Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Integration: Substitution, Parts and Moreอินทิเกรตขั้นสูง (Substitution & Parts)
A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 & Edexcel IAL WMA13 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
A definite integral, and a product differentiatedอินทิกรัลจำกัดเขต กับอนุพันธ์ของผลคูณ
Every technique today is a derivative rule reversed. Parts = panel 2 backwards. Substitution = the chain rule backwards.ทุกเทคนิควันนี้คือกฎดิฟที่กลับทาง · parts = ช่อง 2 ย้อนกลับ · การแทนค่า = กฎลูกโซ่ย้อนกลับ
- Straight from the P1 lesson: $\displaystyle\int_{1}^{3}2x\,dx=\;?$จากบทอินทิเกรต P1 ตรงๆ: $\displaystyle\int_{1}^{3}2x\,dx=\;?$
Answer:เฉลย: $\big[x^{2}\big]_{1}^{3}=9-1=8$P1 rules, harder functions: $\int 2x\,dx=x^{2}$ $\big[x^{2}\big]_{1}^{3}=9-1=8$กฎเดิมจาก P1 ฟังก์ชันยากขึ้น: $\int 2x\,dx=x^{2}$ $\big[x^{2}\big]_{1}^{3}=9-1=8$
- Differentiate $y=xe^{x}$.ดิฟ $y=xe^{x}$
Answer:เฉลย: $\dfrac{d}{dx}\big(xe^{x}\big)=xe^{x}+e^{x}$Read this line backwards later: $(xe^{x})'=xe^{x}+e^{x}$ Integration by parts comes from this line.เดี๋ยวเราจะอ่านบรรทัดนี้ย้อนกลับ: $(xe^{x})'=xe^{x}+e^{x}$ การอินทิเกรตทีละส่วนเกิดจากบรรทัดนี้
2. The table, read backwardsอ่านตารางดิฟย้อนกลับ
Four new rows for the reverse table, including the row P1 left out.สี่แถวใหม่ของตารางย้อนกลับ รวมแถวที่ P1 ไม่ได้บอก
The P3 derivative table you already ownตารางดิฟ P3 ที่มีอยู่ในมือแล้ว
Read each row right to left and you get an integral. No new idea today, only new rows.อ่านแต่ละแถวจากขวาไปซ้าย ก็ได้อินทิกรัล · วันนี้ไม่มีแนวคิดใหม่ มีแค่แถวใหม่
$\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x}\,dx$$\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x}\,dx$
- $\int_{0}^{2}e^{x}\,dx$The picture: the shaded area, boundary to boundary.ภาพคือ พื้นที่แถบสีที่แรเงาไว้ จากขอบหนึ่งถึงอีกขอบ
- $=\big[e^{x}\big]_{0}^{2}$Read the table backward: $e^{x}$ is its own antiderivative.อ่านตารางย้อนกลับ: $e^{x}$ ดิฟหรืออินทิเกรตก็ยังเป็นตัวเอง
- $=e^{2}-e^{0}$
- $=e^{2}-1$That number IS the shaded area. Read it straight off the table; do not guess.ตัวเลขนั้นคือพื้นที่แถบสีพอดี อ่านจากตารางตรง ๆ ไม่ใช่เดา
| $f(x)$ | $\int f(x)\,dx$ |
| $x^{n}\;(n\neq-1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|+c$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}+c$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+c$ |
| $\cos x$ | $\sin x+c$ |
Read the table from right to left: $\displaystyle\int \sin x\,dx=\;?$| $f(x)$ | $\int f(x)\,dx$ |
| $x^{n}\;(n\neq-1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|+c$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}+c$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+c$ |
| $\cos x$ | $\sin x+c$ |
อ่านตารางจากขวาไปซ้าย: $\displaystyle\int \sin x\,dx=\;?$
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+c$Flip the sign, check by differentiating: $\cos x\ \to\ -\sin x$ $-\cos x\ \to\ \sin x$ $\int\sin x\,dx=-\cos x+c$กลับเครื่องหมาย แล้วตรวจด้วยการดิฟ: $\cos x\ \to\ -\sin x$ $-\cos x\ \to\ \sin x$ $\int\sin x\,dx=-\cos x+c$- Which is the full-marks answer to $\displaystyle\int\frac{2}{x}\,dx$?ข้อไหนคือคำตอบแบบได้คะแนนเต็มของ $\displaystyle\int\frac{2}{x}\,dx$?
Answer:เฉลย: $2\ln|x|+c$$\ln$ of the modulus: $\int\frac{2}{x}\,dx=2\int\frac{1}{x}\,dx$ $=2\ln|x|+c$ The modulus is part of the rule, not decoration.$\ln$ ของค่าสัมบูรณ์: $\int\frac{2}{x}\,dx=2\int\frac{1}{x}\,dx$ $=2\ln|x|+c$ ค่าสัมบูรณ์เป็นส่วนหนึ่งของกฎ ไม่ใช่ของประดับ
- $\displaystyle\int e^{x}\,dx=\;?$$\displaystyle\int e^{x}\,dx=\;?$
Answer:เฉลย: $e^{x}+c$$e^{x}\to e^{x}$ forwards, so $e^{x}\to e^{x}+c$ backwards. This is the simplest row in the table. Many students make it too hard.$e^{x}\to e^{x}$ ขาไป ดังนั้น $e^{x}\to e^{x}+c$ ขากลับ · เป็นแถวที่ง่ายที่สุดในตาราง แต่หลายคนคิดให้ยากเกินจริง
3. Linear inside, divide by aข้างในเป็นเส้นตรง หารด้วย a
Integrating f(ax+b): the chain rule's factor must be paid back.อินทิเกรต f(ax+b): ตัวคูณจาก chain rule ต้องจ่ายคืน
You can already read $\cos x\to\sin x$ backward. What about $\cos 3x$?อ่าน $\cos x\to\sin x$ ย้อนกลับได้แล้ว แต่ $\cos 3x$ ล่ะ?
The inside changed from $x$ to $3x$. Guess the same shape, then check it by differentiating.ข้างในเปลี่ยนจาก $x$ เป็น $3x$ · เดารูปเดิมไปก่อน แล้วดิฟกลับเพื่อตรวจ
$\displaystyle\int(4x-1)^{3}\,dx$$\displaystyle\int(4x-1)^{3}\,dx$
- $\text{outer: power rule}$LABEL. The outer function is a power; the inside is linear.ติดป้าย · ตัวนอกคือกฎยกกำลัง · ข้างในเป็นเส้นตรง
- $F=\frac{(4x-1)^{4}}{4}$
- $=\frac{(4x-1)^{4}}{4\times4}+c$SUBSTITUTE. Divide by the inside's $a=4$ as well.แทนค่า · หารด้วย $a=4$ ของข้างในเพิ่มอีกชั้น
- $=\frac{(4x-1)^{4}}{16}+c$EVALUATE. Differentiate back: $4(4x-1)^{3}\times4\div16=(4x-1)^{3}$ ✓คิด · ดิฟกลับ: $4(4x-1)^{3}\times4\div16=(4x-1)^{3}$ ✓
- Something new: $\displaystyle\int\cos 3x\,dx$. First guess: $\sin 3x+c$. Differentiate the guess. Do you get $\cos 3x$ back?ของใหม่: $\displaystyle\int\cos 3x\,dx$ เดาก่อนว่า $\sin 3x+c$ แล้วดิฟคำตอบที่เดากลับไปตรวจ · ได้ $\cos 3x$ คืนมาไหม?
Answer:เฉลย: The guess gives $3\cos3x$ — three times too big.คำตอบที่เดาดิฟได้ $3\cos3x$ — ใหญ่เกินสามเท่าGuess is three times too big: $\text{guess}:\ \sin 3x$ $\frac{d}{dx}\sin 3x=3\cos 3x$ $3\cos 3x\ \text{vs}\ \cos 3x\ \Rightarrow\ \times 3\ \text{too big}$ที่เดา ใหญ่เกินไปสามเท่า: $\text{guess}:\ \sin 3x$ $\frac{d}{dx}\sin 3x=3\cos 3x$ $3\cos 3x\ \text{vs}\ \cos 3x\ \Rightarrow\ \times 3\ \text{too big}$
- So fix the guess: $\displaystyle\int\cos 3x\,dx=\;?$งั้นซ่อมคำตอบที่เดาซะ: $\displaystyle\int\cos 3x\,dx=\;?$
Answer:เฉลย: $\dfrac{\sin 3x}{3}+c$Divide by the inside's $a$: $\int\cos 3x\,dx=\frac{\sin 3x}{3}+c$ $\frac{d}{dx}\frac{\sin 3x}{3}=\frac{3\cos 3x}{3}=\cos 3x\ \checkmark$หารด้วย $a$ ของข้างใน: $\int\cos 3x\,dx=\frac{\sin 3x}{3}+c$ $\frac{d}{dx}\frac{\sin 3x}{3}=\frac{3\cos 3x}{3}=\cos 3x\ \checkmark$
- Divide or multiply? $\displaystyle\int e^{5x}\,dx=\;?$หารหรือคูณ? $\displaystyle\int e^{5x}\,dx=\;?$
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int e^{5x}\,dx=\dfrac{e^{5x}}{5}+c$Differentiation multiplies, integration divides: $\frac{d}{dx}e^{5x}=5e^{5x}$ $\int e^{5x}\,dx=\frac{e^{5x}}{5}+c$ Do not memorise the direction. Differentiate back to check.ดิฟคูณ อินทิเกรตหาร: $\frac{d}{dx}e^{5x}=5e^{5x}$ $\int e^{5x}\,dx=\frac{e^{5x}}{5}+c$ ไม่ต้องท่องว่าคูณหรือหาร · ดิฟกลับเพื่อตรวจ
4. Substitutionเปลี่ยนตัวแปร (Substitution)
If the inside is not linear, change everything into $u$, including the limits.ถ้าข้างในไม่ใช่เส้นตรง ให้เปลี่ยนทุกอย่างเป็น $u$ รวมทั้งขอบเขต
Same shape, one key differenceหน้าตาคล้ายกัน แต่ต่างกันจุดสำคัญจุดเดียว
Left: linear inside, divide-by-$a$ works. Right: nonlinear inside needs a new move.ซ้าย: ข้างในเป็นเส้นตรง ใช้หารด้วย $a$ ได้ · ขวา: ข้างในไม่ใช่เส้นตรง ต้องใช้ท่าใหม่
$\displaystyle\int_{0}^{1}3x^{2}(x^{3}+2)^{2}\,dx$$\displaystyle\int_{0}^{1}3x^{2}(x^{3}+2)^{2}\,dx$
- $u=x^{3}+2$LABEL. Choose the inside as $u$.ติดป้าย · เลือกก้อนข้างในเป็น $u$
- $\frac{du}{dx}=3x^{2}$
- $du=3x^{2}\,dx$
- $x=0\to u=2$Both limits travel through $u=x^{3}+2$ before anything else.ขอบเขตทั้งสองวิ่งผ่าน $u=x^{3}+2$ ก่อนทำอย่างอื่น
- $x=1\to u=3$
- $=\int_{2}^{3}u^{2}\,du$SUBSTITUTE. The whole integral is now in $u$.แทนค่า · ตอนนี้อินทิกรัลทั้งก้อนอยู่ในรูป $u$ แล้ว
- $=\Big[\frac{u^{3}}{3}\Big]_{2}^{3}$
- $=\frac{27-8}{3}=\frac{19}{3}$EVALUATE. No $x$ is left, so there is nothing to change back.คิด · ไม่เหลือ $x$ แล้ว จึงไม่ต้องเปลี่ยนกลับ
- $\displaystyle\int 2x(x^{2}+1)^{5}\,dx$. The inside $x^{2}+1$ is not linear, so dividing by $a$ does not work. Try the guess $\dfrac{(x^{2}+1)^{6}}{6}$ anyway and differentiate it. What comes out?$\displaystyle\int 2x(x^{2}+1)^{5}\,dx$ · ข้างใน $x^{2}+1$ ไม่ใช่เส้นตรง ใช้หารด้วย $a$ ไม่ได้ ลองเดา $\dfrac{(x^{2}+1)^{6}}{6}$ ไปก่อนแล้วดิฟดู ได้อะไรออกมา?
Answer:เฉลย: Exactly the question — because the $2x$ the chain rule needs was already there.ได้ตรงโจทย์เป๊ะ — เพราะ $2x$ ที่ chain rule ต้องการ อยู่ในโจทย์แล้วThe inside's derivative is already there: $\frac{d}{dx}\frac{(x^{2}+1)^{6}}{6}=6\cdot\frac{(x^{2}+1)^{5}}{6}\cdot 2x$ $=2x(x^{2}+1)^{5}\ \checkmark$อนุพันธ์ของข้างใน อยู่ในโจทย์อยู่แล้ว: $\frac{d}{dx}\frac{(x^{2}+1)^{6}}{6}=6\cdot\frac{(x^{2}+1)^{5}}{6}\cdot 2x$ $=2x(x^{2}+1)^{5}\ \checkmark$
- Your turn, with a missing factor to manage: $\displaystyle\int x(x^{2}+3)^{4}\,dx$ using $u=x^{2}+3$.ตาเราบ้าง คราวนี้ตัวคูณไม่ครบ ต้องจัดการเอง: $\displaystyle\int x(x^{2}+3)^{4}\,dx$ โดยใช้ $u=x^{2}+3$
Answer:เฉลย: $\dfrac{(x^{2}+3)^{5}}{10}+c$Manage the missing constant: $u=x^{2}+3,\ \ du=2x\,dx\ \Rightarrow\ x\,dx=\tfrac12\,du$ $\tfrac12\int u^{4}\,du=\tfrac12\cdot\frac{u^{5}}{5}=\frac{u^{5}}{10}$ $=\frac{(x^{2}+3)^{5}}{10}+c$ Two marks go here: the dropped $\tfrac12$, and not changing back to $x$.จัดการค่าคงที่ที่ขาดไป: $u=x^{2}+3,\ \ du=2x\,dx\ \Rightarrow\ x\,dx=\tfrac12\,du$ $\tfrac12\int u^{4}\,du=\tfrac12\cdot\frac{u^{5}}{5}=\frac{u^{5}}{10}$ $=\frac{(x^{2}+3)^{5}}{10}+c$ คะแนนหายสองจุด: ลืม $\tfrac12$ และไม่เปลี่ยนกลับเป็น $x$
- Definite now: $\displaystyle\int_{0}^{1}2x(x^{2}+1)^{5}\,dx$ with $u=x^{2}+1$ becomes $\displaystyle\int u^{5}\,du$. Between which limits?คราวนี้จำกัดเขต: $\displaystyle\int_{0}^{1}2x(x^{2}+1)^{5}\,dx$ พอใช้ $u=x^{2}+1$ จะกลายเป็น $\displaystyle\int u^{5}\,du$ · ขอบเขตจากไหนถึงไหน?
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{1}^{2}u^{5}\,du=\Big[\tfrac{u^{6}}{6}\Big]_{1}^{2}=\tfrac{64-1}{6}=\tfrac{21}{2}$$\displaystyle\int_{1}^{2}u^{5}\,du=\Big[\tfrac{u^{6}}{6}\Big]_{1}^{2}=\tfrac{64-1}{6}=\tfrac{21}{2}$Change limits, or change back: $u=x^{2}+1:\ \ x=0\to u=1,\ \ x=1\to u=2$ $\int_{1}^{2}u^{5}\,du=\Big[\tfrac{u^{6}}{6}\Big]_{1}^{2}=\tfrac{64-1}{6}=\tfrac{21}{2}$ Change the limits and finish in $u$, or change back and use the old ones.เปลี่ยนลิมิต หรือเปลี่ยนกลับ: $u=x^{2}+1:\ \ x=0\to u=1,\ \ x=1\to u=2$ $\int_{1}^{2}u^{5}\,du=\Big[\tfrac{u^{6}}{6}\Big]_{1}^{2}=\tfrac{64-1}{6}=\tfrac{21}{2}$ เปลี่ยนลิมิตแล้วจบใน $u$ · หรือเปลี่ยนกลับแล้วใช้ลิมิตเดิม · อย่าปนกัน
5. Integration by partsอินทิเกรตทีละส่วน (By parts)
The product rule, rearranged. Derive it yourself from the warm-up line.กฎผลคูณจัดรูปใหม่ · จะได้พิสูจน์เองจากบรรทัดตอนวอร์มอัพ
From the warm-up: $(xe^{x})'=xe^{x}+e^{x}$จากวอร์มอัพ: $(xe^{x})'=xe^{x}+e^{x}$
No new fact needed. The formula for parts is this line, read a different way.ไม่ต้องมีของใหม่เลย — สูตร parts คือบรรทัดนี้ อ่านคนละแบบเฉย ๆ
$\displaystyle\int xe^{-x}\,dx$$\displaystyle\int xe^{-x}\,dx$
- $u=x$LABEL. $u$ is the factor that gets simpler.ติดป้าย · $u$ คือตัวที่ดิฟแล้วง่ายลง
- $\frac{dv}{dx}=e^{-x}$
- $\frac{du}{dx}=1$
- $v=-e^{-x}$Divide by $a=-1$. The level-2 skill only flips the sign.หารด้วย $a=-1$ · ทักษะจากขั้นที่ 2 ตรงนี้แค่กลับเครื่องหมาย
- $=-xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx$SUBSTITUTE. Copy the formula, four pieces in, then stop.แทนค่า · ลอกสูตรใส่ทั้งสี่ชิ้นแล้วหยุด
- $=-xe^{-x}-e^{-x}+c$EVALUATE. Only now finish the integral that is left.คิด · ค่อยทำอินทิกรัลที่เหลือตอนนี้
- Warm-up line, back from your pocket: $(xe^{x})'=xe^{x}+e^{x}$. Integrate both sides: $\;xe^{x}=\displaystyle\int xe^{x}dx+\int e^{x}dx$. So $\displaystyle\int xe^{x}\,dx=\;?$บรรทัดจากกระเป๋าตอนวอร์มอัพกลับมาแล้ว: $(xe^{x})'=xe^{x}+e^{x}$ อินทิเกรตทั้งสองข้าง: $\;xe^{x}=\displaystyle\int xe^{x}dx+\int e^{x}dx$ ดังนั้น $\displaystyle\int xe^{x}\,dx=\;?$
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int xe^{x}\,dx=xe^{x}-e^{x}+c$The product rule, rearranged, gives $\int xe^{x}dx$. Reading a rule backwards is how this integral was found.กฎผลคูณที่จัดรูปใหม่ ให้ $\int xe^{x}dx$ ออกมา · การอ่านกฎเก่าย้อนกลับคือวิธีที่ได้อินทิกรัลข้อนี้
- Your first solo flight: $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ (take $u=x$, $\tfrac{dv}{dx}=\cos x$).บินเดี่ยวครั้งแรก: $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ (ให้ $u=x$, $\tfrac{dv}{dx}=\cos x$)
Answer:เฉลย: $x\sin x+\cos x+c$You can see why the $u$ choice matters: after one round only $\int\sin x\,dx$ is left, and that is easy.ตรงนี้เห็นชัดว่าทำไมการเลือก $u$ ถึงสำคัญ: ผ่านไปหนึ่งรอบ เหลือแค่ $\int\sin x\,dx$ ซึ่งง่ายมาก
- Same $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$, but a student picks it backwards: $u=e^{x}$, $\tfrac{dv}{dx}=x$. What happens?โจทย์เดิม $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$ แต่มีนักเรียนเลือกกลับด้าน: $u=e^{x}$, $\tfrac{dv}{dx}=x$ จะเกิดอะไรขึ้น?
Answer:เฉลย: The leftover integral gets worse — the power grows and you loop.อินทิกรัลที่เหลือแย่ลง — กำลังโตขึ้นแล้ววนลูปIs the leftover easier?: $u=e^{x}:\ \ \frac{x^{2}}{2}e^{x}-\int\frac{x^{2}}{2}e^{x}\,dx\ \ \text{power grew}$ $u=x:\ \ xe^{x}-\int e^{x}\,dx\ \ \checkmark$ If the leftover is not easier, swap $u$ and $\frac{dv}{dx}$.อินทิกรัลที่เหลือ ง่ายลงไหม: $u=e^{x}:\ \ \frac{x^{2}}{2}e^{x}-\int\frac{x^{2}}{2}e^{x}\,dx\ \ \text{power grew}$ $u=x:\ \ xe^{x}-\int e^{x}\,dx\ \ \checkmark$ ถ้าที่เหลือไม่ง่ายลง ให้สลับ $u$ กับ $\frac{dv}{dx}$
- $\displaystyle\int\ln x\,dx$. Odd trick: there is no product... until you write it as $1\cdot\ln x$ and take $u=\ln x$, $\tfrac{dv}{dx}=1$.$\displaystyle\int\ln x\,dx$ ทริคแปลกๆ: มันไม่มีผลคูณ... จนกว่าจะเขียนเป็น $1\cdot\ln x$ แล้วให้ $u=\ln x$, $\tfrac{dv}{dx}=1$
Answer:เฉลย: $x\ln x-x+c$$u=\ln x$ is forced: $\ln x=1\cdot\ln x$ $u=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac1x$ $x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx=x\ln x-x+c$ $\ln x$ is the one part we cannot integrate, so it must be $u$.ต้องเลือก $u=\ln x$ เท่านั้น: $\ln x=1\cdot\ln x$ $u=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac1x$ $x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx=x\ln x-x+c$ $\ln x$ คือส่วนที่อินทิเกรตไม่ได้ จึงต้องเป็น $u$
6. Rewrite first, then integrateจัดรูปก่อน แล้วค่อยอินทิเกรต
Rewrite the question first. Use partial fractions for algebraic fractions, and identities for trig. Then the table gives the integral.จัดรูปโจทย์ก่อน · เศษส่วนพีชคณิตใช้เศษส่วนย่อย · ตรีโกณใช้เอกลักษณ์ · แล้วใช้ตารางหาอินทิกรัล
The table has no row for these, so rewrite them firstตารางไม่มีแถวสำหรับพวกนี้ · จัดรูปก่อน
Substitution and parts do not work here. Use partial fractions, then the double-angle identity.substitution กับ parts ใช้ไม่ได้ · ตัวแรกใช้เศษส่วนย่อย ตัวหลังใช้เอกลักษณ์มุมสองเท่า
$\displaystyle\int\frac{7}{(x-2)(x+5)}\,dx$$\displaystyle\int\frac{7}{(x-2)(x+5)}\,dx$
- $\frac{7}{(x-2)(x+5)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+5}$Cover up one bracket at a time.ปิดวงเล็บทีละอัน
- $A=\frac{7}{2+5}$
- $=1$
- $B=\frac{7}{-5-2}$
- $=-1$
- $=\int\Big(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+5}\Big)dx$
- $=\ln|x-2|-\ln|x+5|+c$Each row is $\frac{f'}{f}$ with $f'=1$.แต่ละบรรทัดคือ $\frac{f'}{f}$ ที่ $f'=1$
- Use the split above: $\displaystyle\int\frac{1}{x(x+1)}\,dx=\;?$ใช้ที่แยกไว้ข้างบน: $\displaystyle\int\frac{1}{x(x+1)}\,dx=\;?$
Answer:เฉลย: $\ln|x|-\ln|x+1|+c \;=\; \ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+c$Split first, then integrate: $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ $=\ln|x|-\ln|x+1|+c$ $=\ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+c$ Keep both modulus signs; fold into one $\ln$ only if the paper asks.แยกเศษส่วนก่อน แล้วค่อยอินทิเกรต: $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ $=\ln|x|-\ln|x+1|+c$ $=\ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+c$ เก็บค่าสัมบูรณ์ทั้งสองตัว · รวมเป็น $\ln$ เดียวเมื่อโจทย์สั่งเท่านั้น
- Now the trig one: $\displaystyle\int\cos^{2}x\,dx=\;?$คราวนี้ฝั่งตรีโกณ: $\displaystyle\int\cos^{2}x\,dx=\;?$
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int\cos^{2}x\,dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}+c$Identity first, then the table: $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$ $\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ $\int\cos^{2}x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+c$ An even power of a trig function always needs the identity first.ใช้เอกลักษณ์ก่อน แล้วค่อยเปิดตาราง: $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$ $\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ $\int\cos^{2}x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+c$ ตรีโกณยกกำลังคู่ ต้องใช้เอกลักษณ์ก่อนเสมอ
7. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Pick the right tool fast, then deliver an exact answer, mark by mark.เลือกเครื่องมือให้ไว แล้วส่งคำตอบแบบ exact เก็บทีละคะแนน
The P3 integration question: exact answer, tool unstatedข้ออินทิเกรต P3: ต้องตอบ exact และโจทย์ไม่บอกเครื่องมือ
"Find the exact value": $\ln 2$, $e^{2}-1$, $\tfrac{\pi}{2}-1$ stay exact. A decimal scores zero."find the exact value": $\ln 2$, $e^{2}-1$, $\tfrac{\pi}{2}-1$ ต้องคงรูป · ตอบทศนิยมได้ศูนย์
- Tool check: $\displaystyle\int xe^{x^{2}}\,dx$. Which tool, and why?ตรวจการเลือกเครื่องมือ: $\displaystyle\int xe^{x^{2}}\,dx$ · ใช้เครื่องมือไหน เพราะอะไร?
Answer:เฉลย: Substitution: $u=x^{2}$ gives $\tfrac12\int e^{u}du=\tfrac12 e^{x^{2}}+c$.Substitution: $u=x^{2}$ ได้ $\tfrac12\int e^{u}du=\tfrac12 e^{x^{2}}+c$Parts or substitution?: $xe^{x}:\ \ x\ \text{is an ordinary factor}\ \Rightarrow\ \text{parts}$ $xe^{x^{2}}:\ \ x=\tfrac12\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)\ \Rightarrow\ \text{substitution}$ $u=x^{2}:\ \ \tfrac12\int e^{u}\,du=\tfrac12 e^{x^{2}}+c$ If the $x$-factor is the inside's derivative, substitute; if not, use parts.parts หรือ substitution: $xe^{x}:\ \ x\ \text{is an ordinary factor}\ \Rightarrow\ \text{parts}$ $xe^{x^{2}}:\ \ x=\tfrac12\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)\ \Rightarrow\ \text{substitution}$ $u=x^{2}:\ \ \tfrac12\int e^{u}\,du=\tfrac12 e^{x^{2}}+c$ ถ้าตัว $x$ ที่คูณอยู่ คืออนุพันธ์ของข้างใน ใช้ substitution · ถ้าไม่ใช่ ใช้ parts
- Exam: Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}x\cos x\,dx$. (6 marks)ข้อสอบ: จงหาค่า exact ของ $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}x\cos x\,dx$ (6 คะแนน)
Answer:เฉลย: $\Big[x\sin x+\cos x\Big]_{0}^{\pi/2}=\Big(\dfrac{\pi}{2}+0\Big)-(0+1)=\dfrac{\pi}{2}-1$6 marks: $\text{M1}\ \ u=x,\ \ \frac{dv}{dx}=\cos x$ $\text{A1}\ \ v=\sin x,\ \ \frac{du}{dx}=1$ $\text{M1}\ \ x\sin x-\int\sin x\,dx$ $\text{A1}\ \ x\sin x+\cos x$ $\text{DM1}\ \ \Big[\ \Big]_{0}^{\pi/2}\ \text{upper}-\text{lower}$ $\text{A1}\ \ \Big(\frac{\pi}{2}+0\Big)-(0+1)=\frac{\pi}{2}-1$ Exact means $\frac{\pi}{2}-1$; the decimal $0.5708$ loses the last A1.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ u=x,\ \ \frac{dv}{dx}=\cos x$ $\text{A1}\ \ v=\sin x,\ \ \frac{du}{dx}=1$ $\text{M1}\ \ x\sin x-\int\sin x\,dx$ $\text{A1}\ \ x\sin x+\cos x$ $\text{DM1}\ \ \Big[\ \Big]_{0}^{\pi/2}\ \text{upper}-\text{lower}$ $\text{A1}\ \ \Big(\frac{\pi}{2}+0\Big)-(0+1)=\frac{\pi}{2}-1$ exact คือ $\frac{\pi}{2}-1$ · ตอบทศนิยม $0.5708$ เสีย A1 ตัวสุดท้าย
- Exam: Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin x\,dx$. (7 marks)ข้อสอบ: หาค่าตรง ๆ ของ $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin x\,dx$ (7 คะแนน)
Answer:เฉลย: $\Big[-x^{2}\cos x\Big]_{0}^{\pi}+2\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\cos x\,dx=\pi^{2}+2(-2)=\pi^{2}-4$7 marks: $\text{M1}\ \ u=x^{2},\ \ \frac{dv}{dx}=\sin x,\ \ v=-\cos x$ $\text{A1}\ \ \int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\,dx$ $\text{M1}\ \ \Big[-x^{2}\cos x\Big]_{0}^{\pi}=\pi^{2}$ $\text{M1}\ \ \text{parts again on}\ \int x\cos x\,dx$ $\text{A1}\ \ =x\sin x+\cos x$ $\text{M1}\ \ \Big[x\sin x+\cos x\Big]_{0}^{\pi}=-1-1=-2$ $\text{A1}\ \ \pi^{2}+2(-2)=\pi^{2}-4$ Stopping after one round leaves $\pi^{2}$ and throws away four marks.7 คะแนน: $\text{M1}\ \ u=x^{2},\ \ \frac{dv}{dx}=\sin x,\ \ v=-\cos x$ $\text{A1}\ \ \int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\,dx$ $\text{M1}\ \ \Big[-x^{2}\cos x\Big]_{0}^{\pi}=\pi^{2}$ $\text{M1}\ \ \text{parts again on}\ \int x\cos x\,dx$ $\text{A1}\ \ =x\sin x+\cos x$ $\text{M1}\ \ \Big[x\sin x+\cos x\Big]_{0}^{\pi}=-1-1=-2$ $\text{A1}\ \ \pi^{2}+2(-2)=\pi^{2}-4$ ทำ parts รอบเดียวแล้วหยุด ได้แค่ $\pi^{2}$ ทิ้งไปสี่คะแนน
- Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\cos x\,dx$.หาค่าตรง ๆ ของ $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\cos x\,dx$
Answer:เฉลย: $u=\sin x$ gives $\displaystyle\int_{0}^{1}u^{2}\,du=\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{1}=\dfrac13$Spare factor = inside's derivative: $\text{inside}=\sin x,\ \ \text{spare}=\cos x=\frac{d}{dx}\sin x$ $u=\sin x:\ \ x=0\to u=0,\ \ x=\tfrac{\pi}{2}\to u=1$ $\int_{0}^{1}u^{2}\,du=\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{1}=\tfrac13$ Use the $\cos 2x$ identity only when $\sin^{2}x$ stands alone.ตัวคูณที่เหลือ = อนุพันธ์ของข้างใน: $\text{inside}=\sin x,\ \ \text{spare}=\cos x=\frac{d}{dx}\sin x$ $u=\sin x:\ \ x=0\to u=0,\ \ x=\tfrac{\pi}{2}\to u=1$ $\int_{0}^{1}u^{2}\,du=\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{1}=\tfrac13$ ใช้เอกลักษณ์ $\cos 2x$ เฉพาะตอน $\sin^{2}x$ อยู่ลำพัง
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Find $\displaystyle\int x(x^{2}+5)^{3}\,dx$.
Answer:เฉลย: $u=x^{2}+5$: $\dfrac{(x^{2}+5)^{4}}{8}+c$Same as the level 3 worked example, with new numbers. It shows you can use substitution again.เหมือนตัวอย่างขั้นที่ 3 แต่เปลี่ยนตัวเลข · แสดงว่าใช้วิธี substitution ได้อีกครั้ง
- Find $\displaystyle\int x(1-2x^{2})^{3}\,dx$.
Answer:เฉลย: $u=1-2x^{2}$, $du=-4x\,dx$: $-\dfrac{(1-2x^{2})^{4}}{16}+c$Same move, but the negative coefficient gives $du=-4x\,dx$; every sign must carry through.ท่าเดิม แต่สัมประสิทธิ์ติดลบทำให้ได้ $du=-4x\,dx$ เครื่องหมายทุกตัวต้องเก็บให้ครบ
- Find $\displaystyle\int p\cos(p^{2})\,dp$.
Answer:เฉลย: $u=p^{2}$: $\dfrac{\sin(p^{2})}{2}+c$New letters, trig outside, same shape: the derivative of the inside sits beside it.ตัวอักษรใหม่ ข้างนอกเป็นตรีโกณ แต่โครงเดิม: อนุพันธ์ของข้างในอยู่ข้างๆ
- Find $\displaystyle\int xe^{2x}\,dx$.
Answer:เฉลย: By parts with $u=x$, then divide-by-$a$ twice: $\dfrac{xe^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+c$Parts, then divide by $a$: $v=\frac{e^{2x}}{2}$, and the leftover needs another $\div2$.ใช้ parts แล้วต่อด้วยหารด้วย $a$: $v=\frac{e^{2x}}{2}$ เศษที่เหลืออินทิเกรตด้วย $\div2$ อีกรอบ
- A student finished a by-parts question correctly and wrote $\;x\sin x+\cos x+c$. What integral was the question — and how do you know without redoing the parts?
Answer:เฉลย: Differentiate the answer: $\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$. The question was $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.Given the answer, find the question: one differentiation does it. It checks that you see integration as differentiation reversed.ให้คำตอบมา แล้วหาโจทย์ · ดิฟทีเดียวจบ · ข้อนี้วัดว่าเข้าใจจริงไหมว่าอินทิเกรตคือการดิฟย้อนกลับ
- (4 marks) (a)(ก) Express $\dfrac{2}{(x+1)(x+3)}$ in partial fractions. (2 marks) (b)(ข) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{2}{(x+1)(x+3)}\,dx$, giving your answer as a single logarithm.
Answer:เฉลย: (a) $\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+3}$ (b) $\big[\ln(x+1)-\ln(x+3)\big]_{0}^{1}=(\ln2-\ln4)-(0-\ln3)=\ln\dfrac{3}{2}$Multi-part, marks stated, and a single-log demand pulling in the log laws.หลายข้อย่อย มีคะแนนกำกับ บังคับตอบเป็น log ก้อนเดียวซึ่งลากกฎ log เข้ามา
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี