Exponentials & logarithms · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เลขชี้กำลังและลอการิทึม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Exponentials and logarithms · solving equations
(a) Solve $3^{2x} = 31$, giving your answer to 3 significant figures.
(b) Solve $\log_{3}(x + 1) - \log_{3}(x - 1) = 1$.
Write $\log_{5}(4) + \log_{5}(2)$ as a single logarithm.
เขียน $\log_{5}(4) + \log_{5}(2)$ ในรูปลอการิทึมเดียว
Answershow ▾
The law is $\log a + \log b = \log(ab)$ — adding logs means MULTIPLYING the numbers inside.
Write $\log_{5}(8) - \log_{5}(2)$ as a single logarithm.
เขียน $\log_{5}(8) - \log_{5}(2)$ ในรูปลอการิทึมเดียว
Answershow ▾
The law is $\log a - \log b = \log(a/b)$ — subtracting logs means DIVIDING the numbers inside. This is the law behind part (b) of the exam question.
Write $2\log_{5}(5)$ as a single logarithm.
Answershow ▾
The law is $n\log a = \log(a^n)$ — a multiplier in front of a log becomes a power inside it.
Part (b) begins by turning $\log_{3}(x + 1) - \log_{3}(x - 1)$ into one logarithm. Which of these three is the law that does it, and what is each of the others?
(A) $\log a - \log b = \log(a - b)$ (B) $\log a - \log b = \log\left(\dfrac{a}{b}\right)$ (C) $\log a - \log b = \dfrac{\log a}{\log b}$
Then write the single logarithm.
ข้อ (b) เริ่มจากการรวม $\log_{3}(x + 1) - \log_{3}(x - 1)$ ให้เป็นลอการิทึมเดียว · ข้อไหนคือกฎที่ทำได้ และอีกสองข้อคืออะไร
(A) $\log a - \log b = \log(a - b)$ (B) $\log a - \log b = \log\left(\dfrac{a}{b}\right)$ (C) $\log a - \log b = \dfrac{\log a}{\log b}$
แล้วเขียนลอการิทึมเดียวนั้นออกมา
Answershow ▾
(A) and (C) are both inventions, and both are easy to disprove with numbers you know: $\log_{2}8 - \log_{2}4 = 3 - 2 = 1$, while $\log_{2}(8 - 4) = 2$ and $\dfrac{\log_{2}8}{\log_{2}4} = 1.5$. Only the quotient law returns $1$. The whole family works the same way: one level up outside the log becomes one level up inside it — add becomes multiply, subtract becomes divide, multiply becomes a power. Nothing else about the equation can move until the two logs are one, because there is no rule for undoing two of them at once. Part (b) is M1 for the combining and the mark is for the line, not for knowing which law wrote it.(A) กับ (C) เป็นกฎที่แต่งขึ้น และหักล้างได้ง่ายด้วยตัวเลขที่รู้อยู่แล้ว: $\log_{2}8 - \log_{2}4 = 3 - 2 = 1$ ขณะที่ $\log_{2}(8 - 4) = 2$ และ $\dfrac{\log_{2}8}{\log_{2}4} = 1.5$ · มีแต่กฎผลหารที่คืนค่า $1$ · กฎทั้งตระกูลทำงานแบบเดียวกัน: ขยับขึ้นหนึ่งขั้นนอกล็อกกลายเป็นขึ้นหนึ่งขั้นในล็อก · บวกเป็นคูณ ลบเป็นหาร คูณเป็นยกกำลัง · ไม่มีอะไรในสมการขยับได้จนกว่าสองล็อกจะเหลือหนึ่ง เพราะไม่มีกฎสำหรับถอดล็อกสองตัวพร้อมกัน · ข้อ (b) ให้ M1 กับการรวม และคะแนนอยู่ที่บรรทัด ไม่ใช่ที่การรู้ว่ากฎไหนเขียนมัน
$A^{2x} = B$, where $A = 3$ and $B = 31$. Take logarithms of both sides, and explain why this is the key move.
จาก $A^{2x} = B$ โดย $A=3$ และ $B=31$ จงหาลอการิทึมของทั้งสองข้าง พร้อมอธิบายว่าเหตุใดจึงต้องทำเช่นนี้
Answershow ▾
Logarithms are the ONLY tool that moves a variable out of an exponent. Whenever the unknown is a power, taking logs of both sides is not optional — it is the method.
Given $\log_{3}(y) = 1$, find the value of $y$.
กำหนด $\log_{3}(y) = 1$ จงหาค่า $y$
Answershow ▾
$\log_{3}(c) = 1$ for the base $c$ itself, since $c^1 = c$ — a shortcut worth knowing so you never have to 'undo' a log equal to $1$ the long way.
Part (a) is $3^{2x} = 31$, to be answered to 3 significant figures. Solve it three times, taking $\ln$, then $\lg$, then $\log_{3}$. Say whether the three answers agree, and state which one the mark scheme accepts.
ข้อ (a) คือ $3^{2x} = 31$ ตอบเป็น 3 ตัวเลขนัยสำคัญ · จงแก้สามครั้ง โดยใช้ $\ln$ แล้ว $\lg$ แล้ว $\log_{3}$ · บอกว่าคำตอบทั้งสามตรงกันหรือไม่ และมาร์คสกีมรับข้อไหน
Answershow ▾
The base of the logarithm is a free choice, because the change-of-base rule makes every version the same number written differently — $\dfrac{\ln 31}{2\ln 3}$, $\dfrac{\lg 31}{2\lg 3}$ and $\tfrac{1}{2}\log_{3}31$ all equal $1.5628\ldots$. What is not free is where the $2$ goes: the power law brings the whole exponent down, so it is $2x\ln 3$, and dividing by $\ln 3$ alone leaves $x = 3.13$, exactly double. Round only on the last line, and to three figures, not three decimals. Part (a) is M1 for taking logs correctly and A1 for $1.56$; the base you chose is invisible to both.ฐานของลอการิทึมเลือกได้อิสระ เพราะกฎเปลี่ยนฐานทำให้ทุกแบบเป็นตัวเลขเดียวกันที่เขียนต่างกัน · $\dfrac{\ln 31}{2\ln 3}$, $\dfrac{\lg 31}{2\lg 3}$ และ $\tfrac{1}{2}\log_{3}31$ เท่ากับ $1.5628\ldots$ ทั้งหมด · สิ่งที่ไม่อิสระคือ $2$ ไปอยู่ไหน · กฎเลขยกกำลังดึงเลขชี้กำลังทั้งก้อนลงมา จึงเป็น $2x\ln 3$ · ถ้าหารด้วย $\ln 3$ เฉย ๆ จะได้ $x = 3.13$ ซึ่งเป็นสองเท่าพอดี · ปัดเศษเฉพาะบรรทัดสุดท้าย และเป็นตัวเลขนัยสำคัญสามตัว ไม่ใช่ทศนิยมสามตำแหน่ง · ข้อ (a) ให้ M1 กับการใส่ล็อกอย่างถูกต้องและ A1 กับ $1.56$ · ฐานที่เลือกมองไม่เห็นจากทั้งสองคะแนน
Write $\log_{3}(x + 1) - \log_{3}(x - 1)$ as a single logarithm.
เขียน $\log_{3}(x + 1) - \log_{3}(x - 1)$ ในรูปลอการิทึมเดียว
Answershow ▾
You must combine the two logs into one BEFORE you can undo the log — there is no rule for solving an equation with two separate logs in it.
Solve $\log_{3}(x) + \log_{3}(x - 4) = \log_{3}(12)$ for $x$, rejecting any solution for which a logarithm would not be defined.
แก้สมการ $\log_{3}(x) + \log_{3}(x - 4) = \log_{3}(12)$ โดยตัดคำตอบที่ทำให้ลอการิทึมไม่นิยามทิ้ง
Answershow ▾
Solving the quadratic only finds two CANDIDATE values. The rejection is where the mark actually is — you must test each candidate in the original equation and state, in words, why the invalid one is thrown away; silently dropping it earns nothing.
Before solving $\log_{3}(x + 1) - \log_{3}(x - 1) = 1$, decide which values of $x$ the equation is even allowed to have. Write the two conditions that the insides of the logs impose, combine them into one inequality, and say which of $x = 0$, $x = 1$, $x = 2$ survives.
ก่อนแก้ $\log_{3}(x + 1) - \log_{3}(x - 1) = 1$ จงตัดสินว่าสมการนี้อนุญาตให้ $x$ เป็นค่าใดได้บ้าง · เขียนเงื่อนไขสองข้อที่ตัวเลขในล็อกบังคับไว้ รวมเป็นอสมการเดียว และบอกว่า $x = 0$, $x = 1$, $x = 2$ ตัวไหนรอด
Answershow ▾
A logarithm only exists for a strictly positive number, so every log in an equation quietly adds a condition, and the strictest of them wins — $x \gt -1$ and $x \gt 1$ together mean $x \gt 1$. Here the solution $x = 2$ is safely inside, so nothing is thrown away; the habit pays on the questions where the quadratic hands you a second root that would need the log of a negative number, and where a rejection with a written reason is the mark. $x = 1$ is worth noticing separately: it makes $x - 1 = 0$, and $\log_{3}0$ does not exist either. Part (b) is M1 A1 for the solving; the domain check protects them and is paid for by neither.ลอการิทึมมีอยู่ได้เฉพาะกับจำนวนบวกแท้ ทุกล็อกในสมการจึงแอบเพิ่มเงื่อนไขเข้ามา และเงื่อนไขที่เข้มที่สุดเป็นฝ่ายชนะ · $x \gt -1$ กับ $x \gt 1$ รวมกันได้ $x \gt 1$ · ที่นี่คำตอบ $x = 2$ อยู่ในเขตปลอดภัย จึงไม่มีอะไรถูกตัดทิ้ง · นิสัยนี้จะคุ้มในข้อที่สมการกำลังสองให้รากที่สองซึ่งต้องใช้ล็อกของจำนวนลบ และการตัดทิ้งพร้อมเหตุผลที่เขียนไว้คือคะแนน · $x = 1$ ควรสังเกตแยกไว้ด้วย เพราะทำให้ $x - 1 = 0$ และ $\log_{3}0$ ก็ไม่มีเช่นกัน · ข้อ (b) ให้ M1 A1 กับการแก้สมการ · การตรวจโดเมนปกป้องคะแนนทั้งสองและไม่ได้คะแนนจากทั้งคู่
Solve $\log_{3}(x + 1) - \log_{3}(x - 1) = 1$ for $x$.
Answershow ▾
Questions 6 and 5 back to back: combine the two logs into one, then use $\log_c(A) = 1 \Rightarrow A = c$ to remove the log altogether, then solve the resulting linear equation.
(a) Solve $2^{2x} = 20$, giving your answer to 3 significant figures.
(b) Solve $\log_{2}(x + 1) - \log_{2}(x - 1) = 1$.
Answershow ▾
Same two methods as the exam question — take logs and solve for (a), combine logs then undo for (b) — but with smaller, easier numbers throughout.
(a) Solve $3^{2x} = 31$, giving your answer to 3 significant figures.
(b) Solve $\log_{3}(x + 1) - \log_{3}(x - 1) = 1$.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is the first half of part (a); question 8 is part (b) in full.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Exponentials and logarithms · reduction to linear form
The variables $x$ and $y$ satisfy $y = kx^n$. When $\lg y$ is plotted against $\lg x$, the graph is a straight line with gradient $1$, passing through the point $(\lg 6, \lg 36)$.
(a) Find $n$.
(b) Find $k$.
$y = 4x^{-1}$. Take $\lg$ of both sides and simplify the right-hand side using the log laws.
จาก $y = 4x^{-1}$ จงหา $\lg$ ของทั้งสองข้าง แล้วจัดรูปด้านขวาด้วยกฎลอการิทึม
Answershow ▾
$\lg(kx^n) = \lg k + \lg(x^n) = \lg k + n\lg x$ — the product law, then the power law, applied one after another.
$\lg y = \lg 4 - \lg x$ describes a straight line when $\lg y$ is plotted against $\lg x$. Writing it as $Y = mX + c$, state what $Y$, $X$, $m$ and $c$ stand for.
Answershow ▾
This matching is the whole idea of 'reduction to linear form': the messy equation $y = kx^n$ becomes an ordinary straight line once you plot $\lg y$ against $\lg x$ instead of $y$ against $x$.
The graph of $\lg y$ against $\lg x$ is the line $\lg y = 3\lg x + 2$. Write down the value of $n$, and the value of $\lg k$.
กราฟของ $\lg y$ เทียบกับ $\lg x$ คือเส้นตรง $\lg y = 3\lg x + 2$ จงหาค่า $n$ และค่า $\lg k$
Answershow ▾
Compare directly with $\lg y = n\lg x + \lg k$: the coefficient of $\lg x$ is $n$, and the number on its own is $\lg k$ — NOT $k$ itself yet.
Two models, two ways of plotting. Match each model to the pair of axes that turns it into a straight line: $y = kx^{n}$ and $y = ka^{x}$, against “$\lg y$ against $\lg x$” and “$\lg y$ against $x$”. Then say which model this question is about.
สองแบบจำลอง สองวิธีพล็อต · จงจับคู่แต่ละแบบจำลองกับคู่แกนที่ทำให้มันเป็นเส้นตรง: $y = kx^{n}$ กับ $y = ka^{x}$ เข้ากับ "$\lg y$ ต่อ $\lg x$" และ "$\lg y$ ต่อ $x$" · แล้วบอกว่าโจทย์ข้อนี้เป็นแบบจำลองไหน
Answershow ▾
Take logs of both models and the difference is visible in one glance: in the first, the variable sits inside a log on the right, so the horizontal axis has to be $\lg x$; in the second the variable is already loose and multiplies $\lg a$, so the horizontal axis stays $x$. Choosing the wrong pair of axes does not produce a wrong straight line — it produces a curve, and every gradient read off it is meaningless. The question tells you which model you have by writing $y = kx^{n}$, and the phrase “$\lg y$ plotted against $\lg x$” confirms it. Nothing in the mark scheme pays for the match; the B1 is for $n$ and the M1 A1 for $k$.ใส่ล็อกทั้งสองแบบจำลองแล้วความต่างเห็นได้ในแวบเดียว: แบบแรก ตัวแปรอยู่ในล็อกทางขวา แกนนอนจึงต้องเป็น $\lg x$ · แบบที่สอง ตัวแปรหลุดออกมาแล้วและคูณอยู่กับ $\lg a$ แกนนอนจึงยังเป็น $x$ · การเลือกคู่แกนผิดไม่ได้ให้เส้นตรงที่ผิด แต่ให้เส้นโค้ง และความชันทุกค่าที่อ่านจากมันไม่มีความหมาย · โจทย์บอกว่าเป็นแบบจำลองไหนด้วยการเขียน $y = kx^{n}$ และวลี "$\lg y$ plotted against $\lg x$" ยืนยันอีกชั้น · ไม่มีคะแนนให้กับการจับคู่นี้ · B1 ให้กับ $n$ และ M1 A1 ให้กับ $k$
$y = kx^n$, where $y = 36$ when $x = 6$. Take $\lg$ of both sides of $y = kx^n$ and simplify the right-hand side.
Answershow ▾
Same move as question 1 — the product law then the power law — whatever the actual numbers turn out to be.
The graph of $\lg y$ against $\lg x$ for $y = kx^n$ is a straight line with gradient $1$. Write down the value of $n$.
Answershow ▾
Matching $\lg y = n\lg x + \lg k$ to $Y = mX + c$ shows gradient $= n$ directly — this is part (a) of the exam question.
The line $\lg y = n\lg x + \lg k$ is matched to $Y = mX + c$. The graph has gradient $1$. Say which of $n$, $k$, $\lg k$ the gradient gives you, write down its value, and say what the gradient would have been if the model were $y = kx^{3}$.
เส้น $\lg y = n\lg x + \lg k$ ถูกจับคู่กับ $Y = mX + c$ · กราฟมีความชัน $1$ · จงบอกว่าความชันให้ค่าอะไรระหว่าง $n$, $k$, $\lg k$ เขียนค่านั้นลงไป และบอกว่าถ้าแบบจำลองเป็น $y = kx^{3}$ ความชันจะเป็นเท่าไร
Answershow ▾
Matching $\lg y = n\lg x + \lg k$ to $Y = mX + c$ pairs $Y$ with $\lg y$, $X$ with $\lg x$, $m$ with $n$ and $c$ with $\lg k$ — four pairings, and the only one that is a bare letter on both sides is the gradient. That is why $n$ can be written straight down with no working at all: the power in the original model is the gradient of the log-log line, unchanged and untransformed. The intercept is the one that is not bare, and that is the next decision. Part (a) is B1, one mark for one number; reading it off the matching costs nothing.การจับคู่ $\lg y = n\lg x + \lg k$ กับ $Y = mX + c$ ให้ $Y$ คู่กับ $\lg y$, $X$ คู่กับ $\lg x$, $m$ คู่กับ $n$ และ $c$ คู่กับ $\lg k$ · สี่คู่ และคู่เดียวที่เป็นตัวอักษรโดด ๆ ทั้งสองข้างคือความชัน · นั่นคือเหตุผลที่เขียน $n$ ลงไปได้เลยโดยไม่ต้องมีวิธีทำ · เลขชี้กำลังในแบบจำลองเดิมคือความชันของเส้นล็อก-ล็อก ไม่ถูกแปลงอะไรเลย · จุดตัดแกนคือตัวที่ไม่โดด และนั่นคือการตัดสินใจถัดไป · ข้อ (a) คือ B1 หนึ่งคะแนนต่อหนึ่งตัวเลข · การอ่านจากการจับคู่ไม่มีคะแนน
Solving the exam question so far gives a $y$-intercept of $\lg(6)$. Find the value of $k$.
จากการแก้โจทย์ พบว่าจุดตัดแกน $y$ คือ $\lg(6)$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
The intercept only ever gives you $\lg k$, never $k$ itself. The most common mistake here is stopping at $\lg k$ and writing that down as the final answer — you must undo the log, $k = 10^{\lg k}$, to actually answer the question.
$y = 5(2)^x$. This time it is $\lg y$ plotted against $x$ (not $\lg x$) that gives a straight line. Find the gradient of that line.
$y = 5(2)^x$ โดยครั้งนี้กราฟเส้นตรงคือ $\lg y$ เทียบกับ $x$ (ไม่ใช่ $\lg x$) จงหาความชันของเส้นตรงนั้น
Answershow ▾
A very common mistake: the gradient here is $\lg 2$, NOT $2$ itself. Because the base $2$ is now attached to $x$ (not to a power of $x$), taking logs brings down $\lg 2$ as the multiplier of $x$ — a different result from the $y = kx^n$ case, even though the method looks the same.
The line passes through $(\lg 6,\ \lg 36)$ with gradient $1$, so its intercept is $c = \lg 36 - \lg 6$. Which of these three is $k$, and what are the other two?
(A) $\lg 6$ (B) $6$ (C) $36$
เส้นผ่าน $(\lg 6,\ \lg 36)$ ด้วยความชัน $1$ จุดตัดแกนจึงเป็น $c = \lg 36 - \lg 6$ · ข้อไหนคือ $k$ และอีกสองข้อคืออะไร
(A) $\lg 6$ (B) $6$ (C) $36$
Answershow ▾
The intercept of a log-log line is never the constant you want; it is the logarithm of it, so there is always one undoing left to do. Stopping at $\lg 6$ is the classic loss here — the working is finished, the answer is not. Undo it by raising the base to that power, $k = 10^{\lg 6} = 6$, and check it against the original model: $36 = 6 \times 6^{1}$, which closes the question. (C) mistakes a data point for a parameter; $36$ is one value of $y$, not the multiplier that generated it. Part (b) is M1 for reaching $\lg k$ and A1 for $k$; the M1 is the easy one and the A1 is the one that needs the last line.จุดตัดแกนของเส้นล็อก-ล็อกไม่เคยเป็นค่าคงที่ที่ต้องการ · มันคือลอการิทึมของค่านั้น จึงเหลือการถอดอีกหนึ่งขั้นเสมอ · การหยุดที่ $\lg 6$ คือความสูญเสียคลาสสิกตรงนี้ · วิธีทำเสร็จแล้ว แต่คำตอบยังไม่เสร็จ · ถอดด้วยการยกฐานขึ้นกำลังนั้น $k = 10^{\lg 6} = 6$ แล้วตรวจกับแบบจำลองเดิม: $36 = 6 \times 6^{1}$ ซึ่งปิดคำถามได้ · (C) เข้าใจผิดว่าจุดข้อมูลคือพารามิเตอร์ · $36$ เป็นค่า $y$ ค่าหนึ่ง ไม่ใช่ตัวคูณที่สร้างมันขึ้นมา · ข้อ (b) ให้ M1 กับการไปถึง $\lg k$ และ A1 กับ $k$ · M1 คือคะแนนที่ง่าย และ A1 คือคะแนนที่ต้องมีบรรทัดสุดท้าย
$y = kx^n$, $y = 36$ when $x = 6$, and $n = 1$. Find $k$.
Answershow ▾
Substitute directly: $36 = k\times6^{1}$, so $k = 36/6^{1} = 6$ — this is the same intercept-and-undo method as question 6, reached a slightly quicker way.
The variables $x$ and $y$ satisfy $y = kx^n$. When $\lg y$ is plotted against $\lg x$, the graph is a straight line with gradient $1$, passing through the point $(\lg 4, \lg 8)$.
(a) Find $n$.
(b) Find $k$.
Answershow ▾
Exactly the same two methods as the exam question, but with the smallest numbers that still make the point.
The variables $x$ and $y$ satisfy $y = kx^n$. When $\lg y$ is plotted against $\lg x$, the graph is a straight line with gradient $1$, passing through the point $(\lg 6, \lg 36)$.
(a) Find $n$.
(b) Find $k$.
Answershow ▾
6 marks. Question 5 is part (a); question 8 is part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Exponential equation, then exact log equation สมการเลขชี้กำลัง แล้วสมการลอการิทึม (logarithm) แบบแม่นตรง
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
(i) Solve
$3^{a}=70$
giving the answer to 3 decimal places.
(ii) Find the exact value of $b$ such that
$4+3\log_3 b=\log_3 5b$
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
(i) แก้สมการ
$3^{a}=70$
ตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ii) หาค่า exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $b$ ที่ทำให้
$4+3\log_3 b=\log_3 5b$
Take $\log$ of both sides of $3^{a}=70$, then bring the power down using the power law.
จง $\log$ ทั้งสองข้างของ $3^{a}=70$ แล้วดึงเลขชี้กำลังลงมาโดยใช้กฎยกกำลัง
Answershow ▾
Taking log of a power moves the power to the front, as a multiplier.การ log ของเลขยกกำลัง จะดึงเลขชี้กำลังลงมาเป็นตัวคูณด้านหน้า
Write $4$ as $\log_3$ of a power of $3$.
จงเขียน $4$ เป็น $\log_3$ ของเลขยกกำลังของ $3$
Answershow ▾
$\log_3 3^{4}=4$, and $3^{4}=81$.$\log_3 3^{4}=4$ และ $3^{4}=81$
Write $3\log_3 b$ as a single log, using the power law.
จงเขียน $3\log_3 b$ เป็น log เดียว โดยใช้กฎยกกำลัง
Answershow ▾
$n\log x=\log x^{n}$, with $n=3$ and $x=b$.$n\log x=\log x^{n}$ โดย $n=3$ และ $x=b$
From $a\log 3=\log 70$, find $a$ to 3 decimal places.
จาก $a\log 3=\log 70$ จงหา $a$ เป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Divide both sides by $\log 3$, then round.หารทั้งสองข้างด้วย $\log 3$ แล้วปัดเศษ
$4+3\log_3 b=\log_3 5b$. Pick the first move.
(A) treat $4+3\log_3 b$ as $\log_3(4+b^{3})$
(B) write $4$ as $\log_3 81$ and $3\log_3 b$ as $\log_3 b^{3}$, so every term is a log
(C) cube both sides of the whole equation
$4+3\log_3 b=\log_3 5b$ จงเลือกขั้นแรก
(A) มอง $4+3\log_3 b$ เป็น $\log_3(4+b^{3})$
(B) เขียน $4$ เป็น $\log_3 81$ และ $3\log_3 b$ เป็น $\log_3 b^{3}$ ให้ทุกพจน์เป็น log
(C) ยกกำลังสามทั้งสองข้างของสมการทั้งหมด
Answershow ▾
(A) adds a plain number into a log without converting it first - $\log_3(4+b^{3})$ is not the same as $4+\log_3 b^{3}$. (C) cubing a sum of logs does not remove them.(A) เอาจำนวนธรรมดาไปบวกเข้ากับ log โดยไม่แปลงก่อน - $\log_3(4+b^{3})$ ไม่เท่ากับ $4+\log_3 b^{3}$ · (C) ยกกำลังสามของผลรวม log ไม่ได้ทำให้ log หายไป
Rewrite $4+3\log_3 b=\log_3 5b$ so every term is a $\log_3$.
จงเขียน $4+3\log_3 b=\log_3 5b$ ใหม่ ให้ทุกพจน์เป็น $\log_3$
Answershow ▾
Use $4=\log_3 81$ and $3\log_3 b=\log_3 b^{3}$ from the last two questions.ใช้ $4=\log_3 81$ และ $3\log_3 b=\log_3 b^{3}$ จากสองข้อที่แล้ว
Combine $\log_3 81+\log_3 b^{3}$ into one log, then remove the logs.
จงรวม $\log_3 81+\log_3 b^{3}$ ให้เป็น log เดียว แล้วถอด log ออก
Answershow ▾
Logs with the same base, both sides equal, means the arguments are equal too.log ฐานเดียวกัน สองข้างเท่ากัน แปลว่าค่าภายใน log ก็เท่ากันด้วย
From $81b^{3}=5b$, divide both sides by $81b$ ($b\neq0$) and simplify.
จาก $81b^{3}=5b$ จงหารทั้งสองข้างด้วย $81b$ ($b\neq0$) แล้วจัดรูป
Answershow ▾
Dividing removes one factor of $b$ from each side, leaving $b^{2}$.การหารตัด $b$ ออกหนึ่งตัวจากแต่ละข้าง เหลือ $b^{2}$
$b^{2}=\dfrac{5}{81}$. Pick the next move.
(A) $b=\pm\sqrt{\dfrac{5}{81}}$, both values are valid
(B) $b=\sqrt{\dfrac{5}{81}}$ only
(C) $b=\dfrac{5}{81}$, no square root needed
$b^{2}=\dfrac{5}{81}$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) $b=\pm\sqrt{\dfrac{5}{81}}$ ใช้ได้ทั้งสองค่า
(B) $b=\sqrt{\dfrac{5}{81}}$ เท่านั้น
(C) $b=\dfrac{5}{81}$ ไม่ต้องถอดราก
Answershow ▾
(A) is wrong because $\log_3 b$ only exists for $b\gt0$, so the negative root is rejected. (C) forgot to square root $b^{2}$.(A) ผิดเพราะ $\log_3 b$ มีค่าเมื่อ $b\gt0$ เท่านั้น จึงต้องตัดรากลบทิ้ง · (C) ลืมถอดรากของ $b^{2}$
Check by evaluating $81b^{3}$ when $b=\dfrac{\sqrt{5}}{9}$. Does it equal $5b=\dfrac{5\sqrt{5}}{9}$?
จงตรวจโดยคำนวณ $81b^{3}$ เมื่อ $b=\dfrac{\sqrt{5}}{9}$ ว่าเท่ากับ $5b=\dfrac{5\sqrt{5}}{9}$ หรือไม่
Answershow ▾
Cubing the surd and simplifying the fraction gives the same value both ways.ยกกำลังสามของเสิร์ด (surd) แล้วจัดรูปเศษส่วน ได้ค่าเดียวกันทั้งสองทาง
(i) Solve $2^{x}=20$, giving the answer to 3 decimal places.
(ii) Find the exact value of $c$ such that $2+3\log_3 c=\log_3 4c$.
(i) จงแก้สมการ $2^{x}=20$ ตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ii) จงหาค่าแม่นตรงของ $c$ ที่ทำให้ $2+3\log_3 c=\log_3 4c$
Answershow ▾
Same method twice: take logs for (i); turn every term into a log, combine, then divide by $c$ for (ii).วิธีเดิมสองครั้ง: log สำหรับ (i) · เปลี่ยนทุกพจน์เป็น log รวมกัน แล้วหารด้วย $c$ สำหรับ (ii)
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
(i) Solve
$3^{a}=70$
giving the answer to 3 decimal places.
(ii) Find the exact value of $b$ such that
$4+3\log_3 b=\log_3 5b$
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
(i) แก้สมการ
$3^{a}=70$
ตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ii) หาค่า exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $b$ ที่ทำให้
$4+3\log_3 b=\log_3 5b$
Answershow ▾
6 marks: take logs for (i); turn every term into a log, combine, then keep only the positive root for (ii).6 คะแนน: ใส่ log สำหรับ (i) · เปลี่ยนทุกพจน์เป็น log รวมกัน แล้วเก็บเฉพาะรากบวกสำหรับ (ii)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Combine logs, then reject a root รวม log แล้วตัดรากทิ้ง
Use the laws of logarithms to solve
$\log_2(16x)+\log_2(x+1)=3+\log_2(x+6)$
ใช้กฎของลอการิทึม (laws of logarithms) แก้สมการ
$\log_2(16x)+\log_2(x+1)=3+\log_2(x+6)$
Write $3$ as $\log_{2}N$. Find $N$.
เขียน $3$ เป็น $\log_{2}N$ · หา $N$
Answershow ▾
$2$ raised to the power $3$ gives $N$.$2$ ยกกำลัง $3$ ได้ $N$
Combine $\log_{2}8+\log_{2}2$ into a single logarithm $\log_{2}N$. Find $N$.
รวม $\log_{2}8+\log_{2}2$ ให้เป็นลอการิทึมก้อนเดียว $\log_{2}N$ · หา $N$
Answershow ▾
Multiply the numbers inside the two logs.คูณตัวเลขข้างในลอการิทึมทั้งสองตัว
Expand $8(x+6)$.
จงกระจาย $8(x+6)$
Answershow ▾
Multiply $8$ by each term inside the bracket.คูณ $8$ กับแต่ละพจน์ในวงเล็บ
The equation has a bare $3$ with no log attached: $\log_2(16x)+\log_2(x+1)=3+\log_2(x+6)$. Pick the first move.
(A) divide every term by $3$
(B) write $3$ as $\log_2 8$, so every term is a logarithm
(C) combine the two logs on the right without touching the $3$
สมการมีเลข $3$ โดดๆ ไม่มี log ติด: $\log_2(16x)+\log_2(x+1)=3+\log_2(x+6)$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารทุกพจน์ด้วย $3$
(B) เขียน $3$ เป็น $\log_2 8$ ให้ทุกพจน์เป็นลอการิทึม
(C) รวม log สองตัวทางขวาโดยไม่แตะเลข $3$
Answershow ▾
(A) cannot divide across logs added together - there is no common factor $3$ on the left. (C) has nothing to combine $\log_2(x+6)$ with until the $3$ becomes a log too.(A) หารข้ามสมการที่มี log บวกกันไม่ได้ เพราะทางซ้ายไม่มีตัวประกอบร่วม $3$ · (C) ยังไม่มีอะไรให้รวมกับ $\log_2(x+6)$ จนกว่าเลข $3$ จะกลายเป็น log ก่อน
Use the addition law on both sides of $\log_2(16x)+\log_2(x+1)=3+\log_2(x+6)$, using $3=\log_2 8$. Write each side as a single logarithm.
ใช้กฎการบวกทั้งสองข้างของ $\log_2(16x)+\log_2(x+1)=3+\log_2(x+6)$ โดยใช้ $3=\log_2 8$ แล้วเขียนให้เหลือ log ก้อนเดียวแต่ละข้าง
Answershow ▾
Multiply the two numbers inside the logs together on each side.คูณตัวเลขข้างในของแต่ละข้างเข้าด้วยกัน
Remove the logs from $\log_2 16x(x+1)=\log_2 8(x+6)$, then expand and simplify to the form $ax^{2}+bx+c=0$.
ถอด log จาก $\log_2 16x(x+1)=\log_2 8(x+6)$ แล้วกระจายและจัดรูปให้เป็น $ax^{2}+bx+c=0$
Answershow ▾
Expand both sides, move every term to one side, then divide by the common factor $8$.กระจายทั้งสองข้าง ย้ายทุกพจน์มาข้างเดียว แล้วหารด้วยตัวร่วม $8$
Solve $2x^{2}+x-6=0$ by factorising.
จงแก้สมการ $2x^{2}+x-6=0$ โดยการแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Check by expanding back: $(2x-3)(x+2)$ gives $4x-3x=x$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(2x-3)(x+2)$ ได้ $4x-3x=x$
$x=-2$ is one of the roots of the quadratic. Work out $16x$ when $x=-2$.
$x=-2$ เป็นหนึ่งในรากของสมการกำลังสอง · จงหาค่า $16x$ เมื่อ $x=-2$
Answershow ▾
$\log_2$ of a negative number does not exist, so $x=-2$ is rejected.$\log_2$ ของจำนวนลบไม่มีค่า จึงต้องตัดทิ้ง $x=-2$
Check that $x=\tfrac32$ fits the original equation: combine $\log_2(16x)+\log_2(x+1)$ into one logarithm when $x=\tfrac32$.
ตรวจว่า $x=\tfrac32$ เป็นจริงกับสมการตั้งต้น: รวม $\log_2(16x)+\log_2(x+1)$ เป็น log ก้อนเดียวเมื่อ $x=\tfrac32$
Answershow ▾
Both sides combine to the same logarithm, so $x=\tfrac32$ is confirmed.ทั้งสองข้างรวมได้ลอการิทึมเดียวกัน จึงยืนยันว่า $x=\tfrac32$ ถูกต้อง
Use the laws of logarithms to solve $\log_2(2x)+\log_2(x+1)=1+\log_2(x+4)$.
ใช้กฎของลอการิทึม แก้สมการ $\log_2(2x)+\log_2(x+1)=1+\log_2(x+4)$
Answershow ▾
Same four moves: write $1$ as a log, combine, solve the quadratic, reject the negative root.สี่ขั้นเดิม: เขียน $1$ เป็น log รวม log แก้สมการกำลังสอง แล้วตัดรากที่เป็นลบทิ้ง
Use the laws of logarithms to solve
$\log_2(16x)+\log_2(x+1)=3+\log_2(x+6)$
ใช้กฎของลอการิทึม (laws of logarithms) แก้สมการ
$\log_2(16x)+\log_2(x+1)=3+\log_2(x+6)$
Answershow ▾
5 marks: write $3$ as a log, combine both sides, remove the logs, solve the quadratic, then reject the root that makes a log negative.5 คะแนน: เขียน $3$ เป็น log รวม log ทั้งสองข้าง ถอด log แก้สมการกำลังสอง แล้วตัดรากที่ทำให้ log ติดลบทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Log equation, then reject a root สมการ log แล้วตัดรากที่ใช้ไม่ได้
Using the laws of logarithms, solve
$\log_3(32-12x)=2\log_3(1-x)+3$
ใช้กฎของลอการิทึม แก้สมการ
$\log_3(32-12x)=2\log_3(1-x)+3$
Using the power law, write $2\log_3(1-x)$ as a single logarithm.
ใช้กฎยกกำลัง จงเขียน $2\log_3(1-x)$ เป็น log เดียว
Answershow ▾
The coefficient becomes the power inside the log.สัมประสิทธิ์กลายเป็นเลขชี้กำลังข้างในลอการิทึม
Write $3$ as a logarithm to base $3$.
จงเขียน $3$ เป็นลอการิทึมฐาน $3$
Answershow ▾
$3=\log_3 3^{3}$, and $3^{3}=27$.$3=\log_3 3^{3}$ และ $3^{3}=27$
Write $\log_3(32-12x)-\log_3(1-x)^{2}$ as a single logarithm.
จงเขียน $\log_3(32-12x)-\log_3(1-x)^{2}$ เป็น log เดียว
Answershow ▾
Subtracting logs divides the arguments.การลบ log คือการหารกันของค่าภายใน
Pick the correct way to write $2\log_3(1-x)$ as a single logarithm.
(A) $\log_3(2-2x)$
(B) $\log_3(1-x)^{2}$
(C) $\log_3(1-2x)$
จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการเขียน $2\log_3(1-x)$ เป็น log เดียว
(A) $\log_3(2-2x)$
(B) $\log_3(1-x)^{2}$
(C) $\log_3(1-2x)$
Answershow ▾
(A) multiplies the $2$ into the bracket, as if the coefficient moved inside without being squared. (C) just subtracts $2$, with no log law behind it. The power law makes the coefficient an exponent.(A) เอา $2$ ไปคูณในวงเล็บ เหมือนย้ายสัมประสิทธิ์เข้าไปโดยไม่ยกกำลัง · (C) ลบ $2$ เฉยๆ ซึ่งไม่มีกฎ log ใดรองรับ · กฎยกกำลังทำให้สัมประสิทธิ์กลายเป็นเลขชี้กำลัง
Move $2\log_3(1-x)$ to the left of $\log_3(32-12x)=2\log_3(1-x)+3$, then combine the two logs into one.
ย้าย $2\log_3(1-x)$ ไปทางซ้ายของ $\log_3(32-12x)=2\log_3(1-x)+3$ แล้วรวมสอง log เป็น log เดียว
Answershow ▾
Moving a log term across $=$ works like moving any term.การย้ายพจน์ log ข้าม $=$ ทำเหมือนย้ายพจน์ทั่วไป
Use $3=\log_3 27$ to write $\log_3\dfrac{32-12x}{(1-x)^{2}}=3$ with no logarithms.
ใช้ $3=\log_3 27$ เพื่อเขียน $\log_3\dfrac{32-12x}{(1-x)^{2}}=3$ โดยไม่มี log
Answershow ▾
Two logs to the same base are equal only when their arguments are equal.log ฐานเดียวกันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อค่าภายในเท่ากัน
Clear the fraction in $\dfrac{32-12x}{(1-x)^{2}}=27$, then solve the quadratic.
กำจัดเศษส่วนใน $\dfrac{32-12x}{(1-x)^{2}}=27$ แล้วแก้สมการกำลังสองที่ได้
Answershow ▾
Check by expanding back: $(9x+1)(3x-5)$ gives $27x+3x=30x$... collect carefully.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(9x+1)(3x-5)$ แล้วรวมพจน์อย่างระมัดระวัง
The quadratic gives $x=-\dfrac19$ and $x=\dfrac53$. Pick the correct next step.
(A) Keep both values, since both solve $27x^{2}-42x-5=0$
(B) Reject $x=\dfrac53$, because $1-x\lt0$ there and $\log_3(1-x)$ needs $1-x\gt0$
(C) Reject $x=-\dfrac19$, because it is negative
สมการกำลังสองให้ $x=-\dfrac19$ และ $x=\dfrac53$ จงเลือกขั้นต่อไปที่ถูกต้อง
(A) เก็บทั้งสองค่า เพราะทั้งคู่แก้ $27x^{2}-42x-5=0$ ได้
(B) ตัด $x=\dfrac53$ ทิ้ง เพราะ $1-x\lt0$ ที่นั่น และ $\log_3(1-x)$ ต้องการ $1-x\gt0$
(C) ตัด $x=-\dfrac19$ ทิ้ง เพราะเป็นค่าลบ
Answershow ▾
(A) forgets that clearing the logs let in an extra root the original logs cannot take. (C) confuses $x$ being negative with the log argument being negative; $1-\left(-\dfrac19\right)=\dfrac{10}{9}\gt0$ is fine.(A) ลืมว่าการกำจัด log ทำให้ได้รากพิเศษที่ log เดิมรับไม่ได้ · (C) สับสนระหว่าง $x$ เป็นลบ กับค่าภายใน log เป็นลบ เพราะ $1-\left(-\dfrac19\right)=\dfrac{10}{9}\gt0$ ใช้ได้ปกติ
The two roots are $x=-\dfrac19$ and $x=\dfrac53$. Only one keeps $1-x\gt0$. Write that value of $x$.
รากทั้งสองคือ $x=-\dfrac19$ และ $x=\dfrac53$ มีค่าเดียวที่ทำให้ $1-x\gt0$ จงเขียนค่า $x$ นั้น
Answershow ▾
At $x=\dfrac53$, $1-x=-\dfrac23\lt0$, so $\log_3(1-x)$ does not exist there.ที่ $x=\dfrac53$ จะได้ $1-x=-\dfrac23\lt0$ ทำให้ $\log_3(1-x)$ ไม่มีค่าที่นั่น
Check $x=-\dfrac19$ by working out $32-12x$ and $1-x$.
ตรวจ $x=-\dfrac19$ โดยคำนวณ $32-12x$ และ $1-x$
Answershow ▾
Both give $\log_3\dfrac{100}{3}$, since $27\times\left(\dfrac{10}{9}\right)^{2}=\dfrac{100}{3}$.ทั้งสองค่าให้ $\log_3\dfrac{100}{3}$ เท่ากัน เพราะ $27\times\left(\dfrac{10}{9}\right)^{2}=\dfrac{100}{3}$
Using the laws of logarithms, solve $\log_2(3x-4)=2\log_2(2-x)+1$.
ใช้กฎของลอการิทึม แก้สมการ $\log_2(3x-4)=2\log_2(2-x)+1$
Answershow ▾
Same five moves: power law, number as a log, combine, clear, reject by the domain.ห้าขั้นเดิม: กฎยกกำลัง จำนวนเป็น log รวม log กำจัด แล้วตัดรากที่ใช้ไม่ได้
Using the laws of logarithms, solve
$\log_3(32-12x)=2\log_3(1-x)+3$
ใช้กฎของลอการิทึม แก้สมการ
$\log_3(32-12x)=2\log_3(1-x)+3$
Answershow ▾
5 marks: clear every log with the power law and $3=\log_3 27$, solve, then reject by the domain.5 คะแนน: กำจัด log ทุกตัวด้วยกฎยกกำลังและ $3=\log_3 27$ แก้สมการ แล้วตัดรากที่ใช้ไม่ได้
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Log laws in terms of a กฎ log ในรูปของ a
Given $a=\log_2 3$
(i) write, in simplest form, in terms of $a$,
(a) $\log_2 9$
(b) $\log_2\dfrac{\sqrt{3}}{16}$
(ii) Solve
$3^{x}\times 2^{x+4}=6$
giving your answer, in simplest form, in terms of $a$.
กำหนดให้ $a=\log_2 3$
(i) เขียนในรูปอย่างง่ายที่สุด (simplest form) ในรูปของ $a$
(a) $\log_2 9$
(b) $\log_2\dfrac{\sqrt{3}}{16}$
(ii) แก้สมการ
$3^{x}\times 2^{x+4}=6$
ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด ในรูปของ $a$
Write $\log_2 3^{2}$ as a multiple of $\log_2 3$.
จงเขียน $\log_2 3^{2}$ ให้เป็นผลคูณของ $\log_2 3$
Answershow ▾
The power law: $\log_b x^{n}=n\log_b x$.กฎยกกำลัง: $\log_b x^{n}=n\log_b x$
Write $\log_2\dfrac{3}{16}$ using the subtraction law.
จงเขียน $\log_2\dfrac{3}{16}$ โดยใช้กฎการลบ
Answershow ▾
The subtraction law: $\log_b\dfrac{x}{y}=\log_b x-\log_b y$.กฎการลบ: $\log_b\dfrac{x}{y}=\log_b x-\log_b y$
Evaluate $\log_2 16$.
จงคำนวณ $\log_2 16$
Answershow ▾
$2^{4}=16$, so $\log_2 16=4$.$2^{4}=16$ ดังนั้น $\log_2 16=4$
To simplify $\log_2\dfrac{\sqrt3}{16}$, pick the first move.
(A) write it as $\log_2 3^{\frac12}-\log_2 16$
(B) write it as $\log_2 3^{\frac12}\times\log_2 16$
(C) turn $\dfrac{\sqrt3}{16}$ into a decimal, then find its $\log_2$
เพื่อจัดรูป $\log_2\dfrac{\sqrt3}{16}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) เขียนเป็น $\log_2 3^{\frac12}-\log_2 16$
(B) เขียนเป็น $\log_2 3^{\frac12}\times\log_2 16$
(C) เปลี่ยน $\dfrac{\sqrt3}{16}$ เป็นทศนิยม แล้วหา $\log_2$ ของมัน
Answershow ▾
(B) treats division inside a log as multiplication of two logs - that is not a law; division gives subtraction, not multiplication. (C) gives a decimal, not an expression in terms of $a$.(B) ปฏิบัติกับการหารในฟังก์ชัน log เหมือนเป็นการคูณ log สองตัว ซึ่งไม่ใช่กฎ · การหารต้องกลายเป็นการลบ ไม่ใช่การคูณ · (C) ได้ทศนิยม ไม่ใช่รูปในเทอมของ $a$
Given $a=\log_2 3$, use $\log_2 9=\log_2 3^{2}$ to write $\log_2 9$ in terms of $a$.
กำหนด $a=\log_2 3$ ใช้ $\log_2 9=\log_2 3^{2}$ เขียน $\log_2 9$ ในรูปของ $a$
Answershow ▾
Same power law as the warm-up, now with $a$ in place of $\log_2 3$.กฎยกกำลังเดิม เพียงแทน $\log_2 3$ ด้วย $a$
Use (A) from the last question, then the power law on $\sqrt3=3^{\frac12}$, to write $\log_2\dfrac{\sqrt3}{16}$ as a sum or difference of logs.
ใช้ตัวเลือก (A) จากข้อที่แล้ว แล้วใช้กฎยกกำลังกับ $\sqrt3=3^{\frac12}$ เขียน $\log_2\dfrac{\sqrt3}{16}$ ให้อยู่ในรูปบวกหรือลบของ log
Answershow ▾
$\sqrt3=3^{\frac12}$, so the power law brings the $\frac12$ in front of $\log_2 3$.$\sqrt3=3^{\frac12}$ กฎยกกำลังจึงดึง $\frac12$ มาไว้หน้า $\log_2 3$
Given $a=\log_2 3$ and $\log_2 16=4$, write $\tfrac12\log_2 3-\log_2 16$ in terms of $a$.
กำหนด $a=\log_2 3$ และ $\log_2 16=4$ เขียน $\tfrac12\log_2 3-\log_2 16$ ในรูปของ $a$
Answershow ▾
Stop here - writing $\tfrac12 a-4$ as $a-8$ or similar loses the mark.หยุดตรงนี้ · ถ้าเขียนต่อเป็น $a-8$ หรือใกล้เคียง จะเสียคะแนน
$3^{x}\times2^{x+4}=6$ has $x$ in the exponent of two different bases. Pick the first move.
(A) take $\log_2$ of both sides
(B) take $\log_3$ of both sides
(C) square both sides
$3^{x}\times2^{x+4}=6$ มี $x$ อยู่ในเลขชี้กำลังของสองฐานที่ต่างกัน จงเลือกขั้นแรก
(A) หา $\log_2$ ทั้งสองข้าง
(B) หา $\log_3$ ทั้งสองข้าง
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
Answershow ▾
(A) matches the base already named by $a=\log_2 3$. (B) would leave $\log_3 2=\frac1a$ in the answer, not $a$. (C) never removes a variable from an exponent.(A) ตรงกับฐานที่กำหนดไว้แล้วใน $a=\log_2 3$ · (B) จะเหลือ $\log_3 2=\frac1a$ ในคำตอบ ไม่ใช่ $a$ · (C) การยกกำลังสองไม่ทำให้ตัวแปรหลุดจากเลขชี้กำลัง
Use the addition law, then the power law, to write $\log_2 3^{x}+\log_2 2^{x+4}=\log_2 6$ in terms of $a$ and $x$.
ใช้กฎการบวก แล้วใช้กฎยกกำลัง เขียน $\log_2 3^{x}+\log_2 2^{x+4}=\log_2 6$ ในรูปของ $a$ และ $x$
Answershow ▾
$\log_2 3^{x}=xa$ and $\log_2 2^{x+4}=x+4$; $\log_2 6=\log_2 2+\log_2 3=1+a$.$\log_2 3^{x}=xa$ และ $\log_2 2^{x+4}=x+4$ · $\log_2 6=\log_2 2+\log_2 3=1+a$
Solve $xa+x+4=a+1$ for $x$.
จงแก้สมการ $xa+x+4=a+1$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Collect the $x$ terms on one side, then factorise out $x$.รวมพจน์ $x$ ไว้ข้างเดียว แล้วดึง $x$ ออกเป็นตัวร่วม
Given $b=\log_2 5$, write $\log_2 25$ in terms of $b$, then solve $5^{x}\times2^{x+1}=10$ in terms of $b$.
กำหนด $b=\log_2 5$ เขียน $\log_2 25$ ในรูปของ $b$ แล้วแก้สมการ $5^{x}\times2^{x+1}=10$ ในรูปของ $b$
Answershow ▾
The same two skills: power law for the first part, take $\log_2$ of both sides for the second.ใช้สองกฎเดิม: กฎยกกำลังสำหรับส่วนแรก และหา $\log_2$ ทั้งสองข้างสำหรับส่วนที่สอง
Given $a=\log_2 3$
(i) write, in simplest form, in terms of $a$,
(a) $\log_2 9$
(b) $\log_2\dfrac{\sqrt{3}}{16}$
(ii) Solve
$3^{x}\times 2^{x+4}=6$
giving your answer, in simplest form, in terms of $a$.
กำหนดให้ $a=\log_2 3$
(i) เขียนในรูปอย่างง่ายที่สุด (simplest form) ในรูปของ $a$
(a) $\log_2 9$
(b) $\log_2\dfrac{\sqrt{3}}{16}$
(ii) แก้สมการ
$3^{x}\times 2^{x+4}=6$
ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด ในรูปของ $a$
Answershow ▾
7 marks: power law for (i)(a); subtraction law and power law then $\log_2 16=4$ for (i)(b); take $\log_2$, addition law and power law, then collect $x$ for (ii).7 คะแนน: กฎยกกำลังสำหรับ (i)(a) · กฎการลบและกฎยกกำลัง แล้ว $\log_2 16=4$ สำหรับ (i)(b) · หา $\log_2$ ใช้กฎการบวกและกฎยกกำลัง แล้วรวมพจน์ $x$ สำหรับ (ii)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two logs that hide a quadratic ลอการิทึมสองตัวที่ซ่อนสมการกำลังสอง
In this question you must show all stages of your working.
Give your answers in fully simplified surd form.
Given that $a$ and $b$ are positive constants, solve the simultaneous equations
$a-b=8$
$\log_4 a+\log_4 b=3$
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
ตอบในรูป surd (กรณฑ์) ที่จัดรูปอย่างง่ายที่สุดแล้ว
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่บวก แก้ระบบสมการ (simultaneous equations)
$a-b=8$
$\log_4 a+\log_4 b=3$
Write $\log_4 a+\log_4 b$ as a single logarithm.
จงเขียน $\log_4 a+\log_4 b$ เป็นลอการิทึมตัวเดียว
Answershow ▾
The product law: adding logs of the same base multiplies the numbers inside.กฎผลคูณ: บวก log ฐานเดียวกัน คือคูณจำนวนภายในเข้าด้วยกัน
Solve $\log_4 x=3$.
จงแก้สมการ $\log_4 x=3$
Answershow ▾
$4^{3}$ means $4\times4\times4$, not $4\times3$.$4^{3}$ คือ $4\times4\times4$ ไม่ใช่ $4\times3$
Simplify $\sqrt{320}$.
จงจัดรูป $\sqrt{320}$ ให้เป็นกรณฑ์อย่างง่าย
Answershow ▾
$320=64\times5$, and $64$ is a square number.$320=64\times5$ และ $64$ เป็นจำนวนกำลังสอง
The question gives $\log_4 a+\log_4 b=3$. Pick the first move.
(A) write $\log_4(a+b)=3$
(B) write $\log_4(ab)=3$
(C) write $\log_4 a\times\log_4 b=3$
โจทย์ให้ $\log_4 a+\log_4 b=3$ จงเลือกขั้นแรก
(A) เขียน $\log_4(a+b)=3$
(B) เขียน $\log_4(ab)=3$
(C) เขียน $\log_4 a\times\log_4 b=3$
Answershow ▾
(A) uses a law for a sum, which does not exist. (C) turns the $+$ between the logs into a $\times$ between their values, instead of combining them.(A) ใช้กฎสำหรับผลบวกซึ่งไม่มีจริง · (C) เปลี่ยนเครื่องหมาย $+$ ระหว่าง log เป็น $\times$ ระหว่างค่าของมัน แทนที่จะรวมเข้าด้วยกัน
Combine $\log_4 a+\log_4 b=3$ into a single logarithm.
จงรวม $\log_4 a+\log_4 b=3$ ให้เป็นลอการิทึมตัวเดียว
Answershow ▾
Same law as question 1, now with the $=3$ carried across.กฎเดียวกับข้อ 1 เพียงมี $=3$ ติดมาด้วย
Remove the log from $\log_4(ab)=3$ to find $ab$.
จงถอด log จาก $\log_4(ab)=3$ เพื่อหาค่า $ab$
Answershow ▾
Same move as question 2, with $ab$ in place of $x$.ขั้นเดียวกับข้อ 2 เพียงเปลี่ยน $x$ เป็น $ab$
$a-b=8$, so $a=b+8$. Substitute this into $ab=64$ and write the quadratic in $b$.
$a-b=8$ ดังนั้น $a=b+8$ จงแทนค่านี้ลงใน $ab=64$ แล้วเขียนสมการกำลังสองของ $b$
Answershow ▾
Expand $(b+8)b$, then move the $64$ across.กระจาย $(b+8)b$ แล้วย้าย $64$ ข้าม
You have $b^{2}+8b-64=0$. Pick how to solve it.
(A) factorise into two brackets
(B) use the quadratic formula
(C) take the square root of both sides of $b^{2}+8b=64$
ได้ $b^{2}+8b-64=0$ จงเลือกวิธีแก้สมการนี้
(A) แยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บ
(B) ใช้สูตรกำลังสอง
(C) ถอดรากที่สองทั้งสองข้างของ $b^{2}+8b=64$
Answershow ▾
(A) fails: no pair of integers multiplies to $-64$ and adds to $8$. (C) is not valid: $\sqrt{b^{2}+8b}$ is not $b+4$, a square root does not split over a sum.(A) ใช้ไม่ได้ เพราะไม่มีจำนวนเต็มคู่ใดที่คูณกันได้ $-64$ และบวกกันได้ $8$ · (C) ใช้ไม่ได้ เพราะ $\sqrt{b^{2}+8b}$ ไม่เท่ากับ $b+4$ รากที่สองไม่กระจายไปตามผลบวก
Solve $b^{2}+8b-64=0$ using the quadratic formula, then simplify the surd.
จงแก้ $b^{2}+8b-64=0$ ด้วยสูตรกำลังสอง แล้วจัดรูปกรณฑ์ให้ง่าย
Answershow ▾
$b$ is a positive constant and $\log_4 b$ needs $b\gt0$, so the negative root is rejected.$b$ เป็นค่าคงที่บวก และ $\log_4 b$ ต้องมี $b\gt0$ จึงตัดรากที่เป็นลบทิ้ง
Use $a=b+8$ with $b=-4+4\sqrt5$ to find $a$, then check that $ab=64$.
ใช้ $a=b+8$ กับ $b=-4+4\sqrt5$ หาค่า $a$ แล้วตรวจว่า $ab=64$
Answershow ▾
A pair that fits both original equations is the correct solution.คู่ค่าที่เป็นจริงกับสมการเดิมทั้งสอง คือคำตอบที่ถูกต้อง
Given that $a$ and $b$ are positive constants, solve the simultaneous equations $a-b=2$ and $\log_2 a+\log_2 b=3$.
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่บวก จงแก้ระบบสมการ $a-b=2$ และ $\log_2 a+\log_2 b=3$
Answershow ▾
Same four moves: combine the logs, remove the log, substitute, solve the quadratic.สี่ขั้นตอนเดิม: รวม log ถอด log แทนค่า แล้วแก้สมการกำลังสอง
In this question you must show all stages of your working.
Give your answers in fully simplified surd form.
Given that $a$ and $b$ are positive constants, solve the simultaneous equations
$a-b=8$
$\log_4 a+\log_4 b=3$
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
ตอบในรูป surd (กรณฑ์) ที่จัดรูปอย่างง่ายที่สุดแล้ว
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่บวก แก้ระบบสมการ (simultaneous equations)
$a-b=8$
$\log_4 a+\log_4 b=3$
Answershow ▾
6 marks, mostly method: show the product law, removing the log, the substitution, the quadratic formula and the rejection of the negative root.6 คะแนน ส่วนใหญ่เป็นคะแนนวิธีทำ: ต้องแสดงกฎผลคูณ การถอด log การแทนค่า สูตรกำลังสอง และการตัดรากที่เป็นลบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Sketching 4ˣ, then solving for 2ˣ ร่างกราฟ 4ˣ แล้วแก้หา 2ˣ
Figure 1 shows a sketch of the curve with equation $y=4^{x}$
(a) On Figure 1, sketch the curve with equation
(i) $y=2^{x}$
(ii) $y=4^{x}-6$
Label clearly the coordinates of any points of intersection with the coordinate axes.
(b) The curve with equation $y=2^{x}$ meets the curve with equation $y=4^{x}-6$ at the point $P$.
Using algebra, find the exact coordinates of $P$.
Figure 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้งที่มีสมการ $y=4^{x}$
(ก) บน Figure 1 ร่างเส้นโค้งที่มีสมการ
(i) $y=2^{x}$
(ii) $y=4^{x}-6$
ระบุพิกัดของทุกจุดที่ตัดแกนพิกัดให้ชัดเจน
(ข) เส้นโค้ง $y=2^{x}$ ตัดกับเส้นโค้ง $y=4^{x}-6$ ที่จุด $P$
ใช้พีชคณิต (using algebra) หาพิกัดแบบ exact ของ $P$
Work out $4^{0}$.
จงหาค่า $4^{0}$
Answershow ▾
Any number to the power $0$ is $1$ - every curve $y=a^{x}$ crosses the $y$-axis at $(0,1)$.จำนวนใดๆยกกำลัง $0$ เท่ากับ $1$ เสมอ · เส้นโค้ง $y=a^{x}$ ทุกเส้นตัดแกน $y$ ที่ $(0,1)$
The curve $y=4^{x}$ is shifted $6$ units down. Write the equation of the new curve.
เส้นโค้ง $y=4^{x}$ ถูกเลื่อนลง $6$ หน่วย จงเขียนสมการของเส้นโค้งใหม่
Answershow ▾
A shift down subtracts from the whole right-hand side, not from $x$.การเลื่อนลงคือการลบออกจากด้านขวาทั้งหมด ไม่ใช่ลบออกจาก $x$
Write $4^{x}$ in the form $(2^{x})^{n}$.
จงเขียน $4^{x}$ ในรูป $(2^{x})^{n}$
Answershow ▾
$4=2^{2}$, so $4^{x}=(2^{2})^{x}=(2^{x})^{2}$.$4=2^{2}$ ดังนั้น $4^{x}=(2^{2})^{x}=(2^{x})^{2}$
$y=4^{x}$ is drawn. For $y=2^{x}$, pick how it sits against $y=4^{x}$.
(A) below $y=4^{x}$ for every $x$
(B) below $y=4^{x}$ for $x\gt0$, above it for $x\lt0$, meeting it only at $(0,1)$
(C) above $y=4^{x}$ for every $x$
กำหนด $y=4^{x}$ สำหรับ $y=2^{x}$ จงเลือกว่ามันอยู่ตรงไหนเมื่อเทียบกับ $y=4^{x}$
(A) อยู่ใต้ $y=4^{x}$ ทุกค่า $x$
(B) อยู่ใต้ $y=4^{x}$ เมื่อ $x\gt0$ และอยู่เหนือเมื่อ $x\lt0$ ตัดกันที่ $(0,1)$ จุดเดียว
(C) อยู่เหนือ $y=4^{x}$ ทุกค่า $x$
Answershow ▾
At $x=1$, $2^{1}=2$ is less than $4^{1}=4$, so (A) fails on the right. At $x=-1$, $2^{-1}=0.5$ is more than $4^{-1}=0.25$, so (C) fails on the left. Both bases give $1$ at $x=0$, so the curves meet only there.ที่ $x=1$: $2^{1}=2$ น้อยกว่า $4^{1}=4$ ดังนั้น (A) ผิดทางขวา · ที่ $x=-1$: $2^{-1}=0.5$ มากกว่า $4^{-1}=0.25$ ดังนั้น (C) ผิดทางซ้าย · ทั้งสองฐานให้ค่า $1$ ที่ $x=0$ จึงตัดกันที่จุดนั้นจุดเดียว
$y=2^{x}$ meets the $y$-axis at one point (it never crosses the $x$-axis). Write its coordinates.
$y=2^{x}$ ตัดแกน $y$ ที่จุดเดียว (ไม่ตัดแกน $x$ เลย) จงเขียนพิกัดของจุดนั้น
Answershow ▾
Same fact as question $1$, now on $2^{x}$.ข้อเท็จจริงเดียวกับข้อ $1$ แต่ใช้กับ $2^{x}$
Work out the $y$-coordinate where $y=4^{x}-6$ crosses the $y$-axis.
จงหาพิกัด $y$ ที่เส้นโค้ง $y=4^{x}-6$ ตัดแกน $y$
Answershow ▾
Put $x=0$: the shift from question $2$ now has a number in it.แทน $x=0$: การเลื่อนจากข้อ $2$ ตอนนี้มีตัวเลขจริงแล้ว
Solve $4^{x}-6=0$ to find the $x$-coordinate where $y=4^{x}-6$ crosses the $x$-axis.
จงแก้ $4^{x}-6=0$ หาพิกัด $x$ ที่เส้นโค้ง $y=4^{x}-6$ ตัดแกน $x$
Answershow ▾
Move the $6$ across, then write the index as a log.ย้าย $6$ ข้างสมการ แล้วเขียนเลขชี้กำลังเป็น log
To solve $2^{x}=4^{x}-6$, you need $4^{x}$ written using $2^{x}$. Pick the correct rewrite.
(A) $4^{x}=2\times2^{x}$
(B) $4^{x}=(2^{x})^{2}$
(C) $4^{x}=2^{x}+2^{x}$
เพื่อแก้ $2^{x}=4^{x}-6$ ต้องเขียน $4^{x}$ ด้วย $2^{x}$ จงเลือกข้อที่เขียนถูก
(A) $4^{x}=2\times2^{x}$
(B) $4^{x}=(2^{x})^{2}$
(C) $4^{x}=2^{x}+2^{x}$
Answershow ▾
(A) and (C) both give $4^{x}=2\times2^{x}$, which multiplies the OUTPUT by $2$. The real relation is $4=2^{2}$, so the $2$ must sit on the index, giving a square, as in question $3$.(A) และ (C) ทั้งคู่เท่ากับ $4^{x}=2\times2^{x}$ ซึ่งคูณผลลัพธ์ด้วย $2$ · ความจริงคือ $4=2^{2}$ เลข $2$ ต้องอยู่ที่เลขชี้กำลัง จึงได้ยกกำลังสองแบบข้อ $3$
Use $4^{x}=(2^{x})^{2}$ to write $2^{x}=4^{x}-6$ as a quadratic in $2^{x}$, solve it, reject the impossible root, and find $P$.
ใช้ $4^{x}=(2^{x})^{2}$ เขียน $2^{x}=4^{x}-6$ ให้เป็นสมการกำลังสองในตัวแปร $2^{x}$ แก้สมการ ตัดรากที่เป็นไปไม่ได้ทิ้ง แล้วหาจุด $P$
Answershow ▾
$2^{x}\gt0$ for every $x$, so $2^{x}=-2$ is rejected - keeping it is a lost mark.$2^{x}\gt0$ สำหรับทุกค่า $x$ ดังนั้น $2^{x}=-2$ ต้องตัดทิ้ง · ถ้าเก็บไว้คือเสียคะแนน
Check that $x=\log_2 3$ also satisfies $y=4^{x}-6$, using $4^{x}=(2^{x})^{2}$.
จงตรวจว่า $x=\log_2 3$ สอดคล้องกับ $y=4^{x}-6$ ด้วย โดยใช้ $4^{x}=(2^{x})^{2}$
Answershow ▾
$4^{x}=(2^{x})^{2}=3^{2}=9$, so $y=9-6=3$, matching $P$.$4^{x}=(2^{x})^{2}=3^{2}=9$ ดังนั้น $y=9-6=3$ ตรงกับ $P$
Figure 2 shows a sketch of $y=9^{x}$.
(a) On Figure 2, sketch $y=3^{x}$ and $y=9^{x}-2$, labelling the coordinates of any points where they cross the axes.
(b) The curves $y=3^{x}$ and $y=9^{x}-2$ meet at the point $P$. Using algebra, find the exact coordinates of $P$.
Figure 2 แสดงภาพร่างของ $y=9^{x}$
(ก) บนรูปที่ 2 ร่าง $y=3^{x}$ และ $y=9^{x}-2$ ระบุพิกัดของจุดที่ตัดแกนให้ชัดเจน
(ข) เส้นโค้ง $y=3^{x}$ และ $y=9^{x}-2$ ตัดกันที่จุด $P$ จงใช้พีชคณิตหาพิกัดแบบแม่นตรงของ $P$
Answershow ▾
Same moves as the exam question: rewrite $9^{x}$ as $(3^{x})^{2}$, solve the quadratic in $3^{x}$, reject the negative root.ขั้นตอนเดิมกับข้อสอบ: เขียน $9^{x}$ เป็น $(3^{x})^{2}$ แก้สมการกำลังสองในตัวแปร $3^{x}$ ตัดรากลบทิ้ง
Figure 1 shows a sketch of the curve with equation $y=4^{x}$
(a) On Figure 1, sketch the curve with equation
(i) $y=2^{x}$
(ii) $y=4^{x}-6$
Label clearly the coordinates of any points of intersection with the coordinate axes.
(b) The curve with equation $y=2^{x}$ meets the curve with equation $y=4^{x}-6$ at the point $P$.
Using algebra, find the exact coordinates of $P$.
Figure 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้งที่มีสมการ $y=4^{x}$
(ก) บน Figure 1 ร่างเส้นโค้งที่มีสมการ
(i) $y=2^{x}$
(ii) $y=4^{x}-6$
ระบุพิกัดของทุกจุดที่ตัดแกนพิกัดให้ชัดเจน
(ข) เส้นโค้ง $y=2^{x}$ ตัดกับเส้นโค้ง $y=4^{x}-6$ ที่จุด $P$
ใช้พีชคณิต (using algebra) หาพิกัดแบบ exact ของ $P$
Answershow ▾
8 marks: 4 for the two sketches (intercepts and position), 4 for the algebra that finds $P$.8 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับการร่างกราฟ (จุดตัดแกนและตำแหน่ง) 4 คะแนนสำหรับพีชคณิตที่หาจุด $P$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Unknown in the exponent, both sides ตัวไม่รู้ค่าอยู่ในเลขชี้กำลังทั้งสองข้าง
(a) Sketch the curve with equation
$y=3\times 4^{x}$
showing the coordinates of any points of intersection with the coordinate axes.
(b) The curve with equation $y=6^{1-x}$ meets the curve with equation $y=3\times 4^{x}$ at the point $P$.
Show that the $x$ coordinate of $P$ is $\dfrac{\log_{10} 2}{\log_{10} 24}$
(ก) ร่างเส้นโค้งที่มีสมการ
$y=3\times 4^{x}$
แสดงพิกัดของทุกจุดที่ตัดแกนพิกัด
(ข) เส้นโค้ง $y=6^{1-x}$ ตัดกับเส้นโค้ง $y=3\times 4^{x}$ ที่จุด $P$
จงแสดงว่า (show that) พิกัด $x$ ของ $P$ คือ $\dfrac{\log_{10} 2}{\log_{10} 24}$
Evaluate $4^{0}$.
จงคำนวณ $4^{0}$
Answershow ▾
Any nonzero number to the power $0$ is $1$.จำนวนใดๆที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง $0$ มีค่าเท่ากับ $1$
Write $\log 6-\log 3$ as a single logarithm.
จงเขียน $\log 6-\log 3$ เป็นลอการิทึมค่าเดียว
Answershow ▾
Subtracting logs divides the numbers inside.การลบลอการิทึม คือการหารจำนวนภายใน
Write $\log\left(4^{x}\right)$ with no power, using the log power law.
จงเขียน $\log\left(4^{x}\right)$ โดยไม่มีเลขชี้กำลัง โดยใช้กฎเลขชี้กำลังของ log
Answershow ▾
The power law moves the exponent to the front, as a multiplier.กฎเลขชี้กำลังของ log ย้ายเลขชี้กำลังมาไว้ข้างหน้าเป็นตัวคูณ
For $y=3\times4^{x}$, what happens to $4^{x}$ as $x\to-\infty$? Pick the correct behaviour.
(A) $4^{x}\to-\infty$
(B) $4^{x}\to0$, but never negative
(C) $4^{x}\to4$
สำหรับ $y=3\times4^{x}$ เมื่อ $x\to-\infty$ แล้ว $4^{x}$ เป็นอย่างไร จงเลือกพฤติกรรมที่ถูกต้อง
(A) $4^{x}\to-\infty$
(B) $4^{x}\to0$ แต่ไม่เป็นลบ
(C) $4^{x}\to4$
Answershow ▾
(A) is wrong because a positive base to any power stays positive - $4^{x}\gt0$ for every $x$. (C) confuses the base with the limit; multiplying by smaller and smaller fractions pushes the value toward $0$, not toward $4$.(A) ผิด เพราะฐานที่เป็นบวกยกกำลังใดๆ ยังคงเป็นบวกเสมอ $4^{x}\gt0$ ทุกค่าของ $x$ · (C) สับสนระหว่างฐานกับค่าลิมิต การคูณด้วยเศษส่วนที่เล็กลงเรื่อยๆ ทำให้ค่าเข้าใกล้ $0$ ไม่ใช่เข้าใกล้ $4$
Find the $y$-intercept of $y=3\times4^{x}$ (where $x=0$).
จงหาจุดตัดแกน $y$ ของ $y=3\times4^{x}$ (ที่ $x=0$)
Answershow ▾
Using $4^{0}=1$ from the first warm-up.ใช้ $4^{0}=1$ จากข้อฝึกแรก
$6^{1-x}=3\times4^{x}$. Both sides have $x$ in the exponent, with different bases. Pick the first move.
(A) set the exponents equal, $1-x=x$
(B) take $\log$ of both sides
(C) write $6^{1-x}=6\times6^{-x}$ and cancel it with $4^{x}$
$6^{1-x}=3\times4^{x}$ ทั้งสองข้างมี $x$ อยู่ในเลขชี้กำลัง และฐานต่างกัน จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้เลขชี้กำลังเท่ากัน $1-x=x$
(B) หาค่า $\log$ ของทั้งสองข้าง
(C) เขียน $6^{1-x}=6\times6^{-x}$ แล้วตัดกับ $4^{x}$
Answershow ▾
(A) only works when both sides share the SAME base - here they are $6$ and $4$. (C) still leaves two different powers, so nothing cancels. Logs turn every power into a multiplication instead.(A) ใช้ได้เฉพาะเมื่อฐานทั้งสองข้างเหมือนกัน แต่ที่นี่คือ $6$ กับ $4$ · (C) ยังเหลือเลขชี้กำลังสองตัวที่ต่างกัน จึงไม่มีอะไรตัดกันได้ · การหา log เปลี่ยนทุกเลขชี้กำลังให้เป็นการคูณแทน
Use the power law on $\log\left(6^{1-x}\right)$. Write the left side of the equation.
ใช้กฎเลขชี้กำลังของ log กับ $\log\left(6^{1-x}\right)$ จงเขียนข้างซ้ายของสมการ
Answershow ▾
The whole exponent $1-x$ comes down as a multiplier.เลขชี้กำลังทั้งก้อน $1-x$ ถูกดึงลงมาเป็นตัวคูณ
Use the product law, then the power law, on $\log\left(3\times4^{x}\right)$. Write the right side of the equation.
ใช้กฎการคูณของ log แล้วใช้กฎเลขชี้กำลัง กับ $\log\left(3\times4^{x}\right)$ จงเขียนข้างขวาของสมการ
Answershow ▾
The product law splits the log of a product into a sum; then the power law brings $x$ down.กฎการคูณของ log แยกลอการิทึมของผลคูณเป็นผลบวก จากนั้นกฎเลขชี้กำลังดึง $x$ ลงมา
Expand the bracket in $(1-x)\log 6=\log 3+x\log 4$, then collect every $x$ term on one side. Write $x$ as a fraction of logs.
จงกระจายวงเล็บใน $(1-x)\log 6=\log 3+x\log 4$ แล้วรวมพจน์ $x$ ทุกตัวไว้ข้างเดียว จงเขียน $x$ เป็นเศษส่วนของ log
Answershow ▾
$\log 6$ moves right, $x\log 4$ moves left; both sides are then divided by the bracket $\log 4+\log 6$.ย้าย $\log 6$ ไปขวา ย้าย $x\log 4$ ไปซ้าย แล้วหารทั้งสองข้างด้วยวงเล็บ $\log 4+\log 6$
Evaluate $x=\dfrac{\log 6-\log 3}{\log 4+\log 6}$ as a decimal, to 3 significant figures. Then check it satisfies $6^{1-x}=3\times4^{x}$.
จงคำนวณ $x=\dfrac{\log 6-\log 3}{\log 4+\log 6}$ เป็นทศนิยม 3 ตำแหน่งนัยสำคัญ แล้วตรวจว่าสอดคล้องกับ $6^{1-x}=3\times4^{x}$
Answershow ▾
A decimal check does not replace the exact log form - the exam asks you to show the exact fraction.การตรวจด้วยทศนิยมไม่ได้แทนรูปแบบ log ที่แน่นอน ข้อสอบต้องการให้แสดงเศษส่วนที่แน่นอน
(a) Sketch $y=4\times2^{x}$, showing where it crosses the axes.
(b) The curve $y=8^{1-x}$ meets $y=4\times2^{x}$ at point $P$. Show that the $x$-coordinate of $P$ is $\dfrac{1}{4}$.
(ก) ร่างเส้นโค้ง $y=4\times2^{x}$ แสดงจุดที่ตัดแกน
(ข) เส้นโค้ง $y=8^{1-x}$ ตัดกับ $y=4\times2^{x}$ ที่จุด $P$ จงแสดงว่าพิกัด $x$ ของ $P$ คือ $\dfrac{1}{4}$
Answershow ▾
Same method: equate, take logs, expand both sides, collect $x$, then simplify.วิธีเดิม: จับเท่ากัน หาค่า log กระจายทั้งสองข้าง รวมพจน์ $x$ แล้วทำให้ง่าย
(a) Sketch the curve with equation
$y=3\times 4^{x}$
showing the coordinates of any points of intersection with the coordinate axes.
(b) The curve with equation $y=6^{1-x}$ meets the curve with equation $y=3\times 4^{x}$ at the point $P$.
Show that the $x$ coordinate of $P$ is $\dfrac{\log_{10} 2}{\log_{10} 24}$
(ก) ร่างเส้นโค้งที่มีสมการ
$y=3\times 4^{x}$
แสดงพิกัดของทุกจุดที่ตัดแกนพิกัด
(ข) เส้นโค้ง $y=6^{1-x}$ ตัดกับเส้นโค้ง $y=3\times 4^{x}$ ที่จุด $P$
จงแสดงว่า (show that) พิกัด $x$ ของ $P$ คือ $\dfrac{\log_{10} 2}{\log_{10} 24}$
Answershow ▾
7 marks: 2 for the sketch (shape and intercept), 5 for the "show that" - take logs, expand both sides, collect $x$, then combine the logs into $\dfrac{\log_{10}2}{\log_{10}24}$.7 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับการร่างกราฟ (รูปร่างและจุดตัด) 5 คะแนนสำหรับ "จงแสดงว่า" คือหาค่า log กระจายทั้งสองข้าง รวมพจน์ $x$ แล้วรวม log เป็น $\dfrac{\log_{10}2}{\log_{10}24}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Find the base, then invert หาฐานก่อน แล้วกลับสมการ
The weight of a baby mammal is monitored over a 16-month period.
The weight of the mammal, $w$ kg, is given by
$w=\log_a(t+5)-\log_a 4 \qquad 2\leqslant t\leqslant 18$
where $t$ is the age of the mammal in months and $a$ is a constant.
Given that the weight of the mammal was 10 kg when $t=3$
(a) show that $a=1.072$ correct to 3 decimal places.
(b) Using $a=1.072$
find an equation for $t$ in terms of $w$
(c) find the value of $t$ when $w=15$, giving your answer to 3 significant figures.
มีการติดตามน้ำหนักของลูกสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมตัวหนึ่งเป็นเวลา 16 เดือน
น้ำหนักของสัตว์ $w$ kg กำหนดโดย
$w=\log_a(t+5)-\log_a 4 \qquad 2\leqslant t\leqslant 18$
เมื่อ $t$ คืออายุของสัตว์เป็นเดือน และ $a$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่าสัตว์หนัก 10 kg เมื่อ $t=3$
(ก) จงแสดงว่า $a=1.072$ ถูกต้องที่ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ข) ใช้ $a=1.072$
หาสมการของ $t$ ในรูปของ $w$
(ค) หาค่า $t$ เมื่อ $w=15$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Write $\log_a 8-\log_a 4$ as a single log.
จงเขียน $\log_a 8-\log_a 4$ เป็น log เดียว
Answershow ▾
$\log_a X-\log_a Y=\log_a\dfrac{X}{Y}$.$\log_a X-\log_a Y=\log_a\dfrac{X}{Y}$
Write $\log_a 2=10$ without a log.
จงเขียน $\log_a 2=10$ โดยไม่มี log
Answershow ▾
$\log_a Y=n$ means $a$ to the power $n$ is $Y$.$\log_a Y=n$ แปลว่า $a$ ยกกำลัง $n$ ได้ $Y$
Round $1.07177\ldots$ to 3 decimal places.
จงปัด $1.07177\ldots$ เป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The 4th decimal digit is $7$, so round up.ทศนิยมตำแหน่งที่ 4 คือ $7$ จึงปัดขึ้น
$w=\log_a(t+5)-\log_a4$ and $w=10$ when $t=3$. Pick the first move.
(A) combine the two logs into one, using the subtraction law
(B) write $a^{10}=8-4$, treating the logs as plain numbers
(C) divide both sides of the equation by $\log_a$
$w=\log_a(t+5)-\log_a4$ และ $w=10$ เมื่อ $t=3$ จงเลือกขั้นแรก
(A) รวม log สองตัวเป็นตัวเดียว โดยใช้กฎการลบ
(B) เขียน $a^{10}=8-4$ โดยถือว่า log เป็นแค่ตัวเลข
(C) หารทั้งสองข้างของสมการด้วย $\log_a$
Answershow ▾
(B) drops the logs before combining them, turning $\log_a 8$ and $\log_a 4$ into the bare numbers $8$ and $4$. (C) treats $\log_a$ as a factor to divide out, not an operation.(B) ถอด log ก่อนรวม ทำให้ $\log_a 8$ และ $\log_a 4$ กลายเป็นแค่ตัวเลข $8$ กับ $4$ ซึ่งทิ้งความหมายของ log ไป · (C) ถือว่า $\log_a$ เป็นตัวประกอบที่หารออกได้ ทั้งที่มันเป็นการกระทำกับตัวเลข ไม่ใช่ตัวคูณ
$w=\log_a(t+5)-\log_a4$. Substitute $t=3$ and $w=10$.
$w=\log_a(t+5)-\log_a4$ จงแทน $t=3$ และ $w=10$
Answershow ▾
$t+5=3+5=8$.$t+5=3+5=8$
Use $10=\log_a 8-\log_a 4$ to write an equation with no logs.
ใช้ $10=\log_a 8-\log_a 4$ เขียนสมการที่ไม่มี log
Answershow ▾
Combine the logs first (question 1), then read the log backwards (question 2).รวม log ก่อน (ข้อ 1) แล้วอ่านย้อนกลับ (ข้อ 2)
Solve $a^{10}=2$ for $a$, correct to 3 decimal places.
จงแก้สมการ $a^{10}=2$ หาค่า $a$ ถูกต้องที่ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Raise both sides to the power $\dfrac{1}{10}$; write extra decimals before rounding.ยกกำลัง $\dfrac{1}{10}$ ทั้งสองข้าง · เขียนทศนิยมเกินก่อนปัด
$w=\log_{1.072}\dfrac{t+5}{4}$. To find $t$, pick the first move.
(A) raise $1.072$ to the power $w$: $\dfrac{t+5}{4}=1.072^{w}$
(B) multiply both sides by $\log_{1.072}$
(C) write $t+5=4\times w\times1.072$
$w=\log_{1.072}\dfrac{t+5}{4}$ จะหา $t$ ต้องเลือกขั้นแรกใด
(A) ยกกำลัง $1.072$ ด้วย $w$: $\dfrac{t+5}{4}=1.072^{w}$
(B) คูณทั้งสองข้างด้วย $\log_{1.072}$
(C) เขียน $t+5=4\times w\times1.072$
Answershow ▾
(B) $\log_{1.072}$ is not a number you can multiply by; it is the operation itself. (C) puts $w$ in as a multiplier, but $\log_{1.072}Y=w$ means $w$ belongs in the exponent, not out front.(B) $\log_{1.072}$ ไม่ใช่ตัวเลขที่คูณได้ มันคือการกระทำเอง · (C) เอา $w$ มาเป็นตัวคูณ ทั้งที่ $\log_{1.072}Y=w$ แปลว่า $w$ ต้องอยู่ในเลขชี้กำลัง ไม่ใช่ข้างหน้า
From $\dfrac{t+5}{4}=1.072^{w}$, make $t$ the subject.
จาก $\dfrac{t+5}{4}=1.072^{w}$ จงจัด $t$ ให้เป็นตัวแปรหลัก
Answershow ▾
Use the rounded $a=1.072$ from here; the exact $2^{\frac{1}{10}}$ gives a different final answer.ใช้ $a=1.072$ ที่ปัดแล้วตั้งแต่ตรงนี้ · ถ้าใช้ $2^{\frac{1}{10}}$ ที่ไม่ปัดจะได้คำตอบสุดท้ายต่างกัน
Check $t=4a^{w}-5$: substitute $w=10$ and use $a^{10}=2$. Do you get back $t=3$?
ตรวจ $t=4a^{w}-5$: แทน $w=10$ และใช้ $a^{10}=2$ จะได้ $t=3$ กลับมาหรือไม่
Answershow ▾
The fact $a^{10}=2$ is exact, so this check has no rounding error.ข้อเท็จจริง $a^{10}=2$ เป็นค่าตรง จึงตรวจได้โดยไม่มีความผิดพลาดจากการปัดเศษ
A model is $w=\log_b(t+4)-\log_b2$ for $t\geqslant0$. Given that $w=5$ when $t=60$, find $b$, write $t$ in terms of $w$, and find $t$ when $w=3$.
โมเดลหนึ่งคือ $w=\log_b(t+4)-\log_b2$ สำหรับ $t\geqslant0$ กำหนดว่า $w=5$ เมื่อ $t=60$ จงหาค่า $b$ เขียน $t$ ในรูปของ $w$ และหาค่า $t$ เมื่อ $w=3$
Answershow ▾
Same three moves: combine the logs, remove the log, solve for the base; then rearrange and substitute.สามขั้นเดิม: รวม log ถอด log แล้วแก้หาฐาน จากนั้นจัดสมการแล้วแทนค่า
The weight of a baby mammal is monitored over a 16-month period.
The weight of the mammal, $w$ kg, is given by
$w=\log_a(t+5)-\log_a 4 \qquad 2\leqslant t\leqslant 18$
where $t$ is the age of the mammal in months and $a$ is a constant.
Given that the weight of the mammal was 10 kg when $t=3$
(a) show that $a=1.072$ correct to 3 decimal places.
(b) Using $a=1.072$
find an equation for $t$ in terms of $w$
(c) find the value of $t$ when $w=15$, giving your answer to 3 significant figures.
มีการติดตามน้ำหนักของลูกสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมตัวหนึ่งเป็นเวลา 16 เดือน
น้ำหนักของสัตว์ $w$ kg กำหนดโดย
$w=\log_a(t+5)-\log_a 4 \qquad 2\leqslant t\leqslant 18$
เมื่อ $t$ คืออายุของสัตว์เป็นเดือน และ $a$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่าสัตว์หนัก 10 kg เมื่อ $t=3$
(ก) จงแสดงว่า $a=1.072$ ถูกต้องที่ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
(ข) ใช้ $a=1.072$
หาสมการของ $t$ ในรูปของ $w$
(ค) หาค่า $t$ เมื่อ $w=15$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
8 marks across three parts: combine logs and remove the log for $a$, rearrange for $t$, then substitute $w=15$.8 คะแนน สามส่วน: รวม log แล้วถอด log เพื่อหา $a$ จัดสมการหา $t$ แล้วแทน $w=15$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
From half-life to any time จากครึ่งชีวิตสู่เวลาใดก็ได้
A scientist is using carbon-14 dating to determine the age of some wooden items.
The equation for carbon-14 dating an item is given by
$N=k\lambda^{t}$
where
• $N$ grams is the amount of carbon-14 currently present in the item
• $k$ grams was the initial amount of carbon-14 present in the item
• $t$ is the number of years since the item was made
• $\lambda$ is a constant, with $0\lt\lambda\lt 1$
(a) Sketch the graph of $N$ against $t$ for $k=1$
(b) Given that it takes 5700 years for the amount of carbon-14 to reduce to half its initial value,
show that the value of the constant $\lambda$ is 0.999878 to 6 decimal places.
(c) Given that Item A
• is known to have had 15 grams of carbon-14 present initially
• is thought to be 3250 years old
calculate, to 3 significant figures, how much carbon-14 the equation predicts is currently in Item A.
(d) Item B is known to have initially had 25 grams of carbon-14 present, but only 18 grams now remain.
Use algebra to calculate the age of Item B to the nearest 100 years.
นักวิทยาศาสตร์ใช้การหาอายุด้วยคาร์บอน-14 (carbon-14 dating) เพื่อหาอายุของวัตถุไม้บางชิ้น
สมการสำหรับหาอายุวัตถุด้วยคาร์บอน-14 คือ
$N=k\lambda^{t}$
เมื่อ
• $N$ กรัม คือปริมาณคาร์บอน-14 ที่มีอยู่ในวัตถุตอนนี้
• $k$ กรัม คือปริมาณคาร์บอน-14 เริ่มต้นในวัตถุ
• $t$ คือจำนวนปีนับตั้งแต่วัตถุถูกสร้าง
• $\lambda$ เป็นค่าคงที่ โดย $0\lt\lambda\lt 1$
(ก) ร่างกราฟของ $N$ เทียบกับ $t$ เมื่อ $k=1$
(ข) กำหนดว่าคาร์บอน-14 ใช้เวลา 5700 ปีในการลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น
จงแสดงว่าค่าคงที่ $\lambda$ เท่ากับ 0.999878 ที่ทศนิยม 6 ตำแหน่ง
(ค) กำหนดว่าวัตถุ A
• ทราบว่าเริ่มต้นมีคาร์บอน-14 อยู่ 15 กรัม
• คาดว่ามีอายุ 3250 ปี
คำนวณปริมาณคาร์บอน-14 ที่สมการทำนายว่ามีอยู่ในวัตถุ A ตอนนี้ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ง) วัตถุ B ทราบว่าเริ่มต้นมีคาร์บอน-14 อยู่ 25 กรัม แต่ตอนนี้เหลือเพียง 18 กรัม
ใช้พีชคณิตคำนวณอายุของวัตถุ B ปัดเป็นหลักร้อยปีที่ใกล้ที่สุด
$N=k\lambda^{t}$. For $k=1$, work out $N$ when $t=0$.
$N=k\lambda^{t}$ เมื่อ $k=1$ จงหา $N$ เมื่อ $t=0$
Answershow ▾
Any number to the power $0$ is $1$.จำนวนใดๆยกกำลัง $0$ มีค่าเท่ากับ $1$
Solve $\lambda^{5700}=\dfrac12$ for $\lambda$. Write your answer as a power.
จงแก้สมการ $\lambda^{5700}=\dfrac12$ หาค่า $\lambda$ โดยเขียนคำตอบในรูปเลขยกกำลัง
Answershow ▾
Raise both sides to the power $\dfrac1{5700}$.ยกกำลังทั้งสองข้างด้วย $\dfrac1{5700}$
Round $0.9998784\ldots$ to $6$ decimal places.
จงปัดเศษ $0.9998784\ldots$ เป็นทศนิยม $6$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
The 7th decimal digit is $4$, so round down.ทศนิยมตำแหน่งที่ 7 คือ $4$ จึงปัดลง
"Half-life $5700$ years" means $N$ becomes half its start value when $t=5700$. Which equation is this?
(A) $\lambda\times5700=\dfrac12$
(B) $\dfrac12k=k\lambda^{5700}$
(C) $k-\dfrac12=k\lambda^{5700}$
"ครึ่งชีวิต $5700$ ปี" หมายความว่า $N$ ลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้นเมื่อ $t=5700$ สมการนี้คือข้อใด
(A) $\lambda\times5700=\dfrac12$
(B) $\dfrac12k=k\lambda^{5700}$
(C) $k-\dfrac12=k\lambda^{5700}$
Answershow ▾
(A) multiplies $\lambda$ by $5700$, which falls by a fixed amount each step - that is a straight line, not repeated multiplying. (C) subtracts $\dfrac12$ from $k$, which ignores $\lambda$ and only works if $k=1$.(A) คูณ $\lambda$ ด้วย $5700$ ซึ่งลดลงทีละเท่าเดิมทุกขั้น เป็นเส้นตรง ไม่ใช่การคูณซ้ำ · (C) ลบ $\dfrac12$ ออกจาก $k$ ซึ่งไม่มี $\lambda$ เลย และใช้ได้เฉพาะเมื่อ $k=1$
$\dfrac12k=k\lambda^{5700}$. Divide both sides by $k$.
$\dfrac12k=k\lambda^{5700}$ จงหารทั้งสองข้างด้วย $k$
Answershow ▾
The $k$ on each side cancels, since $k\neq0$.$k$ ทั้งสองข้างตัดกัน เพราะ $k\neq0$
Take the $5700$th root of both sides of $\lambda^{5700}=\dfrac12$.
จงถอดรากที่ $5700$ ทั้งสองข้างของ $\lambda^{5700}=\dfrac12$
Answershow ▾
Same move as question 2, now on the real numbers.ขั้นเดิมจากข้อ 2 นำมาใช้กับตัวเลขจริง
Evaluate $\left(\dfrac12\right)^{\frac{1}{5700}}$ to $6$ decimal places.
จงคำนวณ $\left(\dfrac12\right)^{\frac{1}{5700}}$ เป็นทศนิยม $6$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Use a calculator, then round as in question 3.ใช้เครื่องคิดเลข แล้วปัดเศษเหมือนข้อ 3
Item B: $18=25\times0.999878^{t}$, with $t$ unknown in the exponent. Which method finds $t$?
(A) divide both sides by $0.999878$
(B) divide both sides by $25$, then take the $t$th root of both sides
(C) divide both sides by $25$, then take logs of both sides
วัตถุ B: $18=25\times0.999878^{t}$ โดย $t$ เป็นตัวชี้กำลังที่ไม่รู้ค่า วิธีใดหา $t$ ได้
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $0.999878$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $25$ แล้วถอดรากที่ $t$ ทั้งสองข้าง
(C) หารทั้งสองข้างด้วย $25$ แล้วใส่ log ทั้งสองข้าง
Answershow ▾
(A) confuses $t$, the exponent, with a multiplying factor - dividing by $0.999878$ never moves $t$ out of the exponent. (B) cannot root by a power you do not know; logs are the only way to bring $t$ down.(A) สลับ $t$ ซึ่งเป็นตัวชี้กำลัง กับตัวคูณ · หาร $0.999878$ ไม่ทำให้ $t$ หลุดจากตัวชี้กำลัง · (B) ถอดรากด้วยเลขที่ไม่รู้ค่าไม่ได้ มีแต่ log เท่านั้นที่ดึง $t$ ลงมาได้
Item A: $k=15$, $t=3250$. Work out $N=15\times0.999878^{3250}$, to $3$ significant figures.
วัตถุ A: $k=15$, $t=3250$ จงคำนวณ $N=15\times0.999878^{3250}$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Substitute, then evaluate before you round.แทนค่าก่อน แล้วค่อยปัดเศษ
Continue from $0.999878^{t}=\dfrac{18}{25}$: take logs of both sides, solve for $t$, then round to the nearest $100$ years.
ต่อจาก $0.999878^{t}=\dfrac{18}{25}$: ใส่ log ทั้งสองข้าง แก้หา $t$ แล้วปัดเศษเป็นหลักร้อยปีที่ใกล้ที่สุด
Answershow ▾
Logs turn the exponent into a multiplier you can divide by.log เปลี่ยนตัวชี้กำลังให้เป็นตัวคูณที่หารได้
A sample decays as $N=100\lambda^{t}$, with half-life $2$ years.
(i) Find $\lambda$, to $4$ decimal places.
(ii) Find $N$ when $t=6$.
(iii) Find $t$ when $N=10$, to the nearest year.
ตัวอย่างหนึ่งสลายตัวตามสมการ $N=100\lambda^{t}$ โดยมีครึ่งชีวิต $2$ ปี
(i) จงหา $\lambda$ เป็นทศนิยม $4$ ตำแหน่ง
(ii) จงหา $N$ เมื่อ $t=6$
(iii) จงหา $t$ เมื่อ $N=10$ ปัดเป็นปีที่ใกล้ที่สุด
Answershow ▾
Same three moves: solve for $\lambda$ from the half-life, apply it forward, then use logs to go backward.สามขั้นเดิม: หา $\lambda$ จากครึ่งชีวิต ใช้ไปข้างหน้า แล้วใช้ log ถอยกลับ
A scientist is using carbon-14 dating to determine the age of some wooden items.
The equation for carbon-14 dating an item is given by
$N=k\lambda^{t}$
where
• $N$ grams is the amount of carbon-14 currently present in the item
• $k$ grams was the initial amount of carbon-14 present in the item
• $t$ is the number of years since the item was made
• $\lambda$ is a constant, with $0\lt\lambda\lt 1$
(a) Sketch the graph of $N$ against $t$ for $k=1$
(b) Given that it takes 5700 years for the amount of carbon-14 to reduce to half its initial value,
show that the value of the constant $\lambda$ is 0.999878 to 6 decimal places.
(c) Given that Item A
• is known to have had 15 grams of carbon-14 present initially
• is thought to be 3250 years old
calculate, to 3 significant figures, how much carbon-14 the equation predicts is currently in Item A.
(d) Item B is known to have initially had 25 grams of carbon-14 present, but only 18 grams now remain.
Use algebra to calculate the age of Item B to the nearest 100 years.
นักวิทยาศาสตร์ใช้การหาอายุด้วยคาร์บอน-14 (carbon-14 dating) เพื่อหาอายุของวัตถุไม้บางชิ้น
สมการสำหรับหาอายุวัตถุด้วยคาร์บอน-14 คือ
$N=k\lambda^{t}$
เมื่อ
• $N$ กรัม คือปริมาณคาร์บอน-14 ที่มีอยู่ในวัตถุตอนนี้
• $k$ กรัม คือปริมาณคาร์บอน-14 เริ่มต้นในวัตถุ
• $t$ คือจำนวนปีนับตั้งแต่วัตถุถูกสร้าง
• $\lambda$ เป็นค่าคงที่ โดย $0\lt\lambda\lt 1$
(ก) ร่างกราฟของ $N$ เทียบกับ $t$ เมื่อ $k=1$
(ข) กำหนดว่าคาร์บอน-14 ใช้เวลา 5700 ปีในการลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น
จงแสดงว่าค่าคงที่ $\lambda$ เท่ากับ 0.999878 ที่ทศนิยม 6 ตำแหน่ง
(ค) กำหนดว่าวัตถุ A
• ทราบว่าเริ่มต้นมีคาร์บอน-14 อยู่ 15 กรัม
• คาดว่ามีอายุ 3250 ปี
คำนวณปริมาณคาร์บอน-14 ที่สมการทำนายว่ามีอยู่ในวัตถุ A ตอนนี้ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ง) วัตถุ B ทราบว่าเริ่มต้นมีคาร์บอน-14 อยู่ 25 กรัม แต่ตอนนี้เหลือเพียง 18 กรัม
ใช้พีชคณิตคำนวณอายุของวัตถุ B ปัดเป็นหลักร้อยปีที่ใกล้ที่สุด
Answershow ▾
9 marks: 2 for the shape, 2 to show $\lambda$, 2 for $N$ in Item A, 3 for $t$ in Item B.9 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับรูปร่างกราฟ 2 คะแนนสำหรับการแสดงค่า $\lambda$ 2 คะแนนสำหรับ $N$ ในวัตถุ A และ 3 คะแนนสำหรับ $t$ ในวัตถุ B
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two models that meet สองโมเดลที่มาบรรจบกัน
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
The number of dormice and the number of voles on an island are being monitored.
Initially there are 2000 dormice on the island.
A model predicts that the number of dormice will increase by 3% each year, so that the numbers of dormice on the island at the end of each year form a geometric sequence.
(a) Find, according to the model, the number of dormice on the island 6 years after monitoring began. Give your answer to 3 significant figures.
(b) The number of voles on the island is being monitored over the same period of time.
Given that
• 4 years after monitoring began there were 3690 voles on the island
• 7 years after monitoring began there were 3470 voles on the island
• the number of voles on the island at the end of each year is modelled as a geometric sequence
find the equation of this model in the form
$N=ab^{t}$
where $N$ is the number of voles, $t$ years after monitoring began and $a$ and $b$ are constants. Give the value of $a$ and the value of $b$ to 2 significant figures.
(c) When $t=T$, the number of dormice on the island is equal to the number of voles on the island.
Find, according to the models, the value of $T$, giving your answer to one decimal place.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
มีการติดตามจำนวนหนูดอร์เมาส์ (dormice) และจำนวนหนูนา (voles) บนเกาะแห่งหนึ่ง
เริ่มต้นมีหนูดอร์เมาส์ 2000 ตัวบนเกาะ
โมเดลหนึ่งทำนายว่าจำนวนหนูดอร์เมาส์จะเพิ่มขึ้นปีละ 3% ทำให้จำนวนหนูดอร์เมาส์บนเกาะ ณ สิ้นแต่ละปีเป็นลำดับเรขาคณิต (geometric sequence)
(ก) หาจำนวนหนูดอร์เมาส์บนเกาะ 6 ปีหลังเริ่มติดตาม ตามโมเดล ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ข) มีการติดตามจำนวนหนูนาบนเกาะในช่วงเวลาเดียวกัน
กำหนดว่า
• 4 ปีหลังเริ่มติดตาม มีหนูนา 3690 ตัวบนเกาะ
• 7 ปีหลังเริ่มติดตาม มีหนูนา 3470 ตัวบนเกาะ
• จำนวนหนูนาบนเกาะ ณ สิ้นแต่ละปีถูกจำลองเป็นลำดับเรขาคณิต
หาสมการของโมเดลนี้ในรูป
$N=ab^{t}$
เมื่อ $N$ คือจำนวนหนูนา ณ $t$ ปีหลังเริ่มติดตาม และ $a$ กับ $b$ เป็นค่าคงที่ ให้ค่า $a$ และค่า $b$ เป็นเลขนัยสำคัญ 2 ตัว
(ค) เมื่อ $t=T$ จำนวนหนูดอร์เมาส์บนเกาะเท่ากับจำนวนหนูนาบนเกาะ
หาค่า $T$ ตามโมเดลทั้งสอง ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
A population increases by $3\%$ each year. Write the multiplier for this increase.
จำนวนประชากรเพิ่มขึ้นร้อยละ $3$ ทุกปี จงเขียนตัวคูณสำหรับการเพิ่มขึ้นนี้
Answershow ▾
Add the percent, as a decimal, to $1$.บวกร้อยละ (ในรูปทศนิยม) เข้ากับ $1$
A value is multiplied by $1.03$, six years in a row. Write this as one multiplication using a power.
ค่าหนึ่งถูกคูณด้วย $1.03$ ติดต่อกัน $6$ ปี จงเขียนเป็นการคูณครั้งเดียวโดยใช้เลขชี้กำลัง
Answershow ▾
Multiplying by the same number six times is that number to the power $6$.การคูณด้วยจำนวนเดิมหกครั้ง คือจำนวนนั้นยกกำลังหก
Round $2388.1\ldots$ to 3 significant figures.
จงปัดเศษ $2388.1\ldots$ เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
The 4th significant figure is $8$, so the 3rd figure rounds up.เลขนัยสำคัญตัวที่ 4 คือ $8$ จึงปัดตัวที่ 3 ขึ้น
The dormice increase by $3\%$ each year, for $6$ years. Pick the first move.
(A) add $2000\times0.03\times6$ to $2000$
(B) multiply $2000$ by $1.03$, six times
(C) multiply $2000$ by $1.03\times6$
จำนวนหนูดอร์เมาส์เพิ่มขึ้นร้อยละ $3$ ทุกปี เป็นเวลา $6$ ปี จงเลือกขั้นแรก
(A) บวก $2000\times0.03\times6$ เข้ากับ $2000$
(B) คูณ $2000$ ด้วย $1.03$ ติดต่อกัน $6$ ครั้ง
(C) คูณ $2000$ ด้วย $1.03\times6$
Answershow ▾
(A) adds a fixed $3\%$ of $2000$ every year - simple growth, not compound. (C) multiplies the multiplier by $6$ instead of applying it $6$ times: $1.03\times6=6.18$ is wrong.(A) บวกร้อยละ $3$ ของ $2000$ เดิมทุกปี ซึ่งเป็นการเติบโตแบบคงต้น ไม่ใช่ทบต้น · (C) เอาตัวคูณไปคูณด้วย $6$ แทนการใช้ตัวคูณซ้ำ $6$ ครั้ง เพราะ $1.03\times6=6.18$ ผิด
There are $2000$ dormice. Work out the number after $1$ year, using the multiplier $1.03$.
มีหนูดอร์เมาส์ $2000$ ตัว จงหาจำนวนหลัง $1$ ปี โดยใช้ตัวคูณ $1.03$
Answershow ▾
Multiply the number by the multiplier.คูณจำนวนด้วยตัวคูณ
Write the calculation for the number of dormice after $6$ years, as one multiplication.
จงเขียนวิธีคำนวณจำนวนหนูดอร์เมาส์หลัง $6$ ปี ให้เป็นการคูณครั้งเดียว
Answershow ▾
The same starting number, multiplier to the power $6$ for six years.จำนวนเดิม คูณด้วยตัวคูณที่ยกกำลังหกสำหรับหกปี
Evaluate $2000\times1.03^{6}$ and round to 3 significant figures.
จงคำนวณ $2000\times1.03^{6}$ แล้วปัดเศษเป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
$1.03^{6}=1.194\ldots$, then multiply by $2000$ and round.$1.03^{6}=1.194\ldots$ แล้วคูณด้วย $2000$ และปัดเศษ
The voles are modelled as $N=ab^{t}$. Given $ab^{4}=3690$ and $ab^{7}=3470$, divide the second by the first to find $b^{3}$.
จำนวนหนูนาถูกจำลองเป็น $N=ab^{t}$ กำหนด $ab^{4}=3690$ และ $ab^{7}=3470$ จงหารสมการที่สองด้วยสมการแรกเพื่อหา $b^{3}$
Answershow ▾
Dividing cancels $a$, and $b^{7}\div b^{4}=b^{3}$.การหารทำให้ $a$ หายไป และ $b^{7}\div b^{4}=b^{3}$
Using $b=0.9797\ldots$, find $a$ from $ab^{4}=3690$, then give the model $N=ab^{t}$ with $a$ and $b$ to 2 significant figures.
ใช้ $b=0.9797\ldots$ หา $a$ จาก $ab^{4}=3690$ แล้วเขียนโมเดล $N=ab^{t}$ โดยให้ $a$ และ $b$ เป็นเลขนัยสำคัญ $2$ ตัว
Answershow ▾
Divide $3690$ by $b^{4}$ for $a$, then round both.หาร $3690$ ด้วย $b^{4}$ เพื่อหา $a$ แล้วปัดเศษทั้งสองค่า
At $t=T$ the two models are equal: $2000\times1.03^{T}=4000\times0.98^{T}$. Pick the first move.
(A) subtract the two sides and try to factor $T$ out of the result
(B) divide both sides by $2000\times0.98^{T}$, so $T$ sits in one single power
(C) take $\log$ of both sides straight away, before dividing anything
เมื่อ $t=T$ สองโมเดลเท่ากัน: $2000\times1.03^{T}=4000\times0.98^{T}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ลบสองข้างแล้วพยายามดึง $T$ ออกมาเป็นตัวร่วม
(B) หารสองข้างด้วย $2000\times0.98^{T}$ ให้ $T$ อยู่ในกำลังเดียว
(C) เอา $\log$ ทั้งสองข้างทันที ก่อนจะหารอะไรเลย
Answershow ▾
(A) fails - $T$ is an exponent inside two different powers, not a factor you can pull from a subtraction. (C) works eventually, but it still mixes two different logs together, so the same collecting has to happen after the logs instead of before.(A) ใช้ไม่ได้ เพราะ $T$ เป็นเลขชี้กำลังอยู่ในสองกำลังที่ต่างกัน ไม่ใช่ตัวร่วมที่ดึงจากการลบได้ · (C) ในที่สุดก็ได้ผลลัพธ์ แต่ยังผสม $\log$ สองตัวที่ต่างกันไว้ จึงต้องมารวมพจน์ $T$ ทีหลัง เท่าเดิม
$1000$ rabbits increase by $4\%$ each year.
(a) Find the number of rabbits after $5$ years, to 3 significant figures.
(b) The number of foxes is modelled as $N=ab^{t}$. Given $1800$ foxes after $1$ year and $1600$ foxes after $4$ years, find $a$ and $b$ to 2 significant figures.
(c) Find $T$, the year the two numbers are equal, to 1 decimal place.
กระต่าย $1000$ ตัว เพิ่มขึ้นร้อยละ $4$ ทุกปี
(ก) หาจำนวนกระต่ายหลัง $5$ ปี เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
(ข) จำนวนสุนัขจิ้งจอกถูกจำลองเป็น $N=ab^{t}$ กำหนดว่าหลัง $1$ ปีมี $1800$ ตัว และหลัง $4$ ปีมี $1600$ ตัว จงหา $a$ และ $b$ เป็นเลขนัยสำคัญ $2$ ตัว
(ค) หาค่า $T$ ปีที่จำนวนทั้งสองเท่ากัน ตอบเป็นทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same three moves: apply the multiplier, divide two population equations for $b$, then collect one power before taking logs.สามขั้นเดิม: ใช้ตัวคูณ หารสองสมการประชากรเพื่อหา $b$ แล้วรวมเป็นกำลังเดียวก่อนเอา $\log$
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
The number of dormice and the number of voles on an island are being monitored.
Initially there are 2000 dormice on the island.
A model predicts that the number of dormice will increase by 3% each year, so that the numbers of dormice on the island at the end of each year form a geometric sequence.
(a) Find, according to the model, the number of dormice on the island 6 years after monitoring began. Give your answer to 3 significant figures.
(b) The number of voles on the island is being monitored over the same period of time.
Given that
• 4 years after monitoring began there were 3690 voles on the island
• 7 years after monitoring began there were 3470 voles on the island
• the number of voles on the island at the end of each year is modelled as a geometric sequence
find the equation of this model in the form
$N=ab^{t}$
where $N$ is the number of voles, $t$ years after monitoring began and $a$ and $b$ are constants. Give the value of $a$ and the value of $b$ to 2 significant figures.
(c) When $t=T$, the number of dormice on the island is equal to the number of voles on the island.
Find, according to the models, the value of $T$, giving your answer to one decimal place.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
มีการติดตามจำนวนหนูดอร์เมาส์ (dormice) และจำนวนหนูนา (voles) บนเกาะแห่งหนึ่ง
เริ่มต้นมีหนูดอร์เมาส์ 2000 ตัวบนเกาะ
โมเดลหนึ่งทำนายว่าจำนวนหนูดอร์เมาส์จะเพิ่มขึ้นปีละ 3% ทำให้จำนวนหนูดอร์เมาส์บนเกาะ ณ สิ้นแต่ละปีเป็นลำดับเรขาคณิต (geometric sequence)
(ก) หาจำนวนหนูดอร์เมาส์บนเกาะ 6 ปีหลังเริ่มติดตาม ตามโมเดล ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
(ข) มีการติดตามจำนวนหนูนาบนเกาะในช่วงเวลาเดียวกัน
กำหนดว่า
• 4 ปีหลังเริ่มติดตาม มีหนูนา 3690 ตัวบนเกาะ
• 7 ปีหลังเริ่มติดตาม มีหนูนา 3470 ตัวบนเกาะ
• จำนวนหนูนาบนเกาะ ณ สิ้นแต่ละปีถูกจำลองเป็นลำดับเรขาคณิต
หาสมการของโมเดลนี้ในรูป
$N=ab^{t}$
เมื่อ $N$ คือจำนวนหนูนา ณ $t$ ปีหลังเริ่มติดตาม และ $a$ กับ $b$ เป็นค่าคงที่ ให้ค่า $a$ และค่า $b$ เป็นเลขนัยสำคัญ 2 ตัว
(ค) เมื่อ $t=T$ จำนวนหนูดอร์เมาส์บนเกาะเท่ากับจำนวนหนูนาบนเกาะ
หาค่า $T$ ตามโมเดลทั้งสอง ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
8 marks across three parts: apply the multiplier six times and round, divide two population equations for $b$ then back-substitute for $a$, then collect one power of $T$ before taking logs.8 คะแนนในสามส่วน: ใช้ตัวคูณหกครั้งแล้วปัดเศษ หารสองสมการประชากรเพื่อหา $b$ แล้วแทนกลับหา $a$ จากนั้นรวมเป็นกำลังเดียวของ $T$ ก่อนเอา $\log$