Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Differentiation: Chain, Product & Quotientอนุพันธ์ขั้นสูง (Chain · Product · Quotient)

A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 & Edexcel IAL WMA13 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Power rule · a function inside a functionกฎยกกำลัง · ฟังก์ชันซ้อนในฟังก์ชัน

Chain, product and quotient all start from panel 1.ลูกโซ่ ผลคูณ ผลหาร ทั้งหมดเริ่มจากช่อง 1

  1. From Pure 1: $y=x^{3}-5x$.  Find $\dfrac{dy}{dx}$.จาก Pure 1: $y=x^{3}-5x$  หา $\dfrac{dy}{dx}$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-5$The Pure 1 rule still works: $\frac{d}{dx}\,x^{n}=nx^{n-1}$   $\frac{d}{dx}\,x^{3}=3x^{2}$   $\frac{d}{dx}(-5x)=-5$ Today adds new table rows, then three rules for combining them.กฎ Pure 1 ยังใช้ได้เหมือนเดิม: $\frac{d}{dx}\,x^{n}=nx^{n-1}$   $\frac{d}{dx}\,x^{3}=3x^{2}$   $\frac{d}{dx}(-5x)=-5$ วันนี้เพิ่มแถวใหม่ในตาราง แล้วเรียนกฎรวมอีกสามข้อ
  2. From Functions: $f(x)=x^{5}$, $g(x)=2x+1$.  Which is $fg(x)$?จากบทฟังก์ชัน: $f(x)=x^{5}$, $g(x)=2x+1$  อันไหนคือ $fg(x)$?
    Answer:เฉลย: $fg(x)=(2x+1)^{5}$Inside machine runs first: $fg(x)=f\big(g(x)\big)$   $g(x)=2x+1\ \text{runs first}$   $\Rightarrow\ (2x+1)^{5}$ This exact expression becomes the main example of the lesson.เครื่องข้างในทำงานก่อน: $fg(x)=f\big(g(x)\big)$   $g(x)=2x+1\ \text{runs first}$   $\Rightarrow\ (2x+1)^{5}$ นิพจน์นี้แหละ จะกลายเป็นตัวอย่างหลักของบทนี้

2. New rows in the old tableแถวใหม่ในตารางเดิม

Same method as Pure 1. The table has more rows.วิธีเดิมจาก Pure 1 · แค่ตารางยาวขึ้น

Your Pure 1 table still worksตารางจาก Pure 1 ยังใช้ได้เหมือนเดิม

Row 1 is the power rule from Pure 1. Today adds four rows. Same method.แถว 1 คือกฎยกกำลังจาก Pure 1 · วันนี้เพิ่มอีกสี่แถว · วิธีทำเหมือนเดิม

  1. The curve $y=e^{x}$ has one special property: at every point, the gradient is equal to the height.
    So $\dfrac{dy}{dx}=$ ?    เส้นโค้ง $y=e^{x}$ มีสมบัติพิเศษข้อหนึ่ง: ทุกจุด ความชันเท่ากับความสูง
    ดังนั้น $\dfrac{dy}{dx}=$ ?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{d}{dx}\,e^{x}=e^{x}$$e^{x}$ is its own derivative: $\text{gradient}=\text{height}$   $\frac{d}{dx}\,e^{x}=e^{x}$ That is why $e$ is the base used all through Pure 3.$e^{x}$ ดิฟแล้วได้ตัวเอง: $\text{gradient}=\text{height}$   $\frac{d}{dx}\,e^{x}=e^{x}$ เพราะแบบนี้ Pure 3 จึงใช้ฐาน $e$ ตลอด
  2. $y=2\sin x$.  Find the gradient at $x=\dfrac{\pi}{3}$.$y=2\sin x$  หาความชันที่ $x=\dfrac{\pi}{3}$
    Answer:เฉลย: $2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\times\tfrac12=1$Differentiate, then substitute: $\frac{dy}{dx}=2\cos x$   $2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\times\tfrac12=1$ Degree mode gives $1.9997$. It looks right and loses the mark.ดิฟก่อน แล้วค่อยแทนค่า: $\frac{dy}{dx}=2\cos x$   $2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\times\tfrac12=1$ โหมดองศาได้ $1.9997$ ดูเหมือนถูก แต่เสียคะแนน

3. A machine inside a machineเครื่องซ้อนเครื่อง

Build the chain rule from one example you can check.สร้างกฎลูกโซ่จากตัวอย่างที่ตรวจเองได้หนึ่งข้อ

The familiar line $2x+1$ climbs into a powerเส้น $2x+1$ ตัวเก่าปีนเข้าไปในเลขยกกำลัง

A composite, $fg(x)$. The table alone cannot differentiate it. Expanding five brackets is too slow.นี่คือฟังก์ชันประกอบ $fg(x)$ · ตารางอย่างเดียวดิฟไม่ได้ · กระจายวงเล็บห้าชั้นก็ช้าเกินไป

$y=\sqrt{3x+4}$$y=\sqrt{3x+4}$

  1. $y=(3x+4)^{1/2}$Name the outside and the inside: outside is the power, inside is $3x+4$.ตั้งชื่อข้างนอกข้างใน: ข้างนอกคือเลขยกกำลัง ข้างในคือ $3x+4$
  2. $\frac{dy}{dx}=\tfrac12(3x+4)^{-1/2}$Differentiate the outside. Leave the inside alone.ดิฟข้างนอก · ข้างในคงไว้เหมือนเดิม
  3. $=\tfrac12(3x+4)^{-1/2}\times3$Multiply by the inside’s own derivative, $3$.คูณด้วยดิฟของข้างใน คือ $3$
  4. $=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+4}}$Simplify: a power of $-\tfrac12$ is a square root underneath.จัดให้เรียบ: กำลัง $-\tfrac12$ คือรากที่สองอยู่ข้างล่าง
  1. Test the quick guess on a question you can check.
    $y=(2x)^{3}$ expands to $8x^{3}$, so the true answer is $\dfrac{dy}{dx}=24x^{2}$.
    The quick guess is "differentiate the outer power only". It gives $3(2x)^{2}=12x^{2}$.
    What is the quick guess missing?    ลองเอาการเดาแบบเร็วไปทดสอบกับข้อที่ตรวจได้
    $y=(2x)^{3}$ กระจายได้ $8x^{3}$ คำตอบจริงจึงเป็น $\dfrac{dy}{dx}=24x^{2}$
    การเดาแบบเร็วคือ "ดิฟแค่กำลังข้างนอก" ซึ่งให้ $3(2x)^{2}=12x^{2}$
    การเดาแบบนี้ขาดอะไรไป?
    Answer:เฉลย: a factor of $2$ = the inside's own derivativeตัวคูณ $2$ = อนุพันธ์ของข้างในนั่นเองTimes the inside's derivative: $(2x)^{3}=8x^{3}\ \Rightarrow\ 24x^{2}$   $\text{outer only}:\ 3(2x)^{2}=12x^{2}$   $24x^{2}\div 12x^{2}=2=\frac{d}{dx}(2x)$ Chain rule: derivative of the outside, times derivative of the inside.คูณอนุพันธ์ของข้างในด้วย: $(2x)^{3}=8x^{3}\ \Rightarrow\ 24x^{2}$   $\text{outer only}:\ 3(2x)^{2}=12x^{2}$   $24x^{2}\div 12x^{2}=2=\frac{d}{dx}(2x)$ กฎลูกโซ่: ดิฟข้างนอก คูณ ดิฟข้างใน
  2. The star of the warm-up: $y=(2x+1)^{5}$.  Find $\dfrac{dy}{dx}$.พระเอกจากตอนวอร์มอัพ: $y=(2x+1)^{5}$  หา $\dfrac{dy}{dx}$
    Answer:เฉลย: $5(2x+1)^{4}\times2=10(2x+1)^{4}$Outside, keep inside, times inside: $5(\;\;)^{4}$   $5(2x+1)^{4}$   $5(2x+1)^{4}\times 2=10(2x+1)^{4}$ดิฟนอก · เก็บใน · คูณดิฟใน: $5(\;\;)^{4}$   $5(2x+1)^{4}$   $5(2x+1)^{4}\times 2=10(2x+1)^{4}$

4. Two machines multipliedสองเครื่องคูณกัน

Break the tempting rule, then build the real one.พังกฎที่น่าเชื่อทิ้งก่อน แล้วค่อยสร้างกฎจริง

Grow a rectangle of sides $u$ and $v$ขยายสี่เหลี่ยมที่มีด้าน $u$ กับ $v$

Nothing was invented: area grows by each side’s own share.ไม่ได้มีของใหม่ · พื้นที่โตตามส่วนของแต่ละด้าน

$y=x^{2}\cos x$$y=x^{2}\cos x$

  1. $u=x^{2}$LABEL. $u$ is the part that gets simpler when you differentiate it.ติดป้าย · $u$ คือตัวที่ดิฟแล้วง่ายลง
  2. $v=\cos x$
  3. $\frac{du}{dx}=2x$
  4. $\frac{dv}{dx}=-\sin x$
  5. $\frac{dy}{dx}=2x\cos x+x^{2}(-\sin x)$SUBSTITUTE. Copy the formula with the four pieces in, and stop.แทนค่า · ลอกสูตรใส่ทั้งสี่ชิ้นแล้วหยุด
  6. $=2x\cos x-x^{2}\sin x$EVALUATE. Only now simplify the signs.คิด · ค่อยจัดเครื่องหมายตอนนี้
  1. New situation: $y=x^{2}e^{x}$ has two machines multiplied. Neither is inside the other. Tempting rule: "differentiate each, multiply the answers". Test it on the simplest product, $y=x\cdot x$. What happens?สถานการณ์ใหม่: $y=x^{2}e^{x}$ มีสองเครื่องคูณกัน ไม่มีใครอยู่ข้างในใคร · กฎที่น่าเชื่อ: "ดิฟทีละตัวแล้วเอามาคูณกัน" · ลองกับผลคูณที่ง่ายที่สุด $y=x\cdot x$ · เกิดอะไรขึ้น?
    Answer:เฉลย: It fails — $1\neq2x$.พัง — $1\neq2x$Derivatives of a product do not multiply. The real rule takes turns instead, so never write $u'v'$.อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่เอามาคูณกัน · กฎจริงใช้วิธีผลัดกันดิฟ อย่าเขียน $u'v'$ เด็ดขาด
  2. $y=x^{2}e^{x}$.  Find $\dfrac{dy}{dx}$.$y=x^{2}e^{x}$  หา $\dfrac{dy}{dx}$
    Answer:เฉลย: $2xe^{x}+x^{2}e^{x}=xe^{x}(x+2)$Each factor takes a turn: $u=x^{2},\qquad v=e^{x}$   $u'v=2xe^{x}$   $uv'=x^{2}e^{x}$   $\frac{dy}{dx}=2xe^{x}+x^{2}e^{x}=xe^{x}(x+2)$ Factorising the last line is optional. Both forms are accepted.แต่ละตัวผลัดกันดิฟ: $u=x^{2},\qquad v=e^{x}$   $u'v=2xe^{x}$   $uv'=x^{2}e^{x}$   $\frac{dy}{dx}=2xe^{x}+x^{2}e^{x}=xe^{x}(x+2)$ จะแยกตัวประกอบบรรทัดสุดท้ายหรือไม่ก็ได้ รับทั้งสองแบบ
  3. Spot the rule before touching the pen:  A: $y=xe^{x}$  ·  B: $y=e^{x^{2}}$. Which rule does each need?เลือกกฎให้ถูกก่อนจับปากกา:  A: $y=xe^{x}$  ·  B: $y=e^{x^{2}}$ ต้องใช้กฎอะไรกับข้อไหน?
    Answer:เฉลย: A product · B chainA ผลคูณ · B ลูกโซ่$xe^{x}$ and $e^{x^{2}}$ look alike but need different rules. Before differentiating in P3, ask "times, or inside?"$xe^{x}$ กับ $e^{x^{2}}$ หน้าตาคล้ายกันแต่ใช้คนละกฎ · ก่อนดิฟใน P3 ให้ถามว่า "คูณกัน หรือซ้อนกัน?"

5. Divide — and now order mattersหารกัน — คราวนี้ลำดับสำคัญ

One minus sign changes everything.เครื่องหมายลบตัวเดียวเปลี่ยนทุกอย่าง

A quotient is a product in disguiseผลหารคือผลคูณที่แอบซ่อนอยู่

Nothing new: the product rule, applied to $v^{-1}$.ไม่มีของใหม่ · คือกฎผลคูณที่ใช้กับ $v^{-1}$

Differentiate $y=\dfrac{x}{x^{2}+1}$ดิฟ $y=\dfrac{x}{x^{2}+1}$

  1. $y=\frac{x}{x^{2}+1}$A fraction with $x$ on both floors. Quotient rule.เศษส่วนที่มี $x$ ทั้งบนและล่าง · ใช้กฎการหาร
  2. $u=x$Label before you do anything. $u$ is the TOP.ติดป้ายก่อนลงมือ · $u$ คือตัวบน
  3. $v=x^{2}+1$One naming per line, so nothing gets mixed up later.ตั้งชื่อทีละบรรทัด จะได้ไม่สลับกันตอนแทนค่า
  4. $\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$The minus is why order matters here, unlike the product rule.เครื่องหมายลบทำให้ลำดับสำคัญ · ต่างจากกฎการคูณ
  5. $=\frac{(x^{2}+1)(1)-x(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}$Substitute. Bottom squared, always.แทนค่า · ตัวส่วนยกกำลังสองเสมอ
  6. $=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$$x^{2}+1-2x^{2}=1-x^{2}$. Check: at $x=1$ the gradient is $0$, the top of the curve.$x^{2}+1-2x^{2}=1-x^{2}$ · ตรวจ: ที่ $x=1$ ความชันเป็น $0$ คือยอดของเส้นโค้ง
  1. $y=\dfrac{x^{2}}{x}$ with $u=x^{2}$, $v=x$. Run the numerator both ways. Which order passes the test ($\frac{dy}{dx}=1$)?$y=\dfrac{x^{2}}{x}$ โดย $u=x^{2}$, $v=x$ ลองเศษทั้งสองลำดับ · ลำดับไหนผ่านการทดสอบ ($\frac{dy}{dx}=1$)?
    Answer:เฉลย: $vu'-uv'$ — bottom times dee-top comes first$vu'-uv'$ — ล่างคูณดิฟบน ต้องมาก่อนTest the order on $\frac{x^{2}}{x}$: $\frac{x^{2}}{x}=x\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=1$   $vu'-uv'=x(2x)-x^{2}(1)=x^{2}$   $\frac{x^{2}}{x^{2}}=1\ \checkmark$ Forgot the order? Rebuild it in the margin in ten seconds.ลองลำดับกับ $\frac{x^{2}}{x}$: $\frac{x^{2}}{x}=x\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=1$   $vu'-uv'=x(2x)-x^{2}(1)=x^{2}$   $\frac{x^{2}}{x^{2}}=1\ \checkmark$ ลืมลำดับ? สร้างใหม่ข้างกระดาษ สิบวินาที
  2. $y=\dfrac{2x+1}{x-3}$.  Find $\dfrac{dy}{dx}$, simplified.$y=\dfrac{2x+1}{x-3}$  หา $\dfrac{dy}{dx}$ แบบลดรูปแล้ว
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(x-3)(2)-(2x+1)(1)}{(x-3)^{2}}=\dfrac{-7}{(x-3)^{2}}$The $x$-terms cancel: $\frac{(x-3)(2)-(2x+1)(1)}{(x-3)^{2}}$   $=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^{2}}$   $=\frac{-7}{(x-3)^{2}}$ A constant on top is normal for a line over a line.พจน์ $x$ ตัดกันหมด: $\frac{(x-3)(2)-(2x+1)(1)}{(x-3)^{2}}$   $=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^{2}}$   $=\frac{-7}{(x-3)^{2}}$ เศษเหลือเป็นค่าคงที่ เป็นเรื่องปกติของเส้นตรงหารเส้นตรง

6. When y refuses to be the subjectเมื่อ y ไม่ยอมเป็นตัวตั้ง

Differentiate through, then make dy/dx the subject.ดิฟทะลุทุกพจน์ แล้วทำ dy/dx ให้เป็นตัวตั้ง

The circle will not cooperateวงกลมไม่ยอมร่วมมือ

$y$ as the subject gives two branches. New move: differentiate every term, then make $\frac{dy}{dx}$ the subject.ทำ $y$ เป็นตัวตั้งได้สองกิ่ง · ท่าใหม่: ดิฟทุกพจน์ แล้วค่อยทำ $\frac{dy}{dx}$ เป็นตัวตั้งตอนจบ

$y^{2}+xy=6$$y^{2}+xy=6$

  1. $y^{2}+xy=6$Differentiate every term with respect to $x$.ดิฟทุกพจน์เทียบกับ $x$
  2. $\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\frac{dy}{dx}$Every $y$ picks up $\frac{dy}{dx}$, by the chain rule from earlier.$y$ ทุกตัวได้ $\frac{dy}{dx}$ ติดมา — กฎลูกโซ่จากหัวข้อก่อน
  3. $\frac{d}{dx}(xy)=x\frac{dy}{dx}+y$$xy$ is a product: it needs its own rule too.$xy$ เป็นผลคูณ ต้องใช้กฎผลคูณด้วย
  4. $2y\frac{dy}{dx}+x\frac{dy}{dx}+y=0$Collect the $\frac{dy}{dx}$ terms: move the lone $y$ across.รวบพจน์ $\frac{dy}{dx}$: ย้าย $y$ ตัวเดี่ยวข้ามไป
  5. $2y\frac{dy}{dx}+x\frac{dy}{dx}=-y$
  6. $(2y+x)\frac{dy}{dx}=-y$Factorise $\frac{dy}{dx}$ out of both left-hand terms.แยกตัวประกอบ $\frac{dy}{dx}$ จากทั้งสองพจน์ซ้าย
  7. $\frac{dy}{dx}=\dfrac{-y}{2y+x}$Both $x$ and $y$ stay. The gradient depends on where you are.มีทั้ง $x$ และ $y$ — ความชันขึ้นกับว่าอยู่จุดไหน
  1. Only one question stands in the way: what is $\dfrac{d}{dx}\big(y^{2}\big)$? (Remember: $y$ is secretly a machine of $x$.)เหลือคำถามเดียวที่ขวางทาง: $\dfrac{d}{dx}\big(y^{2}\big)$ คืออะไร? (อย่าลืม: $y$ แอบเป็นเครื่องของ $x$ อยู่)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\,\dfrac{dy}{dx}$Chain rule, used on $y$: $\text{outside}:\ 2y$   $\text{inside}:\ \frac{dy}{dx}$   $\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\,\frac{dy}{dx}$ Every term containing $y$ picks up one $\frac{dy}{dx}$.กฎลูกโซ่ ใช้กับ $y$: $\text{outside}:\ 2y$   $\text{inside}:\ \frac{dy}{dx}$   $\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\,\frac{dy}{dx}$ ทุกพจน์ที่มี $y$ จะได้ $\frac{dy}{dx}$ ติดมาหนึ่งตัว
  2. $x^{2}+y^{2}=25$.  Find $\dfrac{dy}{dx}$ (in terms of $x$ and $y$).$x^{2}+y^{2}=25$  หา $\dfrac{dy}{dx}$ (ตอบในรูป $x$ กับ $y$)
    Answer:เฉลย: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0\;\Rightarrow\;\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$Differentiate through, then rearrange: $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$   $2y\frac{dy}{dx}=-2x$   $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ The gradient depends on where you are, so $x$ and $y$ both stay.ดิฟทั้งสมการ แล้วย้ายข้าง: $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$   $2y\frac{dy}{dx}=-2x$   $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ ความชันขึ้นกับว่าอยู่จุดไหนบนวงกลม คำตอบจึงมีทั้ง $x$ และ $y$
  3. The point $(3,4)$ sits on $x^{2}+y^{2}=25$.  Find the gradient of the tangent to the circle there.จุด $(3,4)$ อยู่บนวงกลม $x^{2}+y^{2}=25$  หาความชันของเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$Two methods, one answer: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}=-\frac{3}{4}$   $\text{radius gradient}=\frac43$   $-\frac{1}{4/3}=-\frac34\ \checkmark$สองวิธี คำตอบเดียวกัน: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}=-\frac{3}{4}$   $\text{radius gradient}=\frac43$   $-\frac{1}{4/3}=-\frac34\ \checkmark$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Parametric curves: the chain rule one last time.เส้นโค้งพาราเมตริก · กฎลูกโซ่รอบสุดท้าย

When the curve arrives in two piecesเมื่อเส้นโค้งมาเป็นสองท่อน

Papers often give $x$ and $y$ in terms of a parameter $t$.ข้อสอบชอบให้ $x$ กับ $y$ มาในรูปพารามิเตอร์ $t$

  1. Quick check on a curve with a known answer: $x=t^{2}$, $y=t^{4}$.  $\dfrac{dy}{dx}=$ ?ตรวจเร็ว ๆ กับข้อที่รู้คำตอบอยู่แล้ว: $x=t^{2}$, $y=t^{4}$  $\dfrac{dy}{dx}=$ ?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=2t^{2}$Divide, never multiply: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{4t^{3}}{2t}=2t^{2}$   $\text{check: }y=x^{2}\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=2x=2t^{2}\ \checkmark$หาร ไม่ใช่คูณ: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{4t^{3}}{2t}=2t^{2}$   $\text{check: }y=x^{2}\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=2x=2t^{2}\ \checkmark$
  2. Exam: A curve has parametric equations $x=t^{2}$, $\;y=t^{3}-3t$. Find the gradient of the normal to the curve at the point where $t=2$.  (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้งมีสมการพาราเมตริก $x=t^{2}$, $\;y=t^{3}-3t$ จงหาความชันของเส้นนอร์มัลของเส้นโค้งที่จุด $t=2$  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}-3}{2t}\Big|_{t=2}=\dfrac94\;\Rightarrow\;\text{normal gradient}=-\dfrac49$6 marks: $\text{M1}\ \ \frac{dy}{dt}=3t^{2}-3$   $\text{M1}\ \ \frac{dx}{dt}=2t$   $\text{M1}\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{3t^{2}-3}{2t}$   $\text{A1}\ \ t=2:\ \frac{dy}{dx}=\frac94$   $\text{M1}\ \ \text{normal}=-\frac{1}{\text{tangent}}$   $\text{A1}\ \ -\frac49$ Stopping at $\frac94$ answers tangent, not normal, and loses two marks.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ \frac{dy}{dt}=3t^{2}-3$   $\text{M1}\ \ \frac{dx}{dt}=2t$   $\text{M1}\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{3t^{2}-3}{2t}$   $\text{A1}\ \ t=2:\ \frac{dy}{dx}=\frac94$   $\text{M1}\ \ \text{normal}=-\frac{1}{\text{tangent}}$   $\text{A1}\ \ -\frac49$ หยุดที่ $\frac94$ คือตอบเส้นสัมผัส ไม่ใช่เส้นตั้งฉาก เสียสองคะแนน
  3. Exam: A curve has parametric equations $x=2t+\ln t$, $\;y=t^{2}-4t$,  $t>0$.  (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้งมีสมการพาราเมตริก $x=2t+\ln t$, $\;y=t^{2}-4t$,  $t>0$  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2t-4}{2+\frac1t}=\dfrac{2t(t-2)}{2t+1}$;  $P=(4+\ln 2,\;-4)$6 marks: $\text{M1}\ \ \frac{dx}{dt}=2+\frac1t$   $\text{M1}\ \ \frac{dy}{dt}=2t-4$   $\text{A1}\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{2t-4}{2+\frac1t}=\frac{2t(t-2)}{2t+1}$   $\text{M1}\ \ \text{parallel to }x\text{-axis}:\ \frac{dy}{dt}=0\ \Rightarrow\ t=2$   $\text{A1}\ \ x=2(2)+\ln 2=4+\ln 2$   $\text{A1}\ \ y=4-8=-4$ $t$ is only a label. Put it back into both equations.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ \frac{dx}{dt}=2+\frac1t$   $\text{M1}\ \ \frac{dy}{dt}=2t-4$   $\text{A1}\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{2t-4}{2+\frac1t}=\frac{2t(t-2)}{2t+1}$   $\text{M1}\ \ \text{parallel to }x\text{-axis}:\ \frac{dy}{dt}=0\ \Rightarrow\ t=2$   $\text{A1}\ \ x=2(2)+\ln 2=4+\ln 2$   $\text{A1}\ \ y=4-8=-4$ $t$ เป็นแค่ตัวกำกับ ต้องแทนกลับทั้งสองสมการ
  4. Find the exact gradient of the curve $y=x^{2}e^{-x}$ at the point where $x=3$.หาความชัน (gradient) ของเส้นโค้ง $y=x^{2}e^{-x}$ ที่จุด $x=3$ แบบค่าตรง ๆ
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=(2x-x^{2})e^{-x}$, so the gradient is $-3e^{-3}$Product outside, chain inside: $x^{2}\ \text{and}\ e^{-x}\ \text{side by side}\ \Rightarrow\ u'v+uv'$   $\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}$   $\frac{dy}{dx}=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=(2x-x^{2})e^{-x}$   $x=3:\ (6-9)e^{-3}=-3e^{-3}$ Chain when one machine is inside another; product when two are multiplied.ข้างนอกผลคูณ ข้างในลูกโซ่: $x^{2}\ \text{and}\ e^{-x}\ \text{side by side}\ \Rightarrow\ u'v+uv'$   $\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}$   $\frac{dy}{dx}=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=(2x-x^{2})e^{-x}$   $x=3:\ (6-9)e^{-3}=-3e^{-3}$ อยู่ข้างในกัน = ลูกโซ่ · คูณกันเฉย ๆ = ผลคูณ

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Differentiate $y=(4x-1)^{3}$.
    Answer:เฉลย: $3(4x-1)^{2}\times4=12(4x-1)^{2}$Identical to the chain-rule worked example, numbers changed. Builds confidence, proves the chant transferred.เหมือนตัวอย่างกฎลูกโซ่ที่ทำไปทุกประการ เปลี่ยนแค่ตัวเลข สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่าบทท่องติดมือไปแล้ว
  2. Differentiate $y=\sqrt{4x+1}$.
    Answer:เฉลย: $y=(4x+1)^{1/2}\Rightarrow\tfrac12(4x+1)^{-1/2}\times4=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}$Same chain rule, outer power is $\tfrac12$ dropping to $-\tfrac12$. Tests careful writing, not understanding.กฎลูกโซ่เดิม กำลังข้างนอกเป็น $\tfrac12$ ลดเหลือ $-\tfrac12$ · วัดความเรียบร้อย ไม่ใช่ความเข้าใจ
  3. $v=\dfrac{t}{t+2}$. Find $\dfrac{dv}{dt}$.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(t+2)(1)-t(1)}{(t+2)^{2}}=\dfrac{2}{(t+2)^{2}}$Quotient rule in new letters. Students who memorised 'y and x' freeze here.กฎผลหารในตัวอักษรใหม่ · เด็กที่ท่องว่า 'y กับ x' จะค้างตรงนี้
  4. $y=x^{2}\ln x$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ and the exact $x$-coordinate of the stationary point.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$;  stationary at $x=e^{-1/2}$Product rule chained into the Pure 1 stationary-point routine, finished with a log equation.กฎผลคูณต่อกิจวัตรหาจุดนิ่งจาก Pure 1 ปิดท้ายด้วยสมการ log
  5. $\dfrac{d}{dx}(ax+b)^{3}=12(4x-1)^{2}$. Find $a$ and $b$.
    Answer:เฉลย: $3a(ax+b)^{2}=12(4x-1)^{2}\Rightarrow a=4,\;b=-1$Given the derivative, rebuild the setup. Procedure-memorisers cannot start this one. It is the best understanding check in the set.ให้อนุพันธ์มา แล้วประกอบโจทย์กลับ · คนที่ท่องขั้นตอนมาจะเริ่มไม่ถูก · ข้อวัดความเข้าใจที่ดีที่สุดในชุด
  6. The curve $x^{2}+3xy+y^{2}=5$ passes through $(1,1)$.  (5 marks) (a)(ก) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$. (b)(ข) Hence find the equation of the tangent at $(1,1)$.
    Answer:เฉลย: (a) $2x+3y+3x\dfrac{dy}{dx}+2y\dfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+3y}{3x+2y}$  (b) gradient $-1$ at $(1,1)$: $y=2-x$Implicit with a product-rule term $3xy$ inside, several parts, marks shown: standard CAIE.implicit ที่มีพจน์กฎผลคูณ $3xy$ ซ่อนอยู่ หลายข้อย่อย มีคะแนนกำกับ ชุดมาตรฐาน CAIE

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี