Differential equations · practice ladders ชุดไต่ระดับ · สมการเชิงอนุพันธ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Differential equations · separating the variables
Given that $\dfrac{dy}{dx} = -y\cos x$ and $y = 15$ when $x = 0$, find $y$ in terms of $x$.
Show that $\dfrac{dy}{dx} = 2x^2y$ can be separated, writing it in the form $\displaystyle\int \ldots\,dy = \int \ldots\,dx$.
จงแสดงว่าสมการ $\dfrac{dy}{dx} = 2x^2y$ แยกตัวแปรได้ โดยเขียนในรูป $\displaystyle\int \ldots\,dy = \int \ldots\,dx$
Answershow ▾
Every $y$ (including the $dy$) belongs on the left; every $x$ (including the $dx$) belongs on the right. Nothing is integrated yet — this step is purely rearranging.
Integrate both sides of $\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int \left(-2\cos x\right)dx$.
หาปริพันธ์ทั้งสองข้างของ $\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int \left(-2\cos x\right)dx$
Answershow ▾
$\int \frac{1}{y}\,dy = \ln y$, and $\int \cos x\,dx = \sin x$ (times whatever constant is out front). The two integrations each produce their own constant, but those combine into a single $+c$ — write it once, not twice.
The general solution of a differential equation is $\ln y = -2\sin x + c$. Given that $y = 6$ when $x = 0$, find the value of $c$.
Answershow ▾
At $x = 0$, $\sin 0 = 0$, so every term containing $x$ vanishes and the equation collapses straight to $c = \ln 6$.
Both sides of $\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int (-\cos x)\,dx$ are integrated, so each side owns an arbitrary constant. Write the line out with BOTH constants, then say what happens to them and where the single $+c$ that survives should be written.
ทั้งสองข้างของ $\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int (-\cos x)\,dx$ ถูกอินทิเกรต แต่ละข้างจึงมีค่าคงที่ของตัวเอง · เขียนบรรทัดนั้นออกมาโดยใส่ค่าคงที่ทั้งสองตัว แล้วบอกว่ามันเกิดอะไรขึ้น และ $+c$ ตัวเดียวที่เหลือควรเขียนไว้ข้างไหน
Answershow ▾
$c_2 - c_1$ is just another unknown number, so it is renamed $c$ and there is only ever one. Writing a constant on both sides is not wrong, only wasteful; writing none at all is fatal, because question 6 has nothing left to solve for. The A1 pays for the integrated line WITH its constant, and no mark is given for understanding why one constant is enough.$c_2 - c_1$ ก็คือจำนวนที่ไม่รู้ค่าอีกตัวหนึ่ง จึงตั้งชื่อใหม่ว่า $c$ และมีตัวเดียวเสมอ · การเขียนค่าคงที่ทั้งสองข้างไม่ผิด แค่เปลืองบรรทัด แต่การไม่เขียนเลยคือหายนะ เพราะข้อ 6 จะไม่มีอะไรให้หา · A1 ให้กับบรรทัดที่อินทิเกรตแล้วพร้อมค่าคงที่ และไม่มีคะแนนให้กับการเข้าใจว่าทำไมค่าคงที่ตัวเดียวก็พอ
Given that $\dfrac{dy}{dx} = -y\cos x$, separate the variables, writing the equation in the form $\displaystyle\int \ldots\,dy = \int \ldots\,dx$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real coefficient. Divide both sides by $y$, and treat $\dfrac{dy}{dx}$ as a fraction you are allowed to split across the equals sign — this is part of what earns the mark for recognising the equation separates.
Integrate both sides of $\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int \left(-\cos x\right)dx$.
Answershow ▾
Same move as question 2, with the real coefficient. This single line is the heart of the method — everything before it is setup, everything after it is rearranging.
The general solution is $\ln y = -\sin x + c$. Given that $y = 15$ when $x = 0$, find the value of $c$.
คำตอบทั่วไปคือ $\ln y = -\sin x + c$ กำหนดให้ $y = 15$ เมื่อ $x = 0$ จงหาค่าคงตัว $c$
Answershow ▾
Same move as question 3, with the real numbers. This is where the ARBITRARY constant becomes a PARTICULAR one, fixed by the initial condition — the general solution describes infinitely many curves, and this step picks out the one through the given point.
The question says find $y$ in terms of $x$. Three students stop at three different lines. Which one has answered the question, and what is still wrong with the other two?
(A) $\ln y = -\sin x + \ln 15$ (B) $\dfrac{y}{15} = e^{-\sin x}$ (C) $y = 15e^{-\sin x}$
โจทย์สั่งว่า find $y$ in terms of $x$ · นักเรียนสามคนหยุดที่บรรทัดต่างกัน ข้อไหนตอบโจทย์แล้ว และอีกสองข้อยังขาดอะไร
(A) $\ln y = -\sin x + \ln 15$ (B) $\dfrac{y}{15} = e^{-\sin x}$ (C) $y = 15e^{-\sin x}$
Answershow ▾
“In terms of $x$” means $y$ alone on the left and nothing but $x$ on the right. (A) still has $y$ trapped inside a logarithm. (B) has $y$ divided by $15$, so the left-hand side is not $y$. Both are one operation short, and both are extremely common. The final A1 is for the explicit form only; the earlier marks are already banked, and nothing pays for reading the four words that say how far to go."in terms of $x$" แปลว่า $y$ อยู่ตัวเดียวทางซ้าย และทางขวามีแต่ $x$ · (A) ยังติด $y$ อยู่ในลอการิทึม · (B) มี $y$ ถูกหารด้วย $15$ ฝั่งซ้ายจึงไม่ใช่ $y$ · ทั้งสองขาดอีกหนึ่งขั้น และพบบ่อยมาก · A1 สุดท้ายให้กับรูปที่ $y$ อยู่โดด ๆ เท่านั้น คะแนนก่อนหน้าเก็บไปแล้ว และไม่มีคะแนนให้กับการอ่านคำสั่งสี่คำนั้น
Given $\ln y = -\sin x + c$ and $c = \ln 15$, write the solution as a single logarithmic equation with no arbitrary constant remaining.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 chained: substitute the value of $c$ back into the general solution to get $\ln y = -\sin x + \ln 15$, then use $\ln y - \ln 15 = \ln\left(\frac{y}{15}\right)$ to tidy the two logs into one, ready to be undone.
Given $\ln\left(\dfrac{y}{15}\right) = -\sin x$, find $y$ in terms of $x$.
Answershow ▾
Exponentiate both sides — apply $e^{(\cdot)}$ to each side to undo the $\ln$ — then multiply back by 15. Stopping at $\dfrac{y}{15} = e^{\ldots}$ without that last multiplication is the single most common lost mark in this question.
The minus sign in $\dfrac{dy}{dx} = -y\cos x$ is the easiest thing on the page to lose. Without redoing the integration, decide which of $y = 15e^{-\sin x}$ and $y = 15e^{\sin x}$ is right, by putting $x = 0$ into the ORIGINAL equation and asking whether $y$ should be rising or falling there.
เครื่องหมายลบใน $\dfrac{dy}{dx} = -y\cos x$ คือสิ่งที่หายง่ายที่สุดในหน้านี้ · โดยไม่ต้องอินทิเกรตใหม่ จงตัดสินว่า $y = 15e^{-\sin x}$ หรือ $y = 15e^{\sin x}$ ที่ถูก โดยแทน $x = 0$ ลงในสมการเดิม แล้วถามว่าตรงนั้น $y$ ควรกำลังเพิ่มหรือกำลังลด
Answershow ▾
A sign is not something to remember, it is something to test. Substituting the starting values back into the equation you were GIVEN takes one line and catches a lost minus, a lost factor and a wrong constant at once. $15e^{\sin x}$ rises at $x = 0$ and so cannot solve this equation. No mark exists for the check, and the A1 it protects is the last one on the question.เครื่องหมายไม่ใช่สิ่งที่ต้องจำ แต่เป็นสิ่งที่ต้องทดสอบ · การแทนค่าเริ่มต้นกลับเข้าสมการที่โจทย์ให้มาใช้เวลาบรรทัดเดียว แต่จับได้ทั้งเครื่องหมายลบที่หาย ตัวประกอบที่หาย และค่าคงที่ที่ผิด · $15e^{\sin x}$ เพิ่มขึ้นที่ $x = 0$ จึงเป็นคำตอบของสมการนี้ไม่ได้ · ไม่มีคะแนนสำหรับการตรวจ แต่คะแนน A1 ที่มันปกป้องคือคะแนนสุดท้ายของข้อนี้
Given that $\dfrac{dy}{dx} = y\cos x$ and $y = 2$ when $x = 0$, find $y$ in terms of $x$.
Answershow ▾
The exact same five moves as the exam question — separate, integrate, use the initial condition, combine the logs, exponentiate — with the smallest numbers that still show every step.
Given that $\dfrac{dy}{dx} = -y\cos x$ and $y = 15$ when $x = 0$, find $y$ in terms of $x$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is the separation; question 5 is the integration; question 6 finds $c$; questions 7 and 8 chain those together and rearrange to the explicit form.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A1 integrate both sides: $\ln y = -\sin x + c$.
M1 substitute $x = 0$, $y = 15$: $\ln 15 = c$.
A1 $c = \ln 15$.
M1 combine into one logarithm: $\ln\left(\dfrac{y}{15}\right) = -\sin x$.
A1 exponentiate: $\dfrac{y}{15} = e^{-\sin x}$.
A1 $y = 15e^{-\sin x}$.
Differential equations · forming and solving a model
Water is draining from a tank. At time $t$ minutes after draining starts, the volume of water remaining in the tank is $V$ cm³. The rate at which $V$ decreases is proportional to $\sqrt{V}$, with constant of proportionality $4$. When $t = 0$, $V = 100$.
(a) Write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) Find the time taken for the tank to empty, giving your answer correct to 3 significant figures.
A population $P$ increases at a rate proportional to $P$. Using $k$ for the (positive) constant of proportionality, write down a differential equation connecting $\dfrac{dP}{dt}$ and $P$.
ประชากร $P$ เพิ่มขึ้นด้วยอัตราที่แปรผันตรงกับ $P$ โดยให้ $k$ เป็นค่าคงตัวสัดส่วน (เป็นบวก) จงเขียนสมการเชิงอนุพันธ์เชื่อมโยง $\dfrac{dP}{dt}$ กับ $P$
Answershow ▾
'Proportional to' always becomes '$= k \times$', where you introduce the constant $k$ yourself — there is nothing to compute here, only to translate the sentence into symbols.
Find $\displaystyle\int \dfrac{2}{\sqrt{w}}\,dw$.
หา $\displaystyle\int \dfrac{2}{\sqrt{w}}\,dw$
Answershow ▾
Write the integrand as $2w^{-1/2}$, raise the power by 1 (to $w^{1/2} = \sqrt{w}$), and divide by the new power $\frac{1}{2}$ — dividing by a half is the same as multiplying by 2.
The general solution of a differential equation is $2\sqrt{w} = -3t + c$. Given that $w = 64$ when $t = 0$, find the value of $c$.
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือ $2\sqrt{w} = -3t + c$ กำหนดให้ $w = 64$ เมื่อ $t = 0$ จงหาค่าคงตัว $c$
Answershow ▾
At $t = 0$ the right side collapses to $c$ alone; $\sqrt{64} = 8$, so $2\sqrt{w} = 2\times8 = 16 = c$.
Part (a) is one line, and every part of it is a decision. The volume DEcreases, at a rate proportional to $\sqrt{V}$, with constant $4$. Which of these is part (a) — and what does each of the other two model instead?
(A) $\dfrac{dV}{dt} = 4\sqrt{V}$ (B) $\dfrac{dV}{dt} = -4V$ (C) $\dfrac{dV}{dt} = -4\sqrt{V}$
ข้อ (a) มีบรรทัดเดียว แต่ทุกส่วนของมันคือการตัดสินใจ · ปริมาตร "ลดลง" ในอัตราที่แปรผันตรงกับ $\sqrt{V}$ โดยมีค่าคงที่ $4$ · ข้อไหนคือข้อ (a) และอีกสองข้อเป็นแบบจำลองของอะไรแทน
(A) $\dfrac{dV}{dt} = 4\sqrt{V}$ (B) $\dfrac{dV}{dt} = -4V$ (C) $\dfrac{dV}{dt} = -4\sqrt{V}$
Answershow ▾
Two separate readings live in one line: the word “decreases” supplies the minus sign, and the words “proportional to $\sqrt{V}$” decide what sits under the constant. Get either wrong and every later part is still marked, but against the wrong equation. Part (a) is a B1 for the finished line — nothing pays for the two readings that produced it.บรรทัดเดียวนี้มีการอ่านสองอย่างซ่อนอยู่: คำว่า "decreases" ให้เครื่องหมายลบ และคำว่า "proportional to $\sqrt{V}$" ตัดสินว่าอะไรอยู่หลังค่าคงที่ · ถ้าอ่านผิดข้อใดข้อหนึ่ง ส่วนที่เหลือยังถูกตรวจ แต่ตรวจเทียบกับสมการที่ผิด · ข้อ (a) คือ B1 ให้กับบรรทัดที่เขียนเสร็จ ไม่มีคะแนนให้กับการอ่านสองอย่างที่ทำให้ได้บรรทัดนั้น
Water is draining from a tank. At time $t$ minutes after draining starts, the volume of water remaining in the tank is $V$ cm³. The rate at which $V$ decreases is proportional to $\sqrt{V}$, with constant of proportionality $4$. Write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
Answershow ▾
Same translation as question 1, with two differences to watch for: the proportionality here is to $\sqrt{V}$, not $V$ itself, and the volume is DEcreasing, so the constant of proportionality needs a minus sign that question 1's growing population did not.
Given $\dfrac{dV}{dt} = -4\sqrt{V}$, separate the variables and integrate to find the general solution, in terms of an arbitrary constant $c$.
Answershow ▾
Divide both sides by $\sqrt{V}$ and multiply by $dt$ to separate; $\int V^{-1/2}\,dV = 2\sqrt{V}$, exactly as in question 2, and the right side integrates to a straight line in $t$ — the single $+c$ goes on that side only, as always.
Separating puts $\dfrac{1}{\sqrt{V}}$ on the left. Before integrating, rewrite it as a power of $V$ and say which rule you are about to use. Then pick the right integral: is $\displaystyle\int V^{-1/2}\,dV$ equal to (A) $2\sqrt{V}$, (B) $\tfrac{1}{2}\sqrt{V}$, or (C) $\ln\sqrt{V}$?
การแยกตัวแปรทำให้ $\dfrac{1}{\sqrt{V}}$ ไปอยู่ทางซ้าย · ก่อนอินทิเกรต จงเขียนใหม่ในรูปเลขยกกำลังของ $V$ แล้วบอกว่ากำลังจะใช้กฎข้อไหน · จากนั้นเลือกคำตอบที่ถูก: $\displaystyle\int V^{-1/2}\,dV$ เท่ากับ (A) $2\sqrt{V}$ (B) $\tfrac{1}{2}\sqrt{V}$ หรือ (C) $\ln\sqrt{V}$
Answershow ▾
A root is invisible to the power rule until it is written as a power. (C) is the reflex of a student who sees a fraction and reaches for $\ln$ — but $\ln$ belongs to the power $-1$ only, and this power is $-\tfrac12$. (B) divides by the OLD power instead of the new one. Dividing by $\tfrac12$ is multiplying by $2$, which is where the $2$ in $2\sqrt{V}$ comes from. The M1 pays for a correct integration, whichever rule you thought you were using.กฎเลขยกกำลังมองไม่เห็นเครื่องหมายราก จนกว่าจะเขียนมันเป็นเลขยกกำลัง · (C) คือปฏิกิริยาอัตโนมัติของคนที่เห็นเศษส่วนแล้วนึกถึง $\ln$ แต่ $\ln$ เป็นของกำลัง $-1$ เท่านั้น ส่วนกำลังนี้คือ $-\tfrac12$ · (B) หารด้วยกำลังเดิมแทนที่จะเป็นกำลังใหม่ · การหารด้วย $\tfrac12$ คือการคูณด้วย $2$ ซึ่งเป็นที่มาของเลข $2$ ใน $2\sqrt{V}$ · M1 ให้กับการอินทิเกรตที่ถูก ไม่ว่าจะคิดว่าใช้กฎอะไรอยู่
The general solution is $2\sqrt{V} = -4t + c$. Given that $V = 100$ when $t = 0$, find the value of $c$.
Answershow ▾
Same move as question 3, with the real starting volume: $\sqrt{100} = 10$, so $c = 2\times10 = 20$.
Water is draining from a tank. At time $t$ minutes, the volume of water remaining is $V$ cm³, and $\dfrac{dV}{dt} = -4\sqrt{V}$. Given that $V = 100$ when $t = 0$, find $V$ in terms of $t$.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained: separate and integrate to get the general solution, use the initial condition to pin down $c$, then substitute that value back in and rearrange for $\sqrt{V}$ before squaring — squaring too early tangles up the constant with the $\sqrt{V}$ term and loses the mark.
$V = \left(10 - 2t\right)^2$ gives the volume of water left in the tank after $t$ minutes. Find the time taken for the tank to empty, giving your answer correct to 3 significant figures.
Answershow ▾
The tank is empty when $V = 0$, i.e. when $\sqrt{V} = 0$ — set the bracket in the formula for $V$ equal to $0$ and solve for $t$. Working with $\sqrt{V}=0$ avoids an unnecessary square root at the end that solving $V=0$ directly would need.
Substitute $t = 8$ into $V = (10 - 2t)^2$. You get $V = 36$. Is the tank refilling after it empties? State the values of $t$ for which the model may be used, and say what fixes the upper end.
แทน $t = 8$ ลงใน $V = (10 - 2t)^2$ จะได้ $V = 36$ · แปลว่าถังเติมน้ำกลับเองหลังจากแห้งหรือ · จงบอกช่วงค่า $t$ ที่ใช้แบบจำลองนี้ได้ และบอกว่าอะไรเป็นตัวกำหนดปลายบน
Answershow ▾
Squaring gave the model a second, mirrored branch that the physics never had: past $t = 5$ the bracket goes negative and the square turns it positive again. The algebra is right and the meaning is not. Part (c) asks only for the time to empty, so the restriction never appears in the mark scheme — but a student who does not see it will happily answer “when is the tank half full again” on the next paper.การยกกำลังสองสร้างกิ่งที่สองแบบสะท้อนกระจกให้แบบจำลอง ซึ่งไม่มีอยู่จริงในทางฟิสิกส์: หลัง $t = 5$ วงเล็บติดลบ แล้วการยกกำลังสองทำให้กลับเป็นบวกอีก · พีชคณิตถูก แต่ความหมายไม่ถูก · ข้อ (c) ถามแค่เวลาที่ถังแห้ง ข้อจำกัดนี้จึงไม่เคยปรากฏในมาร์คสกีม แต่คนที่มองไม่เห็นจะตอบคำถามแบบ "เมื่อไรถังจะมีน้ำครึ่งถังอีกครั้ง" ในข้อสอบชุดหน้าอย่างสบายใจ
Water is draining from a tank. At time $t$ minutes after draining starts, the volume of water remaining in the tank is $V$ cm³. The rate at which $V$ decreases is proportional to $\sqrt{V}$, with constant of proportionality $2$. When $t = 0$, $V = 16$.
(a) Write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) Find the time taken for the tank to empty, correct to 3 significant figures.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with numbers chosen so every intermediate value is a whole number.
Water is draining from a tank. At time $t$ minutes after draining starts, the volume of water remaining in the tank is $V$ cm³. The rate at which $V$ decreases is proportional to $\sqrt{V}$, with constant of proportionality $4$. When $t = 0$, $V = 100$.
(a) Write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) Find the time taken for the tank to empty, giving your answer correct to 3 significant figures.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 7 finishes part (b) in full; question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 separate: $\displaystyle\int V^{-1/2}\,dV = \int \left(-4\right)dt$ A1 $2\sqrt{V} = -4t + c$ M1 substitute $t = 0$, $V = 100$: $2\times10 = c$ A1 $c = 20$ A1 $V = \left(10 - 2t\right)^2$.
(c) M1 tank empty $\Rightarrow \sqrt{V} = 0 \Rightarrow 10 - 2t = 0$ A1 $t = \dfrac{20}{4} = 5.00$ minutes.