Pure Math Lab /
/ Complex numbersจำนวนเชิงซ้อน Book a callจองคุย
Complex numbers · progressComplex numbers · ความคืบหน้า
← Topicsหัวข้อ Pure Math Lab
🎁 Free · every level open, no sign-up. 🎁 ฟรี · เปิดทุกระดับ ไม่ต้องสมัคร
A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 · Edexcel: Further Pure FP1 only
Your exam boardบอร์ดสอบของคุณ

Complex numbers

จำนวนเชิงซ้อน (Complex numbers)

Note: complex numbers is Cambridge (CAIE 9709 Pure 3). On Edexcel, this topic is in Further Maths, not the main A-Level.

หมายเหตุ: จำนวนเชิงซ้อนอยู่ในหลักสูตร Cambridge (CAIE 9709 Pure 3) ส่วน Edexcel หัวข้อนี้อยู่ใน Further Maths ไม่ใช่ A-Level หลัก

Pick a problem on the left — every step is a choice.

เลือกโจทย์จากแถบซ้าย — ทุกสเต็ปคือการเลือกคำตอบ

How this page worksหน้านี้ใช้ยังไง

Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip.

ทำทีละข้อ ทีละสเต็ป ทุกสเต็ปคือการเลือก และทุกคำตอบจะกางเป็นมินิบทเรียนเต็ม: วิธีคิด การแสดงวิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทิปข้อสอบ

The Pure 3 Method: practice, explain the why, repeat. The quiz-and-recall method top students use, so the marks stick.

The Pure 3 Method: ฝึก อธิบายเหตุผล ทำซ้ำ ใช้หลัก quiz-and-recall แบบเด็กท็อป คะแนนเลยอยู่ตัว

🪜Learn  Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน  ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อComplex Numbersจำนวนเชิงซ้อน
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไปComplex numbers laddersชุดไต่ระดับ · จำนวนเชิงซ้อน
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
PractiseฝึกTopic pack · 10 past-paper questions, 80 marksชุดฝึก · ข้อสอบจริง 10 ข้อ 80 คะแนน
TestสอบPure 3 paperข้อสอบ Pure 3

The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย

Questionโจทย์
The mapแผนที่วิธี

See this → use this

เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้

Match the shape of the question to the tool.

จับรูปของโจทย์ให้ตรงกับเครื่องมือ

$z=a+bi$ · size & angleขนาด & มุม→plot · $|z|$, argวาด · $|z|$, argtry →ลอง →
multiply / divideคูณ / หาร→mod ×/÷ · arg +/−มอดุลัส ×/÷ · arg +/−try →ลอง →
$z^{n}$→De Moivre: $r^{n}$, $n\theta$เดอ มัวฟวร์: $r^{n}$, $n\theta$
$\sqrt{z}$ or nth rootsหรือรากที่ n→$\sqrt[n]{r}$, $\theta/n$, $\tfrac{2\pi}{n}$ apart$\sqrt[n]{r}$, $\theta/n$, ห่าง $\tfrac{2\pi}{n}$try →ลอง →
real-coeff polynomialพหุนามสัมประสิทธิ์จริง→conjugate pairsคู่สังยุคtry →ลอง →
$|z-a|=r$  /  $\arg(z-a)=\theta$→loci: circle / half-lineโลคัส: วงกลม / ครึ่งเส้น
Toolkitกล่องเครื่องมือ

Standard results to know

สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ

Mod-arg formรูปมอดุลัส-อาร์กิวเมนต์$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$
Conjugateสังยุค$z^{*}=a-bi,\ zz^{*}=|z|^{2}$
Multiplyคูณ$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$, arg $+$
Divideหาร$\left|\tfrac{z_1}{z_2}\right|=\tfrac{|z_1|}{|z_2|}$, arg $-$
De Moivreเดอ มัวฟวร์$[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^{n}=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)$
Loci on the Argand diagramโลคัสบน Argand$|z-a|=r$ circleวงกลม · $\arg(z-a)=\theta$ half-lineครึ่งเส้น

An Argand diagram turns most of these into a picture. Draw it first.

Argand diagram เปลี่ยนเกือบทั้งหมดนี้เป็นรูป วาดก่อนเสมอ

Worked exampleตัวอย่างพร้อมคะแนน

One full solution, marked

เฉลยเต็มข้อ พร้อมคะแนน

Every line is one mark on the real mark scheme.

ทุกบรรทัดคือหนึ่งคะแนนในเกณฑ์ตรวจจริง

Given $z=1+i\sqrt{3}$.
(a)Find $|z|$ and $\arg z$, and write $z$ in mod-arg form.หา $|z|$ และ $\arg z$ แล้วเขียน $z$ ในรูปมอดุลัส-อาร์กิวเมนต์3 marks
B1$|z|=2$$|z|=2$
M1$\arg z=\frac{\pi}{3}$$\arg z=\frac{\pi}{3}$
A1$z=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$$z=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$
(b)Hence use De Moivre's theorem to find $z^{6}$.จากนั้นใช้ทฤษฎีบทเดอ มัวฟวร์ หา $z^{6}$3 marks
M1De Moivre: $2^{6}(\cos 6\!\cdot\!\frac{\pi}{3}+i\sin 6\!\cdot\!\frac{\pi}{3})$เดอ มัวฟวร์: $2^{6}(\cos 6\!\cdot\!\frac{\pi}{3}+i\sin 6\!\cdot\!\frac{\pi}{3})$
A1angle $6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi$มุม $6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi$
A1$z^{6}=64$$z^{6}=64$

M marks are for the method — you keep them even if the arithmetic slips. A and B marks need the answer itself. Total 6 marks.M คือคะแนนวิธีทำ ได้อยู่แม้คิดเลขพลาด ส่วน A กับ B ต้องได้คำตอบถูก รวม 6 คะแนน

Vocabศัพท์ต้องรู้

The words the question will use

คำที่โจทย์จะใช้

Read the paper in English; think in whichever you like.

อ่านข้อสอบเป็นอังกฤษ แต่คิดภาษาไหนก็ได้

Mod-arg form รูปมอดุลัส-อาร์กิวเมนต์Conjugate สังยุคMultiply คูณDivide หารDe Moivre เดอ มัวฟวร์conjugate pairs คู่สังยุคloci: circle / half-line โลคัส: วงกลม / ครึ่งเส้นreal part ส่วนจริงimaginary part ส่วนจินตภาพargument อาร์กิวเมนต์
Lock in the marksเก็บคะแนนให้ครบ

5 marks to lock in

5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้

Hover (or tap) each one to see the fix.

เลื่อนเมาส์ (หรือแตะ) แต่ละอันเพื่อดูวิธีแก้

✗Wrong quadrant for argarg ผิดควอดรันต์i
$\arctan\tfrac{b}{a}$ blindlyดื้อๆ  →  check the quadrantเช็กควอดรันต์
✗Added moduli / multiplied argsบวกมอดุลัส / คูณ argi
mod $\times$ · arg $+$
the other way round is wrongสลับกันคือผิด
✗Roots not evenly spacedรากไม่กระจายเท่ากันi
$n$ roots, $\tfrac{2\pi}{n}$ apartห่างกัน
✗Forgot the conjugate rootลืมรากสังยุคi
$a+bi$ rootเป็นราก → $a-bi$ tooด้วย
✗$|z|$ vs $|z|^{2}$$|z|$ กับ $|z|^{2}$i
$zz^{*}=|z|^{2}$
not $|z|$ไม่ใช่ $|z|$
Still stuck on a topic? Book a free call →ยังติดทั้งหัวข้อ? จองคุยฟรี →
Pure Math Lab · A-Level & IGCSE maths · CAIE 9709 · Cambridge A Level
Pure Math Lab · คณิต A-Level & IGCSE · CAIE 9709 · Cambridge A Level
Freeฟรี
Stuck? Book a callติด? จองคุยฟรี
Google Meet or LINEGoogle Meet หรือไลน์
Book →จอง →
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Mark schemeเกณฑ์ให้คะแนน

Keep going, free

ไปต่อ ฟรี

Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board.

ทำได้ดีมาก ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่น เราจะปรับให้ตรงบอร์ดของคุณ