Seriesอนุกรม

A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 (P1) · Edexcel IAL: WMA12 (P2) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A term from a rule, and a sum by pairingหาพจน์จากสูตร กับหาผลบวกด้วยการจับคู่

Panel 2 as a formula: $S_n=\dfrac{n}{2}(a+l)$.ช่อง 2 เขียนเป็นสูตร: $S_n=\dfrac{n}{2}(a+l)$

Add these ten without adding one by oneบวกสิบตัวนี้ โดยไม่บวกทีละตัว

Do not add yet. Look at the first number and the last number.ยังไม่ต้องบวก · ดูตัวแรกกับตัวสุดท้ายก่อน

Fold the line in halfพับเส้นนี้ครึ่งหนึ่ง

Every pair is worth the same 11. The only thing left: how many pairs do ten numbers make?ทุกคู่มีค่าเท่ากันหมดคือ 11 · เหลืออย่างเดียว: เลขสิบตัวจับได้กี่คู่?

1. IGCSE rule for a sequence: $T(n)=3n+2$.  Find $T(6)$.กฎของ sequence แบบ IGCSE: $T(n)=3n+2$  หา $T(6)$
   Answer:เฉลย: $T(6)=20$Substitute, like $f(2)$: $T(6)=3(6)+2$   $=18+2=20$ Use every formula in this lesson like this.แทนค่า เหมือน $f(2)$: $T(6)=3(6)+2$   $=18+2=20$ ใช้สูตรทุกตัวในบทนี้แบบนี้
2. Every pair adds to $11$. So what is $1+2+3+\dots+10$?ทุกคู่บวกกันได้ $11$ · แล้ว $1+2+3+\dots+10$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $5\times11=55$Five pairs, each worth $11$: $1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11$   $10\text{ numbers}\ \Rightarrow\ 5\text{ pairs}$   $5\times 11=55$ This pairing move becomes the AP sum formula.ห้าคู่ คู่ละ $11$: $1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11$   $10\text{ numbers}\ \Rightarrow\ 5\text{ pairs}$   $5\times 11=55$ ท่าจับคู่นี้ · เดี๋ยวจะกลายเป็นสูตรผลบวก AP

2. Same list, new nameลิสต์เดิม ชื่อใหม่

Series = the terms added. Sigma means: add the terms in turn.อนุกรม = เอาพจน์มาบวกกัน ซิกม่าหมายถึง บวกพจน์ทีละตัวตามลำดับ

Where does a rule like $3n+2$ come from?กฎอย่าง $3n+2$ มาจากไหน?

A list added up is a series. First, read the rule off the list.ลิสต์ที่เอามาบวกกันเรียกว่าอนุกรม (series) · ก่อนอื่น อ่านกฎออกจากลิสต์

Put them in rows and find the gapวางเทียบกัน แล้วหาช่องว่าง

Every row is short by $2$, so add $2$: $T(n)=3n+2$. Check: $T(1)=3+2=5$ ✓ทุกแถวขาด $2$ เท่ากัน · บวก $2$: $T(n)=3n+2$ · ตรวจ: $T(1)=3+2=5$ ✓

Same list, counted in jumpsลิสต์เดิม แต่นับเป็นจำนวนครั้งที่กระโดด

Jumps = term number minus one. That is the $(n-1)$.จำนวนก้าว = เลขพจน์ลบหนึ่ง · ที่มาของ $(n-1)$

