Differentiation · practice ladders ชุดไต่ระดับ · อนุพันธ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Differentiation · optimisation with a constraint
An open-topped box is to be made with a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. The volume of the box is $500$ cm$^3$.
(a) Show that the total surface area of the box, $S$ cm$^2$, is given by $S = x^2 + \dfrac{2000}{x}$.
(b) Find $\dfrac{dS}{dx}$, and hence find the value of $x$ for which $S$ is stationary.
(c) Find this stationary value of $S$.
(d) Show that this value of $S$ is a minimum.
A cuboid has a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. Its volume is fixed at $32$ cm$^3$. Write $h$ in terms of $x$.
ทรงลูกบาศก์ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $x$ ซม. สูง $h$ ซม. มีปริมาตรคงที่ $32$ ลูกบาศก์ซม. จงเขียน $h$ ในรูปของ $x$
Answershow ▾
Volume $=$ base area $\times$ height, so $x^2 h = 32$; divide both sides by $x^2$. This is the constraint-substitution move the whole ladder is built on.
Differentiate $y = x^2 + \dfrac{8}{x}$.
หา $\dfrac{dy}{dx}$ เมื่อ $y = x^2 + \dfrac{8}{x}$
Answershow ▾
Rewrite $\dfrac{k}{x}$ as $kx^{-1}$ first, then apply the power rule to each term: multiply by the power, then reduce the power by 1.
At a stationary point, $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 4$. What kind of stationary point is it?
ที่จุดนิ่งจุดหนึ่ง $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 4$ · จุดนิ่งนี้เป็นชนิดใด
Answershow ▾
$\dfrac{d^2y}{dx^2} \gt 0$ means minimum; $\dfrac{d^2y}{dx^2} \lt 0$ means maximum — the sign convention itself, not any arithmetic, is what this question tests.
The box has a square base of side $x$ and height $h$, and it is open-topped. Count the faces, then pick the surface area from these three and say what each of the others belongs to.
(A) $6x^2$ (B) $2x^2 + 4xh$ (C) $x^2 + 4xh$
กล่องมีฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $x$ สูง $h$ และไม่มีฝา · จงนับจำนวนหน้า แล้วเลือกพื้นที่ผิวจากสามข้อนี้ และบอกว่าอีกสองข้อเป็นของอะไร
(A) $6x^2$ (B) $2x^2 + 4xh$ (C) $x^2 + 4xh$
Answershow ▾
(A) is a closed cube, where every face is a square of side $x$ — two facts wrong at once, since this box is neither closed nor a cube. (B) is a closed box with a lid, and the lid is the face the question removed. The reliable move is to count the faces out loud before writing anything: one base, four sides, no top, five in total. Part (a) is a show that, so the printed answer is no help — the marks are M1 for a correct $S$ in $x$ and $h$ and A1 for reaching the printed form, and a $2x^2$ makes both unreachable.(A) คือลูกบาศก์ปิด ที่ทุกหน้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $x$ · ผิดสองอย่างพร้อมกัน เพราะกล่องนี้ไม่ปิดและไม่ใช่ลูกบาศก์ · (B) คือกล่องปิดที่มีฝา และฝาคือหน้าที่โจทย์เอาออกไป · ท่าที่เชื่อถือได้คือนับหน้าออกมาดัง ๆ ก่อนเขียนอะไร: ฐานหนึ่ง ด้านข้างสี่ ไม่มีฝา รวมห้า · ข้อ (a) เป็น show that คำตอบที่พิมพ์มาจึงช่วยอะไรไม่ได้ · คะแนนคือ M1 กับ $S$ ที่ถูกในรูป $x$ กับ $h$ และ A1 กับการไปถึงรูปที่พิมพ์ไว้ · ถ้ามี $2x^2$ ก็ไปไม่ถึงทั้งสอง
An open-topped box has a square base of side $x$ cm, height $h$ cm, and volume $500$ cm$^3$. Show that the total surface area is $S = x^2 + \dfrac{2000}{x}$.
Answershow ▾
Same move as question 1: use the fixed volume to write $h$ in terms of $x$, then substitute into $S = x^2 + 4xh$ (base area plus the four open sides). This is part (a).
Given $S = x^2 + \dfrac{2000}{x}$, find $\dfrac{dS}{dx}$.
Answershow ▾
Rewrite the fraction as a negative power (same move as question 2), then differentiate term by term. This is the first half of part (b).
You cannot differentiate $S = x^2 + 4xh$ with respect to $x$ while $h$ is still in it. Say which equation removes $h$, write $h$ in terms of $x$, and state which letter is the variable and which letter is now gone.
จะหาอนุพันธ์ของ $S = x^2 + 4xh$ เทียบกับ $x$ ไม่ได้ตราบที่ยังมี $h$ อยู่ · จงบอกว่าสมการไหนกำจัด $h$ เขียน $h$ ในรูปของ $x$ และบอกว่าตัวอักษรไหนเป็นตัวแปรและตัวไหนหายไปแล้ว
Answershow ▾
An optimisation question always arrives with two letters and one fixed quantity, and the fixed quantity is there to be spent: it buys you the right to write one letter in terms of the other. Differentiating with $h$ still present treats $h$ as a constant, which it is not — changing $x$ changes $h$ — so every later line is about a box that does not hold $500$ cm$^3$. Notice which way round the substitution goes: $h$ is written in terms of $x$ because the question asks for $S$ in terms of $x$. This is the M1 of part (a); the decision to eliminate before differentiating is not separately paid.โจทย์หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดมาพร้อมตัวอักษรสองตัวและปริมาณคงที่หนึ่งอย่างเสมอ และปริมาณคงที่นั้นมีไว้ใช้จ่าย: มันซื้อสิทธิ์ให้เขียนตัวอักษรหนึ่งในรูปของอีกตัว · การหาอนุพันธ์ทั้งที่ยังมี $h$ คือการถือว่า $h$ เป็นค่าคงที่ ซึ่งมันไม่ใช่ เพราะเปลี่ยน $x$ แล้ว $h$ เปลี่ยนตาม · ทุกบรรทัดหลังจากนั้นจึงพูดถึงกล่องที่จุไม่ถึง $500$ cm$^3$ · สังเกตทิศทางของการแทนค่า: เขียน $h$ ในรูปของ $x$ เพราะโจทย์ขอ $S$ ในรูปของ $x$ · นี่คือ M1 ของข้อ (a) · การตัดสินใจกำจัดก่อนหาอนุพันธ์ไม่มีคะแนนแยก
Given $\dfrac{dS}{dx} = 2x - \dfrac{2000}{x^2}$, solve $\dfrac{dS}{dx} = 0$ to find the value of $x$ for which $S$ is stationary.
Answershow ▾
Set the derivative to $0$, multiply through by $x^2$ to clear the fraction, then take the cube root. This finishes part (b).
$S = x^2 + \dfrac{2000}{x}$ is stationary at $x = 10$. Find this stationary value of $S$.
Answershow ▾
Substitute $x = 10$ back into the ORIGINAL expression for $S$, not into $\dfrac{dS}{dx}$ — this is part (c).
Given $\dfrac{dS}{dx} = 2x - \dfrac{2000}{x^2}$, find $\dfrac{d^2S}{dx^2}$, and use it to show that $S = 300$ (at $x = 10$) is a minimum.
Answershow ▾
Differentiate $\dfrac{dS}{dx}$ again, then substitute $x = 10$ — a positive second derivative confirms a minimum. This is part (d).
Part (d) says Show that this value of $S$ is a minimum. You have $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 2 + \dfrac{4000}{x^{3}}$. Which of these three earns it, and what is wrong with the other two?
(A) $S = 300$ is the smallest value I found (B) $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 6$ at $x = 10$, and $6 \gt 0$, so it is a minimum (C) $\dfrac{dS}{dx} = 0$, so it is a minimum
ข้อ (d) เขียนว่า Show that this value of $S$ is a minimum · มี $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 2 + \dfrac{4000}{x^{3}}$ · ข้อไหนได้คะแนน และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $S = 300$ เป็นค่าน้อยที่สุดที่หาได้ (B) $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 6$ ที่ $x = 10$ และ $6 \gt 0$ จึงเป็นค่าต่ำสุด (C) $\dfrac{dS}{dx} = 0$ จึงเป็นค่าต่ำสุด
Answershow ▾
(C) is the definition of stationary, which is what you already knew; a maximum has $\dfrac{dS}{dx} = 0$ too, so it separates nothing. (A) reports a search rather than a test, and searching is not proof. The second derivative is the test that tells the two apart, and its sign is the whole message: positive bends upwards, so a minimum; negative bends downwards, so a maximum. Write the value and the words — part (d) is B1, awarded for a correct $\dfrac{d^2S}{dx^2}$ evaluated at $x = 10$ together with the conclusion, and a bare $6$ with nothing said about it is not the conclusion.(C) คือนิยามของจุดวิกฤต ซึ่งรู้อยู่แล้ว · จุดสูงสุดก็มี $\dfrac{dS}{dx} = 0$ เหมือนกัน จึงแยกอะไรไม่ได้ · (A) รายงานการค้นหา ไม่ใช่การทดสอบ และการค้นหาไม่ใช่การพิสูจน์ · อนุพันธ์อันดับสองคือการทดสอบที่แยกสองอย่างนี้ออกจากกัน และเครื่องหมายของมันคือสารทั้งหมด: บวกคือโค้งขึ้น จึงเป็นค่าต่ำสุด · ลบคือโค้งลง จึงเป็นค่าสูงสุด · ต้องเขียนทั้งค่าและข้อความ · ข้อ (d) คือ B1 ให้กับ $\dfrac{d^2S}{dx^2}$ ที่ถูกและแทน $x = 10$ พร้อมข้อสรุป · เลข $6$ โดด ๆ ที่ไม่มีคำอธิบายไม่ใช่ข้อสรุป
An open-topped box is to be made with a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. The volume of the box is $4$ cm$^3$.
(a) Show that the total surface area of the box, $S$ cm$^2$, is given by $S = x^2 + \dfrac{16}{x}$.
(b) Find $\dfrac{dS}{dx}$, and hence find the value of $x$ for which $S$ is stationary.
(c) Find this stationary value of $S$.
(d) Show that this value of $S$ is a minimum.
Answershow ▾
Same four parts as the exam question, but with a small volume throughout.
An open-topped box is to be made with a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. The volume of the box is $500$ cm$^3$.
(a) Show that the total surface area of the box, $S$ cm$^2$, is given by $S = x^2 + \dfrac{2000}{x}$.
(b) Find $\dfrac{dS}{dx}$, and hence find the value of $x$ for which $S$ is stationary.
(c) Find this stationary value of $S$.
(d) Show that this value of $S$ is a minimum.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 7 is part (c); question 8 is part (d).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Differentiation · where a curve is increasing or decreasing
A curve has equation $y = f(x)$, where $f(x) = x^3 - 48x - 1$.
(a) Find $f'(x)$.
(b) Find the set of values of $x$ for which $f$ is increasing.
(c) Find the value of $x$ for which the gradient of the curve is least.
Differentiate $y = 2x^3 - x^2 - 3x - 2$.
หา $\dfrac{dy}{dx}$ เมื่อ $y = 2x^3 - x^2 - 3x - 2$
Answershow ▾
Differentiate one term at a time; the constant term disappears — the same power rule as every other differentiation question.
Solve the inequality $(x + 3)(x + 1) \gt 0$.
แก้อสมการ $(x + 3)(x + 1) \gt 0$
Answershow ▾
A product of two brackets is positive when both factors have the same sign — that happens OUTSIDE the two roots, not between them. Sketching the upward parabola makes this obvious.
The gradient of a curve at a point is $f'(x) = -3$. Is the curve increasing or decreasing there?
ความชันของเส้นโค้งที่จุดหนึ่งคือ $f'(x) = -3$ · ที่จุดนั้นเส้นโค้งกำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง
Answershow ▾
$f'(x) \gt 0$ means the curve is increasing; $f'(x) \lt 0$ means it is decreasing — the sign of the gradient function is the whole idea behind this question type.
Part (b) asks where $f$ is increasing. Which of these three is the condition, and which function does the sign belong to?
(A) $f(x) \gt 0$ (B) $f^{\prime}(x) \gt 0$ (C) $f^{\prime\prime}(x) \gt 0$
Then say why the answer uses $\gt$ and not $\ge$.
ข้อ (b) ถามว่า $f$ เพิ่มขึ้น ที่ไหน · ข้อไหนคือเงื่อนไข และเครื่องหมายเป็นของฟังก์ชันตัวไหน
(A) $f(x) \gt 0$ (B) $f^{\prime}(x) \gt 0$ (C) $f^{\prime\prime}(x) \gt 0$
แล้วบอกว่าทำไมคำตอบใช้ $\gt$ ไม่ใช่ $\ge$
Answershow ▾
(A) asks where the curve is above the axis, which is a different question with different answers — a curve can be far below the axis and still climbing steeply. (C) is about the bending, and answers part (c) instead. Increasing means the height is going up as $x$ goes right, and that is exactly what a positive gradient says, so it is $f^{\prime}$ whose sign you test. The endpoints go with $\gt$ because at $x = -4$ and $x = 4$ the tangent is horizontal: momentarily flat is not increasing. Part (b) is M1 for solving $f^{\prime}(x) \gt 0$ and A1 for the set; choosing which function to put the inequality on is the whole difficulty and none of the credit.(A) ถามว่ากราฟอยู่เหนือแกนที่ไหน ซึ่งเป็นคนละคำถามและได้คนละคำตอบ · กราฟอยู่ต่ำกว่าแกนมาก ๆ แต่ยังไต่ขึ้นชัน ๆ ก็ได้ · (C) เกี่ยวกับความโค้ง และไปตอบข้อ (c) แทน · เพิ่มขึ้นแปลว่าความสูงเพิ่มเมื่อ $x$ เดินไปทางขวา ซึ่งคือสิ่งที่ความชันเป็นบวกบอกพอดี · เครื่องหมายจึงต้องอยู่บน $f^{\prime}$ · ปลายช่วงใช้ $\gt$ เพราะที่ $x = -4$ และ $x = 4$ เส้นสัมผัสอยู่ในแนวราบ · ราบชั่วขณะไม่ใช่เพิ่มขึ้น · ข้อ (b) ให้ M1 กับการแก้ $f^{\prime}(x) \gt 0$ และ A1 กับเซตคำตอบ · การเลือกว่าจะใส่อสมการบนฟังก์ชันไหนคือความยากทั้งหมดและไม่มีคะแนน
A curve has equation $y = f(x)$, where $f(x) = x^3 - 48x - 1$. Find $f'(x)$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real coefficients. This is part (a).
Given $f'(x) = 3x^2 - 48$, solve $f'(x) = 0$ to find the critical values of $x$.
Answershow ▾
Factorise the quadratic (or use the formula). These are where the gradient is exactly zero — the boundaries of the increasing/decreasing regions, not the answer to part (b) itself.
$3x^2 - 48 \gt 0$ has boundaries $x = -4$ and $x = 4$. One of these two describes the solution and one describes its opposite. Pick, and name the single feature of the parabola that decides it.
(A) $-4 \lt x \lt 4$ (B) $x \lt -4$ or $x \gt 4$
$3x^2 - 48 \gt 0$ มีขอบเขตที่ $x = -4$ และ $x = 4$ · ข้อหนึ่งบรรยายคำตอบ อีกข้อบรรยายส่วนที่ตรงข้าม · จงเลือก และบอกลักษณะเดียวของพาราโบลาที่ตัดสินเรื่องนี้
(A) $-4 \lt x \lt 4$ (B) $x \lt -4$ หรือ $x \gt 4$
Answershow ▾
A quadratic inequality has two possible answers and the roots alone cannot tell you which: they mark the same two points either way. What decides is which way the parabola opens. Here the $x^2$ coefficient is $+3$, so the curve dips below the axis between the roots and is positive outside them — the exact opposite would hold for $-3x^2 + 48$. The one-second check is to test a value: $x = 0$ gives $-48$, which is not $\gt 0$, so the middle is out. Careless students write $x^2 \gt 16 \Rightarrow x \gt 4$ and lose the whole left-hand branch. Part (b) is M1 A1; the sketch that settles the direction is worth nothing and decides everything.อสมการกำลังสองมีคำตอบที่เป็นไปได้สองแบบ และรากอย่างเดียวบอกไม่ได้ว่าแบบไหน เพราะรากชี้จุดสองจุดเดิมทั้งสองแบบ · สิ่งที่ตัดสินคือพาราโบลาหงายหรือคว่ำ · ที่นี่สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ คือ $+3$ กราฟจึงจุ่มลงใต้แกนระหว่างรากและเป็นบวกนอกราก · ถ้าเป็น $-3x^2 + 48$ จะกลับกันทุกอย่าง · ตัวตรวจหนึ่งวินาทีคือลองแทนค่า: $x = 0$ ได้ $-48$ ซึ่งไม่ $\gt 0$ ตรงกลางจึงตกไป · คนที่รีบมักเขียน $x^2 \gt 16 \Rightarrow x \gt 4$ แล้วทำกิ่งซ้ายหายทั้งกิ่ง · ข้อ (b) ให้ M1 A1 · ภาพร่างที่ตัดสินทิศทางไม่มีคะแนนและตัดสินทุกอย่าง
$f'(x) = 3x^2 - 48$ has zeros at $x = -4$ and $x = 4$, and the coefficient of $x^2$ in $f'(x)$ is positive. Write down the set of values of $x$ for which $f$ is increasing.
Answershow ▾
Same move as question 2: a positive quadratic lies above the axis outside its two roots. This completes part (b).
A curve has equation $y = f(x)$, where $f(x) = x^3 - 48x - 1$. Find $f'(x)$, and hence find the set of values of $x$ for which $f$ is increasing.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained together: differentiate, find where the gradient is zero, then read off where it is positive. This is parts (a) and (b) in full.
Given $f'(x) = 3x^2 - 48$, find $f''(x)$, and hence find the value of $x$ at which the gradient of the curve is least.
Answershow ▾
$f'(x)$ is itself an upward parabola, so its own minimum is where ITS derivative, $f''(x)$, is zero — not the same calculation as finding a stationary point of $f$. This is part (c).
Part (c) asks for the $x$ where the gradient of the curve is least — not where the curve is least. Say which quantity is being minimised, which derivative you set to zero, and what you would have found if you had set the other one to zero instead.
ข้อ (c) ถามค่า $x$ ที่ ความชันของกราฟน้อยที่สุด ไม่ใช่ที่กราฟต่ำที่สุด · จงบอกว่ากำลังทำอะไรให้น้อยที่สุด ตั้งอนุพันธ์ตัวไหนเท่ากับศูนย์ และถ้าตั้งอีกตัวเท่ากับศูนย์แทนจะได้อะไร
Answershow ▾
Minimising always means the same move — differentiate the thing you are minimising and set that to zero — so everything turns on reading which thing it is. Here it is the gradient, so the thing to differentiate is $f^{\prime}$, and $f^{\prime\prime}(x) = 0$ is the equation. Setting $f^{\prime}(x) = 0$ minimises $f$ itself, which is a question this part did not ask; the giveaway is that it returns $\pm 4$, the answers already used in part (b). It helps to see $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 48$ as a parabola in its own right, whose lowest point is at its vertex, $x = 0$. Part (c) is M1 A1; noticing which curve you are standing on is not a mark.การหาค่าน้อยที่สุดใช้ท่าเดียวกันเสมอ คือหาอนุพันธ์ของสิ่งที่จะทำให้น้อยที่สุดแล้วตั้งเท่ากับศูนย์ · ทุกอย่างจึงขึ้นกับการอ่านว่า "สิ่งนั้น" คืออะไร · ที่นี่คือความชัน สิ่งที่ต้องหาอนุพันธ์จึงเป็น $f^{\prime}$ และสมการคือ $f^{\prime\prime}(x) = 0$ · การตั้ง $f^{\prime}(x) = 0$ คือการทำให้ $f$ เองน้อยที่สุด ซึ่งข้อนี้ไม่ได้ถาม · จุดสังเกตคือมันคืนค่า $\pm 4$ ซึ่งใช้ไปแล้วในข้อ (b) · ช่วยได้ถ้ามอง $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 48$ เป็นพาราโบลาของตัวเอง ที่จุดต่ำสุดอยู่ที่จุดยอด $x = 0$ · ข้อ (c) ให้ M1 A1 · การรู้ว่ากำลังยืนอยู่บนกราฟไหนไม่ใช่คะแนน
A curve has equation $y = f(x)$, where $f(x) = x^3 - 3x$.
(a) Find $f'(x)$.
(b) Find the set of values of $x$ for which $f$ is increasing.
(c) Find the value of $x$ for which the gradient of the curve is least.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
A curve has equation $y = f(x)$, where $f(x) = x^3 - 48x - 1$.
(a) Find $f'(x)$.
(b) Find the set of values of $x$ for which $f$ is increasing.
(c) Find the value of $x$ for which the gradient of the curve is least.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Stationary points from a cubic bracket จุดคงที่จากวงเล็บกำลังสาม
A curve $C$ has equation $y=2x^{2}(x-5)$.
(a) Using calculus, find the x coordinates of the stationary points of $C$.
(b) Hence find the values of $x$ for which $y$ is increasing.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=2x^{2}(x-5)$
(ก) โดยใช้แคลคูลัส หาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ (stationary points) ของ $C$
(ข) จากนั้นหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $y$ เพิ่มขึ้น (increasing)
Expand $2x^{2}(x-5)$.
จงกระจาย $2x^{2}(x-5)$
Answershow ▾
Multiply $2x^{2}$ by each term inside the bracket.คูณ $2x^{2}$ เข้ากับแต่ละพจน์ในวงเล็บ
Differentiate $2x^{3}-10x^{2}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $2x^{3}-10x^{2}$
Answershow ▾
Multiply each term by its power, then reduce the power by $1$.คูณแต่ละพจน์ด้วยเลขชี้กำลัง แล้วลดเลขชี้กำลังลง $1$
Factorise $6x^{2}-20x$ fully.
จงแยกตัวประกอบ $6x^{2}-20x$ โดยสมบูรณ์
Answershow ▾
Take out the highest common factor, $2x$.ดึงตัวประกอบร่วมมากที่สุดออกมา คือ $2x$
$C: y=2x^{2}(x-5)$. Pick the first move to find $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) differentiate $2x^{2}$ only, leave $(x-5)$ unchanged: $4x(x-5)$
(B) expand the bracket first, then differentiate term by term
(C) differentiate $2x^{2}$ and $(x-5)$ separately, then multiply the two results
$C: y=2x^{2}(x-5)$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $\dfrac{dy}{dx}$
(A) หาอนุพันธ์ของ $2x^{2}$ อย่างเดียว ปล่อย $(x-5)$ ไว้เฉยๆ: $4x(x-5)$
(B) ขยายวงเล็บก่อน แล้วหาอนุพันธ์ทีละพจน์
(C) หาอนุพันธ์ของ $2x^{2}$ และ $(x-5)$ แยกกัน แล้วนำผลคูณกัน
Answershow ▾
(A) differentiates only one factor and drops the other. (C) multiplies the two separate derivatives, but $\dfrac{d}{dx}(uv)\neq u^{\prime}v^{\prime}$ - P2 has no product rule, so expanding first is the only tool available.(A) หาอนุพันธ์แค่พจน์เดียว แล้วทิ้งอีกพจน์ไป · (C) นำอนุพันธ์ของสองพจน์มาคูณกัน แต่ $\dfrac{d}{dx}(uv)\neq u^{\prime}v^{\prime}$ · วิชา P2 ยังไม่มีกฎผลคูณ จึงต้องขยายวงเล็บก่อนเท่านั้น
$C: y=2x^{3}-10x^{2}$, the expanded form. Write $\dfrac{dy}{dx}$.
$C: y=2x^{3}-10x^{2}$ ซึ่งเป็นรูปขยายแล้ว จงเขียน $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
The same differentiation as question $2$, now written for $C$.การหาอนุพันธ์แบบเดียวกับข้อ $2$ แต่เขียนสำหรับ $C$
Set $\dfrac{dy}{dx}=0$ and factorise, using question $3$.
ให้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ แล้วแยกตัวประกอบ โดยใช้ข้อ $3$
Answershow ▾
Same factors as question $3$, now set equal to $0$.ตัวประกอบเดียวกับข้อ $3$ แต่ให้เท่ากับ $0$
Solve $2x(3x-10)=0$. These are the $x$-coordinates of the stationary points of $C$.
จงแก้สมการ $2x(3x-10)=0$ นี่คือพิกัด $x$ ของจุดคงที่ของ $C$
Answershow ▾
Either factor can equal $0$: $2x=0$, or $3x-10=0$.ตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ $0$ ได้: $2x=0$ หรือ $3x-10=0$
$\dfrac{dy}{dx}=2x(3x-10)$ is an upward parabola with roots $x=0$ and $x=\dfrac{10}{3}$. Where is $\dfrac{dy}{dx}\gt0$?
(A) between the roots: $0\lt x\lt\dfrac{10}{3}$
(B) outside the roots: $x\lt0$ or $x\gt\dfrac{10}{3}$
(C) only at the roots themselves
$\dfrac{dy}{dx}=2x(3x-10)$ เป็นพาราโบลาหงายขึ้น มีรากที่ $x=0$ และ $x=\dfrac{10}{3}$ แล้ว $\dfrac{dy}{dx}\gt0$ ที่ช่วงใด
(A) ระหว่างราก: $0\lt x\lt\dfrac{10}{3}$
(B) นอกช่วงราก: $x\lt0$ หรือ $x\gt\dfrac{10}{3}$
(C) ที่รากทั้งสองเท่านั้น
Answershow ▾
A parabola opening upward is negative between its roots and positive outside - (A) names where it is negative. (C) confuses the roots, where $\dfrac{dy}{dx}=0$, with where it is positive.พาราโบลาที่หงายขึ้นจะมีค่าเป็นลบระหว่างราก และเป็นบวกนอกช่วงราก · (A) คือช่วงที่เป็นลบ · (C) สับสนรากซึ่งเป็นจุดที่ $\dfrac{dy}{dx}=0$ กับช่วงที่เป็นบวก
Hence write the values of $x$ for which $y$ is increasing.
จากนั้นจงเขียนค่าของ $x$ ที่ทำให้ $y$ เพิ่มขึ้น
Answershow ▾
Increasing means $\dfrac{dy}{dx}\gt0$, which is outside the two roots found above.เพิ่มขึ้นหมายถึง $\dfrac{dy}{dx}\gt0$ ซึ่งคือนอกช่วงรากทั้งสองที่หาไว้
Check: substitute $x=-1$ into $6x^{2}-20x$. Is the result positive, matching "$x\lt0$ is increasing"?
ตรวจคำตอบ: แทน $x=-1$ ใน $6x^{2}-20x$ ผลลัพธ์เป็นบวกหรือไม่ ตรงกับที่ "$x\lt0$ เพิ่มขึ้น" หรือไม่
Answershow ▾
A value outside the roots gives a positive $\dfrac{dy}{dx}$, matching the sign test.ค่าที่อยู่นอกช่วงรากให้ $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นบวก ตรงกับการทดสอบเครื่องหมาย
A curve has equation $y=2x^{2}(x-6)$. Find the $x$-coordinates of its stationary points, and the values of $x$ for which $y$ is increasing.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y=2x^{2}(x-6)$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ และค่าของ $x$ ที่ทำให้ $y$ เพิ่มขึ้น
Answershow ▾
Same three moves: expand, differentiate, solve $\dfrac{dy}{dx}=0$, then test the sign.สามขั้นเดิม: ขยายวงเล็บ หาอนุพันธ์ แก้สมการ $\dfrac{dy}{dx}=0$ แล้วทดสอบเครื่องหมาย
A curve $C$ has equation $y=2x^{2}(x-5)$.
(a) Using calculus, find the x coordinates of the stationary points of $C$.
(b) Hence find the values of $x$ for which $y$ is increasing.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=2x^{2}(x-5)$
(ก) โดยใช้แคลคูลัส หาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ (stationary points) ของ $C$
(ข) จากนั้นหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $y$ เพิ่มขึ้น (increasing)
Answershow ▾
6 marks: expand and differentiate, solve $\dfrac{dy}{dx}=0$ for both $x$-values, then test the sign for the increasing interval.6 คะแนน: ขยายวงเล็บและหาอนุพันธ์ แก้สมการ $\dfrac{dy}{dx}=0$ หาค่า $x$ ทั้งสอง แล้วทดสอบเครื่องหมายเพื่อหาช่วงที่เพิ่มขึ้น
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Stationary points of a cubic จุดคงที่ของฟังก์ชันกำลังสาม
A curve has equation $y=x^{3}-x^{2}-16x+2$.
(a) Using calculus, find the x coordinates of the stationary points of the curve.
(b) Justify, by further calculus, the nature of all of the stationary points of the curve.
เส้นโค้งมีสมการ $y=x^{3}-x^{2}-16x+2$
(ก) โดยใช้แคลคูลัส หาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ของเส้นโค้ง
(ข) จงยืนยันด้วยแคลคูลัสเพิ่มเติมว่าจุดคงที่แต่ละจุดเป็นชนิดใด
Differentiate $y=x^{3}-x^{2}-16x+2$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=x^{3}-x^{2}-16x+2$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Apply the power rule to each term; the constant $2$ differentiates to $0$.ใช้กฎกำลังกับทุกพจน์ · ค่าคงที่ $2$ หาอนุพันธ์ได้ $0$
Factorise $3x^{2}-2x-16$.
จงแยกตัวประกอบ $3x^{2}-2x-16$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $3\times(-16)=-48$ and add to $-2$: they are $6$ and $-8$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $3\times(-16)=-48$ และบวกกันได้ $-2$ ได้แก่ $6$ กับ $-8$ (ใกล้คูณใกล้ ไกลคูณไกล)
Differentiate $3x^{2}-2x-16$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $3x^{2}-2x-16$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
The power rule again, this time on the first derivative.ใช้กฎกำลังอีกครั้ง คราวนี้กับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
A stationary point is where the gradient is zero. Pick the equation to solve.
(A) $y=0$
(B) $\dfrac{dy}{dx}=0$
(C) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$
จุดคงที่คือจุดที่ความชันเป็นศูนย์ จงเลือกสมการที่ต้องแก้
(A) $y=0$
(B) $\dfrac{dy}{dx}=0$
(C) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$
Answershow ▾
(A) $y=0$ finds where the curve crosses the $x$-axis, not where it turns. (C) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$ finds a point of inflection, not a stationary point.(A) $y=0$ หาจุดที่เส้นโค้งตัดแกน $x$ ไม่ใช่จุดที่เปลี่ยนทิศ · (C) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$ หาจุดเปลี่ยนความเว้า ไม่ใช่จุดคงที่
Differentiate $y=x^{3}-x^{2}-16x+2$ and set $\dfrac{dy}{dx}=0$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=x^{3}-x^{2}-16x+2$ แล้วให้ $\dfrac{dy}{dx}=0$
Answershow ▾
The same derivative as question $1$, now set equal to zero.อนุพันธ์เดิมจากข้อ $1$ ให้เท่ากับศูนย์
Factorise $3x^{2}-2x-16=0$.
จงแยกตัวประกอบ $3x^{2}-2x-16=0$
Answershow ▾
The same two numbers as question $2$, now written as a product equal to zero.สองจำนวนเดิมจากข้อ $2$ แต่เขียนเป็นผลคูณเท่ากับศูนย์
Solve $(3x-8)(x+2)=0$ for $x$.
จงแก้สมการ $(3x-8)(x+2)=0$ หา $x$
Answershow ▾
A product is zero when one of its factors is zero.ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อมีตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์
Differentiate $3x^{2}-2x-16$ again to find $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $3x^{2}-2x-16$ อีกครั้งเพื่อหา $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
Answershow ▾
The same skill as question $3$, applied to the real derivative.ทักษะเดิมจากข้อ $3$ แต่ใช้กับอนุพันธ์จริง
You have $x=-2$ and $x=\dfrac{8}{3}$. Pick the first move to find their nature.
(A) substitute each $x$ into $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-2$ and check the sign
(B) substitute each $x$ into $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-2x-16$
(C) check whether $x$ itself is positive or negative
มี $x=-2$ และ $x=\dfrac{8}{3}$ จงเลือกขั้นแรกในการหาชนิดของจุด
(A) แทน $x$ แต่ละค่าใน $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-2$ แล้วดูเครื่องหมาย
(B) แทน $x$ แต่ละค่าใน $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-2x-16$
(C) ดูว่า $x$ เองเป็นบวกหรือลบ
Answershow ▾
(B) gives $0$ at both points, since that is how they were found, so it adds nothing. (C) the nature depends on the sign of $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ there, not on the sign of $x$.(B) ได้ $0$ ที่ทั้งสองจุด เพราะเป็นวิธีที่ใช้หาจุดเหล่านั้นมาแล้ว จึงไม่ได้ข้อมูลใหม่ · (C) ชนิดของจุดขึ้นกับเครื่องหมายของ $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ที่จุดนั้น ไม่ใช่เครื่องหมายของ $x$
Evaluate $6x-2$ at $x=-2$ and at $x=\dfrac{8}{3}$, and state the nature of each stationary point.
จงหาค่า $6x-2$ ที่ $x=-2$ และที่ $x=\dfrac{8}{3}$ แล้วบอกชนิดของจุดคงที่แต่ละจุด
Answershow ▾
A negative second derivative means a maximum; a positive one means a minimum.อนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ หมายถึงจุดสูงสุด เป็นบวกหมายถึงจุดต่ำสุด
A curve has equation $y=x^{3}-3x$. Find the $x$-coordinates of its stationary points and determine their nature.
เส้นโค้งมีสมการ $y=x^{3}-3x$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ แล้วบอกชนิดของจุดคงที่
Answershow ▾
Same three moves: differentiate, solve $\dfrac{dy}{dx}=0$, then check the sign of $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.สามขั้นเดิม: หาอนุพันธ์ แก้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ แล้วตรวจเครื่องหมายของ $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
A curve has equation $y=x^{3}-x^{2}-16x+2$.
(a) Using calculus, find the x coordinates of the stationary points of the curve.
(b) Justify, by further calculus, the nature of all of the stationary points of the curve.
เส้นโค้งมีสมการ $y=x^{3}-x^{2}-16x+2$
(ก) โดยใช้แคลคูลัส หาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ของเส้นโค้ง
(ข) จงยืนยันด้วยแคลคูลัสเพิ่มเติมว่าจุดคงที่แต่ละจุดเป็นชนิดใด
Answershow ▾
7 marks: 4 for the derivative and the two $x$-values, 3 for the second derivative and both natures.7 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับอนุพันธ์และค่า $x$ ทั้งสองค่า 3 คะแนนสำหรับอนุพันธ์อันดับสองและชนิดของทั้งสองจุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A fractional-power curve and its turning point เส้นโค้งเลขชี้กำลังเศษส่วนและจุดเปลี่ยนทิศ
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable. The curve $C$ has equation $y=27x^{1/2}-x^{3/2}-20$, $x\gt0$.
(a) Find dy/dx, giving each term in simplest form.
(b) Hence find the coordinates of the stationary point of $C$.
(c) Find $d^{2}y/dx^{2}$ and hence determine the nature of the stationary point of $C$.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=27x^{1/2}-x^{3/2}-20$, $x\gt0$
(ก) หา dy/dx โดยเขียนแต่ละพจน์ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) จากนั้นหาพิกัดของจุดคงที่ของ $C$
(ค) หา $d^{2}y/dx^{2}$ แล้วระบุชนิดของจุดคงที่ของ $C$
Differentiate $27x^{1/2}$.
จงดิฟ $27x^{1/2}$
Answershow ▾
Multiply by the power, then reduce the power by $1$.คูณด้วยเลขชี้กำลัง แล้วลดเลขชี้กำลังลง $1$
Differentiate $-x^{3/2}$.
จงดิฟ $-x^{3/2}$
Answershow ▾
The minus sign stays; only the power rule acts on $x^{3/2}$.เครื่องหมายลบอยู่เหมือนเดิม กฎกำลังใช้กับ $x^{3/2}$ เท่านั้น
Work out $9^{3/2}$.
จงคำนวณ $9^{3/2}$
Answershow ▾
$9^{3/2}$ is the square root of $9$, cubed.$9^{3/2}$ คือรากที่สองของ $9$ แล้วยกกำลังสาม
The curve $C$ has equation $y=27x^{1/2}-x^{3/2}-20$, $x\gt0$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=27x^{1/2}-x^{3/2}-20$, $x\gt0$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Questions $1$ and $2$ together; the constant $-20$ differentiates to $0$.รวมข้อ $1$ กับ $2$ · ค่าคงที่ $-20$ ดิฟได้ $0$
To solve $\dfrac{27}{2}x^{-1/2}=\dfrac32x^{1/2}$, pick the first move.
(A) multiply BOTH sides by $x^{1/2}$
(B) multiply only the left side by $x^{1/2}$
(C) subtract $\dfrac32$ from both sides
จะแก้ $\dfrac{27}{2}x^{-1/2}=\dfrac32x^{1/2}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทั้งสองข้างด้วย $x^{1/2}$
(B) คูณแค่ข้างซ้ายด้วย $x^{1/2}$
(C) ลบ $\dfrac32$ ออกจากทั้งสองข้าง
Answershow ▾
(B) breaks the balance of the equation - whatever you do to one side you must do to the other. (C) treats $\dfrac{27}{2}x^{-1/2}$ and $\dfrac32x^{1/2}$ like plain numbers $\dfrac{27}{2}$ and $\dfrac32$; the powers of $x$ do not disappear just because the coefficients are subtracted.(B) ทำให้สมการไม่สมดุล เพราะทำอะไรกับข้างหนึ่ง ต้องทำกับอีกข้างเหมือนกัน · (C) มองว่า $\dfrac{27}{2}x^{-1/2}$ กับ $\dfrac32x^{1/2}$ เป็นแค่ตัวเลข $\dfrac{27}{2}$ กับ $\dfrac32$ เฉย ๆ ทั้งที่เลขชี้กำลังของ $x$ ไม่ได้หายไปเพียงเพราะลบสัมประสิทธิ์กัน
Set $\dfrac{dy}{dx}=0$ and solve for $x$.
ให้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
Multiply both sides by $x^{1/2}$ (question D), then divide by $\dfrac32$.คูณทั้งสองข้างด้วย $x^{1/2}$ (ข้อตัดสินใจ) แล้วหารด้วย $\dfrac32$
Substitute $x=9$ into $y=27x^{1/2}-x^{3/2}-20$ to find $y$.
แทน $x=9$ ลงใน $y=27x^{1/2}-x^{3/2}-20$ เพื่อหา $y$
Answershow ▾
$27\sqrt9=81$ and $9^{3/2}=27$, from question $3$.$27\sqrt9=81$ และ $9^{3/2}=27$ จากข้อ $3$
Differentiate $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{27}{2}x^{-1/2}-\dfrac32x^{1/2}$ again to find $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
จงดิฟ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{27}{2}x^{-1/2}-\dfrac32x^{1/2}$ อีกครั้ง เพื่อหา $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
Answershow ▾
The same power rule, now on each term of $\dfrac{dy}{dx}$.ใช้กฎกำลังเดิม คราวนี้กับแต่ละพจน์ของ $\dfrac{dy}{dx}$
To decide the nature of the stationary point at $x=9$, what does the exam mark scheme need?
(A) substitute $x=9$ into $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ and state the resulting sign
(B) look at the two minus signs in $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ and say "maximum" without substituting
(C) say it is a maximum because $\dfrac{dy}{dx}=0$ was already found in part (b)
จะบอกชนิดของจุดคงที่ที่ $x=9$ เกณฑ์ตรวจของข้อสอบต้องการอะไร
(A) แทน $x=9$ ใน $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ แล้วระบุเครื่องหมายที่ได้
(B) ดูเครื่องหมายลบสองตัวใน $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ แล้วสรุปว่าจุดสูงสุดโดยไม่แทนค่า
(C) บอกว่าเป็นจุดสูงสุดเพราะหา $\dfrac{dy}{dx}=0$ ได้แล้วในส่วน (ข)
Answershow ▾
(B) gives the right answer here, but the A1 mark is for substituting $x=9$ to get the number $-\tfrac12$, not for reading the sign of the coefficients. (C) confuses two jobs: $\dfrac{dy}{dx}=0$ only finds WHERE the point is, never what kind it is.(B) ได้คำตอบถูกในข้อนี้โดยบังเอิญ แต่เกณฑ์ตรวจให้คะแนน A1 จากการแทนค่า $x=9$ แล้วได้ ตัวเลข $-\tfrac12$ ไม่ใช่จากการดูเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ · (C) สับสนสองหน้าที่ $\dfrac{dy}{dx}=0$ บอกแค่ตำแหน่งของจุดคงที่ ไม่เคยบอกชนิดของจุด
Substitute $x=9$ into $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\dfrac{27}{4}x^{-3/2}-\dfrac34x^{-1/2}$. Evaluate it.
แทน $x=9$ ใน $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\dfrac{27}{4}x^{-3/2}-\dfrac34x^{-1/2}$ แล้วคำนวณ
Answershow ▾
$9^{-3/2}=\dfrac1{27}$ and $9^{-1/2}=\dfrac13$, using question $3$.$9^{-3/2}=\dfrac1{27}$ และ $9^{-1/2}=\dfrac13$ จากข้อ $3$
A curve has equation $y=12x^{1/2}-x^{3/2}$, $x\gt0$. Find the coordinates of its stationary point, and determine its nature.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y=12x^{1/2}-x^{3/2}$, $x\gt0$ จงหาพิกัดของจุดคงที่ แล้วระบุชนิดของจุดนั้น
Answershow ▾
Same three moves: differentiate, solve $\dfrac{dy}{dx}=0$, then check the sign of $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.สามขั้นเดิม: ดิฟ แก้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ แล้วตรวจเครื่องหมายของ $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable. The curve $C$ has equation $y=27x^{1/2}-x^{3/2}-20$, $x\gt0$.
(a) Find dy/dx, giving each term in simplest form.
(b) Hence find the coordinates of the stationary point of $C$.
(c) Find $d^{2}y/dx^{2}$ and hence determine the nature of the stationary point of $C$.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=27x^{1/2}-x^{3/2}-20$, $x\gt0$
(ก) หา dy/dx โดยเขียนแต่ละพจน์ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) จากนั้นหาพิกัดของจุดคงที่ของ $C$
(ค) หา $d^{2}y/dx^{2}$ แล้วระบุชนิดของจุดคงที่ของ $C$
Answershow ▾
8 marks: differentiate ($2$), solve for the stationary point ($4$), then the second derivative for its nature ($2$).8 คะแนน: ดิฟ ($2$) · แก้หาจุดคงที่ ($4$) · อนุพันธ์อันดับสองเพื่อระบุชนิด ($2$)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Stationary point of a root-x fraction จุดคงที่ของเส้นโค้งเศษส่วนราก x
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable. The curve $C$ has equation $y=\dfrac{4x+9}{\sqrt x}$, $x\gt0$.
(a) Find dy/dx giving each term in simplest form.
(b) Hence find the x coordinate of the stationary point of $C$.
(c) (i) Find $d^{2}y/dx^{2}$ giving each term in simplest form. (ii) Hence determine the nature of the stationary point of $C$, giving a reason for your answer.
(d) State the range of values of $x$ for which $y$ is decreasing.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=\dfrac{4x+9}{\sqrt x}$, $x\gt0$
(ก) หา dy/dx โดยเขียนแต่ละพจน์ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) จากนั้นหาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ของ $C$
(ค) (i) หา $d^{2}y/dx^{2}$ โดยเขียนแต่ละพจน์ในรูปอย่างง่ายที่สุด (ii) จากนั้นระบุชนิดของจุดคงที่ของ $C$ พร้อมให้เหตุผล
(ง) ระบุช่วงของ $x$ ที่ทำให้ $y$ ลดลง (decreasing)
Write $\dfrac{4x}{\sqrt{x}}$ as a single power of $x$.
จงเขียน $\dfrac{4x}{\sqrt{x}}$ เป็นเลขยกกำลังของ $x$ เพียงตัวเดียว
Answershow ▾
$x\div x^{\frac12}=x^{1-\frac12}=x^{\frac12}$.$x\div x^{\frac12}=x^{1-\frac12}=x^{\frac12}$
Write $\dfrac{9}{\sqrt{x}}$ as a single power of $x$.
จงเขียน $\dfrac{9}{\sqrt{x}}$ เป็นเลขยกกำลังของ $x$ เพียงตัวเดียว
Answershow ▾
$1\div x^{\frac12}=x^{-\frac12}$.$1\div x^{\frac12}=x^{-\frac12}$
Differentiate $9x^{-\frac12}$.
จงดิฟ $9x^{-\frac12}$
Answershow ▾
Multiply by the power, then subtract $1$ from it: $9\times(-\frac12)=-\frac92$.คูณด้วยเลขชี้กำลัง แล้วลด $1$: $9\times(-\frac12)=-\frac92$
$C: y=\dfrac{4x+9}{\sqrt{x}}$, $x\gt0$. Pick the first move to find $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) split into $4x^{\frac12}+9x^{-\frac12}$, then differentiate each term
(B) differentiate the top and the bottom separately, then divide
(C) multiply $(4x+9)$ by $\sqrt{x}$ first
$C: y=\dfrac{4x+9}{\sqrt{x}}$, $x\gt0$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $\dfrac{dy}{dx}$
(A) แยกเป็น $4x^{\frac12}+9x^{-\frac12}$ แล้วดิฟแต่ละพจน์
(B) ดิฟตัวตั้งและตัวหารแยกกัน แล้วนำมาหารกัน
(C) คูณ $(4x+9)$ ด้วย $\sqrt{x}$ ก่อน
Answershow ▾
(B) is not a rule - dividing two separate derivatives is not the derivative of a quotient. (C) multiplies by $\sqrt{x}$ instead of dividing by it, which is a different curve.(B) ไม่ใช่กฎจริง การนำอนุพันธ์สองตัวมาหารกันไม่ใช่อนุพันธ์ของเศษส่วน · (C) คูณด้วย $\sqrt{x}$ แทนการหาร ซึ่งเป็นเส้นโค้งคนละเส้น
Differentiate $y=4x^{\frac12}+9x^{-\frac12}$ term by term to find $\dfrac{dy}{dx}$.
จงดิฟ $y=4x^{\frac12}+9x^{-\frac12}$ ทีละพจน์ หา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
The first term uses the power rule the normal way; the second term is question $3$.พจน์แรกใช้กฎกำลังแบบปกติ พจน์ที่สองคือข้อ $3$
Set $2x^{-\frac12}-\dfrac92x^{-\frac32}=0$, then multiply every term by $x^{\frac32}$ to find the $x$ coordinate of the stationary point.
ให้ $2x^{-\frac12}-\dfrac92x^{-\frac32}=0$ แล้วคูณทุกพจน์ด้วย $x^{\frac32}$ เพื่อหาพิกัด $x$ ของจุดคงที่
Answershow ▾
Multiplying by $x^{\frac32}$ turns every negative power into a positive one.การคูณด้วย $x^{\frac32}$ เปลี่ยนเลขชี้กำลังลบทุกตัวให้เป็นบวก
Differentiate $\dfrac{dy}{dx}=2x^{-\frac12}-\dfrac92x^{-\frac32}$ to find $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
จงดิฟ $\dfrac{dy}{dx}=2x^{-\frac12}-\dfrac92x^{-\frac32}$ หา $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
Answershow ▾
Same power rule again: each power drops by $1$.ใช้กฎกำลังแบบเดิมอีกครั้ง เลขชี้กำลังลดลง $1$ ทุกพจน์
At $x=\dfrac94$, $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{16}{27}\gt0$. What does this tell you about the stationary point?
(A) it is a maximum
(B) it is a minimum
(C) it is a point of inflection
ที่ $x=\dfrac94$, $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{16}{27}\gt0$ สิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับจุดคงที่
(A) เป็นจุดสูงสุด
(B) เป็นจุดต่ำสุด
(C) เป็นจุดเปลี่ยนเว้า
Answershow ▾
A positive second derivative means the gradient is increasing there - the curve is concave up, the shape of a minimum. (A) needs a negative value. (C) needs $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$.อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวก แสดงว่าความชันกำลังเพิ่มขึ้น เส้นโค้งเว้าขึ้น ซึ่งเป็นรูปของจุดต่ำสุด · (A) ต้องการค่าลบ · (C) ต้องการ $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$
At $x=\dfrac94$, evaluate $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-x^{-\frac32}+\dfrac{27}{4}x^{-\frac52}$, and state the nature of the stationary point, giving a reason.
ที่ $x=\dfrac94$ จงแทนค่าใน $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-x^{-\frac32}+\dfrac{27}{4}x^{-\frac52}$ แล้วระบุชนิดของจุดคงที่ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
The value from the last rung, and the rule from the decision step, written as one answer.ค่าจากข้อก่อนหน้า รวมกับกฎจากข้อตัดสินใจ เขียนเป็นคำตอบเดียว
$y$ is decreasing where $\dfrac{dy}{dx}\lt0$. Using $\dfrac{dy}{dx}=2x^{-\frac12}-\dfrac92x^{-\frac32}$, state the range of $x$ for which $C$ is decreasing.
$y$ ลดลงเมื่อ $\dfrac{dy}{dx}\lt0$ ใช้ $\dfrac{dy}{dx}=2x^{-\frac12}-\dfrac92x^{-\frac32}$ จงระบุช่วงของ $x$ ที่ทำให้ $C$ ลดลง
Answershow ▾
The stationary point at $x=\dfrac94$ splits the domain $x\gt0$ into two: decreasing before it, increasing after.จุดคงที่ที่ $x=\dfrac94$ แบ่งโดเมน $x\gt0$ ออกเป็นสองช่วง: ลดลงก่อนจุดนี้ เพิ่มขึ้นหลังจุดนี้
A curve has equation $y=\dfrac{2x+8}{\sqrt{x}}$, $x\gt0$. Find $\dfrac{dy}{dx}$, the $x$ coordinate of its stationary point, and state where the curve is decreasing.
เส้นโค้งมีสมการ $y=\dfrac{2x+8}{\sqrt{x}}$, $x\gt0$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ พิกัด $x$ ของจุดคงที่ และระบุช่วงที่เส้นโค้งลดลง
Answershow ▾
Same three moves: split into powers, differentiate twice, then solve $\dfrac{dy}{dx}=0$ and $\dfrac{dy}{dx}\lt0$.สามขั้นเดิม: แยกเป็นเลขยกกำลัง ดิฟสองครั้ง แล้วแก้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ และ $\dfrac{dy}{dx}\lt0$
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable. The curve $C$ has equation $y=\dfrac{4x+9}{\sqrt x}$, $x\gt0$.
(a) Find dy/dx giving each term in simplest form.
(b) Hence find the x coordinate of the stationary point of $C$.
(c) (i) Find $d^{2}y/dx^{2}$ giving each term in simplest form. (ii) Hence determine the nature of the stationary point of $C$, giving a reason for your answer.
(d) State the range of values of $x$ for which $y$ is decreasing.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=\dfrac{4x+9}{\sqrt x}$, $x\gt0$
(ก) หา dy/dx โดยเขียนแต่ละพจน์ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) จากนั้นหาพิกัด $x$ ของจุดคงที่ของ $C$
(ค) (i) หา $d^{2}y/dx^{2}$ โดยเขียนแต่ละพจน์ในรูปอย่างง่ายที่สุด (ii) จากนั้นระบุชนิดของจุดคงที่ของ $C$ พร้อมให้เหตุผล
(ง) ระบุช่วงของ $x$ ที่ทำให้ $y$ ลดลง (decreasing)
Answershow ▾
7 marks: $2$ for the derivative, $2$ for the stationary point, $2$ for its nature with a reason, $1$ for the decreasing interval.7 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับอนุพันธ์ 2 คะแนนสำหรับจุดคงที่ 2 คะแนนสำหรับชนิดของจุดพร้อมเหตุผล และ 1 คะแนนสำหรับช่วงที่ลดลง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two equations, then the stationary points สองสมการ แล้วหาจุดคงที่
$f(x)=ax^{3}-x^{2}+bx+4$ where $a$ and $b$ are constants. When $f(x)$ is divided by $(x+4)$, the remainder is $-108$.
(a) Use the remainder theorem to show that $16a+b=24$.
(b) Given also that $(2x-1)$ is a factor of $f(x)$, find the value of $a$ and the value of $b$.
(c) Find $f'(x)$.
(d) Hence find the exact coordinates of the stationary points of the curve with equation $y=f(x)$.
$f(x)=ax^{3}-x^{2}+bx+4$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+4)$ เศษเหลือ (remainder) เท่ากับ $-108$
(ก) ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem) แสดงว่า $16a+b=24$
(ข) กำหนดให้ $(2x-1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$ ด้วย จงหาค่า $a$ และค่า $b$
(ค) หา $f'(x)$
(ง) จากนั้นหาพิกัด exact ของจุดคงที่ของเส้นโค้ง $y=f(x)$
Work out $(-4)^{3}$ and $(-4)^{2}$.
จงหาค่า $(-4)^{3}$ และ $(-4)^{2}$
Answershow ▾
A negative number cubed stays negative, squared becomes positive.จำนวนลบยกกำลังสาม ยังเป็นลบ ส่วนยกกำลังสองจะกลายเป็นบวก
Solve $2x-1=0$ for $x$.
จงแก้สมการ $2x-1=0$ หา $x$
Answershow ▾
Add $1$ to both sides, then divide by $2$.บวก $1$ เข้าทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $2$
Differentiate $2x^{3}-x^{2}-8x+4$.
จงหาอนุพันธ์ของ $2x^{3}-x^{2}-8x+4$
Answershow ▾
Multiply by the old power, then subtract one from the power.คูณด้วยกำลังเดิม แล้วลบหนึ่งออกจากกำลังนั้น
$f(x)$ divided by $(x+4)$ leaves a remainder. Which value of $x$ gives the remainder?
(A) $x=4$
(B) $x=-4$
(C) $x=-\dfrac14$
$f(x)$ หารด้วย $(x+4)$ เหลือเศษ จงเลือกค่า $x$ ที่ใช้หาเศษเหลือ
(A) $x=4$
(B) $x=-4$
(C) $x=-\dfrac14$
Answershow ▾
$(x+4)=0$ gives $x=-4$, not $x=4$. (C) is the root of $(4x+1)$, a different bracket.$(x+4)=0$ ให้ $x=-4$ ไม่ใช่ $x=4$ ส่วน (C) เป็นคำตอบของ $(4x+1)$ ซึ่งเป็นวงเล็บคนละตัว
$f(x)=ax^{3}-x^{2}+bx+4$. Substitute $x=-4$ into $f(x)$ and set it equal to $-108$.
$f(x)=ax^{3}-x^{2}+bx+4$ จงแทน $x=-4$ ใน $f(x)$ แล้วให้เท่ากับ $-108$
Answershow ▾
Keep every bracket until you simplify in the next step.เก็บวงเล็บไว้ก่อน ค่อยจัดรูปในขั้นถัดไป
Simplify $a(-4)^{3}-(-4)^{2}+b(-4)+4=-108$ to show $16a+b=24$.
จงจัดรูป $a(-4)^{3}-(-4)^{2}+b(-4)+4=-108$ เพื่อแสดงว่า $16a+b=24$
Answershow ▾
This is a show-that mark, so write the line before dividing through.เป็นคะแนนชนิดแสดงว่า จึงต้องเขียนขั้นก่อนหารตัวร่วมด้วย
$(2x-1)$ is a factor of $f(x)$. Which equation must be true?
(A) $f(2)=0$
(B) $f\left(-\dfrac12\right)=0$
(C) $f\left(\dfrac12\right)=0$
$(2x-1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$ สมการใดต้องเป็นจริง
(A) $f(2)=0$
(B) $f\left(-\dfrac12\right)=0$
(C) $f\left(\dfrac12\right)=0$
Answershow ▾
$2x-1=0$ gives $x=\dfrac12$, not $x=2$ or $x=-\dfrac12$. Only that root makes the bracket zero.$2x-1=0$ ให้ $x=\dfrac12$ ไม่ใช่ $x=2$ หรือ $x=-\dfrac12$ มีแค่คำตอบของวงเล็บนี้เท่านั้นที่ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์
Substitute $x=\dfrac12$ into $f(x)=ax^{3}-x^{2}+bx+4$, set it equal to $0$, and simplify to $a+4b=-30$.
จงแทน $x=\dfrac12$ ใน $f(x)=ax^{3}-x^{2}+bx+4$ ให้เท่ากับ $0$ แล้วจัดรูปให้ได้ $a+4b=-30$
Answershow ▾
Multiply every term by $8$ to clear the fractions.คูณทุกพจน์ด้วย $8$ เพื่อกำจัดเศษส่วน
Solve $16a+b=24$ and $a+4b=-30$ simultaneously to find $a$ and $b$.
จงแก้ระบบสมการ $16a+b=24$ และ $a+4b=-30$ พร้อมกัน เพื่อหาค่า $a$ และ $b$
Answershow ▾
Write $b=24-16a$ from the first equation, then substitute into the second.เขียน $b=24-16a$ จากสมการแรก แล้วแทนลงในสมการที่สอง
Set $f'(x)=6x^{2}-2x-8$ equal to $0$ and factorise to find both values of $x$.
ให้ $f'(x)=6x^{2}-2x-8$ เท่ากับ $0$ แล้วแยกตัวประกอบเพื่อหาค่า $x$ ทั้งสองค่า
Answershow ▾
Divide every term by $2$ first, then factorise $3x^{2}-x-4$.หารทุกพจน์ด้วย $2$ ก่อน แล้วแยกตัวประกอบ $3x^{2}-x-4$
$g(x)=px^{3}-x^{2}+qx+2$, where $p$ and $q$ are constants. Dividing $g(x)$ by $(x+1)$ leaves remainder $3$, and $(2x-1)$ is a factor. Find $p$, $q$, $g'(x)$, and the exact stationary points of $y=g(x)$.
$g(x)=px^{3}-x^{2}+qx+2$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่ เมื่อหาร $g(x)$ ด้วย $(x+1)$ เศษเหลือเท่ากับ $3$ และ $(2x-1)$ เป็นตัวประกอบของ $g(x)$ จงหาค่า $p$, $q$, $g'(x)$ และพิกัดแม่นตรงของจุดคงที่ของ $y=g(x)$
Answershow ▾
Same four moves as the exam question: two equations, differentiate, factorise, substitute back.สี่ขั้นเดิมเหมือนข้อสอบจริง: หาสองสมการ หาอนุพันธ์ แยกตัวประกอบ แล้วแทนกลับ
$f(x)=ax^{3}-x^{2}+bx+4$ where $a$ and $b$ are constants. When $f(x)$ is divided by $(x+4)$, the remainder is $-108$.
(a) Use the remainder theorem to show that $16a+b=24$.
(b) Given also that $(2x-1)$ is a factor of $f(x)$, find the value of $a$ and the value of $b$.
(c) Find $f'(x)$.
(d) Hence find the exact coordinates of the stationary points of the curve with equation $y=f(x)$.
$f(x)=ax^{3}-x^{2}+bx+4$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+4)$ เศษเหลือ (remainder) เท่ากับ $-108$
(ก) ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem) แสดงว่า $16a+b=24$
(ข) กำหนดให้ $(2x-1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$ ด้วย จงหาค่า $a$ และค่า $b$
(ค) หา $f'(x)$
(ง) จากนั้นหาพิกัด exact ของจุดคงที่ของเส้นโค้ง $y=f(x)$
Answershow ▾
10 marks across four parts: two equations for $a$ and $b$, then differentiate and factorise $f'(x)=0$ for the stationary points.10 คะแนน ใน 4 ส่วน: สองสมการสำหรับ $a$ และ $b$ จากนั้นหาอนุพันธ์แล้วแยกตัวประกอบ $f'(x)=0$ เพื่อหาจุดคงที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A brick, minimise the surface area อิฐก้อนหนึ่ง หาพื้นที่ผิวน้อยที่สุด
A brick is in the shape of a cuboid with width $x$ cm, length $3x$ cm and height $h$ cm, as shown in Figure 2. The volume of the brick is $972$ cm$^{3}$.
(a) Show that the surface area of the brick, $S$ cm$^{2}$, is given by $S=6x^{2}+\dfrac{2592}{x}$.
(b) Find $\dfrac{dS}{dx}$.
(c) Hence find the value of $x$ for which $S$ is stationary.
(d) Find $\dfrac{d^{2}S}{dx^{2}}$ and hence show that the value of $x$ found in part (c) gives the minimum value of $S$.
(e) Hence find the minimum surface area of the brick.
อิฐก้อนหนึ่งมีรูปทรงลูกบาศก์สี่เหลี่ยม (cuboid) กว้าง $x$ ซม. ยาว $3x$ ซม. และสูง $h$ ซม. ดังรูปที่ 2 ปริมาตรของอิฐเท่ากับ $972$ ลูกบาศก์เซนติเมตร
(ก) จงแสดงว่าพื้นที่ผิวของอิฐ $S$ ตร.ซม. เท่ากับ $S=6x^{2}+\dfrac{2592}{x}$
(ข) หา $\dfrac{dS}{dx}$
(ค) จากนั้นหาค่า $x$ ที่ทำให้ $S$ เป็นจุดคงที่
(ง) หา $\dfrac{d^{2}S}{dx^{2}}$ แล้วแสดงว่าค่า $x$ ในข้อ (c) ทำให้ $S$ มีค่าต่ำสุด
(จ) จากนั้นหาพื้นที่ผิวต่ำสุดของอิฐ
A face of a cuboid measures $x$ by $3x$. Write down an expression for its area.
หน้าหนึ่งของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีขนาด $x$ คูณ $3x$ จงเขียนพื้นที่ของหน้านี้เป็นนิพจน์
Answershow ▾
Multiply the two side lengths.คูณความยาวสองด้านเข้าด้วยกัน
Another face of the same cuboid measures $x$ by $h$. Write down an expression for its area.
อีกหน้าหนึ่งของทรงเดียวกันมีขนาด $x$ คูณ $h$ จงเขียนพื้นที่ของหน้านี้เป็นนิพจน์
Answershow ▾
Multiply the two side lengths.คูณความยาวสองด้านเข้าด้วยกัน
Differentiate $2592x^{-1}$ with respect to $x$.
จงดิฟ $2592x^{-1}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Bring the power down as a multiplier, then reduce the power by one.ตบกำลังลงมาเป็นตัวคูณ แล้วลบกำลังหนึ่ง (ตบ · ลบ · ดิ๊ฟ)
A cuboid has width $x$, length $3x$ and height $h$. Pick the correct expression for its total surface area $S$.
(A) $S = x(3x)+xh+3xh$
(B) $S = 2x(3x)+2xh+2(3xh)$
(C) $S = 2x(3x)\times2xh\times2(3xh)$
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีความกว้าง $x$ ยาว $3x$ และสูง $h$ จงเลือกนิพจน์ที่ถูกต้องของพื้นที่ผิวทั้งหมด $S$
(A) $S = x(3x)+xh+3xh$
(B) $S = 2x(3x)+2xh+2(3xh)$
(C) $S = 2x(3x)\times2xh\times2(3xh)$
Answershow ▾
(A) counts each face once, but a cuboid has two of each face. (C) multiplies the three face areas instead of adding them -- total surface area is always a sum of face areas, never a product.(A) นับหน้าแต่ละแบบแค่หน้าเดียว ทั้งที่ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีสองหน้าของแต่ละแบบ · (C) เอาพื้นที่สามหน้ามาคูณกันแทนการบวก · พื้นที่ผิวทั้งหมดต้องเป็นผลบวกของพื้นที่แต่ละหน้าเสมอ ไม่ใช่ผลคูณ
Write $S$ as the sum chosen in the decision question: two faces of area $x(3x)$, two of area $xh$, two of area $3xh$.
จงเขียน $S$ เป็นผลบวกตามที่เลือกไว้ในข้อตัดสินใจ: สองหน้าพื้นที่ $x(3x)$ สองหน้าพื้นที่ $xh$ สองหน้าพื้นที่ $3xh$
Answershow ▾
Two of each face type, added together.หน้าแต่ละแบบมีสองหน้า นำมาบวกกัน
Expand and simplify $S=2x(3x)+2xh+2(3xh)$.
จงกระจายและจัดรูปให้ง่าย $S=2x(3x)+2xh+2(3xh)$
Answershow ▾
$2x(3x)=6x^{2}$; the two $h$-terms, $2xh+6xh$, combine to $8xh$.$2x(3x)=6x^{2}$ · สองพจน์ของ $h$ คือ $2xh+6xh$ รวมกันได้ $8xh$
The volume of the brick is $972$ cm$^{3}$, so $3x^{2}h=972$. Use this to write $h$ in terms of $x$, then substitute it into $S=6x^{2}+8xh$ and simplify to show $S=6x^{2}+\dfrac{2592}{x}$.
ปริมาตรของอิฐเท่ากับ $972$ ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น $3x^{2}h=972$ จงใช้สมการนี้เขียน $h$ ในรูป $x$ แล้วแทนลงใน $S=6x^{2}+8xh$ และจัดรูปให้ง่ายเพื่อแสดงว่า $S=6x^{2}+\dfrac{2592}{x}$
Answershow ▾
$h=\dfrac{972}{3x^{2}}=\dfrac{324}{x^{2}}$, and $8x\times\dfrac{324}{x^{2}}=\dfrac{2592}{x}$.$h=\dfrac{972}{3x^{2}}=\dfrac{324}{x^{2}}$ และ $8x\times\dfrac{324}{x^{2}}=\dfrac{2592}{x}$
Find $\dfrac{dS}{dx}$, then set it equal to $0$ and solve for $x$.
จงหา $\dfrac{dS}{dx}$ แล้วให้เท่ากับ $0$ และแก้หา $x$
Answershow ▾
$\dfrac{dS}{dx}=12x-2592x^{-2}$; setting it to $0$ gives $x^{3}=216$.$\dfrac{dS}{dx}=12x-2592x^{-2}$ · ให้เท่ากับ $0$ จะได้ $x^{3}=216$
You have $x=6$. The question asks you to show this value gives a MINIMUM, not just to find its value. Pick the correct next step.
(A) Substitute $x=6$ into $S=6x^{2}+\dfrac{2592}{x}$ to get its value
(B) Find $\dfrac{d^{2}S}{dx^{2}}$ and check its sign at $x=6$
(C) Check that $\dfrac{dS}{dx}=0$ at $x=6$ again
ได้ $x=6$ แล้ว โจทย์ต้องการให้แสดงว่าค่านี้เป็นจุดต่ำสุด ไม่ใช่แค่หาค่า จงเลือกขั้นต่อไปที่ถูกต้อง
(A) แทน $x=6$ ลงใน $S=6x^{2}+\dfrac{2592}{x}$ เพื่อหาค่า
(B) หา $\dfrac{d^{2}S}{dx^{2}}$ แล้วตรวจเครื่องหมายที่ $x=6$
(C) ตรวจว่า $\dfrac{dS}{dx}=0$ ที่ $x=6$ อีกครั้ง
Answershow ▾
(A) answers "find the minimum value", a separate mark -- it does not show $x=6$ gives a minimum rather than a maximum. (C) only re-confirms $x=6$ is stationary; a zero gradient alone never says which kind of stationary point it is.(A) ตอบคำถาม "หาค่าต่ำสุด" ซึ่งเป็นคะแนนแยกอีกข้อ · ไม่ได้แสดงว่า $x=6$ เป็นจุดต่ำสุด ไม่ใช่จุดสูงสุด · (C) แค่ยืนยันว่า $x=6$ เป็นจุดนิ่งอีกครั้ง · ความชันเป็นศูนย์อย่างเดียวบอกชนิดของจุดไม่ได้
Evaluate $\dfrac{d^{2}S}{dx^{2}}=12+\dfrac{5184}{x^{3}}$ at $x=6$ to confirm it is positive. Then substitute $x=6$ into $S$ to find the minimum value.
จงคำนวณ $\dfrac{d^{2}S}{dx^{2}}=12+\dfrac{5184}{x^{3}}$ ที่ $x=6$ เพื่อยืนยันว่าเป็นค่าบวก แล้วแทน $x=6$ ลงใน $S$ เพื่อหาค่าต่ำสุด
Answershow ▾
A positive second derivative at a stationary point confirms a minimum.อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกที่จุดนิ่ง ยืนยันว่าเป็นจุดต่ำสุด
A cuboid has width $y$, length $2y$ and height $k$. Its volume is $72$ cm$^{3}$. Find the minimum value of its total surface area $S$.
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีความกว้าง $y$ ยาว $2y$ และสูง $k$ ปริมาตรเท่ากับ $72$ ลูกบาศก์เซนติเมตร จงหาค่าต่ำสุดของพื้นที่ผิวทั้งหมด $S$
Answershow ▾
Same method: six faces, eliminate $k$ with the volume, differentiate, solve, then substitute back.วิธีเดิม: หกหน้า กำจัด $k$ ด้วยปริมาตร ดิฟ แก้สมการ แล้วแทนกลับ
A brick is in the shape of a cuboid with width $x$ cm, length $3x$ cm and height $h$ cm, as shown in Figure 2. The volume of the brick is $972$ cm$^{3}$.
(a) Show that the surface area of the brick, $S$ cm$^{2}$, is given by $S=6x^{2}+\dfrac{2592}{x}$.
(b) Find $\dfrac{dS}{dx}$.
(c) Hence find the value of $x$ for which $S$ is stationary.
(d) Find $\dfrac{d^{2}S}{dx^{2}}$ and hence show that the value of $x$ found in part (c) gives the minimum value of $S$.
(e) Hence find the minimum surface area of the brick.
อิฐก้อนหนึ่งมีรูปทรงลูกบาศก์สี่เหลี่ยม (cuboid) กว้าง $x$ ซม. ยาว $3x$ ซม. และสูง $h$ ซม. ดังรูปที่ 2 ปริมาตรของอิฐเท่ากับ $972$ ลูกบาศก์เซนติเมตร
(ก) จงแสดงว่าพื้นที่ผิวของอิฐ $S$ ตร.ซม. เท่ากับ $S=6x^{2}+\dfrac{2592}{x}$
(ข) หา $\dfrac{dS}{dx}$
(ค) จากนั้นหาค่า $x$ ที่ทำให้ $S$ เป็นจุดคงที่
(ง) หา $\dfrac{d^{2}S}{dx^{2}}$ แล้วแสดงว่าค่า $x$ ในข้อ (c) ทำให้ $S$ มีค่าต่ำสุด
(จ) จากนั้นหาพื้นที่ผิวต่ำสุดของอิฐ
Answershow ▾
9 marks: 3 for reaching the given form, 1 for $\dfrac{dS}{dx}$, 2 for $x=6$, 2 for showing it is a minimum, 1 for the minimum value.9 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับการแสดงรูปที่กำหนด 1 คะแนนสำหรับ $\dfrac{dS}{dx}$ 2 คะแนนสำหรับ $x=6$ 2 คะแนนสำหรับการแสดงว่าเป็นจุดต่ำสุด และ 1 คะแนนสำหรับค่าต่ำสุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Show, solve, then prove maximum แสดง แก้สมการ แล้วพิสูจน์ค่าสูงสุด
The height of a river above a fixed point on the riverbed was monitored over a 7-day period. The height of the river, $H$ metres, $t$ days after monitoring began, was given by $H=\dfrac{\sqrt t}{20}(20+6t-t^{2})+17$, $0\leqslant t\leqslant7$. Given that $H$ has a stationary value at $t=\alpha$
(a) use calculus to show that $\alpha$ satisfies the equation $5\alpha^{2}-18\alpha-20=0$
(b) Hence find the value of $\alpha$, giving your answer to 3 decimal places.
(c) Use further calculus to prove that $H$ is a maximum at this value of $\alpha$.
ระดับความสูงของแม่น้ำเหนือจุดคงที่บนพื้นแม่น้ำถูกบันทึกเป็นเวลา 7 วัน ความสูงของแม่น้ำ $H$ เมตร เมื่อเวลาผ่านไป $t$ วันนับจากเริ่มบันทึก กำหนดโดย $H=\dfrac{\sqrt t}{20}(20+6t-t^{2})+17$, $0\leqslant t\leqslant7$ กำหนดให้ $H$ มีค่าคงที่ (stationary value) ที่ $t=\alpha$
(ก) ใช้แคลคูลัสแสดงว่า $\alpha$ สอดคล้องกับสมการ $5\alpha^{2}-18\alpha-20=0$
(ข) จากนั้นหาค่า $\alpha$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ค) ใช้แคลคูลัสเพิ่มเติมพิสูจน์ว่า $H$ มีค่าสูงสุด (maximum) ที่ค่า $\alpha$ นี้
Differentiate $\dfrac{3}{10}t^{3/2}$, using the power rule.
จงหาอนุพันธ์ของ $\dfrac{3}{10}t^{3/2}$ โดยใช้กฎกำลัง
Answershow ▾
Multiply the power into the coefficient, then drop the power by $1$.คูณเลขชี้กำลังเข้ากับสัมประสิทธิ์ แล้วลดเลขชี้กำลังลง $1$
Differentiate $\dfrac12t^{-1/2}$, using the power rule.
จงหาอนุพันธ์ของ $\dfrac12t^{-1/2}$ โดยใช้กฎกำลัง
Answershow ▾
The power drops by $1$ again: $-\dfrac12-1=-\dfrac32$.เลขชี้กำลังลดลง $1$ อีกครั้ง: $-\dfrac12-1=-\dfrac32$
Multiply $\dfrac12+\dfrac{9}{20}t-\dfrac18t^{2}=0$ through by $40$.
จงคูณ $\dfrac12+\dfrac{9}{20}t-\dfrac18t^{2}=0$ ตลอดด้วย $40$
Answershow ▾
$40\div2=20$, $40\times\dfrac{9}{20}=18$, $40\div8=5$.$40\div2=20$, $40\times\dfrac{9}{20}=18$, $40\div8=5$
You need $\dfrac{dH}{dt}$ from $H=\dfrac{\sqrt t}{20}(20+6t-t^{2})+17$. Pick the first move.
(A) use the product rule with $u=\dfrac{\sqrt t}{20}$, $v=20+6t-t^{2}$
(B) expand the bracket first, into three separate powers of $t$
(C) differentiate $20+6t-t^{2}$ only, then multiply by $\dfrac{\sqrt t}{20}$ afterwards
ต้องหา $\dfrac{dH}{dt}$ จาก $H=\dfrac{\sqrt t}{20}(20+6t-t^{2})+17$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ใช้กฎผลคูณโดย $u=\dfrac{\sqrt t}{20}$, $v=20+6t-t^{2}$
(B) กระจายวงเล็บก่อน ให้เป็นสามพจน์กำลังของ $t$ แยกกัน
(C) ดิฟ $20+6t-t^{2}$ เพียงอย่างเดียว แล้วคูณด้วย $\dfrac{\sqrt t}{20}$ ทีหลัง
Answershow ▾
(A) works but turns one differentiation into a product-rule mess that still needs expanding afterwards. (C) drops the product rule entirely - treats $\dfrac{\sqrt t}{20}$ as a constant it is not, since it also contains $t$.(A) ใช้ได้ แต่ทำให้การดิฟครั้งเดียวกลายเป็นกฎผลคูณที่ยุ่งยาก และยังต้องกระจายอีกทีหลัง · (C) ไม่ใช้กฎผลคูณเลย โดยปฏิบัติกับ $\dfrac{\sqrt t}{20}$ เหมือนเป็นค่าคงที่ ทั้งที่มี $t$ อยู่ด้วย
Expand $H=\dfrac{\sqrt t}{20}(20+6t-t^{2})+17$ into three separate powers of $t$.
จงกระจาย $H=\dfrac{\sqrt t}{20}(20+6t-t^{2})+17$ ให้เป็นสามพจน์กำลังของ $t$ แยกกัน
Answershow ▾
Multiply $\dfrac{\sqrt t}{20}$ into each term inside the bracket, one at a time.คูณ $\dfrac{\sqrt t}{20}$ เข้ากับแต่ละพจน์ในวงเล็บ ทีละพจน์
Differentiate $H=t^{1/2}+\dfrac{3}{10}t^{3/2}-\dfrac{1}{20}t^{5/2}+17$ term by term.
จงหาอนุพันธ์ของ $H=t^{1/2}+\dfrac{3}{10}t^{3/2}-\dfrac{1}{20}t^{5/2}+17$ ทีละพจน์
Answershow ▾
The constant $17$ differentiates to $0$ and disappears.ค่าคงที่ $17$ ดิฟแล้วได้ $0$ จึงหายไป
Set $\dfrac{dH}{dt}=0$ and multiply every term by $\sqrt t$, then by $40$. Show that this gives $5t^{2}-18t-20=0$.
ให้ $\dfrac{dH}{dt}=0$ แล้วคูณทุกพจน์ด้วย $\sqrt t$ จากนั้นด้วย $40$ จงแสดงว่าได้ $5t^{2}-18t-20=0$
Answershow ▾
Multiplying by $\sqrt t$ turns every power of $t$ into a whole number.การคูณด้วย $\sqrt t$ ทำให้เลขชี้กำลังของ $t$ ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม
$5t^{2}-18t-20=0$ has two roots, one negative and one near $4.491$. $H$ is only monitored for $0\leqslant t\leqslant7$. Pick $\alpha$.
(A) both roots
(B) the negative root
(C) the positive root only, $t\approx4.491$
$5t^{2}-18t-20=0$ มีสองราก รากหนึ่งติดลบ อีกรากใกล้ $4.491$ · $H$ ถูกบันทึกเฉพาะช่วง $0\leqslant t\leqslant7$ จงเลือก $\alpha$
(A) ทั้งสองราก
(B) รากที่ติดลบ
(C) รากที่เป็นบวกเท่านั้น $t\approx4.491$
Answershow ▾
(A) and (B) ignore the domain: $t$ is a number of days, so $t\geqslant0$. Only one root sits in $0\leqslant t\leqslant7$.(A) และ (B) ไม่สนใจโดเมน: $t$ คือจำนวนวัน จึงต้อง $t\geqslant0$ · มีแค่รากเดียวที่อยู่ในช่วง $0\leqslant t\leqslant7$
Use the quadratic formula on $5t^{2}-18t-20=0$ to find $\alpha$, correct to $3$ decimal places.
ใช้สูตรกำลังสองกับ $5t^{2}-18t-20=0$ เพื่อหาค่า $\alpha$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Keep only the positive root: $t$ cannot be negative.เก็บเฉพาะรากที่เป็นบวก เพราะ $t$ เป็นลบไม่ได้
Differentiate $\dfrac{dH}{dt}=\dfrac12t^{-1/2}+\dfrac{9}{20}t^{1/2}-\dfrac18t^{3/2}$ again, then evaluate $\dfrac{d^{2}H}{dt^{2}}$ at $t=4.491$. State the nature of the stationary point.
จงหาอนุพันธ์อันดับสองของ $\dfrac{dH}{dt}=\dfrac12t^{-1/2}+\dfrac{9}{20}t^{1/2}-\dfrac18t^{3/2}$ แล้วแทน $t=4.491$ ลงใน $\dfrac{d^{2}H}{dt^{2}}$ พร้อมบอกชนิดของจุดนิ่ง
Answershow ▾
A negative second derivative at $\alpha$ means $H$ is a maximum there.อนุพันธ์อันดับสองติดลบที่ $\alpha$ แปลว่า $H$ เป็นค่าสูงสุดที่จุดนั้น
A river has $H=\sqrt t\,(20+5t-t^{2})+20$, $0\leqslant t\leqslant6$, stationary at $t=\beta$.
(a) Show that $\beta$ satisfies $5\beta^{2}-15\beta-20=0$.
(b) Find $\beta$.
(c) Show that $H$ is a maximum at this value of $\beta$.
แม่น้ำสายหนึ่งมี $H=\sqrt t\,(20+5t-t^{2})+20$, $0\leqslant t\leqslant6$ มีค่าคงที่ที่ $t=\beta$
(ก) จงแสดงว่า $\beta$ สอดคล้องกับ $5\beta^{2}-15\beta-20=0$
(ข) จงหาค่า $\beta$
(ค) จงแสดงว่า $H$ มีค่าสูงสุดที่ค่า $\beta$ นี้
Answershow ▾
Same four moves: expand, differentiate, clear the fractions, then differentiate again for the nature.สี่ขั้นเดิม: กระจาย ดิฟ กำจัดเศษส่วน แล้วดิฟอีกครั้งเพื่อบอกชนิดของจุด
The height of a river above a fixed point on the riverbed was monitored over a 7-day period. The height of the river, $H$ metres, $t$ days after monitoring began, was given by $H=\dfrac{\sqrt t}{20}(20+6t-t^{2})+17$, $0\leqslant t\leqslant7$. Given that $H$ has a stationary value at $t=\alpha$
(a) use calculus to show that $\alpha$ satisfies the equation $5\alpha^{2}-18\alpha-20=0$
(b) Hence find the value of $\alpha$, giving your answer to 3 decimal places.
(c) Use further calculus to prove that $H$ is a maximum at this value of $\alpha$.
ระดับความสูงของแม่น้ำเหนือจุดคงที่บนพื้นแม่น้ำถูกบันทึกเป็นเวลา 7 วัน ความสูงของแม่น้ำ $H$ เมตร เมื่อเวลาผ่านไป $t$ วันนับจากเริ่มบันทึก กำหนดโดย $H=\dfrac{\sqrt t}{20}(20+6t-t^{2})+17$, $0\leqslant t\leqslant7$ กำหนดให้ $H$ มีค่าคงที่ (stationary value) ที่ $t=\alpha$
(ก) ใช้แคลคูลัสแสดงว่า $\alpha$ สอดคล้องกับสมการ $5\alpha^{2}-18\alpha-20=0$
(ข) จากนั้นหาค่า $\alpha$ ตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ค) ใช้แคลคูลัสเพิ่มเติมพิสูจน์ว่า $H$ มีค่าสูงสุด (maximum) ที่ค่า $\alpha$ นี้
Answershow ▾
8 marks across three parts: expand and differentiate for (a), the quadratic formula for (b), then differentiate again for (c).8 คะแนนใน 3 ส่วน: กระจายและดิฟสำหรับข้อ (a) สูตรกำลังสองสำหรับข้อ (b) แล้วดิฟอีกครั้งสำหรับข้อ (c)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An open box, minimise the surface area กล่องเปิดฝา หาพื้นที่ผิวน้อยที่สุด
Figure 3 shows a sketch of a square based, open top box. The height of the box is $h$ cm, and the base edges each have length $l$ cm. Given that the volume of the box is $250\,000$ cm$^{3}$
(a) show that the external surface area, $S$ cm$^{2}$, of the box is given by $S=\dfrac{250\,000}{h}+2000\sqrt h$
(b) Use algebraic differentiation to show that $S$ has a stationary point when $h=250^{k}$ where $k$ is a rational constant to be found.
(c) Justify by further differentiation that this value of $h$ gives the minimum external surface area of the box.
รูปที่ 3 แสดงภาพร่างกล่องฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบเปิดฝา สูง $h$ ซม. และด้านฐานแต่ละด้านยาว $l$ ซม. กำหนดให้ปริมาตรของกล่องเท่ากับ $250{,}000$ ลูกบาศก์เซนติเมตร
(ก) จงแสดงว่าพื้นที่ผิวภายนอก $S$ ตร.ซม. ของกล่องเท่ากับ $S=\dfrac{250\,000}{h}+2000\sqrt h$
(ข) ใช้การหาอนุพันธ์เชิงพีชคณิตแสดงว่า $S$ มีจุดคงที่เมื่อ $h=250^{k}$ โดยหาค่าคงที่ตรรกยะ (rational) $k$
(ค) ยืนยันด้วยการหาอนุพันธ์เพิ่มเติมว่าค่า $h$ นี้ทำให้พื้นที่ผิวภายนอกของกล่องต่ำสุด
Differentiate $250\,000h^{-1}$ with respect to $h$.
จงดิฟ $250\,000h^{-1}$ เทียบกับ $h$
Answershow ▾
Bring the power down as a multiplier, then subtract one from it.ตบกำลังลงมาเป็นตัวคูณก่อน แล้วลบหนึ่งจากกำลังนั้น
Differentiate $2000h^{1/2}$ with respect to $h$.
จงดิฟ $2000h^{1/2}$ เทียบกับ $h$
Answershow ▾
Same rule works on a fractional power: $\tfrac12-1=-\tfrac12$.กฎเดิมใช้ได้กับกำลังเศษส่วน: $\tfrac12-1=-\tfrac12$
The volume gives $l^{2}h=250\,000$. Make $l$ the subject.
ปริมาตรให้ $l^{2}h=250\,000$ จงจัดให้ $l$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Divide by $h$ first, then take the square root of both sides.หารด้วย $h$ ก่อน แล้วถอดรากที่สองทั้งสองข้าง
An open-top box (no lid) has a square base of side $l$ and height $h$. Pick the correct expression for the external surface area $S$.
(A) $S=l^{2}+4lh$
(B) $S=2l^{2}+4lh$
(C) $S=l^{2}+2lh$
กล่องเปิดฝา (ไม่มีฝาปิด) มีฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $l$ และสูง $h$ จงเลือกนิพจน์ที่ถูกต้องของพื้นที่ผิวภายนอก $S$
(A) $S=l^{2}+4lh$
(B) $S=2l^{2}+4lh$
(C) $S=l^{2}+2lh$
Answershow ▾
(B) adds a second $l^{2}$ for a lid the box does not have -- "open-top" means only ONE base. (C) counts two side faces, not four -- a box has four side walls.(B) บวก $l^{2}$ อีกตัวสำหรับฝาที่กล่องนี้ไม่มี เพราะ "เปิดฝา" หมายถึงมีฐานเดียว · (C) นับด้านข้างแค่สองด้าน แต่กล่องมีด้านข้างสี่ด้าน
Using $l^{2}=\dfrac{250\,000}{h}$ (divide the volume equation by $h$) and $l=\dfrac{500}{\sqrt h}$, substitute into $S=l^{2}+4lh$.
ใช้ $l^{2}=\dfrac{250\,000}{h}$ (หารสมการปริมาตรด้วย $h$) และ $l=\dfrac{500}{\sqrt h}$ แทนใน $S=l^{2}+4lh$
Answershow ▾
Keep $l^{2}$ as a plain fraction; keep $l$ as the square root, for the $4lh$ term.คง $l^{2}$ เป็นเศษส่วนตรงๆ ส่วน $l$ ในพจน์ $4lh$ ให้คงรูปรากที่สอง
Simplify $4h\left(\dfrac{500}{\sqrt h}\right)$ to show that $S=\dfrac{250\,000}{h}+2000\sqrt h$.
จงจัดรูป $4h\left(\dfrac{500}{\sqrt h}\right)$ ให้ง่าย เพื่อแสดงว่า $S=\dfrac{250\,000}{h}+2000\sqrt h$
Answershow ▾
$h$ divided by $\sqrt h$ leaves one $\sqrt h$.$h$ หารด้วย $\sqrt h$ เหลือ $\sqrt h$ หนึ่งตัว
Write $S=\dfrac{250\,000}{h}+2000\sqrt h$ in index form, then differentiate to find $\dfrac{dS}{dh}$.
จงเขียน $S=\dfrac{250\,000}{h}+2000\sqrt h$ ในรูปเลขชี้กำลัง แล้วดิฟหา $\dfrac{dS}{dh}$
Answershow ▾
The same two moves as questions $1$ and $2$, now on both terms of the real $S$.สองขั้นเดิมจากข้อ $1$ และ $2$ นำมาใช้กับทั้งสองพจน์ของ $S$ จริง
Set $\dfrac{dS}{dh}=0$ and combine the powers of $h$ into one term. Solve for $h^{3/2}$.
ให้ $\dfrac{dS}{dh}=0$ แล้วรวมเลขชี้กำลังของ $h$ เป็นพจน์เดียว จงแก้หา $h^{3/2}$
Answershow ▾
Move one term across, then divide -- the powers of $h$ combine to $h^{3/2}$.ย้ายพจน์หนึ่งข้าม แล้วหาร เลขชี้กำลังของ $h$ จะรวมกันเป็น $h^{3/2}$
You have $h^{3/2}=250$. Pick the correct way to find $h$.
(A) $h=250^{3/2}$
(B) $h=250^{2/3}$
(C) $h=250^{-3/2}$
ได้ $h^{3/2}=250$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการหา $h$
(A) $h=250^{3/2}$
(B) $h=250^{2/3}$
(C) $h=250^{-3/2}$
Answershow ▾
To undo a power of $\tfrac32$, raise both sides to the reciprocal power $\tfrac23$. (A) repeats $\tfrac32$ instead of flipping it. (C) flips the sign too, which is not the reciprocal.การถอดกำลัง $\tfrac32$ ต้องยกทั้งสองข้างด้วยกำลังผกผัน $\tfrac23$ · (A) ใช้ $\tfrac32$ ซ้ำ ไม่ได้กลับเศษส่วน · (C) กลับเครื่องหมายด้วย ซึ่งไม่ใช่ตัวผกผัน
State $h=250^{2/3}$, so $k=\tfrac23$. Then find $\dfrac{d^{2}S}{dh^{2}}$ and use its sign at this $h$ to justify a minimum.
ระบุ $h=250^{2/3}$ ดังนั้น $k=\tfrac23$ แล้วหา $\dfrac{d^{2}S}{dh^{2}}$ และใช้เครื่องหมายที่ค่า $h$ นี้ยืนยันว่าเป็นจุดต่ำสุด
Answershow ▾
A positive second derivative means the curve bends upward there, so it is a minimum.อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวก แสดงว่ากราฟโค้งขึ้นที่จุดนั้น จึงเป็นจุดต่ำสุด
An open-top box has a square base of side $p$ and height $q$. Its volume is $4$. Find the value of $q$ that minimises the external surface area $S$, and the minimum value of $S$.
กล่องเปิดฝามีฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $p$ และสูง $q$ ปริมาตรเท่ากับ $4$ จงหาค่า $q$ ที่ทำให้พื้นที่ผิวภายนอก $S$ น้อยที่สุด และหาค่าต่ำสุดของ $S$
Answershow ▾
Same four moves: substitute for $p$, differentiate, solve $dS/dq=0$, then check the sign.สี่ขั้นเดิม: แทน $p$ ดิฟ แก้ $dS/dq=0$ แล้วตรวจเครื่องหมาย
Figure 3 shows a sketch of a square based, open top box. The height of the box is $h$ cm, and the base edges each have length $l$ cm. Given that the volume of the box is $250\,000$ cm$^{3}$
(a) show that the external surface area, $S$ cm$^{2}$, of the box is given by $S=\dfrac{250\,000}{h}+2000\sqrt h$
(b) Use algebraic differentiation to show that $S$ has a stationary point when $h=250^{k}$ where $k$ is a rational constant to be found.
(c) Justify by further differentiation that this value of $h$ gives the minimum external surface area of the box.
รูปที่ 3 แสดงภาพร่างกล่องฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบเปิดฝา สูง $h$ ซม. และด้านฐานแต่ละด้านยาว $l$ ซม. กำหนดให้ปริมาตรของกล่องเท่ากับ $250{,}000$ ลูกบาศก์เซนติเมตร
(ก) จงแสดงว่าพื้นที่ผิวภายนอก $S$ ตร.ซม. ของกล่องเท่ากับ $S=\dfrac{250\,000}{h}+2000\sqrt h$
(ข) ใช้การหาอนุพันธ์เชิงพีชคณิตแสดงว่า $S$ มีจุดคงที่เมื่อ $h=250^{k}$ โดยหาค่าคงที่ตรรกยะ (rational) $k$
(ค) ยืนยันด้วยการหาอนุพันธ์เพิ่มเติมว่าค่า $h$ นี้ทำให้พื้นที่ผิวภายนอกของกล่องต่ำสุด
Answershow ▾
10 marks across three parts: substitute and simplify to the given $S$, differentiate to solve for $h$, then confirm the minimum with the second derivative.10 คะแนนในสามส่วน: แทนค่าและจัดรูปให้ตรงกับ $S$ ที่กำหนด ดิฟเพื่อหา $h$ แล้วยืนยันจุดต่ำสุดด้วยอนุพันธ์อันดับสอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A cuboid, minimise the sheet metal ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก หาแผ่นโลหะน้อยที่สุด
The container is in the shape of a cuboid and is made of sheet metal. The base of the container is a rectangle $3x$ metres by $x$ metres. The height of the container is $y$ metres, as shown in Figure 1. Given that the capacity of the container is $120$ m$^{3}$
(a) show that the area, $A$ m$^{2}$, of the sheet metal used to make the container is given by $A=Px^{2}+\dfrac Qx$ where $P$ and $Q$ are positive constants to be found
(b) Use calculus to find the value of $x$ for which $A$ has a stationary value, giving your answer to 3 significant figures.
(c) Find $\dfrac{d^{2}A}{dx^{2}}$ and hence show that the value of $x$ found in part (b) gives the minimum value of $A$.
ภาชนะนี้มีรูปทรงลูกบาศก์สี่เหลี่ยม (cuboid) ทำจากแผ่นโลหะ ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $3x$ เมตร คูณ $x$ เมตร สูง $y$ เมตร ดังแสดงในรูปที่ 1 กำหนดให้ความจุของภาชนะเท่ากับ $120$ ลูกบาศก์เมตร
(ก) จงแสดงว่าพื้นที่แผ่นโลหะ $A$ ตร.ม. ที่ใช้ทำภาชนะเท่ากับ $A=Px^{2}+\dfrac Qx$ โดยหาค่าคงที่บวก $P$ และ $Q$
(ข) ใช้แคลคูลัสหาค่า $x$ ที่ทำให้ $A$ เป็นจุดคงที่ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ค) หา $\dfrac{d^{2}A}{dx^{2}}$ แล้วแสดงว่าค่า $x$ ในข้อ (b) ทำให้ $A$ มีค่าต่ำสุด
A rectangular face has sides $x$ m and $y$ m. Write its area as an expression.
หน้าสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้าน $x$ เมตร และ $y$ เมตร จงเขียนพื้นที่เป็นนิพจน์
Answershow ▾
Multiply the two sides together.คูณสองด้านเข้าด้วยกัน
An open box has $1$ base face of area $15$ m$^{2}$, $2$ side faces of area $8$ m$^{2}$ each, and $2$ other side faces of area $10$ m$^{2}$ each. Work out its total surface area.
กล่องเปิดฝามีหน้าฐาน $1$ หน้า พื้นที่ $15$ ตร.ม. หน้าข้าง $2$ หน้า หน้าละ $8$ ตร.ม. และหน้าข้างอีก $2$ หน้า หน้าละ $10$ ตร.ม. จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมด
Answershow ▾
One face once, each pair of matching faces twice -- never add a pair only once.หน้าเดียวบวกครั้งเดียว หน้าคู่ที่เหมือนกันบวกสองครั้ง อย่าบวกหน้าคู่แค่ครั้งเดียว
Differentiate $y=\dfrac{320}{x}$ with respect to $x$.
จงดิฟ $y=\dfrac{320}{x}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Rewrite as a power of $x$ first, then bring the power down as a multiplier.เขียนเป็นเลขยกกำลังของ $x$ ก่อน แล้วตบกำลังลงมาเป็นตัวคูณ
The container is open at the top (no lid). Pick the expression for its total surface area $A$, as a sum of faces.
(A) $A = 2(3x^{2})+2(xy)+2(3xy)$
(B) $A = 3x^{2}+2(xy)+2(3xy)$
(C) $A = 2(xy)+2(3xy)$
ภาชนะเปิดฝา (ไม่มีฝาปิด) จงเลือกนิพจน์ของพื้นที่ผิวทั้งหมด $A$ ในรูปผลบวกของหน้าต่าง ๆ
(A) $A = 2(3x^{2})+2(xy)+2(3xy)$
(B) $A = 3x^{2}+2(xy)+2(3xy)$
(C) $A = 2(xy)+2(3xy)$
Answershow ▾
(A) adds a second $3x^{2}$ for a lid the container does not have -- an open container has one base, not two. (C) leaves the base out completely; even with no lid, the container still needs a floor.(A) บวก $3x^{2}$ อีกหน้าสำหรับฝาที่ภาชนะไม่มี · ภาชนะเปิดมีฐานหน้าเดียว ไม่ใช่สองหน้า · (C) ไม่มีฐานเลย · แม้ไม่มีฝาปิด ภาชนะก็ยังต้องมีพื้น
Using the faces chosen in the decision question, write the total surface area $A$ as that sum.
ใช้หน้าที่เลือกไว้ในข้อตัดสินใจ จงเขียนพื้นที่ผิวทั้งหมด $A$ เป็นผลบวกนั้น
Answershow ▾
One base, two end faces, two long faces -- the form the decision question chose.ฐานหนึ่งหน้า หน้าข้างสองหน้า หน้ายาวสองหน้า ตามรูปแบบที่เลือกไว้
Expand and simplify $A = 3x^{2}+2(xy)+2(3xy)$.
จงกระจายและจัดรูปให้ง่าย $A = 3x^{2}+2(xy)+2(3xy)$
Answershow ▾
Collect $2xy+6xy$.รวมพจน์ $2xy+6xy$
You have $A=3x^{2}+8xy$, with two letters, $x$ and $y$. The capacity is $120$ m$^{3}$. Pick the next move.
(A) Differentiate $A=3x^{2}+8xy$ with respect to $x$, treating $y$ as a constant
(B) Use $3x^{2}y=120$ to write $y$ in terms of $x$, then substitute into $A$
(C) Differentiate $3x^{2}y=120$ with respect to $x$
ได้ $A=3x^{2}+8xy$ ซึ่งมีสองตัวแปรคือ $x$ และ $y$ ความจุคือ $120$ ลูกบาศก์เมตร จงเลือกขั้นต่อไป
(A) ดิฟ $A=3x^{2}+8xy$ เทียบกับ $x$ โดยถือว่า $y$ คงที่
(B) ใช้ $3x^{2}y=120$ เขียน $y$ ในรูป $x$ แล้วแทนลงใน $A$
(C) ดิฟ $3x^{2}y=120$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
(A) treats $y$ as fixed, but $y$ changes with $x$ -- $\dfrac{dA}{dx}=0$ can only locate a single value of $x$ once $A$ is written in $x$ alone. (C) differentiates the volume equation, which is never asked for and does not remove $y$ from $A$.(A) ถือว่า $y$ คงที่ ทั้งที่ $y$ เปลี่ยนตาม $x$ · $\dfrac{dA}{dx}=0$ จะหา $x$ ค่าเดียวได้ ก็ต่อเมื่อ $A$ เขียนในรูป $x$ ตัวเดียวแล้ว · (C) ดิฟสมการปริมาตร ซึ่งไม่มีใครขอ และไม่ทำให้ $y$ หายไปจาก $A$
Substitute $y=\dfrac{40}{x^{2}}$ into $A=3x^{2}+8xy$ and simplify. This completes part (a): $A=Px^{2}+\dfrac{Q}{x}$.
จงแทน $y=\dfrac{40}{x^{2}}$ ลงใน $A=3x^{2}+8xy$ แล้วจัดรูปให้ง่าย เป็นการตอบส่วน (a): $A=Px^{2}+\dfrac{Q}{x}$
Answershow ▾
$8x\times\dfrac{40}{x^{2}}=\dfrac{320}{x}$ -- the $x$ in the numerator cancels one power from $x^{2}$.$8x\times\dfrac{40}{x^{2}}=\dfrac{320}{x}$ · $x$ บนตัดกับกำลังหนึ่งของ $x^{2}$
Differentiate $A=3x^{2}+\dfrac{320}{x}$, set $\dfrac{dA}{dx}=0$, and solve for $x$, giving your answer to 3 significant figures.
จงดิฟ $A=3x^{2}+\dfrac{320}{x}$ ตั้ง $\dfrac{dA}{dx}=0$ แล้วแก้หา $x$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Rewrite $\dfrac{320}{x}$ as $320x^{-1}$ before you differentiate it.เขียน $\dfrac{320}{x}$ เป็น $320x^{-1}$ ก่อนดิฟ
Find $\dfrac{d^{2}A}{dx^{2}}$, then evaluate it at $x=3.76$. Is this a minimum or a maximum?
จงหา $\dfrac{d^{2}A}{dx^{2}}$ แล้วแทนค่าที่ $x=3.76$ เป็นจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุด
Answershow ▾
A positive second derivative means the curve bends upward: a minimum.อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวก แสดงว่าเส้นโค้งเว้าขึ้น เป็นจุดต่ำสุด
A container is in the shape of a cuboid, open at the top, made of sheet metal. The base is a rectangle $2x$ m by $x$ m, and the height is $y$ m. The capacity of the container is $36$ m$^{3}$.
(a) Show that the area, $A$ m$^{2}$, of sheet metal used is $A=Px^{2}+\dfrac{Q}{x}$, stating $P$ and $Q$.
(b) Find the value of $x$ for which $A$ has a stationary value.
(c) Find $\dfrac{d^{2}A}{dx^{2}}$ and hence state whether this value of $x$ gives a minimum or maximum value of $A$.
ภาชนะรูปทรงลูกบาศก์สี่เหลี่ยม เปิดฝา ทำจากแผ่นโลหะ ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $2x$ เมตร คูณ $x$ เมตร สูง $y$ เมตร ความจุของภาชนะเท่ากับ $36$ ลูกบาศก์เมตร
(ก) จงแสดงว่าพื้นที่แผ่นโลหะ $A$ ตร.ม. ที่ใช้เท่ากับ $A=Px^{2}+\dfrac{Q}{x}$ โดยหาค่า $P$ และ $Q$
(ข) จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $A$ เป็นจุดคงที่
(ค) จงหา $\dfrac{d^{2}A}{dx^{2}}$ แล้วแสดงว่าค่า $x$ นี้ทำให้ $A$ เป็นจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุด
Answershow ▾
Same moves: volume gives $y$, base plus four sides gives $A$, differentiate, solve, then check the sign of the second derivative.ขั้นตอนเดิม: ปริมาตรให้ $y$ ฐานบวกสี่ด้านให้ $A$ ดิฟ แก้สมการ แล้วตรวจเครื่องหมายอนุพันธ์อันดับสอง
The container is in the shape of a cuboid and is made of sheet metal. The base of the container is a rectangle $3x$ metres by $x$ metres. The height of the container is $y$ metres, as shown in Figure 1. Given that the capacity of the container is $120$ m$^{3}$
(a) show that the area, $A$ m$^{2}$, of the sheet metal used to make the container is given by $A=Px^{2}+\dfrac Qx$ where $P$ and $Q$ are positive constants to be found
(b) Use calculus to find the value of $x$ for which $A$ has a stationary value, giving your answer to 3 significant figures.
(c) Find $\dfrac{d^{2}A}{dx^{2}}$ and hence show that the value of $x$ found in part (b) gives the minimum value of $A$.
ภาชนะนี้มีรูปทรงลูกบาศก์สี่เหลี่ยม (cuboid) ทำจากแผ่นโลหะ ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $3x$ เมตร คูณ $x$ เมตร สูง $y$ เมตร ดังแสดงในรูปที่ 1 กำหนดให้ความจุของภาชนะเท่ากับ $120$ ลูกบาศก์เมตร
(ก) จงแสดงว่าพื้นที่แผ่นโลหะ $A$ ตร.ม. ที่ใช้ทำภาชนะเท่ากับ $A=Px^{2}+\dfrac Qx$ โดยหาค่าคงที่บวก $P$ และ $Q$
(ข) ใช้แคลคูลัสหาค่า $x$ ที่ทำให้ $A$ เป็นจุดคงที่ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ค) หา $\dfrac{d^{2}A}{dx^{2}}$ แล้วแสดงว่าค่า $x$ ในข้อ (b) ทำให้ $A$ มีค่าต่ำสุด
Answershow ▾
10 marks: volume gives $y$ in $x$ (2), base plus four sides substituted and simplified to the given form (2), differentiate and solve for $x$ (4), second derivative and its sign (2).10 คะแนน: ปริมาตรให้ $y$ ในรูป $x$ (2) · ฐานบวกสี่ด้านแทนค่าและจัดรูปตามที่กำหนด (2) · ดิฟแล้วแก้หา $x$ (4) · อนุพันธ์อันดับสองและเครื่องหมาย (2)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An open container, two triangular ends ภาชนะเปิด หัวท้ายรูปสามเหลี่ยม
Figure 2 shows a sketch of an open container. The sides $CDEF$ and $ABFE$ are rectangles. The ends $ADE$ and $BCF$ are congruent (identical) right-angled triangles. The container is made from metal of negligible thickness. Given that $AE=BF=3x$ metres, $DE=CF=2x$ metres, $AB=DC=EF=L$ metres and the capacity of the container is $12$ m$^{3}$
(a) show that the area of metal used to make the container, $S$ m$^{2}$, is given by $S=Px^{2}+\dfrac Qx$ where $P$ and $Q$ are positive integers to be found
(b) Given that $x$ can vary, use algebraic calculus to find the minimum value of $S$, giving your answer to one decimal place.
(c) Justify that the value of $S$ found in part (b) is a minimum.
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างภาชนะเปิดใบหนึ่ง ด้าน $CDEF$ และ $ABFE$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหัวท้าย $ADE$ และ $BCF$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันทุกประการ (congruent) ภาชนะทำจากโลหะที่มีความหนาน้อยมาก กำหนดให้ $AE=BF=3x$ เมตร, $DE=CF=2x$ เมตร, $AB=DC=EF=L$ เมตร และความจุของภาชนะเท่ากับ $12$ ลูกบาศก์เมตร
(ก) จงแสดงว่าพื้นที่โลหะที่ใช้ทำภาชนะ $S$ ตร.ม. เท่ากับ $S=Px^{2}+\dfrac Qx$ โดยหาจำนวนเต็มบวก $P$ และ $Q$
(ข) กำหนดให้ $x$ เปลี่ยนแปลงได้ ใช้แคลคูลัสเชิงพีชคณิตหาค่าต่ำสุดของ $S$ ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ค) ยืนยันว่าค่า $S$ ในข้อ (b) เป็นค่าต่ำสุด
A right-angled triangle has legs $3x$ and $2x$. Work out its area.
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านประชิดมุมฉากยาว $3x$ และ $2x$ จงหาพื้นที่
Answershow ▾
Area of a triangle is half the base times the height.พื้นที่สามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของฐานคูณสูง
A prism has a triangular cross-section of area $3x^{2}$ and length $L$. Write an expression for its volume.
ปริซึมรูปหนึ่งมีพื้นที่หน้าตัดเป็นรูปสามเหลี่ยม $3x^{2}$ และยาว $L$ จงเขียนนิพจน์ของปริมาตร
Answershow ▾
Volume of a prism is the cross-sectional area times the length.ปริมาตรของปริซึมคือพื้นที่หน้าตัดคูณความยาว
A triangular prism has $2$ triangular ends, each of area $7$ cm$^{2}$, and $2$ rectangular side faces, each of area $15$ cm$^{2}$. The third side is left open. Work out the total area of metal.
ปริซึมสามเหลี่ยมมีหัวท้ายรูปสามเหลี่ยม $2$ ด้าน พื้นที่ด้านละ $7$ ซม.$^{2}$ และด้านข้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า $2$ ด้าน พื้นที่ด้านละ $15$ ซม.$^{2}$ ด้านที่สามเปิดไว้ จงหาพื้นที่โลหะทั้งหมด
Answershow ▾
Two of one face, two of the other -- never just add the two areas once.หน้าหนึ่งมีสองหน้า อีกหน้าก็มีสองหน้า อย่าบวกพื้นที่สองค่าทีเดียวเฉยๆ
The container has $2$ triangular ends of area $\tfrac12\times3x\times2x$, and rectangular faces $3xL$ and $2xL$. The third side, along the hypotenuse, is open. Pick the correct expression for $S$, the total metal area.
(A) $S=2(3x\times2x)+3xL+2xL$
(B) $S=2\left(\tfrac12\times3x\times2x\right)+3xL+2xL$
(C) $S=2\left(\tfrac12\times3x\times2x\right)+3xL+2xL+\sqrt{13}xL$
ภาชนะมีหัวท้ายรูปสามเหลี่ยม $2$ ด้าน พื้นที่ $\tfrac12\times3x\times2x$ และด้านสี่เหลี่ยมผืนผ้า $3xL$ กับ $2xL$ ด้านที่สามตามด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านเปิด จงเลือกนิพจน์ที่ถูกต้องของ $S$ พื้นที่โลหะทั้งหมด
(A) $S=2(3x\times2x)+3xL+2xL$
(B) $S=2\left(\tfrac12\times3x\times2x\right)+3xL+2xL$
(C) $S=2\left(\tfrac12\times3x\times2x\right)+3xL+2xL+\sqrt{13}xL$
Answershow ▾
(A) uses $3x\times2x$ for one end -- that is the full rectangle around the triangle, double the real area. (C) adds a third rectangle along the open hypotenuse side, which carries no metal.(A) ใช้ $3x\times2x$ เป็นพื้นที่หัวท้ายหนึ่งด้าน ซึ่งเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมรอบสามเหลี่ยม เป็นสองเท่าของพื้นที่จริง · (C) บวกสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านที่สามตามด้านตรงข้ามมุมฉากเข้าไปด้วย ซึ่งเป็นด้านเปิด ไม่มีโลหะ
The capacity of the container is $12$ m$^{3}$. Use $3x^{2}L=12$ to write $L$ in terms of $x$.
ความจุของภาชนะเท่ากับ $12$ ลูกบาศก์เมตร ใช้ $3x^{2}L=12$ เขียน $L$ ในรูปของ $x$
Answershow ▾
Divide both sides by $3x^{2}$.หารทั้งสองข้างด้วย $3x^{2}$
Using the expression chosen above, write $S$ as the sum of the two ends and the two rectangles. Expand and simplify.
ใช้นิพจน์ที่เลือกไว้ จงเขียน $S$ เป็นผลบวกของหัวท้ายสองด้านและสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองด้าน แล้วกระจายและจัดรูปให้ง่าย
Answershow ▾
Expand $2\times\tfrac12\times3x\times2x=6x^{2}$, then add $3xL+2xL$.กระจาย $2\times\tfrac12\times3x\times2x=6x^{2}$ แล้วบวก $3xL+2xL$
Substitute $L=\dfrac{4}{x^{2}}$ into $S=6x^{2}+5xL$, and simplify to the form $S=Px^{2}+\dfrac{Q}{x}$.
แทน $L=\dfrac{4}{x^{2}}$ ใน $S=6x^{2}+5xL$ แล้วจัดรูปให้เป็น $S=Px^{2}+\dfrac{Q}{x}$
Answershow ▾
$5x\times\dfrac{4}{x^{2}}=\dfrac{20}{x}$, so $P=6$ and $Q=20$.$5x\times\dfrac{4}{x^{2}}=\dfrac{20}{x}$ ดังนั้น $P=6$ และ $Q=20$
Differentiate $S=6x^{2}+\dfrac{20}{x}$, set $\dfrac{dS}{dx}=0$, and solve for $x$.
จงดิฟ $S=6x^{2}+\dfrac{20}{x}$ ตั้ง $\dfrac{dS}{dx}=0$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
Write $\dfrac{20}{x}$ as $20x^{-1}$ before you differentiate it.เขียน $\dfrac{20}{x}$ เป็น $20x^{-1}$ ก่อนดิฟ
You have $x=1.1856\ldots$. The question asks for the minimum value of $S$. Pick the next step.
(A) State $x=1.1856\ldots$ as the final answer
(B) Substitute $x=1.1856\ldots$ into $S=6x^{2}+\dfrac{20}{x}$
(C) Substitute $x=1.1856\ldots$ into $\dfrac{dS}{dx}=12x-\dfrac{20}{x^{2}}$
ได้ $x=1.1856\ldots$ แล้ว โจทย์ต้องการค่าต่ำสุดของ $S$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) ตอบ $x=1.1856\ldots$ เป็นคำตอบสุดท้าย
(B) แทน $x=1.1856\ldots$ ลงใน $S=6x^{2}+\dfrac{20}{x}$
(C) แทน $x=1.1856\ldots$ ลงใน $\dfrac{dS}{dx}=12x-\dfrac{20}{x^{2}}$
Answershow ▾
(A) finds $x$, not the minimum value of $S$ -- $x$ is only where the minimum happens. (C) only re-checks the gradient is zero there; it gives $0$, not an area.(A) ได้ค่า $x$ ไม่ใช่ค่าต่ำสุดของ $S$ · $x$ เป็นแค่ตำแหน่งที่เกิดค่าต่ำสุด · (C) แทนกลับในความชันได้แค่ตรวจว่าเป็นศูนย์จริง ไม่ได้พื้นที่
Evaluate $S$ at $x=1.1856\ldots$, to $1$ decimal place. Then find $\dfrac{d^{2}S}{dx^{2}}$. Is it positive, confirming a minimum?
จงคำนวณ $S$ ที่ $x=1.1856\ldots$ ตอบทศนิยม $1$ ตำแหน่ง แล้วหา $\dfrac{d^{2}S}{dx^{2}}$ เป็นบวกหรือไม่ ยืนยันว่าเป็นค่าต่ำสุด
Answershow ▾
A positive second derivative means the curve bends upward, so the stationary point is a minimum.อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวก แสดงว่ากราฟโค้งขึ้น จุดนิ่งนั้นจึงเป็นจุดต่ำสุด
A container has the same shape, with right-angled triangular ends of legs $y$ and $3y$, length $L$ metres, and capacity $18$ m$^{3}$. Show that $S=3y^{2}+\dfrac{48}{y}$, then find the minimum value of $S$.
ภาชนะรูปทรงเดียวกัน หัวท้ายรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้านประชิดมุมฉาก $y$ และ $3y$ ยาว $L$ เมตร ความจุ $18$ ลูกบาศก์เมตร จงแสดงว่า $S=3y^{2}+\dfrac{48}{y}$ แล้วหาค่าต่ำสุดของ $S$
Answershow ▾
Same moves: area, volume for $L$, surface area, substitute, then calculus for the minimum.ขั้นตอนเดิม: พื้นที่ ปริมาตรหา $L$ พื้นที่ผิว แทนค่า แล้วแคลคูลัสหาค่าต่ำสุด
Figure 2 shows a sketch of an open container. The sides $CDEF$ and $ABFE$ are rectangles. The ends $ADE$ and $BCF$ are congruent (identical) right-angled triangles. The container is made from metal of negligible thickness. Given that $AE=BF=3x$ metres, $DE=CF=2x$ metres, $AB=DC=EF=L$ metres and the capacity of the container is $12$ m$^{3}$
(a) show that the area of metal used to make the container, $S$ m$^{2}$, is given by $S=Px^{2}+\dfrac Qx$ where $P$ and $Q$ are positive integers to be found
(b) Given that $x$ can vary, use algebraic calculus to find the minimum value of $S$, giving your answer to one decimal place.
(c) Justify that the value of $S$ found in part (b) is a minimum.
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างภาชนะเปิดใบหนึ่ง ด้าน $CDEF$ และ $ABFE$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหัวท้าย $ADE$ และ $BCF$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันทุกประการ (congruent) ภาชนะทำจากโลหะที่มีความหนาน้อยมาก กำหนดให้ $AE=BF=3x$ เมตร, $DE=CF=2x$ เมตร, $AB=DC=EF=L$ เมตร และความจุของภาชนะเท่ากับ $12$ ลูกบาศก์เมตร
(ก) จงแสดงว่าพื้นที่โลหะที่ใช้ทำภาชนะ $S$ ตร.ม. เท่ากับ $S=Px^{2}+\dfrac Qx$ โดยหาจำนวนเต็มบวก $P$ และ $Q$
(ข) กำหนดให้ $x$ เปลี่ยนแปลงได้ ใช้แคลคูลัสเชิงพีชคณิตหาค่าต่ำสุดของ $S$ ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ค) ยืนยันว่าค่า $S$ ในข้อ (b) เป็นค่าต่ำสุด
Answershow ▾
11 marks: volume for $L$, two ends and two rectangles for $S$, differentiate, solve $\dfrac{dS}{dx}=0$, evaluate, then the second derivative to confirm the minimum.11 คะแนน: ปริมาตรหา $L$ หัวท้ายสองด้านกับสี่เหลี่ยมสองด้านหา $S$ ดิฟ แก้ $\dfrac{dS}{dx}=0$ คำนวณ แล้วอนุพันธ์อันดับสองยืนยันค่าต่ำสุด