Polynomials · practice ladders ชุดไต่ระดับ · พหุนาม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Polynomials · factor and remainder theorem
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$, where $d$ is a constant.
(a) Find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x + 3)$, giving your answer in terms of $d$.
(b) Given that $(x - 2)$ is a factor of $f(x)$, find the value of $d$.
(c) Hence factorise $f(x)$ completely.
Given $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, find $f(-1)$.
กำหนด $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ จงหา $f(-1)$
Answershow ▾
Substitute the number for $x$ everywhere and simplify — the whole ladder starts here.
The remainder theorem says the remainder when $f(x)$ is divided by $(x - k)$ is $f(k)$. Given $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x + 3)$.
ทฤษฎีบทเศษเหลือกล่าวว่าเศษเหลือจากการหาร $f(x)$ ด้วย $(x-k)$ คือ $f(k)$ กำหนด $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ จงหาเศษเหลือเมื่อหารด้วย $(x + 3)$
Answershow ▾
Exactly the same move as question 1 — 'remainder on division by $(x-k)$' just means 'evaluate $f(k)$'. Nothing new is happening.
The factor theorem says $(x - m)$ is a factor of $f(x)$ exactly when $f(m) = 0$. Given $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, show that $(x - 2)$ is a factor of $f(x)$.
จงแสดงว่า $(x - 2)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
Answershow ▾
Substitute $x = 2$ into $f(x)$. Getting $0$ is what proves it is a factor — any other value would prove it is NOT.
Both theorems need one number, and the sign inside the bracket is where it is lost. Match each divisor to the number you substitute: $(x - 2)$, $(x + 3)$, $(2x - 1)$. Then write the line that gets you from $(x + 3)$ to that number.
ทั้งสองทฤษฎีบทต้องการตัวเลขตัวเดียว และเครื่องหมายในวงเล็บคือจุดที่พลาด · จงจับคู่ตัวหารกับตัวเลขที่ต้องแทน: $(x - 2)$, $(x + 3)$, $(2x - 1)$ · แล้วเขียนบรรทัดที่พาจาก $(x + 3)$ ไปถึงตัวเลขนั้น
Answershow ▾
The number is the root of the divisor, not the number printed in it: set the bracket to zero and solve. $(x + 3)$ gives $x = -3$, and $(2x - 1)$ gives $x = \tfrac{1}{2}$, not $1$ or $2$. Substituting $f(3)$ here gives $d + 12$, a number that is simply not the remainder. Part (a) is M1 for a complete substitution and A1 for $d - 264$; picking the sign is what makes the substitution complete, and nothing pays for it on its own.ตัวเลขที่ใช้คือรากของตัวหาร ไม่ใช่ตัวเลขที่พิมพ์อยู่ในวงเล็บ · ให้ตั้งวงเล็บเท่ากับศูนย์แล้วแก้ · $(x + 3)$ ได้ $x = -3$ และ $(2x - 1)$ ได้ $x = \tfrac{1}{2}$ ไม่ใช่ $1$ หรือ $2$ · ถ้าแทน $f(3)$ จะได้ $d + 12$ ซึ่งไม่ใช่เศษเหลือเลย · ข้อ (a) ให้ M1 กับการแทนค่าที่ครบ และ A1 กับ $d - 264$ · การเลือกเครื่องหมายคือสิ่งที่ทำให้การแทนค่าครบ แต่ตัวมันเองไม่มีคะแนน
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$, where $d$ is a constant. Find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x + 3)$, giving your answer in terms of $d$.
Answershow ▾
Same move as questions 1 and 2: substitute $x = -3$. The unknown $d$ just comes along for the ride since it never changes when you substitute for $x$. This is part (a) of the exam question.
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$, where $d$ is a constant. Given that $(x - 2)$ is a factor of $f(x)$, find the value of $d$.
Answershow ▾
Factor theorem: $f(2) = 0$. Substitute $x = 2$, set the result equal to $0$, and solve the resulting equation for $d$ — this is part (b).
Part (a) says find the remainder; part (b) says $(x - 2)$ is a factor. One instruction produces an expression, the other produces an equation. Say which is which, and write the opening line each one demands for $f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$.
ข้อ (a) เขียนว่า find the remainder · ข้อ (b) เขียนว่า $(x - 2)$ is a factor · คำสั่งหนึ่งให้นิพจน์ อีกคำสั่งให้สมการ · จงบอกว่าอันไหนเป็นอันไหน และเขียนบรรทัดเปิดของแต่ละข้อสำหรับ $f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$
Answershow ▾
“Remainder” asks what $f(k)$ is, so the answer is whatever comes out, $d$ and all. “Is a factor” states that $f(k)$ equals zero, which is an equation you can solve. Write $f(2) = 16 + d$ and stop, and part (b) is unfinished; write $f(-3) = 0$ in part (a) and you have invented information the question never gave. Part (b) is M1 for $f(2) = 0$ and A1 for $d = -16$; deciding that an equals-zero belongs there is not itself a mark."Remainder" ถามว่า $f(k)$ เป็นเท่าไร คำตอบจึงเป็นสิ่งที่ออกมา ติด $d$ ก็ตามนั้น · "is a factor" บอกว่า $f(k)$ เท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นสมการที่แก้ได้ · ถ้าเขียน $f(2) = 16 + d$ แล้วหยุด ข้อ (b) ยังไม่จบ · ถ้าเขียน $f(-3) = 0$ ในข้อ (a) เท่ากับสร้างข้อมูลที่โจทย์ไม่ได้ให้ · ข้อ (b) ให้ M1 กับ $f(2) = 0$ และ A1 กับ $d = -16$ · การตัดสินใจว่าต้องใส่ "เท่ากับศูนย์" ตรงนั้นไม่ใช่คะแนน
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x - 16$ (using the value of $d$ just found), and $(x - 2)$ is a factor. Divide $f(x)$ by $(x - 2)$ to find the quadratic factor.
Answershow ▾
Long division, or compare coefficients if you prefer — either way the remainder must come out as $0$, since $(x-m)$ really is a factor.
Factorise $2x^2 - 10x + 8$ completely.
Answershow ▾
It is an ordinary quadratic now — find two numbers that multiply and add to give the right coefficients, same as always.
Part (c) says factorise completely. With $d = -16$, which of these three answers the instruction, and what is wrong with the other two?
(A) $(x - 2)\left(2x^2 - 10x + 8\right)$ (B) $2(x - 2)(x - 1)(x - 4)$ (C) $(x - 2)(x - 1)(x - 4)$
ข้อ (c) เขียนว่า factorise completely · เมื่อ $d = -16$ ข้อไหนตอบคำสั่งนี้ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $(x - 2)\left(2x^2 - 10x + 8\right)$ (B) $2(x - 2)(x - 1)(x - 4)$ (C) $(x - 2)(x - 1)(x - 4)$
Answershow ▾
(A) stops while a quadratic is still there, and “completely” is the word that forbids stopping. (C) has thrown the $2$ away: multiply it out and the leading term is $x^3$, not $2x^3$, so it is a different polynomial. Check any factorisation by looking at the two ends — the leading coefficient must rebuild $2$ and the constants must multiply to $-16$: $2 \times (-2) \times (-1) \times (-4) = -16$. The A1 in part (c) is for the fully factorised line; noticing that the $2$ must be carried is what keeps you on it.(A) หยุดทั้งที่ยังมีพหุนามกำลังสองเหลืออยู่ และคำว่า "completely" คือคำที่ห้ามหยุด · (C) ทิ้ง $2$ ไป ลองคูณกลับดู พจน์นำจะเป็น $x^3$ ไม่ใช่ $2x^3$ จึงเป็นพหุนามคนละตัว · ตรวจการแยกตัวประกอบด้วยปลายทั้งสองข้าง: สัมประสิทธิ์นำต้องประกอบกลับเป็น $2$ และค่าคงที่ต้องคูณกันได้ $-16$ คือ $2 \times (-2) \times (-1) \times (-4) = -16$ · A1 ของข้อ (c) ให้กับบรรทัดที่แยกครบ · การสังเกตว่าต้องพา $2$ ไปด้วยคือสิ่งที่ทำให้ไปถึงบรรทัดนั้น
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$, where $d$ is a constant, and $(x - 2)$ is a factor of $f(x)$. Find $d$, then factorise $f(x)$ completely.
Answershow ▾
Questions 5, 6 and 7 chained: find $d$ with the factor theorem, divide by $(x-m)$, then factorise what is left. This is parts (b) and (c) together.
$f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + d$, where $d$ is a constant.
(a) Find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x + 1)$, in terms of $d$.
(b) Given that $(x - 1)$ is a factor of $f(x)$, find $d$.
(c) Hence factorise $f(x)$ completely.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 28x + d$, where $d$ is a constant.
(a) Find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x + 3)$, giving your answer in terms of $d$.
(b) Given that $(x - 2)$ is a factor of $f(x)$, find the value of $d$.
(c) Hence factorise $f(x)$ completely.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); questions 6 and 7 build part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Polynomials · division and solving a cubic
$f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$.
(a) Show that $(x - 3)$ is a factor of $f(x)$.
(b) Divide $f(x)$ by $(x - 3)$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$ completely.
Show that $(x - 1)$ is a factor of $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$.
จงแสดงว่า $(x - 1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$
Answershow ▾
Substitute $x = 1$ into $f(x)$ and check you get exactly $0$.
Divide $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$ by $(x - 1)$.
จงหาร $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$ ด้วย $(x - 1)$
Answershow ▾
Long division, or compare coefficients: write $f(x) = (x - 1)(Ax^2+Bx+C)$, expand, and match each power of $x$ in turn. Setting it out in an organised way is what earns the mark, not just the final line.
Solve $x^2 + x - 2 = 0$.
แก้สมการ $x^2 + x - 2 = 0$
Answershow ▾
Factorise the quadratic (or use the formula) to get the two roots.
Part (a) says Show that $(x - 3)$ is a factor. Which of these three finishes the answer, and what is missing from the other two?
(A) $f(3) = 0$ (B) $f(3) = 27 - 81 + 78 - 24 = 0$, so $(x - 3)$ is a factor (C) $x = 3$
ข้อ (a) เขียนว่า Show that $(x - 3)$ เป็นตัวประกอบ · ข้อไหนที่จบคำตอบได้ และอีกสองข้อขาดอะไร
(A) $f(3) = 0$ (B) $f(3) = 27 - 81 + 78 - 24 = 0$ ดังนั้น $(x - 3)$ เป็นตัวประกอบ (C) $x = 3$
Answershow ▾
“Show that” hands you the answer and asks for the road to it, so two things must be on the page: the substitution written out, and the sentence that reads the zero. (A) states the result without the arithmetic that proves it — a marker cannot tell whether you evaluated anything. (C) answers a different question; $x = 3$ is a root, and a root is not a factor. The M1 is for a complete $f(3)$ and the A1 for $= 0$ with the conclusion; the conclusion sentence is free to write and expensive to leave out."Show that" ให้คำตอบมาแล้วและขอทางเดินไปถึง · จึงต้องมีสองอย่างบนกระดาษ: การแทนค่าที่เขียนออกมา และประโยคที่อ่านค่าศูนย์นั้น · (A) บอกผลลัพธ์โดยไม่มีการคำนวณที่พิสูจน์ · ผู้ตรวจดูไม่ออกว่าคำนวณหรือเปล่า · (C) ตอบคนละคำถาม · $x = 3$ คือราก และรากไม่ใช่ตัวประกอบ · M1 ให้กับ $f(3)$ ที่ครบ และ A1 ให้กับ $= 0$ พร้อมข้อสรุป · ประโยคสรุปเขียนฟรี แต่ถ้าไม่เขียนราคาแพง
$f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$. Show that $(x - 3)$ is a factor of $f(x)$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real coefficients. This is part (a).
$f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$, and $(x - 3)$ is a factor of $f(x)$. Divide $f(x)$ by $(x - 3)$.
Answershow ▾
Same move as question 2, with the real coefficients. This is part (b).
Instead of long division, write $f(x) = (x - 3)\left(Ax^2 + Bx + C\right)$ and compare coefficients. Two of $A$, $B$, $C$ can be read off in one line each, with no algebra at all. Name which two, say which power of $x$ gives each, and write down their values.
แทนที่จะหารยาว ให้เขียน $f(x) = (x - 3)\left(Ax^2 + Bx + C\right)$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ · สองตัวใน $A$, $B$, $C$ อ่านได้ทันทีตัวละบรรทัด โดยไม่ต้องคำนวณเลย · จงบอกว่าคือสองตัวไหน แต่ละตัวมาจากกำลังใดของ $x$ และค่าเป็นเท่าไร
Answershow ▾
The two ends of a product are the cheapest places to look: the highest power can only come from $x \times Ax^2$, and the constant can only come from $-3 \times C$. That leaves $B$ as the only thing worth working for, from the $x^2$ or the $x$ term. Long division reaches the same $x^2 - 6x + 8$ and is equally acceptable; what is not acceptable is a quadratic written down with no method beside it. Part (b) is M1 for a complete division or comparison and A1 for the quotient; choosing between the two routes earns nothing either way.ปลายทั้งสองข้างของผลคูณคือจุดที่ดูง่ายที่สุด: กำลังสูงสุดมาจาก $x \times Ax^2$ ได้ทางเดียว และค่าคงที่มาจาก $-3 \times C$ ได้ทางเดียว · เหลือ $B$ ตัวเดียวที่ต้องทำงานจริง จากพจน์ $x^2$ หรือพจน์ $x$ · การหารยาวได้ $x^2 - 6x + 8$ เหมือนกันและใช้ได้เท่ากัน · สิ่งที่ใช้ไม่ได้คือเขียนพหุนามกำลังสองลงไปเฉย ๆ โดยไม่มีวิธี · ข้อ (b) ให้ M1 กับการหารหรือการเทียบที่ครบ และ A1 กับผลหาร · การเลือกทางเดินไม่มีคะแนนทั้งสองทาง
Solve $x^2 - 6x + 8 = 0$.
Answershow ▾
Same move as question 3. This gives two of the three roots of $f(x) = 0$ — not all of them yet.
Part (c) says solve $f(x) = 0$ completely, and you have $f(x) = (x - 3)\left(x^2 - 6x + 8\right)$ with the quadratic giving $x = 2$ and $x = 4$. How many solutions should your final list hold, and which one is easiest to leave out? Write the list.
ข้อ (c) เขียนว่า solve $f(x) = 0$ completely และได้ $f(x) = (x - 3)\left(x^2 - 6x + 8\right)$ โดยพหุนามกำลังสองให้ $x = 2$ กับ $x = 4$ · คำตอบสุดท้ายควรมีกี่ค่า และค่าไหนที่ลืมง่ายที่สุด · จงเขียนรายการออกมา
Answershow ▾
A product is zero when any bracket is zero, and there are two brackets here, not one. A cubic has up to three roots, so a two-value answer to a cubic should stop you every time. The lost root is always $x = 3$, because by the time you reach the quadratic the $(x - 3)$ has been sitting on the page for two parts and stops being read. The A1 is for the complete list; counting the brackets before you write it costs nothing and is the only thing standing between $2,\ 4$ and $2,\ 3,\ 4$.ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อวงเล็บใดก็ได้เป็นศูนย์ และที่นี่มีสองวงเล็บ ไม่ใช่หนึ่ง · พหุนามกำลังสามมีรากได้ถึงสามราก คำตอบสองค่าของกำลังสามจึงควรทำให้สะดุดทุกครั้ง · รากที่หายคือ $x = 3$ เสมอ เพราะกว่าจะถึงพหุนามกำลังสอง $(x - 3)$ อยู่บนกระดาษมาสองข้อแล้วจนตาไม่อ่านมันอีก · A1 ให้กับรายการที่ครบ · การนับวงเล็บก่อนเขียนไม่มีคะแนน แต่เป็นสิ่งเดียวที่กั้นระหว่าง $2,\ 4$ กับ $2,\ 3,\ 4$
$f(x) = (x - 3)\left(x^2 - 6x + 8\right)$, and $x^2 - 6x + 8 = 0$ when $x = 2$ or $x = 4$. Write down every solution of $f(x) = 0$.
Answershow ▾
$f(x)$ is a cubic, so $f(x) = 0$ has up to three roots. $x = 3$ solves it too, since $(x - 3)$ is a factor — the single most common mistake here is giving only the two roots from the quadratic and forgetting the one you started with.
$f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$. Show that $(x - 3)$ is a factor of $f(x)$, divide $f(x)$ by $(x - 3)$, and hence solve $f(x) = 0$ completely.
Answershow ▾
Questions 4, 5, 6 and 7 back to back — every step of the exam question, in order.
$f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$.
(a) Show that $(x - 1)$ is a factor of $f(x)$.
(b) Divide $f(x)$ by $(x - 1)$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$ completely.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
$f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$.
(a) Show that $(x - 3)$ is a factor of $f(x)$.
(b) Divide $f(x)$ by $(x - 3)$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$ completely.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); questions 6 and 7 build part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Find a coefficient from a remainder หาสัมประสิทธิ์จากเศษเหลือที่กำหนด
$f(x)=ax^{3}+3x^{2}-8x+2$ where $a$ is a constant.
Given that when $f(x)$ is divided by $(x-2)$ the remainder is $3$, find the value of $a$.
$f(x)=ax^{3}+3x^{2}-8x+2$ เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่าเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือ (remainder) คือ $3$ จงหาค่าของ $a$
Work out $2^{3}$.
จงหาค่า $2^{3}$
Answershow ▾
Multiply $2$ by itself three times.คูณ $2$ กับตัวเองสามครั้ง
Work out $3\times(2)^{2}$.
จงหาค่า $3\times(2)^{2}$
Answershow ▾
Square first, then multiply by $3$.ยกกำลังสองก่อน แล้วคูณด้วย $3$
Simplify $12-16+2$.
จงทำให้ง่าย $12-16+2$
Answershow ▾
Work left to right: subtract first, then add.ทำจากซ้ายไปขวา: ลบก่อน แล้วค่อยบวก
$f(x)$ is divided by $(x-2)$ and the remainder is $3$. Pick the equation to use.
(A) $f(2)=3$
(B) $f(-2)=3$
(C) $f(0)=3$
$f(x)$ หารด้วย $(x-2)$ เศษเหลือเป็น $3$ จงเลือกสมการที่ใช้
(A) $f(2)=3$
(B) $f(-2)=3$
(C) $f(0)=3$
Answershow ▾
(B) uses $x=-2$, but $(x-2)=0$ only when $x=2$. (C) uses $x=0$, which does not make the bracket $(x-2)$ zero at all.(B) ใช้ $x=-2$ แต่ $(x-2)=0$ เมื่อ $x=2$ เท่านั้น · (C) ใช้ $x=0$ ซึ่งไม่ทำให้วงเล็บ $(x-2)$ เป็นศูนย์เลย
$f(x)=ax^{3}+3x^{2}-8x+2$. Write $f(2)$ in full, without simplifying.
$f(x)=ax^{3}+3x^{2}-8x+2$ จงเขียน $f(2)$ แบบเต็ม โดยยังไม่ต้องทำให้ง่าย
Answershow ▾
Replace every $x$ with $2$; keep the brackets.แทน $x$ ทุกตัวด้วย $2$ · เก็บวงเล็บไว้
Simplify $a(2)^{3}+3(2)^{2}-8(2)+2$ to the form $8a+k$.
จงทำให้ง่าย $a(2)^{3}+3(2)^{2}-8(2)+2$ ให้อยู่ในรูป $8a+k$
Answershow ▾
Evaluate each power first, then collect the numbers.คำนวณแต่ละพจน์ก่อน แล้วรวมตัวเลข
Solve $8a-2=3$ for $a$.
จงแก้สมการ $8a-2=3$ หาค่า $a$
Answershow ▾
Add $2$ to both sides, then divide by $8$.บวก $2$ เข้าทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $8$
$f(x)=ax^{3}+3x^{2}-8x+2$. Given that $f(2)=3$, write the equation in $a$ that this gives.
$f(x)=ax^{3}+3x^{2}-8x+2$ กำหนดว่า $f(2)=3$ จงเขียนสมการของ $a$ ที่ได้
Answershow ▾
The same three moves, now written as one equation.สามขั้นเดิม เขียนรวมเป็นสมการเดียว
Check that $a=\dfrac58$ satisfies $8a-2=3$.
จงตรวจว่า $a=\dfrac58$ สอดคล้องกับ $8a-2=3$ หรือไม่
Answershow ▾
Substituting the answer back must give the remainder exactly.แทนคำตอบกลับไป ต้องได้เศษเหลือตรงกันพอดี
$g(x)=bx^{3}+2x^{2}-7x+3$ where $b$ is a constant. When $g(x)$ is divided by $(x-2)$ the remainder is $5$. Find the value of $b$.
$g(x)=bx^{3}+2x^{2}-7x+3$ เมื่อ $b$ เป็นค่าคงที่ กำหนดว่าเมื่อหาร $g(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $5$ จงหาค่า $b$
Answershow ▾
Same three moves: substitute, collect, solve.สามขั้นเดิม: แทนค่า รวมพจน์ แก้สมการ
$f(x)=ax^{3}+3x^{2}-8x+2$ where $a$ is a constant.
Given that when $f(x)$ is divided by $(x-2)$ the remainder is $3$, find the value of $a$.
$f(x)=ax^{3}+3x^{2}-8x+2$ เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่าเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือ (remainder) คือ $3$ จงหาค่าของ $a$
Answershow ▾
$3$ marks: substitute $x=2$, collect to $8a-2$, then solve $8a-2=3$.$3$ คะแนน: แทน $x=2$ รวมพจน์ได้ $8a-2$ แล้วแก้สมการ $8a-2=3$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Factor theorem proves only one root ทฤษฎีตัวประกอบ พิสูจน์รากจริงค่าเดียว
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
$f(x)=4x^{3}-8x^{2}+5x+a$ where $a$ is a constant.
Given that $(2x-3)$ is a factor of $f(x)$
(a) use the factor theorem to show that $a=-3$
(b) Hence show that the equation $f(x)=0$ has only one real root.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
ห้ามใช้เครื่องคิดเลขแก้ปัญหาโดยไม่แสดงวิธีทำ
$f(x)=4x^{3}-8x^{2}+5x+a$ เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า $(2x-3)$ เป็นตัวประกอบ (factor) ของ $f(x)$
(ก) ใช้ทฤษฎีตัวประกอบจงแสดงว่า $a=-3$
(ข) จากนั้นจงแสดงว่าสมการ $f(x)=0$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว
Solve $2x-3=0$ for $x$.
จงแก้สมการ $2x-3=0$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Add $3$, then divide by $2$.บวก $3$ แล้วหารด้วย $2$
Evaluate $4\left(\tfrac32\right)^{3}$.
จงคำนวณ $4\left(\tfrac32\right)^{3}$
Answershow ▾
$\left(\tfrac32\right)^{3}=\tfrac{27}{8}$, then multiply by $4$.$\left(\tfrac32\right)^{3}=\tfrac{27}{8}$ แล้วคูณด้วย $4$
Find the discriminant of $2x^{2}-x+1$.
จงหาดิสคริมิแนนต์ของ $2x^{2}-x+1$
Answershow ▾
Use $b^{2}-4ac$ with $a=2,\,b=-1,\,c=1$.ใช้ $b^{2}-4ac$ โดย $a=2,\,b=-1,\,c=1$
$(2x-3)$ is a factor of $f(x)$. To test this with the factor theorem, which value do you substitute?
(A) $x=3$
(B) $x=\dfrac32$
(C) $x=-\dfrac32$
$(2x-3)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$ จะทดสอบด้วยทฤษฎีตัวประกอบ (factor theorem) ต้องแทนค่าใด
(A) $x=3$
(B) $x=\dfrac32$
(C) $x=-\dfrac32$
Answershow ▾
(A) treats $(2x-3)$ like $(x-3)$, whose root is $3$ - but $2x-3=0$ gives $x=\dfrac32$. (C) has the wrong sign.(A) ปฏิบัติกับ $(2x-3)$ เหมือน $(x-3)$ ซึ่งมีราก $3$ แต่ $2x-3=0$ ให้ $x=\dfrac32$ · (C) ใช้เครื่องหมายผิด
Given $f(x)=4x^{3}-8x^{2}+5x+a$, evaluate $f\left(\tfrac32\right)$, leaving $a$ in it.
กำหนด $f(x)=4x^{3}-8x^{2}+5x+a$ จงคำนวณ $f\left(\tfrac32\right)$ โดยให้มี $a$ อยู่ในคำตอบ
Answershow ▾
Use $4\left(\tfrac32\right)^{3}=13.5$ from before, then add the rest.ใช้ $4\left(\tfrac32\right)^{3}=13.5$ จากข้อก่อนหน้า แล้วบวกส่วนที่เหลือ
Since $(2x-3)$ is a factor, $f\left(\tfrac32\right)=0$. Use $f\left(\tfrac32\right)=3+a$ to find $a$.
เมื่อ $(2x-3)$ เป็นตัวประกอบ $f\left(\tfrac32\right)=0$ ใช้ $f\left(\tfrac32\right)=3+a$ หา $a$
Answershow ▾
Set $3+a=0$ and solve for $a$.ให้ $3+a=0$ แล้วแก้หาค่า $a$
$f(x)=4x^{3}-8x^{2}+5x-3$ and $(2x-3)$ is a factor. Pick the first move for the quadratic factor.
(A) compare coefficients in $(2x-3)(2x^{2}+bx+c)=f(x)$
(B) try more values of $x$ in the factor theorem until all roots are found
(C) complete the square on $f(x)$
$f(x)=4x^{3}-8x^{2}+5x-3$ และ $(2x-3)$ เป็นตัวประกอบ จงเลือกขั้นแรกเพื่อหาตัวประกอบกำลังสอง
(A) เทียบสัมประสิทธิ์ใน $(2x-3)(2x^{2}+bx+c)=f(x)$
(B) ลองแทนค่า $x$ เพิ่มในทฤษฎีตัวประกอบจนกว่าจะพบรากทั้งหมด
(C) ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ (complete the square) กับ $f(x)$
Answershow ▾
(B) the factor theorem only tests chosen values - it cannot find an irrational root or prove there is no other real root. (C) completing the square does not apply to a cubic.(B) ทฤษฎีตัวประกอบทดสอบได้เฉพาะค่าที่เลือกลอง ไม่สามารถหารากที่เป็นจำนวนอตรรกยะหรือพิสูจน์ว่าไม่มีรากจริงอื่นได้ · (C) ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ใช้ไม่ได้กับพหุนามกำลังสาม
Compare coefficients in $(2x-3)(2x^{2}+bx+c)=4x^{3}-8x^{2}+5x-3$ to find $b$ and $c$.
เทียบสัมประสิทธิ์ใน $(2x-3)(2x^{2}+bx+c)=4x^{3}-8x^{2}+5x-3$ เพื่อหา $b$ และ $c$
Answershow ▾
Match the $x^{2}$ term, then the constant term.เทียบพจน์ $x^{2}$ แล้วเทียบพจน์คงที่
Find the discriminant of $2x^{2}-x+1$, the quadratic factor of $f(x)$.
จงหาดิสคริมิแนนต์ของ $2x^{2}-x+1$ ซึ่งเป็นตัวประกอบกำลังสองของ $f(x)$
Answershow ▾
Same values as before: $a=2,\,b=-1,\,c=1$.ค่าเดิมจากข้อก่อนหน้า $a=2,\,b=-1,\,c=1$
The discriminant of $2x^{2}-x+1$ is $-7$. Write the conclusion about the real roots of $f(x)=0$.
discriminant ของ $2x^{2}-x+1$ คือ $-7$ จงเขียนข้อสรุปเกี่ยวกับรากจริงของ $f(x)=0$
Answershow ▾
A negative discriminant means no real roots for that factor.discriminant ติดลบ หมายความว่าตัวประกอบนั้นไม่มีรากจริง
$g(x)=2x^{3}-x^{2}+2x+k$ and $(2x-1)$ is a factor. Show $k=-1$ and that $g(x)=0$ has only one real root.
$g(x)=2x^{3}-x^{2}+2x+k$ และ $(2x-1)$ เป็นตัวประกอบ จงแสดงว่า $k=-1$ และสมการ $g(x)=0$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว
Answershow ▾
Same three moves: substitute $x=\dfrac12$, compare coefficients, check the quadratic.สามขั้นเดิม: แทน $x=\dfrac12$ เทียบสัมประสิทธิ์ แล้วตรวจตัวประกอบกำลังสอง
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
$f(x)=4x^{3}-8x^{2}+5x+a$ where $a$ is a constant.
Given that $(2x-3)$ is a factor of $f(x)$
(a) use the factor theorem to show that $a=-3$
(b) Hence show that the equation $f(x)=0$ has only one real root.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
ห้ามใช้เครื่องคิดเลขแก้ปัญหาโดยไม่แสดงวิธีทำ
$f(x)=4x^{3}-8x^{2}+5x+a$ เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า $(2x-3)$ เป็นตัวประกอบ (factor) ของ $f(x)$
(ก) ใช้ทฤษฎีตัวประกอบจงแสดงว่า $a=-3$
(ข) จากนั้นจงแสดงว่าสมการ $f(x)=0$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว
Answershow ▾
6 marks: factor theorem, $a=-3$ shown, the quadratic factor, then its discriminant and conclusion.6 คะแนน: ทฤษฎีตัวประกอบ แสดง $a=-3$ หาตัวประกอบกำลังสอง แล้วหาดิสคริมิแนนต์และสรุปผล
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two conditions, two linear equations สองเงื่อนไข สองสมการเชิงเส้น
$f(x)=x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+bx+5$ where $a$ and $b$ are constants.
When $f(x)$ is divided by $(x+1)$, the remainder is $4$
(a) Show that $a+b=-1$
(b) When $f(x)$ is divided by $(x-2)$, the remainder is $-23$
Find the value of $a$ and the value of $b$.
$f(x)=x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+bx+5$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+1)$ เศษเหลือคือ $4$
(ก) จงแสดงว่า $a+b=-1$
(ข) เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $-23$
จงหาค่าของ $a$ และค่าของ $b$
Evaluate $(-1)^{4}$, $(-1)^{3}$ and $(-1)^{2}$.
จงคำนวณ $(-1)^{4}$, $(-1)^{3}$ และ $(-1)^{2}$
Answershow ▾
An even power of $-1$ is positive. An odd power keeps the minus sign.เลขชี้กำลังคู่ของ $-1$ ได้ผลเป็นบวก ส่วนเลขชี้กำลังคี่ยังเป็นลบอยู่
Evaluate $2^{4}$, $2^{3}$ and $2^{2}$.
จงคำนวณ $2^{4}$, $2^{3}$ และ $2^{2}$
Answershow ▾
Powers of a positive number are all positive.เลขชี้กำลังของจำนวนบวก ได้ผลเป็นบวกทั้งหมด
Simplify $1-3+5$.
จงทำให้ง่าย $1-3+5$
Answershow ▾
Add and subtract the constants in order, left to right.บวกและลบพจน์ค่าคงที่ตามลำดับจากซ้ายไปขวา
$f(x)$ is divided by $(x+1)$. Pick the correct substitution.
(A) $f(1)=1+a-3+b+5$
(B) $f(-1)=1-a-3-b+5$
(C) $f(-1)=1+a-3-b+5$
$f(x)$ ถูกหารด้วย $(x+1)$ จงเลือกการแทนค่าที่ถูกต้อง
(A) $f(1)=1+a-3+b+5$
(B) $f(-1)=1-a-3-b+5$
(C) $f(-1)=1+a-3-b+5$
Answershow ▾
(A) substitutes $x=1$, but $(x+1)=0$ gives $x=-1$, not $x=1$. (C) finds the right root but treats $(-1)^{3}$ as $+1$, flipping only the sign on the $a$ term.(A) แทน $x=1$ แต่ $(x+1)=0$ ให้ $x=-1$ ไม่ใช่ $x=1$ · (C) ได้รากที่ถูกแต่มอง $(-1)^{3}$ เป็น $+1$ ทำให้เครื่องหมายของพจน์ $a$ ผิดไปตัวเดียว
$f(x)=x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+bx+5$. Substitute $x=-1$, using question 1, and set it equal to the remainder $4$.
$f(x)=x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+bx+5$ จงแทน $x=-1$ โดยใช้ข้อ 1 แล้วให้เท่ากับเศษเหลือ $4$
Answershow ▾
Replace every power with its value from question 1.แทนเลขชี้กำลังทุกตัวด้วยค่าจากข้อ 1
Show that $1-a-3-b+5=4$ simplifies to $a+b=-1$.
จงแสดงว่า $1-a-3-b+5=4$ จัดรูปได้เป็น $a+b=-1$
Answershow ▾
Combine the constants first (question 3), then move them across.รวมพจน์ค่าคงที่ก่อน (ข้อ 3) แล้วย้ายข้าม
$f(x)$ is divided by $(x-2)$, remainder $-23$. Substitute $x=2$, using question 2, and simplify to one equation in $a$ and $b$.
$f(x)$ ถูกหารด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $-23$ จงแทน $x=2$ โดยใช้ข้อ 2 แล้วจัดรูปเป็นสมการเดียวของ $a$ และ $b$
Answershow ▾
Combine the constants, move them across, then divide by $2$.รวมพจน์ค่าคงที่ ย้ายข้าม แล้วหารด้วย $2$
You now have two equations:
① $a+b=-1$
② $4a+b=-16$
Pick the move that removes one letter.
(A) guess whole numbers for $a$ and $b$
(B) subtract ① from ②
(C) add ① and ②
ตอนนี้มีสองสมการ:
① $a+b=-1$
② $4a+b=-16$
จงเลือกขั้นที่ทำให้ตัวแปรหนึ่งตัวหายไป
(A) เดาค่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม
(B) เอา ② ลบด้วย ①
(C) บวก ① กับ ②
Answershow ▾
(A) is not a method: it may miss the only answer, or take many tries. (C) adds the $b$ terms instead of removing one: $5a+2b=-17$ still has both letters.(A) ไม่ใช่วิธีที่เป็นระบบ · อาจไม่ได้คำตอบที่ถูก หรือลองหลายครั้งเกินไป · (C) บวกพจน์ $b$ เข้าด้วยกัน แทนที่จะกำจัดออก เพราะ $5a+2b=-17$ ยังมีตัวแปรทั้งสองตัวอยู่
Use ① $a+b=-1$ and ② $4a+b=-16$. Subtract ① from ② to find $a$.
ใช้ ① $a+b=-1$ และ ② $4a+b=-16$ จงเอา ② ลบด้วย ① เพื่อหา $a$
Answershow ▾
Subtracting removes $b$, since both equations have $+b$.การลบทำให้ $b$ หายไป เพราะทั้งสองสมการมี $+b$ เหมือนกัน
Substitute $a=-5$ into ① $a+b=-1$ to find $b$, then check it in ② $4a+b=-16$.
จงแทน $a=-5$ ใน ① $a+b=-1$ เพื่อหา $b$ แล้วนำไปตรวจใน ② $4a+b=-16$
Answershow ▾
A correct pair fits both equations, not just one.คำตอบที่ถูกต้องต้องเข้ากับสมการทั้งสอง ไม่ใช่แค่สมการเดียว
$g(x)=x^{3}+ax+b$. When $g(x)$ is divided by $(x+1)$, the remainder is $2$. When $g(x)$ is divided by $(x-2)$, the remainder is $17$. Find $a$ and $b$.
$g(x)=x^{3}+ax+b$ เมื่อหาร $g(x)$ ด้วย $(x+1)$ เศษเหลือคือ $2$ เมื่อหาร $g(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $17$ จงหา $a$ และ $b$
Answershow ▾
Same moves: substitute each root, write two equations, then subtract one from the other.ขั้นตอนเดิม: แทนค่าแต่ละราก เขียนสองสมการ แล้วเอาสมการหนึ่งลบอีกสมการ
$f(x)=x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+bx+5$ where $a$ and $b$ are constants.
When $f(x)$ is divided by $(x+1)$, the remainder is $4$
(a) Show that $a+b=-1$
(b) When $f(x)$ is divided by $(x-2)$, the remainder is $-23$
Find the value of $a$ and the value of $b$.
$f(x)=x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+bx+5$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+1)$ เศษเหลือคือ $4$
(ก) จงแสดงว่า $a+b=-1$
(ข) เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $-23$
จงหาค่าของ $a$ และค่าของ $b$
Answershow ▾
6 marks: substitute $x=-1$ for (a); substitute $x=2$, then subtract ① from ② for (b).6 คะแนน: แทน $x=-1$ สำหรับ (a) · แทน $x=2$ แล้วเอา ② ลบด้วย ① สำหรับ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two theorems, then divide again สองทฤษฎีบท แล้วหารอีกครั้ง
$f(x)=2x^{3}-x^{2}+Ax+B$
where $A$ and $B$ are integers.
Given that when $f(x)$ is divided by $(x+3)$ the remainder is $55$
(a) show that
$3A-B=-118$
(b) Given also that $(2x-5)$ is a factor of $f(x)$,
find the value of $A$ and the value of $B$.
(c) Hence find the quotient when $f(x)$ is divided by $(x-7)$
$f(x)=2x^{3}-x^{2}+Ax+B$
เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนเต็ม
กำหนดว่าเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+3)$ เศษเหลือคือ $55$
(ก) จงแสดงว่า
$3A-B=-118$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่า $(2x-5)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
จงหาค่าของ $A$ และค่าของ $B$
(ค) จากนั้นหาผลหาร (quotient) เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-7)$
Work out $2\times(-3)^{3}$.
จงหาค่า $2\times(-3)^{3}$
Answershow ▾
Cube $-3$ first, then multiply by $2$.ยกกำลังสาม $-3$ ก่อน แล้วคูณด้วย $2$
Work out $2\times\left(\tfrac52\right)^{3}$.
จงหาค่า $2\times\left(\tfrac52\right)^{3}$
Answershow ▾
$\left(\tfrac52\right)^{3}=\tfrac{125}{8}$, then multiply by $2$.$\left(\tfrac52\right)^{3}=\tfrac{125}{8}$ แล้วคูณด้วย $2$
Solve the simultaneous equations $3p-q=1$ and $5p+2q=9$.
จงแก้ระบบสมการ $3p-q=1$ และ $5p+2q=9$
Answershow ▾
Multiply the first equation by $2$ so the $q$-terms cancel when added.คูณสมการแรกด้วย $2$ เพื่อให้พจน์ $q$ หักกันเมื่อบวก
$f(x)$ is divided by $(x+3)$ and the remainder is $55$. Pick the equation this gives.
(A) $f(3)=55$
(B) $f(-3)=55$
(C) $f(-3)=-55$
$f(x)$ หารด้วย $(x+3)$ เศษเหลือเป็น $55$ จงเลือกสมการที่ใช้
(A) $f(3)=55$
(B) $f(-3)=55$
(C) $f(-3)=-55$
Answershow ▾
(A) uses $x=3$, but $(x+3)=0$ only when $x=-3$. (C) has the right $x$-value but the wrong sign: the remainder is given as $55$, not $-55$.(A) ใช้ $x=3$ แต่ $(x+3)=0$ เมื่อ $x=-3$ เท่านั้น · (C) ใช้ $x$ ถูกแต่เครื่องหมายผิด เพราะเศษเหลือที่กำหนดคือ $55$ ไม่ใช่ $-55$
$f(x)=2x^{3}-x^{2}+Ax+B$. Write $f(-3)$ in full, without simplifying.
$f(x)=2x^{3}-x^{2}+Ax+B$ จงเขียน $f(-3)$ แบบเต็ม โดยยังไม่ต้องทำให้ง่าย
Answershow ▾
Replace every $x$ with $-3$; keep the brackets.แทน $x$ ทุกตัวด้วย $-3$ · เก็บวงเล็บไว้
Given that $f(-3)=55$, simplify $2(-3)^{3}-(-3)^{2}+A(-3)+B=55$ to show that $3A-B=-118$.
กำหนดว่า $f(-3)=55$ จงจัดรูป $2(-3)^{3}-(-3)^{2}+A(-3)+B=55$ เพื่อแสดงว่า $3A-B=-118$
Answershow ▾
Evaluate the powers first, then move every term without $A$ or $B$ to the other side.คำนวณกำลังก่อน แล้วย้ายพจน์ที่ไม่มี $A$ หรือ $B$ ไปอีกข้าง
Using the factor theorem (since $(2x-5)$ is a factor), write $f\left(\tfrac52\right)=0$ in full, then simplify to an equation in $A$ and $B$ with whole-number coefficients.
ใช้ทฤษฎีตัวประกอบ (factor theorem) เนื่องจาก $(2x-5)$ เป็นตัวประกอบ จงเขียน $f\left(\tfrac52\right)=0$ แบบเต็ม แล้วจัดรูปให้เป็นสมการของ $A$ และ $B$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
$(2x-5)$ a factor means $x=\tfrac52$ makes the bracket zero, so $f\left(\tfrac52\right)=0$.$(2x-5)$ เป็นตัวประกอบ หมายความว่า $x=\tfrac52$ ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์ ดังนั้น $f\left(\tfrac52\right)=0$
① $3A-B=-118$
② $5A+2B=-50$
The $B$-terms have different signs and different sizes. Pick the move that eliminates $B$.
(A) add ① and ②
(B) multiply ① by $2$, then add to ②
(C) subtract ① from ②
① $3A-B=-118$
② $5A+2B=-50$
พจน์ $B$ มีเครื่องหมายและขนาดต่างกัน จงเลือกขั้นที่กำจัด $B$
(A) บวก ① กับ ②
(B) คูณ ① ด้วย $2$ แล้วนำไปบวกกับ ②
(C) เอา ① ไปลบออกจาก ②
Answershow ▾
(A) gives $8A+B=-168$: the $B$-terms do not match, so adding leaves a $B$ term. (C) gives $2A+3B=68$: subtracting also leaves a $B$ term. Doubling ① first makes the $B$-coefficients $-2$ and $+2$, which cancel on adding.(A) ได้ $8A+B=-168$: พจน์ $B$ ไม่ตรงกัน การบวกจึงเหลือพจน์ $B$ · (C) ได้ $2A+3B=68$: การลบก็เหลือพจน์ $B$ เช่นกัน · การคูณ ① ด้วย $2$ ก่อน ทำให้สัมประสิทธิ์ $B$ เป็น $-2$ และ $+2$ ซึ่งหักกันพอดีเมื่อบวก
① $3A-B=-118$
② $5A+2B=-50$
Combine ① and ② to find the value of $A$ and the value of $B$.
① $3A-B=-118$
② $5A+2B=-50$
จงรวม ① กับ ② เพื่อหาค่าของ $A$ และค่าของ $B$
Answershow ▾
Use the doubled ① from the last question, then substitute $A$ back into ① to find $B$.ใช้ ① ที่คูณ $2$ แล้วจากข้อก่อนหน้า จากนั้นแทน $A$ กลับใน ① เพื่อหา $B$
$f(x)=2x^{3}-x^{2}-26x+40$. Hence find the quotient when $f(x)$ is divided by $(x-7)$.
$f(x)=2x^{3}-x^{2}-26x+40$ จากนั้นจงหาผลหาร (quotient) เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-7)$
Answershow ▾
Write $f(x)=(x-7)(2x^{2}+bx+c)+r$ and compare the $x^{2}$ and $x$ coefficients; the remainder $r$ is not needed.เขียน $f(x)=(x-7)(2x^{2}+bx+c)+r$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ และ $x$ · ไม่ต้องใช้เศษเหลือ $r$
$g(x)=x^{3}-2x^{2}+Cx+D$ where $C$ and $D$ are integers. When $g(x)$ is divided by $(x+1)$ the remainder is $-10$. Also, $(x-1)$ is a factor of $g(x)$. Find $C$ and $D$, then find the quotient when $g(x)$ is divided by $(x-2)$.
$g(x)=x^{3}-2x^{2}+Cx+D$ เมื่อ $C$ และ $D$ เป็นจำนวนเต็ม กำหนดว่าเมื่อหาร $g(x)$ ด้วย $(x+1)$ เศษเหลือคือ $-10$ และ $(x-1)$ เป็นตัวประกอบของ $g(x)$ จงหาค่า $C$ และ $D$ จากนั้นหาผลหารเมื่อหาร $g(x)$ ด้วย $(x-2)$
Answershow ▾
Same three moves: remainder theorem, factor theorem, solve the pair, then divide again.สามขั้นเดิม: ทฤษฎีเศษเหลือ ทฤษฎีตัวประกอบ แก้ระบบสมการ แล้วหารอีกครั้ง
$f(x)=2x^{3}-x^{2}+Ax+B$
where $A$ and $B$ are integers.
Given that when $f(x)$ is divided by $(x+3)$ the remainder is $55$
(a) show that
$3A-B=-118$
(b) Given also that $(2x-5)$ is a factor of $f(x)$,
find the value of $A$ and the value of $B$.
(c) Hence find the quotient when $f(x)$ is divided by $(x-7)$
$f(x)=2x^{3}-x^{2}+Ax+B$
เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนเต็ม
กำหนดว่าเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+3)$ เศษเหลือคือ $55$
(ก) จงแสดงว่า
$3A-B=-118$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่า $(2x-5)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
จงหาค่าของ $A$ และค่าของ $B$
(ค) จากนั้นหาผลหาร (quotient) เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-7)$
Answershow ▾
7 marks: the remainder theorem gives one equation, the factor theorem gives a second, solve the pair for $A$ and $B$, then divide by $(x-7)$ for the quotient.7 คะแนน: ทฤษฎีเศษเหลือให้สมการหนึ่ง ทฤษฎีตัวประกอบให้สมการที่สอง แก้ระบบสมการหา $A$ และ $B$ แล้วหารด้วย $(x-7)$ เพื่อหาผลหาร
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Free remainder, factorise, one real root เศษเหลือไม่ต้องหาร แยกตัวประกอบ รากจริงค่าเดียว
$f(x)=(x^{2}-2)(2x-3)-21$
(a) State the value of the remainder when $f(x)$ is divided by $(2x-3)$
(b) Use the factor theorem to show that $(x-3)$ is a factor of $f(x)$
(c) Hence,
(i) factorise $f(x)$
(ii) show that the equation $f(x)=0$ has only one real root.
$f(x)=(x^{2}-2)(2x-3)-21$
(ก) จงบอกค่าของเศษเหลือเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(2x-3)$
(ข) ใช้ทฤษฎีตัวประกอบจงแสดงว่า $(x-3)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
(ค) จากนั้น
(i) จงหาตัวประกอบของ $f(x)$
(ii) จงแสดงว่าสมการ $f(x)=0$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว
Simplify $\tfrac14\times0-21$.
จงทำให้ง่าย $\tfrac14\times0-21$
Answershow ▾
Anything times $0$ is $0$, so this is just $-21$.อะไรก็ตามคูณด้วย $0$ ได้ $0$ ดังนั้นเหลือแค่ $-21$
Evaluate $3^{2}-2$.
จงคำนวณ $3^{2}-2$
Answershow ▾
Square the number first, then subtract.ยกกำลังสองก่อน แล้วค่อยลบ
Find the discriminant of $2x^{2}+3x+5$.
จงหาดิสคริมิแนนต์ของ $2x^{2}+3x+5$
Answershow ▾
Use $b^{2}-4ac$ with $a=2,\,b=3,\,c=5$.ใช้ $b^{2}-4ac$ โดย $a=2,\,b=3,\,c=5$
$f(x)=(x^{2}-2)(2x-3)-21$ is divided by $(2x-3)$. Pick the way to find the remainder.
(A) do algebraic long division of $f(x)$ by $(2x-3)$
(B) substitute $x=\tfrac32$ into $f(x)$, since $2x-3=0$ there
(C) expand $f(x)$ first, then substitute $x=\tfrac32$
$f(x)=(x^{2}-2)(2x-3)-21$ หารด้วย $(2x-3)$ จงเลือกวิธีหาเศษเหลือ
(A) หารยาว (long division) ของ $f(x)$ ด้วย $(2x-3)$
(B) แทน $x=\tfrac32$ ใน $f(x)$ เพราะ $2x-3=0$ ที่จุดนั้น
(C) กระจาย $f(x)$ ก่อน แล้วจึงแทน $x=\tfrac32$
Answershow ▾
(A) works, but divides a whole cubic - the bracket $(2x-3)$ already sits inside $f(x)$. (C) expands first, but substituting $x=\tfrac32$ still zeros that term, so the extra algebra changes nothing.(A) ใช้ได้ แต่ต้องหารพหุนามกำลังสามทั้งตัว ทั้งที่วงเล็บ $(2x-3)$ อยู่ใน $f(x)$ อยู่แล้ว · (C) กระจายก่อน แต่แทน $x=\tfrac32$ ก็ทำให้พจน์นั้นเป็นศูนย์เหมือนกัน การกระจายจึงไม่ช่วยอะไร
Work out $f(3)$, where $f(x)=(x^{2}-2)(2x-3)-21$.
$f(x)=(x^{2}-2)(2x-3)-21$ จงคำนวณ $f(3)$
Answershow ▾
Keep the brackets until the numbers are worked out, then subtract $21$ last.เก็บวงเล็บไว้จนกว่าจะคำนวณตัวเลขเสร็จ แล้วค่อยลบ $21$ เป็นลำดับสุดท้าย
Expand $f(x)=(x^{2}-2)(2x-3)-21$ to the form $2x^{3}+px^{2}+qx+r$.
จงกระจาย $f(x)=(x^{2}-2)(2x-3)-21$ ให้อยู่ในรูป $2x^{3}+px^{2}+qx+r$
Answershow ▾
Expand the two brackets first, then subtract $21$ from the constant term.กระจายสองวงเล็บก่อน แล้วลบ $21$ จากพจน์คงที่
Compare coefficients in $(x-3)(2x^{2}+bx+c)=2x^{3}-3x^{2}-4x-15$ to find $b$ and $c$.
เทียบสัมประสิทธิ์ใน $(x-3)(2x^{2}+bx+c)=2x^{3}-3x^{2}-4x-15$ เพื่อหา $b$ และ $c$
Answershow ▾
Match the $x^{2}$ term first, then the constant term.เทียบพจน์ $x^{2}$ ก่อน แล้วเทียบพจน์คงที่
$f(x)=(x-3)(2x^{2}+3x+5)$. Pick the method to show $f(x)=0$ has only one real root.
(A) solve $2x^{2}+3x+5=0$ with the quadratic formula to find the other roots
(B) find the discriminant of $2x^{2}+3x+5$ and show it is negative
(C) substitute more values of $x$ into $f(x)$ until every root is found
$f(x)=(x-3)(2x^{2}+3x+5)$ จงเลือกวิธีแสดงว่า $f(x)=0$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว
(A) แก้ $2x^{2}+3x+5=0$ ด้วยสูตรกำลังสอง เพื่อหารากที่เหลือ
(B) หาดิสคริมิแนนต์ของ $2x^{2}+3x+5$ แล้วแสดงว่าติดลบ
(C) แทนค่า $x$ เพิ่มเรื่อย ๆ ใน $f(x)$ จนพบรากทุกค่า
Answershow ▾
(A) needs $\sqrt{\,b^{2}-4ac\,}$ - a negative value under the root is exactly what a negative discriminant already shows, with less work. (C) testing more values can never prove there is no other real root, only that the ones tried are not roots.(A) ต้องใช้ $\sqrt{\,b^{2}-4ac\,}$ ซึ่งค่าติดลบในรากที่สอง คือสิ่งที่ดิสคริมิแนนต์ติดลบบอกอยู่แล้ว โดยใช้แรงน้อยกว่า · (C) การแทนค่าเพิ่มไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีรากจริงอื่นอีก พิสูจน์ได้แค่ว่าค่าที่ลองแล้วไม่ใช่ราก
Find the discriminant of $2x^{2}+3x+5$, the quadratic factor of $f(x)$.
จงหาดิสคริมิแนนต์ของ $2x^{2}+3x+5$ ซึ่งเป็นตัวประกอบกำลังสองของ $f(x)$
Answershow ▾
Same values as before: $a=2,\,b=3,\,c=5$.ค่าเดิมจากข้อก่อนหน้า $a=2,\,b=3,\,c=5$
The discriminant of $2x^{2}+3x+5$ is $-31$. Write the conclusion about the real roots of $f(x)=0$.
ดิสคริมิแนนต์ของ $2x^{2}+3x+5$ คือ $-31$ จงเขียนข้อสรุปเกี่ยวกับรากจริงของ $f(x)=0$
Answershow ▾
A negative discriminant means that quadratic factor has no real roots.ดิสคริมิแนนต์ติดลบ หมายความว่าตัวประกอบกำลังสองนั้นไม่มีรากจริง
$h(x)=(x^{2}-1)(2x-1)-9$.
(a) State the remainder when $h(x)$ is divided by $(2x-1)$.
(b) Show that $(x-2)$ is a factor of $h(x)$.
(c) Hence, (i) factorise $h(x)$, (ii) show that $h(x)=0$ has only one real root.
$h(x)=(x^{2}-1)(2x-1)-9$
(ก) จงบอกค่าเศษเหลือเมื่อหาร $h(x)$ ด้วย $(2x-1)$
(ข) จงแสดงว่า $(x-2)$ เป็นตัวประกอบของ $h(x)$
(ค) จากนั้น (i) จงแยกตัวประกอบของ $h(x)$ (ii) จงแสดงว่า $h(x)=0$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว
Answershow ▾
Same four moves: the zero bracket for the remainder, substitute the root, expand, compare coefficients, then the discriminant.สี่ขั้นเดิม: วงเล็บเป็นศูนย์สำหรับเศษเหลือ แทนค่าราก กระจาย เทียบสัมประสิทธิ์ แล้วหาดิสคริมิแนนต์
$f(x)=(x^{2}-2)(2x-3)-21$
(a) State the value of the remainder when $f(x)$ is divided by $(2x-3)$
(b) Use the factor theorem to show that $(x-3)$ is a factor of $f(x)$
(c) Hence,
(i) factorise $f(x)$
(ii) show that the equation $f(x)=0$ has only one real root.
$f(x)=(x^{2}-2)(2x-3)-21$
(ก) จงบอกค่าของเศษเหลือเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(2x-3)$
(ข) ใช้ทฤษฎีตัวประกอบจงแสดงว่า $(x-3)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
(ค) จากนั้น
(i) จงหาตัวประกอบของ $f(x)$
(ii) จงแสดงว่าสมการ $f(x)=0$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว
Answershow ▾
8 marks: one for the remainder, two for the factor theorem, three for factorising $f(x)$, and two for the discriminant test.8 คะแนน: หนึ่งคะแนนสำหรับเศษเหลือ สองคะแนนสำหรับทฤษฎีตัวประกอบ สามคะแนนสำหรับแยกตัวประกอบ $f(x)$ และสองคะแนนสำหรับการทดสอบดิสคริมิแนนต์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two remainders cancel a constant เศษเหลือสองค่าตัดค่าคงที่
$f(x)=3x^{3}+Ax^{2}+Bx-10$
where $A$ and $B$ are integers.
Given that
• when $f(x)$ is divided by $(x-1)$ the remainder is $k$
• when $f(x)$ is divided by $(x+1)$ the remainder is $-10k$
• $k$ is a constant
(a) show that
$11A+9B=83$
(b) Given also that $(3x-2)$ is a factor of $f(x)$,
find the value of $A$ and the value of $B$.
(c) Hence find the quadratic expression $g(x)$ such that
$f(x)=(3x-2)g(x)$
$f(x)=3x^{3}+Ax^{2}+Bx-10$
เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนเต็ม
กำหนดว่า
• เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-1)$ เศษเหลือคือ $k$
• เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+1)$ เศษเหลือคือ $-10k$
• $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) จงแสดงว่า
$11A+9B=83$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่า $(3x-2)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
จงหาค่าของ $A$ และค่าของ $B$
(ค) จากนั้นหานิพจน์กำลังสอง $g(x)$ ที่ทำให้
$f(x)=(3x-2)g(x)$
$h(x)=3x^{3}-10$. Work out the remainder when $h(x)$ is divided by $(x-1)$.
$h(x)=3x^{3}-10$ จงหาเศษเหลือเมื่อหาร $h(x)$ ด้วย $(x-1)$
Answershow ▾
The remainder is $h(1)$.เศษเหลือคือ $h(1)$
$h(x)=3x^{3}-10$. Work out the remainder when $h(x)$ is divided by $(x+1)$.
$h(x)=3x^{3}-10$ จงหาเศษเหลือเมื่อหาร $h(x)$ ด้วย $(x+1)$
Answershow ▾
The remainder is $h(-1)$. $(-1)^{3}=-1$.เศษเหลือคือ $h(-1)$ โดย $(-1)^{3}=-1$
① is $x=k$. ② is $y=-10k$. Work out $10x+y$.
① คือ $x=k$ และ ② คือ $y=-10k$ จงหาค่า $10x+y$
Answershow ▾
$10x=10k$ and $y=-10k$, so they cancel.$10x=10k$ และ $y=-10k$ ซึ่งตัดกัน
Let ① be $A+B-7=k$ and ② be $A-B-13=-10k$. Pick the first move to eliminate $k$.
(A) add ① and ② as they are
(B) multiply ① by $10$, then add ②
(C) multiply ① by $-10$, then add ②
ให้ ① คือ $A+B-7=k$ และ ② คือ $A-B-13=-10k$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อกำจัด $k$
(A) บวก ① กับ ② ตามเดิม
(B) คูณ ① ด้วย $10$ แล้วบวกกับ ②
(C) คูณ ① ด้วย $-10$ แล้วบวกกับ ②
Answershow ▾
(A) adding directly leaves $-9k$, which does not cancel. (C) scaling by $-10$ gives two $-10k$ terms that add together instead of cancelling.(A) บวกตรง ๆ จะเหลือ $-9k$ ซึ่งไม่ตัดกัน · (C) คูณด้วย $-10$ ทำให้ได้ $-10k$ สองพจน์ที่รวมกัน ไม่ใช่ตัดกัน
$f(x)=3x^{3}+Ax^{2}+Bx-10$. Work out $f(1)$, leaving $A$ and $B$ in it.
$f(x)=3x^{3}+Ax^{2}+Bx-10$ จงหา $f(1)$ โดยให้มี $A$ และ $B$ อยู่ในคำตอบ
Answershow ▾
$(1)^{3}=1$ and $(1)^{2}=1$, so only the numbers collect.$(1)^{3}=1$ และ $(1)^{2}=1$ จึงรวมกันเฉพาะตัวเลข
$f(x)=3x^{3}+Ax^{2}+Bx-10$. Work out $f(-1)$, leaving $A$ and $B$ in it.
$f(x)=3x^{3}+Ax^{2}+Bx-10$ จงหา $f(-1)$ โดยให้มี $A$ และ $B$ อยู่ในคำตอบ
Answershow ▾
$(-1)^{3}=-1$ and $(-1)^{2}=1$. Watch the sign on $B$.$(-1)^{3}=-1$ และ $(-1)^{2}=1$ · ระวังเครื่องหมายของ $B$
$f(1)=A+B-7=k$ is ①. $f(-1)=A-B-13=-10k$ is ②. Work out $10\times$① $+$ ② to show $11A+9B=83$.
$f(1)=A+B-7=k$ คือ ① และ $f(-1)=A-B-13=-10k$ คือ ② จงหา $10\times$① $+$ ② เพื่อแสดงว่า $11A+9B=83$
Answershow ▾
The $k$ terms cancel: $10k+(-10k)=0$.พจน์ $k$ ตัดกัน: $10k+(-10k)=0$
$(3x-2)$ is a factor of $f(x)=3x^{3}+Ax^{2}+Bx-10$. Write $f\left(\tfrac23\right)=0$ in full, then show it simplifies to $2A+3B=41$.
$(3x-2)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)=3x^{3}+Ax^{2}+Bx-10$ จงเขียน $f\left(\tfrac23\right)=0$ แบบเต็ม แล้วแสดงว่าจัดรูปได้เป็น $2A+3B=41$
Answershow ▾
$3x-2=0$ at $x=\tfrac23$. Multiply by $9$ to clear every fraction at once.$3x-2=0$ ที่ $x=\tfrac23$ · คูณด้วย $9$ เพื่อตัดเศษส่วนทั้งหมดในครั้งเดียว
$11A+9B=83$ and $2A+3B=41$. Work out the value of $A$ and the value of $B$.
$11A+9B=83$ และ $2A+3B=41$ จงหาค่าของ $A$ และค่าของ $B$
Answershow ▾
Scale the second equation by $3$ so $B$ matches, then subtract.คูณสมการที่สองด้วย $3$ ให้ $B$ ตรงกัน แล้วลบออก
$h(x)=x^{3}+Px^{2}+Qx$ where $P$ and $Q$ are integers. When $h(x)$ is divided by $(x-1)$ the remainder is $m$. When $h(x)$ is divided by $(x+1)$ the remainder is $-2m$.
(a) Show that $3P+Q=-1$.
(b) Given also that $(x-2)$ is a factor of $h(x)$, find $P$ and $Q$.
(c) Hence find the quadratic $g(x)$ such that $h(x)=(x-2)g(x)$.
$h(x)=x^{3}+Px^{2}+Qx$ เมื่อ $P$ และ $Q$ เป็นจำนวนเต็ม กำหนดว่าเมื่อหาร $h(x)$ ด้วย $(x-1)$ เศษเหลือคือ $m$ และเมื่อหาร $h(x)$ ด้วย $(x+1)$ เศษเหลือคือ $-2m$
(ก) จงแสดงว่า $3P+Q=-1$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่า $(x-2)$ เป็นตัวประกอบของ $h(x)$ จงหาค่า $P$ และค่า $Q$
(ค) จากนั้นหานิพจน์กำลังสอง $g(x)$ ที่ทำให้ $h(x)=(x-2)g(x)$
Answershow ▾
Same three moves: eliminate the parameter, use the factor theorem, then factorise the quotient.สามขั้นเดิม: กำจัดตัวแปร ใช้ทฤษฎีตัวประกอบ แล้วแยกตัวประกอบของผลหาร
$f(x)=3x^{3}+Ax^{2}+Bx-10$
where $A$ and $B$ are integers.
Given that
• when $f(x)$ is divided by $(x-1)$ the remainder is $k$
• when $f(x)$ is divided by $(x+1)$ the remainder is $-10k$
• $k$ is a constant
(a) show that
$11A+9B=83$
(b) Given also that $(3x-2)$ is a factor of $f(x)$,
find the value of $A$ and the value of $B$.
(c) Hence find the quadratic expression $g(x)$ such that
$f(x)=(3x-2)g(x)$
$f(x)=3x^{3}+Ax^{2}+Bx-10$
เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนเต็ม
กำหนดว่า
• เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-1)$ เศษเหลือคือ $k$
• เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+1)$ เศษเหลือคือ $-10k$
• $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) จงแสดงว่า
$11A+9B=83$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่า $(3x-2)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
จงหาค่าของ $A$ และค่าของ $B$
(ค) จากนั้นหานิพจน์กำลังสอง $g(x)$ ที่ทำให้
$f(x)=(3x-2)g(x)$
Answershow ▾
8 marks: remainder theorem twice, eliminate $k$, factor theorem, then divide by comparing coefficients.8 คะแนน: ทฤษฎีเศษเหลือสองครั้ง กำจัด $k$ ทฤษฎีตัวประกอบ แล้วหารโดยเทียบสัมประสิทธิ์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A hidden coefficient, then full factorisation หาค่าคงที่ที่ซ่อนอยู่ แล้วแยกตัวประกอบให้ครบ
$f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x+k)+21$ where $k$ is a constant.
(a) State the remainder when $f(x)$ is divided by $(x-2)$
(b) Given that $(2x-1)$ is a factor of $f(x)$
show that $k=11$
(c) Hence
(i) fully factorise $f(x)$,
(ii) find the number of real solutions of the equation $f(x)=0$ giving a reason for your answer.
$f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x+k)+21$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) จงบอกเศษเหลือเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$
(ข) กำหนดว่า $(2x-1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
จงแสดงว่า $k=11$
(ค) จากนั้น
(i) จงหาตัวประกอบของ $f(x)$ ให้ครบสมบูรณ์
(ii) จงหาจำนวนคำตอบจริงของสมการ $f(x)=0$ พร้อมให้เหตุผล
$h(x)=(x-2)(3x^{2}+x+7)+21$. Work out $h(2)$, without expanding.
$h(x)=(x-2)(3x^{2}+x+7)+21$ จงหา $h(2)$ โดยไม่ต้องกระจาย
Answershow ▾
The bracket $(x-2)$ is zero when $x=2$, so the whole product term is zero.วงเล็บ $(x-2)$ เป็นศูนย์เมื่อ $x=2$ พจน์ผลคูณทั้งหมดจึงเป็นศูนย์
Work out $2\left(\tfrac12\right)^{2}+5\left(\tfrac12\right)$.
จงหาค่า $2\left(\tfrac12\right)^{2}+5\left(\tfrac12\right)$
Answershow ▾
Square the fraction first, then multiply each term out before adding.ยกกำลังสองเศษส่วนก่อน แล้วคูณแต่ละพจน์ก่อนนำมาบวกกัน
Solve $-\dfrac32(4+m)=-18$ for $m$.
จงแก้สมการ $-\dfrac32(4+m)=-18$ หาค่า $m$
Answershow ▾
Multiply both sides by $-\tfrac23$, the reciprocal with the sign flipped.คูณทั้งสองข้างด้วย $-\tfrac23$ ซึ่งเป็นส่วนกลับที่กลับเครื่องหมาย
$f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x+k)+21$ where $k$ is a constant. Work out $f(2)$, without finding $k$.
$f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x+k)+21$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ จงหา $f(2)$ โดยไม่ต้องหาค่า $k$
Answershow ▾
The bracket $(x-2)$ equals $0$ when $x=2$, so the whole product term vanishes.วงเล็บ $(x-2)$ มีค่าเป็น $0$ เมื่อ $x=2$ พจน์ผลคูณทั้งหมดจึงหายไป
$(2x-1)$ is a factor of $f(x)$. Pick the value of $x$ to substitute.
(A) $x=2$
(B) $x=\tfrac12$
(C) $x=-\tfrac12$
$(2x-1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$ จงเลือกค่า $x$ ที่จะแทน
(A) $x=2$
(B) $x=\tfrac12$
(C) $x=-\tfrac12$
Answershow ▾
(A) is the value that makes $(x-2)$ zero, already used in part (a). (C) solves $2x+1=0$, not $2x-1=0$.(A) เป็นค่าที่ทำให้ $(x-2)$ เป็นศูนย์ ซึ่งใช้ไปแล้วในข้อ (a) · (C) แก้สมการ $2x+1=0$ ไม่ใช่ $2x-1=0$
$f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x+k)+21$. Work out $f\left(\tfrac12\right)$, giving your answer in the form $-\tfrac32(3+k)+21$.
$f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x+k)+21$ จงหา $f\left(\tfrac12\right)$ ในรูป $-\tfrac32(3+k)+21$
Answershow ▾
Evaluate $\tfrac12-2$ and $2\left(\tfrac12\right)^{2}+5\left(\tfrac12\right)$ separately, as in question 2.คำนวณ $\tfrac12-2$ และ $2\left(\tfrac12\right)^{2}+5\left(\tfrac12\right)$ แยกกัน เหมือนในข้อ 2
$(2x-1)$ is a factor of $f(x)$, so $f\left(\tfrac12\right)=0$. Solve $-\tfrac32(3+k)+21=0$ for $k$.
$(2x-1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$ จึงได้ $f\left(\tfrac12\right)=0$ จงแก้สมการ $-\tfrac32(3+k)+21=0$ หาค่า $k$
Answershow ▾
The same two moves as question 3: multiply by the reciprocal, then subtract.สองขั้นเดิมจากข้อ 3: คูณด้วยส่วนกลับ แล้วลบ
With $k=11$, $f(x)=2x^{3}+x^{2}+x-1$. To factorise fully, pick the first move.
(A) use the quadratic formula on $2x^{3}+x^{2}+x-1$
(B) divide $2x^{3}+x^{2}+x-1$ by $(2x-1)$
(C) try $x=1$ and $x=-1$ until one works
เมื่อ $k=11$ จะได้ $f(x)=2x^{3}+x^{2}+x-1$ จงเลือกขั้นแรกในการแยกตัวประกอบให้ครบ
(A) ใช้สูตรกำลังสองกับ $2x^{3}+x^{2}+x-1$
(B) หาร $2x^{3}+x^{2}+x-1$ ด้วย $(2x-1)$
(C) ลองแทน $x=1$ และ $x=-1$ ไปเรื่อยๆ
Answershow ▾
(A) only solves a quadratic, not a cubic. (C) is not guaranteed to find a factor quickly, and ignores that $(2x-1)$ is already known to be one.(A) ใช้ได้กับสมการกำลังสองเท่านั้น ไม่ใช่กำลังสาม · (C) ไม่แน่ว่าจะเจอตัวประกอบเร็ว และมองข้ามว่า $(2x-1)$ เป็นตัวประกอบอยู่แล้ว
With $k=11$, expand $f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x+11)+21$ fully, then divide the result by $(2x-1)$.
เมื่อ $k=11$ จงกระจาย $f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x+11)+21$ ให้เต็ม แล้วหารผลลัพธ์ด้วย $(2x-1)$
Answershow ▾
Expand first, then divide the cubic by the factor you already know.กระจายก่อน แล้วหารพหุนามกำลังสามด้วยตัวประกอบที่รู้อยู่แล้ว
Work out the discriminant of $x^{2}+x+1$, and state how many real solutions $f(x)=0$ has.
จงหาดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของ $x^{2}+x+1$ และบอกจำนวนคำตอบจริงของสมการ $f(x)=0$
Answershow ▾
A negative discriminant means $x^{2}+x+1$ gives no real roots, so only $(2x-1)=0$ contributes one.discriminant ติดลบ แปลว่า $x^{2}+x+1$ ไม่มีรากจริง จึงมีคำตอบจริงจาก $(2x-1)=0$ เพียงค่าเดียว
$g(x)=(x-1)(x^{2}+x+m)+4$ where $m$ is a constant, and $(x+1)$ is a factor of $g(x)$. Fully factorise $g(x)$, and find the number of real solutions of $g(x)=0$.
$g(x)=(x-1)(x^{2}+x+m)+4$ เมื่อ $m$ เป็นค่าคงที่ และ $(x+1)$ เป็นตัวประกอบของ $g(x)$ จงหาตัวประกอบของ $g(x)$ ให้ครบสมบูรณ์ และหาจำนวนคำตอบจริงของสมการ $g(x)=0$
Answershow ▾
Same three moves: factor theorem to find the constant, divide to factorise, then the discriminant for the root count.สามขั้นเดิม: ทฤษฎีตัวประกอบหาค่าคงที่ หารเพื่อแยกตัวประกอบ แล้วใช้ดิสคริมิแนนต์นับจำนวนคำตอบ
$f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x+k)+21$ where $k$ is a constant.
(a) State the remainder when $f(x)$ is divided by $(x-2)$
(b) Given that $(2x-1)$ is a factor of $f(x)$
show that $k=11$
(c) Hence
(i) fully factorise $f(x)$,
(ii) find the number of real solutions of the equation $f(x)=0$ giving a reason for your answer.
$f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x+k)+21$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) จงบอกเศษเหลือเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$
(ข) กำหนดว่า $(2x-1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
จงแสดงว่า $k=11$
(ค) จากนั้น
(i) จงหาตัวประกอบของ $f(x)$ ให้ครบสมบูรณ์
(ii) จงหาจำนวนคำตอบจริงของสมการ $f(x)=0$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
8 marks across three parts: the remainder is read off, $k$ comes from $f\left(\tfrac12\right)=0$, then divide and use the discriminant for the real-root count.8 คะแนนจากสามส่วน: อ่านเศษเหลือได้ตรงๆ หา $k$ จาก $f\left(\tfrac12\right)=0$ แล้วหารและใช้ดิสคริมิแนนต์นับจำนวนคำตอบจริง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The remainder is the unknown itself เศษเหลือคือตัวไม่รู้ค่าตัวเดิม
$f(x)=3x^{3}+ax^{2}-10x+b$
where $a$ and $b$ are constants.
Given that $(3x-4)$ is a factor of $f(x)$
(a) show that $16a+9b=56$
(b) Given further that when $f(x)$ is divided by $(x-2)$ the remainder is $b$,
find the value of $a$ and the value of $b$.
(c) Hence, using algebra, fully factorise $f(x)$.
$f(x)=3x^{3}+ax^{2}-10x+b$
เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า $(3x-4)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
(ก) จงแสดงว่า $16a+9b=56$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่าเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $b$
จงหาค่าของ $a$ และค่าของ $b$
(ค) จากนั้นใช้พีชคณิตหาตัวประกอบของ $f(x)$ ให้ครบสมบูรณ์
Evaluate $3\left(\tfrac43\right)^{3}$.
จงคำนวณ $3\left(\tfrac43\right)^{3}$
Answershow ▾
$\left(\tfrac43\right)^{3}=\tfrac{64}{27}$, then multiply by $3$.$\left(\tfrac43\right)^{3}=\tfrac{64}{27}$ แล้วคูณด้วย $3$
Write $a\left(\tfrac43\right)^{2}$ as a fraction in terms of $a$.
จงเขียน $a\left(\tfrac43\right)^{2}$ เป็นเศษส่วนในรูปของ $a$
Answershow ▾
$\left(\tfrac43\right)^{2}=\tfrac{16}{9}$, then multiply by $a$.$\left(\tfrac43\right)^{2}=\tfrac{16}{9}$ แล้วคูณด้วย $a$
Evaluate $-10\left(\tfrac43\right)$.
จงคำนวณ $-10\left(\tfrac43\right)$
Answershow ▾
Multiply $10$ by $4$, keep the denominator $3$.คูณ $10$ ด้วย $4$ ส่วนคงเป็น $3$
You have $\dfrac{64}{9}+\dfrac{16a}{9}-\dfrac{40}{3}+b=0$. Pick the first move to clear every fraction.
(A) multiply every term by $9$
(B) multiply only the fraction terms by $9$
(C) multiply every term by $3$
กำหนด $\dfrac{64}{9}+\dfrac{16a}{9}-\dfrac{40}{3}+b=0$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อกำจัดเศษส่วนทุกตัว
(A) คูณทุกพจน์ด้วย $9$
(B) คูณเฉพาะพจน์ที่เป็นเศษส่วนด้วย $9$
(C) คูณทุกพจน์ด้วย $3$
Answershow ▾
(B) multiplying only some terms breaks the equality - $b$ has to be multiplied too. (C) $\times3$ clears the $\div3$ term but leaves $\dfrac{64}{9}$ and $\dfrac{16a}{9}$ still fractions.(B) คูณเฉพาะบางพจน์ทำให้สมการไม่เท่ากันอีกต่อไป - ต้องคูณ $b$ ด้วยเช่นกัน · (C) $\times3$ กำจัดพจน์ที่หารด้วย $3$ ได้ แต่ $\dfrac{64}{9}$ และ $\dfrac{16a}{9}$ ยังเป็นเศษส่วนอยู่
$(3x-4)$ is a factor of $f(x)=3x^{3}+ax^{2}-10x+b$, so $f\left(\tfrac43\right)=0$. Using the three terms above, write $f\left(\tfrac43\right)$, then clear the fractions to show $16a+9b=56$.
$(3x-4)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)=3x^{3}+ax^{2}-10x+b$ ดังนั้น $f\left(\tfrac43\right)=0$ ใช้สามพจน์ด้านบนเขียน $f\left(\tfrac43\right)$ แล้วกำจัดเศษส่วนเพื่อแสดงว่า $16a+9b=56$
Answershow ▾
Set the sum of the three terms plus $b$ equal to $0$, then multiply by $9$.ให้ผลรวมของสามพจน์บวก $b$ เท่ากับ $0$ แล้วคูณด้วย $9$
Work out $f(2)=3(2)^{3}+a(2)^{2}-10(2)+b$ and simplify.
จงคำนวณ $f(2)=3(2)^{3}+a(2)^{2}-10(2)+b$ แล้วจัดรูปให้ง่าย
Answershow ▾
$3(2)^{3}=24$ and $-10(2)=-20$, so $24-20=4$.$3(2)^{3}=24$ และ $-10(2)=-20$ ดังนั้น $24-20=4$
When $f(x)$ is divided by $(x-2)$, the remainder is $b$. What do you set $f(2)$ equal to?
(A) $b$
(B) $0$
(C) $2$
เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $b$ จะให้ $f(2)$ เท่ากับอะไร
(A) $b$
(B) $0$
(C) $2$
Answershow ▾
(B) sets $f(2)=0$, which is the FACTOR theorem - that would mean $(x-2)$ is a factor, and the remainder would be $0$, not $b$. (C) confuses the remainder with the value $x=2$ itself.(B) ให้ $f(2)=0$ ซึ่งเป็นทฤษฎีตัวประกอบ หมายความว่า $(x-2)$ เป็นตัวประกอบ และเศษเหลือจะเป็น $0$ ไม่ใช่ $b$ · (C) สับสนระหว่างเศษเหลือกับค่า $x=2$ ที่แทนเข้าไป
Using $f(2)=b$, set $4+4a+b=b$ and solve for $a$.
ใช้ $f(2)=b$ ให้ $4+4a+b=b$ แล้วแก้หาค่า $a$
Answershow ▾
$b$ is on both sides, so it cancels, leaving an equation in $a$ only.$b$ อยู่ทั้งสองข้าง จึงตัดกัน เหลือสมการที่มีแต่ $a$
Substitute $a=-1$ into $16a+9b=56$ and solve for $b$.
แทน $a=-1$ ใน $16a+9b=56$ แล้วแก้หาค่า $b$
Answershow ▾
$16a+9b=56$ was the equation from part (a); it still holds once $a$ is known.$16a+9b=56$ คือสมการจากข้อ (a) ซึ่งยังเป็นจริงเมื่อรู้ค่า $a$ แล้ว
With $a=-1,\,b=8$, $f(x)=3x^{3}-x^{2}-10x+8$. Divide $f(x)$ by $(3x-4)$ by comparing coefficients in $(3x-4)(x^{2}+px+q)=f(x)$, then fully factorise $f(x)$.
เมื่อ $a=-1,\,b=8$ จะได้ $f(x)=3x^{3}-x^{2}-10x+8$ หาร $f(x)$ ด้วย $(3x-4)$ โดยเทียบสัมประสิทธิ์ใน $(3x-4)(x^{2}+px+q)=f(x)$ แล้วแยกตัวประกอบของ $f(x)$ ให้ครบสมบูรณ์
Answershow ▾
Match the $x^{2}$ term to find $p$, then the constant term to find $q$.เทียบพจน์ $x^{2}$ เพื่อหา $p$ แล้วเทียบพจน์คงที่เพื่อหา $q$
$g(x)=x^{3}+px^{2}-4x+q$. Given $(x-2)$ is a factor of $g(x)$ and the remainder when $g(x)$ is divided by $(x-1)$ is $q$, fully factorise $g(x)$.
$g(x)=x^{3}+px^{2}-4x+q$ กำหนดว่า $(x-2)$ เป็นตัวประกอบของ $g(x)$ และเศษเหลือจากการหาร $g(x)$ ด้วย $(x-1)$ คือ $q$ จงแยกตัวประกอบของ $g(x)$ ให้ครบสมบูรณ์
Answershow ▾
Same three moves: the remainder theorem gives $p$ directly, the factor theorem then gives $q$, then divide and factorise.สามขั้นเดิม: ทฤษฎีเศษเหลือให้ค่า $p$ ได้ตรงๆ ทฤษฎีตัวประกอบให้ค่า $q$ ตามมา แล้วหารและแยกตัวประกอบ
$f(x)=3x^{3}+ax^{2}-10x+b$
where $a$ and $b$ are constants.
Given that $(3x-4)$ is a factor of $f(x)$
(a) show that $16a+9b=56$
(b) Given further that when $f(x)$ is divided by $(x-2)$ the remainder is $b$,
find the value of $a$ and the value of $b$.
(c) Hence, using algebra, fully factorise $f(x)$.
$f(x)=3x^{3}+ax^{2}-10x+b$
เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า $(3x-4)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
(ก) จงแสดงว่า $16a+9b=56$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่าเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $b$
จงหาค่าของ $a$ และค่าของ $b$
(ค) จากนั้นใช้พีชคณิตหาตัวประกอบของ $f(x)$ ให้ครบสมบูรณ์
Answershow ▾
9 marks: clear the fractions for (a), the remainder theorem for $a$, substitute for $b$, then divide and factorise for (c).9 คะแนน: กำจัดเศษส่วนสำหรับข้อ (a) ใช้ทฤษฎีเศษเหลือหา $a$ แทนค่าหา $b$ แล้วหารและแยกตัวประกอบสำหรับข้อ (c)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two theorems, one quadratic in p สองทฤษฎีบท ได้สมการกำลังสองในตัวแปร p
$f(x)=x^{3}+(p+3)x^{2}-x+q$ where $p$ and $q$ are constants and $p>0$.
Given that $(x-3)$ is a factor of $f(x)$
(a) show that $9p+q=-51$
(b) Given also that when $f(x)$ is divided by $(x+p)$ the remainder is $9$,
show that $3p^{2}+p+q-9=0$
(c) Hence find the value of $p$ and the value of $q$.
(d) Hence find a quadratic expression $g(x)$ such that $f(x)=(x-3)g(x)$
$f(x)=x^{3}+(p+3)x^{2}-x+q$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่ และ $p>0$
กำหนดว่า $(x-3)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
(ก) จงแสดงว่า $9p+q=-51$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่าเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+p)$ เศษเหลือคือ $9$
จงแสดงว่า $3p^{2}+p+q-9=0$
(ค) จากนั้นหาค่าของ $p$ และค่าของ $q$
(ง) จากนั้นหานิพจน์กำลังสอง $g(x)$ ที่ทำให้ $f(x)=(x-3)g(x)$
Expand $(p+3)\times9$.
จงกระจาย $(p+3)\times9$
Answershow ▾
Multiply each term in the bracket by $9$.คูณแต่ละพจน์ในวงเล็บด้วย $9$
Simplify $(-p)^{3}$.
จงทำให้ง่าย $(-p)^{3}$
Answershow ▾
An odd power of a negative term stays negative.เลขชี้กำลังคี่ของพจน์ที่ติดลบ ยังคงติดลบ
Solve $3p^{2}-8p-60=0$ by factorising, given $p \gt 0$.
จงแก้สมการ $3p^{2}-8p-60=0$ โดยแยกตัวประกอบ กำหนดให้ $p \gt 0$
Answershow ▾
Factorise, then reject the root that is negative.แยกตัวประกอบ แล้วตัดรากที่ติดลบทิ้ง
$(x-3)$ is a factor of $f(x)$. Pick the equation this gives.
(A) $f(3)=0$
(B) $f(-3)=0$
(C) $f(0)=3$
$(x-3)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$ จงเลือกสมการที่ได้
(A) $f(3)=0$
(B) $f(-3)=0$
(C) $f(0)=3$
Answershow ▾
(B) flips the sign: the factor $(x-3)$ pairs with $x=3$, not $x=-3$. (C) confuses the factor with the value of $x$.(B) สลับเครื่องหมาย: ตัวประกอบ $(x-3)$ คู่กับ $x=3$ ไม่ใช่ $x=-3$ · (C) สับสนตัวประกอบกับค่า $x$
$f(x)$ divided by $(x+p)$ has remainder $9$. Pick the equation this gives.
(A) $f(p)=9$
(B) $f(-p)=9$
(C) $f(9)=p$
$f(x)$ หารด้วย $(x+p)$ เศษเหลือเท่ากับ $9$ จงเลือกสมการที่ได้
(A) $f(p)=9$
(B) $f(-p)=9$
(C) $f(9)=p$
Answershow ▾
$(x+p)$ is $(x-(-p))$, so the remainder theorem substitutes $x=-p$, not $x=p$. (C) swaps the remainder and the divisor.$(x+p)$ คือ $(x-(-p))$ ดังนั้นทฤษฎีเศษเหลือต้องแทน $x=-p$ ไม่ใช่ $x=p$ · (C) สลับเศษเหลือกับตัวหาร
$f(x)=x^{3}+(p+3)x^{2}-x+q$ and $f(3)=0$. Show that $9p+q=-51$.
$f(x)=x^{3}+(p+3)x^{2}-x+q$ และ $f(3)=0$ จงแสดงว่า $9p+q=-51$
Answershow ▾
Substitute $x=3$, then combine the constant terms before isolating $9p+q$.แทน $x=3$ แล้วรวมพจน์คงที่ก่อนแยก $9p+q$ ให้อยู่ข้างเดียว
$f(x)$ divided by $(x+p)$ has remainder $9$, so $f(-p)=9$. Show that $3p^{2}+p+q-9=0$.
$f(x)$ หารด้วย $(x+p)$ เศษเหลือคือ $9$ นั่นคือ $f(-p)=9$ จงแสดงว่า $3p^{2}+p+q-9=0$
Answershow ▾
The $-p^{3}$ and $p^{3}$ terms must be shown cancelling before isolating $3p^{2}+p+q-9$.ต้องแสดงพจน์ $-p^{3}$ กับ $p^{3}$ หักล้างกันก่อนแยก $3p^{2}+p+q-9$ ให้อยู่ข้างเดียว
① $9p+q=-51$
② $3p^{2}+p+q-9=0$
Substitute ① into ② to eliminate $q$, and simplify to a quadratic in $p$.
① $9p+q=-51$
② $3p^{2}+p+q-9=0$
จงแทน ① ลงใน ② เพื่อกำจัด $q$ แล้วจัดรูปให้เป็นสมการกำลังสองในตัวแปร $p$
Answershow ▾
Write $q$ from ① in terms of $p$, then substitute it into ②.เขียน $q$ จาก ① ในรูปของ $p$ แล้วแทนลงใน ②
Solve $3p^{2}-8p-60=0$ by factorising, given $p \gt 0$. Then find $q$ using $q=-51-9p$.
จงแก้สมการ $3p^{2}-8p-60=0$ โดยแยกตัวประกอบ กำหนดให้ $p \gt 0$ แล้วหา $q$ จาก $q=-51-9p$
Answershow ▾
$p=-\dfrac{10}{3}$ is rejected because $p \gt 0$ is given.ตัด $p=-\dfrac{10}{3}$ ทิ้ง เพราะโจทย์กำหนด $p \gt 0$
With $p=6,\,q=-105$, $f(x)=x^{3}+9x^{2}-x-105$. Find $g(x)$ such that $f(x)=(x-3)g(x)$, by comparing coefficients.
เมื่อ $p=6,\,q=-105$ จะได้ $f(x)=x^{3}+9x^{2}-x-105$ จงหา $g(x)$ ที่ทำให้ $f(x)=(x-3)g(x)$ โดยเทียบสัมประสิทธิ์
Answershow ▾
Compare the coefficient of $x^{2}$, then the constant term.เทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ แล้วจึงพจน์คงที่
$f(x)=x^{3}+(p+1)x^{2}-x+q$, $p \gt 0$. $(x-2)$ is a factor of $f(x)$, and dividing $f(x)$ by $(x+p)$ leaves remainder $8$. Find $p$, find $q$, and find $g(x)$ such that $f(x)=(x-2)g(x)$.
$f(x)=x^{3}+(p+1)x^{2}-x+q$ โดย $p \gt 0$ กำหนดให้ $(x-2)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$ และเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+p)$ เศษเหลือคือ $8$ จงหาค่า $p$ ค่า $q$ และ $g(x)$ ที่ทำให้ $f(x)=(x-2)g(x)$
Answershow ▾
Same four moves: factor theorem, remainder theorem, eliminate $q$, then divide.สี่ขั้นเดิม: ทฤษฎีตัวประกอบ ทฤษฎีเศษเหลือ กำจัด $q$ แล้วหารพหุนาม
$f(x)=x^{3}+(p+3)x^{2}-x+q$ where $p$ and $q$ are constants and $p>0$.
Given that $(x-3)$ is a factor of $f(x)$
(a) show that $9p+q=-51$
(b) Given also that when $f(x)$ is divided by $(x+p)$ the remainder is $9$,
show that $3p^{2}+p+q-9=0$
(c) Hence find the value of $p$ and the value of $q$.
(d) Hence find a quadratic expression $g(x)$ such that $f(x)=(x-3)g(x)$
$f(x)=x^{3}+(p+3)x^{2}-x+q$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่ และ $p>0$
กำหนดว่า $(x-3)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
(ก) จงแสดงว่า $9p+q=-51$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่าเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+p)$ เศษเหลือคือ $9$
จงแสดงว่า $3p^{2}+p+q-9=0$
(ค) จากนั้นหาค่าของ $p$ และค่าของ $q$
(ง) จากนั้นหานิพจน์กำลังสอง $g(x)$ ที่ทำให้ $f(x)=(x-3)g(x)$
Answershow ▾
9 marks across four parts: factor and remainder theorem each give one equation, solving them gives $p$ and $q$, then dividing gives $g(x)$.9 คะแนนในสี่ส่วน: ทฤษฎีตัวประกอบและทฤษฎีเศษเหลือให้สมการอย่างละหนึ่ง แก้สมการได้ $p$ กับ $q$ แล้วหารได้ $g(x)$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A factor, a remainder, two unknowns ตัวประกอบหนึ่งตัว เศษเหลือหนึ่งค่า ตัวไม่รู้ค่าสองตัว
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
$f(x)=4x^{3}+ax^{2}-29x+b$
where $a$ and $b$ are constants.
Given that $(2x+1)$ is a factor of $f(x)$
(a) show that $a+4b=-56$
(b) Given also that when $f(x)$ is divided by $(x-2)$ the remainder is $-25$
find a second simplified equation linking $a$ and $b$.
(c) Hence, using algebra and showing your working,
(i) find the value of $a$ and the value of $b$,
(ii) fully factorise $f(x)$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
ห้ามใช้เครื่องคิดเลขแก้ปัญหาโดยไม่แสดงวิธีทำ
$f(x)=4x^{3}+ax^{2}-29x+b$
เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า $(2x+1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
(ก) จงแสดงว่า $a+4b=-56$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่าเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $-25$
จงหาสมการที่สองซึ่งเชื่อม $a$ กับ $b$ ในรูปย่อที่สุด
(ค) จากนั้นใช้พีชคณิตและแสดงวิธีทำ
(i) หาค่าของ $a$ และค่าของ $b$
(ii) หาตัวประกอบของ $f(x)$ ให้ครบสมบูรณ์
Work out $\left(-\tfrac12\right)^{3}$.
จงคำนวณ $\left(-\tfrac12\right)^{3}$
Answershow ▾
Cubing a negative number keeps the negative sign.การยกกำลังสามของจำนวนลบ ยังคงเป็นจำนวนลบ
Work out $-29\times\left(-\tfrac12\right)$.
จงคำนวณ $-29\times\left(-\tfrac12\right)$
Answershow ▾
A negative number times a negative number gives a positive number.จำนวนลบคูณจำนวนลบ ได้จำนวนบวก
Work out $4(2)^{3}$.
จงคำนวณ $4(2)^{3}$
Answershow ▾
Work out the power first, then multiply.คำนวณเลขยกกำลังก่อน แล้วค่อยคูณ
$(2x+1)$ is a factor of $f(x)=4x^{3}+ax^{2}-29x+b$. Pick the value to substitute for the factor theorem.
(A) $x=\tfrac12$
(B) $x=-\tfrac12$
(C) $x=2$
$(2x+1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)=4x^{3}+ax^{2}-29x+b$ จงเลือกค่าที่แทนสำหรับทฤษฎีบทตัวประกอบ
(A) $x=\tfrac12$
(B) $x=-\tfrac12$
(C) $x=2$
Answershow ▾
(A) solves $2x+1=0$ with a sign slip, giving the root of $(2x-1)$ instead. (C) is the value for the remainder theorem on $(x-2)$ in part (b), not the root of this factor.(A) แก้ $2x+1=0$ ผิดเครื่องหมาย ได้รากของ $(2x-1)$ แทน · (C) เป็นค่าที่ใช้กับทฤษฎีบทเศษเหลือของ $(x-2)$ ในส่วน (b) ไม่ใช่รากของตัวประกอบนี้
Substitute $x=-\tfrac12$ into $f(x)=4x^{3}+ax^{2}-29x+b$ and simplify every number term, keeping $a$ and $b$ as letters.
แทน $x=-\tfrac12$ ใน $f(x)=4x^{3}+ax^{2}-29x+b$ แล้วทำตัวเลขทุกพจน์ให้เป็นรูปง่าย โดยให้ $a$ และ $b$ เป็นตัวแปรเดิม
Answershow ▾
$\left(-\tfrac12\right)^{3}=-\tfrac18$ and $-29\times\left(-\tfrac12\right)=\tfrac{29}{2}$, the two signs from rungs $1$ and $2$.$\left(-\tfrac12\right)^{3}=-\tfrac18$ และ $-29\times\left(-\tfrac12\right)=\tfrac{29}{2}$ คือเครื่องหมายสองตัวจากข้อ $1$ และ $2$
$(2x+1)$ is a factor of $f(x)$, so $f\left(-\tfrac12\right)=0$. Multiply $-\tfrac12+\tfrac{a}{4}+\tfrac{29}{2}+b=0$ by $4$ to clear the fractions, and show $a+4b=-56$.
$(2x+1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$ จึงได้ $f\left(-\tfrac12\right)=0$ จงคูณ $-\tfrac12+\tfrac{a}{4}+\tfrac{29}{2}+b=0$ ด้วย $4$ เพื่อกำจัดเศษส่วน แล้วแสดงว่า $a+4b=-56$
Answershow ▾
Multiplying every term by $4$ turns each fraction into a whole number.การคูณทุกพจน์ด้วย $4$ จะเปลี่ยนเศษส่วนทุกตัวให้เป็นจำนวนเต็ม
When $f(x)$ is divided by $(x-2)$ the remainder is $-25$, so $f(2)=-25$. Work out $f(2)=4(2)^{3}+a(2)^{2}-29(2)+b$, simplify, and show $4a+b=1$.
เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $-25$ จึงได้ $f(2)=-25$ จงคำนวณ $f(2)=4(2)^{3}+a(2)^{2}-29(2)+b$ ทำให้เป็นรูปง่าย แล้วแสดงว่า $4a+b=1$
Answershow ▾
$4(2)^{3}=32$ from rung $3$, then $32-58=-26$ combines with the given $-25$.$4(2)^{3}=32$ จากข้อ $3$ แล้ว $32-58=-26$ นำไปรวมกับ $-25$ ที่กำหนดให้
Solve $a+4b=-56$ and $4a+b=1$ simultaneously for $a$ and $b$.
จงแก้สมการ $a+4b=-56$ และ $4a+b=1$ พร้อมกัน เพื่อหาค่า $a$ และ $b$
Answershow ▾
Multiplying $②$ by $4$ matches its $b$ term to $①$, so subtracting removes $b$ first.คูณ $②$ ด้วย $4$ ให้พจน์ $b$ เท่ากับใน $①$ แล้วลบออกจะเหลือแต่ $a$
You know $a=4$ and $b=-15$, and $f(x)=(2x+1)(2x^{2}+px+q)$. Pick the two terms to compare first to find $p$ and $q$.
(A) the $x$ terms
(B) the constant and the $x^{2}$ terms
(C) the $x^{3}$ terms
ทราบว่า $a=4$ และ $b=-15$ และ $f(x)=(2x+1)(2x^{2}+px+q)$ จงเลือกพจน์สองพจน์ที่จะเทียบก่อน เพื่อหา $p$ และ $q$
(A) พจน์ $x$
(B) พจน์คงที่และพจน์ $x^{2}$
(C) พจน์ $x^{3}$
Answershow ▾
(A) mixes $p$ and $q$ together in $2q+p=-29$, so neither comes out on its own. (C) gives $4=4$, already true, and finds nothing.(A) ได้สมการ $2q+p=-29$ ที่มีทั้ง $p$ และ $q$ ปนกัน จึงหาค่าใดค่าหนึ่งตรงๆไม่ได้ · (C) ได้ $4=4$ ซึ่งเป็นจริงอยู่แล้ว ไม่ได้ข้อมูลใหม่
Using $a=4$ and $b=-15$ in $f(x)=(2x+1)(2x^{2}+px+q)$, compare the constant and $x^{2}$ terms to find $p$ and $q$, then factorise $f(x)$ fully.
ใช้ $a=4$ และ $b=-15$ ใน $f(x)=(2x+1)(2x^{2}+px+q)$ เทียบพจน์คงที่และพจน์ $x^{2}$ เพื่อหา $p$ และ $q$ แล้วแยกตัวประกอบ $f(x)$ ให้ครบ
Answershow ▾
$2x^{2}+x-15$ factorises to $(2x-5)(x+3)$: the cross terms $-5x$ and $6x$ combine to $x$.$2x^{2}+x-15$ แยกตัวประกอบได้เป็น $(2x-5)(x+3)$ · พจน์ $-5x$ และ $6x$ รวมกันได้ $x$
$g(x)=x^{3}+px^{2}-11x+q$, where $p$ and $q$ are constants.
Given that $(x+1)$ is a factor of $g(x)$, and that when $g(x)$ is divided by $(x-2)$ the remainder is $-18$,
find the value of $p$ and the value of $q$, then fully factorise $g(x)$.
$g(x)=x^{3}+px^{2}-11x+q$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า $(x+1)$ เป็นตัวประกอบของ $g(x)$ และเมื่อหาร $g(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $-18$
จงหาค่าของ $p$ และค่าของ $q$ แล้วหาตัวประกอบของ $g(x)$ ให้ครบสมบูรณ์
Answershow ▾
Same four moves: factor theorem, remainder theorem, solve together, then compare coefficients to factorise.สี่ขั้นเดิม: ทฤษฎีบทตัวประกอบ ทฤษฎีบทเศษเหลือ แก้สมการพร้อมกัน แล้วเทียบสัมประสิทธิ์เพื่อแยกตัวประกอบ
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
$f(x)=4x^{3}+ax^{2}-29x+b$
where $a$ and $b$ are constants.
Given that $(2x+1)$ is a factor of $f(x)$
(a) show that $a+4b=-56$
(b) Given also that when $f(x)$ is divided by $(x-2)$ the remainder is $-25$
find a second simplified equation linking $a$ and $b$.
(c) Hence, using algebra and showing your working,
(i) find the value of $a$ and the value of $b$,
(ii) fully factorise $f(x)$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
ห้ามใช้เครื่องคิดเลขแก้ปัญหาโดยไม่แสดงวิธีทำ
$f(x)=4x^{3}+ax^{2}-29x+b$
เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
กำหนดว่า $(2x+1)$ เป็นตัวประกอบของ $f(x)$
(ก) จงแสดงว่า $a+4b=-56$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่าเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x-2)$ เศษเหลือคือ $-25$
จงหาสมการที่สองซึ่งเชื่อม $a$ กับ $b$ ในรูปย่อที่สุด
(ค) จากนั้นใช้พีชคณิตและแสดงวิธีทำ
(i) หาค่าของ $a$ และค่าของ $b$
(ii) หาตัวประกอบของ $f(x)$ ให้ครบสมบูรณ์
Answershow ▾
9 marks: 2 for the factor theorem equation, 2 for the remainder theorem equation, 2 for solving them, 3 for comparing coefficients and factorising fully.9 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับสมการจากทฤษฎีบทตัวประกอบ 2 คะแนนสำหรับสมการจากทฤษฎีบทเศษเหลือ 2 คะแนนสำหรับการแก้สมการ และ 3 คะแนนสำหรับการเทียบสัมประสิทธิ์และแยกตัวประกอบให้ครบ