1. The jump is $3$, so the rule is built on $3n$. Write the first four terms of $3n$  ($n=1,2,3,4$).กระโดดทีละ $3$ กฎจึงสร้างจาก $3n$ · เขียนสี่พจน์แรกของ $3n$  ($n=1,2,3,4$)
   Answer:เฉลย: $3,\;6,\;9,\;12$This is the skeleton of the rule. Next slide lines it up against the real list.นี่คือโครงของกฎ · สไลด์ถัดไปจะเอาไปวางเทียบกับลิสต์จริง
2. Now one that goes down: $\;20,\;17,\;14,\;11,\dots$  Find $T(n)$.คราวนี้ลิสต์ที่ลดลง: $\;20,\;17,\;14,\;11,\dots$  หา $T(n)$
   Answer:เฉลย: $T(n)=23-3n$Same two moves as before. Only the sign of $d$ changes.สองท่าเดิม · เปลี่ยนแค่เครื่องหมายของ $d$
3. For $5, 8, 11, 14, \dots$ use $u_n=a+(n-1)d$ to find $u_{10}$.สำหรับ $5, 8, 11, 14, \dots$ ใช้ $u_n=a+(n-1)d$ หา $u_{10}$
   Answer:เฉลย: $u_{10}=5+9\times3=32$Same formula, different clothes: $u_{10}=a+(n-1)d=5+9\times 3=32$   $T(10)=3(10)+2=32$สูตรเดียวกัน แค่คนละหน้าตา: $u_{10}=a+(n-1)d=5+9\times 3=32$   $T(10)=3(10)+2=32$
4. Evaluate $\displaystyle\sum_{n=1}^{4}(3n+2)$.หาค่า $\displaystyle\sum_{n=1}^{4}(3n+2)$
   Answer:เฉลย: $5+8+11+14=38$This is substitution done many times. The rest of the lesson finds shortcuts for that adding.นี่คือการแทนค่าหลายรอบ · ที่เหลือของบทนี้คือหาทางลัดของการบวกแบบนี้

3. Add them like Gaussบวกแบบเกาส์

Pair first with last. The AP sum formula is that method as a formula.จับคู่หัวกับท้าย · สูตรผลบวก AP คือวิธีตอนวอร์มอัพเขียนเป็นสูตร

Sum = (number of pairs) × (one pair)ผลบวก = (จำนวนคู่) × (ค่าหนึ่งคู่)

$a=3$, $d=4$: add the first 20 terms$a=3$, $d=4$: บวก 20 พจน์แรก

1. ${S_{n}=\frac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)}$Gauss's pairing trick, written once and for all.ทริกจับคู่ของเกาส์ เขียนเป็นสูตรทีเดียวจบ
2. $S_{20}=\frac{20}{2}\big(2(3)+19(4)\big)$$n-1=19$, not $20$. That one is worth a mark on its own.$n-1=19$ ไม่ใช่ $20$ · ตรงนี้คะแนนหายได้เลย
3. $S_{20}=10(6+76)$Inside the bracket first.คิดในวงเล็บก่อน
4. $S_{20}=10\times82=820$Check with the other form: last term $=3+19(4)=79$, and $\tfrac{20}{2}(3+79)=820$ ✓ตรวจด้วยอีกสูตร: พจน์สุดท้าย $=3+19(4)=79$ และ $\tfrac{20}{2}(3+79)=820$ ✓

1. Nine-year-old Gauss was told to add $1+2+\dots+100$. He paired the ends: $1+100=101$, $2+99=101$, … every pair totals $101$. How many pairs are there?เกาส์ตอนเก้าขวบโดนสั่งให้บวก $1+2+\dots+100$ เขาจับคู่หัวท้าย: $1+100=101$, $2+99=101$, … ทุกคู่รวมได้ $101$ ถามว่ามีกี่คู่?
   Answer:เฉลย: $50$ pairs $\Rightarrow S=5050$Pairs $\frac n2$, each pair $a+l$: $\text{pairs}=\frac{n}{2}$   $\text{one pair}=a+l$   $S_n=\frac{n}{2}(a+l)$จำนวนคู่ $\frac n2$ · คู่ละ $a+l$: $\text{pairs}=\frac{n}{2}$   $\text{one pair}=a+l$   $S_n=\frac{n}{2}(a+l)$
2. AP: $a=5$, $d=3$.  Find $S_{20}$.AP: $a=5$, $d=3$  หา $S_{20}$
   Answer:เฉลย: $S_{20}=\tfrac{20}{2}(10+19\times3)=10\times67=670$Ten pairs of $67$: $S_{20}=\frac{20}{2}\big(2\times 5+19\times 3\big)$   $=10\times 67=670$ Write that line for the method mark. Examiners look for the $\frac n2$.สิบคู่ คู่ละ $67$: $S_{20}=\frac{20}{2}\big(2\times 5+19\times 3\big)$   $=10\times 67=670$ เขียนบรรทัดนั้นคือคะแนนวิธีทำ · กรรมการดูที่ $\frac n2$

4. Multiply instead of addเปลี่ยนบวกเป็นคูณ

One change: each step multiplies by r instead of adding d.เปลี่ยนอย่างเดียว: แต่ละก้าวคูณ r แทนที่จะบวก d

1. New sequence: $3,\;6,\;12,\;24,\;\dots$  What is the rule?sequence ตัวใหม่: $3,\;6,\;12,\;24,\;\dots$  กฎคืออะไร?
   Answer:เฉลย: multiply by $2$ each stepคูณ $2$ ทุกก้าวOne change here: the sequence multiplies instead of adding. That kind is called geometric, with ratio $r$.เปลี่ยนอย่างเดียว: sequence นี้คูณแทนที่จะบวก · แบบนี้เรียกว่า geometric มี ratio $r$
2. GP: $a=5$, $r=3$.  Which is the 4th term?GP: $a=5$, $r=3$  พจน์ที่ 4 คืออันไหน?
   Answer:เฉลย: $u_4=5\times3^{3}=135$Same $n-1$ story both times: an AP does $n-1$ additions, a GP does $n-1$ multiplications.เรื่อง $n-1$ เหมือนกันทั้งสองแบบ: AP บวก $n-1$ ครั้ง · GP คูณ $n-1$ ครั้ง
3. Which of these is geometric?ชุดไหนเป็น geometric?
   Answer:เฉลย: $4, 12, 36$ — ratio $3$ at both steps$4, 12, 36$ — ratio $3$ ทั้งสองก้าวTest by dividing, not subtracting: $\text{GP}:\ \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}$   $\text{AP}:\ u_2-u_1=u_3-u_2$   $\frac{12}{4}=\frac{36}{12}=3$ Exams give three algebraic terms and ask for this equation.ตรวจด้วยการหาร ไม่ใช่การลบ: $\text{GP}:\ \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}$   $\text{AP}:\ u_2-u_1=u_3-u_2$   $\frac{12}{4}=\frac{36}{12}=3$ ข้อสอบชอบให้สามพจน์เป็นตัวแปร แล้วให้ตั้งสมการนี้

5. Sum the multiplying kindบวกพวกที่คูณ

Multiply and subtract. The middle terms cancel. Then reverse it to find n.คูณแล้วลบ ตรงกลางหักล้างหมด · แล้วย้อนกลับไปหา n

The GP sum formulaสูตรผลบวก GP

$r\gt1$: use $r^{\,n}-1$. $r\lt1$: use $1-r^{\,n}$. Fewer minus signs.$r\gt1$ ใช้ $r^{\,n}-1$ · $r\lt1$ ใช้ $1-r^{\,n}$ · เครื่องหมายลบน้อยกว่า

1. Gauss pairing does not work here: GP pairs do not all add to the same total. New method: $S=3+6+12+24$. Multiply everything by the ratio: $2S=6+12+24+48$. Now subtract: $2S-S=\,?$ (a number)จับคู่แบบเกาส์ใช้ไม่ได้แล้ว · คู่ของ GP บวกแล้วได้ไม่เท่ากันทุกคู่ · วิธีใหม่: $S=3+6+12+24$ · คูณทั้งก้อนด้วย ratio: $2S=6+12+24+48$ · แล้วจับลบกัน: $2S-S=\,?$ (ตอบเป็นตัวเลข)
   Answer:เฉลย: $2S-S=48-3=45$Middle terms all cancel: $S=3+6+12+24$   $2S=6+12+24+48$   $2S-S=48-3$   $S=45$ The same move with letters gives the GP sum formula.พจน์กลางตัดกันหมด: $S=3+6+12+24$   $2S=6+12+24+48$   $2S-S=48-3$   $S=45$ ท่าเดียวกันแต่ใช้ตัวแปร · จะได้สูตรผลบวก GP
2. GP: $a=3$, $r=2$.  Find $S_6$.GP: $a=3$, $r=2$  หา $S_6$
   Answer:เฉลย: $S_6=\dfrac{3(2^{6}-1)}{2-1}=3\times63=189$Term $r^{n-1}$, sum $r^{n}$: $u_n=ar^{\,n-1}$   $S_n=\frac{a(r^{\,n}-1)}{r-1}$   $S_6=\frac{3(2^{6}-1)}{2-1}=189$ Swapping those two powers is where the marks go in this topic.พจน์ใช้ $r^{n-1}$ · ผลบวกใช้ $r^{n}$: $u_n=ar^{\,n-1}$   $S_n=\frac{a(r^{\,n}-1)}{r-1}$   $S_6=\frac{3(2^{6}-1)}{2-1}=189$ สลับสองกำลังนี้ · คือจุดที่เสียคะแนนมากที่สุดในบทนี้
3. Reverse it: a GP has $a=2$, $r=3$ and $S_n=242$. Find $n$.ย้อนทิศ: GP มี $a=2$, $r=3$ และ $S_n=242$ หา $n$
   Answer:เฉลย: $3^{n}-1=242 \Rightarrow 3^{n}=243=3^{5} \Rightarrow n=5$Make $3^{n}$ the subject first: $\frac{2(3^{n}-1)}{3-1}=242$   $3^{n}-1=242$   $3^{n}=243=3^{5}$   $n=5$จัดให้เหลือ $3^{n}$ ก่อน: $\frac{2(3^{n}-1)}{3-1}=242$   $3^{n}-1=242$   $3^{n}=243=3^{5}$   $n=5$

6. Add foreverบวกไปถึงอนันต์

When the ratio is small, an endless sum settles to a number.ถ้า ratio เล็กพอ ผลบวกไม่รู้จบจะนิ่งอยู่ที่ค่าหนึ่ง

1. $r=\tfrac12$. What happens to $r^{\,n}$ as $n$ grows: $\left(\tfrac12\right)^{2},\;\left(\tfrac12\right)^{5},\;\left(\tfrac12\right)^{10},\dots$?$r=\tfrac12$ · $r^{\,n}$ จะเป็นยังไงเมื่อ $n$ โตขึ้นเรื่อยๆ: $\left(\tfrac12\right)^{2},\;\left(\tfrac12\right)^{5},\;\left(\tfrac12\right)^{10},\dots$?
   Answer:เฉลย: $r^{\,n}\to0$ when $|r|\lt 1$$r^{\,n}\to0$ เมื่อ $|r|\lt 1$When $|r|\lt 1$, the $r^{\,n}$ inside the sum formula shrinks to zero as $n$ grows. Look at what is left.เมื่อ $|r|\lt 1$ เจ้า $r^{\,n}$ ในสูตรผลบวกจะหดเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ $n$ โตขึ้น · ดูสิว่าเหลืออะไร
2. $8+4+2+1+\tfrac12+\dots$  ($a=8$, $r=\tfrac12$). Find $S_\infty$.$8+4+2+1+\tfrac12+\dots$  ($a=8$, $r=\tfrac12$) หา $S_\infty$
   Answer:เฉลย: $S_\infty=\dfrac{8}{1-\tfrac12}=16$The total creeps up to $16$: $S_\infty=\frac{8}{1-\tfrac12}=16$   $8,\ 12,\ 14,\ 15,\ 15.5,\ \ldots\ \to\ 16$ผลรวมไต่ขึ้นไปหยุดที่ $16$: $S_\infty=\frac{8}{1-\tfrac12}=16$   $8,\ 12,\ 14,\ 15,\ 15.5,\ \ldots\ \to\ 16$
3. GP: $a=5$, $r=1.2$. A student writes $S_\infty=\dfrac{5}{1-1.2}=-25$. Mark it.GP: $a=5$, $r=1.2$ · นักเรียนคนหนึ่งเขียน $S_\infty=\dfrac{5}{1-1.2}=-25$ ช่วยตรวจหน่อย
   Answer:เฉลย: no sum to infinity — $|r|\ge 1$ไม่มีผลบวกถึงอนันต์ — $|r|\ge 1$Check $|r|\lt 1$ first: $r=1.2\ \Rightarrow\ |r|\ge 1$   $\text{positive terms}\ \Rightarrow\ \text{total}\gt 0$   $-25\ \text{is impossible}$   $\text{no }S_\infty$ Write '$|r|\lt 1$, so $S_\infty$ exists' before you use the formula.ตรวจ $|r|\lt 1$ ก่อนเสมอ: $r=1.2\ \Rightarrow\ |r|\ge 1$   $\text{positive terms}\ \Rightarrow\ \text{total}\gt 0$   $-25\ \text{is impossible}$   $\text{no }S_\infty$ เขียน '$|r|\lt 1$ ดังนั้น $S_\infty$ มีอยู่' ก่อนใช้สูตร

7. Powers of a bracketกระจายวงเล็บยกกำลัง

Pascal's triangle builds the coefficients row by row; nCr jumps straight to any one of them.สามเหลี่ยมพาสคาลสร้างสัมประสิทธิ์ทีละแถว · nCr กระโดดไปหยิบตัวที่ต้องการได้เลย

You already know the first rowsแถวแรกๆ รู้อยู่แล้ว

The coefficients stack into Pascal's triangle. Each number is the sum of the two above.สัมประสิทธิ์เรียงเป็นสามเหลี่ยมพาสคาล · แต่ละตัวคือผลบวกของสองตัวข้างบน

1. The row for power $3$ is $1,\;3,\;3,\;1$. What is the row for power $4$?แถวของกำลัง $3$ คือ $1,\;3,\;3,\;1$ แล้วแถวของกำลัง $4$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $1,\;4,\;6,\;4,\;1$Pascal works, but not to $12$: $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$   $(\ldots)^{12}\ \Rightarrow\ 13\text{ rows to build}$ We need a way to jump straight to one entry.พาสคาลใช้ได้ แต่ไปถึง $12$ ไม่ไหว: $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$   $(\ldots)^{12}\ \Rightarrow\ 13\text{ rows to build}$ ต้องมีวิธีกระโดดไปหยิบตัวเดียวเลย
2. Find the coefficient of $x^{3}$ in $(1+x)^{6}$.หาสัมประสิทธิ์ของ $x^{3}$ ใน $(1+x)^{6}$
   Answer:เฉลย: $\binom63=20$Powers of $1$ disappear: $(1+x)^{6}:\ \binom{6}{3}1^{3}x^{3}$   $1^{3}=1$   $\text{coefficient}=\binom{6}{3}=20$ If the first number is not $1$, its power multiplies in too.กำลังของ $1$ หายไปหมด: $(1+x)^{6}:\ \binom{6}{3}1^{3}x^{3}$   $1^{3}=1$   $\text{coefficient}=\binom{6}{3}=20$ ถ้าตัวหน้าไม่ใช่ $1$ · กำลังของมันเป็นตัวคูณด้วย
3. Expand $(x-2)^{3}$. What is the $x^{2}$ term?กระจาย $(x-2)^{3}$ · พจน์ $x^{2}$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $-6x^{2}$Keep the $-2$ in brackets: $(x-2)^3=\big(x+(-2)\big)^3$   $\binom{3}{1}x^{2}(-2)^{1}=-6x^{2}$   $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$ Signs alternate $+,-,+,-$. Use this as a check.ใส่วงเล็บให้ $-2$ ทุกครั้ง: $(x-2)^3=\big(x+(-2)\big)^3$   $\binom{3}{1}x^{2}(-2)^{1}=-6x^{2}$   $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$ เครื่องหมายสลับ $+,-,+,-$ · ใช้ตรวจได้ฟรี
4. Exam: $(2+x)^{4}$ and $(1+3x)(2+x)^{4}$.  (4 marks)ข้อสอบ: $(2+x)^{4}$ และ $(1+3x)(2+x)^{4}$  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: (a) $16+32x+24x^{2}+\dots$   (b) $1\times24+3\times32=120$4 marks: $\text{M1}\ \ \binom{4}{r}\,2^{\,4-r}x^{r}$   $\text{M2}\ \ (2+x)^4=16+32x+24x^{2}+\ldots$   $\text{M3}\ \ x^{2}:\ 1\times 24\ \text{and}\ 3\times 32$   $\text{A1}\ \ 24+96=120$ Using only one of the two products loses the last two marks.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \binom{4}{r}\,2^{\,4-r}x^{r}$   $\text{M2}\ \ (2+x)^4=16+32x+24x^{2}+\ldots$   $\text{M3}\ \ x^{2}:\ 1\times 24\ \text{and}\ 3\times 32$   $\text{A1}\ \ 24+96=120$ ใช้ผลคูณแค่อันเดียวจากสองอัน · เสียสองคะแนนท้าย
5. Exam: In the expansion of $(2+ax)^{6}$, where $a$ is a constant, the coefficient of $x^{2}$ is $960$.
   Find the possible values of $a$.  (5 marks)ข้อสอบ: ในการกระจาย $(2+ax)^{6}$ เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่ · สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ เท่ากับ $960$
   หาค่าที่เป็นไปได้ของ $a$  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $a=\pm2$5 marks: $\text{M1}\ \ x^{2}\text{ term}=\binom{6}{2}2^{4}(ax)^{2}$   $\text{M2}\ \ \binom{6}{2}=15,\ \ 2^{4}=16$   $\text{M3}\ \ \text{coefficient}=15\times16\times a^{2}=240a^{2}$   $\text{M4}\ \ 240a^{2}=960\ \Rightarrow\ a^{2}=4$   $\text{A1}\ \ a=2\ \text{ or }\ a=-2$ $a$ is squared, so both signs score. One sign only loses a mark.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ x^{2}\text{ term}=\binom{6}{2}2^{4}(ax)^{2}$   $\text{M2}\ \ \binom{6}{2}=15,\ \ 2^{4}=16$   $\text{M3}\ \ \text{coefficient}=15\times16\times a^{2}=240a^{2}$   $\text{M4}\ \ 240a^{2}=960\ \Rightarrow\ a^{2}=4$   $\text{A1}\ \ a=2\ \text{ or }\ a=-2$ $a$ ถูกยกกำลังสอง · ตอบเครื่องหมายเดียวเสียคะแนน
6. The first three terms of a sequence are $8$, $12$, $18$.
   Find the sum of the first six terms.ลำดับหนึ่งมีสามพจน์แรกเป็น $8$, $12$, $18$
   หาผลบวกของหกพจน์แรก
   Answer:เฉลย: $S_{6}=166.25$Test three terms, not two: $12-8=4,\ \ 18-12=6\ \Rightarrow\ \text{not AP}$   $\frac{12}{8}=1.5,\ \ \frac{18}{12}=1.5\ \Rightarrow\ \text{GP},\ r=1.5$   $S_{6}=\frac{8(1.5^{6}-1)}{1.5-1}$   $=16(11.390625-1)=166.25$ Two terms alone give $d=4$ and the clean wrong answer $108$.ตรวจสามพจน์ ไม่ใช่สองพจน์: $12-8=4,\ \ 18-12=6\ \Rightarrow\ \text{not AP}$   $\frac{12}{8}=1.5,\ \ \frac{18}{12}=1.5\ \Rightarrow\ \text{GP},\ r=1.5$   $S_{6}=\frac{8(1.5^{6}-1)}{1.5-1}$   $=16(11.390625-1)=166.25$ ดูแค่สองพจน์จะได้ $d=4$ · แล้วได้ $108$ ที่สวยแต่ผิด

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. AP: $a=4$, $d=6$. Find $S_{15}$.
   Answer:เฉลย: $\tfrac{15}{2}(8+14\times6)=690$Identical to the Gauss-pairing example, numbers changed. Builds confidence and proves the n-over-2 habit stuck.เหมือนตัวอย่างจับคู่แบบเกาส์ทุกอย่าง เปลี่ยนแค่ตัวเลข สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่านิสัยคูณ $\frac n2$ ติดตัวแล้ว
2. AP: $a=20$, $d=-\tfrac32$. Find $S_{21}$.
   Answer:เฉลย: $\tfrac{21}{2}\big(40+20\times(-\tfrac32)\big)=\tfrac{21}{2}\times10=105$Same formula, but $d$ is negative and a fraction: brackets are easy to slip. Tests careful writing.สูตรเดิม แต่ $d$ ติดลบและเป็นเศษส่วน วงเล็บพลาดง่าย · วัดความเรียบร้อยของการเขียน
3. A dose decays: $t_k=96\left(\tfrac12\right)^{k-1}$ mg on day $k$. Find $t_6$, and the total amount if it continued forever.
   Answer:เฉลย: $t_6=96\times\tfrac1{32}=3$;  $S_\infty=\dfrac{96}{1-\frac12}=192$New letters $t$ and $k$, and a real context. Anyone who memorised $u_n$ and $r$ gets stuck here.เปลี่ยนตัวอักษรเป็น $t$ กับ $k$ แถมมีบริบทจริง · ใครท่องมาแค่ $u_n$ กับ $r$ จะติดตรงนี้
4. AP: $a=3$, $d=4$ and $S_n=465$. Find $n$.
   Answer:เฉลย: $\tfrac n2\big(6+4(n-1)\big)=465 \Rightarrow n(2n+1)=465 \Rightarrow 2n^2+n-465=0 \Rightarrow n=15$Two known steps: sum a series, then solve a quadratic. Reject the negative root: $n$ counts terms.สองขั้นที่รู้อยู่แล้ว: หาผลบวกอนุกรม แล้วแก้สมการกำลังสอง · ตัดรากลบทิ้ง เพราะ $n$ คือจำนวนพจน์
5. A GP has $S_\infty=12$ and first term $a=3$. Find $r$.
   Answer:เฉลย: $\dfrac{3}{1-r}=12 \Rightarrow 1-r=\tfrac14 \Rightarrow r=\tfrac34$You are given the answer and must find the setup. Make $r$ the subject first.ให้คำตอบมา แล้วให้หาตัวตั้งต้น · ทำ $r$ เป็นตัวตั้งก่อน
6.  (4 marks) (a)(ก) Expand $(1+2x)^{5}$ in ascending powers of $x$ up to the $x^{2}$ term. (b)(ข) Hence estimate $1.02^{5}$.
   Answer:เฉลย: (a) $1+10x+40x^{2}$  (b) $x=0.01$: $1+0.1+0.004\approx1.104$Multi-part, marks stated. The 'hence' forces you to reuse part (a) with $x=0.01$.หลายข้อย่อย มีคะแนนกำกับ · คำว่า 'hence' บังคับให้ใช้ข้อ (a) ต่อกับ $x=0.01$
7. A student writes: 'GP $4, 6, 9, \dots$ has $r=1.5$, so $S_\infty=\dfrac{4}{1-1.5}=-8$.' Find the error and give the correct conclusion.
   Answer:เฉลย: $|r|=1.5\ge1$, so $S_\infty$ does not exist — the formula was used out of bounds; a positive series cannot total $-8$.Find the mistake in someone else's working. The condition on the ratio is the line most often forgotten.หาจุดผิดในวิธีทำของคนอื่น · เงื่อนไขของ $r$ คือบรรทัดที่ถูกลืมบ่อยที่สุด

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี