Differentiation · practice ladders ชุดไต่ระดับ · อนุพันธ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Differentiation · optimisation with a constraint
An open-topped box is to be made with a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. The volume of the box is $500$ cm$^3$.
(a) Show that the total surface area of the box, $S$ cm$^2$, is given by $S = x^2 + \dfrac{2000}{x}$.
(b) Find $\dfrac{dS}{dx}$, and hence find the value of $x$ for which $S$ is stationary.
(c) Find this stationary value of $S$.
(d) Show that this value of $S$ is a minimum.
A cuboid has a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. Its volume is fixed at $32$ cm$^3$. Write $h$ in terms of $x$.
ทรงลูกบาศก์ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $x$ ซม. สูง $h$ ซม. มีปริมาตรคงที่ $32$ ลูกบาศก์ซม. จงเขียน $h$ ในรูปของ $x$
Answershow ▾
Volume $=$ base area $\times$ height, so $x^2 h = 32$; divide both sides by $x^2$. This is the constraint-substitution move the whole ladder is built on.
Differentiate $y = x^2 + \dfrac{8}{x}$.
หา $\dfrac{dy}{dx}$ เมื่อ $y = x^2 + \dfrac{8}{x}$
Answershow ▾
Rewrite $\dfrac{k}{x}$ as $kx^{-1}$ first, then apply the power rule to each term: multiply by the power, then reduce the power by 1.
At a stationary point, $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 4$. What kind of stationary point is it?
ที่จุดนิ่งจุดหนึ่ง $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 4$ · จุดนิ่งนี้เป็นชนิดใด
Answershow ▾
$\dfrac{d^2y}{dx^2} \gt 0$ means minimum; $\dfrac{d^2y}{dx^2} \lt 0$ means maximum — the sign convention itself, not any arithmetic, is what this question tests.
The box has a square base of side $x$ and height $h$, and it is open-topped. Count the faces, then pick the surface area from these three and say what each of the others belongs to.
(A) $6x^2$ (B) $2x^2 + 4xh$ (C) $x^2 + 4xh$
กล่องมีฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $x$ สูง $h$ และไม่มีฝา · จงนับจำนวนหน้า แล้วเลือกพื้นที่ผิวจากสามข้อนี้ และบอกว่าอีกสองข้อเป็นของอะไร
(A) $6x^2$ (B) $2x^2 + 4xh$ (C) $x^2 + 4xh$
Answershow ▾
(A) is a closed cube, where every face is a square of side $x$ — two facts wrong at once, since this box is neither closed nor a cube. (B) is a closed box with a lid, and the lid is the face the question removed. The reliable move is to count the faces out loud before writing anything: one base, four sides, no top, five in total. Part (a) is a show that, so the printed answer is no help — the marks are M1 for a correct $S$ in $x$ and $h$ and A1 for reaching the printed form, and a $2x^2$ makes both unreachable.(A) คือลูกบาศก์ปิด ที่ทุกหน้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $x$ · ผิดสองอย่างพร้อมกัน เพราะกล่องนี้ไม่ปิดและไม่ใช่ลูกบาศก์ · (B) คือกล่องปิดที่มีฝา และฝาคือหน้าที่โจทย์เอาออกไป · ท่าที่เชื่อถือได้คือนับหน้าออกมาดัง ๆ ก่อนเขียนอะไร: ฐานหนึ่ง ด้านข้างสี่ ไม่มีฝา รวมห้า · ข้อ (a) เป็น show that คำตอบที่พิมพ์มาจึงช่วยอะไรไม่ได้ · คะแนนคือ M1 กับ $S$ ที่ถูกในรูป $x$ กับ $h$ และ A1 กับการไปถึงรูปที่พิมพ์ไว้ · ถ้ามี $2x^2$ ก็ไปไม่ถึงทั้งสอง
An open-topped box has a square base of side $x$ cm, height $h$ cm, and volume $500$ cm$^3$. Show that the total surface area is $S = x^2 + \dfrac{2000}{x}$.
Answershow ▾
Same move as question 1: use the fixed volume to write $h$ in terms of $x$, then substitute into $S = x^2 + 4xh$ (base area plus the four open sides). This is part (a).
Given $S = x^2 + \dfrac{2000}{x}$, find $\dfrac{dS}{dx}$.
Answershow ▾
Rewrite the fraction as a negative power (same move as question 2), then differentiate term by term. This is the first half of part (b).
You cannot differentiate $S = x^2 + 4xh$ with respect to $x$ while $h$ is still in it. Say which equation removes $h$, write $h$ in terms of $x$, and state which letter is the variable and which letter is now gone.
จะหาอนุพันธ์ของ $S = x^2 + 4xh$ เทียบกับ $x$ ไม่ได้ตราบที่ยังมี $h$ อยู่ · จงบอกว่าสมการไหนกำจัด $h$ เขียน $h$ ในรูปของ $x$ และบอกว่าตัวอักษรไหนเป็นตัวแปรและตัวไหนหายไปแล้ว
Answershow ▾
An optimisation question always arrives with two letters and one fixed quantity, and the fixed quantity is there to be spent: it buys you the right to write one letter in terms of the other. Differentiating with $h$ still present treats $h$ as a constant, which it is not — changing $x$ changes $h$ — so every later line is about a box that does not hold $500$ cm$^3$. Notice which way round the substitution goes: $h$ is written in terms of $x$ because the question asks for $S$ in terms of $x$. This is the M1 of part (a); the decision to eliminate before differentiating is not separately paid.โจทย์หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดมาพร้อมตัวอักษรสองตัวและปริมาณคงที่หนึ่งอย่างเสมอ และปริมาณคงที่นั้นมีไว้ใช้จ่าย: มันซื้อสิทธิ์ให้เขียนตัวอักษรหนึ่งในรูปของอีกตัว · การหาอนุพันธ์ทั้งที่ยังมี $h$ คือการถือว่า $h$ เป็นค่าคงที่ ซึ่งมันไม่ใช่ เพราะเปลี่ยน $x$ แล้ว $h$ เปลี่ยนตาม · ทุกบรรทัดหลังจากนั้นจึงพูดถึงกล่องที่จุไม่ถึง $500$ cm$^3$ · สังเกตทิศทางของการแทนค่า: เขียน $h$ ในรูปของ $x$ เพราะโจทย์ขอ $S$ ในรูปของ $x$ · นี่คือ M1 ของข้อ (a) · การตัดสินใจกำจัดก่อนหาอนุพันธ์ไม่มีคะแนนแยก
Given $\dfrac{dS}{dx} = 2x - \dfrac{2000}{x^2}$, solve $\dfrac{dS}{dx} = 0$ to find the value of $x$ for which $S$ is stationary.
Answershow ▾
Set the derivative to $0$, multiply through by $x^2$ to clear the fraction, then take the cube root. This finishes part (b).
$S = x^2 + \dfrac{2000}{x}$ is stationary at $x = 10$. Find this stationary value of $S$.
Answershow ▾
Substitute $x = 10$ back into the ORIGINAL expression for $S$, not into $\dfrac{dS}{dx}$ — this is part (c).
Given $\dfrac{dS}{dx} = 2x - \dfrac{2000}{x^2}$, find $\dfrac{d^2S}{dx^2}$, and use it to show that $S = 300$ (at $x = 10$) is a minimum.
Answershow ▾
Differentiate $\dfrac{dS}{dx}$ again, then substitute $x = 10$ — a positive second derivative confirms a minimum. This is part (d).
Part (d) says Show that this value of $S$ is a minimum. You have $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 2 + \dfrac{4000}{x^{3}}$. Which of these three earns it, and what is wrong with the other two?
(A) $S = 300$ is the smallest value I found (B) $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 6$ at $x = 10$, and $6 \gt 0$, so it is a minimum (C) $\dfrac{dS}{dx} = 0$, so it is a minimum
ข้อ (d) เขียนว่า Show that this value of $S$ is a minimum · มี $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 2 + \dfrac{4000}{x^{3}}$ · ข้อไหนได้คะแนน และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $S = 300$ เป็นค่าน้อยที่สุดที่หาได้ (B) $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 6$ ที่ $x = 10$ และ $6 \gt 0$ จึงเป็นค่าต่ำสุด (C) $\dfrac{dS}{dx} = 0$ จึงเป็นค่าต่ำสุด
Answershow ▾
(C) is the definition of stationary, which is what you already knew; a maximum has $\dfrac{dS}{dx} = 0$ too, so it separates nothing. (A) reports a search rather than a test, and searching is not proof. The second derivative is the test that tells the two apart, and its sign is the whole message: positive bends upwards, so a minimum; negative bends downwards, so a maximum. Write the value and the words — part (d) is B1, awarded for a correct $\dfrac{d^2S}{dx^2}$ evaluated at $x = 10$ together with the conclusion, and a bare $6$ with nothing said about it is not the conclusion.(C) คือนิยามของจุดวิกฤต ซึ่งรู้อยู่แล้ว · จุดสูงสุดก็มี $\dfrac{dS}{dx} = 0$ เหมือนกัน จึงแยกอะไรไม่ได้ · (A) รายงานการค้นหา ไม่ใช่การทดสอบ และการค้นหาไม่ใช่การพิสูจน์ · อนุพันธ์อันดับสองคือการทดสอบที่แยกสองอย่างนี้ออกจากกัน และเครื่องหมายของมันคือสารทั้งหมด: บวกคือโค้งขึ้น จึงเป็นค่าต่ำสุด · ลบคือโค้งลง จึงเป็นค่าสูงสุด · ต้องเขียนทั้งค่าและข้อความ · ข้อ (d) คือ B1 ให้กับ $\dfrac{d^2S}{dx^2}$ ที่ถูกและแทน $x = 10$ พร้อมข้อสรุป · เลข $6$ โดด ๆ ที่ไม่มีคำอธิบายไม่ใช่ข้อสรุป
An open-topped box is to be made with a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. The volume of the box is $4$ cm$^3$.
(a) Show that the total surface area of the box, $S$ cm$^2$, is given by $S = x^2 + \dfrac{16}{x}$.
(b) Find $\dfrac{dS}{dx}$, and hence find the value of $x$ for which $S$ is stationary.
(c) Find this stationary value of $S$.
(d) Show that this value of $S$ is a minimum.
Answershow ▾
Same four parts as the exam question, but with a small volume throughout.
An open-topped box is to be made with a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. The volume of the box is $500$ cm$^3$.
(a) Show that the total surface area of the box, $S$ cm$^2$, is given by $S = x^2 + \dfrac{2000}{x}$.
(b) Find $\dfrac{dS}{dx}$, and hence find the value of $x$ for which $S$ is stationary.
(c) Find this stationary value of $S$.
(d) Show that this value of $S$ is a minimum.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 7 is part (c); question 8 is part (d).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $\dfrac{dS}{dx} = 2x - \dfrac{2000}{x^2}$ M1 set $\dfrac{dS}{dx} = 0$: $2x - \dfrac{2000}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 1000 \Rightarrow x = \sqrt[3]{1000}$ A1 $x = 10$.
(c) A1 $S = 10^2 + \dfrac{2000}{10} = 300$.
(d) M1 $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 2 + \dfrac{4000}{x^3}$; at $x = 10$, $\dfrac{d^2S}{dx^2} = 6$ A1 $\dfrac{d^2S}{dx^2} \gt 0$, so $S = 300$ is a minimum ∎.
Differentiation · where a curve is increasing or decreasing
A curve has equation $y = f(x)$, where $f(x) = x^3 - 48x - 1$.
(a) Find $f'(x)$.
(b) Find the set of values of $x$ for which $f$ is increasing.
(c) Find the value of $x$ for which the gradient of the curve is least.
Differentiate $y = 2x^3 - x^2 - 3x - 2$.
หา $\dfrac{dy}{dx}$ เมื่อ $y = 2x^3 - x^2 - 3x - 2$
Answershow ▾
Differentiate one term at a time; the constant term disappears — the same power rule as every other differentiation question.
Solve the inequality $(x + 3)(x + 1) \gt 0$.
แก้อสมการ $(x + 3)(x + 1) \gt 0$
Answershow ▾
A product of two brackets is positive when both factors have the same sign — that happens OUTSIDE the two roots, not between them. Sketching the upward parabola makes this obvious.
The gradient of a curve at a point is $f'(x) = -3$. Is the curve increasing or decreasing there?
ความชันของเส้นโค้งที่จุดหนึ่งคือ $f'(x) = -3$ · ที่จุดนั้นเส้นโค้งกำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง
Answershow ▾
$f'(x) \gt 0$ means the curve is increasing; $f'(x) \lt 0$ means it is decreasing — the sign of the gradient function is the whole idea behind this question type.
Part (b) asks where $f$ is increasing. Which of these three is the condition, and which function does the sign belong to?
(A) $f(x) \gt 0$ (B) $f^{\prime}(x) \gt 0$ (C) $f^{\prime\prime}(x) \gt 0$
Then say why the answer uses $\gt$ and not $\ge$.
ข้อ (b) ถามว่า $f$ เพิ่มขึ้น ที่ไหน · ข้อไหนคือเงื่อนไข และเครื่องหมายเป็นของฟังก์ชันตัวไหน
(A) $f(x) \gt 0$ (B) $f^{\prime}(x) \gt 0$ (C) $f^{\prime\prime}(x) \gt 0$
แล้วบอกว่าทำไมคำตอบใช้ $\gt$ ไม่ใช่ $\ge$
Answershow ▾
(A) asks where the curve is above the axis, which is a different question with different answers — a curve can be far below the axis and still climbing steeply. (C) is about the bending, and answers part (c) instead. Increasing means the height is going up as $x$ goes right, and that is exactly what a positive gradient says, so it is $f^{\prime}$ whose sign you test. The endpoints go with $\gt$ because at $x = -4$ and $x = 4$ the tangent is horizontal: momentarily flat is not increasing. Part (b) is M1 for solving $f^{\prime}(x) \gt 0$ and A1 for the set; choosing which function to put the inequality on is the whole difficulty and none of the credit.(A) ถามว่ากราฟอยู่เหนือแกนที่ไหน ซึ่งเป็นคนละคำถามและได้คนละคำตอบ · กราฟอยู่ต่ำกว่าแกนมาก ๆ แต่ยังไต่ขึ้นชัน ๆ ก็ได้ · (C) เกี่ยวกับความโค้ง และไปตอบข้อ (c) แทน · เพิ่มขึ้นแปลว่าความสูงเพิ่มเมื่อ $x$ เดินไปทางขวา ซึ่งคือสิ่งที่ความชันเป็นบวกบอกพอดี · เครื่องหมายจึงต้องอยู่บน $f^{\prime}$ · ปลายช่วงใช้ $\gt$ เพราะที่ $x = -4$ และ $x = 4$ เส้นสัมผัสอยู่ในแนวราบ · ราบชั่วขณะไม่ใช่เพิ่มขึ้น · ข้อ (b) ให้ M1 กับการแก้ $f^{\prime}(x) \gt 0$ และ A1 กับเซตคำตอบ · การเลือกว่าจะใส่อสมการบนฟังก์ชันไหนคือความยากทั้งหมดและไม่มีคะแนน
A curve has equation $y = f(x)$, where $f(x) = x^3 - 48x - 1$. Find $f'(x)$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real coefficients. This is part (a).
Given $f'(x) = 3x^2 - 48$, solve $f'(x) = 0$ to find the critical values of $x$.
Answershow ▾
Factorise the quadratic (or use the formula). These are where the gradient is exactly zero — the boundaries of the increasing/decreasing regions, not the answer to part (b) itself.
$3x^2 - 48 \gt 0$ has boundaries $x = -4$ and $x = 4$. One of these two describes the solution and one describes its opposite. Pick, and name the single feature of the parabola that decides it.
(A) $-4 \lt x \lt 4$ (B) $x \lt -4$ or $x \gt 4$
$3x^2 - 48 \gt 0$ มีขอบเขตที่ $x = -4$ และ $x = 4$ · ข้อหนึ่งบรรยายคำตอบ อีกข้อบรรยายส่วนที่ตรงข้าม · จงเลือก และบอกลักษณะเดียวของพาราโบลาที่ตัดสินเรื่องนี้
(A) $-4 \lt x \lt 4$ (B) $x \lt -4$ หรือ $x \gt 4$
Answershow ▾
A quadratic inequality has two possible answers and the roots alone cannot tell you which: they mark the same two points either way. What decides is which way the parabola opens. Here the $x^2$ coefficient is $+3$, so the curve dips below the axis between the roots and is positive outside them — the exact opposite would hold for $-3x^2 + 48$. The one-second check is to test a value: $x = 0$ gives $-48$, which is not $\gt 0$, so the middle is out. Careless students write $x^2 \gt 16 \Rightarrow x \gt 4$ and lose the whole left-hand branch. Part (b) is M1 A1; the sketch that settles the direction is worth nothing and decides everything.อสมการกำลังสองมีคำตอบที่เป็นไปได้สองแบบ และรากอย่างเดียวบอกไม่ได้ว่าแบบไหน เพราะรากชี้จุดสองจุดเดิมทั้งสองแบบ · สิ่งที่ตัดสินคือพาราโบลาหงายหรือคว่ำ · ที่นี่สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ คือ $+3$ กราฟจึงจุ่มลงใต้แกนระหว่างรากและเป็นบวกนอกราก · ถ้าเป็น $-3x^2 + 48$ จะกลับกันทุกอย่าง · ตัวตรวจหนึ่งวินาทีคือลองแทนค่า: $x = 0$ ได้ $-48$ ซึ่งไม่ $\gt 0$ ตรงกลางจึงตกไป · คนที่รีบมักเขียน $x^2 \gt 16 \Rightarrow x \gt 4$ แล้วทำกิ่งซ้ายหายทั้งกิ่ง · ข้อ (b) ให้ M1 A1 · ภาพร่างที่ตัดสินทิศทางไม่มีคะแนนและตัดสินทุกอย่าง
$f'(x) = 3x^2 - 48$ has zeros at $x = -4$ and $x = 4$, and the coefficient of $x^2$ in $f'(x)$ is positive. Write down the set of values of $x$ for which $f$ is increasing.
Answershow ▾
Same move as question 2: a positive quadratic lies above the axis outside its two roots. This completes part (b).
A curve has equation $y = f(x)$, where $f(x) = x^3 - 48x - 1$. Find $f'(x)$, and hence find the set of values of $x$ for which $f$ is increasing.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained together: differentiate, find where the gradient is zero, then read off where it is positive. This is parts (a) and (b) in full.
Given $f'(x) = 3x^2 - 48$, find $f''(x)$, and hence find the value of $x$ at which the gradient of the curve is least.
Answershow ▾
$f'(x)$ is itself an upward parabola, so its own minimum is where ITS derivative, $f''(x)$, is zero — not the same calculation as finding a stationary point of $f$. This is part (c).
Part (c) asks for the $x$ where the gradient of the curve is least — not where the curve is least. Say which quantity is being minimised, which derivative you set to zero, and what you would have found if you had set the other one to zero instead.
ข้อ (c) ถามค่า $x$ ที่ ความชันของกราฟน้อยที่สุด ไม่ใช่ที่กราฟต่ำที่สุด · จงบอกว่ากำลังทำอะไรให้น้อยที่สุด ตั้งอนุพันธ์ตัวไหนเท่ากับศูนย์ และถ้าตั้งอีกตัวเท่ากับศูนย์แทนจะได้อะไร
Answershow ▾
Minimising always means the same move — differentiate the thing you are minimising and set that to zero — so everything turns on reading which thing it is. Here it is the gradient, so the thing to differentiate is $f^{\prime}$, and $f^{\prime\prime}(x) = 0$ is the equation. Setting $f^{\prime}(x) = 0$ minimises $f$ itself, which is a question this part did not ask; the giveaway is that it returns $\pm 4$, the answers already used in part (b). It helps to see $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 48$ as a parabola in its own right, whose lowest point is at its vertex, $x = 0$. Part (c) is M1 A1; noticing which curve you are standing on is not a mark.การหาค่าน้อยที่สุดใช้ท่าเดียวกันเสมอ คือหาอนุพันธ์ของสิ่งที่จะทำให้น้อยที่สุดแล้วตั้งเท่ากับศูนย์ · ทุกอย่างจึงขึ้นกับการอ่านว่า "สิ่งนั้น" คืออะไร · ที่นี่คือความชัน สิ่งที่ต้องหาอนุพันธ์จึงเป็น $f^{\prime}$ และสมการคือ $f^{\prime\prime}(x) = 0$ · การตั้ง $f^{\prime}(x) = 0$ คือการทำให้ $f$ เองน้อยที่สุด ซึ่งข้อนี้ไม่ได้ถาม · จุดสังเกตคือมันคืนค่า $\pm 4$ ซึ่งใช้ไปแล้วในข้อ (b) · ช่วยได้ถ้ามอง $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 48$ เป็นพาราโบลาของตัวเอง ที่จุดต่ำสุดอยู่ที่จุดยอด $x = 0$ · ข้อ (c) ให้ M1 A1 · การรู้ว่ากำลังยืนอยู่บนกราฟไหนไม่ใช่คะแนน
A curve has equation $y = f(x)$, where $f(x) = x^3 - 3x$.
(a) Find $f'(x)$.
(b) Find the set of values of $x$ for which $f$ is increasing.
(c) Find the value of $x$ for which the gradient of the curve is least.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
A curve has equation $y = f(x)$, where $f(x) = x^3 - 48x - 1$.
(a) Find $f'(x)$.
(b) Find the set of values of $x$ for which $f$ is increasing.
(c) Find the value of $x$ for which the gradient of the curve is least.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $f$ is increasing where $f'(x) \gt 0$: $3x^2 - 48 \gt 0$ A1 factorise: $3(x + 4)(x - 4) \gt 0 \Rightarrow$ critical values $x = -4$, $x = 4$ A1 the coefficient of $x^2$ in $f'(x)$ is positive, so $f'(x) \gt 0$ outside the roots: $x \lt -4$ or $x \gt 4$.
(c) M1 $f''(x) = 6x$, set $f''(x) = 0$ A1 $x = 0$.