Differentiation · practice ladders ชุดไต่ระดับ · อนุพันธ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Differentiation · product, quotient and chain rules together
A curve has equation $y = -(x - 3)e^{-3x}$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the exact coordinates of the stationary point on the curve.
(c) Determine, with justification, the nature of this stationary point.
Differentiate $y = e^{2x}$.
หาอนุพันธ์ของ $y = e^{2x}$
Answershow ▾
Chain rule: the exponent is linear, so its own derivative is just the number in front of $x$ — multiply the whole exponential by that number; the exponential itself never changes.
Differentiate $y = (x + 3)e^{x}$.
หาอนุพันธ์ของ $y = (x + 3)e^{x}$
Answershow ▾
Product rule: differentiate each factor on its own, then combine as $u'v + uv'$. The exponential's own derivative needs the chain rule, exactly as in question 1.
Solve $3 - 2x = 0$ for $x$.
แก้สมการ $3 - 2x = 0$ เพื่อหาค่า $x$
Answershow ▾
An exponential is never zero, so whenever a derivative is 'exponential times bracket', only the bracket can vanish — rearrange the bracket alone to make $x$ the subject.
Before differentiating $y = -(x - 3)e^{-3x}$, name what the expression IS. Which of these describes it, and which rule does each one call for?
(A) a product of two functions of $x$ (B) a function of a function (C) a product, with a function of a function inside it
ก่อนหาอนุพันธ์ของ $y = -(x - 3)e^{-3x}$ จงบอกว่านิพจน์นี้ "คืออะไร" · ข้อไหนอธิบายถูก และแต่ละข้อเรียกใช้กฎอะไร
(A) ผลคูณของสองฟังก์ชันของ $x$ (B) ฟังก์ชันซ้อนฟังก์ชัน (C) ผลคูณ ที่ภายในมีฟังก์ชันซ้อนฟังก์ชันอยู่ด้วย
Answershow ▾
(A) alone forgets the $-3$ and produces $-e^{-3x}(x - 2)$; (B) alone treats the whole thing as one chain and never differentiates the bracket. Naming the structure decides which two rules are needed and in which order, before a single symbol is written. The M1 is for a correct use of the product rule; nothing is paid for the decision that told you to use it.ถ้าใช้ (A) อย่างเดียวจะลืมเลข $-3$ แล้วได้ $-e^{-3x}(x - 2)$ · ถ้าใช้ (B) อย่างเดียวจะมองทั้งก้อนเป็นลูกโซ่เดียว แล้วไม่ได้หาอนุพันธ์ของวงเล็บเลย · การเรียกชื่อโครงสร้างเป็นตัวตัดสินว่าต้องใช้กฎสองข้อไหน และเรียงลำดับอย่างไร ก่อนจะเขียนสัญลักษณ์ตัวแรก · M1 ให้กับการใช้กฎผลคูณอย่างถูกต้อง ไม่มีคะแนนให้กับการตัดสินใจที่บอกให้ใช้มัน
A curve has equation $y = -(x - 3)e^{-3x}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
Answershow ▾
Same product-and-chain-rule combination as question 2, with the real numbers: $u = x - 3$, $v = e^{-3x}$, and $v'$ needs the chain rule because of the $-3$ in the exponent. This is part (a).
Given $\dfrac{dy}{dx} = -e^{-3x}\left(10 - 3x\right)$, solve $\dfrac{dy}{dx} = 0$ to find the $x$-coordinate of the stationary point.
Answershow ▾
Same move as question 3: $e^{-3x}$ is never zero, so only the bracket $10 - 3x$ can be. Solve that for $x$ — the first half of part (b).
The curve $y = -(x - 3)e^{-3x}$ has a stationary point where $x = \frac{10}{3}$. Find the exact $y$-coordinate of this point.
Answershow ▾
Substitute back into the ORIGINAL equation for $y$, not into $\dfrac{dy}{dx}$ — and leave the answer exact, in terms of $e$, rather than rounding it. This finishes part (b).
Part (b) asks for the exact coordinates. Your calculator gives $y = -1.514 \times 10^{-5}$. Which of these three lines answers the question, and what is wrong with the other two?
(A) $\left(3.33,\; -1.51 \times 10^{-5}\right)$ (B) $\left(\dfrac{10}{3},\; -0.0000151\right)$ (C) $\left(\dfrac{10}{3},\; -\dfrac{1}{3e^{10}}\right)$
ข้อ (b) ถามพิกัดแบบ exact · เครื่องคิดเลขให้ $y = -1.514 \times 10^{-5}$ · ข้อไหนตอบโจทย์ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $\left(3.33,\; -1.51 \times 10^{-5}\right)$ (B) $\left(\dfrac{10}{3},\; -0.0000151\right)$ (C) $\left(\dfrac{10}{3},\; -\dfrac{1}{3e^{10}}\right)$
Answershow ▾
“Exact” means no rounding anywhere: a fraction stays a fraction and $e$ stays $e$. (A) rounds both coordinates; (B) keeps $x$ exact and then throws $y$ away to a decimal, which is the commonest half-answer. A number this small also rounds to $0$ on a careless display, so the exact form is the only one that survives being read back. The A1 is for the exact pair; nothing pays for noticing the single word that demanded it."exact" แปลว่าห้ามปัดเศษที่ใดเลย: เศษส่วนคงเป็นเศษส่วน และ $e$ คงเป็น $e$ · (A) ปัดทั้งสองพิกัด · (B) เก็บ $x$ ไว้แบบแน่นอน แล้วทิ้ง $y$ เป็นทศนิยม ซึ่งเป็นการตอบครึ่งเดียวที่พบบ่อยที่สุด · ตัวเลขที่เล็กขนาดนี้ยังปัดเป็น $0$ ได้ถ้าอ่านหน้าจอแบบไม่ระวัง รูปที่แน่นอนจึงเป็นรูปเดียวที่อ่านกลับมาแล้วยังอยู่ครบ · A1 ให้กับคู่พิกัดที่แน่นอน ไม่มีคะแนนให้กับการเห็นคำสั่งคำเดียวที่เรียกร้องมัน
Given $\dfrac{dy}{dx} = -e^{-3x}\left(10 - 3x\right)$, find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
Answershow ▾
Differentiate $\dfrac{dy}{dx}$ again with the product rule, exactly as in question 4 — it is itself a product of a bracket and an exponential.
Part (c) says determine the nature with justification. Match each to what it means: (i) $\dfrac{d^2y}{dx^2} \gt 0$ · (ii) $\dfrac{d^2y}{dx^2} \lt 0$ · (iii) $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 0$. Then say which of these two answers earns the justification: (A) “minimum” (B) “$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{3}{e^{10}} \gt 0$, so minimum”.
ข้อ (c) สั่งให้บอกชนิดของจุด พร้อมเหตุผล · จับคู่ความหมาย: (i) $\dfrac{d^2y}{dx^2} \gt 0$ · (ii) $\dfrac{d^2y}{dx^2} \lt 0$ · (iii) $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 0$ · แล้วบอกว่าคำตอบข้อไหนได้คะแนนส่วนเหตุผล: (A) "minimum" (B) "$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{3}{e^{10}} \gt 0$ ดังนั้นเป็น minimum"
Answershow ▾
The sign convention runs the opposite way to most students’ first guess, because a POSITIVE second derivative means the gradient is increasing, which is what a valley does. Case (iii) proves nothing at all and needs the gradient either side instead. “With justification” means the number and its sign have to appear on the page: the A1 pays for the stated value and the conclusion together, and a bare “minimum” — even when it is right — scores nothing.ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายสวนทางกับที่นักเรียนส่วนใหญ่เดาไว้ครั้งแรก เพราะอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นบวกแปลว่าความชันกำลังเพิ่มขึ้น ซึ่งคือสิ่งที่หุบเขาทำ · กรณี (iii) ไม่พิสูจน์อะไรเลย ต้องไปดูความชันสองข้างแทน · คำว่า "with justification" แปลว่าตัวเลขและเครื่องหมายต้องปรากฏบนกระดาษ: A1 ให้กับค่าที่เขียนไว้พร้อมข้อสรุป และการเขียนแค่ "minimum" แม้จะถูก ก็ไม่ได้คะแนน
Using $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 3e^{-3x}\left(11 - 3x\right)$, determine the nature of the stationary point at $x = \frac{10}{3}$.
Answershow ▾
$\dfrac{d^2y}{dx^2} \gt 0$ means minimum; $\dfrac{d^2y}{dx^2} \lt 0$ means maximum — the sign convention itself, not the arithmetic, is what this question tests. This is part (c).
A curve has equation $y = (x - 1)e^{-x}$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the exact coordinates of the stationary point on the curve.
(c) Determine, with justification, the nature of this stationary point.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with the smallest numbers that still make the point.
A curve has equation $y = -(x - 3)e^{-3x}$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the exact coordinates of the stationary point on the curve.
(c) Determine, with justification, the nature of this stationary point.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); questions 7 and 8 build part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Differentiation · connected rates of change
A spherical balloon is inflated so that its volume increases at a constant rate of $5$ cm$^3$ per second.
(a) Given that a sphere of radius $r$ cm has volume $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, find $\dfrac{dV}{dr}$.
(b) Write down the equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$, $\dfrac{dV}{dr}$ and $\dfrac{dr}{dt}$, and hence show that $\dfrac{dr}{dt} = \frac{5}{4 \pi r^{2}}$.
(c) Find the exact rate of increase of the radius at the instant when $r = 5$ cm.
If $\dfrac{dy}{dx} = 2$ and $\dfrac{dx}{dt} = 4$, find $\dfrac{dy}{dt}$.
ถ้า $\dfrac{dy}{dx} = 2$ และ $\dfrac{dx}{dt} = 4$ จงหา $\dfrac{dy}{dt}$
Answershow ▾
The chain rule for connected rates: $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\times\dfrac{dx}{dt}$ — multiply the two known rates together. This one idea drives every 'rate of change' question.
A solid has volume $V = 2r^3$. Find $\dfrac{dV}{dr}$.
ทรงตันชิ้นหนึ่งมีปริมาตร $V = 2r^3$ จงหา $\dfrac{dV}{dr}$
Answershow ▾
Same power rule as any other differentiation: multiply by the power, then reduce the power by one. The letter is $r$ instead of $x$; nothing else changes.
A balloon is inflated so that its volume increases at a constant rate of $6$ cm$^3$ per second. Using calculus notation, write down what you are GIVEN, and what you WANT to find, if the question asks for the rate of increase of the radius when $r = 3$ cm.
ลูกโป่งใบหนึ่งพองตัวจนปริมาตรเพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่ $6$ ลูกบาศก์ซม.ต่อวินาที จงเขียนในรูปสัญลักษณ์แคลคูลัสว่าโจทย์ 'กำหนด' อะไรมาให้ และ 'ต้องการ' หาอะไร ถ้าโจทย์ถามหาอัตราการเพิ่มของรัศมีขณะที่ $r = 3$ ซม.
Answershow ▾
Before any calculus happens, turn the words into symbols: a 'rate of change of volume' is $\dfrac{dV}{dt}$, and whatever the question asks you to find is the 'want'. Getting this step right decides which formula you differentiate.
You are given $\dfrac{dV}{dt}$ and you want $\dfrac{dr}{dt}$. A sphere comes with three formulas. Which one do you differentiate, and with respect to which letter — and what would the other two give you instead?
(A) $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ (B) $A = 4\pi r^2$ (C) $C = 2\pi r$
โจทย์ให้ $\dfrac{dV}{dt}$ มา และต้องการ $\dfrac{dr}{dt}$ · ทรงกลมมีสูตรอยู่สามสูตร · ต้องหาอนุพันธ์ของสูตรไหน เทียบกับตัวอักษรไหน และอีกสองสูตรจะให้อะไรแทน
(A) $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ (B) $A = 4\pi r^2$ (C) $C = 2\pi r$
Answershow ▾
The chain you are about to build is $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$, and it names its own missing link: the only derivative you do not have is $\dfrac{dV}{dr}$. So the formula to differentiate is the one that connects the two letters already in the chain, and the letter to differentiate with respect to is the one the wanted rate is measured against. Choosing the surface area because the question mentions a balloon is the classic wrong turn — and part (a) is a B1 for $4\pi r^2$ however you decided to get there.ลูกโซ่ที่กำลังจะสร้างคือ $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$ และมันบอกเองว่าขาดชิ้นไหน: อนุพันธ์เดียวที่ยังไม่มีคือ $\dfrac{dV}{dr}$ · สูตรที่ต้องหาอนุพันธ์จึงเป็นสูตรที่เชื่อมตัวอักษรสองตัวที่อยู่ในลูกโซ่แล้ว และตัวที่ใช้หาอนุพันธ์เทียบคือตัวที่อัตราที่ต้องการวัดเทียบกับมัน · การเลือกพื้นที่ผิวเพราะโจทย์พูดถึงลูกโป่งคือทางเลี้ยวผิดคลาสสิก และข้อ (a) คือ B1 ให้กับ $4\pi r^2$ ไม่ว่าจะตัดสินใจมาอย่างไร
A spherical balloon is inflated at a constant rate of $5$ cm$^3$ per second. Using calculus notation, write down what you are GIVEN, and what you WANT to find (the rate of increase of the radius when $r = 5$ cm).
Answershow ▾
Same move as question 3, with the real numbers from the exam question. Naming the given and wanted rates first stops you guessing which formula to differentiate.
A sphere of radius $r$ cm has volume $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$. Find $\dfrac{dV}{dr}$.
Answershow ▾
Same power rule as question 2 — $\dfrac{4}{3}\pi$ is just a fixed multiplier, exactly like the constant in question 2. This is part (a).
Given $\dfrac{dV}{dt} = 5$ and $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$, write down the equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$, $\dfrac{dV}{dr}$ and $\dfrac{dr}{dt}$, and hence find $\dfrac{dr}{dt}$ in terms of $r$.
Answershow ▾
Same chain rule as question 1, rearranged to make $\dfrac{dr}{dt}$ the subject instead of $\dfrac{dy}{dt}$. This is part (b).
Two chains are written down. Both are true. Which one can you actually use here, and why is the other useless at this moment?
(A) $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$ (B) $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{dr}{dV}\times\dfrac{dV}{dt}$
มีลูกโซ่เขียนไว้สองแบบ ถูกทั้งคู่ · แบบไหนใช้ได้จริงตรงนี้ และอีกแบบทำไมยังใช้ไม่ได้ตอนนี้
(A) $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$ (B) $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{dr}{dV}\times\dfrac{dV}{dt}$
Answershow ▾
(B) is not wrong; it is a longer road, because $\dfrac{dr}{dV} = 1 \div \dfrac{dV}{dr}$ and the inversion is one more place to slip. (A) uses the two derivatives you already have and leaves the wanted one as the only unknown, so the last step is ordinary division. Part (b) is a “show that”, so the chain has to be WRITTEN before it is used; the M1 pays for the written chain, and nothing pays for picking the version that avoids an extra inversion.(B) ไม่ผิด แต่เป็นทางที่ยาวกว่า เพราะ $\dfrac{dr}{dV} = 1 \div \dfrac{dV}{dr}$ และการกลับเศษส่วนคือจุดพลาดเพิ่มอีกหนึ่งจุด · (A) ใช้อนุพันธ์สองตัวที่มีอยู่แล้ว และเหลือตัวที่ต้องการเป็นตัวไม่รู้ค่าเพียงตัวเดียว ขั้นสุดท้ายจึงเป็นแค่การหาร · ข้อ (b) เป็นแบบ "show that" ลูกโซ่จึงต้องถูกเขียนออกมาก่อนใช้ · M1 ให้กับลูกโซ่ที่เขียนไว้ และไม่มีคะแนนให้กับการเลือกแบบที่เลี่ยงการกลับเศษส่วน
A spherical balloon of radius $r$ cm is inflated at a constant rate of $5$ cm$^3$ per second. Show that $\dfrac{dr}{dt} = \frac{5}{4 \pi r^{2}}$.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 chained together: differentiate the volume formula, then rearrange the chain-rule equation for $\dfrac{dr}{dt}$. This is parts (a) and (b) in full.
Given $\dfrac{dr}{dt} = \frac{5}{4 \pi r^{2}}$, find the exact rate of increase of the radius at the instant when $r = 5$ cm.
กำหนด $\dfrac{dr}{dt} = \frac{5}{4 \pi r^{2}}$ จงหาอัตราการเพิ่มของรัศมีที่แท้จริง ขณะที่ $r = 5$ ซม.
Answershow ▾
Substitute $r = 5$ into the expression from question 7 and simplify — leave the answer exact, as a fraction involving $\pi$, rather than a decimal. This is part (c).
Part (c) asks for the exact rate. Which of these three is the answer, and what is missing or wrong in the other two?
(A) $0.0159$ (B) $\dfrac{1}{20\pi}$ (C) $\dfrac{1}{20\pi}$ cm/s
ข้อ (c) ถามอัตราแบบ exact · ข้อไหนคือคำตอบ และอีกสองข้อขาดอะไรหรือผิดตรงไหน
(A) $0.0159$ (B) $\dfrac{1}{20\pi}$ (C) $\dfrac{1}{20\pi}$ cm/s
Answershow ▾
“Exact” rules out (A) at once: a decimal has already thrown $\pi$ away. (B) is the right number with nothing to say what it measures, and a rate always carries its unit — here centimetres per second, because $r$ is in cm and $t$ in seconds, read straight off the two quantities in the chain. Boards differ on how strictly they insist, but the mark is written for the exact value, and no mark at all is written for choosing between a decimal and a fraction."exact" ตัด (A) ทิ้งทันที เพราะทศนิยมทิ้ง $\pi$ ไปแล้ว · (B) เป็นตัวเลขที่ถูกแต่ไม่มีอะไรบอกว่ามันวัดอะไร และอัตราต้องมีหน่วยเสมอ ที่นี่คือเซนติเมตรต่อวินาที เพราะ $r$ มีหน่วยเป็น cm และ $t$ เป็นวินาที อ่านได้ตรง ๆ จากสองปริมาณในลูกโซ่ · แต่ละบอร์ดเข้มงวดไม่เท่ากัน แต่คะแนนเขียนไว้สำหรับค่าที่แน่นอน และไม่มีคะแนนใดเขียนไว้ให้กับการเลือกระหว่างทศนิยมกับเศษส่วน
A spherical balloon is inflated so that its volume increases at a constant rate of $2$ cm$^3$ per second.
(a) Given that a sphere of radius $r$ cm has volume $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, find $\dfrac{dV}{dr}$.
(b) Write down the equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$, $\dfrac{dV}{dr}$ and $\dfrac{dr}{dt}$, and hence show that $\dfrac{dr}{dt} = \frac{1}{2 \pi r^{2}}$.
(c) Find the exact rate of increase of the radius at the instant when $r = 1$ cm.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with the smallest numbers that still make the point.
A spherical balloon is inflated so that its volume increases at a constant rate of $5$ cm$^3$ per second.
(a) Given that a sphere of radius $r$ cm has volume $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, find $\dfrac{dV}{dr}$.
(b) Write down the equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$, $\dfrac{dV}{dr}$ and $\dfrac{dr}{dt}$, and hence show that $\dfrac{dr}{dt} = \frac{5}{4 \pi r^{2}}$.
(c) Find the exact rate of increase of the radius at the instant when $r = 5$ cm.
Answershow ▾
7 marks. Question 5 is part (a); question 6 is part (b); question 8 is part (c). Question 4 identifies what the question is even asking before any of that starts.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quotient that is always falling ผลหารที่มีอนุพันธ์เป็นลบตลอด
Let $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$. Show that $f'(x)\lt 0$ for all $x$ in the interval $-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{3\pi}{2}$.
กำหนดให้ $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ จงแสดงว่า $f'(x)\lt 0$ สำหรับทุกค่า $x$ ในช่วง $-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{3\pi}{2}$
Let $u=\cos x$ and $v=1+\sin x$. Find $u'$ and $v'$.
กำหนด $u=\cos x$ และ $v=1+\sin x$ จงหา $u'$ และ $v'$
Answershow ▾
Differentiate $\cos x$ and $\sin x$ directly.หาอนุพันธ์ของ $\cos x$ และ $\sin x$ ตรงๆ
Simplify $-\sin^{2}x-\cos^{2}x$ using $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$.
จงจัดรูป $-\sin^{2}x-\cos^{2}x$ โดยใช้ $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
Answershow ▾
Factor out the minus sign first, then use the identity.ดึงเครื่องหมายลบออกก่อน แล้วใช้เอกลักษณ์
Since $-1\leqslant\sin x\leqslant1$ for all $x$, state the sign of $1+\sin x$.
เนื่องจาก $-1\leqslant\sin x\leqslant1$ สำหรับทุกค่า $x$ จงบอกเครื่องหมายของ $1+\sin x$
Answershow ▾
Add $1$ to every part of $-1\leqslant\sin x\leqslant1$.บวก $1$ เข้าไปทุกส่วนของ $-1\leqslant\sin x\leqslant1$
$f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ differentiates to $f'(x)=-\dfrac{1}{1+\sin x}$. To prove $f'(x)\lt0$ for EVERY $x$ in the interval, pick the way to argue it.
(A) show the simplified form is $-1$ over a denominator that is never $0$ or negative there
(B) substitute a few values of $x$ in the interval and check they come out negative
(C) sketch the graph of $f(x)$ and read off where it looks like it is going down
$f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ มีอนุพันธ์ $f'(x)=-\dfrac{1}{1+\sin x}$ จะพิสูจน์ว่า $f'(x)\lt0$ สำหรับทุกค่า $x$ ในช่วงนี้ จงเลือกวิธีให้เหตุผล
(A) แสดงว่ารูปที่จัดง่ายแล้วคือ $-1$ ส่วนด้วยตัวส่วนที่ไม่เป็น $0$ หรือลบในช่วงนี้เลย
(B) แทนค่า $x$ บางค่าในช่วงนี้ แล้วตรวจว่าได้ผลลบ
(C) วาดกราฟ $f(x)$ แล้วดูว่าช่วงไหนที่กราฟลดลง
Answershow ▾
(B) only checks finitely many points, never all $x$ in an interval. (C) is not a proof - the exam needs the algebra shown, not a picture.(B) ตรวจได้แค่บางจุด ไม่ใช่ทุกค่า $x$ ในช่วง (C) ไม่ใช่การพิสูจน์ โจทย์ต้องการแสดงพีชคณิต ไม่ใช่ภาพวาด
Use the quotient rule on $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ to write $f'(x)$. Do not simplify yet.
จงใช้กฎผลหารกับ $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ เพื่อเขียน $f'(x)$ ยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
$u'v-uv'$, all over $v^{2}$.$u'v-uv'$ ทั้งหมด ส่วนด้วย $v^{2}$
Expand the numerator $-\sin x(1+\sin x)-\cos x(\cos x)$.
จงกระจายตัวเศษ $-\sin x(1+\sin x)-\cos x(\cos x)$
Answershow ▾
Multiply out the bracket, then write $\cos x(\cos x)$ as $\cos^{2}x$.กระจายวงเล็บ แล้วเขียน $\cos x(\cos x)$ เป็น $\cos^{2}x$
Using question 2, $-\sin^{2}x-\cos^{2}x=-1$, so $f'(x)=\dfrac{-\sin x-1}{(1+\sin x)^{2}}$. Factor the top and cancel.
จากข้อ 2 จะได้ $-\sin^{2}x-\cos^{2}x=-1$ ดังนั้น $f'(x)=\dfrac{-\sin x-1}{(1+\sin x)^{2}}$ จงแยกตัวประกอบตัวเศษแล้วตัดกัน
Answershow ▾
$-\sin x-1=-(1+\sin x)$, the same bracket as one factor of the denominator.$-\sin x-1=-(1+\sin x)$ ซึ่งเป็นตัวประกอบเดียวกับตัวส่วน
Combine $f'(x)=-\dfrac{1}{1+\sin x}$ with question 3's result to state the sign of $f'(x)$ throughout the interval.
จงรวม $f'(x)=-\dfrac{1}{1+\sin x}$ กับผลลัพธ์ข้อ 3 เพื่อบอกเครื่องหมายของ $f'(x)$ ตลอดช่วง
Answershow ▾
A negative number divided by a positive number is negative.จำนวนลบหารด้วยจำนวนบวก ได้ผลเป็นลบ
Check: evaluate $f'(0)$ from the unsimplified quotient-rule form, and again from $-\dfrac{1}{1+\sin x}$. Confirm the two values match.
จงตรวจ: คำนวณ $f'(0)$ จากรูปกฎผลหารที่ยังไม่จัดรูป แล้วคำนวณอีกครั้งจาก $-\dfrac{1}{1+\sin x}$ แล้วยืนยันว่าได้ค่าตรงกัน
Answershow ▾
A numeric check like this catches an algebra slip before the exam does.การตรวจด้วยตัวเลขแบบนี้ช่วยจับข้อผิดพลาดทางพีชคณิตก่อนถึงห้องสอบ
Let $g(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$. Show that $g'(x)\gt0$ for all $x$ in $-\pi\lt x\lt\pi$.
กำหนด $g(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ จงแสดงว่า $g'(x)\gt0$ สำหรับทุกค่า $x$ ในช่วง $-\pi\lt x\lt\pi$
Answershow ▾
Same method: quotient rule, then the Pythagorean identity, then the sign of the denominator.วิธีเดิม: กฎผลหาร แล้วใช้เอกลักษณ์พีทาโกรัส แล้วดูเครื่องหมายของตัวส่วน
Let $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$. Show that $f'(x)\lt 0$ for all $x$ in the interval $-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{3\pi}{2}$.
กำหนดให้ $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ จงแสดงว่า $f'(x)\lt 0$ สำหรับทุกค่า $x$ ในช่วง $-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{3\pi}{2}$
Answershow ▾
4 marks: the quotient rule, simplifying with the identity, and justifying the sign.4 คะแนน: กฎผลหาร การจัดรูปด้วยเอกลักษณ์ และการให้เหตุผลเรื่องเครื่องหมาย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A product that needs a tangent ผลคูณที่ต้องหาเส้นสัมผัส
The diagram shows the curve $y=x\cos 2x$, for $x\ge 0$.
Find the equation of the tangent to the curve at the point where $x=\dfrac{\pi}{2}$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $y=x\cos 2x$ สำหรับ $x\ge 0$
หาสมการเส้นสัมผัส (tangent) กับเส้นโค้งที่จุดซึ่ง $x=\dfrac{\pi}{2}$
Use the chain rule to differentiate $v=\cos 2x$.
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ $v=\cos 2x$
Answershow ▾
Differentiate the outside function, then multiply by the derivative of $2x$.หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นนอกก่อน แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของ $2x$
Evaluate $\cos\pi$ and $\sin\pi$.
จงหาค่า $\cos\pi$ และ $\sin\pi$
Answershow ▾
$x=\pi$ is halfway round the unit circle.$x=\pi$ คือครึ่งรอบของวงกลมหนึ่งหน่วย
State the equation of a line through $(x_1,y_1)$ with gradient $m$.
จงบอกสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $(x_1,y_1)$ และมีความชัน $m$
Answershow ▾
One point and one gradient fix a line.จุดหนึ่งจุดกับความชันหนึ่งค่า กำหนดเส้นตรงได้
The curve is $y=x\cos2x$. To differentiate it, pick the first move.
(A) product rule - $x$ and $\cos2x$ are two different functions of $x$, multiplied
(B) chain rule only - treat $x\cos2x$ as one function built from $2x$
(C) quotient rule - rewrite as $y=\dfrac{x}{\sec2x}$ first
เส้นโค้งคือ $y=x\cos2x$ จะหาอนุพันธ์ จงเลือกขั้นแรก
(A) กฎผลคูณ (product rule) - $x$ กับ $\cos2x$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ คนละตัว คูณกันอยู่
(B) กฎลูกโซ่ (chain rule) อย่างเดียว - มอง $x\cos2x$ เป็นฟังก์ชันเดียวที่สร้างจาก $2x$
(C) กฎผลหาร (quotient rule) - เขียนใหม่เป็น $y=\dfrac{x}{\sec2x}$ ก่อน
Answershow ▾
(B) the chain rule alone cannot see the $x$ that is multiplying $\cos2x$, so it drops a whole term. (C) is valid but turns one trig derivative into two, with more places to slip.(B) กฎลูกโซ่อย่างเดียวมองไม่เห็น $x$ ที่คูณอยู่กับ $\cos2x$ จึงหายไปทั้งพจน์ (C) ทำได้แต่ทำให้ต้อง หาอนุพันธ์ตรีโกณสองครั้งแทนครั้งเดียว มีจุดพลาดมากขึ้น
Use the product rule on $y=x\cos2x$ to write $\dfrac{dy}{dx}$.
จงใช้กฎผลคูณกับ $y=x\cos2x$ เพื่อเขียน $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
$\dfrac{dy}{dx}=(1)\cos2x+x(-2\sin2x)$.$\dfrac{dy}{dx}=(1)\cos2x+x(-2\sin2x)$
Substitute $x=\dfrac{\pi}{2}$ into $\dfrac{dy}{dx}=\cos2x-2x\sin2x$ to find the gradient.
จงแทน $x=\dfrac{\pi}{2}$ ใน $\dfrac{dy}{dx}=\cos2x-2x\sin2x$ เพื่อหาความชัน
Answershow ▾
$2x=\pi$, so use $\cos\pi$ and $\sin\pi$ from question 2.$2x=\pi$ ดังนั้นใช้ $\cos\pi$ และ $\sin\pi$ จากข้อ 2
Substitute $x=\dfrac{\pi}{2}$ into $y=x\cos2x$ to find $y$.
จงแทน $x=\dfrac{\pi}{2}$ ใน $y=x\cos2x$ เพื่อหา $y$
Answershow ▾
$\cos\pi=-1$ from question 2.$\cos\pi=-1$ จากข้อ 2
The figure shows $y=x\cos2x$ for $x\ge0$. Read off the coordinates of the marked point, where $x=\dfrac{\pi}{2}$, and check it against questions 5 and 6.
รูปแสดงเส้นโค้ง $y=x\cos2x$ สำหรับ $x\ge0$ จงอ่านพิกัดของจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ ซึ่ง $x=\dfrac{\pi}{2}$ แล้วตรวจกับข้อ 5 และ 6
Answershow ▾
The $y$-value on the graph matches the $-\tfrac{\pi}{2}$ from question 6.ค่า $y$ บนกราฟตรงกับ $-\tfrac{\pi}{2}$ จากข้อ 6
Using $m=-1$ and the point $\left(\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}\right)$, write the equation of the tangent in the form $y=\ldots$, then check the point satisfies it.
จงใช้ $m=-1$ กับจุด $\left(\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}\right)$ เขียนสมการเส้นสัมผัสในรูป $y=\ldots$ แล้วตรวจว่าจุดนี้สอดคล้องกับสมการ
Answershow ▾
$-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}$, so the point lies on the line.$-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}$ จุดนี้จึงอยู่บนเส้นตรงนั้น
Find the equation of the tangent to $y=x\sin2x$ at the point where $x=\dfrac{\pi}{4}$.
จงหาสมการเส้นสัมผัสของ $y=x\sin2x$ ที่จุดซึ่ง $x=\dfrac{\pi}{4}$
Answershow ▾
Same four moves: product rule, evaluate the gradient, evaluate $y$, then point-slope.สี่ขั้นเดิม: กฎผลคูณ หาความชัน หาค่า $y$ แล้วใช้สมการจุด-ความชัน
The diagram shows the curve $y=x\cos 2x$, for $x\ge 0$.
Find the equation of the tangent to the curve at the point where $x=\dfrac{\pi}{2}$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $y=x\cos 2x$ สำหรับ $x\ge 0$
หาสมการเส้นสัมผัส (tangent) กับเส้นโค้งที่จุดซึ่ง $x=\dfrac{\pi}{2}$
Answershow ▾
4 marks: the product rule, the gradient and $y$-value at $x=\dfrac{\pi}{2}$, and the tangent line.4 คะแนน: กฎผลคูณ ความชันและค่า $y$ ที่ $x=\dfrac{\pi}{2}$ และสมการเส้นสัมผัส
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A single stationary point, and its kind จุดคงที่จุดเดียว และชนิดของมัน
The curve with equation $y=xe^{1-2x}$ has one stationary point.
(a) Find the coordinates of this point.
(b) Determine whether the stationary point is a maximum or a minimum.
เส้นโค้ง $y=xe^{1-2x}$ มีจุดคงที่ (stationary point) หนึ่งจุด
(ก) หาพิกัดของจุดนี้
(ข) ระบุว่าจุดคงที่นี้เป็นจุดสูงสุด (maximum) หรือจุดต่ำสุด (minimum)
Use the chain rule to differentiate $e^{1-2x}$.
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ $e^{1-2x}$
Answershow ▾
Differentiate the power, then multiply by the derivative of $1-2x$.หาอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของ $1-2x$
Factor $e^{1-2x}$ out of $e^{1-2x}-2xe^{1-2x}$.
จงแยกตัวประกอบ $e^{1-2x}$ ออกจาก $e^{1-2x}-2xe^{1-2x}$
Answershow ▾
Both terms share the factor $e^{1-2x}$.ทั้งสองพจน์มีตัวประกอบ $e^{1-2x}$ ร่วมกัน
Differentiate $1-2x$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $1-2x$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
The derivative of a linear expression is the coefficient of $x$.อนุพันธ์ของนิพจน์เชิงเส้นคือสัมประสิทธิ์ของ $x$
Solve $e^{1-2x}(1-2x)=0$. Pick the way to find every solution.
(A) solve $1-2x=0$ only - $e^{1-2x}$ is positive for every real $x$, so it is never the zero factor
(B) solve $e^{1-2x}=0$ too, since it is one of the two factors
(C) take $\ln$ of both sides of the whole equation
จงแก้สมการ $e^{1-2x}(1-2x)=0$ จงเลือกวิธีหาคำตอบให้ครบทุกตัว
(A) แก้แค่ $1-2x=0$ - เพราะ $e^{1-2x}$ เป็นบวกเสมอสำหรับทุกค่า $x$ จึงไม่มีทางเป็นตัวประกอบที่เป็น $0$
(B) แก้ $e^{1-2x}=0$ ด้วย เพราะเป็นหนึ่งในสองตัวประกอบ
(C) หา $\ln$ ของทั้งสองข้างของสมการทั้งหมด
Answershow ▾
(B) $e^{1-2x}=0$ has no real solution, so chasing it adds nothing. (C) $\ln0$ is undefined, so taking $\ln$ of a product that equals $0$ breaks down immediately.(B) $e^{1-2x}=0$ ไม่มีคำตอบจริง จึงหาไปก็ไม่ได้อะไรเพิ่ม (C) $\ln0$ ไม่มีค่า การหา $\ln$ ของผลคูณ ที่เท่ากับ $0$ จึงพังตั้งแต่ขั้นแรก
Use the product rule on $y=xe^{1-2x}$ to write $\dfrac{dy}{dx}$. Do not simplify yet.
จงใช้กฎผลคูณกับ $y=xe^{1-2x}$ เพื่อเขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
$(1)e^{1-2x}+x\times$ question 1’s derivative.$(1)e^{1-2x}+x\times$ อนุพันธ์จากข้อ 1
Using question 2, factor $\dfrac{dy}{dx}=e^{1-2x}+x(-2e^{1-2x})$ into a single expression.
จงใช้ข้อ 2 แยกตัวประกอบ $\dfrac{dy}{dx}=e^{1-2x}+x(-2e^{1-2x})$ ให้เหลือนิพจน์เดียว
Answershow ▾
Same factoring as question 2, with $x(-2e^{1-2x})$ written as $-2xe^{1-2x}$.แยกตัวประกอบแบบเดียวกับข้อ 2 โดยเขียน $x(-2e^{1-2x})$ เป็น $-2xe^{1-2x}$
Set $e^{1-2x}(1-2x)=0$. Using the D step’s reasoning, solve for $x$, then substitute into $y=xe^{1-2x}$ to find $y$.
ให้ $e^{1-2x}(1-2x)=0$ จงใช้เหตุผลจากข้อ D แก้หา $x$ แล้วแทนใน $y=xe^{1-2x}$ เพื่อหา $y$
Answershow ▾
At $x=\tfrac12$, the power $1-2x$ becomes $0$, and $e^{0}=1$.ที่ $x=\tfrac12$ เลขชี้กำลัง $1-2x$ เป็น $0$ และ $e^{0}=1$
Use the product rule on $\dfrac{dy}{dx}=e^{1-2x}(1-2x)$ (questions 1 and 3’s derivatives) to find $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
จงใช้กฎผลคูณกับ $\dfrac{dy}{dx}=e^{1-2x}(1-2x)$ (อนุพันธ์จากข้อ 1 และ 3) หา $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
Answershow ▾
$(-2e^{1-2x})(1-2x)+e^{1-2x}(-2)$, then factor out $-2e^{1-2x}$.$(-2e^{1-2x})(1-2x)+e^{1-2x}(-2)$ แล้วแยกตัวประกอบ $-2e^{1-2x}$ ออก
Evaluate $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-2e^{1-2x}(2-2x)$ at $x=\tfrac12$ and state whether the point is a maximum or a minimum.
จงหาค่า $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-2e^{1-2x}(2-2x)$ ที่ $x=\tfrac12$ แล้วระบุว่าจุดนี้เป็นจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด
Answershow ▾
$e^{0}=1$ and $2-2\left(\tfrac12\right)=1$, so the result is $-2\times1\times1$.$e^{0}=1$ และ $2-2\left(\tfrac12\right)=1$ ดังนั้นได้ $-2\times1\times1$
The curve $y=xe^{1-4x}$ has one stationary point. (a) Find its coordinates. (b) Determine whether it is a maximum or a minimum.
เส้นโค้ง $y=xe^{1-4x}$ มีจุดคงที่หนึ่งจุด (ก) หาพิกัดของจุดนี้ (ข) ระบุว่าเป็นจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด
Answershow ▾
Same four moves: product rule, factor, solve $1-4x=0$, then the second derivative test.สี่ขั้นเดิม: กฎผลคูณ แยกตัวประกอบ แก้ $1-4x=0$ แล้วตรวจอนุพันธ์อันดับสอง
The curve with equation $y=xe^{1-2x}$ has one stationary point.
(a) Find the coordinates of this point.
(b) Determine whether the stationary point is a maximum or a minimum.
เส้นโค้ง $y=xe^{1-2x}$ มีจุดคงที่ (stationary point) หนึ่งจุด
(ก) หาพิกัดของจุดนี้
(ข) ระบุว่าจุดคงที่นี้เป็นจุดสูงสุด (maximum) หรือจุดต่ำสุด (minimum)
Answershow ▾
6 marks: 4 for the coordinates, 2 for the second derivative and its conclusion.6 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับพิกัด 2 คะแนนสำหรับอนุพันธ์อันดับสองและข้อสรุป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A stationary point, not a nice angle จุดคงที่ ไม่ใช่มุมสวย
The equation of a curve is $y=\sin x\sin 2x$. The curve has a stationary point in the interval $0\lt x\lt\tfrac12\pi$. Find the $x$-coordinate of this point, giving your answer correct to 3 significant figures.
เส้นโค้งมีสมการ $y=\sin x\sin 2x$ เส้นโค้งนี้มีจุดคงที่ (stationary point) อยู่ในช่วง $0\lt x\lt\tfrac12\pi$ หาพิกัด $x$ ของจุดนี้ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่งที่มีนัยสำคัญ (3 s.f.)
Use the chain rule to differentiate $\sin2x$.
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ $\sin2x$
Answershow ▾
Differentiate the outside function, then multiply by the derivative of $2x$.หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นนอกก่อน แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของ $2x$
Use $\sin2x=2\sin x\cos x$ to rewrite $\cos x\sin2x$.
จงใช้ $\sin2x=2\sin x\cos x$ เขียน $\cos x\sin2x$ ใหม่
Answershow ▾
Replace $\sin2x$, then collect the two $\cos x$ factors.แทน $\sin2x$ แล้วรวม $\cos x$ สองตัวเข้าด้วยกัน
Use $\cos2x=2\cos^{2}x-1$ to rewrite $\cos^{2}x+\cos2x$.
จงใช้ $\cos2x=2\cos^{2}x-1$ เขียน $\cos^{2}x+\cos2x$ ใหม่
Answershow ▾
Replace $\cos2x$, then collect the $\cos^{2}x$ terms.แทน $\cos2x$ แล้วรวมพจน์ $\cos^{2}x$
$2\sin x\left(\cos^{2}x+\cos2x\right)=0$, for $0\lt x\lt\tfrac12\pi$. Pick the factor that must be $0$.
(A) $\cos^{2}x+\cos2x=0$ - $\sin x=0$ only at $x=0$, which this open interval excludes
(B) $\sin x=0$, giving $x=0$
(C) both factors, since the product is $0$
$2\sin x\left(\cos^{2}x+\cos2x\right)=0$ สำหรับ $0\lt x\lt\tfrac12\pi$ จงเลือกตัวประกอบที่ต้องเป็น $0$
(A) $\cos^{2}x+\cos2x=0$ - เพราะ $\sin x=0$ มีแค่ที่ $x=0$ ซึ่งอยู่นอกช่วงเปิดนี้
(B) $\sin x=0$ ทำให้ $x=0$
(C) ต้องเป็น $0$ ทั้งสองตัวประกอบ เพราะผลคูณเป็น $0$
Answershow ▾
(B) gives $x=0$, which is the excluded endpoint, not a point inside the open interval. (C) is impossible here - the two factors cannot both be $0$ at once for $0\lt x\lt\tfrac12\pi$.(B) ให้ $x=0$ ซึ่งเป็นจุดปลายที่ถูกตัดออก ไม่ใช่จุดภายในช่วงเปิด (C) เป็นไปไม่ได้ในที่นี้ เพราะสองตัวประกอบ เป็น $0$ พร้อมกันไม่ได้สำหรับ $0\lt x\lt\tfrac12\pi$
The curve is $y=\sin x\sin2x$. Use the product rule to write $\dfrac{dy}{dx}$. Do not simplify yet.
เส้นโค้งคือ $y=\sin x\sin2x$ จงใช้กฎผลคูณเขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
$u=\sin x$, $v=\sin2x$; use question 1 for $v'$.$u=\sin x$, $v=\sin2x$ ใช้อนุพันธ์จากข้อ 1 สำหรับ $v'$
Using question 2, rewrite $\dfrac{dy}{dx}=\cos x\sin2x+2\sin x\cos2x$ with every term carrying a $\sin x$.
จงใช้ข้อ 2 เขียน $\dfrac{dy}{dx}=\cos x\sin2x+2\sin x\cos2x$ ใหม่ ให้ทุกพจน์มี $\sin x$
Answershow ▾
$\cos x\sin2x=2\sin x\cos^{2}x$, from question 2.$\cos x\sin2x=2\sin x\cos^{2}x$ จากข้อ 2
Factor $2\sin x$ out of $\dfrac{dy}{dx}=2\sin x\cos^{2}x+2\sin x\cos2x$.
จงแยกตัวประกอบ $2\sin x$ ออกจาก $\dfrac{dy}{dx}=2\sin x\cos^{2}x+2\sin x\cos2x$
Answershow ▾
Both terms share the factor $2\sin x$.ทั้งสองพจน์มีตัวประกอบ $2\sin x$ ร่วมกัน
Using the D step, $\cos^{2}x+\cos2x=0$. Use question 3 to turn this into an equation in $\cos^{2}x$ alone.
จากข้อ D จะได้ $\cos^{2}x+\cos2x=0$ จงใช้ข้อ 3 เปลี่ยนให้เป็นสมการของ $\cos^{2}x$ เท่านั้น
Answershow ▾
Question 3 already rewrote this sum as $3\cos^{2}x-1$.ข้อ 3 เขียนผลบวกนี้ใหม่เป็น $3\cos^{2}x-1$ ไว้แล้ว
Solve $\cos^{2}x=\tfrac13$ for $x$, giving your answer correct to 3 significant figures.
จงแก้ $\cos^{2}x=\tfrac13$ หาค่า $x$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่งที่มีนัยสำคัญ
Answershow ▾
$x$ is in $0\lt x\lt\tfrac12\pi$, so $\cos x$ is positive: take the positive square root.$x$ อยู่ในช่วง $0\lt x\lt\tfrac12\pi$ ดังนั้น $\cos x$ เป็นบวก ให้ใช้รากที่สองค่าบวก
The curve $y=\cos x\sin2x$ has a stationary point in the interval $0\lt x\lt\tfrac12\pi$. Find the $x$-coordinate of this point, giving your answer correct to 3 significant figures.
เส้นโค้ง $y=\cos x\sin2x$ มีจุดคงที่อยู่ในช่วง $0\lt x\lt\tfrac12\pi$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดนี้ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่งที่มีนัยสำคัญ
Answershow ▾
Same method: product rule, a double-angle identity, factor out the term that cannot be $0$.วิธีเดิม: กฎผลคูณ เอกลักษณ์มุมสองเท่า แล้วแยกตัวประกอบที่เป็น $0$ ไม่ได้ออก
The equation of a curve is $y=\sin x\sin 2x$. The curve has a stationary point in the interval $0\lt x\lt\tfrac12\pi$. Find the $x$-coordinate of this point, giving your answer correct to 3 significant figures.
เส้นโค้งมีสมการ $y=\sin x\sin 2x$ เส้นโค้งนี้มีจุดคงที่ (stationary point) อยู่ในช่วง $0\lt x\lt\tfrac12\pi$ หาพิกัด $x$ ของจุดนี้ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่งที่มีนัยสำคัญ (3 s.f.)
Answershow ▾
6 marks: 2 for the product-rule derivative, 2 for the double-angle identity, 2 for solving the resulting equation.6 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับอนุพันธ์จากกฎผลคูณ 2 คะแนนสำหรับเอกลักษณ์มุมสองเท่า 2 คะแนนสำหรับการแก้สมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Parametric, divide to get dy/dx พาราเมตริก หารเพื่อหา dy/dx
The parametric equations of a curve are $x=3-\cos 2\theta$, $y=2\theta+\sin 2\theta$, for $0\lt\theta\lt\tfrac12\pi$. Show that $\dfrac{dy}{dx}=\cot\theta$.
เส้นโค้งมีสมการพาราเมตริก $x=3-\cos 2\theta$, $y=2\theta+\sin 2\theta$ สำหรับ $0\lt\theta\lt\tfrac12\pi$ จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\cot\theta$
Differentiate $x=3-\cos2\theta$ with respect to $\theta$.
จงหาอนุพันธ์ของ $x=3-\cos2\theta$ เทียบกับ $\theta$
Answershow ▾
The derivative of $-\cos2\theta$ is $2\sin2\theta$ by the chain rule.อนุพันธ์ของ $-\cos2\theta$ คือ $2\sin2\theta$ โดยกฎลูกโซ่
Differentiate $y=2\theta+\sin2\theta$ with respect to $\theta$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=2\theta+\sin2\theta$ เทียบกับ $\theta$
Answershow ▾
The derivative of $2\theta$ is $2$, and of $\sin2\theta$ is $2\cos2\theta$.อนุพันธ์ของ $2\theta$ คือ $2$ และของ $\sin2\theta$ คือ $2\cos2\theta$
Use $1+\cos2\theta=2\cos^{2}\theta$ to rewrite $2+2\cos2\theta$.
จงใช้ $1+\cos2\theta=2\cos^{2}\theta$ เขียน $2+2\cos2\theta$ ใหม่
Answershow ▾
Factor out $2$ first: $2+2\cos2\theta=2(1+\cos2\theta)$.ดึง $2$ ออกก่อน: $2+2\cos2\theta=2(1+\cos2\theta)$
You have $\dfrac{dx}{d\theta}$ and $\dfrac{dy}{d\theta}$ separately. Pick the correct way to get $\dfrac{dy}{dx}$ for a parametric curve.
(A) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$
(B) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{d\theta}\times\dfrac{dx}{d\theta}$
(C) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dx/d\theta}{dy/d\theta}$
ได้ $\dfrac{dx}{d\theta}$ และ $\dfrac{dy}{d\theta}$ แยกกันแล้ว จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการหา $\dfrac{dy}{dx}$ ของเส้นโค้งพาราเมตริก
(A) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$
(B) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{d\theta}\times\dfrac{dx}{d\theta}$
(C) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dx/d\theta}{dy/d\theta}$
Answershow ▾
Divide, do not multiply. (B) multiplies the two derivatives instead. (C) divides the wrong way round, giving $\dfrac{dx}{dy}$ instead of $\dfrac{dy}{dx}$.ต้องหาร ไม่ใช่คูณ (B) คูณอนุพันธ์ทั้งสองเข้าด้วยกันแทนการหาร (C) หารกลับทาง ได้ $\dfrac{dx}{dy}$ แทน $\dfrac{dy}{dx}$
Using questions 1 and 2, write $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$. Do not simplify yet.
จงใช้ข้อ 1 และ 2 เขียน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ ยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
Divide question 2’s result by question 1’s.หาผลลัพธ์จากข้อ 2 หารด้วยข้อ 1
Using question 3, simplify the top of $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2+2\cos2\theta}{2\sin2\theta}$.
จงใช้ข้อ 3 จัดรูปตัวเศษของ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2+2\cos2\theta}{2\sin2\theta}$
Answershow ▾
$2+2\cos2\theta=4\cos^{2}\theta$, from question 3.$2+2\cos2\theta=4\cos^{2}\theta$ จากข้อ 3
Cancel the common factor of $2$ in $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\cos^{2}\theta}{2\sin2\theta}$.
จงตัดตัวประกอบร่วม $2$ ใน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\cos^{2}\theta}{2\sin2\theta}$
Answershow ▾
$4\div2=2$ on the top, $2\div2=1$ on the bottom.$4\div2=2$ ตัวเศษ และ $2\div2=1$ ตัวส่วน
Use $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ to rewrite $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos^{2}\theta}{\sin2\theta}$, then cancel a factor of $\cos\theta$ top and bottom.
จงใช้ $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ เขียน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos^{2}\theta}{\sin2\theta}$ ใหม่ แล้วตัด $\cos\theta$ ตัวหนึ่งทั้งเศษและส่วน
Answershow ▾
$\dfrac{2\cos^{2}\theta}{2\sin\theta\cos\theta}$ has a $2$ and a $\cos\theta$ in common.$\dfrac{2\cos^{2}\theta}{2\sin\theta\cos\theta}$ มี $2$ และ $\cos\theta$ ร่วมกันทั้งเศษและส่วน
Check: at $\theta=\dfrac{\pi}{4}$, evaluate $\dfrac{dx}{d\theta}$ and $\dfrac{dy}{d\theta}$ directly, then confirm their ratio equals $\cot\dfrac{\pi}{4}$.
จงตรวจ: ที่ $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ คำนวณ $\dfrac{dx}{d\theta}$ และ $\dfrac{dy}{d\theta}$ โดยตรง แล้วยืนยันว่าอัตราส่วนเท่ากับ $\cot\dfrac{\pi}{4}$
Answershow ▾
$\dfrac{dx}{d\theta}=2\sin\dfrac{\pi}{2}=2$ and $\dfrac{dy}{d\theta}=2+2\cos\dfrac{\pi}{2}=2$.$\dfrac{dx}{d\theta}=2\sin\dfrac{\pi}{2}=2$ และ $\dfrac{dy}{d\theta}=2+2\cos\dfrac{\pi}{2}=2$
The parametric equations of a curve are $x=2\theta+\sin2\theta$, $y=3-\cos2\theta$, for $0\lt\theta\lt\tfrac12\pi$. Show that $\dfrac{dy}{dx}=\tan\theta$.
เส้นโค้งมีสมการพาราเมตริก $x=2\theta+\sin2\theta$, $y=3-\cos2\theta$ สำหรับ $0\lt\theta\lt\tfrac12\pi$ จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\tan\theta$
Answershow ▾
The same two expressions with $x$ and $y$ swapped, so the ratio flips to $\tan\theta$, the reciprocal of $\cot\theta$.เป็นสองนิพจน์เดิมที่สลับ $x$ กับ $y$ กัน อัตราส่วนจึงกลับเป็น $\tan\theta$ ซึ่งเป็นส่วนกลับของ $\cot\theta$
The parametric equations of a curve are $x=3-\cos 2\theta$, $y=2\theta+\sin 2\theta$, for $0\lt\theta\lt\tfrac12\pi$. Show that $\dfrac{dy}{dx}=\cot\theta$.
เส้นโค้งมีสมการพาราเมตริก $x=3-\cos 2\theta$, $y=2\theta+\sin 2\theta$ สำหรับ $0\lt\theta\lt\tfrac12\pi$ จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\cot\theta$
Answershow ▾
5 marks: $\dfrac{dx}{d\theta}$ or $\dfrac{dy}{d\theta}$, the parametric formula, and two double-angle identities to reach $\cot\theta$.5 คะแนน: $\dfrac{dx}{d\theta}$ หรือ $\dfrac{dy}{d\theta}$ สูตรพาราเมตริก และเอกลักษณ์มุมสองเท่าสองตัว เพื่อให้ได้ $\cot\theta$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Parametric with a log and a tan พาราเมตริกที่มี log และ tan
The parametric equations of a curve are $x=2t-\tan t$, $y=\ln(\sin 2t)$, for $0\lt t\lt\tfrac12\pi$. Show that $\dfrac{dy}{dx}=\cot t$.
เส้นโค้งมีสมการพาราเมตริก $x=2t-\tan t$, $y=\ln(\sin 2t)$ สำหรับ $0\lt t\lt\tfrac12\pi$ จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\cot t$
Differentiate $x=2t-\tan t$ with respect to $t$.
จงหาอนุพันธ์ของ $x=2t-\tan t$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
The derivative of $\tan t$ is $\sec^{2}t$.อนุพันธ์ของ $\tan t$ คือ $\sec^{2}t$
Use the chain rule to differentiate $y=\ln(\sin2t)$ with respect to $t$.
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ $y=\ln(\sin2t)$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dt}\ln(\sin2t)=\dfrac{1}{\sin2t}\times\dfrac{d}{dt}\sin2t$.$\dfrac{d}{dt}\ln(\sin2t)=\dfrac{1}{\sin2t}\times\dfrac{d}{dt}\sin2t$
Use $\cos2t=2\cos^{2}t-1$ to write $2-\sec^{2}t$ as a single fraction over $\cos^{2}t$.
จงใช้ $\cos2t=2\cos^{2}t-1$ เขียน $2-\sec^{2}t$ เป็นเศษส่วนเดียวส่วนด้วย $\cos^{2}t$
Answershow ▾
$2-\dfrac{1}{\cos^{2}t}=\dfrac{2\cos^{2}t-1}{\cos^{2}t}$, and $2\cos^{2}t-1=\cos2t$.$2-\dfrac{1}{\cos^{2}t}=\dfrac{2\cos^{2}t-1}{\cos^{2}t}$ และ $2\cos^{2}t-1=\cos2t$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos2t/\sin2t}{2-\sec^{2}t}$. To simplify the bottom, pick the move.
(A) write $\sec^{2}t=\dfrac{1}{\cos^{2}t}$ as a single fraction, then use $\cos2t=2\cos^{2}t-1$
(B) multiply top and bottom by $\cos2t$ to cancel it immediately
(C) replace $\sec^{2}t$ with $\tan^{2}t+1$ and stop there
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos2t/\sin2t}{2-\sec^{2}t}$ จะจัดรูปตัวส่วน จงเลือกวิธี
(A) เขียน $\sec^{2}t=\dfrac{1}{\cos^{2}t}$ เป็นเศษส่วนเดียว แล้วใช้ $\cos2t=2\cos^{2}t-1$
(B) คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\cos2t$ เพื่อตัดมันออกทันที
(C) แทน $\sec^{2}t$ ด้วย $\tan^{2}t+1$ แล้วหยุด
Answershow ▾
(B) $\cos2t$ does not appear in the bottom yet, so there is nothing valid to cancel - multiplying by it just adds it to both places. (C) is a true identity but leaves the expression no simpler: still a $\tan^{2}t$ term, not a single fraction.(B) ตัวส่วนยังไม่มี $\cos2t$ จึงไม่มีอะไรให้ตัดจริง การคูณด้วยมันแค่เพิ่มมันเข้าไปทั้งสองฝั่ง (C) เป็นเอกลักษณ์ที่จริง แต่ไม่ได้ทำให้นิพจน์ง่ายลง ยังมีพจน์ $\tan^{2}t$ ไม่ใช่เศษส่วนเดียว
Using questions 1 and 2, write $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Do not simplify yet.
จงใช้ข้อ 1 และ 2 เขียน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ ยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
Divide question 2’s result by question 1’s.หาผลลัพธ์จากข้อ 2 หารด้วยข้อ 1
Using question 3, replace the bottom of $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos2t/\sin2t}{2-\sec^{2}t}$.
จงใช้ข้อ 3 แทนค่าตัวส่วนของ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos2t/\sin2t}{2-\sec^{2}t}$
Answershow ▾
$2-\sec^{2}t=\dfrac{\cos2t}{\cos^{2}t}$, from question 3.$2-\sec^{2}t=\dfrac{\cos2t}{\cos^{2}t}$ จากข้อ 3
Dividing by a fraction means multiplying by its reciprocal. Rewrite $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos2t/\sin2t}{\cos2t/\cos^{2}t}$ this way, then cancel the common factor of $\cos2t$.
การหารด้วยเศษส่วนคือการคูณด้วยส่วนกลับ จงเขียน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos2t/\sin2t}{\cos2t/\cos^{2}t}$ แบบนี้ แล้วตัด $\cos2t$ ที่ซ้ำกันออก
Answershow ▾
$\dfrac{2\cos2t}{\sin2t}\times\dfrac{\cos^{2}t}{\cos2t}$, and $\cos2t$ cancels.$\dfrac{2\cos2t}{\sin2t}\times\dfrac{\cos^{2}t}{\cos2t}$ แล้ว $\cos2t$ ตัดกัน
Use $\sin2t=2\sin t\cos t$ to rewrite $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos^{2}t}{\sin2t}$, then cancel to a single trig ratio.
จงใช้ $\sin2t=2\sin t\cos t$ เขียน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos^{2}t}{\sin2t}$ ใหม่ แล้วตัด ให้เหลืออัตราส่วนตรีโกณเดียว
Answershow ▾
$\dfrac{2\cos^{2}t}{2\sin t\cos t}$ has a $2$ and a $\cos t$ in common.$\dfrac{2\cos^{2}t}{2\sin t\cos t}$ มี $2$ และ $\cos t$ ร่วมกันทั้งเศษและส่วน
Check: at $t=\dfrac{\pi}{6}$, evaluate $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$ directly, then confirm their ratio equals $\cot\dfrac{\pi}{6}$.
จงตรวจ: ที่ $t=\dfrac{\pi}{6}$ คำนวณ $\dfrac{dx}{dt}$ และ $\dfrac{dy}{dt}$ โดยตรง แล้วยืนยันว่า อัตราส่วนเท่ากับ $\cot\dfrac{\pi}{6}$
Answershow ▾
$\dfrac{dx}{dt}=2-\sec^{2}\dfrac{\pi}{6}=\dfrac23$ and $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2}{\sqrt3}$.$\dfrac{dx}{dt}=2-\sec^{2}\dfrac{\pi}{6}=\dfrac23$ และ $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2}{\sqrt3}$
The parametric equations of a curve are $x=\ln(\sin2t)$, $y=2t-\tan t$, for $0\lt t\lt\tfrac12\pi$. Show that $\dfrac{dy}{dx}=\tan t$.
เส้นโค้งมีสมการพาราเมตริก $x=\ln(\sin2t)$, $y=2t-\tan t$ สำหรับ $0\lt t\lt\tfrac12\pi$ จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\tan t$
Answershow ▾
The same two expressions with $x$ and $y$ swapped, so the ratio flips to $\tan t$, the reciprocal of $\cot t$.เป็นสองนิพจน์เดิมที่สลับ $x$ กับ $y$ กัน อัตราส่วนจึงกลับเป็น $\tan t$ ซึ่งเป็นส่วนกลับของ $\cot t$
The parametric equations of a curve are $x=2t-\tan t$, $y=\ln(\sin 2t)$, for $0\lt t\lt\tfrac12\pi$. Show that $\dfrac{dy}{dx}=\cot t$.
เส้นโค้งมีสมการพาราเมตริก $x=2t-\tan t$, $y=\ln(\sin 2t)$ สำหรับ $0\lt t\lt\tfrac12\pi$ จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\cot t$
Answershow ▾
5 marks: $\dfrac{dx}{dt}$ or $\dfrac{dy}{dt}$, the parametric formula, and the identity that turns $2-\sec^{2}t$ into $\cos2t/\cos^{2}t$.5 คะแนน: $\dfrac{dx}{dt}$ หรือ $\dfrac{dy}{dt}$ สูตรพาราเมตริก และเอกลักษณ์ที่เปลี่ยน $2-\sec^{2}t$ เป็น $\cos2t/\cos^{2}t$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two stationary points, found exactly จุดคงที่สองจุด หาค่าแบบแม่นตรง
The curve $y=e^{-4x}\tan x$ has two stationary points in the interval $0\le x\lt\tfrac12\pi$.
(a) Obtain an expression for $\dfrac{dy}{dx}$ and show it can be written in the form $\sec^{2}x(a+b\sin 2x)e^{-4x}$, where $a$ and $b$ are constants.
(b) Hence find the exact $x$-coordinates of the two stationary points.
เส้นโค้ง $y=e^{-4x}\tan x$ มีจุดคงที่ (stationary point) สองจุดในช่วง $0\le x\lt\tfrac12\pi$
(ก) หานิพจน์ของ $\dfrac{dy}{dx}$ แล้วแสดงว่าเขียนได้ในรูป $\sec^{2}x(a+b\sin 2x)e^{-4x}$ โดย $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ข) จากนั้นหาพิกัด $x$ แบบ exact ของจุดคงที่ทั้งสองจุด
Use the chain rule to differentiate $e^{-4x}$.
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ $e^{-4x}$
Answershow ▾
Differentiate the power, then multiply by the derivative of $-4x$.หาอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของ $-4x$
Differentiate $\tan x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $\tan x$
Answershow ▾
This is a standard derivative.นี่คืออนุพันธ์มาตรฐาน
Show that $\tan x=\sec^{2}x\sin x\cos x$.
จงแสดงว่า $\tan x=\sec^{2}x\sin x\cos x$
Answershow ▾
Write $\sec^{2}x$ as $\dfrac{1}{\cos^{2}x}$, then cancel one $\cos x$.เขียน $\sec^{2}x$ เป็น $\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ แล้วตัด $\cos x$ หนึ่งตัว
$e^{-4x}\left(\sec^{2}x-4\tan x\right)=0$ for $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$. Pick the first move.
(A) rewrite $4\tan x$ using $\sin2x$, so both terms inside the bracket share a factor of $\sec^{2}x$
(B) since the bracket is $0$, solve $\sec^{2}x=0$ and $4\tan x=0$ separately
(C) divide every term by $\sec^{2}x$, treating $\dfrac{\tan x}{\sec^{2}x}$ as just $\tan x$
$e^{-4x}\left(\sec^{2}x-4\tan x\right)=0$ สำหรับ $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$ จงเลือกขั้นแรก
(A) เขียน $4\tan x$ ใหม่ด้วย $\sin2x$ เพื่อให้สองพจน์ในวงเล็บมี $\sec^{2}x$ ร่วมกัน
(B) เนื่องจากวงเล็บเท่ากับ $0$ จึงแก้ $\sec^{2}x=0$ และ $4\tan x=0$ แยกกัน
(C) หารทุกพจน์ด้วย $\sec^{2}x$ โดยมอง $\dfrac{\tan x}{\sec^{2}x}$ เป็น $\tan x$ เฉยๆ
Answershow ▾
(B) $\sec^{2}x-4\tan x$ is a DIFFERENCE, not a product - "each part is $0$" only follows from a product equalling $0$, never from a sum or difference. (C) drops a $\cos^{2}x$ factor: $\dfrac{\tan x}{\sec^{2}x}=\sin x\cos x$, not $\tan x$.(B) $\sec^{2}x-4\tan x$ เป็นผลต่าง ไม่ใช่ผลคูณ - การสรุปว่า "แต่ละส่วนเป็น $0$" ใช้ได้เฉพาะ เมื่อผลคูณเท่ากับ $0$ เท่านั้น ไม่ใช่ผลบวกหรือผลต่าง (C) ทำให้ตัวประกอบ $\cos^{2}x$ หายไป เพราะ $\dfrac{\tan x}{\sec^{2}x}=\sin x\cos x$ ไม่ใช่ $\tan x$
The curve is $y=e^{-4x}\tan x$. Use the product rule to write $\dfrac{dy}{dx}$. Do not simplify yet.
เส้นโค้งคือ $y=e^{-4x}\tan x$ จงใช้กฎผลคูณเขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
Use questions 1 and 2 for the two derivatives.ใช้อนุพันธ์จากข้อ 1 และ 2
Factor $e^{-4x}$ out of $\dfrac{dy}{dx}=-4e^{-4x}\tan x+e^{-4x}\sec^{2}x$.
จงแยกตัวประกอบ $e^{-4x}$ ออกจาก $\dfrac{dy}{dx}=-4e^{-4x}\tan x+e^{-4x}\sec^{2}x$
Answershow ▾
Both terms share the factor $e^{-4x}$.ทั้งสองพจน์มีตัวประกอบ $e^{-4x}$ ร่วมกัน
Using question 3, rewrite $4\tan x$ as $4\sec^{2}x\sin x\cos x=2\sec^{2}x\sin2x$, then factor $\sec^{2}x$ out of $\sec^{2}x-4\tan x$.
จงใช้ข้อ 3 เขียน $4\tan x$ ใหม่เป็น $4\sec^{2}x\sin x\cos x=2\sec^{2}x\sin2x$ แล้วแยกตัวประกอบ $\sec^{2}x$ ออกจาก $\sec^{2}x-4\tan x$
Answershow ▾
$\sin2x=2\sin x\cos x$, so $4\sec^{2}x\sin x\cos x=2\sec^{2}x\sin2x$.$\sin2x=2\sin x\cos x$ ดังนั้น $4\sec^{2}x\sin x\cos x=2\sec^{2}x\sin2x$
$e^{-4x}\sec^{2}x\left(1-2\sin2x\right)=0$. Neither $e^{-4x}$ nor $\sec^{2}x$ can ever be $0$. Solve for $\sin2x$.
$e^{-4x}\sec^{2}x\left(1-2\sin2x\right)=0$ ทั้ง $e^{-4x}$ และ $\sec^{2}x$ ไม่มีทางเป็น $0$ จงแก้หา $\sin2x$
Answershow ▾
The only factor that CAN be $0$ is $1-2\sin2x$.ตัวประกอบเดียวที่เป็น $0$ ได้คือ $1-2\sin2x$
For $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$, $2x$ ranges over $0\leqslant2x\lt\pi$. Solve $\sin2x=\tfrac12$ for both values of $x$, exactly.
สำหรับ $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$ ค่า $2x$ อยู่ในช่วง $0\leqslant2x\lt\pi$ จงแก้ $\sin2x=\tfrac12$ หาค่า $x$ ทั้งสองค่าแบบแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
$\sin$ is positive in both the first and second quadrants, giving two values of $2x$.$\sin$ เป็นบวกทั้งในควอดรันต์ที่หนึ่งและที่สอง จึงได้ค่า $2x$ สองค่า
The curve $y=e^{-6x}\tan x$ has two stationary points in the interval $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$. Find their $x$-coordinates, correct to 3 significant figures.
เส้นโค้ง $y=e^{-6x}\tan x$ มีจุดคงที่สองจุดในช่วง $0\leqslant x\lt\tfrac12\pi$ จงหาพิกัด $x$ ของทั้งสองจุด ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่งที่มีนัยสำคัญ
Answershow ▾
Same method: $6\tan x=3\sec^{2}x\sin2x$ this time, giving $\sin2x=\tfrac13$ instead of $\tfrac12$.วิธีเดิม: ครั้งนี้ $6\tan x=3\sec^{2}x\sin2x$ จึงได้ $\sin2x=\tfrac13$ แทน $\tfrac12$
The curve $y=e^{-4x}\tan x$ has two stationary points in the interval $0\le x\lt\tfrac12\pi$.
(a) Obtain an expression for $\dfrac{dy}{dx}$ and show it can be written in the form $\sec^{2}x(a+b\sin 2x)e^{-4x}$, where $a$ and $b$ are constants.
(b) Hence find the exact $x$-coordinates of the two stationary points.
เส้นโค้ง $y=e^{-4x}\tan x$ มีจุดคงที่ (stationary point) สองจุดในช่วง $0\le x\lt\tfrac12\pi$
(ก) หานิพจน์ของ $\dfrac{dy}{dx}$ แล้วแสดงว่าเขียนได้ในรูป $\sec^{2}x(a+b\sin 2x)e^{-4x}$ โดย $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ข) จากนั้นหาพิกัด $x$ แบบ exact ของจุดคงที่ทั้งสองจุด
Answershow ▾
7 marks: 4 for the derivative in the given form, 3 for the two exact stationary points.7 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับอนุพันธ์ในรูปที่กำหนด 3 คะแนนสำหรับจุดคงที่แบบแม่นตรง ทั้งสองจุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Implicit, then a vertical tangent อิมพลิซิต แล้วหาเส้นสัมผัสขนานแกน y
The equation of a curve is $ye^{2x}-y^{2}e^{x}=2$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{x}-y^{2}}{2y-e^{x}}$.
(b) Find the exact coordinates of the point on the curve where the tangent is parallel to the $y$-axis.
เส้นโค้งมีสมการ $ye^{2x}-y^{2}e^{x}=2$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{x}-y^{2}}{2y-e^{x}}$
(ข) หาพิกัดแบบ exact ของจุดบนเส้นโค้งที่เส้นสัมผัส (tangent) ขนานกับแกน $y$
Use the product rule to differentiate $ye^{2x}$ with respect to $x$, treating $y$ as a function of $x$.
จงใช้กฎผลคูณหาอนุพันธ์ของ $ye^{2x}$ เทียบกับ $x$ โดยมอง $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$
Answershow ▾
$u=y$, $v=e^{2x}$: $\dfrac{dy}{dx}v+u\dfrac{dv}{dx}$.$u=y$, $v=e^{2x}$: $\dfrac{dy}{dx}v+u\dfrac{dv}{dx}$
Use the product rule to differentiate $y^{2}e^{x}$ with respect to $x$.
จงใช้กฎผลคูณหาอนุพันธ์ของ $y^{2}e^{x}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dx}y^{2}=2y\dfrac{dy}{dx}$ by the chain rule, then the product rule with $e^{x}$.$\dfrac{d}{dx}y^{2}=2y\dfrac{dy}{dx}$ โดยกฎลูกโซ่ แล้วใช้กฎผลคูณกับ $e^{x}$
Collect the $\dfrac{dy}{dx}$ terms in $\dfrac{dy}{dx}e^{2x}+2ye^{2x}-2y\dfrac{dy}{dx}e^{x}-y^{2}e^{x}=0$ onto one side, and factor $\dfrac{dy}{dx}$ out.
จงรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ ใน $\dfrac{dy}{dx}e^{2x}+2ye^{2x}-2y\dfrac{dy}{dx}e^{x}-y^{2}e^{x}=0$ ไว้ฝั่งเดียว แล้วแยกตัวประกอบ $\dfrac{dy}{dx}$ ออก
Answershow ▾
Move the non-$\dfrac{dy}{dx}$ terms to the other side first.ย้ายพจน์ที่ไม่มี $\dfrac{dy}{dx}$ ไปอีกฝั่งก่อน
The tangent to the curve is parallel to the $y$-axis. Pick what this means for $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{x}-y^{2}}{2y-e^{x}}$.
(A) the denominator $2y-e^{x}$ is $0$ - the gradient is infinite
(B) the numerator $2ye^{x}-y^{2}$ is $0$ - the gradient is $0$
(C) both $x$ and $y$ equal $0$
เส้นสัมผัสของเส้นโค้งขนานกับแกน $y$ จงเลือกความหมายที่ถูกต้องสำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{x}-y^{2}}{2y-e^{x}}$
(A) ตัวส่วน $2y-e^{x}$ เป็น $0$ - ความชันเป็นอนันต์
(B) ตัวเศษ $2ye^{x}-y^{2}$ เป็น $0$ - ความชันเป็น $0$
(C) $x$ และ $y$ เท่ากับ $0$ ทั้งคู่
Answershow ▾
(B) describes a tangent parallel to the $x$-axis (gradient $0$), the opposite case. (C) has no justification at all - the curve need not pass through the origin.(B) อธิบายเส้นสัมผัสที่ขนานกับแกน $x$ (ความชัน $0$) ซึ่งเป็นกรณีตรงข้าม (C) ไม่มีเหตุผลรองรับเลย เส้นโค้งไม่จำเป็นต้องผ่านจุดกำเนิด
Using questions 1 and 2, differentiate $ye^{2x}-y^{2}e^{x}=2$ with respect to $x$. Write the full equation, with the right-hand side differentiated too.
จงใช้ข้อ 1 และ 2 หาอนุพันธ์ของ $ye^{2x}-y^{2}e^{x}=2$ เทียบกับ $x$ เขียนสมการทั้งหมด โดย หาอนุพันธ์ของฝั่งขวาด้วย
Answershow ▾
The derivative of the constant $2$ is $0$.อนุพันธ์ของค่าคงที่ $2$ คือ $0$
Question 3 already factored this equation. State $\dfrac{dy}{dx}$ as a fraction from $\dfrac{dy}{dx}\left(e^{2x}-2ye^{x}\right)=y^{2}e^{x}-2ye^{2x}$.
ข้อ 3 แยกตัวประกอบสมการนี้ไว้แล้ว จงเขียน $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นเศษส่วนจาก $\dfrac{dy}{dx}\left(e^{2x}-2ye^{x}\right)=y^{2}e^{x}-2ye^{2x}$
Answershow ▾
Divide both sides by $e^{2x}-2ye^{x}$.หารทั้งสองข้างด้วย $e^{2x}-2ye^{x}$
Factor $e^{x}$ out of the top and bottom of $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}e^{x}-2ye^{2x}}{e^{2x}-2ye^{x}}$, then cancel it.
จงแยกตัวประกอบ $e^{x}$ ออกจากเศษและส่วนของ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}e^{x}-2ye^{2x}}{e^{2x}-2ye^{x}}$ แล้วตัดออก
Answershow ▾
$e^{2x}=e^{x}\times e^{x}$, so $e^{x}$ cancels from both parts.$e^{2x}=e^{x}\times e^{x}$ ดังนั้น $e^{x}$ ตัดออกได้จากทั้งสองส่วน
Using the D step, set $2y-e^{x}=0$ and solve for $y$ in terms of $x$.
จงใช้ข้อ D ให้ $2y-e^{x}=0$ แล้วแก้หา $y$ ในรูปของ $x$
Answershow ▾
Add $e^{x}$ to both sides, then divide by $2$.บวก $e^{x}$ เข้าไปทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $2$
Substitute $y=\tfrac12e^{x}$ into $ye^{2x}-y^{2}e^{x}=2$, then solve for $x$ and $y$, exactly.
จงแทน $y=\tfrac12e^{x}$ ใน $ye^{2x}-y^{2}e^{x}=2$ แล้วแก้หา $x$ และ $y$ แบบแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
Both terms are multiples of $e^{3x}$, since $y$ and $y^{2}$ each carry a power of $e^{x}$.ทั้งสองพจน์เป็นผลคูณของ $e^{3x}$ เพราะ $y$ และ $y^{2}$ แต่ละตัวมีเลขชี้กำลังของ $e^{x}$
The equation of a curve is $ye^{2x}-y^{2}e^{x}=16$. (a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{x}-y^{2}}{2y-e^{x}}$. (b) Find the exact coordinates of the point where the tangent is parallel to the $y$-axis.
เส้นโค้งมีสมการ $ye^{2x}-y^{2}e^{x}=16$ (ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{x}-y^{2}}{2y-e^{x}}$ (ข) หาพิกัดแบบแม่นตรง ของจุดที่เส้นสัมผัสขนานกับแกน $y$
Answershow ▾
The left side differentiates the same way regardless of the constant on the right, so $\dfrac{dy}{dx}$ comes out the same; only the point found in (b) changes.ฝั่งซ้ายหาอนุพันธ์แบบเดียวกันไม่ว่าค่าคงที่ฝั่งขวาจะเป็นอะไร $\dfrac{dy}{dx}$ จึงได้แบบเดียวกัน มีแต่จุดในข้อ (ข) ที่เปลี่ยนไป
The equation of a curve is $ye^{2x}-y^{2}e^{x}=2$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{x}-y^{2}}{2y-e^{x}}$.
(b) Find the exact coordinates of the point on the curve where the tangent is parallel to the $y$-axis.
เส้นโค้งมีสมการ $ye^{2x}-y^{2}e^{x}=2$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{x}-y^{2}}{2y-e^{x}}$
(ข) หาพิกัดแบบ exact ของจุดบนเส้นโค้งที่เส้นสัมผัส (tangent) ขนานกับแกน $y$
Answershow ▾
8 marks: 4 for the derivative, 2 for the denominator equation, 2 for the exact point.8 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับอนุพันธ์ 2 คะแนนสำหรับสมการตัวส่วน 2 คะแนนสำหรับจุดแบบแม่นตรง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two tangents, and the angle between them เส้นสัมผัสสองเส้น กับมุมระหว่างมัน
The equation of a curve is $x^{3}+y^{3}+2xy+8=0$.
(a) Express $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) The tangent to the curve at the point where $x=0$ and the tangent at the point where $y=0$ intersect at the acute angle $\theta$. Find the exact value of $\tan\theta$.
เส้นโค้งมีสมการ $x^{3}+y^{3}+2xy+8=0$
(ก) เขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $x$ และ $y$
(ข) เส้นสัมผัส (tangent) ที่จุดซึ่ง $x=0$ กับเส้นสัมผัสที่จุดซึ่ง $y=0$ ตัดกันเป็นมุมแหลม (acute angle) $\theta$ จงหาค่า $\tan\theta$ แบบ exact
Differentiate $y^{3}$ implicitly with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y^{3}$ แบบอิมพลิซิตเทียบกับ $x$
Answershow ▾
The chain rule: differentiate $y^{3}$ with respect to $y$, then multiply by $\dfrac{dy}{dx}$.กฎลูกโซ่: หาอนุพันธ์ของ $y^{3}$ เทียบกับ $y$ แล้วคูณด้วย $\dfrac{dy}{dx}$
Use the product rule to differentiate $2xy$ implicitly with respect to $x$.
จงใช้กฎผลคูณหาอนุพันธ์ของ $2xy$ แบบอิมพลิซิตเทียบกับ $x$
Answershow ▾
$u=2x$, $v=y$: $\dfrac{du}{dx}v+u\dfrac{dy}{dx}$.$u=2x$, $v=y$: $\dfrac{du}{dx}v+u\dfrac{dy}{dx}$
Solve $y^{3}+8=0$ for $y$.
จงแก้สมการ $y^{3}+8=0$ หาค่า $y$
Answershow ▾
$y^{3}=-8$, and $-2$ cubed is $-8$.$y^{3}=-8$ และ $-2$ ยกกำลังสามได้ $-8$
The tangent at $x=0$ and the tangent at $y=0$ intersect at the acute angle $\theta$. Pick the formula that connects their gradients $m_1$ and $m_2$ to $\tan\theta$.
(A) $\tan\theta=\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$
(B) $\tan\theta=m_1-m_2$
(C) $\tan\theta=\dfrac{m_1+m_2}{2}$
เส้นสัมผัสที่ $x=0$ และเส้นสัมผัสที่ $y=0$ ตัดกันเป็นมุมแหลม $\theta$ จงเลือกสูตรที่เชื่อม ความชัน $m_1$ และ $m_2$ เข้ากับ $\tan\theta$
(A) $\tan\theta=\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$
(B) $\tan\theta=m_1-m_2$
(C) $\tan\theta=\dfrac{m_1+m_2}{2}$
Answershow ▾
(B) ignores how steep the lines are relative to each other - it is not even dimensionless in the way a tangent ratio must be. (C) averages the gradients, which has no connection to the angle between the lines at all.(B) ไม่ได้คำนึงถึงความชันสัมพัทธ์ของเส้นทั้งสองเลย ไม่ใช่อัตราส่วนที่สมเหตุสมผลสำหรับมุม (C) หาค่าเฉลี่ยของความชัน ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับมุมระหว่างเส้นตรงเลย
The curve is $x^{3}+y^{3}+2xy+8=0$. Using questions 1 and 2, differentiate it fully with respect to $x$. Do not collect terms yet.
เส้นโค้งคือ $x^{3}+y^{3}+2xy+8=0$ จงใช้ข้อ 1 และ 2 หาอนุพันธ์ของสมการทั้งหมดเทียบกับ $x$ ยังไม่ต้องรวมพจน์
Answershow ▾
The derivative of $x^{3}$ is $3x^{2}$, and of the constant $8$ is $0$.อนุพันธ์ของ $x^{3}$ คือ $3x^{2}$ และของค่าคงที่ $8$ คือ $0$
Collect the $\dfrac{dy}{dx}$ terms and factor, from $3x^{2}+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}+2y+2x\dfrac{dy}{dx}=0$.
จงรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ แล้วแยกตัวประกอบ จาก $3x^{2}+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}+2y+2x\dfrac{dy}{dx}=0$
Answershow ▾
Move $3x^{2}$ and $2y$ to the other side first.ย้าย $3x^{2}$ และ $2y$ ไปอีกฝั่งก่อน
Divide both sides of $\dfrac{dy}{dx}\left(2x+3y^{2}\right)=-3x^{2}-2y$ by $2x+3y^{2}$.
จงหารทั้งสองข้างของ $\dfrac{dy}{dx}\left(2x+3y^{2}\right)=-3x^{2}-2y$ ด้วย $2x+3y^{2}$
Answershow ▾
Write $-3x^{2}-2y$ as $-(3x^{2}+2y)$ first.เขียน $-3x^{2}-2y$ เป็น $-(3x^{2}+2y)$ ก่อน
Substitute $x=0$ and $y=0$ separately into $x^{3}+y^{3}+2xy+8=0$ to find the two points where the curve meets the axes. Use question 3’s method for both.
จงแทน $x=0$ และ $y=0$ แยกกันใน $x^{3}+y^{3}+2xy+8=0$ เพื่อหาจุดสองจุดที่เส้นโค้งตัดแกน ใช้วิธีจากข้อ 3 กับทั้งสองจุด
Answershow ▾
At $x=0$: $y^{3}+8=0$. At $y=0$: $x^{3}+8=0$ - the same equation, by symmetry.ที่ $x=0$: $y^{3}+8=0$ ที่ $y=0$: $x^{3}+8=0$ ซึ่งเป็นสมการเดียวกัน เพราะความสมมาตร
Using $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3x^{2}+2y}{2x+3y^{2}}$, find the gradient at $(0,-2)$ and at $(-2,0)$.
จงใช้ $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3x^{2}+2y}{2x+3y^{2}}$ หาความชันที่ $(0,-2)$ และที่ $(-2,0)$
Answershow ▾
Substitute each point directly - no further identity is needed.แทนแต่ละจุดตรงๆ ไม่ต้องใช้เอกลักษณ์เพิ่ม
The equation of a curve is $x^{3}+y^{3}+2xy+1=0$. The tangent at $x=0$ and the tangent at $y=0$ intersect at the acute angle $\theta$. Find the exact value of $\tan\theta$.
เส้นโค้งมีสมการ $x^{3}+y^{3}+2xy+1=0$ เส้นสัมผัสที่ $x=0$ กับเส้นสัมผัสที่ $y=0$ ตัดกันเป็นมุมแหลม $\theta$ จงหาค่า $\tan\theta$ แบบแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
Same four moves: differentiate implicitly, find the two points, their gradients, then the angle formula.สี่ขั้นเดิม: หาอนุพันธ์แบบอิมพลิซิต หาจุดทั้งสอง ความชันของมัน แล้วใช้สูตรมุม
The equation of a curve is $x^{3}+y^{3}+2xy+8=0$.
(a) Express $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) The tangent to the curve at the point where $x=0$ and the tangent at the point where $y=0$ intersect at the acute angle $\theta$. Find the exact value of $\tan\theta$.
เส้นโค้งมีสมการ $x^{3}+y^{3}+2xy+8=0$
(ก) เขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $x$ และ $y$
(ข) เส้นสัมผัส (tangent) ที่จุดซึ่ง $x=0$ กับเส้นสัมผัสที่จุดซึ่ง $y=0$ ตัดกันเป็นมุมแหลม (acute angle) $\theta$ จงหาค่า $\tan\theta$ แบบ exact
Answershow ▾
9 marks: 4 for the implicit derivative, 5 for the two points, two gradients, and the angle formula.9 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับอนุพันธ์แบบอิมพลิซิต 5 คะแนนสำหรับจุดทั้งสอง ความชันสองค่า และสูตรมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Three stationary points, not two จุดคงที่สามจุด ไม่ใช่สองจุด
The equation of a curve is $y=e^{-5x}\tan^{2}x$ for $-\dfrac12\pi\lt x\lt\dfrac12\pi$. Find the $x$-coordinates of the stationary points of the curve. Give your answers correct to 3 decimal places where appropriate.
เส้นโค้งมีสมการ $y=e^{-5x}\tan^{2}x$ สำหรับ $-\dfrac12\pi\lt x\lt\dfrac12\pi$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ (stationary point) ทุกจุดบนเส้นโค้ง ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่งเมื่อจำเป็น
Use the chain rule to differentiate $\tan^{2}x$.
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ $\tan^{2}x$
Answershow ▾
$\tan^{2}x=(\tan x)^{2}$: differentiate the square, then multiply by the derivative of $\tan x$.$\tan^{2}x=(\tan x)^{2}$: หาอนุพันธ์ของกำลังสองก่อน แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของ $\tan x$
Differentiate $e^{-5x}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $e^{-5x}$
Answershow ▾
Differentiate the power, then multiply by the derivative of $-5x$.หาอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของ $-5x$
Use $\sec^{2}x=1+\tan^{2}x$ to rewrite $2\sec^{2}x-5\tan x$ as a 3-term expression in $\tan x$.
จงใช้ $\sec^{2}x=1+\tan^{2}x$ เขียน $2\sec^{2}x-5\tan x$ ใหม่ให้เป็นนิพจน์สามพจน์ของ $\tan x$
Answershow ▾
Replace $\sec^{2}x$, then collect like terms.แทน $\sec^{2}x$ แล้วรวมพจน์ที่เหมือนกัน
$e^{-5x}\tan x\left(2\sec^{2}x-5\tan x\right)=0$ for $-\tfrac12\pi\lt x\lt\tfrac12\pi$. Pick which factor(s) give solutions.
(A) $\tan x=0$ AND $2\sec^{2}x-5\tan x=0$ - both are possible, since $x=0$ is INSIDE this open interval
(B) only $2\sec^{2}x-5\tan x=0$, since $\tan x=0$ only gives an excluded endpoint
(C) only $\tan x=0$, since it is the simplest factor
$e^{-5x}\tan x\left(2\sec^{2}x-5\tan x\right)=0$ สำหรับ $-\tfrac12\pi\lt x\lt\tfrac12\pi$ จงเลือกตัวประกอบที่ให้คำตอบ
(A) $\tan x=0$ และ $2\sec^{2}x-5\tan x=0$ - เป็นไปได้ทั้งคู่ เพราะ $x=0$ อยู่ภายในช่วงเปิดนี้
(B) เฉพาะ $2\sec^{2}x-5\tan x=0$ เพราะ $\tan x=0$ ให้แค่จุดปลายที่ถูกตัดออก
(C) เฉพาะ $\tan x=0$ เพราะเป็นตัวประกอบที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
(B) is the trap from earlier questions, where $0$ sat AT an endpoint - here the interval is $-\tfrac12\pi\lt x\lt\tfrac12\pi$ and $x=0$ sits in the MIDDLE of it, fully included. (C) throws away the other factor, missing two real solutions.(B) คือกับดักจากข้อก่อนๆ ที่ $0$ อยู่ตรงจุดปลายพอดี แต่ที่นี่ช่วงคือ $-\tfrac12\pi\lt x\lt\tfrac12\pi$ และ $x=0$ อยู่กลางช่วง จึงอยู่ในช่วงเต็มๆ (C) ทิ้งตัวประกอบอีกตัวไป ทำให้คำตอบจริงหายไปสองค่า
The curve is $y=e^{-5x}\tan^{2}x$. Use the product rule to write $\dfrac{dy}{dx}$. Do not simplify yet.
เส้นโค้งคือ $y=e^{-5x}\tan^{2}x$ จงใช้กฎผลคูณเขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
Use questions 2 and 1 for the two derivatives.ใช้อนุพันธ์จากข้อ 2 และ 1
Both terms of $\dfrac{dy}{dx}=-5e^{-5x}\tan^{2}x+e^{-5x}\left(2\tan x\sec^{2}x\right)$ share $e^{-5x}\tan x$. Factor it out.
ทั้งสองพจน์ของ $\dfrac{dy}{dx}=-5e^{-5x}\tan^{2}x+e^{-5x}\left(2\tan x\sec^{2}x\right)$ มี $e^{-5x}\tan x$ ร่วมกัน จงแยกตัวประกอบนี้ออก
Answershow ▾
$-5e^{-5x}\tan^{2}x=e^{-5x}\tan x\times(-5\tan x)$.$-5e^{-5x}\tan^{2}x=e^{-5x}\tan x\times(-5\tan x)$
Using the D step, $2\sec^{2}x-5\tan x=0$ gives the other solutions. Use question 3 to write this as a 3-term equation in $\tan x$.
จากข้อ D จะได้ $2\sec^{2}x-5\tan x=0$ ซึ่งให้คำตอบที่เหลือ จงใช้ข้อ 3 เขียนให้เป็นสมการสามพจน์ของ $\tan x$
Answershow ▾
Question 3 already rewrote $2\sec^{2}x-5\tan x$ this way.ข้อ 3 เขียน $2\sec^{2}x-5\tan x$ ใหม่แบบนี้ไว้แล้ว
Factorise $2\tan^{2}x-5\tan x+2=0$ and solve for $\tan x$.
จงแยกตัวประกอบ $2\tan^{2}x-5\tan x+2=0$ แล้วแก้หา $\tan x$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $4$ (the outer product) and combine to give $-5$.สองจำนวนที่คูณกันได้ $4$ (ผลคูณปลาย) และรวมกันให้ $-5$
Use $\arctan$ to convert $\tan x=\tfrac12$ and $\tan x=2$ into values of $x$, correct to 3 decimal places.
จงใช้ $\arctan$ เปลี่ยน $\tan x=\tfrac12$ และ $\tan x=2$ เป็นค่า $x$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Both values are inside $-\tfrac12\pi\lt x\lt\tfrac12\pi$, so each gives exactly one $x$.ทั้งสองค่าอยู่ในช่วง $-\tfrac12\pi\lt x\lt\tfrac12\pi$ จึงให้ค่า $x$ ได้ค่าละหนึ่งค่า
The equation of a curve is $y=e^{-6x}\tan^{2}x$ for $-\tfrac12\pi\lt x\lt\tfrac12\pi$. Find the $x$-coordinates of the stationary points of the curve, correct to 3 decimal places where appropriate.
เส้นโค้งมีสมการ $y=e^{-6x}\tan^{2}x$ สำหรับ $-\tfrac12\pi\lt x\lt\tfrac12\pi$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ทุกจุดบนเส้นโค้ง ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่งเมื่อจำเป็น
Answershow ▾
Same method, with $6$ in place of $5$: the quadratic in $\tan x$ no longer factors with nice integers, so solve it with the quadratic formula.วิธีเดิม เปลี่ยน $5$ เป็น $6$: สมการกำลังสองของ $\tan x$ ไม่แยกตัวประกอบด้วยจำนวนเต็มสวยๆ จึงต้องใช้สูตรกำลังสอง
The equation of a curve is $y=e^{-5x}\tan^{2}x$ for $-\dfrac12\pi\lt x\lt\dfrac12\pi$. Find the $x$-coordinates of the stationary points of the curve. Give your answers correct to 3 decimal places where appropriate.
เส้นโค้งมีสมการ $y=e^{-5x}\tan^{2}x$ สำหรับ $-\dfrac12\pi\lt x\lt\dfrac12\pi$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ (stationary point) ทุกจุดบนเส้นโค้ง ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่งเมื่อจำเป็น
Answershow ▾
8 marks: 4 for the derivative in factored form, 1 for $x=0$, 3 for the other two exact and rounded values.8 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับอนุพันธ์ในรูปแยกตัวประกอบ 1 คะแนนสำหรับ $x=0$ 3 คะแนนสำหรับอีกสองค่าที่ปัดเศษแล้ว