Polynomials · practice ladders ชุดไต่ระดับ · พหุนาม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Polynomials · factor and remainder theorem
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$, where $d$ is a constant.
(a) Find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x + 3)$, giving your answer in terms of $d$.
(b) Given that $(x - 2)$ is a factor of $f(x)$, find the value of $d$.
(c) Hence factorise $f(x)$ completely.
Given $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, find $f(-1)$.
กำหนด $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ จงหา $f(-1)$
Answershow ▾
Substitute the number for $x$ everywhere and simplify — the whole ladder starts here.
The remainder theorem says the remainder when $f(x)$ is divided by $(x - k)$ is $f(k)$. Given $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x + 3)$.
ทฤษฎีบทเศษเหลือกล่าวว่าเศษเหลือจากการหาร $f(x)$ ด้วย $(x-k)$ คือ $f(k)$ กำหนด $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ จงหาเศษเหลือเมื่อหารด้วย $(x + 3)$
Answershow ▾
Exactly the same move as question 1 — 'remainder on division by $(x-k)$' just means 'evaluate $f(k)$'. Nothing new is happening.
The factor theorem says $(x - m)$ is a factor of $f(x)$ exactly when $f(m) = 0$. Given $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, show that $(x - 2)$ is a factor of $f(x)$.
จงแสดงว่า $(x - 2)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
Answershow ▾
Substitute $x = 2$ into $f(x)$. Getting $0$ is what proves it is a factor — any other value would prove it is NOT.
Both theorems need one number, and the sign inside the bracket is where it is lost. Match each divisor to the number you substitute: $(x - 2)$, $(x + 3)$, $(2x - 1)$. Then write the line that gets you from $(x + 3)$ to that number.
ทั้งสองทฤษฎีบทต้องการตัวเลขตัวเดียว และเครื่องหมายในวงเล็บคือจุดที่พลาด · จงจับคู่ตัวหารกับตัวเลขที่ต้องแทน: $(x - 2)$, $(x + 3)$, $(2x - 1)$ · แล้วเขียนบรรทัดที่พาจาก $(x + 3)$ ไปถึงตัวเลขนั้น
Answershow ▾
The number is the root of the divisor, not the number printed in it: set the bracket to zero and solve. $(x + 3)$ gives $x = -3$, and $(2x - 1)$ gives $x = \tfrac{1}{2}$, not $1$ or $2$. Substituting $f(3)$ here gives $d + 12$, a number that is simply not the remainder. Part (a) is M1 for a complete substitution and A1 for $d - 264$; picking the sign is what makes the substitution complete, and nothing pays for it on its own.ตัวเลขที่ใช้คือรากของตัวหาร ไม่ใช่ตัวเลขที่พิมพ์อยู่ในวงเล็บ · ให้ตั้งวงเล็บเท่ากับศูนย์แล้วแก้ · $(x + 3)$ ได้ $x = -3$ และ $(2x - 1)$ ได้ $x = \tfrac{1}{2}$ ไม่ใช่ $1$ หรือ $2$ · ถ้าแทน $f(3)$ จะได้ $d + 12$ ซึ่งไม่ใช่เศษเหลือเลย · ข้อ (a) ให้ M1 กับการแทนค่าที่ครบ และ A1 กับ $d - 264$ · การเลือกเครื่องหมายคือสิ่งที่ทำให้การแทนค่าครบ แต่ตัวมันเองไม่มีคะแนน
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$, where $d$ is a constant. Find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x + 3)$, giving your answer in terms of $d$.
Answershow ▾
Same move as questions 1 and 2: substitute $x = -3$. The unknown $d$ just comes along for the ride since it never changes when you substitute for $x$. This is part (a) of the exam question.
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$, where $d$ is a constant. Given that $(x - 2)$ is a factor of $f(x)$, find the value of $d$.
Answershow ▾
Factor theorem: $f(2) = 0$. Substitute $x = 2$, set the result equal to $0$, and solve the resulting equation for $d$ — this is part (b).
Part (a) says find the remainder; part (b) says $(x - 2)$ is a factor. One instruction produces an expression, the other produces an equation. Say which is which, and write the opening line each one demands for $f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$.
ข้อ (a) เขียนว่า find the remainder · ข้อ (b) เขียนว่า $(x - 2)$ is a factor · คำสั่งหนึ่งให้นิพจน์ อีกคำสั่งให้สมการ · จงบอกว่าอันไหนเป็นอันไหน และเขียนบรรทัดเปิดของแต่ละข้อสำหรับ $f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$
Answershow ▾
“Remainder” asks what $f(k)$ is, so the answer is whatever comes out, $d$ and all. “Is a factor” states that $f(k)$ equals zero, which is an equation you can solve. Write $f(2) = 16 + d$ and stop, and part (b) is unfinished; write $f(-3) = 0$ in part (a) and you have invented information the question never gave. Part (b) is M1 for $f(2) = 0$ and A1 for $d = -16$; deciding that an equals-zero belongs there is not itself a mark."Remainder" ถามว่า $f(k)$ เป็นเท่าไร คำตอบจึงเป็นสิ่งที่ออกมา ติด $d$ ก็ตามนั้น · "is a factor" บอกว่า $f(k)$ เท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นสมการที่แก้ได้ · ถ้าเขียน $f(2) = 16 + d$ แล้วหยุด ข้อ (b) ยังไม่จบ · ถ้าเขียน $f(-3) = 0$ ในข้อ (a) เท่ากับสร้างข้อมูลที่โจทย์ไม่ได้ให้ · ข้อ (b) ให้ M1 กับ $f(2) = 0$ และ A1 กับ $d = -16$ · การตัดสินใจว่าต้องใส่ "เท่ากับศูนย์" ตรงนั้นไม่ใช่คะแนน
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x - 16$ (using the value of $d$ just found), and $(x - 2)$ is a factor. Divide $f(x)$ by $(x - 2)$ to find the quadratic factor.
Answershow ▾
Long division, or compare coefficients if you prefer — either way the remainder must come out as $0$, since $(x-m)$ really is a factor.
Factorise $2x^2 - 10x + 8$ completely.
Answershow ▾
It is an ordinary quadratic now — find two numbers that multiply and add to give the right coefficients, same as always.
Part (c) says factorise completely. With $d = -16$, which of these three answers the instruction, and what is wrong with the other two?
(A) $(x - 2)\left(2x^2 - 10x + 8\right)$ (B) $2(x - 2)(x - 1)(x - 4)$ (C) $(x - 2)(x - 1)(x - 4)$
ข้อ (c) เขียนว่า factorise completely · เมื่อ $d = -16$ ข้อไหนตอบคำสั่งนี้ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $(x - 2)\left(2x^2 - 10x + 8\right)$ (B) $2(x - 2)(x - 1)(x - 4)$ (C) $(x - 2)(x - 1)(x - 4)$
Answershow ▾
(A) stops while a quadratic is still there, and “completely” is the word that forbids stopping. (C) has thrown the $2$ away: multiply it out and the leading term is $x^3$, not $2x^3$, so it is a different polynomial. Check any factorisation by looking at the two ends — the leading coefficient must rebuild $2$ and the constants must multiply to $-16$: $2 \times (-2) \times (-1) \times (-4) = -16$. The A1 in part (c) is for the fully factorised line; noticing that the $2$ must be carried is what keeps you on it.(A) หยุดทั้งที่ยังมีพหุนามกำลังสองเหลืออยู่ และคำว่า "completely" คือคำที่ห้ามหยุด · (C) ทิ้ง $2$ ไป ลองคูณกลับดู พจน์นำจะเป็น $x^3$ ไม่ใช่ $2x^3$ จึงเป็นพหุนามคนละตัว · ตรวจการแยกตัวประกอบด้วยปลายทั้งสองข้าง: สัมประสิทธิ์นำต้องประกอบกลับเป็น $2$ และค่าคงที่ต้องคูณกันได้ $-16$ คือ $2 \times (-2) \times (-1) \times (-4) = -16$ · A1 ของข้อ (c) ให้กับบรรทัดที่แยกครบ · การสังเกตว่าต้องพา $2$ ไปด้วยคือสิ่งที่ทำให้ไปถึงบรรทัดนั้น
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$, where $d$ is a constant, and $(x - 2)$ is a factor of $f(x)$. Find $d$, then factorise $f(x)$ completely.
Answershow ▾
Questions 5, 6 and 7 chained: find $d$ with the factor theorem, divide by $(x-m)$, then factorise what is left. This is parts (b) and (c) together.
$f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + d$, where $d$ is a constant.
(a) Find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x + 1)$, in terms of $d$.
(b) Given that $(x - 1)$ is a factor of $f(x)$, find $d$.
(c) Hence factorise $f(x)$ completely.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$, where $d$ is a constant.
(a) Find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x + 3)$, giving your answer in terms of $d$.
(b) Given that $(x - 2)$ is a factor of $f(x)$, find the value of $d$.
(c) Hence factorise $f(x)$ completely.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); questions 6 and 7 build part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 factor theorem: $(x - 2)$ a factor $\Rightarrow f(2) = 0$ A1 $d = -16$.
(c) M1 divide $f(x)$ by $(x - 2)$: $f(x) = (x - 2)\left(2x^2 - 10x + 8\right)$ A1 quotient $= 2x^2 - 10x + 8$ M1 factorise the quadratic quotient A1 $f(x) = 2(x - 2)(x - 1)(x - 4)$.
Polynomials · division and solving a cubic
$f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$.
(a) Show that $(x - 3)$ is a factor of $f(x)$.
(b) Divide $f(x)$ by $(x - 3)$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$ completely.
Show that $(x - 1)$ is a factor of $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$.
จงแสดงว่า $(x - 1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$
Answershow ▾
Substitute $x = 1$ into $f(x)$ and check you get exactly $0$.
Divide $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$ by $(x - 1)$.
จงหาร $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$ ด้วย $(x - 1)$
Answershow ▾
Long division, or compare coefficients: write $f(x) = (x - 1)(Ax^2+Bx+C)$, expand, and match each power of $x$ in turn. Setting it out in an organised way is what earns the mark, not just the final line.
Solve $x^2 + x - 2 = 0$.
แก้สมการ $x^2 + x - 2 = 0$
Answershow ▾
Factorise the quadratic (or use the formula) to get the two roots.
Part (a) says Show that $(x - 3)$ is a factor. Which of these three finishes the answer, and what is missing from the other two?
(A) $f(3) = 0$ (B) $f(3) = 27 - 81 + 78 - 24 = 0$, so $(x - 3)$ is a factor (C) $x = 3$
ข้อ (a) เขียนว่า Show that $(x - 3)$ เป็นตัวประกอบ · ข้อไหนที่จบคำตอบได้ และอีกสองข้อขาดอะไร
(A) $f(3) = 0$ (B) $f(3) = 27 - 81 + 78 - 24 = 0$ ดังนั้น $(x - 3)$ เป็นตัวประกอบ (C) $x = 3$
Answershow ▾
“Show that” hands you the answer and asks for the road to it, so two things must be on the page: the substitution written out, and the sentence that reads the zero. (A) states the result without the arithmetic that proves it — a marker cannot tell whether you evaluated anything. (C) answers a different question; $x = 3$ is a root, and a root is not a factor. The M1 is for a complete $f(3)$ and the A1 for $= 0$ with the conclusion; the conclusion sentence is free to write and expensive to leave out."Show that" ให้คำตอบมาแล้วและขอทางเดินไปถึง · จึงต้องมีสองอย่างบนกระดาษ: การแทนค่าที่เขียนออกมา และประโยคที่อ่านค่าศูนย์นั้น · (A) บอกผลลัพธ์โดยไม่มีการคำนวณที่พิสูจน์ · ผู้ตรวจดูไม่ออกว่าคำนวณหรือเปล่า · (C) ตอบคนละคำถาม · $x = 3$ คือราก และรากไม่ใช่ตัวประกอบ · M1 ให้กับ $f(3)$ ที่ครบ และ A1 ให้กับ $= 0$ พร้อมข้อสรุป · ประโยคสรุปเขียนฟรี แต่ถ้าไม่เขียนราคาแพง
$f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$. Show that $(x - 3)$ is a factor of $f(x)$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real coefficients. This is part (a).
$f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$, and $(x - 3)$ is a factor of $f(x)$. Divide $f(x)$ by $(x - 3)$.
Answershow ▾
Same move as question 2, with the real coefficients. This is part (b).
Instead of long division, write $f(x) = (x - 3)\left(Ax^2 + Bx + C\right)$ and compare coefficients. Two of $A$, $B$, $C$ can be read off in one line each, with no algebra at all. Name which two, say which power of $x$ gives each, and write down their values.
แทนที่จะหารยาว ให้เขียน $f(x) = (x - 3)\left(Ax^2 + Bx + C\right)$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ · สองตัวใน $A$, $B$, $C$ อ่านได้ทันทีตัวละบรรทัด โดยไม่ต้องคำนวณเลย · จงบอกว่าคือสองตัวไหน แต่ละตัวมาจากกำลังใดของ $x$ และค่าเป็นเท่าไร
Answershow ▾
The two ends of a product are the cheapest places to look: the highest power can only come from $x \times Ax^2$, and the constant can only come from $-3 \times C$. That leaves $B$ as the only thing worth working for, from the $x^2$ or the $x$ term. Long division reaches the same $x^2 - 6x + 8$ and is equally acceptable; what is not acceptable is a quadratic written down with no method beside it. Part (b) is M1 for a complete division or comparison and A1 for the quotient; choosing between the two routes earns nothing either way.ปลายทั้งสองข้างของผลคูณคือจุดที่ดูง่ายที่สุด: กำลังสูงสุดมาจาก $x \times Ax^2$ ได้ทางเดียว และค่าคงที่มาจาก $-3 \times C$ ได้ทางเดียว · เหลือ $B$ ตัวเดียวที่ต้องทำงานจริง จากพจน์ $x^2$ หรือพจน์ $x$ · การหารยาวได้ $x^2 - 6x + 8$ เหมือนกันและใช้ได้เท่ากัน · สิ่งที่ใช้ไม่ได้คือเขียนพหุนามกำลังสองลงไปเฉย ๆ โดยไม่มีวิธี · ข้อ (b) ให้ M1 กับการหารหรือการเทียบที่ครบ และ A1 กับผลหาร · การเลือกทางเดินไม่มีคะแนนทั้งสองทาง
Solve $x^2 - 6x + 8 = 0$.
Answershow ▾
Same move as question 3. This gives two of the three roots of $f(x) = 0$ — not all of them yet.
Part (c) says solve $f(x) = 0$ completely, and you have $f(x) = (x - 3)\left(x^2 - 6x + 8\right)$ with the quadratic giving $x = 2$ and $x = 4$. How many solutions should your final list hold, and which one is easiest to leave out? Write the list.
ข้อ (c) เขียนว่า solve $f(x) = 0$ completely และได้ $f(x) = (x - 3)\left(x^2 - 6x + 8\right)$ โดยพหุนามกำลังสองให้ $x = 2$ กับ $x = 4$ · คำตอบสุดท้ายควรมีกี่ค่า และค่าไหนที่ลืมง่ายที่สุด · จงเขียนรายการออกมา
Answershow ▾
A product is zero when any bracket is zero, and there are two brackets here, not one. A cubic has up to three roots, so a two-value answer to a cubic should stop you every time. The lost root is always $x = 3$, because by the time you reach the quadratic the $(x - 3)$ has been sitting on the page for two parts and stops being read. The A1 is for the complete list; counting the brackets before you write it costs nothing and is the only thing standing between $2,\ 4$ and $2,\ 3,\ 4$.ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อวงเล็บใดก็ได้เป็นศูนย์ และที่นี่มีสองวงเล็บ ไม่ใช่หนึ่ง · พหุนามกำลังสามมีรากได้ถึงสามราก คำตอบสองค่าของกำลังสามจึงควรทำให้สะดุดทุกครั้ง · รากที่หายคือ $x = 3$ เสมอ เพราะกว่าจะถึงพหุนามกำลังสอง $(x - 3)$ อยู่บนกระดาษมาสองข้อแล้วจนตาไม่อ่านมันอีก · A1 ให้กับรายการที่ครบ · การนับวงเล็บก่อนเขียนไม่มีคะแนน แต่เป็นสิ่งเดียวที่กั้นระหว่าง $2,\ 4$ กับ $2,\ 3,\ 4$
$f(x) = (x - 3)\left(x^2 - 6x + 8\right)$, and $x^2 - 6x + 8 = 0$ when $x = 2$ or $x = 4$. Write down every solution of $f(x) = 0$.
Answershow ▾
$f(x)$ is a cubic, so $f(x) = 0$ has up to three roots. $x = 3$ solves it too, since $(x - 3)$ is a factor — the single most common mistake here is giving only the two roots from the quadratic and forgetting the one you started with.
$f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$. Show that $(x - 3)$ is a factor of $f(x)$, divide $f(x)$ by $(x - 3)$, and hence solve $f(x) = 0$ completely.
Answershow ▾
Questions 4, 5, 6 and 7 back to back — every step of the exam question, in order.
$f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$.
(a) Show that $(x - 1)$ is a factor of $f(x)$.
(b) Divide $f(x)$ by $(x - 1)$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$ completely.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$.
(a) Show that $(x - 3)$ is a factor of $f(x)$.
(b) Divide $f(x)$ by $(x - 3)$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$ completely.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); questions 6 and 7 build part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 divide, by long division or comparing coefficients A1 $f(x) = (x - 3)\left(x^2 - 6x + 8\right)$.
(c) M1 solve $x^2 - 6x + 8 = 0$ A1 $x = 2$ or $x = 4$ B1 together with $x = 3$ from part (a), all three roots are $x = 3, 2, 4$.