส้นทางมาคิดเลขได้
Add, stretch, and measure a vector.บวก ยืด และวัดความยาวเวกเตอร์
How long is a vector? You answered this in the warm-up.เวกเตอร์ยาวเท่าไร? ตอบไปแล้วตอนวอร์มอัพ
$\left|\binom{3}{4}\right|$How long is this vector?เวกเตอร์นี้ยาวเท่าไร?
$=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$Pythagoras on the two parts.พีทาโกรัสจากสองส่วนประกอบ
$\mathbf{a}=\binom{3}{2}$, $\mathbf{b}=\binom{1}{-4}$. You walk $\mathbf{a}$, then $\mathbf{b}$. Where do you end up, relative to the start? Find $\mathbf{a}+\mathbf{b}$.$\mathbf{a}=\binom{3}{2}$, $\mathbf{b}=\binom{1}{-4}$ เดินตาม $\mathbf{a}$ แล้วต่อด้วย $\mathbf{b}$ สุดท้ายอยู่ตรงไหนเมื่อเทียบกับจุดเริ่ม? หา $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ Answer:เฉลย: $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\binom{4}{-2}$Adding vectors = one journey after the other. Top values add, bottom values add. The directions never mix.บวกเวกเตอร์ = เดินเส้นทางหนึ่งต่อด้วยอีกเส้นทางหนึ่ง · ตัวบนบวกกับตัวบน ตัวล่างบวกกับตัวล่าง · สองแนวไม่มีวันปนกัน
$\mathbf{b}=\binom{1}{-4}$. Find $3\mathbf{b}$.$\mathbf{b}=\binom{1}{-4}$ หา $3\mathbf{b}$ Answer:เฉลย: $3\mathbf{b}=\binom{3}{-12}$$3\mathbf{b}$ is the same journey stretched: three times as long, same direction.$3\mathbf{b}$ คือเส้นทางเดิมที่ถูกยืด: ยาวขึ้นสามเท่า ทิศเดิม
Find $\left|\binom{-6}{8}\right|$.หา $\left|\binom{-6}{8}\right|$ Answer:เฉลย: $\sqrt{(-6)^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$The minus disappears inside the square. Direction does not change how long a journey is. Magnitude is always positive.เครื่องหมายลบหายไปในกำลังสอง · ทิศทางไม่ได้เปลี่ยนว่าเส้นทางยาวเท่าไร · ขนาดเลยเป็นบวกเสมอ
4. Points get vectors tooจุดก็มีเวกเตอร์ประจำตัว
The journey between two points is b minus a.เส้นทางระหว่างสองจุดคือ b ลบ a
Pin every point to the originผูกทุกจุดไว้กับจุดกำเนิด
Both journeys start at $O$. What is the dashed journey from $A$ to $B$?ทั้งสองเส้นทางเริ่มที่ $O$ · แล้วเส้นประจาก $A$ ไป $B$ คือเส้นทางอะไร?
From $A$ to $B$, using only the roads $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$. Which journey works?จาก $A$ ไป $B$ โดยใช้แค่ถนน $\mathbf{a}$ กับ $\mathbf{b}$ · เดินยังไงถึงจะถึง? Answer:เฉลย: $\vec{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$Destination minus start: $\vec{AB}=-\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ $-\mathbf{a}=\text{the walk back to }O$ปลายทาง ลบ จุดเริ่ม: $\vec{AB}=-\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ $-\mathbf{a}=\text{the walk back to }O$
$\mathbf{a}=\binom{1}{3}$, $\mathbf{b}=\binom{4}{1}$ (the points in the picture). Find $\vec{AB}$ as a column vector.$\mathbf{a}=\binom{1}{3}$, $\mathbf{b}=\binom{4}{1}$ (จุดเดียวกับในรูป) หา $\vec{AB}$ เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ Answer:เฉลย: $\vec{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\binom{3}{-2}$Check it on the picture: $\vec{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\binom{4}{1}-\binom{1}{3}=\binom{3}{-2}$ $\text{picture: }3\text{ right},\ 2\text{ down}\ \checkmark$ตรวจกับรูปทุกครั้ง: $\vec{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\binom{4}{1}-\binom{1}{3}=\binom{3}{-2}$ $\text{picture: }3\text{ right},\ 2\text{ down}\ \checkmark$
5. Find routes through the figureหาเส้นทางในรูป
Every unknown journey is a chain of known ones.เส้นทางที่ไม่รู้ ต่อจากเส้นทางที่รู้ได้เสมอ
Only walk along roads you knowเดินได้เฉพาะถนนที่รู้จัก
$M$ is the midpoint of $AB$. Write every route in $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.$M$ คือจุดกึ่งกลางของ $AB$ · เขียนทุกเส้นทางด้วย $\mathbf{a}$ กับ $\mathbf{b}$
Midpoint: average the two position vectorsจุดกึ่งกลาง: เฉลี่ยเวกเตอร์ตำแหน่งสองตัว
Careful: $\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ is $\vec{AM}$, the leg along the line, not the position of $M$.ระวัง: $\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ คือ $\vec{AM}$ ช่วงที่เดินบนเส้น ไม่ใช่ตำแหน่งของ $M$
$M$ is the midpoint of $AB$. What is $\vec{AM}$?$M$ คือจุดกึ่งกลางของ $AB$ แล้ว $\vec{AM}$ คืออะไร? Answer:เฉลย: $\vec{AM}=\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})$Halve the road, not something else: $\vec{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ $\vec{AM}=\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})$แบ่งครึ่งถนนเส้นนั้น ไม่ใช่เส้นอื่น: $\vec{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ $\vec{AM}=\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})$
Now start at $O$. Walk the route $O\to A\to M$, then simplify. What is $\vec{OM}$?คราวนี้เริ่มที่ $O$ เดินตามเส้นทาง $O\to A\to M$ แล้วจัดรูป · $\vec{OM}$ เท่ากับอะไร? Answer:เฉลย: $\vec{OM}=\tfrac12(\mathbf{a}+\mathbf{b})$The midpoint is the average: $\vec{OM}=\mathbf{a}+\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ $=\tfrac12\mathbf{a}+\tfrac12\mathbf{b}=\tfrac12(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ The same averaging you did for midpoints in the linear graphs lesson.จุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ย: $\vec{OM}=\mathbf{a}+\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ $=\tfrac12\mathbf{a}+\tfrac12\mathbf{b}=\tfrac12(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ เฉลี่ยแบบเดียวกับหาจุดกึ่งกลางในบทกราฟเส้นตรง
6. Parallel, then collinearขนานก่อน แล้วค่อยอยู่แนวเดียวกัน
A scalar multiple means parallel; add a shared point and it means one straight line.เป็น k เท่าของกันแปลว่าขนาน · มีจุดร่วมด้วยเมื่อไร คือเส้นตรงเดียวกัน
You are told $\vec{PQ}=3\vec{AB}$. What do you now know for certain?โจทย์บอกว่า $\vec{PQ}=3\vec{AB}$ ตอนนี้รู้แน่ๆ ว่าอะไร? Answer:เฉลย:Parallel, and $3$ times as long.ขนานกัน และยาวเป็น $3$ เท่า$k$ times another means parallel: $\vec{PQ}=3\vec{AB}$ $\text{same direction},\ 3\times\text{ as long}$เป็น $k$ เท่าของอีกตัว = ขนาน: $\vec{PQ}=3\vec{AB}$ $\text{same direction},\ 3\times\text{ as long}$
In a figure, $\vec{AB}=\mathbf{a}+2\mathbf{b}$ and $\vec{AC}=3\mathbf{a}+6\mathbf{b}$. Which line of working proves $A$, $B$, $C$ are collinear?ในรูปหนึ่ง $\vec{AB}=\mathbf{a}+2\mathbf{b}$ และ $\vec{AC}=3\mathbf{a}+6\mathbf{b}$ บรรทัดไหนพิสูจน์ได้ว่า $A$, $B$, $C$ อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน? Answer:เฉลย:Show $\vec{AC}=3\vec{AB}$, then say: parallel + shared point $A$ = collinear.โชว์ $\vec{AC}=3\vec{AB}$ แล้วบอกว่า: ขนาน + จุดร่วม $A$ = อยู่ในแนวเดียวกันTwo parts to the proof: $\vec{AC}=3\mathbf{a}+6\mathbf{b}=3(\mathbf{a}+2\mathbf{b})=3\vec{AB}$ $\Rightarrow\ AC\parallel AB$ $\text{shared point }A\ \Rightarrow\ \text{collinear}$บทพิสูจน์มีสองท่อน: $\vec{AC}=3\mathbf{a}+6\mathbf{b}=3(\mathbf{a}+2\mathbf{b})=3\vec{AB}$ $\Rightarrow\ AC\parallel AB$ $\text{shared point }A\ \Rightarrow\ \text{collinear}$
7. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Ratio points, collinear proofs, and where each mark lives.จุดแบ่งตามอัตราส่วน พิสูจน์แนวเดียวกัน และคะแนนอยู่ตรงไหนบ้าง
Route → ratio → position → sentenceเส้นทาง → อัตราส่วน → ตำแหน่ง → ประโยคสรุป
Each step earns a mark. No closing sentence, no last mark.แต่ละขั้นได้คะแนน · ไม่มีประโยคสรุป ก็ไม่ได้คะแนนสุดท้าย
$P$ lies on $AB$ with $AP:PB=2:1$. What is $\vec{OP}$?$P$ อยู่บน $AB$ โดย $AP:PB=2:1$ ถามว่า $\vec{OP}$ คืออะไร? Answer:เฉลย: $\vec{OP}=\tfrac13\mathbf{a}+\tfrac23\mathbf{b}$Road, fraction, route from $O$: $\vec{AP}=\tfrac23(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ $\vec{OP}=\mathbf{a}+\tfrac23(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac13\mathbf{a}+\tfrac23\mathbf{b}$ The bigger weight sits on $\mathbf{b}$ because $P$ is nearer $B$.ถนน · เศษส่วน · เส้นทางจาก $O$: $\vec{AP}=\tfrac23(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ $\vec{OP}=\mathbf{a}+\tfrac23(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac13\mathbf{a}+\tfrac23\mathbf{b}$ น้ำหนักมากกว่าอยู่ที่ $\mathbf{b}$ เพราะ $P$ อยู่ใกล้ $B$
You have shown $\vec{AC}=3\vec{AB}$. Which closing sentence earns the final mark?โชว์ $\vec{AC}=3\vec{AB}$ เสร็จแล้ว ประโยคปิดท้ายแบบไหนได้คะแนนสุดท้าย? Answer:เฉลย:Scalar multiple → parallel → shared point → collinear. All four beats, in words.k เท่า → ขนาน → จุดร่วม → แนวเดียวกัน ครบสี่จังหวะ เป็นตัวหนังสือThe last mark is a sentence: $k\text{ multiple}\ \to\ \text{parallel}\ \to\ \text{shared point}\ \to\ \text{collinear}$ No written conclusion means no final mark, on Edexcel and on CAIE.คะแนนสุดท้ายคือประโยค: $k\text{ multiple}\ \to\ \text{parallel}\ \to\ \text{shared point}\ \to\ \text{collinear}$ ไม่เขียนสรุป = ไม่ได้คะแนนสุดท้าย ทั้ง Edexcel และ CAIE
Exam: $\vec{OA}=\binom{2}{1}$, $\vec{OB}=\binom{5}{7}$. $P$ lies on $AB$ so that $AP:PB=2:1$. Find $\vec{OP}$ as a column vector. (4 marks)ข้อสอบ: $\vec{OA}=\binom{2}{1}$, $\vec{OB}=\binom{5}{7}$ · $P$ อยู่บน $AB$ โดย $AP:PB=2:1$ หา $\vec{OP}$ เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ (4 คะแนน) Answer:เฉลย: $\vec{AB}=\binom{3}{6}$, $\vec{AP}=\tfrac23\binom{3}{6}=\binom{2}{4}$, $\vec{OP}=\binom{2}{1}+\binom{2}{4}=\binom{4}{5}$4 marks: $\text{M1}\ \ \vec{AB}=\binom{5}{7}-\binom{2}{1}=\binom{3}{6}$ $\text{M1}\ \ \vec{AP}=\tfrac23\binom{3}{6}=\binom{2}{4}$ $\text{M1}\ \ \vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP}$ $\text{A1}\ \ \vec{OP}=\binom{4}{5}$ Stopping at $\binom{2}{4}$ loses the last two marks.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \vec{AB}=\binom{5}{7}-\binom{2}{1}=\binom{3}{6}$ $\text{M1}\ \ \vec{AP}=\tfrac23\binom{3}{6}=\binom{2}{4}$ $\text{M1}\ \ \vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP}$ $\text{A1}\ \ \vec{OP}=\binom{4}{5}$ หยุดที่ $\binom{2}{4}$ = เสียสองคะแนนท้าย
Exam: $\vec{OA}=\binom{2}{6}$ and $\vec{OB}=\binom{6}{10}$. The point $P$ lies on $AB$ with $AP:PB=3:1$, and $M$ is the midpoint of $OB$. Find $|\vec{MP}|$, giving your answer as a simplified surd. (5 marks)ข้อสอบ: $\vec{OA}=\binom{2}{6}$ และ $\vec{OB}=\binom{6}{10}$ · จุด $P$ อยู่บน $AB$ โดย $AP:PB=3:1$ · จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OB$ หา $|\vec{MP}|$ ตอบเป็น surd อย่างง่าย (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $2\sqrt{5}$5 marks: $\text{M1}\ \ \vec{AB}=\binom{6}{10}-\binom{2}{6}=\binom{4}{4}$ $\text{M1}\ \ \vec{AP}=\tfrac34\binom{4}{4}=\binom{3}{3}\ \Rightarrow\ \vec{OP}=\binom{5}{9}$ $\text{M1}\ \ \vec{OM}=\tfrac12\binom{6}{10}=\binom{3}{5}$ $\text{M1}\ \ \vec{MP}=\binom{5}{9}-\binom{3}{5}=\binom{2}{4}$ $\text{A1}\ \ |\vec{MP}|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ The last mark is the simplified surd, not $\sqrt{20}$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \vec{AB}=\binom{6}{10}-\binom{2}{6}=\binom{4}{4}$ $\text{M1}\ \ \vec{AP}=\tfrac34\binom{4}{4}=\binom{3}{3}\ \Rightarrow\ \vec{OP}=\binom{5}{9}$ $\text{M1}\ \ \vec{OM}=\tfrac12\binom{6}{10}=\binom{3}{5}$ $\text{M1}\ \ \vec{MP}=\binom{5}{9}-\binom{3}{5}=\binom{2}{4}$ $\text{A1}\ \ |\vec{MP}|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ คะแนนสุดท้ายคือกรณฑ์ที่ลดรูปแล้ว ไม่ใช่ $\sqrt{20}$
$\mathbf{a}=\binom{3}{-1}$ and $\mathbf{b}=\binom{9}{5}$ are the position vectors of $A$ and $B$. $M$ is the midpoint of $AB$. Find $\vec{AM}$ as a column vector. (type it like (3,2))$\mathbf{a}=\binom{3}{-1}$ และ $\mathbf{b}=\binom{9}{5}$ เป็น position vector ของ $A$ กับ $B$ · $M$ คือจุดกึ่งกลางของ $AB$ หา $\vec{AM}$ เป็น column vector (พิมพ์แบบ (3,2)) Answer:เฉลย: $\binom{3}{3}$Read the first letter: $\vec{OM}\ \text{starts at }O\ \to\ \text{add}:\ \tfrac12(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\binom{6}{2}$ $\vec{AM}\ \text{starts at }A\ \to\ \text{subtract first}$ $\vec{AM}=\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac12\binom{6}{6}=\binom{3}{3}$ Adding position vectors is only right when the arrow starts at $O$.ดูตัวอักษรตัวแรก: $\vec{OM}\ \text{starts at }O\ \to\ \text{add}:\ \tfrac12(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\binom{6}{2}$ $\vec{AM}\ \text{starts at }A\ \to\ \text{subtract first}$ $\vec{AM}=\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac12\binom{6}{6}=\binom{3}{3}$ บวกเวกเตอร์ตำแหน่งได้ ต่อเมื่อลูกศรเริ่มที่ $O$ เท่านั้น
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
$\mathbf{a}=\binom{2}{5}$, $\mathbf{b}=\binom{6}{3}$ are the position vectors of $A$ and $B$. Find $\vec{AB}$. Answer:เฉลย: $\vec{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\binom{4}{-2}$Same as the worked example, with new numbers. Destination minus start, once.เหมือนตัวอย่างที่ทำไป เปลี่ยนแค่ตัวเลข · ปลายทางลบต้นทาง ครั้งเดียว
$\mathbf{p}=\binom{-2}{-3}$, $\mathbf{q}=\binom{4}{-5}$. Find $\vec{PQ}$ and $|\vec{PQ}|$, giving the magnitude as a simplified surd. Answer:เฉลย: $\vec{PQ}=\binom{6}{-2}$; $|\vec{PQ}|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$Same method, but double negatives make sign mistakes easy. Also simplify the surd.วิธีเดิม แต่มีลบซ้อนลบ พลาดเครื่องหมายได้ง่าย · ต้องลดรูปรากด้วย
$\vec{OS}=\mathbf{s}$, $\vec{OT}=\mathbf{t}$. $M$ is the midpoint of $ST$. Express $\vec{OM}$ in terms of $\mathbf{s}$ and $\mathbf{t}$. Answer:เฉลย: $\vec{OM}=\tfrac12(\mathbf{s}+\mathbf{t})$New letters, same idea. Students who memorised the letters instead of the pattern freeze here.เปลี่ยนตัวอักษร ความคิดเดิม เด็กที่ท่องตัวอักษรแทนแพตเทิร์นจะค้างตรงนี้
$\mathbf{v}=\binom{k}{12}$ and $|\mathbf{v}|=13$. Find both possible values of $k$. Answer:เฉลย: $k^{2}+144=169 \Rightarrow k=\pm5$Magnitude plus an equation: Pythagoras run backwards. The answer needs both signs, like the quadratics lesson.ขนาดบวกกับสมการ พีทาโกรัสแบบย้อนกลับ คำตอบต้องมีครบสองเครื่องหมาย เหมือนบทสมการกำลังสอง
$\vec{AB}=\binom{4}{-2}$ and the position vector of $B$ is $\mathbf{b}=\binom{7}{1}$. Find the position vector of $A$. Answer:เฉลย: $\mathbf{a}=\mathbf{b}-\vec{AB}=\binom{3}{3}$Given the journey and the destination, find the start. If you only memorised $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ forwards, you have to rearrange it.ให้เส้นทางกับปลายทางมา แล้วหาต้นทาง ถ้าท่อง $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ ได้ทางเดียว ต้องย้ายข้างจริงๆ แล้ว
$\vec{OA}=\mathbf{a}$, $\vec{OB}=\mathbf{b}$, $\vec{OC}=3\mathbf{b}-2\mathbf{a}$. Show that $A$, $B$ and $C$ are collinear. (4 marks) Answer:เฉลย: $\vec{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$; $\vec{AC}=3\mathbf{b}-3\mathbf{a}=3(\mathbf{b}-\mathbf{a})=3\vec{AB}$; parallel and both pass through $A$ $\Rightarrow$ collinearFull exam shape: two routes (M1, M1), the factorised scalar multiple (M1), and the last mark for the written sentence.หน้าตาข้อสอบเต็มรูปแบบ: หาเส้นทางสองเส้น (M1, M1) ดึงตัวประกอบโชว์จำนวนเท่า (M1) และคะแนนสุดท้ายคือประโยคสรุป
$\vec{OA}=\mathbf{a}$, $\vec{OB}=\mathbf{b}$, $M$ is the midpoint of $AB$. A student writes $\vec{OM}=\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})$. What did they actually find, and what is the correct $\vec{OM}$? Answer:เฉลย: They found $\vec{AM}$ (the journey along $AB$), not a position. Correct: $\vec{OM}=\mathbf{a}+\tfrac12(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac12(\mathbf{a}+\mathbf{b})$Half the difference versus half the sum is the most common error here. Spot it in someone else’s work.ครึ่งของผลต่างกับครึ่งของผลบวก คือจุดพลาดอันดับหนึ่งของหัวข้อนี้ ลองจับผิดจากงานคนอื่นดู