Circles · practice ladders ชุดไต่ระดับ · วงกลม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Circles · equation of a circle from a diameter
The points $A(-3,\,-3)$ and $B(1,\,5)$ are the endpoints of a diameter of a circle.
(a) Find the coordinates of the centre and the radius of the circle.
(b) Find the equation of the circle, giving your answer in the form $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
(c) Show that the point $C(-5,\,3)$ lies on the circle.
Find the midpoint of the points $(0, 5)$ and $(7, 0)$.
หาจุดกึ่งกลางระหว่างจุด $(0, 5)$ และ $(7, 0)$
Answershow ▾
Average the $x$-coordinates, then average the $y$-coordinates.
Find the distance between the points $(-3, 0)$ and $(4, 4)$.
หาระยะห่างระหว่างจุด $(-3, 0)$ และ $(4, 4)$
Answershow ▾
$\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. Square each difference before adding them.
$AB$ is a diameter of a circle, and the midpoint of $AB$ is $(-1,\,1)$. State the centre of the circle.
$AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และจุดกึ่งกลางของ $AB$ คือ $(-1,\,1)$ จงบอก จุดศูนย์กลางของวงกลม
Answershow ▾
The centre of a circle is always the midpoint of any diameter — that is what makes it a diameter, rather than just any chord.
Two points, two formulas. Match each of the words centre and radius to the formula that finds it from the ends of a diameter, and say what extra step one of them needs that the other does not.
สองจุด สองสูตร · จงจับคู่คำว่า centre และ radius กับสูตรที่หามันได้จากปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง และบอกว่าอันไหนมีขั้นตอนพิเศษที่อีกอันไม่มี
Answershow ▾
Both formulas eat the same two points, which is exactly why they get swapped. The midpoint averages the coordinates and lands between $A$ and $B$; the distance formula subtracts them and measures across. Writing $\sqrt{80}$ as the radius is the standard loss here: $AB$ is the whole diameter, so the radius is half of it. Part (a) carries B1 for the centre and M1 A1 for the radius; the halving lives inside that A1 and is not paid for separately.สองสูตรกินจุดสองจุดเดียวกัน นั่นคือเหตุผลที่มักสลับกัน · จุดกึ่งกลางเฉลี่ยพิกัดและตกอยู่ระหว่าง $A$ กับ $B$ · สูตรระยะทางลบพิกัดและวัดข้าม · การเขียน $\sqrt{80}$ เป็นรัศมีคือความสูญเสียมาตรฐานตรงนี้ · $AB$ คือเส้นผ่านศูนย์กลางทั้งเส้น รัศมีจึงเป็นครึ่งหนึ่ง · ข้อ (a) ให้ B1 กับจุดศูนย์กลาง และ M1 A1 กับรัศมี · การหารสองอยู่ใน A1 นั้น ไม่มีคะแนนแยกให้
$A(-3,\,-3)$ and $B(1,\,5)$ are the endpoints of a diameter of a circle. Find the coordinates of the centre.
Answershow ▾
Same move as question 1, applied to the actual points in the exam question. This is the first half of part (a).
$A(-3,\,-3)$ and $B(1,\,5)$ are the endpoints of a diameter of a circle. Find the radius of the circle.
Answershow ▾
Radius $= \dfrac{1}{2}AB$. Find $AB$ with the distance formula from question 2, then halve it. This finishes part (a).
The centre is $(-1,\,1)$ and the radius is $2\sqrt{5}$, and part (b) wants the form $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Which of these three is right, and what is wrong with the other two?
(A) $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 20$ (B) $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2\sqrt{5}$ (C) $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 20$
จุดศูนย์กลางคือ $(-1,\,1)$ รัศมี $2\sqrt{5}$ และข้อ (b) ต้องการรูป $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ · ข้อไหนถูก และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 20$ (B) $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2\sqrt{5}$ (C) $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 20$
Answershow ▾
(A) has both signs the wrong way round: the form already contains a minus, so a centre coordinate of $-1$ arrives as $x - (-1) = x + 1$. (B) forgot to square: the right-hand side is $r^2$, not $r$, and $\left(2\sqrt{5}\right)^{2} = 4 \times 5 = 20$. Test any circle equation by putting the centre in — both brackets must vanish and the left-hand side must read $0$. Part (b) is B1 for the left-hand side and B1 for the right; getting the sign convention straight is a habit, not a mark.(A) กลับเครื่องหมายทั้งสองตัว · รูปมาตรฐานมีลบอยู่แล้ว พิกัดศูนย์กลาง $-1$ จึงเข้ามาเป็น $x - (-1) = x + 1$ · (B) ลืมยกกำลังสอง · ข้างขวาคือ $r^2$ ไม่ใช่ $r$ และ $\left(2\sqrt{5}\right)^{2} = 4 \times 5 = 20$ · ตรวจสมการวงกลมด้วยการแทนจุดศูนย์กลางลงไป · วงเล็บทั้งสองต้องเป็นศูนย์ และข้างซ้ายต้องอ่านได้ $0$ · ข้อ (b) ให้ B1 กับข้างซ้ายและ B1 กับข้างขวา · การจำเครื่องหมายให้ถูกเป็นนิสัย ไม่ใช่คะแนน
A circle has centre $(-1,\,1)$ and radius $2 \sqrt{5}$. Write down its equation in the form $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
Answershow ▾
Substitute the centre and radius straight into the standard form, squaring the radius on the right-hand side. This is part (b).
A circle has centre $(-1,\,1)$ and radius $2 \sqrt{5}$. Show that the point $C(-5,\,3)$ lies on the circle.
Answershow ▾
Find the distance from the centre to $C$ with the distance formula from question 2; if it equals the radius, the point is on the circle. This is part (c).
Part (c) says Show that $C(-5,\,3)$ lies on the circle. Two of these three actually prove it; one does not. Pick the two that work, and name the number each of them must end on.
(A) substitute $C$ into $(x+1)^2+(y-1)^2$ (B) find the distance from the centre to $C$ (C) check that $C$ is between $A$ and $B$
ข้อ (c) เขียนว่า Show that $C(-5,\,3)$ อยู่บนวงกลม · สองในสามข้อนี้พิสูจน์ได้จริง อีกข้อไม่ได้ · จงเลือกสองข้อที่ใช้ได้ และบอกว่าแต่ละข้อต้องจบที่ตัวเลขอะไร
(A) แทน $C$ ลงใน $(x+1)^2+(y-1)^2$ (B) หาระยะจากจุดศูนย์กลางถึง $C$ (C) ตรวจว่า $C$ อยู่ระหว่าง $A$ กับ $B$
Answershow ▾
(C) describes points on the segment $AB$, and every point of that segment except $A$ and $B$ is inside the circle, not on it. The two routes that work are the same fact written at different powers: $20$ is $r^2$, $2\sqrt{5}$ is $r$, and mixing them — ending on $20$ and calling it the radius — is the slip to watch. Either way the final line must compare your number with the circle’s and say so; part (c) is M1 A1, and the conclusion is what the A1 reads.(C) บรรยายจุดบนส่วนของเส้นตรง $AB$ และทุกจุดบนส่วนนั้นยกเว้น $A$ กับ $B$ อยู่ข้างในวงกลม ไม่ใช่บนวงกลม · สองทางที่ใช้ได้คือข้อเท็จจริงเดียวกันคนละกำลัง: $20$ คือ $r^2$ และ $2\sqrt{5}$ คือ $r$ · การสลับกัน เช่น จบที่ $20$ แล้วเรียกว่ารัศมี คือจุดที่ต้องระวัง · ไม่ว่าทางไหน บรรทัดสุดท้ายต้องเทียบตัวเลขของคุณกับของวงกลมและเขียนข้อสรุป · ข้อ (c) คือ M1 A1 และ A1 อ่านข้อสรุปนั้น
$A(-3,\,-3)$ and $B(1,\,5)$ are the endpoints of a diameter of a circle. Find the centre and radius of the circle, and hence write down its equation in the form $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained together — parts (a) and (b) of the exam question, back to back.
The points $A(-2,\,-3)$ and $B(4,\,5)$ are the endpoints of a diameter of a circle.
(a) Find the centre and radius of the circle.
(b) Find the equation of the circle, in the form $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
(c) Show that the point $C(-3,\,4)$ lies on the circle.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with numbers that keep the radius a whole number.
The points $A(-3,\,-3)$ and $B(1,\,5)$ are the endpoints of a diameter of a circle.
(a) Find the coordinates of the centre and the radius of the circle.
(b) Find the equation of the circle, giving your answer in the form $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
(c) Show that the point $C(-5,\,3)$ lies on the circle.
Answershow ▾
8 marks. Questions 4 and 5 are part (a); question 6 is part (b); question 7 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Circles · a chord and the line through the centre
A circle $C$ has centre $O(-4,\,4)$ and radius $25$. The points $P(-28,\,11)$ and $Q(16,\,-11)$ lie on the circle.
(a) Find the coordinates of $M$, the midpoint of the chord $PQ$.
(b) Show that $OM$ is perpendicular to $PQ$.
(c) Hence find the length of the chord $PQ$.
Find the midpoint of the points $(-1, 4)$ and $(5, -1)$.
หาจุดกึ่งกลางระหว่างจุด $(-1, 4)$ และ $(5, -1)$
Answershow ▾
Average the $x$-coordinates, then average the $y$-coordinates.
A line has gradient $\frac{2}{3}$. State the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $\frac{2}{3}$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Perpendicular gradients multiply to $-1$: flip the fraction and change the sign.
A chord of a circle has midpoint $M$. The radius of the circle is $25$ and the distance from the centre to $M$ is $24$. Find half the length of the chord.
คอร์ดของวงกลมมีจุดกึ่งกลาง $M$ รัศมีของวงกลมคือ $25$ และระยะจากจุดศูนย์กลางถึง $M$ คือ $24$ จงหาความยาวครึ่งหนึ่งของคอร์ด
Answershow ▾
The centre, $M$, and one endpoint of the chord form a right-angled triangle with the radius as the hypotenuse — Pythagoras gives the other side.
Pythagoras is about to be used on a triangle you have to choose. Name the three vertices of that triangle, say which side is the hypotenuse, and say which of $PQ$ and $\tfrac{1}{2}PQ$ is the side it produces.
กำลังจะใช้พีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมที่ต้องเลือกเอง · จงบอกจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมนั้น บอกว่าด้านไหนคือด้านตรงข้ามมุมฉาก และบอกว่ามันให้ $PQ$ หรือ $\tfrac{1}{2}PQ$
Answershow ▾
The radius is always the hypotenuse in this picture, because the right angle is at $M$, and the side opposite the right angle is the long one. Take $OM$ as the hypotenuse instead and you are subtracting the wrong way round: $20 - 625$ is negative, which is the arithmetic telling you the triangle is upside down. The other half of the choice is which side the third length is: the triangle only reaches as far as $M$, so what comes out is half the chord and must still be doubled. Part (c) is M1 for the Pythagoras statement, M1 for $OM$, A1 for $22\sqrt{5}$; naming the triangle first is free.ในภาพนี้รัศมีคือด้านตรงข้ามมุมฉากเสมอ เพราะมุมฉากอยู่ที่ $M$ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านยาว · ถ้าเอา $OM$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จะลบกลับข้าง: $20 - 625$ ติดลบ ซึ่งคือเลขคณิตกำลังบอกว่าสามเหลี่ยมกลับหัว · อีกครึ่งของการเลือกคือความยาวที่สาม · สามเหลี่ยมไปถึงแค่ $M$ สิ่งที่ได้จึงเป็นครึ่งคอร์ด และยังต้องคูณสอง · ข้อ (c) ให้ M1 กับประโยคพีทาโกรัส M1 กับ $OM$ และ A1 กับ $22\sqrt{5}$ · การเรียกชื่อสามเหลี่ยมก่อนไม่มีคะแนน
$P(-28,\,11)$ and $Q(16,\,-11)$ lie on a circle. Find the coordinates of $M$, the midpoint of the chord $PQ$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real coordinates. This is part (a).
Find the gradient of the line through $P(-28,\,11)$ and $Q(16,\,-11)$.
Answershow ▾
$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — divide the change in $y$ by the change in $x$, in the same order for both.
A circle has centre $O(-4,\,4)$. Given $M(-6,\,0)$, find the gradient of $OM$.
Answershow ▾
Same formula as question 5, using the centre and $M$ instead of $P$ and $Q$.
Part (b) says Show that $OM$ is perpendicular to $PQ$. You have the two gradients $-\tfrac{1}{2}$ and $2$. Which single line must appear for the mark, and which of these two is not enough on its own?
(A) “the gradients are negative reciprocals” (B) $-\tfrac{1}{2} \times 2 = -1$
ข้อ (b) เขียนว่า Show that $OM$ ตั้งฉากกับ $PQ$ · มีความชันสองค่าคือ $-\tfrac{1}{2}$ กับ $2$ · บรรทัดใดต้องปรากฏจึงจะได้คะแนน และข้อไหนไม่พอเมื่ออยู่ลำพัง
(A) "ความชันเป็นส่วนกลับที่กลับเครื่องหมายกัน" (B) $-\tfrac{1}{2} \times 2 = -1$
Answershow ▾
A “show that” is answered with a number, and the number here is $-1$. Naming the relationship describes what you are looking at but proves nothing; the marker needs to see the product formed. The other half of the decision is the subtraction order: whatever order you take for the $y$ differences must be the same order for the $x$ differences, in both gradients — reverse one of them and the sign flips and the product comes out $+1$. Part (b) is M1 for both gradients and A1 for the product with the conclusion.คำถาม "show that" ตอบด้วยตัวเลข และตัวเลขที่นี่คือ $-1$ · การเรียกชื่อความสัมพันธ์เป็นการบรรยายสิ่งที่เห็น แต่ไม่ได้พิสูจน์อะไร · ผู้ตรวจต้องเห็นผลคูณที่เขียนออกมา · อีกครึ่งของการตัดสินใจคือลำดับการลบ · ลำดับที่ใช้กับผลต่างของ $y$ ต้องเป็นลำดับเดียวกับของ $x$ ทั้งสองความชัน · ถ้ากลับข้างอันหนึ่ง เครื่องหมายจะพลิกและผลคูณกลายเป็น $+1$ · ข้อ (b) ให้ M1 กับความชันทั้งสองและ A1 กับผลคูณพร้อมข้อสรุป
A circle has centre $O(-4,\,4)$. $P(-28,\,11)$ and $Q(16,\,-11)$ lie on the circle, and $M(-6,\,0)$ is the midpoint of $PQ$. Show that $OM$ is perpendicular to $PQ$.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 chained: find both gradients, then check their product is $-1$. This is part (b).
A circle has centre $O(-4,\,4)$ and radius $25$. $M(-6,\,0)$ is the midpoint of a chord $PQ$. Find the length of $PQ$.
Answershow ▾
Find $OM$ with the distance formula, then apply Pythagoras: $OM^2 + \left(\dfrac{PQ}{2}\right)^2 = r^2$, where $r$ is the radius. This is part (c).
Pythagoras has just produced $\sqrt{605}$. Simplify it, then decide which of these three is the answer to “find the length of the chord $PQ$”, and say what the other two are.
(A) $\sqrt{605}$ (B) $11\sqrt{5}$ (C) $22\sqrt{5}$
พีทาโกรัสเพิ่งให้ $\sqrt{605}$ · จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย แล้วเลือกว่าข้อไหนคือคำตอบของ "find the length of the chord $PQ$" และอีกสองข้อคืออะไร
(A) $\sqrt{605}$ (B) $11\sqrt{5}$ (C) $22\sqrt{5}$
Answershow ▾
Every length in this triangle stops at $M$, and $M$ is the middle of the chord, so the last thing that happens in the question is a doubling. Stopping at $11\sqrt{5}$ answers a question nobody asked. The simplification is worth doing before the doubling, not after: pull out the largest square factor, $121$, and the $2$ then multiplies a tidy surd. The A1 is for $22\sqrt{5}$; noticing that the halving in part (a) has to be undone here is the whole of the decision and none of the mark.ทุกความยาวในสามเหลี่ยมนี้หยุดที่ $M$ และ $M$ คือกึ่งกลางคอร์ด สิ่งสุดท้ายในโจทย์จึงคือการคูณสอง · การหยุดที่ $11\sqrt{5}$ คือการตอบคำถามที่ไม่มีใครถาม · ควรทำรูปอย่างง่ายก่อนคูณสอง ไม่ใช่หลัง: ดึงตัวประกอบกำลังสองที่ใหญ่ที่สุดคือ $121$ ออกมา แล้ว $2$ ค่อยคูณกับกรณฑ์ที่เรียบร้อยแล้ว · A1 ให้กับ $22\sqrt{5}$ · การสังเกตว่าการหารสองในข้อ (a) ต้องถูกแก้คืนตรงนี้คือทั้งหมดของการตัดสินใจ และไม่มีคะแนนเลย
A circle $C$ has centre $O(1,\,1)$ and radius $25$. The points $P(8,\,25)$ and $Q(-14,\,21)$ lie on the circle.
(a) Find the coordinates of $M$, the midpoint of the chord $PQ$.
(b) Show that $OM$ is perpendicular to $PQ$.
(c) Hence find the length of the chord $PQ$.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with numbers chosen so the working stays tidy.
A circle $C$ has centre $O(-4,\,4)$ and radius $25$. The points $P(-28,\,11)$ and $Q(16,\,-11)$ lie on the circle.
(a) Find the coordinates of $M$, the midpoint of the chord $PQ$.
(b) Show that $OM$ is perpendicular to $PQ$.
(c) Hence find the length of the chord $PQ$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); questions 5, 6 and 7 build part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A circle's tangent and chord เส้นสัมผัสและคอร์ดของวงกลม
The circle $C$ has equation
$x^{2}+y^{2}+6x-4y-14=0$
(a) Find
(i) the coordinates of the centre of $C$,
(ii) the exact radius of $C$.
(b) The line with equation $y=k$, where $k$ is a constant, is a tangent to $C$.
Find the possible values of $k$.
(c) The line with equation $y=p$, where $p$ is a negative constant, is a chord of $C$. Given that the length of this chord is $4$ units, find the value of $p$.
วงกลม $C$ มีสมการ
$x^{2}+y^{2}+6x-4y-14=0$
(ก) หา
(i) พิกัดจุดศูนย์กลาง (centre) ของ $C$
(ii) รัศมี (radius) แบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $C$
(ข) เส้นตรง $y=k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ เป็นเส้นสัมผัส (tangent) ของ $C$
หาค่าที่เป็นไปได้ของ $k$
(ค) เส้นตรง $y=p$ เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ลบ เป็นคอร์ด (chord) ของ $C$ กำหนดว่าคอร์ดนี้ยาว $4$ หน่วย จงหาค่าของ $p$
Complete the square: write $x^{2}+6x$ in the form $(x+a)^{2}+b$.
จงทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์: เขียน $x^{2}+6x$ ในรูป $(x+a)^{2}+b$
Answershow ▾
Half of $6$ is $3$; square it and subtract.ครึ่งหนึ่งของ $6$ คือ $3$ ยกกำลังสองแล้วลบออก
Complete the square: write $y^{2}-4y$ in the form $(y+a)^{2}+b$.
จงทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์: เขียน $y^{2}-4y$ ในรูป $(y+a)^{2}+b$
Answershow ▾
Half of $-4$ is $-2$; square it and subtract.ครึ่งหนึ่งของ $-4$ คือ $-2$ ยกกำลังสองแล้วลบออก
Simplify $\sqrt{27}$, writing it as $a\sqrt3$.
จงทำให้ $\sqrt{27}$ ง่ายขึ้น เขียนในรูป $a\sqrt3$
Answershow ▾
Find the largest square factor of $27$.หาตัวประกอบที่เป็นกำลังสองที่ใหญ่ที่สุดของ $27$
The circle $x^{2}+y^{2}+6x-4y-14=0$ has centre $(-3,2)$ and radius $3\sqrt3$. The line $y=k$ is a tangent to it. Pick the first move.
(A) $k=3\sqrt3$
(B) $|k-2|=3\sqrt3$
(C) $k-2=3\sqrt3$
วงกลม $x^{2}+y^{2}+6x-4y-14=0$ มีจุดศูนย์กลาง $(-3,2)$ และรัศมี $3\sqrt3$ เส้นตรง $y=k$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลมนี้ จงเลือกขั้นแรก
(A) $k=3\sqrt3$
(B) $|k-2|=3\sqrt3$
(C) $k-2=3\sqrt3$
Answershow ▾
(A) treats the centre as if it sat on the $x$-axis, setting $k$ equal to the radius and skipping the centre's $y$-coordinate. (C) finds the right distance but drops the $\pm$, missing the tangent below the centre.(A) มองว่าจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน $x$ จึงให้ $k$ เท่ากับรัศมีตรง ๆ โดยข้ามพิกัด $y$ ของจุดศูนย์กลางไป · (C) หาระยะถูกแล้ว แต่ลืมใส่ $\pm$ จึงพลาดเส้นสัมผัสด้านล่างของจุดศูนย์กลางไป
The chord on $y=p$ has length $4$. Pick the first move to find $h$, the distance from the centre $(-3,2)$ to this chord.
(A) $4^{2}+h^{2}=27$
(B) $2^{2}+h^{2}=27$
(C) $2^{2}+h^{2}=3\sqrt3$
คอร์ดบนเส้น $y=p$ ยาว $4$ หน่วย จงเลือกขั้นแรกในการหา $h$ ระยะจากจุดศูนย์กลาง $(-3,2)$ ถึงคอร์ดนี้
(A) $4^{2}+h^{2}=27$
(B) $2^{2}+h^{2}=27$
(C) $2^{2}+h^{2}=3\sqrt3$
Answershow ▾
(A) uses the full chord ($4$) as the triangle's leg; only HALF the chord is perpendicular to the radius that bisects it. (C) uses the radius $3\sqrt3$ itself instead of the radius squared ($27$) that Pythagoras needs.(A) ใช้คอร์ดทั้งเส้น ($4$) เป็นด้านของสามเหลี่ยม แต่มีเพียงครึ่งคอร์ดเท่านั้น ที่ตั้งฉากกับรัศมีที่แบ่งครึ่งมัน · (C) ใช้รัศมี $3\sqrt3$ ตรง ๆ แทนรัศมีกำลังสอง ($27$) ที่พีทาโกรัสต้องใช้
Rewrite $x^{2}+y^{2}+6x-4y-14=0$ using your completed-square forms for $x^{2}+6x$ and $y^{2}-4y$.
จงเขียน $x^{2}+y^{2}+6x-4y-14=0$ ใหม่ โดยใช้รูปกำลังสองสมบูรณ์ของ $x^{2}+6x$ และ $y^{2}-4y$
Answershow ▾
Replace each squared term with its completed-square form.แทนแต่ละพจน์กำลังสองด้วยรูปกำลังสองสมบูรณ์
Combine the numbers in $(x+3)^{2}-9+(y-2)^{2}-4-14=0$ and move them to the other side. What is $r^{2}$?
จงรวมจำนวนใน $(x+3)^{2}-9+(y-2)^{2}-4-14=0$ แล้วย้ายข้ามไปอีกข้าง $r^{2}$ มีค่าเท่าใด
Answershow ▾
Combine $-9-4-14$, then move it across.รวม $-9-4-14$ แล้วย้ายข้าม
$(x+3)^{2}+(y-2)^{2}=27$. Write down the centre, and the exact radius using $\sqrt{27}=3\sqrt3$.
$(x+3)^{2}+(y-2)^{2}=27$ จงเขียนจุดศูนย์กลาง และรัศมีแบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ โดยใช้ $\sqrt{27}=3\sqrt3$
Answershow ▾
The centre comes straight from the bracket signs.จุดศูนย์กลางอ่านได้จากเครื่องหมายในวงเล็บโดยตรง
Solve $|k-2|=3\sqrt3$ for $k$.
จงแก้สมการ $|k-2|=3\sqrt3$ หา $k$
Answershow ▾
A modulus equation splits into two cases.สมการค่าสัมบูรณ์แยกเป็นสองกรณี
Solve $2^{2}+h^{2}=27$ for $h$, then use $|p-2|=h$ to find the negative value of $p$.
จงแก้ $2^{2}+h^{2}=27$ หา $h$ แล้วใช้ $|p-2|=h$ เพื่อหาค่าของ $p$ ที่เป็นลบ
Answershow ▾
$p$ must be negative, so reject $2+\sqrt{23}$.$p$ ต้องเป็นลบ จึงตัด $2+\sqrt{23}$ ทิ้ง
A circle has equation $x^{2}+y^{2}-4x-2y-20=0$.
(a) Find the centre and the exact radius of the circle.
(b) The line with equation $y=k$ is a tangent to the circle. Find the possible values of $k$.
(c) The line with equation $y=p$, where $p$ is a negative constant, is a chord of length $6$. Find the value of $p$.
วงกลมวงหนึ่งมีสมการ $x^{2}+y^{2}-4x-2y-20=0$
(ก) หาจุดศูนย์กลางและรัศมีแบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ของวงกลม
(ข) เส้นตรง $y=k$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลม จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $k$
(ค) เส้นตรง $y=p$ เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ลบ เป็นคอร์ดที่ยาว $6$ หน่วย จงหาค่าของ $p$
Answershow ▾
Same three moves: complete the square, $|k-1|=r$ for the tangent, then Pythagoras with half the chord.สามขั้นเดิม: ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ใช้ $|k-1|=r$ หาเส้นสัมผัส แล้วใช้พีทาโกรัสกับครึ่งคอร์ด
The circle $C$ has equation
$x^{2}+y^{2}+6x-4y-14=0$
(a) Find
(i) the coordinates of the centre of $C$,
(ii) the exact radius of $C$.
(b) The line with equation $y=k$, where $k$ is a constant, is a tangent to $C$.
Find the possible values of $k$.
(c) The line with equation $y=p$, where $p$ is a negative constant, is a chord of $C$. Given that the length of this chord is $4$ units, find the value of $p$.
วงกลม $C$ มีสมการ
$x^{2}+y^{2}+6x-4y-14=0$
(ก) หา
(i) พิกัดจุดศูนย์กลาง (centre) ของ $C$
(ii) รัศมี (radius) แบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $C$
(ข) เส้นตรง $y=k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ เป็นเส้นสัมผัส (tangent) ของ $C$
หาค่าที่เป็นไปได้ของ $k$
(ค) เส้นตรง $y=p$ เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ลบ เป็นคอร์ด (chord) ของ $C$ กำหนดว่าคอร์ดนี้ยาว $4$ หน่วย จงหาค่าของ $p$
Answershow ▾
8 marks: complete the square for the centre and radius (3), $|k-2|=r$ for both tangents (2), then Pythagoras with half the chord, keeping the negative root (3).8 คะแนน: ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์หาจุดศูนย์กลางและรัศมี (3) · ใช้ $|k-2|=r$ หาเส้นสัมผัสทั้งสองค่า (2) · แล้วใช้พีทาโกรัสกับครึ่งคอร์ด เลือกรากที่เป็นลบ (3)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Circle equation, then its tangent หาสมการวงกลม แล้วหาเส้นสัมผัส
A circle $C$ has centre $(2,5)$.
Given that the point $P(8,-3)$ lies on $C$
(a) (i) find the radius of $C$
(ii) find an equation for $C$
(b) Find the equation of the tangent to $C$ at $P$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,5)$
กำหนดว่าจุด $P(8,-3)$ อยู่บน $C$
(ก) (i) หารัศมีของ $C$
(ii) หาสมการของ $C$
(ข) หาสมการเส้นสัมผัส (tangent) ของ $C$ ที่จุด $P$ ตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
A circle has centre $(2,5)$ and the point $P(8,-3)$ lies on it. Work out $(8-2)^{2}+(-3-5)^{2}$.
วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง $(2,5)$ และจุด $P(8,-3)$ อยู่บนวงกลมนี้ จงคำนวณ $(8-2)^{2}+(-3-5)^{2}$
Answershow ▾
Square each difference, then add.ยกกำลังสองผลต่างแต่ละตัว แล้วบวกกัน
Find the gradient of the line joining the centre $(2,5)$ to the point $P(8,-3)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์กลาง $(2,5)$ กับจุด $P(8,-3)$
Answershow ▾
Use $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.ใช้ $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
A line has gradient $-\dfrac{4}{3}$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $-\dfrac{4}{3}$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
A perpendicular gradient is the negative reciprocal.ความชันตั้งฉากคือส่วนกลับที่เปลี่ยนเครื่องหมาย
You know the centre $(2,5)$ and the radius $r=10$. Which form gives the equation of $C$?
(A) $y=mx+c$
(B) $(x-2)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}$
(C) $ax+by+c=0$
รู้จุดศูนย์กลาง $(2,5)$ และรัศมี $r=10$ แล้ว สมการของ $C$ อยู่ในรูปใด
(A) $y=mx+c$
(B) $(x-2)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}$
(C) $ax+by+c=0$
Answershow ▾
(A) is a straight line, not a circle. (C) is the form part (b) asks for the tangent, not the circle itself.(A) เป็นสมการเส้นตรง ไม่ใช่วงกลม · (C) เป็นรูปแบบที่ข้อ (ข) ใช้สำหรับเส้นสัมผัส ไม่ใช่สำหรับวงกลม
$(8-2)^{2}+(-3-5)^{2}=100$. Find the radius of $C$.
$(8-2)^{2}+(-3-5)^{2}=100$ จงหารัศมีของ $C$
Answershow ▾
The radius is the square root of this sum.รัศมีคือรากที่สองของผลรวมนี้
$C$ has centre $(2,5)$ and radius $10$. Write the equation of $C$.
$C$ มีจุดศูนย์กลาง $(2,5)$ และรัศมี $10$ จงเขียนสมการของ $C$
Answershow ▾
Substitute the centre and $r^{2}$ into $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.แทนจุดศูนย์กลางและ $r^{2}$ ลงในสูตร $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
The radius $CP$ has gradient $-\dfrac{4}{3}$. Find the gradient of the tangent to $C$ at $P$.
รัศมี $CP$ มีความชัน $-\dfrac{4}{3}$ จงหาความชันของเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $P$
Answershow ▾
A tangent is perpendicular to the radius at the point of contact.เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัสเสมอ
$P(8,-3)$ and the tangent gradient $\dfrac34$. Which equation is the tangent to $C$ at $P$?
(A) $y-5=\dfrac34(x-2)$
(B) $y+3=\dfrac34(x-8)$
(C) $y+3=-\dfrac43(x-8)$
$P(8,-3)$ และความชันเส้นสัมผัส $\dfrac34$ สมการใดเป็นเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $P$
(A) $y-5=\dfrac34(x-2)$
(B) $y+3=\dfrac34(x-8)$
(C) $y+3=-\dfrac43(x-8)$
Answershow ▾
(A) uses the centre, not $P$ - the tangent must pass through $P$ itself. (C) uses the gradient of the radius itself, not its negative reciprocal.(A) ใช้จุดศูนย์กลาง ไม่ใช่ $P$ ทั้งที่เส้นสัมผัสต้องผ่าน $P$ · (C) ใช้ความชันของรัศมีเอง ไม่ใช่ส่วนกลับติดลบของมัน
Multiply both sides of $y+3=\dfrac34(x-8)$ by $4$ and simplify.
คูณทั้งสองข้างของ $y+3=\dfrac34(x-8)$ ด้วย $4$ แล้วทำให้เป็นรูปง่าย
Answershow ▾
$4\times\dfrac34=3$, so the fraction disappears on the right.$4\times\dfrac34=3$ เศษส่วนทางขวาจึงหายไป
Check that $P(8,-3)$ fits $3x-4y-36=0$.
จงตรวจว่าจุด $P(8,-3)$ สอดคล้องกับ $3x-4y-36=0$ หรือไม่
Answershow ▾
A point on the line makes the left side equal $0$.จุดที่อยู่บนเส้นตรง จะทำให้ด้านซ้ายมีค่าเท่ากับ $0$
A circle $C$ has centre $O(0,0)$.
Given that $P(3,4)$ lies on $C$
(a) find the radius of $C$ and an equation for $C$.
(b) find the equation of the tangent to $C$ at $P$, in the form $ax+by+c=0$.
วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $O(0,0)$
กำหนดว่าจุด $P(3,4)$ อยู่บน $C$
(ก) หารัศมีของ $C$ และสมการของ $C$
(ข) หาสมการเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $P$ ในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Same seven moves as the real question, with cleaner numbers.ใช้ทั้งเจ็ดขั้นตอนเดิมเหมือนข้อสอบจริง แต่ตัวเลขลงตัวกว่า
A circle $C$ has centre $(2,5)$.
Given that the point $P(8,-3)$ lies on $C$
(a) (i) find the radius of $C$
(ii) find an equation for $C$
(b) Find the equation of the tangent to $C$ at $P$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,5)$
กำหนดว่าจุด $P(8,-3)$ อยู่บน $C$
(ก) (i) หารัศมีของ $C$
(ii) หาสมการของ $C$
(ข) หาสมการเส้นสัมผัส (tangent) ของ $C$ ที่จุด $P$ ตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
7 marks: 3 for the radius and equation of $C$, 4 for the tangent at $P$ in integer form.7 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับรัศมีและสมการของ $C$ และ 4 คะแนนสำหรับเส้นสัมผัสที่จุด $P$ ในรูปจำนวนเต็ม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Circle from the ends of a diameter วงกลมจากปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง
The points $P$ and $Q$ have coordinates $(-11,6)$ and $(-3,12)$ respectively.
Given that $PQ$ is a diameter of the circle $C$
(a) (i) find the coordinates of the centre of $C$,
(ii) find the radius of $C$.
(b) Hence find an equation of $C$.
(c) Find an equation of the tangent to $C$ at the point $Q$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
จุด $P$ และ $Q$ มีพิกัด $(-11,6)$ และ $(-3,12)$ ตามลำดับ
กำหนดว่า $PQ$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง (diameter) ของวงกลม $C$
(ก) (i) หาพิกัดจุดศูนย์กลางของ $C$
(ii) หารัศมีของ $C$
(ข) จากนั้นหาสมการของ $C$
(ค) หาสมการเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $Q$ ตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Find the midpoint of $(-11,6)$ and $(-3,12)$.
จงหาจุดกึ่งกลางของ $(-11,6)$ และ $(-3,12)$
Answershow ▾
Average the $x$-coordinates, then average the $y$-coordinates.เฉลี่ยพิกัด $x$ แล้วเฉลี่ยพิกัด $y$
Find the distance between $(-11,6)$ and $(-3,12)$.
จงหาระยะห่างระหว่าง $(-11,6)$ และ $(-3,12)$
Answershow ▾
Pythagoras on the horizontal and vertical gap.ใช้พีทาโกรัสกับช่องว่างแนวนอนและแนวตั้ง
Find the gradient of the line through $(-7,9)$ and $(-3,12)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $(-7,9)$ และ $(-3,12)$
Answershow ▾
$y$-gap over $x$-gap.ช่องว่าง $y$ หารด้วยช่องว่าง $x$
$PQ$ is a diameter of length $10$. Pick the radius of $C$.
(A) $r=10$
(B) $r=5$
(C) $r=25$
$PQ$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางยาว $10$ จงเลือกรัศมีของ $C$
(A) $r=10$
(B) $r=5$
(C) $r=25$
Answershow ▾
(A) treats the whole diameter as the radius - the radius is only half of it, from the centre to the circle. (C) is the radius squared, left over from before the square root is taken.(A) เอาเส้นผ่านศูนย์กลางทั้งเส้นมาเป็นรัศมี แต่รัศมีคือครึ่งหนึ่งของมัน จากจุดศูนย์กลางถึงขอบวงกลม · (C) คือรัศมีกำลังสอง ซึ่งยังไม่ได้ถอดรากที่สอง
The centre of $C$ is $(-7,9)$ and $P(-11,6)$ lies on $C$. Work out $r^{2}$, the square of the radius.
จุดศูนย์กลางของ $C$ คือ $(-7,9)$ และ $P(-11,6)$ อยู่บน $C$ จงหา $r^{2}$ ซึ่งคือรัศมีกำลังสอง
Answershow ▾
Use the horizontal and vertical gap from the centre to $P$.ใช้ช่องว่างแนวนอนและแนวตั้งจากจุดศูนย์กลางถึง $P$
Hence write down the radius of $C$.
จากนั้นจงเขียนรัศมีของ $C$
Answershow ▾
Square root the value from the last step.ถอดรากที่สองจากค่าในขั้นที่แล้ว
$C$ has centre $(-7,9)$ and radius $5$. Write down an equation of $C$.
$C$ มีจุดศูนย์กลาง $(-7,9)$ และรัศมี $5$ จงเขียนสมการของ $C$
Answershow ▾
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ for a centre $(a,b)$.$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ เมื่อจุดศูนย์กลางคือ $(a,b)$
The radius $CQ$ has gradient $\dfrac34$. Pick the gradient of the tangent to $C$ at $Q$.
(A) $\dfrac34$
(B) $-\dfrac43$
(C) $\dfrac43$
รัศมี $CQ$ มีความชัน $\dfrac34$ จงเลือกความชันของเส้นสัมผัส $C$ ที่จุด $Q$
(A) $\dfrac34$
(B) $-\dfrac43$
(C) $\dfrac43$
Answershow ▾
(A) is the gradient of the radius itself - a tangent is perpendicular to the radius, not parallel to it. (C) flips the fraction but keeps the same sign: $\dfrac34\times\dfrac43=1$, not $-1$.(A) คือความชันของรัศมีเอง แต่เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี ไม่ใช่ขนาน · (C) พลิกเศษส่วนแล้วแต่ไม่ได้เปลี่ยนเครื่องหมาย: $\dfrac34\times\dfrac43=1$ ไม่ใช่ $-1$
The tangent at $Q(-3,12)$ has gradient $-\dfrac43$. Write its equation in the form $ax+by+c=0$.
เส้นสัมผัสที่จุด $Q(-3,12)$ มีความชัน $-\dfrac43$ จงเขียนสมการในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Clear the fraction, then collect everything on one side.กำจัดเศษส่วน แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว
Check that $Q(-3,12)$ satisfies $4x+3y-24=0$.
จงตรวจว่าจุด $Q(-3,12)$ เป็นจริงกับ $4x+3y-24=0$
Answershow ▾
A point on the tangent must satisfy its equation exactly.จุดบนเส้นสัมผัสต้องเป็นจริงกับสมการของมันพอดี
$A(2,3)$ and $B(8,11)$. $AB$ is a diameter of a circle $C$. Find the centre of $C$, the radius of $C$, and an equation of the tangent to $C$ at $B$ in the form $ax+by+c=0$.
$A(2,3)$ และ $B(8,11)$ · $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $C$ จงหาจุดศูนย์กลางของ $C$ รัศมีของ $C$ และสมการเส้นสัมผัส $C$ ที่จุด $B$ ในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Same three moves: midpoint for the centre, Pythagoras for the radius, negative reciprocal for the tangent.สามขั้นเดิม: จุดกึ่งกลางหาจุดศูนย์กลาง พีทาโกรัสหารัศมี ส่วนกลับเชิงลบหาเส้นสัมผัส
The points $P$ and $Q$ have coordinates $(-11,6)$ and $(-3,12)$ respectively.
Given that $PQ$ is a diameter of the circle $C$
(a) (i) find the coordinates of the centre of $C$,
(ii) find the radius of $C$.
(b) Hence find an equation of $C$.
(c) Find an equation of the tangent to $C$ at the point $Q$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
จุด $P$ และ $Q$ มีพิกัด $(-11,6)$ และ $(-3,12)$ ตามลำดับ
กำหนดว่า $PQ$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง (diameter) ของวงกลม $C$
(ก) (i) หาพิกัดจุดศูนย์กลางของ $C$
(ii) หารัศมีของ $C$
(ข) จากนั้นหาสมการของ $C$
(ค) หาสมการเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $Q$ ตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
9 marks across three parts: the centre and radius, the equation, then the tangent at $Q$.9 คะแนนในสามส่วน: จุดศูนย์กลางและรัศมี สมการวงกลม แล้วเส้นสัมผัสที่จุด $Q$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Tangent at a point of a circle เส้นสัมผัสที่จุดหนึ่งบนวงกลม
Figure 2 shows a sketch of
• the circle $C$ with centre $X(4,-3)$
• the line $l$ with equation $y=\dfrac52x-\dfrac{55}{2}$
Given that $l$ is the tangent to $C$ at the point $N$
(a) Show that an equation for the straight line passing through $X$ and $N$ is
$2x+5y+7=0$
(b) Hence find
(i) the coordinates of $N$,
(ii) an equation for $C$.
รูปข้างต้นแสดงภาพร่างของ
• วงกลม $C$ ที่มีจุดศูนย์กลาง $X(4,-3)$
• เส้นตรง $l$ ที่มีสมการ $y=\dfrac52x-\dfrac{55}{2}$
กำหนดว่า $l$ เป็นเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $N$
(ก) จงแสดงว่าสมการเส้นตรงที่ผ่าน $X$ และ $N$ คือ
$2x+5y+7=0$
(ข) จากนั้นหา
(i) พิกัดของ $N$
(ii) สมการของ $C$
A tangent to a circle has gradient $\dfrac52$. Find the gradient of the radius at the point where the tangent touches.
เส้นสัมผัสของวงกลมมีความชัน $\dfrac52$ จงหาความชันของรัศมีที่จุดที่เส้นสัมผัสแตะ
Answershow ▾
Flip the fraction, then change its sign.พลิกเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
Write an equation for the line through $(4,-3)$ with gradient $-\dfrac25$, using $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.
จงเขียนสมการเส้นตรงที่ผ่าน $(4,-3)$ ด้วยความชัน $-\dfrac25$ โดยใช้ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Answershow ▾
Substitute the point and the gradient into the point-gradient form.แทนจุดและความชันลงในรูปจุด-ความชัน
Multiply $y+3=-\dfrac25(x-4)$ by $5$, then rearrange into the form $ax+by+c=0$.
จงคูณ $y+3=-\dfrac25(x-4)$ ด้วย $5$ แล้วจัดรูปเป็น $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Clear the fraction first, then move every term to one side.เคลียร์เศษส่วนก่อน แล้วย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว
$l$ is the tangent to $C$ at $N$, and $X$ is the centre. To find the gradient of $XN$, which fact do you use?
(A) the coordinates of $N$, once we know them
(B) $XN$ is a radius to the point of contact, so $XN \perp l$
(C) the general equation of circle $C$
$l$ เป็นเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $N$ และ $X$ คือจุดศูนย์กลาง จะหาความชันของ $XN$ ต้องใช้ข้อเท็จจริงใด
(A) พิกัดของ $N$ เมื่อรู้ค่าแล้ว
(B) $XN$ เป็นรัศมีไปยังจุดสัมผัส ดังนั้น $XN \perp l$
(C) สมการทั่วไปของวงกลม $C$
Answershow ▾
(A) needs $N$, which is exactly what is still unknown. (C) needs the circle’s equation, which needs the radius first. (B) uses only what the question already gives: the gradient of $l$.(A) ต้องใช้ $N$ ซึ่งยังไม่รู้ค่า · (C) ต้องใช้สมการวงกลม ซึ่งต้องรู้รัศมีก่อน · (B) ใช้เพียงสิ่งที่โจทย์ให้มาแล้ว คือความชันของ $l$
$l$ has gradient $\dfrac52$. $XN$ is a radius to the point where $l$ touches the circle, so $XN \perp l$. Find the gradient of $XN$.
เส้นสัมผัส $l$ มีความชัน $\dfrac52$ และ $XN$ เป็นรัศมีไปยังจุดที่ $l$ สัมผัส ดังนั้น $XN \perp l$ จงหาความชันของ $XN$
Answershow ▾
Same move as question 1, now named for this question.ขั้นเดียวกับข้อ 1 เพียงเขียนชื่อให้ตรงกับข้อนี้
Use $X(4,-3)$ and gradient $-\dfrac25$ to show that the line through $X$ and $N$ is $2x+5y+7=0$.
ใช้ $X(4,-3)$ กับความชัน $-\dfrac25$ จงแสดงว่าเส้นตรงที่ผ่าน $X$ และ $N$ คือ $2x+5y+7=0$
Answershow ▾
Same working as questions 2 and 3, now written for $X$.วิธีทำเดียวกับข้อ 2 และข้อ 3 เพียงเขียนสำหรับ $X$
Solve $2x+5y+7=0$ together with $y=\dfrac52x-\dfrac{55}{2}$ to find $N$.
จงแก้ระบบสมการ $2x+5y+7=0$ กับ $y=\dfrac52x-\dfrac{55}{2}$ เพื่อหา $N$
Answershow ▾
Substituting $l$ into $XN$’s equation leaves one letter, $x$.แทน $l$ ลงในสมการของ $XN$ จะเหลือตัวแปรเดียวคือ $x$
Find $r^{2}$, the squared radius, using $X(4,-3)$ and $N(9,-5)$.
จงหา $r^{2}$ (รัศมียกกำลังสอง) โดยใช้ $X(4,-3)$ และ $N(9,-5)$
Answershow ▾
Square the difference in each coordinate, then add.ยกกำลังสองผลต่างของแต่ละแกน แล้วบวกกัน
Write the equation of $C$, using centre $X(4,-3)$ and $r^{2}=29$.
จงเขียนสมการของ $C$ โดยใช้จุดศูนย์กลาง $X(4,-3)$ และ $r^{2}=29$
Answershow ▾
A circle’s equation is $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$, centre $(a,b)$.สมการวงกลมคือ $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ โดยจุดศูนย์กลางคือ $(a,b)$
Circle $C$ has centre $A(0,5)$. The line $k:y=2x$ is a tangent to $C$ at $P$. Show the line through $A$ and $P$ is $x+2y-10=0$, then find $P$ and an equation for $C$.
วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลาง $A(0,5)$ · เส้นตรง $k:y=2x$ เป็นเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $P$ · จงแสดงว่าเส้นตรงที่ผ่าน $A$ และ $P$ คือ $x+2y-10=0$ แล้วหา $P$ และสมการของ $C$
Answershow ▾
Same four moves as the exam question: perpendicular gradient, line through the centre, solve with the tangent, then $r^{2}$.สี่ขั้นเดิมเหมือนข้อสอบจริง: ความชันตั้งฉาก เส้นผ่านจุดศูนย์กลาง แก้ระบบกับเส้นสัมผัส แล้วหา $r^{2}$
Figure 2 shows a sketch of
• the circle $C$ with centre $X(4,-3)$
• the line $l$ with equation $y=\dfrac52x-\dfrac{55}{2}$
Given that $l$ is the tangent to $C$ at the point $N$
(a) Show that an equation for the straight line passing through $X$ and $N$ is
$2x+5y+7=0$
(b) Hence find
(i) the coordinates of $N$,
(ii) an equation for $C$.
รูปข้างต้นแสดงภาพร่างของ
• วงกลม $C$ ที่มีจุดศูนย์กลาง $X(4,-3)$
• เส้นตรง $l$ ที่มีสมการ $y=\dfrac52x-\dfrac{55}{2}$
กำหนดว่า $l$ เป็นเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $N$
(ก) จงแสดงว่าสมการเส้นตรงที่ผ่าน $X$ และ $N$ คือ
$2x+5y+7=0$
(ข) จากนั้นหา
(i) พิกัดของ $N$
(ii) สมการของ $C$
Answershow ▾
8 marks: perpendicular gradient of the radius, the line through $X$, then solve with $l$, then $r^{2}$ and the equation.8 คะแนน: ความชันตั้งฉากของรัศมี เส้นผ่าน $X$ แก้ระบบกับ $l$ แล้วหา $r^{2}$ และสมการวงกลม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Hidden centre, then a diameter จุดศูนย์กลางที่ซ่อนอยู่ แล้วเส้นผ่านศูนย์กลาง
(i)(a) The circle $C_{1}$ has equation
$x^{2}+y^{2}+10x-12y=k$
where $k$ is a constant.
Find the coordinates of the centre of $C_{1}$.
(i)(b) State the possible range of values for $k$.
(ii) The point $P(p,0)$, the point $Q(-2,10)$ and the point $R(8,-14)$ lie on a different circle, $C_{2}$.
Given that
• $p$ is a positive constant
• $QR$ is a diameter of $C_{2}$
find the exact value of $p$.
(i)(a) วงกลม $C_{1}$ มีสมการ
$x^{2}+y^{2}+10x-12y=k$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
หาพิกัดจุดศูนย์กลางของ $C_{1}$
(i)(b) บอกช่วงของค่า $k$ ที่เป็นไปได้
(ii) จุด $P(p,0)$, จุด $Q(-2,10)$ และจุด $R(8,-14)$ อยู่บนวงกลมอีกวง คือ $C_{2}$
กำหนดว่า
• $p$ เป็นค่าคงที่บวก
• $QR$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ $C_{2}$
จงหาค่า $p$ แบบ exact
Write $x^{2}+10x$ in the form $(x+5)^{2}+k$. Find $k$.
จงเขียน $x^{2}+10x$ ในรูป $(x+5)^{2}+k$ แล้วหาค่า $k$
Answershow ▾
Expand $(x+5)^{2}$, see the extra $25$, then subtract it back.กระจาย $(x+5)^{2}$ จะเห็น $25$ ที่เกินมา แล้วลบคืนออกไป
Write $y^{2}-12y$ in the form $(y-6)^{2}+k$. Find $k$.
จงเขียน $y^{2}-12y$ ในรูป $(y-6)^{2}+k$ แล้วหาค่า $k$
Answershow ▾
Expand $(y-6)^{2}$, see the extra $36$, then subtract it back.กระจาย $(y-6)^{2}$ จะเห็น $36$ ที่เกินมา แล้วลบคืนออกไป
Find the midpoint of $Q(-2,10)$ and $R(8,-14)$.
จงหาจุดกึ่งกลางของ $Q(-2,10)$ และ $R(8,-14)$
Answershow ▾
Average the $x$-coordinates, then average the $y$-coordinates.เฉลี่ยพิกัด $x$ แล้วเฉลี่ยพิกัด $y$
A circle in completed-square form has $r^{2}$ on the right. Pick the condition $r^{2}$ must satisfy for it to be a real circle.
(A) $r^{2}=0$
(B) $r^{2}\gt 0$
(C) $r^{2}\geqslant 0$
วงกลมในรูปกำลังสองสมบูรณ์มี $r^{2}$ อยู่ด้านขวา จงเลือกเงื่อนไขที่ $r^{2}$ ต้องเป็นจริง เพื่อให้เป็นวงกลมจริง
(A) $r^{2}=0$
(B) $r^{2}\gt 0$
(C) $r^{2}\geqslant 0$
Answershow ▾
(A) and (C) both allow $r^{2}=0$, which is a single point with no radius, not a circle you can draw.(A) และ (C) ยอมให้ $r^{2}=0$ ซึ่งเป็นแค่จุดเดียวไม่มีรัศมี ไม่ใช่วงกลมที่วาดได้
$C_{1}$ is $x^{2}+10x+y^{2}-12y=k$. Use questions 1 and 2 to write this in completed-square form. State the centre of $C_{1}$.
$C_{1}$ คือ $x^{2}+10x+y^{2}-12y=k$ ใช้ข้อ 1 และข้อ 2 เขียนให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ แล้วบอกจุดศูนย์กลางของ $C_{1}$
Answershow ▾
Add the two $k$-values back, then read the centre from the brackets, signs flipped.บวกค่า $k$ ทั้งสองกลับเข้าไป แล้วอ่านจุดศูนย์กลางจากวงเล็บโดยกลับเครื่องหมาย
Using $(x+5)^{2}+(y-6)^{2}=k+61$ and the condition from the last decision, state the range of values for $k$.
ใช้ $(x+5)^{2}+(y-6)^{2}=k+61$ และเงื่อนไขจากข้อเลือกที่แล้ว บอกช่วงของค่า $k$
Answershow ▾
Subtract $61$ from both sides of the inequality, same as an equation.ลบ $61$ ออกทั้งสองข้างของอสมการ เหมือนสมการทั่วไป
$QR$ is a diameter of $C_{2}$, with $Q(-2,10)$ and $R(8,-14)$. Use the midpoint from question 3 and find $r^{2}$ of $C_{2}$.
$QR$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ $C_{2}$ โดย $Q(-2,10)$ และ $R(8,-14)$ ใช้จุดกึ่งกลางจากข้อ 3 แล้วหา $r^{2}$ ของ $C_{2}$
Answershow ▾
$r^{2}$ is a quarter of $QR^{2}$, since the radius is half the diameter.$r^{2}$ คือหนึ่งในสี่ของ $QR^{2}$ เพราะรัศมีเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง
$C_{2}$ has centre $(3,-2)$ and $r^{2}=169$, so $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=169$. $P(p,0)$ lies on $C_{2}$. Substitute $P$ in and simplify.
$C_{2}$ มีจุดศูนย์กลาง $(3,-2)$ และ $r^{2}=169$ จะได้ $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=169$ จุด $P(p,0)$ อยู่บน $C_{2}$ จงแทน $P$ แล้วจัดรูป
Answershow ▾
$(0+2)^{2}=4$, so subtract $4$ from both sides.$(0+2)^{2}=4$ จึงลบ $4$ ออกทั้งสองข้าง
$(p-3)^{2}=165$ gives $p=3+\sqrt{165}$ or $p=3-\sqrt{165}$. $p$ is a positive constant. Which value is correct? Try $\sqrt{165}\approx12.8$.
(A) $p=3+\sqrt{165}$ only
(B) $p=3-\sqrt{165}$ only
(C) both values
$(p-3)^{2}=165$ ได้ $p=3+\sqrt{165}$ หรือ $p=3-\sqrt{165}$ และ $p$ เป็นค่าคงที่บวก ค่าไหนถูก ลองประมาณ $\sqrt{165}\approx12.8$
(A) $p=3+\sqrt{165}$ เท่านั้น
(B) $p=3-\sqrt{165}$ เท่านั้น
(C) ทั้งสองค่า
Answershow ▾
(B) gives a negative value since $\sqrt{165}\gt3$. (C) ignores that $p$ must be positive.(B) ได้ค่าติดลบเพราะ $\sqrt{165}\gt3$ · (C) ไม่สนใจเงื่อนไขที่ $p$ ต้องเป็นบวก
Check that $p=3+\sqrt{165}$ satisfies $(p-3)^{2}=165$.
จงตรวจว่า $p=3+\sqrt{165}$ เป็นจริงกับ $(p-3)^{2}=165$
Answershow ▾
Squaring a square root cancels it, leaving the number inside.ยกกำลังสองของรากที่สองจะตัดกัน เหลือเลขที่อยู่ข้างใน
(i)(a) $C_{1}$ is $x^{2}+y^{2}+8x-6y=k$. Find the centre of $C_{1}$.
(i)(b) State the range of values for $k$.
(ii) $P(p,0)$, $Q(-2,6)$ and $R(6,-2)$ lie on $C_{2}$, where $QR$ is a diameter and $p$ is positive. Find the exact value of $p$.
(i)(a) $C_{1}$ คือ $x^{2}+y^{2}+8x-6y=k$ จงหาจุดศูนย์กลางของ $C_{1}$
(i)(b) จงบอกช่วงของค่า $k$
(ii) $P(p,0)$, $Q(-2,6)$ และ $R(6,-2)$ อยู่บน $C_{2}$ โดย $QR$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและ $p$ เป็นบวก จงหาค่า $p$ แบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸
Answershow ▾
Same three moves: complete the square twice, use $r^{2}\gt0$, then substitute $P$ and keep the positive root.สามขั้นเดิม: ทำกำลังสองสมบูรณ์สองรอบ ใช้ $r^{2}\gt0$ แล้วแทน $P$ และเก็บรากที่เป็นบวก
(i)(a) The circle $C_{1}$ has equation
$x^{2}+y^{2}+10x-12y=k$
where $k$ is a constant.
Find the coordinates of the centre of $C_{1}$.
(i)(b) State the possible range of values for $k$.
(ii) The point $P(p,0)$, the point $Q(-2,10)$ and the point $R(8,-14)$ lie on a different circle, $C_{2}$.
Given that
• $p$ is a positive constant
• $QR$ is a diameter of $C_{2}$
find the exact value of $p$.
(i)(a) วงกลม $C_{1}$ มีสมการ
$x^{2}+y^{2}+10x-12y=k$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
หาพิกัดจุดศูนย์กลางของ $C_{1}$
(i)(b) บอกช่วงของค่า $k$ ที่เป็นไปได้
(ii) จุด $P(p,0)$, จุด $Q(-2,10)$ และจุด $R(8,-14)$ อยู่บนวงกลมอีกวง คือ $C_{2}$
กำหนดว่า
• $p$ เป็นค่าคงที่บวก
• $QR$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ $C_{2}$
จงหาค่า $p$ แบบ exact
Answershow ▾
8 marks over three parts: complete the square for the centre, use $r^{2}\gt0$ for the range, then substitute $P$ and keep only the positive root.8 คะแนนในสามส่วน: ทำกำลังสองสมบูรณ์หาจุดศูนย์กลาง ใช้ $r^{2}\gt0$ หาช่วง แล้วแทน $P$ และเก็บเฉพาะรากที่เป็นบวก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Chord parallel to the x-axis คอร์ดขนานแกน x
The circle $C$
• has centre $A(3,5)$
• passes through the point $B(8,-7)$
(a) Find an equation for $C$.
(b) The points $M$ and $N$ lie on $C$ such that $MN$ is a chord of $C$.
Given that $MN$
• lies above the $x$-axis
• is parallel to the $x$-axis
• has length $4\sqrt{22}$
find an equation for the line passing through points $M$ and $N$.
วงกลม $C$
• มีจุดศูนย์กลาง $A(3,5)$
• ผ่านจุด $B(8,-7)$
(ก) หาสมการของ $C$
(ข) จุด $M$ และ $N$ อยู่บน $C$ โดยที่ $MN$ เป็นคอร์ด (chord) ของ $C$
กำหนดว่า $MN$
• อยู่เหนือแกน $x$
• ขนานกับแกน $x$
• ยาว $4\sqrt{22}$
จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด $M$ และ $N$
$A$ is $(3,5)$ and $B$ is $(8,-7)$. Find $(8-3)^{2}+(-7-5)^{2}$.
$A$ คือ $(3,5)$ และ $B$ คือ $(8,-7)$ จงหา $(8-3)^{2}+(-7-5)^{2}$
Answershow ▾
Subtract the coordinates, square each difference, then add.ลบพิกัดแต่ละคู่ ยกกำลังสองผลต่าง แล้วบวกกัน
A circle has centre $(1,-2)$ and $r^{2}=20$. Write its equation.
วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง $(1,-2)$ และ $r^{2}=20$ จงเขียนสมการของวงกลมนี้
Answershow ▾
Each coordinate of the centre goes in its own bracket, with the opposite sign.พิกัดของจุดศูนย์กลางแต่ละค่า ใส่ลงวงเล็บของตัวเอง โดยเปลี่ยนเครื่องหมาย
A chord has length $4\sqrt{22}$, so its half is $2\sqrt{22}$. Find $\left(2\sqrt{22}\right)^{2}$.
คอร์ดหนึ่งยาว $4\sqrt{22}$ ครึ่งหนึ่งของคอร์ดคือ $2\sqrt{22}$ จงหา $\left(2\sqrt{22}\right)^{2}$
Answershow ▾
Square the number and the surd separately, then multiply.ยกกำลังสองตัวเลขและตัวกรณฑ์แยกกัน แล้วคูณกัน
$MN$ has length $4\sqrt{22}$. To use Pythagoras with the radius and the distance from the centre to $MN$, which length is the third side of the right-angled triangle?
(A) the full chord, $4\sqrt{22}$
(B) half the chord, $2\sqrt{22}$
(C) a quarter of the chord
$MN$ ยาว $4\sqrt{22}$ หากต้องการใช้พีทาโกรัสร่วมกับรัศมีและระยะจากจุดศูนย์กลางถึง $MN$ ด้านที่สามของสามเหลี่ยมมุมฉากคือเท่าใด
(A) คอร์ดทั้งเส้น $4\sqrt{22}$
(B) ครึ่งคอร์ด $2\sqrt{22}$
(C) หนึ่งในสี่ของคอร์ด
Answershow ▾
The perpendicular from the centre bisects the chord, so only half of $MN$ reaches the midpoint - that half, the radius, and the perpendicular form the right-angled triangle. (A) uses a side too long; (C) has no reason behind it.เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางแบ่งคอร์ดออกเป็นครึ่งหนึ่ง ดังนั้นมีเพียงครึ่งหนึ่งของ $MN$ ที่ไปถึงจุดกึ่งกลาง ครึ่งนั้น รัศมี และเส้นตั้งฉาก ประกอบเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก · (A) ใช้ด้านที่ยาวเกินไป · (C) ไม่มีเหตุผลทางเรขาคณิตรองรับ
Using $r^{2}=169$ and centre $(3,5)$, write an equation for the circle $C$.
ใช้ $r^{2}=169$ และจุดศูนย์กลาง $(3,5)$ จงเขียนสมการของวงกลม $C$
Answershow ▾
Same form as question 2, now with the real centre and $r^{2}$.รูปแบบเดียวกับข้อ 2 แต่ใช้จุดศูนย์กลางและ $r^{2}$ จริง
The circle $C$ has $r^{2}=169$. Find $r$.
วงกลม $C$ มี $r^{2}=169$ จงหา $r$
Answershow ▾
A radius is a length, so take the positive square root only.รัศมีเป็นความยาว จึงถอดรากที่สองเฉพาะค่าบวก
Let $d$ be the distance from $A$ to $MN$. Using $r=13$ and half the chord $2\sqrt{22}$ from question 3, write Pythagoras’ equation and simplify to find $d^{2}$.
ให้ $d$ เป็นระยะจาก $A$ ถึง $MN$ ใช้ $r=13$ และครึ่งคอร์ด $2\sqrt{22}$ จากข้อ 3 จงเขียนสมการพีทาโกรัสแล้วทำให้เป็นรูปง่ายเพื่อหา $d^{2}$
Answershow ▾
The radius is the hypotenuse; $d$ and the half chord are the other two sides.รัศมีคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ส่วน $d$ และครึ่งคอร์ดเป็นอีกสองด้าน
Solve $d^{2}=81$ for $d$.
จงแก้สมการ $d^{2}=81$ หาค่า $d$
Answershow ▾
$d$ is a distance, so only the positive root is used.$d$ เป็นระยะทาง จึงใช้เฉพาะรากที่เป็นค่าบวก
$MN$ lies above the $x$-axis, and $A$ has $y=5$. Which value of $y$ for $MN$ is correct?
(A) $y=5+9=14$
(B) $y=5-9=-4$
(C) the average of the two, $y=5$
$MN$ อยู่เหนือแกน $x$ และ $A$ มี $y=5$ ค่า $y$ ของ $MN$ ที่ถูกต้องคือข้อใด
(A) $y=5+9=14$
(B) $y=5-9=-4$
(C) ค่าเฉลี่ยของทั้งสอง $y=5$
Answershow ▾
(B) gives $y=-4$, which is below the $x$-axis, not above as the question states. (C) is not a real move - the centre is $9$ away from $MN$ in one fixed direction, not halfway to it.(B) ให้ $y=-4$ ซึ่งอยู่ใต้แกน $x$ ไม่ใช่เหนือแกนตามที่โจทย์กำหนด · (C) ไม่ใช่ขั้นตอนที่แท้จริง เพราะจุดศูนย์กลางอยู่ห่างจาก $MN$ คงที่ $9$ หน่วยในทิศทางเดียว ไม่ใช่ครึ่งทาง
Check: does $9^{2}+88=169$?
ตรวจ: $9^{2}+88=169$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
If $d^{2}$ plus the half-chord squared gives back $r^{2}$, the Pythagoras step is correct.ถ้า $d^{2}$ บวกครึ่งคอร์ดยกกำลังสอง ได้ $r^{2}$ กลับมา แสดงว่าขั้นพีทาโกรัสถูกต้อง
The circle $C$ has centre $(0,0)$ and passes through $(3,4)$.
(a) Find an equation for $C$.
(b) The points $P$ and $Q$ lie on $C$ such that $PQ$ is a chord of $C$. Given that $PQ$ lies below the $x$-axis, is parallel to the $x$-axis, and has length $6$, find an equation for the line through $P$ and $Q$.
วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลาง $(0,0)$ และผ่านจุด $(3,4)$
(ก) หาสมการของ $C$
(ข) จุด $P$ และ $Q$ อยู่บน $C$ โดยที่ $PQ$ เป็นคอร์ดของ $C$ กำหนดว่า $PQ$ อยู่ใต้แกน $x$ ขนานกับแกน $x$ และยาว $6$ จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด $P$ และ $Q$
Answershow ▾
Same four moves: radius squared, the equation, Pythagoras with the half chord, then the sign that matches below the $x$-axis.สี่ขั้นเดิม: รัศมียกกำลังสอง สมการวงกลม พีทาโกรัสกับครึ่งคอร์ด แล้วเลือกเครื่องหมายที่อยู่ใต้แกน $x$
The circle $C$
• has centre $A(3,5)$
• passes through the point $B(8,-7)$
(a) Find an equation for $C$.
(b) The points $M$ and $N$ lie on $C$ such that $MN$ is a chord of $C$.
Given that $MN$
• lies above the $x$-axis
• is parallel to the $x$-axis
• has length $4\sqrt{22}$
find an equation for the line passing through points $M$ and $N$.
วงกลม $C$
• มีจุดศูนย์กลาง $A(3,5)$
• ผ่านจุด $B(8,-7)$
(ก) หาสมการของ $C$
(ข) จุด $M$ และ $N$ อยู่บน $C$ โดยที่ $MN$ เป็นคอร์ด (chord) ของ $C$
กำหนดว่า $MN$
• อยู่เหนือแกน $x$
• ขนานกับแกน $x$
• ยาว $4\sqrt{22}$
จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด $M$ และ $N$
Answershow ▾
6 marks: radius squared, the equation of $C$, Pythagoras with the half chord, then the sign that puts $MN$ above the $x$-axis.6 คะแนน: รัศมียกกำลังสอง สมการของ $C$ พีทาโกรัสกับครึ่งคอร์ด แล้วเลือกเครื่องหมายที่ทำให้ $MN$ อยู่เหนือแกน $x$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A tangent circle, then a triangle วงกลมสัมผัสแกน แล้วหาพื้นที่สามเหลี่ยม
A circle has equation
$x^{2}-6x+y^{2}+8y+k=0$
where $k$ is a positive constant.
Given that the $x$-axis is a tangent to this circle
(a) Find the value of $k$.
(b) The circle meets the coordinate axes at the points $R$, $S$ and $T$. Find the exact area of the triangle $RST$.
วงกลมวงหนึ่งมีสมการ
$x^{2}-6x+y^{2}+8y+k=0$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก
กำหนดว่าแกน $x$ เป็นเส้นสัมผัส (tangent) ของวงกลมนี้
(ก) หาค่าของ $k$
(ข) วงกลมตัดแกนพิกัดที่จุด $R$, $S$ และ $T$ จงหาพื้นที่แบบ exact ของสามเหลี่ยม $RST$
Write $x^{2}-6x$ in the form $(x-3)^{2}+c$. Find $c$.
จงเขียน $x^{2}-6x$ ในรูป $(x-3)^{2}+c$ แล้วหาค่า $c$
Answershow ▾
Expand $(x-3)^{2}$, see the extra $9$, then subtract it back.กระจาย $(x-3)^{2}$ จะเห็น $9$ ที่เกินมา แล้วลบคืนออกไป
Write $y^{2}+8y$ in the form $(y+4)^{2}+c$. Find $c$.
จงเขียน $y^{2}+8y$ ในรูป $(y+4)^{2}+c$ แล้วหาค่า $c$
Answershow ▾
Expand $(y+4)^{2}$, see the extra $16$, then subtract it back.กระจาย $(y+4)^{2}$ จะเห็น $16$ ที่เกินมา แล้วลบคืนออกไป
Solve $y^{2}+8y+9=0$. Leave your answer in surd form.
จงแก้สมการ $y^{2}+8y+9=0$ โดยให้คำตอบอยู่ในรูปราก
Answershow ▾
The quadratic formula, with $a=1,\ b=8,\ c=9$.สูตรกำลังสอง โดย $a=1,\ b=8,\ c=9$
A circle touches the $x$-axis at exactly one point. Pick what this says about the radius $r$ and the centre's $y$-coordinate, $b$.
(A) $r=0$
(B) $r=|b|$
(C) $r=b^{2}$
วงกลมสัมผัสแกน $x$ ที่จุดเดียวพอดี จงเลือกว่าข้อนี้บอกอะไรเกี่ยวกับรัศมี $r$ และพิกัด $y$ ของจุดศูนย์กลาง คือ $b$
(A) $r=0$
(B) $r=|b|$
(C) $r=b^{2}$
Answershow ▾
(A) makes the circle a single point, not one that touches a line. (C) squares the distance instead of stating it; a radius is a length, never a squared value.(A) ทำให้วงกลมเหลือแค่จุดเดียว ไม่ใช่วงกลมที่สัมผัสเส้นตรง · (C) เอาระยะไปยกกำลังสองทั้งที่ควรบอกตรงๆ เพราะรัศมีคือความยาว ไม่ใช่ค่ายกกำลังสอง
Use questions 1 and 2 to write $x^{2}-6x+y^{2}+8y+k=0$ in completed-square form.
ใช้ข้อ 1 และข้อ 2 เขียน $x^{2}-6x+y^{2}+8y+k=0$ ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
Answershow ▾
Add the two subtracted numbers back, then move $k$ to the other side.บวกเลขที่ถูกลบออกทั้งสองตัวกลับเข้าไป แล้วย้าย $k$ ไปอีกข้าง
By the last decision, $r=|b|=4$ for this circle. Use $(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25-k$ to find $k$.
จากข้อเลือกที่แล้ว $r=|b|=4$ สำหรับวงกลมนี้ ใช้ $(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25-k$ หาค่า $k$
Answershow ▾
Square the radius first, then balance the equation to leave $k$ alone.ยกกำลังสองรัศมีก่อน แล้วจัดสมการให้เหลือ $k$ ตัวเดียว
The circle is $x^{2}-6x+y^{2}+8y+9=0$. Set $y=0$ and solve for $x$ to find the point $R$ where it touches the $x$-axis.
วงกลมคือ $x^{2}-6x+y^{2}+8y+9=0$ ให้ $y=0$ แล้วแก้สมการหา $x$ เพื่อหาจุด $R$ ที่วงกลมสัมผัสแกน $x$
Answershow ▾
With $y=0$ the equation is a perfect square, so there is only one $x$.เมื่อ $y=0$ สมการจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์พอดี จึงมี $x$ ค่าเดียว
$R(3,0)$ is one vertex of triangle $RST$; $S$ and $T$ lie on the $y$-axis. Pick the height of the triangle, taking $ST$ as the base.
(A) $4$, the radius
(B) $3$, the distance from $R$ to the $y$-axis
(C) $-4$, the $y$-coordinate of the centre
$R(3,0)$ เป็นจุดยอดหนึ่งของสามเหลี่ยม $RST$ ส่วน $S$ กับ $T$ อยู่บนแกน $y$ จงเลือกความสูงของสามเหลี่ยม โดยให้ $ST$ เป็นฐาน
(A) $4$ รัศมี
(B) $3$ ระยะจาก $R$ ถึงแกน $y$
(C) $-4$ พิกัด $y$ ของจุดศูนย์กลาง
Answershow ▾
(A) reuses the radius from part (a), which is R's distance to the $x$-axis, not to the $y$-axis. (C) is a coordinate of the centre, which is not even a vertex of the triangle.(A) เอารัศมีจากข้อ (ก) มาใช้ ซึ่งเป็นระยะจาก $R$ ถึงแกน $x$ ไม่ใช่แกน $y$ · (C) เป็นพิกัดของจุดศูนย์กลาง ซึ่งไม่ใช่จุดยอดของสามเหลี่ยมเลย
Set $x=0$ in $x^{2}-6x+y^{2}+8y+9=0$ and solve for $y$ to find $S$ and $T$. Write the length $ST$.
ให้ $x=0$ ใน $x^{2}-6x+y^{2}+8y+9=0$ แล้วแก้สมการหา $y$ เพื่อหาจุด $S$ และ $T$ แล้วหาความยาว $ST$
Answershow ▾
Question 3 already solved this equation for $y$; the two roots are the $y$-coordinates of $S$ and $T$.ข้อ 3 แก้สมการนี้หา $y$ ไว้แล้ว รากทั้งสองคือพิกัด $y$ ของ $S$ กับ $T$
Use $\text{Area}=\tfrac12\times ST\times3$ to find the area of triangle $RST$, then check it using the $y$-coordinates of $S$ and $T$ directly.
ใช้ $\text{Area}=\tfrac12\times ST\times3$ หาพื้นที่สามเหลี่ยม $RST$ แล้วตรวจคำตอบโดยใช้พิกัด $y$ ของ $S$ กับ $T$ ตรงๆ
Answershow ▾
Both methods use the same vertical gap between $S$ and $T$, just measured a different way.ทั้งสองวิธีใช้ระยะห่างแนวตั้งระหว่าง $S$ กับ $T$ ตัวเดียวกัน เพียงวัดคนละแบบ
A circle has equation $x^{2}-4x+y^{2}+6y+k=0$, where $k$ is a positive constant. Given that the $x$-axis is a tangent to this circle, find $k$, then find the exact area of the triangle formed where the circle meets the coordinate axes.
วงกลมวงหนึ่งมีสมการ $x^{2}-4x+y^{2}+6y+k=0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก กำหนดว่าแกน $x$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลมนี้ จงหาค่า $k$ แล้วหาพื้นที่แบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากวงกลมตัดแกนพิกัด
Answershow ▾
Same five moves: complete the square, use $r=|b|$, find $R$, find $S$ and $T$, then the area.ห้าขั้นเดิม: ทำกำลังสองสมบูรณ์ ใช้ $r=|b|$ หา $R$ หา $S$ กับ $T$ แล้วหาพื้นที่
A circle has equation
$x^{2}-6x+y^{2}+8y+k=0$
where $k$ is a positive constant.
Given that the $x$-axis is a tangent to this circle
(a) Find the value of $k$.
(b) The circle meets the coordinate axes at the points $R$, $S$ and $T$. Find the exact area of the triangle $RST$.
วงกลมวงหนึ่งมีสมการ
$x^{2}-6x+y^{2}+8y+k=0$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก
กำหนดว่าแกน $x$ เป็นเส้นสัมผัส (tangent) ของวงกลมนี้
(ก) หาค่าของ $k$
(ข) วงกลมตัดแกนพิกัดที่จุด $R$, $S$ และ $T$ จงหาพื้นที่แบบ exact ของสามเหลี่ยม $RST$
Answershow ▾
7 marks over two parts: three for $k$, four for the area - show every line since most marks are for method.7 คะแนนในสองส่วน: สามคะแนนสำหรับ $k$ สี่คะแนนสำหรับพื้นที่ · ต้องเขียนทุกบรรทัดเพราะส่วนใหญ่เป็นคะแนนวิธีทำ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A right angle on a circle มุมฉากบนวงกลม
The points $P(23,14)$, $Q(15,-30)$ and $R(-7,-26)$ lie on the circle $C$, as shown in Figure 1.
(a) Show that angle $PQR=90°$.
(b) Hence, or otherwise, find
(i) the centre of $C$,
(ii) the radius of $C$.
(c) Given that the point $S$ lies on $C$ such that the distance $QS$ is greatest, find an equation of the tangent to $C$ at $S$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$, where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
จุด $P(23,14)$, $Q(15,-30)$ และ $R(-7,-26)$ อยู่บนวงกลม $C$ ดังแสดงในรูปข้างต้น
(ก) จงแสดงว่ามุม $PQR=90°$
(ข) จากนั้น (หรือวิธีอื่น) หา
(i) จุดศูนย์กลางของ $C$
(ii) รัศมีของ $C$
(ค) กำหนดว่าจุด $S$ อยู่บน $C$ โดยที่ระยะ $QS$ มากที่สุด จงหาสมการเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $S$ ตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Two lines are perpendicular. One has gradient $\dfrac{3}{4}$. Find the gradient of the other.
เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกัน เส้นหนึ่งมีความชัน $\dfrac{3}{4}$ จงหาความชันของอีกเส้น
Answershow ▾
Flip the fraction, then change the sign.กลับเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
Find the midpoint of $A(2,5)$ and $B(8,-1)$.
จงหาจุดกึ่งกลางของ $A(2,5)$ และ $B(8,-1)$
Answershow ▾
Average the x-coordinates, then the y-coordinates.เฉลี่ยค่า x ก่อน แล้วเฉลี่ยค่า y
Find the distance between $A(1,1)$ and $B(4,5)$.
จงหาระยะทางระหว่าง $A(1,1)$ และ $B(4,5)$
Answershow ▾
Pythagoras on the horizontal and vertical gaps.ใช้พีทาโกรัสกับช่วงแนวนอนและแนวตั้ง
The circle $C$ passes through $P(23,14)$, $Q(15,-30)$ and $R(-7,-26)$. Find the gradient of $PQ$.
วงกลม $C$ ผ่านจุด $P(23,14)$, $Q(15,-30)$ และ $R(-7,-26)$ จงหาความชันของ $PQ$
Answershow ▾
Change in $y$ over change in $x$.การเปลี่ยนแปลงของ $y$ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$
Find the gradient of $QR$.
จงหาความชันของ $QR$
Answershow ▾
Same rule, the other pair of points.กฎเดิม ใช้จุดอีกคู่หนึ่ง
State the gradient of $PQ$, the gradient of $QR$, and their product.
จงระบุความชันของ $PQ$ ความชันของ $QR$ และผลคูณของทั้งสอง
Answershow ▾
The product is $-1$, so $PQ\perp QR$ and angle $PQR=90°$.ผลคูณเท่ากับ $-1$ แสดงว่า $PQ\perp QR$ และมุม $PQR=90°$
Angle $PQR=90°$. To find the centre, which two points give the diameter?
(A) $P$ and $Q$
(B) $P$ and $R$
(C) $Q$ and $R$
มุม $PQR=90°$ จะหาจุดศูนย์กลาง ต้องใช้จุดคู่ไหนเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
(A) $P$ และ $Q$
(B) $P$ และ $R$
(C) $Q$ และ $R$
Answershow ▾
The right angle sits at $Q$, so $Q$ cannot be a diameter endpoint. Angle in a semicircle puts the diameter opposite the right angle: $P$ and $R$. (A) and (C) both use $Q$ instead.มุมฉากอยู่ที่ $Q$ ดังนั้น $Q$ จึงไม่ใช่จุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง มุมในครึ่งวงกลมทำให้เส้นผ่านศูนย์กลางอยู่ตรงข้ามมุมฉาก คือ $P$ และ $R$ · (A) และ (C) ใช้ $Q$ ทั้งคู่
Angle $PQR=90°$ means $PR$ is a diameter. Using $P(23,14)$ and $R(-7,-26)$, find the centre and radius of $C$.
มุม $PQR=90°$ แปลว่า $PR$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ใช้ $P(23,14)$ และ $R(-7,-26)$ จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของ $C$
Answershow ▾
Midpoint for the centre, then distance to $P$ for the radius.หาจุดกึ่งกลางเพื่อได้จุดศูนย์กลาง แล้วหาระยะทางถึง $P$ เพื่อได้รัศมี
$QS$ is the greatest possible chord from $Q$. Which point is $S$?
(A) the midpoint of $Q$ and the centre
(B) double the centre, minus $Q$
(C) the point $P$, since it already looks far from $Q$
$QS$ คือคอร์ดที่ยาวที่สุดจาก $Q$ จุด $S$ คือจุดไหน
(A) จุดกึ่งกลางของ $Q$ กับจุดศูนย์กลาง
(B) จุดศูนย์กลางคูณสอง ลบด้วย $Q$
(C) จุด $P$ เพราะดูไกลจาก $Q$ อยู่แล้ว
Answershow ▾
The longest chord through a point on a circle is a diameter, so $S$ is opposite $Q$: double the centre, minus $Q$. (A) only reaches the centre. (C) picks an existing point with no reason to be farthest.คอร์ดที่ยาวที่สุดผ่านจุดบนวงกลมคือเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้น $S$ อยู่ตรงข้าม $Q$ คือจุดศูนย์กลางคูณสอง ลบด้วย $Q$ · (A) ไปถึงแค่จุดศูนย์กลาง · (C) เลือกจุดที่มีอยู่แล้วโดยไม่มีเหตุผลว่าไกลที่สุด
Use $S=2\times\text{centre}-Q$ with centre $(8,-6)$ and $Q(15,-30)$ to find $S$.
ใช้ $S=2\times\text{centre}-Q$ โดยจุดศูนย์กลางคือ $(8,-6)$ และ $Q(15,-30)$ เพื่อหา $S$
Answershow ▾
Doubling the centre and subtracting $Q$ reflects $Q$ through the centre.คูณจุดศูนย์กลางด้วยสองแล้วลบ $Q$ คือการสะท้อน $Q$ ผ่านจุดศูนย์กลาง
The points $P(5,0)$, $Q(3,4)$ and $R(-5,0)$ lie on a circle $C$.
(a) Show that angle $PQR=90°$.
(b) Find the centre and radius of $C$.
(c) Given that $S$ on $C$ makes $QS$ greatest, find the tangent to $C$ at $S$, in the form $ax+by+c=0$.
จุด $P(5,0)$, $Q(3,4)$ และ $R(-5,0)$ อยู่บนวงกลม $C$
(a) จงแสดงว่ามุม $PQR=90°$
(b) จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของ $C$
(c) กำหนดว่าจุด $S$ บน $C$ ทำให้ $QS$ มากที่สุด จงหาเส้นสัมผัสของ $C$ ที่ $S$ ในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Same three moves as the real question: gradients and their product, then midpoint and distance, then the opposite point and perpendicular gradient.สามขั้นเดิมกับข้อสอบจริง: ความชันและผลคูณ แล้วจุดกึ่งกลางและระยะทาง แล้วจุดตรงข้ามและความชันตั้งฉาก
The points $P(23,14)$, $Q(15,-30)$ and $R(-7,-26)$ lie on the circle $C$, as shown in Figure 1.
(a) Show that angle $PQR=90°$.
(b) Hence, or otherwise, find
(i) the centre of $C$,
(ii) the radius of $C$.
(c) Given that the point $S$ lies on $C$ such that the distance $QS$ is greatest, find an equation of the tangent to $C$ at $S$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$, where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
จุด $P(23,14)$, $Q(15,-30)$ และ $R(-7,-26)$ อยู่บนวงกลม $C$ ดังแสดงในรูปข้างต้น
(ก) จงแสดงว่ามุม $PQR=90°$
(ข) จากนั้น (หรือวิธีอื่น) หา
(i) จุดศูนย์กลางของ $C$
(ii) รัศมีของ $C$
(ค) กำหนดว่าจุด $S$ อยู่บน $C$ โดยที่ระยะ $QS$ มากที่สุด จงหาสมการเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $S$ ตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
8 marks: gradients and their product for (a); midpoint and distance for (b); the opposite point and perpendicular gradient for (c).8 คะแนน: ความชันและผลคูณสำหรับ (a) · จุดกึ่งกลางและระยะทางสำหรับ (b) · จุดตรงข้ามและความชันตั้งฉากสำหรับ (c)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A tangent that gives two points เส้นสัมผัสที่ให้จุดสัมผัสสองจุด
The circle $C$ has equation
$x^{2}+y^{2}+4x-30y+209=0$
(a) Find
(i) the coordinates of the centre of $C$,
(ii) the exact value of the radius of $C$.
(b) The line $L$ has equation $y=mx+1$, where $m$ is a constant.
Given that $L$ is the tangent to $C$ at the point $P$, show that
$2m^{2}-7m-22=0$
(c) Hence find the possible pairs of coordinates of $P$.
วงกลม $C$ มีสมการ
$x^{2}+y^{2}+4x-30y+209=0$
(ก) หา
(i) พิกัดจุดศูนย์กลางของ $C$
(ii) รัศมีแบบ exact ของ $C$
(ข) เส้นตรง $L$ มีสมการ $y=mx+1$ เมื่อ $m$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า $L$ เป็นเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $P$ จงแสดงว่า
$2m^{2}-7m-22=0$
(ค) จากนั้นหาพิกัดที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $P$
Complete the square: $x^{2}+4x$.
จงทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์: $x^{2}+4x$
Answershow ▾
Halve the $x$ coefficient, square it, then subtract that square.หารสัมประสิทธิ์ของ $x$ ด้วย 2 แล้วยกกำลังสอง จากนั้นลบค่านั้นออก
Complete the square: $y^{2}-30y$.
จงทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์: $y^{2}-30y$
Answershow ▾
Half of $-30$ is $-15$; square it and subtract.ครึ่งหนึ่งของ $-30$ คือ $-15$ ยกกำลังสองแล้วลบออก
A quadratic $ax^{2}+bx+c=0$ has one repeated root. State the condition on $b^{2}-4ac$.
สมการกำลังสอง $ax^{2}+bx+c=0$ มีรากซ้ำหนึ่งค่า จงระบุเงื่อนไขของ $b^{2}-4ac$
Answershow ▾
A repeated root means the two roots from the quadratic formula are equal, so the part under the square root is $0$.รากซ้ำหมายความว่ารากทั้งสองจากสูตรกำลังสองเท่ากัน ส่วนที่อยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์จึงเป็น $0$
$L$ is a tangent to $C$ at $P$. You substitute $y=mx+1$ into the equation of $C$ and collect it into $ax^{2}+bx+c=0$. What do you do next?
(A) set $b^{2}-4ac=0$, since a tangent meets the circle at one repeated point
(B) solve the quadratic for two values of $x$, since a line usually crosses a circle twice
(C) differentiate the quadratic with respect to $x$ and set the result to $0$
$L$ เป็นเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $P$ แทน $y=mx+1$ ลงในสมการของ $C$ แล้วจัดรูปเป็น $ax^{2}+bx+c=0$ ขั้นต่อไปควรทำอย่างไร
(A) กำหนด $b^{2}-4ac=0$ เพราะเส้นสัมผัสแตะวงกลมที่จุดซ้ำเพียงจุดเดียว
(B) แก้สมการกำลังสองหาค่า $x$ สองค่า เพราะเส้นตรงทั่วไปตัดวงกลมสองจุด
(C) หาอนุพันธ์ของสมการกำลังสองเทียบกับ $x$ แล้วกำหนดผลลัพธ์เป็น $0$
Answershow ▾
(B) assumes two crossing points, which is what a tangent is NOT. (C) finds where the quadratic in $x$ turns, a fact about the shape of that quadratic, not about where the line touches the circle.(B) สมมติว่ามีจุดตัดสองจุด ซึ่งไม่ใช่ลักษณะของเส้นสัมผัส · (C) หาจุดที่สมการกำลังสองในตัวแปร $x$ กลับทิศ ซึ่งเป็นเรื่องรูปร่างของสมการกำลังสองนั้น ไม่ใช่เรื่องจุดที่เส้นตรงสัมผัสวงกลม
$C: x^{2}+y^{2}+4x-30y+209=0$. Group the $x$ terms and the $y$ terms, then complete the square on each.
$C: x^{2}+y^{2}+4x-30y+209=0$ จงจัดกลุ่มพจน์ $x$ และพจน์ $y$ แล้วทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์แต่ละตัว
Answershow ▾
Use question 1 for the $x$ terms and question 2 for the $y$ terms; the $209$ does not move.ใช้ข้อ 1 สำหรับพจน์ $x$ และข้อ 2 สำหรับพจน์ $y$ ส่วน $209$ ไม่ต้องย้าย
Combine the constants in $(x+2)^{2}-4+(y-15)^{2}-225+209=0$ and move them across, to write $C$ as $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.
จงรวมค่าคงที่ใน $(x+2)^{2}-4+(y-15)^{2}-225+209=0$ แล้วย้ายข้าง เพื่อเขียน $C$ ในรูป $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
Answershow ▾
$-4-225+209=-20$; move it to the other side.$-4-225+209=-20$ ย้ายข้ามไปอีกฝั่ง
Hence write (i) the centre of $C$, (ii) the exact radius of $C$.
จากนั้นหา (i) จุดศูนย์กลางของ $C$ (ii) รัศมีแบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ของ $C$
Answershow ▾
The bracket $(x-a)^{2}$ names the centre coordinate as $a$, with the sign flipped.วงเล็บ $(x-a)^{2}$ บอกพิกัดจุดศูนย์กลางเป็น $a$ โดยสลับเครื่องหมาย
Substitute $y=mx+1$ into $x^{2}+y^{2}+4x-30y+209=0$. Write the new equation (do not expand yet).
แทน $y=mx+1$ ลงใน $x^{2}+y^{2}+4x-30y+209=0$ แล้วเขียนสมการใหม่ (ยังไม่ต้องกระจาย)
Answershow ▾
Replace every $y$ with $mx+1$, keeping it in brackets.แทน $y$ ทุกตัวด้วย $mx+1$ โดยคงไว้ในวงเล็บ
Expand and collect $x^{2}+(mx+1)^{2}+4x$ $-\,30(mx+1)+209=0$ into the form $(1+m^{2})x^{2}+bx+c=0$.
จงกระจายและรวมพจน์ $x^{2}+(mx+1)^{2}+4x$ $-\,30(mx+1)+209=0$ ให้อยู่ในรูป $(1+m^{2})x^{2}+bx+c=0$
Answershow ▾
Expand the square and the bracket first, then collect the $x$ terms and the constants separately.กระจายวงเล็บยกกำลังสองและวงเล็บธรรมดาก่อน แล้วรวมพจน์ $x$ กับค่าคงที่แยกกัน
The circle $C$ has equation $x^{2}+y^{2}=16$. The line $L: y=mx+5$ is a tangent to $C$ at $P$. Find the possible values of $m$ and the coordinates of $P$ in each case.
วงกลม $C$ มีสมการ $x^{2}+y^{2}=16$ เส้นตรง $L: y=mx+5$ เป็นเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $P$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $m$ และพิกัดของ $P$ ในแต่ละกรณี
Answershow ▾
Same moves: substitute, set the discriminant to $0$, then use the repeated root to find each $P$.ขั้นเดิม: แทนค่า กำหนดดิสคริมิแนนต์เป็น $0$ แล้วใช้รากซ้ำหาแต่ละ $P$
The circle $C$ has equation
$x^{2}+y^{2}+4x-30y+209=0$
(a) Find
(i) the coordinates of the centre of $C$,
(ii) the exact value of the radius of $C$.
(b) The line $L$ has equation $y=mx+1$, where $m$ is a constant.
Given that $L$ is the tangent to $C$ at the point $P$, show that
$2m^{2}-7m-22=0$
(c) Hence find the possible pairs of coordinates of $P$.
วงกลม $C$ มีสมการ
$x^{2}+y^{2}+4x-30y+209=0$
(ก) หา
(i) พิกัดจุดศูนย์กลางของ $C$
(ii) รัศมีแบบ exact ของ $C$
(ข) เส้นตรง $L$ มีสมการ $y=mx+1$ เมื่อ $m$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า $L$ เป็นเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $P$ จงแสดงว่า
$2m^{2}-7m-22=0$
(ค) จากนั้นหาพิกัดที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $P$
Answershow ▾
10 marks: 3 for the centre and radius, 3 to show the equation in $m$, 4 to find both points $P$.10 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับจุดศูนย์กลางและรัศมี 3 คะแนนสำหรับการแสดงสมการใน $m$ และ 4 คะแนนสำหรับหาจุด $P$ ทั้งสอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Tangent by discriminant, then AB=2r เส้นสัมผัสด้วยดิสคริมิแนนต์ (discriminant) แล้ว AB=2r
The circle $C$ has centre $X(3,5)$ and radius $r$. The line $l$ has equation $y=2x+k$, where $k$ is a constant.
(a) Show that $l$ and $C$ intersect when
$5x^{2}+(4k-26)x+k^{2}-10k+34-r^{2}=0$
(b) Given that $l$ is a tangent to $C$, show that
$5r^{2}=(k+p)^{2}$
where $p$ is a constant to be found.
(c) The line $l$ cuts the $y$-axis at the point $A$ and touches the circle $C$ at the point $B$, as shown in the figure. Given that $AB=2r$, find the value of $k$.
วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลาง $X(3,5)$ และรัศมี $r$ เส้นตรง $l$ มีสมการ $y=2x+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) จงแสดงว่า $l$ กับ $C$ ตัดกันเมื่อ
$5x^{2}+(4k-26)x+k^{2}-10k+34-r^{2}=0$
(ข) กำหนดว่า $l$ เป็นเส้นสัมผัสของ $C$ จงแสดงว่า
$5r^{2}=(k+p)^{2}$
เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ค) เส้นตรง $l$ ตัดแกน $y$ ที่จุด $A$ และสัมผัสวงกลม $C$ ที่จุด $B$ ดังแสดงในรูป กำหนดว่า $AB=2r$ จงหาค่าของ $k$
Expand $(x-3)^{2}$.
จงกระจาย $(x-3)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets. The middle term comes twice.เขียนเป็นสองวงเล็บ · พจน์กลางมาสองครั้ง
Expand $(2x-5)^{2}$.
จงกระจาย $(2x-5)^{2}$
Answershow ▾
Same idea, now the bracket has a coefficient of $2x$.แนวคิดเดียวกัน แต่วงเล็บมีสัมประสิทธิ์ $2x$
A line is a tangent to a curve exactly when the quadratic formed has a repeated root. Write the condition on $b^{2}-4ac$ for a repeated root.
เส้นตรงเป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้งก็ต่อเมื่อสมการกำลังสองที่ได้มีรากซ้ำ จงเขียนเงื่อนไขของ $b^{2}-4ac$ สำหรับรากซ้ำ
Answershow ▾
A repeated root means the two roots of the quadratic have become one.รากซ้ำหมายความว่ารากทั้งสองของสมการกำลังสองกลายเป็นตัวเดียวกัน
The circle $C$ has centre $X(3,5)$ and radius $r$, so $C: (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}$. The line is $l: y=2x+k$. Pick the first move for part (a).
(A) substitute $y=2x+k$ into $(x-3)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}$
(B) solve $(x-3)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}$ for $y$ first
(C) square both sides of $y=2x+k$ on its own
วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลาง $X(3,5)$ และรัศมี $r$ ดังนั้น $C: (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}$ เส้นตรงคือ $l: y=2x+k$ จงเลือกขั้นแรกของส่วน (a)
(A) แทน $y=2x+k$ ลงใน $(x-3)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}$
(B) แก้สมการ $(x-3)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}$ หา $y$ ก่อน
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $y=2x+k$ เพียงอย่างเดียว
Answershow ▾
(B) brings in a square root, which is harder, not easier. (C) squaring the line alone never brings in the circle, so it cannot combine the two equations.(B) ทำให้เกิดเครื่องหมายกรณฑ์ ซึ่งยากกว่า ไม่ใช่ง่ายกว่า · (C) ยกกำลังสองเฉพาะเส้นตรงไม่ทำให้วงกลม เข้ามาเกี่ยวข้อง จึงไม่สามารถรวมสองสมการเข้าด้วยกันได้
Replace $y$ with $2x+k$ in $(x-3)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}$. Write the new equation.
แทน $y$ ด้วย $2x+k$ ใน $(x-3)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Keep the bracket. The whole of $2x+k-5$ is squared.ต้องมีวงเล็บ · ยกกำลังสองทั้ง $2x+k-5$
Show that $(x-3)^{2}+(2x+k-5)^{2}=r^{2}$ becomes $5x^{2}+(4k-26)x$ $+\,k^{2}-10k+34-r^{2}=0$.
จงแสดงว่า $(x-3)^{2}+(2x+k-5)^{2}=r^{2}$ จัดรูปได้เป็น $5x^{2}+(4k-26)x$ $+\,k^{2}-10k+34-r^{2}=0$
Answershow ▾
Use questions 1 and 2 for the two brackets, then collect the $x^{2}$ and $x$ terms.ใช้ข้อ 1 กับข้อ 2 กระจายทั้งสองวงเล็บ แล้วรวมพจน์ $x^{2}$ และ $x$
The line is a tangent, so $5x^{2}+(4k-26)x$ $+\,k^{2}-10k+34-r^{2}=0$ has a repeated root. Use $b^{2}-4ac=0$ (question 3) to show that $5r^{2}=(k+1)^{2}$.
เส้นตรงเป็นเส้นสัมผัส ดังนั้น $5x^{2}+(4k-26)x$ $+\,k^{2}-10k+34-r^{2}=0$ มีรากซ้ำ จงใช้ $b^{2}-4ac=0$ (ข้อ 3) แสดงว่า $5r^{2}=(k+1)^{2}$
Answershow ▾
Every $k^{2}$ term cancels except one, so the result is a perfect square.พจน์ $k^{2}$ ตัดกันหมดเหลือเพียงหนึ่งพจน์ ผลลัพธ์จึงเป็นกำลังสองสมบูรณ์
The line touches the circle at $B$ and cuts the $y$-axis at $A$. The radius $XB$ is perpendicular to $l$ at $B$, so triangle $AXB$ has a right angle at $B$. Pick the relation between $AB$, $XA$, and $r$.
(A) $AB^{2}=XA^{2}-r^{2}$
(B) $AB^{2}=XA^{2}+r^{2}$
(C) $AB=XA-r$
เส้นตรงสัมผัสวงกลมที่จุด $B$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $A$ · รัศมี $XB$ ตั้งฉากกับ $l$ ที่จุด $B$ สามเหลี่ยม $AXB$ จึงมีมุมฉากที่จุด $B$ จงเลือกความสัมพันธ์ระหว่าง $AB$, $XA$ และ $r$
(A) $AB^{2}=XA^{2}-r^{2}$
(B) $AB^{2}=XA^{2}+r^{2}$
(C) $AB=XA-r$
Answershow ▾
(B) makes $XA$ even bigger than it already is, but the right angle at $B$ already makes $XA$ the longest side. (C) Pythagoras needs squares, not a plain subtraction of the sides.(B) ทำให้ $XA$ ใหญ่ขึ้นไปอีก ทั้งที่มุมฉากที่ $B$ ทำให้ $XA$ เป็นด้านที่ยาวที่สุดอยู่แล้ว · (C) พีทาโกรัสต้องใช้กำลังสอง ไม่ใช่การลบด้านตรง ๆ
Write the coordinates of $A$, where $l$ cuts the $y$-axis, and work out $XA^{2}$ in terms of $k$.
จงเขียนพิกัดของ $A$ ซึ่งเป็นจุดที่ $l$ ตัดแกน $y$ แล้วหา $XA^{2}$ ในรูปของ $k$
Answershow ▾
On the $y$-axis, $x=0$. Then use the distance between $X(3,5)$ and $A(0,k)$.บนแกน $y$ นั้น $x=0$ จากนั้นใช้ระยะทางระหว่าง $X(3,5)$ กับ $A(0,k)$
$AB=2r$. Use $AB^{2}=XA^{2}-r^{2}$ and $XA^{2}=9+(5-k)^{2}$ (question 7) to show that $5r^{2}=9+(5-k)^{2}$.
$AB=2r$ · จงใช้ $AB^{2}=XA^{2}-r^{2}$ กับ $XA^{2}=9+(5-k)^{2}$ (ข้อ 7) แสดงว่า $5r^{2}=9+(5-k)^{2}$
Answershow ▾
Squaring $AB=2r$ gives $AB^{2}=4r^{2}$. Add $r^{2}$ to both sides to collect $5r^{2}$.ยกกำลังสอง $AB=2r$ ได้ $AB^{2}=4r^{2}$ · บวก $r^{2}$ ทั้งสองข้างเพื่อรวมเป็น $5r^{2}$
A circle has centre $X(1,2)$ and radius $r$. The line $l: y=2x+k$ is a tangent to the circle. $l$ cuts the $y$-axis at $A$ and touches the circle at $B$, with $AB=2r$. Find the value of $k$.
วงกลมมีจุดศูนย์กลาง $X(1,2)$ และรัศมี $r$ · เส้นตรง $l: y=2x+k$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลม $l$ ตัดแกน $y$ ที่จุด $A$ และสัมผัสวงกลมที่จุด $B$ โดย $AB=2r$ จงหาค่าของ $k$
Answershow ▾
The same three moves: the tangent identity, then the length condition at $B$, give one equation in $k$.สามขั้นเดิม: เอกลักษณ์เส้นสัมผัส แล้วเงื่อนไขความยาวที่ $B$ ให้สมการเดียวในรูปของ $k$
The circle $C$ has centre $X(3,5)$ and radius $r$. The line $l$ has equation $y=2x+k$, where $k$ is a constant.
(a) Show that $l$ and $C$ intersect when
$5x^{2}+(4k-26)x+k^{2}-10k+34-r^{2}=0$
(b) Given that $l$ is a tangent to $C$, show that
$5r^{2}=(k+p)^{2}$
where $p$ is a constant to be found.
(c) The line $l$ cuts the $y$-axis at the point $A$ and touches the circle $C$ at the point $B$, as shown in the figure. Given that $AB=2r$, find the value of $k$.
วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลาง $X(3,5)$ และรัศมี $r$ เส้นตรง $l$ มีสมการ $y=2x+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) จงแสดงว่า $l$ กับ $C$ ตัดกันเมื่อ
$5x^{2}+(4k-26)x+k^{2}-10k+34-r^{2}=0$
(ข) กำหนดว่า $l$ เป็นเส้นสัมผัสของ $C$ จงแสดงว่า
$5r^{2}=(k+p)^{2}$
เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ค) เส้นตรง $l$ ตัดแกน $y$ ที่จุด $A$ และสัมผัสวงกลม $C$ ที่จุด $B$ ดังแสดงในรูป กำหนดว่า $AB=2r$ จงหาค่าของ $k$
Answershow ▾
12 marks across three parts: expand to the given quadratic, use the discriminant for the tangent identity, then combine $AB=2r$ with it to find $k$.12 คะแนนในสามส่วน: กระจายให้ได้สมการตามที่โจทย์ให้ ใช้ดิสคริมิแนนต์หาเงื่อนไขเส้นสัมผัส แล้วรวมกับ $AB=2r$ เพื่อหา $k$