Pure Math Lab /
/ Integrationการอินทิเกรต Book a callจองคุย
Integration · progressIntegration · ความคืบหน้า
← Topicsหัวข้อ Pure Math Lab
🎁 Free · every level open, no sign-up. 🎁 ฟรี · เปิดทุกระดับ ไม่ต้องสมัคร
A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 · Edexcel: WMA13
Your exam boardบอร์ดสอบของคุณ

Integration

การอินทิเกรต (Integration)

Pick a problem on the left — every step is a choice.

เลือกโจทย์จากแถบซ้าย — ทุกสเต็ปคือการเลือกคำตอบ

How this page worksหน้านี้ใช้ยังไง

Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip.

ทำทีละข้อ ทีละสเต็ป ทุกสเต็ปคือการเลือก และทุกคำตอบจะกางเป็นมินิบทเรียนเต็ม: วิธีคิด การแสดงวิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทิปข้อสอบ

The Pure 3 Method: practice, explain the why, repeat. The quiz-and-recall method top students use, so the marks stick.

The Pure 3 Method: ฝึก อธิบายเหตุผล ทำซ้ำ ใช้หลัก quiz-and-recall แบบเด็กท็อป คะแนนเลยอยู่ตัว

🪜Learn  Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน  ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อIntegration — Substitution, Parts & Moreอินทิเกรตขั้นสูง (Substitution & Parts)
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไปIntegration laddersชุดไต่ระดับ · การอินทิเกรต
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
PractiseฝึกTopic pack · 10 past-paper questions, 87 marksชุดฝึก · ข้อสอบจริง 10 ข้อ 87 คะแนน
TestสอบPure 3 paperข้อสอบ Pure 3

The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย

Questionโจทย์
The mapแผนที่วิธี

See this → use this

เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้

The one decision that unlocks most integrals: match the shape to the method.

การตัดสินใจเดียวที่ปลดล็อกข้อส่วนใหญ่: จับรูปให้ตรงกับวิธี

$f(x)\cdot g(x)$ you can't simplifyที่ลดรูปไม่ได้→by partstry →ลอง →
inside function + its derivativeฟังก์ชันข้างใน + อนุพันธ์ของมัน→substitutionแทนค่าtry →ลอง →
$\dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}$→arctantry →ลอง →
proper fraction over linear factorsเศษส่วนแท้ ตัวส่วนเชิงเส้น→partial fractionsเศษส่วนย่อยtry →ลอง →
$e^{ax+b}$, $\sin(ax+b)$, $\dfrac{1}{ax+b}$→standard, ÷ aมาตรฐาน, ÷ atry →ลอง →
$\sin^{2}x$, $\cos^{2}x$, $\tan^{2}x$→trig identity firstใช้เอกลักษณ์ก่อน
Toolkitกล่องเครื่องมือ

Standard results to know

สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ

Power ruleกฎยกกำลัง$\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$
Logsลอการิทึม$\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$e^{ax+b}$$\int e^{ax+b}\,dx=\dfrac{1}{a}e^{ax+b}+C$
$\frac{1}{ax+b}$$\int \dfrac{1}{ax+b}\,dx=\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|+C$
$\frac{f'}{f}\to\ln$$\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\to$ arctan$\int \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$
$\to$ arcsin$\int \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,dx=\arcsin\dfrac{x}{a}+C$
By partsby parts$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

Most sit in the formula booklet, but recognising them on sight is what earns the marks.

ส่วนใหญ่อยู่ในเล่มสูตร แต่การมองออกทันทีคือสิ่งที่ทำให้ได้คะแนน

Worked exampleตัวอย่างพร้อมคะแนน

One full solution, marked

เฉลยเต็มข้อ พร้อมคะแนน

Every line is one mark on the real mark scheme.

ทุกบรรทัดคือหนึ่งคะแนนในเกณฑ์ตรวจจริง

$y=xe^{x}$
(a)Find $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$.หา $\displaystyle\int xe^{x}\,dx$4 marks
M1Method: by parts, $u=x$วิธี: by parts, $u=x$
A1$xe^{x}-\int e^{x}\,dx$$xe^{x}-\int e^{x}\,dx$
A1$\int e^{x}\,dx=e^{x}$$\int e^{x}\,dx=e^{x}$
A1$=e^{x}(x-1)+C$$=e^{x}(x-1)+C$
(b)Hence find the exact area between C, the x-axis and $x=1$, for $0\le x\le1$.จากนั้นหาพื้นที่ค่าตรงระหว่าง C, แกน x และ $x=1$ ในช่วง $0\le x\le1$3 marks
M1Put limits 0,1 into part (a)แทนขอบเขต 0,1 ในข้อ (a)
A1$e^{1}(0)-e^{0}(-1)$$e^{1}(0)-e^{0}(-1)$
A1Area $=1$ (exact)พื้นที่ $=1$ (ค่าตรง)

M marks are for the method — you keep them even if the arithmetic slips. A and B marks need the answer itself. Total 7 marks.M คือคะแนนวิธีทำ ได้อยู่แม้คิดเลขพลาด ส่วน A กับ B ต้องได้คำตอบถูก รวม 7 คะแนน

Vocabศัพท์ต้องรู้

The words the question will use

คำที่โจทย์จะใช้

Read the paper in English; think in whichever you like.

อ่านข้อสอบเป็นอังกฤษ แต่คิดภาษาไหนก็ได้

Power rule กฎยกกำลังLogs ลอการิทึมBy parts by partssubstitution แทนค่าpartial fractions เศษส่วนย่อยstandard, ÷ a มาตรฐาน, ÷ atrig identity first ใช้เอกลักษณ์ก่อนlimits ขอบเขต
Lock in the marksเก็บคะแนนให้ครบ

5 marks to lock in

5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้

Hover (or tap) each one to see the fix.

เลื่อนเมาส์ (หรือแตะ) แต่ละอันเพื่อดูวิธีแก้

✗Missing $+C$ลืม $+C$i
$x^{2}$  →  $x^{2}+C$
an indefinite integral always needs +Cปริพันธ์ไม่จำกัดเขตต้องมี +C เสมอ
✗$0.785$ not $\frac{\pi}{4}$$0.785$ ไม่ใช่ $\frac{\pi}{4}$i
$0.785$  →  $\frac{\pi}{4}$
leave the answer in exact formตอบเป็นค่าตรง ไม่ใช่ทศนิยม
✗$\ln(\dots)$ without $|\ |$$\ln(\dots)$ ไม่มี $|\ |$i
$\ln(x-1)$  →  $\ln|x-1|$
keep the modulus barsใส่ค่าสัมบูรณ์ไว้เสมอ
✗Degrees, not radiansองศา ไม่ใช่เรเดียนi
DEG  →  RAD
calculus uses radians by defaultแคลคูลัสใช้เรเดียนโดยปริยาย
✗Answer left in $u$คำตอบยังเป็น $u$i
$\frac{u^{6}}{6}$  →  $\frac{(x^{2}+1)^{6}}{6}$
swap u back to x at the endตอนจบเปลี่ยน u กลับเป็น x
Still stuck on a topic? Book a free call →ยังติดทั้งหัวข้อ? จองคุยฟรี →
Pure Math Lab · A-Level & IGCSE maths · CAIE 9709 · Cambridge A Level
Pure Math Lab · คณิต A-Level & IGCSE · CAIE 9709 · Cambridge A Level
Freeฟรี
Stuck? Book a callติด? จองคุยฟรี
Google Meet or LINEGoogle Meet หรือไลน์
Book →จอง →
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Mark schemeเกณฑ์ให้คะแนน

Keep going, free

ไปต่อ ฟรี

Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board.

ทำได้ดีมาก ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่น เราจะปรับให้ตรงบอร์ดของคุณ