Binomial expansion · practice ladders ชุดไต่ระดับ · การกระจายทวินาม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Series · the binomial expansion
(a) Expand $(3 + x)^{6}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) By substituting a suitable value of $x$ into your expansion, find an estimate for $3.005^{6}$, giving your answer to 4 decimal places. State the value of $x$ used.
Write down the value of $\binom{4}{3}$.
หาค่า $\binom{4}{3}$
Answershow ▾
$\binom{n}{k}$ counts the ways to choose $k$ items from $n$ — the button on a calculator is enough, but knowing what it means matters more.
Expand $(2 + x)^{4}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^2$.
จงกระจาย $(2 + x)^{4}$ ในรูปกำลังเรียงจากน้อยไปมากของ $x$ ถึงพจน์ $x^2$
Answershow ▾
Each term is $\binom{n}{k}$ times the base to the power $(n-k)$ times $(bx)^k$ — the same pattern the real question uses, just stopping one term earlier.
Given that $2 + x = 2.01$, find the value of $x$.
กำหนดให้ $2 + x = 2.01$ จงหาค่า $x$
Answershow ▾
Set the expression equal to the target number and solve — this is exactly how the value of $x$ in part (b) gets chosen.
In $(3 + x)^{6}$ the two things inside the bracket do not play the same role. Which of these three is the term in $x^{k}$, and what has gone wrong in the other two?
(A) $\binom{6}{k}3^{k}x^{6-k}$ (B) $\binom{6}{k}3^{6-k}x^{k}$ (C) $\binom{6}{k}3^{6}x^{k}$
Then say which end of the expansion the instruction ascending powers of $x$ makes you start at.
ใน $(3 + x)^{6}$ สองสิ่งในวงเล็บทำหน้าที่ไม่เหมือนกัน · ข้อไหนคือพจน์ของ $x^{k}$ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $\binom{6}{k}3^{k}x^{6-k}$ (B) $\binom{6}{k}3^{6-k}x^{k}$ (C) $\binom{6}{k}3^{6}x^{k}$
แล้วบอกว่าคำสั่ง ascending powers of $x$ ทำให้เริ่มจากปลายไหนของการกระจาย
Answershow ▾
The two powers inside a binomial term always add up to $n$: as one climbs the other falls, and $6$ is their total on every line. (A) has them the right shape but on the wrong letters, which turns the answer into a descending expansion of the wrong thing. (C) keeps $3^{6}$ fixed, so its terms no longer multiply back to $(3 + x)^{6}$ — test any general term by adding the powers and checking you get $6$. Ascending then fixes the order: $k = 0$ first, so the constant leads and $x^3$ is last. Part (a) is B1 for the general shape and A1 for each simplified coefficient; the shape itself is not a separate mark.สองเลขชี้กำลังในพจน์ทวินามบวกกันได้ $n$ เสมอ · ตัวหนึ่งขึ้น อีกตัวลง และผลรวมทุกบรรทัดคือ $6$ · (A) รูปถูกแต่ไปอยู่ผิดตัวอักษร ทำให้กลายเป็นการกระจายจากมากไปน้อยของคนละสิ่ง · (C) ตรึง $3^{6}$ ไว้ พจน์จึงคูณกลับไม่ได้เป็น $(3 + x)^{6}$ · ตรวจพจน์ทั่วไปด้วยการบวกเลขชี้กำลังแล้วดูว่าได้ $6$ หรือไม่ · Ascending กำหนดลำดับ: เริ่มที่ $k = 0$ ค่าคงที่จึงมาก่อนและ $x^3$ อยู่ท้าย · ข้อ (a) ให้ B1 กับรูปทั่วไปและ A1 กับสัมประสิทธิ์ที่ทำให้เรียบร้อยแต่ละตัว · ตัวรูปเองไม่ใช่คะแนนแยก
Write down, in terms of $k$, the general term in the expansion of $(3 + x)^{6}$.
Answershow ▾
Every term of a binomial expansion has this shape — the coefficient comes from $\binom{n}{k}$, and each factor carries its own power.
Using the general term from question 4, write down the terms in the expansion of $(3 + x)^{6}$ for $k=0$ and $k=1$, simplified.
Answershow ▾
$k=0$ gives $\binom{6}{0}(3)^{6} = 729$; $k=1$ gives $\binom{6}{1}(3)^{5}(1x) = 1458x$.
Using the general term from question 4, find the terms in $x^2$ and $x^3$ in the expansion of $(3 + x)^{6}$, simplified.
Answershow ▾
$k=2$: $\binom{6}{2} = 15$; $k=3$: $\binom{6}{3} = 20$ — multiply each by the matching powers of $3$ and $1$.
The instruction is up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient. Say how many terms that is, name them, and pick the line that answers it.
(A) $729 + 1458x + 1215x^2 + 540x^3 + \ldots$ (B) $1458x + 1215x^2 + 540x^3$ (C) $\binom{6}{0}3^{6} + \binom{6}{1}3^{5}x + \binom{6}{2}3^{4}x^{2} + \binom{6}{3}3^{3}x^{3}$
คำสั่งคือ up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient · จงบอกว่ามีกี่พจน์ เรียกชื่อพจน์เหล่านั้น และเลือกบรรทัดที่ตอบคำสั่งนี้
(A) $729 + 1458x + 1215x^2 + 540x^3 + \ldots$ (B) $1458x + 1215x^2 + 540x^3$ (C) $\binom{6}{0}3^{6} + \binom{6}{1}3^{5}x + \binom{6}{2}3^{4}x^{2} + \binom{6}{3}3^{3}x^{3}$
Answershow ▾
“Up to and including $x^3$” counts from $x^0$, so it is four terms, not three: forgetting that the constant is a term is how (B) loses $729$ and takes part (b) down with it. (C) is correct but unfinished — simplifying each coefficient is an instruction to evaluate, and $\binom{6}{2}3^{4}$ left standing is not a coefficient yet. The trailing $\ldots$ in (A) is honest and costs nothing, since the expansion really does continue. Part (a) is worth four A marks, one per simplified coefficient; reading the instruction is what tells you where to stop, and no mark is attached to the reading."Up to and including $x^3$" นับจาก $x^0$ จึงได้สี่พจน์ ไม่ใช่สาม · การลืมว่าค่าคงที่ก็เป็นพจน์คือเหตุที่ (B) ทำ $729$ หายและลากข้อ (b) ล้มตามไปด้วย · (C) ถูกแต่ยังไม่จบ · simplifying each coefficient คือคำสั่งให้คำนวณออกมา และ $\binom{6}{2}3^{4}$ ที่ยังไม่คิดยังไม่ใช่สัมประสิทธิ์ · จุดไข่ปลาใน (A) เป็นการเขียนที่ซื่อตรงและไม่เสียคะแนน เพราะการกระจายยังไปต่อจริง ๆ · ข้อ (a) มีสี่คะแนน A ตัวละสัมประสิทธิ์ · การอ่านคำสั่งคือสิ่งที่บอกว่าหยุดตรงไหน และการอ่านนั้นไม่มีคะแนน
Hence expand $(3 + x)^{6}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 side by side, in order — this is part (a) of the exam question in full.
The expansion of $(3 + x)^{6}$ is $729 + 1458x + 1215x^2 + 540x^3$. Use a suitable value of $x$ to estimate $3.005^{6}$, giving your answer to 4 decimal places, and state the value of $x$ used.
Answershow ▾
$3 + x$ equals $3.005$ when $x = 0.005$ — pick that $x$, substitute it into every term of the expansion, then round.
Part (b) wants $3.005^{6}$ from your expansion of $(3 + x)^{6}$, to 4 decimal places, and says state the value of $x$ used. Produce that value, and then decide: should each of the four terms be rounded to 4 d.p. before you add them, or only the total?
ข้อ (b) ต้องการ $3.005^{6}$ จากการกระจาย $(3 + x)^{6}$ ทศนิยม 4 ตำแหน่ง และสั่งว่า state the value of $x$ used · จงหาค่านั้น แล้วตัดสินใจว่า ควรปัดทั้งสี่พจน์เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่งก่อนบวก หรือปัดเฉพาะผลรวม
Answershow ▾
The value of $x$ is not guessed; it is solved for, by setting the bracket equal to the number you want. $x = 3.005$ is the standard wrong answer — it treats $x$ as the whole quantity instead of the small piece added to $3$. Rounding is the second half: the third term is $0.030375$ and the fourth is $0.0000675$, so rounding them first throws away digits that the fourth decimal place still needs. Keep every term full and round once, at the end. Part (b) is B1 for stating $x$, M1 for the substitution and A1 for $736.3204$; the B1 is the one people lose by never writing $x$ down at all.ค่า $x$ ไม่ได้เดา แต่แก้ออกมา โดยตั้งวงเล็บให้เท่ากับตัวเลขที่ต้องการ · $x = 3.005$ คือคำตอบผิดมาตรฐาน · มันมอง $x$ เป็นปริมาณทั้งก้อนแทนที่จะเป็นชิ้นเล็กที่บวกเข้ากับ $3$ · การปัดเศษคือครึ่งหลัง: พจน์ที่สามคือ $0.030375$ และพจน์ที่สี่คือ $0.0000675$ การปัดก่อนจึงทิ้งหลักที่ทศนิยมตำแหน่งที่สี่ยังต้องใช้ · เก็บทุกพจน์ไว้เต็มแล้วปัดครั้งเดียวตอนท้าย · ข้อ (b) ให้ B1 กับการเขียนค่า $x$ M1 กับการแทนค่า และ A1 กับ $736.3204$ · B1 คือคะแนนที่คนเสียเพราะไม่เคยเขียน $x$ ลงไปเลย
(a) Expand $(1 + x)^{4}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) By substituting a suitable value of $x$ into your expansion, find an estimate for $1.01^{4}$, giving your answer to 3 decimal places. State the value of $x$ used.
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
(a) Expand $(3 + x)^{6}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) By substituting a suitable value of $x$ into your expansion, find an estimate for $3.005^{6}$, giving your answer to 4 decimal places. State the value of $x$ used.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 5 and 6 build part (a); questions 7 and 8 chain the expansion and the substitution together into part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 choose $x = 0.005$, so that $3 + x = 3.005$ at this $x$ A1 substitute $x = 0.005$ into the expansion from part (a) A1 $3.005^{6} \approx 736.3204$ (to 4 d.p.), using $x = 0.005$.
Series · finding an unknown from a coefficient
In the expansion of $(2 + ax)^{6}$, the coefficient of $x^2$ is $2160$.
(a) Find the possible value(s) of $a$.
(b) Using the positive value of $a$, find the coefficient of $x^3$ in the expansion.
Write down the coefficient of $x^2$ in the expansion of $(1+x)^{3}$.
หาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในการกระจาย $(1+x)^{3}$
Answershow ▾
When the base is $1$, the coefficient of $x^k$ is just $\binom{n}{k}$ on its own — nothing else to multiply by.
In the expansion of $(1+ax)^{3}$, write down the coefficient of $x^2$ in terms of $a$.
ในการกระจาย $(1+ax)^{3}$ จงเขียนสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในรูปของ $a$
Answershow ▾
The $\binom{n}{2}$ part is fixed; the $a^2$ just comes along for the ride since $x^2$ needs two factors of $ax$.
Solve $a^2 = 9$.
แก้สมการ $a^2 = 9$
Answershow ▾
Taking a square root always gives a $\pm$ pair — losing the negative root is the single most common slip in this question type.
The coefficient of $x^2$ in $(2 + ax)^{6}$ comes from one value of $k$. Name it, then pick the coefficient from these three and say what is wrong with the other two.
(A) $\binom{6}{2}2^{2}a^{2}$ (B) $\binom{6}{2}2^{4}a^{2}$ (C) $\binom{6}{2}2^{4}a$
สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ใน $(2 + ax)^{6}$ มาจากค่า $k$ ค่าเดียว · จงบอกว่าค่าไหน แล้วเลือกสัมประสิทธิ์จากสามข้อนี้ และบอกว่าอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $\binom{6}{2}2^{2}a^{2}$ (B) $\binom{6}{2}2^{4}a^{2}$ (C) $\binom{6}{2}2^{4}a$
Answershow ▾
(A) uses $2^{2}$, which is the power that goes with $x^2$, not the power left on the base — the base keeps $6 - k = 4$. (C) forgets that the whole of $ax$ is squared, so the $a$ is squared with it; $(ax)^2 = a^2x^2$, and dropping the square here is what later turns $a^2 = 9$ into a linear equation with one root instead of two. The safe habit is to write the term as $\binom{6}{2}(2)^{4}(ax)^{2}$ in full before touching a calculator. Part (a) is M1 for the term and A1 for $240a^2$; identifying $k = 2$ is where the question actually starts and where no mark is given.(A) ใช้ $2^{2}$ ซึ่งเป็นกำลังที่คู่กับ $x^2$ ไม่ใช่กำลังที่เหลืออยู่บนฐาน · ฐานเก็บ $6 - k = 4$ ไว้ · (C) ลืมว่า $ax$ ทั้งก้อนถูกยกกำลังสอง $a$ จึงถูกยกกำลังสองไปด้วย · $(ax)^2 = a^2x^2$ และการทำกำลังสองหายตรงนี้คือสิ่งที่ทำให้ $a^2 = 9$ กลายเป็นสมการเชิงเส้นที่มีรากเดียวแทนที่จะเป็นสองราก · นิสัยที่ปลอดภัยคือเขียนพจน์เต็ม ๆ เป็น $\binom{6}{2}(2)^{4}(ax)^{2}$ ก่อนแตะเครื่องคิดเลข · ข้อ (a) ให้ M1 กับพจน์และ A1 กับ $240a^2$ · การระบุ $k = 2$ คือจุดที่โจทย์เริ่มจริง ๆ และเป็นจุดที่ไม่มีคะแนน
In the expansion of $(2+ax)^{6}$, write down the coefficient of $x^2$ in terms of $a$.
Answershow ▾
Same move as question 2, but now the base is $2$ instead of $1$, so $(2)^{4}$ multiplies in as well.
In the expansion of $(2+ax)^{6}$, the coefficient of $x^2$ is $2160$. Find the possible value(s) of $a$.
Answershow ▾
Set $240a^2 = 2160$, divide to get $a^2$ on its own, then take square roots as in question 3. This is part (a) in full.
$240a^2 = 2160$ gives $a^2 = 9$. The question asks for the possible value(s) of $a$. Write every value that satisfies the equation, and say what the bracketed (s) is telling you.
$240a^2 = 2160$ ให้ $a^2 = 9$ · โจทย์ถาม possible value(s) ของ $a$ · จงเขียนทุกค่าที่สอดคล้องกับสมการ และบอกว่า (s) ในวงเล็บกำลังบอกอะไร
Answershow ▾
Squaring destroys a sign, so undoing a square has to put both possibilities back: $3^2$ and $(-3)^2$ are both $9$, and nothing in the equation prefers one. Writing only $a = 3$ answers half the question and loses the accuracy mark even though the number you wrote is correct. The examiner has flagged this in the wording — value(s) with the $s$ in brackets is a standing hint that a $\pm$ is coming. Part (a) is M1 for $a^2 = 9$ and A1 for both roots; noticing the bracketed $s$ is free and is exactly what saves that A1.การยกกำลังสองทำลายเครื่องหมาย การถอดกำลังสองจึงต้องคืนความเป็นไปได้ทั้งสองกลับมา · $3^2$ กับ $(-3)^2$ เป็น $9$ เท่ากัน และไม่มีอะไรในสมการที่เลือกข้างใดข้างหนึ่ง · การเขียนแค่ $a = 3$ คือการตอบครึ่งเดียวและเสียคะแนนความแม่นยำ แม้ตัวเลขที่เขียนจะถูก · ผู้ออกข้อสอบส่งสัญญาณไว้ในถ้อยคำแล้ว · value(s) ที่มี $s$ ในวงเล็บคือคำใบ้ประจำว่ากำลังจะมี $\pm$ · ข้อ (a) ให้ M1 กับ $a^2 = 9$ และ A1 กับรากทั้งสอง · การสังเกต $s$ ในวงเล็บไม่มีคะแนน และเป็นสิ่งที่รักษา A1 นั้นไว้พอดี
In the expansion of $(2+ax)^{6}$, write down the coefficient of $x^3$ in terms of $a$.
Answershow ▾
Same move as question 4, one power higher — the binomial coefficient and the power of the base both change.
Using the positive value $a = 3$, find the coefficient of $x^3$ in the expansion of $(2+ax)^{6}$.
Answershow ▾
Take the formula from question 6 and substitute $a = 3$ — this is part (b) in full.
Part (b) says using the positive value of $a$, and the coefficient of $x^3$ is $160a^3$. Work it out for $a = 3$ and for $a = -3$, say why the two answers differ in a way the $x^2$ coefficient did not, and state which one to write.
ข้อ (b) เขียนว่า using the positive value of $a$ และสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ คือ $160a^3$ · จงคำนวณทั้งที่ $a = 3$ และ $a = -3$ บอกว่าทำไมคำตอบสองค่าต่างกันในแบบที่สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ไม่ต่าง และบอกว่าต้องเขียนค่าไหน
Answershow ▾
An even power hides the sign and an odd power keeps it: $a^2$ came out $9$ either way, but $a^3$ is $27$ or $-27$, so this time the choice changes the answer. That is why the question bothers to name which root to use — without the instruction there would be two defensible answers and no way to mark them. Take the wrong root and you produce $-4320$, a number that is right for a question nobody asked. Part (b) is M1 for the term and A1 for $4320$; the instruction does the choosing, and following it earns nothing on its own.กำลังคู่ซ่อนเครื่องหมาย กำลังคี่เก็บมันไว้ · $a^2$ ออกมาเป็น $9$ ทั้งสองทาง แต่ $a^3$ เป็น $27$ หรือ $-27$ คราวนี้การเลือกจึงเปลี่ยนคำตอบ · นั่นคือเหตุผลที่โจทย์อุตส่าห์ระบุว่าให้ใช้รากไหน · ถ้าไม่มีคำสั่งนี้จะมีคำตอบที่แก้ต่างได้สองค่าและตรวจไม่ได้ · ถ้าเลือกรากผิดจะได้ $-4320$ ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกของคำถามที่ไม่มีใครถาม · ข้อ (b) ให้ M1 กับพจน์และ A1 กับ $4320$ · คำสั่งเป็นคนเลือกให้ และการทำตามคำสั่งไม่มีคะแนนในตัวเอง
In the expansion of $(2+ax)^{6}$, the coefficient of $x^2$ is $2160$. Find the possible values of $a$, and hence find the coefficient of $x^3$ in the expansion.
Answershow ▾
Questions 5 and 7 back to back: solve for $a$ first, then use the positive root to find the next coefficient — every step of the exam question, in order.
In the expansion of $(1 + ax)^{4}$, the coefficient of $x^2$ is $6$.
(a) Find the possible value(s) of $a$.
(b) Using the positive value of $a$, find the coefficient of $x^3$ in the expansion.
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
In the expansion of $(2 + ax)^{6}$, the coefficient of $x^2$ is $2160$.
(a) Find the possible value(s) of $a$.
(b) Using the positive value of $a$, find the coefficient of $x^3$ in the expansion.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4 and 5 build and solve part (a); questions 6 and 7 build and solve part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 the term in $x^3$ is $\binom{6}{3}(2)^{3}a^3x^3$, so the coefficient is $\binom{6}{3} = 20$, giving $160a^3$ M1 substitute $a = 3$ A1 coefficient of $x^3 = 160 \times 3^3 = 4320$.