Numerical methods · practice ladders ชุดไต่ระดับ · ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Numerical methods · rearrange and iterate
$f(x) = x^3 + x - 17$.
(a) Show that the equation $f(x) = 0$ can be rearranged into the form $x = \sqrt[3]{17 - x}$.
(b) Use the iterative formula $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$, with $x_0 = 2$, to find the root of $f(x) = 0$ correct to 4 decimal places. Give the value of each iterate.
(c) State an equation, with integer coefficients, of which your answer to part (b) is an approximate root.
Show that the equation $x^3 + 2x - 7 = 0$ can be rearranged to give $x^3 = 7 - 2x$.
จงแสดงว่าสมการ $x^3 + 2x - 7 = 0$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $x^3 = 7 - 2x$
Answershow ▾
Get $x^3$ completely on its own on one side — nothing else can be cube-rooted yet.
Solve $x^3 = 8$.
แก้สมการ $x^3 = 8$
Answershow ▾
Take the cube root of both sides. Unlike a square root, a cube root of a negative number is itself negative, and there is only ever one real cube root.
Using the iterative formula $x_{n+1} = \sqrt[3]{7 - 2x_n}$ with $x_0 = 0$, find $x_1$, correct to 4 decimal places.
ใช้สูตรวนซ้ำ $x_{n+1} = \sqrt[3]{7 - 2x_n}$ โดยที่ $x_0 = 0$ จงหา $x_1$ ถูกต้องถึง 4 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Substitute $x_0$ for $x_n$ on the right-hand side and evaluate — one substitution, nothing more.
$x^3 + x - 17 = 0$ can be rearranged into $x = F(x)$ in more than one way. Part (a) asks for $x = \sqrt[3]{17 - x}$; another student writes $x = 17 - x^3$. Run TWO steps of $x_{n+1} = 17 - x_n^{\,3}$ from $x_0 = 2$ and say what you find.
$x^3 + x - 17 = 0$ จัดรูปเป็น $x = F(x)$ ได้มากกว่าหนึ่งแบบ · ข้อ (a) สั่งให้ใช้ $x = \sqrt[3]{17 - x}$ · นักเรียนอีกคนเขียน $x = 17 - x^3$ · จงทำสองรอบของ $x_{n+1} = 17 - x_n^{\,3}$ โดยเริ่มจาก $x_0 = 2$ แล้วบอกว่าเห็นอะไร
Answershow ▾
Both rearrangements are algebraically identical to $f(x) = 0$; only one of them is a usable iteration. The cube root squashes each step towards the root, and squaring or cubing on the right-hand side stretches it away. Part (a) tells you which one to use, so no mark is lost here — but the choice is the reason the method works at all, and the next question will hand you the rearrangement to invent yourself.การจัดรูปทั้งสองแบบเทียบเท่ากับ $f(x) = 0$ ทางพีชคณิต แต่มีแบบเดียวที่ใช้วนซ้ำได้ · รากที่สามบีบแต่ละก้าวเข้าหาราก ส่วนการยกกำลังทางขวายืดมันออกไป · ข้อ (a) บอกมาแล้วว่าให้ใช้แบบไหน จึงไม่มีคะแนนหายตรงนี้ แต่การเลือกนี้คือเหตุผลที่วิธีนี้ทำงานได้เลย และข้อสอบข้อหน้าจะให้คิดรูปจัดใหม่เอง
$f(x) = x^3 + x - 17$. Show that the equation $f(x) = 0$ can be rearranged into the form $x = \sqrt[3]{17 - x}$.
Answershow ▾
Same two moves as question 1: isolate $x^3$, then take cube roots. This is part (a).
Using $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$ with $x_0 = 2$, find $x_1$ correct to 4 decimal places.
Answershow ▾
Substitute $x_0$ for $x_n$ and evaluate, exactly as in question 3.
Given $x_1 = 2.4662$, use $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$ to find $x_2$ correct to 4 decimal places.
Answershow ▾
The output of one step becomes the input of the next — feed $x_1$ back into the same formula.
“Correct to 4 decimal places” has to tell you when to STOP. Which of these three is the right stopping rule, and what is wrong with the other two?
(A) stop after four iterations (B) stop when two consecutive iterates agree to 4 d.p. (C) stop when $x_n$ stops changing in the first decimal place
Then say whether you feed the rounded $2.4662$ or the full calculator display back into the next step.
"correct to 4 decimal places" ต้องบอกได้ว่าจะ "หยุด" เมื่อไร · กฎหยุดข้อไหนถูก และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) หยุดหลังวนครบสี่รอบ (B) หยุดเมื่อค่าสองรอบติดกันตรงกันถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง (C) หยุดเมื่อ $x_n$ ไม่เปลี่ยนที่ทศนิยมตำแหน่งแรก
แล้วบอกว่าจะป้อนค่า $2.4662$ ที่ปัดแล้ว หรือค่าเต็มบนหน้าจอ กลับเข้ารอบถัดไป
Answershow ▾
(A) counts steps instead of watching the answer, and how many steps are needed depends entirely on the equation. (C) stops four decimal places too early. The rule is about agreement, not about effort. As for the feedback: the iterates you WRITE are rounded to 4 d.p. because the question asks for them that way, but the number you put back in is the one still in the calculator — rounding at every step lets the error grow exactly where you are trying to measure it. The A1 pays for the final root; nothing pays for either decision.(A) นับจำนวนรอบแทนที่จะดูคำตอบ และจำนวนรอบที่ต้องใช้ขึ้นกับสมการล้วน ๆ · (C) หยุดเร็วไปสี่ตำแหน่งทศนิยม · กฎนี้ว่าด้วยการที่ค่าตรงกัน ไม่ใช่ว่าด้วยความเหนื่อย · ส่วนค่าที่ป้อนกลับ: ค่าที่ "เขียน" ปัดเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่งเพราะโจทย์สั่งอย่างนั้น แต่ค่าที่ป้อนกลับคือค่าที่ยังอยู่ในเครื่อง · การปัดทุกรอบทำให้ความคลาดเคลื่อนโตขึ้นตรงจุดที่เรากำลังจะวัดพอดี · A1 ให้กับรากสุดท้าย ไม่มีคะแนนให้กับการตัดสินใจทั้งสองข้อ
$f(x) = x^3 + x - 17$, and $f(x) = 0$ can be written as $x = \sqrt[3]{17 - x}$. Using $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$ with $x_0 = 2$, find the root of $f(x) = 0$ correct to 4 decimal places, giving the value of each iterate.
Answershow ▾
Questions 5 and 6, repeated until two consecutive iterates round to the same 4 decimal places — that agreement is what 'correct to 4 d.p.' means here. This is part (b).
The iteration in question 7 gives $x = 2.4418$ as an approximate root. State an equation, with integer coefficients, of which this value is an approximate root.
Answershow ▾
The iterative formula was built by rearranging $f(x)=0$ — so any root of the rearranged form is (approximately) a root of the original equation. This is part (c).
Part (c) wants an equation with integer coefficients that $2.4418$ approximately satisfies. Which of these three answers it, and what is wrong with the other two?
(A) $x = \sqrt[3]{17 - x}$ (B) $x^3 = 17 - x$ (C) $x^3 + x - 17 = 0$
ข้อ (c) ต้องการสมการ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง $2.4418$ เป็นรากโดยประมาณ · ข้อไหนตอบโจทย์ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $x = \sqrt[3]{17 - x}$ (B) $x^3 = 17 - x$ (C) $x^3 + x - 17 = 0$
Answershow ▾
All three are satisfied by the same number, so all three are true. (A) is not a polynomial equation at all — it has a cube root in it and no coefficients to be integers. (B) has integer coefficients but is not written as “$\ldots = 0$”, which is what “an equation of which this is a root” conventionally means; some boards accept it, some do not, and (C) costs nothing to write. The B1 is for the equation as asked, and the word “integer” is the only thing separating a full mark from a lost one.ทั้งสามข้อมีจำนวนเดียวกันเป็นคำตอบ จึงเป็นจริงทั้งหมด · (A) ไม่ใช่สมการพหุนามเลย มีรากที่สามอยู่ข้างใน และไม่มีสัมประสิทธิ์ให้เป็นจำนวนเต็ม · (B) มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม แต่ไม่ได้เขียนในรูป "$\ldots = 0$" ซึ่งเป็นความหมายตามธรรมเนียมของคำว่า "สมการที่มีค่านี้เป็นราก" · บางบอร์ดรับ บางบอร์ดไม่รับ และการเขียน (C) ไม่ได้เสียอะไรเลย · B1 ให้กับสมการตามที่สั่ง และคำว่า "integer" คือสิ่งเดียวที่แยกคะแนนเต็มออกจากคะแนนที่หายไป
$f(x) = x^3 + x - 3$.
(a) Show that $f(x) = 0$ can be rearranged into the form $x = \sqrt[3]{3 - x}$.
(b) Use $x_{n+1} = \sqrt[3]{3 - x_n}$, with $x_0 = 1$, to find the root correct to 4 decimal places, giving each iterate.
(c) State an equation of which your answer to (b) is an approximate root.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$f(x) = x^3 + x - 17$.
(a) Show that the equation $f(x) = 0$ can be rearranged into the form $x = \sqrt[3]{17 - x}$.
(b) Use the iterative formula $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$, with $x_0 = 2$, to find the root of $f(x) = 0$ correct to 4 decimal places. Give the value of each iterate.
(c) State an equation, with integer coefficients, of which your answer to part (b) is an approximate root.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); questions 5, 6 and 7 build part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 substitute $x_0 = 2$ into $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$ and repeat A1 the iterates are $x_{1} = 2.4662 , x_{2} = 2.4404 , x_{3} = 2.4418 , x_{4} = 2.4418$ A1 $x_{3}$ and $x_{4}$ agree to 4 decimal places A1 so the root is $x = 2.4418$ (4 d.p.).
(c) B1 $x = 2.4418$ is an approximate root of $x^3 + x - 17 = 0$.
Numerical methods · locating a root by a sign change
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4$.
(a) Show that the equation $f(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
(b) By considering further values of $f(x)$, find this root correct to 1 decimal place, justifying your answer.
(c) The function $h(x) = \dfrac{1}{x - \frac{13}{4}}$ is undefined at $x = \frac{13}{4}$, a value between $x = 3$ and $x = 4$. Evaluate $h(3)$ and $h(4)$, and explain why this does not show that $h(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
$f(x) = x^3 - x^2 - 2$. Find $f(2)$ and $f(3)$.
กำหนด $f(x) = x^3 - x^2 - 2$ จงหา $f(2)$ และ $f(3)$
Answershow ▾
Substitute each number for $x$ in turn and simplify — the whole ladder starts here.
A function $g$ is continuous on $[1, 2]$. $g(1) = -4$ and $g(2) = 2$. Explain what this tells you about the equation $g(x) = 0$.
ฟังก์ชัน $g$ ต่อเนื่องบนช่วง $[1, 2]$ โดยที่ $g(1) = -4$ และ $g(2) = 2$ จงอธิบายว่าสิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับ สมการ $g(x) = 0$
Answershow ▾
A continuous function cannot jump from negative to positive without passing through zero — that is the whole argument, in one sentence.
A continuous function $g$ has $g(2.3) = -3$, $g(2.4) = 3$ and $g(2.35) = -3$. State the root of $g(x) = 0$, correct to 1 decimal place, and justify your answer.
ฟังก์ชันต่อเนื่อง $g$ มี $g(2.3) = -3$, $g(2.4) = 3$ และ $g(2.35) = -3$ จงหาค่ารากของ $g(x)=0$ ถูกต้องถึง 1 ตำแหน่งทศนิยม พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
The midpoint splits the width-0.1 bracket in half; whichever endpoint the root's half is nearest to is the 1 d.p. answer.
“Show that” means a mark for every part of the argument. A student writes only “$f(3) = -4$, $f(4) = 12$”. List the three things that have to be on the page for the sign-change argument to be complete, and say which one the student has left out.
"Show that" หมายถึงมีคะแนนให้กับทุกส่วนของการให้เหตุผล · นักเรียนคนหนึ่งเขียนแค่ "$f(3) = -4$, $f(4) = 12$" · จงบอกสามสิ่งที่ต้องปรากฏบนกระดาษเพื่อให้เหตุผลเรื่องการเปลี่ยนเครื่องหมายครบถ้วน และบอกว่านักเรียนคนนั้นขาดอะไร
Answershow ▾
Two numbers on their own are arithmetic, not an argument: they do not say what they prove. The conclusion needs the word “continuous” because that is the hypothesis part (c) is about to break. Boards vary in how firmly they insist on it, but every mark scheme for a “show that” expects the numbers, the comparison and the conclusion, and none of them expects you to have worked out that this is what “show that” meant.ตัวเลขสองตัวลอย ๆ คือการคำนวณ ไม่ใช่การให้เหตุผล เพราะมันไม่ได้บอกว่ามันพิสูจน์อะไร · ข้อสรุปต้องมีคำว่า "continuous" เพราะนั่นคือสมมติฐานที่ข้อ (c) กำลังจะหักล้าง · แต่ละบอร์ดเข้มงวดไม่เท่ากัน แต่มาร์คสกีมของ "show that" ทุกฉบับคาดหวังตัวเลข การเปรียบเทียบ และข้อสรุป และไม่มีฉบับไหนคาดหวังว่าเราจะคิดออกเองว่า "show that" แปลว่าอะไร
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4$. Show that the equation $f(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
Answershow ▾
Same move as questions 1 and 2 combined: evaluate at both ends, then quote the sign-change rule. This is part (a).
Given that $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$, use a decimal search to find consecutive values of $x$, 0.1 apart, between which $f(x)$ changes sign.
Answershow ▾
Evaluate $f$ at $x = 3.1, 3.2, \ldots$ until the sign flips — that pins the root down to one decimal place either side.
You have narrowed the root to $3.3 \lt x \lt 3.4$. Is that enough to state the root to 1 decimal place? Say why not, name the ONE further value of $x$ that settles it, and say what its sign would have to be for the answer to be $3.3$ instead.
ตอนนี้บีบรากได้เป็น $3.3 \lt x \lt 3.4$ แล้ว · เพียงพอที่จะตอบรากเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่งหรือยัง · บอกว่าทำไมยัง แล้วบอกค่า $x$ อีกค่าเดียวที่ตัดสินได้ และบอกว่าเครื่องหมายของมันต้องเป็นอย่างไรถ้าคำตอบจะเป็น $3.3$
Answershow ▾
A bracket of width $0.1$ still straddles the rounding boundary, so both $3.3$ and $3.4$ are still alive. The midpoint is the only extra value that separates them, because rounding to 1 d.p. is decided at exactly the halfway point. Answering $3.4$ from the bracket alone is right here by luck and wrong roughly half the time. The A1 is for the value with its justification, and the mark scheme never says the midpoint is what the justification has to be.ช่วงกว้าง $0.1$ ยังคร่อมเส้นแบ่งการปัดเศษอยู่ ทั้ง $3.3$ และ $3.4$ จึงยังเป็นไปได้ทั้งคู่ · จุดกึ่งกลางคือค่าเพิ่มเติมค่าเดียวที่แยกสองค่านี้ออกจากกัน เพราะการปัดเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่งตัดสินกันที่จุดกึ่งกลางพอดี · การตอบ $3.4$ จากช่วงอย่างเดียวถูกที่นี่เพราะโชคดี และผิดประมาณครึ่งหนึ่งของเวลา · A1 ให้กับค่าพร้อมเหตุผล และมาร์คสกีมไม่เคยบอกว่าเหตุผลนั้นต้องเป็นจุดกึ่งกลาง
$f(3.3) = -0.733$ and $f(3.4) = 0.624$ have opposite signs. Evaluate $f(3.35)$ and hence find the root correct to 1 decimal place.
Answershow ▾
Same move as question 3: the sign of $f$ at the midpoint tells you which half of the bracket the root is really in.
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4$. Show that $f(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$, then find this root correct to 1 decimal place.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 back to back — parts (a) and (b) of the exam question, in order.
The function $h(x) = \dfrac{1}{x - \frac{13}{4}}$ is undefined at $x = \frac{13}{4}$, a value between $x = 3$ and $x = 4$. Evaluate $h(3)$ and $h(4)$, and explain why this does not show that $h(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
Answershow ▾
The sign-change rule is only valid when the function is continuous throughout the interval — an asymptote breaks that, even though the sign still flips. This is part (c).
$h(3) = -4$ and $h(4) = \frac{4}{3}$ change sign, exactly as $f$ did, yet there is no root. The sign-change argument has three ingredients (you listed them above). Name the one $h$ fails, and say where on $[3,\,4]$ it fails it.
$h(3) = -4$ และ $h(4) = \frac{4}{3}$ เปลี่ยนเครื่องหมายเหมือน $f$ ทุกประการ แต่ไม่มีราก · การให้เหตุผลเรื่องการเปลี่ยนเครื่องหมายมีองค์ประกอบสามอย่าง (ที่บอกไว้ข้างบน) · จงบอกว่า $h$ ขาดข้อไหน และขาดตรงจุดใดใน $[3,\,4]$
Answershow ▾
The sign really does change; what is missing is any promise that the graph got from one side to the other by passing through zero. It did not — it went to infinity and came back on the other side. This is the whole reason the word “continuous” is not decoration in part (a). Part (c) awards its marks for identifying the asymptote and saying it breaks continuity; nothing pays for realising that (a) and (c) are the same statement read forwards and backwards.เครื่องหมายเปลี่ยนจริง สิ่งที่ขาดไปคือคำรับรองว่ากราฟข้ามจากด้านหนึ่งไปอีกด้านโดยผ่านศูนย์ · มันไม่ได้ผ่าน มันวิ่งไปอนันต์แล้วโผล่กลับมาอีกฝั่ง · นี่คือเหตุผลทั้งหมดที่คำว่า "continuous" ในข้อ (a) ไม่ใช่ของประดับ · ข้อ (c) ให้คะแนนกับการชี้เส้นกำกับและบอกว่ามันทำให้ความต่อเนื่องขาด ไม่มีคะแนนให้กับการมองออกว่าข้อ (a) กับข้อ (c) คือข้อความเดียวกันที่อ่านไปข้างหน้าและอ่านย้อนกลับ
$f(x) = x^3 - x^2 - 1$.
(a) Show that $f(x) = 0$ has a root between $x = 1$ and $x = 2$.
(b) Find this root correct to 1 decimal place.
(c) $h(x) = \dfrac{1}{x - \frac{3}{2}}$ is undefined at $x = \frac{3}{2}$. Evaluate $h(1)$ and $h(2)$, and explain why this does not give a root of $h(x) = 0$.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4$.
(a) Show that the equation $f(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
(b) By considering further values of $f(x)$, find this root correct to 1 decimal place, justifying your answer.
(c) The function $h(x) = \dfrac{1}{x - \frac{13}{4}}$ is undefined at $x = \frac{13}{4}$, a value between $x = 3$ and $x = 4$. Evaluate $h(3)$ and $h(4)$, and explain why this does not show that $h(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 decimal search: $f(3.3) = -0.733$, $f(3.4) = 0.624$, opposite signs, so the root lies in $(3.3, 3.4)$ A1 $f(3.35) = -0.072125$, same sign as $f(3.3)$, so the root lies in $(3.35, 3.4)$ A1 root $= 3.4$ (1 d.p.).
(c) M1 $h(3) = -4$, $h(4) = \frac{4}{3}$, opposite signs A1 but $h$ is not continuous on $[3, 4]$ — it has an asymptote at $x = \frac{13}{4}$ — so the sign-change rule cannot be applied there; indeed $h(x) = \dfrac{1}{x - \frac{13}{4}} \ne 0$ for every $x$, so $h(x) = 0$ has no root at all.