Radians, arcs & sectors · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เรเดียน ส่วนโค้ง และเซกเตอร์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Circular measure · a shaded region with a tangent
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle, centre $O$, radius $12$ cm. The angle $AOB = \theta$ radians, where $0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$. The tangent to the circle at $A$ meets $OB$ extended at $T$.
(a) Show that $AT = 12\tan\theta$.
(b) Given that $\theta = \frac{\pi}{3}$, find the exact length of $OT$.
(c) Find, in exact form, the area of the shaded region bounded by $AT$, $TB$ and the arc $AB$.
A right-angled triangle has a right angle at one vertex. The side adjacent to angle $\frac{\pi}{3}$ radians has length $5$ cm. Find the length of the side opposite this angle.
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประชิดมุม $\frac{\pi}{3}$ เรเดียน ยาว $5$ ซม. จงหาความยาวด้านตรงข้ามมุมนี้
Answershow ▾
$\tan\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$, so opposite $= \text{adjacent} \times \tan\theta$. This is exactly the move that gives $AT$.
A right-angled triangle has the side adjacent to angle $\frac{\pi}{4}$ radians equal to $8$ cm. Find the length of the hypotenuse.
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประชิดมุม $\frac{\pi}{4}$ เรเดียน ยาว $8$ ซม. จงหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
Answershow ▾
$\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$, so hypotenuse $= \text{adjacent} \div \cos\theta$. This is exactly the move that gives $OT$.
A sector has radius $4$ cm and angle $\frac{\pi}{6}$ radians at the centre. Find the area of the sector.
เซกเตอร์รัศมี $4$ ซม. มุมที่จุดศูนย์กลาง $\frac{\pi}{6}$ เรเดียน จงหาพื้นที่เซกเตอร์
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 r^2\theta$, with $\theta$ in radians. Needed for part (c) later.
The angle here is $\theta = \dfrac{\pi}{3}$, which is $60^\circ$. Work out the area of a sector of radius $12$ two ways — once as $\tfrac12 \times 12^2 \times \tfrac{\pi}{3}$ and once as $\tfrac12 \times 12^2 \times 60$ — say which is the area, and state the calculator mode you must be in to evaluate $\tan\theta$ in this question.
มุมที่นี่คือ $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ ซึ่งเท่ากับ $60^\circ$ · จงหาพื้นที่เซกเตอร์รัศมี $12$ สองทาง คือ $\tfrac12 \times 12^2 \times \tfrac{\pi}{3}$ และ $\tfrac12 \times 12^2 \times 60$ · บอกว่าอันไหนคือพื้นที่ และบอกโหมดเครื่องคิดเลขที่ต้องใช้ในการหา $\tan\theta$ ของข้อนี้
Answershow ▾
$s = r\theta$ and $A = \tfrac12 r^2\theta$ are true only when $\theta$ is measured in radians — they are the definition of the radian, not general formulas with a unit slot. Feed $60$ into either one and you get an answer roughly $57$ times too big, which is exactly the factor $\tfrac{180}{\pi}$. The same switch governs the calculator: $\tan\left(\tfrac{\pi}{3}\right)$ in degree mode returns $0.0183$, not $\sqrt{3}$, and every later line inherits it. No mark exists for checking the mode; the marks are for $12\tan\theta$, $24$ and $24\pi$, and all three are wrong together if the mode is.$s = r\theta$ และ $A = \tfrac12 r^2\theta$ เป็นจริงเฉพาะเมื่อ $\theta$ เป็นเรเดียน · สองสูตรนี้คือนิยามของเรเดียน ไม่ใช่สูตรทั่วไปที่เสียบหน่วยอะไรก็ได้ · ถ้าใส่ $60$ ลงไป จะได้คำตอบใหญ่เกินไปราว $57$ เท่า ซึ่งคือตัวประกอบ $\tfrac{180}{\pi}$ พอดี · สวิตช์เดียวกันคุมเครื่องคิดเลข · $\tan\left(\tfrac{\pi}{3}\right)$ ในโหมดองศาให้ $0.0183$ ไม่ใช่ $\sqrt{3}$ และทุกบรรทัดถัดไปรับความผิดนั้นต่อ · ไม่มีคะแนนสำหรับการตรวจโหมด · คะแนนอยู่ที่ $12\tan\theta$, $24$ และ $24\pi$ และทั้งสามผิดพร้อมกันถ้าโหมดผิด
The sector $OAB$ has radius $12$ cm, centre $O$, and angle $AOB = \theta$ radians. The tangent to the circle at $A$ meets $OB$ extended at $T$. Show that $AT = 12\tan\theta$.
Answershow ▾
The whole question hinges on spotting that $OAT$ is right-angled at $A$, because a tangent is always perpendicular to the radius at the point of contact. This is part (a).
Triangle $OAT$ has a right angle. Say where it is and name the circle fact that puts it there. Then match each of $AT$ and $OT$ to the ratio that finds it — $\sin$, $\cos$ or $\tan$ — and say which side is the hypotenuse.
สามเหลี่ยม $OAT$ มีมุมฉาก · จงบอกว่าอยู่ที่ไหนและบอกชื่อสมบัติของวงกลมที่ทำให้มันอยู่ตรงนั้น · แล้วจับคู่ $AT$ กับ $OT$ เข้ากับอัตราส่วนที่หามันได้ ระหว่าง $\sin$, $\cos$, $\tan$ และบอกว่าด้านไหนคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
Answershow ▾
The right angle is at $A$ and nowhere else: $OA$ is a radius, $AT$ is along the tangent at $A$, and the tangent is perpendicular to the radius at the point of contact. Put it at $T$ instead and $OA$ becomes the hypotenuse, which would make the radius the longest side of a triangle that runs outside the circle. Once the right angle is placed, the ratio picks itself: $AT$ is opposite $\theta$ and $OA$ is adjacent, so it is $\tan$; $OT$ is the hypotenuse with $OA$ adjacent, so it is $\cos$. Part (a) is M1 A1 for $12\tan\theta$; the tangent-radius fact must be stated, and stating it earns nothing on its own.มุมฉากอยู่ที่ $A$ ที่เดียว · $OA$ เป็นรัศมี $AT$ อยู่บนเส้นสัมผัสที่ $A$ และเส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส · ถ้าย้ายไปที่ $T$ แล้ว $OA$ จะกลายเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งทำให้รัศมีเป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมที่ยื่นออกนอกวงกลม · เมื่อวางมุมฉากถูก อัตราส่วนก็เลือกตัวเอง: $AT$ อยู่ตรงข้าม $\theta$ และ $OA$ อยู่ประชิด จึงเป็น $\tan$ · $OT$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากคู่กับ $OA$ ที่ประชิด จึงเป็น $\cos$ · ข้อ (a) ให้ M1 A1 กับ $12\tan\theta$ · ต้องเขียนสมบัติเส้นสัมผัสกับรัศมีลงไป และการเขียนนั้นเองไม่มีคะแนน
The sector $OAB$ has radius $12$ cm, centre $O$, and $\theta = \frac{\pi}{3}$. The tangent to the circle at $A$ meets $OB$ extended at $T$. Find the exact length of $OT$.
Answershow ▾
In right-angled triangle $OAT$, $\cos\theta = \dfrac{OA}{OT}$, so $OT = \dfrac{OA}{\cos\theta} = \dfrac{12}{\cos(\frac{\pi}{3})}$. This is part (b).
The sector $OAB$ has radius $12$ cm, centre $O$, angle $\theta = \frac{\pi}{3}$, and the tangent at $A$ meets $OB$ extended at $T$, with $AT = 12 \sqrt{3}$ cm. Find the area of triangle $OAT$.
Answershow ▾
Triangle $OAT$ is right-angled at $A$, so its area is $\dfrac12 \times OA \times AT = \dfrac12 \times 12 \times 12 \sqrt{3}$ — not $\dfrac12 ab\sin C$, since a right angle is already given.
The sector $OAB$ has radius $12$ cm and angle $\theta = \frac{\pi}{3}$ radians. Find the area of the sector.
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 r^2\theta$ — the ordinary sector formula, needed alongside the triangle to build the shaded region in part (c).
The shaded region is bounded by $AT$, $TB$ and the arc $AB$. Which of these three builds it, and what does each of the other two describe?
(A) sector $OAB$ $-$ triangle $OAT$ (B) triangle $OAT$ $-$ sector $OAB$ (C) triangle $OAT$ $+$ sector $OAB$
Then say what the words in exact form forbid you from doing at the end.
บริเวณแรเงาถูกล้อมด้วย $AT$, $TB$ และส่วนโค้ง $AB$ · ข้อไหนสร้างมันขึ้นมา และอีกสองข้อบรรยายอะไร
(A) เซกเตอร์ $OAB$ $-$ สามเหลี่ยม $OAT$ (B) สามเหลี่ยม $OAT$ $-$ เซกเตอร์ $OAB$ (C) สามเหลี่ยม $OAT$ $+$ เซกเตอร์ $OAB$
แล้วบอกว่าคำว่า in exact form ห้ามทำอะไรในตอนท้าย
Answershow ▾
The sector sits inside the triangle — both start at $O$, both reach $A$, and the arc cuts across before $T$ — so the region asked for is what is left when the sector is taken out. (A) has the subtraction the wrong way round and gives a negative number, which is the check: an area cannot come out negative, so a minus sign in the answer means the two pieces were swapped. (C) counts the sector twice. The instruction exact then decides how the answer is written: $\sqrt{3}$ and $\pi$ stay as symbols, and $50.3$ scores nothing however correct it is. Part (c) is M1 for the difference and A1 for the exact form.เซกเตอร์อยู่ข้างในสามเหลี่ยม · ทั้งคู่เริ่มที่ $O$ ทั้งคู่ไปถึง $A$ และส่วนโค้งตัดขวางก่อนถึง $T$ · บริเวณที่โจทย์ถามจึงคือสิ่งที่เหลือเมื่อเอาเซกเตอร์ออก · (A) ลบกลับข้างและได้จำนวนติดลบ ซึ่งคือตัวตรวจ: พื้นที่ติดลบไม่ได้ ดังนั้นเครื่องหมายลบในคำตอบแปลว่าสลับสองชิ้นกัน · (C) นับเซกเตอร์สองครั้ง · คำสั่ง exact กำหนดวิธีเขียนคำตอบ: $\sqrt{3}$ กับ $\pi$ ต้องอยู่ในรูปสัญลักษณ์ และ $50.3$ ไม่ได้คะแนนแม้จะถูกก็ตาม · ข้อ (c) ให้ M1 กับผลต่างและ A1 กับรูปที่ไม่ปัดเศษ
Triangle $OAT$ has area $72 \sqrt{3}$ cm$^2$ and sector $OAB$ has area $24 \pi$ cm$^2$. Find the area of the region bounded by $AT$, $TB$ and the arc $AB$.
Answershow ▾
The shaded region is what is left of triangle $OAT$ once sector $OAB$ (which sits inside it, between $OA$, arc $AB$ and $OB$) is removed. This is part (c).
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle, centre $O$, radius $2$ cm. The angle $AOB = \theta$ radians, where $0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$. The tangent to the circle at $A$ meets $OB$ extended at $T$.
(a) Show that $AT = 2\tan\theta$.
(b) Given that $\theta = \frac{\pi}{4}$, find the exact length of $OT$.
(c) Find, in exact form, the area of the shaded region bounded by $AT$, $TB$ and the arc $AB$.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle, centre $O$, radius $12$ cm. The angle $AOB = \theta$ radians, where $0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$. The tangent to the circle at $A$ meets $OB$ extended at $T$.
(a) Show that $AT = 12\tan\theta$.
(b) Given that $\theta = \frac{\pi}{3}$, find the exact length of $OT$.
(c) Find, in exact form, the area of the shaded region bounded by $AT$, $TB$ and the arc $AB$.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); questions 6, 7 and 8 build part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Circular measure · the region between two arcs
The diagram shows the region $ABCD$, bounded by two arcs of circles with common centre $O$ and by the two straight lines $AD$ and $BC$. Points $A$ and $B$ lie on the circle with radius $4$ cm, and points $D$ and $C$ lie on the circle with radius $8$ cm, where $OAD$ and $OBC$ are straight lines. The angle $AOB = \theta = \frac{\pi}{6}$ radians.
(a) Find the perimeter of $ABCD$.
(b) Find the area of $ABCD$.
A circle has radius $6$ cm. An arc of the circle subtends an angle of $\frac{\pi}{4}$ radians at the centre. Find the length of the arc.
วงกลมรัศมี $6$ ซม. ส่วนโค้งรองรับมุม $\frac{\pi}{4}$ เรเดียนที่จุดศูนย์กลาง จงหาความยาวส่วนโค้ง
Answershow ▾
$s = r\theta$ — needed twice here, once for each circle.
A sector has radius $3$ cm and angle $\frac{2 \pi}{3}$ radians at the centre. Find the area of the sector.
เซกเตอร์รัศมี $3$ ซม. มุมที่จุดศูนย์กลาง $\frac{2 \pi}{3}$ เรเดียน จงหาพื้นที่เซกเตอร์
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 r^2\theta$ — needed twice here, once for each circle.
A shape is bounded by two arcs of length $4$ cm and $8$ cm, and two straight edges each of length $4$ cm. Find the perimeter of the shape.
รูปหนึ่งล้อมด้วยส่วนโค้งยาว $4$ ซม. และ $8$ ซม. กับด้านตรงสองด้าน ด้านละ $4$ ซม. จงหาเส้นรอบรูป
Answershow ▾
Perimeter is just the sum of every edge that forms the boundary — here, two arcs plus two equal straight edges. This is the structure of part (a) below, before any circle formula is involved.
Two formulas, $r\theta$ and $\tfrac12 r^2\theta$, and the same $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ for both circles. Say which formula answers part (a) and which answers part (b), give the unit each one produces, and state what must be true of $\theta$ before either may be used.
สองสูตรคือ $r\theta$ กับ $\tfrac12 r^2\theta$ และ $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ เท่ากันทั้งสองวง · จงบอกว่าสูตรไหนตอบข้อ (a) สูตรไหนตอบข้อ (b) บอกหน่วยที่แต่ละสูตรให้ และบอกว่า $\theta$ ต้องเป็นอย่างไรก่อนจึงใช้สูตรได้
Answershow ▾
The two formulas look alike and are told apart by the power of $r$: one $r$ is a length, two of them make an area, and the units follow the powers with no exceptions. That gives you a free check on every line — a perimeter answer carrying cm$^2$, or an area answer in cm, is wrong before anyone reads the number. Both formulas also share the same condition: $\theta$ in radians, here already given as $\dfrac{\pi}{6}$, so nothing needs converting. Parts (a) and (b) are M1 A1 each; the formula choice sits inside the M1 and is never a mark of its own.สองสูตรหน้าตาคล้ายกัน และแยกกันด้วยกำลังของ $r$ · $r$ หนึ่งตัวคือความยาว สองตัวคือพื้นที่ และหน่วยเดินตามกำลังโดยไม่มีข้อยกเว้น · นั่นให้ตัวตรวจฟรีทุกบรรทัด: คำตอบเส้นรอบรูปที่ติดหน่วย cm$^2$ หรือคำตอบพื้นที่ที่เป็น cm ผิดตั้งแต่ก่อนอ่านตัวเลข · ทั้งสองสูตรมีเงื่อนไขเดียวกันคือ $\theta$ ต้องเป็นเรเดียน ซึ่งที่นี่โจทย์ให้มาเป็น $\dfrac{\pi}{6}$ อยู่แล้ว จึงไม่ต้องแปลง · ข้อ (a) และ (b) ให้ M1 A1 อย่างละคู่ · การเลือกสูตรอยู่ใน M1 และไม่เคยเป็นคะแนนของตัวเอง
The region $ABCD$ is bounded by arc $AB$ of a circle radius $4$ cm, arc $DC$ of a concentric circle radius $8$ cm, and the straight lines $AD$ and $BC$, where $OAD$ and $OBC$ are straight lines. Angle $AOB = \theta = \frac{\pi}{6}$ radians. Find the length of arc $AB$ and the length of arc $DC$.
Answershow ▾
$s = r\theta$ applied twice, once to each radius: arc $AB = 4 \times \frac{\pi}{6}$, arc $DC = 8 \times \frac{\pi}{6}$. The angle $\theta$ is the same for both arcs.
In the region $ABCD$, $OAD$ and $OBC$ are straight lines, with $OA = OB = 4$ cm and $OD = OC = 8$ cm. Find the length of $AD$ and the length of $BC$.
Answershow ▾
$AD = OD - OA = 8 - 4$, and likewise for $BC$ — the gap between the two circles along the same radius line. This is easy to miss and replace with $R$ or $r$ alone.
Part (a) is a perimeter, so only edges on the boundary count. From the list $OA$, arc $AB$, $AD$, arc $DC$, $BC$, $OD$, pick the four that belong to the perimeter of $ABCD$, and give the length of $AD$.
ข้อ (a) เป็นเส้นรอบรูป จึงนับเฉพาะขอบที่อยู่บนขอบเขต · จากรายการ $OA$, ส่วนโค้ง $AB$, $AD$, ส่วนโค้ง $DC$, $BC$, $OD$ จงเลือกสี่ชิ้นที่เป็นเส้นรอบรูปของ $ABCD$ และบอกความยาว $AD$
Answershow ▾
$OA$ and $OD$ run from the centre out to the shape and stop at its edge, so they are inside the picture but not on its boundary; walking round $ABCD$ never uses them. $AD$ is the piece of the line $OAD$ that lies between the two arcs, which is why it is $8 - 4$ and not $8$ — writing $8$ counts the part from the centre to $A$ that the region does not own. The way to be sure is to trace the outline with a finger and write down each edge as you cross it. Part (a) is B1 for each arc and M1 A1 for the total; the four-piece list is the plan, not a mark.$OA$ กับ $OD$ ลากจากจุดศูนย์กลางออกมาถึงรูปแล้วหยุดที่ขอบ จึงอยู่ในภาพแต่ไม่ได้อยู่บนขอบเขต · การเดินรอบ $ABCD$ ไม่เคยใช้มัน · $AD$ คือชิ้นของเส้น $OAD$ ที่อยู่ระหว่างส่วนโค้งทั้งสอง จึงเป็น $8 - 4$ ไม่ใช่ $8$ · การเขียน $8$ คือการนับส่วนจากจุดศูนย์กลางถึง $A$ ที่ไม่ใช่ของบริเวณนี้ · วิธีให้แน่ใจคือใช้นิ้วลากตามเส้นรอบรูป แล้วจดขอบทีละชิ้นที่ผ่าน · ข้อ (a) ให้ B1 กับส่วนโค้งแต่ละเส้นและ M1 A1 กับผลรวม · รายการสี่ชิ้นคือแผน ไม่ใช่คะแนน
Arc $AB = \frac{2 \pi}{3}$ cm, arc $DC = \frac{4 \pi}{3}$ cm, and $AD = BC = 4$ cm. Find the perimeter of $ABCD$.
Answershow ▾
Add all four boundary parts: arc $AB$, straight $BC$, arc $DC$, straight $DA$. This is part (a) of the exam question.
Sector $OAB$ has radius $4$ cm and sector $ODC$ has radius $8$ cm; both have angle $\theta = \frac{\pi}{6}$ radians at $O$. Find the area of each sector.
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 r^2\theta$ applied to each radius in turn, with the same angle $\theta$ both times.
Sector $OAB$ has area $\frac{4 \pi}{3}$ cm$^2$ and sector $ODC$ has area $\frac{16 \pi}{3}$ cm$^2$. Find the area of the region $ABCD$ between the two arcs.
Answershow ▾
$ABCD$ is the outer sector with the inner sector removed from it: area $=$ (large sector) $-$ (small sector). This is part (b).
Part (b) is the area between the two arcs. Which of these three gives it, and what shape does each of the other two measure?
(A) $\tfrac12(8 - 4)^2\theta$ (B) $\tfrac12\left(8^2 - 4^2\right)\theta$ (C) $\tfrac12\left(8^2 + 4^2\right)\theta$
ข้อ (b) คือพื้นที่ระหว่างส่วนโค้งทั้งสอง · ข้อไหนให้ค่านี้ และอีกสองข้อวัดรูปอะไร
(A) $\tfrac12(8 - 4)^2\theta$ (B) $\tfrac12\left(8^2 - 4^2\right)\theta$ (C) $\tfrac12\left(8^2 + 4^2\right)\theta$
Answershow ▾
(A) is the sector of a circle of radius $4$, which is the small sector again, not the ring between them: $(8-4)^2 = 16$, while $8^2 - 4^2 = 48$, and squaring is not something you may do to a difference. (C) adds the two sectors and measures a shape that does not exist. The right move is the same one as part (a) in another dimension — the big piece minus the piece taken out of it. Part (b) is M1 for the difference of two sector areas and A1 for $4\pi$; deciding to subtract rather than to subtract-then-square costs nothing and is the whole question.(A) คือเซกเตอร์ของวงกลมรัศมี $4$ ซึ่งก็คือเซกเตอร์เล็กอีกครั้ง ไม่ใช่วงแหวนระหว่างสองวง · $(8-4)^2 = 16$ ขณะที่ $8^2 - 4^2 = 48$ และการยกกำลังสองไม่ใช่สิ่งที่ทำกับผลต่างได้ · (C) บวกสองเซกเตอร์และวัดรูปที่ไม่มีอยู่จริง · ท่าที่ถูกคือท่าเดียวกับข้อ (a) แต่คนละมิติ: ชิ้นใหญ่ลบชิ้นที่ถูกเอาออก · ข้อ (b) ให้ M1 กับผลต่างของพื้นที่เซกเตอร์สองอันและ A1 กับ $4\pi$ · การตัดสินใจว่าลบก่อน ไม่ใช่ลบแล้วยกกำลังสอง ไม่มีคะแนน แต่คือทั้งข้อ
The diagram shows the region $ABCD$, bounded by two arcs of circles with common centre $O$ and by the two straight lines $AD$ and $BC$. Points $A$ and $B$ lie on the circle with radius $2$ cm, and points $D$ and $C$ lie on the circle with radius $4$ cm, where $OAD$ and $OBC$ are straight lines. The angle $AOB = \theta = \frac{\pi}{2}$ radians.
(a) Find the perimeter of $ABCD$.
(b) Find the area of $ABCD$.
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with easier numbers throughout — a quarter circle both times.
The diagram shows the region $ABCD$, bounded by two arcs of circles with common centre $O$ and by the two straight lines $AD$ and $BC$. Points $A$ and $B$ lie on the circle with radius $4$ cm, and points $D$ and $C$ lie on the circle with radius $8$ cm, where $OAD$ and $OBC$ are straight lines. The angle $AOB = \theta = \frac{\pi}{6}$ radians.
(a) Find the perimeter of $ABCD$.
(b) Find the area of $ABCD$.
Answershow ▾
6 marks. Questions 4 and 5 build part (a) and question 6 finishes it; questions 7 and 8 build part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Area gives r, then exact perimeter พื้นที่ให้ r แล้วหาเส้นรอบรูปแบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸
Figure 1 shows a sector $AOB$ of a circle with centre $O$ and radius $r$ cm. The angle $AOB$ is $1.25$ radians. Given that the area of the sector $AOB$ is $15$ cm$^{2}$
(a) find the exact value of $r$,
(b) find the exact length of the perimeter of the sector. Write your answer in simplest form.
Figure 1 แสดง sector $AOB$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $r$ ซม. มุม $AOB$ เท่ากับ $1.25$ เรเดียน กำหนดให้พื้นที่ของ sector $AOB$ เท่ากับ $15$ ตร.ซม.
(ก) หาค่า exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $r$
(ข) หาความยาวเส้นรอบรูปของ sector แบบ exact ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Simplify $\sqrt{24}$ into the form $a\sqrt{b}$.
จงทำให้ $\sqrt{24}$ อยู่ในรูป $a\sqrt{b}$ อย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
Split $24$ into a square factor times the rest: $4\times6$.แยก $24$ เป็นตัวประกอบกำลังสองคูณส่วนที่เหลือ: $4\times6$
A sector has angle $1.25$ rad and area $15$ cm$^{2}$. Use the sector area formula to find $r^{2}$.
เซกเตอร์ (sector) หนึ่งมีมุม $1.25$ เรเดียน และพื้นที่ $15$ ตร.ซม. จงใช้สูตรพื้นที่เซกเตอร์หา $r^{2}$
Answershow ▾
Multiply both sides by $\dfrac{2}{1.25}$ to isolate $r^{2}$.คูณทั้งสองข้างด้วย $\dfrac{2}{1.25}$ เพื่อแยก $r^{2}$ ออกมา
A sector has radius $r=2\sqrt6$ cm and angle $1.25$ rad. Find the arc length, using $s=r\theta$.
เซกเตอร์หนึ่งมีรัศมี $r=2\sqrt6$ ซม. และมุม $1.25$ เรเดียน จงหาความยาวส่วนโค้ง โดยใช้ $s=r\theta$
Answershow ▾
Multiply $r$ by $\theta$; keep the surd exact.คูณ $r$ ด้วย $\theta$ และเก็บค่าไว้ในรูปกรณฑ์แบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸
$r^{2}=24$, so $r=\sqrt{24}$. Pick the correct exact form for $r$.
(A) $r=\sqrt{24}$
(B) $r=2\sqrt6$
(C) $r=4.9$
$r^{2}=24$ จึงได้ $r=\sqrt{24}$ จงเลือกรูป à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ที่ถูกต้องของ $r$
(A) $r=\sqrt{24}$
(B) $r=2\sqrt6$
(C) $r=4.9$
Answershow ▾
(A) is correct in value but not fully simplified. (C) rounds an exact answer, losing the exact-value mark.(A) ถูกในค่า แต่ยังไม่เป็นรูปอย่างง่ายที่สุด · (C) ปัดเศษคำตอบที่ต้อง à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ทำให้เสียคะแนนความเป็น à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸
Sector $AOB$ has angle $AOB=1.25$ rad and area $15$ cm$^{2}$. Write the sector area equation, with $\theta=1.25$ substituted in.
เซกเตอร์ $AOB$ มีมุม $AOB=1.25$ เรเดียน และพื้นที่ $15$ ตร.ซม. จงเขียนสมการพื้นที่เซกเตอร์ โดยแทน $\theta=1.25$ แล้ว
Answershow ▾
Substitute the given angle straight into $\tfrac12 r^{2}\theta=$ area.แทนมุมที่กำหนดลงในสูตร $\tfrac12 r^{2}\theta=$ พื้นที่ ได้เลย
Solve $\tfrac12 r^{2}(1.25)=15$ for $r$. Give your answer as a simplified surd.
จงแก้สมการ $\tfrac12 r^{2}(1.25)=15$ หา $r$ ตอบในรูปกรณฑ์อย่างง่าย
Answershow ▾
Isolate $r^{2}$ first, then take the square root and simplify it.แยก $r^{2}$ ออกมาก่อน แล้วถอดรากที่สองและทำให้เป็นรูปอย่างง่าย
Part (b): using $r=2\sqrt6$ cm and $\theta=1.25$, find the arc length $s=r\theta$.
ข้อ (ข): ใช้ $r=2\sqrt6$ ซม. และ $\theta=1.25$ จงหาความยาวส่วนโค้ง $s=r\theta$
Answershow ▾
Multiply $r$ by $\theta$; keep the surd exact.คูณ $r$ ด้วย $\theta$ และเก็บค่าไว้ในรูปกรณฑ์แบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸
You know $r$ and the arc length $s$. Pick the correct formula for the perimeter of the sector.
(A) perimeter $=s$
(B) perimeter $=2r+s$
(C) perimeter $=r^{2}\theta$
รู้ $r$ และความยาวส่วนโค้ง $s$ แล้ว จงเลือกสูตรที่ถูกต้องสำหรับเส้นรอบรูปของเซกเตอร์
(A) เส้นรอบรูป $=s$
(B) เส้นรอบรูป $=2r+s$
(C) เส้นรอบรูป $=r^{2}\theta$
Answershow ▾
(A) misses the two straight radii that also bound the sector. (C) is the area formula, which gives a region, not a length.(A) ไม่ได้นับรัศมีสองเส้นที่เป็นขอบของเซกเตอร์ด้วย · (C) เป็นสูตรพื้นที่ ซึ่งให้บริเวณ ไม่ใช่ความยาว
Use $r=2\sqrt6$ cm and $s=2.5\sqrt6$ cm to find the perimeter $P=2r+s$. Write it in simplest exact form.
ใช้ $r=2\sqrt6$ ซม. และ $s=2.5\sqrt6$ ซม. หาเส้นรอบรูป $P=2r+s$ เขียนในรูป à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ อย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
Both terms share the factor $\sqrt6$, so add their coefficients.ทั้งสองพจน์มี $\sqrt6$ ร่วมกัน จึงนำสัมประสิทธิ์มาบวกกัน
Check $r=2\sqrt6$ by substituting it back into $\tfrac12 r^{2}\theta=15$.
จงตรวจคำตอบ $r=2\sqrt6$ โดยแทนกลับในสมการ $\tfrac12 r^{2}\theta=15$
Answershow ▾
$r$ fits the equation it came from.$r$ นี้เป็นจริงกับสมการที่ใช้หามันมา
A sector, centre $O$, has radius $r$ cm and angle $AOB=0.5$ rad. The area of the sector is $16$ cm$^{2}$.
(a) Find the exact value of $r$.
(b) Find the exact length of the perimeter of the sector.
เซกเตอร์หนึ่ง จุดศูนย์กลาง $O$ มีรัศมี $r$ ซม. และมุม $AOB=0.5$ เรเดียน พื้นที่ของเซกเตอร์เท่ากับ $16$ ตร.ซม.
(ก) หาค่า à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ของ $r$
(ข) หาความยาวเส้นรอบรูปของเซกเตอร์แบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸
Answershow ▾
Same two moves: the area formula gives $r$, then $2r+r\theta$ gives the perimeter.สองขั้นเดิม: สูตรพื้นที่หา $r$ แล้ว $2r+r\theta$ หาเส้นรอบรูป
Figure 1 shows a sector $AOB$ of a circle with centre $O$ and radius $r$ cm. The angle $AOB$ is $1.25$ radians. Given that the area of the sector $AOB$ is $15$ cm$^{2}$
(a) find the exact value of $r$,
(b) find the exact length of the perimeter of the sector. Write your answer in simplest form.
Figure 1 แสดง sector $AOB$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $r$ ซม. มุม $AOB$ เท่ากับ $1.25$ เรเดียน กำหนดให้พื้นที่ของ sector $AOB$ เท่ากับ $15$ ตร.ซม.
(ก) หาค่า exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $r$
(ข) หาความยาวเส้นรอบรูปของ sector แบบ exact ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
5 marks. Two for part (a), three for part (b) - show the exact value at every line.5 คะแนน ข้อ (ก) 2 คะแนน ข้อ (ข) 3 คะแนน จงเขียนค่า à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ทุกบรรทัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A garden segment, angle then area then perimeter เซกเมนต์ในสวน: มุม พื้นที่ แล้วเส้นรอบรูป
Figure 2 shows a plan view of a semicircular garden $ABCDEOA$. The semicircle has centre $O$, diameter $AOE$, radius $3$ m. The straight line $BD$ is parallel to $AE$ and angle $BOA$ is $0.7$ radians.
(a) Show that, to 4 significant figures, angle $BOD$ is $1.742$ radians.
(b) The flowerbed $R$, shown shaded in Figure 2, is bounded by $BD$ and the arc $BCD$. Find the area of the flowerbed, giving your answer in square metres to one decimal place.
(c) Find the perimeter of the flowerbed, giving your answer in metres to one decimal place.
Figure 2 แสดงภาพแปลนของสวนครึ่งวงกลม $ABCDEOA$ ครึ่งวงกลมมีจุดศูนย์กลาง $O$ เส้นผ่านศูนย์กลาง $AOE$ รัศมี $3$ ม. เส้นตรง $BD$ ขนานกับ $AE$ และมุม $BOA$ เท่ากับ $0.7$ เรเดียน
(ก) จงแสดงว่ามุม $BOD$ เท่ากับ $1.742$ เรเดียน ถูกต้องถึง $4$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
(ข) แปลงดอกไม้ $R$ ซึ่งแรเงาใน Figure 2 ล้อมด้วย $BD$ และส่วนโค้ง $BCD$ หาพื้นที่ของแปลงดอกไม้เป็นตารางเมตร ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ค) หาเส้นรอบรูปของแปลงดอกไม้เป็นเมตร ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Three angles lie on a straight line: $0.7$, $\theta$, and $0.7$ rad. Find $\theta$, to 4 s.f.
มุมสามมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน: $0.7$, $\theta$ และ $0.7$ เรเดียน จงหา $\theta$ ถูกต้องถึง 4 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
The three angles on a straight line add up to $\pi$.มุมสามมุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $\pi$
A triangle has two sides of length $3$, with an angle of $1.742$ rad between them. Find its area, to 3 s.f.
สามเหลี่ยมมีสองด้านยาว $3$ มุมระหว่างสองด้านนั้น $1.742$ เรเดียน จงหาพื้นที่ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Area $=\tfrac12 ab\sin C$, with $a=b=3$.พื้นที่ $=\tfrac12 ab\sin C$ โดย $a=b=3$
A chord is cut off by an angle of $1.742$ rad at the centre of a circle of radius $3$. Find the chord length, using $2r\sin(\theta/2)$, to 3 s.f.
คอร์ดหนึ่งเกิดจากมุม $1.742$ เรเดียนที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี $3$ จงหาความยาวคอร์ด โดยใช้ $2r\sin(\theta/2)$ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Half the angle splits the chord into two equal right-angled pieces.ครึ่งมุมแบ่งคอร์ดเป็นสองส่วนเท่ากันที่มีมุมฉาก
The flowerbed lies between chord $BD$ and the arc, inside sector $BOD$ but outside triangle $BOD$. Pick the way to find its area.
(A) sector area $+$ triangle area
(B) sector area $-$ triangle area
(C) triangle area $-$ sector area
แปลงดอกไม้อยู่ระหว่างคอร์ด $BD$ กับส่วนโค้ง อยู่ในเซกเตอร์ $BOD$ แต่อยู่นอกสามเหลี่ยม $BOD$ จงเลือกวิธีหาพื้นที่
(A) พื้นที่เซกเตอร์ $+$ พื้นที่สามเหลี่ยม
(B) พื้นที่เซกเตอร์ $-$ พื้นที่สามเหลี่ยม
(C) พื้นที่สามเหลี่ยม $-$ พื้นที่เซกเตอร์
Answershow ▾
(A) counts the triangle twice, since it already sits inside the sector. (C) is negative, because the sector is always the larger area here.(A) นับพื้นที่สามเหลี่ยมซ้ำสองครั้ง เพราะมันอยู่ในเซกเตอร์อยู่แล้ว · (C) ได้ค่าติดลบ เพราะเซกเตอร์มีพื้นที่มากกว่าสามเหลี่ยมเสมอในกรณีนี้
Show that angle $BOD=\pi-2(0.7)$ rad, and give it to 4 s.f.
จงแสดงว่ามุม $BOD=\pi-2(0.7)$ เรเดียน แล้วตอบถูกต้องถึง 4 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$BD\parallel AE$ makes angle $DOE$ equal to angle $BOA$, so both are $0.7$.$BD\parallel AE$ ทำให้มุม $DOE$ เท่ากับมุม $BOA$ จึงเท่ากับ $0.7$ ทั้งคู่
Find the area of sector $BOD$: radius $3$ m, angle $1.742$ rad, to 3 s.f.
จงหาพื้นที่เซกเตอร์ $BOD$: รัศมี $3$ ม. มุม $1.742$ เรเดียน ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Sector area $=\tfrac12r^{2}\theta$.พื้นที่เซกเตอร์ $=\tfrac12r^{2}\theta$
Using question $2$ (triangle area $4.43$) and question $5$ (sector area $7.84$), find the area of the flowerbed $R$, to 1 d.p.
ใช้ข้อ $2$ (พื้นที่สามเหลี่ยม $4.43$) และข้อ $5$ (พื้นที่เซกเตอร์ $7.84$) จงหาพื้นที่แปลงดอกไม้ $R$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Subtract, as decided in the earlier step.ลบกัน ตามที่เลือกไว้ในขั้นก่อนหน้า
The flowerbed has two edges: the arc $BCD$ and the chord $BD$. Pick the way to find its perimeter.
(A) arc length only
(B) arc length $+$ chord length
(C) $2r+$ arc length
แปลงดอกไม้มีขอบสองด้าน: ส่วนโค้ง $BCD$ และคอร์ด $BD$ จงเลือกวิธีหาเส้นรอบรูป
(A) ความยาวส่วนโค้งเท่านั้น
(B) ความยาวส่วนโค้ง $+$ ความยาวคอร์ด
(C) $2r+$ ความยาวส่วนโค้ง
Answershow ▾
(A) leaves out the straight edge $BD$. (C) uses the two radii, which is the perimeter of the sector, not the flowerbed.(A) ขาดขอบตรง $BD$ ไป · (C) ใช้รัศมีสองเส้น ซึ่งเป็นเส้นรอบรูปของเซกเตอร์ ไม่ใช่ของแปลงดอกไม้
Find the arc length $BCD$: radius $3$ m, angle $1.742$ rad, to 3 s.f. Then add the chord length from question $3$ ($4.59$ m) to find the perimeter, to 1 d.p.
จงหาความยาวส่วนโค้ง $BCD$: รัศมี $3$ ม. มุม $1.742$ เรเดียน ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ แล้วบวกความยาวคอร์ดจากข้อ $3$ ($4.59$ ม.) เพื่อหาเส้นรอบรูป ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Arc $=r\theta$, then add, as decided in the earlier step.ส่วนโค้ง $=r\theta$ แล้วบวกกัน ตามที่เลือกไว้ในขั้นก่อนหน้า
Check question $6$ using the segment formula $\tfrac12r^{2}(\theta-\sin\theta)$ directly, with $r=3$ and $\theta=1.742$. Does it still give $3.4$ m$^{2}$?
ตรวจคำตอบข้อ $6$ โดยใช้สูตรเซกเมนต์ $\tfrac12r^{2}(\theta-\sin\theta)$ โดยตรง เมื่อ $r=3$ และ $\theta=1.742$ ยังคงได้ $3.4$ ตร.ม. หรือไม่
Answershow ▾
Sector minus triangle, written as one formula, gives the same number.เซกเตอร์ลบสามเหลี่ยม เมื่อเขียนเป็นสูตรเดียว ให้ผลลัพธ์เดิม
A sector-shaped lawn, centre $O$, diameter $AOE$, radius $5$ m. Chord $BD$ is parallel to $AE$ and angle $BOA$ is $0.5$ rad.
(a) Find angle $BOD$.
(b) Find the area between $BD$ and arc $BCD$, to 1 d.p.
(c) Find the perimeter of that region, to 1 d.p.
สวนรูปเซกเตอร์ ศูนย์กลาง $O$ เส้นผ่านศูนย์กลาง $AOE$ รัศมี $5$ ม. คอร์ด $BD$ ขนานกับ $AE$ และมุม $BOA$ เท่ากับ $0.5$ เรเดียน
(ก) จงหามุม $BOD$
(ข) จงหาพื้นที่ระหว่าง $BD$ กับส่วนโค้ง $BCD$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ค) จงหาเส้นรอบรูปของบริเวณนั้น ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same three moves: angle sum, sector minus triangle, then arc plus chord.สามขั้นเดิม: มุมรวมกันเป็นเส้นตรง เซกเตอร์ลบสามเหลี่ยม แล้วส่วนโค้งบวกคอร์ด
Figure 2 shows a plan view of a semicircular garden $ABCDEOA$. The semicircle has centre $O$, diameter $AOE$, radius $3$ m. The straight line $BD$ is parallel to $AE$ and angle $BOA$ is $0.7$ radians.
(a) Show that, to 4 significant figures, angle $BOD$ is $1.742$ radians.
(b) The flowerbed $R$, shown shaded in Figure 2, is bounded by $BD$ and the arc $BCD$. Find the area of the flowerbed, giving your answer in square metres to one decimal place.
(c) Find the perimeter of the flowerbed, giving your answer in metres to one decimal place.
Figure 2 แสดงภาพแปลนของสวนครึ่งวงกลม $ABCDEOA$ ครึ่งวงกลมมีจุดศูนย์กลาง $O$ เส้นผ่านศูนย์กลาง $AOE$ รัศมี $3$ ม. เส้นตรง $BD$ ขนานกับ $AE$ และมุม $BOA$ เท่ากับ $0.7$ เรเดียน
(ก) จงแสดงว่ามุม $BOD$ เท่ากับ $1.742$ เรเดียน ถูกต้องถึง $4$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
(ข) แปลงดอกไม้ $R$ ซึ่งแรเงาใน Figure 2 ล้อมด้วย $BD$ และส่วนโค้ง $BCD$ หาพื้นที่ของแปลงดอกไม้เป็นตารางเมตร ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ค) หาเส้นรอบรูปของแปลงดอกไม้เป็นเมตร ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
7 marks: angle sum (1), triangle and sector combine for the area (3), arc and chord combine for the perimeter (3).7 คะแนน: มุมรวมกันเป็นเส้นตรง (1) สามเหลี่ยมกับเซกเตอร์รวมกันเป็นพื้นที่ (3) ส่วนโค้งกับคอร์ดรวมกันเป็นเส้นรอบรูป (3)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two equations, one sector สองสมการพร้อมกัน จากเซกเตอร์เดียว
A sector $AOB$, of a circle centre $O$, has radius $r$ cm and angle $\theta$ radians. Given that the area of the sector is $6$ cm$^{2}$ and that the perimeter of the sector is $10$ cm
(a) show that $3\theta^{2}-13\theta+12=0$
(b) Hence find possible values of $r$ and $\theta$.
sector $AOB$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ มีรัศมี $r$ ซม. และมุม $\theta$ เรเดียน กำหนดให้พื้นที่ของ sector เท่ากับ $6$ ตร.ซม. และเส้นรอบรูปของ sector เท่ากับ $10$ ซม.
(ก) จงแสดงว่า $3\theta^{2}-13\theta+12=0$
(ข) จากนั้นหาค่าที่เป็นไปได้ของ $r$ และ $\theta$
Make $r$ the subject of $2r+r\theta=10$.
$2r+r\theta=10$ จงทำ $r$ ให้เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Factor $r$ out of both terms, then divide.ดึง $r$ ออกมาเป็นตัวร่วมจากทั้งสองพจน์ แล้วหาร
Expand $(2+\theta)^{2}$.
จงกระจาย $(2+\theta)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets. The middle term comes twice.เขียนเป็นสองวงเล็บ · พจน์กลางมาสองครั้ง
Solve $2x^{2}-5x+3=0$ by factorising.
จงแก้สมการ $2x^{2}-5x+3=0$ โดยแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
The front coefficient $2$ splits across both brackets.สัมประสิทธิ์หน้า $2$ ถูกแบ่งเข้าไปในสองวงเล็บ
The sector gives $\tfrac12r^{2}\theta=6$ and $2r+r\theta=10$. Pick the first move, to reach an equation in $\theta$ only.
(A) make $\theta$ the subject of the area equation, then substitute into the perimeter equation
(B) make $r$ the subject of the perimeter equation (it is linear in $r$), then substitute into the area equation
(C) divide the area equation by the perimeter equation
เซกเตอร์นี้ให้ $\tfrac12r^{2}\theta=6$ และ $2r+r\theta=10$ จงเลือกขั้นแรก เพื่อให้เหลือสมการที่มีแค่ $\theta$
(A) ทำ $\theta$ ให้เป็นตัวตั้งจากสมการพื้นที่ แล้วแทนค่าในสมการเส้นรอบรูป
(B) ทำ $r$ ให้เป็นตัวตั้งจากสมการเส้นรอบรูป (เพราะเป็นสมการเชิงเส้นในตัวแปร $r$) แล้วแทนค่าในสมการพื้นที่
(C) หารสมการพื้นที่ด้วยสมการเส้นรอบรูป
Answershow ▾
(A) eliminates $\theta$ instead and leaves an equation in $r$, not $\theta$ - the wrong letter for part (a). (C) mixes $r$ and $\theta$ together in one fraction, no closer to one unknown.(A) กำจัด $\theta$ ออกไปแทน เหลือสมการที่มีแค่ $r$ ซึ่งเป็นตัวแปรที่ผิดสำหรับข้อ (ก) · (C) การหารยังเหลือ $r$ กับ $\theta$ ปนกันอยู่ในเศษส่วนเดียว ไม่ได้ใกล้คำตอบขึ้นเลย
The sector has area $6$ cm$^{2}$ and perimeter $10$ cm. Write the area equation and the perimeter equation.
เซกเตอร์นี้มีพื้นที่ $6$ ตร.ซม. และเส้นรอบรูป $10$ ซม. จงเขียนสมการพื้นที่และสมการเส้นรอบรูป
Answershow ▾
Area is $\tfrac12r^{2}\theta$; perimeter is two radii plus the arc.พื้นที่คือ $\tfrac12r^{2}\theta$ · เส้นรอบรูปคือรัศมีสองเส้นบวกส่วนโค้ง
Substitute $r=\dfrac{10}{2+\theta}$ (question $1$) into $\tfrac12r^{2}\theta=6$. Write the equation, before expanding.
แทน $r=\dfrac{10}{2+\theta}$ (ข้อ $1$) ใน $\tfrac12r^{2}\theta=6$ แล้วเขียนสมการ ยังไม่ต้องกระจาย
Answershow ▾
Replace $r$ with its formula from question $1$. Keep the bracket squared, unexpanded.แทน $r$ ด้วยสูตรจากข้อ $1$ · วงเล็บที่ยกกำลังสองยังไม่ต้องกระจาย
Expand and simplify $\tfrac12\left(\dfrac{10}{2+\theta}\right)^{2}\theta=6$ to show $3\theta^{2}-13\theta+12=0$.
จงกระจายและทำให้ง่าย $\tfrac12\left(\dfrac{10}{2+\theta}\right)^{2}\theta=6$ เพื่อแสดงว่า $3\theta^{2}-13\theta+12=0$
Answershow ▾
Clear the fraction, expand $(2+\theta)^{2}$ (question $2$), then divide every term by $2$.กำจัดเศษส่วน กระจาย $(2+\theta)^{2}$ (ข้อ $2$) แล้วหารทุกพจน์ด้วย $2$
Factorise $3\theta^{2}-13\theta+12=0$ to find $\theta$.
จงแยกตัวประกอบ $3\theta^{2}-13\theta+12=0$ เพื่อหา $\theta$
Answershow ▾
Front coefficient $3$, the method from question $3$: look for $(\theta-3)(3\theta-4)$.สัมประสิทธิ์หน้า $3$ (วิธีจากข้อ $3$) · ลองหา $(\theta-3)(3\theta-4)$
Solving gives $\theta=3$ and $\theta=\tfrac43$, both positive. Using $r=\dfrac{10}{2+\theta}$ (question $1$), both give a positive $r$ too. Which value(s) of $\theta$ are valid for the sector?
(A) only $\theta=3$
(B) only $\theta=\tfrac43$
(C) both values
แก้สมการได้ $\theta=3$ และ $\theta=\tfrac43$ เป็นบวกทั้งคู่ เมื่อใช้ $r=\dfrac{10}{2+\theta}$ (ข้อ $1$) ก็ได้ $r$ เป็นบวกทั้งคู่ด้วย ค่า $\theta$ ใดใช้ได้
(A) $\theta=3$ เท่านั้น
(B) $\theta=\tfrac43$ เท่านั้น
(C) ใช้ได้ทั้งสองค่า
Answershow ▾
(A) and (B) each throw away one correct pair for no reason. This question gives no restriction (like a reflex-angle rule) that would reject either $\theta$ or its matching $r$.(A) และ (B) ต่างทิ้งคำตอบที่ถูกไปหนึ่งคู่โดยไม่มีเหตุผล · โจทย์นี้ไม่มีเงื่อนไข (เช่นกฎมุม reflex) ที่จะตัด $\theta$ หรือ $r$ ที่คู่กันออก
Using $r=\dfrac{10}{2+\theta}$ (question $1$), find $r$ for $\theta=3$ and for $\theta=\tfrac43$. Write both pairs.
ใช้ $r=\dfrac{10}{2+\theta}$ (ข้อ $1$) หา $r$ เมื่อ $\theta=3$ และเมื่อ $\theta=\tfrac43$ แล้วเขียนทั้งสองคู่
Answershow ▾
Substitute each $\theta$ into the formula from question $1$.แทน $\theta$ แต่ละค่าในสูตรจากข้อ $1$
A sector, centre $O$, has radius $r$ cm and angle $\theta$ rad. The area of the sector is $4$ cm$^{2}$ and the perimeter is $10$ cm.
(a) Show that $2\theta^{2}-17\theta+8=0$.
(b) Hence find possible values of $r$ and $\theta$.
เซกเตอร์ ศูนย์กลาง $O$ รัศมี $r$ ซม. มุม $\theta$ เรเดียน พื้นที่ของเซกเตอร์เท่ากับ $4$ ตร.ซม. และเส้นรอบรูปเท่ากับ $10$ ซม.
(ก) จงแสดงว่า $2\theta^{2}-17\theta+8=0$
(ข) จากนั้นหาค่าที่เป็นไปได้ของ $r$ และ $\theta$
Answershow ▾
Same five moves: write both equations, make $r$ the subject, substitute, simplify, factorise.ห้าขั้นเดิม: เขียนสองสมการ ทำ $r$ ให้เป็นตัวตั้ง แทนค่า ทำให้ง่าย แยกตัวประกอบ
A sector $AOB$, of a circle centre $O$, has radius $r$ cm and angle $\theta$ radians. Given that the area of the sector is $6$ cm$^{2}$ and that the perimeter of the sector is $10$ cm
(a) show that $3\theta^{2}-13\theta+12=0$
(b) Hence find possible values of $r$ and $\theta$.
sector $AOB$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ มีรัศมี $r$ ซม. และมุม $\theta$ เรเดียน กำหนดให้พื้นที่ของ sector เท่ากับ $6$ ตร.ซม. และเส้นรอบรูปของ sector เท่ากับ $10$ ซม.
(ก) จงแสดงว่า $3\theta^{2}-13\theta+12=0$
(ข) จากนั้นหาค่าที่เป็นไปได้ของ $r$ และ $\theta$
Answershow ▾
7 marks: two equations, eliminate $r$, expand to the given quadratic, factorise, then substitute each $\theta$ to find $r$.7 คะแนน: สองสมการ กำจัด $r$ กระจายจนได้สมการที่โจทย์ให้ แยกตัวประกอบ แล้วแทน $\theta$ แต่ละค่าหา $r$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The reflex sector, minus a triangle เซกเตอร์มุมสะท้อน หักสามเหลี่ยมออก
Figure 2 shows the plan view of a house $ABCD$ and a lawn $APCDA$. $ABCD$ is a rectangle with $AB=16$ m. $APCOA$ is a sector of a circle centre $O$ with radius $12$ m. The point $O$ lies on the line $DC$, as shown in Figure 2.
(a) Show that the size of angle $AOD$ is $1.231$ radians to 3 decimal places.
(b) The lawn $APCDA$ is shown shaded in Figure 2. Find the area of the lawn, in m$^{2}$, to one decimal place.
(c) Find the perimeter of the lawn, in metres, to one decimal place.
Figure 2 แสดงภาพแปลนของบ้าน $ABCD$ และสนามหญ้า $APCDA$ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า $AB=16$ ม. $APCOA$ เป็น sector ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $12$ ม. จุด $O$ อยู่บนเส้น $DC$ ดังแสดงใน Figure 2
(ก) จงแสดงว่าขนาดของมุม $AOD$ เท่ากับ $1.231$ เรเดียน ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ข) สนามหญ้า $APCDA$ แรเงาใน Figure 2 หาพื้นที่ของสนามหญ้าเป็น ตร.ม. ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ค) หาเส้นรอบรูปของสนามหญ้าเป็นเมตร ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
In a right triangle, the side adjacent to angle $\theta$ is $4$ and the hypotenuse is $12$. Write $\cos\theta$ as a fraction.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านประชิดมุม $\theta$ ยาว $4$ และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $12$ จงเขียน $\cos\theta$ เป็นเศษส่วน
Answershow ▾
Cosine is adjacent over hypotenuse.โคไซน์ คือ ด้านประชิดมุม หารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก
$\cos\theta=\dfrac{4}{12}$. Use a calculator in radian mode to find $\theta$, to 3 decimal places.
$\cos\theta=\dfrac{4}{12}$ ใช้เครื่องคิดเลขในหน่วยเรเดียน หา $\theta$ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Use the inverse cosine button, in radian mode.ใช้ปุ่มโคไซน์ผกผัน ในหน่วยเรเดียน
Rays $OD$ and $OC$ point in opposite directions along a straight line. Angle $AOD=1.231$ rad. Write the reflex angle $AOC$ (the long way round), using $\pi+1.231$.
รังสี $OD$ และ $OC$ ชี้คนละทิศบนเส้นตรงเดียวกัน มุม $AOD=1.231$ เรเดียน จงเขียนมุมสะท้อน $AOC$ (ทางอ้อม) โดยใช้ $\pi+1.231$
Answershow ▾
Going the long way round adds a straight line, $\pi$, to the small angle.การไปทางอ้อม คือการบวกเส้นตรง $\pi$ เข้ากับมุมเล็ก
Triangle $AOD$ has a right angle at $D$. $OD=4$ and $OA=12$ (the radius) are known; $AD$ is not known yet. Pick the ratio that finds $\angle AOD$ without needing $AD$ first.
(A) $\sin(\angle AOD)=\dfrac{AD}{OA}$
(B) $\cos(\angle AOD)=\dfrac{OD}{OA}$
(C) $\tan(\angle AOD)=\dfrac{AD}{OD}$
สามเหลี่ยม $AOD$ มีมุมฉากที่ $D$ รู้ $OD=4$ และ $OA=12$ (รัศมี) แต่ยังไม่รู้ $AD$ จงเลือกอัตราส่วนที่หา $\angle AOD$ ได้โดยไม่ต้องรู้ $AD$ ก่อน
(A) $\sin(\angle AOD)=\dfrac{AD}{OA}$
(B) $\cos(\angle AOD)=\dfrac{OD}{OA}$
(C) $\tan(\angle AOD)=\dfrac{AD}{OD}$
Answershow ▾
(A) and (C) both need $AD$, which is not known yet. (B) only uses $OD$ and $OA$, both already known.(A) และ (C) ต้องใช้ $AD$ ซึ่งยังไม่รู้ · (B) ใช้แค่ $OD$ กับ $OA$ ซึ่งรู้อยู่แล้วทั้งคู่
$ABCD$ is a rectangle with $AB=16$ m, so $DC=16$ m too. $O$ lies on $DC$ with $OC=12$ m (the radius). Find $OD=DC-OC$.
$ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ $AB=16$ ม. ดังนั้น $DC=16$ ม. ด้วย จุด $O$ อยู่บน $DC$ โดย $OC=12$ ม. (รัศมี) จงหา $OD=DC-OC$
Answershow ▾
Opposite sides of a rectangle are equal, so $DC=AB$.ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวเท่ากัน ดังนั้น $DC=AB$
In right triangle $AOD$ (right angle at $D$), $OD=4$ m and $OA=12$ m. Write $\cos(\angle AOD)$.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $AOD$ (มุมฉากที่ $D$) มี $OD=4$ ม. และ $OA=12$ ม. จงเขียน $\cos(\angle AOD)$
Answershow ▾
$OD$ is adjacent to angle $AOD$; $OA$ is the hypotenuse.$OD$ อยู่ประชิดมุม $AOD$ ส่วน $OA$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
Use $\cos(\angle AOD)=\dfrac{4}{12}$ to show that $\angle AOD=1.231$ radians, to 3 decimal places.
ใช้ $\cos(\angle AOD)=\dfrac{4}{12}$ จงแสดงว่า $\angle AOD=1.231$ เรเดียน ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same calculator step as the warm-up, now with the real triangle.ขั้นเครื่องคิดเลขแบบเดียวกับที่ฝึกไว้ ตอนนี้ใช้กับสามเหลี่ยมจริง
Use $\text{sector}=\tfrac12r^{2}\theta$ with $r=12$ and $\theta=\pi+1.231$ (the reflex angle $AOC$) to find the sector area, to 1 decimal place.
ใช้ $\text{à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹}=\tfrac12r^{2}\theta$ โดย $r=12$ และ $\theta=\pi+1.231$ (มุมสะท้อน $AOC$) หาพื้นที่เซกเตอร์ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The lawn needs the BIG sector, the one that goes the long way round.สนามหญ้าต้องใช้เซกเตอร์ใหญ่ ที่ไปทางอ้อม
Triangle $AOD$ has area $\tfrac12(12)(4)\sin(1.231)=22.6$ m$^{2}$. Lawn area $=314.8-22.6$. Is this less than the full circle, $\pi(12)^{2}=452.4$ m$^{2}$, as a part of the circle must be?
สามเหลี่ยม $AOD$ มีพื้นที่ $\tfrac12(12)(4)\sin(1.231)=22.6$ ตร.ม. พื้นที่สนามหญ้า $=314.8-22.6$ น้อยกว่าวงกลมทั้งวง $\pi(12)^{2}=452.4$ ตร.ม. หรือไม่ ตามที่ส่วนหนึ่งของวงกลมต้องเป็น
Answershow ▾
The lawn is part of the circle, so it must be smaller than the whole circle.สนามหญ้าเป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จึงต้องเล็กกว่าวงกลมทั้งวงเสมอ
The lawn $APCDA$ is bounded by the arc, then two straight edges back to $A$. Which are the straight edges?
(A) $OA$ and $OC$, the two radii
(B) $DC$ and $DA$, the real edges of the garden
(C) $OD$ and $DA$
สนามหญ้า $APCDA$ ล้อมด้วยส่วนโค้ง แล้วด้วยขอบตรงสองขอบกลับมาที่ $A$ ขอบตรงคือข้อใด
(A) $OA$ กับ $OC$ สองรัศมี
(B) $DC$ กับ $DA$ ขอบจริงของสนามหญ้า
(C) $OD$ กับ $DA$
Answershow ▾
(A) uses the radii to the centre $O$, which is not a real edge of the lawn. (C) uses $OD=4$ instead of the full $DC=16$, undercounting the perimeter by $12$ m.(A) ใช้รัศมีไปที่จุดศูนย์กลาง $O$ ซึ่งไม่ใช่ขอบจริงของสนามหญ้า · (C) ใช้ $OD=4$ แทนที่จะใช้ $DC=16$ เต็มเส้น ทำให้เส้นรอบรูปขาดไป $12$ ม.
A rectangle $ABCD$ has $AB=8$ m. A sector, centre $O$ on $DC$, has radius $OA=OC=5$ m, with angle $ADC=90^{\circ}$.
(a) Show $\angle AOD=0.927$ rad, to 3 d.p.
(b) Find the area of the reflex sector minus triangle $AOD$, to 1 d.p.
(c) Find its perimeter, to 1 d.p.
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มี $AB=8$ ม. เซกเตอร์ ศูนย์กลาง $O$ บน $DC$ รัศมี $OA=OC=5$ ม. มุม $ADC=90^{\circ}$
(ก) จงแสดงว่า $\angle AOD=0.927$ เรเดียน ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ข) หาพื้นที่เซกเตอร์มุมสะท้อน ลบด้วยสามเหลี่ยม $AOD$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ค) หาเส้นรอบรูป ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same five moves: $OD$ from the rectangle, cosine for the angle, the reflex angle, sector minus triangle, then arc plus the two straight edges.ห้าขั้นเดิม: หา $OD$ จากสี่เหลี่ยม ใช้โคไซน์หามุม หามุมสะท้อน เซกเตอร์ลบสามเหลี่ยม แล้วส่วนโค้งบวก ขอบตรงสองขอบ
Figure 2 shows the plan view of a house $ABCD$ and a lawn $APCDA$. $ABCD$ is a rectangle with $AB=16$ m. $APCOA$ is a sector of a circle centre $O$ with radius $12$ m. The point $O$ lies on the line $DC$, as shown in Figure 2.
(a) Show that the size of angle $AOD$ is $1.231$ radians to 3 decimal places.
(b) The lawn $APCDA$ is shown shaded in Figure 2. Find the area of the lawn, in m$^{2}$, to one decimal place.
(c) Find the perimeter of the lawn, in metres, to one decimal place.
Figure 2 แสดงภาพแปลนของบ้าน $ABCD$ และสนามหญ้า $APCDA$ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า $AB=16$ ม. $APCOA$ เป็น sector ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $12$ ม. จุด $O$ อยู่บนเส้น $DC$ ดังแสดงใน Figure 2
(ก) จงแสดงว่าขนาดของมุม $AOD$ เท่ากับ $1.231$ เรเดียน ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ข) สนามหญ้า $APCDA$ แรเงาใน Figure 2 หาพื้นที่ของสนามหญ้าเป็น ตร.ม. ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ค) หาเส้นรอบรูปของสนามหญ้าเป็นเมตร ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
9 marks: cosine in the right triangle for (a), the reflex angle for the sector in (b), then the arc plus the two straight edges for (c).9 คะแนน: โคไซน์ในสามเหลี่ยมมุมฉากสำหรับ (ก) มุมสะท้อนสำหรับเซกเตอร์ใน (ข) แล้วส่วนโค้งบวกขอบตรงสองขอบ สำหรับ (ค)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two sectors, same centre, different radii สองเซกเตอร์ ศูนย์กลางเดียว รัศมีต่างกัน
Figure 3 shows a sketch of the plan view of a platform. The plan view of the platform consists of a sector $DOC$ of a circle centre $O$ joined to a sector $AOBEA$ of a different circle, also with centre $O$. Given that angle $AOB=0.8$ radians, arc length $CD=9$ m, $DA:AO=3:5$
(a) show that $AO=7.03$ m to 3 significant figures.
(b) Find the perimeter of the platform, in m, to 3 significant figures.
(c) Find the total area of the platform, giving your answer in m$^{2}$ to the nearest whole number.
Figure 3 แสดงภาพแปลนของแท่นยกพื้น แท่นนี้ประกอบด้วย sector $DOC$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ต่อกับ sector $AOBEA$ ของวงกลมอีกวง ซึ่งมีจุดศูนย์กลาง $O$ เดียวกัน กำหนดให้มุม $AOB=0.8$ เรเดียน ความยาวส่วนโค้ง $CD=9$ ม. และ $DA:AO=3:5$
(ก) จงแสดงว่า $AO=7.03$ ม. ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
(ข) หาเส้นรอบรูปของแท่นเป็น ม. เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ค) หาพื้นที่รวมของแท่นเป็น ตร.ม. ปัดเป็นจำนวนเต็ม
A sector has arc length $9$ m and angle $0.8$ rad. Use $s=r\theta$ to find $r$.
เซกเตอร์หนึ่งมีส่วนโค้งยาว $9$ ม. และมุม $0.8$ rad จงใช้ $s=r\theta$ หา $r$
Answershow ▾
Divide the arc length by the angle.หารความยาวส่วนโค้งด้วยมุม
$p:q=3:5$ and $T=p+q$. Write $q$ as a fraction of $T$.
$p:q=3:5$ และ $T=p+q$ จงเขียน $q$ เป็นเศษส่วนของ $T$
Answershow ▾
$T=p+q=\tfrac35q+q=\tfrac85q$, so $q$ is $\tfrac58$ of $T$.$T=p+q=\tfrac35q+q=\tfrac85q$ ดังนั้น $q$ คือ $\tfrac58$ ของ $T$
$\theta=0.8$ rad. Find the reflex angle $2\pi-\theta$, to 3 s.f.
$\theta=0.8$ rad จงหามุม มุมà¸à¸¥à¸±à¸ $2\pi-\theta$ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Subtract $0.8$ from $2\pi$.นำ $0.8$ ไปลบออกจาก $2\pi$
$OD=11.25$ m and $DA:AO=3:5$. Pick the way to find $AO$.
(A) $AO=\tfrac35(11.25)$
(B) $AO=\tfrac58(11.25)$
(C) $AO=11.25-\tfrac35(11.25)$
$OD=11.25$ ม. และ $DA:AO=3:5$ จงเลือกวิธีหา $AO$
(A) $AO=\tfrac35(11.25)$
(B) $AO=\tfrac58(11.25)$
(C) $AO=11.25-\tfrac35(11.25)$
Answershow ▾
(A) takes $AO$ as the $3$ part of the ratio, but $AO$ is the $5$ part. (C) treats $DA$ as $\tfrac35$ of $OD$, but the ratio $3:5$ is $DA:AO$, not $DA:OD$.(A) เอา $AO$ เป็นส่วน $3$ ของอัตราส่วน แต่ $AO$ คือส่วน $5$ · (C) ถือว่า $DA$ เป็น $\tfrac35$ ของ $OD$ แต่อัตราส่วน $3:5$ คือ $DA:AO$ ไม่ใช่ $DA:OD$
Angle $DOC=0.8$ rad and arc $CD=9$ m. Use $s=r\theta$ to find $OD$.
มุม $DOC=0.8$ rad และส่วนโค้ง $CD=9$ ม. จงใช้ $s=r\theta$ หา $OD$
Answershow ▾
Angle $DOC$ equals angle $AOB$, since $D,A,O$ and $C,B,O$ are each a straight line.มุม $DOC$ เท่ากับมุม $AOB$ เพราะ $D,A,O$ และ $C,B,O$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
Use question $2$'s method on $DA:AO=3:5$ with $OD=AO+DA=11.25$ to find $AO$, to 3 s.f.
ใช้วิธีจากข้อ $2$ กับ $DA:AO=3:5$ และ $OD=AO+DA=11.25$ เพื่อหา $AO$ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$OD$ plays the part of $T$, and $AO$ plays the part of $q$.$OD$ มีบทบาทเป็น $T$ และ $AO$ มีบทบาทเป็น $q$
Using $OD=11.25$ m and $AO=7.03$ m, find $DA=OD-AO$.
ใช้ $OD=11.25$ ม. และ $AO=7.03$ ม. จงหา $DA=OD-AO$
Answershow ▾
$DA$ and $CB$ are equal, and both are needed twice in the perimeter.$DA$ และ $CB$ มีความยาวเท่ากัน และต้องใช้ทั้งสองเส้นในเส้นรอบรูป
Arc $AEB$ is part of the OTHER circle from arc $CD$. Pick the radius and angle for arc $AEB$.
(A) radius $11.25$, angle $0.8$
(B) radius $7.03$, angle $2\pi-0.8$
(C) radius $7.03$, angle $0.8$
ส่วนโค้ง $AEB$ อยู่บนวงกลมอีกวงหนึ่ง คนละวงกับส่วนโค้ง $CD$ จงเลือกรัศมีและมุมของส่วนโค้ง $AEB$
(A) รัศมี $11.25$ มุม $0.8$
(B) รัศมี $7.03$ มุม $2\pi-0.8$
(C) รัศมี $7.03$ มุม $0.8$
Answershow ▾
(A) uses $OD$, the radius of the OTHER sector - arc $CD$ already used it. (C) uses the right radius but the angle $0.8$ is the small gap, not the reflex sweep arc $AEB$ goes through.(A) ใช้ $OD$ ซึ่งเป็นรัศมีของอีกเซกเตอร์ - ส่วนโค้ง $CD$ ใช้ไปแล้ว · (C) ใช้รัศมีถูก แต่มุม $0.8$ เป็นช่องว่างเล็ก ไม่ใช่มุม มุมà¸à¸¥à¸±à¸ ที่ส่วนโค้ง $AEB$ กวาดผ่าน
Find arc $AEB=AO(2\pi-0.8)$. Then find the perimeter $P=9+2(DA)+\text{arc }AEB$, to 3 s.f.
จงหาส่วนโค้ง $AEB=AO(2\pi-0.8)$ แล้วหาเส้นรอบรูป $P=9+2(DA)+AEB$ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
The perimeter is arc $CD$, arc $AEB$, AND both straight edges $DA$, $CB$ - not just one of them.เส้นรอบรูปคือส่วนโค้ง $CD$ ส่วนโค้ง $AEB$ และเส้นตรงทั้งสองเส้น $DA$, $CB$ - ไม่ใช่แค่เส้นใดเส้นหนึ่ง
Find the area of sector $DOC$ ($\tfrac12OD^{2}(0.8)$) and of sector $AEB$ ($\tfrac12AO^{2}(2\pi-0.8)$). Add them for the total area, to the nearest whole m$^{2}$.
จงหาพื้นที่ à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ $DOC$ ($\tfrac12OD^{2}(0.8)$) และ à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ $AEB$ ($\tfrac12AO^{2}(2\pi-0.8)$) แล้วบวกกันหาพื้นที่รวม ปัดเป็นจำนวนเต็ม ตร.ม.
Answershow ▾
The platform is the two sectors together - the narrow cap plus the wide dome.แท่นนี้คือสองเซกเตอร์รวมกัน - ส่วนแหลมแคบบวกกับส่วนโค้งกว้าง
A platform is sector $DOC$ (centre $O$, angle $1$ rad) joined to sector $AOBEA$ (centre $O$, reflex angle $2\pi-1$). Arc $CD=8$ m and $DA:AO=1:3$.
(a) Find $AO$.
(b) Find the perimeter, to 3 s.f.
(c) Find the total area, to 3 s.f.
แท่นหนึ่งเป็น à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ $DOC$ (จุดศูนย์กลาง $O$ มุม $1$ rad) ต่อกับ à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ $AOBEA$ (จุดศูนย์กลาง $O$ มุม มุมà¸à¸¥à¸±à¸ $2\pi-1$) ส่วนโค้ง $CD=8$ ม. และ $DA:AO=1:3$
(ก) หา $AO$
(ข) หาเส้นรอบรูป ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
(ค) หาพื้นที่รวม ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Same five moves: find $OD$, find $AO$ from the ratio, find $DA$, assemble the perimeter, add the two areas.ห้าขั้นเดิม: หา $OD$ หา $AO$ จากอัตราส่วน หา $DA$ รวมเป็นเส้นรอบรูป แล้วบวกพื้นที่ทั้งสอง
Figure 3 shows a sketch of the plan view of a platform. The plan view of the platform consists of a sector $DOC$ of a circle centre $O$ joined to a sector $AOBEA$ of a different circle, also with centre $O$. Given that angle $AOB=0.8$ radians, arc length $CD=9$ m, $DA:AO=3:5$
(a) show that $AO=7.03$ m to 3 significant figures.
(b) Find the perimeter of the platform, in m, to 3 significant figures.
(c) Find the total area of the platform, giving your answer in m$^{2}$ to the nearest whole number.
Figure 3 แสดงภาพแปลนของแท่นยกพื้น แท่นนี้ประกอบด้วย sector $DOC$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ต่อกับ sector $AOBEA$ ของวงกลมอีกวง ซึ่งมีจุดศูนย์กลาง $O$ เดียวกัน กำหนดให้มุม $AOB=0.8$ เรเดียน ความยาวส่วนโค้ง $CD=9$ ม. และ $DA:AO=3:5$
(ก) จงแสดงว่า $AO=7.03$ ม. ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
(ข) หาเส้นรอบรูปของแท่นเป็น ม. เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ค) หาพื้นที่รวมของแท่นเป็น ตร.ม. ปัดเป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
9 marks: find $OD$ from the arc, find $AO$ from the ratio, then the perimeter and the total area, each from the two sectors' own radius.9 คะแนน: หา $OD$ จากส่วนโค้ง หา $AO$ จากอัตราส่วน แล้วหาเส้นรอบรูปและพื้นที่รวม จากรัศมีของแต่ละเซกเตอร์เอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An annular sector target area เซกเตอร์รูปวงแหวนของพื้นที่เป้า
Figure 3 shows the plan view of the area being used for a ball-throwing competition. Competitors must stand within the circle $C$ and throw a ball as far as possible into the target area, $PQRS$, shown shaded in Figure 3. Given that circle $C$ has centre $O$; $P$ and $S$ are points on $C$; $OPQRSO$ is a sector of a circle with centre $O$; the length of arc $PS$ is $0.72$ m; the size of angle $POS$ is $0.6$ radians
(a) show that $OP=1.2$ m
(b) Given also that the target area, $PQRS$, is $90$ m$^{2}$; length $PQ=x$ metres, show that $5x^{2}+12x-1500=0$
(c) Hence calculate the total perimeter of the target area, $PQRS$, giving your answer to the nearest metre.
Figure 3 แสดงภาพแปลนของพื้นที่ที่ใช้ในการแข่งขันขว้างบอล ผู้แข่งขันต้องยืนภายในวงกลม $C$ และขว้างบอลให้ไกลที่สุดเข้าไปในพื้นที่เป้า $PQRS$ ซึ่งแรเงาใน Figure 3 กำหนดให้วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลาง $O$ จุด $P$ และ $S$ อยู่บน $C$ $OPQRSO$ เป็น sector ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ความยาวส่วนโค้ง $PS$ เท่ากับ $0.72$ ม. ขนาดของมุม $POS$ เท่ากับ $0.6$ เรเดียน
(ก) จงแสดงว่า $OP=1.2$ ม.
(ข) กำหนดเพิ่มว่าพื้นที่เป้า $PQRS$ เท่ากับ $90$ ตร.ม. และความยาว $PQ=x$ เมตร จงแสดงว่า $5x^{2}+12x-1500=0$
(ค) จากนั้นคำนวณเส้นรอบรูปรวมของพื้นที่เป้า $PQRS$ ตอบเป็นจำนวนเต็มเมตรที่ใกล้ที่สุด
An arc has length $0.72$ m. The angle at the centre is $0.6$ rad. Use arc length $=r\theta$ to find $r$.
ส่วนโค้งหนึ่งมีความยาว $0.72$ ม. มุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ $0.6$ เรเดียน จงใช้ความยาวส่วนโค้ง $=r\theta$ หา $r$
Answershow ▾
Divide the arc length by the angle.หารความยาวส่วนโค้งด้วยมุม
A sector has radius $5$ m and angle $0.4$ rad. Find its area.
เซกเตอร์หนึ่งมีรัศมี $5$ ม. และมุม $0.4$ เรเดียน จงหาพื้นที่
Answershow ▾
Area $=\tfrac12r^{2}\theta$.พื้นที่ $=\tfrac12r^{2}\theta$
Expand $(1.2+x)^{2}$.
จงกระจาย $(1.2+x)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets. The middle term comes twice.เขียนเป็นสองวงเล็บ · พจน์กลางมาสองครั้ง
The target area $PQRS$ sits between a sector of radius $1.2+x$ and a sector of radius $1.2$, both with angle $0.6$ rad. Pick the first move.
(A) $\tfrac12x^{2}(0.6)$
(B) $\tfrac12(1.2+x)^{2}(0.6)-\tfrac12(1.2)^{2}(0.6)$
(C) $\tfrac12(1.2+x)^{2}(0.6)+\tfrac12(1.2)^{2}(0.6)$
พื้นที่เป้า $PQRS$ อยู่ระหว่างเซกเตอร์รัศมี $1.2+x$ กับเซกเตอร์รัศมี $1.2$ ซึ่งมีมุม $0.6$ เรเดียนเท่ากัน จงเลือกขั้นแรก
(A) $\tfrac12x^{2}(0.6)$
(B) $\tfrac12(1.2+x)^{2}(0.6)-\tfrac12(1.2)^{2}(0.6)$
(C) $\tfrac12(1.2+x)^{2}(0.6)+\tfrac12(1.2)^{2}(0.6)$
Answershow ▾
(A) treats the gap as a brand-new sector of radius $x$, which is not the same shape as the band between the two real sectors. (C) adds the inner sector back in instead of removing it, double-counting it.(A) ถือว่าช่องว่างเป็นเซกเตอร์ใหม่รัศมี $x$ ซึ่งไม่ใช่รูปร่างเดียวกับแถบระหว่างสองเซกเตอร์จริง · (C) บวกเซกเตอร์วงในกลับเข้าไปแทนที่จะลบออก ทำให้นับซ้ำ
Arc $PS$ has length $0.72$ m and angle $POS$ is $0.6$ rad. Show that $OP=1.2$ m.
ส่วนโค้ง $PS$ ยาว $0.72$ ม. และมุม $POS$ เท่ากับ $0.6$ เรเดียน จงแสดงว่า $OP=1.2$ ม.
Answershow ▾
Use arc length $=$ radius $\times$ angle.ใช้ความยาวส่วนโค้ง $=$ รัศมี $\times$ มุม
Using $OP=1.2$, write the area of the outer sector (radius $1.2+x$) and the inner sector (radius $1.2$), both with angle $0.6$ rad.
ใช้ $OP=1.2$ จงเขียนพื้นที่เซกเตอร์วงนอก (รัศมี $1.2+x$) และเซกเตอร์วงใน (รัศมี $1.2$) ซึ่งมีมุม $0.6$ เรเดียนเท่ากัน
Answershow ▾
Same area formula, one with radius $1.2+x$, one with radius $1.2$.สูตรพื้นที่เดิม ครั้งหนึ่งใช้รัศมี $1.2+x$ อีกครั้งใช้รัศมี $1.2$
The target area is $90$ m$^{2}$. Set outer minus inner equal to $90$, then simplify to one quadratic equation in $x$.
พื้นที่เป้าเท่ากับ $90$ ตร.ม. จงตั้งสมการเซกเตอร์วงนอกลบวงในให้เท่ากับ $90$ แล้วทำให้ง่ายเป็นสมการกำลังสอง ในตัวแปร $x$
Answershow ▾
Factor out $0.3$, divide it away, then expand the bracket.ดึงตัวร่วม $0.3$ ออกมา หารมันทิ้ง แล้วกระจายวงเล็บ
Solve $5x^{2}+12x-1500=0$ using the quadratic formula, and give the positive root to $2$ d.p.; $x=PQ$ is a length, so reject the negative root.
จงแก้สมการ $5x^{2}+12x-1500=0$ ด้วยสูตรกำลังสอง ตอบรากที่เป็นบวก ทศนิยม $2$ ตำแหน่ง · $x=PQ$ เป็นความยาว จึงปฏิเสธรากที่เป็นลบ
Answershow ▾
$x\approx-18.56$ is also a root, but a length cannot be negative.$x\approx-18.56$ ก็เป็นรากของสมการเช่นกัน แต่ความยาวเป็นลบไม่ได้
$PQRS$ is bounded by two straight edges and two arcs. Which set of edges gives its perimeter?
(A) $OP+PQ+OR+RS$
(B) $PQ+\text{arc }QR+RS+\text{arc }PS$
(C) $PQ+QR+RS+PS$, all as straight lines
$PQRS$ ล้อมรอบด้วยด้านตรงสองด้านและส่วนโค้งสองเส้น ด้านชุดใดให้เส้นรอบรูป
(A) $OP+PQ+OR+RS$
(B) $PQ+\text{arc }QR+RS+\text{arc }PS$
(C) $PQ+QR+RS+PS$ ทั้งหมดเป็นด้านตรง
Answershow ▾
(A) includes the radii $OP$ and $OR$, which sit inside the sector, not on the boundary of $PQRS$. (C) treats $QR$ and $PS$ as straight lines, but they are arcs, not chords.(A) รวมรัศมี $OP$ กับ $OR$ ซึ่งอยู่ด้านในเซกเตอร์ ไม่ใช่ขอบของ $PQRS$ · (C) ถือว่า $QR$ กับ $PS$ เป็นด้านตรง แต่จริง ๆ เป็นส่วนโค้ง ไม่ใช่คอร์ด
Using $x\approx16.16$, find arc $QR$ (radius $1.2+x$, angle $0.6$ rad), then the total perimeter of $PQRS$, to the nearest metre.
ใช้ $x\approx16.16$ หาส่วนโค้ง $QR$ (รัศมี $1.2+x$ มุม $0.6$ เรเดียน) แล้วหาเส้นรอบรูปรวมของ $PQRS$ ตอบเป็นจำนวนเต็มเมตรที่ใกล้ที่สุด
Answershow ▾
Two sides of length $x$, the outer arc, and the given inner arc $0.72$.ด้านยาว $x$ สองด้าน ส่วนโค้งวงนอก และส่วนโค้งวงในที่กำหนดให้ $0.72$
A target lies between an inner arc of length $3$ m (radius $6$ m) and an outer arc, both with angle $0.5$ rad. The straight edges have length $x$ m, and the area between the arcs is $27$ m$^{2}$. Find $x$, then find the perimeter, to the nearest metre.
เป้าหมายอยู่ระหว่างส่วนโค้งวงใน ยาว $3$ ม. (รัศมี $6$ ม.) กับส่วนโค้งวงนอก ซึ่งมีมุม $0.5$ เรเดียนเท่ากัน ด้านตรงยาว $x$ ม. และพื้นที่ระหว่างส่วนโค้งทั้งสองเท่ากับ $27$ ตร.ม. จงหา $x$ แล้วหาเส้นรอบรูป ตอบเป็นจำนวนเต็มเมตรที่ใกล้ที่สุด
Answershow ▾
Same moves: outer minus inner sector, solve, then two sides plus two arcs.ขั้นเดิม: เซกเตอร์วงนอกลบวงใน แก้สมการ แล้วด้านตรงสองด้านบวกส่วนโค้งสองเส้น
Figure 3 shows the plan view of the area being used for a ball-throwing competition. Competitors must stand within the circle $C$ and throw a ball as far as possible into the target area, $PQRS$, shown shaded in Figure 3. Given that circle $C$ has centre $O$; $P$ and $S$ are points on $C$; $OPQRSO$ is a sector of a circle with centre $O$; the length of arc $PS$ is $0.72$ m; the size of angle $POS$ is $0.6$ radians
(a) show that $OP=1.2$ m
(b) Given also that the target area, $PQRS$, is $90$ m$^{2}$; length $PQ=x$ metres, show that $5x^{2}+12x-1500=0$
(c) Hence calculate the total perimeter of the target area, $PQRS$, giving your answer to the nearest metre.
Figure 3 แสดงภาพแปลนของพื้นที่ที่ใช้ในการแข่งขันขว้างบอล ผู้แข่งขันต้องยืนภายในวงกลม $C$ และขว้างบอลให้ไกลที่สุดเข้าไปในพื้นที่เป้า $PQRS$ ซึ่งแรเงาใน Figure 3 กำหนดให้วงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลาง $O$ จุด $P$ และ $S$ อยู่บน $C$ $OPQRSO$ เป็น sector ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ความยาวส่วนโค้ง $PS$ เท่ากับ $0.72$ ม. ขนาดของมุม $POS$ เท่ากับ $0.6$ เรเดียน
(ก) จงแสดงว่า $OP=1.2$ ม.
(ข) กำหนดเพิ่มว่าพื้นที่เป้า $PQRS$ เท่ากับ $90$ ตร.ม. และความยาว $PQ=x$ เมตร จงแสดงว่า $5x^{2}+12x-1500=0$
(ค) จากนั้นคำนวณเส้นรอบรูปรวมของพื้นที่เป้า $PQRS$ ตอบเป็นจำนวนเต็มเมตรที่ใกล้ที่สุด
Answershow ▾
7 marks: the radius from the arc, the quadratic from the two sector areas, the positive root, then the perimeter from two sides and two arcs.7 คะแนน: รัศมีจากส่วนโค้ง สมการกำลังสองจากพื้นที่เซกเตอร์ทั้งสอง รากที่เป็นบวก แล้วเส้นรอบรูปจากด้านตรงสองด้านบวกส่วนโค้งสองเส้น
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A garden: sector plus two triangles สวน: เซกเตอร์ รวมกับสามเหลี่ยมสองรูป
Figure 2 shows the plan view of a garden. The shape of the garden $ABCDEA$ consists of a triangle $ABE$ and a right-angled triangle $BCD$ joined to a sector $BDE$ of a circle with radius $6$ m and centre $B$. The points $A$, $B$ and $C$ lie on a straight line with $AB=10.8$ m. Angle $BCD=\dfrac{\pi}{2}$ radians, angle $EBD=1.3$ radians and $AE=12.2$ m
(a) Find the area of the sector $BDE$, giving your answer in m$^{2}$
(b) Find the size of angle $ABE$, giving your answer in radians to 2 decimal places.
(c) Find the area of the garden, giving your answer in m$^{2}$ to 3 significant figures.
Figure 2 แสดงภาพแปลนของสวน สวนรูปร่าง $ABCDEA$ ประกอบด้วยสามเหลี่ยม $ABE$ และสามเหลี่ยมมุมฉาก $BCD$ ต่อกับ sector $BDE$ ของวงกลมรัศมี $6$ ม. จุดศูนย์กลาง $B$ จุด $A$, $B$ และ $C$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $AB=10.8$ ม. มุม $BCD=\dfrac{\pi}{2}$ เรเดียน มุม $EBD=1.3$ เรเดียน และ $AE=12.2$ ม.
(ก) หาพื้นที่ของ sector $BDE$ เป็น ตร.ม.
(ข) หาขนาดของมุม $ABE$ เป็นเรเดียน ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ค) หาพื้นที่ของสวนเป็น ตร.ม. เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
A sector has radius $4$ and angle $0.6$ rad. Find its area, using $\text{Area}=\tfrac12r^{2}\theta$.
เซกเตอร์หนึ่งมีรัศมี $4$ มุม $0.6$ เรเดียน จงหาพื้นที่ โดยใช้ $\text{Area}=\tfrac12r^{2}\theta$
Answershow ▾
Substitute $r=4$ and $\theta=0.6$.แทน $r=4$ และ $\theta=0.6$
A triangle has sides $5$, $4$, $6$. Use $\cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$, $a=5,b=4,c=6$, to find $\cos C$.
สามเหลี่ยมมีด้าน $5$, $4$, $6$ จงใช้ $\cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ โดย $a=5,b=4,c=6$ หา $\cos C$
Answershow ▾
$c$ is the side opposite the angle you want.$c$ คือด้านตรงข้ามมุมที่ต้องการหา
Round $2.3456\ldots$ to 2 decimal places.
จงปัดเศษ $2.3456\ldots$ เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The 3rd decimal digit is $5$, so round up.ทศนิยมตำแหน่งที่ 3 คือ $5$ จึงปัดขึ้น
In triangle $ABE$ you know all three sides, $AB=10.8$, $BE=6$, $AE=12.2$, but no angle. Pick the rule to find angle $ABE$.
(A) the cosine rule
(B) the sine rule
(C) Pythagoras
ในสามเหลี่ยม $ABE$ รู้ด้านครบสามด้าน $AB=10.8$, $BE=6$, $AE=12.2$ แต่ไม่รู้มุม จงเลือกกฎที่ใช้หามุม $ABE$
(A) กฎของโคไซน์
(B) กฎของไซน์
(C) พีทาโกรัส
Answershow ▾
(B) the sine rule needs a known angle paired with its opposite side first, and it can give two possible angles. (C) Pythagoras only works in a right-angled triangle, and $ABE$ has no right angle.(B) กฎของไซน์ต้องมีมุมที่รู้ค่าคู่กับด้านตรงข้ามก่อน และอาจให้มุมได้สองค่า · (C) พีทาโกรัสใช้ได้เฉพาะสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ $ABE$ ไม่มีมุมฉาก
Find the area of the sector $BDE$, radius $6$ m, angle $EBD=1.3$ rad.
จงหาพื้นที่ของ เซกเตอร์ $BDE$ รัศมี $6$ ม. มุม $EBD=1.3$ เรเดียน
Answershow ▾
Same formula as question 1, these real numbers.สูตรเดิมจากข้อ 1 แต่ใช้ตัวเลขจริง
Substitute $AB=10.8$, $BE=6$, $AE=12.2$ into the cosine rule to find $\cos(\angle ABE)$.
จงแทน $AB=10.8$, $BE=6$, $AE=12.2$ ในกฎของโคไซน์ เพื่อหา $\cos(\angle ABE)$
Answershow ▾
Same rule as question 2, these real sides.กฎเดิมจากข้อ 2 แต่ใช้ด้านจริง
Use $\cos(\angle ABE)=0.0293$ to find angle $ABE$, to 2 decimal places.
ใช้ $\cos(\angle ABE)=0.0293$ หามุม $ABE$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Inverse cosine, then round like question 3.หาอินเวอร์สโคไซน์ แล้วปัดเศษแบบข้อ 3
$A$, $B$, $C$ are collinear, so find angle $DBC=\pi-1.3-1.54$. Then find the area of the right-angled triangle $BCD$, using $BC=6\cos(\angle DBC)$ and $CD=6\sin(\angle DBC)$.
$A$, $B$, $C$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จงหามุม $DBC=\pi-1.3-1.54$ แล้วหาพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉาก $BCD$ โดยใช้ $BC=6\cos(\angle DBC)$ และ $CD=6\sin(\angle DBC)$
Answershow ▾
Angles on a straight line sum to $\pi$; a right-angled triangle needs no sine or cosine rule.มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $\pi$ · สามเหลี่ยมมุมฉากไม่ต้องใช้กฎไซน์หรือโคไซน์
The garden $ABCDEA$ is the sector $BDE$, triangle $ABE$, and triangle $BCD$ together. Pick the correct total area.
(A) sector $+$ triangle $ABE$ $+$ triangle $BCD$
(B) sector $+$ triangle $ABE$ only
(C) triangle $ABE$ $+$ triangle $BCD$ only
สวน $ABCDEA$ ประกอบด้วย เซกเตอร์ $BDE$ สามเหลี่ยม $ABE$ และสามเหลี่ยม $BCD$ รวมกัน จงเลือกพื้นที่รวมที่ถูกต้อง
(A) เซกเตอร์ $+$ สามเหลี่ยม $ABE$ $+$ สามเหลี่ยม $BCD$
(B) เซกเตอร์ $+$ สามเหลี่ยม $ABE$ เท่านั้น
(C) สามเหลี่ยม $ABE$ $+$ สามเหลี่ยม $BCD$ เท่านั้น
Answershow ▾
(B) leaves out triangle $BCD$ - a common lost mark, since the right-angled corner is easy to forget. (C) leaves out the sector, the piece the whole question started from.(B) ขาดสามเหลี่ยม $BCD$ ไป ซึ่งเป็นการเสียคะแนนที่พบบ่อย เพราะมุมฉากตรงนี้มักถูกมองข้าม · (C) ขาดเซกเตอร์ไป ซึ่งเป็นส่วนที่โจทย์เริ่มต้นไว้
Find the area of triangle $ABE=\tfrac12(10.8)(6)\sin(1.54)$. Add it to the sector $23.4$ and triangle $BCD$ $5.08$, to find the total area of the garden, to 3 s.f.
จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $ABE=\tfrac12(10.8)(6)\sin(1.54)$ แล้วบวกกับเซกเตอร์ $23.4$ และสามเหลี่ยม $BCD$ $5.08$ หาพื้นที่รวมของสวน ตอบเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Three pieces: question 7, the sector, and this triangle.สามส่วน: ข้อ 7 เซกเตอร์ และสามเหลี่ยมนี้
A garden $PQRST$ has a triangle $PQT$ and a right-angled triangle $QRS$, joined to a sector $QST$ of a circle, radius $5$ m, centre $Q$. $P$, $Q$, $R$ are collinear, $PQ=9$ m. Angle $QRS=\tfrac{\pi}{2}$, angle $TQS=1.1$ rad, and $PT=7$ m.
(a) Find the area of sector $QST$.
(b) Find angle $PQT$, to 2 d.p.
(c) Find the total area of the garden, to 3 s.f.
สวน $PQRST$ ประกอบด้วยสามเหลี่ยม $PQT$ และสามเหลี่ยมมุมฉาก $QRS$ ต่อกับเซกเตอร์ $QST$ ของวงกลมรัศมี $5$ ม. จุดศูนย์กลาง $Q$ โดย $P$, $Q$, $R$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $PQ=9$ ม. มุม $QRS=\tfrac{\pi}{2}$ มุม $TQS=1.1$ เรเดียน และ $PT=7$ ม.
(ก) หาพื้นที่ของเซกเตอร์ $QST$
(ข) หามุม $PQT$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ค) หาพื้นที่รวมของสวน เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Same five moves: the sector formula, the cosine rule for the angle, angles on a straight line, the right-triangle legs, then summing all three areas.ห้าขั้นเดิม: สูตรเซกเตอร์ กฎโคไซน์หามุม มุมบนเส้นตรง ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วรวมพื้นที่ทั้งสามส่วน
Figure 2 shows the plan view of a garden. The shape of the garden $ABCDEA$ consists of a triangle $ABE$ and a right-angled triangle $BCD$ joined to a sector $BDE$ of a circle with radius $6$ m and centre $B$. The points $A$, $B$ and $C$ lie on a straight line with $AB=10.8$ m. Angle $BCD=\dfrac{\pi}{2}$ radians, angle $EBD=1.3$ radians and $AE=12.2$ m
(a) Find the area of the sector $BDE$, giving your answer in m$^{2}$
(b) Find the size of angle $ABE$, giving your answer in radians to 2 decimal places.
(c) Find the area of the garden, giving your answer in m$^{2}$ to 3 significant figures.
Figure 2 แสดงภาพแปลนของสวน สวนรูปร่าง $ABCDEA$ ประกอบด้วยสามเหลี่ยม $ABE$ และสามเหลี่ยมมุมฉาก $BCD$ ต่อกับ sector $BDE$ ของวงกลมรัศมี $6$ ม. จุดศูนย์กลาง $B$ จุด $A$, $B$ และ $C$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $AB=10.8$ ม. มุม $BCD=\dfrac{\pi}{2}$ เรเดียน มุม $EBD=1.3$ เรเดียน และ $AE=12.2$ ม.
(ก) หาพื้นที่ของ sector $BDE$ เป็น ตร.ม.
(ข) หาขนาดของมุม $ABE$ เป็นเรเดียน ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ค) หาพื้นที่ของสวนเป็น ตร.ม. เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
7 marks: sector area, the cosine rule for angle $ABE$ (not sine - ambiguous), angles on a straight line for angle $DBC$, then both triangle areas plus the sector.7 คะแนน: พื้นที่เซกเตอร์ กฎโคไซน์หามุม $ABE$ (ไม่ใช่กฎไซน์ เพราะกำกวม) มุมบนเส้นตรงหามุม $DBC$ แล้วพื้นที่สามเหลี่ยมทั้งสองรูปรวมกับเซกเตอร์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A sign: kite plus a reflex sector ป้าย: ว่าว รวมกับ à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ มุม มุมà¸à¸¥à¸±à¸
Figure 3 shows the design for a sign at a bird sanctuary. The design consists of a kite $OABC$ joined to a sector $OCXA$ of a circle centre $O$. In the design $OA=OC=0.6$ m, $AB=CB=1.4$ m, angle $OAB=$ angle $OCB=2$ radians, angle $AOC=\theta$ radians, as shown in Figure 3.
(a) show that $\theta=1.64$ radians to 3 significant figures, making your method clear,
(b) find the perimeter of the sign, in metres to 2 significant figures,
(c) find the area of the sign, in m$^{2}$ to 2 significant figures.
Figure 3 แสดงการออกแบบป้ายที่เขตรักษาพันธุ์นก การออกแบบประกอบด้วยว่าว $OABC$ ต่อกับ sector $OCXA$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ในการออกแบบนี้ $OA=OC=0.6$ ม. $AB=CB=1.4$ ม. มุม $OAB=$ มุม $OCB=2$ เรเดียน มุม $AOC=\theta$ เรเดียน ดังแสดงใน Figure 3
(ก) จงแสดงว่า $\theta=1.64$ เรเดียน ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
(ข) หาเส้นรอบรูปของป้ายเป็นเมตร เลขนัยสำคัญ 2 ตัว
(ค) หาพื้นที่ของป้ายเป็น ตร.ม. เลขนัยสำคัญ 2 ตัว
A triangle has sides $0.6$ and $1.4$, with angle $1.5$ rad between them. Find the third side, to 3 s.f.
สามเหลี่ยมมีด้านยาว $0.6$ และ $1.4$ มุมระหว่างสองด้านนั้น $1.5$ rad จงหาด้านที่สาม ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Square both sides, subtract twice their product times $\cos$ of the angle, then square-root.ยกกำลังสองทั้งสองด้าน ลบด้วยสองเท่าของผลคูณคูณ $\cos$ ของมุม แล้วถอดรากที่สอง
In a triangle, side $p=5$ is opposite angle $P=0.4$ rad, and side $q=8$ is opposite angle $Q$. Use $\dfrac{\sin Q}{q}=\dfrac{\sin P}{p}$ to find angle $Q$, to 3 s.f.
ในสามเหลี่ยม ด้าน $p=5$ อยู่ตรงข้ามมุม $P=0.4$ rad และด้าน $q=8$ อยู่ตรงข้ามมุม $Q$ จงใช้ $\dfrac{\sin Q}{q}=\dfrac{\sin P}{p}$ หามุม $Q$ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Cross-multiply for $\sin Q$ first, then take $\arcsin$.คูณไขว้หา $\sin Q$ ก่อน แล้วค่อยหา $\arcsin$
Round $5.0273\ldots$ to 3 significant figures.
จงปัด $5.0273\ldots$ เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
The 4th figure is $7$, so round up.ตัวเลขตำแหน่งที่ $4$ คือ $7$ จึงปัดขึ้น
Triangle $OAB$ has $OA=0.6$, $AB=1.4$, angle $OAB=2$ rad. Use the cosine rule to find $OB$, to 3 s.f.
สามเหลี่ยม $OAB$ มี $OA=0.6$, $AB=1.4$, มุม $OAB=2$ rad จงใช้กฎของโคไซน์หา $OB$ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Same formula as question 1, with the real sides and the real angle.สูตรเดียวกับข้อ 1 แทนด้วยด้านจริงและมุมจริง
Use $\dfrac{\sin(\angle AOB)}{AB}=\dfrac{\sin(\angle OAB)}{OB}$ with $AB=1.4$, $\angle OAB=2$, $OB=1.74$ to find angle $AOB$.
จงใช้ $\dfrac{\sin(\angle AOB)}{AB}=\dfrac{\sin(\angle OAB)}{OB}$ โดย $AB=1.4$, $\angle OAB=2$, $OB=1.74$ หามุม $AOB$
Answershow ▾
Cross-multiply for $\sin(\angle AOB)$, then take $\arcsin$.คูณไขว้หา $\sin(\angle AOB)$ ก่อน แล้วค่อยหา $\arcsin$
Angle $AOB=0.8222$ is only half of the kite’s own angle at $O$. Pick $\theta$.
(A) $\theta=0.8222$
(B) $\theta=2\times0.8222$
(C) $\theta=0.8222+2$
มุม $AOB=0.8222$ เป็นเพียงครึ่งหนึ่งของมุมของว่าวที่จุด $O$ จงเลือก $\theta$
(A) $\theta=0.8222$
(B) $\theta=2\times0.8222$
(C) $\theta=0.8222+2$
Answershow ▾
(A) forgets that $OB$ splits the kite into two equal triangles, so angle $AOB$ is only half of $\theta$. (C) adds angle $OAB=2$, the angle at a different vertex, which has no reason to combine with angle $AOB$ at all.(A) ลืมว่า $OB$ แบ่งว่าวเป็นสามเหลี่ยมเท่ากันสองรูป มุม $AOB$ จึงเป็นครึ่งหนึ่งของ $\theta$ เท่านั้น · (C) บวกมุม $OAB=2$ ซึ่งเป็นมุมที่จุดอื่น ไม่มีเหตุผลที่จะเอามารวมกับมุม $AOB$
Double angle $AOB=0.8222$ to find $\theta$, to 3 s.f.
จงคูณสองมุม $AOB=0.8222$ เพื่อหา $\theta$ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
This is the doubling step the mark scheme must see written down.นี่คือขั้นคูณสองที่เฉลยต้องเห็นเขียนไว้ชัดเจน
The sector is attached along $OA$ and $OC$, on the OTHER side from the kite. Pick the angle to use for it.
(A) $\theta=1.64$
(B) $2\pi-\theta=4.64$
(C) $\pi-\theta=1.50$
à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ ต่อตาม $OA$ และ $OC$ อยู่คนละด้านกับว่าว จงเลือกมุมที่ใช้กับ à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ นี้
(A) $\theta=1.64$
(B) $2\pi-\theta=4.64$
(C) $\pi-\theta=1.50$
Answershow ▾
(A) is the kite’s own angle, on the side where the kite sits, not the sector. (C) only removes half a turn; the sector and the kite together must fill the whole turn $2\pi$ around $O$, not $\pi$.(A) คือมุมของว่าวเอง อยู่ด้านที่ว่าวอยู่ ไม่ใช่ด้านของ à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ · (C) ลบออกไปแค่ครึ่งรอบ แต่ à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ กับว่าวต้องรวมกันเต็มรอบ $2\pi$ รอบ $O$ ไม่ใช่ $\pi$
Find arc $XC=OA\times(2\pi-\theta)$, then the perimeter $=\text{arc }XC+AB+CB$, to 2 s.f.
จงหาส่วนโค้ง $XC=OA\times(2\pi-\theta)$ แล้วหาเส้นรอบรูป $=\text{arc }XC+AB+CB$ ตอบ 2 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
The arc on the reflex side, plus the two slanted sides of the kite.ส่วนโค้งด้าน มุมà¸à¸¥à¸±à¸ บวกกับด้านเฉียงสองด้านของว่าว
Find the sector area $=\tfrac12OA^{2}(2\pi-\theta)$, the kite area $=OA\times AB\times\sin2$, add them, then round to 2 s.f.
จงหาพื้นที่ à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ $=\tfrac12OA^{2}(2\pi-\theta)$ พื้นที่ว่าว $=OA\times AB\times\sin2$ นำมาบวกกัน แล้วปัดเป็นเลขนัยสำคัญ 2 ตัว
Answershow ▾
The kite formula already counts both triangles $OAB$ and $OCB$ together.สูตรว่าวนับสามเหลี่ยม $OAB$ และ $OCB$ รวมกันไว้แล้ว
A sign is a kite $OABC$ joined to a sector $OCXA$ of a circle centre $O$. $OA=OC=1$ m, $AB=CB=2$ m, angle $OAB=$ angle $OCB=1.8$ rad, angle $AOC=\theta$.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the perimeter, to 2 s.f.
(c) Find the area, to 2 s.f.
ป้ายหนึ่งเป็นว่าว $OABC$ ต่อกับ à¹à¸à¸à¹à¸à¸à¸£à¹ $OCXA$ ของวงกลมศูนย์กลาง $O$ โดย $OA=OC=1$ ม., $AB=CB=2$ ม., มุม $OAB=$ มุม $OCB=1.8$ rad, มุม $AOC=\theta$
(ก) หา $\theta$
(ข) หาเส้นรอบรูป ตอบ 2 ตัวเลขนัยสำคัญ
(ค) หาพื้นที่ ตอบ 2 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Same five moves: cosine rule, sine rule, double for theta, then the reflex angle for the perimeter and area.ห้าขั้นเดิม: กฎของโคไซน์ กฎของไซน์ คูณสองหา $\theta$ แล้วใช้มุม มุมà¸à¸¥à¸±à¸ หาเส้นรอบรูปและพื้นที่
Figure 3 shows the design for a sign at a bird sanctuary. The design consists of a kite $OABC$ joined to a sector $OCXA$ of a circle centre $O$. In the design $OA=OC=0.6$ m, $AB=CB=1.4$ m, angle $OAB=$ angle $OCB=2$ radians, angle $AOC=\theta$ radians, as shown in Figure 3.
(a) show that $\theta=1.64$ radians to 3 significant figures, making your method clear,
(b) find the perimeter of the sign, in metres to 2 significant figures,
(c) find the area of the sign, in m$^{2}$ to 2 significant figures.
Figure 3 แสดงการออกแบบป้ายที่เขตรักษาพันธุ์นก การออกแบบประกอบด้วยว่าว $OABC$ ต่อกับ sector $OCXA$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ในการออกแบบนี้ $OA=OC=0.6$ ม. $AB=CB=1.4$ ม. มุม $OAB=$ มุม $OCB=2$ เรเดียน มุม $AOC=\theta$ เรเดียน ดังแสดงใน Figure 3
(ก) จงแสดงว่า $\theta=1.64$ เรเดียน ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
(ข) หาเส้นรอบรูปของป้ายเป็นเมตร เลขนัยสำคัญ 2 ตัว
(ค) หาพื้นที่ของป้ายเป็น ตร.ม. เลขนัยสำคัญ 2 ตัว
Answershow ▾
10 marks: cosine rule for $OB$, sine rule for angle $AOB$, double it for $\theta$, then the reflex angle $2\pi-\theta$ for both the perimeter and the area.10 คะแนน: กฎของโคไซน์หา $OB$ กฎของไซน์หามุม $AOB$ คูณสองหา $\theta$ แล้วใช้มุม มุมà¸à¸¥à¸±à¸ $2\pi-\theta$ ทั้งเส้นรอบรูปและพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A stage: sector plus two triangles เวที: เซกเตอร์ (sector) รวมกับสามเหลี่ยมสองรูป
Figure 1 shows the plan view for the design of a stage. The design consists of a sector $OBC$ of a circle, with centre $O$, joined to two congruent triangles $OAB$ and $ODC$. Given that angle $BOC=2.4$ radians, area of sector $BOC=40$ m$^{2}$, $AOD$ is a straight line of length $12.5$ m
(a) find the radius of the sector, giving your answer, in m, to 2 decimal places,
(b) find the size of angle $AOB$, in radians, to 2 decimal places. Hence find
(c) the total area of the stage, giving your answer, in m$^{2}$, to one decimal place,
(d) the total perimeter of the stage, giving your answer, in m, to one decimal place.
Figure 1 แสดงภาพแปลนของการออกแบบเวที การออกแบบประกอบด้วย sector $OBC$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ต่อกับสองสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ $OAB$ และ $ODC$ กำหนดให้มุม $BOC=2.4$ เรเดียน พื้นที่ sector $BOC=40$ ตร.ม. และ $AOD$ เป็นเส้นตรงความยาว $12.5$ ม.
(ก) หารัศมีของ sector เป็นเมตร ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) หาขนาดของมุม $AOB$ เป็นเรเดียน ทศนิยม 2 ตำแหน่ง จากนั้นหา
(ค) พื้นที่รวมของเวทีเป็น ตร.ม. ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ง) เส้นรอบรูปรวมของเวทีเป็นเมตร ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$\text{Area}=\tfrac12r^{2}\theta$. Make $r$ the subject.
$\text{Area}=\tfrac12r^{2}\theta$ จงทำ $r$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Multiply both sides by $2$, divide by $\theta$, then square root.คูณทั้งสองข้างด้วย $2$ หารด้วย $\theta$ แล้วถอดรากที่สอง
A triangle has two sides $6.25$ m and $4$ m, with an angle of $1.1$ rad between them. Find its area, to 3 s.f.
สามเหลี่ยมมีสองด้านยาว $6.25$ ม. และ $4$ ม. มุมระหว่างสองด้านนั้น $1.1$ rad จงหาพื้นที่ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Area $=\tfrac12ab\sin C$, with $a=6.25$, $b=4$.พื้นที่ $=\tfrac12ab\sin C$ โดย $a=6.25$, $b=4$
Round $5.773502\ldots$ to 2 decimal places.
จงปัด $5.773502\ldots$ เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The third decimal digit is $3$, so round down.ทศนิยมตำแหน่งที่ $3$ คือ $3$ จึงปัดลง
Sector $OBC$ has angle $BOC=2.4$ rad and area $40$ m$^{2}$. Use $\text{Area}=\tfrac12r^{2}\theta$ to find $r$, to 2 d.p.
เซกเตอร์ $OBC$ มีมุม $BOC=2.4$ เรเดียน และพื้นที่ $40$ ตร.ม. จงใช้ $\text{Area}=\tfrac12r^{2}\theta$ หา $r$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Substitute the area and the angle, then rearrange for $r$.แทนค่าพื้นที่กับมุม แล้วจัดรูปหา $r$
Angle $BOC=2.4$ rad and $AOD$ is a straight line. Pick the correct angle $AOB$.
(A) $\dfrac{2\pi-2.4}{2}$
(B) $\dfrac{\pi-2.4}{2}$
(C) $\pi-2.4$
มุม $BOC=2.4$ เรเดียน และ $AOD$ เป็นเส้นตรง จงเลือกมุม $AOB$ ที่ถูกต้อง
(A) $\dfrac{2\pi-2.4}{2}$
(B) $\dfrac{\pi-2.4}{2}$
(C) $\pi-2.4$
Answershow ▾
(A) treats $O$ as a full turn $2\pi$, but a straight line is only $\pi$. (C) forgets angle $AOB$ and angle $COD$ share the remainder equally.(A) ถือว่า $O$ ครบรอบ $2\pi$ แต่เส้นตรงมีแค่ครึ่งรอบ $\pi$ · (C) ลืมว่ามุม $AOB$ กับมุม $COD$ แบ่งส่วนที่เหลือเท่า ๆ กัน
Use the rule from the last question to find angle $AOB=\dfrac{\pi-2.4}{2}$, to 2 d.p.
ใช้กฎจากข้อที่แล้วหามุม $AOB=\dfrac{\pi-2.4}{2}$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Subtract $2.4$ from $\pi$, then halve.เอา $\pi$ ลบ $2.4$ แล้วหารครึ่ง
Find the area of triangle $OAB=\tfrac12(6.25)(5.77)\sin0.37$, double it, add the sector area $40$, then round to 1 d.p.
จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $OAB=\tfrac12(6.25)(5.77)\sin0.37$ นำไปคูณสอง บวกพื้นที่เซกเตอร์ $40$ แล้วปัดเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Two equal triangles, plus the sector between them.สามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน บวกกับเซกเตอร์ระหว่างกลาง
Find the arc length $BC=r\theta$, using $r=5.77$ and $\theta=2.4$.
จงหาส่วนโค้ง $BC=r\theta$ โดย $r=5.77$ และ $\theta=2.4$
Answershow ▾
Multiply the radius by the angle in radians.คูณรัศมีด้วยมุมที่เป็นเรเดียน
Use the cosine rule $AB^{2}=6.25^{2}+5.77^{2}-2(6.25)(5.77)\cos0.37$ to find $AB$, then find the perimeter $=AD+2AB+\text{arc }BC=12.5+2AB+13.86$. Round to 1 d.p.
จงใช้กฎของโคไซน์ $AB^{2}=6.25^{2}+5.77^{2}-2(6.25)(5.77)\cos0.37$ หา $AB$ แล้วหาเส้นรอบรูป $=AD+2AB+\text{arc }BC=12.5+2AB+13.86$ ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The straight edge, two equal slanted sides, and the arc.ด้านตรง ด้านเฉียงที่เท่ากันสองด้าน และส่วนโค้ง
The stage is walked around by the straight edge $AD$, the two slanted sides $AB$, $DC$, and the arc $BC$. Pick the correct perimeter.
(A) $AD+AB+DC+\text{arc }BC$
(B) $AD+AB+DC+\text{arc }BC+OB+OC$
(C) $AD+\text{arc }BC$
เดินรอบเวทีได้ด้วยด้านตรง $AD$ ด้านเฉียงสองด้าน $AB$, $DC$ และส่วนโค้ง $BC$ จงเลือกเส้นรอบรูปที่ถูกต้อง
(A) $AD+AB+DC+\text{arc }BC$
(B) $AD+AB+DC+\text{arc }BC+OB+OC$
(C) $AD+\text{arc }BC$
Answershow ▾
(B) adds $OB$, $OC$, but they sit inside the stage, used only to find the triangle areas. (C) leaves out the two slanted sides $AB$, $DC$.(B) เพิ่ม $OB$, $OC$ เข้ามา แต่มันอยู่ด้านในเวที ใช้แค่หาพื้นที่สามเหลี่ยม · (C) ลืมด้านเฉียงสองด้าน $AB$, $DC$
A stage is made of a sector $OBC$ of a circle, centre $O$, joined to two congruent triangles $OAB$ and $ODC$. Angle $BOC=1.8$ rad, sector area $=14.4$ m$^{2}$, and $AOD$ is a straight line of length $12$ m.
(a) Find $r$.
(b) Find angle $AOB$.
(c) Find the total area.
(d) Find the total perimeter.
เวทีหนึ่งทำจากเซกเตอร์ $OBC$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ต่อกับสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการสองรูป $OAB$ และ $ODC$ มุม $BOC=1.8$ เรเดียน พื้นที่เซกเตอร์ $=14.4$ ตร.ม. และ $AOD$ เป็นเส้นตรงความยาว $12$ ม.
(ก) หา $r$
(ข) หามุม $AOB$
(ค) หาพื้นที่รวม
(ง) หาเส้นรอบรูปรวม
Answershow ▾
Same four moves: the sector equation for $r$, the shared angle at $O$, the two triangle areas, then the arc and the cosine rule for the perimeter.สี่ขั้นเดิม: สมการเซกเตอร์หา $r$ มุมร่วมที่ $O$ พื้นที่สามเหลี่ยมสองรูป แล้วส่วนโค้งกับกฎของโคไซน์หาเส้นรอบรูป
Figure 1 shows the plan view for the design of a stage. The design consists of a sector $OBC$ of a circle, with centre $O$, joined to two congruent triangles $OAB$ and $ODC$. Given that angle $BOC=2.4$ radians, area of sector $BOC=40$ m$^{2}$, $AOD$ is a straight line of length $12.5$ m
(a) find the radius of the sector, giving your answer, in m, to 2 decimal places,
(b) find the size of angle $AOB$, in radians, to 2 decimal places. Hence find
(c) the total area of the stage, giving your answer, in m$^{2}$, to one decimal place,
(d) the total perimeter of the stage, giving your answer, in m, to one decimal place.
Figure 1 แสดงภาพแปลนของการออกแบบเวที การออกแบบประกอบด้วย sector $OBC$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ต่อกับสองสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ $OAB$ และ $ODC$ กำหนดให้มุม $BOC=2.4$ เรเดียน พื้นที่ sector $BOC=40$ ตร.ม. และ $AOD$ เป็นเส้นตรงความยาว $12.5$ ม.
(ก) หารัศมีของ sector เป็นเมตร ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) หาขนาดของมุม $AOB$ เป็นเรเดียน ทศนิยม 2 ตำแหน่ง จากนั้นหา
(ค) พื้นที่รวมของเวทีเป็น ตร.ม. ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ง) เส้นรอบรูปรวมของเวทีเป็นเมตร ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
10 marks: the sector equation for $r$, the shared angle at $O$, the two triangle areas, then the arc and the cosine rule for the perimeter.10 คะแนน: สมการเซกเตอร์หา $r$ มุมร่วมที่ $O$ พื้นที่สามเหลี่ยมสองรูป แล้วส่วนโค้งกับกฎของโคไซน์หาเส้นรอบรูป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A sector joined to a straight plan เซกเตอร์ต่อกับแปลนเส้นตรง
Figure 1 shows the plan for a garden. In the plan $OA$ and $CD$ are perpendicular to $OD$; $AB$ is an arc of the circle with centre $O$ and radius $4$ metres; $BC$ is parallel to $OD$; $OD$ is $6$ metres, $OA$ is $4$ metres and $CD$ is $1.5$ metres
(a) Show that angle $AOB$ is $1.186$ radians to 4 significant figures.
(b) Find the perimeter of the garden, giving your answer in metres to 3 significant figures.
(c) Find the area of the garden, giving your answer in square metres to 3 significant figures.
Figure 1 แสดงแปลนของสวน ในแปลนนี้ $OA$ และ $CD$ ตั้งฉากกับ $OD$ $AB$ เป็นส่วนโค้งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $4$ เมตร $BC$ ขนานกับ $OD$ $OD$ ยาว $6$ เมตร $OA$ ยาว $4$ เมตร และ $CD$ ยาว $1.5$ เมตร
(ก) จงแสดงว่ามุม $AOB$ เท่ากับ $1.186$ เรเดียน ถูกต้องถึง 4 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
(ข) หาเส้นรอบรูปของสวนเป็นเมตร เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ค) หาพื้นที่ของสวนเป็นตารางเมตร เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
In a right-angled triangle, the hypotenuse is $4$ and the side next to angle $\theta$ is $1.5$. Use a calculator to find $\theta$, in radians, to 4 decimal places.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $4$ และด้านประชิดมุม $\theta$ ยาว $1.5$ ใช้เครื่องคิดเลขหา $\theta$ เป็นเรเดียน ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Divide to get $\cos\theta$, then use $\cos^{-1}$ on your calculator.หารเพื่อให้ได้ $\cos\theta$ แล้วใช้ $\cos^{-1}$ บนเครื่องคิดเลข
Use $s=r\theta$ with $r=4$ and $\theta=1.186$ to find the arc length, to 3 decimal places.
ใช้ $s=r\theta$ โดย $r=4$ และ $\theta=1.186$ หาความยาวส่วนโค้ง ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Multiply the radius by the angle in radians.คูณรัศมีด้วยมุมในหน่วยเรเดียน
Use sector area $=\tfrac12r^{2}\theta$ with $r=4$ and $\theta=1.186$ to find the area, to 3 decimal places.
ใช้พื้นที่เซกเตอร์ $=\tfrac12r^{2}\theta$ โดย $r=4$ และ $\theta=1.186$ หาพื้นที่ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Square the radius first, then multiply by the angle.ยกกำลังสองรัศมีก่อน แล้วคูณด้วยมุม
$B$ is $1.5$ m above line $OD$, and $OA=OB=4$ m are both radii. Pick the equation for angle $AOB$.
(A) $\cos(\angle AOB)=\dfrac{1.5}{4}$
(B) $\sin(\angle AOB)=\dfrac{1.5}{4}$
(C) $\cos(\angle AOB)=\dfrac{1.5}{6}$
$B$ อยู่สูงกว่าเส้น $OD$ ขึ้นไป $1.5$ ม. และ $OA=OB=4$ ม. เป็นรัศมีทั้งคู่ จงเลือกสมการของมุม $AOB$
(A) $\cos(\angle AOB)=\dfrac{1.5}{4}$
(B) $\sin(\angle AOB)=\dfrac{1.5}{4}$
(C) $\cos(\angle AOB)=\dfrac{1.5}{6}$
Answershow ▾
(B) swaps sine for cosine: $1.5$ is the side next to angle $AOB$, measured along $OA$, not the side opposite it. (C) uses $OD=6$ as the hypotenuse, but $OD$ is not a side of this triangle - the hypotenuse is the radius $OA$.(B) สลับไซน์กับโคไซน์: $1.5$ คือด้านประชิดมุม $AOB$ ตามแนว $OA$ ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุม · (C) ใช้ $OD=6$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก แต่ $OD$ ไม่ใช่ด้านของสามเหลี่ยมนี้เลย ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือรัศมี $OA$
Write $\cos(\angle AOB)$ as a fraction, using $CD=1.5$ m and $OA=4$ m.
จงเขียน $\cos(\angle AOB)$ เป็นเศษส่วน โดยใช้ $CD=1.5$ ม. และ $OA=4$ ม.
Answershow ▾
$B$ is $CD$ m above line $OD$, the same height as $C$.$B$ อยู่สูงกว่าเส้น $OD$ เท่ากับ $CD$ ม. ซึ่งสูงเท่า $C$
$\cos(\angle AOB)=\dfrac{1.5}{4}$. Find angle $AOB$, in radians to 4 significant figures.
$\cos(\angle AOB)=\dfrac{1.5}{4}$ จงหามุม $AOB$ เป็นเรเดียน เลขนัยสำคัญ 4 ตัว
Answershow ▾
Same calculation as question $1$, now with the real lengths.การคำนวณเดิมจากข้อ $1$ คราวนี้ใช้ความยาวจริง
Use $s=r\theta$ with $r=4$ m and the unrounded angle $AOB$ (not the rounded $1.186$) to find arc $AB$, to 3 decimal places.
ใช้ $s=r\theta$ โดย $r=4$ ม. และมุม $AOB$ ที่ยังไม่ปัดเศษ (ไม่ใช่ $1.186$ ที่ปัดแล้ว) หาส่วนโค้ง $AB$ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Keep the extra decimal places from your calculator until the final answer.เก็บทศนิยมส่วนที่เกินไว้จากเครื่องคิดเลข จนกว่าจะถึงคำตอบสุดท้าย
$BC$ is parallel to $OD$. Pick the expression for $BC$.
(A) $BC=6-4\sin(\angle AOB)$
(B) $BC=6-4\cos(\angle AOB)$
(C) $BC=4\sin(\angle AOB)$
$BC$ ขนานกับ $OD$ จงเลือกสมการของ $BC$
(A) $BC=6-4\sin(\angle AOB)$
(B) $BC=6-4\cos(\angle AOB)$
(C) $BC=4\sin(\angle AOB)$
Answershow ▾
(B) swaps sine for cosine again: the horizontal distance from $O$ to $B$ is the side OPPOSITE angle $AOB$, which uses $\sin$, not $\cos$. (C) finds that horizontal distance but never subtracts it from $OD=6$, so it is only part of $OD$, not $BC$.(B) สลับไซน์กับโคไซน์อีกครั้ง: ระยะแนวนอนจาก $O$ ถึง $B$ คือด้านตรงข้ามมุม $AOB$ ต้องใช้ $\sin$ ไม่ใช่ $\cos$ · (C) หาระยะแนวนอนนั้นได้ แต่ไม่ได้นำไปลบออกจาก $OD=6$ จึงเป็นเพียงส่วนหนึ่งของ $OD$ ไม่ใช่ $BC$
Find $BC=6-4\sin(\angle AOB)$, then add $OA+$ arc $AB+BC+CD+DO$, using $4+4.745+2.292+1.5+6$, to find the perimeter, to 3 significant figures.
หา $BC=6-4\sin(\angle AOB)$ แล้วบวก $OA+$ ส่วนโค้ง $AB+BC+CD+DO$ โดยใช้ $4+4.745+2.292+1.5+6$ เพื่อหาเส้นรอบรูป เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Five edges make the boundary: $OA$, the arc, $BC$, $CD$, $DO$.ขอบรูปห้าด้าน: $OA$ ส่วนโค้ง $BC$ $CD$ และ $DO$
The full circumference is $2\pi(4)=25.133$ m (3 d.p.). Is arc $AB=4.745$ m less than this, as a part of the circle must be?
เส้นรอบวงเต็มคือ $2\pi(4)=25.133$ ม. (ทศนิยม 3 ตำแหน่ง) ส่วนโค้ง $AB=4.745$ ม. น้อยกว่านี้หรือไม่ ตามที่ส่วนหนึ่งของวงกลมต้องเป็น
Answershow ▾
Any arc is shorter than the whole circle it comes from.ส่วนโค้งใดๆ สั้นกว่าวงกลมทั้งวงที่มันมาจากเสมอ
A sector, centre $O$, has $OA=OB=5$ m. $CD=2$ m and $OD=8$ m, with $OA$ and $CD$ perpendicular to $OD$ and $BC$ parallel to $OD$.
(a) Find angle $AOB$, in radians to 4 significant figures.
(b) Find the perimeter, to 3 significant figures.
(c) Find the area, to 3 significant figures.
เซกเตอร์ ศูนย์กลาง $O$ มี $OA=OB=5$ ม. $CD=2$ ม. และ $OD=8$ ม. โดย $OA$ และ $CD$ ตั้งฉากกับ $OD$ และ $BC$ ขนานกับ $OD$
(ก) หามุม $AOB$ เป็นเรเดียน เลขนัยสำคัญ 4 ตัว
(ข) หาเส้นรอบรูป เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ค) หาพื้นที่ เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Same three moves: cosine for the angle, add the five edges, then add the sector and the trapezium.สามขั้นเดิม: โคไซน์หามุม บวกขอบรูปห้าด้าน แล้วรวมพื้นที่เซกเตอร์กับสี่เหลี่ยมคางหมู
Figure 1 shows the plan for a garden. In the plan $OA$ and $CD$ are perpendicular to $OD$; $AB$ is an arc of the circle with centre $O$ and radius $4$ metres; $BC$ is parallel to $OD$; $OD$ is $6$ metres, $OA$ is $4$ metres and $CD$ is $1.5$ metres
(a) Show that angle $AOB$ is $1.186$ radians to 4 significant figures.
(b) Find the perimeter of the garden, giving your answer in metres to 3 significant figures.
(c) Find the area of the garden, giving your answer in square metres to 3 significant figures.
Figure 1 แสดงแปลนของสวน ในแปลนนี้ $OA$ และ $CD$ ตั้งฉากกับ $OD$ $AB$ เป็นส่วนโค้งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $4$ เมตร $BC$ ขนานกับ $OD$ $OD$ ยาว $6$ เมตร $OA$ ยาว $4$ เมตร และ $CD$ ยาว $1.5$ เมตร
(ก) จงแสดงว่ามุม $AOB$ เท่ากับ $1.186$ เรเดียน ถูกต้องถึง 4 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
(ข) หาเส้นรอบรูปของสวนเป็นเมตร เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ค) หาพื้นที่ของสวนเป็นตารางเมตร เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
10 marks: show $\cos(\angle AOB)=\tfrac{1.5}{4}$, add the five edges for the perimeter, then add the sector and the trapezium for the area.10 คะแนน: แสดง $\cos(\angle AOB)=\tfrac{1.5}{4}$ บวกขอบรูปห้าด้านหาเส้นรอบรูป แล้วรวมพื้นที่เซกเตอร์กับสี่เหลี่ยมคางหมูหาพื้นที่