Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Differential Equationsสมการเชิงอนุพันธ์ (Differential Equations)
A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 · Edexcel IAL WMA14 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Integrate, pin $c$, undo a $\ln$อินทิเกรต หา $c$ แล้วแก้ $\ln$
New today: separate the variables before you integrate.ของใหม่วันนี้: แยกตัวแปรก่อนอินทิเกรต
- $\dfrac{dy}{dx}=2x$ and the curve passes through $(3,\,10)$. Find the equation of the curve.$\dfrac{dy}{dx}=2x$ และเส้นโค้งผ่านจุด $(3,\,10)$ · หาสมการของเส้นโค้ง
Answer:เฉลย: $y=x^{2}+1$Integrate, then pin the $c$: $y=\int 2x\,dx=x^{2}+c$ $(3,10):\ 10=9+c\ \Rightarrow\ c=1$ $y=x^{2}+1$ Today is the same two steps, with one new move in between.อินทิเกรต แล้วหาค่า $c$: $y=\int 2x\,dx=x^{2}+c$ $(3,10):\ 10=9+c\ \Rightarrow\ c=1$ $y=x^{2}+1$ วันนี้สองสเต็ปเดิม แค่มีท่าใหม่แทรกตรงกลาง
- From the Logs & Exponentials lesson: $\ln y = x+2$. Make $y$ the subject.จากบทลอการิทึม: $\ln y = x+2$ ทำ $y$ ให้เป็นตัวตั้ง
Answer:เฉลย: $y=e^{x+2}$$e$ undoes $\ln$, whole side: $\ln y=x+2$ $e^{\ln y}=e^{x+2}$ $y=e^{x+2}$ This exact line later turns a general solution into $y=Ae^{x}$.$e$ แก้ $\ln$ ทั้งฝั่ง: $\ln y=x+2$ $e^{\ln y}=e^{x+2}$ $y=e^{x+2}$ บรรทัดนี้แหละ ที่จะเปลี่ยนคำตอบทั่วไปเป็น $y=Ae^{x}$
2. An old equation gets a nameสมการหน้าเดิม ได้ชื่อใหม่
A differential equation has a derivative inside. Integrate for the general solution, then one point picks the particular curve.สมการเชิงอนุพันธ์มีอนุพันธ์อยู่ข้างใน — อินทิเกรตได้ general solution แล้วจุดหนึ่งจุดเลือกเส้นที่ใช่
You have solved these all the way through P1แบบนี้แก้มาตลอดตั้งแต่ P1
The warm-up found one curve. Here is its whole family.วอร์มอัพเจอเส้นเดียว นี่คือทั้งครอบครัวของมัน
$\dfrac{dy}{dx}=4x$, and $y=6$ when $x=1$$\dfrac{dy}{dx}=4x$ และ $y=6$ เมื่อ $x=1$
- $y=\int 4x\,dx$Integrate.อินทิเกรต
- $=2x^{2}+c$This line alone is the general solution.บรรทัดนี้คือ general solution
- $6=2+c$Feed in the point.แทนจุดที่ให้
- $c=4$
- $y=2x^{2}+4$One curve: the particular solution.เลือกเส้นเดียว: particular solution
- So what does it mean to solve $\dfrac{dy}{dx}=2x$?แล้วการแก้ $\dfrac{dy}{dx}=2x$ แปลว่าทำอะไรกันแน่?
Answer:เฉลย: Find every $y$ with gradient $2x$: $y=x^{2}+c$หา $y$ ทุกตัวที่ความชันเป็น $2x$: $y=x^{2}+c$Solving means recovering the curve: $\dfrac{dy}{dx}=2x\ \Rightarrow\ y=x^{2}+c$ $\text{one }c\ \to\ \text{one curve}$ $\text{every }c\ \to\ \text{a whole family}$แก้สมการ = หาเส้นโค้งกลับมา: $\dfrac{dy}{dx}=2x\ \Rightarrow\ y=x^{2}+c$ $\text{one }c\ \to\ \text{one curve}$ $\text{every }c\ \to\ \text{a whole family}$
- No integrating allowed. Which of these is a solution of $\dfrac{dy}{dx}=6x^{2}$?ห้ามอินทิเกรต · ข้อไหนเป็นคำตอบของ $\dfrac{dy}{dx}=6x^{2}$?
Answer:เฉลย: $y=2x^{3}-7$ ($\tfrac{dy}{dx}=6x^{2}$ ✓)Differentiate your answer to check: $y=2x^{3}-7$ $\dfrac{dy}{dx}=6x^{2}\ \checkmark$ตรวจด้วยการดิฟคำตอบกลับ: $y=2x^{3}-7$ $\dfrac{dy}{dx}=6x^{2}\ \checkmark$
- $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4$, and the curve passes through $(2,\,1)$. Find the equation of the curve.$\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4$ และเส้นโค้งผ่านจุด $(2,\,1)$ · หาสมการของเส้นโค้ง
Answer:เฉลย: $y=x^{3}-4x+1$Same two steps as P1: $y=\int (3x^{2}-4)\,dx=x^{3}-4x+c$ $(2,1):\ 1=8-8+c\ \Rightarrow\ c=1$ $y=x^{3}-4x+1$ Only the vocabulary is new: general solution, then particular solution.สองสเต็ปเดิมจาก P1: $y=\int (3x^{2}-4)\,dx=x^{3}-4x+c$ $(2,1):\ 1=8-8+c\ \Rightarrow\ c=1$ $y=x^{3}-4x+1$ ใหม่แค่ศัพท์: คำตอบทั่วไป แล้วคำตอบเฉพาะ
3. Move house: y left, x rightย้ายบ้านตัวแปร: y ไปซ้าย x ไปขวา
When y invades the right-hand side, separate before you integrate.พอ y บุกมาฝั่งขวา ต้องแยกตัวแปรก่อน แล้วค่อยอินทิเกรต
For the first time, $y$ shows up on the rightครั้งแรกที่ $y$ โผล่มาฝั่งขวา
Now $y$ is on the right. Integrating in $x$ would need the $y$ we are looking for.ตอนนี้ $y$ อยู่ฝั่งขวา · อินทิเกรตเทียบ $x$ ต้องรู้ $y$ ซึ่งคือตัวที่กำลังหา
$\dfrac{dy}{dx}=xy$, and $y=2$ when $x=0$$\dfrac{dy}{dx}=xy$ และ $y=2$ เมื่อ $x=0$
- $\frac{dy}{dx}=xy$$y$ is on the right-hand side, so you cannot integrate yet.$y$ ไปโผล่ข้างขวา จะอินทิเกรตเลยไม่ได้
- $\frac{1}{y}\,dy=x\,dx$Separate: every $y$ left, every $x$ right.แยกตัวแปร: $y$ ไปซ้ายให้หมด $x$ ไปขวาให้หมด
- $\int\frac{1}{y}\,dy=\int x\,dx$Now each side is an integral you already know.ตอนนี้แต่ละข้างเป็นอินทิกรัลที่ทำเป็นอยู่แล้ว
- $\ln|y|=\tfrac{1}{2}x^{2}+c$One $c$ is enough. The two constants merge into one.มี $c$ ตัวเดียวพอ · ค่าคงที่สองตัวรวมเป็นตัวเดียว
- $y=Ae^{x^{2}/2}$Undo the $\ln$. The $e^{c}$ becomes a single new constant $A$.แก้ $\ln$ · $e^{c}$ กลายเป็นค่าคงที่ตัวใหม่ $A$
- $y=2e^{x^{2}/2}$Put in $x=0$, $y=2$: $2=Ae^{0}=A$.แทน $x=0$, $y=2$: $2=Ae^{0}=A$
- The plan: rearrange until every $y$-thing sits with $dy$ on the left and every $x$-thing with $dx$ on the right. Which line does it?แผนคือ: จัดบ้านใหม่ให้ของของ $y$ ทุกชิ้นไปอยู่กับ $dy$ ฝั่งซ้าย และของของ $x$ ทุกชิ้นอยู่กับ $dx$ ฝั่งขวา — บรรทัดไหนทำสำเร็จ?
Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$$dy$ and $dx$ split apart: $\dfrac{dy}{dx}=xy$ $\dfrac{1}{y}\,dy=x\,dx$ Only here does $\frac{dy}{dx}$ act like a fraction. The chain rule shows why.$dy$ กับ $dx$ แยกกันได้: $\dfrac{dy}{dx}=xy$ $\dfrac{1}{y}\,dy=x\,dx$ เฉพาะตรงนี้ $\frac{dy}{dx}$ ทำตัวเหมือนเศษส่วนได้ · กฎลูกโซ่รองรับอยู่
- Which of these can be separated?ข้อไหนแยกตัวแปรได้?
Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=xy+x=x(y+1)\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{y+1}\,dy=x\,dx$Does it factorise as $f(x)g(y)$?: $xy+x=x(y+1)\ \checkmark$ $x+y\ \times$ $xy+1\ \times$ Marks are lost here: separating something that does not factorise.แยกเป็น $f(x)g(y)$ ได้ไหม?: $xy+x=x(y+1)\ \checkmark$ $x+y\ \times$ $xy+1\ \times$ คะแนนหายตรงนี้ · ไปแยกตัวที่แยกไม่ได้
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y}$. Separate, integrate both sides, and give the general solution in the form $y^{2}=\ldots$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y}$ · แยกตัวแปร อินทิเกรตทั้งสองข้าง แล้วตอบ general solution ในรูป $y^{2}=\ldots$
Answer:เฉลย: $y^{2}=x^{2}+c$Each side in its own letter: $y\,dy=x\,dx$ $\dfrac{y^{2}}{2}=\dfrac{x^{2}}{2}+c$ $y^{2}=x^{2}+c$แต่ละฝั่ง ใช้ตัวแปรของตัวเอง: $y\,dy=x\,dx$ $\dfrac{y^{2}}{2}=\dfrac{x^{2}}{2}+c$ $y^{2}=x^{2}+c$
- We integrated both sides, and each integral produces its own constant. So why do we write only one $+c$?เราอินทิเกรตทั้งสองข้าง และแต่ละข้างก็คาย constant ของตัวเองออกมา — แล้วทำไมเขียน $+c$ แค่ตัวเดียวพอ?
Answer:เฉลย: They merge: $c=c_2-c_1$, one unknown.มันรวมร่างกัน: $c=c_2-c_1$ ตัวไม่รู้ค่าตัวเดียวTwo constants merge into one: $\dfrac{y^{2}}{2}+c_1=\dfrac{x^{2}}{2}+c_2$ $\dfrac{y^{2}}{2}=\dfrac{x^{2}}{2}+(c_2-c_1)$ $c=c_2-c_1$ So write one $+c$, on one side, every time.ค่าคงที่สองตัว รวมเป็นตัวเดียว: $\dfrac{y^{2}}{2}+c_1=\dfrac{x^{2}}{2}+c_2$ $\dfrac{y^{2}}{2}=\dfrac{x^{2}}{2}+(c_2-c_1)$ $c=c_2-c_1$ เขียน $+c$ ตัวเดียว ฝั่งเดียว ทุกครั้ง
4. Undo the lnแกะ ln ออก
ln|y| = x + c becomes y = A e^x: the constant moves to the front.ln|y| = x + c กลายเป็น y = A e^x · ค่าคงที่ย้ายมายืนหน้าสุด
$y=Ae^{x}$ for a few different $A$$y=Ae^{x}$ สำหรับ $A$ หลายค่า
So $A$ can be any constant, even negative or zero.ดังนั้น $A$ เป็นค่าคงที่อะไรก็ได้ — ลบหรือศูนย์ก็ได้
$\dfrac{dy}{dx}=y$, and $y=3$ when $x=0$$\dfrac{dy}{dx}=y$ และ $y=3$ เมื่อ $x=0$
- $\dfrac{1}{y}\,dy=dx$Separate. Nothing on the right needs factorising.แยกตัวแปร — ฝั่งขวาไม่ต้องแยกตัวประกอบ
- $\ln|y|=x+c$Integrate both sides.อินทิเกรตทั้งสองข้าง
- $|y|=e^{x+c}=e^{c}\,e^{x}$Undo the ln: $e$ to the power of the whole side.แก้ ln: ยก $e$ ทั้งฝั่ง
- $y=Ae^{x}$Call $e^{c}$ a new constant, $A$.เรียก $e^{c}$ ว่าค่าคงที่ตัวใหม่ $A$
- $3=A$$e^{0}=1$, so $A=3$.$e^{0}=1$ เลย $A$ คือ $3$
- $y=3e^{x}$
- Back to the wall equation, now separated: $\displaystyle\int\frac{1}{y}\,dy=\int x\,dx$. What do the two integrals give?กลับมาที่สมการหน้ากำแพง แยกเสร็จแล้ว: $\displaystyle\int\frac{1}{y}\,dy=\int x\,dx$ อินทิกรัลสองข้างให้อะไรออกมา?
Answer:เฉลย: $\ln|y| = \dfrac{x^{2}}{2}+c$$\frac1y$ integrates to $\ln|y|$: $\displaystyle\int\dfrac{1}{y}\,dy=\ln|y|$ $\displaystyle\int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}$ $\ln|y|=\dfrac{x^{2}}{2}+c$ The exam wants $y=\ldots$, never $\ln|y|=\ldots$. The $\ln$ has to come off.$\frac1y$ อินทิเกรตได้ $\ln|y|$: $\displaystyle\int\dfrac{1}{y}\,dy=\ln|y|$ $\displaystyle\int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}$ $\ln|y|=\dfrac{x^{2}}{2}+c$ ข้อสอบต้องการ $y=\ldots$ ไม่ใช่ $\ln|y|=\ldots$ · ต้องถอด ln ออก
- Simpler one first: $\ln|y| = x + c$. Make $y$ the subject.เอาตัวง่ายก่อน: $\ln|y| = x + c$ ทำ $y$ ให้เป็นตัวตั้ง
Answer:เฉลย: $|y| = e^{x+c} = e^{c}\,e^{x}$$e^{c}$ is one positive number: $\ln|y|=x+c$ $|y|=e^{x+c}=e^{c}\,e^{x}$ $A=e^{c}\ \Rightarrow\ y=Ae^{x}$$e^{c}$ ก็แค่จำนวนบวกตัวหนึ่ง: $\ln|y|=x+c$ $|y|=e^{x+c}=e^{c}\,e^{x}$ $A=e^{c}\ \Rightarrow\ y=Ae^{x}$
- Our running example reached $\ln|y| = \dfrac{x^{2}}{2}+c$, and now the question adds: $y=3$ when $x=0$. Find the particular solution $y=\ldots$ตัวอย่างที่ไล่มาตลอดถึงบรรทัด $\ln|y| = \dfrac{x^{2}}{2}+c$ แล้ว คราวนี้โจทย์เพิ่มให้ว่า $y=3$ เมื่อ $x=0$ หา particular solution $y=\ldots$
Answer:เฉลย: $y=3e^{x^{2}/2}$$A$ moves to the front: $\ln|y|=\dfrac{x^{2}}{2}+c\ \Rightarrow\ y=Ae^{x^{2}/2}$ $x=0,\ y=3:\ 3=A\,e^{0}\ \Rightarrow\ A=3$ $y=3e^{x^{2}/2}$ $\text{check}:\ y'=3e^{x^{2}/2}\cdot x=xy\ \checkmark$$A$ ย้ายไปข้างหน้า: $\ln|y|=\dfrac{x^{2}}{2}+c\ \Rightarrow\ y=Ae^{x^{2}/2}$ $x=0,\ y=3:\ 3=A\,e^{0}\ \Rightarrow\ A=3$ $y=3e^{x^{2}/2}$ $\text{check}:\ y'=3e^{x^{2}/2}\cdot x=xy\ \checkmark$
5. Words become equationsแปลงคำพูดเป็นสมการ
Rate proportional to amount means dN/dt = kN. Solve it, then say what A and k mean.อัตราแปรผันตรงกับปริมาณ คือ dN/dt = kN · แก้เสร็จแล้วบอกให้ได้ว่า A กับ k หมายถึงอะไร
"The population grows at a rate proportional to its size""ประชากรโตด้วยอัตราที่แปรผันตรงกับขนาดของมัน"
Word by word: rate of change $\to\frac{dN}{dt}$ · proportional to $\to k\times$ · size $\to N$.แปลทีละคำ: อัตราการเปลี่ยนแปลง $\to\frac{dN}{dt}$ · แปรผันตรงกับ $\to k\times$ · ขนาด $\to N$
$\dfrac{dP}{dt}=0.1P$, and $P=50$ when $t=0$$\dfrac{dP}{dt}=0.1P$ และ $P=50$ เมื่อ $t=0$
- $\dfrac{dP}{dt}=0.1P$Translate first: rate $\propto$ amount.แปลก่อน: อัตรา $\propto$ ปริมาณ
- $\dfrac{1}{P}\,dP=0.1\,dt$Separate, same as every time.แยกตัวแปร เหมือนทุกครั้ง
- $\ln P=0.1t+c$$P\gt0$, so no bars needed.$P\gt0$ จึงไม่ต้องมีค่าสัมบูรณ์
- $P=Ae^{0.1t}$
- $50=A$$t=0$ names the starting amount.$t=0$ บอกปริมาณตั้งต้น
- $P=50e^{0.1t}$
- A radioactive mass $m$ decays at a rate proportional to the mass present. Taking $k\gt0$, which equation tells that story?มวลกัมมันตรังสี $m$ สลายตัวด้วยอัตราที่แปรผันตรงกับมวลที่เหลืออยู่ ถ้าให้ $k\gt0$ สมการไหนเล่าเรื่องนี้ถูก?
Answer:เฉลย: $\dfrac{dm}{dt}=-km$$k$ positive grows, negative decays: $\text{grows}\ \Rightarrow\ \dfrac{dm}{dt}=+km$ $\text{decays}\ \Rightarrow\ \dfrac{dm}{dt}=-km$$k$ บวก = โต, ลบ = สลาย: $\text{grows}\ \Rightarrow\ \dfrac{dm}{dt}=+km$ $\text{decays}\ \Rightarrow\ \dfrac{dm}{dt}=-km$
- $\dfrac{dN}{dt}=0.02N$ with $t$ in years, and $N=500$ when $t=0$. Find $N$ in terms of $t$.$\dfrac{dN}{dt}=0.02N$ โดย $t$ เป็นปี และ $N=500$ เมื่อ $t=0$ หา $N$ ในรูปของ $t$
Answer:เฉลย: $N=500e^{0.02t}$$A$ is the starting amount: $N=Ae^{0.02t}$ $t=0:\ e^{0}=1\ \Rightarrow\ N=A=500$ $N=500e^{0.02t}$ In Logs $y=Ab^{x}$ was handed to you; today you built it.$A$ คือปริมาณตั้งต้น: $N=Ae^{0.02t}$ $t=0:\ e^{0}=1\ \Rightarrow\ N=A=500$ $N=500e^{0.02t}$ บท Logs แจก $y=Ab^{x}$ มาให้ · วันนี้สร้างเองได้แล้ว
- Same colony: how many years until the population doubles to $1000$? (3 s.f.)โคโลนีเดิม: อีกกี่ปีประชากรถึงจะเพิ่มเป็นสองเท่าคือ $1000$? (เลขนัยสำคัญ 3 ตัว)
Answer:เฉลย: $t=\dfrac{\ln 2}{0.02}=50\ln 2\approx 34.7$ yearsDoubling time ignores the start: $1000=500e^{0.02t}\ \Rightarrow\ 2=e^{0.02t}$ $\ln 2=0.02t$ $t=\dfrac{\ln 2}{0.02}\approx 34.7\text{ years}$เวลาเพิ่มเท่าตัว ไม่สนค่าตั้งต้น: $1000=500e^{0.02t}\ \Rightarrow\ 2=e^{0.02t}$ $\ln 2=0.02t$ $t=\dfrac{\ln 2}{0.02}\approx 34.7\text{ years}$
- A different sample: $m=20e^{-0.1t}$ (grams, $t$ in days). Which reading of the two constants is right?อีกตัวอย่างหนึ่ง: $m=20e^{-0.1t}$ (กรัม, $t$ เป็นวัน) อ่านค่าคงที่สองตัวแบบไหนถูก?
Answer:เฉลย: Starts at $20$ g, decays at instantaneous rate $10\%$ per dayเริ่ม $20$ กรัม สลายตัวด้วยอัตราชั่วขณะ $10\%$ ต่อวันRead the constants separately: $m=20e^{-0.1t}$ $20\ \to\ \text{amount at }t=0$ $\text{sign of }-0.1\ \to\ \text{decay}$ $\text{size of }0.1\ \to\ \text{speed}$อ่านค่าคงที่ทีละตัว: $m=20e^{-0.1t}$ $20\ \to\ \text{amount at }t=0$ $\text{sign of }-0.1\ \to\ \text{decay}$ $\text{size of }0.1\ \to\ \text{speed}$
6. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Separable + initial condition + interpret. See where each of the 7 marks is earned.แยกตัวแปร + เงื่อนไขเริ่มต้น + ตีความ · ดูว่าคะแนนทั้ง 7 แต้มได้จากตรงไหนบ้าง
One question, seven marks, five movesข้อเดียว เจ็ดคะแนน ห้าท่า
Every step shown scores 6 of 7, even with a wrong answer. A missing $+c$ cannot be rescued.โชว์ครบทุกขั้น ได้ 6 จาก 7 แม้คำตอบผิด · ไม่เขียน $+c$ กู้ไม่ได้
- Exam: A dish has $N$ bacteria, and $\dfrac{dN}{dt}=0.4N$, where $t$ is in hours. When $t=0$ there are $200$ bacteria.ข้อสอบ: ในจานเพาะมีแบคทีเรีย $N$ ตัว และ $\dfrac{dN}{dt}=0.4N$ โดย $t$ เป็นชั่วโมง · เมื่อ $t=0$ มีแบคทีเรีย $200$ ตัว
Answer:เฉลย: $N=200e^{0.4t}$; $t=\dfrac{\ln 5}{0.4}\approx 4.02$ hours7 marks: $\text{M1}\ \ \dfrac{1}{N}\,dN=0.4\,dt$ $\text{A1}\ \ \ln N=0.4t+c$ $\text{M1}\ \ t=0,\ N=200\ \Rightarrow\ c=\ln 200$ $\text{A1}\ \ N=200e^{0.4t}$ $\text{M1}\ \ 1000=200e^{0.4t}\ \Rightarrow\ e^{0.4t}=5$ $\text{M1}\ \ 0.4t=\ln 5$ $\text{A1}\ \ t\approx 4.02\text{ hours}$ Writing $N=e^{0.4t}+c$ loses both A marks in part (i).7 คะแนน: $\text{M1}\ \ \dfrac{1}{N}\,dN=0.4\,dt$ $\text{A1}\ \ \ln N=0.4t+c$ $\text{M1}\ \ t=0,\ N=200\ \Rightarrow\ c=\ln 200$ $\text{A1}\ \ N=200e^{0.4t}$ $\text{M1}\ \ 1000=200e^{0.4t}\ \Rightarrow\ e^{0.4t}=5$ $\text{M1}\ \ 0.4t=\ln 5$ $\text{A1}\ \ t\approx 4.02\text{ hours}$ ถ้าเขียน $N=e^{0.4t}+c$ เสีย A ทั้งสองตัวในข้อ (i)
- Exam: A liquid cools so that $\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-20)$, where $\theta\,^{\circ}$C is its temperature after $t$ minutes and $k$ is a positive constant. When $t=0$, $\theta=100$; when $t=10$, $\theta=60$. (7 marks)ข้อสอบ: ของเหลวเย็นตัวตาม $\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-20)$ โดย $\theta\,^{\circ}$C คืออุณหภูมิเมื่อเวลาผ่านไป $t$ นาที และ $k$ เป็นค่าคงที่บวก · ที่ $t=0$ ได้ $\theta=100$ · ที่ $t=10$ ได้ $\theta=60$ (7 คะแนน)
