Numerical Methodsระเบียบวิธีเชิงตัวเลข

A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 & Edexcel IAL WMA13 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Trap the answer, then walk towards itล้อมคำตอบไว้ แล้วค่อย ๆ เดินเข้าหา

This chapter: both ideas, with $f(x)$ in place of numbers.บทนี้: สองแนวคิดนี้ โดยใช้ $f(x)$ แทนตัวเลข

1. $x^{3}=20$ has no whole-number answer. It sits between two consecutive whole numbers: type the smaller one.$x^{3}=20$ คำตอบไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่อยู่ระหว่างจำนวนเต็มสองตัวติดกัน · พิมพ์ตัวที่เล็กกว่า
   Answer:เฉลย: $2$  (because $2^{3}=8$ and $3^{3}=27$)Squeeze the root between two guesses: $2^{3}=8\ \lt\ 20$   $3^{3}=27\ >\ 20$   $\Rightarrow\ 2\lt x\lt 3$ Year 9 trial and improvement, promoted to an A-Level chapter.ขังรากไว้ระหว่างค่าเดาสองค่า: $2^{3}=8\ \lt\ 20$   $3^{3}=27\ >\ 20$   $\Rightarrow\ 2\lt x\lt 3$ ลองผิดลองถูกตอน ม.3 · วันนี้ยกระดับเป็นบทของ A-Level
2. Calculator game: start with $10$. Halve it, then add $3$ to get $8$. Do the same to $8$ to get $7$. Do it again. What do you get?เกมเครื่องคิดเลข: เริ่มที่ $10$ · หารครึ่งแล้วบวก $3$ ได้ $8$ · ทำแบบเดิมกับ $8$ ได้ $7$ · ทำอีกรอบ ได้เท่าไร?
   Answer:เฉลย: $7\div2+3=6.5$$10,\;8,\;7,\;6.5,\;6.25,\dots$ The numbers move towards $6$ and stay there. You ran your first iteration.$10,\;8,\;7,\;6.5,\;6.25,\dots$ ตัวเลขค่อยๆ ขยับเข้าหา $6$ แล้วอยู่ตรงนั้น · เมื่อกี้คือ iteration ครั้งแรกของเรา

2. Trap the crossingขังจุดตัดไว้

Evaluate at both ends, read the signs, write the sentence that earns the mark.แทนค่าทั้งสองปลาย อ่านเครื่องหมาย เขียนประโยคที่ได้คะแนน

A root is a crossingรากคือจุดตัด

No factorising: the unbroken curve crosses the axis. That crossing is a root of $f(x)=0$.ไม่ต้องแยกตัวประกอบ · กราฟไม่ขาดตอน จึงตัดแกน · จุดที่ตัดคือรากของ $f(x)=0$

$k(x)=x^{3}-4x-1$: is there a root in $(2,3)$?$k(x)=x^{3}-4x-1$: มีรากใน $(2,3)$ ไหม?

1. $x=2$LABEL the left end.ติดป้ายปลายซ้าย
2. $k(2)=2^{3}-4(2)-1$
3. $=-1$EVALUATE. Below the axis.คิดคำตอบ · ใต้แกน
4. $x=3$LABEL the right end.ติดป้ายปลายขวา
5. $k(3)=3^{3}-4(3)-1$
6. $=14$Above the axis.เหนือแกน
7. $k\text{ continuous},\ k(2)k(3)\ \lt\ 0\ \Rightarrow\ \text{root in }(2,3)$The full sentence is the mark.ประโยคเต็ม — นี่คือคะแนน

1. $f(1)=-3$ and $f(2)=3$, and the curve is unbroken. What do we know for certain?$f(1)=-3$ และ $f(2)=3$ โดยเส้นกราฟไม่ขาดตอน เรารู้อะไรแน่ๆ?
   Answer:เฉลย: A root is trapped in $(1,2)$.รากถูกขังอยู่ใน $(1,2)$Sign change + continuous = root trapped. Same as the warm-up, written in exam language.เครื่องหมายเปลี่ยน + ต่อเนื่อง = รากโดนขัง · เหมือนข้อวอร์มอัพ แค่เขียนเป็นภาษาข้อสอบ
2. Make the interval smaller: find $f(1.5)$ for $f(x)=x^{3}-x-3$.บีบให้แคบลง: คำนวณ $f(1.5)$ เมื่อ $f(x)=x^{3}-x-3$
   Answer:เฉลย: $f(1.5)=3.375-1.5-3=-1.125$The cage halves: $f(1.5)=3.375-1.5-3=-1.125$   $f(1.5)\ \lt\ 0,\ \ f(2)\ >\ 0$   $\Rightarrow\ \text{root in }(1.5,\,2)$กรงหดลงครึ่งหนึ่ง: $f(1.5)=3.375-1.5-3=-1.125$   $f(1.5)\ \lt\ 0,\ \ f(2)\ >\ 0$   $\Rightarrow\ \text{root in }(1.5,\,2)$
3. New function: $h(x)=x^{3}+x-5$. We want to show $h(x)=0$ has a root in $(1,2)$. First: $h(1)=?$ฟังก์ชันใหม่: $h(x)=x^{3}+x-5$ อยากโชว์ว่า $h(x)=0$ มีรากใน $(1,2)$ · เริ่มจาก: $h(1)=?$
   Answer:เฉลย: $h(1)=1+1-5=-3$Half the cage built: $h(1)=1+1-5=-3$   $-3\ \lt\ 0\ \Rightarrow\ \text{curve is below the axis}$สร้างกรงได้ครึ่งหนึ่ง: $h(1)=1+1-5=-3$   $-3\ \lt\ 0\ \Rightarrow\ \text{curve is below the axis}$
4. Other end of the cage: $h(2)=?$อีกฝั่งของกรง: $h(2)=?$
   Answer:เฉลย: $h(2)=8+2-5=5$$h(1)=-3\lt0$ and $h(2)=5>0$. The numbers are done. Numbers alone do not earn the mark.$h(1)=-3\lt0$ และ $h(2)=5>0$ · ตัวเลขเสร็จแล้ว แต่ตัวเลขอย่างเดียวยังไม่ได้คะแนน
5. Which written conclusion earns the mark?ข้อสรุปแบบไหนได้คะแนน?
   Answer:เฉลย: State the values, then: continuous + change of sign, so a root lies in the interval.เขียนค่าทั้งสอง แล้วตามด้วย: ต่อเนื่อง + เครื่องหมายเปลี่ยน ดังนั้นมีรากในช่วงนั้นValues, then the sentence: $h(1)=-3\ \lt\ 0$   $h(2)=5\ >\ 0$   $\text{change of sign}+h\text{ continuous}\ \Rightarrow\ \text{root in }(1,2)$ Numbers alone score nothing. The sentence carries the mark.เขียนค่าก่อน แล้วตามด้วยประโยค: $h(1)=-3\ \lt\ 0$   $h(2)=5\ >\ 0$   $\text{change of sign}+h\text{ continuous}\ \Rightarrow\ \text{root in }(1,2)$ มีแต่ตัวเลขไม่ได้คะแนน · คะแนนอยู่ที่ประโยค

3. Make x the subject, againทำ x เป็นตัวตั้ง อีกรอบ

One equation $\Rightarrow$ many rearrangements $x=g(x)$.สมการเดียว $\Rightarrow$ จัดรูป $x=g(x)$ ได้หลายแบบ

Make x the subject: the easy caseทำ x เป็นตัวตั้ง — เคสง่าย

Same move: make $x$ the subject. Now try an equation where $x$ will not come alone.ท่าเดียวกัน: แยก $x$ ออกมา · คราวนี้ลองกับสมการที่ $x$ โดดเดี่ยวไม่ได้

Make x the subject, partlyทำ x เป็นตัวตั้ง แบบครึ่งทาง

1. $x^{3}-x-3=0$Write $+x+3$ under both sides, then strike the pair.เขียน $+x+3$ ใต้ทั้งสองข้าง แล้วขีดฆ่าคู่นั้น
2. $x^{3}=x+3$Move everything else across.ย้ายที่เหลือข้ามฝั่ง
3. $x=\sqrt[3]{x+3}$Cube-root both sides: the shape $x=g(x)$.ถอดรากที่สามทั้งสองข้าง · ได้รูป $x=g(x)$

1. Same equation, different route: start from $x^{3}=x+3$ and divide both sides by $x^{2}$. Now $x=?$สมการเดิม เส้นทางใหม่: เริ่มจาก $x^{3}=x+3$ แล้วหารทั้งสองข้างด้วย $x^{2}$ · ได้ $x=?$
   Answer:เฉลย: $x=\dfrac{x+3}{x^{2}}$Same equation, now a second shape $x=g(x)$. One equation can be rearranged in many ways.สมการเดิม แต่ได้รูป $x=g(x)$ แบบที่สอง · สมการเดียวจัดรูปได้หลายแบบ
2. Which of these is a correct rearrangement of $x^{3}-x-3=0$?อันไหนคือการจัดรูปที่ถูกต้องของ $x^{3}-x-3=0$?
   Answer:เฉลย: $x=x^{3}-3$Rearrange it back to check: $x=x^{3}-3$   $\Rightarrow\ x^{3}-x-3=0\ \ \checkmark$จัดกลับไปตรวจว่าตรงเดิมไหม: $x=x^{3}-3$   $\Rightarrow\ x^{3}-x-3=0\ \ \checkmark$

4. The calculator loopลูปเครื่องคิดเลข

$x_{n+1}=g(x_n)$: the Ans key does the work.$x_{n+1}=g(x_n)$ · ปุ่ม Ans ทำงานแทนเรา

Feed $1.5$ into $g(x)=\sqrt[3]{x+3}$ป้อน $1.5$ เข้า $g(x)=\sqrt[3]{x+3}$

A substitution you already know. Now feed the output back in.การแทนค่าที่ทำได้อยู่แล้ว · คราวนี้เอาผลลัพธ์ป้อนกลับเข้าไปอีก

$x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n+3}$,  $x_1=1.5$$x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n+3}$,  $x_1=1.5$

1. $x_1=1.5$LABEL the starting guess.ติดป้ายตัวเดาเริ่มต้น
2. $x_2=1.6510$SUBSTITUTE, EVALUATE. One press.แทนค่า คิด · กดครั้งเดียว
3. $x_3=1.6692$
4. $x_4=1.6714$
5. $x_5=1.6717$Each press moves less than the last.กดแต่ละครั้งขยับน้อยลงกว่าเดิม

1. The root of $x^{3}-x-3=0$ is $1.6717\ldots$ It makes both sides of $x=\sqrt[3]{x+3}$ equal. Feed the guess $1.5$ into the right side: $\sqrt[3]{1.5+3}=1.6510$. Compared with $1.5$, is $1.6510$ closer to the root or further away?รากของ $x^{3}-x-3=0$ คือ $1.6717\ldots$ · ค่านี้ทำให้สองข้างของ $x=\sqrt[3]{x+3}$ เท่ากัน · ลองป้อนตัวเดา $1.5$ เข้าฝั่งขวา: $\sqrt[3]{1.5+3}=1.6510$ · เทียบกับ $1.5$ แล้ว $1.6510$ ใกล้รากขึ้นหรือไกลออกไป?
   Answer:เฉลย: Closer — the error shrank from $0.1717$ to $0.0207$.ใกล้ขึ้น — ความคลาดเคลื่อนหดจาก $0.1717$ เหลือ $0.0207$A bad guess went in, a better guess came out. So: what if we feed the better guess back in?ตัวเดาแย่ๆ เข้าไป ตัวเดาที่ดีกว่าออกมา · แล้ว: ถ้าเอาตัวที่ดีกว่าป้อนกลับเข้าไปอีกล่ะ?
2. Do it. Feed $1.6510$ back in: find $\sqrt[3]{1.6510+3}$ to 4 decimal places.ลองเลย ป้อน $1.6510$ กลับเข้าไป: คำนวณ $\sqrt[3]{1.6510+3}$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: $\sqrt[3]{4.6510}=1.6692$Every pass lands closer: $1.5\to1.6510\to1.6692\to1.6714\to1.6717$   $|1.6717-1.5|=0.1717$   $|1.6717-1.6510|=0.0207$ The halve-and-add-3 game from the warm-up, with a fancier rule.กดแต่ละรอบ ใกล้ขึ้นเรื่อยๆ: $1.5\to1.6510\to1.6692\to1.6714\to1.6717$   $|1.6717-1.5|=0.1717$   $|1.6717-1.6510|=0.0207$ เกมหารสองบวกสามตอนวอร์มอัพอันเดิม แค่กฎหรูขึ้น

5. When the loop moves away from the rootตอนที่ลูปลู่ออกห่างจากราก

Same equation: one rearrangement converges, another runs away.สมการเดียวกัน: จัดรูปหนึ่งลู่เข้า อีกรูปวิ่งหนี

The staircase: up to the curve, across to the lineภาพบันได: ขึ้นไปหาเส้นโค้ง แล้วเลื่อนไปหาเส้นตรง

$y=g(x)$ and $y=x$ cross at the root. Flatter curve, smaller steps.$y=g(x)$ กับ $y=x$ ตัดกันที่ราก · เส้นโค้งยิ่งแบน ก้าวยิ่งสั้น

$x_{n+1}=x_n^{3}-3$,  $x_1=1$$x_{n+1}=x_n^{3}-3$,  $x_1=1$

1. $x_1=1$LABEL the start.ติดป้ายจุดเริ่ม
2. $x_2=1^{3}-3=-2$SUBSTITUTE, EVALUATE.แทนค่า คิด
3. $x_3=(-2)^{3}-3=-11$
4. $x_4=-1334$Every press goes further.กดแต่ละครั้งยิ่งไปไกล
5. $\Rightarrow\ \text{diverging}$

1. Another legal rearrangement is $x=x^{3}-3$. Run $x_{n+1}=x_n^{3}-3$ with $x_1=1.5$. Find $x_2$.การจัดรูปถูกกติกาอีกแบบคือ $x=x^{3}-3$ · วนลูป $x_{n+1}=x_n^{3}-3$ โดย $x_1=1.5$ · หา $x_2$
   Answer:เฉลย: $x_2=1.5^{3}-3=0.375$This loop runs away: $x_{2}=1.5^{3}-3=0.375$   $x_{3}=0.375^{3}-3=-2.9473$   $x_{4}=-28.601\ldots$   $\Rightarrow\ \text{diverging}$ลูปนี้วิ่งหนี: $x_{2}=1.5^{3}-3=0.375$   $x_{3}=0.375^{3}-3=-2.9473$   $x_{4}=-28.601\ldots$   $\Rightarrow\ \text{diverging}$
2. Both loops $x_{n+1}=\ldots$ start at $x_1=1.5$ and come from the same equation $x^{3}-x-3=0$. What is the right conclusion?สองลูป $x_{n+1}=\ldots$ เริ่มที่ $x_1=1.5$ และมาจากสมการเดียวกัน $x^{3}-x-3=0$ · ข้อสรุปที่ถูกคืออะไร?
   Answer:เฉลย: A converges, B diverges — validity and usefulness are different things.A ลู่เข้า B ลู่ออก — ถูกกติกากับใช้งานได้เป็นคนละเรื่องGradient decides: $\sqrt[3]{x+3}:\ \text{nearly flat}\ \Rightarrow\ \text{steps shrink}$   $x^{3}-3:\ \text{slope}\approx8\ \Rightarrow\ \text{error}\times8$ความชันเป็นตัวตัดสิน: $\sqrt[3]{x+3}:\ \text{nearly flat}\ \Rightarrow\ \text{steps shrink}$   $x^{3}-3:\ \text{slope}\approx8\ \Rightarrow\ \text{error}\times8$
3. Exam moment: your iteration starts jumping all over the place. What do you do?สถานการณ์ห้องสอบ: ลูปเริ่มกระโดดไปมามั่วไปหมด ทำยังไงต่อ?
   Answer:เฉลย: Try another rearrangement of the same equation.ลองจัดรูปสมการเดิมแบบอื่นOne equation, many $g$'s: $x^{3}-x-3=0\ \Rightarrow\ x=\sqrt[3]{x+3}\ \ \checkmark$   $x^{3}-x-3=0\ \Rightarrow\ x=x^{3}-3\ \ \times$ In CAIE the given $g$ almost always converges.สมการเดียว มี $g$ ได้หลายแบบ: $x^{3}-x-3=0\ \Rightarrow\ x=\sqrt[3]{x+3}\ \ \checkmark$   $x^{3}-x-3=0\ \Rightarrow\ x=x^{3}-3\ \ \times$ ข้อสอบ CAIE มักให้ $g$ ที่ลู่เข้ามาอยู่แล้ว

6. Exam formรูปแบบข้อสอบ

The four-part routine, and the sign-change check that earns the answer mark.ขั้นตอนสี่ส่วน และ sign change รอบสุดท้ายที่ได้คะแนนคำตอบ

Four parts, every yearสี่ส่วน ออกทุกปี

(d) carries the answer mark. A settled calculator proves nothing: only a sign change does.(d) คือคะแนนคำตอบ · เครื่องคิดเลขนิ่งไม่ได้พิสูจน์อะไร · มีแต่ sign change ที่พิสูจน์ได้

1. You believe the root of $x^{3}-x-3=0$ is $1.67$ to 2 d.p. Which check proves it?เราเชื่อว่ารากของ $x^{3}-x-3=0$ คือ $1.67$ (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง) · ตรวจแบบไหนพิสูจน์ได้จริง?
   Answer:เฉลย: Sign change on $(1.665,\,1.675)$ — every number that rounds to $1.67$ lives in there.Sign change บน $(1.665,\,1.675)$ — เลขทุกตัวที่ปัดเป็น $1.67$ อยู่ในช่วงนี้หมดThe rounding interval: $1.665\le x\lt 1.675\ \Rightarrow\ x=1.67\ (2\text{ d.p.})$   $f(1.665)=-0.049\ \lt\ 0$   $f(1.675)=0.024\ >\ 0$   $\Rightarrow\ \text{root inside}$ช่วงของการปัดเลข: $1.665\le x\lt 1.675\ \Rightarrow\ x=1.67\ (2\text{ d.p.})$   $f(1.665)=-0.049\ \lt\ 0$   $f(1.675)=0.024\ >\ 0$   $\Rightarrow\ \text{root inside}$
2. One calculator habit before the full exam question: $x_{n+1}=\cos(x_n)$, $x_1=0.7$. Find $x_2$ to 4 d.p.อีกหนึ่งนิสัยเครื่องคิดเลขก่อนทำข้อสอบเต็ม: $x_{n+1}=\cos(x_n)$, $x_1=0.7$ หา $x_2$ ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: $\cos(0.7)=0.7648$Radians, always: $x_{1}=0.7$   $x_{2}=\cos 0.7=0.7648$   $0.7648\to0.7215\to0.7508\to\ldots\to0.7391$ Degree mode looks normal on screen and loses every mark.เรเดียนเสมอ: $x_{1}=0.7$   $x_{2}=\cos 0.7=0.7648$   $0.7648\to0.7215\to0.7508\to\ldots\to0.7391$ โหมดองศาหน้าจอดูปกติ แต่เสียคะแนนหมด
3. Exam: $f(x)=x^{3}-x-3$.
   (a) Show that $f(x)=0$ has a root $\alpha$ in $(1,2)$. [1]
   (b) Show the equation can be written $x=\sqrt[3]{x+3}$. [1]
   (c) Use $x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n+3}$ with $x_1=1.5$ to find $\alpha$ correct to 2 decimal places. [3]
   Work all three parts on the whiteboard; type the final value of $\alpha$.ข้อสอบ: $f(x)=x^{3}-x-3$
   (a) แสดงว่า $f(x)=0$ มีราก $\alpha$ ใน $(1,2)$ [1]
   (b) แสดงว่าสมการเขียนเป็น $x=\sqrt[3]{x+3}$ ได้ [1]
   (c) ใช้ $x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n+3}$ โดย $x_1=1.5$ หา $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง [3]
   ทำครบสามส่วนบนไวท์บอร์ด แล้วพิมพ์ค่า $\alpha$ สุดท้าย
   Answer:เฉลย: $\alpha=1.67$ (2 d.p.), verified by $f(1.665)\lt0,\;f(1.675)>0$5 marks: $\text{B1}\ \ f(1)=-3\lt 0,\ f(2)=3>0,\ \text{sign change},\ f\text{ continuous}$   $\text{B1}\ \ x^{3}=x+3\ \Rightarrow\ x=\sqrt[3]{x+3}$   $\text{M1}\ \ 1.6510,\ 1.6692,\ 1.6714,\ 1.6717$   $\text{A1}\ \ \text{the values converge}$   $\text{A1}\ \ f(1.665)\lt 0,\ f(1.675)>0\ \Rightarrow\ \alpha=1.67$ The last mark is the sign-change check, not the iteration.5 คะแนน: $\text{B1}\ \ f(1)=-3\lt 0,\ f(2)=3>0,\ \text{sign change},\ f\text{ continuous}$   $\text{B1}\ \ x^{3}=x+3\ \Rightarrow\ x=\sqrt[3]{x+3}$   $\text{M1}\ \ 1.6510,\ 1.6692,\ 1.6714,\ 1.6717$   $\text{A1}\ \ \text{the values converge}$   $\text{A1}\ \ f(1.665)\lt 0,\ f(1.675)>0\ \Rightarrow\ \alpha=1.67$ คะแนนสุดท้ายอยู่ที่ sign change ไม่ใช่การกดลูป
4. Exam: $f(x)=x^{3}-5x-4$. Part (a) — show that $f(x)=0$ has a root $\alpha$ in $(2,3)$ — is written on the whiteboard.  (6 marks)ข้อสอบ: $f(x)=x^{3}-5x-4$ · ข้อ (a) แสดงว่า $f(x)=0$ มีราก $\alpha$ ใน $(2,3)$ ให้เขียนบนกระดาน  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $p=5$, $q=4$;  $x_{2}=2.5690$,  $x_{3}=2.5607$ (4 d.p.)6 marks: $\text{M1}\ \ f(2)=-6,\ f(3)=8$   $\text{A1}\ \ \text{sign change},\ f\text{ continuous}\ \Rightarrow\ \text{root in }(2,3)$   $\text{M1}\ \ x^{3}=5x+4\ \Rightarrow\ x^{2}=5+\dfrac{4}{x}$   $\text{A1}\ \ p=5,\ q=4$   $\text{M1}\ \ x_{2}=2.5690$   $\text{A1}\ \ x_{3}=2.5607$ Counting starts at $x_1=2.5$, so $x_3$ is the second press.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ f(2)=-6,\ f(3)=8$   $\text{A1}\ \ \text{sign change},\ f\text{ continuous}\ \Rightarrow\ \text{root in }(2,3)$   $\text{M1}\ \ x^{3}=5x+4\ \Rightarrow\ x^{2}=5+\dfrac{4}{x}$   $\text{A1}\ \ p=5,\ q=4$   $\text{M1}\ \ x_{2}=2.5690$   $\text{A1}\ \ x_{3}=2.5607$ นับจาก $x_1=2.5$ ดังนั้น $x_3$ คือการกดครั้งที่สอง
5. $x^{3}-4x-6=0$ has a root $\alpha$ near $2.5$. Two rearrangements are offered:
   A: $x_{n+1}=\sqrt[3]{4x_{n}+6}$  ·  B: $x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{3}-6}{4}$
   Use the one that works, with $x_{1}=2.5$, to find $\alpha$ correct to 2 decimal places.$x^{3}-4x-6=0$ มีราก $\alpha$ อยู่แถว $2.5$ · มีการจัดรูปให้เลือกสองแบบ:
   A: $x_{n+1}=\sqrt[3]{4x_{n}+6}$  ·  B: $x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{3}-6}{4}$
   เลือกอันที่ใช้ได้ แล้วใช้ $x_{1}=2.5$ หา $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: Loop A converges: $2.5,\,2.5198,\,2.5240,\,2.5249,\,2.5251\ldots$, so $\alpha=2.53$ (2 d.p.)Correct algebra, useless loop: $\text{A}:\ \sqrt[3]{4x_n+6}\ \Rightarrow\ 2.5,\ 2.5198,\ 2.5240,\ 2.5249,\ 2.5251$   $\text{B}:\ \dfrac{x_n^{3}-6}{4}\ \Rightarrow\ 2.5,\ 2.4063,\ 1.9831,\ 0.4496,\ -1.4773$   $|g'(\alpha)|\lt 1\ \Rightarrow\ \text{converges}$   $f(2.525)\lt 0,\ f(2.535)>0\ \Rightarrow\ \alpha=2.53\ (2\text{ d.p.})$ No derivative needed: press twice. If the values jump, switch.พีชคณิตถูก แต่ลูปใช้ไม่ได้: $\text{A}:\ \sqrt[3]{4x_n+6}\ \Rightarrow\ 2.5,\ 2.5198,\ 2.5240,\ 2.5249,\ 2.5251$   $\text{B}:\ \dfrac{x_n^{3}-6}{4}\ \Rightarrow\ 2.5,\ 2.4063,\ 1.9831,\ 0.4496,\ -1.4773$   $|g'(\alpha)|\lt 1\ \Rightarrow\ \text{converges}$   $f(2.525)\lt 0,\ f(2.535)>0\ \Rightarrow\ \alpha=2.53\ (2\text{ d.p.})$ ไม่ต้องหาอนุพันธ์ · กดสองครั้ง ถ้าเด้งก็เปลี่ยนรูป

7. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Show that $x^{3}+4x-9=0$ has a root between $1$ and $2$.
   Answer:เฉลย: $f(1)=-4\lt0$, $f(2)=7>0$; $f$ continuous, change of sign $\Rightarrow$ root in $(1,2)$Level 2 with new numbers, including the ritual sentence: missing it means an incomplete answer.ขั้นที่ 2 เปลี่ยนตัวเลข รวมประโยคพิธีกรรมด้วย ถ้าประโยคหายถือว่ายังไม่ครบ
2. Show that $x^{3}-5x+3=0$ has a root between $0.6$ and $0.7$.
   Answer:เฉลย: $f(0.6)=0.216>0$, $f(0.7)=-0.157\lt0$; change of sign $\Rightarrow$ root in $(0.6,0.7)$Decimal endpoints, and the sign change runs positive to negative this time: it works both ways.ปลายช่วงเป็นทศนิยม คราวนี้เครื่องหมายเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ · sign change ใช้ได้ทั้งสองทิศ
3. (Radians!) Use $x_{n+1}=\cos(x_n)$ with $x_1=0.7$ to find the root of $x=\cos x$ correct to 2 d.p.
   Answer:เฉลย: $0.7648,\;0.7215,\;0.7508,\ldots\to0.7391$; root $=0.74$ (2 d.p.)Trigonometry, not a cubic: values alternate above and below the root. Degree mode fails immediately.ตรีโกณ ไม่ใช่ลูกบาศก์: ค่าสลับอยู่เหนือรากและใต้รากไปมา · โหมดองศาผิดตั้งแต่กดครั้งแรก
4. By sketching $y=x^{3}$ and $y=x+3$ on the same axes, explain why $x^{3}-x-3=0$ has exactly one real root.
   Answer:เฉลย: The cubic and the line cross exactly once (near $x\approx1.67$) $\Rightarrow$ exactly one real rootRoots of $f(x)=0$ are crossings of two simpler graphs: one crossing, one root.รากของ $f(x)=0$ คือจุดตัดของกราฟง่ายๆ สองเส้น · ตัดหนึ่งจุด เท่ากับหนึ่งราก
5. A student's calculator shows the loop $x_{n+1}=\sqrt[3]{5x_n-3}$. Which equation are they solving?
   Answer:เฉลย: $x=\sqrt[3]{5x-3}\Rightarrow x^{3}=5x-3\Rightarrow x^{3}-5x+3=0$ — the equation from question 2Given the iteration, recover the equation: the rearrangement run backwards.ให้ลูปมา แล้วสืบกลับไปหาสมการ การจัดรูปเดินถอยหลัง
6. $f(x)=x^{3}-3x-5$. (a)(ก) Show $f(x)=0$ has a root $\alpha$ in $(2,3)$. [1] (b)(ข) Show the equation can be written $x=\sqrt[3]{3x+5}$. [1] (c)(ค) Use $x_{n+1}=\sqrt[3]{3x_n+5}$, $x_1=2.5$, to find $\alpha$ correct to 2 d.p. [3]
   Answer:เฉลย: (a) $f(2)=-3\lt0$, $f(3)=13>0$, change of sign (b) $x^{3}=3x+5\Rightarrow x=\sqrt[3]{3x+5}$ (c) $2.3208,\;2.2870,\;2.2806,\;2.2793\Rightarrow\alpha=2.28$; verify $f(2.275)=-0.050\lt0$, $f(2.285)=0.075>0$The full four-part method on a new cubic, marked like the real exam paper.พิธีกรรมสี่ขั้นเต็มรูปแบบกับลูกบาศก์ตัวใหม่ พร้อมคะแนนกำกับ ตรงตามหน้ากระดาษข้อสอบ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี