Differential equations · practice ladders ชุดไต่ระดับ · สมการเชิงอนุพันธ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Differential equations · separating the variables
Given that $\dfrac{dy}{dx} = -y\cos x$ and $y = 15$ when $x = 0$, find $y$ in terms of $x$.
Show that $\dfrac{dy}{dx} = 2x^2y$ can be separated, writing it in the form $\displaystyle\int \ldots\,dy = \int \ldots\,dx$.
จงแสดงว่าสมการ $\dfrac{dy}{dx} = 2x^2y$ แยกตัวแปรได้ โดยเขียนในรูป $\displaystyle\int \ldots\,dy = \int \ldots\,dx$
Answershow ▾
Every $y$ (including the $dy$) belongs on the left; every $x$ (including the $dx$) belongs on the right. Nothing is integrated yet — this step is purely rearranging.
Integrate both sides of $\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int \left(-2\cos x\right)dx$.
หาปริพันธ์ทั้งสองข้างของ $\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int \left(-2\cos x\right)dx$
Answershow ▾
$\int \frac{1}{y}\,dy = \ln y$, and $\int \cos x\,dx = \sin x$ (times whatever constant is out front). The two integrations each produce their own constant, but those combine into a single $+c$ — write it once, not twice.
The general solution of a differential equation is $\ln y = -2\sin x + c$. Given that $y = 6$ when $x = 0$, find the value of $c$.
Answershow ▾
At $x = 0$, $\sin 0 = 0$, so every term containing $x$ vanishes and the equation collapses straight to $c = \ln 6$.
Both sides of $\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int (-\cos x)\,dx$ are integrated, so each side owns an arbitrary constant. Write the line out with BOTH constants, then say what happens to them and where the single $+c$ that survives should be written.
ทั้งสองข้างของ $\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int (-\cos x)\,dx$ ถูกอินทิเกรต แต่ละข้างจึงมีค่าคงที่ของตัวเอง · เขียนบรรทัดนั้นออกมาโดยใส่ค่าคงที่ทั้งสองตัว แล้วบอกว่ามันเกิดอะไรขึ้น และ $+c$ ตัวเดียวที่เหลือควรเขียนไว้ข้างไหน
Answershow ▾
$c_2 - c_1$ is just another unknown number, so it is renamed $c$ and there is only ever one. Writing a constant on both sides is not wrong, only wasteful; writing none at all is fatal, because question 6 has nothing left to solve for. The A1 pays for the integrated line WITH its constant, and no mark is given for understanding why one constant is enough.$c_2 - c_1$ ก็คือจำนวนที่ไม่รู้ค่าอีกตัวหนึ่ง จึงตั้งชื่อใหม่ว่า $c$ และมีตัวเดียวเสมอ · การเขียนค่าคงที่ทั้งสองข้างไม่ผิด แค่เปลืองบรรทัด แต่การไม่เขียนเลยคือหายนะ เพราะข้อ 6 จะไม่มีอะไรให้หา · A1 ให้กับบรรทัดที่อินทิเกรตแล้วพร้อมค่าคงที่ และไม่มีคะแนนให้กับการเข้าใจว่าทำไมค่าคงที่ตัวเดียวก็พอ
Given that $\dfrac{dy}{dx} = -y\cos x$, separate the variables, writing the equation in the form $\displaystyle\int \ldots\,dy = \int \ldots\,dx$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real coefficient. Divide both sides by $y$, and treat $\dfrac{dy}{dx}$ as a fraction you are allowed to split across the equals sign — this is part of what earns the mark for recognising the equation separates.
Integrate both sides of $\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int \left(-\cos x\right)dx$.
Answershow ▾
Same move as question 2, with the real coefficient. This single line is the heart of the method — everything before it is setup, everything after it is rearranging.
The general solution is $\ln y = -\sin x + c$. Given that $y = 15$ when $x = 0$, find the value of $c$.
คำตอบทั่วไปคือ $\ln y = -\sin x + c$ กำหนดให้ $y = 15$ เมื่อ $x = 0$ จงหาค่าคงตัว $c$
Answershow ▾
Same move as question 3, with the real numbers. This is where the ARBITRARY constant becomes a PARTICULAR one, fixed by the initial condition — the general solution describes infinitely many curves, and this step picks out the one through the given point.
The question says find $y$ in terms of $x$. Three students stop at three different lines. Which one has answered the question, and what is still wrong with the other two?
(A) $\ln y = -\sin x + \ln 15$ (B) $\dfrac{y}{15} = e^{-\sin x}$ (C) $y = 15e^{-\sin x}$
โจทย์สั่งว่า find $y$ in terms of $x$ · นักเรียนสามคนหยุดที่บรรทัดต่างกัน ข้อไหนตอบโจทย์แล้ว และอีกสองข้อยังขาดอะไร
(A) $\ln y = -\sin x + \ln 15$ (B) $\dfrac{y}{15} = e^{-\sin x}$ (C) $y = 15e^{-\sin x}$
Answershow ▾
“In terms of $x$” means $y$ alone on the left and nothing but $x$ on the right. (A) still has $y$ trapped inside a logarithm. (B) has $y$ divided by $15$, so the left-hand side is not $y$. Both are one operation short, and both are extremely common. The final A1 is for the explicit form only; the earlier marks are already banked, and nothing pays for reading the four words that say how far to go."in terms of $x$" แปลว่า $y$ อยู่ตัวเดียวทางซ้าย และทางขวามีแต่ $x$ · (A) ยังติด $y$ อยู่ในลอการิทึม · (B) มี $y$ ถูกหารด้วย $15$ ฝั่งซ้ายจึงไม่ใช่ $y$ · ทั้งสองขาดอีกหนึ่งขั้น และพบบ่อยมาก · A1 สุดท้ายให้กับรูปที่ $y$ อยู่โดด ๆ เท่านั้น คะแนนก่อนหน้าเก็บไปแล้ว และไม่มีคะแนนให้กับการอ่านคำสั่งสี่คำนั้น
Given $\ln y = -\sin x + c$ and $c = \ln 15$, write the solution as a single logarithmic equation with no arbitrary constant remaining.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 chained: substitute the value of $c$ back into the general solution to get $\ln y = -\sin x + \ln 15$, then use $\ln y - \ln 15 = \ln\left(\frac{y}{15}\right)$ to tidy the two logs into one, ready to be undone.
Given $\ln\left(\dfrac{y}{15}\right) = -\sin x$, find $y$ in terms of $x$.
Answershow ▾
Exponentiate both sides — apply $e^{(\cdot)}$ to each side to undo the $\ln$ — then multiply back by 15. Stopping at $\dfrac{y}{15} = e^{\ldots}$ without that last multiplication is the single most common lost mark in this question.
The minus sign in $\dfrac{dy}{dx} = -y\cos x$ is the easiest thing on the page to lose. Without redoing the integration, decide which of $y = 15e^{-\sin x}$ and $y = 15e^{\sin x}$ is right, by putting $x = 0$ into the ORIGINAL equation and asking whether $y$ should be rising or falling there.
เครื่องหมายลบใน $\dfrac{dy}{dx} = -y\cos x$ คือสิ่งที่หายง่ายที่สุดในหน้านี้ · โดยไม่ต้องอินทิเกรตใหม่ จงตัดสินว่า $y = 15e^{-\sin x}$ หรือ $y = 15e^{\sin x}$ ที่ถูก โดยแทน $x = 0$ ลงในสมการเดิม แล้วถามว่าตรงนั้น $y$ ควรกำลังเพิ่มหรือกำลังลด
Answershow ▾
A sign is not something to remember, it is something to test. Substituting the starting values back into the equation you were GIVEN takes one line and catches a lost minus, a lost factor and a wrong constant at once. $15e^{\sin x}$ rises at $x = 0$ and so cannot solve this equation. No mark exists for the check, and the A1 it protects is the last one on the question.เครื่องหมายไม่ใช่สิ่งที่ต้องจำ แต่เป็นสิ่งที่ต้องทดสอบ · การแทนค่าเริ่มต้นกลับเข้าสมการที่โจทย์ให้มาใช้เวลาบรรทัดเดียว แต่จับได้ทั้งเครื่องหมายลบที่หาย ตัวประกอบที่หาย และค่าคงที่ที่ผิด · $15e^{\sin x}$ เพิ่มขึ้นที่ $x = 0$ จึงเป็นคำตอบของสมการนี้ไม่ได้ · ไม่มีคะแนนสำหรับการตรวจ แต่คะแนน A1 ที่มันปกป้องคือคะแนนสุดท้ายของข้อนี้
Given that $\dfrac{dy}{dx} = y\cos x$ and $y = 2$ when $x = 0$, find $y$ in terms of $x$.
Answershow ▾
The exact same five moves as the exam question — separate, integrate, use the initial condition, combine the logs, exponentiate — with the smallest numbers that still show every step.
Given that $\dfrac{dy}{dx} = -y\cos x$ and $y = 15$ when $x = 0$, find $y$ in terms of $x$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is the separation; question 5 is the integration; question 6 finds $c$; questions 7 and 8 chain those together and rearrange to the explicit form.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Differential equations · forming and solving a model
Water is draining from a tank. At time $t$ minutes after draining starts, the volume of water remaining in the tank is $V$ cm³. The rate at which $V$ decreases is proportional to $\sqrt{V}$, with constant of proportionality $4$. When $t = 0$, $V = 100$.
(a) Write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) Find the time taken for the tank to empty, giving your answer correct to 3 significant figures.
A population $P$ increases at a rate proportional to $P$. Using $k$ for the (positive) constant of proportionality, write down a differential equation connecting $\dfrac{dP}{dt}$ and $P$.
ประชากร $P$ เพิ่มขึ้นด้วยอัตราที่แปรผันตรงกับ $P$ โดยให้ $k$ เป็นค่าคงตัวสัดส่วน (เป็นบวก) จงเขียนสมการเชิงอนุพันธ์เชื่อมโยง $\dfrac{dP}{dt}$ กับ $P$
Answershow ▾
'Proportional to' always becomes '$= k \times$', where you introduce the constant $k$ yourself — there is nothing to compute here, only to translate the sentence into symbols.
Find $\displaystyle\int \dfrac{2}{\sqrt{w}}\,dw$.
หา $\displaystyle\int \dfrac{2}{\sqrt{w}}\,dw$
Answershow ▾
Write the integrand as $2w^{-1/2}$, raise the power by 1 (to $w^{1/2} = \sqrt{w}$), and divide by the new power $\frac{1}{2}$ — dividing by a half is the same as multiplying by 2.
The general solution of a differential equation is $2\sqrt{w} = -3t + c$. Given that $w = 64$ when $t = 0$, find the value of $c$.
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือ $2\sqrt{w} = -3t + c$ กำหนดให้ $w = 64$ เมื่อ $t = 0$ จงหาค่าคงตัว $c$
Answershow ▾
At $t = 0$ the right side collapses to $c$ alone; $\sqrt{64} = 8$, so $2\sqrt{w} = 2\times8 = 16 = c$.
Part (a) is one line, and every part of it is a decision. The volume DEcreases, at a rate proportional to $\sqrt{V}$, with constant $4$. Which of these is part (a) — and what does each of the other two model instead?
(A) $\dfrac{dV}{dt} = 4\sqrt{V}$ (B) $\dfrac{dV}{dt} = -4V$ (C) $\dfrac{dV}{dt} = -4\sqrt{V}$
ข้อ (a) มีบรรทัดเดียว แต่ทุกส่วนของมันคือการตัดสินใจ · ปริมาตร "ลดลง" ในอัตราที่แปรผันตรงกับ $\sqrt{V}$ โดยมีค่าคงที่ $4$ · ข้อไหนคือข้อ (a) และอีกสองข้อเป็นแบบจำลองของอะไรแทน
(A) $\dfrac{dV}{dt} = 4\sqrt{V}$ (B) $\dfrac{dV}{dt} = -4V$ (C) $\dfrac{dV}{dt} = -4\sqrt{V}$
Answershow ▾
Two separate readings live in one line: the word “decreases” supplies the minus sign, and the words “proportional to $\sqrt{V}$” decide what sits under the constant. Get either wrong and every later part is still marked, but against the wrong equation. Part (a) is a B1 for the finished line — nothing pays for the two readings that produced it.บรรทัดเดียวนี้มีการอ่านสองอย่างซ่อนอยู่: คำว่า "decreases" ให้เครื่องหมายลบ และคำว่า "proportional to $\sqrt{V}$" ตัดสินว่าอะไรอยู่หลังค่าคงที่ · ถ้าอ่านผิดข้อใดข้อหนึ่ง ส่วนที่เหลือยังถูกตรวจ แต่ตรวจเทียบกับสมการที่ผิด · ข้อ (a) คือ B1 ให้กับบรรทัดที่เขียนเสร็จ ไม่มีคะแนนให้กับการอ่านสองอย่างที่ทำให้ได้บรรทัดนั้น
Water is draining from a tank. At time $t$ minutes after draining starts, the volume of water remaining in the tank is $V$ cm³. The rate at which $V$ decreases is proportional to $\sqrt{V}$, with constant of proportionality $4$. Write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
Answershow ▾
Same translation as question 1, with two differences to watch for: the proportionality here is to $\sqrt{V}$, not $V$ itself, and the volume is DEcreasing, so the constant of proportionality needs a minus sign that question 1's growing population did not.
Given $\dfrac{dV}{dt} = -4\sqrt{V}$, separate the variables and integrate to find the general solution, in terms of an arbitrary constant $c$.
Answershow ▾
Divide both sides by $\sqrt{V}$ and multiply by $dt$ to separate; $\int V^{-1/2}\,dV = 2\sqrt{V}$, exactly as in question 2, and the right side integrates to a straight line in $t$ — the single $+c$ goes on that side only, as always.
Separating puts $\dfrac{1}{\sqrt{V}}$ on the left. Before integrating, rewrite it as a power of $V$ and say which rule you are about to use. Then pick the right integral: is $\displaystyle\int V^{-1/2}\,dV$ equal to (A) $2\sqrt{V}$, (B) $\tfrac{1}{2}\sqrt{V}$, or (C) $\ln\sqrt{V}$?
การแยกตัวแปรทำให้ $\dfrac{1}{\sqrt{V}}$ ไปอยู่ทางซ้าย · ก่อนอินทิเกรต จงเขียนใหม่ในรูปเลขยกกำลังของ $V$ แล้วบอกว่ากำลังจะใช้กฎข้อไหน · จากนั้นเลือกคำตอบที่ถูก: $\displaystyle\int V^{-1/2}\,dV$ เท่ากับ (A) $2\sqrt{V}$ (B) $\tfrac{1}{2}\sqrt{V}$ หรือ (C) $\ln\sqrt{V}$
Answershow ▾
A root is invisible to the power rule until it is written as a power. (C) is the reflex of a student who sees a fraction and reaches for $\ln$ — but $\ln$ belongs to the power $-1$ only, and this power is $-\tfrac12$. (B) divides by the OLD power instead of the new one. Dividing by $\tfrac12$ is multiplying by $2$, which is where the $2$ in $2\sqrt{V}$ comes from. The M1 pays for a correct integration, whichever rule you thought you were using.กฎเลขยกกำลังมองไม่เห็นเครื่องหมายราก จนกว่าจะเขียนมันเป็นเลขยกกำลัง · (C) คือปฏิกิริยาอัตโนมัติของคนที่เห็นเศษส่วนแล้วนึกถึง $\ln$ แต่ $\ln$ เป็นของกำลัง $-1$ เท่านั้น ส่วนกำลังนี้คือ $-\tfrac12$ · (B) หารด้วยกำลังเดิมแทนที่จะเป็นกำลังใหม่ · การหารด้วย $\tfrac12$ คือการคูณด้วย $2$ ซึ่งเป็นที่มาของเลข $2$ ใน $2\sqrt{V}$ · M1 ให้กับการอินทิเกรตที่ถูก ไม่ว่าจะคิดว่าใช้กฎอะไรอยู่
The general solution is $2\sqrt{V} = -4t + c$. Given that $V = 100$ when $t = 0$, find the value of $c$.
Answershow ▾
Same move as question 3, with the real starting volume: $\sqrt{100} = 10$, so $c = 2\times10 = 20$.
Water is draining from a tank. At time $t$ minutes, the volume of water remaining is $V$ cm³, and $\dfrac{dV}{dt} = -4\sqrt{V}$. Given that $V = 100$ when $t = 0$, find $V$ in terms of $t$.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained: separate and integrate to get the general solution, use the initial condition to pin down $c$, then substitute that value back in and rearrange for $\sqrt{V}$ before squaring — squaring too early tangles up the constant with the $\sqrt{V}$ term and loses the mark.
$V = \left(10 - 2t\right)^2$ gives the volume of water left in the tank after $t$ minutes. Find the time taken for the tank to empty, giving your answer correct to 3 significant figures.
Answershow ▾
The tank is empty when $V = 0$, i.e. when $\sqrt{V} = 0$ — set the bracket in the formula for $V$ equal to $0$ and solve for $t$. Working with $\sqrt{V}=0$ avoids an unnecessary square root at the end that solving $V=0$ directly would need.
Substitute $t = 8$ into $V = (10 - 2t)^2$. You get $V = 36$. Is the tank refilling after it empties? State the values of $t$ for which the model may be used, and say what fixes the upper end.
แทน $t = 8$ ลงใน $V = (10 - 2t)^2$ จะได้ $V = 36$ · แปลว่าถังเติมน้ำกลับเองหลังจากแห้งหรือ · จงบอกช่วงค่า $t$ ที่ใช้แบบจำลองนี้ได้ และบอกว่าอะไรเป็นตัวกำหนดปลายบน
Answershow ▾
Squaring gave the model a second, mirrored branch that the physics never had: past $t = 5$ the bracket goes negative and the square turns it positive again. The algebra is right and the meaning is not. Part (c) asks only for the time to empty, so the restriction never appears in the mark scheme — but a student who does not see it will happily answer “when is the tank half full again” on the next paper.การยกกำลังสองสร้างกิ่งที่สองแบบสะท้อนกระจกให้แบบจำลอง ซึ่งไม่มีอยู่จริงในทางฟิสิกส์: หลัง $t = 5$ วงเล็บติดลบ แล้วการยกกำลังสองทำให้กลับเป็นบวกอีก · พีชคณิตถูก แต่ความหมายไม่ถูก · ข้อ (c) ถามแค่เวลาที่ถังแห้ง ข้อจำกัดนี้จึงไม่เคยปรากฏในมาร์คสกีม แต่คนที่มองไม่เห็นจะตอบคำถามแบบ "เมื่อไรถังจะมีน้ำครึ่งถังอีกครั้ง" ในข้อสอบชุดหน้าอย่างสบายใจ
Water is draining from a tank. At time $t$ minutes after draining starts, the volume of water remaining in the tank is $V$ cm³. The rate at which $V$ decreases is proportional to $\sqrt{V}$, with constant of proportionality $2$. When $t = 0$, $V = 16$.
(a) Write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) Find the time taken for the tank to empty, correct to 3 significant figures.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with numbers chosen so every intermediate value is a whole number.
Water is draining from a tank. At time $t$ minutes after draining starts, the volume of water remaining in the tank is $V$ cm³. The rate at which $V$ decreases is proportional to $\sqrt{V}$, with constant of proportionality $4$. When $t = 0$, $V = 100$.
(a) Write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) Find the time taken for the tank to empty, giving your answer correct to 3 significant figures.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 7 finishes part (b) in full; question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Separate, then simplify with a root แยกตัวแปร แล้วจัดรูปด้วยราก
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xy}{1+x^{2}}$,
and $y=2$ when $x=0$.
Solve the differential equation, obtaining a simplified expression for $y$ in terms of $x$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation)
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xy}{1+x^{2}}$
และ $y=2$ เมื่อ $x=0$
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$ แบบจัดรูปให้ง่ายที่สุด
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{y}\,dy$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{y}\,dy$
Answershow ▾
This is a standard result: the derivative of $\ln y$ is $\dfrac{1}{y}$.นี่คือผลลัพธ์มาตรฐาน: อนุพันธ์ของ $\ln y$ คือ $\dfrac{1}{y}$
Find $\displaystyle\int\dfrac{x}{1+x^{2}}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{x}{1+x^{2}}\,dx$
Answershow ▾
The derivative of $1+x^{2}$ is $2x$, so $x$ is half of that.อนุพันธ์ของ $1+x^{2}$ คือ $2x$ ดังนั้น $x$ คือครึ่งหนึ่งของอนุพันธ์นั้น
Given $\ln y=\tfrac12\ln(1+x^{2})+\ln2$, find $y$.
กำหนดให้ $\ln y=\tfrac12\ln(1+x^{2})+\ln2$ จงหา $y$
Answershow ▾
Combine the right side into ONE log first, then exponentiate both sides.รวมด้านขวาให้เป็น $\ln$ ตัวเดียวก่อน แล้วถอด $\ln$ ทั้งสองข้างด้วยการยกกำลัง $e$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xy}{1+x^{2}}$. What is the correct first step to separate the variables?
(A) divide both sides by $y$
(B) divide both sides by $x$
(C) multiply both sides by $1+x^{2}$ only
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xy}{1+x^{2}}$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้องในการแยกตัวแปร
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $y$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $x$
(C) คูณทั้งสองข้างด้วย $1+x^{2}$ เท่านั้น
Answershow ▾
(A) leaves pure $y$-terms on the left and pure $x$-terms on the right. (B) and (C) both still have $x$ and $y$ mixed together on one side, so neither side can be integrated on its own.(A) ทำให้เหลือพจน์ $y$ ล้วนทางซ้าย และพจน์ $x$ ล้วนทางขวา ส่วน (B) และ (C) ยังมี $x$ กับ $y$ ปนกันอยู่ด้านเดียวกัน จึงหาปริพันธ์แยกแต่ละด้านไม่ได้
Separate the variables in $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xy}{1+x^{2}}$.
จงแยกตัวแปรในสมการ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xy}{1+x^{2}}$
Answershow ▾
All the $y$ goes with $dy$; all the $x$ goes with $dx$.$y$ ทั้งหมดไปอยู่กับ $dy$ ส่วน $x$ ทั้งหมดไปอยู่กับ $dx$
Integrate both sides of $\dfrac{1}{y}\,dy=\dfrac{x}{1+x^{2}}\,dx$.
จงหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของ $\dfrac{1}{y}\,dy=\dfrac{x}{1+x^{2}}\,dx$
Answershow ▾
Use your two warm-up results, one on each side.ใช้ผลลัพธ์จากข้ออุ่นเครื่องทั้งสองข้อ ข้างละหนึ่งผล
Use $x=0,\ y=2$ to find $c$.
จงใช้ $x=0,\ y=2$ หาค่า $c$
Answershow ▾
$\ln1=0$, so the equation collapses to $\ln2=c$ straightaway.$\ln1=0$ ดังนั้นสมการจะเหลือ $\ln2=c$ ทันที
Substitute $c=\ln2$ and combine the right side into a single logarithm.
จงแทน $c=\ln2$ แล้วรวมด้านขวาให้เป็น $\ln$ ตัวเดียว
Answershow ▾
$\tfrac12\ln(1+x^{2})=\ln\sqrt{1+x^{2}}$, then add the $\ln2$ inside the same log.$\tfrac12\ln(1+x^{2})=\ln\sqrt{1+x^{2}}$ จากนั้นรวม $\ln2$ เข้าไปใน $\ln$ ตัวเดียวกัน
Remove the logarithms to find $y$, then check your answer when $x=0$.
จงถอด $\ln$ ออกเพื่อหา $y$ แล้วตรวจคำตอบเมื่อ $x=0$
Answershow ▾
Equal logs mean equal arguments, so you can drop the $\ln$ on both sides.$\ln$ ของสองข้างเท่ากัน หมายความว่าค่าในวงเล็บเท่ากัน จึงตัด $\ln$ ทั้งสองข้างได้
The variables $x$ and $y$ satisfy $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2xy}{1+x^{2}}$, and $y=1$ when $x=0$. Solve the differential equation, obtaining a simplified expression for $y$ in terms of $x$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2xy}{1+x^{2}}$ และ $y=1$ เมื่อ $x=0$ จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$ แบบจัดรูปให้ง่ายที่สุด
Answershow ▾
Same four moves: separate, integrate ($x$ is now ALL of $1+x^{2}$’s derivative, not half), use $x{=}0,y{=}1$, undo the ln.สี่ขั้นเดิม: แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ($x$ ตอนนี้เป็นอนุพันธ์ของ $1+x^{2}$ ทั้งหมด ไม่ใช่ครึ่งหนึ่ง) ใช้ $x{=}0,y{=}1$ แกะ $\ln$ ออก
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xy}{1+x^{2}}$,
and $y=2$ when $x=0$.
Solve the differential equation, obtaining a simplified expression for $y$ in terms of $x$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation)
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xy}{1+x^{2}}$
และ $y=2$ เมื่อ $x=0$
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$ แบบจัดรูปให้ง่ายที่สุด
Answershow ▾
7 marks: six for the method (separate, integrate each side, use the initial condition), one for the simplified form.7 คะแนน: หกคะแนนสำหรับวิธีทำ (แยกตัวแปร หาปริพันธ์แต่ละด้าน ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น) หนึ่งคะแนนสำหรับการจัดรูปให้ง่ายที่สุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Separate, then integrate by parts แยกตัวแปร แล้วหาปริพันธ์แบบส่วนต่อส่วน
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation $e^{2x}\dfrac{dy}{dx}=4xy^{2}$, and it is given that $y=1$ when $x=0$.
Solve the differential equation, obtaining an expression for $y$ in terms of $x$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $e^{2x}\dfrac{dy}{dx}=4xy^{2}$ และกำหนดให้ $y=1$ เมื่อ $x=0$
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{y^{2}}\,dy$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{y^{2}}\,dy$
Answershow ▾
Write $\dfrac{1}{y^{2}}$ as $y^{-2}$, then use the power rule.เขียน $\dfrac{1}{y^{2}}$ เป็น $y^{-2}$ แล้วใช้กฎกำลัง
For $\displaystyle\int4xe^{-2x}\,dx$, state $u$, $dv$, $du$ and $v$.
สำหรับ $\displaystyle\int4xe^{-2x}\,dx$ จงระบุ $u$, $dv$, $du$ และ $v$
Answershow ▾
$dv=e^{-2x}\,dx,\ v=-\tfrac12e^{-2x}$
Pick $u$ to be the part that gets simpler when you differentiate it.เลือก $u$ เป็นส่วนที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์
Given $-\dfrac{1}{y}=-(2x+1)e^{-2x}$, make $y$ the subject.
กำหนดให้ $-\dfrac{1}{y}=-(2x+1)e^{-2x}$ จงจัดให้ $y$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Multiply both sides by $-1$, then take the reciprocal of both sides.คูณทั้งสองข้างด้วย $-1$ แล้วหาเศษส่วนกลับทั้งสองข้าง
$e^{2x}\dfrac{dy}{dx}=4xy^{2}$. What is the correct first step to separate the variables?
(A) divide both sides by $y^{2}$, then by $e^{2x}$
(B) divide both sides by $x$
(C) divide both sides by $4xy^{2}$
$e^{2x}\dfrac{dy}{dx}=4xy^{2}$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้องในการแยกตัวแปร
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $y^{2}$ แล้วหารด้วย $e^{2x}$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $x$
(C) หารทั้งสองข้างด้วย $4xy^{2}$
Answershow ▾
(A) leaves pure $y$-terms on the left, pure $x$-terms on the right. (B) still has $e^{2x}$ and $dy/dx$ together with no $x$ isolated; (C) turns the whole equation into "$1$", which cannot be integrated side by side.(A) ทำให้เหลือพจน์ $y$ ล้วนทางซ้าย และพจน์ $x$ ล้วนทางขวา ส่วน (B) ยังมี $e^{2x}$ กับ $dy/dx$ ปนกันโดยไม่มี $x$ แยกออก และ (C) ทำให้สมการทั้งหมดเหลือ "$1$" ซึ่งหาปริพันธ์แยกข้างไม่ได้
Separate the variables in $e^{2x}\dfrac{dy}{dx}=4xy^{2}$.
จงแยกตัวแปรในสมการ $e^{2x}\dfrac{dy}{dx}=4xy^{2}$
Answershow ▾
Divide by $y^{2}$ and multiply by $e^{-2x}$ at the same time.หารด้วย $y^{2}$ และคูณด้วย $e^{-2x}$ ไปในขั้นเดียวกัน
Using your warm-up setup, find $\displaystyle\int4xe^{-2x}\,dx$.
โดยใช้การตั้งค่าจากข้ออุ่นเครื่อง จงหา $\displaystyle\int4xe^{-2x}\,dx$
Answershow ▾
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$.$\int u\,dv=uv-\int v\,du$
Use $x=0,\ y=1$ to find $c$.
จงใช้ $x=0,\ y=1$ หาค่า $c$
Answershow ▾
At $x=0$ the right side is $-1$, the same as $-\dfrac{1}{y}$ at $y=1$.ที่ $x=0$ ด้านขวาเท่ากับ $-1$ ซึ่งเท่ากับ $-\dfrac{1}{y}$ ที่ $y=1$ พอดี
Substitute $c=0$, then factorise the right side.
จงแทน $c=0$ แล้วแยกตัวประกอบด้านขวา
Answershow ▾
$-2xe^{-2x}-e^{-2x}=-e^{-2x}(2x+1)$.$-2xe^{-2x}-e^{-2x}=-e^{-2x}(2x+1)$
Use your warm-up to find $y$, then check your answer when $x=0$.
จงใช้ผลจากข้ออุ่นเครื่องเพื่อหา $y$ แล้วตรวจคำตอบเมื่อ $x=0$
Answershow ▾
$x=0$ gives $y=\dfrac{1}{1}=1$, matching the initial condition.$x=0$ ให้ $y=\dfrac{1}{1}=1$ ตรงกับเงื่อนไขเริ่มต้น
The variables $x$ and $y$ satisfy $e^{x}\dfrac{dy}{dx}=xy^{2}$, and it is given that $y=1$ when $x=0$. Solve the differential equation, obtaining an expression for $y$ in terms of $x$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการ $e^{x}\dfrac{dy}{dx}=xy^{2}$ และกำหนดให้ $y=1$ เมื่อ $x=0$ จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$
Answershow ▾
Same four moves, with $u=x,\ dv=e^{-x}dx$ this time instead of $u=4x,\ dv=e^{-2x}dx$.สี่ขั้นเดิม แต่ครั้งนี้ $u=x,\ dv=e^{-x}dx$ แทนที่จะเป็น $u=4x,\ dv=e^{-2x}dx$
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation $e^{2x}\dfrac{dy}{dx}=4xy^{2}$, and it is given that $y=1$ when $x=0$.
Solve the differential equation, obtaining an expression for $y$ in terms of $x$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $e^{2x}\dfrac{dy}{dx}=4xy^{2}$ และกำหนดให้ $y=1$ เมื่อ $x=0$
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$
Answershow ▾
7 marks: six for the method (separate, integrate by parts, use the initial condition), one for the final form.7 คะแนน: หกคะแนนสำหรับวิธีทำ (แยกตัวแปร หาปริพันธ์แบบส่วนต่อส่วน ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น) หนึ่งคะแนนสำหรับคำตอบสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Separate, then split into partial fractions แยกตัวแปร แล้วแยกเศษส่วนย่อย
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-1}{(x+1)(x+3)}$. It is given that $y=2$ when $x=0$.
Solve the differential equation, obtaining an expression for $y$ in terms of $x$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-1}{(x+1)(x+3)}$ กำหนดให้ $y=2$ เมื่อ $x=0$
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$
Split $\dfrac{1}{(x+1)(x+3)}$ into partial fractions $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+3}$.
จงแยก $\dfrac{1}{(x+1)(x+3)}$ เป็นเศษส่วนย่อย $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+3}$
Answershow ▾
$1=A(x+3)+B(x+1)$. Put $x=-1$ for $A$, then $x=-3$ for $B$.$1=A(x+3)+B(x+1)$ แทน $x=-1$ หา $A$ แล้วแทน $x=-3$ หา $B$
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{y-1}\,dy$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{y-1}\,dy$
Answershow ▾
The derivative of $y-1$ is $1$, so this is the same shape as $\int\frac{1}{y}\,dy$.อนุพันธ์ของ $y-1$ คือ $1$ จึงมีรูปเดียวกับ $\int\frac{1}{y}\,dy$
Given $\ln(y-1)=\tfrac12\ln\!\left(\dfrac{3(x+1)}{x+3}\right)$, find $y$.
กำหนดให้ $\ln(y-1)=\tfrac12\ln\!\left(\dfrac{3(x+1)}{x+3}\right)$ จงหา $y$
Answershow ▾
A power of $\tfrac12$ inside a $\ln$ becomes a square root once the logs are removed.กำลัง $\tfrac12$ ในวงเล็บ $\ln$ จะกลายเป็นรากที่สองเมื่อถอด $\ln$ ออก
To split $\dfrac{1}{(x+1)(x+3)}$, which setup is correct?
(A) $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+3}$
(B) $\dfrac{Ax+B}{(x+1)(x+3)}$
(C) $\dfrac{A}{(x+1)^{2}}+\dfrac{B}{x+3}$
จงเลือกการตั้งค่าที่ถูกต้องในการแยก $\dfrac{1}{(x+1)(x+3)}$
(A) $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+3}$
(B) $\dfrac{Ax+B}{(x+1)(x+3)}$
(C) $\dfrac{A}{(x+1)^{2}}+\dfrac{B}{x+3}$
Answershow ▾
Two distinct linear factors each need their own constant numerator. (B) keeps everything as one fraction, so it is not actually split; (C) squares a factor that only appears once in the bottom.ตัวประกอบเชิงเส้นที่ต่างกันสองตัว ต้องมีตัวเศษเป็นค่าคงที่ของตัวเอง (B) ยังเป็นเศษส่วนเดียว จึงไม่ได้ถูกแยกจริง และ (C) ยกกำลังสองตัวประกอบที่มีอยู่แค่ตัวเดียวในตัวส่วน
Separate the variables in $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-1}{(x+1)(x+3)}$.
จงแยกตัวแปรในสมการ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-1}{(x+1)(x+3)}$
Answershow ▾
All the $y$ goes with $dy$; all the $x$ goes with $dx$.$y$ ทั้งหมดไปอยู่กับ $dy$ ส่วน $x$ ทั้งหมดไปอยู่กับ $dx$
Using your partial fractions, integrate the right side.
โดยใช้เศษส่วนย่อยที่ได้ จงหาปริพันธ์ด้านขวา
Answershow ▾
Integrate each partial fraction on its own.หาปริพันธ์ของเศษส่วนย่อยแต่ละตัวทีละตัว
Use $x=0,\ y=2$ to find $c$.
จงใช้ $x=0,\ y=2$ หาค่า $c$
Answershow ▾
$\ln1=0$ on both the left and in the first log on the right, so $c$ balances the $-\tfrac12\ln3$ term.$\ln1=0$ ทั้งด้านซ้ายและพจน์ $\ln$ แรกทางขวา ดังนั้น $c$ ต้องหักลบพจน์ $-\tfrac12\ln3$
Substitute $c=\tfrac12\ln3$ and combine the right side into a single logarithm.
จงแทน $c=\tfrac12\ln3$ แล้วรวมด้านขวาให้เป็น $\ln$ ตัวเดียว
Answershow ▾
$\tfrac12\ln(x+1)-\tfrac12\ln(x+3)+\tfrac12\ln3$
$=\tfrac12\left[\ln(x+1)-\ln(x+3)+\ln3\right]$.$\tfrac12\ln(x+1)-\tfrac12\ln(x+3)+\tfrac12\ln3$
$=\tfrac12\left[\ln(x+1)-\ln(x+3)+\ln3\right]$
Use your warm-up to find $y$, then check your answer when $x=0$.
จงใช้ผลจากข้ออุ่นเครื่องเพื่อหา $y$ แล้วตรวจคำตอบเมื่อ $x=0$
Answershow ▾
$x=0$ gives $y=1+\sqrt{\tfrac{3}{3}}=1+1=2$, matching the initial condition.$x=0$ ให้ $y=1+\sqrt{\tfrac{3}{3}}=1+1=2$ ตรงกับเงื่อนไขเริ่มต้น
The variables $x$ and $y$ satisfy $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-1}{(x+2)(x+4)}$, and $y=3$ when $x=0$. Solve the differential equation, obtaining an expression for $y$ in terms of $x$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-1}{(x+2)(x+4)}$ และ $y=3$ เมื่อ $x=0$ จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$
Answershow ▾
Same four moves, with $A=\tfrac12,\ B=-\tfrac12$ again, but the constant now multiplies out to $8$.สี่ขั้นเดิม ใช้ $A=\tfrac12,\ B=-\tfrac12$ เหมือนเดิม แต่ค่าคงที่คูณออกมาได้ $8$
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-1}{(x+1)(x+3)}$. It is given that $y=2$ when $x=0$.
Solve the differential equation, obtaining an expression for $y$ in terms of $x$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-1}{(x+1)(x+3)}$ กำหนดให้ $y=2$ เมื่อ $x=0$
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$
Answershow ▾
9 marks: seven for the method (separate, partial fractions, integrate, use the initial condition), two for the final form.9 คะแนน: เจ็ดคะแนนสำหรับวิธีทำ (แยกตัวแปร เศษส่วนย่อย หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น) สองคะแนนสำหรับคำตอบสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Form the equation from a figure, then separate ตั้งสมการจากรูป แล้วแยกตัวแปร
For the curve shown in the diagram, the normal to the curve at the point $P$ with coordinates $(x,y)$ meets the $x$-axis at $N$. The point $M$ is the foot of the perpendicular from $P$ to the $x$-axis. The curve is such that for all values of $x$ in the interval $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$, the area of triangle $PMN$ is equal to $\tan x$.
(a)(i) Show that $\dfrac{MN}{y}=\dfrac{dy}{dx}$.
(a)(ii) Hence show that $x$ and $y$ satisfy the differential equation $\tfrac12y^{2}\dfrac{dy}{dx}=\tan x$.
(b) Given that $y=1$ when $x=0$, solve this differential equation to find the equation of the curve, expressing $y$ in terms of $x$.
สำหรับเส้นโค้งในรูป เส้นตั้งฉาก (normal) ของเส้นโค้งที่จุด $P$ ซึ่งมีพิกัด $(x,y)$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $N$ จุด $M$ คือจุดเท้าของเส้นตั้งฉาก (foot of the perpendicular) จาก $P$ ลงมายังแกน $x$ เส้นโค้งนี้เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า สำหรับทุกค่าของ $x$ ในช่วง $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $PMN$ เท่ากับ $\tan x$
(a)(i) จงแสดงว่า $\dfrac{MN}{y}=\dfrac{dy}{dx}$
(a)(ii) จากนั้นจงแสดงว่า $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\tfrac12y^{2}\dfrac{dy}{dx}=\tan x$
(ข) กำหนดให้ $y=1$ เมื่อ $x=0$ จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้เพื่อหาสมการของเส้นโค้ง โดยแสดง $y$ ในเทอมของ $x$
A curve has gradient $\dfrac{dy}{dx}$ at a point. Write down the gradient of the normal there.
เส้นโค้งมีความชัน $\dfrac{dy}{dx}$ ที่จุดหนึ่ง จงเขียนความชันของเส้นตั้งฉากที่จุดนั้น
Answershow ▾
The normal is perpendicular to the tangent, so its gradient is the negative reciprocal.เส้นตั้งฉากตั้งฉากกับเส้นสัมผัส ความชันจึงเป็นส่วนกลับติดลบของความชันเส้นสัมผัส
Triangle $PMN$ is right-angled at $M$, with $PM=y$ and base $MN$. Write down its area.
รูปสามเหลี่ยม $PMN$ มีมุมฉากที่ $M$ โดย $PM=y$ และฐาน $MN$ จงเขียนสูตรพื้นที่
Answershow ▾
Area of a right-angled triangle is $\tfrac12\times\text{base}\times\text{height}$.พื้นที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ $\tfrac12$ คูณฐาน คูณสูง
Find $\displaystyle\int\tan x\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int\tan x\,dx$
Answershow ▾
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, and the top is minus the derivative of the bottom.$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ และเศษเป็นลบของอนุพันธ์ของส่วน
$P=(x,y)$ is on the curve. $N$ is where the normal meets the $x$-axis; $M$ is the foot of the perpendicular from $P$. Which gives $MN$?
(A) $MN=y\dfrac{dy}{dx}$
(B) $MN=\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}$
(C) $MN=-\dfrac{y}{dy/dx}$
$P=(x,y)$ อยู่บนเส้นโค้ง $N$ คือจุดที่เส้นตั้งฉากตัดแกน $x$ และ $M$ คือจุดเท้าของเส้นตั้งฉากจาก $P$ จงเลือกค่า $MN$
(A) $MN=y\dfrac{dy}{dx}$
(B) $MN=\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}$
(C) $MN=-\dfrac{y}{dy/dx}$
Answershow ▾
The normal’s slope is $-\dfrac{1}{dy/dx}$. Dropping a height $y$ along that slope gives a horizontal run of $y\times\dfrac{dy}{dx}$, not its reciprocal (B) and not its negative (C).ความชันของเส้นตั้งฉากคือ $-\dfrac{1}{dy/dx}$ การลดระดับลง $y$ ตามความชันนี้ จะได้ระยะทางแนวนอน $y\times\dfrac{dy}{dx}$ ไม่ใช่ส่วนกลับ (B) และไม่ใช่ค่าติดลบของมัน (C)
Using $MN=y\dfrac{dy}{dx}$ and your area formula, show that $x$ and $y$ satisfy $\tfrac12y^{2}\dfrac{dy}{dx}=\tan x$.
โดยใช้ $MN=y\dfrac{dy}{dx}$ และสูตรพื้นที่ จงแสดงว่า $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการ $\tfrac12y^{2}\dfrac{dy}{dx}=\tan x$
Answershow ▾
Substitute $MN=y\dfrac{dy}{dx}$ into $\text{Area}=\tfrac12(MN)(y)$, and the area equals $\tan x$.แทน $MN=y\dfrac{dy}{dx}$ ลงใน $\text{Area}=\tfrac12(MN)(y)$ โดยพื้นที่เท่ากับ $\tan x$
Separate the variables in $\tfrac12y^{2}\dfrac{dy}{dx}=\tan x$, then integrate the left side.
จงแยกตัวแปรในสมการ $\tfrac12y^{2}\dfrac{dy}{dx}=\tan x$ แล้วหาปริพันธ์ด้านซ้าย
Answershow ▾
Multiply both sides by $2\,dx$ first, so you integrate $y^{2}\,dy$.คูณทั้งสองข้างด้วย $2\,dx$ ก่อน เพื่อหาปริพันธ์ของ $y^{2}\,dy$
Integrate the right side (recall your warm-up), then use $x=0,\ y=1$ to find $c$.
จงหาปริพันธ์ด้านขวา (ใช้ผลจากข้ออุ่นเครื่อง) แล้วใช้ $x=0,\ y=1$ หาค่า $c$
Answershow ▾
$\ln\cos0=\ln1=0$, so the equation collapses to $\tfrac16=c$.$\ln\cos0=\ln1=0$ ดังนั้นสมการจะเหลือ $\tfrac16=c$
Substitute $c=\tfrac16$ and multiply through by $6$.
จงแทน $c=\tfrac16$ แล้วคูณตลอดด้วย $6$
Answershow ▾
$\tfrac16y^{3}=-\ln\cos x+\tfrac16$, so multiplying by $6$ gives $y^{3}=-6\ln\cos x+1$.$\tfrac16y^{3}=-\ln\cos x+\tfrac16$ คูณด้วย $6$ จะได้ $y^{3}=-6\ln\cos x+1$
Take the cube root to find $y$, then check your answer when $x=0$.
จงถอดรากที่สามเพื่อหา $y$ แล้วตรวจคำตอบเมื่อ $x=0$
Answershow ▾
$x=0$ gives $\cos0=1$, $\ln1=0$, so $y=\sqrt[3]{1}=1$.$x=0$ ให้ $\cos0=1$, $\ln1=0$ ดังนั้น $y=\sqrt[3]{1}=1$
A curve satisfies $\tfrac12y^{2}\dfrac{dy}{dx}=2\tan x$, and $y=1$ when $x=0$. Solve the differential equation to find $y$ in terms of $x$.
เส้นโค้งหนึ่งสอดคล้องกับสมการ $\tfrac12y^{2}\dfrac{dy}{dx}=2\tan x$ และ $y=1$ เมื่อ $x=0$ จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อหา $y$ ในเทอมของ $x$
Answershow ▾
Same moves, with $2\tan x$ on the right instead of $\tan x$, so its integral doubles to $-2\ln\cos x$.ขั้นตอนเดิม แต่ด้านขวาเป็น $2\tan x$ แทน $\tan x$ ปริพันธ์จึงเป็นสองเท่าคือ $-2\ln\cos x$
For the curve shown in the diagram, the normal to the curve at the point $P$ with coordinates $(x,y)$ meets the $x$-axis at $N$. The point $M$ is the foot of the perpendicular from $P$ to the $x$-axis. The curve is such that for all values of $x$ in the interval $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$, the area of triangle $PMN$ is equal to $\tan x$.
(a)(i) Show that $\dfrac{MN}{y}=\dfrac{dy}{dx}$.
(a)(ii) Hence show that $x$ and $y$ satisfy the differential equation $\tfrac12y^{2}\dfrac{dy}{dx}=\tan x$.
(b) Given that $y=1$ when $x=0$, solve this differential equation to find the equation of the curve, expressing $y$ in terms of $x$.
สำหรับเส้นโค้งในรูป เส้นตั้งฉาก (normal) ของเส้นโค้งที่จุด $P$ ซึ่งมีพิกัด $(x,y)$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $N$ จุด $M$ คือจุดเท้าของเส้นตั้งฉาก (foot of the perpendicular) จาก $P$ ลงมายังแกน $x$ เส้นโค้งนี้เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า สำหรับทุกค่าของ $x$ ในช่วง $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $PMN$ เท่ากับ $\tan x$
(a)(i) จงแสดงว่า $\dfrac{MN}{y}=\dfrac{dy}{dx}$
(a)(ii) จากนั้นจงแสดงว่า $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\tfrac12y^{2}\dfrac{dy}{dx}=\tan x$
(ข) กำหนดให้ $y=1$ เมื่อ $x=0$ จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้เพื่อหาสมการของเส้นโค้ง โดยแสดง $y$ ในเทอมของ $x$
Answershow ▾
9 marks: three for forming the equation from the figure, six for separating, integrating and using the initial condition.9 คะแนน: สามคะแนนสำหรับตั้งสมการจากรูป หกคะแนนสำหรับแยกตัวแปร หาปริพันธ์ และใช้เงื่อนไขเริ่มต้น
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Separate, integrate by parts, then evaluate แยกตัวแปร หาปริพันธ์แบบส่วนต่อส่วน แล้วหาค่าที่จุดหนึ่ง
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation $\dfrac{dy}{dx}=xe^{y-x}$, and $y=0$ when $x=0$.
(a) Solve the differential equation, obtaining an expression for $y$ in terms of $x$.
(b) Find the value of $y$ when $x=1$, giving your answer in the form $a-\ln b$, where $a$ and $b$ are integers.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\dfrac{dy}{dx}=xe^{y-x}$ และ $y=0$ เมื่อ $x=0$
(ก) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$
(ข) จงหาค่าของ $y$ เมื่อ $x=1$ โดยเขียนคำตอบในรูป $a-\ln b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม
Find $\displaystyle\int e^{-y}\,dy$.
จงหา $\displaystyle\int e^{-y}\,dy$
Answershow ▾
Differentiating $-e^{-y}$ with respect to $y$ gives $e^{-y}$ back (chain rule, factor $-1$).อนุพันธ์ของ $-e^{-y}$ เทียบกับ $y$ ให้ $e^{-y}$ กลับมา (กฎลูกโซ่ ตัวประกอบ $-1$)
For $\displaystyle\int xe^{-x}\,dx$, state $u$, $dv$, $du$ and $v$.
สำหรับ $\displaystyle\int xe^{-x}\,dx$ จงระบุ $u$, $dv$, $du$ และ $v$
Answershow ▾
$dv=e^{-x}\,dx,\ v=-e^{-x}$
Pick $u=x$ so that $du=dx$ makes the next integral simpler.เลือก $u=x$ เพื่อให้ $du=dx$ ทำให้ปริพันธ์ถัดไปง่ายขึ้น
Given $e^{-y}=(x+1)e^{-x}$, make $y$ the subject.
กำหนดให้ $e^{-y}=(x+1)e^{-x}$ จงจัดให้ $y$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Take $\ln$ of both sides, then use $\ln(e^{-x})=-x$ and multiply by $-1$.หา $\ln$ ทั้งสองข้าง แล้วใช้ $\ln(e^{-x})=-x$ จากนั้นคูณด้วย $-1$
$\dfrac{dy}{dx}=xe^{y-x}$. What is the correct first step to separate the variables?
(A) divide both sides by $e^{y}$
(B) multiply both sides by $e^{y}$
(C) leave $y$ on the right and integrate directly
$\dfrac{dy}{dx}=xe^{y-x}$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้องในการแยกตัวแปร
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $e^{y}$
(B) คูณทั้งสองข้างด้วย $e^{y}$
(C) ปล่อยให้ $y$ อยู่ทางขวา แล้วหาปริพันธ์ตรง ๆ
Answershow ▾
$e^{y-x}=e^{y}e^{-x}$, so dividing by $e^{y}$ leaves $e^{-y}\dfrac{dy}{dx}=xe^{-x}$, with $y$ on the left and $x$ on the right. (B) moves $y$ the wrong way, and (C) still has $y$ mixed into the right side.$e^{y-x}=e^{y}e^{-x}$ ดังนั้นหารด้วย $e^{y}$ จะเหลือ $e^{-y}\dfrac{dy}{dx}=xe^{-x}$ โดย $y$ อยู่ทางซ้าย และ $x$ อยู่ทางขวา (B) ย้าย $y$ ผิดทาง และ (C) ยังมี $y$ ปนอยู่ด้านขวา
Separate the variables in $\dfrac{dy}{dx}=xe^{y-x}$.
จงแยกตัวแปรในสมการ $\dfrac{dy}{dx}=xe^{y-x}$
Answershow ▾
Write $xe^{y-x}$ as $xe^{y}e^{-x}$ first, then divide by $e^{y}$.เขียน $xe^{y-x}$ เป็น $xe^{y}e^{-x}$ ก่อน แล้วหารด้วย $e^{y}$
Using your warm-up setup, find $\displaystyle\int xe^{-x}\,dx$.
โดยใช้การตั้งค่าจากข้ออุ่นเครื่อง จงหา $\displaystyle\int xe^{-x}\,dx$
Answershow ▾
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$.$\int u\,dv=uv-\int v\,du$
Use $x=0,\ y=0$ to find $c$.
จงใช้ $x=0,\ y=0$ หาค่า $c$
Answershow ▾
At $x=0$ the right side is $-1$, the same as $-e^{-y}$ at $y=0$.ที่ $x=0$ ด้านขวาเท่ากับ $-1$ ซึ่งเท่ากับ $-e^{-y}$ ที่ $y=0$ พอดี
Substitute $c=0$, then factorise the right side.
จงแทน $c=0$ แล้วแยกตัวประกอบด้านขวา
Answershow ▾
$-xe^{-x}-e^{-x}=-(x+1)e^{-x}$, and multiplying both sides by $-1$ turns $-e^{-y}$ into $e^{-y}$.$-xe^{-x}-e^{-x}=-(x+1)e^{-x}$ และคูณทั้งสองข้างด้วย $-1$ จะได้ $e^{-y}$ จาก $-e^{-y}$
Use your warm-up to find $y$, then check your answer when $x=0$.
จงใช้ผลจากข้ออุ่นเครื่องเพื่อหา $y$ แล้วตรวจคำตอบเมื่อ $x=0$
Answershow ▾
$x=0$ gives $y=0-\ln1=0$, matching the initial condition.$x=0$ ให้ $y=0-\ln1=0$ ตรงกับเงื่อนไขเริ่มต้น
The variables $x$ and $y$ satisfy $\dfrac{dy}{dx}=2xe^{y-x}$, and $y=0$ when $x=0$. Solve the differential equation, obtaining an expression for $y$ in terms of $x$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการ $\dfrac{dy}{dx}=2xe^{y-x}$ และ $y=0$ เมื่อ $x=0$ จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$
Answershow ▾
Same four moves, but now $u=2x$, so the $-1$ from the initial condition no longer cancels exactly.ขั้นตอนเดิม แต่ครั้งนี้ $u=2x$ ค่า $-1$ จากเงื่อนไขเริ่มต้นจึงไม่หักลบกันพอดีเหมือนเดิม
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation $\dfrac{dy}{dx}=xe^{y-x}$, and $y=0$ when $x=0$.
(a) Solve the differential equation, obtaining an expression for $y$ in terms of $x$.
(b) Find the value of $y$ when $x=1$, giving your answer in the form $a-\ln b$, where $a$ and $b$ are integers.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\dfrac{dy}{dx}=xe^{y-x}$ และ $y=0$ เมื่อ $x=0$
(ก) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $y$ ในเทอมของ $x$
(ข) จงหาค่าของ $y$ เมื่อ $x=1$ โดยเขียนคำตอบในรูป $a-\ln b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
8 marks: seven for part (a) (separate, integrate by parts, use the initial condition), one for reading off $y$ at $x=1$ in part (b).8 คะแนน: เจ็ดคะแนนสำหรับข้อ (a) (แยกตัวแปร หาปริพันธ์แบบส่วนต่อส่วน ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น) หนึ่งคะแนนสำหรับการอ่านค่า $y$ ที่ $x=1$ ในข้อ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Form a rate equation, then find its long-term value ตั้งสมการอัตรา แล้วหาค่าระยะยาว
In a certain chemical reaction the amount, $x$ grams, of a substance is increasing. The differential equation satisfied by $x$ and $t$, the time in seconds since the reaction began, is $\dfrac{dx}{dt}=kxe^{-0.1t}$, where $k$ is a positive constant. It is given that $x=20$ at the start of the reaction.
(a) Solve the differential equation, obtaining a relation between $x$, $t$ and $k$.
(b) Given that $x=40$ when $t=10$, find the value of $k$ and find the value approached by $x$ as $t$ becomes large.
ในปฏิกิริยาเคมี (chemical reaction) หนึ่ง ปริมาณของสาร $x$ กรัม กำลังเพิ่มขึ้น โดย $x$ และ $t$ (เวลาเป็นวินาทีนับจากปฏิกิริยาเริ่มต้น) สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\dfrac{dx}{dt}=kxe^{-0.1t}$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก กำหนดให้ $x=20$ ณ จุดเริ่มต้นของปฏิกิริยา
(ก) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหาความสัมพันธ์ระหว่าง $x$, $t$ และ $k$
(ข) กำหนดให้ $x=40$ เมื่อ $t=10$ จงหาค่าของ $k$ และหาค่าที่ $x$ เข้าใกล้เมื่อ $t$ มีค่ามากขึ้นโดยไม่จำกัด
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\,dx$
Answershow ▾
This is a standard result: the derivative of $\ln x$ is $\dfrac{1}{x}$.นี่คือผลลัพธ์มาตรฐาน: อนุพันธ์ของ $\ln x$ คือ $\dfrac{1}{x}$
Find $\displaystyle\int ke^{-0.1t}\,dt$, treating $k$ as a constant.
จงหา $\displaystyle\int ke^{-0.1t}\,dt$ โดยถือว่า $k$ เป็นค่าคงที่
Answershow ▾
Dividing by the coefficient $-0.1$ in the exponent is the same as multiplying by $-10$.หารด้วยสัมประสิทธิ์ $-0.1$ ในเอกซ์โพเนนต์ ก็เหมือนคูณด้วย $-10$
State the value that $e^{-0.1t}$ tends to as $t$ becomes large.
จงระบุค่าที่ $e^{-0.1t}$ เข้าใกล้ เมื่อ $t$ มีค่ามากขึ้นโดยไม่จำกัด
Answershow ▾
A negative exponent of a growing $t$ makes $e^{-0.1t}$ shrink towards $0$.เอกซ์โพเนนต์ติดลบที่โตขึ้นตาม $t$ ทำให้ $e^{-0.1t}$ หดเข้าใกล้ $0$
You have $\ln x=-10ke^{-0.1t}+\ln20+10k$. To find $k$ from the second piece of information, $x=40$ at $t=10$, what do you do?
(A) substitute $t=10,\ x=40$, then solve the equation for $k$
(B) substitute $t=0$ again
(C) differentiate with respect to $t$ and set the result to $0$
คุณได้ $\ln x=-10ke^{-0.1t}+\ln20+10k$ เพื่อหา $k$ จากข้อมูลชิ้นที่สองคือ $x=40$ เมื่อ $t=10$ จะทำอย่างไร
(A) แทน $t=10,\ x=40$ แล้วแก้สมการหา $k$
(B) แทน $t=0$ อีกครั้ง
(C) หาอนุพันธ์เทียบ $t$ แล้วให้ผลลัพธ์เท่ากับ $0$
Answershow ▾
The first data point $(t=0,x=20)$ already fixed the constant of integration. (B) re-uses that same point, giving no new equation. (C) finds a stationary point, which is not what the question asks for.ข้อมูลจุดแรก $(t=0,x=20)$ ใช้หาค่าคงที่ของการหาปริพันธ์ไปแล้ว (B) ใช้จุดเดิมซ้ำ จึงไม่ได้สมการใหม่ (C) หาจุดคงที่ ซึ่งไม่ใช่สิ่งที่โจทย์ถาม
Separate the variables in $\dfrac{dx}{dt}=kxe^{-0.1t}$.
จงแยกตัวแปรในสมการ $\dfrac{dx}{dt}=kxe^{-0.1t}$
Answershow ▾
All the $x$ goes with $dx$; all the $t$ goes with $dt$.$x$ ทั้งหมดไปอยู่กับ $dx$ ส่วน $t$ ทั้งหมดไปอยู่กับ $dt$
Integrate both sides, then use $x=20$ at $t=0$ to write $x$ in terms of $t$ and $k$.
จงหาปริพันธ์ทั้งสองข้าง แล้วใช้ $x=20$ เมื่อ $t=0$ เพื่อเขียน $x$ ในเทอมของ $t$ และ $k$
Answershow ▾
$\ln20=-10k+c$ gives $c=\ln20+10k$ directly.$\ln20=-10k+c$ ให้ $c=\ln20+10k$ ทันที
Substitute $x=40$ at $t=10$, and simplify to an equation in $k$ alone.
จงแทน $x=40$ เมื่อ $t=10$ แล้วจัดรูปให้เหลือสมการของ $k$ เพียงตัวเดียว
Answershow ▾
$\ln40-\ln20=\ln2$, and the two terms in $k$ factorise as $10k(1-e^{-1})$.$\ln40-\ln20=\ln2$ และสองพจน์ที่มี $k$ แยกตัวประกอบได้เป็น $10k(1-e^{-1})$
Solve for $10k$, giving its value to 5 decimal places.
จงแก้สมการหาค่า $10k$ โดยให้คำตอบทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Divide both sides by $(1-e^{-1})$.หารทั้งสองข้างด้วย $(1-e^{-1})$
Use your warm-up and the value of $10k$ to find the value approached by $x$ as $t$ becomes large.
จงใช้ผลจากข้ออุ่นเครื่องและค่า $10k$ เพื่อหาค่าที่ $x$ เข้าใกล้ เมื่อ $t$ มีค่ามากขึ้นโดยไม่จำกัด
Answershow ▾
As $e^{-0.1t}\to0$, $\ln x\to\ln20+10k$, so $x\to20e^{10k}$.เมื่อ $e^{-0.1t}\to0$, $\ln x\to\ln20+10k$ ดังนั้น $x\to20e^{10k}$
The amount $x$ grams of a substance satisfies $\dfrac{dx}{dt}=kxe^{-0.2t}$, where $t$ is the time in seconds. It is given that $x=10$ at the start of the reaction, and $x=30$ when $t=5$. Find the value of $5k$, and find the value approached by $x$ as $t$ becomes large.
ปริมาณสาร $x$ กรัม สอดคล้องกับสมการ $\dfrac{dx}{dt}=kxe^{-0.2t}$ โดย $t$ คือเวลาเป็นวินาที กำหนดให้ $x=10$ ตอนเริ่มปฏิกิริยา และ $x=30$ เมื่อ $t=5$ จงหาค่าของ $5k$ และหาค่าที่ $x$ เข้าใกล้ เมื่อ $t$ มีค่ามากขึ้นโดยไม่จำกัด
Answershow ▾
Same four moves, with a $5$ in place of the $10$ throughout, because the exponent is $-0.2t$ now.สี่ขั้นเดิม แต่ใช้ $5$ แทน $10$ ตลอด เพราะเอกซ์โพเนนต์เป็น $-0.2t$
In a certain chemical reaction the amount, $x$ grams, of a substance is increasing. The differential equation satisfied by $x$ and $t$, the time in seconds since the reaction began, is $\dfrac{dx}{dt}=kxe^{-0.1t}$, where $k$ is a positive constant. It is given that $x=20$ at the start of the reaction.
(a) Solve the differential equation, obtaining a relation between $x$, $t$ and $k$.
(b) Given that $x=40$ when $t=10$, find the value of $k$ and find the value approached by $x$ as $t$ becomes large.
ในปฏิกิริยาเคมี (chemical reaction) หนึ่ง ปริมาณของสาร $x$ กรัม กำลังเพิ่มขึ้น โดย $x$ และ $t$ (เวลาเป็นวินาทีนับจากปฏิกิริยาเริ่มต้น) สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\dfrac{dx}{dt}=kxe^{-0.1t}$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก กำหนดให้ $x=20$ ณ จุดเริ่มต้นของปฏิกิริยา
(ก) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหาความสัมพันธ์ระหว่าง $x$, $t$ และ $k$
(ข) กำหนดให้ $x=40$ เมื่อ $t=10$ จงหาค่าของ $k$ และหาค่าที่ $x$ เข้าใกล้เมื่อ $t$ มีค่ามากขึ้นโดยไม่จำกัด
Answershow ▾
8 marks: five for part (a) (separate, integrate, use the first data point), three for part (b) (use the second data point, then the long-term value).8 คะแนน: ห้าคะแนนสำหรับข้อ (a) (แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้ข้อมูลจุดแรก) สามคะแนนสำหรับข้อ (b) (ใช้ข้อมูลจุดที่สอง แล้วหาค่าระยะยาว)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Separate with double angles, then solve for x แยกตัวแปรด้วยมุมสองเท่า แล้วแก้สมการหา $x$
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation $\cos2x\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\tan2x}{\sin^{2}3y}$, where $0\leqslant x\lt\tfrac14\pi$. It is given that $y=0$ when $x=\tfrac16\pi$.
Solve the differential equation to obtain the value of $x$ when $y=\tfrac16\pi$. Give your answer correct to 3 decimal places.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\cos2x\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\tan2x}{\sin^{2}3y}$ เมื่อ $0\leqslant x\lt\tfrac14\pi$ กำหนดให้ $y=0$ เมื่อ $x=\tfrac16\pi$
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อหาค่าของ $x$ เมื่อ $y=\tfrac16\pi$ โดยให้คำตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Write $\sin^{2}3y$ in terms of $\cos6y$.
จงเขียน $\sin^{2}3y$ ในเทอมของ $\cos6y$
Answershow ▾
$\sin^{2}\theta=\tfrac12(1-\cos2\theta)$, with $\theta=3y$.$\sin^{2}\theta=\tfrac12(1-\cos2\theta)$ โดย $\theta=3y$
Simplify $\dfrac{4\tan2x}{\cos2x}$ to a single trig ratio.
จงจัดรูป $\dfrac{4\tan2x}{\cos2x}$ ให้เป็นอัตราส่วนตรีโกณมิติตัวเดียว
Answershow ▾
Replace $\tan2x$ with $\dfrac{\sin2x}{\cos2x}$, then combine the two $\cos2x$ terms.แทน $\tan2x$ ด้วย $\dfrac{\sin2x}{\cos2x}$ แล้วรวม $\cos2x$ สองตัวเข้าด้วยกัน
Differentiate $\sec2x$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $\sec2x$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dx}\sec u=\sec u\tan u\cdot\dfrac{du}{dx}$, with $u=2x$.$\dfrac{d}{dx}\sec u=\sec u\tan u\cdot\dfrac{du}{dx}$ โดย $u=2x$
$\cos2x\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\tan2x}{\sin^{2}3y}$. What is the correct first step to separate the variables?
(A) multiply by $\sin^{2}3y$, divide by $\cos2x$
(B) divide both sides by $\sin^{2}3y$ only
(C) multiply both sides by $\cos2x$ only
$\cos2x\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\tan2x}{\sin^{2}3y}$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้องในการแยกตัวแปร
(A) คูณด้วย $\sin^{2}3y$ แล้วหารด้วย $\cos2x$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $\sin^{2}3y$ เท่านั้น
(C) คูณทั้งสองข้างด้วย $\cos2x$ เท่านั้น
Answershow ▾
(A) leaves pure $y$-terms with $dy$ on the left and pure $x$-terms with $dx$ on the right. (B) still has $\cos2x$ and $dy/dx$ together with no $x$ isolated; (C) still has $\sin^{2}3y$ in the denominator on the same side as $dy/dx$.(A) ทำให้เหลือพจน์ $y$ ล้วนกับ $dy$ ทางซ้าย และพจน์ $x$ ล้วนกับ $dx$ ทางขวา (B) ยังมี $\cos2x$ กับ $dy/dx$ ปนกันโดยไม่มี $x$ แยกออก และ (C) ยังมี $\sin^{2}3y$ อยู่ในตัวส่วนด้านเดียวกับ $dy/dx$
Separate the variables in $\cos2x\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\tan2x}{\sin^{2}3y}$.
จงแยกตัวแปรในสมการ $\cos2x\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\tan2x}{\sin^{2}3y}$
Answershow ▾
All the $y$ goes with $dy$; all the $x$ goes with $dx$.$y$ ทั้งหมดไปอยู่กับ $dy$ ส่วน $x$ ทั้งหมดไปอยู่กับ $dx$
Using your warm-ups, integrate $\dfrac{4\tan2x}{\cos2x}$ with respect to $x$.
โดยใช้ผลจากข้ออุ่นเครื่อง จงหาปริพันธ์ของ $\dfrac{4\tan2x}{\cos2x}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
$\dfrac{4\sin2x}{\cos^{2}2x}$ is twice the derivative of $\sec2x$.$\dfrac{4\sin2x}{\cos^{2}2x}$ เป็นสองเท่าของอนุพันธ์ของ $\sec2x$
Using your double-angle warm-up, integrate $\sin^{2}3y$ with respect to $y$.
โดยใช้ผลจากข้ออุ่นเครื่องมุมสองเท่า จงหาปริพันธ์ของ $\sin^{2}3y$ เทียบกับ $y$
Answershow ▾
$\int\tfrac12(1-\cos6y)\,dy=\tfrac12y-\tfrac12\times\tfrac16\sin6y$.$\int\tfrac12(1-\cos6y)\,dy=\tfrac12y-\tfrac12\times\tfrac16\sin6y$
Combine both sides, then use $y=0$ at $x=\tfrac16\pi$ to find $c$.
จงรวมทั้งสองด้าน แล้วใช้ $y=0$ เมื่อ $x=\tfrac16\pi$ หาค่า $c$
Answershow ▾
$\sec\tfrac13\pi=2$, and the left side is $0$ when $y=0$.$\sec\tfrac13\pi=2$ และด้านซ้ายเป็น $0$ เมื่อ $y=0$
Substitute $y=\tfrac16\pi$ into $\tfrac12y-\tfrac{1}{12}\sin6y=2\sec2x-4$, then solve for $x$ to 3 decimal places.
จงแทน $y=\tfrac16\pi$ ลงใน $\tfrac12y-\tfrac{1}{12}\sin6y=2\sec2x-4$ แล้วแก้สมการหา $x$ เป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$6y=\pi$, so $\sin6y=\sin\pi=0$, leaving $\tfrac{1}{12}\pi$ on the left.$6y=\pi$ ดังนั้น $\sin6y=\sin\pi=0$ เหลือ $\tfrac{1}{12}\pi$ ทางซ้าย
The variables $x$ and $y$ satisfy $\cos x\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\tan x}{\sin^{2}y}$, where $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$. It is given that $y=0$ when $x=\tfrac13\pi$. Solve the differential equation to find the value of $x$ when $y=\tfrac13\pi$, correct to 3 decimal places.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการ $\cos x\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\tan x}{\sin^{2}y}$ โดย $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$ กำหนดให้ $y=0$ เมื่อ $x=\tfrac13\pi$ จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อหาค่าของ $x$ เมื่อ $y=\tfrac13\pi$ โดยให้คำตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same moves with single angles ($\sin^{2}y=\tfrac12(1-\cos2y)$, $\int4\tan x/\cos x\,dx=4\sec x$) instead of triple/double ones.ขั้นตอนเดิมแต่ใช้มุมเดี่ยว ($\sin^{2}y=\tfrac12(1-\cos2y)$, $\int4\tan x/\cos x\,dx=4\sec x$) แทนมุมสามเท่า/สองเท่า
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation $\cos2x\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\tan2x}{\sin^{2}3y}$, where $0\leqslant x\lt\tfrac14\pi$. It is given that $y=0$ when $x=\tfrac16\pi$.
Solve the differential equation to obtain the value of $x$ when $y=\tfrac16\pi$. Give your answer correct to 3 decimal places.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\cos2x\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\tan2x}{\sin^{2}3y}$ เมื่อ $0\leqslant x\lt\tfrac14\pi$ กำหนดให้ $y=0$ เมื่อ $x=\tfrac16\pi$
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อหาค่าของ $x$ เมื่อ $y=\tfrac16\pi$ โดยให้คำตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
8 marks, all for method: separate, recognise each integral, use the initial condition, then substitute and solve for $x$.8 คะแนน เป็นคะแนนวิธีทำทั้งหมด: แยกตัวแปร หาปริพันธ์แต่ละด้าน ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น แล้วแทนค่าแก้หา $x$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Model a tank that fills and leaks จำลองถังที่เติมน้ำและรั่วพร้อมกัน
A gardener is filling an ornamental pool with water, using a hose that delivers 30 litres of water per minute. Initially the pool is empty. At time $t$ minutes after filling begins the volume of water in the pool is $V$ litres. The pool has a small leak and loses water at a rate of $0.01V$ litres per minute. The differential equation satisfied by $V$ and $t$ is of the form $\dfrac{dV}{dt}=a-bV$.
(a) Write down the values of the constants $a$ and $b$.
(b) Solve the differential equation and find the value of $t$ when $V=1000$.
(c) Obtain an expression for $V$ in terms of $t$ and hence state what happens to $V$ as $t$ becomes large.
คนสวนกำลังเติมน้ำลงในสระประดับ (ornamental pool) ด้วยสายยางที่จ่ายน้ำในอัตรา 30 ลิตรต่อนาที เริ่มต้นสระว่างเปล่า ณ เวลา $t$ นาทีหลังเริ่มเติมน้ำ ปริมาตรน้ำในสระคือ $V$ ลิตร สระนี้มีรอยรั่วเล็ก ๆ ทำให้น้ำหายไปในอัตรา $0.01V$ ลิตรต่อนาที $V$ และ $t$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ในรูป $\dfrac{dV}{dt}=a-bV$
(ก) จงเขียนค่าของค่าคงที่ $a$ และ $b$
(ข) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และหาค่าของ $t$ เมื่อ $V=1000$
(ค) จงหานิพจน์ของ $V$ ในเทอมของ $t$ และระบุว่าเกิดอะไรขึ้นกับ $V$ เมื่อ $t$ มีค่ามากขึ้นโดยไม่จำกัด
Water enters a tank at $30$ litres per minute and leaks out at $0.01V$ litres per minute, where $V$ is the volume in litres. Write down $\dfrac{dV}{dt}$.
น้ำเข้าสู่ถังในอัตรา $30$ ลิตรต่อนาที และรั่วออกในอัตรา $0.01V$ ลิตรต่อนาที โดย $V$ คือปริมาตรเป็นลิตร จงเขียน $\dfrac{dV}{dt}$
Answershow ▾
The rate of change is what comes IN minus what goes OUT.อัตราการเปลี่ยนแปลงคือสิ่งที่ "เข้า" ลบด้วยสิ่งที่ "ออก"
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{30-0.01V}\,dV$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{30-0.01V}\,dV$
Answershow ▾
The derivative of $30-0.01V$ with respect to $V$ is $-0.01$, so dividing by it multiplies by $-100$.อนุพันธ์ของ $30-0.01V$ เทียบกับ $V$ คือ $-0.01$ การหารด้วยค่านี้จึงเท่ากับการคูณด้วย $-100$
Given $-100\ln(30-0.01V)=t-100\ln30$, make $V$ the subject.
กำหนดให้ $-100\ln(30-0.01V)=t-100\ln30$ จงจัดให้ $V$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Divide by $-100$ first, exponentiate both sides, then rearrange for $V$.หารด้วย $-100$ ก่อน แล้วถอด $\ln$ ทั้งสองข้างด้วยการยกกำลัง $e$ จากนั้นจัดรูปหา $V$
$\dfrac{dV}{dt}=30-0.01V$. What is the correct first step to separate the variables?
(A) divide both sides by $(30-0.01V)$
(B) divide both sides by $V$
(C) subtract $30$ from both sides
$\dfrac{dV}{dt}=30-0.01V$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้องในการแยกตัวแปร
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $(30-0.01V)$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $V$
(C) ลบ $30$ ออกจากทั้งสองข้าง
Answershow ▾
(A) leaves $\dfrac{1}{30-0.01V}\dfrac{dV}{dt}=1$, which is ready to write as $dV$ over $dt$. (B) still has a plain $30$ term left mixed in on the right; (C) does not touch $dV/dt$ at all, so $V$ and $t$ are still on the same side.(A) ทำให้ได้ $\dfrac{1}{30-0.01V}\dfrac{dV}{dt}=1$ ซึ่งพร้อมเขียนเป็น $dV$ หาร $dt$ (B) ยังมีพจน์ $30$ เปล่า ๆ ปนอยู่ทางขวา และ (C) ไม่ได้แก้ $dV/dt$ เลย $V$ กับ $t$ จึงยังอยู่ด้านเดียวกัน
Separate the variables in $\dfrac{dV}{dt}=30-0.01V$.
จงแยกตัวแปรในสมการ $\dfrac{dV}{dt}=30-0.01V$
Answershow ▾
All the $V$ goes with $dV$; $t$ is left alone with $dt$.$V$ ทั้งหมดไปอยู่กับ $dV$ ส่วน $t$ อยู่กับ $dt$ ตามลำพัง
Integrate both sides, then use $V=0$ at $t=0$ to find $c$.
จงหาปริพันธ์ทั้งสองข้าง แล้วใช้ $V=0$ เมื่อ $t=0$ หาค่า $c$
Answershow ▾
At $t=0,\ V=0$: $-100\ln30=0+c$.ที่ $t=0,\ V=0$: $-100\ln30=0+c$
Substitute $V=1000$ and simplify the left side.
จงแทน $V=1000$ แล้วจัดรูปด้านซ้ายให้ง่าย
Answershow ▾
$30-0.01(1000)=30-10=20$.$30-0.01(1000)=30-10=20$
Solve for $t$, giving your answer to 1 decimal place.
จงแก้สมการหา $t$ โดยให้คำตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$-100\ln20+100\ln30=100\ln\tfrac{30}{20}$
$=100\ln1.5$.$-100\ln20+100\ln30=100\ln\tfrac{30}{20}$
$=100\ln1.5$
Use your warm-up to write $V$ in terms of $t$, then state what happens to $V$ as $t$ becomes large.
จงใช้ผลจากข้ออุ่นเครื่องเขียน $V$ ในเทอมของ $t$ แล้วระบุว่าเกิดอะไรขึ้นกับ $V$ เมื่อ $t$ มีค่ามากขึ้น
Answershow ▾
As $t\to\infty$, $e^{-0.01t}\to0$, so $V\to3000(1-0)=3000$.เมื่อ $t\to\infty$, $e^{-0.01t}\to0$ ดังนั้น $V\to3000(1-0)=3000$
A hose fills a tank at $50$ litres per minute, starting empty; the tank leaks at $0.02V$ litres per minute. Find the value of $t$ when $V=2000$, and state the value approached by $V$ as $t$ becomes large.
สายยางเติมถังในอัตรา $50$ ลิตรต่อนาที เริ่มจากถังเปล่า ถังรั่วในอัตรา $0.02V$ ลิตรต่อนาที จงหาค่า $t$ เมื่อ $V=2000$ และระบุค่าที่ $V$ เข้าใกล้ เมื่อ $t$ มีค่ามากขึ้นโดยไม่จำกัด
Answershow ▾
Same four moves, with $50$ and $0.02$ in place of $30$ and $0.01$ throughout.สี่ขั้นเดิม แต่ใช้ $50$ และ $0.02$ แทน $30$ และ $0.01$ ตลอด
A gardener is filling an ornamental pool with water, using a hose that delivers 30 litres of water per minute. Initially the pool is empty. At time $t$ minutes after filling begins the volume of water in the pool is $V$ litres. The pool has a small leak and loses water at a rate of $0.01V$ litres per minute. The differential equation satisfied by $V$ and $t$ is of the form $\dfrac{dV}{dt}=a-bV$.
(a) Write down the values of the constants $a$ and $b$.
(b) Solve the differential equation and find the value of $t$ when $V=1000$.
(c) Obtain an expression for $V$ in terms of $t$ and hence state what happens to $V$ as $t$ becomes large.
คนสวนกำลังเติมน้ำลงในสระประดับ (ornamental pool) ด้วยสายยางที่จ่ายน้ำในอัตรา 30 ลิตรต่อนาที เริ่มต้นสระว่างเปล่า ณ เวลา $t$ นาทีหลังเริ่มเติมน้ำ ปริมาตรน้ำในสระคือ $V$ ลิตร สระนี้มีรอยรั่วเล็ก ๆ ทำให้น้ำหายไปในอัตรา $0.01V$ ลิตรต่อนาที $V$ และ $t$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ในรูป $\dfrac{dV}{dt}=a-bV$
(ก) จงเขียนค่าของค่าคงที่ $a$ และ $b$
(ข) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และหาค่าของ $t$ เมื่อ $V=1000$
(ค) จงหานิพจน์ของ $V$ ในเทอมของ $t$ และระบุว่าเกิดอะไรขึ้นกับ $V$ เมื่อ $t$ มีค่ามากขึ้นโดยไม่จำกัด
Answershow ▾
9 marks: one for part (a), six for part (b) (separate, integrate, use both conditions), two for part (c) (rearrange, then the limit).9 คะแนน: หนึ่งคะแนนสำหรับข้อ (a) หกคะแนนสำหรับข้อ (b) (แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไขทั้งสอง) สองคะแนนสำหรับข้อ (c) (จัดรูป แล้วหาค่าเมื่อเวลานานมาก)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Use a given result, then take two logs out ใช้ผลลัพธ์ที่กำหนดให้ แล้วถอด $\ln$ สองชั้น
The variables $x$ and $t$ satisfy the differential equation $x\ln x+t\dfrac{dx}{dt}=0$. It is given that $x=e$ when $t=2$.
(a) Given that $y=\ln\ln x$, show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\ln x}$.
(b) Solve the differential equation obtaining an expression for $x$ in terms of $t$, simplifying your answer.
(c) Hence state what happens to the value of $x$ as $t$ tends to infinity.
ตัวแปร $x$ และ $t$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $x\ln x+t\dfrac{dx}{dt}=0$ กำหนดให้ $x=e$ เมื่อ $t=2$
(ก) กำหนดให้ $y=\ln\ln x$ จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\ln x}$
(ข) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $x$ ในเทอมของ $t$ พร้อมจัดรูปคำตอบให้ง่ายที่สุด
(ค) จากนั้นจงระบุว่าเกิดอะไรขึ้นกับค่าของ $x$ เมื่อ $t$ มีค่าเข้าใกล้อนันต์
Differentiate $y=\ln(\ln x)$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=\ln(\ln x)$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Use the chain rule: the derivative of $\ln u$ is $\dfrac{1}{u}\dfrac{du}{dx}$, with $u=\ln x$.ใช้กฎลูกโซ่: อนุพันธ์ของ $\ln u$ คือ $\dfrac{1}{u}\dfrac{du}{dx}$ โดย $u=\ln x$
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{t}\,dt$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{t}\,dt$
Answershow ▾
This is a standard result: the derivative of $\ln t$ is $\dfrac{1}{t}$.นี่คือผลลัพธ์มาตรฐาน: อนุพันธ์ของ $\ln t$ คือ $\dfrac{1}{t}$
Given $\ln(\ln x)=\ln\!\left(\dfrac{2}{t}\right)$, find $x$.
กำหนดให้ $\ln(\ln x)=\ln\!\left(\dfrac{2}{t}\right)$ จงหา $x$
Answershow ▾
Equal logs mean equal arguments, so $\ln x=\dfrac{2}{t}$; then exponentiate once more.$\ln$ ของสองข้างเท่ากัน หมายความว่าค่าในวงเล็บเท่ากัน จึงได้ $\ln x=\dfrac{2}{t}$ จากนั้นถอด $\ln$ อีกครั้ง
$x\ln x+t\dfrac{dx}{dt}=0$. What is the correct first step to separate the variables?
(A) rearrange to $t\dfrac{dx}{dt}=-x\ln x$, then divide by $x\ln x$ and by $t$
(B) divide both sides by $x$ only
(C) divide both sides by $t$ only
$x\ln x+t\dfrac{dx}{dt}=0$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้องในการแยกตัวแปร
(A) จัดรูปเป็น $t\dfrac{dx}{dt}=-x\ln x$ แล้วหารด้วย $x\ln x$ และหารด้วย $t$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $x$ เท่านั้น
(C) หารทั้งสองข้างด้วย $t$ เท่านั้น
Answershow ▾
(A) leaves pure $x$-terms with $dx$ on one side and pure $t$-terms with $dt$ on the other. (B) still leaves $\ln x$ and $\dfrac{t}{x}\dfrac{dx}{dt}$ mixed together; (C) still leaves $x\ln x$ and $\dfrac{dx}{dt}$ on the same side.(A) ทำให้เหลือพจน์ $x$ ล้วนกับ $dx$ ด้านหนึ่ง และพจน์ $t$ ล้วนกับ $dt$ อีกด้าน (B) ยังเหลือ $\ln x$ กับ $\dfrac{t}{x}\dfrac{dx}{dt}$ ปนกัน และ (C) ยังเหลือ $x\ln x$ กับ $\dfrac{dx}{dt}$ ด้านเดียวกัน
Rearrange $x\ln x+t\dfrac{dx}{dt}=0$ and separate the variables.
จงจัดรูป $x\ln x+t\dfrac{dx}{dt}=0$ แล้วแยกตัวแปร
Answershow ▾
Move $x\ln x$ to the other side first, then divide.ย้าย $x\ln x$ ไปอีกด้านก่อน แล้วค่อยหาร
Integrate the left side using part (a)’s result, and the right side directly.
จงหาปริพันธ์ด้านซ้ายโดยใช้ผลข้อ (a) และหาปริพันธ์ด้านขวาโดยตรง
Answershow ▾
The left side is exactly the derivative in part (a), run backwards.ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ในข้อ (a) ทำย้อนกลับ
Use $x=e$ at $t=2$ to find $c$.
จงใช้ $x=e$ เมื่อ $t=2$ หาค่า $c$
Answershow ▾
$\ln(\ln e)=\ln1=0$, so the equation collapses to $0=-\ln2+c$.$\ln(\ln e)=\ln1=0$ ดังนั้นสมการจะเหลือ $0=-\ln2+c$
Substitute $c=\ln2$ and combine the right side into a single logarithm.
จงแทน $c=\ln2$ แล้วรวมด้านขวาให้เป็น $\ln$ ตัวเดียว
Answershow ▾
$-\ln t+\ln2=\ln\dfrac{2}{t}$.$-\ln t+\ln2=\ln\dfrac{2}{t}$
Use your warm-up to find $x$, then check your answer at $t=2$.
จงใช้ผลจากข้ออุ่นเครื่องเพื่อหา $x$ แล้วตรวจคำตอบที่ $t=2$
Answershow ▾
$t=2$ gives $x=e^{2/2}=e^{1}=e$, matching the initial condition.$t=2$ ให้ $x=e^{2/2}=e^{1}=e$ ตรงกับเงื่อนไขเริ่มต้น
The variables $x$ and $t$ satisfy $x\ln x+t\dfrac{dx}{dt}=0$, and it is given that $x=e^{2}$ when $t=3$. Solve the differential equation, obtaining an expression for $x$ in terms of $t$, and state what happens to $x$ as $t$ tends to infinity.
ตัวแปร $x$ และ $t$ สอดคล้องกับสมการ $x\ln x+t\dfrac{dx}{dt}=0$ และกำหนดให้ $x=e^{2}$ เมื่อ $t=3$ จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $x$ ในเทอมของ $t$ และระบุว่าเกิดอะไรขึ้นกับ $x$ เมื่อ $t$ เข้าใกล้อนันต์
Answershow ▾
Same four moves; $\ln(\ln e^{2})=\ln2$ this time instead of $\ln(\ln e)=0$.สี่ขั้นเดิม แต่ $\ln(\ln e^{2})=\ln2$ ครั้งนี้ แทนที่จะเป็น $\ln(\ln e)=0$
The variables $x$ and $t$ satisfy the differential equation $x\ln x+t\dfrac{dx}{dt}=0$. It is given that $x=e$ when $t=2$.
(a) Given that $y=\ln\ln x$, show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\ln x}$.
(b) Solve the differential equation obtaining an expression for $x$ in terms of $t$, simplifying your answer.
(c) Hence state what happens to the value of $x$ as $t$ tends to infinity.
ตัวแปร $x$ และ $t$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $x\ln x+t\dfrac{dx}{dt}=0$ กำหนดให้ $x=e$ เมื่อ $t=2$
(ก) กำหนดให้ $y=\ln\ln x$ จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\ln x}$
(ข) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยหานิพจน์ของ $x$ ในเทอมของ $t$ พร้อมจัดรูปคำตอบให้ง่ายที่สุด
(ค) จากนั้นจงระบุว่าเกิดอะไรขึ้นกับค่าของ $x$ เมื่อ $t$ มีค่าเข้าใกล้อนันต์
Answershow ▾
9 marks: one for part (a) (the chain rule), seven for part (b) (separate, integrate, use the initial condition, undo both logs), one for the limit in part (c).9 คะแนน: หนึ่งคะแนนสำหรับข้อ (a) (กฎลูกโซ่) เจ็ดคะแนนสำหรับข้อ (b) (แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น ถอด $\ln$ ทั้งสองชั้น) หนึ่งคะแนนสำหรับลิมิตในข้อ (c)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Model, solve, iterate, then find the end point ตั้งแบบจำลอง แก้สมการ ทำซ้ำ แล้วหาจุดสิ้นสุด
A large plantation of area 20 $\text{km}^{2}$ is becoming infected with a plant disease. At time $t$ years the area infected is $x\ \text{km}^{2}$ and the rate of increase of $x$ is proportional to the ratio of the area infected to the area not yet infected. When $t=0$, $x=1$ and $\dfrac{dx}{dt}=1$.
(a) Show that $x$ and $t$ satisfy the differential equation $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{19x}{20-x}$.
(b) Solve the differential equation and show that when $t=1$ the value of $x$ satisfies the equation $x=e^{0.9+0.05x}$.
(c) Use an iterative formula based on the equation in part (b), with an initial value of 2, to determine $x$ correct to 2 decimal places.
(d) Calculate the value of $t$ at which the entire plantation becomes infected.
ไร่ขนาดใหญ่พื้นที่ 20 ตารางกิโลเมตร กำลังติดโรคพืช (plant disease) ณ เวลา $t$ ปี พื้นที่ที่ติดเชื้อคือ $x$ ตารางกิโลเมตร และอัตราการเพิ่มขึ้น (rate of increase) ของ $x$ แปรผันตรงกับอัตราส่วนของพื้นที่ที่ติดเชื้อต่อพื้นที่ที่ยังไม่ติดเชื้อ เมื่อ $t=0$, $x=1$ และ $\dfrac{dx}{dt}=1$
(ก) จงแสดงว่า $x$ และ $t$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{19x}{20-x}$
(ข) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และแสดงว่าเมื่อ $t=1$ ค่าของ $x$ สอดคล้องกับสมการ $x=e^{0.9+0.05x}$
(ค) จงใช้สูตรทำซ้ำ (iterative formula) จากสมการในข้อ (b) โดยเริ่มจากค่าเริ่มต้น 2 เพื่อหาค่าของ $x$ ถูกต้องถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ง) จงคำนวณค่าของ $t$ ที่ไร่ทั้งหมดติดเชื้อ
$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{kx}{20-x}$. Given that $x=1$ and $\dfrac{dx}{dt}=1$ when $t=0$, find $k$.
$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{kx}{20-x}$ กำหนดให้ $x=1$ และ $\dfrac{dx}{dt}=1$ เมื่อ $t=0$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
Substitute the values, then solve the resulting equation for $k$.แทนค่าลงไปแล้วแก้สมการที่ได้หา $k$
Separate the variables in $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{19x}{20-x}$.
จงแยกตัวแปรในสมการ $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{19x}{20-x}$
Answershow ▾
Flip $\dfrac{20-x}{x}$ into two separate fractions: $\dfrac{20}{x}-\dfrac{x}{x}$.แยก $\dfrac{20-x}{x}$ เป็นสองเศษส่วน: $\dfrac{20}{x}-\dfrac{x}{x}$
Use the iterative formula $x_{n+1}=e^{0.9+0.05x_{n}}$ to find $x_{1}$ from $x_{0}=2$.
จงใช้สูตรทำซ้ำ $x_{n+1}=e^{0.9+0.05x_{n}}$ หาค่า $x_{1}$ จาก $x_{0}=2$
Answershow ▾
Substitute $x_{0}=2$ into the exponent first, then evaluate.แทน $x_{0}=2$ ลงในเอกซ์โพเนนต์ก่อน แล้วค่อยคำนวณ
The rate of increase of the infected area is proportional to the ratio of the infected area to the uninfected area. Which differential equation models this?
(A) $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{kx}{20-x}$
(B) $\dfrac{dx}{dt}=kx(20-x)$
(C) $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{k(20-x)}{x}$
อัตราการเพิ่มขึ้นของพื้นที่ติดเชื้อ แปรผันตรงกับอัตราส่วนของพื้นที่ติดเชื้อต่อพื้นที่ยังไม่ติดเชื้อ จงเลือกสมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นแบบจำลองนี้
(A) $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{kx}{20-x}$
(B) $\dfrac{dx}{dt}=kx(20-x)$
(C) $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{k(20-x)}{x}$
Answershow ▾
"Proportional to the ratio of $A$ to $B$" means $k\times\dfrac{A}{B}$, giving $\dfrac{kx}{20-x}$. (B) models the rate as proportional to the PRODUCT of the two areas, not their ratio; (C) inverts the ratio named in the question."แปรผันตรงกับอัตราส่วนของ $A$ ต่อ $B$" หมายถึง $k\times\dfrac{A}{B}$ จึงได้ $\dfrac{kx}{20-x}$ (B) จำลองอัตราเป็นสัดส่วนกับผลคูณของพื้นที่ทั้งสอง ไม่ใช่อัตราส่วน (C) สลับอัตราส่วนที่โจทย์กำหนดไว้
The iteration gives $x_{n}\to2.834\ldots$, which lies in $(2.825,\,2.835)$. Why does this justify $x=2.83$ to 2 decimal places?
(A) every number in that interval rounds to $2.83$, however many more digits the true limit has
(B) the iteration has only been run $5$ times, so no more accuracy is possible
(C) $2.834$ rounds down at 1 decimal place too
การทำซ้ำได้ $x_{n}\to2.834\ldots$ ซึ่งอยู่ในช่วง $(2.825,\,2.835)$ เหตุใดสิ่งนี้จึงยืนยันว่า $x=2.83$ ถูกต้องถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(A) ทุกจำนวนในช่วงนี้ปัดเศษได้ $2.83$ ไม่ว่าค่าจริงจะมีทศนิยมอีกกี่ตำแหน่ง
(B) ทำซ้ำไปเพียง $5$ ครั้ง จึงไม่สามารถแม่นยำกว่านี้ได้
(C) $2.834$ ปัดเศษลงที่ทศนิยม 1 ตำแหน่งด้วยเช่นกัน
Answershow ▾
The interval $(2.825,2.835)$ is exactly the numbers that round to $2.83$, so landing inside it proves the rounded answer. (B) confuses the iteration count with what the limit rounds to; (C) checks a different decimal place, which proves nothing here.ช่วง $(2.825,2.835)$ คือเซตของจำนวนที่ปัดเศษได้ $2.83$ พอดี การตกในช่วงนี้จึงยืนยันคำตอบที่ปัดแล้ว (B) สับสนจำนวนครั้งที่ทำซ้ำกับค่าที่ลิมิตปัดเศษได้ (C) ตรวจทศนิยมตำแหน่งอื่น ไม่ได้พิสูจน์อะไรตรงนี้
Integrate $\left(\dfrac{20}{x}-1\right)dx=19\,dt$.
จงหาปริพันธ์ของ $\left(\dfrac{20}{x}-1\right)dx=19\,dt$
Answershow ▾
$\int\dfrac{20}{x}\,dx=20\ln x$, and $\int-1\,dx=-x$.$\int\dfrac{20}{x}\,dx=20\ln x$ และ $\int-1\,dx=-x$
Use $t=0,\ x=1$ to find $c$, then substitute $t=1$ and rearrange to show $x=e^{0.9+0.05x}$.
จงใช้ $t=0,\ x=1$ หาค่า $c$ แล้วแทน $t=1$ และจัดรูปเพื่อแสดงว่า $x=e^{0.9+0.05x}$
Answershow ▾
$20\ln1-1=0-1=-1=c$; at $t=1$: $20\ln x-x=18$.$20\ln1-1=0-1=-1=c$; ที่ $t=1$: $20\ln x-x=18$
Continue the iteration from $x_{1}=2.7183$ to find $x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}$.
จงทำซ้ำต่อจาก $x_{1}=2.7183$ เพื่อหา $x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}$
Answershow ▾
$x_{3}=2.8319$
$x_{4}=2.8339$
$x_{5}=2.8342$
Feed each output straight back in as the next input.นำผลลัพธ์แต่ละครั้งไปแทนเป็นค่าตั้งต้นของครั้งถัดไป
State the value of $x$ correct to 2 decimal places, with a reason.
จงระบุค่าของ $x$ ถูกต้องถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง พร้อมเหตุผล
Answershow ▾
The iterations settle inside $(2.825,2.835)$, and every number in that interval rounds to $2.83$.ค่าที่ทำซ้ำได้ลู่เข้าอยู่ในช่วง $(2.825,2.835)$ และทุกจำนวนในช่วงนี้ปัดเศษได้ $2.83$
Using $20\ln x-x=19t-1$ from Build 5, set $x=20$ and find $t$.
โดยใช้ $20\ln x-x=19t-1$ จากข้อ 5 จงแทน $x=20$ แล้วหาค่า $t$
Answershow ▾
The entire plantation is infected when $x$ reaches $20$, the total area.ไร่ทั้งหมดติดเชื้อเมื่อ $x$ มีค่าเท่ากับ $20$ ซึ่งคือพื้นที่ทั้งหมด
A plantation of area $10\ \text{km}^{2}$ is becoming infected. The area infected is $x\ \text{km}^{2}$ at time $t$ years, and the rate of increase of $x$ is proportional to the ratio of the area infected to the area not yet infected. When $t=0$, $x=1$ and $\dfrac{dx}{dt}=1$. (a) Find $k$ in $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{kx}{10-x}$, and show that when $t=1$, $x=e^{0.8+0.1x}$. (b) Using the iterative formula with $x_{0}=2$, find $x$ correct to 2 decimal places. (c) Find $t$ when the entire plantation is infected.
ไร่พื้นที่ $10$ ตารางกิโลเมตร กำลังติดเชื้อ พื้นที่ที่ติดเชื้อคือ $x$ ตารางกิโลเมตร ณ เวลา $t$ ปี และอัตราการเพิ่มขึ้นของ $x$ แปรผันตรงกับอัตราส่วนของพื้นที่ติดเชื้อต่อพื้นที่ยังไม่ติดเชื้อ เมื่อ $t=0$, $x=1$ และ $\dfrac{dx}{dt}=1$ (a) จงหา $k$ ใน $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{kx}{10-x}$ และแสดงว่า เมื่อ $t=1$, $x=e^{0.8+0.1x}$ (b) จงใช้สูตรทำซ้ำโดยเริ่มจาก $x_{0}=2$ หาค่า $x$ ถูกต้องถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง (c) จงหา $t$ เมื่อไร่ทั้งหมดติดเชื้อ
Answershow ▾
(b) $x=3.01$
(c) $t=1.56$(a) $k=9$ แสดงแล้ว
(b) $x=3.01$
(c) $t=1.56$
Same three stages, with $10$ in place of $20$ throughout, so $k=9$ instead of $19$.สามขั้นตอนเดิม แต่ใช้ $10$ แทน $20$ ตลอด ทำให้ $k=9$ แทน $19$
A large plantation of area 20 $\text{km}^{2}$ is becoming infected with a plant disease. At time $t$ years the area infected is $x\ \text{km}^{2}$ and the rate of increase of $x$ is proportional to the ratio of the area infected to the area not yet infected. When $t=0$, $x=1$ and $\dfrac{dx}{dt}=1$.
(a) Show that $x$ and $t$ satisfy the differential equation $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{19x}{20-x}$.
(b) Solve the differential equation and show that when $t=1$ the value of $x$ satisfies the equation $x=e^{0.9+0.05x}$.
(c) Use an iterative formula based on the equation in part (b), with an initial value of 2, to determine $x$ correct to 2 decimal places.
(d) Calculate the value of $t$ at which the entire plantation becomes infected.
ไร่ขนาดใหญ่พื้นที่ 20 ตารางกิโลเมตร กำลังติดโรคพืช (plant disease) ณ เวลา $t$ ปี พื้นที่ที่ติดเชื้อคือ $x$ ตารางกิโลเมตร และอัตราการเพิ่มขึ้น (rate of increase) ของ $x$ แปรผันตรงกับอัตราส่วนของพื้นที่ที่ติดเชื้อต่อพื้นที่ที่ยังไม่ติดเชื้อ เมื่อ $t=0$, $x=1$ และ $\dfrac{dx}{dt}=1$
(ก) จงแสดงว่า $x$ และ $t$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{19x}{20-x}$
(ข) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และแสดงว่าเมื่อ $t=1$ ค่าของ $x$ สอดคล้องกับสมการ $x=e^{0.9+0.05x}$
(ค) จงใช้สูตรทำซ้ำ (iterative formula) จากสมการในข้อ (b) โดยเริ่มจากค่าเริ่มต้น 2 เพื่อหาค่าของ $x$ ถูกต้องถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ง) จงคำนวณค่าของ $t$ ที่ไร่ทั้งหมดติดเชื้อ
Answershow ▾
11 marks: two for part (a), five for part (b) (separate, integrate, use the initial condition, rearrange to the given form), three for part (c) (the iteration, with a reason for the rounding), one for part (d).11 คะแนน: สองคะแนนสำหรับข้อ (a) ห้าคะแนนสำหรับข้อ (b) (แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น จัดรูปให้ตรงตามที่กำหนด) สามคะแนนสำหรับข้อ (c) (การทำซ้ำ พร้อมเหตุผลของการปัดเศษ) หนึ่งคะแนนสำหรับข้อ (d)