Integration · practice ladders ชุดไต่ระดับ · ปริพันธ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Integration · by parts, and an exact area
(a) Find $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$.
(b) Hence find the exact area of the region bounded by the curve $y = xe^{x}$, the $x$-axis, and the lines $x = 1$ and $x = 3$.
For $\displaystyle\int xe^{2x}\,dx$, decide which factor should be $u$ and which should be $\dfrac{dv}{dx}$, then write down $\dfrac{du}{dx}$ and $v$.
สำหรับ $\displaystyle\int xe^{2x}\,dx$ จงตัดสินใจว่าตัวประกอบใดควรเป็น $u$ และตัวประกอบใดควรเป็น $\dfrac{dv}{dx}$ แล้วหา $\dfrac{du}{dx}$ และ $v$
Answershow ▾
Pick $u$ to be the factor that gets SIMPLER when you differentiate it, and $\dfrac{du}{dx}$ to be the factor you can already integrate. Here $x$ differentiates to $1$, while the exponential integrates to another exponential — that choice is what decides whether the question is doable at all.
Using $u = x$, $\dfrac{du}{dx} = 1$, $v = \dfrac{1}{2}e^{2x}$, apply $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ to write down $\int xe^{2x}\,dx$, without simplifying yet.
เมื่อ $u = x$ · $\dfrac{du}{dx} = 1$ · $v = \dfrac{1}{2}e^{2x}$ จงใช้ $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ เขียน $\int xe^{2x}\,dx$ ออกมาโดยยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
Copy $uv$ down first, then subtract the integral of $v\,du$ — do not simplify anything until this whole line is written down correctly.
Find the exact value of $\displaystyle\int_{1}^{2} e^{2x}\,dx$.
หาค่าที่แน่นอนของ $\displaystyle\int_{1}^{2} e^{2x}\,dx$
Answershow ▾
$\int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n}e^{nx} + c$; then substitute the upper limit, substitute the lower limit, and subtract — the same limit-handling the exact area needs later.
Integration by parts asks one question before it starts: which factor is $u$? For $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$, choose between $u = x$ and $u = e^{x}$, then write the integral each choice leaves behind and say which one is easier than the one you started with.
การอินทิเกรตทีละส่วนถามคำถามเดียวก่อนเริ่ม: ตัวประกอบไหนคือ $u$ · สำหรับ $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$ จงเลือกระหว่าง $u = x$ กับ $u = e^{x}$ แล้วเขียนอินทิกรัลที่เหลือจากแต่ละทางเลือก และบอกว่าทางไหนง่ายกว่าโจทย์เดิม
Answershow ▾
Both lines are correct applications of the formula. Only one of them is progress: $x$ differentiates down to $1$ and disappears, while $e^{x}$ differentiates to itself forever. The test is always “which factor gets simpler when differentiated”, and the second factor must be one you can already integrate. The M1 pays for a correct use of the formula whichever way round you chose, so the wrong choice costs the rest of the question and nothing of its own.ทั้งสองบรรทัดใช้สูตรถูกต้อง แต่มีทางเดียวที่คืบหน้า: $x$ หาอนุพันธ์แล้วเหลือ $1$ แล้วหายไป ส่วน $e^{x}$ หาอนุพันธ์กี่ครั้งก็ได้ตัวเดิม · การทดสอบคือ "ตัวประกอบไหนง่ายลงเมื่อหาอนุพันธ์" และอีกตัวต้องเป็นตัวที่อินทิเกรตเป็นอยู่แล้ว · M1 ให้กับการใช้สูตรถูกต้องไม่ว่าจะเลือกทางไหน เลือกผิดจึงเสียทั้งข้อที่เหลือ และไม่เสียคะแนนของตัวมันเอง
For $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$, state $u$, $\dfrac{dv}{dx}$, $\dfrac{du}{dx}$ and $v$.
Answershow ▾
Same reasoning as question 1, with the real coefficient.
Using the results of question 4, write down $\int xe^{x}\,dx$ using $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, without simplifying yet.
Answershow ▾
Same move as question 2, with the real coefficient.
Simplify $\displaystyle\int xe^{x}\,dx = x\cdot e^{x} - \displaystyle\int e^{x}\,dx$ to find $\int xe^{x}\,dx$.
Answershow ▾
Integrate the remaining $\int v\,du$ and never forget the $+c$ — this is part (a) of the exam question, complete.
Part (a) is $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$ and part (b) is $\displaystyle\int_{1}^{3} xe^{x}\,dx$. One of them must carry $+c$ and one must not. Say which is which, and why the $+c$ makes no difference to the area even if you write it.
ข้อ (a) คือ $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$ ส่วนข้อ (b) คือ $\displaystyle\int_{1}^{3} xe^{x}\,dx$ · ข้อหนึ่งต้องมี $+c$ อีกข้อต้องไม่มี · บอกว่าข้อไหนเป็นข้อไหน และทำไม $+c$ ไม่มีผลต่อพื้นที่ แม้จะเขียนมันลงไป
Answershow ▾
No limits means a whole family of antiderivatives, and the $+c$ is the family. Limits pick out a difference, and the constant cancels itself. Leaving $+c$ off part (a) loses a mark that is written down for it; carrying it into part (b) loses nothing but marks you as not knowing why. The A1 in part (a) says “$+c$” explicitly; nothing anywhere says which of the two integrals you are looking at.ไม่มีลิมิตแปลว่าเป็นครอบครัวของปฏิยานุพันธ์ทั้งครอบครัว และ $+c$ คือครอบครัวนั้น · เมื่อมีลิมิต เราหาผลต่าง ค่าคงที่จึงหักล้างตัวเอง · การลืม $+c$ ในข้อ (a) ทำให้เสียคะแนนที่เขียนไว้ให้ ส่วนการลาก $+c$ เข้าไปในข้อ (b) ไม่เสียคะแนน แต่ฟ้องว่าไม่เข้าใจเหตุผล · A1 ของข้อ (a) เขียนคำว่า "$+c$" ไว้ตรง ๆ แต่ไม่มีที่ไหนบอกว่ากำลังมองอินทิกรัลแบบไหนอยู่
The curve $y = xe^{x}$ meets the lines $x = 1$ and $x = 3$. Using the antiderivative from question 6, write down the area of the region bounded by the curve, the $x$-axis, and these two lines as a bracketed expression.
Answershow ▾
The area under a curve between two vertical lines is the definite integral between them — plug the antiderivative from part (a) straight into bracket notation.
Evaluate $\left[xe^{x} - e^{x}\right]_{1}^{3}$, and state the exact area of the region.
Answershow ▾
Substitute $x = 3$, substitute $x = 1$, subtract. Since $x \ge 1 \gt 0$ the curve never dips below the $x$-axis on this interval, so this value is already the area — unlike a curve that crosses the axis, there is no modulus to take.
An integral and an area are not always the same number. State the sign of $y = xe^{x}$ everywhere on $1 \le x \le 3$, and say what extra step the question would have needed if the curve had crossed the $x$-axis between the limits.
อินทิกรัลกับพื้นที่ไม่ได้เป็นตัวเลขเดียวกันเสมอไป · จงบอกเครื่องหมายของ $y = xe^{x}$ ตลอดช่วง $1 \le x \le 3$ และบอกว่าถ้าเส้นโค้งตัดแกน $x$ ระหว่างลิมิต โจทย์จะต้องเพิ่มขั้นตอนอะไร
Answershow ▾
Below the axis an integral counts negative area, so a curve that crosses gives a number smaller than the region it bounds, and can even give zero. Here both factors are positive on the whole interval, so the integral IS the area and nothing extra is needed. Checking that takes one line. The A1 is for the number $2e^{3}$; the mark scheme never mentions the check, and on the day the curve does cross, the same $2e^{3}$ method quietly returns the wrong answer.ใต้แกน อินทิกรัลนับพื้นที่เป็นลบ เส้นโค้งที่ตัดแกนจึงให้ตัวเลขที่น้อยกว่าพื้นที่จริง และอาจได้ศูนย์ด้วยซ้ำ · ที่นี่ตัวประกอบทั้งสองเป็นบวกตลอดช่วง อินทิกรัลจึง "คือ" พื้นที่ และไม่ต้องทำอะไรเพิ่ม · การตรวจใช้บรรทัดเดียว · A1 ให้กับตัวเลข $2e^{3}$ มาร์คสกีมไม่เคยพูดถึงการตรวจนี้ และวันที่เส้นโค้งตัดแกนจริง วิธีเดิมจะให้คำตอบผิดอย่างเงียบ ๆ
(a) Find $\displaystyle\int xe^x\,dx$.
(b) Hence find the exact area of the region bounded by the curve $y = xe^x$, the $x$-axis, and the lines $x = 1$ and $x = 2$.
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with the smallest numbers that still show the method.
(a) Find $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$.
(b) Hence find the exact area of the region bounded by the curve $y = xe^{x}$, the $x$-axis, and the lines $x = 1$ and $x = 3$.
Answershow ▾
8 marks. Questions 4, 5 and 6 build part (a); questions 7 and 8 build part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Integration · by substitution
Using the substitution $u = \sin x$, find the exact value of $\displaystyle\int_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{2}} 2\sin^{4}x\cos x\,dx$.
For the substitution $u = 1 + 2x^2$, find $\dfrac{du}{dx}$.
สำหรับการแทนค่า $u = 1 + 2x^2$ จงหา $\dfrac{du}{dx}$
Answershow ▾
Differentiate the substitution itself, term by term, exactly as you would differentiate any function of $x$ — this is always the first move, whatever the substitution turns out to be.
For the substitution $u = 1 + 2x^2$, a definite integral has limits $x = 0$ and $x = 2$. Find the matching limits for $u$.
สำหรับการแทนค่า $u = 1 + 2x^2$ อินทิกรัลจำกัดเขตมีขอบเขต $x = 0$ และ $x = 2$ จงหาขอบเขตของ $u$ ที่สอดคล้องกัน
Answershow ▾
Substitute each $x$-limit into the substitution formula itself to get the matching $u$-limit. Forgetting this — and integrating in $u$ between the OLD $x$-limits — is the mark most often lost in this topic.
Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{2} u^{3}\,du$.
หาค่าที่แน่นอนของ $\displaystyle\int_{0}^{2} u^{3}\,du$
Answershow ▾
Once everything is written in terms of $u$, it is an ordinary power-rule integral — raise the power by 1, divide by the new power, then substitute the $u$-limits.
This question hands you the substitution, but the next one will not. Of $u = \sin x$, $u = \cos x$ and $u = \sin^{4}x$, which one turns $\displaystyle\int 2\sin^{4}x\cos x\,dx$ into a power of $u$ — and what is the one thing you look for in the integrand to decide?
ข้อนี้บอกตัวแทนมาให้ แต่ข้อหน้าจะไม่บอก · จาก $u = \sin x$, $u = \cos x$ และ $u = \sin^{4}x$ ตัวไหนเปลี่ยน $\displaystyle\int 2\sin^{4}x\cos x\,dx$ ให้เป็นเลขยกกำลังของ $u$ และสิ่งเดียวที่ต้องมองหาในตัวถูกอินทิเกรตคืออะไร
Answershow ▾
$\cos x\,dx$ is exactly $du$, so it is absorbed and no $x$ is left. $u = \cos x$ gives $du = -\sin x\,dx$, and the integrand has $\sin^{4}x$, an even power that will not surrender a single $\sin x$ cleanly. $u = \sin^{4}x$ gives $du = 4\sin^{3}x\cos x\,dx$, which is not in the integrand either. The test is never the biggest lump; it is which lump has its own derivative standing next to it. The M1 pays for a correct substitution, not for finding it.$\cos x\,dx$ คือ $du$ พอดี จึงถูกกลืนหมด และไม่เหลือ $x$ เลย · ถ้าใช้ $u = \cos x$ จะได้ $du = -\sin x\,dx$ แต่ตัวถูกอินทิเกรตมี $\sin^{4}x$ ซึ่งเป็นกำลังคู่ ดึง $\sin x$ ออกมาตัวเดียวไม่ได้สะอาด · ถ้าใช้ $u = \sin^{4}x$ จะได้ $du = 4\sin^{3}x\cos x\,dx$ ซึ่งก็ไม่มีในโจทย์ · การทดสอบไม่ใช่การเลือกก้อนที่ใหญ่ที่สุด แต่คือก้อนที่มีอนุพันธ์ของตัวเองยืนอยู่ข้าง ๆ · M1 ให้กับการแทนค่าที่ถูก ไม่ได้ให้กับการหาว่าจะแทนอะไร
For the substitution $u = \sin x$, find $\dfrac{du}{dx}$, and hence write $\cos x\,dx$ in terms of $du$.
Answershow ▾
Same move as question 1, applied to the substitution actually used in the exam question.
The integral $\displaystyle\int_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{2}} 2\sin^{4}x\cos x\,dx$ uses the substitution $u = \sin x$. Find the matching limits for $u$.
Answershow ▾
Same move as question 2: substitute each $x$-limit into $u = \sin x$ itself.
After the substitution the integral runs between two numbers. Two of these three lines are wrong. Which is right, and what has gone wrong in each of the others?
(A) $\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2} 2u^{4}\,du$ (B) $\displaystyle\int_{1/2}^{1} 2u^{4}\,du$ (C) $\displaystyle\int_{1}^{1/2} 2u^{4}\,du$
หลังแทนค่า อินทิกรัลจะวิ่งระหว่างตัวเลขสองตัว · สองในสามบรรทัดนี้ผิด · ข้อไหนถูก และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2} 2u^{4}\,du$ (B) $\displaystyle\int_{1/2}^{1} 2u^{4}\,du$ (C) $\displaystyle\int_{1}^{1/2} 2u^{4}\,du$
Answershow ▾
(A) keeps the $x$-limits under a $u$-integral, which is the single commonest lost mark in this topic: the limits belong to whichever letter the $d$ says. (C) has the right numbers the wrong way round, which flips the sign of the answer. The limits are found by putting each $x$-limit into $u = \sin x$ itself, and the smaller $x$ happens to give the smaller $u$ here only because $\sin$ is increasing on this interval — it is not a rule. The A1 pays for the final value; nothing pays for changing the limits, and everything after it depends on having done so.(A) เก็บลิมิตของ $x$ ไว้ใต้อินทิกรัลของ $u$ ซึ่งเป็นจุดเสียคะแนนที่พบบ่อยที่สุดของหัวข้อนี้: ลิมิตเป็นของตัวอักษรที่ $d$ ระบุไว้ · (C) ใช้ตัวเลขถูกแต่สลับที่ ทำให้เครื่องหมายของคำตอบกลับด้าน · ลิมิตหาได้จากการแทนลิมิตของ $x$ ลงใน $u = \sin x$ โดยตรง และที่ $x$ น้อยกว่าให้ $u$ น้อยกว่าตรงนี้ เป็นเพราะ $\sin$ เพิ่มขึ้นในช่วงนี้เท่านั้น ไม่ใช่กฎ · A1 ให้กับค่าสุดท้าย ไม่มีคะแนนให้กับการเปลี่ยนลิมิต แต่ทุกอย่างหลังจากนั้นขึ้นกับการเปลี่ยนนั้น
Using the results of questions 4 and 5, rewrite $\displaystyle\int_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{2}} 2\sin^{4}x\cos x\,dx$ entirely in terms of $u$.
Answershow ▾
$\sin^n x$ becomes $u^n$ and $\cos x\,dx$ becomes $du$ — every $x$ must disappear, including the limits, which is why question 5 had to come first.
“Entirely in terms of $u$” means three separate things have to change. List them, and then say which letter may not appear anywhere in the finished line.
"เขียนใหม่ทั้งหมดในรูป $u$" หมายถึงสามสิ่งที่ต้องเปลี่ยน · จงบอกทั้งสามสิ่ง แล้วบอกว่าตัวอักษรไหนต้องไม่ปรากฏในบรรทัดที่เสร็จแล้วเลย
Answershow ▾
A half-converted integral is the most dangerous line on the page, because it still looks like an integral and will still produce a number. The check is mechanical: run your eye along the line and if a single $x$ survives — in the integrand, in the $d$, or on either limit — the substitution is not finished. The M1 is for the integral in $u$; the check that no $x$ is left is worth nothing and catches everything.อินทิกรัลที่แปลงครึ่งเดียวคือบรรทัดที่อันตรายที่สุดในหน้ากระดาษ เพราะมันยังดูเหมือนอินทิกรัลและยังให้ตัวเลขออกมาได้ · การตรวจเป็นแบบกลไก: กวาดตาไปตามบรรทัด ถ้ามี $x$ เหลืออยู่แม้ตัวเดียว ไม่ว่าจะในตัวถูกอินทิเกรต ใน $d$ หรือที่ลิมิตข้างใดข้างหนึ่ง แปลว่าการแทนค่ายังไม่จบ · M1 ให้กับอินทิกรัลในรูป $u$ การตรวจว่าไม่เหลือ $x$ ไม่มีคะแนน แต่จับได้ทุกอย่าง
Find $\displaystyle\int 2u^{4}\,du$.
Answershow ▾
An ordinary power-rule integral now that every $x$ is gone — raise the power by 1 and divide by the new power.
Evaluate $\left[\frac{2}{5}u^{5}\right]_{\frac{1}{2}}^{1}$.
Answershow ▾
Substitute the upper $u$-limit, substitute the lower $u$-limit, subtract — the same limit-handling as question 3, now with the real numbers.
Using the substitution $u = \sin x$, find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin^2 x\cos x\,dx$.
Answershow ▾
Same substitution and every step as the exam question, but with the smallest exponent and the simplest limits.
Using the substitution $u = \sin x$, find the exact value of $\displaystyle\int_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{2}} 2\sin^{4}x\cos x\,dx$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 differentiates the substitution; question 5 changes the limits; question 6 rewrites the integral; questions 7 and 8 integrate and evaluate.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two linear factors, cover-up, then ln ตัวประกอบเชิงเส้นสองตัว ปิดวงเล็บ แล้วหา ln
Let $f(x)=\dfrac{15-6x}{(1+2x)(4-x)}$.
(a) Express $f(x)$ in partial fractions.
(b) Hence find $\int_{1}^{2} f(x)\,dx$, giving your answer in the form $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$, where $a$ and $b$ are integers.
กำหนดให้ $f(x)=\dfrac{15-6x}{(1+2x)(4-x)}$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย
(ข) จากนั้นหา $\int_{1}^{2} f(x)\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูป $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม
$15-6x \equiv A(4-x)+B(1+2x)$. Substitute $x=-\tfrac12$ to find $A$.
$15-6x \equiv A(4-x)+B(1+2x)$ จงแทน $x=-\tfrac12$ เพื่อหา $A$
Answershow ▾
At $x=-\tfrac12$ the bracket $(1+2x)$ is zero, so the $B$ term vanishes.ที่ $x=-\tfrac12$ วงเล็บ $(1+2x)$ เป็นศูนย์ พจน์ $B$ จึงหายไป
$15-6x \equiv A(4-x)+B(1+2x)$. Substitute $x=4$ to find $B$.
$15-6x \equiv A(4-x)+B(1+2x)$ จงแทน $x=4$ เพื่อหา $B$
Answershow ▾
At $x=4$ the bracket $(4-x)$ is zero, so the $A$ term vanishes.ที่ $x=4$ วงเล็บ $(4-x)$ เป็นศูนย์ พจน์ $A$ จึงหายไป
Find $\displaystyle\int \dfrac{4}{1+2x}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int \dfrac{4}{1+2x}\,dx$
Answershow ▾
The inside $1+2x$ is linear with gradient $2$, so divide the usual $\ln$ row by $2$.ข้างในคือ $1+2x$ เป็นเส้นตรงความชัน $2$ จึงหารแถว $\ln$ ปกติด้วย $2$
$f(x)$ has two distinct linear factors on the bottom. Pick the first move.
(A) substitute $x=\tan\theta$
(B) split into partial fractions with the cover-up method
(C) integrate it as it stands, using the reverse chain rule
ตัวหารของ $f(x)$ เป็นเส้นตรงต่างกันสองตัว จงเลือกขั้นแรก
(A) แทน $x=\tan\theta$
(B) แยกเป็นเศษส่วนย่อยด้วยวิธีปิดวงเล็บ
(C) หาปริพันธ์ตามรูปเดิม โดยใช้กฎลูกโซ่แบบย้อนกลับ (reverse chain rule)
Answershow ▾
(A) is for $a^{2}+x^{2}$ on the bottom, not two linear factors. (C) needs the top to be (a multiple of) the derivative of the bottom, and $15-6x$ is not that.(A) ใช้กับตัวหารรูป $a^{2}+x^{2}$ ไม่ใช่เส้นตรงสองตัว (C) ต้องการให้เศษเป็นผลคูณของอนุพันธ์ของส่วน แต่ $15-6x$ ไม่ใช่
Multiply both sides of $\dfrac{15-6x}{(1+2x)(4-x)}$ $=\dfrac{A}{1+2x}+\dfrac{B}{4-x}$ by $(1+2x)(4-x)$. Write the identity.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{15-6x}{(1+2x)(4-x)}$ $=\dfrac{A}{1+2x}+\dfrac{B}{4-x}$ ด้วย $(1+2x)(4-x)$ แล้วเขียนเอกลักษณ์ที่ได้
Answershow ▾
Every denominator cancels, leaving one polynomial equation.ตัวหารหายไปหมด เหลือสมการพหุนามหนึ่งสมการ
Using $A=4$ and $B=-1$, write $f(x)$ in partial fractions.
โดยใช้ $A=4$ และ $B=-1$ จงเขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Put each value into $\dfrac{A}{1+2x}+\dfrac{B}{4-x}$.แทนค่าแต่ละตัวลงใน $\dfrac{A}{1+2x}+\dfrac{B}{4-x}$
Find $\displaystyle\int \dfrac{-1}{4-x}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int \dfrac{-1}{4-x}\,dx$
Answershow ▾
The derivative of $4-x$ is $-1$, exactly the top, so the row is $\ln$ with no extra factor.อนุพันธ์ของ $4-x$ คือ $-1$ ตรงกับเศษพอดี แถวนี้จึงเป็น $\ln$ โดยไม่มีตัวคูณเพิ่ม
$\displaystyle\int f(x)\,dx = 2\ln(1+2x)+\ln(4-x)$. Which log law gives the exact value as a single $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ once the limits $1$ and $2$ go in?
(A) $p\ln A - q\ln B = \ln\left(\dfrac{A^{p}}{B^{q}}\right)$
(B) $p\ln A - q\ln B = \ln(A-B)$
(C) $p\ln A - q\ln B = \dfrac{p}{q}\ln\left(\dfrac{A}{B}\right)$
$\displaystyle\int f(x)\,dx = 2\ln(1+2x)+\ln(4-x)$ จะใช้กฎลอการิทึม (logarithm) ใดให้ได้คำตอบแม่นตรง (exact) เป็น $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ เดียว เมื่อแทนขอบเขต $1$ และ $2$
(A) $p\ln A - q\ln B = \ln\left(\dfrac{A^{p}}{B^{q}}\right)$
(B) $p\ln A - q\ln B = \ln(A-B)$
(C) $p\ln A - q\ln B = \dfrac{p}{q}\ln\left(\dfrac{A}{B}\right)$
Answershow ▾
(B) treats subtraction of logs like subtraction of numbers, which is not a log law. (C) invents a factor $\tfrac{p}{q}$ that the power law does not have.(B) ปฏิบัติกับการลบ log เหมือนลบตัวเลขธรรมดา ซึ่งไม่ใช่กฎลอการิทึม (C) เสกตัวคูณ $\tfrac{p}{q}$ ที่กฎยกกำลังไม่มี
Substitute $x=1$ and $x=2$ into $\big[2\ln(1+2x)+\ln(4-x)\big]$ and write the result as logs.
จงแทน $x=1$ และ $x=2$ ลงใน $\big[2\ln(1+2x)+\ln(4-x)\big]$ แล้วเขียนผลลัพธ์เป็น log
Answershow ▾
$x=2$ gives $2\ln5+\ln2$; $x=1$ gives $2\ln3+\ln3$.$x=2$ ได้ $2\ln5+\ln2$ · $x=1$ ได้ $2\ln3+\ln3$
Simplify $(2\ln5+\ln2)-(2\ln3+\ln3)$ to one logarithm $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$.
จงจัด $(2\ln5+\ln2)-(2\ln3+\ln3)$ ให้เป็นลอการิทึมเดียวในรูป $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$
Answershow ▾
$2\ln5+\ln2=\ln50$ and $2\ln3+\ln3=\ln27$.$2\ln5+\ln2=\ln50$ และ $2\ln3+\ln3=\ln27$
Let $g(x)=\dfrac{2x-2}{(x+1)(x-3)}$. (a) Express $g(x)$ in partial fractions. (b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{4}^{7} g(x)\,dx$, giving your answer in the form $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$.
กำหนดให้ $g(x)=\dfrac{2x-2}{(x+1)(x-3)}$ (ก) เขียน $g(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย (ข) จากนั้นหาค่าแม่นตรงของ $\displaystyle\int_{4}^{7} g(x)\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูป $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$
Answershow ▾
Same four moves: cover-up, write the partial fractions, integrate each $\ln$ term, substitute the limits.สี่ขั้นเดิม: ปิดวงเล็บ เขียนเศษส่วนย่อย หาปริพันธ์แต่ละเทอมเป็น $\ln$ แทนขอบเขต
Let $f(x)=\dfrac{15-6x}{(1+2x)(4-x)}$.
(a) Express $f(x)$ in partial fractions.
(b) Hence find $\int_{1}^{2} f(x)\,dx$, giving your answer in the form $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$, where $a$ and $b$ are integers.
กำหนดให้ $f(x)=\dfrac{15-6x}{(1+2x)(4-x)}$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย
(ข) จากนั้นหา $\int_{1}^{2} f(x)\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูป $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
7 marks: 3 for the partial fractions, 4 for the integral. Keep both terms as you integrate and substitute.7 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับเศษส่วนย่อย 4 คะแนนสำหรับอินทิกรัล · เก็บทั้งสองเทอมไว้ตลอดการหาปริพันธ์และแทนขอบเขต
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Divide first, then a tan⁻¹ term หารก่อน แล้วเจอเทอม tan⁻¹
(a) Find the quotient and remainder when $2x^{3}-x^{2}+6x+3$ is divided by $x^{2}+3$.
(b) Using your answer to part (a), find the exact value of $\int_{1}^{3} \dfrac{2x^{3}-x^{2}+6x+3}{x^{2}+3}\,dx$.
(ก) หาผลหารและเศษเหลือเมื่อหาร $2x^{3}-x^{2}+6x+3$ ด้วย $x^{2}+3$
(ข) จากคำตอบใน (a) หาค่า exact ของ $\int_{1}^{3} \dfrac{2x^{3}-x^{2}+6x+3}{x^{2}+3}\,dx$
Expand $(x^{2}+3)(2x-1)$.
จงกระจาย $(x^{2}+3)(2x-1)$
Answershow ▾
Multiply every term in the first bracket by every term in the second.คูณทุกพจน์ของวงเล็บแรกกับทุกพจน์ของวงเล็บที่สอง
$2x^{3}-x^{2}+6x+3$ divided by $x^{2}+3$ has quotient $2x-1$. Find the remainder.
$2x^{3}-x^{2}+6x+3$ หารด้วย $x^{2}+3$ ได้ผลหาร $2x-1$ จงหาเศษ
Answershow ▾
Remainder = the original $-$ (divisor $\times$ quotient).เศษ = ตัวตั้งเดิม $-$ (ตัวหาร $\times$ ผลหาร)
Find $\displaystyle\int \dfrac{6}{x^{2}+3}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int \dfrac{6}{x^{2}+3}\,dx$
Answershow ▾
$\displaystyle\int\dfrac{k}{x^{2}+a^{2}}\,dx$ $=\dfrac{k}{a}\tan^{-1}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+c$, with $a=\sqrt3$.$\displaystyle\int\dfrac{k}{x^{2}+a^{2}}\,dx$ $=\dfrac{k}{a}\tan^{-1}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+c$ โดย $a=\sqrt3$
$\dfrac{2x^{3}-x^{2}+6x+3}{x^{2}+3}$ has a top with HIGHER degree than the bottom. What do you do first?
(A) split the top into separate fractions over $x^{2}+3$ and integrate each
(B) divide the top by the bottom to get a polynomial plus a proper fraction
(C) look for $\dfrac{f\,\prime}{f}$ in the fraction as it stands
$\dfrac{2x^{3}-x^{2}+6x+3}{x^{2}+3}$ เศษมีดีกรีสูงกว่าส่วน ควรทำอะไรก่อน
(A) แยกเศษเป็นเศษส่วนย่อยทับ $x^{2}+3$ แล้วหาปริพันธ์แต่ละตัว
(B) หารเศษด้วยส่วน ให้ได้พหุนามบวกเศษส่วนแท้
(C) หา $\dfrac{f\,\prime}{f}$ จากรูปตั้งต้นตรง ๆ
Answershow ▾
(A) does not work - the top is not already a sum of multiples of $1,x,x^{2}$ over the same bottom. (C) fails because the top is not a multiple of $2x$, the derivative of $x^{2}+3$.(A) ใช้ไม่ได้ เพราะเศษไม่ได้อยู่ในรูปผลบวกของ $1,x,x^{2}$ ทับส่วนเดียวกันอยู่แล้ว (C) ใช้ไม่ได้ เพราะเศษไม่ใช่ผลคูณของ $2x$ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของ $x^{2}+3$
Using the quotient $2x-1$ and remainder $6$, write $\dfrac{2x^{3}-x^{2}+6x+3}{x^{2}+3}$ as a polynomial plus a proper fraction.
โดยใช้ผลหาร $2x-1$ และเศษ $6$ จงเขียน $\dfrac{2x^{3}-x^{2}+6x+3}{x^{2}+3}$ เป็นพหุนามบวกเศษส่วนแท้
Answershow ▾
top = bottom $\times$ quotient $+$ remainder, then divide every term by the bottom.เศษ = (ส่วน)$\times$(ผลหาร)$+$เศษเหลือ แล้วหารทุกพจน์ด้วยส่วน
Find $\displaystyle\int (2x-1)\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int (2x-1)\,dx$
Answershow ▾
Integrate term by term with the power rule.หาปริพันธ์ทีละพจน์ด้วยกฎยกกำลัง
Combine your last two answers to write $\displaystyle\int \dfrac{2x^{3}-x^{2}+6x+3}{x^{2}+3}\,dx$.
จงรวมคำตอบสองข้อก่อนหน้า เพื่อเขียน $\displaystyle\int \dfrac{2x^{3}-x^{2}+6x+3}{x^{2}+3}\,dx$
Answershow ▾
The polynomial part and the $\tan^{-1}$ part add, since they came from adding two fractions.ส่วนพหุนามกับส่วน $\tan^{-1}$ บวกกัน เพราะมาจากการบวกเศษส่วนสองตัว
You need $\tan^{-1}\sqrt3$ and $\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt3}$ exactly. Which pair is correct?
(A) $\tan^{-1}\sqrt3=\dfrac{\pi}{3}$ and $\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\pi}{6}$
(B) both equal $\dfrac{\pi}{4}$
(C) $\tan^{-1}\sqrt3=\dfrac{\pi}{6}$ and $\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\pi}{3}$
ต้องใช้ $\tan^{-1}\sqrt3$ และ $\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt3}$ แบบแม่นตรง (exact) คู่ใดถูก
(A) $\tan^{-1}\sqrt3=\dfrac{\pi}{3}$ และ $\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\pi}{6}$
(B) ทั้งสองค่าเท่ากับ $\dfrac{\pi}{4}$
(C) $\tan^{-1}\sqrt3=\dfrac{\pi}{6}$ และ $\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\pi}{3}$
Answershow ▾
(B) is $\tan^{-1}1$, not $\tan^{-1}\sqrt3$. (C) swaps the two values - the BIGGER tangent $\sqrt3$ belongs to the BIGGER angle $\dfrac{\pi}{3}$.(B) คือ $\tan^{-1}1$ ไม่ใช่ $\tan^{-1}\sqrt3$ (C) สลับค่ากัน ค่าแทนเจนต์ (tangent) ที่มากกว่าคือ $\sqrt3$ ต้องตรงกับมุมที่มากกว่าคือ $\dfrac{\pi}{3}$
Substitute $x=1$ and $x=3$ into $x^{2}-x+2\sqrt3\,\tan^{-1}\!\left(\dfrac{x}{\sqrt3}\right)$.
จงแทน $x=1$ และ $x=3$ ลงใน $x^{2}-x+2\sqrt3\,\tan^{-1}\!\left(\dfrac{x}{\sqrt3}\right)$
Answershow ▾
$x=3$ gives $9-3=6$; $x=1$ gives $1-1=0$.$x=3$ ได้ $9-3=6$ · $x=1$ ได้ $1-1=0$
Using $\tan^{-1}\sqrt3=\dfrac{\pi}{3}$ and $\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\pi}{6}$, simplify to the exact value.
โดยใช้ $\tan^{-1}\sqrt3=\dfrac{\pi}{3}$ และ $\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\pi}{6}$ จงจัดให้เป็นค่าแม่นตรง
Answershow ▾
$2\sqrt3\cdot\dfrac{\pi}{3}-2\sqrt3\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\pi-\dfrac{\sqrt3}{3}\pi$.$2\sqrt3\cdot\dfrac{\pi}{3}-2\sqrt3\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\pi-\dfrac{\sqrt3}{3}\pi$
(a) Find the quotient and remainder when $x^{3}+2x^{2}+4x+11$ is divided by $x^{2}+4$. (b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x^{3}+2x^{2}+4x+11}{x^{2}+4}\,dx$.
(ก) หาผลหารและเศษเหลือเมื่อหาร $x^{3}+2x^{2}+4x+11$ ด้วย $x^{2}+4$ (ข) จากคำตอบใน (ก) หาค่าแม่นตรงของ $\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x^{3}+2x^{2}+4x+11}{x^{2}+4}\,dx$
Answershow ▾
Same four moves: divide, integrate the polynomial, integrate the $\tan^{-1}$ term, substitute the limits.สี่ขั้นเดิม: หาร หาปริพันธ์ส่วนพหุนาม หาปริพันธ์ส่วน $\tan^{-1}$ แทนขอบเขต
(a) Find the quotient and remainder when $2x^{3}-x^{2}+6x+3$ is divided by $x^{2}+3$.
(b) Using your answer to part (a), find the exact value of $\int_{1}^{3} \dfrac{2x^{3}-x^{2}+6x+3}{x^{2}+3}\,dx$.
(ก) หาผลหารและเศษเหลือเมื่อหาร $2x^{3}-x^{2}+6x+3$ ด้วย $x^{2}+3$
(ข) จากคำตอบใน (a) หาค่า exact ของ $\int_{1}^{3} \dfrac{2x^{3}-x^{2}+6x+3}{x^{2}+3}\,dx$
Answershow ▾
8 marks: 3 for the division, 5 for the integral. The $\tan^{-1}$ values must be the exact ones.8 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับการหาร 5 คะแนนสำหรับอินทิกรัล · ค่า $\tan^{-1}$ ต้องเป็นค่า exact
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Double angle, then one log term มุมสองเท่า แล้วเหลือ log เทอมเดียว
(i) Show that $\dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x} \equiv \dfrac{\sin x}{1+\cos x}$.
(ii) Hence, showing all necessary working, find $\int_{0}^{\pi/3} \dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}\,dx$, giving your answer in the form $\ln k$.
(i) จงแสดงว่า $\dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x} \equiv \dfrac{\sin x}{1+\cos x}$
(ii) จากนั้น โดยแสดงวิธีทำที่จำเป็นทั้งหมด หา $\int_{0}^{\pi/3} \dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูป $\ln k$
Use $\sin2x=2\sin x\cos x$ to write $2\sin x-\sin2x$ with a common factor.
จงใช้ $\sin2x=2\sin x\cos x$ เขียน $2\sin x-\sin2x$ ให้มีตัวประกอบร่วม
Answershow ▾
Both terms have a factor of $2\sin x$.ทั้งสองพจน์มีตัวประกอบร่วม $2\sin x$
Use $\cos2x=1-2\sin^{2}x$ to write $1-\cos2x$ in terms of $\sin x$.
จงใช้ $\cos2x=1-2\sin^{2}x$ เขียน $1-\cos2x$ ในรูป $\sin x$
Answershow ▾
$1-(1-2\sin^{2}x)$ leaves only the $2\sin^{2}x$.$1-(1-2\sin^{2}x)$ เหลือแค่ $2\sin^{2}x$
Differentiate $1+\cos x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $1+\cos x$
Answershow ▾
This is the fact that makes $\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ integrate to a $\ln$.ข้อเท็จจริงนี้ทำให้ $\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ หาปริพันธ์ได้เป็น $\ln$
To prove $\dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}\equiv\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$, pick the first move.
(A) cross-multiply both sides and expand everything
(B) use double angle on $\sin2x$ and $\cos2x$ to write the left side in $\sin x,\cos x$ only
(C) differentiate both sides and show the derivatives are equal
พิสูจน์ $\dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}\equiv\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณไขว้ทั้งสองข้าง แล้วกระจายทุกอย่าง
(B) ใช้มุมสองเท่าของ $\sin2x$ และ $\cos2x$ เขียนด้านซ้ายด้วย $\sin x,\cos x$ ล้วน
(C) หาอนุพันธ์ทั้งสองข้าง แล้วแสดงว่าอนุพันธ์เท่ากัน
Answershow ▾
(A) turns a clean identity into a long, hard expansion. (C) is not a proof of an identity - two expressions can have equal derivatives and still differ by a constant.(A) ทำให้เอกลักษณ์ที่ควรเรียบง่ายกลายเป็นการกระจายที่ยาวและยาก (C) ไม่ใช่การพิสูจน์เอกลักษณ์ เพราะสองนิพจน์ที่อนุพันธ์เท่ากันอาจต่างกันด้วยค่าคงที่ก็ได้
Using the last two warm-ups, write $\dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}$ with $\sin x,\cos x$ only.
โดยใช้สองข้อก่อนหน้า จงเขียน $\dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}$ ด้วย $\sin x,\cos x$ ล้วน
Answershow ▾
Put the two rewritten pieces, top and bottom, into one fraction.นำสองชิ้นที่เขียนใหม่ เศษกับส่วน มาเขียนเป็นเศษส่วนเดียว
Cancel the common factor of $\sin x$ in $\dfrac{2\sin x(1-\cos x)}{2\sin^{2}x}$.
จงตัดตัวประกอบร่วม $\sin x$ ใน $\dfrac{2\sin x(1-\cos x)}{2\sin^{2}x}$
Answershow ▾
One $\sin x$ on top cancels one $\sin x$ on the bottom (and the $2$s cancel too).$\sin x$ บนเศษตัดกับ $\sin x$ บนส่วนหนึ่งตัว (และเลข $2$ ก็ตัดกันด้วย)
Multiply top and bottom of $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}$ by $1+\cos x$, then use $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$.
จงคูณทั้งเศษและส่วนของ $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}$ ด้วย $1+\cos x$ แล้วใช้ $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$
Answershow ▾
$(1-\cos x)(1+\cos x)=1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$, which leaves one $\sin x$ on top.$(1-\cos x)(1+\cos x)=1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$ ทำให้เหลือ $\sin x$ บนเศษ
$\displaystyle\int\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\,dx$ is harder to integrate directly than $\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx$. Using warm-up 3, which fraction is really $\dfrac{-f\,\prime}{f}$ for an easy denominator $f$?
(A) $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}$, with $f=\sin x$
(B) $\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$, with $f=1+\cos x$
(C) neither - both need a substitution $u=\tan\dfrac{x}{2}$
$\displaystyle\int\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\,dx$ หาปริพันธ์ยากกว่า $\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx$ โดยใช้ข้ออุ่นเครื่อง 3 เศษส่วนใดเป็น $\dfrac{-f\,\prime}{f}$ สำหรับ $f$ ที่หาอนุพันธ์ง่าย
(A) $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}$ โดย $f=\sin x$
(B) $\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ โดย $f=1+\cos x$
(C) ไม่ใช่ทั้งคู่ - ต้องแทน $u=\tan\dfrac{x}{2}$
Answershow ▾
(A) fails: $\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x$, which is not $1-\cos x$ or a multiple of it. (C) is a real method but a much longer route when (B) already fits the $f\,\prime/f$ pattern.(A) ไม่ได้ เพราะ $\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x$ ไม่ใช่ $1-\cos x$ หรือผลคูณของมัน (C) เป็นวิธีที่ใช้ได้จริงแต่ยาวกว่ามาก ในเมื่อ (B) ตรงกับรูป $f\,\prime/f$ อยู่แล้ว
Using warm-up 3, find $\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx$.
โดยใช้ข้ออุ่นเครื่อง 3 จงหา $\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx$
Answershow ▾
The top $\sin x$ is $-1$ times the bottom’s derivative $-\sin x$, so the row carries a minus sign.เศษ $\sin x$ เป็น $-1$ เท่าของอนุพันธ์ของส่วนคือ $-\sin x$ แถวนี้จึงมีเครื่องหมายลบ
Substitute $x=0$ and $x=\dfrac{\pi}{3}$ into $-\ln(1+\cos x)$, then simplify to $\ln k$.
จงแทน $x=0$ และ $x=\dfrac{\pi}{3}$ ลงใน $-\ln(1+\cos x)$ แล้วจัดให้เป็น $\ln k$
Answershow ▾
$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ gives $-\ln1.5$; $\cos0=1$ gives $-\ln2$.$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ ให้ $-\ln1.5$ · $\cos0=1$ ให้ $-\ln2$
Using the same identity $\dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}\equiv\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$, find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}\,dx$, giving your answer in the form $\ln k$.
โดยใช้เอกลักษณ์เดิม $\dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}\equiv\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ จงหาค่าแม่นตรง (exact) ของ $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูป $\ln k$
Answershow ▾
Same move: integrate the identity’s right side to $-\ln(1+\cos x)$, then substitute the new limits.ขั้นเดิม: หาปริพันธ์ด้านขวาของเอกลักษณ์ได้ $-\ln(1+\cos x)$ แล้วแทนขอบเขตใหม่
(i) Show that $\dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x} \equiv \dfrac{\sin x}{1+\cos x}$.
(ii) Hence, showing all necessary working, find $\int_{0}^{\pi/3} \dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}\,dx$, giving your answer in the form $\ln k$.
(i) จงแสดงว่า $\dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x} \equiv \dfrac{\sin x}{1+\cos x}$
(ii) จากนั้น โดยแสดงวิธีทำที่จำเป็นทั้งหมด หา $\int_{0}^{\pi/3} \dfrac{2\sin x-\sin2x}{1-\cos2x}\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูป $\ln k$
Answershow ▾
8 marks, all method or working marks. Both double-angle rewrites in part (i) must be shown.8 คะแนน เป็นคะแนนวิธีทำทั้งหมด · ต้องแสดงการใช้มุมสองเท่าทั้งสองครั้งใน (i)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A trig substitution that erases a square แทนค่าตรีโกณ ลบกำลังสองออกไป
Let $I=\int_{0}^{3} \dfrac{27}{(9+x^{2})^{2}}\,dx$.
(a) Using the substitution $x=3\tan\theta$, show that $I=\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}\theta\,d\theta$.
(b) Hence find the exact value of $I$.
กำหนดให้ $I=\int_{0}^{3} \dfrac{27}{(9+x^{2})^{2}}\,dx$
(ก) โดยใช้การแทนค่า $x=3\tan\theta$ จงแสดงว่า $I=\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}\theta\,d\theta$
(ข) จากนั้นหาค่า exact ของ $I$
$x=3\tan\theta$. Find $\dfrac{dx}{d\theta}$.
$x=3\tan\theta$ จงหา $\dfrac{dx}{d\theta}$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{d\theta}\tan\theta=\sec^{2}\theta$.$\dfrac{d}{d\theta}\tan\theta=\sec^{2}\theta$
Use $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ to simplify $9+9\tan^{2}\theta$.
จงใช้ $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ จัด $9+9\tan^{2}\theta$ ให้ง่าย
Answershow ▾
Factor out the $9$ first, then use the identity.ดึง $9$ ออกมาก่อน แล้วค่อยใช้เอกลักษณ์
Write $\cos^{2}\theta$ in the form $a+b\cos2\theta$.
จงเขียน $\cos^{2}\theta$ ในรูป $a+b\cos2\theta$
Answershow ▾
This is the reverse of $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$.เป็นการจัดกลับของ $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$
$I=\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{27}{(9+x^{2})^{2}}\,dx$ with $x=3\tan\theta$. What do you do with $9+x^{2}$ first?
(A) write $9+9\tan^{2}\theta=9\sec^{2}\theta$
(B) factorise it as $9(1+x^{2})$
(C) treat $9+x^{2}$ as a brand new variable $u$
$I=\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{27}{(9+x^{2})^{2}}\,dx$ โดย $x=3\tan\theta$ จะทำอะไรกับ $9+x^{2}$ ก่อน
(A) เขียน $9+9\tan^{2}\theta=9\sec^{2}\theta$
(B) แยกตัวประกอบเป็น $9(1+x^{2})$
(C) ตั้ง $9+x^{2}$ เป็นตัวแปรใหม่ $u$
Answershow ▾
(B) is true but useless - $1+x^{2}$ is not a known identity. (C) throws away the substitution you were just given; everything must be in $\theta$, not a second new letter.(B) จริงแต่ใช้ไม่ได้ เพราะ $1+x^{2}$ ไม่ใช่เอกลักษณ์ที่รู้จัก (C) ทิ้งการแทนค่าที่โจทย์ให้ไปเฉย ๆ ทุกอย่างต้องอยู่ในรูป $\theta$ ไม่ใช่ตัวแปรใหม่อีกตัว
Substitute $x=3\tan\theta$ and $dx=3\sec^{2}\theta\,d\theta$ into $I$. Write the new integral in $\theta$.
จงแทน $x=3\tan\theta$ และ $dx=3\sec^{2}\theta\,d\theta$ ลงใน $I$ แล้วเขียนอินทิกรัลใหม่ในรูป $\theta$
Answershow ▾
Replace every $x$ with $3\tan\theta$ and every $dx$ with $3\sec^{2}\theta\,d\theta$.แทน $x$ ทุกตัวด้วย $3\tan\theta$ และแทน $dx$ ด้วย $3\sec^{2}\theta\,d\theta$
Simplify $\dfrac{27\times3\sec^{2}\theta}{81\sec^{4}\theta}$.
จงจัด $\dfrac{27\times3\sec^{2}\theta}{81\sec^{4}\theta}$ ให้ง่าย
Answershow ▾
$27\times3=81$ cancels with the bottom, leaving $\dfrac{1}{\sec^{2}\theta}=\cos^{2}\theta$.$27\times3=81$ ตัดกับส่วน เหลือ $\dfrac{1}{\sec^{2}\theta}=\cos^{2}\theta$
$\tan\theta=\dfrac{x}{3}$. Change the limits $x=0$ and $x=3$ into limits for $\theta$.
$\tan\theta=\dfrac{x}{3}$ จงเปลี่ยนขอบเขต $x=0$ และ $x=3$ เป็นขอบเขตของ $\theta$
Answershow ▾
$x=3$ gives $\tan\theta=1$, and the first $\theta$ with $\tan\theta=1$ is $\dfrac{\pi}{4}$.$x=3$ ให้ $\tan\theta=1$ และค่า $\theta$ แรกที่ $\tan\theta=1$ คือ $\dfrac{\pi}{4}$
To find $\displaystyle\int\cos^{2}\theta\,d\theta$ exactly, which identity do you need?
(A) $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$
(B) $\cos^{2}\theta=\dfrac12+\dfrac12\cos2\theta$
(C) integrate $\cos^{2}\theta$ like a power, as $\dfrac{\cos^{3}\theta}{3}$
หา $\displaystyle\int\cos^{2}\theta\,d\theta$ แบบแม่นตรง (exact) ต้องใช้เอกลักษณ์ใด
(A) $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$
(B) $\cos^{2}\theta=\dfrac12+\dfrac12\cos2\theta$
(C) หาปริพันธ์ $\cos^{2}\theta$ เหมือนยกกำลัง เป็น $\dfrac{\cos^{3}\theta}{3}$
Answershow ▾
(A) only swaps one squared function for another, with no new row to integrate. (C) is the power rule for $x^{n}$, and $\cos\theta$ is not the variable being integrated.(A) แค่เปลี่ยนฟังก์ชันกำลังสองตัวหนึ่งเป็นอีกตัว ไม่มีแถวใหม่ให้หาปริพันธ์ (C) เป็นกฎยกกำลังของ $x^{n}$ แต่ $\cos\theta$ ไม่ใช่ตัวแปรที่กำลังอินทิเกรต
Using the double-angle form, find $\displaystyle\int\cos^{2}\theta\,d\theta$.
โดยใช้รูปมุมสองเท่า จงหา $\displaystyle\int\cos^{2}\theta\,d\theta$
Answershow ▾
$\int\dfrac12\,d\theta=\dfrac{\theta}{2}$ and $\int\dfrac12\cos2\theta\,d\theta=\dfrac{\sin2\theta}{4}$.$\int\dfrac12\,d\theta=\dfrac{\theta}{2}$ และ $\int\dfrac12\cos2\theta\,d\theta=\dfrac{\sin2\theta}{4}$
Substitute $\theta=0$ and $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ into $\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin2\theta}{4}$, and simplify.
จงแทน $\theta=0$ และ $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ ลงใน $\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin2\theta}{4}$ แล้วจัดให้ง่าย
Answershow ▾
$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$, and the $\theta=0$ value is $0$.$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ และค่าที่ $\theta=0$ คือ $0$
Using $x=2\tan\theta$, show that $\displaystyle\int_{0}^{2\sqrt3} \dfrac{8}{(4+x^{2})^{2}}\,dx$ $=\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\cos^{2}\theta\,d\theta$, then find its exact value.
โดยใช้ $x=2\tan\theta$ จงแสดงว่า $\displaystyle\int_{0}^{2\sqrt3} \dfrac{8}{(4+x^{2})^{2}}\,dx$ $=\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\cos^{2}\theta\,d\theta$ จากนั้นหาค่าแม่นตรง
Answershow ▾
Same moves: $4+4\tan^{2}\theta=4\sec^{2}\theta$, the powers cancel to $\cos^{2}\theta$, limits become $0$ and $\dfrac{\pi}{3}$.ขั้นเดิม: $4+4\tan^{2}\theta=4\sec^{2}\theta$ กำลังตัดกันเหลือ $\cos^{2}\theta$ ขอบเขตกลายเป็น $0$ และ $\dfrac{\pi}{3}$
Let $I=\int_{0}^{3} \dfrac{27}{(9+x^{2})^{2}}\,dx$.
(a) Using the substitution $x=3\tan\theta$, show that $I=\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}\theta\,d\theta$.
(b) Hence find the exact value of $I$.
กำหนดให้ $I=\int_{0}^{3} \dfrac{27}{(9+x^{2})^{2}}\,dx$
(ก) โดยใช้การแทนค่า $x=3\tan\theta$ จงแสดงว่า $I=\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}\theta\,d\theta$
(ข) จากนั้นหาค่า exact ของ $I$
Answershow ▾
8 marks: 4 for reaching the given form, 4 for the exact value. The limits must change to $\theta$.8 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับไปถึงรูปที่โจทย์ให้ 4 คะแนนสำหรับค่า exact · ขอบเขตต้องเปลี่ยนเป็น $\theta$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Substitute, then by parts, for the area แทนค่า แล้วการแยกส่วน (by parts) หาพื้นที่
The diagram shows part of the curve $y=\sin\sqrt{x}$. This part of the curve intersects the $x$-axis at the point where $x=a$.
(a) State the exact value of $a$.
(b) Using the substitution $u=\sqrt{x}$, find the exact area of the shaded region in the first quadrant bounded by this part of the curve and the $x$-axis.
แผนภาพแสดงส่วนหนึ่งของเส้นโค้ง $y=\sin\sqrt{x}$ ส่วนนี้ของเส้นโค้งตัดแกนแกน $x$ ที่จุดซึ่ง $x=a$
(ก) ระบุค่า exact ของ $a$
(ข) โดยใช้การแทนค่า $u=\sqrt{x}$ หาพื้นที่ exact ของบริเวณที่แรเงาในควอดรับที่หนึ่ง ซึ่งล้อมด้วยส่วนของเส้นโค้งนี้กับแกน $x$
$u=\sqrt{x}$. Find $dx$ in terms of $u$ and $du$.
$u=\sqrt{x}$ จงหา $dx$ ในรูปของ $u$ และ $du$
Answershow ▾
$x=u^{2}$, so $\dfrac{dx}{du}=2u$.$x=u^{2}$ ดังนั้น $\dfrac{dx}{du}=2u$
Find the smallest $t>0$ with $\sin t=0$.
จงหาค่า $t>0$ ที่น้อยที่สุดซึ่ง $\sin t=0$
Answershow ▾
$\sin t=0$ at $t=0,\pi,2\pi,\ldots$, so the smallest positive one is $\pi$.$\sin t=0$ ที่ $t=0,\pi,2\pi,\ldots$ ค่าบวกที่น้อยที่สุดคือ $\pi$
Given $\displaystyle\int\cos u\,du=\sin u$, use integration by parts to start $\displaystyle\int u\sin u\,du$.
กำหนด $\displaystyle\int\cos u\,du=\sin u$ จงเริ่มหาปริพันธ์ $\displaystyle\int u\sin u\,du$ ด้วยการแยกส่วน
Answershow ▾
Differentiate $u$ down to $1$, integrate $\sin u$ up to $-\cos u$.ดิฟ $u$ ลงเป็น $1$ · อินทิเกรต $\sin u$ ขึ้นเป็น $-\cos u$
The part of the curve starts at $x=0$ and ends where $\sin\sqrt{x}$ first returns to $0$. What equation gives $a$?
(A) $\sqrt{x}=0$
(B) $\sqrt{x}=\pi$
(C) $\sqrt{x}=2\pi$
ส่วนของเส้นโค้งเริ่มที่ $x=0$ และสิ้นสุดเมื่อ $\sin\sqrt{x}$ กลับมาเป็น $0$ ครั้งแรก สมการใดให้ค่า $a$
(A) $\sqrt{x}=0$
(B) $\sqrt{x}=\pi$
(C) $\sqrt{x}=2\pi$
Answershow ▾
(A) is the starting point, $x=0$, not the end. (C) is the SECOND positive zero, which skips over the first crossing shown in the picture.(A) คือจุดเริ่มต้น $x=0$ ไม่ใช่จุดสิ้นสุด (C) คือค่าศูนย์ตัวที่สอง ซึ่งข้ามจุดตัดแรกในภาพไปแล้ว
Using the correct equation, find the exact value of $a$.
โดยใช้สมการที่ถูกต้อง จงหาค่าแม่นตรง (exact) ของ $a$
Answershow ▾
$\sqrt{x}=\pi$ squares to $x=\pi^{2}$.$\sqrt{x}=\pi$ ยกกำลังสองได้ $x=\pi^{2}$
Using $u=\sqrt{x}$ and $dx=2u\,du$, write $\displaystyle\int_{0}^{\pi^{2}}\sin\sqrt{x}\,dx$ as an integral in $u$, with new limits.
โดยใช้ $u=\sqrt{x}$ และ $dx=2u\,du$ จงเขียน $\displaystyle\int_{0}^{\pi^{2}}\sin\sqrt{x}\,dx$ เป็นอินทิกรัลในรูป $u$ พร้อมขอบเขตใหม่
Answershow ▾
$x=0$ gives $u=0$; $x=\pi^{2}$ gives $u=\pi$.$x=0$ ได้ $u=0$ · $x=\pi^{2}$ ได้ $u=\pi$
Using warm-up 3, complete $\displaystyle\int u\sin u\,du$.
โดยใช้ข้ออุ่นเครื่อง 3 จงหา $\displaystyle\int u\sin u\,du$ ให้ครบ
Answershow ▾
$\int\cos u\,du=\sin u$ finishes the by-parts step.$\int\cos u\,du=\sin u$ ทำให้การแยกส่วนเสร็จสมบูรณ์
You now have $2\big[-u\cos u+\sin u\big]$, a function of $u$. Which limits do you substitute?
(A) the original $x$ limits, $0$ and $\pi^{2}$
(B) the new $u$ limits, $0$ and $\pi$
(C) convert back to $x$ first, then use the $x$ limits
ตอนนี้มี $2\big[-u\cos u+\sin u\big]$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ $u$ จะแทนขอบเขตใด
(A) ขอบเขต $x$ เดิม คือ $0$ และ $\pi^{2}$
(B) ขอบเขต $u$ ใหม่ คือ $0$ และ $\pi$
(C) แปลงกลับเป็น $x$ ก่อน แล้วใช้ขอบเขต $x$
Answershow ▾
(A) uses the old limits on the new variable - a very common slip. (C) works in theory but throws away all the simplifying the substitution just did.(A) ใช้ขอบเขตเดิมกับตัวแปรใหม่ เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยมาก (C) ทำได้ในทางทฤษฎี แต่เสียการจัดรูปที่การแทนค่าเพิ่งทำไปทั้งหมด
Substitute $u=0$ and $u=\pi$ into $2\big[-u\cos u+\sin u\big]$.
จงแทน $u=0$ และ $u=\pi$ ลงใน $2\big[-u\cos u+\sin u\big]$
Answershow ▾
$\cos\pi=-1$ makes $-\pi\cos\pi=\pi$, and $\sin\pi=0$.$\cos\pi=-1$ ทำให้ $-\pi\cos\pi=\pi$ และ $\sin\pi=0$
Hence state the exact area.
จงระบุพื้นที่แบบแม่นตรง
Answershow ▾
$2\times\pi=2\pi$.$2\times\pi=2\pi$
The curve $y=\sin\sqrt{x}$ meets the $x$-axis again at $x=b$ for some $b>\pi^{2}$. (a) State the exact value of $b$. (b) Find $\displaystyle\int_{\pi^{2}}^{b}\sin\sqrt{x}\,dx$. (c) This part of the curve is below the $x$-axis, so state the exact area it encloses with the $x$-axis.
เส้นโค้ง $y=\sin\sqrt{x}$ ตัดแกน $x$ อีกครั้งที่ $x=b$ เมื่อ $b>\pi^{2}$ (ก) ระบุค่าแม่นตรง (exact) ของ $b$ (ข) หา $\displaystyle\int_{\pi^{2}}^{b}\sin\sqrt{x}\,dx$ (ค) ส่วนนี้ของเส้นโค้งอยู่ใต้แกน $x$ จงระบุพื้นที่แม่นตรงที่ล้อมไว้กับแกน $x$
Answershow ▾
Same moves: $u=\sqrt{x}$ gives new limits $\pi$ and $2\pi$, then the same antiderivative from the by-parts step - but here it is negative, so the area is its size, not the integral itself.ขั้นเดิม: $u=\sqrt{x}$ ให้ขอบเขตใหม่เป็น $\pi$ และ $2\pi$ แล้วใช้ปริพันธ์จากขั้นการแยกส่วนตัวเดิม แต่ครั้งนี้ติดลบ พื้นที่จึงเป็นขนาดของมัน ไม่ใช่ค่าปริพันธ์ตรง ๆ
The diagram shows part of the curve $y=\sin\sqrt{x}$. This part of the curve intersects the $x$-axis at the point where $x=a$.
(a) State the exact value of $a$.
(b) Using the substitution $u=\sqrt{x}$, find the exact area of the shaded region in the first quadrant bounded by this part of the curve and the $x$-axis.
แผนภาพแสดงส่วนหนึ่งของเส้นโค้ง $y=\sin\sqrt{x}$ ส่วนนี้ของเส้นโค้งตัดแกนแกน $x$ ที่จุดซึ่ง $x=a$
(ก) ระบุค่า exact ของ $a$
(ข) โดยใช้การแทนค่า $u=\sqrt{x}$ หาพื้นที่ exact ของบริเวณที่แรเงาในควอดรับที่หนึ่ง ซึ่งล้อมด้วยส่วนของเส้นโค้งนี้กับแกน $x$
Answershow ▾
8 marks, all method or working. The $u$-limits must be used once you are in $u$.8 คะแนน เป็นคะแนนวิธีทำทั้งหมด · ต้องใช้ขอบเขต $u$ ทันทีที่อยู่ในรูป $u$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A fraction too big for two terms เศษส่วนใหญ่เกินสำหรับสองเทอม
Let $f(x)=\dfrac{4x^{2}+9x-8}{(x+2)(2x-1)}$.
(i) Express $f(x)$ in the form $A+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{2x-1}$.
(ii) Hence show that $\int_{1}^{4} f(x)\,dx = 6+\dfrac12\ln\dfrac{16}{7}$.
กำหนดให้ $f(x)=\dfrac{4x^{2}+9x-8}{(x+2)(2x-1)}$
(i) เขียน $f(x)$ ในรูป $A+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{2x-1}$
(ii) จากนั้นจงแสดงว่า $\int_{1}^{4} f(x)\,dx = 6+\dfrac12\ln\dfrac{16}{7}$
Expand $(x+2)(2x-1)$.
จงกระจาย $(x+2)(2x-1)$
Answershow ▾
This is the bracket you multiply $A$ by, when clearing the denominators.นี่คือวงเล็บที่คูณกับ $A$ ตอนกำจัดตัวหาร
The identity is $4x^{2}+9x-8\equiv A(x+2)(2x-1)$ $+\,B(2x-1)+C(x+2)$. On the right, the only $x^{2}$ term comes from $A(x+2)(2x-1)$, giving $2Ax^{2}$. Compare $x^{2}$ coefficients to find $A$.
เอกลักษณ์คือ $4x^{2}+9x-8\equiv A(x+2)(2x-1)$ $+\,B(2x-1)+C(x+2)$ ทางขวา เทอม $x^{2}$ มีแค่จาก $A(x+2)(2x-1)$ ซึ่งคือ $2Ax^{2}$ จงเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ หา $A$
Answershow ▾
$4=2A$.$4=2A$
Substitute $x=-2$ into the identity above to find $B$.
จงแทน $x=-2$ ลงในเอกลักษณ์ข้างบนเพื่อหา $B$
Answershow ▾
At $x=-2$ the $A$ and $C$ terms both vanish, since each carries a factor of $(x+2)$.ที่ $x=-2$ พจน์ $A$ และ $C$ หายไปทั้งคู่ เพราะแต่ละพจน์มีตัวประกอบ $(x+2)$
$A=2$ and $B=2$ are known. Which substitution finds $C$?
(A) $x=\dfrac12$, so $(2x-1)=0$
(B) $x=0$
(C) $x=-2$ again
รู้ $A=2$ และ $B=2$ แล้ว จะหา $C$ ด้วยการแทนค่าใด
(A) $x=\dfrac12$ ให้ $(2x-1)=0$
(B) $x=0$
(C) $x=-2$ อีกครั้ง
Answershow ▾
(B) gives one equation with $C$ mixed in with the known $A$ - solvable, but not the quick isolating move. (C) was already used to find $B$, and isolates $B$ again, not $C$.(B) ได้สมการที่มี $C$ ปนกับ $A$ ที่รู้ค่าแล้ว แก้ได้แต่ไม่ใช่วิธีลัดที่แยก $C$ ออกมาตรง ๆ (C) ใช้ไปแล้วเพื่อหา $B$ และจะแยก $B$ อีกครั้ง ไม่ใช่ $C$
Substitute $x=\dfrac12$ into the identity above to find $C$.
จงแทน $x=\dfrac12$ ลงในเอกลักษณ์ข้างบนเพื่อหา $C$
Answershow ▾
At $x=\dfrac12$ the $A$ and $B$ terms both vanish, since each carries a factor of $(2x-1)$.ที่ $x=\dfrac12$ พจน์ $A$ และ $B$ หายไปทั้งคู่ เพราะแต่ละพจน์มีตัวประกอบ $(2x-1)$
Using $A=2$, $B=2$, $C=-1$, write $f(x)$ in the form $A+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{2x-1}$.
โดยใช้ $A=2$, $B=2$, $C=-1$ จงเขียน $f(x)$ ในรูป $A+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{2x-1}$
Answershow ▾
Put each constant into its place.แทนค่าคงที่แต่ละตัวลงในตำแหน่งของมัน
Find $\displaystyle\int f(x)\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int f(x)\,dx$
Answershow ▾
$\int2\,dx=2x$; $\int\dfrac{2}{x+2}dx=2\ln(x+2)$; $\int\dfrac{-1}{2x-1}dx=-\dfrac12\ln(2x-1)$.$\int2\,dx=2x$ · $\int\dfrac{2}{x+2}dx=2\ln(x+2)$ · $\int\dfrac{-1}{2x-1}dx=-\dfrac12\ln(2x-1)$
The $\ln(2x-1)$ term carries a $\dfrac12$ that the $\ln(x+2)$ term does not. Why?
(A) the inside $2x-1$ has gradient $2$, so "linear inside, divide by $a$" gives the extra $\dfrac12$
(B) every $\ln$ from a negative numerator gets divided by $2$
(C) it is a typo - both coefficients should be the same
เทอม $\ln(2x-1)$ มี $\dfrac12$ ที่เทอม $\ln(x+2)$ ไม่มี เพราะอะไร
(A) ข้างใน $2x-1$ มีความชัน $2$ กฎ "ข้างในเป็นเส้นตรง หารด้วย $a$" จึงให้ $\dfrac12$ เพิ่มมา
(B) $\ln$ ทุกตัวที่เศษเป็นลบต้องหารด้วย $2$
(C) เป็นการพิมพ์ผิด ควรมีสัมประสิทธิ์เท่ากัน
Answershow ▾
(B) is not a real rule - the sign of the numerator has nothing to do with it. (C) dismisses the real reason: $x+2$ has gradient $1$, so it needs no extra factor at all.(B) ไม่ใช่กฎจริง เครื่องหมายของเศษไม่เกี่ยวกับเรื่องนี้ (C) มองข้ามเหตุผลจริง: $x+2$ มีความชัน $1$ จึงไม่ต้องมีตัวคูณเพิ่มเลย
Substitute $x=1$ and $x=4$ into $2x+2\ln(x+2)-\dfrac12\ln(2x-1)$.
จงแทน $x=1$ และ $x=4$ ลงใน $2x+2\ln(x+2)-\dfrac12\ln(2x-1)$
Answershow ▾
$x=4$ gives $8+2\ln6-\tfrac12\ln7$; $x=1$ gives $2+2\ln3-\tfrac12\ln1=2+2\ln3$.$x=4$ ได้ $8+2\ln6-\tfrac12\ln7$ · $x=1$ ได้ $2+2\ln3-\tfrac12\ln1=2+2\ln3$
Simplify $(8+2\ln6-\tfrac12\ln7)-(2+2\ln3)$ to the form $6+\dfrac12\ln\dfrac{16}{7}$.
จงจัด $(8+2\ln6-\tfrac12\ln7)-(2+2\ln3)$ ให้เป็นรูป $6+\dfrac12\ln\dfrac{16}{7}$
Answershow ▾
$2\ln6-2\ln3=2\ln2=\ln4=\tfrac12\ln16$, so the two $\ln$ pieces join into $\tfrac12\ln\dfrac{16}{7}$.$2\ln6-2\ln3=2\ln2=\ln4=\tfrac12\ln16$ ทำให้สอง $\ln$ รวมเป็น $\tfrac12\ln\dfrac{16}{7}$
Let $h(x)=\dfrac{3x^{2}-9}{(x+1)(x-2)}$. (a) Express $h(x)$ in the form $A+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-2}$. (b) Hence show that $\displaystyle\int_{3}^{5} h(x)\,dx = 6+\ln\dfrac{27}{4}$.
กำหนดให้ $h(x)=\dfrac{3x^{2}-9}{(x+1)(x-2)}$ (ก) เขียน $h(x)$ ในรูป $A+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-2}$ (ข) จากนั้นจงแสดงว่า $\displaystyle\int_{3}^{5} h(x)\,dx = 6+\ln\dfrac{27}{4}$
Answershow ▾
Same moves: compare $x^{2}$ for $A$, substitute $x=-1$ for $B$ and $x=2$ for $C$, then integrate.ขั้นเดิม: เทียบ $x^{2}$ หา $A$ · แทน $x=-1$ หา $B$ และ $x=2$ หา $C$ · แล้วหาปริพันธ์
Let $f(x)=\dfrac{4x^{2}+9x-8}{(x+2)(2x-1)}$.
(i) Express $f(x)$ in the form $A+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{2x-1}$.
(ii) Hence show that $\int_{1}^{4} f(x)\,dx = 6+\dfrac12\ln\dfrac{16}{7}$.
กำหนดให้ $f(x)=\dfrac{4x^{2}+9x-8}{(x+2)(2x-1)}$
(i) เขียน $f(x)$ ในรูป $A+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{2x-1}$
(ii) จากนั้นจงแสดงว่า $\int_{1}^{4} f(x)\,dx = 6+\dfrac12\ln\dfrac{16}{7}$
Answershow ▾
9 marks: 4 for the partial fractions, 5 for the integral. The $\dfrac12$ on the last term is easy to drop.9 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับเศษส่วนย่อย 5 คะแนนสำหรับอินทิกรัล · $\dfrac12$ ของเทอมสุดท้ายหลุดง่าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
By parts twice, for a curve’s area การแยกส่วน (by parts) สองครั้ง หาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
The diagram shows the curve $y=(1+x^{2})e^{-\frac12x}$ for $x\ge0$. The shaded region $R$ is enclosed by the curve, the $x$-axis and the lines $x=0$ and $x=2$.
(i) Find the exact values of the $x$-coordinates of the stationary points of the curve.
(ii) Show that the exact value of the area of $R$ is $18-\dfrac{42}{e}$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $y=(1+x^{2})e^{-\frac12x}$ เมื่อ $x\ge0$ บริเวณที่แรเงา $R$ ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และเส้นตรง $x=0$ และ $x=2$
(i) หาค่า exact ของพิกัด $x$ ของจุดคงตัว (stationary points) ของเส้นโค้ง
(ii) จงแสดงว่าพื้นที่แบบ exact ของ $R$ คือ $18-\dfrac{42}{e}$
Differentiate $(1+x^{2})e^{-x/2}$ using the product rule (any form).
จงหาอนุพันธ์ของ $(1+x^{2})e^{-x/2}$ ด้วยกฎผลคูณ (รูปใดก็ได้)
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dx}(1+x^{2})=2x$ and $\dfrac{d}{dx}e^{-x/2}=-\dfrac12e^{-x/2}$.$\dfrac{d}{dx}(1+x^{2})=2x$ และ $\dfrac{d}{dx}e^{-x/2}=-\dfrac12e^{-x/2}$
Find $\displaystyle\int e^{-x/2}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int e^{-x/2}\,dx$
Answershow ▾
The inside $-\dfrac{x}{2}$ has gradient $-\dfrac12$, so divide by it (which multiplies by $-2$).ข้างในคือ $-\dfrac{x}{2}$ มีความชัน $-\dfrac12$ จึงหารด้วยความชันนี้ (เท่ากับคูณด้วย $-2$)
Simplify $\sqrt{16-4}$ to the form $a\sqrt{3}$.
จงจัด $\sqrt{16-4}$ ให้เป็นรูป $a\sqrt3$
Answershow ▾
$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt4\times\sqrt3$.$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt4\times\sqrt3$
To find the stationary points of $y=(1+x^{2})e^{-x/2}$, what do you do?
(A) set $\dfrac{dy}{dx}=0$ and solve
(B) set $y=0$ and solve
(C) set $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$ and solve
หาจุดคงตัวของ $y=(1+x^{2})e^{-x/2}$ ต้องทำอย่างไร
(A) ให้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ แล้วแก้สมการ
(B) ให้ $y=0$ แล้วแก้สมการ
(C) ให้ $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$ แล้วแก้สมการ
Answershow ▾
(B) finds where the CURVE crosses the axis, not where it turns. (C) finds points of inflection, which is a different feature from a stationary point.(B) หาจุดที่เส้นโค้งตัดแกน ไม่ใช่จุดที่เส้นโค้งเปลี่ยนทิศ (C) หาจุดเปลี่ยนความเว้า ซึ่งเป็นลักษณะคนละอย่างจากจุดคงตัว
Set $\dfrac{dy}{dx}=0$, cancel the common factor $e^{-x/2}$, and clear the fraction to get a quadratic.
จงให้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ ตัด $e^{-x/2}$ ที่เป็นตัวประกอบร่วม แล้วกำจัดเศษส่วนให้ได้สมการกำลังสอง
Answershow ▾
$e^{-x/2}$ is never zero, so divide it out; then multiply by $-2$ to clear the fraction.$e^{-x/2}$ ไม่เป็นศูนย์เลย จึงหารออกได้ จากนั้นคูณด้วย $-2$ เพื่อกำจัดเศษส่วน
Use the quadratic formula on $x^{2}-4x+1=0$, and your simplified surd, to find both exact $x$-values.
จงใช้สูตรกำลังสองกับ $x^{2}-4x+1=0$ และเสิร์ดที่จัดรูปไว้ หา $x$ ทั้งสองค่าแบบแม่นตรง
Answershow ▾
$x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\dfrac{4\pm2\sqrt3}{2}$.$x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\dfrac{4\pm2\sqrt3}{2}$
Write $(1+x^{2})e^{-x/2}$ as a sum of two terms, and hence split $\displaystyle\int(1+x^{2})e^{-x/2}\,dx$ into two integrals.
จงเขียน $(1+x^{2})e^{-x/2}$ เป็นผลบวกของสองพจน์ แล้วแยก $\displaystyle\int(1+x^{2})e^{-x/2}\,dx$ เป็นสองอินทิกรัล
Answershow ▾
$(1+x^{2})e^{-x/2}=e^{-x/2}+x^{2}e^{-x/2}$, and integration adds term by term.$(1+x^{2})e^{-x/2}=e^{-x/2}+x^{2}e^{-x/2}$ และการอินทิเกรตบวกทีละพจน์ได้
For $\displaystyle\int x^{2}e^{-x/2}\,dx$ by parts, which split works?
(A) $u=x^{2}$, $dv=e^{-x/2}dx$
(B) $u=e^{-x/2}$, $dv=x^{2}dx$
(C) integrate $x^{2}$ and $e^{-x/2}$ separately, then multiply the results
สำหรับ $\displaystyle\int x^{2}e^{-x/2}\,dx$ ด้วยการแยกส่วน จะแยกแบบใด
(A) $u=x^{2}$, $dv=e^{-x/2}dx$
(B) $u=e^{-x/2}$, $dv=x^{2}dx$
(C) หาปริพันธ์ $x^{2}$ กับ $e^{-x/2}$ แยกกัน แล้วเอามาคูณกัน
Answershow ▾
(B) differentiates $e^{-x/2}$, which does not simplify, and integrates $x^{2}$ to $x^{3}/3$, which is harder. (C) is not how integration of a product works at all.(B) ดิฟ $e^{-x/2}$ ซึ่งไม่ง่ายขึ้น และอินทิเกรต $x^{2}$ ได้ $x^{3}/3$ ซึ่งยากขึ้น (C) ไม่ใช่วิธีหาปริพันธ์ของผลคูณเลย
Using $u=x^{2}$, $dv=e^{-x/2}dx$ (so $v=-2e^{-x/2}$), apply integration by parts to $\displaystyle\int x^{2}e^{-x/2}\,dx$.
โดยใช้ $u=x^{2}$, $dv=e^{-x/2}dx$ (จะได้ $v=-2e^{-x/2}$) จงใช้การแยกส่วนกับ $\displaystyle\int x^{2}e^{-x/2}\,dx$
Answershow ▾
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$, with $du=2x\,dx$: the $-2$ and $2$ multiply to give $4\int xe^{-x/2}dx$.$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ โดย $du=2x\,dx$ · เลข $-2$ กับ $2$ คูณกันได้ $4\int xe^{-x/2}dx$
Apply by parts again to $\displaystyle\int xe^{-x/2}\,dx$, then combine everything (including warm-up 2) into one antiderivative.
จงใช้การแยกส่วนอีกครั้งกับ $\displaystyle\int xe^{-x/2}\,dx$ แล้วรวมทุกส่วน (รวมข้ออุ่นเครื่อง 2) เป็นปริพันธ์เดียว
Answershow ▾
$\int xe^{-x/2}dx=-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}$; add the $-2e^{-x/2}$ from warm-up 2 and collect.$\int xe^{-x/2}dx=-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}$ บวกกับ $-2e^{-x/2}$ จากข้ออุ่นเครื่อง 2 แล้วรวมพจน์
The curve $y=x^{2}e^{-x/2}$ has stationary points at $x=0$ and $x=4$. Find the exact area enclosed by the curve, the $x$-axis, and the lines $x=0$ and $x=4$.
เส้นโค้ง $y=x^{2}e^{-x/2}$ มีจุดคงตัวที่ $x=0$ และ $x=4$ จงหาพื้นที่แม่นตรงที่ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และเส้นตรง $x=0$ กับ $x=4$
Answershow ▾
Same by-parts-twice chain, without the easy $e^{-x/2}$ piece (there is no $+1$ this time).ขั้นเดิมของการแยกส่วนสองครั้ง แต่ไม่มีส่วน $e^{-x/2}$ ง่าย ๆ (รอบนี้ไม่มี $+1$)
The diagram shows the curve $y=(1+x^{2})e^{-\frac12x}$ for $x\ge0$. The shaded region $R$ is enclosed by the curve, the $x$-axis and the lines $x=0$ and $x=2$.
(i) Find the exact values of the $x$-coordinates of the stationary points of the curve.
(ii) Show that the exact value of the area of $R$ is $18-\dfrac{42}{e}$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $y=(1+x^{2})e^{-\frac12x}$ เมื่อ $x\ge0$ บริเวณที่แรเงา $R$ ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และเส้นตรง $x=0$ และ $x=2$
(i) หาค่า exact ของพิกัด $x$ ของจุดคงตัว (stationary points) ของเส้นโค้ง
(ii) จงแสดงว่าพื้นที่แบบ exact ของ $R$ คือ $18-\dfrac{42}{e}$
Answershow ▾
9 marks: 4 for the stationary points, 5 for the area. Each by-parts application is its own mark.9 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับจุดคงตัว 5 คะแนนสำหรับพื้นที่ · by parts แต่ละครั้งเป็นคะแนนของตัวเอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Triple angle, a cubic, then cos³x มุมสามเท่า สมการกำลังสาม แล้ว cos³x
(i) By first expanding $\cos(2x+x)$, show that $\cos3x \equiv 4\cos^{3}x-3\cos x$.
(ii) Hence solve the equation $\cos3x+3\cos x+1=0$, for $0\le x\le\pi$.
(iii) Find the exact value of $\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^{3}x\,dx$.
(i) โดยกระจาย $\cos(2x+x)$ ก่อน จงแสดงว่า $\cos3x \equiv 4\cos^{3}x-3\cos x$
(ii) จากนั้นแก้สมการ $\cos3x+3\cos x+1=0$ สำหรับ $0\le x\le\pi$
(iii) หาค่า exact ของ $\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^{3}x\,dx$
Use $\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ to expand $\cos(2x+x)$.
จงใช้ $\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ กระจาย $\cos(2x+x)$
Answershow ▾
Here $A=2x$ and $B=x$.ในที่นี้ $A=2x$ และ $B=x$
Use $\cos2x=2\cos^{2}x-1$ and $\sin2x=2\sin x\cos x$ to rewrite $\cos2x\cos x-\sin2x\sin x$ with no $\sin2x$ or $\cos2x$ left.
จงใช้ $\cos2x=2\cos^{2}x-1$ และ $\sin2x=2\sin x\cos x$ เขียน $\cos2x\cos x-\sin2x\sin x$ โดยไม่เหลือ $\sin2x$ หรือ $\cos2x$
Answershow ▾
$\sin2x\sin x=2\sin x\cos x\sin x$ $=2\cos x\sin^{2}x$ $=2\cos x(1-\cos^{2}x)$.$\sin2x\sin x=2\sin x\cos x\sin x$ $=2\cos x\sin^{2}x$ $=2\cos x(1-\cos^{2}x)$
Find $x=\cos^{-1}\!\left(-\sqrt[3]{\tfrac14}\right)$, to 3 s.f.
จงหา $x=\cos^{-1}\!\left(-\sqrt[3]{\tfrac14}\right)$ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$-\sqrt[3]{\tfrac14}\approx-0.6300$, and $\cos^{-1}$ of a number in $[-1,1]$ gives one value in $[0,\pi]$.$-\sqrt[3]{\tfrac14}\approx-0.6300$ และ $\cos^{-1}$ ของค่าใน $[-1,1]$ ให้คำตอบเดียวใน $[0,\pi]$
To show $\cos3x\equiv4\cos^{3}x-3\cos x$, pick the first move.
(A) write $\cos3x=\cos(2x+x)$ and use the compound-angle formula
(B) expand $\cos3x$ as a power series
(C) differentiate both sides three times and compare
พิสูจน์ $\cos3x\equiv4\cos^{3}x-3\cos x$ จงเลือกขั้นแรก
(A) เขียน $\cos3x=\cos(2x+x)$ แล้วใช้สูตรมุมรวม
(B) กระจาย $\cos3x$ เป็นอนุกรมกำลัง (power series)
(C) หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างสามครั้งแล้วเทียบกัน
Answershow ▾
(B) is not a technique taught for this - far too heavy for an identity. (C) does not prove an algebraic identity; equal derivatives can still mean the two sides differ by a constant.(B) ไม่ใช่เทคนิคที่ใช้สำหรับเรื่องนี้ หนักเกินไปสำหรับการพิสูจน์เอกลักษณ์ (C) ไม่ได้พิสูจน์เอกลักษณ์พีชคณิต เพราะอนุพันธ์เท่ากันอาจแปลว่าสองข้างต่างกันด้วยค่าคงที่
Collect the terms in $(2\cos^{2}x-1)\cos x-2\cos x(1-\cos^{2}x)$ to reach $4\cos^{3}x-3\cos x$.
จงรวมพจน์ใน $(2\cos^{2}x-1)\cos x-2\cos x(1-\cos^{2}x)$ ให้ได้ $4\cos^{3}x-3\cos x$
Answershow ▾
Expand both brackets first, then add the $\cos^{3}x$ terms and the $\cos x$ terms separately.กระจายทั้งสองวงเล็บก่อน แล้วบวกพจน์ $\cos^{3}x$ กับพจน์ $\cos x$ แยกกัน
Substitute $\cos3x=4\cos^{3}x-3\cos x$ into $\cos3x+3\cos x+1=0$ and simplify.
จงแทน $\cos3x=4\cos^{3}x-3\cos x$ ลงใน $\cos3x+3\cos x+1=0$ แล้วจัดให้ง่าย
Answershow ▾
The $-3\cos x$ and $+3\cos x$ cancel, leaving a simple cubic in $\cos x$.$-3\cos x$ กับ $+3\cos x$ หักกัน เหลือสมการกำลังสามง่าย ๆ ของ $\cos x$
Rearrange $\cos3x=4\cos^{3}x-3\cos x$ to make $\cos^{3}x$ the subject.
จงจัด $\cos3x=4\cos^{3}x-3\cos x$ ใหม่ ให้ $\cos^{3}x$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Add $3\cos x$ to both sides, then divide by $4$.บวก $3\cos x$ ทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $4$
To integrate $\cos^{3}x$, how do you use part (i)?
(A) rearrange $\cos3x=4\cos^{3}x-3\cos x$ to isolate $\cos^{3}x$, then integrate two easy terms
(B) integrate $\cos^{3}x$ directly with the power rule, as if $\cos x$ were $x$
(C) integrate $\cos x$ three times in a row
หาปริพันธ์ $\cos^{3}x$ ใช้ (i) อย่างไร
(A) จัด $\cos3x=4\cos^{3}x-3\cos x$ ใหม่ แยก $\cos^{3}x$ ออกมา แล้วหาปริพันธ์สองเทอมง่าย ๆ
(B) หาปริพันธ์ $\cos^{3}x$ ตรง ๆ ด้วยกฎยกกำลัง เหมือน $\cos x$ คือ $x$
(C) หาปริพันธ์ $\cos x$ สามรอบติดกัน
Answershow ▾
(B) is wrong: the power rule is for $x^{n}$, and $\cos x$ is not the variable being integrated. (C) is not a rule - integrating repeatedly does not raise a power.(B) ผิด เพราะกฎยกกำลังใช้กับ $x^{n}$ แต่ $\cos x$ ไม่ใช่ตัวแปรที่กำลังอินทิเกรต (C) ไม่ใช่กฎจริง การอินทิเกรตซ้ำ ๆ ไม่ได้ทำให้กำลังเพิ่มขึ้น
Find $\displaystyle\int\cos^{3}x\,dx$ using warm-up 6’s rewrite.
จงหา $\displaystyle\int\cos^{3}x\,dx$ โดยใช้รูปที่จัดใหม่ในข้อ 6
Answershow ▾
$\int\dfrac{\cos3x}{4}dx=\dfrac{1}{12}\sin3x$ (linear inside, divide by $3$); $\int\dfrac{3\cos x}{4}dx=\dfrac34\sin x$.$\int\dfrac{\cos3x}{4}dx=\dfrac{1}{12}\sin3x$ (ข้างในหารด้วย $3$) · $\int\dfrac{3\cos x}{4}dx=\dfrac34\sin x$
Substitute $x=\dfrac{\pi}{6}$ and $x=\dfrac{\pi}{3}$ into $\dfrac{1}{12}\sin3x+\dfrac34\sin x$, and simplify to the exact value.
จงแทน $x=\dfrac{\pi}{6}$ และ $x=\dfrac{\pi}{3}$ ลงใน $\dfrac{1}{12}\sin3x+\dfrac34\sin x$ แล้วจัดให้เป็นค่าแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
At $\dfrac{\pi}{3}$: $0+\dfrac34\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$. At $\dfrac{\pi}{6}$: $\dfrac{1}{12}+\dfrac34\cdot\dfrac12$.ที่ $\dfrac{\pi}{3}$: $0+\dfrac34\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$ · ที่ $\dfrac{\pi}{6}$: $\dfrac{1}{12}+\dfrac34\cdot\dfrac12$
Solve $\cos3x+\cos x=0$ for $0\leqslant x\leqslant\pi$. Then find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}x\,dx$.
จงแก้สมการ $\cos3x+\cos x=0$ สำหรับ $0\leqslant x\leqslant\pi$ จากนั้นหาค่าแม่นตรงของ $\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}x\,dx$
Answershow ▾
The identity turns the equation into $\cos x(2\cos^{2}x-1)=0$; the integral uses the same rewritten row.เอกลักษณ์ทำให้สมการกลายเป็น $\cos x(2\cos^{2}x-1)=0$ · อินทิกรัลใช้แถวที่จัดใหม่ตัวเดิม
(i) By first expanding $\cos(2x+x)$, show that $\cos3x \equiv 4\cos^{3}x-3\cos x$.
(ii) Hence solve the equation $\cos3x+3\cos x+1=0$, for $0\le x\le\pi$.
(iii) Find the exact value of $\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^{3}x\,dx$.
(i) โดยกระจาย $\cos(2x+x)$ ก่อน จงแสดงว่า $\cos3x \equiv 4\cos^{3}x-3\cos x$
(ii) จากนั้นแก้สมการ $\cos3x+3\cos x+1=0$ สำหรับ $0\le x\le\pi$
(iii) หาค่า exact ของ $\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^{3}x\,dx$
Answershow ▾
10 marks across three parts. The $\cos3x$ identity from (i) is reused in both (ii) and (iii).10 คะแนน สามส่วน · เอกลักษณ์ $\cos3x$ จาก (i) ถูกใช้ซ้ำทั้งใน (ii) และ (iii)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Maximum point, then substitute for area จุดสูงสุด แล้วแทนค่าหาพื้นที่
The diagram shows the curve $y=(x+5)\sqrt{3-2x}$ and its maximum point $M$.
(a) Find the exact coordinates of $M$.
(b) Using the substitution $u=3-2x$, find by integration the area of the shaded region bounded by the curve and the $x$-axis. Give your answer in the form $a\sqrt{13}$, where $a$ is a rational number.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $y=(x+5)\sqrt{3-2x}$ และจุดสูงสุด (maximum point) $M$ ของเส้นโค้ง
(ก) หาพิกัดแบบ exact ของ $M$
(ข) โดยใช้การแทนค่า $u=3-2x$ หาพื้นที่ของบริเวณที่แรเงาซึ่งล้อมด้วยเส้นโค้งและแกน $x$ ด้วยการหาปริพันธ์ โดยเขียนคำตอบในรูป $a\sqrt{13}$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนตรรกยะ
Differentiate $(x+5)\sqrt{3-2x}$ using the product rule (any form).
จงหาอนุพันธ์ของ $(x+5)\sqrt{3-2x}$ ด้วยกฎผลคูณ (รูปใดก็ได้)
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dx}\sqrt{3-2x}=\dfrac{-1}{\sqrt{3-2x}}$ (chain rule, inside has gradient $-2$).$\dfrac{d}{dx}\sqrt{3-2x}=\dfrac{-1}{\sqrt{3-2x}}$ (กฎลูกโซ่ (chain rule) ข้างในมีความชัน $-2$)
Combine $\sqrt{3-2x}-\dfrac{x+5}{\sqrt{3-2x}}$ into a single fraction over $\sqrt{3-2x}$.
จงรวม $\sqrt{3-2x}-\dfrac{x+5}{\sqrt{3-2x}}$ เป็นเศษส่วนเดียวที่มีตัวหาร $\sqrt{3-2x}$
Answershow ▾
Multiply $\sqrt{3-2x}$ by $\dfrac{\sqrt{3-2x}}{\sqrt{3-2x}}$ to give it the same denominator.คูณ $\sqrt{3-2x}$ ด้วย $\dfrac{\sqrt{3-2x}}{\sqrt{3-2x}}$ ให้มีตัวหารเดียวกัน
$u=3-2x$. Find $dx$ in terms of $du$.
$u=3-2x$ จงหา $dx$ ในรูปของ $du$
Answershow ▾
$\dfrac{du}{dx}=-2$, so $\dfrac{dx}{du}=-\dfrac12$.$\dfrac{du}{dx}=-2$ ดังนั้น $\dfrac{dx}{du}=-\dfrac12$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-3x-2}{\sqrt{3-2x}}$. This fraction is zero when which part is zero?
(A) the bottom, $\sqrt{3-2x}=0$
(B) the top, $-3x-2=0$
(C) both parts at once
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-3x-2}{\sqrt{3-2x}}$ เศษส่วนนี้เป็นศูนย์เมื่อส่วนไหนเป็นศูนย์
(A) ส่วน $\sqrt{3-2x}=0$
(B) เศษ $-3x-2=0$
(C) ทั้งสองส่วนพร้อมกัน
Answershow ▾
(A) is where the fraction is UNDEFINED, not zero - that is the end of the curve, not a turning point. (C) cannot happen - if the bottom is $0$ the fraction is not even defined.(A) คือจุดที่เศษส่วนไม่มีค่านิยาม ไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือปลายเส้นโค้ง ไม่ใช่จุดเปลี่ยนทิศ (C) เป็นไปไม่ได้ ถ้าส่วนเป็น $0$ เศษส่วนก็ไม่มีค่านิยามอยู่แล้ว
Simplify the top of $\dfrac{(3-2x)-(x+5)}{\sqrt{3-2x}}$.
จงจัดเศษของ $\dfrac{(3-2x)-(x+5)}{\sqrt{3-2x}}$ ให้ง่าย
Answershow ▾
$(3-2x)-(x+5)=3-2x-x-5=-3x-2$.$(3-2x)-(x+5)=3-2x-x-5=-3x-2$
Using the decision above, set the top to zero and solve for $x$.
โดยใช้การเลือกข้างบน จงให้เศษเท่ากับศูนย์ แก้สมการหา $x$
Answershow ▾
$-3x-2=0 \Rightarrow x=-\dfrac23$.$-3x-2=0 \Rightarrow x=-\dfrac23$
Substitute $x=-\dfrac23$ into $y=(x+5)\sqrt{3-2x}$ to find the exact $y$-coordinate of $M$.
จงแทน $x=-\dfrac23$ ลงใน $y=(x+5)\sqrt{3-2x}$ เพื่อหาพิกัด $y$ ของ $M$ แบบแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
$x+5=\dfrac{13}{3}$ and $3-2x=\dfrac{13}{3}$, so $y=\dfrac{13}{3}\sqrt{\dfrac{13}{3}}$.$x+5=\dfrac{13}{3}$ และ $3-2x=\dfrac{13}{3}$ ดังนั้น $y=\dfrac{13}{3}\sqrt{\dfrac{13}{3}}$
Using $u=3-2x$, so $x=\dfrac{3-u}{2}$. What does $x+5$ become in terms of $u$?
(A) $\dfrac{13-u}{2}$
(B) $13-u$
(C) $\dfrac{u-13}{2}$
โดยใช้ $u=3-2x$ จะได้ $x=\dfrac{3-u}{2}$ แล้ว $x+5$ ในรูป $u$ คือเท่าใด
(A) $\dfrac{13-u}{2}$
(B) $13-u$
(C) $\dfrac{u-13}{2}$
Answershow ▾
(B) forgets to divide by $2$ after adding - a common slip. (C) has the sign flipped: $\dfrac{3-u}{2}+5=\dfrac{3-u+10}{2}=\dfrac{13-u}{2}$, not $\dfrac{u-13}{2}$.(B) ลืมหารด้วย $2$ หลังบวก เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (C) เครื่องหมายกลับ: $\dfrac{3-u}{2}+5=\dfrac{3-u+10}{2}=\dfrac{13-u}{2}$ ไม่ใช่ $\dfrac{u-13}{2}$
Find the $x$-intercepts of $y=(x+5)\sqrt{3-2x}$ (where $y=0$).
จงหาจุดตัดแกน $x$ ของ $y=(x+5)\sqrt{3-2x}$ (ที่ $y=0$)
Answershow ▾
$y=0$ when $x+5=0$ or when $3-2x=0$.$y=0$ เมื่อ $x+5=0$ หรือเมื่อ $3-2x=0$
Using $u=3-2x$, $dx=-\tfrac12du$, and $x+5=\dfrac{13-u}{2}$, write the area as an integral in $u$ from $0$ to $13$ (limits swapped and signs fixed so the integral is positive).
โดยใช้ $u=3-2x$, $dx=-\tfrac12du$ และ $x+5=\dfrac{13-u}{2}$ จงเขียนพื้นที่เป็นอินทิกรัลในรูป $u$ จาก $0$ ถึง $13$ (สลับขอบเขตและจัดเครื่องหมายให้อินทิกรัลเป็นค่าบวก)
Answershow ▾
$\dfrac{13-u}{2}\sqrt{u}\cdot\dfrac12$ $=\dfrac{(13-u)\sqrt u}{4}$ $=\dfrac{13u^{1/2}-u^{3/2}}{4}$.$\dfrac{13-u}{2}\sqrt{u}\cdot\dfrac12$ $=\dfrac{(13-u)\sqrt u}{4}$ $=\dfrac{13u^{1/2}-u^{3/2}}{4}$
The curve $y=(x+1)\sqrt{5-x}$ has maximum point $M$ and crosses the $x$-axis at $x=-1$ and $x=5$. (a) Find the exact coordinates of $M$. (b) Using $u=5-x$, find the exact area enclosed by the curve and the $x$-axis, in the form $a\sqrt6$.
เส้นโค้ง $y=(x+1)\sqrt{5-x}$ มีจุดสูงสุด $M$ และตัดแกน $x$ ที่ $x=-1$ และ $x=5$ (ก) หาพิกัดแม่นตรงของ $M$ (ข) โดยใช้ $u=5-x$ หาพื้นที่แม่นตรงที่ล้อมด้วยเส้นโค้งและแกน $x$ ในรูป $a\sqrt6$
Answershow ▾
Same moves: product rule, set the numerator to zero, substitute $u=5-x$, integrate.ขั้นเดิม: กฎผลคูณ ให้เศษเท่ากับศูนย์ แทน $u=5-x$ หาปริพันธ์
The diagram shows the curve $y=(x+5)\sqrt{3-2x}$ and its maximum point $M$.
(a) Find the exact coordinates of $M$.
(b) Using the substitution $u=3-2x$, find by integration the area of the shaded region bounded by the curve and the $x$-axis. Give your answer in the form $a\sqrt{13}$, where $a$ is a rational number.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $y=(x+5)\sqrt{3-2x}$ และจุดสูงสุด (maximum point) $M$ ของเส้นโค้ง
(ก) หาพิกัดแบบ exact ของ $M$
(ข) โดยใช้การแทนค่า $u=3-2x$ หาพื้นที่ของบริเวณที่แรเงาซึ่งล้อมด้วยเส้นโค้งและแกน $x$ ด้วยการหาปริพันธ์ โดยเขียนคำตอบในรูป $a\sqrt{13}$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนตรรกยะ
Answershow ▾
10 marks: 5 for the maximum point, 5 for the area. The limits must run the right way for a positive area.10 คะแนน: 5 คะแนนสำหรับจุดสูงสุด 5 คะแนนสำหรับพื้นที่ · ขอบเขตต้องเรียงให้พื้นที่เป็นค่าบวก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic factor, no real roots ตัวประกอบกำลังสองที่ไม่มีรากจริง
Let $f(x) = \dfrac{x^{2}-x+4}{(x+1)(x^{2}+2)}$.
(a) Express $f(x)$ in partial fractions.
(b) Hence find the exact value of $\int_{0}^{4} f(x)\,dx$. Give your answer as a single logarithm.
กำหนดให้ $f(x) = \dfrac{x^{2}-x+4}{(x+1)(x^{2}+2)}$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย
(ข) จากนั้นหาค่า exact ของ $\int_{0}^{4} f(x)\,dx$ โดยเขียนคำตอบเป็น logarithm เดียว
Multiply both sides of $\dfrac{x^{2}-x+4}{(x+1)(x^{2}+2)}$ $=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+2}$ by $(x+1)(x^{2}+2)$. Write the identity.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{x^{2}-x+4}{(x+1)(x^{2}+2)}$ $=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+2}$ ด้วย $(x+1)(x^{2}+2)$ แล้วเขียนเอกลักษณ์ที่ได้
Answershow ▾
Every denominator cancels, leaving one polynomial equation.ตัวหารหายไปหมด เหลือสมการพหุนามหนึ่งสมการ
Substitute $x=-1$ into $x^{2}-x+4\equiv A(x^{2}+2)+(Bx+C)(x+1)$ to find $A$.
จงแทน $x=-1$ ลงใน $x^{2}-x+4\equiv A(x^{2}+2)+(Bx+C)(x+1)$ เพื่อหา $A$
Answershow ▾
At $x=-1$ the bracket $(x+1)$ is zero, so the $(Bx+C)$ term vanishes.ที่ $x=-1$ วงเล็บ $(x+1)$ เป็นศูนย์ พจน์ $(Bx+C)$ จึงหายไป
Find $\displaystyle\int \dfrac{2}{x+1}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int \dfrac{2}{x+1}\,dx$
Answershow ▾
The inside $x+1$ has gradient $1$, so the row needs no extra factor.ข้างในคือ $x+1$ มีความชัน $1$ แถวนี้จึงไม่ต้องมีตัวคูณเพิ่ม
$x^{2}+2$ has NO real roots, so no real $x$ makes it zero. After finding $A$ by substitution, how do you find $B$ and $C$?
(A) substitute two more real $x$-values and solve simultaneously
(B) compare coefficients of matching powers of $x$ on both sides
(C) substitute $x=0$ only
$x^{2}+2$ ไม่มีรากจริง ไม่มี $x$ จริงใดทำให้เป็นศูนย์ หลังหา $A$ ด้วยการแทนค่าแล้ว จะหา $B$ และ $C$ อย่างไร
(A) แทนค่า $x$ จริงอีกสองค่า แล้วแก้สมการพร้อมกัน
(B) เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x$ กำลังเดียวกันทั้งสองข้าง
(C) แทน $x=0$ เพียงอย่างเดียว
Answershow ▾
(A) still works algebraically but is clumsy with no special value to isolate one unknown. (C) gives only ONE equation with two unknowns $B,C$ still mixed together - not enough alone.(A) ยังใช้ได้ทางพีชคณิตแต่ยุ่งยาก เพราะไม่มีค่าพิเศษที่แยกตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งออกมาได้ (C) ได้สมการเดียว มีตัวแปร $B,C$ ปนกันอยู่ ไม่พอหาค่าทั้งสอง
Expand $(Bx+C)(x+1)$, then compare the coefficient of $x^{2}$ on both sides of the identity to find $B$.
จงกระจาย $(Bx+C)(x+1)$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ ทั้งสองข้างของเอกลักษณ์เพื่อหา $B$
Answershow ▾
$(Bx+C)(x+1)=Bx^{2}+\ldots$, so the $x^{2}$ coefficient on the right is $A+B$.$(Bx+C)(x+1)=Bx^{2}+\ldots$ สัมประสิทธิ์ $x^{2}$ ทางขวาคือ $A+B$
Compare the constant terms on both sides of the identity to find $C$.
จงเทียบพจน์คงที่ทั้งสองข้างของเอกลักษณ์เพื่อหา $C$
Answershow ▾
The constant on the right is $2A+C$.พจน์คงที่ทางขวาคือ $2A+C$
Using $A=2,B=-1,C=0$, write $f(x)$ in partial fractions, then state $\displaystyle\int \dfrac{2}{x+1}\,dx$ (warm-up 3).
โดยใช้ $A=2,B=-1,C=0$ จงเขียน $f(x)$ เป็นเศษส่วนย่อย แล้วระบุ $\displaystyle\int \dfrac{2}{x+1}\,dx$ (ข้ออุ่นเครื่อง 3)
Answershow ▾
$C=0$ means the quadratic term is just $\dfrac{-x}{x^{2}+2}$, with no constant on top.$C=0$ ทำให้เทอมกำลังสองเหลือแค่ $\dfrac{-x}{x^{2}+2}$ ไม่มีพจน์คงที่บนเศษ
$\int\dfrac{2}{x+1}dx=2\ln(x+1)$ and $\int\dfrac{-x}{x^{2}+2}dx=-\dfrac12\ln(x^{2}+2)$. Which log law combines these into ONE logarithm?
(A) $p\ln A-q\ln B=\ln\left(\dfrac{A^{p}}{B^{q}}\right)$
(B) $p\ln A-q\ln B=\ln(A-B)$
(C) $p\ln A-q\ln B=(p-q)\ln(AB)$
$\int\dfrac{2}{x+1}dx=2\ln(x+1)$ และ $\int\dfrac{-x}{x^{2}+2}dx=-\dfrac12\ln(x^{2}+2)$ กฎลอการิทึม (logarithm) ใดรวมเป็น $\ln$ เดียว
(A) $p\ln A-q\ln B=\ln\left(\dfrac{A^{p}}{B^{q}}\right)$
(B) $p\ln A-q\ln B=\ln(A-B)$
(C) $p\ln A-q\ln B=(p-q)\ln(AB)$
Answershow ▾
(B) treats subtraction of logs like subtraction of numbers, which is not a log law. (C) invents an algebra rule that logs do not follow.(B) ปฏิบัติกับการลบ log เหมือนลบตัวเลขธรรมดา ซึ่งไม่ใช่กฎลอการิทึม (C) เสกกฎพีชคณิตที่ log ไม่เป็นไปตามนั้น
Find $\displaystyle\int \dfrac{-x}{x^{2}+2}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int \dfrac{-x}{x^{2}+2}\,dx$
Answershow ▾
The derivative of $x^{2}+2$ is $2x$; the top $-x$ is $-\dfrac12$ of that.อนุพันธ์ของ $x^{2}+2$ คือ $2x$ · เศษ $-x$ เป็น $-\dfrac12$ เท่าของค่านั้น
Substitute $x=0$ and $x=4$ into $2\ln(x+1)-\dfrac12\ln(x^{2}+2)$, and combine to a single log.
จงแทน $x=0$ และ $x=4$ ลงใน $2\ln(x+1)-\dfrac12\ln(x^{2}+2)$ แล้วรวมเป็น $\ln$ เดียว
Answershow ▾
$2\ln5-\tfrac12\ln18=\ln25-\ln3\sqrt2$, and the $x=0$ value is $-\tfrac12\ln2$.$2\ln5-\tfrac12\ln18=\ln25-\ln3\sqrt2$ และค่าที่ $x=0$ คือ $-\tfrac12\ln2$
Let $h(x)=\dfrac{2x^{2}+x+3}{(x+1)(x^{2}+3)}$. (a) Express $h(x)$ in the form $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+3}$. (b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{3} h(x)\,dx$, giving your answer as a single logarithm.
กำหนดให้ $h(x)=\dfrac{2x^{2}+x+3}{(x+1)(x^{2}+3)}$ (ก) เขียน $h(x)$ ในรูป $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+3}$ (ข) จากนั้นหาค่าแม่นตรงของ $\displaystyle\int_{0}^{3} h(x)\,dx$ โดยเขียนคำตอบเป็นลอการิทึมเดียว
Answershow ▾
Same moves: find $A$ at $x=-1$, compare coefficients for $B$ and $C$, integrate, combine logs.ขั้นเดิม: หา $A$ ที่ $x=-1$ เทียบสัมประสิทธิ์หา $B$ และ $C$ หาปริพันธ์ รวมเป็น log เดียว
Let $f(x) = \dfrac{x^{2}-x+4}{(x+1)(x^{2}+2)}$.
(a) Express $f(x)$ in partial fractions.
(b) Hence find the exact value of $\int_{0}^{4} f(x)\,dx$. Give your answer as a single logarithm.
กำหนดให้ $f(x) = \dfrac{x^{2}-x+4}{(x+1)(x^{2}+2)}$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย
(ข) จากนั้นหาค่า exact ของ $\int_{0}^{4} f(x)\,dx$ โดยเขียนคำตอบเป็น logarithm เดียว
Answershow ▾
10 marks: 5 for the partial fractions, 5 for the integral. $C=0$ makes the quadratic term a clean $\ln$.10 คะแนน: 5 คะแนนสำหรับเศษส่วนย่อย 5 คะแนนสำหรับอินทิกรัล · $C=0$ ทำให้เทอมกำลังสองเป็น $\ln$ ที่สะอาด