Coordinate Geometryเรขาคณิตวิเคราะห์

A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Read a gradient, and measure a lengthอ่านความชัน กับวัดความยาว

Every formula in this chapter is one of these two, written with $x_1,y_1,x_2,y_2$.สูตรทุกสูตรในบทนี้คือสองอันนี้ เขียนด้วย $x_1,y_1,x_2,y_2$

1. $y=2x+1$.  What is the gradient?$y=2x+1$  ความชันเท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $m=2$Up $2$ for every $1$ across: $y=2x+1$   $m=2:\ \text{up }2\ \text{per }1\ \text{across}$   $c=1:\ \text{cuts the }y\text{-axis at }1$ขึ้น $2$ ต่อการไปขวา $1$: $y=2x+1$   $m=2:\ \text{up }2\ \text{per }1\ \text{across}$   $c=1:\ \text{cuts the }y\text{-axis at }1$
2. A right-angled triangle has legs $3$ and $4$.  How long is the hypotenuse?สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว $3$ กับ $4$  ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$Remember this triangle. It hides inside every pair of points, and later it becomes a circle.จำสามเหลี่ยมนี้ไว้ · มันซ่อนอยู่ในจุดทุกคู่ และเดี๋ยวมันจะกลายเป็นวงกลม

2. Pythagoras in disguiseพีทาโกรัสจำแลง

Distance is Pythagoras on the gaps. Midpoint is averaging. Nothing new.ระยะทางคือพีทาโกรัสบนผลต่าง · จุดกึ่งกลางคือการเฉลี่ย · ไม่มีอะไรใหม่

Two points, and a walk between themสองจุด กับการเดินจากจุดหนึ่งไปอีกจุด

From $A(1,1)$ to $B(4,5)$: $3$ across, $4$ up. These are the legs of the warm-up triangle.จาก $A(1,1)$ ไป $B(4,5)$ · ไป $3$ ขึ้น $4$ · คือด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมตอนวอร์มอัพ

1. So how far is it from $A(1,1)$ to $B(4,5)$ in a straight line?แล้วระยะทางจาก $A(1,1)$ ถึง $B(4,5)$ แบบลากตรงๆ ยาวเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$Distance is Pythagoras: $\text{across}:\ 4-1=3$   $\text{up}:\ 5-1=4$   $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ระยะทาง คือพีทาโกรัส: $\text{across}:\ 4-1=3$   $\text{up}:\ 5-1=4$   $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
2. Read the labels below. So $x_2-x_1=?$ดูป้ายกำกับข้างล่าง · แล้ว $x_2-x_1=?$
   Answer:เฉลย: $x_2-x_1=4-1=3$First point gets subscript $1$: $A(1,1)\ \Rightarrow\ x_1=1,\ y_1=1$   $B(4,5)\ \Rightarrow\ x_2=4,\ y_2=5$   $x_2-x_1=4-1=3$จุดแรกได้ตัวห้อย $1$: $A(1,1)\ \Rightarrow\ x_1=1,\ y_1=1$   $B(4,5)\ \Rightarrow\ x_2=4,\ y_2=5$   $x_2-x_1=4-1=3$
3. One slot down. Now the other: $y_2-y_1=?$ไปแล้วหนึ่งช่อง · ทีนี้อีกช่อง: $y_2-y_1=?$
   Answer:เฉลย: $y_2-y_1=5-1=4$Now the $y$ pair: $y_2-y_1=5-1=4$   $\text{across }3,\ \text{up }4$คราวนี้คู่ของ $y$: $y_2-y_1=5-1=4$   $\text{across }3,\ \text{up }4$
4. Every number is in its slot. Finish the line: $d=?$ตัวเลขลงช่องครบแล้ว · ทำต่อให้จบ: $d=?$
   Answer:เฉลย: $d=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$The formula is that triangle: $d=\sqrt{(4-1)^{2}+(5-1)^{2}}$   $=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ $x$ pairs with $x$, $y$ with $y$. Mixing them is a common mistake.สูตรนี้ คือสามเหลี่ยมนั้นเอง: $d=\sqrt{(4-1)^{2}+(5-1)^{2}}$   $=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ $x$ คู่กับ $x$ · $y$ คู่กับ $y$ · สลับคู่คือที่พลาดกันบ่อย
5. Same two points, $A(1,1)$ and $B(4,5)$.  Which point is exactly halfway between them? Answer as $(x,y)$.จุดคู่เดิม $A(1,1)$ กับ $B(4,5)$  จุดไหนอยู่กึ่งกลางระหว่างสองจุดพอดี? ตอบเป็น $(x,y)$
   Answer:เฉลย: $\left(\tfrac{5}{2},\,3\right)$The midpoint is an average: $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$   $\left(\frac{1+4}{2},\ \frac{1+5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\,3\right)$ This is the one formula here that adds.จุดกึ่งกลาง คือค่าเฉลี่ย: $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$   $\left(\frac{1+4}{2},\ \frac{1+5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\,3\right)$ สูตรเดียวในบทนี้ที่ใช้บวก

3. Three tools, one gridสามเครื่องมือ กริดเดียว

Distance, midpoint, gradient: all use the same two gaps.ระยะทาง จุดกึ่งกลาง ความชัน · ใช้ผลต่างสองตัวเดียวกันทั้งหมด

1. Still $A(1,1)$ and $B(4,5)$.  Third question about the same pair: what is the gradient of the line through them?ยังเป็น $A(1,1)$ กับ $B(4,5)$  คำถามที่สามของจุดคู่เดิม: ความชันของเส้นที่ผ่านทั้งสองจุดเท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $m=\dfrac{5-1}{4-1}=\dfrac{4}{3}$Three tools, two numbers: $\Delta x=3,\ \Delta y=4$   $\text{distance}:\ \sqrt{3^{2}+4^{2}}$   $\text{midpoint}:\ \text{average}$   $\text{gradient}:\ \frac{4}{3}$สามเครื่องมือ ใช้เลขสองตัวเดียวกัน: $\Delta x=3,\ \Delta y=4$   $\text{distance}:\ \sqrt{3^{2}+4^{2}}$   $\text{midpoint}:\ \text{average}$   $\text{gradient}:\ \frac{4}{3}$

4. A faster way to write a lineเขียนเส้นตรงแบบเร็วกว่า

$y-y_1=m(x-x_1)$: substitute the point directly.$y-y_1=m(x-x_1)$ · แทนจุดลงไปได้ทันที

A gradient and a point, written the same way every timeมีความชันกับจุดหนึ่งจุด เขียนแบบเดิมทุกครั้ง

$y=3x-13$ and $3x-y-13=0$ are the same line.$y=3x-13$ กับ $3x-y-13=0$ คือเส้นเดียวกัน

1. A line has gradient $2$ and passes through $(1,3)$. Using $y=mx+c$: substitute the point and find $c$.เส้นตรงความชัน $2$ ผ่านจุด $(1,3)$ · ใช้ $y=mx+c$: แทนจุดลงไปแล้วหา $c$
   Answer:เฉลย: $3=2(1)+c \Rightarrow c=1$It works, but it is slow: $3=2(1)+c$   $c=1$   $y=2x+1$ใช้ได้ แต่ช้า: $3=2(1)+c$   $c=1$   $y=2x+1$
2. Take any point $(x,y)$ on that line through $(1,3)$ with gradient $2$. What does $\dfrac{y-3}{x-1}$ equal?หยิบจุด $(x,y)$ จุดไหนก็ได้บนเส้นที่ผ่าน $(1,3)$ ความชัน $2$ · แล้ว $\dfrac{y-3}{x-1}$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{y-3}{x-1}=2$ for every point on the line$\dfrac{y-3}{x-1}=2$ สำหรับทุกจุดบนเส้นYou built point-gradient form: $\frac{y-3}{x-1}=2$   $y-3=2(x-1)$   $y-y_1=m(x-x_1)$เพิ่งสร้างสูตรจุด-ความชันเอง: $\frac{y-3}{x-1}=2$   $y-3=2(x-1)$   $y-y_1=m(x-x_1)$
3. Line through $(4,-1)$ with gradient $3$. Use the new form, then give the answer as $y=mx+c$.เส้นผ่าน $(4,-1)$ ความชัน $3$ · ใช้ฟอร์มใหม่ แล้วตอบในรูป $y=mx+c$
   Answer:เฉลย: $y+1=3(x-4) \Rightarrow y=3x-13$One line instead of three: $y-(-1)=3(x-4)$   $y+1=3x-12$   $y=3x-13$ Copy the point with its signs. A negative becomes a plus.บรรทัดเดียว แทนที่จะสามบรรทัด: $y-(-1)=3(x-4)$   $y+1=3x-12$   $y=3x-13$ ลอกพิกัดลงไปตรงๆ รวมเครื่องหมาย · ลบกลายเป็นบวก
4. The exam says: “give your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a,b,c$ are integers.” Your working ends at $y=\tfrac12 x+3$. What do you hand in?ข้อสอบสั่งว่า: “ตอบในรูป $ax+by+c=0$ โดย $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็ม” · ทดมาจนได้ $y=\tfrac12 x+3$ · จะส่งอะไร?
   Answer:เฉลย: $x-2y+6=0$Build first, convert last: $y=mx+c:\ \text{gradient and intercept}$   $y-y_1=m(x-x_1):\ \text{fastest to build}$   $ax+by+c=0:\ \text{tidy final form}$สร้างก่อน แปลงทีหลัง: $y=mx+c:\ \text{gradient and intercept}$   $y-y_1=m(x-x_1):\ \text{fastest to build}$   $ax+by+c=0:\ \text{tidy final form}$

5. The perpendicular bisectorเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

Midpoint + flipped gradient, chained into one classic question.จุดกึ่งกลาง + ความชันพลิกกลับ ต่อกันเป็นโจทย์คลาสสิกหนึ่งข้อ

It has a name: the perpendicular bisectorเส้นนี้มีชื่อ: เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

Midpoint $M(3,3)$ + flipped gradient. Every point $P$ on it is equally far from $A$ and $B$.จุดกึ่งกลาง $M(3,3)$ + ความชันที่พลิกแล้ว · ทุกจุด $P$ บนเส้นนี้ ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน

Perpendicular bisector of $A(1,2)$ and $B(5,8)$เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $A(1,2)$ กับ $B(5,8)$

1. $M=\left(\frac{1+5}{2}{,}\frac{2+8}{2}\right)$'Bisects' means it goes through the midpoint. Average each coordinate.'แบ่งครึ่ง' แปลว่าผ่านจุดกึ่งกลาง · เฉลี่ยทีละพิกัด
2. $M=(3,5)$Write the point down first. This is the starting picture for a straight-line question.เขียนจุดลงไปก่อนเลย นี่คือภาพตั้งต้นของโจทย์เส้นตรง
3. $m_{AB}=\frac{8-2}{5-1}=\frac{3}{2}$Gradient of the line we are cutting.ความชันของเส้นที่เราจะไปตัด
4. $m_{\perp}=-\frac{2}{3}$'Perpendicular' is flip it over and change the sign.'ตั้งฉาก' คือพลิกกลับหัวแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
5. $y-5=-\tfrac{2}{3}(x-3)$Point and gradient straight into $y-y_1=m(x-x_1)$.เอาจุดกับความชันใส่ $y-y_1=m(x-x_1)$ ตรง ๆ
6. $3(y-5)=-2(x-3)$Multiply both sides by $3$. This removes the fraction.คูณ $3$ ทั้งสองข้าง กำจัดเศษส่วนก่อน
7. $3y-15=-2x+6$Expand both brackets.กระจายวงเล็บทั้งสองข้าง
8. $3y-15=-2x+6$$-15$ moves first: write $+15$ under both sides, strike the pair.ย้าย $-15$ ก่อน เขียน $+15$ ใต้ทั้งสองข้าง แล้วขีดฆ่าคู่ที่ตัดกัน
9. $3y=-2x+21$Now $-2x$: same move, written underneath again.ทีนี้ $-2x$ ทำแบบเดียวกัน เขียนไว้ข้างใต้อีกครั้ง
10. $2x+3y=21$Check with $M$: $2(3)+3(5)=21$ ✓ตรวจด้วย $M$: $2(3)+3(5)=21$ ✓

1. A line has gradient $2$. What is the gradient of a line perpendicular to it?เส้นหนึ่งมีความชัน $2$ · เส้นที่ตั้งฉากกับมันมีความชันเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $-\tfrac12$  (negative reciprocal: $m_1m_2=-1$)$-\tfrac12$  (กลับเศษส่วนแล้วติดลบ: $m_1m_2=-1$)Flip the fraction, flip the sign: $m_1=2=\frac{2}{1}$   $m_2=-\frac{1}{2}$   $m_1m_2=-1$พลิกเศษส่วน แล้วสลับเครื่องหมาย: $m_1=2=\frac{2}{1}$   $m_2=-\frac{1}{2}$   $m_1m_2=-1$
2. A point $P$ is the same distance from $A(1,2)$ as from $B(5,4)$. Where can $P$ be?จุด $P$ อยู่ห่างเท่ากันจาก $A(1,2)$ และ $B(5,4)$ · $P$ อยู่ตรงไหนได้บ้าง?
   Answer:เฉลย: A whole line: through the midpoint, perpendicular to $AB$เป็นเส้นทั้งเส้น: ผ่านจุดกึ่งกลาง และตั้งฉากกับ $AB$Equal distances make a whole line: $PA=PB$   $\Rightarrow\ \text{line through }M,\ \perp AB$ระยะเท่ากัน ได้เป็นเส้นทั้งเส้น: $PA=PB$   $\Rightarrow\ \text{line through }M,\ \perp AB$
3. Build it: find the equation of the perpendicular bisector of $A(1,2)$ and $B(5,4)$. Answer as $y=mx+c$.ลงมือสร้าง: หาสมการเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $A(1,2)$ กับ $B(5,4)$ · ตอบในรูป $y=mx+c$
   Answer:เฉลย: $y-3=-2(x-3) \Rightarrow y=-2x+9$Midpoint, flip, point-gradient: $M(3,3)$   $m_{AB}=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ m=-2$   $y-3=-2(x-3)\ \Rightarrow\ y=-2x+9$จุดกึ่งกลาง · พลิกความชัน · จุด-ความชัน: $M(3,3)$   $m_{AB}=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ m=-2$   $y-3=-2(x-3)\ \Rightarrow\ y=-2x+9$

6. The circleวงกลม

All points at distance r from a centre: the distance formula gives a shape.จุดทุกจุดที่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากับ r · สูตรระยะทางให้รูปทรง

1. Collect every point at distance $5$ from $(0,0)$. What shape do they make?รวบรวมจุดทุกจุดที่ห่างจาก $(0,0)$ เท่ากับ $5$ พอดี · ได้รูปอะไร?
   Answer:เฉลย: A circle, radius $5$, centre $(0,0)$วงกลม รัศมี $5$ ศูนย์กลาง $(0,0)$That is the definition: $\text{fixed distance from a fixed centre}$   $\Rightarrow\ \text{circle}$นั่นคือนิยามของวงกลม: $\text{fixed distance from a fixed centre}$   $\Rightarrow\ \text{circle}$
2. $P(x,y)$ is distance $5$ from $(0,0)$. Write down what the distance formula says. Then simplify it into an equation with no square root.$P(x,y)$ ห่างจาก $(0,0)$ เท่ากับ $5$ · เขียนตามสูตรระยะทาง · แล้วจัดรูปให้ไม่มีเครื่องหมายราก
   Answer:เฉลย: $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=5 \;\Rightarrow\; x^{2}+y^{2}=25$The distance formula, squared: $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=5$   $x^{2}+y^{2}=25$ The right-hand side is always $r^{2}$, never $r$.สูตรระยะทาง ยกกำลังสอง: $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=5$   $x^{2}+y^{2}=25$ ข้างขวาคือ $r^{2}$ เสมอ ไม่ใช่ $r$
3. $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=16$.  Where is the centre?$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=16$  ศูนย์กลางอยู่ที่ไหน?
   Answer:เฉลย: $(3,-2)$, radius $4$$(3,-2)$ รัศมี $4$Same sign change as point-gradient: $(x-3)^{2}\ \Rightarrow\ \text{centre }x=3$   $(y+2)^{2}=(y-(-2))^{2}\ \Rightarrow\ \text{centre }y=-2$   $r^{2}=16\ \Rightarrow\ r=4$สลับเครื่องหมายแบบเดียวกับจุด-ความชัน: $(x-3)^{2}\ \Rightarrow\ \text{centre }x=3$   $(y+2)^{2}=(y-(-2))^{2}\ \Rightarrow\ \text{centre }y=-2$   $r^{2}=16\ \Rightarrow\ r=4$
4. The exam hides the brackets: $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$. Complete the square: use the same move as in the Quadratics lesson, once for $x$ and once for $y$. Where is the centre?ข้อสอบซ่อนวงเล็บมา: $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ · จัดกำลังสองสมบูรณ์ · ท่าเดียวกับบท Quadratics ทำกับ $x$ ทีหนึ่ง กับ $y$ ทีหนึ่ง · ศูนย์กลางอยู่ไหน?
   Answer:เฉลย: $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$, centre $(3,-2)$Complete the square, once per letter: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$   $y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4$   $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=12+9+4=25$ทำกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอักษรละครั้ง: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$   $y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4$   $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=12+9+4=25$
5. Same circle: $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$.  What is the radius?วงกลมเดิม: $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$  รัศมีเท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $r=\sqrt{25}=5$The equation ends in $r^{2}$: $r^{2}=25$   $r=\sqrt{25}=5$ Read the number, root it, then write “radius”.สมการจบด้วย $r^{2}$: $r^{2}=25$   $r=\sqrt{25}=5$ อ่านเลขทางขวา ถอดราก แล้วเขียนว่ารัศมี

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

One full 6-mark question, taken apart mark by mark.โจทย์เต็ม 6 คะแนนหนึ่งข้อ แกะดูทีละคะแนน

A 9709-style question, 6 marksโจทย์สไตล์ 9709 · 6 คะแนน

Circle $C$ is given above. First job: complete the square back.วงกลม $C$ คือสมการข้างบน · งานแรก: จัดกำลังสองสมบูรณ์กลับคืน

Tangent and radius meet at 90 degreesเส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีเสมอ

A tangent touches at one point. The tangent at $P$ is perpendicular to the radius $CP$.เส้นสัมผัสแตะวงกลมจุดเดียว · เส้นสัมผัสที่ $P$ ตั้งฉากกับรัศมี $CP$

Tangent to a circle: the radius is line ①เส้นสัมผัสวงกลม: รัศมีคือเส้น ①

The circle only gives you line ①. Multiply by $4$: $3x+4y=35$.วงกลมให้มาแค่เส้น ① · คูณ $4$ ได้ $3x+4y=35$

1. Part (a): $x^{2}+y^{2}-4x-2y-20=0$. Find the centre and radius.  Type the radius.  (2 marks)ข้อ (a): $x^{2}+y^{2}-4x-2y-20=0$ · หาศูนย์กลางและรัศมี  พิมพ์ค่ารัศมี  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25$: centre $(2,1)$, $r=5$2 marks: $\text{M1}\ \ (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=20+4+1$   $\text{A1}\ \ \text{centre }(2,1),\ r=5$ Radius $5$, not $25$: that is the second mark.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=20+4+1$   $\text{A1}\ \ \text{centre }(2,1),\ r=5$ รัศมี $5$ ไม่ใช่ $25$ · นั่นคือคะแนนที่สองทั้งดุ้น
2. Centre $C(2,1)$, point $P(5,5)$, so the radius $CP$ has gradient $\dfrac{5-1}{5-2}=\dfrac43$. The tangent at $P$ has gradient:ศูนย์กลาง $C(2,1)$ จุด $P(5,5)$ ดังนั้นรัศมี $CP$ มีความชัน $\dfrac{5-1}{5-2}=\dfrac43$ · เส้นสัมผัสที่ $P$ มีความชัน:
   Answer:เฉลย: $-\tfrac34$  (check: $\tfrac43\times-\tfrac34=-1$)$-\tfrac34$  (เช็ค: $\tfrac43\times-\tfrac34=-1$)Radius gradient is not the tangent: $m_{CP}=\frac{5-1}{5-2}=\frac{4}{3}$   $m_{\text{tangent}}=-\frac{3}{4}$   $\frac{4}{3}\times\left(-\frac{3}{4}\right)=-1$ความชันรัศมี ไม่ใช่ความชันเส้นสัมผัส: $m_{CP}=\frac{5-1}{5-2}=\frac{4}{3}$   $m_{\text{tangent}}=-\frac{3}{4}$   $\frac{4}{3}\times\left(-\frac{3}{4}\right)=-1$
3. Part (b): find the equation of the tangent to $C$ at $P(5,5)$. Any correct form.  (4 marks)ข้อ (b): หาสมการเส้นสัมผัสของ $C$ ที่ $P(5,5)$ · ตอบรูปไหนก็ได้ที่ถูก  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $y-5=-\tfrac34(x-5) \;\Rightarrow\; 3x+4y=35$4 marks: $\text{B1}\ \ m_{CP}=\frac{4}{3}$   $\text{M1}\ \ m_{\text{tangent}}=-\frac{3}{4}$   $\text{M1}\ \ y-5=-\frac{3}{4}(x-5)$   $\text{A1}\ \ 3x+4y=35$4 คะแนน: $\text{B1}\ \ m_{CP}=\frac{4}{3}$   $\text{M1}\ \ m_{\text{tangent}}=-\frac{3}{4}$   $\text{M1}\ \ y-5=-\frac{3}{4}(x-5)$   $\text{A1}\ \ 3x+4y=35$
4. Exam: The points $A(-1,4)$ and $B(7,6)$ are the ends of a diameter of the circle $C$.
   Find an equation for $C$, giving your answer in the form $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.  (5 marks)ข้อสอบ: จุด $A(-1,4)$ และ $B(7,6)$ เป็นปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $C$
   หาสมการของ $C$ ในรูป $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(x-3)^{2}+(y-5)^{2}=17$5 marks: $\text{M1}\ \ \text{centre}=\text{midpoint}=\left(\frac{-1+7}{2},\frac{4+6}{2}\right)=(3,5)$   $\text{M1}\ \ AB^{2}=8^{2}+2^{2}=68$   $\text{A1}\ \ r^{2}=\frac{68}{4}=17$   $\text{M1}\ \ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$   $\text{A1}\ \ (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=17$ $68$ is the diameter squared. The radius is half of $AB$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{centre}=\text{midpoint}=\left(\frac{-1+7}{2},\frac{4+6}{2}\right)=(3,5)$   $\text{M1}\ \ AB^{2}=8^{2}+2^{2}=68$   $\text{A1}\ \ r^{2}=\frac{68}{4}=17$   $\text{M1}\ \ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$   $\text{A1}\ \ (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=17$ $68$ คือเส้นผ่านศูนย์กลางยกกำลังสอง · รัศมีคือครึ่งหนึ่งของ $AB$
5. The circle $C$ has centre $A(2,3)$, and the point $P(7,5)$ lies on $C$. The line $l$ passes through $P$ and meets $C$ at exactly one point.
   Find an equation for $l$ in the form $ax+by+c=0$, where $a$, $b$ and $c$ are integers.วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลาง $A(2,3)$ และจุด $P(7,5)$ อยู่บน $C$ · เส้นตรง $l$ ผ่าน $P$ และตัดวงกลม $C$ เพียงจุดเดียว
   หาสมการของ $l$ ในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$, $c$ เป็นจำนวนเต็ม
   Answer:เฉลย: $5x+2y-45=0$Ask what the line does: $\text{one point / touches / tangent}\ \Rightarrow\ \perp\ \text{to the radius}$   $\text{through the centre / diameter}\ \Rightarrow\ \text{same gradient}$   $m_{AP}=\frac{5-3}{7-2}=\frac{2}{5}\ \Rightarrow\ m_{l}=-\frac{5}{2}$   $y-5=-\frac{5}{2}(x-7)\ \Rightarrow\ 5x+2y-45=0$   $\text{check}:\ 5(2)+2(3)-45=-29\neq 0$ The centre is not on it, so it is a tangent.ถามว่าเส้นนั้นทำอะไรกับวงกลม: $\text{one point / touches / tangent}\ \Rightarrow\ \perp\ \text{to the radius}$   $\text{through the centre / diameter}\ \Rightarrow\ \text{same gradient}$   $m_{AP}=\frac{5-3}{7-2}=\frac{2}{5}\ \Rightarrow\ m_{l}=-\frac{5}{2}$   $y-5=-\frac{5}{2}(x-7)\ \Rightarrow\ 5x+2y-45=0$   $\text{check}:\ 5(2)+2(3)-45=-29\neq 0$ จุดศูนย์กลางไม่อยู่บนเส้นนี้ · แปลว่าเป็นเส้นสัมผัส

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Write down the centre and radius of $(x-4)^{2}+(y+3)^{2}=36$.
   Answer:เฉลย: centre $(4,-3)$, radius $6$Identical to the drills with new numbers. Both signature traps sit together in one gentle question.เหมือนตอนฝึกทุกอย่าง เปลี่ยนแค่ตัวเลข · กับดักประจำหัวข้อทั้งสองตัวอยู่ในข้อเดียว
2. Find the centre and radius of $x^{2}+y^{2}+6x-7y+9=0$.
   Answer:เฉลย: centre $\left(-3,\tfrac{7}{2}\right)$, radius $\tfrac{7}{2}$Same completing-the-square move, but an odd coefficient gives fractions when halved. The question tests careful working, not the concept.จัดกำลังสองสมบูรณ์ท่าเดิม แต่สัมประสิทธิ์เลขคี่บังคับให้เจอครึ่งที่เป็นเศษส่วน · ข้อนี้ไม่ได้วัดความเข้าใจ วัดความเรียบร้อยของการทด
3. A drone flies straight from station $S(2,3)$ to tower $T(8,11)$; one grid unit is $1$ km. How far does it fly, and above which point is it at the halfway moment?
   Answer:เฉลย: $10$ km; halfway above $(5,7)$New letters and a story instead of plain coordinates. Anyone who memorised 'A and B' freezes here.เปลี่ยนตัวอักษรและเล่าเป็นเรื่อง · ใครท่องมาว่า 'A กับ B' จะค้างตรงนี้
4. Find the points where the line $y=x+1$ meets the circle $x^{2}+y^{2}=25$.
   Answer:เฉลย: $(3,4)$ and $(-4,-3)$Substitute the line into the circle: a quadratic falls out, factorised the same way as Quadratics.แทนเส้นตรงลงในวงกลม แล้วได้สมการกำลังสอง แยกตัวประกอบแบบบท Quadratics
5. $M(4,6)$ is the midpoint of $A(1,2)$ and $B$. Find $B$.
   Answer:เฉลย: $B(7,10)$The formula runs backwards: given the average, find the endpoint. 'Add and halve' alone is not enough.สูตรเดินถอยหลัง: ให้ค่าเฉลี่ยมา หาจุดปลาย · ท่อง 'บวกแล้วหารสอง' อย่างเดียวไม่พอ
6. The circle $C$ has equation $x^{2}+y^{2}-8x+4y+15=0$.  (4 marks) (a)(ก) Find the centre and radius of $C$.  (3 marks) (b)(ข) Show that $P(2,-1)$ lies on $C$, and find the equation of the tangent to $C$ at $P$.
   Answer:เฉลย: (a) centre $(4,-2)$, $r=\sqrt{5}$  (b) $4+1-16-4+15=0$ ✓; tangent $y=2x-5$Full exam structure with a surd radius and a 'show that'. Tests $r$ against $r^{2}$ again.โครงสร้างเต็มรูปแบบ รัศมีติดราก มีคำสั่ง show that · วัดเรื่อง $r$ กับ $r^{2}$ อีกรอบ
7. For the circle $(x-3)^{2}+(y+5)^{2}=16$, a student writes: “centre $(-3,5)$, radius $16$.” Find both mistakes and correct them.
   Answer:เฉลย: centre $(3,-5)$ — the signs flip out of the brackets; radius $\sqrt{16}=4$ — the equation ends in $r^{2}$Marking someone else's work makes you name both signature mistakes of this topic out loud.ตรวจงานคนอื่น บังคับให้พูดกับดักประจำหัวข้อทั้งสองตัวออกมาดังๆ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี