Binomial expansion · practice ladders ชุดไต่ระดับ · การกระจายทวินาม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Series · the binomial expansion
(a) Expand $(3 + x)^{6}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) By substituting a suitable value of $x$ into your expansion, find an estimate for $3.005^{6}$, giving your answer to 4 decimal places. State the value of $x$ used.
Write down the value of $\binom{4}{3}$.
หาค่า $\binom{4}{3}$
Answershow ▾
$\binom{n}{k}$ counts the ways to choose $k$ items from $n$ — the button on a calculator is enough, but knowing what it means matters more.
Expand $(2 + x)^{4}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^2$.
จงกระจาย $(2 + x)^{4}$ ในรูปกำลังเรียงจากน้อยไปมากของ $x$ ถึงพจน์ $x^2$
Answershow ▾
Each term is $\binom{n}{k}$ times the base to the power $(n-k)$ times $(bx)^k$ — the same pattern the real question uses, just stopping one term earlier.
Given that $2 + x = 2.01$, find the value of $x$.
กำหนดให้ $2 + x = 2.01$ จงหาค่า $x$
Answershow ▾
Set the expression equal to the target number and solve — this is exactly how the value of $x$ in part (b) gets chosen.
In $(3 + x)^{6}$ the two things inside the bracket do not play the same role. Which of these three is the term in $x^{k}$, and what has gone wrong in the other two?
(A) $\binom{6}{k}3^{k}x^{6-k}$ (B) $\binom{6}{k}3^{6-k}x^{k}$ (C) $\binom{6}{k}3^{6}x^{k}$
Then say which end of the expansion the instruction ascending powers of $x$ makes you start at.
ใน $(3 + x)^{6}$ สองสิ่งในวงเล็บทำหน้าที่ไม่เหมือนกัน · ข้อไหนคือพจน์ของ $x^{k}$ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $\binom{6}{k}3^{k}x^{6-k}$ (B) $\binom{6}{k}3^{6-k}x^{k}$ (C) $\binom{6}{k}3^{6}x^{k}$
แล้วบอกว่าคำสั่ง ascending powers of $x$ ทำให้เริ่มจากปลายไหนของการกระจาย
Answershow ▾
The two powers inside a binomial term always add up to $n$: as one climbs the other falls, and $6$ is their total on every line. (A) has them the right shape but on the wrong letters, which turns the answer into a descending expansion of the wrong thing. (C) keeps $3^{6}$ fixed, so its terms no longer multiply back to $(3 + x)^{6}$ — test any general term by adding the powers and checking you get $6$. Ascending then fixes the order: $k = 0$ first, so the constant leads and $x^3$ is last. Part (a) is B1 for the general shape and A1 for each simplified coefficient; the shape itself is not a separate mark.สองเลขชี้กำลังในพจน์ทวินามบวกกันได้ $n$ เสมอ · ตัวหนึ่งขึ้น อีกตัวลง และผลรวมทุกบรรทัดคือ $6$ · (A) รูปถูกแต่ไปอยู่ผิดตัวอักษร ทำให้กลายเป็นการกระจายจากมากไปน้อยของคนละสิ่ง · (C) ตรึง $3^{6}$ ไว้ พจน์จึงคูณกลับไม่ได้เป็น $(3 + x)^{6}$ · ตรวจพจน์ทั่วไปด้วยการบวกเลขชี้กำลังแล้วดูว่าได้ $6$ หรือไม่ · Ascending กำหนดลำดับ: เริ่มที่ $k = 0$ ค่าคงที่จึงมาก่อนและ $x^3$ อยู่ท้าย · ข้อ (a) ให้ B1 กับรูปทั่วไปและ A1 กับสัมประสิทธิ์ที่ทำให้เรียบร้อยแต่ละตัว · ตัวรูปเองไม่ใช่คะแนนแยก
Write down, in terms of $k$, the general term in the expansion of $(3 + x)^{6}$.
Answershow ▾
Every term of a binomial expansion has this shape — the coefficient comes from $\binom{n}{k}$, and each factor carries its own power.
Using the general term from question 4, write down the terms in the expansion of $(3 + x)^{6}$ for $k=0$ and $k=1$, simplified.
Answershow ▾
$k=0$ gives $\binom{6}{0}(3)^{6} = 729$; $k=1$ gives $\binom{6}{1}(3)^{5}(1x) = 1458x$.
Using the general term from question 4, find the terms in $x^2$ and $x^3$ in the expansion of $(3 + x)^{6}$, simplified.
Answershow ▾
$k=2$: $\binom{6}{2} = 15$; $k=3$: $\binom{6}{3} = 20$ — multiply each by the matching powers of $3$ and $1$.
The instruction is up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient. Say how many terms that is, name them, and pick the line that answers it.
(A) $729 + 1458x + 1215x^2 + 540x^3 + \ldots$ (B) $1458x + 1215x^2 + 540x^3$ (C) $\binom{6}{0}3^{6} + \binom{6}{1}3^{5}x + \binom{6}{2}3^{4}x^{2} + \binom{6}{3}3^{3}x^{3}$
คำสั่งคือ up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient · จงบอกว่ามีกี่พจน์ เรียกชื่อพจน์เหล่านั้น และเลือกบรรทัดที่ตอบคำสั่งนี้
(A) $729 + 1458x + 1215x^2 + 540x^3 + \ldots$ (B) $1458x + 1215x^2 + 540x^3$ (C) $\binom{6}{0}3^{6} + \binom{6}{1}3^{5}x + \binom{6}{2}3^{4}x^{2} + \binom{6}{3}3^{3}x^{3}$
Answershow ▾
“Up to and including $x^3$” counts from $x^0$, so it is four terms, not three: forgetting that the constant is a term is how (B) loses $729$ and takes part (b) down with it. (C) is correct but unfinished — simplifying each coefficient is an instruction to evaluate, and $\binom{6}{2}3^{4}$ left standing is not a coefficient yet. The trailing $\ldots$ in (A) is honest and costs nothing, since the expansion really does continue. Part (a) is worth four A marks, one per simplified coefficient; reading the instruction is what tells you where to stop, and no mark is attached to the reading."Up to and including $x^3$" นับจาก $x^0$ จึงได้สี่พจน์ ไม่ใช่สาม · การลืมว่าค่าคงที่ก็เป็นพจน์คือเหตุที่ (B) ทำ $729$ หายและลากข้อ (b) ล้มตามไปด้วย · (C) ถูกแต่ยังไม่จบ · simplifying each coefficient คือคำสั่งให้คำนวณออกมา และ $\binom{6}{2}3^{4}$ ที่ยังไม่คิดยังไม่ใช่สัมประสิทธิ์ · จุดไข่ปลาใน (A) เป็นการเขียนที่ซื่อตรงและไม่เสียคะแนน เพราะการกระจายยังไปต่อจริง ๆ · ข้อ (a) มีสี่คะแนน A ตัวละสัมประสิทธิ์ · การอ่านคำสั่งคือสิ่งที่บอกว่าหยุดตรงไหน และการอ่านนั้นไม่มีคะแนน
Hence expand $(3 + x)^{6}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 side by side, in order — this is part (a) of the exam question in full.
The expansion of $(3 + x)^{6}$ is $729 + 1458x + 1215x^2 + 540x^3$. Use a suitable value of $x$ to estimate $3.005^{6}$, giving your answer to 4 decimal places, and state the value of $x$ used.
Answershow ▾
$3 + x$ equals $3.005$ when $x = 0.005$ — pick that $x$, substitute it into every term of the expansion, then round.
Part (b) wants $3.005^{6}$ from your expansion of $(3 + x)^{6}$, to 4 decimal places, and says state the value of $x$ used. Produce that value, and then decide: should each of the four terms be rounded to 4 d.p. before you add them, or only the total?
ข้อ (b) ต้องการ $3.005^{6}$ จากการกระจาย $(3 + x)^{6}$ ทศนิยม 4 ตำแหน่ง และสั่งว่า state the value of $x$ used · จงหาค่านั้น แล้วตัดสินใจว่า ควรปัดทั้งสี่พจน์เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่งก่อนบวก หรือปัดเฉพาะผลรวม
Answershow ▾
The value of $x$ is not guessed; it is solved for, by setting the bracket equal to the number you want. $x = 3.005$ is the standard wrong answer — it treats $x$ as the whole quantity instead of the small piece added to $3$. Rounding is the second half: the third term is $0.030375$ and the fourth is $0.0000675$, so rounding them first throws away digits that the fourth decimal place still needs. Keep every term full and round once, at the end. Part (b) is B1 for stating $x$, M1 for the substitution and A1 for $736.3204$; the B1 is the one people lose by never writing $x$ down at all.ค่า $x$ ไม่ได้เดา แต่แก้ออกมา โดยตั้งวงเล็บให้เท่ากับตัวเลขที่ต้องการ · $x = 3.005$ คือคำตอบผิดมาตรฐาน · มันมอง $x$ เป็นปริมาณทั้งก้อนแทนที่จะเป็นชิ้นเล็กที่บวกเข้ากับ $3$ · การปัดเศษคือครึ่งหลัง: พจน์ที่สามคือ $0.030375$ และพจน์ที่สี่คือ $0.0000675$ การปัดก่อนจึงทิ้งหลักที่ทศนิยมตำแหน่งที่สี่ยังต้องใช้ · เก็บทุกพจน์ไว้เต็มแล้วปัดครั้งเดียวตอนท้าย · ข้อ (b) ให้ B1 กับการเขียนค่า $x$ M1 กับการแทนค่า และ A1 กับ $736.3204$ · B1 คือคะแนนที่คนเสียเพราะไม่เคยเขียน $x$ ลงไปเลย
(a) Expand $(1 + x)^{4}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) By substituting a suitable value of $x$ into your expansion, find an estimate for $1.01^{4}$, giving your answer to 3 decimal places. State the value of $x$ used.
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
(a) Expand $(3 + x)^{6}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) By substituting a suitable value of $x$ into your expansion, find an estimate for $3.005^{6}$, giving your answer to 4 decimal places. State the value of $x$ used.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 5 and 6 build part (a); questions 7 and 8 chain the expansion and the substitution together into part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Series · finding an unknown from a coefficient
In the expansion of $(2 + ax)^{6}$, the coefficient of $x^2$ is $2160$.
(a) Find the possible value(s) of $a$.
(b) Using the positive value of $a$, find the coefficient of $x^3$ in the expansion.
Write down the coefficient of $x^2$ in the expansion of $(1+x)^{3}$.
หาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในการกระจาย $(1+x)^{3}$
Answershow ▾
When the base is $1$, the coefficient of $x^k$ is just $\binom{n}{k}$ on its own — nothing else to multiply by.
In the expansion of $(1+ax)^{3}$, write down the coefficient of $x^2$ in terms of $a$.
ในการกระจาย $(1+ax)^{3}$ จงเขียนสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในรูปของ $a$
Answershow ▾
The $\binom{n}{2}$ part is fixed; the $a^2$ just comes along for the ride since $x^2$ needs two factors of $ax$.
Solve $a^2 = 9$.
แก้สมการ $a^2 = 9$
Answershow ▾
Taking a square root always gives a $\pm$ pair — losing the negative root is the single most common slip in this question type.
The coefficient of $x^2$ in $(2 + ax)^{6}$ comes from one value of $k$. Name it, then pick the coefficient from these three and say what is wrong with the other two.
(A) $\binom{6}{2}2^{2}a^{2}$ (B) $\binom{6}{2}2^{4}a^{2}$ (C) $\binom{6}{2}2^{4}a$
สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ใน $(2 + ax)^{6}$ มาจากค่า $k$ ค่าเดียว · จงบอกว่าค่าไหน แล้วเลือกสัมประสิทธิ์จากสามข้อนี้ และบอกว่าอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $\binom{6}{2}2^{2}a^{2}$ (B) $\binom{6}{2}2^{4}a^{2}$ (C) $\binom{6}{2}2^{4}a$
Answershow ▾
(A) uses $2^{2}$, which is the power that goes with $x^2$, not the power left on the base — the base keeps $6 - k = 4$. (C) forgets that the whole of $ax$ is squared, so the $a$ is squared with it; $(ax)^2 = a^2x^2$, and dropping the square here is what later turns $a^2 = 9$ into a linear equation with one root instead of two. The safe habit is to write the term as $\binom{6}{2}(2)^{4}(ax)^{2}$ in full before touching a calculator. Part (a) is M1 for the term and A1 for $240a^2$; identifying $k = 2$ is where the question actually starts and where no mark is given.(A) ใช้ $2^{2}$ ซึ่งเป็นกำลังที่คู่กับ $x^2$ ไม่ใช่กำลังที่เหลืออยู่บนฐาน · ฐานเก็บ $6 - k = 4$ ไว้ · (C) ลืมว่า $ax$ ทั้งก้อนถูกยกกำลังสอง $a$ จึงถูกยกกำลังสองไปด้วย · $(ax)^2 = a^2x^2$ และการทำกำลังสองหายตรงนี้คือสิ่งที่ทำให้ $a^2 = 9$ กลายเป็นสมการเชิงเส้นที่มีรากเดียวแทนที่จะเป็นสองราก · นิสัยที่ปลอดภัยคือเขียนพจน์เต็ม ๆ เป็น $\binom{6}{2}(2)^{4}(ax)^{2}$ ก่อนแตะเครื่องคิดเลข · ข้อ (a) ให้ M1 กับพจน์และ A1 กับ $240a^2$ · การระบุ $k = 2$ คือจุดที่โจทย์เริ่มจริง ๆ และเป็นจุดที่ไม่มีคะแนน
In the expansion of $(2+ax)^{6}$, write down the coefficient of $x^2$ in terms of $a$.
Answershow ▾
Same move as question 2, but now the base is $2$ instead of $1$, so $(2)^{4}$ multiplies in as well.
In the expansion of $(2+ax)^{6}$, the coefficient of $x^2$ is $2160$. Find the possible value(s) of $a$.
Answershow ▾
Set $240a^2 = 2160$, divide to get $a^2$ on its own, then take square roots as in question 3. This is part (a) in full.
$240a^2 = 2160$ gives $a^2 = 9$. The question asks for the possible value(s) of $a$. Write every value that satisfies the equation, and say what the bracketed (s) is telling you.
$240a^2 = 2160$ ให้ $a^2 = 9$ · โจทย์ถาม possible value(s) ของ $a$ · จงเขียนทุกค่าที่สอดคล้องกับสมการ และบอกว่า (s) ในวงเล็บกำลังบอกอะไร
Answershow ▾
Squaring destroys a sign, so undoing a square has to put both possibilities back: $3^2$ and $(-3)^2$ are both $9$, and nothing in the equation prefers one. Writing only $a = 3$ answers half the question and loses the accuracy mark even though the number you wrote is correct. The examiner has flagged this in the wording — value(s) with the $s$ in brackets is a standing hint that a $\pm$ is coming. Part (a) is M1 for $a^2 = 9$ and A1 for both roots; noticing the bracketed $s$ is free and is exactly what saves that A1.การยกกำลังสองทำลายเครื่องหมาย การถอดกำลังสองจึงต้องคืนความเป็นไปได้ทั้งสองกลับมา · $3^2$ กับ $(-3)^2$ เป็น $9$ เท่ากัน และไม่มีอะไรในสมการที่เลือกข้างใดข้างหนึ่ง · การเขียนแค่ $a = 3$ คือการตอบครึ่งเดียวและเสียคะแนนความแม่นยำ แม้ตัวเลขที่เขียนจะถูก · ผู้ออกข้อสอบส่งสัญญาณไว้ในถ้อยคำแล้ว · value(s) ที่มี $s$ ในวงเล็บคือคำใบ้ประจำว่ากำลังจะมี $\pm$ · ข้อ (a) ให้ M1 กับ $a^2 = 9$ และ A1 กับรากทั้งสอง · การสังเกต $s$ ในวงเล็บไม่มีคะแนน และเป็นสิ่งที่รักษา A1 นั้นไว้พอดี
In the expansion of $(2+ax)^{6}$, write down the coefficient of $x^3$ in terms of $a$.
Answershow ▾
Same move as question 4, one power higher — the binomial coefficient and the power of the base both change.
Using the positive value $a = 3$, find the coefficient of $x^3$ in the expansion of $(2+ax)^{6}$.
Answershow ▾
Take the formula from question 6 and substitute $a = 3$ — this is part (b) in full.
Part (b) says using the positive value of $a$, and the coefficient of $x^3$ is $160a^3$. Work it out for $a = 3$ and for $a = -3$, say why the two answers differ in a way the $x^2$ coefficient did not, and state which one to write.
ข้อ (b) เขียนว่า using the positive value of $a$ และสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ คือ $160a^3$ · จงคำนวณทั้งที่ $a = 3$ และ $a = -3$ บอกว่าทำไมคำตอบสองค่าต่างกันในแบบที่สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ไม่ต่าง และบอกว่าต้องเขียนค่าไหน
Answershow ▾
An even power hides the sign and an odd power keeps it: $a^2$ came out $9$ either way, but $a^3$ is $27$ or $-27$, so this time the choice changes the answer. That is why the question bothers to name which root to use — without the instruction there would be two defensible answers and no way to mark them. Take the wrong root and you produce $-4320$, a number that is right for a question nobody asked. Part (b) is M1 for the term and A1 for $4320$; the instruction does the choosing, and following it earns nothing on its own.กำลังคู่ซ่อนเครื่องหมาย กำลังคี่เก็บมันไว้ · $a^2$ ออกมาเป็น $9$ ทั้งสองทาง แต่ $a^3$ เป็น $27$ หรือ $-27$ คราวนี้การเลือกจึงเปลี่ยนคำตอบ · นั่นคือเหตุผลที่โจทย์อุตส่าห์ระบุว่าให้ใช้รากไหน · ถ้าไม่มีคำสั่งนี้จะมีคำตอบที่แก้ต่างได้สองค่าและตรวจไม่ได้ · ถ้าเลือกรากผิดจะได้ $-4320$ ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกของคำถามที่ไม่มีใครถาม · ข้อ (b) ให้ M1 กับพจน์และ A1 กับ $4320$ · คำสั่งเป็นคนเลือกให้ และการทำตามคำสั่งไม่มีคะแนนในตัวเอง
In the expansion of $(2+ax)^{6}$, the coefficient of $x^2$ is $2160$. Find the possible values of $a$, and hence find the coefficient of $x^3$ in the expansion.
Answershow ▾
Questions 5 and 7 back to back: solve for $a$ first, then use the positive root to find the next coefficient — every step of the exam question, in order.
In the expansion of $(1 + ax)^{4}$, the coefficient of $x^2$ is $6$.
(a) Find the possible value(s) of $a$.
(b) Using the positive value of $a$, find the coefficient of $x^3$ in the expansion.
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
In the expansion of $(2 + ax)^{6}$, the coefficient of $x^2$ is $2160$.
(a) Find the possible value(s) of $a$.
(b) Using the positive value of $a$, find the coefficient of $x^3$ in the expansion.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4 and 5 build and solve part (a); questions 6 and 7 build and solve part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
First four terms, fraction bracket สี่พจน์แรก จากวงเล็บเศษส่วน
Find the first four terms, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $\left(2+\dfrac38 x\right)^{10}$. Give each coefficient as an integer.
หาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินาม (binomial expansion) ของ $\left(2+\dfrac38 x\right)^{10}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก ให้สัมประสิทธิ์แต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็ม
Evaluate $\binom{10}{3}$ using the nCr button.
จงคำนวณ $\binom{10}{3}$ โดยใช้ปุ่ม nCr
Answershow ▾
nCr jumps straight to the value, without listing every term.nCr กระโดดไปหาค่าที่ต้องการได้เลย โดยไม่ต้องไล่เขียนทุกพจน์
Evaluate $2^{7}$.
จงคำนวณ $2^{7}$
Answershow ▾
This power appears again in the $x^{3}$ term.กำลังนี้จะกลับมาอีกครั้งในพจน์ $x^{3}$
Simplify $\left(\dfrac38\right)^{3}$.
จงดำเนินการ $\left(\dfrac38\right)^{3}$ ให้เรียบร้อย
Answershow ▾
Cube the top and the bottom separately: $3^{3}=27$, $8^{3}=512$.ยกกำลังสามทั้งตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน: $3^{3}=27$, $8^{3}=512$
To find the term in $x^{2}$ of $\left(2+\dfrac38x\right)^{10}$, which is the correct general term?
(A) $\binom{10}{2}2^{8}\left(\dfrac38\right)^{2}x^{2}$
(B) $\binom{10}{2}2^{8}\left(\dfrac38\right)x^{2}$
(C) $\binom{10}{2}2^{2}\left(\dfrac38\right)^{8}x^{2}$
หาพจน์ $x^{2}$ ของ $\left(2+\dfrac38x\right)^{10}$ พจน์ใดถูกต้อง
(A) $\binom{10}{2}2^{8}\left(\dfrac38\right)^{2}x^{2}$
(B) $\binom{10}{2}2^{8}\left(\dfrac38\right)x^{2}$
(C) $\binom{10}{2}2^{2}\left(\dfrac38\right)^{8}x^{2}$
Answershow ▾
(B) squares only the $x$, not $\dfrac38$ - the whole bracket must be raised. (C) swaps which base falls and which rises: the power of $2$ falls as the power of $\dfrac38$ rises, not the reverse.(B) ยกกำลังให้ $x$ เท่านั้น ไม่ยกกำลังให้ $\dfrac38$ - ต้องยกกำลังทั้งวงเล็บ (C) สลับฝั่งว่ากำลังไหนลด กำลังไหนเพิ่ม: กำลังของ $2$ ลดลงขณะที่กำลังของ $\dfrac38$ เพิ่มขึ้น ไม่ใช่สลับกัน
Find the constant term of $\left(2+\dfrac38x\right)^{10}$: this is $r=0$. Evaluate $2^{10}$.
จงหาพจน์ค่าคงที่ของ $\left(2+\dfrac38x\right)^{10}$: คือกรณี $r=0$ จงคำนวณ $2^{10}$
Answershow ▾
The constant term has no $x$ at all, so $r=0$.พจน์ค่าคงที่ไม่มี $x$ เลย ดังนั้น $r=0$
Using $\binom{10}{1}=10$ and $2^{9}=512$, find the $x$ term: $10\times512\times\dfrac38x$.
ใช้ $\binom{10}{1}=10$ และ $2^{9}=512$ จงหาพจน์ $x$: $10\times512\times\dfrac38x$
Answershow ▾
Multiply the nCr value, the power of $2$, and the fraction together.คูณค่า nCr กำลังของ $2$ และเศษส่วนเข้าด้วยกัน
Using $\binom{10}{2}=45$, $2^{8}=256$, and $\left(\dfrac38\right)^{2}=\dfrac{9}{64}$, find the $x^{2}$ term: $45\times256\times\dfrac{9}{64}x^{2}$.
ใช้ $\binom{10}{2}=45$, $2^{8}=256$ และ $\left(\dfrac38\right)^{2}=\dfrac{9}{64}$ จงหาพจน์ $x^{2}$: $45\times256\times\dfrac{9}{64}x^{2}$
Answershow ▾
The bracket's coefficient $\dfrac38$ is squared too, not just the $x$.สัมประสิทธิ์ $\dfrac38$ ในวงเล็บถูกยกกำลังสองด้วย ไม่ใช่แค่ $x$
Using $\binom{10}{3}=120$, $2^{7}=128$, and $\left(\dfrac38\right)^{3}=\dfrac{27}{512}$, find the $x^{3}$ term: $120\times128\times\dfrac{27}{512}x^{3}$.
ใช้ $\binom{10}{3}=120$, $2^{7}=128$ และ $\left(\dfrac38\right)^{3}=\dfrac{27}{512}$ จงหาพจน์ $x^{3}$: $120\times128\times\dfrac{27}{512}x^{3}$
Answershow ▾
Same three skills as rungs 4 to 6, now with $r=3$.สามทักษะเดิมจากข้อ 4 ถึง 6 แต่เปลี่ยนเป็น $r=3$
Check the $x^{2}$ coefficient $1620$ a different way: work out $256\times\dfrac{9}{64}$ first, then multiply by $45$.
จงตรวจสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ คือ $1620$ ด้วยลำดับอื่น: คำนวณ $256\times\dfrac{9}{64}$ ก่อน แล้วคูณด้วย $45$
Answershow ▾
Same three numbers, multiplied in a different order.เลขสามตัวเดิม สลับลำดับการคูณ ได้ผลลัพธ์เท่ากัน
Find the first three terms, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $\left(3+\dfrac{x}{3}\right)^{6}$.
จงหาสามพจน์แรกของการกระจายทวินาม $\left(3+\dfrac{x}{3}\right)^{6}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก
Answershow ▾
Same three moves: constant term, then $r=1$, then $r=2$, with $\dfrac{x}{3}$ in place of $\dfrac38x$.สามขั้นเดิม: พจน์คงที่ แล้ว $r=1$ แล้ว $r=2$ โดยใช้ $\dfrac{x}{3}$ แทน $\dfrac38x$
Find the first four terms, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $\left(2+\dfrac38 x\right)^{10}$. Give each coefficient as an integer.
หาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินาม (binomial expansion) ของ $\left(2+\dfrac38 x\right)^{10}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก ให้สัมประสิทธิ์แต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
4 marks: B1 for the constant term, M1 for setting up one term correctly, A1 for two of the three $x$-terms, A1 for all three terms fully simplified.4 คะแนน: B1 สำหรับพจน์คงที่ M1 สำหรับการตั้งพจน์หนึ่งพจน์อย่างถูกต้อง A1 สำหรับได้พจน์ $x$ ถูกสองในสาม พจน์ และ A1 สำหรับได้พจน์ $x$ ทั้งสามพจน์ในรูปอย่างง่ายครบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A rule fed twice, then summed ใช้สูตรเวียนเกิดซ้ำสองครั้ง แล้วรวมผลบวก
A sequence is defined by
$u_{1}=6$
$u_{n+1}=ku_{n}+3$
where $k$ is a positive constant.
(a) Find, in terms of $k$, an expression for $u_{3}$.
(b) Given that $\displaystyle\sum_{n=1}^{3}u_{n}=117$
find the value of $k$.
ลำดับหนึ่งนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation)
$u_{1}=6$
$u_{n+1}=ku_{n}+3$
โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่บวก
(ก) หาค่า $u_{3}$ ในรูปของ $k$
(ข) กำหนดให้ $\displaystyle\sum_{n=1}^{3}u_{n}=117$ โดยใช้สัญลักษณ์ซิกมา (sigma notation) แทนผลบวก $u_1+u_2+u_3$
จงหาค่า $k$
A sequence has $v_{1}=1$ and $v_{n+1}=2v_{n}+5$. Find $v_{2}$.
ลำดับหนึ่งมี $v_{1}=1$ และ $v_{n+1}=2v_{n}+5$ จงหา $v_{2}$
Answershow ▾
Put $n=1$ into the rule: double $v_{1}$, then add $5$.แทน $n=1$ ในสูตร: เอา $v_{1}$ คูณสอง แล้วบวก $5$
Expand $k(6k+3)$.
จงกระจาย $k(6k+3)$
Answershow ▾
Multiply $k$ into each term inside the bracket.คูณ $k$ เข้าไปในแต่ละพจน์ภายในวงเล็บ
Solve $2k^{2}+3k-35=0$.
จงแก้สมการ $2k^{2}+3k-35=0$
Answershow ▾
Check: $(2k-7)(k+5)$ gives $10k-7k=3k$.ตรวจ: $(2k-7)(k+5)$ ได้ $10k-7k=3k$
$u_{1}=6$ and $u_{n+1}=ku_{n}+3$. To find $u_{3}$, pick the first move.
(A) feed the rule twice: find $u_{2}$, then use it to find $u_{3}$
(B) multiply $u_{1}$ by $k$, twice: $u_{3}=k^{2}u_{1}$
(C) put $u_{1}$ into the rule with $n=3$ in one step: $u_{3}=ku_{1}+3$
$u_{1}=6$ และ $u_{n+1}=ku_{n}+3$ หากต้องการหา $u_{3}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ป้อนสูตรซ้ำสองครั้ง: หา $u_{2}$ ก่อน แล้วใช้หา $u_{3}$
(B) เอา $u_{1}$ คูณด้วย $k$ สองครั้ง: $u_{3}=k^{2}u_{1}$
(C) แทน $u_{1}$ ลงในสูตรโดยใช้ $n=3$ ในขั้นเดียว: $u_{3}=ku_{1}+3$
Answershow ▾
(B) multiplies only, so the $+3$ added each step disappears. (C) skips $u_{2}$: the rule gives only the next term from the one directly before it, never two terms ahead.(B) คูณอย่างเดียว ทำให้ $+3$ ที่บวกทุกขั้นหายไป · (C) ข้าม $u_{2}$ เพราะสูตรให้พจน์ถัดไปจากพจน์ก่อนหน้า ทันทีเพียงขั้นเดียว ไม่ใช่สองขั้นในทีเดียว
$u_{1}=6$ and $u_{n+1}=ku_{n}+3$. Find $u_{2}$, in terms of $k$.
$u_{1}=6$ และ $u_{n+1}=ku_{n}+3$ จงหา $u_{2}$ ในรูปของ $k$
Answershow ▾
Put $n=1$: $u_{2}=ku_{1}+3$.แทน $n=1$: $u_{2}=ku_{1}+3$
Use $u_{2}=6k+3$ in $u_{n+1}=ku_{n}+3$ to write $u_{3}$, before simplifying.
ใช้ $u_{2}=6k+3$ ในสูตร $u_{n+1}=ku_{n}+3$ เพื่อเขียน $u_{3}$ ก่อนจัดรูป
Answershow ▾
Put $n=2$: $u_{3}=ku_{2}+3$. Keep the bracket for now.แทน $n=2$: $u_{3}=ku_{2}+3$ ยังไม่ต้องกระจายวงเล็บ
Show that $u_{3}=k(6k+3)+3$ simplifies to $6k^{2}+3k+3$.
จงแสดงว่า $u_{3}=k(6k+3)+3$ จัดรูปได้เป็น $6k^{2}+3k+3$
Answershow ▾
Use question 2 for the bracket, then add the final $+3$.ใช้ข้อ 2 กระจายวงเล็บ แล้วบวก $+3$ ตัวสุดท้าย
$u_{1}=6$, $u_{2}=6k+3$, $u_{3}=6k^{2}+3k+3$, and $\displaystyle\sum_{n=1}^{3}u_{n}=117$. Pick the right way to use this.
(A) arithmetic sum: $S_{3}=\tfrac32(u_{1}+u_{3})$
(B) geometric sum: $S_{3}=\dfrac{u_{1}(1-k^{3})}{1-k}$
(C) add the three terms: $u_{1}+u_{2}+u_{3}=117$
$u_{1}=6$, $u_{2}=6k+3$, $u_{3}=6k^{2}+3k+3$ และ $\displaystyle\sum_{n=1}^{3}u_{n}=117$ จงเลือกวิธีที่ถูก
(A) สูตรผลบวกเลขคณิต: $S_{3}=\tfrac32(u_{1}+u_{3})$
(B) สูตรผลบวกเรขาคณิต: $S_{3}=\dfrac{u_{1}(1-k^{3})}{1-k}$
(C) บวกทั้งสามพจน์: $u_{1}+u_{2}+u_{3}=117$
Answershow ▾
(A) needs a constant difference between terms - this sequence does not have one. (B) needs a constant ratio - the $+3$ in the rule breaks that too. $\sum_{n=1}^{3}u_{n}$ just means $u_{1}+u_{2}+u_{3}$.(A) ต้องมีผลต่างคงที่ระหว่างพจน์ ซึ่งลำดับนี้ไม่มี · (B) ต้องมีอัตราส่วนคงที่ แต่ $+3$ ในสูตรทำให้ไม่เป็นเช่นนั้น · $\sum_{n=1}^{3}u_{n}$ หมายถึง $u_{1}+u_{2}+u_{3}$ เท่านั้น
Show that $6+(6k+3)+(6k^{2}+3k+3)=117$ simplifies to $2k^{2}+3k-35=0$.
จงแสดงว่า $6+(6k+3)+(6k^{2}+3k+3)=117$ จัดรูปได้เป็น $2k^{2}+3k-35=0$
Answershow ▾
Collect like terms first, then move the $117$, then divide by $3$.รวมพจน์ที่เหมือนกันก่อน แล้วย้าย $117$ แล้วหารด้วย $3$
Solve $2k^{2}+3k-35=0$, keep the positive root, then check it makes $u_{1}+u_{2}+u_{3}=117$.
จงแก้สมการ $2k^{2}+3k-35=0$ เลือกรากที่เป็นบวก แล้วตรวจว่าทำให้ $u_{1}+u_{2}+u_{3}=117$
Answershow ▾
$k$ is given as a positive constant, so $k=-5$ is rejected.โจทย์กำหนดให้ $k$ เป็นค่าคงที่บวก จึงตัด $k=-5$ ทิ้ง
A sequence has $u_{1}=2$ and $u_{n+1}=ku_{n}+1$, where $k$ is a positive constant.
(a) Find, in terms of $k$, an expression for $u_{3}$.
(b) Given that $\displaystyle\sum_{n=1}^{3}u_{n}=24$, find the value of $k$.
ลำดับหนึ่งมี $u_{1}=2$ และ $u_{n+1}=ku_{n}+1$ โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่บวก
(ก) หาค่า $u_{3}$ ในรูปของ $k$
(ข) กำหนดให้ $\displaystyle\sum_{n=1}^{3}u_{n}=24$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
Same four moves: feed the rule twice, add the three terms, solve the quadratic, reject the negative root.สี่ขั้นเดิม: ป้อนสูตรซ้ำสองครั้ง บวกสามพจน์ แก้สมการกำลังสอง ตัดรากลบทิ้ง
A sequence is defined by
$u_{1}=6$
$u_{n+1}=ku_{n}+3$
where $k$ is a positive constant.
(a) Find, in terms of $k$, an expression for $u_{3}$.
(b) Given that $\displaystyle\sum_{n=1}^{3}u_{n}=117$
find the value of $k$.
ลำดับหนึ่งนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation)
$u_{1}=6$
$u_{n+1}=ku_{n}+3$
โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่บวก
(ก) หาค่า $u_{3}$ ในรูปของ $k$
(ข) กำหนดให้ $\displaystyle\sum_{n=1}^{3}u_{n}=117$ โดยใช้สัญลักษณ์ซิกมา (sigma notation) แทนผลบวก $u_1+u_2+u_3$
จงหาค่า $k$
Answershow ▾
5 marks. 2 for $u_{3}$, 3 for forming and solving the quadratic - show every line.5 คะแนน · 2 คะแนนสำหรับ $u_{3}$ และ 3 คะแนนสำหรับการตั้งสมการและแก้สมการกำลังสอง · ต้องเขียนทุกบรรทัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Four terms, then the right x สี่พจน์ แล้วหาค่า x ที่ถูก
(a) Find the first four terms, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $(2-5x)^{8}$, giving each term in simplest form.
(b) This expansion is to be used to find an approximation for $2.05^{8}$.
State the value of $x$ that should be used. (There is no need to carry out this calculation.)
(ก) หาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินามของ $(2-5x)^{8}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก แต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) จะนำการกระจายนี้ไปใช้ประมาณค่า $2.05^{8}$
จงระบุค่า $x$ ที่ควรใช้ (ไม่ต้องคำนวณต่อ)
Work out $2^{8}$.
จงคำนวณ $2^{8}$
Answershow ▾
Multiply $2$ by itself $8$ times.คูณ $2$ ด้วยตัวเอง $8$ ครั้ง
Work out $\binom{8}{2}$.
จงคำนวณ $\binom{8}{2}$
Answershow ▾
$\binom{8}{2}=\dfrac{8\times7}{2\times1}$.$\binom{8}{2}=\dfrac{8\times7}{2\times1}$
Work out $(-5)^{2}$.
จงคำนวณ $(-5)^{2}$
Answershow ▾
A negative number squared is positive.จำนวนลบยกกำลังสอง ได้ผลเป็นบวก
Pick the correct general term for the binomial expansion of $(2-5x)^{8}$.
(A) $\binom{8}{k}2^{8-k}(5x)^{k}$
(B) $\binom{8}{k}2^{8-k}(-5x)^{k}$
(C) $\binom{8}{k}(2-5x)^{8-k}$
จงเลือกพจน์ทั่วไปที่ถูกต้องของการกระจาย $(2-5x)^{8}$
(A) $\binom{8}{k}2^{8-k}(5x)^{k}$
(B) $\binom{8}{k}2^{8-k}(-5x)^{k}$
(C) $\binom{8}{k}(2-5x)^{8-k}$
Answershow ▾
(A) drops the negative sign on the second term, so every odd power comes out with the wrong sign. (C) does not break the bracket into one term per $k$ at all.(A) ทิ้งเครื่องหมายลบของพจน์ที่สองไป ทำให้กำลังคี่ทุกพจน์ได้เครื่องหมายผิด · (C) ไม่ได้กระจายวงเล็บเป็นพจน์ย่อยทีละ $k$ เลย
Use $k=0$ in $\binom{8}{k}2^{8-k}(-5x)^{k}$ to find the constant term of $(2-5x)^{8}$.
จงใช้ $k=0$ ในสูตร $\binom{8}{k}2^{8-k}(-5x)^{k}$ เพื่อหาพจน์คงที่ของ $(2-5x)^{8}$
Answershow ▾
$(-5x)^{0}=1$, so the term is just $2^{8}$.$(-5x)^{0}=1$ พจน์นี้จึงเหลือแค่ $2^{8}$
Use $k=1$ in $\binom{8}{k}2^{8-k}(-5x)^{k}$ to find the $x$ term of $(2-5x)^{8}$.
จงใช้ $k=1$ ในสูตร $\binom{8}{k}2^{8-k}(-5x)^{k}$ เพื่อหาพจน์ $x$ ของ $(2-5x)^{8}$
Answershow ▾
$\binom{8}{1}=8$ and $2^{7}=128$, times the single $-5x$.$\binom{8}{1}=8$ และ $2^{7}=128$ คูณกับ $-5x$ หนึ่งตัว
Use $k=2$ in $\binom{8}{k}2^{8-k}(-5x)^{k}$ to find the $x^{2}$ term of $(2-5x)^{8}$.
จงใช้ $k=2$ ในสูตร $\binom{8}{k}2^{8-k}(-5x)^{k}$ เพื่อหาพจน์ $x^{2}$ ของ $(2-5x)^{8}$
Answershow ▾
$(-5x)^{2}$ is positive, since a negative squared is positive.$(-5x)^{2}$ เป็นบวก เพราะจำนวนลบยกกำลังสองได้ผลเป็นบวก
Use $k=3$ to find the $x^{3}$ term, then write the first four terms of $(2-5x)^{8}$ together.
จงใช้ $k=3$ หาพจน์ $x^{3}$ แล้วเขียนสี่พจน์แรกของ $(2-5x)^{8}$ รวมกัน
Answershow ▾
$(-5x)^{3}$ is negative, since a negative cubed stays negative.$(-5x)^{3}$ เป็นลบ เพราะจำนวนลบยกกำลังสามยังเป็นลบ
Part (b): $(2-5x)^{8}$ is used to approximate $2.05^{8}$. Which value of $x$ should be used?
(A) $x=0.05$
(B) $x=-0.01$
(C) $x=2.05$
ส่วน (ข): จะใช้ $(2-5x)^{8}$ ประมาณค่า $2.05^{8}$ ควรใช้ค่า $x$ ใด
(A) $x=0.05$
(B) $x=-0.01$
(C) $x=2.05$
Answershow ▾
(A) treats $0.05$ as $x$ itself, ignoring that the bracket is $2-5x$, not $2+x$. (C) uses the whole decimal as $x$, instead of matching it to the bracket.(A) เอา $0.05$ มาเป็น $x$ ตรงๆ ทั้งที่วงเล็บคือ $2-5x$ ไม่ใช่ $2+x$ · (C) เอาทศนิยมทั้งตัวมาเป็น $x$ แทนการจับคู่กับวงเล็บ
Part (b): solve $2-5x=2.05$ for $x$.
ส่วน (ข): จงแก้สมการ $2-5x=2.05$ เพื่อหา $x$
Answershow ▾
Subtract $2$ from both sides, then divide by $-5$.ลบ $2$ ออกจากทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $-5$
$(3-2x)^{4}$ is used to approximate $2.98^{4}$.
(a) Find the first four terms of the expansion, in ascending powers of $x$.
(b) State the value of $x$ that should be used.
จะใช้ $(3-2x)^{4}$ ประมาณค่า $2.98^{4}$
(ก) หาสี่พจน์แรกของการกระจาย เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก
(ข) จงระบุค่า $x$ ที่ควรใช้
Answershow ▾
Same four moves as the real question, with a smaller power.ใช้สี่ขั้นตอนเดิมเหมือนข้อสอบจริง แต่กำลังเล็กกว่า
(a) Find the first four terms, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $(2-5x)^{8}$, giving each term in simplest form.
(b) This expansion is to be used to find an approximation for $2.05^{8}$.
State the value of $x$ that should be used. (There is no need to carry out this calculation.)
(ก) หาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินามของ $(2-5x)^{8}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก แต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) จะนำการกระจายนี้ไปใช้ประมาณค่า $2.05^{8}$
จงระบุค่า $x$ ที่ควรใช้ (ไม่ต้องคำนวณต่อ)
Answershow ▾
5 marks: the constant term, one term set up, two of the $x$-terms, the full expansion, then matching $2-5x$ to $2.05$.5 คะแนน: พจน์คงที่ ตั้งพจน์หนึ่ง พจน์ $x$ ถูกสองในสาม การกระจายเต็ม แล้วจับคู่ $2-5x$ กับ $2.05$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Save more each week, hit a total ออมเพิ่มขึ้นทุกสัปดาห์ จนถึงยอดรวม
Adina is saving money to buy a new computer. She saves £5 in week 1, £5.25 in week 2, £5.50 in week 3 and so on until she has enough money, in total, to buy the computer. She decides to model her savings using either an arithmetic series or a geometric series.
Using the information given,
(a) (i) state with a reason whether an arithmetic series or a geometric series should be used,
(ii) write down an expression, in terms of $n$, for the amount, in pounds (£), saved in week $n$.
(b) Given that the computer Adina wants to buy costs £350
find the number of weeks it will take for Adina to save enough money to buy the computer.
Adina กำลังออมเงินเพื่อซื้อคอมพิวเตอร์เครื่องใหม่ เธอออม £5 ในสัปดาห์ที่ 1, £5.25 ในสัปดาห์ที่ 2, £5.50 ในสัปดาห์ที่ 3 และออมเพิ่มขึ้นในลักษณะนี้เรื่อยไปจนกว่าจะมีเงินรวมพอซื้อคอมพิวเตอร์ เธอตัดสินใจสร้างแบบจำลองการออมด้วยอนุกรมเลขคณิต (arithmetic series) หรืออนุกรมเรขาคณิต (geometric series) อย่างใดอย่างหนึ่ง
จากข้อมูลที่ให้มา
(ก) (i) ระบุพร้อมเหตุผลว่าควรใช้อนุกรมเลขคณิตหรืออนุกรมเรขาคณิต
(ii) เขียนนิพจน์ในรูปของ $n$ สำหรับจำนวนเงิน (หน่วย £) ที่ออมในสัปดาห์ที่ $n$
(ข) กำหนดให้คอมพิวเตอร์ที่ Adina ต้องการซื้อราคา £350
จงหาจำนวนสัปดาห์ที่ Adina ต้องออมจนมีเงินพอซื้อคอมพิวเตอร์
Adina saves £5 in week 1, £5.25 in week 2, £5.50 in week 3. Find the difference between each pair of consecutive savings.
Adina ออม £5 ในสัปดาห์ที่ 1, £5.25 ในสัปดาห์ที่ 2, £5.50 ในสัปดาห์ที่ 3 จงหาผลต่างระหว่างเงินออมของสัปดาห์ที่ติดกันแต่ละคู่
Answershow ▾
Subtract each term from the one after it.นำพจน์ถัดไปลบด้วยพจน์ก่อนหน้า
An arithmetic sequence has first term $a=5$ and common difference $d=0.25$. Use $u_n=a+(n-1)d$ to find the 10th term.
ลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่งมีพจน์แรก $a=5$ และผลต่างร่วม $d=0.25$ จงใช้ $u_n=a+(n-1)d$ หาพจน์ที่ 10
Answershow ▾
Put $n=10$ into the formula, then simplify.แทน $n=10$ ลงในสูตร แล้วจัดให้ง่าย
Use $S_n=\dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$ with $a=5$, $d=0.25$ to find $S_3$. Check it against $5+5.25+5.50$.
จงใช้ $S_n=\dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$ โดย $a=5$, $d=0.25$ หา $S_3$ แล้วตรวจกับ $5+5.25+5.50$
Answershow ▾
Put $n=3$ into the sum formula and simplify.แทน $n=3$ ลงในสูตรผลบวก แล้วจัดให้ง่าย
The weekly savings £5, £5.25, £5.50, ... keep increasing. Pick the series type, with the reason.
(A) geometric - each saving is a fixed multiple of the one before
(B) arithmetic - each saving is a fixed amount more than the one before
(C) geometric - the amounts keep changing every week
เงินออมรายสัปดาห์ของ Adina £5, £5.25, £5.50, ... เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จงเลือกชนิดของอนุกรม พร้อมเหตุผล
(A) เรขาคณิต - เงินออมแต่ละสัปดาห์เป็นผลคูณด้วยตัวเลขคงที่ของสัปดาห์ก่อน
(B) เลขคณิต - เงินออมแต่ละสัปดาห์มากกว่าสัปดาห์ก่อนด้วยจำนวนคงที่
(C) เรขาคณิต - เพราะจำนวนเงินเปลี่ยนไปทุกสัปดาห์
Answershow ▾
(A) fails: $5.25\div5=1.05$ but $5.50\div5.25\approx1.0476$, not the same ratio. (C) gives no real reason - every list of numbers changes; only a constant DIFFERENCE makes it arithmetic.(A) ผิด: $5.25\div5=1.05$ แต่ $5.50\div5.25\approx1.0476$ ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกัน (C) ไม่ใช่เหตุผลจริง - ตัวเลขชุดไหนก็เปลี่ยนไปทุกครั้ง มีเพียงผลต่างคงที่เท่านั้นที่ทำให้เป็นอนุกรมเลขคณิต
Using $a=5$ and $d=0.25$, write $u_n=a+(n-1)d$, then simplify it to the form $A+Bn$.
โดยใช้ $a=5$ และ $d=0.25$ จงเขียน $u_n=a+(n-1)d$ แล้วจัดรูปให้อยู่ในรูป $A+Bn$
Answershow ▾
Expand the bracket, then collect the constant terms.กระจายวงเล็บ แล้วรวมพจน์คงที่
Using $a=5$ and $d=0.25$, write $S_n=\dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$, then simplify the bracket.
โดยใช้ $a=5$ และ $d=0.25$ จงเขียน $S_n=\dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$ แล้วจัดรูปในวงเล็บให้ง่าย
Answershow ▾
$2(5)=10$, and $10+(n-1)(0.25)$ simplifies to $9.75+0.25n$.$2(5)=10$ และ $10+(n-1)(0.25)$ จัดรูปได้เป็น $9.75+0.25n$
Adina needs enough money IN TOTAL to buy the computer. Which equation should she set up?
(A) $u_n\geqslant350$
(B) $S_n\geqslant350$
(C) $n\times u_1\geqslant350$
Adina ต้องมีเงินรวมพอซื้อคอมพิวเตอร์ ควรตั้งสมการใด
(A) $u_n\geqslant350$
(B) $S_n\geqslant350$
(C) $n\times u_1\geqslant350$
Answershow ▾
(A) is only the saving in week $n$, not the running total. (C) assumes every week she saves the same as week $1$, ignoring that it increases.(A) คือเงินออมของสัปดาห์ที่ $n$ เท่านั้น ไม่ใช่ยอดรวม (C) สมมติว่าออมเท่ากับสัปดาห์ที่ $1$ ทุกสัปดาห์ ซึ่งไม่จริงเพราะเงินออมเพิ่มขึ้น
Starting from $\tfrac{n}{2}(9.75+0.25n)\geqslant350$, multiply out and collect terms to get a quadratic in the form $n^{2}+bn+c\geqslant0$.
จาก $\tfrac{n}{2}(9.75+0.25n)\geqslant350$ จงกระจายและจัดรูปให้อยู่ในรูปสมการกำลังสอง $n^{2}+bn+c\geqslant0$
Answershow ▾
Multiply both sides by $2$, then by $4$ to clear the decimal.คูณทั้งสองข้างด้วย $2$ แล้วคูณด้วย $4$ เพื่อกำจัดทศนิยม
Solve $n^{2}+39n-2800=0$. Give both roots to 1 decimal place, then reject the one that cannot be a number of weeks.
จงแก้สมการ $n^{2}+39n-2800=0$ ให้คำตอบทั้งสองค่าทศนิยม 1 ตำแหน่ง แล้วตัดคำตอบที่ เป็นจำนวนสัปดาห์ไม่ได้ทิ้ง
Answershow ▾
A negative number of weeks is impossible, so only the positive root is kept.จำนวนสัปดาห์ติดลบเป็นไปไม่ได้ จึงเก็บเฉพาะรากที่เป็นค่าบวก
Since $n=36.9$ is not a whole week, find $S_{36}$ and $S_{37}$ and state which is the first week with $S_n\geqslant350$.
เนื่องจาก $n=36.9$ ไม่ใช่สัปดาห์ที่เต็มจำนวน จงหา $S_{36}$ และ $S_{37}$ แล้วระบุว่า สัปดาห์แรกที่ $S_n\geqslant350$ คือสัปดาห์ใด
Answershow ▾
£$337.50$ is not enough yet, so the root is rounded UP, never down, to week $37$.£$337.50$ ยังไม่พอ จึงต้องปัดขึ้น ไม่ใช่ปัดลง เป็นสัปดาห์ที่ $37$
Ben saves £10 in week 1 and £2 more each week after that. Find the number of weeks it takes for Ben to save at least £250 in total.
Ben ออม £10 ในสัปดาห์ที่ 1 และเพิ่มขึ้นสัปดาห์ละ £2 จากสัปดาห์ก่อนหน้า จงหาจำนวนสัปดาห์ ที่ Ben ต้องออมจนมีเงินรวมอย่างน้อย £250
Answershow ▾
Same four moves: sum formula, quadratic, solve, round up to the first week that works.สี่ขั้นเดิม: สูตรผลบวก สมการกำลังสอง แก้สมการ ปัดขึ้นเป็นสัปดาห์แรกที่พอ
Adina is saving money to buy a new computer. She saves £5 in week 1, £5.25 in week 2, £5.50 in week 3 and so on until she has enough money, in total, to buy the computer. She decides to model her savings using either an arithmetic series or a geometric series.
Using the information given,
(a) (i) state with a reason whether an arithmetic series or a geometric series should be used,
(ii) write down an expression, in terms of $n$, for the amount, in pounds (£), saved in week $n$.
(b) Given that the computer Adina wants to buy costs £350
find the number of weeks it will take for Adina to save enough money to buy the computer.
Adina กำลังออมเงินเพื่อซื้อคอมพิวเตอร์เครื่องใหม่ เธอออม £5 ในสัปดาห์ที่ 1, £5.25 ในสัปดาห์ที่ 2, £5.50 ในสัปดาห์ที่ 3 และออมเพิ่มขึ้นในลักษณะนี้เรื่อยไปจนกว่าจะมีเงินรวมพอซื้อคอมพิวเตอร์ เธอตัดสินใจสร้างแบบจำลองการออมด้วยอนุกรมเลขคณิต (arithmetic series) หรืออนุกรมเรขาคณิต (geometric series) อย่างใดอย่างหนึ่ง
จากข้อมูลที่ให้มา
(ก) (i) ระบุพร้อมเหตุผลว่าควรใช้อนุกรมเลขคณิตหรืออนุกรมเรขาคณิต
(ii) เขียนนิพจน์ในรูปของ $n$ สำหรับจำนวนเงิน (หน่วย £) ที่ออมในสัปดาห์ที่ $n$
(ข) กำหนดให้คอมพิวเตอร์ที่ Adina ต้องการซื้อราคา £350
จงหาจำนวนสัปดาห์ที่ Adina ต้องออมจนมีเงินพอซื้อคอมพิวเตอร์
Answershow ▾
7 marks: 3 for (a) - the reason, the formula, its simplified form; 4 for (b) - the sum inequality, the quadratic, solving it, and rounding UP to a whole week.7 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับ (a) - เหตุผล สูตร และรูปอย่างง่าย; 4 คะแนนสำหรับ (b) - อสมการผลบวก สมการกำลังสอง การแก้สมการ และการปัดขึ้นเป็นสัปดาห์เต็ม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Percent growth, then a target โตร้อยละต่อปี แล้วถึงเป้าหมาย
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
A colony of bees is being studied. The number of bees in the colony at the start of the study was $30\,000$. Three years after the start of the study, the number of bees in the colony is $34\,000$. A model predicts that the number of bees in the colony will increase by $p\%$ each year, so that the number of bees in the colony at the end of each year of study forms a geometric sequence.
Assuming the model,
(a) find the value of $p$, giving your answer to 2 decimal places.
(b) According to the model, at the end of $N$ years of study the number of bees in the colony exceeds $75\,000$.
Find, showing all steps in your working, the smallest integer value of $N$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
มีการศึกษาประชากรผึ้งในรัง จำนวนผึ้งเมื่อเริ่มศึกษามี $30{,}000$ ตัว เมื่อผ่านไป 3 ปีนับจากเริ่มศึกษา จำนวนผึ้งในรังเป็น $34{,}000$ ตัว แบบจำลองคาดว่าจำนวนผึ้งในรังจะเพิ่มขึ้น $p\%$ ทุกปี ทำให้จำนวนผึ้งเมื่อสิ้นปีแต่ละปีของการศึกษาก่อตัวเป็นลำดับเรขาคณิต (geometric sequence)
สมมติว่าแบบจำลองนี้ถูกต้อง
(ก) จงหาค่า $p$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) ตามแบบจำลอง เมื่อสิ้นปีที่ $N$ ของการศึกษา จำนวนผึ้งในรังมากกว่า $75{,}000$ ตัว
จงหาค่า $N$ ที่เป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุด แสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
Solve $r^{3}=\dfrac{17}{15}$ for $r$, giving your answer to $4$ decimal places.
จงแก้สมการ $r^{3}=\dfrac{17}{15}$ หาค่า $r$ ทศนิยม $4$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Cube-rooting both sides undoes the cube on $r$.การถอดกรณฑ์ที่สามทั้งสองข้าง ทำให้เลขชี้กำลังสามของ $r$ หายไป
A year-on-year multiplier is $r=1.0426$. Work out the percentage increase $p$, to $2$ decimal places.
ตัวคูณในแต่ละปีคือ $r=1.0426$ จงหาค่าร้อยละที่เพิ่มขึ้น $p$ ทศนิยม $2$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Subtract $1$ from the multiplier, then multiply by $100$.ลบ $1$ ออกจากตัวคูณ แล้วคูณด้วย $100$
Solve $1.0426^{N} \gt 2.5$ for $N$, using logs. Do not round to a whole number yet.
จงแก้อสมการ $1.0426^{N} \gt 2.5$ หาค่า $N$ โดยใช้ลอการิทึม ยังไม่ต้องปัดเป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
Taking logs brings the exponent $N$ down to a multiplier.การหาค่าลอการิทึม ทำให้เลขชี้กำลัง $N$ ลงมาเป็นตัวคูณ
A colony grows by $p\%$ each year, for $3$ years, from $30\,000$ to $34\,000$. Pick the equation to set up.
(A) $30000+3\times0.01p\times30000=34000$
(B) $30000\times r^{3}=34000$, where $r=1+0.01p$
(C) $30000\times3r=34000$
รังผึ้งโตขึ้นร้อยละ $p$ ทุกปี เป็นเวลา $3$ ปี จาก $30{,}000$ เป็น $34{,}000$ ก่อตัวเป็นลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) จงเลือกสมการที่จะตั้ง
(A) $30000+3\times0.01p\times30000=34000$
(B) $30000\times r^{3}=34000$ โดยที่ $r=1+0.01p$
(C) $30000\times3r=34000$
Answershow ▾
(A) adds the same percent of the original $30\,000$ every year - that is simple growth, not growth repeated each year. (C) multiplies $r$ by $3$ instead of applying it three times; cubing is not the same as tripling.(A) บวกร้อยละของ $30{,}000$ เดิมทุกปี ซึ่งเป็นการเติบโตแบบคงต้น ไม่ใช่การเติบโตซ้ำทุกปี · (C) เอา $r$ ไปคูณด้วย $3$ แทนการใช้ $r$ ซ้ำสามครั้ง เพราะยกกำลังสามไม่เหมือนคูณสาม
Divide both sides of $30000r^{3}=34000$ by $2000$ to simplify it.
จงหารทั้งสองข้างของ $30000r^{3}=34000$ ด้วย $2000$ เพื่อย่อสมการ
Answershow ▾
$2000$ is the highest common factor of $30\,000$ and $34\,000$.$2000$ เป็นตัวหารร่วมมากของ $30{,}000$ และ $34{,}000$
Using $r^{3}=\dfrac{17}{15}$, find $r$ to $4$ decimal places.
จาก $r^{3}=\dfrac{17}{15}$ จงหาค่า $r$ ทศนิยม $4$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same cube-root move as the warm-up, now with the real equation.ขั้นถอดกรณฑ์ที่สามแบบเดิมจากแบบฝึก คราวนี้ใช้กับสมการจริง
Using $r=1.0426$, find $p$ to $2$ decimal places.
จาก $r=1.0426$ จงหาค่า $p$ ทศนิยม $2$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same percent conversion as the warm-up, now with the real $r$.ขั้นเปลี่ยนตัวคูณเป็นร้อยละแบบเดิม คราวนี้ใช้ค่า $r$ จริง
$(1.0426)^{N} \gt 2.5$, and $N$ is the exponent. Pick the method to solve for $N$.
(A) divide both sides by $r$
(B) take logs of both sides
(C) cube-root both sides
$(1.0426)^{N} \gt 2.5$ โดย $N$ อยู่บนเลขชี้กำลัง จงเลือกวิธีแก้หาค่า $N$
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $r$
(B) หาค่าลอการิทึมทั้งสองข้าง
(C) ถอดกรณฑ์ที่สามทั้งสองข้าง
Answershow ▾
(A) dividing by $r$ still leaves $N$ in the exponent, it does not isolate it. (C) a cube root undoes a cube; the power here is $N$, not $3$, so cube-rooting does nothing useful.(A) การหารด้วย $r$ ยังเหลือ $N$ อยู่บนเลขชี้กำลัง ไม่ได้แยก $N$ ออกมา · (C) การถอดกรณฑ์ที่สามใช้ลบเลขชี้กำลังสาม แต่ที่นี่เลขชี้กำลังคือ $N$ ไม่ใช่ $3$ จึงไม่ช่วยอะไร
The colony exceeds $75\,000$ bees after $N$ years. Set up the inequality, then simplify it by dividing by $30\,000$.
รังผึ้งมีจำนวนมากกว่า $75{,}000$ ตัว หลังผ่าน $N$ ปี จงตั้งอสมการ แล้วหารทั้งสองข้างด้วย $30{,}000$ เพื่อย่อ
Answershow ▾
Dividing by $30\,000$ turns the target into a pure ratio.การหารด้วย $30{,}000$ ทำให้เป้าหมายเหลือเป็นอัตราส่วนล้วนๆ
Check the boundary: is $(1.0426)^{21} \gt 2.5$? Is $(1.0426)^{22} \gt 2.5$?
จงตรวจค่าขอบเขต: $(1.0426)^{21} \gt 2.5$ จริงหรือไม่ แล้ว $(1.0426)^{22} \gt 2.5$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
$N$ must be the first whole number where the inequality holds.$N$ ต้องเป็นจำนวนเต็มตัวแรกที่ทำให้อสมการเป็นจริง
A population starts at $1000$ and is $1331$ after $3$ years, growing by the same percent each year. Find the smallest integer $N$ such that the population exceeds $2500$.
ประชากรกลุ่มหนึ่งเริ่มที่ $1000$ และเป็น $1331$ หลังผ่าน $3$ ปี โดยโตขึ้นร้อยละเท่าเดิมทุกปี จงหาค่า $N$ ที่เป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ทำให้ประชากรมากกว่า $2500$
Answershow ▾
Same three moves: cube-root for $r$, convert to $p$, then logs for $N$.สามขั้นเดิม: ถอดกรณฑ์ที่สามหา $r$ เปลี่ยนเป็น $p$ แล้วหาค่าลอการิทึมหา $N$
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
A colony of bees is being studied. The number of bees in the colony at the start of the study was $30\,000$. Three years after the start of the study, the number of bees in the colony is $34\,000$. A model predicts that the number of bees in the colony will increase by $p\%$ each year, so that the number of bees in the colony at the end of each year of study forms a geometric sequence.
Assuming the model,
(a) find the value of $p$, giving your answer to 2 decimal places.
(b) According to the model, at the end of $N$ years of study the number of bees in the colony exceeds $75\,000$.
Find, showing all steps in your working, the smallest integer value of $N$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
มีการศึกษาประชากรผึ้งในรัง จำนวนผึ้งเมื่อเริ่มศึกษามี $30{,}000$ ตัว เมื่อผ่านไป 3 ปีนับจากเริ่มศึกษา จำนวนผึ้งในรังเป็น $34{,}000$ ตัว แบบจำลองคาดว่าจำนวนผึ้งในรังจะเพิ่มขึ้น $p\%$ ทุกปี ทำให้จำนวนผึ้งเมื่อสิ้นปีแต่ละปีของการศึกษาก่อตัวเป็นลำดับเรขาคณิต (geometric sequence)
สมมติว่าแบบจำลองนี้ถูกต้อง
(ก) จงหาค่า $p$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) ตามแบบจำลอง เมื่อสิ้นปีที่ $N$ ของการศึกษา จำนวนผึ้งในรังมากกว่า $75{,}000$ ตัว
จงหาค่า $N$ ที่เป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุด แสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
Answershow ▾
8 marks: 3 for $p$ (cube-root then convert), 5 for $N$ (set up, simplify, take logs, solve).8 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับ $p$ (ถอดกรณฑ์ที่สามแล้วเปลี่ยนเป็นร้อยละ) 5 คะแนนสำหรับ $N$ (ตั้งสมการ ย่อ หาค่าลอการิทึม แล้วแก้)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Prove $S_n$, find $r$ then $S_{13}$ พิสูจน์ $S_n$ หา $r$ แล้วหา $S_{13}$
A geometric series has first term $a$ and common ratio $r$.
(a) Prove that the sum of the first $n$ terms of this series is given by
$S_n=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
(b) Given that the second term of a geometric series is $-320$ and the fifth term is $\dfrac{512}{25}$
find the value of the common ratio.
(c) Hence find the sum of the first $13$ terms of the series, giving your answer to 2 decimal places.
อนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหนึ่งมีพจน์แรก $a$ และอัตราส่วนร่วม (common ratio) $r$
(ก) จงพิสูจน์ว่าผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมนี้คือ
$S_n=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
(ข) กำหนดให้พจน์ที่สองของอนุกรมเรขาคณิตเท่ากับ $-320$ และพจน์ที่ห้าเท่ากับ $\dfrac{512}{25}$
จงหาค่าอัตราส่วนร่วม
(ค) จากนั้นหาผลบวก 13 พจน์แรกของอนุกรม ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
A geometric series is $S_4=a+ar+ar^{2}+ar^{3}$. Multiply every term by $r$ to write $rS_4$.
อนุกรมเรขาคณิตหนึ่งคือ $S_4=a+ar+ar^{2}+ar^{3}$ จงคูณทุกพจน์ด้วย $r$ เพื่อเขียน $rS_4$
Answershow ▾
Multiplying by $r$ adds one to every power of $r$.การคูณด้วย $r$ ทำให้เลขชี้กำลังของทุกพจน์เพิ่มขึ้นหนึ่ง
A geometric series has first term $a$ and common ratio $r$. Using $u_n=ar^{n-1}$, write the 2nd term and the 5th term.
อนุกรมเรขาคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $a$ และอัตราส่วนร่วม $r$ โดยใช้ $u_n=ar^{n-1}$ จงเขียนพจน์ที่ 2 และพจน์ที่ 5
Answershow ▾
Put $n=2$ and $n=5$ into $u_n=ar^{n-1}$.แทน $n=2$ และ $n=5$ ลงใน $u_n=ar^{n-1}$
Find the cube root of $-\dfrac{8}{125}$.
จงหารากที่สามของ $-\dfrac{8}{125}$
Answershow ▾
$\left(-\dfrac25\right)^{3}=-\dfrac{8}{125}$, so the cube root is negative.$\left(-\dfrac25\right)^{3}=-\dfrac{8}{125}$ ดังนั้นรากที่สามเป็นค่าลบ
A geometric series has first term $a$ and common ratio $r$. Write $S_n$ as a series, write $rS_n$ as a series, then subtract $rS_n$ from $S_n$.
อนุกรมเรขาคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $a$ และอัตราส่วนร่วม $r$ จงเขียน $S_n$ เป็นอนุกรม เขียน $rS_n$ เป็นอนุกรม แล้วนำ $rS_n$ ไปลบออกจาก $S_n$
Answershow ▾
Every term except the first and the last cancels.ทุกพจน์ยกเว้นพจน์แรกและพจน์สุดท้ายตัดกันหมด
$S_n-rS_n=a-ar^{n}$. Factorise each side, divide by $1-r$, then write the result with $r-1$ on the bottom instead of $1-r$.
$S_n-rS_n=a-ar^{n}$ จงแยกตัวประกอบทั้งสองข้าง หารด้วย $1-r$ แล้วเขียนผลลัพธ์ให้มี $r-1$ อยู่ด้านล่างแทน $1-r$
Answershow ▾
Multiply the top and the bottom by $-1$ to flip $1-r$ to $r-1$.คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $-1$ เพื่อเปลี่ยน $1-r$ เป็น $r-1$
$ar=-320$ and $ar^{4}=\dfrac{512}{25}$. Dividing $ar^{4}$ by $ar$ gives $r$ to which power, and can the result be negative?
(A) $r^{3}$, and yes — a negative number has a real cube root
(B) $r^{2}$, and yes
(C) $r^{3}$, but no — a negative number has no real cube root
$ar=-320$ และ $ar^{4}=\dfrac{512}{25}$ นำ $ar^{4}$ หารด้วย $ar$ ได้ $r$ ยกกำลังเท่าไร และคำตอบติดลบได้ไหม
(A) $r^{3}$ ได้ — จำนวนลบมีรากที่สามจริง
(B) $r^{2}$ ได้
(C) $r^{3}$ แต่ไม่ได้ — จำนวนลบไม่มีรากที่สามจริง
Answershow ▾
(B) divides the powers wrong: $4-1=3$, not $2$. (C) confuses a cube root with a square root — only a square root of a negative number is not real; a cube root always is.(B) คำนวณเลขชี้กำลังผิด $4-1=3$ ไม่ใช่ $2$ · (C) สับสนรากที่สามกับรากที่สอง มีแต่รากที่สองของจำนวนลบที่ไม่เป็นจำนวนจริง ส่วนรากที่สามเป็นจำนวนจริงได้เสมอ
$ar=-320$ and $ar^{4}=\dfrac{512}{25}$. Divide $ar^{4}$ by $ar$, then find $r$.
$ar=-320$ และ $ar^{4}=\dfrac{512}{25}$ จงนำ $ar^{4}$ หารด้วย $ar$ แล้วหา $r$
Answershow ▾
$a$ cancels, leaving $r^{3}=-\dfrac{8}{125}$, whose cube root is negative.$a$ ตัดกัน เหลือ $r^{3}=-\dfrac{8}{125}$ ซึ่งมีรากที่สามเป็นค่าลบ
Use $ar=-320$ with $r=-0.4$ to find $a$. Then write the expression for $S_{13}$ using the sum formula.
ใช้ $ar=-320$ กับ $r=-0.4$ หา $a$ จากนั้นเขียนนิพจน์ของ $S_{13}$ โดยใช้สูตรผลบวก
Answershow ▾
$S_{13}$ needs $a$, $r$ and $n=13$, so find $a$ first.$S_{13}$ ต้องใช้ทั้ง $a$, $r$ และ $n=13$ จึงต้องหา $a$ ก่อน
Evaluate $S_{13}=\dfrac{800\left((-0.4)^{13}-1\right)}{-0.4-1}$, giving your answer to 2 decimal places.
จงคำนวณ $S_{13}=\dfrac{800\left((-0.4)^{13}-1\right)}{-0.4-1}$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$(-0.4)^{13}$ is a tiny negative number, so it barely changes the result.$(-0.4)^{13}$ เป็นจำนวนลบขนาดเล็กมาก จึงเปลี่ยนผลลัพธ์แทบไม่ได้
A geometric series has second term $6$ and fifth term $48$. Find the sum of the first $5$ terms.
อนุกรมเรขาคณิตหนึ่งมีพจน์ที่สองเท่ากับ $6$ และพจน์ที่ห้าเท่ากับ $48$ จงหาผลบวก $5$ พจน์แรก
Answershow ▾
Same three moves: divide for $r$, find $a$, then use the sum formula.สามขั้นเดิม: หารเพื่อหา $r$ หา $a$ แล้วใช้สูตรผลบวก
A geometric series has first term $a$ and common ratio $r$.
(a) Prove that the sum of the first $n$ terms of this series is given by
$S_n=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
(b) Given that the second term of a geometric series is $-320$ and the fifth term is $\dfrac{512}{25}$
find the value of the common ratio.
(c) Hence find the sum of the first $13$ terms of the series, giving your answer to 2 decimal places.
อนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหนึ่งมีพจน์แรก $a$ และอัตราส่วนร่วม (common ratio) $r$
(ก) จงพิสูจน์ว่าผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมนี้คือ
$S_n=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
(ข) กำหนดให้พจน์ที่สองของอนุกรมเรขาคณิตเท่ากับ $-320$ และพจน์ที่ห้าเท่ากับ $\dfrac{512}{25}$
จงหาค่าอัตราส่วนร่วม
(ค) จากนั้นหาผลบวก 13 พจน์แรกของอนุกรม ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
8 marks: 3 for the proof, 2 for $r$, 3 for $a$ and $S_{13}$.8 คะแนน 3 คะแนนสำหรับการพิสูจน์ 2 คะแนนสำหรับ $r$ และ 3 คะแนนสำหรับ $a$ กับ $S_{13}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Same two facts, two growth models ข้อมูลสองอย่างเดิม สองแบบจำลองการโต
Wheat is grown on a farm.
• In year 1, the farm produced $300$ tonnes of wheat.
• In year 12, the farm is predicted to produce $4000$ tonnes of wheat.
Model A assumes that the amount of wheat produced on the farm will increase by the same amount each year.
(a) Using model A, find the amount of wheat produced on the farm in year 4. Give your answer to the nearest 10 tonnes.
(b) Model B assumes that the amount of wheat produced on the farm will increase by the same percentage each year.
Using model B, find the amount of wheat produced on the farm in year 2. Give your answer to the nearest 10 tonnes.
(c) Calculate, according to the two models, the difference between the total amounts of wheat predicted to be produced on the farm from year 1 to year 12 inclusive. Give your answer to the nearest 10 tonnes.
ไร่แห่งหนึ่งปลูกข้าวสาลี
• ปีที่ 1 ไร่ผลิตข้าวสาลีได้ $300$ ตัน
• ปีที่ 12 คาดว่าไร่จะผลิตข้าวสาลีได้ $4000$ ตัน
แบบจำลอง A สมมติว่าผลผลิตข้าวสาลีของไร่จะเพิ่มขึ้นเท่ากันทุกปี (อนุกรมเลขคณิต)
(ก) โดยใช้แบบจำลอง A จงหาผลผลิตข้าวสาลีของไร่ในปีที่ 4 ตอบเป็นสิบตันที่ใกล้ที่สุด
(ข) แบบจำลอง B สมมติว่าผลผลิตข้าวสาลีของไร่จะเพิ่มขึ้นในอัตราร้อยละเดียวกันทุกปี (อนุกรมเรขาคณิต)
โดยใช้แบบจำลอง B จงหาผลผลิตข้าวสาลีของไร่ในปีที่ 2 ตอบเป็นสิบตันที่ใกล้ที่สุด
(ค) จงคำนวณผลต่างของผลรวมผลผลิตข้าวสาลีที่คาดการณ์ไว้ ตั้งแต่ปีที่ 1 ถึงปีที่ 12 ตามแบบจำลองทั้งสอง ตอบเป็นสิบตันที่ใกล้ที่สุด
An AP has $a=5$ and $d=3$. Write the correct substitution for the $6$th term, $u_6$. Do not calculate yet.
ลำดับเลขคณิตมี $a=5$ และ $d=3$ จงเขียนการแทนค่าที่ถูกต้องสำหรับพจน์ที่ $6$ คือ $u_6$ ยังไม่ต้องคิดเลข
Answershow ▾
The 6th term is $5$ steps after the 1st, so the power/multiplier is $n-1$.พจน์ที่ 6 ห่างจากพจน์แรก $5$ ขั้น ดังนั้นตัวที่ใช้คือ $n-1$
A GP has $a=2$ and $r=3$. Write the correct substitution for the $6$th term, $u_6$. Do not calculate yet.
ลำดับเรขาคณิตมี $a=2$ และ $r=3$ จงเขียนการแทนค่าที่ถูกต้องสำหรับพจน์ที่ $6$ คือ $u_6$ ยังไม่ต้องคิดเลข
Answershow ▾
Same counting rule, but multiplying $5$ times instead of adding $5$ times.กฎการนับเดียวกัน แต่คูณซ้ำ $5$ ครั้ง แทนการบวกซ้ำ $5$ ครั้ง
Round $1309.09$ to the nearest $10$.
จงปัดเศษ $1309.09$ เป็นสิบที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
$1309.09$ is closer to $1310$ than to $1300$.$1309.09$ ใกล้ $1310$ มากกว่า $1300$
In model A, year $1$ gives $u_1=300$ and year $12$ gives $u_{12}=4000$. Pick the correct equation for $d$.
(A) $300+12d=4000$
(B) $300+11d=4000$
(C) $300\times12d=4000$
ในแบบจำลอง A ปีที่ $1$ ให้ $u_1=300$ และปีที่ $12$ ให้ $u_{12}=4000$ จงเลือกสมการที่ถูกต้องสำหรับ $d$
(A) $300+12d=4000$
(B) $300+11d=4000$
(C) $300\times12d=4000$
Answershow ▾
(A) counts year $12$ as $12$ steps from year $1$, but it is only $11$ steps later. (C) multiplies $d$ by $12$ instead of adding it $11$ times.(A) นับปีที่ $12$ เป็น $12$ ขั้นจากปีที่ $1$ แต่จริง ๆ ห่างกันแค่ $11$ ขั้น · (C) เอา $12$ ไปคูณกับ $d$ แทนการบวก $d$ ซ้ำ $11$ ครั้ง
Solve $300+11d=4000$ for $d$.
จงแก้สมการ $300+11d=4000$ หา $d$
Answershow ▾
Subtract $300$ from both sides, then divide by $11$.ลบ $300$ ออกจากทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $11$
Use $d=\dfrac{3700}{11}$ to find $u_4=300+3d$. Do not round yet.
ใช้ $d=\dfrac{3700}{11}$ หา $u_4=300+3d$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
$3d=\dfrac{11100}{11}$, then add $300$.$3d=\dfrac{11100}{11}$ แล้วบวก $300$
Round $1309.09\ldots$ to the nearest $10$ tonnes.
จงปัด $1309.09\ldots$ เป็นสิบตันที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
Same rounding rule as the warm-up, now on the real answer.กฎการปัดเศษเดิมจากข้อฝึกหัด นำมาใช้กับคำตอบจริง
Now for model B: $u_1=300$ and $u_{12}=4000$. Pick the correct equation for $r$.
(A) $300r^{12}=4000$
(B) $300r^{11}=4000$
(C) $300\times12r=4000$
ทีนี้แบบจำลอง B: $u_1=300$ และ $u_{12}=4000$ จงเลือกสมการที่ถูกต้องสำหรับ $r$
(A) $300r^{12}=4000$
(B) $300r^{11}=4000$
(C) $300\times12r=4000$
Answershow ▾
Same counting rule as model A: year $12$ is $11$ multiplications after year $1$, not $12$.กฎการนับเดียวกับแบบจำลอง A: ปีที่ $12$ คือการคูณซ้ำ $11$ ครั้งจากปีที่ $1$ ไม่ใช่ $12$ ครั้ง
Solve $300r^{11}=4000$ for $r$, then use it to find $u_2=300r$. Round to the nearest $10$ tonnes.
จงแก้สมการ $300r^{11}=4000$ หา $r$ แล้วใช้หา $u_2=300r$ ปัดเศษเป็นสิบตันที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
Find $r$ first - keep it unrounded until the very end.หา $r$ ก่อน แล้วไม่ปัดเศษ $r$ จนกว่าจะถึงขั้นสุดท้าย
Find $S_{12}$ for model A using $S_n=\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$, and $S_{12}$ for model B using $S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$. State the difference, to the nearest $10$ tonnes.
จงหา $S_{12}$ ของแบบจำลอง A ด้วย $S_n=\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$ และ $S_{12}$ ของแบบจำลอง B ด้วย $S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ แล้วบอกผลต่าง ปัดเป็นสิบตันที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
Model A's total is exact; the rounding only touches model B's total, so keep $r$ unrounded throughout.ผลรวมของแบบจำลอง A เป็นค่าแน่นอน ความคลาดเคลื่อนจากการปัดจึงอยู่ที่แบบจำลอง B เท่านั้น จึงต้องไม่ปัด $r$ ตลอดการคำนวณ
The profit of a company, in thousands of USD, follows two models. In year $1$ it is $3$. In year $4$ it is predicted to be $24$.
Model A: the profit increases by the same amount each year. Using model A, find the profit in year $3$.
Model B: the profit increases by the same percentage each year. Using model B, find the profit in year $2$.
Find the difference between the total profit from year $1$ to year $4$ inclusive, under the two models.
กำไรของบริษัทหนึ่ง (หน่วยพันดอลลาร์สหรัฐ) เป็นไปตามสองแบบจำลอง ปีที่ $1$ กำไรเท่ากับ $3$ ปีที่ $4$ คาดว่าจะเป็น $24$
แบบจำลอง A: กำไรเพิ่มขึ้นเท่ากันทุกปี โดยใช้แบบจำลอง A จงหากำไรในปีที่ $3$
แบบจำลอง B: กำไรเพิ่มขึ้นในอัตราร้อยละเดียวกันทุกปี โดยใช้แบบจำลอง B จงหากำไรในปีที่ $2$
จงหาผลต่างของกำไรรวมตั้งแต่ปีที่ $1$ ถึงปีที่ $4$ ภายใต้แบบจำลองทั้งสอง
Answershow ▾
Same method as the real question: find $d$ and $r$, apply each once, then sum both totals.วิธีเดิมกับข้อสอบจริง: หา $d$ และ $r$ แล้วใช้แต่ละตัวหนึ่งครั้ง จากนั้นหาผลรวมทั้งสองแบบ
Wheat is grown on a farm.
• In year 1, the farm produced $300$ tonnes of wheat.
• In year 12, the farm is predicted to produce $4000$ tonnes of wheat.
Model A assumes that the amount of wheat produced on the farm will increase by the same amount each year.
(a) Using model A, find the amount of wheat produced on the farm in year 4. Give your answer to the nearest 10 tonnes.
(b) Model B assumes that the amount of wheat produced on the farm will increase by the same percentage each year.
Using model B, find the amount of wheat produced on the farm in year 2. Give your answer to the nearest 10 tonnes.
(c) Calculate, according to the two models, the difference between the total amounts of wheat predicted to be produced on the farm from year 1 to year 12 inclusive. Give your answer to the nearest 10 tonnes.
ไร่แห่งหนึ่งปลูกข้าวสาลี
• ปีที่ 1 ไร่ผลิตข้าวสาลีได้ $300$ ตัน
• ปีที่ 12 คาดว่าไร่จะผลิตข้าวสาลีได้ $4000$ ตัน
แบบจำลอง A สมมติว่าผลผลิตข้าวสาลีของไร่จะเพิ่มขึ้นเท่ากันทุกปี (อนุกรมเลขคณิต)
(ก) โดยใช้แบบจำลอง A จงหาผลผลิตข้าวสาลีของไร่ในปีที่ 4 ตอบเป็นสิบตันที่ใกล้ที่สุด
(ข) แบบจำลอง B สมมติว่าผลผลิตข้าวสาลีของไร่จะเพิ่มขึ้นในอัตราร้อยละเดียวกันทุกปี (อนุกรมเรขาคณิต)
โดยใช้แบบจำลอง B จงหาผลผลิตข้าวสาลีของไร่ในปีที่ 2 ตอบเป็นสิบตันที่ใกล้ที่สุด
(ค) จงคำนวณผลต่างของผลรวมผลผลิตข้าวสาลีที่คาดการณ์ไว้ ตั้งแต่ปีที่ 1 ถึงปีที่ 12 ตามแบบจำลองทั้งสอง ตอบเป็นสิบตันที่ใกล้ที่สุด
Answershow ▾
9 marks across three parts: model A's total is exact, so the rounding only affects model B's total and the final difference.9 คะแนน สามข้อย่อย: ผลรวมของแบบจำลอง A เป็นค่าแน่นอน ความคลาดเคลื่อนจากการปัดจึงอยู่ที่ผลรวมของแบบจำลอง B และผลต่างสุดท้ายเท่านั้น
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Huge term, then reject a ratio พจน์ใหญ่มาก แล้วตัดอัตราส่วนทิ้ง
(i) A geometric sequence has first term $4$ and common ratio $6$.
Given that the $n$th term is greater than $10^{100}$, find the minimum possible value of $n$.
(ii)(a) A different geometric sequence has first term $a$ and common ratio $r$.
Given that
• the second term of the sequence is $-6$
• the sum to infinity of the series is $25$
show that $25r^{2}-25r-6=0$
(ii)(b) Write down the solutions of $25r^{2}-25r-6=0$
(ii)(c) Hence state the value of $r$, giving a reason for your answer.
(ii)(d) Find the sum of the first $4$ terms of the series.
(i) ลำดับเรขาคณิตหนึ่งมีพจน์แรกเท่ากับ $4$ และอัตราส่วนร่วมเท่ากับ $6$
กำหนดให้พจน์ที่ $n$ มากกว่า $10^{100}$ จงหาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
(ii)(a) ลำดับเรขาคณิตอีกลำดับหนึ่งมีพจน์แรก $a$ และอัตราส่วนร่วม $r$
กำหนดให้
• พจน์ที่สองของลำดับเท่ากับ $-6$
• ผลบวกถึงอนันต์ของอนุกรมเท่ากับ $25$
จงแสดงว่า $25r^{2}-25r-6=0$
(ii)(b) เขียนคำตอบของสมการ $25r^{2}-25r-6=0$
(ii)(c) จากนั้นระบุค่า $r$ พร้อมให้เหตุผล
(ii)(d) จงหาผลบวก 4 พจน์แรกของอนุกรม
A geometric sequence has first term $4$ and common ratio $6$. Write an expression for its $n$th term.
ลำดับเรขาคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $4$ และอัตราส่วนร่วม $6$ จงเขียนนิพจน์สำหรับพจน์ที่ $n$
Answershow ▾
The $n$th term of a GP is $ar^{n-1}$.พจน์ที่ $n$ ของลำดับเรขาคณิตคือ $ar^{n-1}$
Solve $6^{x} \gt 50$ for $x$, using logs. Give your answer to $2$ decimal places.
จงแก้อสมการ $6^{x} \gt 50$ หาค่า $x$ โดยใช้ลอการิทึม ตอบเป็นทศนิยม $2$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Take logs of both sides, then divide by $\log6$.หาค่าลอการิทึมทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $\log6$
A value of $n$ satisfies $n-1 \gt 127.7\ldots$. Write the smallest whole number value of $n$.
ค่า $n$ ค่าหนึ่งทำให้ $n-1 \gt 127.7\ldots$ จงเขียนค่า $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด
Answershow ▾
A strict inequality needs the next whole number up, not the nearest one.อสมการเข้มงวดต้องใช้จำนวนเต็มถัดไปที่มากกว่า ไม่ใช่จำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด
The $n$th term of a GP with first term $a$ and ratio $r$ is $ar^{n-1}$. For $a=4$, $r=6$, pick the correct inequality to solve for $n$.
(A) $4(6)^{n} \gt 10^{100}$
(B) $4(6)^{n-1} \gt 10^{100}$
(C) $(4\times6)^{n-1} \gt 10^{100}$
พจน์ที่ $n$ ของลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก $a$ และอัตราส่วนร่วม $r$ คือ $ar^{n-1}$ สำหรับ $a=4$, $r=6$ จงเลือกอสมการที่ถูกต้องสำหรับ $n$
(A) $4(6)^{n} \gt 10^{100}$
(B) $4(6)^{n-1} \gt 10^{100}$
(C) $(4\times6)^{n-1} \gt 10^{100}$
Answershow ▾
(A) uses power $n$, but the formula has power $n-1$, which shifts the whole count by one. (C) multiplies $a$ and $r$ together first, changing every term.(A) ใช้เลขชี้กำลัง $n$ แต่สูตรมีเลขชี้กำลัง $n-1$ ทำให้ลำดับเลื่อนไปหนึ่ง · (C) เอา $a$ กับ $r$ คูณกันก่อน ซึ่งเปลี่ยนค่าพจน์ทุกพจน์
Set up the inequality $4(6)^{n-1} \gt 10^{100}$, then take logs of both sides.
จงตั้งอสมการ $4(6)^{n-1} \gt 10^{100}$ แล้วหาค่าลอการิทึมทั้งสองข้าง
Answershow ▾
The power law turns $\log(6^{n-1})$ into $(n-1)\log6$, and $\log(10^{100})=100$.กฎยกกำลังเปลี่ยน $\log(6^{n-1})$ เป็น $(n-1)\log6$ และ $\log(10^{100})=100$
Solve $\log4+(n-1)\log6 \gt 100$ for $n$, then round up to the smallest whole number.
จงแก้อสมการ $\log4+(n-1)\log6 \gt 100$ หาค่า $n$ แล้วปัดขึ้นเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด
Answershow ▾
$n-1 \gt 127.7\ldots$ gives $n \gt 128.7\ldots$, so the smallest whole number is $129$.$n-1 \gt 127.7\ldots$ ให้ $n \gt 128.7\ldots$ ดังนั้นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดคือ $129$
A GP has second term $ar=-6$ and sum to infinity $\dfrac{a}{1-r}=25$. Show that $25r^{2}-25r-6=0$.
ลำดับเรขาคณิตหนึ่งมีพจน์ที่สอง $ar=-6$ และผลบวกถึงอนันต์ $\dfrac{a}{1-r}=25$ จงแสดงว่า $25r^{2}-25r-6=0$
Answershow ▾
Write $a=\dfrac{-6}{r}$, substitute into the second equation, then clear both fractions.เขียน $a=\dfrac{-6}{r}$ แทนลงในสมการที่สอง แล้วกำจัดเศษส่วนทั้งหมด
The quadratic $25r^{2}-25r-6=0$ gives $r=\dfrac65$ and $r=-\dfrac15$. A sum to infinity needs $|r|\lt1$. Pick the correct next step.
(A) Keep both roots, since both solve the quadratic
(B) Reject $r=\dfrac65$, since $\left|\dfrac65\right|\geqslant1$
(C) Reject $r=-\dfrac15$, since it is negative
สมการกำลังสอง $25r^{2}-25r-6=0$ ให้ $r=\dfrac65$ และ $r=-\dfrac15$ ผลบวกถึงอนันต์ต้องการ $|r|\lt1$ จงเลือกขั้นต่อไปที่ถูกต้อง
(A) เก็บทั้งสองค่า เพราะทั้งคู่แก้สมการกำลังสองได้
(B) ตัด $r=\dfrac65$ ทิ้ง เพราะ $\left|\dfrac65\right|\geqslant1$
(C) ตัด $r=-\dfrac15$ ทิ้ง เพราะเป็นค่าลบ
Answershow ▾
(A) forgets a sum to infinity only exists when $|r|\lt1$. (C) confuses $r$ being negative with $|r|\geqslant1$; $\left|-\dfrac15\right|=\dfrac15\lt1$ is fine.(A) ลืมว่าผลบวกถึงอนันต์มีค่าได้ก็ต่อเมื่อ $|r|\lt1$ เท่านั้น · (C) สับสนระหว่าง $r$ เป็นลบ กับ $|r|\geqslant1$ เพราะ $\left|-\dfrac15\right|=\dfrac15\lt1$ ใช้ได้ปกติ
Solve $25r^{2}-25r-6=0$, then state the value of $r$ for this sequence, given that $|r|\lt1$ is needed.
จงแก้สมการ $25r^{2}-25r-6=0$ แล้วระบุค่า $r$ ของลำดับนี้ โดยต้องการ $|r|\lt1$
Answershow ▾
Check by expanding $(5r-6)(5r+1)$ to get $25r^{2}-25r-6$, keeping only $r=-\dfrac15$ since $|r|\lt1$ is required.ตรวจโดยกระจาย $(5r-6)(5r+1)$ ได้ $25r^{2}-25r-6$ เก็บเฉพาะ $r=-\dfrac15$ เพราะต้องการ $|r|\lt1$
Using $r=-\dfrac15$, find $a$, then find $S_4$, the sum of the first $4$ terms.
ใช้ $r=-\dfrac15$ หาค่า $a$ แล้วหา $S_4$ ซึ่งคือผลบวก $4$ พจน์แรก
Answershow ▾
Find $a$ from $ar=-6$, then substitute into $S_n=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$ with $n=4$.หาค่า $a$ จาก $ar=-6$ แล้วแทนใน $S_n=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$ โดย $n=4$
(i) A geometric sequence has first term $3$ and common ratio $2$. Find the minimum $n$ for which the $n$th term is greater than $1000$.
(ii) A different GP has $ar=-4$ and sum to infinity $9$. Find the value of $r$, giving a reason, and the sum of its first $4$ terms.
(i) ลำดับเรขาคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $3$ และอัตราส่วนร่วม $2$ จงหาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่พจน์ที่ $n$ มากกว่า $1000$
(ii) ลำดับเรขาคณิตอีกลำดับหนึ่งมี $ar=-4$ และผลบวกถึงอนันต์ $9$ จงหาค่า $r$ พร้อมให้เหตุผล และผลบวก $4$ พจน์แรก
Answershow ▾
Same two methods: logs for the inequality, then the quadratic and the $|r|\lt1$ rule for the GP.สองวิธีเดิม: ลอการิทึมสำหรับอสมการ แล้วสมการกำลังสองกับเงื่อนไข $|r|\lt1$ สำหรับลำดับเรขาคณิต
(i) A geometric sequence has first term $4$ and common ratio $6$.
Given that the $n$th term is greater than $10^{100}$, find the minimum possible value of $n$.
(ii)(a) A different geometric sequence has first term $a$ and common ratio $r$.
Given that
• the second term of the sequence is $-6$
• the sum to infinity of the series is $25$
show that $25r^{2}-25r-6=0$
(ii)(b) Write down the solutions of $25r^{2}-25r-6=0$
(ii)(c) Hence state the value of $r$, giving a reason for your answer.
(ii)(d) Find the sum of the first $4$ terms of the series.
(i) ลำดับเรขาคณิตหนึ่งมีพจน์แรกเท่ากับ $4$ และอัตราส่วนร่วมเท่ากับ $6$
กำหนดให้พจน์ที่ $n$ มากกว่า $10^{100}$ จงหาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
(ii)(a) ลำดับเรขาคณิตอีกลำดับหนึ่งมีพจน์แรก $a$ และอัตราส่วนร่วม $r$
กำหนดให้
• พจน์ที่สองของลำดับเท่ากับ $-6$
• ผลบวกถึงอนันต์ของอนุกรมเท่ากับ $25$
จงแสดงว่า $25r^{2}-25r-6=0$
(ii)(b) เขียนคำตอบของสมการ $25r^{2}-25r-6=0$
(ii)(c) จากนั้นระบุค่า $r$ พร้อมให้เหตุผล
(ii)(d) จงหาผลบวก 4 พจน์แรกของอนุกรม
Answershow ▾
10 marks: logs for (i); the quadratic, the $|r|\lt1$ rule, and $S_4$ for (ii).10 คะแนน: ลอการิทึมสำหรับข้อ (i) · สมการกำลังสอง เงื่อนไข $|r|\lt1$ และ $S_4$ สำหรับข้อ (ii)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two savers, a quadratic ผู้ออมสองคน สมการกำลังสอง
Ben is saving for the deposit for a house over a period of $60$ months.
Ben saves £100 in the first month and in each subsequent month, he saves £5 more than the previous month, so that he saves £105 in the second month, £110 in the third month, and so on, forming an arithmetic sequence.
(a) Find the amount Ben saves in the 40th month.
(b) Find the total amount Ben saves over the 60-month period.
(c) Lina is also saving for a deposit for a house.
Lina saves £600 in the first month and in each subsequent month, she saves £10 less than the previous month, so that she saves £590 in the second month, £580 in the third month, and so on, forming an arithmetic sequence.
Given that, after $n$ months, Lina will have saved exactly £18200 for her deposit,
form an equation in $n$ and show that it can be written as
$n^{2}-121n+3640=0$
(d) Solve the equation in part (c).
(e) State, with a reason, which of the solutions to the equation in part (c) is not a sensible value for $n$.
Ben กำลังออมเงินมัดจำซื้อบ้านเป็นเวลา $60$ เดือน
Ben ออม £100 ในเดือนแรก และในแต่ละเดือนถัดไปออมเพิ่มขึ้นจากเดือนก่อน £5 กล่าวคือออม £105 ในเดือนที่ 2, £110 ในเดือนที่ 3 และเพิ่มขึ้นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ก่อตัวเป็นลำดับเลขคณิต
(ก) จงหาจำนวนเงินที่ Ben ออมในเดือนที่ 40
(ข) จงหาจำนวนเงินรวมที่ Ben ออมตลอดช่วง 60 เดือน
(ค) Lina ก็กำลังออมเงินมัดจำซื้อบ้านเช่นกัน
Lina ออม £600 ในเดือนแรก และในแต่ละเดือนถัดไปออมลดลงจากเดือนก่อน £10 กล่าวคือออม £590 ในเดือนที่ 2, £580 ในเดือนที่ 3 และลดลงเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ก่อตัวเป็นลำดับเลขคณิต
กำหนดให้หลังจากผ่านไป $n$ เดือน Lina ออมเงินได้ครบ £18200 พอดี
จงตั้งสมการในรูปของ $n$ และแสดงว่าเขียนได้เป็น
$n^{2}-121n+3640=0$
(ง) จงแก้สมการในข้อ (c)
(จ) จงระบุพร้อมเหตุผลว่าคำตอบใดในข้อ (c) ไม่ใช่ค่าที่สมเหตุสมผลสำหรับ $n$
Ben saves £100 in month 1 and £5 more each month. Find the amount he saves in month 6.
Ben ออม £100 ในเดือนแรก และออมเพิ่มขึ้นเดือนละ £5 จงหาจำนวนเงินที่เขาออมในเดือนที่ 6
Answershow ▾
Use $u_{n}=a+(n-1)d$ with $n=6$.ใช้ $u_{n}=a+(n-1)d$ โดย $n=6$
Ben saves £100 in month 1 and £5 more each month. Find the total he saves over 6 months.
Ben ออม £100 ในเดือนแรก และออมเพิ่มขึ้นเดือนละ £5 จงหาจำนวนเงินรวมที่เขาออมตลอด 6 เดือน
Answershow ▾
Use $S_{n}=\tfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$ with $n=6$.ใช้ $S_{n}=\tfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$ โดย $n=6$
Lina saves £600 in month 1 and £10 less each month. Find the amount she saves in month 4.
Lina ออม £600 ในเดือนแรก และออมลดลงเดือนละ £10 จงหาจำนวนเงินที่เธอออมในเดือนที่ 4
Answershow ▾
$d=-10$ here, so each step subtracts $10$.ที่นี่ $d=-10$ แต่ละขั้นจึงลบ $10$
Part (a) asks for the amount Ben saves in the 40th month. Pick the first move.
(A) $u_{40}=100+39(5)$
(B) $S_{40}=\tfrac{40}{2}\left(2(100)+39(5)\right)$
(C) $100+40(5)$
ข้อ (a) ถามจำนวนเงินที่ Ben ออมในเดือนที่ 40 จงเลือกขั้นแรก
(A) $u_{40}=100+39(5)$
(B) $S_{40}=\tfrac{40}{2}\left(2(100)+39(5)\right)$
(C) $100+40(5)$
Answershow ▾
"In the 40th month" asks for ONE term, not a running total, so (B) is wrong. (C) adds $5$ a full $40$ times, but month 1 has had no increase yet - that is only $39$ jumps."ในเดือนที่ 40" ถามหาพจน์เดียว ไม่ใช่ผลรวม จึง (B) ผิด · (C) บวก $5$ ครบ $40$ ครั้ง แต่เดือนแรกยังไม่เพิ่มเลย จึงมีแค่ $39$ ครั้ง
Find the amount Ben saves in the 40th month.
จงหาจำนวนเงินที่ Ben ออมในเดือนที่ 40
Answershow ▾
$a=100$, $d=5$, $n=40$.$a=100$, $d=5$, $n=40$
Find the total amount Ben saves over the 60-month period.
จงหาจำนวนเงินรวมที่ Ben ออมตลอดช่วง 60 เดือน
Answershow ▾
$a=100$, $d=5$, $n=60$ in the sum formula.$a=100$, $d=5$, $n=60$ ในสูตรผลบวก
Lina has saved exactly £18200 after $n$ months. Which equation matches this?
(A) $u_{n}=18200$
(B) $S_{n}=\tfrac{n}{2}\left(2(600)+(n-1)(-10)\right)=18200$
(C) $600n=18200$
Lina ออมเงินได้ครบ £18200 พอดีหลังจากผ่านไป $n$ เดือน สมการใดตรงกับสิ่งนี้
(A) $u_{n}=18200$
(B) $S_{n}=\tfrac{n}{2}\left(2(600)+(n-1)(-10)\right)=18200$
(C) $600n=18200$
Answershow ▾
"Saved exactly £18200" is a running total, so it needs $S_{n}$, not a single term. (C) uses £600 every month, ignoring that each month saves £10 less."ออมได้ครบ £18200" คือยอดรวมสะสม จึงต้องใช้ $S_{n}$ ไม่ใช่พจน์เดียว · (C) ใช้ £600 ทุกเดือน โดยไม่สนว่าแต่ละเดือนออมลดลง £10
Lina saves £600 in month 1 and £10 less each month. Form an equation in $n$, given she has saved exactly £18200 after $n$ months, and show it can be written as $n^{2}-121n+3640=0$.
Lina ออม £600 ในเดือนแรก และออมลดลงเดือนละ £10 จงตั้งสมการในรูปของ $n$ กำหนดให้เธอออมเงินได้ครบ £18200 พอดีหลังจากผ่านไป $n$ เดือน และแสดงว่าเขียนได้เป็น $n^{2}-121n+3640=0$
Answershow ▾
Expand the bracket, then move $18200$ across and divide every term by $-5$.กระจายวงเล็บ แล้วย้าย $18200$ ข้าม และหารทุกพจน์ด้วย $-5$
Solve the equation in part (c).
จงแก้สมการในข้อ (c)
Answershow ▾
Factorise: two numbers that multiply to $3640$ and add to $-121$.แยกตัวประกอบ: หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $3640$ และบวกกันได้ $-121$
Evaluate $u_{65}=600-10(64)$, Lina's saving in month 65.
จงคำนวณ $u_{65}=600-10(64)$ ซึ่งคือเงินที่ Lina ออมในเดือนที่ 65
Answershow ▾
A negative saving is impossible, so month 65 is rejected.เงินออมติดลบเป็นไปไม่ได้ จึงปฏิเสธคำตอบที่ $n=65$
Anya saves £20 in month 1 and £5 more each month, forming an arithmetic sequence.
(a) Find the amount Anya saves in month 6.
(b) Find the total amount Anya saves over 12 months.
(c) Bo saves £60 in month 1 and £5 less each month. Given that, after $n$ months, Bo has saved exactly £250, form an equation in $n$ and show it can be written as $n^{2}-25n+100=0$.
(d) Solve the equation in part (c).
(e) State, with a reason, which solution for $n$ is not sensible.
Anya ออม £20 ในเดือนแรก และออมเพิ่มขึ้นเดือนละ £5 ก่อตัวเป็นลำดับเลขคณิต
(ก) จงหาจำนวนเงินที่ Anya ออมในเดือนที่ 6
(ข) จงหาจำนวนเงินรวมที่ Anya ออมตลอด 12 เดือน
(ค) Bo ออม £60 ในเดือนแรก และออมลดลงเดือนละ £5 กำหนดให้หลังจากผ่านไป $n$ เดือน Bo ออมเงินได้ครบ £250 พอดี จงตั้งสมการในรูปของ $n$ และแสดงว่าเขียนได้เป็น $n^{2}-25n+100=0$
(ง) จงแก้สมการในข้อ (c)
(จ) จงระบุพร้อมเหตุผลว่าคำตอบใดสำหรับ $n$ ไม่สมเหตุสมผล
Answershow ▾
Same five moves: term, sum, form the equation, solve, then reject the root with a negative monthly saving.ห้าขั้นเดิม: หาพจน์ หาผลบวก ตั้งสมการ แก้สมการ แล้วปฏิเสธคำตอบที่ทำให้เงินออมรายเดือนติดลบ
Ben is saving for the deposit for a house over a period of $60$ months.
Ben saves £100 in the first month and in each subsequent month, he saves £5 more than the previous month, so that he saves £105 in the second month, £110 in the third month, and so on, forming an arithmetic sequence.
(a) Find the amount Ben saves in the 40th month.
(b) Find the total amount Ben saves over the 60-month period.
(c) Lina is also saving for a deposit for a house.
Lina saves £600 in the first month and in each subsequent month, she saves £10 less than the previous month, so that she saves £590 in the second month, £580 in the third month, and so on, forming an arithmetic sequence.
Given that, after $n$ months, Lina will have saved exactly £18200 for her deposit,
form an equation in $n$ and show that it can be written as
$n^{2}-121n+3640=0$
(d) Solve the equation in part (c).
(e) State, with a reason, which of the solutions to the equation in part (c) is not a sensible value for $n$.
Ben กำลังออมเงินมัดจำซื้อบ้านเป็นเวลา $60$ เดือน
Ben ออม £100 ในเดือนแรก และในแต่ละเดือนถัดไปออมเพิ่มขึ้นจากเดือนก่อน £5 กล่าวคือออม £105 ในเดือนที่ 2, £110 ในเดือนที่ 3 และเพิ่มขึ้นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ก่อตัวเป็นลำดับเลขคณิต
(ก) จงหาจำนวนเงินที่ Ben ออมในเดือนที่ 40
(ข) จงหาจำนวนเงินรวมที่ Ben ออมตลอดช่วง 60 เดือน
(ค) Lina ก็กำลังออมเงินมัดจำซื้อบ้านเช่นกัน
Lina ออม £600 ในเดือนแรก และในแต่ละเดือนถัดไปออมลดลงจากเดือนก่อน £10 กล่าวคือออม £590 ในเดือนที่ 2, £580 ในเดือนที่ 3 และลดลงเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ก่อตัวเป็นลำดับเลขคณิต
กำหนดให้หลังจากผ่านไป $n$ เดือน Lina ออมเงินได้ครบ £18200 พอดี
จงตั้งสมการในรูปของ $n$ และแสดงว่าเขียนได้เป็น
$n^{2}-121n+3640=0$
(ง) จงแก้สมการในข้อ (c)
(จ) จงระบุพร้อมเหตุผลว่าคำตอบใดในข้อ (c) ไม่ใช่ค่าที่สมเหตุสมผลสำหรับ $n$
Answershow ▾
11 marks across five parts: a term, a sum, form the equation, solve it, then reject a root by checking the monthly saving.11 คะแนนใน 5 ข้อ: หาพจน์ หาผลบวก ตั้งสมการ แก้สมการ แล้วปฏิเสธคำตอบโดยตรวจเงินออมรายเดือน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two geometric series, one hidden อนุกรมเรขาคณิตสองแบบ หนึ่งแบบซ่อนอยู่
(i)(a) Find, in ascending powers of $x$, the 2nd, 3rd and 5th terms of the binomial expansion of $(3+2x)^{6}$
(i)(b) For a particular value of $x$, these three terms form consecutive terms in a geometric series.
Find this value of $x$.
(ii)(a) In a different geometric series,
• the first term is $\sin^{2}\theta$
• the common ratio is $2\cos\theta$
• the sum to infinity is $\dfrac85$
Show that $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0$
(ii)(b) Hence find the exact value of the 2nd term in the series.
(i)(a) หาพจน์ที่ 2, 3 และ 5 ของการกระจายทวินามของ $(3+2x)^{6}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก
(i)(b) สำหรับค่า $x$ ค่าหนึ่ง สามพจน์นี้ก่อตัวเป็นพจน์ติดกันของอนุกรมเรขาคณิต
จงหาค่า $x$ นี้
(ii)(a) อนุกรมเรขาคณิตอีกอนุกรมหนึ่งมี
• พจน์แรกเท่ากับ $\sin^{2}\theta$
• อัตราส่วนร่วมเท่ากับ $2\cos\theta$
• ผลบวกถึงอนันต์เท่ากับ $\dfrac85$
จงแสดงว่า $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0$
(ii)(b) จากนั้นหาค่า exact ของพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
Find the 4th term, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $(3+2x)^{6}$.
จงหาพจน์ที่ 4 ของการกระจายทวินามของ $(3+2x)^{6}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก
Answershow ▾
Term $k+1$ is $\binom{6}{k}3^{6-k}(2x)^{k}$; here $k=3$.พจน์ที่ $k+1$ คือ $\binom{6}{k}3^{6-k}(2x)^{k}$ โดย $k=3$
Write $\sin^{2}\theta$ in terms of $\cos\theta$ only.
จงเขียน $\sin^{2}\theta$ ในรูปของ $\cos\theta$ เท่านั้น
Answershow ▾
$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$, so move $\cos^{2}\theta$ across.$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ ดังนั้นย้าย $\cos^{2}\theta$ ข้าม
A geometric series has $\dfrac{a}{1-2\cos\theta}=\dfrac85$. Write this equation without a fraction.
อนุกรมเรขาคณิตหนึ่งมี $\dfrac{a}{1-2\cos\theta}=\dfrac85$ จงเขียนสมการนี้โดยไม่มีเศษส่วน
Answershow ▾
Multiply both sides by $5(1-2\cos\theta)$.คูณทั้งสองข้างด้วย $5(1-2\cos\theta)$
Find, in ascending powers of $x$, the 2nd, 3rd and 5th terms of the binomial expansion of $(3+2x)^{6}$.
จงหาพจน์ที่ 2, 3 และ 5 ของการกระจายทวินามของ $(3+2x)^{6}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก
Answershow ▾
Use the term formula at $k=1$, $k=2$ and $k=4$.ใช้สูตรพจน์ที่ $k=1$, $k=2$ และ $k=4$
These three terms, $2916x$, $4860x^{2}$ and $2160x^{4}$, form consecutive terms of a GP for some $x$. Pick the first move.
(A) the middle term is the average of the outer two
(B) the ratio of each term to the one before it is the same
(C) the ratio of consecutive binomial coefficients equals the common ratio
สามพจน์นี้ $2916x$, $4860x^{2}$ และ $2160x^{4}$ ก่อตัวเป็นพจน์ติดกันของอนุกรมเรขาคณิตที่ค่า $x$ หนึ่ง จงเลือกขั้นแรก
(A) พจน์กลางคือค่าเฉลี่ยของสองพจน์นอก
(B) อัตราส่วนของแต่ละพจน์ต่อพจน์ก่อนหน้าเท่ากัน
(C) อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ทวินามที่ติดกันเท่ากับอัตราส่วนร่วม
Answershow ▾
(A) describes an arithmetic series, where equal amounts are added, not an equal ratio. (C) ignores $x$ entirely; the binomial coefficients alone do not decide whether the three terms are in a GP.(A) อธิบายอนุกรมเลขคณิต ที่บวกจำนวนเท่ากันทุกครั้ง ไม่ใช่อัตราส่วนเท่ากัน · (C) ไม่สนใจ $x$ เลย สัมประสิทธิ์ทวินามเพียงอย่างเดียวไม่ได้บอกว่าสามพจน์นี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตหรือไม่
Simplify $\dfrac{4860x^{2}}{2916x}=\dfrac{2160x^{4}}{4860x^{2}}$ to find the value of $x$.
จงย่อ $\dfrac{4860x^{2}}{2916x}=\dfrac{2160x^{4}}{4860x^{2}}$ เพื่อหาค่า $x$
Answershow ▾
Divide both sides by $x$, since $x$ is not zero, then by $\tfrac49$.หารทั้งสองข้างด้วย $x$ เพราะ $x$ ไม่เป็นศูนย์ แล้วหารด้วย $\tfrac49$
Set up $S_\infty=\dfrac85$ for the series with first term $\sin^{2}\theta$ and ratio $2\cos\theta$, then replace $\sin^{2}\theta$ using question 2.
ตั้งสมการ $S_\infty=\dfrac85$ สำหรับอนุกรมที่มีพจน์แรก $\sin^{2}\theta$ และอัตราส่วน $2\cos\theta$ แล้วแทน $\sin^{2}\theta$ ตามข้อ 2
Answershow ▾
Clear the fraction like question 3, then swap in $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$.กำจัดเศษส่วนแบบข้อ 3 แล้วแทน $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$
Expand $5(1-\cos^{2}\theta)=8(1-2\cos\theta)$ and collect every term on one side, to show $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0$.
จงกระจาย $5(1-\cos^{2}\theta)=8(1-2\cos\theta)$ แล้วรวมพจน์ไว้ข้างเดียว เพื่อแสดงว่า $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0$
Answershow ▾
Move every term to one side, then multiply by $-1$ for a positive leading term.ย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว แล้วคูณด้วย $-1$ เพื่อให้พจน์หน้ามีเครื่องหมายบวก
Factorising $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0$ gives $(5\cos\theta-1)(\cos\theta-3)=0$, so $\cos\theta=\tfrac15$ or $\cos\theta=3$. Pick the correct next step.
(A) keep both values, since the factorising is correct
(B) reject $\cos\theta=3$, since $-1\leqslant\cos\theta\leqslant1$
(C) reject $\cos\theta=\tfrac15$, since it is the smaller value
แยกตัวประกอบ $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0$ ได้ $(5\cos\theta-1)(\cos\theta-3)=0$ จึงได้ $\cos\theta=\tfrac15$ หรือ $\cos\theta=3$ จงเลือกขั้นที่ถูกต้อง
(A) เก็บทั้งสองค่า เพราะการแยกตัวประกอบถูกต้อง
(B) ตัด $\cos\theta=3$ ทิ้ง เพราะ $-1\leqslant\cos\theta\leqslant1$
(C) ตัด $\cos\theta=\tfrac15$ ทิ้ง เพราะเป็นค่าที่น้อยกว่า
Answershow ▾
(A) a factorised equation can still give a root the original variable can never reach. (C) size has nothing to do with validity here; only the range of cosine decides which root to keep.(A) สมการที่แยกตัวประกอบแล้วยังให้รากที่ตัวแปรเดิมเป็นไปไม่ได้ · (C) ขนาดของค่าไม่เกี่ยวกับความถูกต้องในที่นี้ ช่วงของ cos เท่านั้นที่บอกว่าจะเก็บรากไหน
Using $\cos\theta=\tfrac15$, find the exact value of $\sin^{2}\theta$, then the exact value of the 2nd term of the series.
เมื่อ $\cos\theta=\tfrac15$ จงหาค่าแม่นตรงของ $\sin^{2}\theta$ แล้วหาค่าแม่นตรงของพจน์ที่สองของอนุกรม
Answershow ▾
The 2nd term of a GP is the first term times the common ratio.พจน์ที่สองของอนุกรมเรขาคณิต คือพจน์แรกคูณอัตราส่วนร่วม
(i)(a) Find, in ascending powers of $x$, the 2nd, 3rd and 5th terms of the binomial expansion of $(1+x)^{5}$
(i)(b) For a particular value of $x$, these three terms form consecutive terms in a geometric series. Find this value of $x$.
(ii)(a) A geometric series has first term $\sin^{2}\theta$, common ratio $2\cos\theta$, and sum to infinity $\dfrac83$.
Show that $3\cos^{2}\theta-16\cos\theta+5=0$
(ii)(b) Hence find the exact value of the 2nd term in the series.
(i)(a) จงหาพจน์ที่ 2, 3 และ 5 ของการกระจายทวินามของ $(1+x)^{5}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก
(i)(b) สำหรับค่า $x$ ค่าหนึ่ง สามพจน์นี้ก่อตัวเป็นพจน์ติดกันของอนุกรมเรขาคณิต จงหาค่า $x$ นี้
(ii)(a) อนุกรมเรขาคณิตอีกอนุกรมหนึ่งมีพจน์แรก $\sin^{2}\theta$ อัตราส่วนร่วม $2\cos\theta$ และผลบวกถึงอนันต์ $\dfrac83$
จงแสดงว่า $3\cos^{2}\theta-16\cos\theta+5=0$
(ii)(b) จากนั้นหาค่าแม่นตรงของพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
Answershow ▾
Same four moves: term formula, consecutive-ratio equation, the identity and factorising, then first term times ratio.สี่ขั้นเดิม: สูตรพจน์ สมการอัตราส่วนติดกัน เอกลักษณ์แล้วแยกตัวประกอบ แล้วพจน์แรกคูณอัตราส่วน
(i)(a) Find, in ascending powers of $x$, the 2nd, 3rd and 5th terms of the binomial expansion of $(3+2x)^{6}$
(i)(b) For a particular value of $x$, these three terms form consecutive terms in a geometric series.
Find this value of $x$.
(ii)(a) In a different geometric series,
• the first term is $\sin^{2}\theta$
• the common ratio is $2\cos\theta$
• the sum to infinity is $\dfrac85$
Show that $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0$
(ii)(b) Hence find the exact value of the 2nd term in the series.
(i)(a) หาพจน์ที่ 2, 3 และ 5 ของการกระจายทวินามของ $(3+2x)^{6}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก
(i)(b) สำหรับค่า $x$ ค่าหนึ่ง สามพจน์นี้ก่อตัวเป็นพจน์ติดกันของอนุกรมเรขาคณิต
จงหาค่า $x$ นี้
(ii)(a) อนุกรมเรขาคณิตอีกอนุกรมหนึ่งมี
• พจน์แรกเท่ากับ $\sin^{2}\theta$
• อัตราส่วนร่วมเท่ากับ $2\cos\theta$
• ผลบวกถึงอนันต์เท่ากับ $\dfrac85$
จงแสดงว่า $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0$
(ii)(b) จากนั้นหาค่า exact ของพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
Answershow ▾
12 marks across four parts: the term formula, the consecutive-ratio equation, the identity from $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$, then the rejected root and the final term.12 คะแนนในสี่ส่วน: สูตรพจน์ สมการอัตราส่วนติดกัน เอกลักษณ์จาก $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ แล้วรากที่ถูกตัดทิ้งและพจน์สุดท้าย