Answer:เฉลย: $\theta=20+80e^{-kt}$ with $k=\tfrac{1}{10}\ln 2$; at $t=25$, $\theta=20+10\sqrt{2}\approx34.1^{\circ}$C7 marks: $\text{M1}\ \ \displaystyle\int\dfrac{d\theta}{\theta-20}=\int -k\,dt$ $\text{A1}\ \ \ln|\theta-20|=-kt+c$ $\text{M1}\ \ t=0,\ \theta=100\ \Rightarrow\ \theta-20=80e^{-kt}$ $\text{M1}\ \ t=10,\ \theta=60\ \Rightarrow\ e^{-10k}=\tfrac12$ $\text{A1}\ \ k=\tfrac{1}{10}\ln 2$ $\text{M1}\ \ e^{-25k}=2^{-5/2}=\dfrac{1}{4\sqrt2}$ $\text{A1}\ \ \theta=20+\dfrac{80}{4\sqrt2}=20+10\sqrt2$ Add $+20$ back at the end. If you drop it, you lose the last mark.7 คะแนน: $\text{M1}\ \ \displaystyle\int\dfrac{d\theta}{\theta-20}=\int -k\,dt$ $\text{A1}\ \ \ln|\theta-20|=-kt+c$ $\text{M1}\ \ t=0,\ \theta=100\ \Rightarrow\ \theta-20=80e^{-kt}$ $\text{M1}\ \ t=10,\ \theta=60\ \Rightarrow\ e^{-10k}=\tfrac12$ $\text{A1}\ \ k=\tfrac{1}{10}\ln 2$ $\text{M1}\ \ e^{-25k}=2^{-5/2}=\dfrac{1}{4\sqrt2}$ $\text{A1}\ \ \theta=20+\dfrac{80}{4\sqrt2}=20+10\sqrt2$ ต้องบวก $+20$ คืนตอนท้าย · ลืมแล้วเสียคะแนนสุดท้าย
- $\dfrac{dy}{dx}=\cos x-y\cos x$, and $y=3$ when $x=0$.
Find the exact value of $y$ when $x=\dfrac{\pi}{2}$.$\dfrac{dy}{dx}=\cos x-y\cos x$ และ $y=3$ เมื่อ $x=0$
จงหาค่า $y$ แบบค่าตรง ๆ เมื่อ $x=\dfrac{\pi}{2}$
Answer:เฉลย: $y=1+2e^{-\sin x}$, so at $x=\tfrac{\pi}{2}$, $y=1+\dfrac{2}{e}$Does $y$ appear on the right?: $\dfrac{dy}{dx}=\cos x-y\cos x=\cos x\,(1-y)$ $\displaystyle\int\dfrac{dy}{1-y}=\int\cos x\,dx$ $-\ln|1-y|=\sin x+c\ \Rightarrow\ 1-y=Ae^{-\sin x}$ $x=0,\ y=3:\ A=-2\ \Rightarrow\ y=1+2e^{-\sin x}$ $x=\tfrac{\pi}{2}:\ y=1+\dfrac{2}{e}$ $\cos x-y$ would not factorise, so it could not be separated at all.ฝั่งขวามี $y$ ไหม?: $\dfrac{dy}{dx}=\cos x-y\cos x=\cos x\,(1-y)$ $\displaystyle\int\dfrac{dy}{1-y}=\int\cos x\,dx$ $-\ln|1-y|=\sin x+c\ \Rightarrow\ 1-y=Ae^{-\sin x}$ $x=0,\ y=3:\ A=-2\ \Rightarrow\ y=1+2e^{-\sin x}$ $x=\tfrac{\pi}{2}:\ y=1+\dfrac{2}{e}$ ถ้าเป็น $\cos x-y$ จะแยกตัวประกอบไม่ได้ · แยกตัวแปรไม่ได้เลย
7. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- $\dfrac{dy}{dx}=2y$, with $y=6$ when $x=0$. Find $y$ in terms of $x$.
Answer:เฉลย: $y=6e^{2x}$Same as the level 4 drill, numbers changed: separate, integrate, constant to front, find $A$.เหมือนดริลขั้นที่ 4 เปลี่ยนแค่ตัวเลข: แยก อินทิเกรต ย้ายค่าคงที่มาหน้า เงื่อนไขหา $A$
- $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{2}$, with $y=8$ when $x=0$. Find $y$ in terms of $x$.
Answer:เฉลย: $y=8e^{-x/2}$Same chain, but $k$ is negative and fractional. Careless signs and fractions cost marks here.สายเดิม แต่ $k$ ติดลบและเป็นเศษส่วน · พลาดเครื่องหมายหรือทำเศษส่วนลวกๆ เสียคะแนน
- $\dfrac{du}{dv}=\dfrac{v}{u}$, with $u=4$ when $v=0$. Give the particular solution in the form $u^{2}=\ldots$
Answer:เฉลย: $u^{2}=v^{2}+16$New letters, and the branch with no ln from level 3. Students who memorised $y$ and $x$ freeze here.เปลี่ยนตัวอักษร แล้วใช้สายที่ไม่มี ln จากขั้นที่ 3 · เด็กที่ท่องมาว่า $y$ กับ $x$ จะค้างตรงนี้
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{2x+1}$ for $x\gt0$. Find the general solution, using the log power law to tidy the answer.
Answer:เฉลย: $\ln|y|=\tfrac{1}{2}\ln(2x+1)+c \;\Rightarrow\; y=A\sqrt{2x+1}$Separable, plus two old moves: dividing by $a$, and the log law $\tfrac12\ln u=\ln\sqrt u$.แยกตัวแปร บวกท่าเก่าอีกสอง: หารด้วย $a$ กับกฎ log ข้อ 3
- $y=Ae^{-4x}$ is the general solution of a differential equation. Find that differential equation (no $A$ allowed in it).
Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=-4Ae^{-4x}=-4y$Given the answer, rebuild the question: differentiate, then spot $y$ hidden inside to remove $A$.ให้คำตอบมา แล้วสร้างโจทย์กลับ: ดิฟ แล้วกำจัด $A$ ด้วยการมองเห็น $y$ ซ่อนอยู่
- A radioactive substance decays so that $\dfrac{dm}{dt}=-0.05m$, where $m$ is in grams and $t$ in years. Initially $m=50$. (a)(ก) Find $m$ in terms of $t$. [4] (b)(ข) Find the half-life, to 3 s.f. [3]
Answer:เฉลย: (a) $m=50e^{-0.05t}$ (b) $t=\dfrac{\ln 2}{0.05}=20\ln2\approx 13.9$ yearsThe full CAIE layout with a decay sign: separate, write $+c$, use the condition, then $\ln$.ชุด CAIE เต็มรูปแบบ แถมมีเครื่องหมายสลายตัว: แยกตัวแปร เขียน $+c$ ใช้เงื่อนไข แล้วปิดท้ายด้วย $\ln$
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี