Numerical methods · practice ladders ชุดไต่ระดับ · ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Numerical methods · rearrange and iterate
$f(x) = x^3 + x - 17$.
(a) Show that the equation $f(x) = 0$ can be rearranged into the form $x = \sqrt[3]{17 - x}$.
(b) Use the iterative formula $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$, with $x_0 = 2$, to find the root of $f(x) = 0$ correct to 4 decimal places. Give the value of each iterate.
(c) State an equation, with integer coefficients, of which your answer to part (b) is an approximate root.
Show that the equation $x^3 + 2x - 7 = 0$ can be rearranged to give $x^3 = 7 - 2x$.
จงแสดงว่าสมการ $x^3 + 2x - 7 = 0$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $x^3 = 7 - 2x$
Answershow ▾
Get $x^3$ completely on its own on one side — nothing else can be cube-rooted yet.
Solve $x^3 = 8$.
แก้สมการ $x^3 = 8$
Answershow ▾
Take the cube root of both sides. Unlike a square root, a cube root of a negative number is itself negative, and there is only ever one real cube root.
Using the iterative formula $x_{n+1} = \sqrt[3]{7 - 2x_n}$ with $x_0 = 0$, find $x_1$, correct to 4 decimal places.
ใช้สูตรวนซ้ำ $x_{n+1} = \sqrt[3]{7 - 2x_n}$ โดยที่ $x_0 = 0$ จงหา $x_1$ ถูกต้องถึง 4 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Substitute $x_0$ for $x_n$ on the right-hand side and evaluate — one substitution, nothing more.
$x^3 + x - 17 = 0$ can be rearranged into $x = F(x)$ in more than one way. Part (a) asks for $x = \sqrt[3]{17 - x}$; another student writes $x = 17 - x^3$. Run TWO steps of $x_{n+1} = 17 - x_n^{\,3}$ from $x_0 = 2$ and say what you find.
$x^3 + x - 17 = 0$ จัดรูปเป็น $x = F(x)$ ได้มากกว่าหนึ่งแบบ · ข้อ (a) สั่งให้ใช้ $x = \sqrt[3]{17 - x}$ · นักเรียนอีกคนเขียน $x = 17 - x^3$ · จงทำสองรอบของ $x_{n+1} = 17 - x_n^{\,3}$ โดยเริ่มจาก $x_0 = 2$ แล้วบอกว่าเห็นอะไร
Answershow ▾
Both rearrangements are algebraically identical to $f(x) = 0$; only one of them is a usable iteration. The cube root squashes each step towards the root, and squaring or cubing on the right-hand side stretches it away. Part (a) tells you which one to use, so no mark is lost here — but the choice is the reason the method works at all, and the next question will hand you the rearrangement to invent yourself.การจัดรูปทั้งสองแบบเทียบเท่ากับ $f(x) = 0$ ทางพีชคณิต แต่มีแบบเดียวที่ใช้วนซ้ำได้ · รากที่สามบีบแต่ละก้าวเข้าหาราก ส่วนการยกกำลังทางขวายืดมันออกไป · ข้อ (a) บอกมาแล้วว่าให้ใช้แบบไหน จึงไม่มีคะแนนหายตรงนี้ แต่การเลือกนี้คือเหตุผลที่วิธีนี้ทำงานได้เลย และข้อสอบข้อหน้าจะให้คิดรูปจัดใหม่เอง
$f(x) = x^3 + x - 17$. Show that the equation $f(x) = 0$ can be rearranged into the form $x = \sqrt[3]{17 - x}$.
Answershow ▾
Same two moves as question 1: isolate $x^3$, then take cube roots. This is part (a).
Using $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$ with $x_0 = 2$, find $x_1$ correct to 4 decimal places.
Answershow ▾
Substitute $x_0$ for $x_n$ and evaluate, exactly as in question 3.
Given $x_1 = 2.4662$, use $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$ to find $x_2$ correct to 4 decimal places.
Answershow ▾
The output of one step becomes the input of the next — feed $x_1$ back into the same formula.
“Correct to 4 decimal places” has to tell you when to STOP. Which of these three is the right stopping rule, and what is wrong with the other two?
(A) stop after four iterations (B) stop when two consecutive iterates agree to 4 d.p. (C) stop when $x_n$ stops changing in the first decimal place
Then say whether you feed the rounded $2.4662$ or the full calculator display back into the next step.
"correct to 4 decimal places" ต้องบอกได้ว่าจะ "หยุด" เมื่อไร · กฎหยุดข้อไหนถูก และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) หยุดหลังวนครบสี่รอบ (B) หยุดเมื่อค่าสองรอบติดกันตรงกันถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง (C) หยุดเมื่อ $x_n$ ไม่เปลี่ยนที่ทศนิยมตำแหน่งแรก
แล้วบอกว่าจะป้อนค่า $2.4662$ ที่ปัดแล้ว หรือค่าเต็มบนหน้าจอ กลับเข้ารอบถัดไป
Answershow ▾
(A) counts steps instead of watching the answer, and how many steps are needed depends entirely on the equation. (C) stops four decimal places too early. The rule is about agreement, not about effort. As for the feedback: the iterates you WRITE are rounded to 4 d.p. because the question asks for them that way, but the number you put back in is the one still in the calculator — rounding at every step lets the error grow exactly where you are trying to measure it. The A1 pays for the final root; nothing pays for either decision.(A) นับจำนวนรอบแทนที่จะดูคำตอบ และจำนวนรอบที่ต้องใช้ขึ้นกับสมการล้วน ๆ · (C) หยุดเร็วไปสี่ตำแหน่งทศนิยม · กฎนี้ว่าด้วยการที่ค่าตรงกัน ไม่ใช่ว่าด้วยความเหนื่อย · ส่วนค่าที่ป้อนกลับ: ค่าที่ "เขียน" ปัดเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่งเพราะโจทย์สั่งอย่างนั้น แต่ค่าที่ป้อนกลับคือค่าที่ยังอยู่ในเครื่อง · การปัดทุกรอบทำให้ความคลาดเคลื่อนโตขึ้นตรงจุดที่เรากำลังจะวัดพอดี · A1 ให้กับรากสุดท้าย ไม่มีคะแนนให้กับการตัดสินใจทั้งสองข้อ
$f(x) = x^3 + x - 17$, and $f(x) = 0$ can be written as $x = \sqrt[3]{17 - x}$. Using $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$ with $x_0 = 2$, find the root of $f(x) = 0$ correct to 4 decimal places, giving the value of each iterate.
Answershow ▾
Questions 5 and 6, repeated until two consecutive iterates round to the same 4 decimal places — that agreement is what 'correct to 4 d.p.' means here. This is part (b).
The iteration in question 7 gives $x = 2.4418$ as an approximate root. State an equation, with integer coefficients, of which this value is an approximate root.
Answershow ▾
The iterative formula was built by rearranging $f(x)=0$ — so any root of the rearranged form is (approximately) a root of the original equation. This is part (c).
Part (c) wants an equation with integer coefficients that $2.4418$ approximately satisfies. Which of these three answers it, and what is wrong with the other two?
(A) $x = \sqrt[3]{17 - x}$ (B) $x^3 = 17 - x$ (C) $x^3 + x - 17 = 0$
ข้อ (c) ต้องการสมการ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง $2.4418$ เป็นรากโดยประมาณ · ข้อไหนตอบโจทย์ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $x = \sqrt[3]{17 - x}$ (B) $x^3 = 17 - x$ (C) $x^3 + x - 17 = 0$
Answershow ▾
All three are satisfied by the same number, so all three are true. (A) is not a polynomial equation at all — it has a cube root in it and no coefficients to be integers. (B) has integer coefficients but is not written as “$\ldots = 0$”, which is what “an equation of which this is a root” conventionally means; some boards accept it, some do not, and (C) costs nothing to write. The B1 is for the equation as asked, and the word “integer” is the only thing separating a full mark from a lost one.ทั้งสามข้อมีจำนวนเดียวกันเป็นคำตอบ จึงเป็นจริงทั้งหมด · (A) ไม่ใช่สมการพหุนามเลย มีรากที่สามอยู่ข้างใน และไม่มีสัมประสิทธิ์ให้เป็นจำนวนเต็ม · (B) มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม แต่ไม่ได้เขียนในรูป "$\ldots = 0$" ซึ่งเป็นความหมายตามธรรมเนียมของคำว่า "สมการที่มีค่านี้เป็นราก" · บางบอร์ดรับ บางบอร์ดไม่รับ และการเขียน (C) ไม่ได้เสียอะไรเลย · B1 ให้กับสมการตามที่สั่ง และคำว่า "integer" คือสิ่งเดียวที่แยกคะแนนเต็มออกจากคะแนนที่หายไป
$f(x) = x^3 + x - 3$.
(a) Show that $f(x) = 0$ can be rearranged into the form $x = \sqrt[3]{3 - x}$.
(b) Use $x_{n+1} = \sqrt[3]{3 - x_n}$, with $x_0 = 1$, to find the root correct to 4 decimal places, giving each iterate.
(c) State an equation of which your answer to (b) is an approximate root.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$f(x) = x^3 + x - 17$.
(a) Show that the equation $f(x) = 0$ can be rearranged into the form $x = \sqrt[3]{17 - x}$.
(b) Use the iterative formula $x_{n+1} = \sqrt[3]{17 - x_n}$, with $x_0 = 2$, to find the root of $f(x) = 0$ correct to 4 decimal places. Give the value of each iterate.
(c) State an equation, with integer coefficients, of which your answer to part (b) is an approximate root.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); questions 5, 6 and 7 build part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Numerical methods · locating a root by a sign change
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4$.
(a) Show that the equation $f(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
(b) By considering further values of $f(x)$, find this root correct to 1 decimal place, justifying your answer.
(c) The function $h(x) = \dfrac{1}{x - \frac{13}{4}}$ is undefined at $x = \frac{13}{4}$, a value between $x = 3$ and $x = 4$. Evaluate $h(3)$ and $h(4)$, and explain why this does not show that $h(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
$f(x) = x^3 - x^2 - 2$. Find $f(2)$ and $f(3)$.
กำหนด $f(x) = x^3 - x^2 - 2$ จงหา $f(2)$ และ $f(3)$
Answershow ▾
Substitute each number for $x$ in turn and simplify — the whole ladder starts here.
A function $g$ is continuous on $[1, 2]$. $g(1) = -4$ and $g(2) = 2$. Explain what this tells you about the equation $g(x) = 0$.
ฟังก์ชัน $g$ ต่อเนื่องบนช่วง $[1, 2]$ โดยที่ $g(1) = -4$ และ $g(2) = 2$ จงอธิบายว่าสิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับ สมการ $g(x) = 0$
Answershow ▾
A continuous function cannot jump from negative to positive without passing through zero — that is the whole argument, in one sentence.
A continuous function $g$ has $g(2.3) = -3$, $g(2.4) = 3$ and $g(2.35) = -3$. State the root of $g(x) = 0$, correct to 1 decimal place, and justify your answer.
ฟังก์ชันต่อเนื่อง $g$ มี $g(2.3) = -3$, $g(2.4) = 3$ และ $g(2.35) = -3$ จงหาค่ารากของ $g(x)=0$ ถูกต้องถึง 1 ตำแหน่งทศนิยม พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
The midpoint splits the width-0.1 bracket in half; whichever endpoint the root's half is nearest to is the 1 d.p. answer.
“Show that” means a mark for every part of the argument. A student writes only “$f(3) = -4$, $f(4) = 12$”. List the three things that have to be on the page for the sign-change argument to be complete, and say which one the student has left out.
"Show that" หมายถึงมีคะแนนให้กับทุกส่วนของการให้เหตุผล · นักเรียนคนหนึ่งเขียนแค่ "$f(3) = -4$, $f(4) = 12$" · จงบอกสามสิ่งที่ต้องปรากฏบนกระดาษเพื่อให้เหตุผลเรื่องการเปลี่ยนเครื่องหมายครบถ้วน และบอกว่านักเรียนคนนั้นขาดอะไร
Answershow ▾
Two numbers on their own are arithmetic, not an argument: they do not say what they prove. The conclusion needs the word “continuous” because that is the hypothesis part (c) is about to break. Boards vary in how firmly they insist on it, but every mark scheme for a “show that” expects the numbers, the comparison and the conclusion, and none of them expects you to have worked out that this is what “show that” meant.ตัวเลขสองตัวลอย ๆ คือการคำนวณ ไม่ใช่การให้เหตุผล เพราะมันไม่ได้บอกว่ามันพิสูจน์อะไร · ข้อสรุปต้องมีคำว่า "continuous" เพราะนั่นคือสมมติฐานที่ข้อ (c) กำลังจะหักล้าง · แต่ละบอร์ดเข้มงวดไม่เท่ากัน แต่มาร์คสกีมของ "show that" ทุกฉบับคาดหวังตัวเลข การเปรียบเทียบ และข้อสรุป และไม่มีฉบับไหนคาดหวังว่าเราจะคิดออกเองว่า "show that" แปลว่าอะไร
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4$. Show that the equation $f(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
Answershow ▾
Same move as questions 1 and 2 combined: evaluate at both ends, then quote the sign-change rule. This is part (a).
Given that $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$, use a decimal search to find consecutive values of $x$, 0.1 apart, between which $f(x)$ changes sign.
Answershow ▾
Evaluate $f$ at $x = 3.1, 3.2, \ldots$ until the sign flips — that pins the root down to one decimal place either side.
You have narrowed the root to $3.3 \lt x \lt 3.4$. Is that enough to state the root to 1 decimal place? Say why not, name the ONE further value of $x$ that settles it, and say what its sign would have to be for the answer to be $3.3$ instead.
ตอนนี้บีบรากได้เป็น $3.3 \lt x \lt 3.4$ แล้ว · เพียงพอที่จะตอบรากเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่งหรือยัง · บอกว่าทำไมยัง แล้วบอกค่า $x$ อีกค่าเดียวที่ตัดสินได้ และบอกว่าเครื่องหมายของมันต้องเป็นอย่างไรถ้าคำตอบจะเป็น $3.3$
Answershow ▾
A bracket of width $0.1$ still straddles the rounding boundary, so both $3.3$ and $3.4$ are still alive. The midpoint is the only extra value that separates them, because rounding to 1 d.p. is decided at exactly the halfway point. Answering $3.4$ from the bracket alone is right here by luck and wrong roughly half the time. The A1 is for the value with its justification, and the mark scheme never says the midpoint is what the justification has to be.ช่วงกว้าง $0.1$ ยังคร่อมเส้นแบ่งการปัดเศษอยู่ ทั้ง $3.3$ และ $3.4$ จึงยังเป็นไปได้ทั้งคู่ · จุดกึ่งกลางคือค่าเพิ่มเติมค่าเดียวที่แยกสองค่านี้ออกจากกัน เพราะการปัดเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่งตัดสินกันที่จุดกึ่งกลางพอดี · การตอบ $3.4$ จากช่วงอย่างเดียวถูกที่นี่เพราะโชคดี และผิดประมาณครึ่งหนึ่งของเวลา · A1 ให้กับค่าพร้อมเหตุผล และมาร์คสกีมไม่เคยบอกว่าเหตุผลนั้นต้องเป็นจุดกึ่งกลาง
$f(3.3) = -0.733$ and $f(3.4) = 0.624$ have opposite signs. Evaluate $f(3.35)$ and hence find the root correct to 1 decimal place.
Answershow ▾
Same move as question 3: the sign of $f$ at the midpoint tells you which half of the bracket the root is really in.
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4$. Show that $f(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$, then find this root correct to 1 decimal place.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 back to back — parts (a) and (b) of the exam question, in order.
The function $h(x) = \dfrac{1}{x - \frac{13}{4}}$ is undefined at $x = \frac{13}{4}$, a value between $x = 3$ and $x = 4$. Evaluate $h(3)$ and $h(4)$, and explain why this does not show that $h(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
Answershow ▾
The sign-change rule is only valid when the function is continuous throughout the interval — an asymptote breaks that, even though the sign still flips. This is part (c).
$h(3) = -4$ and $h(4) = \frac{4}{3}$ change sign, exactly as $f$ did, yet there is no root. The sign-change argument has three ingredients (you listed them above). Name the one $h$ fails, and say where on $[3,\,4]$ it fails it.
$h(3) = -4$ และ $h(4) = \frac{4}{3}$ เปลี่ยนเครื่องหมายเหมือน $f$ ทุกประการ แต่ไม่มีราก · การให้เหตุผลเรื่องการเปลี่ยนเครื่องหมายมีองค์ประกอบสามอย่าง (ที่บอกไว้ข้างบน) · จงบอกว่า $h$ ขาดข้อไหน และขาดตรงจุดใดใน $[3,\,4]$
Answershow ▾
The sign really does change; what is missing is any promise that the graph got from one side to the other by passing through zero. It did not — it went to infinity and came back on the other side. This is the whole reason the word “continuous” is not decoration in part (a). Part (c) awards its marks for identifying the asymptote and saying it breaks continuity; nothing pays for realising that (a) and (c) are the same statement read forwards and backwards.เครื่องหมายเปลี่ยนจริง สิ่งที่ขาดไปคือคำรับรองว่ากราฟข้ามจากด้านหนึ่งไปอีกด้านโดยผ่านศูนย์ · มันไม่ได้ผ่าน มันวิ่งไปอนันต์แล้วโผล่กลับมาอีกฝั่ง · นี่คือเหตุผลทั้งหมดที่คำว่า "continuous" ในข้อ (a) ไม่ใช่ของประดับ · ข้อ (c) ให้คะแนนกับการชี้เส้นกำกับและบอกว่ามันทำให้ความต่อเนื่องขาด ไม่มีคะแนนให้กับการมองออกว่าข้อ (a) กับข้อ (c) คือข้อความเดียวกันที่อ่านไปข้างหน้าและอ่านย้อนกลับ
$f(x) = x^3 - x^2 - 1$.
(a) Show that $f(x) = 0$ has a root between $x = 1$ and $x = 2$.
(b) Find this root correct to 1 decimal place.
(c) $h(x) = \dfrac{1}{x - \frac{3}{2}}$ is undefined at $x = \frac{3}{2}$. Evaluate $h(1)$ and $h(2)$, and explain why this does not give a root of $h(x) = 0$.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4$.
(a) Show that the equation $f(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
(b) By considering further values of $f(x)$, find this root correct to 1 decimal place, justifying your answer.
(c) The function $h(x) = \dfrac{1}{x - \frac{13}{4}}$ is undefined at $x = \frac{13}{4}$, a value between $x = 3$ and $x = 4$. Evaluate $h(3)$ and $h(4)$, and explain why this does not show that $h(x) = 0$ has a root between $x = 3$ and $x = 4$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two curves, two roots, then iterate สองเส้นโค้ง สองคำตอบ แล้วทำซ้ำ
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $\text{cosec}\,x=1+e^{-\frac12 x}$ has exactly two roots in the interval $0\lt x\lt\pi$.
(b) The sequence of values given by the iterative formula $x_{n+1}=\pi-\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{e^{-\frac12 x_n}+1}\right)$, with initial value $x_1=2$, converges to one of these roots. Use the formula to determine this root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $\text{cosec}\,x=1+e^{-\frac12 x}$ มีคำตอบพอดีสองค่าในช่วง $0\lt x\lt\pi$
(ข) ลำดับค่าจากสูตร iteration $x_{n+1}=\pi-\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{e^{-\frac12 x_n}+1}\right)$ โดยเริ่มจาก $x_1=2$ ลู่เข้าสู่คำตอบหนึ่งในสองค่านี้ จงใช้สูตรนี้หาคำตอบดังกล่าว ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Evaluate $e^{-1}$, correct to 4 decimal places.
จงหาค่า $e^{-1}$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$e^{-1}$ is $1\div e$, a fixed number on your calculator.$e^{-1}$ คือ $1\div e$ เป็นค่าคงที่ที่กดได้จากเครื่องคิดเลข
Evaluate $\sin^{-1}(0.7311)$ in radians, correct to 4 decimal places.
จงหาค่า $\sin^{-1}(0.7311)$ ในหน่วยเรเดียน ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Make sure your calculator is in radian mode, not degrees.ตรวจว่าเครื่องคิดเลขอยู่ในหน่วยเรเดียน ไม่ใช่องศา
Work out $\pi-0.8199$, correct to 4 decimal places.
จงหา $\pi-0.8199$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Use the full value of $\pi$, not a rounded one, before you round the answer.ใช้ค่า $\pi$ แบบเต็ม ไม่ปัดก่อน แล้วค่อยปัดคำตอบตอนสุดท้าย
To show $\text{cosec}\,x=1+e^{-\frac12 x}$ has exactly two roots in $0\lt x\lt\pi$, pick the best method.
(A) sketch $y=\text{cosec}\,x$ and $y=1+e^{-\frac12 x}$ on the same axes and count the crossings
(B) rearrange to $f(x)=\text{cosec}\,x-1-e^{-\frac12 x}$ and use the derivative $=0$ to count turning points
(C) substitute a few values of $x$ and look for one sign change in $f(x)$
เพื่อแสดงว่า $\text{cosec}\,x=1+e^{-\frac12 x}$ มีคำตอบพอดีสองค่าในช่วง $0\lt x\lt\pi$ จงเลือกวิธีที่ดีที่สุด
(A) วาดกราฟ $y=\text{cosec}\,x$ และ $y=1+e^{-\frac12 x}$ บนแกนเดียวกัน แล้วนับจุดตัด
(B) จัดรูปเป็น $f(x)=\text{cosec}\,x-1-e^{-\frac12 x}$ แล้วใช้อนุพันธ์ $=0$ นับจุดวิกฤต
(C) แทนค่า $x$ สองสามค่า แล้วหาการเปลี่ยนเครื่องหมายของ $f(x)$ เพียงครั้งเดียว
Answershow ▾
(B) needs the derivative of $\text{cosec}\,x-e^{-\frac12 x}$, far harder than sketching two known curves. (C) a single sign change only proves an odd number of roots crossed - it cannot tell one root from two.(B) ต้องหาอนุพันธ์ของ $\text{cosec}\,x-e^{-\frac12 x}$ ซึ่งยากกว่าการวาดกราฟมาตรฐานสองเส้นมาก · (C) การเปลี่ยนเครื่องหมายครั้งเดียวบอกได้แค่ว่ามีจำนวนคำตอบเป็นเลขคี่ แยกไม่ได้ว่าเป็นหนึ่งหรือสองค่า
Use $x_{n+1}=\pi-\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{e^{-\frac12 x_n}+1}\right)$ with $x_1=2$ to find $x_2$, correct to 4 decimal places.
ใช้ $x_{n+1}=\pi-\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{e^{-\frac12 x_n}+1}\right)$ โดย $x_1=2$ หา $x_2$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The same three pieces as questions 1-3, now chained: the power, the fraction, then $\sin^{-1}$, then $\pi-$.สามขั้นเดิมจากข้อ 1-3 ต่อกัน: ยกกำลัง สร้างเศษส่วน แล้ว $\sin^{-1}$ แล้วเอา $\pi$ ลบ
Use $x_2=2.3217$ to find $x_3$, correct to 4 decimal places.
ใช้ $x_2=2.3217$ หา $x_3$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Feed the last answer straight back into the same formula.นำคำตอบล่าสุดย้อนกลับเข้าสูตรเดิมทันที
Continuing the iteration gives $x_6=2.2816$ and $x_7=2.2816$. What does this tell you, and what is the root correct to 2 decimal places?
ทำซ้ำต่อไปได้ $x_6=2.2816$ และ $x_7=2.2816$ สิ่งนี้บอกอะไร และคำตอบคือเท่าไรที่ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Once two consecutive iterations round to the same value, the loop has settled there.เมื่อทำซ้ำสองรอบติดกันปัดได้ค่าเดียวกัน แสดงว่าลูปลู่เข้าสู่ค่านั้นแล้ว
Starting from $x_4=2.2824$, use the formula to find $x_5$ and $x_6$, each correct to 4 decimal places, then state the root correct to 2 decimal places.
จาก $x_4=2.2824$ จงใช้สูตรหา $x_5$ และ $x_6$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่งทั้งคู่ แล้วบอกคำตอบที่ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Two more loops of the same formula, then round once at the very end.ทำสูตรเดิมอีกสองรอบ แล้วปัดเศษครั้งเดียวตอนจบ
Check $x=2.28$ in the original equation: work out $\text{cosec}\,2.28$ and $1+e^{-1.14}$, each to 4 decimal places, and compare.
จงตรวจ $x=2.28$ กับสมการเดิม: หาค่า $\text{cosec}\,2.28$ และ $1+e^{-1.14}$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่งทั้งคู่ แล้วเทียบกัน
Answershow ▾
A rounded root will not match exactly, but the two sides should land close together.คำตอบที่ปัดเศษแล้วจะไม่เท่ากันเป๊ะ แต่ทั้งสองข้างต้องใกล้กันมาก
The equation $\text{cosec}\,x=1+e^{-x}$ also has two roots in $0\lt x\lt\pi$. Use the iterative formula $x_{n+1}=\pi-\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{e^{-x_n}+1}\right)$ with $x_1=2$ to find the larger root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
สมการ $\text{cosec}\,x=1+e^{-x}$ ก็มีคำตอบสองค่าในช่วง $0\lt x\lt\pi$ เช่นกัน จงใช้สูตรการทำซ้ำ $x_{n+1}=\pi-\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{e^{-x_n}+1}\right)$ โดย $x_1=2$ หาคำตอบที่มากกว่า ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบของการทำซ้ำเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same three pieces as before, just without the $\tfrac12$ in the exponent.สามขั้นเดิมเหมือนข้อที่แล้ว เพียงไม่มี $\tfrac12$ ในเลขชี้กำลัง
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $\text{cosec}\,x=1+e^{-\frac12 x}$ has exactly two roots in the interval $0\lt x\lt\pi$.
(b) The sequence of values given by the iterative formula $x_{n+1}=\pi-\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{e^{-\frac12 x_n}+1}\right)$, with initial value $x_1=2$, converges to one of these roots. Use the formula to determine this root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $\text{cosec}\,x=1+e^{-\frac12 x}$ มีคำตอบพอดีสองค่าในช่วง $0\lt x\lt\pi$
(ข) ลำดับค่าจากสูตร iteration $x_{n+1}=\pi-\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{e^{-\frac12 x_n}+1}\right)$ โดยเริ่มจาก $x_1=2$ ลู่เข้าสู่คำตอบหนึ่งในสองค่านี้ จงใช้สูตรนี้หาคำตอบดังกล่าว ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
5 marks: 2 for the sketch, 1 for a correct iteration, 2 for the final answer justified to 2 d.p.5 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับภาพร่าง 1 คะแนนสำหรับการทำซ้ำที่ถูกต้อง 2 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้ายที่ยืนยันทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A stationary point that satisfies x = g(x) จุดวิกฤตที่สอดคล้องกับ x = g(x)
The diagram shows the curve $y=x^{3}\cos 2x$ for $0\le x\le\dfrac14\pi$. The curve has a maximum point at $M$, where $x=p$.
(a) Show that $p$ satisfies the equation $p=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p}\right)$.
(b) Show by calculation that $0.5\lt p\lt 0.7$.
(c) Use an iterative formula based on the equation in part (a) to calculate $p$ correct to 3 decimal places. Give the result of each iteration to 5 decimal places.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $y=x^{3}\cos 2x$ สำหรับ $0\le x\le\dfrac14\pi$ เส้นโค้งนี้มีจุดสูงสุด (maximum point) ที่ $M$ ซึ่ง $x=p$
(ก) จงแสดงว่า $p$ สอดคล้องกับสมการ $p=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p}\right)$
(ข) จงแสดงด้วยการคำนวณว่า $0.5\lt p\lt 0.7$
(ค) ใช้สูตร iteration ที่สร้างจากสมการในข้อ (a) เพื่อคำนวณหา $p$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Differentiate $x^{3}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $x^{3}$
Answershow ▾
Power rule: multiply by the power, then reduce it by one.กฎเลขยกกำลัง: คูณด้วยเลขยกกำลัง แล้วลดเลขยกกำลังลงหนึ่ง
Differentiate $\cos2x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $\cos2x$
Answershow ▾
Chain rule: differentiate $\cos$, then multiply by the derivative of $2x$.กฎลูกโซ่: หาอนุพันธ์ของ $\cos$ แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของ $2x$
Work out $2(0.5)-\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2(0.5)}\right)$, correct to 3 decimal places.
จงหา $2(0.5)-\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2(0.5)}\right)$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Work out the fraction inside the bracket first, then $\tan^{-1}$, then subtract.คำนวณเศษส่วนในวงเล็บก่อน แล้ว $\tan^{-1}$ แล้วค่อยลบ
$y=x^{3}\cos2x$. Pick the correct first move for $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) product rule: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\cos2x+x^{3}\times(-2\sin2x)$
(B) differentiate each factor and multiply the results: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\times(-2\sin2x)$
(C) treat $\cos2x$ as a constant: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\cos2x$
$y=x^{3}\cos2x$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้องสำหรับ $\dfrac{dy}{dx}$
(A) กฎผลคูณ: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\cos2x+x^{3}\times(-2\sin2x)$
(B) หาอนุพันธ์ของแต่ละตัวประกอบแล้วคูณกัน: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\times(-2\sin2x)$
(C) มองว่า $\cos2x$ เป็นค่าคงที่: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\cos2x$
Answershow ▾
A product of two functions needs the product rule, not two separate derivatives multiplied together. (B) multiplies the two derivatives, which is not what the product rule says. (C) drops the whole second term, because $\cos2x$ is not a constant.ผลคูณของสองฟังก์ชันต้องใช้กฎผลคูณ ไม่ใช่คูณอนุพันธ์ของแต่ละตัวเข้าด้วยกัน · (B) คูณอนุพันธ์ทั้งสองเข้าด้วยกัน ซึ่งไม่ใช่สิ่งที่กฎผลคูณบอก · (C) ทิ้งพจน์ที่สองไปทั้งหมด เพราะ $\cos2x$ ไม่ใช่ค่าคงที่
Use questions $1$ and $2$ to write $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\cos2x+x^{3}(-2\sin2x)$ as a single expression.
ใช้ข้อ $1$ และ $2$ เขียน $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\cos2x+x^{3}(-2\sin2x)$ ให้เป็นนิพจน์เดียว
Answershow ▾
Just tidy the sign; nothing else changes.จัดเครื่องหมายให้เรียบร้อยเท่านั้น ส่วนอื่นเหมือนเดิม
At the stationary point $x=p$, $3p^{2}\cos2p-2p^{3}\sin2p=0$ and $p\ne0$. Show that $p=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p}\right)$.
ที่จุดวิกฤต $x=p$, $3p^{2}\cos2p-2p^{3}\sin2p=0$ และ $p\ne0$ จงแสดงว่า $p=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p}\right)$
Answershow ▾
Divide every term by $p^{2}\cos2p$, then make $p$ the subject of $\tan2p$.หารทุกพจน์ด้วย $p^{2}\cos2p$ แล้วทำ $p$ เป็นตัวตั้งจาก $\tan2p$
Work out $2(0.7)-\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2(0.7)}\right)$, correct to 3 decimal places.
จงหา $2(0.7)-\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2(0.7)}\right)$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same steps as question $3$, with $0.7$ in place of $0.5$.ขั้นเดียวกับข้อ $3$ เพียงเปลี่ยน $0.5$ เป็น $0.7$
To verify $p$ lies between $0.5$ and $0.7$, pick the correct method.
(A) evaluate $g(p)=2p-\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p}\right)$ at $p=0.5$ and $p=0.7$, and check the sign changes
(B) solve $p=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p}\right)$ directly for $p$
(C) evaluate $\tan2p$ at $p=0.5$ and $p=0.7$ only
เพื่อยืนยันว่า $p$ อยู่ระหว่าง $0.5$ และ $0.7$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) คำนวณ $g(p)=2p-\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p}\right)$ ที่ $p=0.5$ และ $p=0.7$ แล้วตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมาย
(B) แก้สมการ $p=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p}\right)$ หา $p$ โดยตรง
(C) คำนวณ $\tan2p$ ที่ $p=0.5$ และ $p=0.7$ เท่านั้น
Answershow ▾
(B) is why iteration exists at all - $p$ sits on both sides inside $\tan^{-1}$, so it cannot be isolated algebraically. (C) checks $\tan2p$ alone, never against $\dfrac{3}{2p}$, so it misses the change from false to true.(B) คือเหตุผลที่ต้องมีการทำซ้ำเลย - $p$ อยู่ทั้งสองข้างในรูป $\tan^{-1}$ จึงแก้แบบพีชคณิตตรงๆไม่ได้ · (C) ตรวจแค่ $\tan2p$ โดยไม่เทียบกับฝั่งขวา $\dfrac{3}{2p}$ จึงบอกไม่ได้ว่าสมการเปลี่ยนจากผิดเป็นถูก
Using questions $3$ and $6$, $g(0.5)=-0.249$ and $g(0.7)=0.266$. What does this tell you about $p$?
จากข้อ $3$ และ $6$ ได้ $g(0.5)=-0.249$ และ $g(0.7)=0.266$ สิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับ $p$
Answershow ▾
A negative value then a positive value means the graph crossed zero in between.ค่าลบแล้วค่าบวก แสดงว่ากราฟตัดศูนย์อยู่ระหว่างสองจุดนี้
Use $p_{n+1}=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p_n}\right)$ with $p_1=0.6$ to find $p_2$, correct to 5 decimal places.
ใช้ $p_{n+1}=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p_n}\right)$ โดย $p_1=0.6$ หา $p_2$ ตอบทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Substitute $p_1$ into the formula shown in question $5$.แทน $p_1$ เข้าสูตรที่โชว์ในข้อ $5$
$y=x^{4}\cos2x$ has a stationary point at $x=q$, with $q\ne0$. Show that $q=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{2}{q}\right)$, verify by calculation that $0.6\lt q\lt0.7$, then use the formula with $q_1=0.7$ to find $q$ correct to 3 decimal places.
$y=x^{4}\cos2x$ มีจุดวิกฤตที่ $x=q$ โดย $q\ne0$ จงแสดงว่า $q=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{2}{q}\right)$ จงยืนยันด้วยการคำนวณว่า $0.6\lt q\lt0.7$ แล้วใช้สูตรนี้โดย $q_1=0.7$ หา $q$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same four moves as before, just with power $4$ and coefficient $2$ instead of $3$ and $3$.สี่ขั้นเดิม เพียงเปลี่ยนเลขยกกำลังเป็น $4$ และสัมประสิทธิ์เป็น $2$
The diagram shows the curve $y=x^{3}\cos 2x$ for $0\le x\le\dfrac14\pi$. The curve has a maximum point at $M$, where $x=p$.
(a) Show that $p$ satisfies the equation $p=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p}\right)$.
(b) Show by calculation that $0.5\lt p\lt 0.7$.
(c) Use an iterative formula based on the equation in part (a) to calculate $p$ correct to 3 decimal places. Give the result of each iteration to 5 decimal places.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $y=x^{3}\cos 2x$ สำหรับ $0\le x\le\dfrac14\pi$ เส้นโค้งนี้มีจุดสูงสุด (maximum point) ที่ $M$ ซึ่ง $x=p$
(ก) จงแสดงว่า $p$ สอดคล้องกับสมการ $p=\dfrac12\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2p}\right)$
(ข) จงแสดงด้วยการคำนวณว่า $0.5\lt p\lt 0.7$
(ค) ใช้สูตร iteration ที่สร้างจากสมการในข้อ (a) เพื่อคำนวณหา $p$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Answershow ▾
8 marks: 3 for the derivative and the given form, 2 for the sign check, 3 for the final answer.8 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับอนุพันธ์และรูปตามโจทย์ 2 คะแนนสำหรับการตรวจเครื่องหมาย 3 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
One crossing, verified, then iterate จุดตัดเดียว ยืนยันแล้วทำซ้ำ
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $\cot\dfrac12 x=1+e^{-x}$ has exactly one root in the interval $0\lt x\le\pi$.
(b) Verify by calculation that this root lies between 1 and 1.5.
(c) Use the iterative formula $x_{n+1}=2\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{1+e^{-x_n}}\right)$ to determine the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $\cot\dfrac12 x=1+e^{-x}$ มีคำตอบพอดีหนึ่งค่าในช่วง $0\lt x\le\pi$
(ข) จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบนี้อยู่ระหว่าง 1 และ 1.5
(ค) ใช้สูตร iteration $x_{n+1}=2\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{1+e^{-x_n}}\right)$ เพื่อหาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Evaluate $\cot0.5$, correct to 4 decimal places.
จงหาค่า $\cot0.5$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\cot\theta=1\div\tan\theta$, in radians.$\cot\theta=1\div\tan\theta$ ในหน่วยเรเดียน
Evaluate $1+e^{-1}$, correct to 4 decimal places.
จงหาค่า $1+e^{-1}$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Find $e^{-1}$ first, then add $1$.หาค่า $e^{-1}$ ก่อน แล้วค่อยบวก $1$
Work out $1.8305-1.3679$, correct to 3 decimal places.
จงหา $1.8305-1.3679$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Keep the full 4 decimal places until the very last step, then round.ใช้ทศนิยม 4 ตำแหน่งเต็มจนถึงขั้นสุดท้าย แล้วค่อยปัดเศษ
To show $\cot\dfrac12 x=1+e^{-x}$ has exactly one root in $0\lt x\leqslant\pi$, pick the best method.
(A) sketch $y=\cot\dfrac12 x$ and $y=1+e^{-x}$ on the same axes and count the crossings
(B) rearrange to $f(x)=\cot\dfrac12 x-1-e^{-x}$ and use the derivative $=0$ to count turning points
(C) evaluate $f$ near $x=0$ and at $x=\pi$ and look for one sign change
เพื่อแสดงว่า $\cot\dfrac12 x=1+e^{-x}$ มีคำตอบพอดีหนึ่งค่าในช่วง $0\lt x\leqslant\pi$ จงเลือกวิธีที่ดีที่สุด
(A) วาดกราฟ $y=\cot\dfrac12 x$ และ $y=1+e^{-x}$ บนแกนเดียวกัน แล้วนับจุดตัด
(B) จัดรูปเป็น $f(x)=\cot\dfrac12 x-1-e^{-x}$ แล้วใช้อนุพันธ์ $=0$ นับจุดวิกฤต
(C) คำนวณ $f$ ใกล้ $x=0$ และที่ $x=\pi$ แล้วหาการเปลี่ยนเครื่องหมายเพียงครั้งเดียว
Answershow ▾
(B) needs the derivative of $\cot\dfrac12 x-e^{-x}$, far harder than sketching two known curves. (C) a sign change over the whole interval only proves an odd number of roots - it cannot rule out three.(B) ต้องหาอนุพันธ์ของ $\cot\dfrac12 x-e^{-x}$ ซึ่งยากกว่าการวาดกราฟมาตรฐานสองเส้นมาก · (C) การเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งช่วงบอกได้แค่ว่ามีคำตอบเป็นเลขคี่ แยกไม่ได้ว่าไม่ใช่สามค่า
Use questions $1$-$3$ to write down $f(1)=\cot0.5-(1+e^{-1})$, correct to 3 decimal places.
ใช้ข้อ $1$-$3$ เขียน $f(1)=\cot0.5-(1+e^{-1})$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
This is exactly the subtraction from question $3$.นี่คือการลบเดียวกันกับข้อ $3$
Work out $f(1.5)=\cot0.75-(1+e^{-1.5})$, correct to 3 decimal places.
จงหา $f(1.5)=\cot0.75-(1+e^{-1.5})$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same two pieces as before, with $1.5$ in place of $1$.สองขั้นเดิม เพียงเปลี่ยน $1$ เป็น $1.5$
Use $x_{n+1}=2\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{1+e^{-x_n}}\right)$ with $x_1=1.2$ to find $x_2$, correct to 4 decimal places.
ใช้ $x_{n+1}=2\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{1+e^{-x_n}}\right)$ โดย $x_1=1.2$ หา $x_2$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Find the fraction first, then $\tan^{-1}$, then double it.หาเศษส่วนก่อน แล้ว $\tan^{-1}$ แล้วคูณสอง
To verify the root lies between $1$ and $1.5$, pick the correct method.
(A) evaluate $f(x)=\cot\dfrac12 x-(1+e^{-x})$ at $x=1$ and $x=1.5$, and check the sign change
(B) solve $\cot\dfrac12 x=1+e^{-x}$ directly for $x$
(C) evaluate $\cot\dfrac12 x$ at $x=1$ and $x=1.5$ only
เพื่อยืนยันว่าคำตอบอยู่ระหว่าง $1$ และ $1.5$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) คำนวณ $f(x)=\cot\dfrac12 x-(1+e^{-x})$ ที่ $x=1$ และ $x=1.5$ แล้วตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมาย
(B) แก้สมการ $\cot\dfrac12 x=1+e^{-x}$ หา $x$ โดยตรง
(C) คำนวณ $\cot\dfrac12 x$ ที่ $x=1$ และ $x=1.5$ เท่านั้น
Answershow ▾
(B) is why iteration exists at all - $x$ sits inside $\cot$ on one side and inside $e^{-x}$ on the other, so it cannot be isolated. (C) checks $\cot\dfrac12 x$ alone, never against $1+e^{-x}$, so it misses the sign change.(B) คือเหตุผลที่ต้องมีการทำซ้ำเลย - $x$ อยู่ใน $\cot$ ข้างหนึ่ง และอยู่ใน $e^{-x}$ อีกข้าง จึงแยก $x$ ออกมาไม่ได้ · (C) ตรวจแค่ $\cot\dfrac12 x$ โดยไม่เทียบกับ $1+e^{-x}$ จึงไม่เห็นการเปลี่ยนเครื่องหมาย
Using questions $4$ and $5$, $f(1)=0.463$ and $f(1.5)=-0.150$. What does this tell you about the root?
จากข้อ $4$ และ $5$ ได้ $f(1)=0.463$ และ $f(1.5)=-0.150$ สิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับคำตอบ
Answershow ▾
A positive value then a negative value means the graph crossed zero in between.ค่าบวกแล้วค่าลบ แสดงว่ากราฟตัดศูนย์อยู่ระหว่างสองจุดนี้
Starting from $x_2=1.3105$, use the formula to find $x_3$, $x_4$ and $x_5$, each correct to 4 decimal places, then state the root correct to 2 decimal places.
จาก $x_2=1.3105$ จงใช้สูตรหา $x_3$, $x_4$ และ $x_5$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่งทุกค่า แล้วบอกคำตอบที่ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Three more loops of the same formula, then round once at the very end.ทำสูตรเดิมอีกสามรอบ แล้วปัดเศษครั้งเดียวตอนจบ
The equation $\cot\dfrac12 x=1+e^{-2x}$ also has exactly one root in $0\lt x\leqslant\pi$. Verify by calculation that this root lies between $1.5$ and $1.6$, then use the iterative formula $x_{n+1}=2\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{1+e^{-2x_n}}\right)$ with $x_1=1.55$ to find the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
สมการ $\cot\dfrac12 x=1+e^{-2x}$ ก็มีคำตอบพอดีหนึ่งค่าในช่วง $0\lt x\leqslant\pi$ เช่นกัน จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบอยู่ระหว่าง $1.5$ และ $1.6$ แล้วใช้สูตรการทำซ้ำ $x_{n+1}=2\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{1+e^{-2x_n}}\right)$ โดย $x_1=1.55$ หาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบของการทำซ้ำเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same shape as before, with $e^{-2x}$ in place of $e^{-x}$.รูปแบบเดิม เพียงเปลี่ยน $e^{-x}$ เป็น $e^{-2x}$
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $\cot\dfrac12 x=1+e^{-x}$ has exactly one root in the interval $0\lt x\le\pi$.
(b) Verify by calculation that this root lies between 1 and 1.5.
(c) Use the iterative formula $x_{n+1}=2\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{1+e^{-x_n}}\right)$ to determine the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $\cot\dfrac12 x=1+e^{-x}$ มีคำตอบพอดีหนึ่งค่าในช่วง $0\lt x\le\pi$
(ข) จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบนี้อยู่ระหว่าง 1 และ 1.5
(ค) ใช้สูตร iteration $x_{n+1}=2\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{1+e^{-x_n}}\right)$ เพื่อหาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
7 marks: 2 for the sketch, 2 for the sign check, 3 for the final answer justified to 2 d.p.7 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับภาพร่าง 2 คะแนนสำหรับการตรวจเครื่องหมาย 3 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้ายที่ยืนยัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A straight line, a log curve, one root เส้นตรง เส้นโค้ง log คำตอบเดียว
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $\ln x=3x-x^{2}$ has one real root.
(b) Verify by calculation that the root lies between 2 and 2.8.
(c) Use the iterative formula $x_{n+1}=\sqrt{3x_n-\ln x_n}$ to determine the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $\ln x=3x-x^{2}$ มีคำตอบจริงหนึ่งค่า
(ข) จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบอยู่ระหว่าง 2 และ 2.8
(ค) ใช้สูตร iteration $x_{n+1}=\sqrt{3x_n-\ln x_n}$ เพื่อหาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Evaluate $\ln2$, correct to 4 decimal places.
จงหาค่า $\ln2$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
A fixed number on your calculator - no rearranging needed.ค่าคงที่ที่กดได้จากเครื่องคิดเลขตรงๆ ไม่ต้องจัดรูป
Work out $3(2)-2^{2}$.
จงหา $3(2)-2^{2}$
Answershow ▾
Multiply first, then subtract the square.คูณก่อน แล้วค่อยลบด้วยค่ากำลังสอง
Work out $0.6931-2$, correct to 3 decimal places.
จงหา $0.6931-2$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
A positive number minus a bigger number gives a negative answer.จำนวนบวกลบด้วยจำนวนที่มากกว่า ได้ผลลบ
To show $\ln x=3x-x^{2}$ has one real root, pick the best method.
(A) sketch $y=\ln x$ and $y=3x-x^{2}$ and count the crossings
(B) rearrange to $f(x)=\ln x-3x+x^{2}$ and use the derivative $=0$ to count turning points
(C) evaluate $f$ at two values of $x$ and look for one sign change
เพื่อแสดงว่า $\ln x=3x-x^{2}$ มีคำตอบจริงหนึ่งค่า จงเลือกวิธีที่ดีที่สุด
(A) วาดกราฟ $y=\ln x$ และ $y=3x-x^{2}$ แล้วนับจุดตัด
(B) จัดรูปเป็น $f(x)=\ln x-3x+x^{2}$ แล้วใช้อนุพันธ์ $=0$ นับจุดวิกฤต
(C) คำนวณ $f$ ที่ค่า $x$ สองค่า แล้วหาการเปลี่ยนเครื่องหมายเพียงครั้งเดียว
Answershow ▾
(B) needs the derivative of $\ln x-3x+x^{2}$, far harder than sketching two known curves. (C) a single sign change cannot by itself rule out a hidden pair of extra roots nearby.(B) ต้องหาอนุพันธ์ของ $\ln x-3x+x^{2}$ ซึ่งยากกว่าการวาดกราฟมาตรฐานสองเส้นมาก · (C) การเปลี่ยนเครื่องหมายครั้งเดียว ไม่สามารถตัดความเป็นไปได้ที่จะมีคำตอบแฝงอีกคู่
Use questions $1$-$3$ to write down $f(2)=\ln2-(3(2)-2^{2})$, correct to 3 decimal places.
ใช้ข้อ $1$-$3$ เขียน $f(2)=\ln2-(3(2)-2^{2})$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
This is exactly the subtraction from question $3$.นี่คือการลบเดียวกันกับข้อ $3$
Work out $f(2.8)=\ln2.8-(3(2.8)-2.8^{2})$, correct to 3 decimal places.
จงหา $f(2.8)=\ln2.8-(3(2.8)-2.8^{2})$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same two pieces as before, with $2.8$ in place of $2$.สองขั้นเดิม เพียงเปลี่ยน $2$ เป็น $2.8$
Use $x_{n+1}=\sqrt{3x_n-\ln x_n}$ with $x_1=2.5$ to find $x_2$, correct to 4 decimal places.
ใช้ $x_{n+1}=\sqrt{3x_n-\ln x_n}$ โดย $x_1=2.5$ หา $x_2$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Work out $3x_1-\ln x_1$ first, then take the square root.หา $3x_1-\ln x_1$ ก่อน แล้วค่อยถอดราก
To verify the root lies between $2$ and $2.8$, pick the correct method.
(A) evaluate $f(x)=\ln x-(3x-x^{2})$ at $x=2$ and $x=2.8$, and check the sign change
(B) solve $\ln x=3x-x^{2}$ directly for $x$
(C) evaluate $\ln x$ at $x=2$ and $x=2.8$ only
เพื่อยืนยันว่าคำตอบอยู่ระหว่าง $2$ และ $2.8$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) คำนวณ $f(x)=\ln x-(3x-x^{2})$ ที่ $x=2$ และ $x=2.8$ แล้วตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมาย
(B) แก้สมการ $\ln x=3x-x^{2}$ หา $x$ โดยตรง
(C) คำนวณ $\ln x$ ที่ $x=2$ และ $x=2.8$ เท่านั้น
Answershow ▾
(B) is why iteration exists at all - $x$ sits inside $\ln$ on one side and in a quadratic on the other, so it cannot be isolated. (C) checks $\ln x$ alone, never against $3x-x^{2}$, so it misses the sign change.(B) คือเหตุผลที่ต้องมีการทำซ้ำเลย - $x$ อยู่ใน $\ln$ ข้างหนึ่ง และอยู่ในพหุนามกำลังสองอีกข้าง จึงแยก $x$ ออกมาไม่ได้ · (C) ตรวจแค่ $\ln x$ โดยไม่เทียบกับ $3x-x^{2}$ จึงไม่เห็นการเปลี่ยนเครื่องหมาย
Using questions $4$ and $5$, $f(2)=-1.307$ and $f(2.8)=0.470$. What does this tell you about the root?
จากข้อ $4$ และ $5$ ได้ $f(2)=-1.307$ และ $f(2.8)=0.470$ สิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับคำตอบ
Answershow ▾
A negative value then a positive value means the graph crossed zero in between.ค่าลบแล้วค่าบวก แสดงว่ากราฟตัดศูนย์อยู่ระหว่างสองจุดนี้
Starting from $x_2=2.5659$, use the formula to find $x_3$, $x_4$, $x_5$ and $x_6$, each correct to 4 decimal places, then state the root correct to 2 decimal places.
จาก $x_2=2.5659$ จงใช้สูตรหา $x_3$, $x_4$, $x_5$ และ $x_6$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่งทุกค่า แล้วบอกคำตอบที่ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Four more loops of the same formula, then round once at the very end.ทำสูตรเดิมอีกสี่รอบ แล้วปัดเศษครั้งเดียวตอนจบ
The equation $\ln x=2x-x^{2}$ also has one real root. Verify by calculation that this root lies between $1.6$ and $1.8$, then use the iterative formula $x_{n+1}=\sqrt{2x_n-\ln x_n}$ with $x_1=1.7$ to find the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
สมการ $\ln x=2x-x^{2}$ ก็มีคำตอบจริงหนึ่งค่าเช่นกัน จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบอยู่ระหว่าง $1.6$ และ $1.8$ แล้วใช้สูตรการทำซ้ำ $x_{n+1}=\sqrt{2x_n-\ln x_n}$ โดย $x_1=1.7$ หาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบของการทำซ้ำเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same shape as before, with coefficient $2$ in place of $3$.รูปแบบเดิม เพียงเปลี่ยนสัมประสิทธิ์จาก $3$ เป็น $2$
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $\ln x=3x-x^{2}$ has one real root.
(b) Verify by calculation that the root lies between 2 and 2.8.
(c) Use the iterative formula $x_{n+1}=\sqrt{3x_n-\ln x_n}$ to determine the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $\ln x=3x-x^{2}$ มีคำตอบจริงหนึ่งค่า
(ข) จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบอยู่ระหว่าง 2 และ 2.8
(ค) ใช้สูตร iteration $x_{n+1}=\sqrt{3x_n-\ln x_n}$ เพื่อหาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
7 marks: 2 for the sketch, 2 for the sign check, 3 for the final answer justified to 2 d.p.7 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับภาพร่าง 2 คะแนนสำหรับการตรวจเครื่องหมาย 3 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้ายที่ยืนยัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Why a different-looking formula finds the same root ทำไมสูตรที่ดูต่างกันถึงหาคำตอบเดียวกัน
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $x^{5}=2+x$ has exactly one real root.
(b) Show that if a sequence of values given by the iterative formula $x_{n+1}=\dfrac{4x_n^{5}+2}{5x_n^{4}-1}$ converges, then it converges to the root of the equation in part (a).
(c) Use the iterative formula with initial value $x_1=1.5$ to calculate the root correct to 3 decimal places. Give the result of each iteration to 5 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $x^{5}=2+x$ มีคำตอบจริงพอดีหนึ่งค่า
(ข) จงแสดงว่า ถ้าลำดับค่าจากสูตร iteration $x_{n+1}=\dfrac{4x_n^{5}+2}{5x_n^{4}-1}$ ลู่เข้า จะลู่เข้าสู่คำตอบของสมการในข้อ (a)
(ค) ใช้สูตร iteration โดยเริ่มจาก $x_1=1.5$ เพื่อคำนวณหาคำตอบ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Work out $1.5^{5}$, correct to 5 decimal places.
จงหา $1.5^{5}$ ตอบทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Use the power key on your calculator directly.ใช้ปุ่มยกกำลังบนเครื่องคิดเลขได้เลย
Work out $1.5+2$.
จงหา $1.5+2$
Answershow ▾
A plain addition, no powers involved.บวกธรรมดา ไม่มีการยกกำลัง
If $L=\dfrac{4L^{5}+2}{5L^{4}-1}$, multiply both sides by $5L^{4}-1$ to clear the fraction.
ถ้า $L=\dfrac{4L^{5}+2}{5L^{4}-1}$ จงคูณทั้งสองข้างด้วย $5L^{4}-1$ เพื่อเคลียร์เศษส่วน
Answershow ▾
Multiplying a fraction by its own denominator leaves only the numerator.คูณเศษส่วนด้วยตัวส่วนของมันเอง จะเหลือแค่ตัวเศษ
To show $x^{5}=2+x$ has exactly one real root, pick the best method.
(A) sketch $y=x^{5}$ and $y=x+2$ and count the crossings
(B) rearrange to $f(x)=x^{5}-x-2$ and study the sign of its derivative everywhere
(C) evaluate $f$ at a couple of values and claim the sign changes once
เพื่อแสดงว่า $x^{5}=2+x$ มีคำตอบจริงพอดีหนึ่งค่า จงเลือกวิธีที่ดีที่สุด
(A) วาดกราฟ $y=x^{5}$ และ $y=x+2$ แล้วนับจุดตัด
(B) จัดรูปเป็น $f(x)=x^{5}-x-2$ แล้วศึกษาเครื่องหมายของอนุพันธ์ทุกช่วง
(C) คำนวณ $f$ ที่ค่า $x$ สองค่า แล้วอ้างว่าเครื่องหมายเปลี่ยนครั้งเดียว
Answershow ▾
(B) needs a full sign study of a quartic derivative, far harder than sketching a line against a steep power curve. (C) a sign change at two chosen points says nothing about roots outside that pair of values.(B) ต้องศึกษาเครื่องหมายของอนุพันธ์กำลังสี่ทั้งหมด ยากกว่าวาดกราฟเส้นตรงกับเส้นโค้งกำลังสูงมาก · (C) เครื่องหมายที่เปลี่ยนระหว่างสองจุดที่เลือก ไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับคำตอบนอกช่วงนั้น
Expand $L(5L^{4}-1)=4L^{5}+2$ on the left-hand side.
จงกระจาย $L(5L^{4}-1)=4L^{5}+2$ ด้านซ้าย
Answershow ▾
Multiply $L$ into both terms of the bracket.คูณ $L$ เข้าไปในทั้งสองพจน์ของวงเล็บ
Show that $5L^{5}-L=4L^{5}+2$ rearranges to $L^{5}=2+L$.
จงแสดงว่า $5L^{5}-L=4L^{5}+2$ จัดรูปได้เป็น $L^{5}=2+L$
Answershow ▾
Move the $4L^{5}$ term across, then move the $-L$ term across.ย้ายพจน์ $4L^{5}$ ข้ามไปก่อน แล้วย้ายพจน์ $-L$ ข้าม
Use $x_{n+1}=\dfrac{4x_n^{5}+2}{5x_n^{4}-1}$ with $x_1=1.5$ to find $x_2$, correct to 5 decimal places.
ใช้ $x_{n+1}=\dfrac{4x_n^{5}+2}{5x_n^{4}-1}$ โดย $x_1=1.5$ หา $x_2$ ตอบทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Use question $1$ for $x_1^{5}$, then build the fraction.ใช้ค่าจากข้อ $1$ สำหรับ $x_1^{5}$ แล้วสร้างเศษส่วน
To show that ANY sequence converging under this formula converges to a root of $x^{5}=2+x$, pick the correct first move.
(A) assume the sequence tends to a limit $L$, set $L=\dfrac{4L^{5}+2}{5L^{4}-1}$, and simplify
(B) substitute $x_1=1.5$ and show $x_2$ is close to $x_1$
(C) differentiate the formula and set the derivative to zero
เพื่อแสดงว่าลำดับใดก็ตามที่ลู่เข้าภายใต้สูตรนี้ ลู่เข้าสู่คำตอบของ $x^{5}=2+x$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้อง
(A) สมมติว่าลำดับลู่เข้าสู่ลิมิต $L$ ตั้ง $L=\dfrac{4L^{5}+2}{5L^{4}-1}$ แล้วจัดรูป
(B) แทน $x_1=1.5$ แล้วแสดงว่า $x_2$ ใกล้เคียงกับ $x_1$
(C) หาอนุพันธ์ของสูตร แล้วให้เท่ากับศูนย์
Answershow ▾
(B) only checks ONE starting value, not every possible convergent sequence. (C) finds a turning point of the formula itself, which has nothing to do with where a sequence converges.(B) ตรวจแค่ค่าเริ่มต้นค่าเดียว ไม่ใช่ทุกลำดับที่อาจลู่เข้า · (C) หาจุดวิกฤตของสูตรเอง ซึ่งไม่เกี่ยวกับตำแหน่งที่ลำดับลู่เข้า
Starting from $x_2=1.33162$, use the formula to find $x_3$, $x_4$ and $x_5$, each correct to 5 decimal places, then state the root correct to 3 decimal places.
จาก $x_2=1.33162$ จงใช้สูตรหา $x_3$, $x_4$ และ $x_5$ ตอบทศนิยม 5 ตำแหน่งทุกค่า แล้วบอกคำตอบที่ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Three more loops of the same formula, then round once at the very end.ทำสูตรเดิมอีกสามรอบ แล้วปัดเศษครั้งเดียวตอนจบ
Check $x=1.267$ in the original equation: work out $1.267^{5}$ and $1.267+2$, each to 4 decimal places, and compare.
จงตรวจ $x=1.267$ กับสมการเดิม: หาค่า $1.267^{5}$ และ $1.267+2$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่งทั้งคู่ แล้วเทียบกัน
Answershow ▾
A rounded root will not match exactly, but the two sides should land close together.คำตอบที่ปัดเศษแล้วจะไม่เท่ากันเป๊ะ แต่ทั้งสองข้างต้องใกล้กันมาก
The equation $x^{5}=3+x$ also has one real root. Show that if a sequence given by $x_{n+1}=\dfrac{4x_n^{5}+3}{5x_n^{4}-1}$ converges, it converges to this root. Use $x_1=1.6$ to find the root correct to 3 decimal places. Give the result of each iteration to 5 decimal places.
สมการ $x^{5}=3+x$ ก็มีคำตอบจริงหนึ่งค่าเช่นกัน จงแสดงว่าถ้าลำดับจากสูตร $x_{n+1}=\dfrac{4x_n^{5}+3}{5x_n^{4}-1}$ ลู่เข้า จะลู่เข้าสู่คำตอบนี้ แล้วใช้ $x_1=1.6$ หาคำตอบ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบของการทำซ้ำเป็นทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same two moves as before: cross-multiply, then collect back to $x^{5}=3+x$.สองขั้นเดิม: คูณไขว้ แล้วรวมพจน์กลับเป็น $x^{5}=3+x$
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $x^{5}=2+x$ has exactly one real root.
(b) Show that if a sequence of values given by the iterative formula $x_{n+1}=\dfrac{4x_n^{5}+2}{5x_n^{4}-1}$ converges, then it converges to the root of the equation in part (a).
(c) Use the iterative formula with initial value $x_1=1.5$ to calculate the root correct to 3 decimal places. Give the result of each iteration to 5 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $x^{5}=2+x$ มีคำตอบจริงพอดีหนึ่งค่า
(ข) จงแสดงว่า ถ้าลำดับค่าจากสูตร iteration $x_{n+1}=\dfrac{4x_n^{5}+2}{5x_n^{4}-1}$ ลู่เข้า จะลู่เข้าสู่คำตอบของสมการในข้อ (a)
(ค) ใช้สูตร iteration โดยเริ่มจาก $x_1=1.5$ เพื่อคำนวณหาคำตอบ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Answershow ▾
7 marks: 2 for the sketch, 2 for the convergence proof, 3 for the final answer.7 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับภาพร่าง 2 คะแนนสำหรับการพิสูจน์การลู่เข้า 3 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A falling parabola meets a rising curve พาราโบลาคว่ำพบเส้นโค้งที่เพิ่มขึ้น
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $4-x^{2}=\sec\dfrac12 x$ has exactly one root in the interval $0\le x\lt\pi$.
(b) Verify by calculation that this root lies between 1 and 2.
(c) Use the iterative formula $x_{n+1}=\sqrt{4-\sec\dfrac12 x_n}$ to determine the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $4-x^{2}=\sec\dfrac12 x$ มีคำตอบพอดีหนึ่งค่าในช่วง $0\le x\lt\pi$
(ข) จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบนี้อยู่ระหว่าง 1 และ 2
(ค) ใช้สูตร iteration $x_{n+1}=\sqrt{4-\sec\dfrac12 x_n}$ เพื่อหาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Evaluate $\sec0.5$, correct to 4 decimal places.
จงหาค่า $\sec0.5$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\sec\theta=1\div\cos\theta$, in radians.$\sec\theta=1\div\cos\theta$ ในหน่วยเรเดียน
Work out $4-1^{2}$.
จงหา $4-1^{2}$
Answershow ▾
Square first, then subtract from $4$.ยกกำลังสองก่อน แล้วค่อยลบจาก $4$
Work out $3-1.1395$, correct to 3 decimal places.
จงหา $3-1.1395$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Keep the full 4 decimal places until the very last step, then round.ใช้ทศนิยม 4 ตำแหน่งเต็มจนถึงขั้นสุดท้าย แล้วค่อยปัดเศษ
To show $4-x^{2}=\sec\dfrac12 x$ has exactly one root in $0\leqslant x\lt\pi$, pick the best method.
(A) sketch $y=4-x^{2}$ and $y=\sec\dfrac12 x$ on the same axes and count the crossings
(B) rearrange to $f(x)=4-x^{2}-\sec\dfrac12 x$ and use the derivative $=0$ to count turning points
(C) evaluate $f$ at a couple of values and claim the sign changes once
เพื่อแสดงว่า $4-x^{2}=\sec\dfrac12 x$ มีคำตอบพอดีหนึ่งค่าในช่วง $0\leqslant x\lt\pi$ จงเลือกวิธีที่ดีที่สุด
(A) วาดกราฟ $y=4-x^{2}$ และ $y=\sec\dfrac12 x$ บนแกนเดียวกัน แล้วนับจุดตัด
(B) จัดรูปเป็น $f(x)=4-x^{2}-\sec\dfrac12 x$ แล้วใช้อนุพันธ์ $=0$ นับจุดวิกฤต
(C) คำนวณ $f$ ที่ค่า $x$ สองค่า แล้วอ้างว่าเครื่องหมายเปลี่ยนครั้งเดียว
Answershow ▾
(B) needs the derivative of $4-x^{2}-\sec\dfrac12 x$, far harder than sketching a parabola against a standard curve. (C) a single sign change cannot rule out extra roots outside the two chosen points.(B) ต้องหาอนุพันธ์ของ $4-x^{2}-\sec\dfrac12 x$ ซึ่งยากกว่าการวาดพาราโบลากับเส้นโค้งมาตรฐานมาก · (C) การเปลี่ยนเครื่องหมายครั้งเดียว ไม่สามารถตัดความเป็นไปได้ที่จะมีคำตอบแฝงนอกสองจุดที่เลือก
Use questions $1$-$3$ to write down $f(1)=(4-1^{2})-\sec0.5$, correct to 3 decimal places.
ใช้ข้อ $1$-$3$ เขียน $f(1)=(4-1^{2})-\sec0.5$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
This is exactly the subtraction from question $3$.นี่คือการลบเดียวกันกับข้อ $3$
Work out $f(2)=(4-2^{2})-\sec1$, correct to 3 decimal places.
จงหา $f(2)=(4-2^{2})-\sec1$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$4-2^{2}=0$, so this is just $-\sec1$.$4-2^{2}=0$ ดังนั้นเหลือเพียง $-\sec1$
Use $x_{n+1}=\sqrt{4-\sec\dfrac12 x_n}$ with $x_1=1.5$ to find $x_2$, correct to 4 decimal places.
ใช้ $x_{n+1}=\sqrt{4-\sec\dfrac12 x_n}$ โดย $x_1=1.5$ หา $x_2$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Work out $\sec\dfrac12 x_1$ first, then subtract from $4$, then take the square root.หา $\sec\dfrac12 x_1$ ก่อน แล้วลบจาก $4$ แล้วค่อยถอดราก
To verify the root lies between $1$ and $2$, pick the correct method.
(A) evaluate $f(x)=(4-x^{2})-\sec\dfrac12 x$ at $x=1$ and $x=2$, and check the sign change
(B) solve $4-x^{2}=\sec\dfrac12 x$ directly for $x$
(C) evaluate $\sec\dfrac12 x$ at $x=1$ and $x=2$ only
เพื่อยืนยันว่าคำตอบอยู่ระหว่าง $1$ และ $2$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) คำนวณ $f(x)=(4-x^{2})-\sec\dfrac12 x$ ที่ $x=1$ และ $x=2$ แล้วตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมาย
(B) แก้สมการ $4-x^{2}=\sec\dfrac12 x$ หา $x$ โดยตรง
(C) คำนวณ $\sec\dfrac12 x$ ที่ $x=1$ และ $x=2$ เท่านั้น
Answershow ▾
(B) is why iteration exists at all - $x$ sits inside $\sec$ on one side and in a quadratic on the other, so it cannot be isolated. (C) checks $\sec\dfrac12 x$ alone, never against $4-x^{2}$, so it misses the sign change.(B) คือเหตุผลที่ต้องมีการทำซ้ำเลย - $x$ อยู่ใน $\sec$ ข้างหนึ่ง และอยู่ในพหุนามกำลังสองอีกข้าง จึงแยก $x$ ออกมาไม่ได้ · (C) ตรวจแค่ $\sec\dfrac12 x$ โดยไม่เทียบกับ $4-x^{2}$ จึงไม่เห็นการเปลี่ยนเครื่องหมาย
Using questions $4$ and $5$, $f(1)=1.861$ and $f(2)=-1.851$. What does this tell you about the root?
จากข้อ $4$ และ $5$ ได้ $f(1)=1.861$ และ $f(2)=-1.851$ สิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับคำตอบ
Answershow ▾
A positive value then a negative value means the graph crossed zero in between.ค่าบวกแล้วค่าลบ แสดงว่ากราฟตัดศูนย์อยู่ระหว่างสองจุดนี้
Starting from $x_2=1.6227$, use the formula to find $x_3$, $x_4$ and $x_5$, each correct to 4 decimal places, then state the root correct to 2 decimal places.
จาก $x_2=1.6227$ จงใช้สูตรหา $x_3$, $x_4$ และ $x_5$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่งทุกค่า แล้วบอกคำตอบที่ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Three more loops of the same formula, then round once at the very end.ทำสูตรเดิมอีกสามรอบ แล้วปัดเศษครั้งเดียวตอนจบ
The equation $5-x^{2}=\sec\dfrac12 x$ also has one root in $0\leqslant x\lt\pi$. Verify by calculation that this root lies between $1.8$ and $2$, then use the iterative formula $x_{n+1}=\sqrt{5-\sec\dfrac12 x_n}$ with $x_1=1.8$ to find the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
สมการ $5-x^{2}=\sec\dfrac12 x$ ก็มีคำตอบหนึ่งค่าในช่วง $0\leqslant x\lt\pi$ เช่นกัน จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบอยู่ระหว่าง $1.8$ และ $2$ แล้วใช้สูตรการทำซ้ำ $x_{n+1}=\sqrt{5-\sec\dfrac12 x_n}$ โดย $x_1=1.8$ หาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบของการทำซ้ำเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same shape as before, with $5$ in place of $4$.รูปแบบเดิม เพียงเปลี่ยน $4$ เป็น $5$
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $4-x^{2}=\sec\dfrac12 x$ has exactly one root in the interval $0\le x\lt\pi$.
(b) Verify by calculation that this root lies between 1 and 2.
(c) Use the iterative formula $x_{n+1}=\sqrt{4-\sec\dfrac12 x_n}$ to determine the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $4-x^{2}=\sec\dfrac12 x$ มีคำตอบพอดีหนึ่งค่าในช่วง $0\le x\lt\pi$
(ข) จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบนี้อยู่ระหว่าง 1 และ 2
(ค) ใช้สูตร iteration $x_{n+1}=\sqrt{4-\sec\dfrac12 x_n}$ เพื่อหาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
7 marks: 2 for the sketch, 2 for the sign check, 3 for the final answer justified to 2 d.p.7 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับภาพร่าง 2 คะแนนสำหรับการตรวจเครื่องหมาย 3 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้ายที่ยืนยัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quotient, a stationary point, x = g(x) ผลหาร จุดวิกฤต และ x = g(x)
The curve with equation $y=\dfrac{x^{3}}{e^{x}-1}$ has a stationary point at $x=p$, where $p\gt 0$.
(a) Show that $p=3\left(1-e^{-p}\right)$.
(b) Verify by calculation that $p$ lies between 2.5 and 3.
(c) Use an iterative formula based on the equation in part (a) to determine $p$ correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
เส้นโค้ง $y=\dfrac{x^{3}}{e^{x}-1}$ มีจุดคงที่ (stationary point) ที่ $x=p$ โดย $p\gt 0$
(ก) จงแสดงว่า $p=3\left(1-e^{-p}\right)$
(ข) จงยืนยันด้วยการคำนวณว่า $p$ อยู่ระหว่าง 2.5 และ 3
(ค) ใช้สูตร iteration ที่สร้างจากสมการในข้อ (a) เพื่อหา $p$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Differentiate $x^{3}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $x^{3}$
Answershow ▾
Power rule: multiply by the power, then reduce it by one.กฎเลขยกกำลัง: คูณด้วยเลขยกกำลัง แล้วลดเลขยกกำลังลงหนึ่ง
Differentiate $e^{x}-1$.
จงหาอนุพันธ์ของ $e^{x}-1$
Answershow ▾
$e^{x}$ differentiates to itself; a constant differentiates to $0$.$e^{x}$ หาอนุพันธ์แล้วได้ตัวมันเอง ส่วนค่าคงที่หาอนุพันธ์แล้วได้ $0$
Work out $3\left(1-e^{-2.5}\right)-2.5$, correct to 3 decimal places.
จงหา $3\left(1-e^{-2.5}\right)-2.5$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Work out $e^{-2.5}$ first, then the bracket, then multiply, then subtract.หา $e^{-2.5}$ ก่อน แล้วค่อยวงเล็บ แล้วคูณ แล้วค่อยลบ
$y=\dfrac{x^{3}}{e^{x}-1}$. Pick the correct first move for $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) quotient rule: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^{2}(e^{x}-1)-x^{3}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}$
(B) divide the two derivatives: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^{2}}{e^{x}}$
(C) treat $e^{x}-1$ as a constant: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^{2}}{e^{x}-1}$
$y=\dfrac{x^{3}}{e^{x}-1}$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้องสำหรับ $\dfrac{dy}{dx}$
(A) กฎผลหาร: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^{2}(e^{x}-1)-x^{3}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}$
(B) หารอนุพันธ์ของตัวเศษด้วยอนุพันธ์ของตัวส่วน: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^{2}}{e^{x}}$
(C) มองว่า $e^{x}-1$ เป็นค่าคงที่: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^{2}}{e^{x}-1}$
Answershow ▾
A quotient needs the quotient rule, not the quotient of the two separate derivatives. (B) divides the derivatives instead of applying the rule. (C) drops the whole second term, because $e^{x}-1$ is not a constant.ผลหารต้องใช้กฎผลหาร ไม่ใช่เอาอนุพันธ์ของตัวเศษหารอนุพันธ์ของตัวส่วนตรงๆ · (B) หารอนุพันธ์ทั้งสองเข้าด้วยกันแทนการใช้กฎ · (C) ทิ้งพจน์ที่สองไปทั้งหมด เพราะ $e^{x}-1$ ไม่ใช่ค่าคงที่
Use questions $1$ and $2$ to write $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^{2}(e^{x}-1)-x^{3}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}$ with the numerator expanded.
ใช้ข้อ $1$ และ $2$ เขียน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^{2}(e^{x}-1)-x^{3}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}$ โดยกระจายตัวเศษ
Answershow ▾
Multiply out $3x^{2}(e^{x}-1)$, then take out the common factor $x^{2}$.กระจาย $3x^{2}(e^{x}-1)$ แล้วดึง $x^{2}$ เป็นตัวประกอบร่วม
At the stationary point $x=p$ (with $p\ne0$), $3e^{p}-3-pe^{p}=0$. Show that $p=3\left(1-e^{-p}\right)$.
ที่จุดวิกฤต $x=p$ (โดย $p\ne0$), $3e^{p}-3-pe^{p}=0$ จงแสดงว่า $p=3\left(1-e^{-p}\right)$
Answershow ▾
Factor out $e^{p}$ from two of the terms, then divide every term by $e^{p}$.ดึง $e^{p}$ เป็นตัวประกอบจากสองพจน์ แล้วหารทุกพจน์ด้วย $e^{p}$
Work out $3\left(1-e^{-3}\right)-3$, correct to 3 decimal places.
จงหา $3\left(1-e^{-3}\right)-3$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same steps as question $3$, with $3$ in place of $2.5$.ขั้นเดียวกับข้อ $3$ เพียงเปลี่ยน $2.5$ เป็น $3$
To verify $p$ lies between $2.5$ and $3$, pick the correct method.
(A) evaluate $g(p)=3(1-e^{-p})-p$ at $p=2.5$ and $p=3$, and check the sign change
(B) solve $p=3(1-e^{-p})$ directly for $p$
(C) evaluate $3(1-e^{-p})$ at $p=2.5$ and $p=3$ only
เพื่อยืนยันว่า $p$ อยู่ระหว่าง $2.5$ และ $3$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) คำนวณ $g(p)=3(1-e^{-p})-p$ ที่ $p=2.5$ และ $p=3$ แล้วตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมาย
(B) แก้สมการ $p=3(1-e^{-p})$ หา $p$ โดยตรง
(C) คำนวณ $3(1-e^{-p})$ ที่ $p=2.5$ และ $p=3$ เท่านั้น
Answershow ▾
(B) is why iteration exists at all - $p$ appears on both sides, inside $e^{-p}$, so it cannot be isolated algebraically. (C) only checks $3(1-e^{-p})$, never against $p$, so it misses the sign change.(B) คือเหตุผลที่ต้องมีการทำซ้ำเลย - $p$ อยู่ทั้งสองข้าง และอยู่ใน $e^{-p}$ จึงแยก $p$ ออกมาไม่ได้ · (C) ตรวจแค่ $3(1-e^{-p})$ โดยไม่เทียบกับ $p$ จึงไม่เห็นการเปลี่ยนเครื่องหมาย
Using questions $3$ and $6$, $g(2.5)=0.254$ and $g(3)=-0.149$. What does this tell you about $p$?
จากข้อ $3$ และ $6$ ได้ $g(2.5)=0.254$ และ $g(3)=-0.149$ สิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับ $p$
Answershow ▾
A positive value then a negative value means the graph crossed zero in between.ค่าบวกแล้วค่าลบ แสดงว่ากราฟตัดศูนย์อยู่ระหว่างสองจุดนี้
Use $p_{n+1}=3\left(1-e^{-p_n}\right)$ with $p_1=2.7$ to find $p_2$, correct to 4 decimal places.
ใช้ $p_{n+1}=3\left(1-e^{-p_n}\right)$ โดย $p_1=2.7$ หา $p_2$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Substitute $p_1$ into the formula shown in question $5$.แทน $p_1$ เข้าสูตรที่โชว์ในข้อ $5$
$y=\dfrac{x^{2}}{e^{x}-1}$ has a stationary point at $x=q$, with $q\ne0$. Show that $q=2\left(1-e^{-q}\right)$, verify by calculation that $1.5\lt q\lt1.7$, then use the formula with $q_1=1.6$ to find $q$ correct to 2 decimal places.
$y=\dfrac{x^{2}}{e^{x}-1}$ มีจุดวิกฤตที่ $x=q$ โดย $q\ne0$ จงแสดงว่า $q=2\left(1-e^{-q}\right)$ จงยืนยันด้วยการคำนวณว่า $1.5\lt q\lt1.7$ แล้วใช้สูตรนี้โดย $q_1=1.6$ หา $q$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same moves as before, just with power $2$ and coefficient $2$ instead of $3$ and $3$.ขั้นเดิม เพียงเปลี่ยนเลขยกกำลังเป็น $2$ และสัมประสิทธิ์เป็น $2$
The curve with equation $y=\dfrac{x^{3}}{e^{x}-1}$ has a stationary point at $x=p$, where $p\gt 0$.
(a) Show that $p=3\left(1-e^{-p}\right)$.
(b) Verify by calculation that $p$ lies between 2.5 and 3.
(c) Use an iterative formula based on the equation in part (a) to determine $p$ correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
เส้นโค้ง $y=\dfrac{x^{3}}{e^{x}-1}$ มีจุดคงที่ (stationary point) ที่ $x=p$ โดย $p\gt 0$
(ก) จงแสดงว่า $p=3\left(1-e^{-p}\right)$
(ข) จงยืนยันด้วยการคำนวณว่า $p$ อยู่ระหว่าง 2.5 และ 3
(ค) ใช้สูตร iteration ที่สร้างจากสมการในข้อ (a) เพื่อหา $p$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
8 marks: 3 for the derivative and the given form, 2 for the sign check, 3 for the final answer.8 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับอนุพันธ์และรูปตามโจทย์ 2 คะแนนสำหรับการตรวจเครื่องหมาย 3 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A root, a convergence proof, and how many loops คำตอบหนึ่งค่า การพิสูจน์การลู่เข้า และต้องทำซ้ำกี่รอบ
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $\text{cosec}\,\dfrac12 x=e^{x}-3$ has exactly one root, denoted by $a$, in the interval $0\lt x\lt\pi$.
(b) Verify by calculation that $a$ lies between 1 and 2.
(c) Show that if a sequence of values in the interval $0\lt x\lt\pi$ given by the iterative formula $x_{n+1}=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 x_n\right)$ converges, then it converges to $a$.
(d) Use this iterative formula with an initial value of 1.4 to determine $a$ correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
(e) State the minimum number of calculated iterations needed with this initial value to determine $a$ correct to 2 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $\text{cosec}\,\dfrac12 x=e^{x}-3$ มีคำตอบพอดีหนึ่งค่า เรียกว่า $a$ ในช่วง $0\lt x\lt\pi$
(ข) จงยืนยันด้วยการคำนวณว่า $a$ อยู่ระหว่าง 1 และ 2
(ค) จงแสดงว่า ถ้าลำดับค่าในช่วง $0\lt x\lt\pi$ จากสูตร iteration $x_{n+1}=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 x_n\right)$ ลู่เข้า จะลู่เข้าสู่ $a$
(ง) ใช้สูตร iteration นี้โดยเริ่มจาก 1.4 เพื่อหา $a$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
(จ) บอกจำนวนรอบ iteration ที่คำนวณน้อยที่สุด โดยเริ่มจากค่าเริ่มต้นนี้ เพื่อหา $a$ ให้ถูกต้องถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Evaluate $\text{cosec}\,0.5$, correct to 5 decimal places.
จงหาค่า $\text{cosec}\,0.5$ ตอบทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\text{cosec}\,\theta=1\div\sin\theta$, in radians.$\text{cosec}\,\theta=1\div\sin\theta$ ในหน่วยเรเดียน
Evaluate $e^{1}-3$, correct to 5 decimal places.
จงหาค่า $e^{1}-3$ ตอบทศนิยม 5 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Find $e^{1}$ first, then subtract $3$.หาค่า $e^{1}$ ก่อน แล้วค่อยลบ $3$
Work out $2.08583-(-0.28172)$, correct to 3 decimal places.
จงหา $2.08583-(-0.28172)$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Subtracting a negative number is the same as adding it.การลบด้วยจำนวนลบ เหมือนการบวกด้วยจำนวนนั้น
To show $\text{cosec}\,\dfrac12 x=e^{x}-3$ has exactly one root $a$ in $0\lt x\lt\pi$, pick the best method.
(A) sketch $y=\text{cosec}\,\dfrac12 x$ and $y=e^{x}-3$ and count the crossings
(B) rearrange to $f(x)=\text{cosec}\,\dfrac12 x-e^{x}+3$ and use the derivative $=0$ to count turning points
(C) evaluate $f$ at a couple of values and claim the sign changes once
เพื่อแสดงว่า $\text{cosec}\,\dfrac12 x=e^{x}-3$ มีคำตอบพอดีหนึ่งค่า $a$ ในช่วง $0\lt x\lt\pi$ จงเลือกวิธีที่ดีที่สุด
(A) วาดกราฟ $y=\text{cosec}\,\dfrac12 x$ และ $y=e^{x}-3$ แล้วนับจุดตัด
(B) จัดรูปเป็น $f(x)=\text{cosec}\,\dfrac12 x-e^{x}+3$ แล้วใช้อนุพันธ์ $=0$ นับจุดวิกฤต
(C) คำนวณ $f$ ที่ค่า $x$ สองค่า แล้วอ้างว่าเครื่องหมายเปลี่ยนครั้งเดียว
Answershow ▾
(B) needs the derivative of $\text{cosec}\,\dfrac12 x-e^{x}$, far harder than sketching two known curves. (C) a single sign change cannot rule out extra roots outside the two chosen points.(B) ต้องหาอนุพันธ์ของ $\text{cosec}\,\dfrac12 x-e^{x}$ ซึ่งยากกว่าการวาดกราฟมาตรฐานสองเส้นมาก · (C) การเปลี่ยนเครื่องหมายครั้งเดียว ไม่สามารถตัดความเป็นไปได้ที่จะมีคำตอบแฝงนอกสองจุดที่เลือก
Work out $f(2)=\text{cosec}\,1-(e^{2}-3)$, correct to 3 decimal places.
จงหา $f(2)=\text{cosec}\,1-(e^{2}-3)$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same two pieces as questions $1$-$3$, with $x=2$ in place of $x=1$.สองขั้นเดิมจากข้อ $1$-$3$ เพียงเปลี่ยน $x=1$ เป็น $x=2$
To show that ANY sequence converging under $x_{n+1}=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 x_n\right)$ converges to $a$, pick the correct first move.
(A) assume the sequence tends to a limit $L$, set $L=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 L\right)$, and rearrange
(B) substitute $x_1=1.4$ and show $x_2$ is close to $x_1$
(C) differentiate the formula and set the derivative to zero
เพื่อแสดงว่าลำดับใดก็ตามที่ลู่เข้าภายใต้สูตร $x_{n+1}=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 x_n\right)$ ลู่เข้าสู่ $a$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้อง
(A) สมมติว่าลำดับลู่เข้าสู่ลิมิต $L$ ตั้ง $L=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 L\right)$ แล้วจัดรูป
(B) แทน $x_1=1.4$ แล้วแสดงว่า $x_2$ ใกล้เคียงกับ $x_1$
(C) หาอนุพันธ์ของสูตร แล้วให้เท่ากับศูนย์
Answershow ▾
(B) only checks ONE starting value, not every possible convergent sequence. (C) finds a turning point of the formula itself, unrelated to where a sequence converges.(B) ตรวจแค่ค่าเริ่มต้นค่าเดียว ไม่ใช่ทุกลำดับที่อาจลู่เข้า · (C) หาจุดวิกฤตของสูตรเอง ซึ่งไม่เกี่ยวกับตำแหน่งที่ลำดับลู่เข้า
Starting from $L=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 L\right)$, show that this gives back $\text{cosec}\,\dfrac12 L=e^{L}-3$.
จาก $L=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 L\right)$ จงแสดงว่าได้ย้อนกลับเป็น $\text{cosec}\,\dfrac12 L=e^{L}-3$
Answershow ▾
Raise $e$ to the power of both sides to undo the $\ln$.ยก $e$ เป็นเลขฐานให้ทั้งสองข้าง เพื่อย้อน $\ln$
Use $x_{n+1}=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 x_n\right)$ with $x_1=1.4$ to find $x_2$, correct to 4 decimal places.
ใช้ $x_{n+1}=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 x_n\right)$ โดย $x_1=1.4$ หา $x_2$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Work out $\text{cosec}\,0.7$ first, then add $3$, then take $\ln$.หา $\text{cosec}\,0.7$ ก่อน แล้วบวก $3$ แล้วค่อย $\ln$
Using questions $3$ and $4$, $f(1)=2.368$ and $f(2)=-3.201$. What does this tell you about $a$?
จากข้อ $3$ และ $4$ ได้ $f(1)=2.368$ และ $f(2)=-3.201$ สิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับ $a$
Answershow ▾
A positive value then a negative value means the graph crossed zero in between.ค่าบวกแล้วค่าลบ แสดงว่ากราฟตัดศูนย์อยู่ระหว่างสองจุดนี้
Continuing from $x_2=1.5156$ gives $x_3=1.4940$, $x_4=1.4978$ and $x_5=1.4971$, each to 4 decimal places. Which is the first value that, together with every later value, rounds to the same answer at 2 decimal places, and how many iterations is that in total?
จาก $x_2=1.5156$ ทำต่อได้ $x_3=1.4940$, $x_4=1.4978$ และ $x_5=1.4971$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่งทั้งหมด ค่าแรกที่ปัดได้คำตอบเดียวกับทุกค่าหลังจากนั้นที่ทศนิยม 2 ตำแหน่งคือค่าไหน และต้องทำซ้ำรวมกี่รอบ
Answershow ▾
$x_2$ rounds to $1.52$ and $x_3$ rounds to $1.49$ - only from $x_4$ onward does every value round to $1.50$.$x_2$ ปัดได้ $1.52$ และ $x_3$ ปัดได้ $1.49$ - ต้องรอถึง $x_4$ เป็นต้นไปที่ทุกค่าปัดได้ $1.50$
The equation $\text{cosec}\,\dfrac12 x=e^{x}-4$ also has one root $b$ in $0\lt x\lt\pi$. Verify by calculation that $1.6\lt b\lt1.7$, then use the iterative formula $x_{n+1}=\ln\left(4+\text{cosec}\,\dfrac12 x_n\right)$ with $x_1=1.6$ to find $b$ correct to 2 decimal places, and state the minimum number of iterations needed with this starting value.
สมการ $\text{cosec}\,\dfrac12 x=e^{x}-4$ ก็มีคำตอบหนึ่งค่า $b$ ในช่วง $0\lt x\lt\pi$ เช่นกัน จงยืนยันด้วยการคำนวณว่า $1.6\lt b\lt1.7$ แล้วใช้สูตรการทำซ้ำ $x_{n+1}=\ln\left(4+\text{cosec}\,\dfrac12 x_n\right)$ โดย $x_1=1.6$ หา $b$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง และบอกจำนวนรอบที่ทำซ้ำน้อยที่สุด โดยเริ่มจากค่านี้
Answershow ▾
Same shape as before, with $4$ in place of $3$ - but here the answer settles one loop sooner.รูปแบบเดิม เพียงเปลี่ยน $3$ เป็น $4$ แต่ครั้งนี้คำตอบลงตัวเร็วกว่าหนึ่งรอบ
(a) By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation $\text{cosec}\,\dfrac12 x=e^{x}-3$ has exactly one root, denoted by $a$, in the interval $0\lt x\lt\pi$.
(b) Verify by calculation that $a$ lies between 1 and 2.
(c) Show that if a sequence of values in the interval $0\lt x\lt\pi$ given by the iterative formula $x_{n+1}=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 x_n\right)$ converges, then it converges to $a$.
(d) Use this iterative formula with an initial value of 1.4 to determine $a$ correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
(e) State the minimum number of calculated iterations needed with this initial value to determine $a$ correct to 2 decimal places.
(ก) จงวาดกราฟที่เหมาะสมคู่หนึ่ง เพื่อแสดงว่าสมการ $\text{cosec}\,\dfrac12 x=e^{x}-3$ มีคำตอบพอดีหนึ่งค่า เรียกว่า $a$ ในช่วง $0\lt x\lt\pi$
(ข) จงยืนยันด้วยการคำนวณว่า $a$ อยู่ระหว่าง 1 และ 2
(ค) จงแสดงว่า ถ้าลำดับค่าในช่วง $0\lt x\lt\pi$ จากสูตร iteration $x_{n+1}=\ln\left(3+\text{cosec}\,\dfrac12 x_n\right)$ ลู่เข้า จะลู่เข้าสู่ $a$
(ง) ใช้สูตร iteration นี้โดยเริ่มจาก 1.4 เพื่อหา $a$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
(จ) บอกจำนวนรอบ iteration ที่คำนวณน้อยที่สุด โดยเริ่มจากค่าเริ่มต้นนี้ เพื่อหา $a$ ให้ถูกต้องถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
9 marks: 2 for the sketch, 2 for the sign check, 1 for the convergence proof, 3 for the final answer, 1 for the minimum number of iterations.9 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับภาพร่าง 2 คะแนนสำหรับการตรวจเครื่องหมาย 1 คะแนนสำหรับการพิสูจน์การลู่เข้า 3 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้าย 1 คะแนนสำหรับจำนวนรอบการทำซ้ำน้อยที่สุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two tangents, a kite, and a hidden circle เส้นสัมผัสสองเส้น รูปว่าว และวงกลมที่ซ่อนอยู่
The diagram shows a circle with centre $O$ and radius $r$. The tangents to the circle at the points $A$ and $B$ meet at $T$, and angle $AOB$ is $2x$ radians. The shaded region is bounded by the tangents $AT$ and $BT$, and by the minor arc $AB$. The area of the shaded region is equal to the area of the circle.
(a) Show that $x$ satisfies the equation $\tan x=\pi+x$.
(b) This equation has one root in the interval $0\lt x\lt\dfrac12\pi$. Verify by calculation that this root lies between 1 and 1.4.
(c) Use the iterative formula $x_{n+1}=\tan^{-1}(\pi+x_n)$ to determine the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
แผนภาพแสดงวงกลมศูนย์กลาง $O$ รัศมี $r$ เส้นสัมผัส (tangent) ของวงกลมที่จุด $A$ และ $B$ ตัดกันที่ $T$ และมุม $AOB$ เท่ากับ $2x$ เรเดียน พื้นที่แรเงาถูกล้อมด้วยเส้นสัมผัส $AT$, $BT$ และส่วนโค้งเล็ก (minor arc) $AB$ พื้นที่แรเงานี้เท่ากับพื้นที่ของวงกลมพอดี
(ก) จงแสดงว่า $x$ สอดคล้องกับสมการ $\tan x=\pi+x$
(ข) สมการนี้มีคำตอบหนึ่งค่าในช่วง $0\lt x\lt\dfrac12\pi$ จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบนี้อยู่ระหว่าง 1 และ 1.4
(ค) ใช้สูตร iteration $x_{n+1}=\tan^{-1}(\pi+x_n)$ เพื่อหาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Evaluate $\tan1$, correct to 4 decimal places.
จงหาค่า $\tan1$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
In radians - check your calculator mode.หน่วยเรเดียน ตรวจโหมดเครื่องคิดเลขก่อน
Work out $\pi+1$, correct to 4 decimal places.
จงหา $\pi+1$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Use the full value of $\pi$, not a rounded one.ใช้ค่า $\pi$ แบบเต็ม ไม่ปัดก่อน
Work out $1.5574-4.1416$, correct to 3 decimal places.
จงหา $1.5574-4.1416$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
A smaller number minus a bigger number gives a negative answer.จำนวนที่น้อยกว่าลบด้วยจำนวนที่มากกว่า ได้ผลลบ
$T$ is the point where two tangents from outside the circle meet, touching it at $A$ and $B$, with $\angle AOT=\angle BOT=x$. The shaded region (both tangent triangles minus the sector) equals the area of the circle. Pick the correct area equation.
(A) $2\left(\tfrac12 r\cdot r\tan x\right)-\tfrac12 r^{2}(2x)=\pi r^{2}$
(B) $2\left(\tfrac12 r\cdot r\tan x\right)-\tfrac12 r^{2}x=\pi r^{2}$
(C) $\tfrac12 r\cdot r\tan x-\tfrac12 r^{2}(2x)=\pi r^{2}$
$T$ คือจุดนอกวงกลมที่เส้นสัมผัสสองเส้นมาพบกัน สัมผัสวงกลมที่ $A$ และ $B$ โดย $\angle AOT=\angle BOT=x$ พื้นที่แรเงา (สามเหลี่ยมเส้นสัมผัสทั้งสองลบเซกเตอร์) เท่ากับพื้นที่วงกลม จงเลือกสมการพื้นที่ที่ถูกต้อง
(A) $2\left(\tfrac12 r\cdot r\tan x\right)-\tfrac12 r^{2}(2x)=\pi r^{2}$
(B) $2\left(\tfrac12 r\cdot r\tan x\right)-\tfrac12 r^{2}x=\pi r^{2}$
(C) $\tfrac12 r\cdot r\tan x-\tfrac12 r^{2}(2x)=\pi r^{2}$
Answershow ▾
(B) uses the sector angle $x$ instead of the real angle $AOB=2x$. (C) counts only ONE tangent triangle $OAT$ and forgets triangle $OBT$ on the other side.(B) ใช้มุมเซกเตอร์เป็น $x$ แทนมุมจริง $AOB=2x$ · (C) นับสามเหลี่ยม $OAT$ เพียงรูปเดียว ลืมสามเหลี่ยม $OBT$ อีกฝั่ง
Use the chosen equation to write $2\left(\tfrac12 r\cdot r\tan x\right)-\tfrac12 r^{2}(2x)=\pi r^{2}$ with the left-hand side simplified.
ใช้สมการที่เลือก เขียน $2\left(\tfrac12 r\cdot r\tan x\right)-\tfrac12 r^{2}(2x)=\pi r^{2}$ โดยจัดด้านซ้ายให้ง่ายขึ้น
Answershow ▾
$2\times\tfrac12=1$ in both terms, so each one loses its $\tfrac12$ and its $2$.$2\times\tfrac12=1$ ในทั้งสองพจน์ จึงตัด $\tfrac12$ และ $2$ ออกไป
Show that $r^{2}\tan x-r^{2}x=\pi r^{2}$ rearranges to $\tan x=\pi+x$.
จงแสดงว่า $r^{2}\tan x-r^{2}x=\pi r^{2}$ จัดรูปได้เป็น $\tan x=\pi+x$
Answershow ▾
Divide every term by $r^{2}$ - it cancels completely, which is the whole point.หารทุกพจน์ด้วย $r^{2}$ - มันตัดออกหมดพอดี ซึ่งคือประเด็นสำคัญของข้อนี้
Work out $\tan1.4-(\pi+1.4)$, correct to 3 decimal places.
จงหา $\tan1.4-(\pi+1.4)$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same two pieces as questions $1$-$2$, with $1.4$ in place of $1$.สองขั้นเดิมจากข้อ $1$-$2$ เพียงเปลี่ยน $1$ เป็น $1.4$
To verify the root lies between $1$ and $1.4$, pick the correct method.
(A) evaluate $f(x)=\tan x-(\pi+x)$ at $x=1$ and $x=1.4$, and check the sign change
(B) solve $\tan x=\pi+x$ directly for $x$
(C) evaluate $\tan x$ at $x=1$ and $x=1.4$ only
เพื่อยืนยันว่าคำตอบอยู่ระหว่าง $1$ และ $1.4$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) คำนวณ $f(x)=\tan x-(\pi+x)$ ที่ $x=1$ และ $x=1.4$ แล้วตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมาย
(B) แก้สมการ $\tan x=\pi+x$ หา $x$ โดยตรง
(C) คำนวณ $\tan x$ ที่ $x=1$ และ $x=1.4$ เท่านั้น
Answershow ▾
(B) is why iteration exists at all - $x$ sits on both sides, inside $\tan$ on one and bare on the other, so it cannot be isolated. (C) checks $\tan x$ alone, never against $\pi+x$, so it misses the sign change.(B) คือเหตุผลที่ต้องมีการทำซ้ำเลย - $x$ อยู่ทั้งสองข้าง ข้างหนึ่งอยู่ใน $\tan$ อีกข้างอยู่เปล่าๆ จึงแยก $x$ ออกมาไม่ได้ · (C) ตรวจแค่ $\tan x$ โดยไม่เทียบกับ $\pi+x$ จึงไม่เห็นการเปลี่ยนเครื่องหมาย
Using questions $3$ and $6$, $f(1)=-2.584$ and $f(1.4)=1.256$. What does this tell you about the root?
จากข้อ $3$ และ $6$ ได้ $f(1)=-2.584$ และ $f(1.4)=1.256$ สิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับคำตอบ
Answershow ▾
A negative value then a positive value means the graph crossed zero in between.ค่าลบแล้วค่าบวก แสดงว่ากราฟตัดศูนย์อยู่ระหว่างสองจุดนี้
Starting from $x_1=1.2$, use $x_{n+1}=\tan^{-1}(\pi+x_n)$ to find $x_2$, $x_3$ and $x_4$, each correct to 4 decimal places, then state the root correct to 2 decimal places.
จาก $x_1=1.2$ จงใช้ $x_{n+1}=\tan^{-1}(\pi+x_n)$ หา $x_2$, $x_3$ และ $x_4$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่งทุกค่า แล้วบอกคำตอบที่ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Each new value needs $\tan^{-1}$ of $\pi$ plus the one before it.ค่าใหม่แต่ละค่าคือ $\tan^{-1}$ ของ $\pi$ บวกค่าก่อนหน้า
In the same setup, suppose the shaded region equals $1.5$ times the area of the circle instead. Show that this gives $\tan x=1.5\pi+x$, verify by calculation that $1.4\lt x\lt1.45$, then use $x_{n+1}=\tan^{-1}(1.5\pi+x_n)$ with $x_1=1.35$ to find $x$ correct to 2 decimal places.
ในรูปแบบเดิม สมมติว่าพื้นที่แรเงาเท่ากับ $1.5$ เท่าของพื้นที่วงกลมแทน จงแสดงว่าได้ $\tan x=1.5\pi+x$ จงยืนยันด้วยการคำนวณว่า $1.4\lt x\lt1.45$ แล้วใช้ $x_{n+1}=\tan^{-1}(1.5\pi+x_n)$ โดย $x_1=1.35$ หา $x$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same two moves as before: divide by $r^{2}$, with $1.5\pi r^{2}$ in place of $\pi r^{2}$.สองขั้นเดิม: หารด้วย $r^{2}$ เพียงเปลี่ยน $\pi r^{2}$ เป็น $1.5\pi r^{2}$
The diagram shows a circle with centre $O$ and radius $r$. The tangents to the circle at the points $A$ and $B$ meet at $T$, and angle $AOB$ is $2x$ radians. The shaded region is bounded by the tangents $AT$ and $BT$, and by the minor arc $AB$. The area of the shaded region is equal to the area of the circle.
(a) Show that $x$ satisfies the equation $\tan x=\pi+x$.
(b) This equation has one root in the interval $0\lt x\lt\dfrac12\pi$. Verify by calculation that this root lies between 1 and 1.4.
(c) Use the iterative formula $x_{n+1}=\tan^{-1}(\pi+x_n)$ to determine the root correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
แผนภาพแสดงวงกลมศูนย์กลาง $O$ รัศมี $r$ เส้นสัมผัส (tangent) ของวงกลมที่จุด $A$ และ $B$ ตัดกันที่ $T$ และมุม $AOB$ เท่ากับ $2x$ เรเดียน พื้นที่แรเงาถูกล้อมด้วยเส้นสัมผัส $AT$, $BT$ และส่วนโค้งเล็ก (minor arc) $AB$ พื้นที่แรเงานี้เท่ากับพื้นที่ของวงกลมพอดี
(ก) จงแสดงว่า $x$ สอดคล้องกับสมการ $\tan x=\pi+x$
(ข) สมการนี้มีคำตอบหนึ่งค่าในช่วง $0\lt x\lt\dfrac12\pi$ จงยืนยันด้วยการคำนวณว่าคำตอบนี้อยู่ระหว่าง 1 และ 1.4
(ค) ใช้สูตร iteration $x_{n+1}=\tan^{-1}(\pi+x_n)$ เพื่อหาคำตอบ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
8 marks: 3 for the area equation and the given form, 2 for the sign check, 3 for the final answer.8 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับสมการพื้นที่และรูปตามโจทย์ 2 คะแนนสำหรับการตรวจเครื่องหมาย 3 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A root you already know, hiding inside a quartic คำตอบที่รู้อยู่แล้ว ซ่อนอยู่ในสมการกำลังสี่
The equation of a curve is $y=\sqrt{\tan x}$, for $0\le x\lt\dfrac12\pi$. The value of $\dfrac{dy}{dx}$ is also 1 at another point on the curve where $x=a$, besides $x=\dfrac14\pi$.
(a) Express $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $\tan x$, and verify that $\dfrac{dy}{dx}=1$ when $x=\dfrac14\pi$.
(b) Show that $t^{3}+t^{2}+3t-1=0$, where $t=\tan a$.
(c) Use the iterative formula $a_{n+1}=\tan^{-1}\left(\dfrac{1-\tan^{2}a_n-\tan^{3}a_n}{3}\right)$ to determine $a$ correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
เส้นโค้งมีสมการ $y=\sqrt{\tan x}$ สำหรับ $0\le x\lt\dfrac12\pi$ ค่า $\dfrac{dy}{dx}$ ยังเท่ากับ 1 ที่อีกจุดหนึ่งบนเส้นโค้ง ซึ่ง $x=a$ นอกเหนือจาก $x=\dfrac14\pi$
(ก) จงเขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $\tan x$ และยืนยันว่า $\dfrac{dy}{dx}=1$ เมื่อ $x=\dfrac14\pi$
(ข) จงแสดงว่า $t^{3}+t^{2}+3t-1=0$ โดย $t=\tan a$
(ค) ใช้สูตร iteration $a_{n+1}=\tan^{-1}\left(\dfrac{1-\tan^{2}a_n-\tan^{3}a_n}{3}\right)$ เพื่อหา $a$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Differentiate $u^{\frac12}$ with respect to $u$.
จงหาอนุพันธ์ของ $u^{\frac12}$ เทียบกับ $u$
Answershow ▾
Power rule: multiply by the power, then reduce it by one.กฎเลขยกกำลัง: คูณด้วยเลขยกกำลัง แล้วลดเลขยกกำลังลงหนึ่ง
Differentiate $\tan x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $\tan x$
Answershow ▾
A standard derivative worth memorising.อนุพันธ์มาตรฐานที่ควรจำไว้
Write $\sec^{2}x$ in terms of $\tan x$.
จงเขียน $\sec^{2}x$ ในรูปของ $\tan x$
Answershow ▾
This comes straight from $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$, divided by $\cos^{2}x$.มาจาก $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ หารด้วย $\cos^{2}x$ ตรงๆ
$y=\sqrt{\tan x}$. Pick the correct first move for $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) chain rule: treat it as $(\tan x)^{\frac12}$, differentiate the power then multiply by $\sec^{2}x$
(B) quotient rule, treating $\sqrt{\tan x}$ as a fraction
(C) differentiate $\tan x$ and the square root separately, then multiply the two derivatives
$y=\sqrt{\tan x}$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้องสำหรับ $\dfrac{dy}{dx}$
(A) กฎลูกโซ่: มองเป็น $(\tan x)^{\frac12}$ หาอนุพันธ์ของเลขยกกำลังแล้วคูณด้วย $\sec^{2}x$
(B) กฎผลหาร โดยมองว่า $\sqrt{\tan x}$ เป็นเศษส่วน
(C) หาอนุพันธ์ของ $\tan x$ กับสแควร์รูทแยกกัน แล้วคูณอนุพันธ์ทั้งสองเข้าด้วยกัน
Answershow ▾
$\sqrt{\tan x}$ is not a fraction, so (B)’s quotient rule does not apply. (C) multiplies two derivatives together, which is not what differentiating a composite function means.$\sqrt{\tan x}$ ไม่ใช่เศษส่วน จึงใช้กฎผลหารแบบ (B) ไม่ได้ · (C) คูณอนุพันธ์สองตัวเข้าด้วยกัน ซึ่งไม่ใช่ความหมายของการหาอนุพันธ์ฟังก์ชันประกอบ
Use questions $1$-$3$ to write $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $\tan x$ only.
ใช้ข้อ $1$-$3$ เขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $\tan x$ เท่านั้น
Answershow ▾
Tidy the power into a square root, then swap $\sec^{2}x$ for question $3$’s identity.จัดเลขยกกำลังให้เป็นสแควร์รูท แล้วเปลี่ยน $\sec^{2}x$ ด้วยเอกลักษณ์จากข้อ $3$
Verify that $\dfrac{dy}{dx}=1$ when $x=\dfrac14\pi$.
จงยืนยันว่า $\dfrac{dy}{dx}=1$ เมื่อ $x=\dfrac14\pi$
Answershow ▾
$\tan\dfrac14\pi=1$, so both the $1+\tan^{2}x$ and the $\sqrt{\tan x}$ become easy numbers.$\tan\dfrac14\pi=1$ ทำให้ทั้ง $1+\tan^{2}x$ และ $\sqrt{\tan x}$ เป็นเลขง่ายๆ
Let $t=\tan x$. Setting $\dfrac{dy}{dx}=1$ gives $\dfrac{1+t^{2}}{2\sqrt t}=1$. Show that this gives $t^{4}+2t^{2}-4t+1=0$.
ให้ $t=\tan x$ การให้ $\dfrac{dy}{dx}=1$ ได้ $\dfrac{1+t^{2}}{2\sqrt t}=1$ จงแสดงว่าได้ $t^{4}+2t^{2}-4t+1=0$
Answershow ▾
Clear the fraction, then square both sides to remove the square root.เคลียร์เศษส่วนก่อน แล้วยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อกำจัดสแควร์รูท
You have $t^{4}+2t^{2}-4t+1=0$, and $t=1$ is already a known root (from $x=\dfrac14\pi$). Pick the correct next move.
(A) divide the quartic by $(t-1)$ to find the remaining factor
(B) substitute $t=1$ into the target cubic to check it, without deriving the cubic
(C) guess two quadratic factors by trial and error, ignoring the known root
มี $t^{4}+2t^{2}-4t+1=0$ และรู้อยู่แล้วว่า $t=1$ เป็นรากหนึ่ง (จาก $x=\dfrac14\pi$) จงเลือกขั้นต่อไปที่ถูกต้อง
(A) หารสมการกำลังสี่ด้วย $(t-1)$ เพื่อหาตัวประกอบที่เหลือ
(B) แทน $t=1$ ลงในสมการกำลังสามเป้าหมายเพื่อตรวจ โดยไม่ได้หามันมาก่อน
(C) เดาตัวประกอบกำลังสองสองตัวแบบลองผิดลองถูก โดยไม่ใช้รากที่รู้อยู่แล้ว
Answershow ▾
(B) checks a target you have not derived - it proves nothing by itself. (C) throws away the known root and makes the problem far harder than it needs to be.(B) ตรวจเป้าหมายที่ยังไม่ได้มา - ไม่พิสูจน์อะไรด้วยตัวมันเอง · (C) ทิ้งรากที่รู้อยู่แล้ว ทำให้โจทย์ยากกว่าที่ควรจะเป็นมาก
Show that $t^{4}+2t^{2}-4t+1$ factorises as $(t-1)\left(t^{3}+t^{2}+3t-1\right)$, and explain why this gives $t^{3}+t^{2}+3t-1=0$ for $a$.
จงแสดงว่า $t^{4}+2t^{2}-4t+1$ แยกตัวประกอบได้เป็น $(t-1)\left(t^{3}+t^{2}+3t-1\right)$ และอธิบายว่าทำไมจึงได้ $t^{3}+t^{2}+3t-1=0$ สำหรับ $a$
Answershow ▾
$a\ne\dfrac14\pi$, so $\tan a\ne1$ - the $(t-1)$ factor is zero for the OTHER root, $t=1$, not for $t=\tan a$.$a\ne\dfrac14\pi$ ดังนั้น $\tan a\ne1$ - ตัวประกอบ $(t-1)$ เป็นศูนย์สำหรับรากอีกตัวคือ $t=1$ ไม่ใช่สำหรับ $t=\tan a$
Use $a_{n+1}=\tan^{-1}\left(\dfrac{1-\tan^{2}a_n-\tan^{3}a_n}{3}\right)$ with $a_1=0.3$ to find $a_2$, correct to 4 decimal places.
ใช้ $a_{n+1}=\tan^{-1}\left(\dfrac{1-\tan^{2}a_n-\tan^{3}a_n}{3}\right)$ โดย $a_1=0.3$ หา $a_2$ ตอบทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Work out $\tan0.3$ first, then build the fraction, then $\tan^{-1}$.หา $\tan0.3$ ก่อน แล้วสร้างเศษส่วน แล้วค่อย $\tan^{-1}$
For $y=\sqrt{\tan x}$, let $t=\tan x$. Verify that $\dfrac{1+t^{2}}{2\sqrt t}=\dfrac{13\sqrt6}{24}$ when $t=\dfrac32$. Setting $\dfrac{1+t^{2}}{2\sqrt t}=\dfrac{13\sqrt6}{24}$ for a general $t$ leads to $24t^{4}+48t^{2}-169t+24=0$, and $t=\dfrac32$ is a known root of this. Show that this gives $12t^{3}+18t^{2}+51t-8=0$ for $t=\tan b$. Writing $t_n=\tan b_n$ and $U=8-18t_n^{2}-12t_n^{3}$, use $b_{n+1}=\tan^{-1}\left(\dfrac{U}{51}\right)$ with $b_1=0.2$ to find $b$ correct to 2 decimal places.
สำหรับ $y=\sqrt{\tan x}$ ให้ $t=\tan x$ จงยืนยันว่า $\dfrac{1+t^{2}}{2\sqrt t}=\dfrac{13\sqrt6}{24}$ เมื่อ $t=\dfrac32$ การให้ $\dfrac{1+t^{2}}{2\sqrt t}=\dfrac{13\sqrt6}{24}$ สำหรับ $t$ ทั่วไปนำไปสู่ $24t^{4}+48t^{2}-169t+24=0$ ซึ่ง $t=\dfrac32$ เป็นรากที่รู้อยู่แล้ว จงแสดงว่าได้ $12t^{3}+18t^{2}+51t-8=0$ สำหรับ $t=\tan b$ ให้ $t_n=\tan b_n$ และ $U=8-18t_n^{2}-12t_n^{3}$ แล้วใช้ $b_{n+1}=\tan^{-1}\left(\dfrac{U}{51}\right)$ โดย $b_1=0.2$ หา $b$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same shape as before: a known root divides out of the quartic, leaving a cubic to iterate.รูปแบบเดิม: รากที่รู้อยู่แล้วหารสมการกำลังสี่ออก เหลือสมการกำลังสามให้ทำซ้ำ
The equation of a curve is $y=\sqrt{\tan x}$, for $0\le x\lt\dfrac12\pi$. The value of $\dfrac{dy}{dx}$ is also 1 at another point on the curve where $x=a$, besides $x=\dfrac14\pi$.
(a) Express $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $\tan x$, and verify that $\dfrac{dy}{dx}=1$ when $x=\dfrac14\pi$.
(b) Show that $t^{3}+t^{2}+3t-1=0$, where $t=\tan a$.
(c) Use the iterative formula $a_{n+1}=\tan^{-1}\left(\dfrac{1-\tan^{2}a_n-\tan^{3}a_n}{3}\right)$ to determine $a$ correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places.
เส้นโค้งมีสมการ $y=\sqrt{\tan x}$ สำหรับ $0\le x\lt\dfrac12\pi$ ค่า $\dfrac{dy}{dx}$ ยังเท่ากับ 1 ที่อีกจุดหนึ่งบนเส้นโค้ง ซึ่ง $x=a$ นอกเหนือจาก $x=\dfrac14\pi$
(ก) จงเขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $\tan x$ และยืนยันว่า $\dfrac{dy}{dx}=1$ เมื่อ $x=\dfrac14\pi$
(ข) จงแสดงว่า $t^{3}+t^{2}+3t-1=0$ โดย $t=\tan a$
(ค) ใช้สูตร iteration $a_{n+1}=\tan^{-1}\left(\dfrac{1-\tan^{2}a_n-\tan^{3}a_n}{3}\right)$ เพื่อหา $a$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง โดยแสดงผลแต่ละรอบ iteration เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
11 marks: 4 for the derivative and the verified gradient, 4 for the cubic, 3 for the final answer.11 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับอนุพันธ์และความชันที่ยืนยันแล้ว 4 คะแนนสำหรับสมการกำลังสาม 3 คะแนนสำหรับคำตอบสุดท้าย