Integration · practice ladders ชุดไต่ระดับ · ปริพันธ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Integration · the trapezium rule
A curve has equation $y = \sqrt{2x + 9}$.
(a) Copy and complete the table of values, giving each value of $y$ to 4 decimal places. Each pair below is $(x,\,y)$:
$(0,\,3.0000),\ (1,\,?),\ (2,\,?),$ $(3,\,?),\ (4,\,?),\ (5,\,4.3589)$
(b) Using the trapezium rule with 5 strips of width $h = 1$, estimate $\displaystyle\int_{0}^{5} y\,dx$, giving your answer to 3 decimal places.
(c) State, with a reason, whether your estimate in part (b) is an overestimate or an underestimate of the true value of $\displaystyle\int_{0}^{5} y\,dx$.
A table gives $y_0 = 4$, $y_1 = 5$, $y_2 = 5$ for a curve, using a strip width of $h = 2$. Use the trapezium rule with 2 strips to estimate $\int y\,dx$.
ตารางให้ $y_0 = 4$, $y_1 = 5$, $y_2 = 5$ สำหรับเส้นโค้งหนึ่ง โดยมี ความกว้างช่วง $h = 2$ จงใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูโดยแบ่ง 2 แถบ เพื่อประมาณค่า $\int y\,dx$
Answershow ▾
Add the two end ordinates, add twice every ordinate in between, then multiply by $\dfrac{h}{2}$ — the whole rule is just that one substitution.
A curve has equation $y = \sqrt{2x + 6}$. Find the value of $y$ when $x = 3$, giving your answer to 4 decimal places.
เส้นโค้ง $y = \sqrt{2x + 6}$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x = 3$ ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Substitute the $x$-value and evaluate the square root on a calculator; round only at the very end, to 4 decimal places.
A different curve is convex on an interval — it bends TOWARDS the chords joining consecutive points on it, so each chord lies ABOVE the curve. Does the trapezium rule give an overestimate or an underestimate of the area under this curve?
เส้นโค้งอีกเส้นหนึ่งเป็นแบบคอนเวกซ์บนช่วงหนึ่ง · มันโค้งเข้าหาคอร์ดที่ลากเชื่อมจุดที่อยู่ติดกัน ทำให้คอร์ดทุกเส้นอยู่เหนือเส้นโค้ง · กฎสี่เหลี่ยมคางหมูจะให้ค่าประมาณที่มากเกินไปหรือน้อยเกินไป
Answershow ▾
A chord above the curve means the trapezium is bigger than the true strip of area underneath it — sketch a small piece of a convex curve with a chord across it if unsure. This is the mirror image of what happens for a concave curve.
The question says 5 strips of width $h = 1$, from $x = 0$ to $x = 5$. Count how many $y$ values the table needs, say how many of them are doubled in the formula and how many are not, and name the two that are not.
โจทย์เขียนว่า 5 strips of width $h = 1$ จาก $x = 0$ ถึง $x = 5$ · จงนับว่าตารางต้องมีค่า $y$ กี่ค่า บอกว่ากี่ค่าถูกคูณสองในสูตรและกี่ค่าไม่ถูกคูณ และเรียกชื่อสองค่าที่ไม่ถูกคูณ
Answershow ▾
Strips are the gaps and ordinates are the posts between them, so there is always one more post than gap: a fence of 5 panels needs 6 posts. Working with 5 ordinates is the classic wreck — the last column of the table never gets filled, the sum is short by one term, and the estimate is wrong from that point on. The same count decides the shape of the bracket: the two outermost ordinates belong to one trapezium each and appear once, and everything strictly between belongs to two and appears twice. Part (a) is A1 for the table values; counting the ordinates is what makes the table the right length and is never itself a mark.แถบคือช่องว่าง และออร์ดิเนตคือเสาที่คั่นระหว่างช่อง จึงมีเสามากกว่าช่องหนึ่งเสมอ · รั้ว 5 แผงต้องใช้เสา 6 ต้น · การทำงานด้วยออร์ดิเนต 5 ค่าคือหายนะคลาสสิก · คอลัมน์สุดท้ายของตารางไม่ถูกเติม ผลรวมขาดไปหนึ่งพจน์ และค่าประมาณผิดตั้งแต่จุดนั้น · การนับเดียวกันตัดสินรูปของวงเล็บด้วย: ออร์ดิเนตนอกสุดสองตัวเป็นของสี่เหลี่ยมคางหมูอันละหนึ่งรูปและปรากฏครั้งเดียว ส่วนตัวที่อยู่ระหว่างกลางเป็นของสองรูปและปรากฏสองครั้ง · ข้อ (a) ให้ A1 กับค่าในตาราง · การนับออร์ดิเนตคือสิ่งที่ทำให้ตารางยาวถูกต้อง และตัวมันเองไม่เคยเป็นคะแนน
A curve has equation $y = \sqrt{2x + 9}$. Copy and complete the table of values, giving each value of $y$ to 4 decimal places. Each pair is $(x,\,y)$:
$(0,\,3.0000),\ (1,\,?),\ (2,\,?),$ $(3,\,?),\ (4,\,?),\ (5,\,4.3589)$
Answershow ▾
Same move as question 2, applied to every missing $x$-value in turn. This is part (a) of the exam question.
The table below gives values of $y = \sqrt{2x + 9}$ from $x = 0$ to $x = 5$ in steps of $h = 1$:
$(0,\,3.0000),\ (1,\,3.3166),\ (2,\,3.6056),$ $(3,\,3.8730),\ (4,\,4.1231),\ (5,\,4.3589)$
Use the trapezium rule with 5 strips to estimate $\displaystyle\int_{0}^{5} y\,dx$, giving your answer to 3 decimal places.
Answershow ▾
Add the two end ordinates, add twice every ordinate strictly in between, then multiply by $\dfrac{h}{2} = \dfrac{1}{2}$. This is part (b).
Which of these three is the trapezium rule for this question, and what has gone wrong in the other two?
(A) $\dfrac{h}{2}\big[y_0 + y_5 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4)\big]$ (B) $\dfrac{h}{2}\big[y_0 + y_5 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5)\big]$ (C) $h\big[y_0 + y_5 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4)\big]$
ข้อไหนคือกฎสี่เหลี่ยมคางหมูของโจทย์นี้ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $\dfrac{h}{2}\big[y_0 + y_5 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4)\big]$ (B) $\dfrac{h}{2}\big[y_0 + y_5 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5)\big]$ (C) $h\big[y_0 + y_5 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4)\big]$
Answershow ▾
(B) doubles $y_5$, which is an end — it belongs to one trapezium only, and counting it twice inflates the estimate by a whole $y_5$, here about $4.4$. (C) drops the halving: the area of one trapezium is $\tfrac{h}{2}(a + b)$, and forgetting the $2$ doubles the whole answer. A quick sanity check catches both: the region is roughly a $5$ by $3.7$ rectangle, so the answer should be near $18$, and $37$ or $20.8$ should look wrong before the marker sees them. Part (b) is M1 for the correct bracket and A1 for $18.598$; the M1 is lost outright by (B) or (C), not partially.(B) คูณสอง $y_5$ ซึ่งเป็นปลาย · มันเป็นของสี่เหลี่ยมคางหมูรูปเดียว การนับสองครั้งจึงทำให้ค่าประมาณพองขึ้นเต็ม ๆ หนึ่ง $y_5$ ซึ่งที่นี่ราว $4.4$ · (C) ทิ้งการหารสอง · พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหนึ่งรูปคือ $\tfrac{h}{2}(a + b)$ การลืม $2$ จึงทำให้คำตอบเป็นสองเท่า · การตรวจคร่าว ๆ จับได้ทั้งสองกรณี: บริเวณนี้ประมาณสี่เหลี่ยมผืนผ้า $5$ คูณ $3.7$ คำตอบจึงควรใกล้ $18$ และ $37$ หรือ $20.8$ ควรดูผิดตั้งแต่ก่อนผู้ตรวจเห็น · ข้อ (b) ให้ M1 กับวงเล็บที่ถูกและ A1 กับ $18.598$ · M1 หายทั้งก้อนถ้าเป็น (B) หรือ (C) ไม่ใช่หายบางส่วน
The curve $y = \sqrt{2x + 9}$ is concave between $x = 0$ and $x = 5$. State, with a reason, whether the trapezium rule gives an overestimate or an underestimate of the true area.
Answershow ▾
The curve $y = \sqrt{2x + 9}$ is concave — it bends away from the $x$-axis, becoming less steep as $x$ increases — so each chord joining consecutive points on the curve lies BELOW the curve. The trapezium rule uses the area under those chords, so it UNDERESTIMATES the true area. This is part (c).
Part (c) asks for over- or under-estimate with a reason. Decide which way the curve $y = \sqrt{2x + 9}$ bends, then say where each chord sits relative to the curve, and which of these two answers scores.
(A) underestimate (B) underestimate, because the curve is concave so each chord lies below it
ข้อ (c) ถามว่าประมาณเกินหรือขาด with a reason · จงตัดสินว่ากราฟ $y = \sqrt{2x + 9}$ โค้งไปทางไหน แล้วบอกว่าคอร์ดแต่ละเส้นอยู่ตรงไหนเทียบกับกราฟ และข้อไหนได้คะแนน
(A) ประมาณขาด (B) ประมาณขาด เพราะกราฟเว้าลง คอร์ดแต่ละเส้นจึงอยู่ใต้กราฟ
Answershow ▾
The word reason in the question is the whole instruction: the answer is one of two words and a marker cannot tell a decision from a guess, so the sentence is what is being paid for. (A) is the right word with nothing behind it and scores nothing. The reason has two links and both must be there — which way the curve bends, and where that puts the chords. A square-root curve rises but flattens as it goes, so it bends away from its chords and each chord passes underneath; the trapezia therefore leave out a thin sliver in every strip and the total comes out too small. Part (c) is B1, awarded for the direction and the reason together.คำว่า reason ในโจทย์คือคำสั่งทั้งหมด · คำตอบมีสองคำให้เลือก และผู้ตรวจแยกไม่ออกระหว่างการตัดสินใจกับการเดา ประโยคจึงคือสิ่งที่จ่ายคะแนนให้ · (A) เป็นคำที่ถูกโดยไม่มีอะไรรองรับ และไม่ได้คะแนน · เหตุผลมีสองข้อต่อและต้องมีครบทั้งคู่: กราฟโค้งไปทางไหน และนั่นทำให้คอร์ดอยู่ตรงไหน · กราฟรากที่สองไต่ขึ้นแต่แบนลงเรื่อย ๆ จึงโค้งหนีจากคอร์ดของมัน และคอร์ดทุกเส้นลอดอยู่ข้างใต้ · สี่เหลี่ยมคางหมูจึงเว้นเสี้ยวบาง ๆ ไว้ทุกแถบ และผลรวมออกมาน้อยเกินไป · ข้อ (c) คือ B1 ให้กับทิศทางและเหตุผลรวมกัน
A curve has equation $y = \sqrt{2x + 9}$. Copy and complete the table of values (4 d.p.), then use the trapezium rule with 5 strips to estimate $\displaystyle\int_{0}^{5} y\,dx$ (3 d.p.). Each pair is $(x,\,y)$:
$(0,\,3.0000),\ (1,\,?),\ (2,\,?),$ $(3,\,?),\ (4,\,?),\ (5,\,4.3589)$
Answershow ▾
Questions 4 and 5 back to back: complete the table first, then feed every value into the trapezium rule formula. This is parts (a) and (b) together.
The trapezium estimate found above is $\displaystyle\int_{0}^{5} y\,dx \approx 18.598$, where $y = \sqrt{2x + 9}$. State, with a reason, whether this is an overestimate or an underestimate, and hence state whether the true value of the integral is greater than or less than 18.598.
Answershow ▾
Question 6's reasoning, plus one extra step: an underestimate means the true value must be bigger than the number you calculated, not smaller.
A curve has equation $y = \sqrt{2x + 1}$.
(a) Copy and complete the table of values (4 d.p.):
$(0,\,1.0000),\ (1,\,?),\ (2,\,?),$ $(3,\,?),\ (4,\,3.0000)$
(b) Use the trapezium rule with 4 strips to estimate $\int_{0}^{4} y\,dx$ (3 d.p.).
(c) State, with a reason, whether this is an over- or under-estimate.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
A curve has equation $y = \sqrt{2x + 9}$.
(a) Copy and complete the table of values, giving each value of $y$ to 4 decimal places. Each pair below is $(x,\,y)$:
$(0,\,3.0000),\ (1,\,?),\ (2,\,?),$ $(3,\,?),\ (4,\,?),\ (5,\,4.3589)$
(b) Using the trapezium rule with 5 strips of width $h = 1$, estimate $\displaystyle\int_{0}^{5} y\,dx$, giving your answer to 3 decimal places.
(c) State, with a reason, whether your estimate in part (b) is an overestimate or an underestimate of the true value of $\displaystyle\int_{0}^{5} y\,dx$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Integration · the area between a curve and a line
A curve has equation $y = 2x^2 + 2x - 1$ and a line has equation $y = 6x - 1$.
(a) Find the coordinates of the two points where the curve and the line meet.
(b) Find the area of the region enclosed between the curve and the line.
A curve has equation $y = x^2$ and a line has equation $y = -x + 2$. Find the $x$-coordinates of the points where they meet.
เส้นโค้ง $y = x^2$ และเส้นตรง $y = -x + 2$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดที่ตัดกัน
Answershow ▾
Set the two expressions for $y$ equal to each other, rearrange to $= 0$, and solve the resulting quadratic — same idea as solving any quadratic equation.
A line has equation $y = x - 1$. A curve meets this line at the point where $x = -2$. Find the $y$-coordinate of this point.
เส้นตรง $y = x - 1$ ตัดกับเส้นโค้งหนึ่งที่ $x = -2$ จงหาพิกัด $y$
Answershow ▾
Substitute the $x$-value into either equation — at a point where curve and line meet, both give the same $y$-value, so the simpler one (the line) is the easier choice.
Find $\displaystyle\int_0^{3} \left(3x - x^2\right)dx$.
จงหา $\displaystyle\int_0^{3} \left(3x - x^2\right)dx$
Answershow ▾
Integrate term by term to get the antiderivative, then substitute the upper and lower limits and subtract — exactly the calculation used to find an area enclosed between two curves.
Between the two meeting points, one of $y = 6x - 1$ and $y = 2x^2 + 2x - 1$ is above the other. Find out which, using one value of $x$ strictly between them, then write the integrand in the right order.
ระหว่างจุดตัดทั้งสอง เส้น $y = 6x - 1$ กับกราฟ $y = 2x^2 + 2x - 1$ อันหนึ่งอยู่เหนืออีกอัน · จงหาว่าอันไหน โดยใช้ค่า $x$ หนึ่งค่าที่อยู่ระหว่างจุดตัดทั้งสองพอดี แล้วเขียนฟังก์ชันในเครื่องหมายอินทิกรัลตามลำดับที่ถูก
Answershow ▾
“Top minus bottom” is the rule, and the only work in it is finding out which is which — which cannot be read off the equations and does not need a sketch either. Pick any $x$ strictly between the two intersections, put it in both, and compare the two numbers; one test settles the whole integral. The order matters because reversing it changes the sign of everything that follows, and a negative area is the symptom, not the disease. Note also that a parabola opening upwards always sits below a line between two crossings, which is a useful thing to expect but not a substitute for the test. Part (b) is M1 for the difference in the right order.กฎคือ "บนลบล่าง" และงานทั้งหมดในนั้นคือหาว่าอันไหนเป็นอันไหน · ซึ่งอ่านจากสมการไม่ได้ และไม่จำเป็นต้องวาดกราฟด้วย · เลือกค่า $x$ ค่าใดก็ได้ที่อยู่ระหว่างจุดตัดสองจุดพอดี แทนลงทั้งสองสมการ แล้วเทียบตัวเลขสองตัว · การทดสอบครั้งเดียวปิดเรื่องอินทิกรัลทั้งก้อน · ลำดับสำคัญเพราะการสลับข้างเปลี่ยนเครื่องหมายของทุกอย่างที่ตามมา และพื้นที่ติดลบคืออาการ ไม่ใช่ตัวโรค · สังเกตด้วยว่าพาราโบลาหงายอยู่ใต้เส้นตรงเสมอในช่วงระหว่างจุดตัดสองจุด ซึ่งเป็นสิ่งที่ควรคาดไว้ แต่ใช้แทนการทดสอบไม่ได้ · ข้อ (b) ให้ M1 กับผลต่างที่เรียงลำดับถูก
A curve has equation $y = 2x^2 + 2x - 1$ and a line has equation $y = 6x - 1$. Find the $x$-coordinates of the points where they meet.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real equations: set them equal, rearrange, and solve the quadratic.
The curve $y = 2x^2 + 2x - 1$ and the line $y = 6x - 1$ meet where $x = 0$ and $x = 2$. Find the $y$-coordinate of each point.
Answershow ▾
Same move as question 2, applied at both $x$-values in turn.
The integral needs two limits, and part (a) has produced four numbers: $0$, $2$, $-1$ and $11$. Say which two are the limits, which two are not, and what the two that are not are for.
อินทิกรัลต้องการขอบเขตสองค่า และข้อ (a) ให้ตัวเลขมาสี่ตัวคือ $0$, $2$, $-1$, $11$ · จงบอกว่าสองตัวไหนคือขอบเขต สองตัวไหนไม่ใช่ และสองตัวที่ไม่ใช่มีไว้ทำอะไร
Answershow ▾
You are integrating with respect to $x$, so the limits must be values of $x$: the $dx$ at the end of the integral is the instruction telling you which coordinate to slice along. The $y$-coordinates were asked for by part (a) and have no further job; sliding $11$ into the top of the integral is a real and common slip, and it produces a number with no meaning. The other half of this decision is that part (a) is doing double duty — it looks like a separate question and is really the machinery that sets up part (b). Part (b) is M1 for the integration and A1 for $\tfrac{8}{3}$; the limits sit inside the M1.กำลังอินทิเกรตเทียบกับ $x$ ขอบเขตจึงต้องเป็นค่าของ $x$ · $dx$ ที่ท้ายอินทิกรัลคือคำสั่งที่บอกว่าให้หั่นตามพิกัดไหน · พิกัด $y$ ถูกถามในข้อ (a) และหมดหน้าที่แล้ว · การเลื่อน $11$ ขึ้นไปเป็นขอบบนของอินทิกรัลเป็นความผิดพลาดที่เกิดขึ้นจริงและบ่อย และมันให้ตัวเลขที่ไม่มีความหมาย · อีกครึ่งของการตัดสินใจนี้คือข้อ (a) ทำงานสองหน้าที่ · มันดูเหมือนคำถามแยก แต่จริง ๆ คือเครื่องมือที่ตั้งข้อ (b) ขึ้นมา · ข้อ (b) ให้ M1 กับการอินทิเกรตและ A1 กับ $\tfrac{8}{3}$ · ขอบเขตอยู่ใน M1
Find $\displaystyle\int_{0}^{2} \Big[(6x - 1) - (2x^2 + 2x - 1)\Big]dx$.
Answershow ▾
Same move as question 3: expand and simplify the bracket first, integrate term by term, then substitute the limits and subtract.
A curve has equation $y = 2x^2 + 2x - 1$ and a line has equation $y = 6x - 1$. Find the coordinates of the two points where the curve and the line meet.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 back to back: solve for the $x$-coordinates first, then substitute each one back in to get the $y$-coordinates. This is part (a) of the exam question.
Using the two points found above, find the area of the region enclosed between $y = 2x^2 + 2x - 1$ and $y = 6x - 1$.
Answershow ▾
The line lies above the curve between the two intersection points found in question 7, so the enclosed area is $\int_{0}^{2}\big[(\text{line}) - (\text{curve})\big]dx$ — question 6's calculation, with the limits now coming from question 7. This is part (b).
A classmate has set the integral up as curve minus line and reached $-\tfrac{8}{3}$. Say what that minus sign is telling them, decide whether writing $-\tfrac{8}{3}$ as the area would score, and state the one line they should write instead.
เพื่อนคนหนึ่งตั้งอินทิกรัลเป็นกราฟลบเส้นตรงและได้ $-\tfrac{8}{3}$ · จงบอกว่าเครื่องหมายลบนั้นกำลังบอกอะไร ตัดสินว่าการเขียน $-\tfrac{8}{3}$ เป็นพื้นที่จะได้คะแนนหรือไม่ และบอกบรรทัดเดียวที่เขาควรเขียนแทน
Answershow ▾
An area is a size and cannot be negative, so a minus sign in the final line is information, not a nuisance: it says the integrand was written bottom minus top. The size is already right, so nothing has to be integrated again — but the fix must appear on the page as a stated line, because an answer of $-\tfrac{8}{3}$ labelled “area” is a wrong answer, and quietly rubbing out the sign with no reason is how a correct method turns into a fudge. The safe habit is to decide top and bottom before integrating, so the sign never appears. The A1 is for $\tfrac{8}{3}$; the minus costs it and costs nothing else.พื้นที่คือขนาดและติดลบไม่ได้ เครื่องหมายลบในบรรทัดสุดท้ายจึงเป็นข้อมูล ไม่ใช่ความรำคาญ · มันบอกว่าเขียนฟังก์ชันในอินทิกรัลเป็นล่างลบบน · ขนาดถูกอยู่แล้ว จึงไม่ต้องอินทิเกรตใหม่ · แต่การแก้ต้องปรากฏบนกระดาษเป็นบรรทัดที่เขียนไว้ เพราะคำตอบ $-\tfrac{8}{3}$ ที่ติดป้ายว่า "พื้นที่" คือคำตอบที่ผิด และการลบเครื่องหมายทิ้งเงียบ ๆ โดยไม่มีเหตุผลคือวิธีที่ทำให้วิธีทำที่ถูกกลายเป็นการมั่ว · นิสัยที่ปลอดภัยคือตัดสินบนล่างก่อนอินทิเกรต เครื่องหมายลบจะได้ไม่โผล่มาเลย · A1 ให้กับ $\tfrac{8}{3}$ · เครื่องหมายลบทำให้เสียคะแนนนั้น และไม่ทำให้เสียอย่างอื่น
A curve has equation $y = x^2$ and a line has equation $y = 2x$.
(a) Find the coordinates of the two points where the curve and the line meet.
(b) Find the area of the region enclosed between the curve and the line.
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
A curve has equation $y = 2x^2 + 2x - 1$ and a line has equation $y = 6x - 1$.
(a) Find the coordinates of the two points where the curve and the line meet.
(b) Find the area of the region enclosed between the curve and the line.
Answershow ▾
8 marks. Questions 4 and 5 (chained in question 7) are part (a); question 6 (chained in question 8) is part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Area between a line and a curve พื้นที่ระหว่างเส้นตรงกับเส้นโค้ง
Figure 1 shows a sketch of the curve with equation
$y=2x^{2}+7\quad x\geqslant0$
The finite region $R$, shown shaded in Figure 1, is bounded by the curve, the $y$-axis and the line with equation $y=17$
Find the exact area of $R$.
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง (curve) ที่มีสมการ
$y=2x^{2}+7\quad x\geqslant0$
บริเวณจำกัด (finite region) $R$ ที่แรเงาในรูปที่ 1 ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $y$ และเส้นตรงที่มีสมการ $y=17$
จงหาพื้นที่ของ $R$ แบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม)
Find $\int (2x^{2}+7)\,dx$.
จงหา $\int (2x^{2}+7)\,dx$
Answershow ▾
Power up one, divide by the new power, for each term.เพิ่มกำลังหนึ่ง หารด้วยกำลังใหม่ ทีละพจน์
The curve $y=2x^{2}+7$ meets the line $y=17$. Solve $2x^{2}+7=17$ for $x\geqslant0$.
เส้นโค้ง $y=2x^{2}+7$ ตัดกับเส้นตรง $y=17$ จงแก้สมการ $2x^{2}+7=17$ เมื่อ $x\geqslant0$
Answershow ▾
Isolate $x^{2}$ first, then take the positive square root.จัด $x^{2}$ ให้อยู่ตัวเดียวก่อน แล้วถอดรากที่สอง เอาค่าบวก
Simplify $(\sqrt5)^{3}$.
จงลดรูป $(\sqrt5)^{3}$
Answershow ▾
$\sqrt5\times\sqrt5=5$, one factor of $\sqrt5$ is left over.$\sqrt5\times\sqrt5=5$ เหลือ $\sqrt5$ อีกตัวหนึ่ง
$R$ is bounded above by the line $y=17$ and below by the curve. Pick the integral that gives its area.
(A) $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt5}(2x^{2}+7)\,dx$
(B) $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt5}\big(17-(2x^{2}+7)\big)\,dx$
(C) $\displaystyle\int_{0}^{17}(2x^{2}+7)\,dx$
$R$ ถูกล้อมด้านบนด้วยเส้นตรง $y=17$ และด้านล่างด้วยเส้นโค้ง จงเลือกอินทิกรัลที่ให้พื้นที่ของ $R$
(A) $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt5}(2x^{2}+7)\,dx$
(B) $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt5}\big(17-(2x^{2}+7)\big)\,dx$
(C) $\displaystyle\int_{0}^{17}(2x^{2}+7)\,dx$
Answershow ▾
(A) is the area under the curve down to the $x$-axis, not down to the line. (C) uses $x$-limits that do not match the $y$-value $17$.(A) คือพื้นที่ใต้เส้นโค้งลงไปถึงแกน $x$ ไม่ใช่ลงไปถึงเส้นตรง · (C) ใช้ขอบเขตของ $x$ ที่ไม่ตรงกับค่า $y=17$
Simplify $17-(2x^{2}+7)$.
จงลดรูป $17-(2x^{2}+7)$
Answershow ▾
Remove the bracket, then collect the two numbers.กระจายวงเล็บ แล้วรวมตัวเลขสองจำนวน
Use question $4$ and question $2$ to write the area as a definite integral.
ใช้ข้อ $4$ และข้อ $2$ เขียนพื้นที่เป็นอินทิกรัลจำกัดเขต
Answershow ▾
The lower limit is the $y$-axis, the upper limit is where the curves meet.ขอบเขตล่างคือแกน $y$ ขอบเขตบนคือจุดที่เส้นทั้งสองตัดกัน
Integrate $\displaystyle\int (10-2x^{2})\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int (10-2x^{2})\,dx$
Answershow ▾
Same rule as question $1$: power up one, divide by the new power.กฎเดิมจากข้อ $1$: เพิ่มกำลังหนึ่ง หารด้วยกำลังใหม่
Substitute $x=\sqrt5$ into $10x-\dfrac{2}{3}x^{3}$. Use $(\sqrt5)^{3}=5\sqrt5$ from question $3$.
แทน $x=\sqrt5$ ใน $10x-\dfrac{2}{3}x^{3}$ โดยใช้ $(\sqrt5)^{3}=5\sqrt5$ จากข้อ $3$
Answershow ▾
The lower limit $x=0$ gives $0$, so only the top limit matters.ขอบเขตล่าง $x=0$ ให้ค่า $0$ จึงเหลือแค่ขอบเขตบน
Check question $7$ by writing $10\sqrt5$ as thirds: $\dfrac{30\sqrt5}{3}-\dfrac{10\sqrt5}{3}$.
ตรวจข้อ $7$ โดยเขียน $10\sqrt5$ ให้มีตัวส่วนเป็น $3$: $\dfrac{30\sqrt5}{3}-\dfrac{10\sqrt5}{3}$
Answershow ▾
Same surd on top, so the tops just subtract.กรณ์ด้านบนเหมือนกัน จึงลบตัวเศษกันได้ตรงๆ
A curve has equation $y=x^{2}+2$, $x\geqslant0$. The region enclosed by the curve, the $y$-axis and the line $y=11$ has area $A$. Find the exact value of $A$.
เส้นโค้งมีสมการ $y=x^{2}+2$ เมื่อ $x\geqslant0$ บริเวณที่ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $y$ และเส้นตรง $y=11$ มีพื้นที่ $A$ จงหาค่า $A$ แบบแม่นตรง
Answershow ▾
Same four moves: meet, simplify line minus curve, integrate, substitute.สี่ขั้นเดิม: หาจุดตัด ลดรูปเส้นตรงลบเส้นโค้ง อินทิเกรต แล้วแทนค่าขอบเขต
Figure 1 shows a sketch of the curve with equation
$y=2x^{2}+7\quad x\geqslant0$
The finite region $R$, shown shaded in Figure 1, is bounded by the curve, the $y$-axis and the line with equation $y=17$
Find the exact area of $R$.
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง (curve) ที่มีสมการ
$y=2x^{2}+7\quad x\geqslant0$
บริเวณจำกัด (finite region) $R$ ที่แรเงาในรูปที่ 1 ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $y$ และเส้นตรงที่มีสมการ $y=17$
จงหาพื้นที่ของ $R$ แบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม)
Answershow ▾
6 marks: integrate the curve, find $x=\sqrt5$ where it meets the line, then integrate the line minus the curve between $0$ and $\sqrt5$.6 คะแนน: อินทิเกรตเส้นโค้ง หาจุดตัด $x=\sqrt5$ แล้วอินทิเกรตเส้นตรงลบเส้นโค้งระหว่าง $0$ กับ $\sqrt5$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Trapezium rule, then reuse the answer กฎสี่เหลี่ยมคางหมู แล้วใช้คำตอบซ้ำ
Figure 1 shows a sketch of part of the curve with equation $y=f(x)$
The table below shows some corresponding values of $x$ and $y$ for this curve. The values of $y$ are given to 3 decimal places.
$x=-1,\ -0.5,\ 0,\ 0.5,\ 1$
$y=2.287,\ 4.470,\ 6.719,\ 7.291,\ 2.834$
(a) Using the trapezium rule with all the values of $y$ in the given table, obtain an estimate for $\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx$ giving your answer to 2 decimal places.
(b) Use your answer to part (a) to estimate
(i) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\big(f(x)-2\big)\,dx$
(ii) $\displaystyle\int_{1}^{3}f(x-2)\,dx$
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างบางส่วนของเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x)$
ตารางด้านล่างแสดงค่าของ $x$ และ $y$ ที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งนี้ โดยค่า $y$ ปัดเศษเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
$x=-1,\ -0.5,\ 0,\ 0.5,\ 1$
$y=2.287,\ 4.470,\ 6.719,\ 7.291,\ 2.834$
(ก) ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับค่า $y$ ทุกค่าในตาราง หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx$ โดยให้คำตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) ใช้คำตอบจากข้อ (a) หาค่าประมาณของ
(i) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\big(f(x)-2\big)\,dx$
(ii) $\displaystyle\int_{1}^{3}f(x-2)\,dx$
The table gives $x=-1,\,-0.5,\,0,\,0.5,\,1$. Find the strip width $h$.
ตารางให้ $x=-1,\,-0.5,\,0,\,0.5,\,1$ จงหาความกว้างของแถบ $h$
Answershow ▾
$h$ is the gap between consecutive $x$-values.$h$ คือระยะห่างระหว่างค่า $x$ ที่ติดกัน
A table has $5$ values of $y$. How many trapezium strips does this make?
ตารางมีค่า $y$ อยู่ $5$ ค่า จะได้สี่เหลี่ยมคางหมูกี่แถบ
Answershow ▾
$n+1$ values make $n$ strips.ค่า $n+1$ ค่า ทำให้ได้ $n$ แถบ
Round $10.52025$ to $2$ decimal places.
จงปัดเศษ $10.52025$ เป็นทศนิยม $2$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
The third decimal digit is $0$, so round down.ทศนิยมตำแหน่งที่สามคือ $0$ จึงปัดลง
Table: $x=-1,\,-0.5,\,0,\,0.5,\,1$, $y=y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$. Pick the correct trapezium rule.
(A) $\tfrac12 h\big(y_{0}+y_{4}+2(y_{1}+y_{2}+y_{3})\big)$
(B) $\tfrac12 h\big(y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}\big)$
(C) $h\big(y_{0}+y_{4}+2(y_{1}+y_{2}+y_{3})\big)$
ตาราง: $x=-1,\,-0.5,\,0,\,0.5,\,1$ $y=y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$ จงเลือกกฎสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกต้อง
(A) $\tfrac12 h\big(y_{0}+y_{4}+2(y_{1}+y_{2}+y_{3})\big)$
(B) $\tfrac12 h\big(y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}\big)$
(C) $h\big(y_{0}+y_{4}+2(y_{1}+y_{2}+y_{3})\big)$
Answershow ▾
(B) weights every ordinate equally, but each middle ordinate is shared by two trapezia, so it counts twice; only the two end ordinates count once. (C) drops the $\tfrac12$ from the trapezium area formula.(B) ให้ทุกค่า $y$ มีน้ำหนักเท่ากัน แต่ค่ากลางแต่ละค่าเป็นขอบร่วมของสี่เหลี่ยมคางหมูสองแถบ จึงต้องนับสองครั้ง มีแค่สองค่าที่ริมเท่านั้นที่นับครั้งเดียว · (C) ขาด $\tfrac12$ ไปจากสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู
$y_{1}=4.470,\ y_{2}=6.719,\ y_{3}=7.291$. Work out $2(y_{1}+y_{2}+y_{3})$.
$y_{1}=4.470,\ y_{2}=6.719,\ y_{3}=7.291$ จงหา $2(y_{1}+y_{2}+y_{3})$
Answershow ▾
Add the three middle values first, then double the sum.บวกค่ากลางสามค่าก่อน แล้วค่อยคูณสอง
$y_{0}=2.287,\ y_{4}=2.834$. Add these two end values to $36.96$.
$y_{0}=2.287,\ y_{4}=2.834$ จงนำค่าริมสองค่านี้ไปบวกกับ $36.96$
Answershow ▾
The end values count once each.ค่าริมแต่ละค่านับครั้งเดียว
Multiply $42.081$ by $\tfrac12 h = 0.25$, then round to $2$ decimal places.
จงคูณ $42.081$ ด้วย $\tfrac12 h = 0.25$ แล้วปัดเศษเป็นทศนิยม $2$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
This unrounded value is the part (a) estimate.ค่าที่ยังไม่ปัดเศษนี้คือค่าประมาณในข้อ (a)
Using the part (a) estimate $10.52$, estimate $\displaystyle\int_{-1}^{1}\big(f(x)-2\big)\,dx$.
ใช้ค่าประมาณจากข้อ (a) คือ $10.52$ จงประมาณ $\displaystyle\int_{-1}^{1}\big(f(x)-2\big)\,dx$
Answershow ▾
Subtracting a constant $k$ removes $k\times(\text{width})$ from the integral.การหักค่าคงที่ $k$ ออก จะทำให้ปริพันธ์ลดลง $k\times{}$ความกว้าง
Check by estimating $\displaystyle\int_{1}^{3}f(x-2)\,dx$ using the part (a) answer. Does shifting the curve $2$ units sideways change the area under it?
ตรวจคำตอบโดยประมาณ $\displaystyle\int_{1}^{3}f(x-2)\,dx$ จากคำตอบข้อ (a) การเลื่อนเส้นโค้งไปด้านข้าง $2$ หน่วย ทำให้พื้นที่เปลี่ยนไปหรือไม่
Answershow ▾
The curve and the interval both shift by the same $2$ units, so the width and heights are unchanged.เส้นโค้งและช่วงเลื่อนไปด้วยกันเท่ากัน $2$ หน่วย ความกว้างและความสูงจึงไม่เปลี่ยน
A table gives $x=0,\,1,\,2$ and $y=3,\,5,\,9$.
(a) Use the trapezium rule with $h=1$ to estimate $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx$.
(b) Use your answer to estimate (i) $\displaystyle\int_{0}^{2}\big(f(x)-1\big)\,dx$ (ii) $\displaystyle\int_{2}^{4}f(x-2)\,dx$
ตารางให้ $x=0,\,1,\,2$ และ $y=3,\,5,\,9$
(a) ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูโดยมี $h=1$ ประมาณ $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx$
(b) ใช้คำตอบของท่านประมาณ (i) $\displaystyle\int_{0}^{2}\big(f(x)-1\big)\,dx$ (ii) $\displaystyle\int_{2}^{4}f(x-2)\,dx$
Answershow ▾
Same three moves: trapezium estimate, subtract a constant times the width, then reuse for a shift.สามขั้นเดิม: ประมาณด้วยสี่เหลี่ยมคางหมู หักค่าคงที่คูณความกว้าง แล้วใช้ซ้ำกับการเลื่อน
Figure 1 shows a sketch of part of the curve with equation $y=f(x)$
The table below shows some corresponding values of $x$ and $y$ for this curve. The values of $y$ are given to 3 decimal places.
$x=-1,\ -0.5,\ 0,\ 0.5,\ 1$
$y=2.287,\ 4.470,\ 6.719,\ 7.291,\ 2.834$
(a) Using the trapezium rule with all the values of $y$ in the given table, obtain an estimate for $\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx$ giving your answer to 2 decimal places.
(b) Use your answer to part (a) to estimate
(i) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\big(f(x)-2\big)\,dx$
(ii) $\displaystyle\int_{1}^{3}f(x-2)\,dx$
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างบางส่วนของเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x)$
ตารางด้านล่างแสดงค่าของ $x$ และ $y$ ที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งนี้ โดยค่า $y$ ปัดเศษเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
$x=-1,\ -0.5,\ 0,\ 0.5,\ 1$
$y=2.287,\ 4.470,\ 6.719,\ 7.291,\ 2.834$
(ก) ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับค่า $y$ ทุกค่าในตาราง หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx$ โดยให้คำตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) ใช้คำตอบจากข้อ (a) หาค่าประมาณของ
(i) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\big(f(x)-2\big)\,dx$
(ii) $\displaystyle\int_{1}^{3}f(x-2)\,dx$
Answershow ▾
6 marks: strip width, the trapezium sum, then two uses of linearity -- subtract a constant, reuse under a shift.6 คะแนน: ความกว้างของแถบ ผลรวมสี่เหลี่ยมคางหมู แล้วใช้สมบัติเชิงเส้นสองครั้ง -- หักค่าคงที่ และใช้ซ้ำเมื่อมีการเลื่อน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Factor theorem meets a definite integral ทฤษฎีบทตัวประกอบ พบกับปริพันธ์จำกัดเขต
$f(x)=Ax^{3}+6x^{2}-4x+B$
where $A$ and $B$ are constants.
Given that
$\bullet$ $(x+2)$ is a factor of $f(x)$
$\bullet$ $\displaystyle\int_{3}^{5}f(x)\,dx=176$
find the value of $A$ and the value of $B$.
$f(x)=Ax^{3}+6x^{2}-4x+B$
เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า
$\bullet$ $(x+2)$ เป็นตัวประกอบ (factor) ของ $f(x)$
$\bullet$ $\displaystyle\int_{3}^{5}f(x)\,dx=176$
จงหาค่าของ $A$ และค่าของ $B$
Work out $6x^{2}-4x$ at $x=-2$.
จงหาค่า $6x^{2}-4x$ เมื่อ $x=-2$
Answershow ▾
This is the part of $f(-2)$ that does not involve $A$ or $B$.นี่คือส่วนของ $f(-2)$ ที่ไม่มี $A$ หรือ $B$
Find $\int(6x^{2}-4x)\,dx$, reversing the power rule.
จงหา $\int(6x^{2}-4x)\,dx$ โดยใช้กฎกำลังย้อนกลับ
Answershow ▾
Add one to each power, then divide by the new power.เพิ่มเลขชี้กำลังทีละหนึ่ง แล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
Work out $\big[2x^{3}-2x^{2}\big]_{3}^{5}$.
จงหาค่า $\big[2x^{3}-2x^{2}\big]_{3}^{5}$
Answershow ▾
Put in $x=5$, then $x=3$, and subtract.แทน $x=5$ แล้วแทน $x=3$ แล้วหักออก
$(x+2)$ is a factor of $f(x)$. Pick the first move.
(A) substitute $x=-2$ into $f(x)$, and set it equal to $0$
(B) substitute $x=2$ into $f(x)$, and set it equal to $0$
(C) substitute $x=-2$ into $f^{\prime}(x)$, and set it equal to $0$
$(x+2)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$ จงเลือกขั้นแรก
(A) แทน $x=-2$ ใน $f(x)$ แล้วให้เท่ากับ $0$
(B) แทน $x=2$ ใน $f(x)$ แล้วให้เท่ากับ $0$
(C) แทน $x=-2$ ใน $f^{\prime}(x)$ แล้วให้เท่ากับ $0$
Answershow ▾
(B) uses the wrong root -- $(x+2)=0$ gives $x=-2$, not $x=2$. (C) sets the gradient to $0$, which finds a stationary point, not where $f(x)$ itself is $0$.(B) ใช้รากผิด -- $(x+2)=0$ ให้ $x=-2$ ไม่ใช่ $x=2$ · (C) ให้ความชันเท่ากับ $0$ ซึ่งหาจุดคงที่ ไม่ใช่จุดที่ $f(x)$ เท่ากับ $0$
Substitute $x=-2$ into $f(x)=Ax^{3}+6x^{2}-4x+B$, and set the result equal to $0$. Simplify.
แทน $x=-2$ ใน $f(x)=Ax^{3}+6x^{2}-4x+B$ แล้วให้ผลลัพธ์เท่ากับ $0$ จงจัดรูป
Answershow ▾
$(-2)^{3}=-8$ and $-4(-2)=8$ -- two negatives give a positive.$(-2)^{3}=-8$ และ $-4(-2)=8$ -- ลบคูณลบได้บวก
Make $B$ the subject of $-8A+32+B=0$.
จงทำให้ $B$ เป็นตัวแปรหลักจาก $-8A+32+B=0$
Answershow ▾
Move the $-8A$ and the $32$ to the other side.ย้าย $-8A$ และ $32$ ไปอีกข้าง
The condition is $\displaystyle\int_{3}^{5}f(x)\,dx=176$. Pick the first move with $f(x)$.
(A) integrate $f(x)$ term by term
(B) differentiate $f(x)$ term by term
(C) substitute $x=5$ and $x=3$ into $f(x)$ directly, then subtract
เงื่อนไขคือ $\displaystyle\int_{3}^{5}f(x)\,dx=176$ จงเลือกขั้นแรกกับ $f(x)$
(A) หาปริพันธ์ของ $f(x)$ ทีละพจน์
(B) หาอนุพันธ์ของ $f(x)$ ทีละพจน์
(C) แทน $x=5$ และ $x=3$ ลงใน $f(x)$ โดยตรง แล้วหักออก
Answershow ▾
(B) differentiates $f(x)$, the opposite operation to the integral sign. (C) puts the limits into $f(x)$ itself, skipping the integration the $\int$ sign asks for.(B) หาอนุพันธ์ของ $f(x)$ ซึ่งเป็นการกระทำตรงข้ามกับเครื่องหมายปริพันธ์ · (C) แทนขอบเขตลงใน $f(x)$ โดยตรง โดยไม่หาปริพันธ์ตามที่เครื่องหมาย $\int$ ต้องการ
Integrate $f(x)=Ax^{3}+6x^{2}-4x+B$ term by term.
จงหาปริพันธ์ของ $f(x)=Ax^{3}+6x^{2}-4x+B$ ทีละพจน์
Answershow ▾
$A$ and $B$ carry through integration like any other number.$A$ และ $B$ ผ่านการหาปริพันธ์เหมือนจำนวนทั่วไป
Evaluate $\Big[\dfrac{A}{4}x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+Bx\Big]_{3}^{5}$, set it equal to $176$, and simplify to one equation in $A$ and $B$.
จงหาค่า $\Big[\dfrac{A}{4}x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+Bx\Big]_{3}^{5}$ ให้เท่ากับ $176$ แล้วจัดรูปเป็นสมการเดียวที่มี $A$ และ $B$
Answershow ▾
$\dfrac{A}{4}(5^{4}-3^{4})=136A$, and rung $3$ gives the part without $A$ or $B$.$\dfrac{A}{4}(5^{4}-3^{4})=136A$ และข้อ $3$ ให้ส่วนที่ไม่มี $A$ หรือ $B$
Solve $B=8A-32$ together with $68A+B=6$ to find $A$, then $B$.
จงแก้ $B=8A-32$ ร่วมกับ $68A+B=6$ เพื่อหา $A$ แล้วหา $B$
Answershow ▾
Substituting removes $B$, leaving one equation in $A$ only.การแทนค่าทำให้ $B$ หายไป เหลือสมการเดียวที่มี $A$
$g(x)=Ax^{3}+B$. Given that $(x-1)$ is a factor of $g(x)$ and $\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\,dx=8$, find $A$ and $B$.
$g(x)=Ax^{3}+B$ กำหนดว่า $(x-1)$ เป็นตัวประกอบของ $g(x)$ และ $\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\,dx=8$ จงหา $A$ และ $B$
Answershow ▾
Same two moves: the factor theorem gives one equation, the integral gives the other.สองขั้นเดิม: ทฤษฎีบทตัวประกอบให้สมการหนึ่ง ปริพันธ์ให้อีกสมการ
$f(x)=Ax^{3}+6x^{2}-4x+B$
where $A$ and $B$ are constants.
Given that
$\bullet$ $(x+2)$ is a factor of $f(x)$
$\bullet$ $\displaystyle\int_{3}^{5}f(x)\,dx=176$
find the value of $A$ and the value of $B$.
$f(x)=Ax^{3}+6x^{2}-4x+B$
เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า
$\bullet$ $(x+2)$ เป็นตัวประกอบ (factor) ของ $f(x)$
$\bullet$ $\displaystyle\int_{3}^{5}f(x)\,dx=176$
จงหาค่าของ $A$ และค่าของ $B$
Answershow ▾
7 marks: the factor theorem gives one equation, the integral between the limits gives the other, then solve together.7 คะแนน: ทฤษฎีบทตัวประกอบให้สมการหนึ่ง ปริพันธ์ระหว่างขอบเขตให้อีกสมการ แล้วแก้ไปด้วยกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Trapezium estimate, then a logo percentage ประมาณค่าด้วยสี่เหลี่ยมคางหมู แล้วหาร้อยละของโลโก้
The curve $C_{1}$ has equation $y=f(x)$.
A table of values of $x$ and $y$ for $y=f(x)$ is shown below, with the $y$ values rounded to 4 decimal places where appropriate.
$x=0,\ 0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2$
$y=3,\ 2.6833,\ 2.4,\ 2.1466,\ 1.92$
(a) Use the trapezium rule with all the values of $y$ in the table to find an approximation for $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx$
(b) The region $R$, shown shaded in Figure 1, is bounded by:
$\bullet$ the curve $C_{1}$
$\bullet$ the curve $C_{2}$ with equation $y=2-\dfrac14x^{2}$
$\bullet$ the line with equation $x=2$
$\bullet$ the $y$-axis
The region $R$ forms part of the design for a logo. The design consists of the shaded region $R$ inside a rectangle of width $2$ and height $3$.
Using calculus and the answer to part (a), calculate an estimate for the percentage of the logo which is shaded.
เส้นโค้ง $C_{1}$ มีสมการ $y=f(x)$
ตารางด้านล่างแสดงค่าของ $x$ และ $y$ สำหรับ $y=f(x)$ โดยค่า $y$ ปัดเศษเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่งตามความเหมาะสม
$x=0,\ 0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2$
$y=3,\ 2.6833,\ 2.4,\ 2.1466,\ 1.92$
(ก) ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับค่า $y$ ทุกค่าในตาราง หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx$
(ข) บริเวณ $R$ ที่แรเงาในรูปที่ 1 ถูกล้อมด้วย
$\bullet$ เส้นโค้ง $C_{1}$
$\bullet$ เส้นโค้ง $C_{2}$ ที่มีสมการ $y=2-\dfrac14x^{2}$
$\bullet$ เส้นตรงที่มีสมการ $x=2$
$\bullet$ แกน $y$
บริเวณ $R$ เป็นส่วนหนึ่งของโลโก้ที่ออกแบบไว้ โดยโลโก้ประกอบด้วยบริเวณ $R$ ที่แรเงาอยู่ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง $2$ สูง $3$
ใช้แคลคูลัสและคำตอบจากข้อ (a) คำนวณค่าประมาณของร้อยละของโลโก้ที่ถูกแรเงา
The table has values at $x=0,\,0.5,\,1,\,1.5,\,2$. Work out the strip width $h$.
ตารางมีค่าที่ $x=0,\,0.5,\,1,\,1.5,\,2$ จงหาความกว้างของแถบ $h$
Answershow ▾
Four strips span the interval from $0$ to $2$.สี่แถบครอบคลุมช่วงจาก $0$ ถึง $2$
Add the first and last $y$-values in the table: $3$ and $1.92$.
จงบวกค่า $y$ ตัวแรกและตัวสุดท้ายในตาราง: $3$ กับ $1.92$
Answershow ▾
The trapezium rule adds the two end ordinates once.กฎสี่เหลี่ยมคางหมูบวกค่า $y$ ที่ปลายทั้งสองครั้งเดียว
Add the three middle $y$-values ($2.6833$, $2.4$, $2.1466$), then double the total.
จงบวกค่า $y$ สามค่าตรงกลาง ($2.6833$, $2.4$, $2.1466$) แล้วเพิ่มเป็นสองเท่า
Answershow ▾
The middle ordinates are each doubled in the trapezium rule.ค่า $y$ ตรงกลางแต่ละตัวถูกเพิ่มเป็นสองเท่าในกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
$R$ sits between $C_{1}$ (on top) and $C_{2}$ (below), from $x=0$ to $x=2$. Pick the calculation for the area of $R$.
(A) area under $C_{2}$ minus area under $C_{1}$
(B) area under $C_{1}$ minus area under $C_{2}$
(C) area under $C_{1}$ plus area under $C_{2}$
$R$ อยู่ระหว่าง $C_{1}$ (ด้านบน) กับ $C_{2}$ (ด้านล่าง) จาก $x=0$ ถึง $x=2$ จงเลือกวิธีคำนวณพื้นที่ $R$
(A) พื้นที่ใต้ $C_{2}$ ลบพื้นที่ใต้ $C_{1}$
(B) พื้นที่ใต้ $C_{1}$ ลบพื้นที่ใต้ $C_{2}$
(C) พื้นที่ใต้ $C_{1}$ บวกพื้นที่ใต้ $C_{2}$
Answershow ▾
(A) reverses which curve is on top, so it gives a negative number. (C) adds the two pieces instead of taking the gap between them.(A) สลับว่าเส้นโค้งใดอยู่บน จึงได้ค่าติดลบ · (C) บวกสองพื้นที่เข้าด้วยกัน แทนที่จะหาช่องว่างระหว่างเส้นโค้งทั้งสอง
Write the trapezium rule for $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx$, using $h=0.5$ and all five $y$-values.
จงเขียนกฎสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับ $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx$ โดยใช้ $h=0.5$ และค่า $y$ ทั้งห้าค่า
Answershow ▾
$\dfrac{h}{2}$ times the end-sum plus the doubled middle-sum.$\dfrac{h}{2}$ คูณด้วยผลบวกปลายทั้งสอง รวมกับผลบวกตรงกลางที่เพิ่มเป็นสองเท่า
Evaluate $\dfrac12(0.5)\big(3+1.92$ $+\,2(2.6833+2.4+2.1466)\big)$.
จงคำนวณ $\dfrac12(0.5)\big(3+1.92$ $+\,2(2.6833+2.4+2.1466)\big)$
Answershow ▾
This is the answer to part (a): the trapezium estimate for $\int_{0}^{2}f(x)\,dx$.นี่คือคำตอบของข้อ (a): ค่าประมาณจากกฎสี่เหลี่ยมคางหมูของ $\int_{0}^{2}f(x)\,dx$
Integrate $\displaystyle\int_{0}^{2}\Big(2-\dfrac14x^{2}\Big)dx$ term by term. Do not substitute the limits yet.
จงอินทิเกรต $\displaystyle\int_{0}^{2}\Big(2-\dfrac14x^{2}\Big)dx$ ทีละพจน์ ยังไม่ต้องแทนขอบเขต
Answershow ▾
$2$ integrates to $2x$; $\dfrac14x^{2}$ integrates to $\dfrac{1}{12}x^{3}$.$2$ อินทิเกรตได้ $2x$ ส่วน $\dfrac14x^{2}$ อินทิเกรตได้ $\dfrac{1}{12}x^{3}$
Substitute $x=2$ and $x=0$ into $2x-\dfrac{1}{12}x^{3}$, upper minus lower.
แทน $x=2$ และ $x=0$ ใน $2x-\dfrac{1}{12}x^{3}$ แล้วลบ บนลบล่าง
Answershow ▾
$\dfrac{10}{3}$ is the exact area under $C_{2}$ - no rounding needed here.$\dfrac{10}{3}$ คือพื้นที่แบบแม่นตรง ใต้ $C_{2}$ ไม่ต้องปัดเศษ
The logo is the rectangle, width $2$ and height $3$, area $6$. Pick the calculation for the percentage shaded.
(A) $\dfrac{\text{Area }R}{4.845}\times100$
(B) $\dfrac{\text{Area }R}{6}\times100$
(C) $\dfrac{4.845}{\text{Area }R}\times100$
โลโก้คือสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง $2$ สูง $3$ พื้นที่ $6$ จงเลือกวิธีคำนวณร้อยละที่แรเงา
(A) $\dfrac{\text{Area }R}{4.845}\times100$
(B) $\dfrac{\text{Area }R}{6}\times100$
(C) $\dfrac{4.845}{\text{Area }R}\times100$
Answershow ▾
(A) divides by the area under $C_{1}$ alone, not the whole logo. (C) swaps the numerator and the denominator.(A) หารด้วยพื้นที่ใต้ $C_{1}$ เพียงอย่างเดียว ไม่ใช่โลโก้ทั้งหมด · (C) สลับตัวเศษกับตัวส่วน
Work out $\text{Area }R=4.845-\dfrac{10}{3}$, then the percentage $\dfrac{\text{Area }R}{6}\times100$.
จงหา $\text{Area }R=4.845-\dfrac{10}{3}$ แล้วหาร้อยละ $\dfrac{\text{Area }R}{6}\times100$
Answershow ▾
Two steps joined: the subtraction from parts (a) and (b), then the percentage.สองขั้นรวมกัน: การลบจากข้อ (a) และ (b) แล้วตามด้วยร้อยละ
A curve $C_{1}$ passes through $(0,4)$, $(1,3)$, $(2,2)$. A curve $C_{2}$ has equation $y=3-\dfrac12x^{2}$. The region between $C_{1}$ and $C_{2}$, from $x=0$ to $x=2$, is part of a logo inside a rectangle of width $2$ and height $4$. Using the trapezium rule for $C_{1}$ and calculus for $C_{2}$, find the percentage of the logo that is shaded.
เส้นโค้ง $C_{1}$ ผ่านจุด $(0,4)$, $(1,3)$, $(2,2)$ เส้นโค้ง $C_{2}$ มีสมการ $y=3-\dfrac12x^{2}$ บริเวณระหว่าง $C_{1}$ กับ $C_{2}$ จาก $x=0$ ถึง $x=2$ เป็นส่วนหนึ่งของโลโก้ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง $2$ สูง $4$ จงใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูหา $C_{1}$ และแคลคูลัสหา $C_{2}$ แล้วหาร้อยละของโลโก้ที่ถูกแรเงา
Answershow ▾
Same four moves: trapezium estimate, exact integral, subtract, then percentage of the rectangle.สี่ขั้นเดิม: ค่าประมาณจากสี่เหลี่ยมคางหมู ปริพันธ์แบบแม่นตรง ลบ แล้วหาร้อยละของสี่เหลี่ยม
The curve $C_{1}$ has equation $y=f(x)$.
A table of values of $x$ and $y$ for $y=f(x)$ is shown below, with the $y$ values rounded to 4 decimal places where appropriate.
$x=0,\ 0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2$
$y=3,\ 2.6833,\ 2.4,\ 2.1466,\ 1.92$
(a) Use the trapezium rule with all the values of $y$ in the table to find an approximation for $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx$
(b) The region $R$, shown shaded in Figure 1, is bounded by:
$\bullet$ the curve $C_{1}$
$\bullet$ the curve $C_{2}$ with equation $y=2-\dfrac14x^{2}$
$\bullet$ the line with equation $x=2$
$\bullet$ the $y$-axis
The region $R$ forms part of the design for a logo. The design consists of the shaded region $R$ inside a rectangle of width $2$ and height $3$.
Using calculus and the answer to part (a), calculate an estimate for the percentage of the logo which is shaded.
เส้นโค้ง $C_{1}$ มีสมการ $y=f(x)$
ตารางด้านล่างแสดงค่าของ $x$ และ $y$ สำหรับ $y=f(x)$ โดยค่า $y$ ปัดเศษเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่งตามความเหมาะสม
$x=0,\ 0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2$
$y=3,\ 2.6833,\ 2.4,\ 2.1466,\ 1.92$
(ก) ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับค่า $y$ ทุกค่าในตาราง หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx$
(ข) บริเวณ $R$ ที่แรเงาในรูปที่ 1 ถูกล้อมด้วย
$\bullet$ เส้นโค้ง $C_{1}$
$\bullet$ เส้นโค้ง $C_{2}$ ที่มีสมการ $y=2-\dfrac14x^{2}$
$\bullet$ เส้นตรงที่มีสมการ $x=2$
$\bullet$ แกน $y$
บริเวณ $R$ เป็นส่วนหนึ่งของโลโก้ที่ออกแบบไว้ โดยโลโก้ประกอบด้วยบริเวณ $R$ ที่แรเงาอยู่ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง $2$ สูง $3$
ใช้แคลคูลัสและคำตอบจากข้อ (a) คำนวณค่าประมาณของร้อยละของโลโก้ที่ถูกแรเงา
Answershow ▾
7 marks: B1 for $h$, M1A1 for the trapezium estimate, M1A1 for the exact integral of $C_{2}$, then dM1A1 for the percentage.7 คะแนน: B1 สำหรับ $h$ · M1A1 สำหรับค่าประมาณจากสี่เหลี่ยมคางหมู · M1A1 สำหรับปริพันธ์แบบแม่นตรง ของ $C_{2}$ · แล้วตามด้วย dM1A1 สำหรับร้อยละ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Trapezium rule, then a shortcut กฎสี่เหลี่ยมคางหมู แล้วใช้ทางลัด
The table below shows corresponding values of $x$ and $y$ for
$y=1-\log_{10}(\sin x)\qquad 0\lt x\lt\pi$
where $x$ is in radians. The values of $y$ are given to 3 decimal places as appropriate.
$x=0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$
$y=1.319,\ \ldots,\ 1.001,\ \ldots,\ 1.223,\ 1.850$
(a) Complete the table above, giving the values of $y$ to 3 decimal places.
(b) Use the trapezium rule with all the $y$ values in the completed table to find, to 2 decimal places, an estimate for $\displaystyle\int_{0.5}^{3}\big(1-\log_{10}(\sin x)\big)\,dx$
(c) Use your answer to part (b) to find an estimate for $\displaystyle\int_{0.5}^{3}\big(3+\log_{10}(\sin x)\big)\,dx$
ตารางด้านล่างแสดงค่าของ $x$ และ $y$ สำหรับ
$y=1-\log_{10}(\sin x)\qquad 0\lt x\lt\pi$
เมื่อ $x$ มีหน่วยเป็นเรเดียน โดยค่า $y$ ปัดเศษเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่งตามความเหมาะสม
$x=0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$
$y=1.319,\ \ldots,\ 1.001,\ \ldots,\ 1.223,\ 1.850$
(ก) เติมค่าในตารางข้างต้น โดยให้ค่า $y$ เป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ข) ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับค่า $y$ ทุกค่าในตารางที่เติมสมบูรณ์แล้ว หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{0.5}^{3}\big(1-\log_{10}(\sin x)\big)\,dx$ เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ค) ใช้คำตอบจากข้อ (b) หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{0.5}^{3}\big(3+\log_{10}(\sin x)\big)\,dx$
For $y=1-\log_{10}(\sin x)$, with $x$ in radians, evaluate $y$ at $x=2.5$, to 3 decimal places.
สำหรับ $y=1-\log_{10}(\sin x)$ โดย $x$ มีหน่วยเป็นเรเดียน จงหาค่า $y$ ที่ $x=2.5$ เป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Find $\sin x$ in radians first, then take $\log_{10}$, then subtract from $1$.หา $\sin x$ ในหน่วยเรเดียนก่อน แล้วหา $\log_{10}$ จากนั้นลบออกจาก $1$
The table runs from $x=0.5$ to $x=3$ in $5$ equal strips. Find the strip width $h$.
ตารางมีช่วงจาก $x=0.5$ ถึง $x=3$ แบ่งเป็น $5$ แถบเท่ากัน จงหาความกว้างแถบ $h$
Answershow ▾
Divide the total interval width by the number of strips.หารความกว้างทั้งหมดของช่วงด้วยจำนวนแถบ
$(5-g(x))+g(x)=5$ for every $x$. Given $\displaystyle\int_{1}^{4}g(x)\,dx=6$, find $\displaystyle\int_{1}^{4}(5-g(x))\,dx$.
$(5-g(x))+g(x)=5$ สำหรับทุกค่า $x$ กำหนด $\displaystyle\int_{1}^{4}g(x)\,dx=6$ จงหา $\displaystyle\int_{1}^{4}(5-g(x))\,dx$
Answershow ▾
The two integrands add to a constant, so one integral is that constant times the width, minus the other.ตัวถูกอินทิเกรตทั้งสองบวกกันได้ค่าคงที่ ปริพันธ์หนึ่งจึงเท่ากับค่าคงที่นั้นคูณความกว้าง ลบด้วยอีกปริพันธ์หนึ่ง
$x$ in the table is in radians. To find $\sin(1)$ and $\sin(2)$ correctly, pick the first move.
(A) set the calculator to degree mode, then compute $\sin(1)$, $\sin(2)$
(B) set the calculator to radian mode, then compute $\sin(1)$, $\sin(2)$
(C) set the calculator to degree mode, after multiplying each $x$ by $\dfrac{\pi}{180}$
ค่า $x$ ในตารางมีหน่วยเป็นเรเดียน เพื่อหา $\sin(1)$ และ $\sin(2)$ ให้ถูกต้อง จงเลือกขั้นแรก
(A) ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นโหมดองศา แล้วคำนวณ $\sin(1)$, $\sin(2)$
(B) ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นโหมดเรเดียน แล้วคำนวณ $\sin(1)$, $\sin(2)$
(C) ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นโหมดองศา หลังคูณ $x$ แต่ละค่าด้วย $\dfrac{\pi}{180}$
Answershow ▾
(A) reads $1$ and $2$ as degrees, a tiny angle far from $1$ and $2$ radians. (C) multiplies by the conversion factor the wrong way round ($\pi/180$ instead of $180/\pi$), making the angle smaller still.(A) อ่าน $1$ และ $2$ เป็นองศา ซึ่งเป็นมุมเล็กมาก ต่างจาก $1$ และ $2$ เรเดียนมาก · (C) คูณด้วยตัวแปลงหน่วยผิดด้าน ($\pi/180$ แทน $180/\pi$) ทำให้มุมเล็กลงไปอีก
Evaluate $y=1-\log_{10}(\sin x)$ at $x=1$ (radians), to 3 decimal places.
จงหาค่า $y=1-\log_{10}(\sin x)$ ที่ $x=1$ (เรเดียน) เป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Find $\sin(1)$ in radians, take $\log_{10}$ of it, then subtract from $1$.หา $\sin(1)$ ในหน่วยเรเดียน หา $\log_{10}$ ของมัน แล้วลบออกจาก $1$
Evaluate $y=1-\log_{10}(\sin x)$ at $x=2$ (radians), to 3 decimal places.
จงหาค่า $y=1-\log_{10}(\sin x)$ ที่ $x=2$ (เรเดียน) เป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same method, at $x=2$.วิธีเดิม ที่ $x=2$
Use the trapezium rule with $h=0.5$ and all six $y$-values ($1.319,\,1.075,\,1.001,\,1.041,\,1.223,\,1.850$) to estimate $\displaystyle\int_{0.5}^{3}y\,dx$, to 2 decimal places.
ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับ $h=0.5$ และค่า $y$ ทั้งหก ($1.319,\,1.075,\,1.001,\,1.041,\,1.223,\,1.850$) หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{0.5}^{3}y\,dx$ เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Half the strip width, times the two ends plus twice everything in between.ครึ่งหนึ่งของความกว้างแถบ คูณด้วย (ค่าปลายทั้งสอง บวกสองเท่าของค่าที่เหลือ)
$(3+\log_{10}(\sin x))+(1-\log_{10}(\sin x))=4$ for every $x$ in $[0.5,3]$. Using your answer to part (b), $2.96$, find $\displaystyle\int_{0.5}^{3}(3+\log_{10}(\sin x))\,dx$.
$(3+\log_{10}(\sin x))+(1-\log_{10}(\sin x))=4$ สำหรับทุกค่า $x$ ใน $[0.5,3]$ จงใช้คำตอบจากข้อ (b) คือ $2.96$ หา $\displaystyle\int_{0.5}^{3}(3+\log_{10}(\sin x))\,dx$
Answershow ▾
The two integrands add to the constant $4$, so this integral is $4$ times the width minus the part (b) estimate.ตัวถูกอินทิเกรตทั้งสองบวกกันได้ค่าคงที่ $4$ ปริพันธ์นี้จึงเท่ากับ $4$ คูณความกว้าง ลบด้วยค่าประมาณจากข้อ (b)
Check: does $4\times2.5$ equal the part (b) estimate plus the part (c) estimate, $2.96+7.04$?
ตรวจคำตอบ: $4\times2.5$ เท่ากับค่าประมาณจากข้อ (b) บวกข้อ (c) คือ $2.96+7.04$ หรือไม่
Answershow ▾
Both estimates come from splitting the same constant integral, so they must add back up to it.ค่าประมาณทั้งสองมาจากการแยกปริพันธ์ค่าคงที่ตัวเดียวกัน จึงต้องบวกกันกลับเป็นค่านั้น
A table gives $x$ and $y$ for $y=10-x^{2}$, $x=0,1,2,3,4$, with $y(1)$ and $y(3)$ missing. (a) Find $y(1)$ and $y(3)$. (b) Use the trapezium rule with $h=1$ and $y(0)=10,\,y(2)=6,\,y(4)=-6$ to estimate $\displaystyle\int_{0}^{4}(10-x^{2})\,dx$. (c) Using $(10-y)=x^{2}$ and your answer to (b), estimate $\displaystyle\int_{0}^{4}x^{2}\,dx$.
ตารางแสดงค่า $x$ และ $y$ สำหรับ $y=10-x^{2}$, $x=0,1,2,3,4$ โดย $y(1)$ และ $y(3)$ หายไป (a) จงหา $y(1)$ และ $y(3)$ (b) ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับ $h=1$ และ $y(0)=10,\,y(2)=6,\,y(4)=-6$ หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{0}^{4}(10-x^{2})\,dx$ (c) ใช้ $(10-y)=x^{2}$ และคำตอบจากข้อ (b) หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{0}^{4}x^{2}\,dx$
Answershow ▾
Same three moves: fill the table, the trapezium rule, then the constant-sum shortcut.สามขั้นเดิม: เติมตาราง ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู แล้วใช้ทางลัดผลรวมคงที่
The table below shows corresponding values of $x$ and $y$ for
$y=1-\log_{10}(\sin x)\qquad 0\lt x\lt\pi$
where $x$ is in radians. The values of $y$ are given to 3 decimal places as appropriate.
$x=0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$
$y=1.319,\ \ldots,\ 1.001,\ \ldots,\ 1.223,\ 1.850$
(a) Complete the table above, giving the values of $y$ to 3 decimal places.
(b) Use the trapezium rule with all the $y$ values in the completed table to find, to 2 decimal places, an estimate for $\displaystyle\int_{0.5}^{3}\big(1-\log_{10}(\sin x)\big)\,dx$
(c) Use your answer to part (b) to find an estimate for $\displaystyle\int_{0.5}^{3}\big(3+\log_{10}(\sin x)\big)\,dx$
ตารางด้านล่างแสดงค่าของ $x$ และ $y$ สำหรับ
$y=1-\log_{10}(\sin x)\qquad 0\lt x\lt\pi$
เมื่อ $x$ มีหน่วยเป็นเรเดียน โดยค่า $y$ ปัดเศษเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่งตามความเหมาะสม
$x=0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$
$y=1.319,\ \ldots,\ 1.001,\ \ldots,\ 1.223,\ 1.850$
(ก) เติมค่าในตารางข้างต้น โดยให้ค่า $y$ เป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ข) ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับค่า $y$ ทุกค่าในตารางที่เติมสมบูรณ์แล้ว หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{0.5}^{3}\big(1-\log_{10}(\sin x)\big)\,dx$ เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ค) ใช้คำตอบจากข้อ (b) หาค่าประมาณของ $\displaystyle\int_{0.5}^{3}\big(3+\log_{10}(\sin x)\big)\,dx$
Answershow ▾
8 marks: 2 for the missing values, 3 for the trapezium estimate, 3 for the constant-sum shortcut - part (c) needs no second trapezium rule.8 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับค่าที่หายไป 3 คะแนนสำหรับค่าประมาณจากกฎสี่เหลี่ยมคางหมู 3 คะแนนสำหรับทางลัดผลรวมคงที่ - ข้อ (c) ไม่ต้องใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูซ้ำ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Area above and below the axis พื้นที่เหนือและใต้แกน x
Figure 1 is a sketch of the curve $C$ with equation
$y=2x^{\frac32}(4-x)\qquad x\geqslant0$
The point $P$ is the stationary point of $C$.
(a) Find, using calculus, the $x$ coordinate of $P$.
(b) The region $R_{1}$, shown shaded in Figure 1, is bounded by $C$ and the $x$-axis.
The region $R_{2}$, also shown shaded in Figure 1, is bounded by $C$, the $x$-axis and the line with equation $x=k$, where $k$ is a constant.
Given that the area of $R_{1}$ is equal to the area of $R_{2}$, find, using calculus, the exact value of $k$.
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการ
$y=2x^{\frac32}(4-x)\qquad x\geqslant0$
จุด $P$ คือจุดคงตัว (stationary point) ของ $C$
(ก) จงหา ด้วยแคลคูลัส พิกัด $x$ ของ $P$
(ข) บริเวณ $R_{1}$ ที่แรเงาในรูปที่ 1 ถูกล้อมด้วย $C$ กับแกน $x$
บริเวณ $R_{2}$ ที่แรเงาในรูปที่ 1 เช่นกัน ถูกล้อมด้วย $C$ แกน $x$ และเส้นตรงที่มีสมการ $x=k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่าพื้นที่ของ $R_{1}$ เท่ากับพื้นที่ของ $R_{2}$ จงหา ด้วยแคลคูลัส ค่า exact ของ $k$
Expand $2x^{3/2}(4-x)$.
จงกระจาย $2x^{3/2}(4-x)$
Answershow ▾
Multiply $2x^{3/2}$ by each term in the bracket.คูณ $2x^{3/2}$ เข้ากับแต่ละพจน์ในวงเล็บ
Differentiate $8x^{3/2}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $8x^{3/2}$
Answershow ▾
Multiply by the power, then subtract $1$ from the power.คูณด้วยเลขชี้กำลัง แล้วลดเลขชี้กำลังลง $1$
Factorise $12x^{1/2}-5x^{3/2}$, taking out $x^{1/2}$.
จงแยกตัวประกอบ $12x^{1/2}-5x^{3/2}$ โดยดึง $x^{1/2}$ ออก
Answershow ▾
Both terms have $x^{1/2}$; the second term leaves $x$ once it is divided out.ทั้งสองพจน์มี $x^{1/2}$ หารพจน์ที่สองด้วย $x^{1/2}$ จะเหลือ $x$
$x^{1/2}(12-5x)=0$ for $x\geqslant0$. $P$ is the stationary point of $C$ away from where the curve starts. Pick the $x$ coordinate of $P$.
(A) $x=0$
(B) $x=\dfrac{12}{5}$
(C) both values are the $x$ coordinate of $P$
$x^{1/2}(12-5x)=0$ เมื่อ $x\geqslant0$ จุด $P$ คือจุดคงตัวของ $C$ ที่ไม่ใช่จุดเริ่มต้นของเส้นโค้ง จงเลือกพิกัด $x$ ของ $P$
(A) $x=0$
(B) $x=\dfrac{12}{5}$
(C) ทั้งสองค่าเป็นพิกัด $x$ ของ $P$
Answershow ▾
(A) $x=0$ is where the curve leaves the origin, not a turning point inside the curve. (C) names both roots of the factorised equation, but the question asks for one coordinate - the actual turn.(A) $x=0$ คือจุดที่เส้นโค้งเริ่มจากจุดกำเนิด ไม่ใช่จุดเลี้ยวภายในเส้นโค้ง · (C) ระบุรากทั้งสองค่าของสมการที่แยกตัวประกอบแล้ว แต่คำถามต้องการพิกัดเดียวซึ่งคือจุดเลี้ยวจริง
The curve is $y=2x^{3/2}(4-x)$. Expand it, then differentiate to find $\dfrac{dy}{dx}$.
เส้นโค้งคือ $y=2x^{3/2}(4-x)$ จงกระจาย แล้วหาอนุพันธ์เพื่อหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Same two moves as rungs $1$ and $2$: expand first, then differentiate each term.สองขั้นเดิมจากข้อ $1$ และ $2$: กระจายก่อน แล้วจึงหาอนุพันธ์แต่ละพจน์
Part (a): find, using calculus, the $x$ coordinate of $P$.
ข้อ (a): จงหา ด้วยแคลคูลัส พิกัด $x$ ของ $P$
Answershow ▾
Set $\dfrac{dy}{dx}=0$, factorise as in rung $3$, then keep the root that is not the start of the curve.ให้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ แล้วแยกตัวประกอบแบบข้อ $3$ จากนั้นเลือกรากที่ไม่ใช่จุดเริ่มต้นของเส้นโค้ง
$C$ dips below the $x$-axis for $x\gt4$. Let $F(x)=\displaystyle\int y\,dx$. Pick the expression for the area of $R_{2}$, between $x=4$ and $x=k$.
(A) $F(k)-F(4)$
(B) $F(4)-F(k)$
(C) $F(4)-F(0)$
$C$ ลดต่ำกว่าแกน $x$ เมื่อ $x\gt4$ ให้ $F(x)=\displaystyle\int y\,dx$ จงเลือกนิพจน์สำหรับพื้นที่ $R_{2}$ ระหว่าง $x=4$ กับ $x=k$
(A) $F(k)-F(4)$
(B) $F(4)-F(k)$
(C) $F(4)-F(0)$
Answershow ▾
(A) is the raw integral from $4$ to $k$, which is negative because the curve is below the axis there - an area cannot be negative. (C) is just the area of $R_{1}$ again and does not involve $k$ at all.(A) คือปริพันธ์ตรงจาก $4$ ถึง $k$ ซึ่งติดลบเพราะเส้นโค้งอยู่ต่ำกว่าแกนในช่วงนั้น พื้นที่ติดลบไม่ได้ · (C) คือพื้นที่ของ $R_{1}$ ซ้ำเดิม ไม่มี $k$ อยู่เลย
Integrate $8x^{3/2}-2x^{5/2}$ with respect to $x$, to find $F(x)$.
จงอินทิเกรต $8x^{3/2}-2x^{5/2}$ เทียบกับ $x$ เพื่อหา $F(x)$
Answershow ▾
Raise each power by $1$ and divide by the new power.เพิ่มเลขชี้กำลังของแต่ละพจน์ขึ้น $1$ แล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
Evaluate $F(4)-F(0)$, the area of $R_{1}$.
จงคำนวณ $F(4)-F(0)$ ซึ่งคือพื้นที่ของ $R_{1}$
Answershow ▾
$F(0)=0$, so only $F(4)$ is left; $4^{1/2}=2$ makes the powers of $4$ easy to evaluate.$F(0)=0$ จึงเหลือเพียง $F(4)$ และ $4^{1/2}=2$ ทำให้คำนวณเลขยกกำลังของ $4$ ได้ง่าย
Part (b): given the area of $R_{1}$ equals the area of $R_{2}$, find the exact value of $k$.
ข้อ (b): กำหนดว่าพื้นที่ของ $R_{1}$ เท่ากับพื้นที่ของ $R_{2}$ จงหาค่าแม่นตรงของ $k$
Answershow ▾
Use the expression chosen in the decision step: $F(4)-F(k)$ equal to $R_{1}$ makes $F(k)=0$.ใช้นิพจน์ที่เลือกในขั้นตัดสินใจ: $F(4)-F(k)$ เท่ากับ $R_{1}$ ทำให้ $F(k)=0$
A curve has equation $y=2x^{3/2}(9-x)$, $x\geqslant0$, with stationary point $P$. $R_{1}$ is bounded by the curve and the $x$-axis; $R_{2}$ is bounded by the curve, the $x$-axis and the line $x=k$. Given the area of $R_{1}$ equals the area of $R_{2}$, find the $x$ coordinate of $P$ and the value of $k$.
เส้นโค้งมีสมการ $y=2x^{3/2}(9-x)$ เมื่อ $x\geqslant0$ มีจุดคงตัว $P$ บริเวณ $R_{1}$ ถูกล้อมด้วยเส้นโค้งกับแกน $x$ บริเวณ $R_{2}$ ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และเส้นตรง $x=k$ กำหนดว่าพื้นที่ของ $R_{1}$ เท่ากับพื้นที่ของ $R_{2}$ จงหาพิกัด $x$ ของ $P$ และค่า $k$
Answershow ▾
Same four moves: expand and differentiate, factorise and solve, integrate, then set $F(k)=0$.สี่ขั้นเดิม: กระจายแล้วหาอนุพันธ์ แยกตัวประกอบแล้วแก้สมการ หาปริพันธ์ จากนั้นให้ $F(k)=0$
Figure 1 is a sketch of the curve $C$ with equation
$y=2x^{\frac32}(4-x)\qquad x\geqslant0$
The point $P$ is the stationary point of $C$.
(a) Find, using calculus, the $x$ coordinate of $P$.
(b) The region $R_{1}$, shown shaded in Figure 1, is bounded by $C$ and the $x$-axis.
The region $R_{2}$, also shown shaded in Figure 1, is bounded by $C$, the $x$-axis and the line with equation $x=k$, where $k$ is a constant.
Given that the area of $R_{1}$ is equal to the area of $R_{2}$, find, using calculus, the exact value of $k$.
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการ
$y=2x^{\frac32}(4-x)\qquad x\geqslant0$
จุด $P$ คือจุดคงตัว (stationary point) ของ $C$
(ก) จงหา ด้วยแคลคูลัส พิกัด $x$ ของ $P$
(ข) บริเวณ $R_{1}$ ที่แรเงาในรูปที่ 1 ถูกล้อมด้วย $C$ กับแกน $x$
บริเวณ $R_{2}$ ที่แรเงาในรูปที่ 1 เช่นกัน ถูกล้อมด้วย $C$ แกน $x$ และเส้นตรงที่มีสมการ $x=k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่าพื้นที่ของ $R_{1}$ เท่ากับพื้นที่ของ $R_{2}$ จงหา ด้วยแคลคูลัส ค่า exact ของ $k$
Answershow ▾
8 marks: 4 for differentiating to find $P$, 4 for the integral; the harder mark is writing $R_{2}=F(4)-F(k)$, not $F(k)-F(4)$, because $C$ is below the axis there.8 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับหาอนุพันธ์เพื่อหา $P$ อีก 4 คะแนนสำหรับปริพันธ์ คะแนนที่ยากคือเขียน $R_{2}=F(4)-F(k)$ ไม่ใช่ $F(k)-F(4)$ เพราะ $C$ อยู่ต่ำกว่าแกนในช่วงนั้น
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Trapezium estimate vs an exact curve ค่าประมาณสี่เหลี่ยมคางหมู เทียบกับเส้นโค้งแบบแม่นตรง
Figure 2 shows a sketch of part of the graph of the curves $C_{1}$ and $C_{2}$.
The curves intersect when $x=2.5$ and when $x=4$.
A table of values for some points on the curve $C_{1}$ is shown below, with $y$ values given to 3 decimal places as appropriate.
$x=2.5,\ 2.75,\ 3,\ 3.25,\ 3.5,\ 3.75,\ 4$
$y=5.453,\ 7.764,\ 9.375,\ 9.964,$ $9.367,\ 7.626,\ 5$
(a) Using the trapezium rule with all the values of $y$ in the table, find, to 2 decimal places, an estimate for the area bounded by the curve $C_{1}$, the line with equation $x=2.5$, the $x$-axis and the line with equation $x=4$.
(b) The curve $C_{2}$ has equation
$y=x^{\frac32}-3x+9\qquad x\gt0$
Find $\displaystyle\int\big(x^{3/2}-3x+9\big)\,dx$
(c) The region $R$, shown shaded in Figure 2, is bounded by the curves $C_{1}$ and $C_{2}$.
Use the answers to part (a) and part (b) to find, to one decimal place, an estimate for the area of the region $R$.
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างบางส่วนของกราฟเส้นโค้ง $C_{1}$ และ $C_{2}$
เส้นโค้งทั้งสองตัดกันที่ $x=2.5$ และที่ $x=4$
ตารางด้านล่างแสดงค่าบางจุดบนเส้นโค้ง $C_{1}$ โดยค่า $y$ ปัดเศษเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่งตามความเหมาะสม
$x=2.5,\ 2.75,\ 3,\ 3.25,\ 3.5,\ 3.75,\ 4$
$y=5.453,\ 7.764,\ 9.375,\ 9.964,$ $9.367,\ 7.626,\ 5$
(ก) ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับค่า $y$ ทุกค่าในตาราง หาค่าประมาณของพื้นที่ที่ล้อมด้วยเส้นโค้ง $C_{1}$ เส้นตรง $x=2.5$ แกน $x$ และเส้นตรง $x=4$ เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) เส้นโค้ง $C_{2}$ มีสมการ
$y=x^{\frac32}-3x+9\qquad x\gt0$
จงหา $\displaystyle\int\big(x^{3/2}-3x+9\big)\,dx$
(ค) บริเวณ $R$ ที่แรเงาในรูปที่ 2 ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง $C_{1}$ และ $C_{2}$
ใช้คำตอบจากข้อ (a) และ (b) หาค่าประมาณของพื้นที่บริเวณ $R$ เป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
A region from $x=2.5$ to $x=4$ is split into $6$ equal strips for the trapezium rule. Find the strip width $h$.
บริเวณจาก $x=2.5$ ถึง $x=4$ ถูกแบ่งเป็น $6$ แถบเท่ากัน สำหรับกฎสี่เหลี่ยมคางหมู จงหาความกว้างของแถบ $h$
Answershow ▾
Divide the total width by the number of strips.หารความกว้างทั้งหมดด้วยจำนวนแถบ
A table has $4$ equally spaced $y$-values, $h=1$: $y_{0}=2,\ y_{1}=5,\ y_{2}=3,\ y_{3}=4$. Find $\dfrac12h\big(y_{0}+y_{3}+2(y_{1}+y_{2})\big)$.
ตารางมีค่า $y$ ห่างเท่ากัน $4$ ค่า โดย $h=1$: $y_{0}=2,\ y_{1}=5,\ y_{2}=3,\ y_{3}=4$ จงหา $\dfrac12h\big(y_{0}+y_{3}+2(y_{1}+y_{2})\big)$
Answershow ▾
The two end values count once; every value between them counts twice.ค่าปลายทั้งสองนับครั้งเดียว ส่วนค่าที่อยู่ระหว่างนับสองครั้ง
Integrate $x^{1/2}$.
จงอินทิเกรต $x^{1/2}$
Answershow ▾
Raise the power by $1$, then divide by the new power.เพิ่มกำลังขึ้น $1$ แล้วหารด้วยกำลังใหม่
The real table has $7$ values, $h=0.25$. Pick the correct trapezium rule.
(A) $\dfrac12h\big(y_{0}+y_{6}+2(y_{1}+\ldots+y_{5})\big)$
(B) $h\big(y_{0}+y_{1}+\ldots+y_{6}\big)$
(C) $\dfrac12h\big(2(y_{0}+y_{6})+y_{1}+\ldots+y_{5}\big)$
ตารางจริงมี $7$ ค่า โดย $h=0.25$ จงเลือกกฎสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกต้อง
(A) $\dfrac12h\big(y_{0}+y_{6}+2(y_{1}+\ldots+y_{5})\big)$
(B) $h\big(y_{0}+y_{1}+\ldots+y_{6}\big)$
(C) $\dfrac12h\big(2(y_{0}+y_{6})+y_{1}+\ldots+y_{5}\big)$
Answershow ▾
(B) gives every value the same weight with no $\frac12h$ at all, so the inner strips are not doubled. (C) doubles the wrong values - the two ends are never doubled, only the values between them.(B) ให้ทุกค่ามีน้ำหนักเท่ากันและไม่มี $\frac12h$ เลย จึงไม่ได้เพิ่มค่ากลางเป็นสองเท่า · (C) เพิ่มค่าผิดตัวเป็นสองเท่า เพราะค่าปลายทั้งสองไม่ถูกเพิ่มเป็นสองเท่า มีแต่ค่าที่อยู่ระหว่างกลาง
Using $h=0.25$ and $y=5.453,\,7.764,\,9.375,\,9.964,$ $9.367,\,7.626,\,5$, work out $\dfrac12(0.25)\big(5.453+5$ $+\,2(7.764+9.375+9.964+9.367+7.626)\big)$.
ใช้ $h=0.25$ และ $y=5.453,\,7.764,\,9.375,\,9.964,$ $9.367,\,7.626,\,5$ จงหาค่าของ $\dfrac12(0.25)\big(5.453+5$ $+\,2(7.764+9.375+9.964+9.367+7.626)\big)$
Answershow ▾
Add the $5$ middle values first, double that sum, then add both ends before multiplying by $\frac12h$.บวกค่ากลาง $5$ ค่าก่อน แล้วเพิ่มเป็นสองเท่า จากนั้นบวกค่าปลายทั้งสอง ก่อนคูณด้วย $\frac12h$
Round $12.330625$ to $2$ decimal places.
จงปัดเศษ $12.330625$ เป็นทศนิยม $2$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
The third decimal digit is $0$, so round down.ทศนิยมตำแหน่งที่สามคือ $0$ จึงปัดลง
Integrate $x^{3/2}-3x+9$.
จงอินทิเกรต $x^{3/2}-3x+9$
Answershow ▾
Raise each power by $1$ and divide by the new power; a constant integrates to that constant times $x$.เพิ่มกำลังแต่ละพจน์ขึ้น $1$ แล้วหารด้วยกำลังใหม่ · ค่าคงที่อินทิเกรตได้ค่าคงที่นั้นคูณ $x$
The table for $C_{1}$ gives $y=9.964$ at $x=3.25$. The curve $C_{2}=x^{3/2}-3x+9$ gives $y\approx5.11$ there. Pick the correct area $R$.
(A) (area under $C_{1}$) $-$ (area under $C_{2}$)
(B) (area under $C_{2}$) $-$ (area under $C_{1}$)
(C) (area under $C_{1}$) $+$ (area under $C_{2}$)
ตารางของ $C_{1}$ ให้ $y=9.964$ ที่ $x=3.25$ ส่วนเส้นโค้ง $C_{2}=x^{3/2}-3x+9$ ให้ $y\approx5.11$ ที่จุดนั้น จงเลือกพื้นที่ $R$ ที่ถูกต้อง
(A) (พื้นที่ใต้ $C_{1}$) $-$ (พื้นที่ใต้ $C_{2}$)
(B) (พื้นที่ใต้ $C_{2}$) $-$ (พื้นที่ใต้ $C_{1}$)
(C) (พื้นที่ใต้ $C_{1}$) $+$ (พื้นที่ใต้ $C_{2}$)
Answershow ▾
$C_{1}$ is above $C_{2}$, so the bigger area loses the smaller one - never a sum. (B) reverses the order; (C) adds instead, double-counting the strip under $C_{2}$.$C_{1}$ อยู่เหนือ $C_{2}$ พื้นที่ที่มากกว่าจึงถูกลบด้วยพื้นที่ที่น้อยกว่า ไม่ใช่การบวก · (B) สลับลำดับผิด · (C) บวกพื้นที่ทั้งสองเข้าด้วยกัน ซึ่งนับพื้นที่ใต้ $C_{2}$ ซ้ำ
Evaluate $\Big[\dfrac25x^{5/2}-\dfrac32x^{2}+9x\Big]_{2.5}^{4}$, then subtract it from $12.33$ and round to $1$ decimal place.
จงแทนขอบเขตของ $\Big[\dfrac25x^{5/2}-\dfrac32x^{2}+9x\Big]_{2.5}^{4}$ แล้วลบออกจาก $12.33$ จากนั้นปัดเศษเป็นทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Substitute the top limit, then subtract the bottom limit, before subtracting that whole result from part (a).แทนขอบเขตบนก่อน แล้วลบด้วยขอบเขตล่าง ก่อนนำผลลัพธ์ทั้งหมดไปลบจากคำตอบข้อ (a)
Check using $12.330625$ instead of the rounded $12.33$. Does $12.330625-7.722\ldots$ still round to $4.6$?
จงตรวจโดยใช้ $12.330625$ แทนค่าที่ปัดแล้ว $12.33$ ค่า $12.330625-7.722\ldots$ ยังปัดเป็น $4.6$ หรือไม่
Answershow ▾
Rounding earlier or later gives the same final answer here.ปัดเศษก่อนหรือหลัง ก็ได้คำตอบสุดท้ายเดียวกัน
A curve $C_{1}$ has table $x=0,1,2,3$, $y=0,5,10,9$ ($h=1$). It meets $C_{2}:y=x^{2}$ at $x=0$ and $x=3$. Use the trapezium rule for $C_{1}$ and integrate $C_{2}$ exactly, to find the area between them.
เส้นโค้ง $C_{1}$ มีตาราง $x=0,1,2,3$, $y=0,5,10,9$ ($h=1$) ตัดกับ $C_{2}:y=x^{2}$ ที่ $x=0$ และ $x=3$ จงใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูหาพื้นที่ $C_{1}$ และอินทิเกรต $C_{2}$ แบบแม่นตรง เพื่อหาพื้นที่ระหว่างทั้งสอง
Answershow ▾
Same two moves: trapezium estimate for $C_{1}$, exact integral for $C_{2}$, then top minus bottom.สองขั้นเดิม: ประมาณพื้นที่ $C_{1}$ ด้วยสี่เหลี่ยมคางหมู หาอินทิเกรต $C_{2}$ แบบแม่นตรง แล้วบนลบล่าง
Figure 2 shows a sketch of part of the graph of the curves $C_{1}$ and $C_{2}$.
The curves intersect when $x=2.5$ and when $x=4$.
A table of values for some points on the curve $C_{1}$ is shown below, with $y$ values given to 3 decimal places as appropriate.
$x=2.5,\ 2.75,\ 3,\ 3.25,\ 3.5,\ 3.75,\ 4$
$y=5.453,\ 7.764,\ 9.375,\ 9.964,$ $9.367,\ 7.626,\ 5$
(a) Using the trapezium rule with all the values of $y$ in the table, find, to 2 decimal places, an estimate for the area bounded by the curve $C_{1}$, the line with equation $x=2.5$, the $x$-axis and the line with equation $x=4$.
(b) The curve $C_{2}$ has equation
$y=x^{\frac32}-3x+9\qquad x\gt0$
Find $\displaystyle\int\big(x^{3/2}-3x+9\big)\,dx$
(c) The region $R$, shown shaded in Figure 2, is bounded by the curves $C_{1}$ and $C_{2}$.
Use the answers to part (a) and part (b) to find, to one decimal place, an estimate for the area of the region $R$.
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างบางส่วนของกราฟเส้นโค้ง $C_{1}$ และ $C_{2}$
เส้นโค้งทั้งสองตัดกันที่ $x=2.5$ และที่ $x=4$
ตารางด้านล่างแสดงค่าบางจุดบนเส้นโค้ง $C_{1}$ โดยค่า $y$ ปัดเศษเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่งตามความเหมาะสม
$x=2.5,\ 2.75,\ 3,\ 3.25,\ 3.5,\ 3.75,\ 4$
$y=5.453,\ 7.764,\ 9.375,\ 9.964,$ $9.367,\ 7.626,\ 5$
(ก) ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับค่า $y$ ทุกค่าในตาราง หาค่าประมาณของพื้นที่ที่ล้อมด้วยเส้นโค้ง $C_{1}$ เส้นตรง $x=2.5$ แกน $x$ และเส้นตรง $x=4$ เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) เส้นโค้ง $C_{2}$ มีสมการ
$y=x^{\frac32}-3x+9\qquad x\gt0$
จงหา $\displaystyle\int\big(x^{3/2}-3x+9\big)\,dx$
(ค) บริเวณ $R$ ที่แรเงาในรูปที่ 2 ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง $C_{1}$ และ $C_{2}$
ใช้คำตอบจากข้อ (a) และ (b) หาค่าประมาณของพื้นที่บริเวณ $R$ เป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
10 marks: the strip width, the trapezium sum, two roundings, integrating $C_{2}$ term by term, evaluating with limits, then combining with part (a).10 คะแนน: ความกว้างของแถบ ผลรวมแบบสี่เหลี่ยมคางหมู ปัดเศษสองครั้ง อินทิเกรต $C_{2}$ ทีละพจน์ แทนขอบเขต แล้วรวมกับคำตอบข้อ (a)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A fractional-power curve, area under a letter เส้นโค้งเลขชี้กำลังเศษส่วน หาพื้นที่โดยมีตัวแปร
The curve $C$ has equation
$y=\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}\qquad x\gt0$
where $k$ is a positive constant.
(a) Show that $\displaystyle\int_{1}^{16}\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}\,dx=ak^{2}+bk+\dfrac{2046}{5}$ where $a$ and $b$ are integers to be found.
(b) Figure 1 shows a sketch of the curve $C$ and the line $l$.
Given that $l$ intersects $C$ at the point $A(1,9)$ and at the point $B(16,q)$ where $q$ is a constant, show that $k=4$.
(c) The region $R$, shown shaded in Figure 1, is bounded by $C$ and $l$.
Using the answers to parts (a) and (b), find the area of region $R$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ
$y=\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}\qquad x\gt0$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก
(ก) จงแสดงว่า $\displaystyle\int_{1}^{16}\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}\,dx=ak^{2}+bk+\dfrac{2046}{5}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
(ข) รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ และเส้นตรง $l$
กำหนดว่า $l$ ตัด $C$ ที่จุด $A(1,9)$ และที่จุด $B(16,q)$ เมื่อ $q$ เป็นค่าคงที่ จงแสดงว่า $k=4$
(ค) บริเวณ $R$ ที่แรเงาในรูปที่ 1 ถูกล้อมด้วย $C$ กับ $l$
ใช้คำตอบจากข้อ (a) และ (b) จงหาพื้นที่ของบริเวณ $R$
Expand $(x-k)^{2}$.
จงกระจาย $(x-k)^{2}$
Answershow ▾
Square the first term, double the product of the two terms, square the second term.ยกกำลังสองพจน์แรก คูณสองคูณพจน์ทั้งสอง แล้วยกกำลังสองพจน์หลัง
Divide $x^{2}-2kx+k^{2}$ by $\sqrt{x}$, writing each term as a power of $x$.
จงหาร $x^{2}-2kx+k^{2}$ ด้วย $\sqrt{x}$ แล้วเขียนแต่ละพจน์เป็นเลขชี้กำลังของ $x$
Answershow ▾
Subtract $\dfrac12$ from the power of every term.ลบ $\dfrac12$ ออกจากเลขชี้กำลังของทุกพจน์
Evaluate $16^{3/2}$.
จงหาค่า $16^{3/2}$
Answershow ▾
$16^{3/2}$ is the square root of $16$, cubed.$16^{3/2}$ คือรากที่สองของ $16$ แล้วยกกำลังสาม
You need $\displaystyle\int\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}\,dx$. Pick the first move.
(A) divide $(x-k)^{2}$ by $\sqrt{x}$ termwise into three powers of $x$, then integrate each one
(B) integrate $(x-k)^{2}$ and $\sqrt{x}$ separately, then divide the two antiderivatives
(C) integrate $(x-k)^{2}$ and $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ separately, then multiply the two antiderivatives
ต้องหา $\displaystyle\int\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}\,dx$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หาร $(x-k)^{2}$ ด้วย $\sqrt{x}$ ทีละพจน์ให้เป็นสามเลขชี้กำลังของ $x$ แล้วอินทิเกรตทีละพจน์
(B) อินทิเกรต $(x-k)^{2}$ กับ $\sqrt{x}$ แยกกัน แล้วหารผลอินทิเกรตทั้งสอง
(C) อินทิเกรต $(x-k)^{2}$ กับ $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ แยกกัน แล้วคูณผลอินทิเกรตทั้งสอง
Answershow ▾
(B) and (C) both assume integration splits over division or multiplication, the way differentiation splits over a quotient or product rule - it doesn't. Dividing the top by $\sqrt{x}$ first is the only way through.(B) และ (C) ต่างคิดว่าการอินทิเกรตแยกตามการหารหรือการคูณได้ เหมือนกฎผลหารหรือกฎผลคูณของการหาอนุพันธ์ แต่มันไม่ได้ · การหารเศษด้วย $\sqrt{x}$ ก่อนเป็นทางเดียวที่ใช้ได้จริง
Integrate $x^{3/2}-2kx^{1/2}+k^{2}x^{-1/2}$.
จงอินทิเกรต $x^{3/2}-2kx^{1/2}+k^{2}x^{-1/2}$
Answershow ▾
Raise each power by $1$, then divide by the new power.เพิ่มเลขชี้กำลังแต่ละพจน์ขึ้น $1$ แล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
Substitute $x=16$ and $x=1$ into $\dfrac25x^{5/2}-\dfrac{4k}{3}x^{3/2}+2k^{2}x^{1/2}$, then subtract, to find integers $a$ and $b$ where the result is $ak^{2}+bk+\dfrac{2046}{5}$.
จงแทน $x=16$ กับ $x=1$ ลงใน $\dfrac25x^{5/2}-\dfrac{4k}{3}x^{3/2}+2k^{2}x^{1/2}$ แล้วลบกัน เพื่อหาจำนวนเต็ม $a$ และ $b$ โดยผลลัพธ์คือ $ak^{2}+bk+\dfrac{2046}{5}$
Answershow ▾
$16^{5/2}=1024$ and $16^{3/2}=64$, from question $3$.$16^{5/2}=1024$ และ $16^{3/2}=64$ จากข้อ $3$
$A(1,9)$ lies on $C$. Pick how to find $k$.
(A) substitute $x=1,\ y=9$ into $y=\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}$
(B) substitute $k=1$ into $y=\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}$
(C) set $6k^{2}-84k+\dfrac{2046}{5}$ equal to $9$
$A(1,9)$ อยู่บน $C$ จงเลือกวิธีหา $k$
(A) แทน $x=1,\ y=9$ ลงใน $y=\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}$
(B) แทน $k=1$ ลงใน $y=\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}$
(C) ให้ $6k^{2}-84k+\dfrac{2046}{5}$ เท่ากับ $9$
Answershow ▾
(B) mixes up the x-coordinate of the point with the letter $k$ - different numbers. (C) sets the part (a) area formula equal to $9$, but that equation has no real solution; an area is not a curve height.(B) สับสนระหว่างพิกัด $x$ ของจุดกับตัวแปร $k$ ทั้งที่เป็นคนละจำนวนกัน · (C) ให้สูตรพื้นที่จากข้อ (a) เท่ากับ $9$ ซึ่งไม่มีคำตอบจริงของ $k$ เลย · พื้นที่ไม่ใช่ความสูงของจุดบนเส้นโค้ง
Solve $(1-k)^{2}=9$ for $k$, given $k$ is a positive constant.
จงแก้สมการ $(1-k)^{2}=9$ หาค่า $k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก
Answershow ▾
$1-k=\pm3$ gives $k=-2$ or $k=4$; only the positive one is kept.$1-k=\pm3$ ได้ $k=-2$ หรือ $k=4$ เก็บไว้เฉพาะค่าที่เป็นบวก
Using $k=4$, find $q$ by substituting $x=16$ into $y=\dfrac{(x-4)^{2}}{\sqrt{x}}$, then find the gradient of $l$ through $A(1,9)$ and $B(16,q)$.
ใช้ $k=4$ หาค่า $q$ โดยแทน $x=16$ ลงใน $y=\dfrac{(x-4)^{2}}{\sqrt{x}}$ แล้วหาความชันของ $l$ ที่ลากผ่าน $A(1,9)$ กับ $B(16,q)$
Answershow ▾
The gradient is the rise from $A$ to $B$ over the run from $A$ to $B$.ความชันคือระยะเพิ่มขึ้นในแนว $y$ จาก $A$ ไป $B$ หารด้วยระยะในแนว $x$
Using the gradient $\dfrac95$ through $A(1,9)$, and the part (a) result with $k=4$, find the area of $R$ between $l$ and $C$ for $1\leqslant x\leqslant16$.
ใช้ความชัน $\dfrac95$ ที่ลากผ่าน $A(1,9)$ และผลจากข้อ (a) เมื่อ $k=4$ จงหาพื้นที่ของ $R$ ระหว่าง $l$ กับ $C$ เมื่อ $1\leqslant x\leqslant16$
Answershow ▾
$l$ sits above $C$ on this interval, so the area is the integral of $l$ minus the integral of $C$.$l$ อยู่เหนือ $C$ ในช่วงนี้ จึงใช้พื้นที่ของ $l$ ลบด้วยพื้นที่ของ $C$
The curve $y=\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}$, $x\gt0$, $k$ a positive constant, passes through $A(1,4)$. The line $l$ through $A$ meets the curve again at $B(9,q)$. Find the area of the region bounded by $C$ and $l$ for $1\leqslant x\leqslant9$.
เส้นโค้ง $y=\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}$ เมื่อ $x\gt0$ และ $k$ เป็นค่าคงที่บวก ผ่านจุด $A(1,4)$ เส้นตรง $l$ ที่ลากผ่าน $A$ ตัดเส้นโค้งอีกครั้งที่ $B(9,q)$ จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ล้อมด้วย $C$ กับ $l$ เมื่อ $1\leqslant x\leqslant9$
Answershow ▾
Same four moves: find $k$ from $A$, find $q$ and the gradient, then subtract the two areas.สี่ขั้นเดิม: หา $k$ จากจุด $A$ หา $q$ กับความชัน แล้วลบพื้นที่ทั้งสอง
The curve $C$ has equation
$y=\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}\qquad x\gt0$
where $k$ is a positive constant.
(a) Show that $\displaystyle\int_{1}^{16}\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}\,dx=ak^{2}+bk+\dfrac{2046}{5}$ where $a$ and $b$ are integers to be found.
(b) Figure 1 shows a sketch of the curve $C$ and the line $l$.
Given that $l$ intersects $C$ at the point $A(1,9)$ and at the point $B(16,q)$ where $q$ is a constant, show that $k=4$.
(c) The region $R$, shown shaded in Figure 1, is bounded by $C$ and $l$.
Using the answers to parts (a) and (b), find the area of region $R$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ
$y=\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}\qquad x\gt0$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก
(ก) จงแสดงว่า $\displaystyle\int_{1}^{16}\dfrac{(x-k)^{2}}{\sqrt{x}}\,dx=ak^{2}+bk+\dfrac{2046}{5}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
(ข) รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ และเส้นตรง $l$
กำหนดว่า $l$ ตัด $C$ ที่จุด $A(1,9)$ และที่จุด $B(16,q)$ เมื่อ $q$ เป็นค่าคงที่ จงแสดงว่า $k=4$
(ค) บริเวณ $R$ ที่แรเงาในรูปที่ 1 ถูกล้อมด้วย $C$ กับ $l$
ใช้คำตอบจากข้อ (a) และ (b) จงหาพื้นที่ของบริเวณ $R$
Answershow ▾
10 marks: divide into three powers and integrate for $a,b$; substitute the point for $k$; then the gradient and two integrals for the area.10 คะแนน: หารให้เป็นเลขชี้กำลังสามพจน์แล้วอินทิเกรตหา $a,b$ · แทนจุดหา $k$ · แล้วหาความชันและสองปริพันธ์เพื่อหาพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Splitting the area under a curve แบ่งพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
Figure 2 shows
$\bullet$ the curve $C$ with equation $y=x-x^{2}$
$\bullet$ the line $l$ with equation $y=mx$, where $m$ is a constant and $0\lt m\lt1$
The line and the curve intersect at the origin $O$ and at the point $P$.
(a) Find, in terms of $m$, the coordinates of $P$.
(b) The region $R_{1}$, shown shaded in Figure 2, is bounded by $C$ and $l$.
Show that the area of $R_{1}$ is
$\dfrac{(1-m)^{3}}{6}$
(c) The region $R_{2}$, also shown shaded in Figure 2, is bounded by $C$, the $x$-axis and $l$.
Given that the area of $R_{1}$ is equal to the area of $R_{2}$, find the exact value of $m$.
รูปที่ 2 แสดง
$\bullet$ เส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการ $y=x-x^{2}$
$\bullet$ เส้นตรง $l$ ที่มีสมการ $y=mx$ เมื่อ $m$ เป็นค่าคงที่และ $0\lt m\lt1$
เส้นตรงกับเส้นโค้งตัดกันที่จุดกำเนิด $O$ และที่จุด $P$
(ก) จงหา ในรูปของ $m$ พิกัดของ $P$
(ข) บริเวณ $R_{1}$ ที่แรเงาในรูปที่ 2 ถูกล้อมด้วย $C$ กับ $l$
จงแสดงว่าพื้นที่ของ $R_{1}$ คือ
$\dfrac{(1-m)^{3}}{6}$
(ค) บริเวณ $R_{2}$ ที่แรเงาในรูปที่ 2 เช่นกัน ถูกล้อมด้วย $C$ แกน $x$ และ $l$
กำหนดว่าพื้นที่ของ $R_{1}$ เท่ากับพื้นที่ของ $R_{2}$ จงหาค่า exact ของ $m$
Factorise $x-x^{2}$.
จงแยกตัวประกอบ $x-x^{2}$
Answershow ▾
Both terms have an $x$ in them.ทั้งสองพจน์มี $x$ อยู่
Simplify $(x-x^{2})-mx$ into one expression in $x$.
จงจัดรูป $(x-x^{2})-mx$ ให้เป็นนิพจน์เดียวของ $x$
Answershow ▾
Collect the two terms in $x$ together; the $x^{2}$ term stays on its own.รวมพจน์ $x$ สองพจน์เข้าด้วยกัน ส่วนพจน์ $x^{2}$ แยกไว้
Evaluate $\left[\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$.
จงคำนวณ $\left[\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$
Answershow ▾
Put in the top limit, put in the bottom limit, subtract.แทนขอบเขตบน แทนขอบเขตล่าง แล้วลบกัน
The line and curve meet at $O$ and $P$. Pick the first move to find $P$.
(A) substitute $y=mx$ into $y=x-x^{2}$ to get one equation in $x$
(B) solve $x-x^{2}=0$ for $x$
(C) substitute $x=0$ into $y=mx$
เส้นตรงกับเส้นโค้งพบกันที่ $O$ และ $P$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $P$
(A) แทน $y=mx$ ใน $y=x-x^{2}$ เพื่อให้ได้สมการเดียวของ $x$
(B) แก้สมการ $x-x^{2}=0$ หา $x$
(C) แทน $x=0$ ใน $y=mx$
Answershow ▾
(B) has no $m$ in it, so it only ever gives $x=0$ or $x=1$, not the point where the line matters. (C) just finds $O$ again, which is already known.(B) ไม่มี $m$ อยู่เลย จึงได้แค่ $x=0$ หรือ $x=1$ ซึ่งไม่ใช่จุดที่เกี่ยวกับเส้นตรง · (C) ได้แค่จุด $O$ ที่รู้อยู่แล้ว
Solve $x-x^{2}=mx$ for $x$ (the solution with $x\neq0$), and write the coordinates of $P$.
จงแก้สมการ $x-x^{2}=mx$ หา $x$ (คำตอบที่ $x\neq0$) แล้วเขียนพิกัดของ $P$
Answershow ▾
Factorise out $x$ first; the other factor gives the new $x$.แยกตัวประกอบ $x$ ออกก่อน ตัวประกอบอีกตัวจะให้ค่า $x$ ใหม่
Write the area of $R_{1}$ as a definite integral from $0$ to $1-m$, with the integrand simplified to one expression in $x$.
จงเขียนพื้นที่ของ $R_{1}$ เป็นอินทิกรัลจำกัดเขตจาก $0$ ถึง $1-m$ โดยให้ตัวถูกอินทิเกรตเป็นนิพจน์เดียวของ $x$
Answershow ▾
$R_{1}$ is curve minus line; collect that into one expression before integrating.$R_{1}$ คือเส้นโค้งลบเส้นตรง จงรวมให้เป็นนิพจน์เดียวก่อนอินทิเกรต
Integrate $(1-m)x-x^{2}$, substitute $x=1-m$, and show that the area of $R_{1}$ is $\dfrac{(1-m)^{3}}{6}$.
จงอินทิเกรต $(1-m)x-x^{2}$ แทน $x=1-m$ แล้วแสดงว่าพื้นที่ของ $R_{1}$ คือ $\dfrac{(1-m)^{3}}{6}$
Answershow ▾
Both terms share the factor $(1-m)^{3}$; take it out before subtracting the fractions.ทั้งสองพจน์มีตัวประกอบร่วม $(1-m)^{3}$ จงดึงออกก่อนลบเศษส่วน
You are given that $R_{1}=R_{2}$. Pick what to find first.
(A) the area between $l$ and the $x$-axis, from $0$ to $1-m$
(B) the total area under $C$, from $x=0$ to $x=1$
(C) $\displaystyle\int_{1-m}^{1}\big[(x-x^{2})-mx\big]\,dx$
กำหนดให้ $R_{1}=R_{2}$ จงเลือกสิ่งที่ควรหาก่อน
(A) พื้นที่ระหว่าง $l$ กับแกน $x$ จาก $0$ ถึง $1-m$
(B) พื้นที่รวมใต้ $C$ จาก $x=0$ ถึง $x=1$
(C) $\displaystyle\int_{1-m}^{1}\big[(x-x^{2})-mx\big]\,dx$
Answershow ▾
$R_{1}$ and $R_{2}$ together make up the whole area under $C$, so the total splits in half. (A) leaves out the curved part. (C) is negative - past $x=1-m$ the line sits above the curve, not below it.$R_{1}$ กับ $R_{2}$ รวมกันเป็นพื้นที่ทั้งหมดใต้ $C$ จึงแบ่งครึ่งพอดี · (A) ขาดส่วนโค้งไป · (C) ได้ค่าลบ เพราะเลย $x=1-m$ ไปเส้นตรงอยู่สูงกว่าเส้นโค้ง ไม่ใช่อยู่ล่าง
$R_{1}+R_{2}=\dfrac16$ (the total area under $C$), and $R_{1}=R_{2}$. Find the value of $R_{1}$.
$R_{1}+R_{2}=\dfrac16$ (พื้นที่รวมใต้ $C$) และ $R_{1}=R_{2}$ จงหาค่า $R_{1}$
Answershow ▾
Equal parts of a total of $\dfrac16$ are each half of it.ส่วนที่เท่ากันของพื้นที่รวม $\dfrac16$ แต่ละส่วนเป็นครึ่งหนึ่งของมัน
Using $R_{1}=\dfrac{(1-m)^{3}}{6}=\dfrac{1}{12}$, find the exact value of $m$.
โดยใช้ $R_{1}=\dfrac{(1-m)^{3}}{6}=\dfrac{1}{12}$ จงหาค่าแม่นตรงของ $m$
Answershow ▾
Multiply both sides by $6$ first, then cube root.คูณทั้งสองข้างด้วย $6$ ก่อน แล้วถอดรากที่สาม
$C$ is $y=x-x^{2}$ and $l$ is $y=mx$ ($0\lt m\lt1$), meeting at $O$ and $P$, with $R_{1}$ and $R_{2}$ defined the same way. Find $P$ in terms of $m$. Given that the area of $R_{2}$ is $7$ times the area of $R_{1}$, find the exact value of $m$.
$C$ คือ $y=x-x^{2}$ และ $l$ คือ $y=mx$ ($0\lt m\lt1$) พบกันที่ $O$ กับ $P$ โดย $R_{1}$ และ $R_{2}$ นิยามแบบเดียวกัน จงหา $P$ ในรูปของ $m$ กำหนดว่าพื้นที่ $R_{2}$ เป็น $7$ เท่าของพื้นที่ $R_{1}$ จงหาค่าแม่นตรงของ $m$
Answershow ▾
Same method: $R_{1}+R_{2}=\dfrac16$ splits in the ratio $1:7$, so $R_{1}$ is $\dfrac18$ of it.วิธีเดิม: $R_{1}+R_{2}=\dfrac16$ แบ่งในอัตราส่วน $1:7$ จึง $R_{1}$ เป็น $\dfrac18$ ของพื้นที่รวม
Figure 2 shows
$\bullet$ the curve $C$ with equation $y=x-x^{2}$
$\bullet$ the line $l$ with equation $y=mx$, where $m$ is a constant and $0\lt m\lt1$
The line and the curve intersect at the origin $O$ and at the point $P$.
(a) Find, in terms of $m$, the coordinates of $P$.
(b) The region $R_{1}$, shown shaded in Figure 2, is bounded by $C$ and $l$.
Show that the area of $R_{1}$ is
$\dfrac{(1-m)^{3}}{6}$
(c) The region $R_{2}$, also shown shaded in Figure 2, is bounded by $C$, the $x$-axis and $l$.
Given that the area of $R_{1}$ is equal to the area of $R_{2}$, find the exact value of $m$.
รูปที่ 2 แสดง
$\bullet$ เส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการ $y=x-x^{2}$
$\bullet$ เส้นตรง $l$ ที่มีสมการ $y=mx$ เมื่อ $m$ เป็นค่าคงที่และ $0\lt m\lt1$
เส้นตรงกับเส้นโค้งตัดกันที่จุดกำเนิด $O$ และที่จุด $P$
(ก) จงหา ในรูปของ $m$ พิกัดของ $P$
(ข) บริเวณ $R_{1}$ ที่แรเงาในรูปที่ 2 ถูกล้อมด้วย $C$ กับ $l$
จงแสดงว่าพื้นที่ของ $R_{1}$ คือ
$\dfrac{(1-m)^{3}}{6}$
(ค) บริเวณ $R_{2}$ ที่แรเงาในรูปที่ 2 เช่นกัน ถูกล้อมด้วย $C$ แกน $x$ และ $l$
กำหนดว่าพื้นที่ของ $R_{1}$ เท่ากับพื้นที่ของ $R_{2}$ จงหาค่า exact ของ $m$
Answershow ▾
10 marks: the star mark in (b) needs every algebra step shown, and (c) needs the total area under $C$, not just $R_{1}$.10 คะแนน: คะแนนดาวในข้อ (b) ต้องแสดงทุกขั้นตอนพีชคณิต และข้อ (c) ต้องใช้พื้นที่รวมใต้ $C$ ไม่ใช่แค่ $R_{1}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Turning point, inequality, then area จุดคงตัว อสมการ แล้วพื้นที่
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
Figure 2 shows a sketch of part of the curve $C$ with equation
$y=\dfrac43x^{3}-11x^{2}+kx$
where $k$ is a constant.
The point $M$ is the maximum turning point of $C$ and is shown in Figure 2.
Given that the $x$ coordinate of $M$ is $2$,
(a) show that $k=28$
(b) Determine the range of values of $x$ for which $y$ is increasing.
(c) The line $l$ passes through $M$ and is parallel to the $x$-axis.
The region $R$, shown shaded in Figure 2, is bounded by the curve $C$, the line $l$ and the $y$-axis.
Find, by algebraic integration, the exact area of $R$.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน การแก้ปัญหาที่พึ่งเครื่องคิดเลขทั้งหมดถือว่าไม่ผ่าน
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างบางส่วนของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการ
$y=\dfrac43x^{3}-11x^{2}+kx$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
จุด $M$ คือจุดคงตัวสูงสุด (maximum turning point) ของ $C$ ดังแสดงในรูปที่ 2
กำหนดว่าพิกัด $x$ ของ $M$ คือ $2$
(ก) จงแสดงว่า $k=28$
(ข) จงหาช่วงของค่า $x$ ที่ $y$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
(ค) เส้นตรง $l$ ผ่าน $M$ และขนานกับแกน $x$
บริเวณ $R$ ที่แรเงาในรูปที่ 2 ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง $C$ เส้นตรง $l$ และแกน $y$
จงหา ด้วยการหาปริพันธ์เชิงพีชคณิต พื้นที่แบบ exact ของ $R$
Differentiate $\tfrac43x^{3}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $\tfrac43x^{3}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Multiply by the power, then reduce the power by $1$.คูณด้วยเลขชี้กำลัง แล้วลดเลขชี้กำลังลง $1$
Differentiate $-11x^{2}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $-11x^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Multiply by the power, then reduce the power by $1$.คูณด้วยเลขชี้กำลัง แล้วลดเลขชี้กำลังลง $1$
Solve $16-44+k=0$ for $k$.
จงแก้สมการ $16-44+k=0$ หาค่า $k$
Answershow ▾
Combine the numbers first, then move them to the other side.รวมตัวเลขก่อน แล้วย้ายข้าง
$M$ is the maximum turning point of $C$, with $x$-coordinate $2$. Pick the equation that is true at $M$.
(A) $y=0$ when $x=2$
(B) $\dfrac{dy}{dx}=0$ when $x=2$
(C) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$ when $x=2$
$M$ คือจุดคงตัวสูงสุดของ $C$ มีพิกัด $x=2$ จงเลือกสมการที่เป็นจริงที่ $M$
(A) $y=0$ เมื่อ $x=2$
(B) $\dfrac{dy}{dx}=0$ เมื่อ $x=2$
(C) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$ เมื่อ $x=2$
Answershow ▾
(A) sets the height of the curve to $0$ there, which is not what a turning point means. (C) locates a point of inflection, not a turning point whose $x$ is already known.(A) ให้ความสูงของเส้นโค้งเป็น $0$ ที่จุดนั้น ซึ่งไม่ใช่ความหมายของจุดคงตัว · (C) หาจุดเปลี่ยนเว้า (point of inflection) ไม่ใช่จุดคงตัวที่ทราบค่า $x$ อยู่แล้ว
Differentiate $y=\tfrac43x^{3}-11x^{2}+kx$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=\tfrac43x^{3}-11x^{2}+kx$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Differentiate each term, as in questions $1$ and $2$; $kx$ differentiates to $k$.หาอนุพันธ์ทีละพจน์ เหมือนข้อ $1$ และ $2$ · พจน์ $kx$ มีอนุพันธ์เป็น $k$
$M$ has $x$-coordinate $2$, so $\dfrac{dy}{dx}=0$ there. Substitute $x=2$ into $4x^{2}-22x+k$ and write the equation.
$M$ มีพิกัด $x=2$ ดังนั้น $\dfrac{dy}{dx}=0$ ที่จุดนั้น จงแทน $x=2$ ใน $4x^{2}-22x+k$ แล้วเขียนสมการ
Answershow ▾
Square first, then multiply, keeping $k$ on its own.ยกกำลังก่อน แล้วคูณ โดยเก็บ $k$ ไว้เดี่ยวๆ
Solve $16-44+k=0$ for $k$, confirming part (a).
จงแก้สมการ $16-44+k=0$ หาค่า $k$ เพื่อยืนยันข้อ (a)
Answershow ▾
Same method as question $3$, now completing part (a).วิธีเดียวกับข้อ $3$ ตอนนี้ทำข้อ (a) ให้สมบูรณ์
$\dfrac{dy}{dx}=4x^{2}-22x+28$ must be greater than $0$ for $y$ to be increasing. Pick the method.
(A) Factorise $4x^{2}-22x+28$ to find where it equals $0$, then decide the sign either side of those roots.
(B) Solve $4x^{2}-22x+28=0$ and give those two $x$-values as the answer.
(C) Try $x=0$ in $\dfrac{dy}{dx}$, and use that one result for every $x$.
$\dfrac{dy}{dx}=4x^{2}-22x+28$ ต้องมากกว่า $0$ เพื่อให้ $y$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จงเลือกวิธี
(A) แยกตัวประกอบ $4x^{2}-22x+28$ หาค่าที่เท่ากับ $0$ แล้วตัดสินเครื่องหมายทั้งสองข้างของราก
(B) แก้สมการ $4x^{2}-22x+28=0$ แล้วตอบเป็นค่า $x$ สองค่านั้น
(C) ลอง $x=0$ ใน $\dfrac{dy}{dx}$ แล้วใช้ผลนั้นกับทุกค่า $x$
Answershow ▾
(B) finds where $\dfrac{dy}{dx}=0$, the boundary, not where it is positive. (C) checks only one point; a quadratic changes sign at each root, so one value cannot stand for every $x$.(B) หาค่าที่ $\dfrac{dy}{dx}=0$ ซึ่งเป็นแค่ขอบเขต ไม่ใช่ช่วงที่เป็นบวก · (C) ตรวจแค่จุดเดียว ทั้งที่สมการกำลังสองเปลี่ยนเครื่องหมายที่รากแต่ละตัว ค่าเดียวจึงใช้แทนทุกค่า $x$ ไม่ได้
Factorise $4x^{2}-22x+28$ completely.
จงแยกตัวประกอบ $4x^{2}-22x+28$ ให้สมบูรณ์
Answershow ▾
Take out the common factor $2$ first, then factorise the simpler quadratic.ดึงตัวร่วม $2$ ออกก่อน แล้วแยกตัวประกอบสมการกำลังสองที่เหลือ
Using $2(2x-7)(x-2)\gt0$ with roots $2$ and $\tfrac72$, write the range of $x$ for which $y$ is increasing. Check $x=0$ and $x=4$ both fit.
ใช้ $2(2x-7)(x-2)\gt0$ โดยมีราก $2$ กับ $\tfrac72$ จงเขียนช่วงของ $x$ ที่ $y$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ตรวจว่า $x=0$ กับ $x=4$ เข้าช่วงนี้หรือไม่
Answershow ▾
$x=0$ and $x=4$ sit outside $2$ and $\tfrac72$, and both make $\dfrac{dy}{dx}$ positive.$x=0$ กับ $x=4$ อยู่นอกช่วง $2$ ถึง $\tfrac72$ และทำให้ $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นบวกทั้งคู่
A curve has equation $y=2x^{3}-9x^{2}+kx$. Its maximum turning point has $x$-coordinate $1$. Find $k$. Find the range of $x$ for which $y$ is increasing. Find the area bounded by the curve, the line through the maximum point parallel to the $x$-axis, and the $y$-axis.
เส้นโค้ง $y=2x^{3}-9x^{2}+kx$ มีจุดคงตัวสูงสุดที่พิกัด $x=1$ จงหาค่า $k$ จงหาช่วงของ $x$ ที่ $y$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และจงหาพื้นที่ที่ล้อมด้วยเส้นโค้ง เส้นตรงผ่านจุดคงตัวสูงสุดที่ขนานกับแกน $x$ และแกน $y$
Answershow ▾
Same three moves: set $\dfrac{dy}{dx}=0$ at the given $x$ for $k$, solve the inequality outside the roots, then rectangle minus the area under the curve.สามขั้นเดิม: ให้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ ที่ $x$ ที่กำหนดเพื่อหา $k$ แก้อสมการนอกช่วงราก แล้วสี่เหลี่ยมลบพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
Figure 2 shows a sketch of part of the curve $C$ with equation
$y=\dfrac43x^{3}-11x^{2}+kx$
where $k$ is a constant.
The point $M$ is the maximum turning point of $C$ and is shown in Figure 2.
Given that the $x$ coordinate of $M$ is $2$,
(a) show that $k=28$
(b) Determine the range of values of $x$ for which $y$ is increasing.
(c) The line $l$ passes through $M$ and is parallel to the $x$-axis.
The region $R$, shown shaded in Figure 2, is bounded by the curve $C$, the line $l$ and the $y$-axis.
Find, by algebraic integration, the exact area of $R$.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน การแก้ปัญหาที่พึ่งเครื่องคิดเลขทั้งหมดถือว่าไม่ผ่าน
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างบางส่วนของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการ
$y=\dfrac43x^{3}-11x^{2}+kx$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
จุด $M$ คือจุดคงตัวสูงสุด (maximum turning point) ของ $C$ ดังแสดงในรูปที่ 2
กำหนดว่าพิกัด $x$ ของ $M$ คือ $2$
(ก) จงแสดงว่า $k=28$
(ข) จงหาช่วงของค่า $x$ ที่ $y$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
(ค) เส้นตรง $l$ ผ่าน $M$ และขนานกับแกน $x$
บริเวณ $R$ ที่แรเงาในรูปที่ 2 ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง $C$ เส้นตรง $l$ และแกน $y$
จงหา ด้วยการหาปริพันธ์เชิงพีชคณิต พื้นที่แบบ exact ของ $R$
Answershow ▾
10 marks across three parts: 3 for finding $k$, 2 for the inequality, 5 for the area - the biggest mark comes from integrating the curve, not from guessing the shape of the region.10 คะแนนจากสามข้อ: 3 คะแนนสำหรับหา $k$ 2 คะแนนสำหรับอสมการ 5 คะแนนสำหรับพื้นที่ - คะแนนก้อนใหญ่ที่สุดมาจากการอินทิเกรตเส้นโค้ง ไม่ใช่จากการเดารูปร่างของบริเวณ