Inequalities: Curves, Fractions & Regionsอสมการ: เส้นโค้ง เศษส่วน และอาณาเขต

A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

Sketch it, then read the answer from the pictureวาดกราฟคร่าว ๆ แล้วอ่านคำตอบจากรูป

$x^2-5x+6\gt0$ gives $x\lt2$ or $x\gt3$.$x^2-5x+6\gt0$ ได้ $x\lt2$ หรือ $x\gt3$

1. Solve $x^2-5x+6\lt0$.แก้ $x^2-5x+6\lt0$
   Answer:เฉลย: $2\lt x\lt3$Below the axis: between the roots: $x^2-5x+6=0$   $(x-2)(x-3)=0$   $x=2$   $x=3$   $2\lt x\lt3$ใต้แกน: อยู่ระหว่างราก: $x^2-5x+6=0$   $(x-2)(x-3)=0$   $x=2$   $x=3$   $2\lt x\lt3$
2. Solve $5-2x\lt11$.แก้ $5-2x\lt11$
   Answer:เฉลย: $x\gt-3$A negative divisor turns the sign: $5-2x\lt11$   $-2x\lt6$   $x\gt-3$ Here it turns $\lt$ into $\gt$.ตัวหารติดลบ เครื่องหมายกลับข้าง: $5-2x\lt11$   $-2x\lt6$   $x\gt-3$ ตรงนี้ $\lt$ กลายเป็น $\gt$

2. Everything on one side firstย้ายมาข้างเดียวก่อน

A curve against a line becomes one curve against zero.เส้นโค้งเทียบเส้นตรง เปลี่ยนเป็นเส้นโค้งเทียบศูนย์

$x^2-2x\lt x+4$ asks where the curve is under the line$x^2-2x\lt x+4$ ถามว่าเส้นโค้งอยู่ใต้เส้นตรงตรงไหน

Collect on one side, then sketch that one curve.ย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว แล้ววาดเส้นโค้งเส้นนั้น

Solve $x^2-2x\lt x+4$แก้ $x^2-2x\lt x+4$

1. $x^2-2x\lt x+4$Take $x$ and $4$ from both sides.ลบ $x$ และ $4$ ทั้งสองข้าง
2. $x^2-3x-4\lt0$One curve against zero now.ตอนนี้เหลือเส้นโค้งเทียบศูนย์
3. $x^2-3x-4=0$Change $\lt$ to $=$ to find the critical values.เปลี่ยน $\lt$ เป็น $=$ เพื่อหาค่าวิกฤต
4. $(x-4)(x+1)=0$Factorise.แยกตัวประกอบ
5. $x=-1$First critical value.ค่าวิกฤตตัวแรก
6. $x=4$Second critical value.ค่าวิกฤตตัวที่สอง
7. $-1\lt x\lt4$$\lt0$ is below the axis, so take the middle.$\lt0$ คือใต้แกน จึงเอาช่วงกลาง

1. $x^2\lt4x+5$. Which first line is right?$x^2\lt4x+5$ · บรรทัดแรกข้อไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $x^2-4x-5\lt0$Both terms cross the sign: $x^2\lt4x+5$   $x^2-4x-5\lt0$ย้ายสองพจน์ข้ามเครื่องหมาย: $x^2\lt4x+5$   $x^2-4x-5\lt0$
2. Solve $x^2\lt4x+5$.แก้ $x^2\lt4x+5$
   Answer:เฉลย: $-1\lt x\lt5$Collect, factorise, take the middle: $x^2-4x-5\lt0$   $(x-5)(x+1)=0$   $x=-1$   $x=5$   $-1\lt x\lt5$ย้ายข้าง แยกตัวประกอบ เอาช่วงกลาง: $x^2-4x-5\lt0$   $(x-5)(x+1)=0$   $x=-1$   $x=5$   $-1\lt x\lt5$
3. Solve $2x^2+x\lt3x+4$.แก้ $2x^2+x\lt3x+4$
   Answer:เฉลย: $-1\lt x\lt2$Divide by $2$ before factorising: $2x^2-2x-4\lt0$   $x^2-x-2\lt0$   $(x-2)(x+1)=0$   $x=-1$   $x=2$   $-1\lt x\lt2$ $2$ is positive, so dividing by it keeps $\lt$.หารด้วย $2$ ก่อนแยกตัวประกอบ: $2x^2-2x-4\lt0$   $x^2-x-2\lt0$   $(x-2)(x+1)=0$   $x=-1$   $x=2$   $-1\lt x\lt2$ $2$ เป็นบวก หารแล้วยังเป็น $\lt$ เหมือนเดิม
4. Solve $x^2+3\gt4x$.แก้ $x^2+3\gt4x$
   Answer:เฉลย: $x\lt1$ or $x\gt3$Above the axis: the two arms: $x^2-4x+3\gt0$   $(x-1)(x-3)=0$   $x=1$   $x=3$   $x\lt1 \text{ or } x\gt3$เหนือแกน: แขนสองข้าง: $x^2-4x+3\gt0$   $(x-1)(x-3)=0$   $x=1$   $x=3$   $x\lt1 \text{ or } x\gt3$

3. $x$ can be negative$x$ ติดลบได้

Multiplying by $x$ is safe only when you know the sign of $x$.คูณด้วย $x$ ได้ ต่อเมื่อรู้ว่า $x$ บวกหรือลบ

$\dfrac{1}{x}\lt2$ is true on both sides of the axis$\dfrac{1}{x}\lt2$ เป็นจริงทั้งสองฝั่งของแกน

Multiplying by $x$ gives $x\gt\tfrac12$ and loses $x\lt0$.คูณด้วย $x$ ได้ $x\gt\tfrac12$ แล้วทำ $x\lt0$ หายไป

1. Multiplying $\dfrac{1}{x}\lt2$ by $x$ gives $x\gt\tfrac12$. Which value shows that answer is not complete?คูณ $\dfrac{1}{x}\lt2$ ด้วย $x$ ได้ $x\gt\tfrac12$ · ค่าไหนแสดงว่าคำตอบนี้ยังไม่ครบ?
   Answer:เฉลย: $x=-1$A negative $x$ also works: $\dfrac{1}{-1}=-1$   $-1\lt2$   $-1\lt\tfrac12$ $x=-1$ fits the question but not the answer, so the answer is wrong.$x$ ติดลบก็ใช้ได้: $\dfrac{1}{-1}=-1$   $-1\lt2$   $-1\lt\tfrac12$ $x=-1$ เข้ากับโจทย์ แต่ไม่เข้ากับคำตอบ · คำตอบจึงผิด
2. Case $x\lt0$: multiply $\dfrac{1}{x}\lt2$ by $x$. Which line is right?กรณี $x\lt0$: คูณ $\dfrac{1}{x}\lt2$ ด้วย $x$ · บรรทัดไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $1\gt2x$Negative multiplier, sign turns round: $\dfrac{1}{x}\lt2$   $1\gt2x$   $x\lt\tfrac12$ Every $x\lt0$ is under $\tfrac12$, so the whole branch works.คูณด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายกลับข้าง: $\dfrac{1}{x}\lt2$   $1\gt2x$   $x\lt\tfrac12$ ทุก $x\lt0$ ต่ำกว่า $\tfrac12$ อยู่แล้ว กิ่งนี้จึงใช้ได้ทั้งกิ่ง
3. Solve $\dfrac{6}{x}\gt3$.แก้ $\dfrac{6}{x}\gt3$
   Answer:เฉลย: $0\lt x\lt2$One branch only this time: $x\gt0$   $6\gt3x$   $x\lt2$   $0\lt x\lt2$ For $x\lt0$ the left side is negative, so it is never over $3$.คราวนี้ใช้ได้กิ่งเดียว: $x\gt0$   $6\gt3x$   $x\lt2$   $0\lt x\lt2$ ถ้า $x\lt0$ ข้างซ้ายติดลบ จึงไม่มีทางมากกว่า $3$

4. One fraction, then a sign tableรวมเป็นเศษส่วนเดียว แล้วทำตารางเครื่องหมาย

Collect into one fraction. Its sign changes only at the critical values.รวมเป็นเศษส่วนเดียว · เครื่องหมายเปลี่ยนได้แค่ที่ค่าวิกฤต

$\dfrac{3-2x}{x}$ changes sign at $0$ and at $\tfrac32$$\dfrac{3-2x}{x}$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่ $0$ และ $\tfrac32$

The fraction is negative where the two signs differ.เศษส่วนติดลบตรงที่เครื่องหมายสองแถวต่างกัน

Solve $\dfrac{3}{x}\lt2$แก้ $\dfrac{3}{x}\lt2$

1. $\dfrac{3}{x}\lt2$Take $2$ from both sides. Never multiply by $x$.ลบ $2$ ทั้งสองข้าง · ห้ามคูณด้วย $x$
2. $\dfrac{3}{x}-2\lt0$The left side becomes one fraction.ข้างซ้ายรวมเป็นเศษส่วนเดียว
3. $\dfrac{3-2x}{x}\lt0$The common denominator is $x$.ตัวส่วนร่วมคือ $x$
4. $3-2x=0$The numerator is zero here.ตัวเศษเป็นศูนย์ตรงนี้
5. $x=\tfrac32$First critical value.ค่าวิกฤตตัวแรก
6. $x=0$Second critical value, from the denominator.ค่าวิกฤตตัวที่สอง มาจากตัวส่วน
7. $x\lt0 \text{ or } x\gt\tfrac32$The two negative columns of the table.สองคอลัมน์ที่ติดลบในตาราง

1. Write $\dfrac{5}{x}-1$ as one fraction.เขียน $\dfrac{5}{x}-1$ เป็นเศษส่วนเดียว
   Answer:เฉลย: $\dfrac{5-x}{x}$Common denominator $x$: $\dfrac{5}{x}-1$   $=\dfrac{5}{x}-\dfrac{x}{x}$   $=\dfrac{5-x}{x}$ตัวส่วนร่วมคือ $x$: $\dfrac{5}{x}-1$   $=\dfrac{5}{x}-\dfrac{x}{x}$   $=\dfrac{5-x}{x}$
2. Solve $\dfrac{5}{x}\gt1$.แก้ $\dfrac{5}{x}\gt1$
   Answer:เฉลย: $0\lt x\lt5$Positive where both signs agree: $\dfrac{5}{x}-1\gt0$   $\dfrac{5-x}{x}\gt0$   $x=0$   $x=5$   $0\lt x\lt5$ Between $0$ and $5$ the numerator and the denominator are both positive.เป็นบวกตรงที่เครื่องหมายเหมือนกัน: $\dfrac{5}{x}-1\gt0$   $\dfrac{5-x}{x}\gt0$   $x=0$   $x=5$   $0\lt x\lt5$ ระหว่าง $0$ ถึง $5$ ตัวเศษและตัวส่วนเป็นบวกทั้งคู่
3. Solve $\dfrac{4}{x}\le2$. Which set is right?แก้ $\dfrac{4}{x}\le2$ · เซตไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $\{x : x\lt0\}\cup\{x : x\ge2\}$$x=0$ stays out of the set: $\dfrac{4-2x}{x}\le0$   $x=0$   $x=2$   $x\lt0 \text{ or } x\ge2$ $\le$ keeps $x=2$, but $x=0$ can never be in the answer.$x=0$ ไม่อยู่ในเซต: $\dfrac{4-2x}{x}\le0$   $x=0$   $x=2$   $x\lt0 \text{ or } x\ge2$ $\le$ เก็บ $x=2$ ไว้ แต่ $x=0$ อยู่ในคำตอบไม่ได้เลย

5. Shade a region under a curveแรเงาเขตที่มีเส้นโค้งเป็นขอบ

The curve is the boundary. One test point picks the side.เส้นโค้งคือขอบเขต · จุดทดสอบจุดเดียวเลือกฝั่ง

$y\gt x^2-4x+3$ is one side of the curve$y\gt x^2-4x+3$ คือฝั่งหนึ่งของเส้นโค้ง

Dashed curve for $\gt$ and $\lt$. Solid for $\ge$ and $\le$.เส้นประใช้กับ $\gt$ และ $\lt$ · เส้นทึบใช้กับ $\ge$ และ $\le$

Shade $y\gt x^2-4x+3$แรเงา $y\gt x^2-4x+3$

1. $y\gt x^2-4x+3$Draw the boundary first.วาดขอบเขตก่อน
2. $y=x^2-4x+3$The roots $1$ and $3$ place the curve.ราก $1$ กับ $3$ บอกตำแหน่งเส้นโค้ง
3. $(0,0):\ 0\gt3$Test the origin, because it is not on the curve.ทดสอบด้วยจุดกำเนิด เพราะไม่ได้อยู่บนเส้นโค้ง
4. $0\gt3 \text{ is false}$So shade the other side of the curve.จึงแรเงาเส้นโค้งอีกฝั่งหนึ่ง

1. Which inequality is shaded?ส่วนที่แรเงาแทนอสมการไหน?
   Answer:เฉลย: $y\le x^2-2x-3$Test point out, boundary in: $(1,0):\ 1-2-3=-4$   $0\le-4 \text{ is false}$   $y\le x^2-2x-3$จุดทดสอบอยู่นอก ขอบอยู่ใน: $(1,0):\ 1-2-3=-4$   $0\le-4 \text{ is false}$   $y\le x^2-2x-3$
2. Is the point $(1,5)$ in the region $y\gt x^2+2$?จุด $(1,5)$ อยู่ในเขต $y\gt x^2+2$ ไหม?
   Answer:เฉลย: $5\gt3$, so yesSubstitute both coordinates: $x^2+2=1+2$   $=3$   $5\gt3$แทนค่าทั้งสองพิกัด: $x^2+2=1+2$   $=3$   $5\gt3$
3. $y\ge4-x^2$ is drawn. Testing $(0,0)$ gives $0\ge4$: false. Which picture is right?วาด $y\ge4-x^2$ · แทน $(0,0)$ ได้ $0\ge4$ ซึ่งเป็นเท็จ · รูปไหนถูก?
   Answer:เฉลย: Solid curve, and shade the side away from $(0,0)$เส้นทึบ และแรเงาฝั่งตรงข้าม $(0,0)$Two clues, two decisions: $y\ge4-x^2$   $(0,0):\ 0\ge4$   $\text{false}$ $4-x^2$ is a maximum curve, so the shaded side is above it.สองเบาะแส สองการตัดสินใจ: $y\ge4-x^2$   $(0,0):\ 0\ge4$   $\text{false}$ $4-x^2$ เป็นเส้นโค้งคว่ำ ฝั่งที่แรเงาจึงอยู่เหนือเส้น

6. A line and a curve togetherเส้นตรงกับเส้นโค้งพร้อมกัน

Two boundaries, two tests, and the overlap is the region.ขอบสองเส้น ทดสอบสองครั้ง · ส่วนที่ซ้อนกันคือเขตที่ต้องการ

$y\ge x^2$ and $y\le x+2$ overlap between the crossings$y\ge x^2$ กับ $y\le x+2$ ซ้อนกันระหว่างจุดตัด

The region runs from $x=-1$ to $x=2$.เขตนี้กินตั้งแต่ $x=-1$ ถึง $x=2$

1. Which point is in the region $y\ge x^2$ and $y\le x+2$?จุดไหนอยู่ในเขต $y\ge x^2$ และ $y\le x+2$?
   Answer:เฉลย: $(0,1)$A point must pass both tests: $(0,1):\ 1\ge0$   $1\le2$จุดต้องผ่านทั้งสองเงื่อนไข: $(0,1):\ 1\ge0$   $1\le2$
2. The boundaries meet where $x^2=x+2$. Find both values of $x$.ขอบสองเส้นพบกันตรงที่ $x^2=x+2$ · หาค่า $x$ ทั้งสองค่า
   Answer:เฉลย: $x=-1$ or $x=2$Same first move as level 1: $x^2=x+2$   $x^2-x-2=0$   $(x-2)(x+1)=0$   $x=-1$   $x=2$ท่าแรกเหมือนขั้นที่ 1: $x^2=x+2$   $x^2-x-2=0$   $(x-2)(x+1)=0$   $x=-1$   $x=2$
3. The region also has $x\ge0$. Which values of $x$ does it cover now?เขตนี้มีเงื่อนไข $x\ge0$ เพิ่มมา · ตอนนี้กินค่า $x$ ช่วงไหน?
   Answer:เฉลย: $0\le x\le2$Three boundaries, one overlap: $x\ge0$   $-1\le x\le2$   $0\le x\le2$ขอบสามเส้น ส่วนซ้อนกันส่วนเดียว: $x\ge0$   $-1\le x\le2$   $0\le x\le2$

7. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง

"Find the set of values" wants ranges, not roots"หาเซตของค่า" ต้องการช่วง ไม่ใช่ราก

Two ranges are joined by or, never by a chain.สองช่วงต่อกันด้วยคำว่า or · ห้ามเขียนเป็นสายเดียว

1. Exam:  (6 marks)ข้อสอบ:  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $x\lt0$ or $x\gt5$6 marks: $\text{M1}\quad x^2+2x\gt3x+6$   $\text{M1}\quad (x-3)(x+2)\gt0$   $\text{A1}\quad x\lt-2 \text{ or } x\gt3$   $\text{M1}\quad \dfrac{5-x}{x}\lt0$   $\text{M1}\quad x=0,\ x=5$   $\text{A1}\quad x\lt0 \text{ or } x\gt5$ Each A1 is lost when the two ranges are written as one chain.6 คะแนน: $\text{M1}\quad x^2+2x\gt3x+6$   $\text{M1}\quad (x-3)(x+2)\gt0$   $\text{A1}\quad x\lt-2 \text{ or } x\gt3$   $\text{M1}\quad \dfrac{5-x}{x}\lt0$   $\text{M1}\quad x=0,\ x=5$   $\text{A1}\quad x\lt0 \text{ or } x\gt5$ A1 แต่ละข้อหายไป ถ้าเขียนสองช่วงติดกันเป็นสายเดียว
2. Exam: On the grid, shade the region that satisfies $y\ge x^2-4$, $y\le x+2$ and $x\ge0$. Which region is it? (3 marks)ข้อสอบ: บนกริด แรเงาเขตที่สอดคล้องกับ $y\ge x^2-4$ · $y\le x+2$ · $x\ge0$ · เขตไหน? (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $A$3 marks: $\text{B1}\quad y\ge x^2-4$   $\text{B1}\quad y\le x+2$   $\text{B1}\quad x\ge0$ Every inequality here keeps its boundary, so all three lines are solid.3 คะแนน: $\text{B1}\quad y\ge x^2-4$   $\text{B1}\quad y\le x+2$   $\text{B1}\quad x\ge0$ อสมการทุกข้อตรงนี้รวมขอบ · เส้นทั้งสามจึงเป็นเส้นทึบ
3. Exam: Find the set of values of $x$ for which $x^2\lt5x$ and $x^2\gt4$. (3 marks)ข้อสอบ: หาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $x^2\lt5x$ และ $x^2\gt4$ (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $2\lt x\lt5$3 marks: $\text{M1}\quad x(x-5)\lt0 \Rightarrow 0\lt x\lt5$   $\text{M1}\quad x\lt-2 \text{ or } x\gt2$   $\text{A1}\quad 2\lt x\lt5$ The word and means the overlap, so only $2\lt x\lt5$ survives.3 คะแนน: $\text{M1}\quad x(x-5)\lt0 \Rightarrow 0\lt x\lt5$   $\text{M1}\quad x\lt-2 \text{ or } x\gt2$   $\text{A1}\quad 2\lt x\lt5$ คำว่า and คือช่วงที่ซ้อนกัน · เหลือแค่ $2\lt x\lt5$

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Find the set of values of $x$ for which $x^2\lt2x+8$.
   Answer:เฉลย: $-2\lt x\lt4$Collect first: $x^2-2x-8\lt0$, so $(x-4)(x+2)\lt0$.ย้ายข้างก่อน: $x^2-2x-8\lt0$ ได้ $(x-4)(x+2)\lt0$
2. Find the set of values of $x$ for which $3x^2\lt11x+4$.
   Answer:เฉลย: $-\tfrac13\lt x\lt4$A front coefficient: $(3x+1)(x-4)\lt0$.มีสัมประสิทธิ์หน้า: $(3x+1)(x-4)\lt0$
3. Find the set of values of $x$ for which $\dfrac{8}{x}\ge2$.
   Answer:เฉลย: $0\lt x\le4$One fraction, then critical values $0$ and $4$.รวมเป็นเศษส่วนเดียว แล้วหาค่าวิกฤต $0$ กับ $4$
4. $f(x)=x^2-6x+11$.  Find the set of values of $x$ for which $f(x)\lt2x-1$.
   Answer:เฉลย: $2\lt x\lt6$Function notation first: $x^2-8x+12\lt0$.เริ่มจากสัญลักษณ์ฟังก์ชัน: $x^2-8x+12\lt0$
5. The solution of $x^2+bx+c\lt0$ is $-3\lt x\lt5$.  Find $b$ and $c$.
   Answer:เฉลย: $b=-2$ and $c=-15$The ends are the roots, so build $(x+3)(x-5)$.ปลายทั้งสองคือราก · สร้าง $(x+3)(x-5)$ ขึ้นมา
6. On the grid, shade the region that satisfies $y\le9-x^2$, $y\ge x+3$ and $x\le0$.
   Answer:เฉลย: the region between the line and the curve, from $x=-3$ to $x=0$; all three boundaries solidThe boundaries meet at $x=-3$ and $x=2$. Then $x\le0$ cuts it.ขอบพบกันที่ $x=-3$ และ $x=2$ · แล้ว $x\le0$ ตัดอีกที

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี