Trig identities & equations · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Trigonometry · proving an identity
(a) Prove that $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\equiv\dfrac{2}{\sin\theta}$.
(b) Hence solve $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta} = 2 \sqrt{2}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Given that $\sin\theta = \dfrac{24}{25}$ and $0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ$, use $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ to find the value of $\cos\theta$.
กำหนด $\sin\theta = \dfrac{24}{25}$ และ $0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ$ จงใช้ $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ หาค่า $\cos\theta$
Answershow ▾
Rearrange to $\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$, then square root — positive here because $\theta$ is acute.
Given $\sin\theta = \dfrac{24}{25}$ and $\cos\theta = \dfrac{7}{25}$, use $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ to find $\tan\theta$.
กำหนด $\sin\theta = \dfrac{24}{25}$ และ $\cos\theta = \dfrac{7}{25}$ จงใช้ $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ หาค่า $\tan\theta$
Answershow ▾
Divide $\sin\theta$ by $\cos\theta$ — the denominators cancel.
Simplify $\sin^2\theta + \cos^2\theta + 6$.
จงทำให้ $\sin^2\theta + \cos^2\theta + 6$ อยู่ในรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
$\sin^2\theta+\cos^2\theta$ is always $1$, whatever $\theta$ is — replace it and add.
You are about to prove $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\equiv\dfrac{2}{\sin\theta}$. Decide two things before writing a line: which side you start from, and which identity you will be reaching for. Then say what you are not allowed to do in a proof of an identity.
กำลังจะพิสูจน์ $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\equiv\dfrac{2}{\sin\theta}$ · ก่อนเขียนบรรทัดแรก ต้องตัดสินสองอย่าง: เริ่มจากข้างไหน และจะใช้เอกลักษณ์ตัวไหน · แล้วบอกว่าในการพิสูจน์เอกลักษณ์ ห้ามทำอะไร
Answershow ▾
An identity is proved by rewriting one side until it turns into the other, and the side to work on is the complicated one — there is nowhere useful to go from $\dfrac{2}{\sin\theta}$, while the left has two fractions asking to be combined. Working on both sides at once, or multiplying both sides by $\sin\theta(1+\cos\theta)$, assumes the very thing you are proving; that is the move that costs the marks even when the algebra is right. As for the identity, $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ is the only one available at this level, and the $(1+\cos\theta)^2$ that appears after combining is exactly what invites it. Part (a) is M1 for the common denominator, M1 for using the identity, A1 for the finish.การพิสูจน์เอกลักษณ์คือการเขียนข้างหนึ่งใหม่จนกลายเป็นอีกข้าง และข้างที่ต้องลงมือคือข้างที่ยุ่งกว่า · จาก $\dfrac{2}{\sin\theta}$ ไม่มีที่ให้ไปต่อ ขณะที่ข้างซ้ายมีเศษส่วนสองก้อนรอให้รวม · การทำสองข้างพร้อมกัน หรือคูณสองข้างด้วย $\sin\theta(1+\cos\theta)$ คือการสมมติสิ่งที่กำลังจะพิสูจน์ · นั่นคือท่าที่ทำให้เสียคะแนนแม้พีชคณิตจะถูก · ส่วนเอกลักษณ์ $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ เป็นตัวเดียวที่มีในระดับนี้ และ $(1+\cos\theta)^2$ ที่โผล่มาหลังรวมเศษส่วนคือสิ่งที่เชิญมันเข้ามาพอดี · ข้อ (a) ให้ M1 กับตัวส่วนร่วม M1 กับการใช้เอกลักษณ์ และ A1 กับการปิดท้าย
Write $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$ as a single fraction.
Answershow ▾
Common denominator $\sin\theta(1+\cos\theta)$; multiply each fraction up to reach it.
Expand $\sin^2\theta+(1+\cos\theta)^2$, then use $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ to simplify.
Answershow ▾
Expand the bracket, group $\sin^2\theta+\cos^2\theta$ together and replace it with $1$.
Hence show that $\dfrac{2+2\cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} \equiv \dfrac{2}{\sin\theta}$.
Answershow ▾
Factor $2$ out of the numerator; the $(1+\cos\theta)$ cancels top and bottom.
Part (b) turns into $\dfrac{2}{\sin\theta} = 2\sqrt{2}$. Which letter or expression is the unknown you solve for first — $\theta$ or $\sin\theta$? Produce its value, and say why going straight for $\theta$ is not possible from this line.
ข้อ (b) กลายเป็น $\dfrac{2}{\sin\theta} = 2\sqrt{2}$ · ตัวไม่รู้ค่าที่ต้องแก้ก่อนคือ $\theta$ หรือ $\sin\theta$ · จงหาค่าของมัน และบอกว่าทำไมจะกระโดดไปหา $\theta$ จากบรรทัดนี้เลยไม่ได้
Answershow ▾
Every trigonometric equation is solved in two stages, and the first one is ordinary algebra with the whole of $\sin\theta$ treated as a single unknown — rearrange until that block stands alone, and only then look up the angle. Trying to divide by $\sin$ as though it were a number is the standard wreck: $\sin$ is a function, not a factor, and $\dfrac{2}{\sin\theta}$ does not simplify to $\dfrac{2}{\sin}\theta$. Naming the unknown as $\sin\theta$ also keeps you honest about how many answers to expect, because the second stage is where one value of $\sin\theta$ becomes two angles. Part (b) is M1 for $\sin\theta$ and M1 A1 for the angles.สมการตรีโกณมิติทุกข้อแก้เป็นสองช่วง และช่วงแรกคือพีชคณิตธรรมดาที่มอง $\sin\theta$ ทั้งก้อนเป็นตัวไม่รู้ค่าตัวเดียว · จัดรูปจนก้อนนั้นอยู่โดด ๆ แล้วค่อยไปหามุม · การพยายามหารด้วย $\sin$ ราวกับเป็นตัวเลขคือหายนะมาตรฐาน · $\sin$ เป็นฟังก์ชัน ไม่ใช่ตัวประกอบ และ $\dfrac{2}{\sin\theta}$ ไม่ได้ลดรูปเป็น $\dfrac{2}{\sin}\theta$ · การเรียกตัวไม่รู้ค่าว่า $\sin\theta$ ยังช่วยให้ซื่อตรงเรื่องจำนวนคำตอบ เพราะช่วงที่สองคือจุดที่ค่า $\sin\theta$ หนึ่งค่ากลายเป็นมุมสองมุม · ข้อ (b) ให้ M1 กับ $\sin\theta$ และ M1 A1 กับมุม
Given that $\dfrac{2}{\sin\theta} = 2 \sqrt{2}$, find the value of $\sin\theta$.
Answershow ▾
Rearrange the simplified right-hand side from the proof — this is why part (a) was worth proving.
Solve $\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving both solutions.
Answershow ▾
Principal value $\theta = 45^\circ$; second solution $\theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ — the sine second-solution rule.
The interval is $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$. State the calculator mode this demands, say how many solutions $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ has in it and how the second is built from the first, and then name the three values of $\theta$ in the interval that the ORIGINAL expression can never take.
ช่วงคือ $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ · จงบอกโหมดเครื่องคิดเลขที่ต้องใช้ บอกว่า $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ มีกี่คำตอบในช่วงนี้และคำตอบที่สองสร้างจากคำตอบแรกอย่างไร แล้วบอกค่า $\theta$ สามค่าในช่วงที่นิพจน์เดิมเป็นไปไม่ได้เลย
Answershow ▾
Three decisions ride on this one line. The interval is written in degrees, so the calculator must be in degrees — in radians the inverse sine returns $0.785$, and every answer after it is wrong by a factor of $\dfrac{180}{\pi}$. The number of solutions comes from the shape of the sine curve, which crosses a positive horizontal line twice in one turn, so the principal value alone is half an answer. And the excluded angles come from the question the identity started from: the original expression has $\sin\theta$ in a denominator, so $\sin\theta = 0$ would divide by zero. None of the three is on the mark scheme; the A marks are for $45^\circ$ and $135^\circ$, and each decision quietly protects one.บรรทัดเดียวนี้มีการตัดสินใจสามอย่างขี่อยู่ · ช่วงเขียนเป็นองศา เครื่องคิดเลขจึงต้องอยู่โหมดองศา · ถ้าอยู่โหมดเรเดียน อินเวอร์สไซน์จะคืนค่า $0.785$ และทุกคำตอบหลังจากนั้นผิดไปเป็นตัวประกอบ $\dfrac{180}{\pi}$ · จำนวนคำตอบมาจากรูปร่างของกราฟไซน์ ซึ่งตัดเส้นแนวนอนที่เป็นบวกสองครั้งต่อหนึ่งรอบ ค่าหลักอย่างเดียวจึงเป็นคำตอบครึ่งเดียว · ส่วนมุมที่ต้องตัดออกมาจากโจทย์ที่เอกลักษณ์เริ่มต้น: นิพจน์เดิมมี $\sin\theta$ อยู่ในตัวส่วน ถ้า $\sin\theta = 0$ ก็คือการหารด้วยศูนย์ · ทั้งสามอย่างไม่มีในมาร์คสกีม · คะแนน A ให้กับ $45^\circ$ และ $135^\circ$ และการตัดสินใจแต่ละอย่างเงียบ ๆ ปกป้องคะแนนหนึ่งตัว
(a) Prove that $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\equiv\dfrac{2}{\sin\theta}$.
(b) Hence solve $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta} = 4$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with the smallest standard angle that still differs from the exam numbers.
(a) Prove that $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\equiv\dfrac{2}{\sin\theta}$.
(b) Hence solve $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta} = 2 \sqrt{2}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 5 and 6 build part (a); questions 7 and 8 are part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Trigonometry · solving an equation in radians
Solve $\tan(3x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ for $0 \le x \le 2\pi$, giving your answers as exact multiples of $\pi$.
The graph shows $y = \sin x$ for $0^\circ \le x \le 360^\circ$. One solution of $\sin x = \frac{1}{2}$ is marked at $x = 30^\circ$. Using the symmetry of the curve, write down the second solution in the range.
กราฟแสดง $y = \sin x$ สำหรับ $0^\circ \le x \le 360^\circ$ คำตอบหนึ่งของ $\sin x = \frac{1}{2}$ คือ $x = 30^\circ$ จงใช้ความสมมาตรของกราฟหาคำตอบที่สอง
Answershow ▾
The sine curve is symmetric about $x = 90^\circ$: a second solution is always $180^\circ$ minus the first.
Convert $150^\circ$ to radians, giving your answer as an exact multiple of $\pi$.
จงเปลี่ยน $150^\circ$ เป็นเรเดียน โดยตอบในรูปจำนวนเท่าของ $\pi$
Answershow ▾
Multiply by $\dfrac{\pi}{180}$; keep the fraction exact — do not switch to decimals.
Solve $\cos u = \frac{\sqrt{2}}{2}$ for $0 \le u \le 2\pi$, giving both solutions as exact multiples of $\pi$.
แก้สมการ $\cos u = \frac{\sqrt{2}}{2}$ สำหรับ $0 \le u \le 2\pi$ โดยตอบเป็นจำนวนเท่าของ $\pi$ ทั้งสองคำตอบ
Answershow ▾
Principal value $u_0 = \dfrac{\pi}{4}$; the cosine second-solution rule ($360^\circ-\alpha$) becomes $u = 2\pi - u_0$ in radians.
The equation is $\tan(3x) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ for $0 \le x \le 2\pi$, and you set $u = 3x$. Which of these three is the interval $u$ runs over, and what would each of the others cost you?
(A) $0 \le u \le 2\pi$ (B) $0 \le u \le \dfrac{2\pi}{3}$ (C) $0 \le u \le 6\pi$
สมการคือ $\tan(3x) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ เมื่อ $0 \le x \le 2\pi$ และตั้ง $u = 3x$ · ข้อไหนคือช่วงของ $u$ และอีกสองข้อทำให้เสียอะไร
(A) $0 \le u \le 2\pi$ (B) $0 \le u \le \dfrac{2\pi}{3}$ (C) $0 \le u \le 6\pi$
Answershow ▾
The substitution is applied to the interval exactly as it is applied to the equation: multiply the endpoints by $3$, the same $3$ that multiplies $x$. (B) divides instead, which is the reflex of someone thinking about the answers rather than about $u$; (A) forgets the step altogether and leaves the interval where it was. Either way the general solution is then scanned over too small a range and the extra solutions are never found — and they are found nowhere else in the question, so the loss is permanent. This is the biggest single loss in this question type. The A marks are for the six values of $x$; widening the interval earns none of them and is why they exist.การแทนค่าใช้กับช่วงแบบเดียวกับที่ใช้กับสมการ: คูณปลายช่วงด้วย $3$ ตัวเดียวกับที่คูณ $x$ อยู่ · (B) หารแทน ซึ่งเป็นปฏิกิริยาของคนที่คิดถึงคำตอบแทนที่จะคิดถึง $u$ · (A) ลืมขั้นตอนนี้ทั้งขั้นและปล่อยช่วงไว้ที่เดิม · ไม่ว่าทางไหน คำตอบทั่วไปก็จะถูกกวาดในช่วงที่เล็กเกินไป และคำตอบส่วนที่เหลือจะไม่ถูกพบเลย · และมันไม่ถูกพบที่อื่นในข้อนี้อีก ความสูญเสียจึงถาวร · นี่คือความสูญเสียก้อนใหญ่ที่สุดของโจทย์แบบนี้ · คะแนน A ให้กับค่า $x$ ทั้งหกค่า · การขยายช่วงไม่ได้คะแนนสักตัว และเป็นเหตุผลที่คะแนนเหล่านั้นมีอยู่
$x$ satisfies $0 \le x \le 2\pi$, and $u = 3x$. Find the range of values that $u$ can take.
Answershow ▾
Substitute the endpoints $x=0$ and $x=2\pi$ into $u = 3x$: $u$ ranges over an interval 3 times as wide as $x$'s — forgetting to widen it here is the single biggest lost mark in this question type.
Given $\tan(3x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, find the principal value of $u = 3x$.
Answershow ▾
$\tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \dfrac{\pi}{6}$ — an exact standard angle.
The answer must be given as exact multiples of $\pi$. Evaluate $\tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$ in degree mode and in radian mode, say which reading the question wants, and write the principal value in the form the instruction demands.
คำตอบต้องให้เป็น exact multiples of $\pi$ · จงหา $\tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$ ทั้งในโหมดองศาและโหมดเรเดียน บอกว่าโจทย์ต้องการค่าไหน และเขียนค่าหลักในรูปที่คำสั่งต้องการ
Answershow ▾
The interval $0 \le x \le 2\pi$ is written in radians, so radians is the language of the whole question and the calculator has to speak it. But the instruction goes one step further than the mode: exact rules out $0.5236$ even though it is the right size, because a decimal is not a multiple of $\pi$. What you want is the standard angle behind the decimal, and $\dfrac{\pi}{6}$ is worth knowing by heart along with $\dfrac{\pi}{4}$ and $\dfrac{\pi}{3}$. The B1 is for the principal value in exact form; a correct decimal earns nothing here, and there is no mark for having the mode right.ช่วง $0 \le x \le 2\pi$ เขียนเป็นเรเดียน เรเดียนจึงเป็นภาษาของทั้งข้อ และเครื่องคิดเลขต้องพูดภาษานั้น · แต่คำสั่งไปไกลกว่าเรื่องโหมดอีกขั้น: exact ตัด $0.5236$ ออกแม้ขนาดจะถูก เพราะทศนิยมไม่ใช่พหุคูณของ $\pi$ · สิ่งที่ต้องการคือมุมมาตรฐานที่อยู่หลังทศนิยมนั้น และ $\dfrac{\pi}{6}$ ควรจำให้ได้พร้อมกับ $\dfrac{\pi}{4}$ และ $\dfrac{\pi}{3}$ · B1 ให้กับค่าหลักในรูปที่ไม่ปัดเศษ · ทศนิยมที่ถูกต้องไม่ได้คะแนนที่นี่ และไม่มีคะแนนสำหรับการตั้งโหมดถูก
Given that $u_0 = \dfrac{\pi}{6}$ is a principal value with $\tan(u) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, write down the general solution for $u$, using $k$ as an integer.
Answershow ▾
The tangent second-solution rule, extended to repeat every π — exactly the toolkit rule, in radians.
Using the range $0 \le u \le 6\pi$ from question 4 and the general solution from question 6, list every value of $u$ in that range.
Answershow ▾
Substitute $k = 0, \pm1, \pm2, \ldots$ into each branch of the general solution and keep only the values inside the range — scan outward from $u_0$ until you leave the interval on each side.
Two habits are about to fight. Which spacing repeats the solutions of a tangent equation, $\pi$ or $2\pi$? Count how many values of $u$ that gives in $0 \le u \le 6\pi$, and say whether the last step to $x$ multiplies by $3$ or divides by $3$.
สองความเคยชินกำลังจะขัดกัน · คำตอบของสมการแทนเจนต์ซ้ำทุกระยะ $\pi$ หรือ $2\pi$ · จงนับว่าได้ค่า $u$ กี่ค่าในช่วง $0 \le u \le 6\pi$ และบอกว่าขั้นสุดท้ายที่กลับไปหา $x$ คือคูณ $3$ หรือหาร $3$
Answershow ▾
Sine and cosine repeat every $2\pi$ and tangent repeats every $\pi$, because the tangent graph completes a whole branch between consecutive asymptotes. Use $2\pi$ here and you list three values instead of six, which looks tidy and is half an answer. The count is worth doing before the arithmetic: with a branch every $\pi$ and an interval $6\pi$ wide, there are exactly six. Then the last step reverses the substitution — $u = 3x$ means $x = \dfrac{u}{3}$, so the values shrink, and multiplying instead pushes every answer outside the interval it was supposed to live in. The A marks are for the final list of six; the period and the direction are both free and both fatal.ไซน์กับโคไซน์ซ้ำทุก $2\pi$ ส่วนแทนเจนต์ซ้ำทุก $\pi$ เพราะกราฟแทนเจนต์จบหนึ่งกิ่งพอดีระหว่างเส้นกำกับสองเส้นที่ติดกัน · ถ้าใช้ $2\pi$ ที่นี่จะได้สามค่าแทนที่จะเป็นหกค่า ซึ่งดูเรียบร้อยและเป็นคำตอบครึ่งเดียว · ควรนับก่อนคำนวณ: มีกิ่งทุก $\pi$ และช่วงกว้าง $6\pi$ จึงมีหกค่าพอดี · ขั้นสุดท้ายคือย้อนการแทนค่า · $u = 3x$ แปลว่า $x = \dfrac{u}{3}$ ค่าจึงเล็กลง · ถ้าคูณแทน ทุกคำตอบจะกระเด็นออกนอกช่วงที่มันควรอยู่ · คะแนน A ให้กับรายการหกค่าสุดท้าย · คาบและทิศทางไม่มีคะแนนทั้งคู่ และร้ายแรงทั้งคู่
Given $u = $ $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{7\pi}{6}$, $\dfrac{13\pi}{6}$, $\dfrac{19\pi}{6}$, $\dfrac{25\pi}{6}$, $\dfrac{31\pi}{6}$, and $u = 3x$, find every value of $x$ in $0 \le x \le 2\pi$, in ascending order.
Answershow ▾
Rearrange $u = 3x$ to $x = \dfrac{u}{3}$ and apply it to every value of $u$ from question 7 — none should be dropped or duplicated.
Solve $\tan(2x) = 1$ for $0 \le x \le 2\pi$, giving your answers as exact multiples of $\pi$.
Answershow ▾
Same method top to bottom, with the smallest numbers that still force you to widen the interval — and still differ from the exam question's numbers.
Solve $\tan(3x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ for $0 \le x \le 2\pi$, giving your answers as exact multiples of $\pi$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is the widening step; questions 5 and 6 build the general solution; questions 7 and 8 are the scan-and-convert steps that produce the final list.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Reciprocal identity, then a shifted quadratic เอกลักษณ์ผกผัน แล้วสมการกำลังสองที่เลื่อนมุม
(i) Show that $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\equiv\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$, $\theta\neq n\pi$, $n\in\mathbb{Z}$.
(ii) Solve, for $0^{\circ}\le x\lt90^{\circ}$, the equation $3\cos^{2}(2x+10^{\circ})=1$ giving your answers in degrees to one decimal place.
(i) แสดงว่า $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\equiv\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$ โดยที่ $\theta\neq n\pi$, $n\in\mathbb{Z}$
(ii) แก้สมการ $3\cos^{2}(2x+10^{\circ})=1$ สำหรับ $0^{\circ}\le x\lt90^{\circ}$ โดยให้คำตอบเป็นองศา ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Write $\tan\theta$ and $\dfrac{1}{\tan\theta}$ using only $\sin\theta$ and $\cos\theta$.
จงเขียน $\tan\theta$ และ $\dfrac{1}{\tan\theta}$ โดยใช้ $\sin\theta$ และ $\cos\theta$ เท่านั้น
Answershow ▾
$\tan\theta$ is $\sin\theta$ over $\cos\theta$; its reciprocal flips the fraction.$\tan\theta$ คือ $\sin\theta$ หาร $\cos\theta$ · ส่วนผกผันก็สลับเศษกับส่วน
Write $\dfrac34+\dfrac43$ as a single fraction.
จงเขียน $\dfrac34+\dfrac43$ เป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Multiply each fraction up to the common denominator $12$, then add the tops.คูณเศษส่วนแต่ละตัวให้มีตัวส่วนร่วม $12$ แล้วบวกตัวเศษ
Solve $\cos^{2}\theta=\dfrac13$ for $\cos\theta$.
จงแก้สมการ $\cos^{2}\theta=\dfrac13$ หา $\cos\theta$
Answershow ▾
Square-rooting a squared term gives a $\pm$ sign.การถอดรากที่สองของพจน์ยกกำลังสอง ได้เครื่องหมาย $\pm$
To prove $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\equiv\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$, pick the first move.
(A) Multiply both sides by $\sin\theta\cos\theta$ and solve for $\theta$.
(B) Write $\tan\theta$ and $\dfrac{1}{\tan\theta}$ using $\sin\theta$ and $\cos\theta$.
(C) Use the double angle formula for $\tan2\theta$.
จงเลือกขั้นแรกในการพิสูจน์ $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\equiv\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$
(A) คูณทั้งสองข้างด้วย $\sin\theta\cos\theta$ แล้วแก้หา $\theta$
(B) เขียน $\tan\theta$ และ $\dfrac{1}{\tan\theta}$ ด้วย $\sin\theta$ และ $\cos\theta$
(C) ใช้สูตรมุมสองเท่าของ $\tan2\theta$
Answershow ▾
(A) treats the identity as an equation to solve for $\theta$, but it holds for every $\theta$ - there is nothing to solve. (C) brings in a formula for $2\theta$ that the question never mentions.(A) ปฏิบัติต่อเอกลักษณ์เหมือนสมการที่ต้องแก้หา $\theta$ แต่มันเป็นจริงทุกค่า $\theta$ จึงไม่มีอะไรต้องแก้ · (C) ดึงสูตรของ $2\theta$ มาใช้ ซึ่งคำถามไม่ได้พูดถึงเลย
Write $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}$ using $\sin\theta$ and $\cos\theta$.
จงเขียน $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}$ โดยใช้ $\sin\theta$ และ $\cos\theta$
Answershow ▾
Replace each term using the identities from rung 1.แทนแต่ละพจน์ด้วยเอกลักษณ์จากข้อ 1
Combine $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ into a single fraction over $\sin\theta\cos\theta$.
จงรวม $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ เป็นเศษส่วนเดียวที่มีตัวส่วน $\sin\theta\cos\theta$
Answershow ▾
Same move as rung 2: multiply each fraction up to the common denominator $\sin\theta\cos\theta$.ขั้นเดิมกับข้อ 2: คูณเศษส่วนแต่ละตัวให้มีตัวส่วนร่วม $\sin\theta\cos\theta$
Use $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ to complete the proof that $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\equiv\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$.
จงใช้ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ พิสูจน์ $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\equiv\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$ ให้ครบ
Answershow ▾
The numerator becomes $1$, which is exactly the right side of the identity.ตัวเศษกลายเป็น $1$ ซึ่งตรงกับด้านขวาของเอกลักษณ์พอดี
$3\cos^{2}(2x+10^{\circ})=1$. The bracket is not just $x$. Pick the first move.
(A) Solve for $x$ directly, keeping the interval $0^{\circ}\leqslant x\lt90^{\circ}$.
(B) Let $u=2x+10^{\circ}$, and widen the interval to $10^{\circ}\leqslant u\lt190^{\circ}$.
(C) Expand $\cos^{2}(2x+10^{\circ})$ using the double angle formula before dividing by $3$.
$3\cos^{2}(2x+10^{\circ})=1$ · ในวงเล็บไม่ใช่ $x$ ตัวเดียว จงเลือกขั้นแรก
(A) แก้หา $x$ ตรง ๆ โดยใช้ช่วง $0^{\circ}\leqslant x\lt90^{\circ}$ เดิม
(B) ให้ $u=2x+10^{\circ}$ แล้วขยายช่วงเป็น $10^{\circ}\leqslant u\lt190^{\circ}$
(C) กระจาย $\cos^{2}(2x+10^{\circ})$ ด้วยสูตรมุมสองเท่า ก่อนหารด้วย $3$
Answershow ▾
(A) ignores that the angle inside $\cos^{2}$ is $2x+10^{\circ}$, not $x$, so its interval is wrong too. (C) expands something that does not need expanding - $\cos^{2}$ of the whole bracket is already the form you need.(A) มองข้ามว่ามุมในวงเล็บคือ $2x+10^{\circ}$ ไม่ใช่ $x$ ช่วงของมันจึงผิดไปด้วย · (C) กระจายสิ่งที่ไม่ต้องกระจาย เพราะ $\cos^{2}$ ของทั้งวงเล็บก็เป็นรูปที่ต้องการอยู่แล้ว
Using $u=2x+10^{\circ}$, solve $\cos^{2}u=\dfrac13$ for $u$ in $10^{\circ}\leqslant u\lt190^{\circ}$. Keep $2$ decimal places - you will divide by $2$ next.
ใช้ $u=2x+10^{\circ}$ แก้สมการ $\cos^{2}u=\dfrac13$ หา $u$ ในช่วง $10^{\circ}\leqslant u\lt190^{\circ}$ เก็บทศนิยม $2$ ตำแหน่งไว้ก่อน เพราะจะต้องหารด้วย $2$ ต่อ
Answershow ▾
$\cos u=\dfrac{1}{\sqrt3}$ gives one value in range; $\cos u=-\dfrac{1}{\sqrt3}$ gives the other.$\cos u=\dfrac{1}{\sqrt3}$ ให้คำตอบหนึ่งค่าในช่วง · $\cos u=-\dfrac{1}{\sqrt3}$ ให้อีกค่าหนึ่ง
Use $x=\dfrac{u-10^{\circ}}{2}$ to convert each value of $u$ back to $x$, rounded to $1$ decimal place. Check each $x$ lies in $0^{\circ}\leqslant x\lt90^{\circ}$.
ใช้ $x=\dfrac{u-10^{\circ}}{2}$ แปลงค่า $u$ แต่ละค่ากลับเป็น $x$ ปัดเศษทศนิยม $1$ ตำแหน่ง จงตรวจว่า $x$ แต่ละค่าอยู่ในช่วง $0^{\circ}\leqslant x\lt90^{\circ}$
Answershow ▾
Rounding $u$ first, then halving, matches rounding $x$ last - the extra decimal place protects this.ปัดเศษ $u$ ก่อนแล้วหารครึ่ง ให้ผลตรงกับปัดเศษ $x$ ทีหลัง · ทศนิยมส่วนเกินช่วยป้องกันความผิดพลาดนี้
(i) Show that $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\equiv\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$.
(ii) Solve, for $0^{\circ}\leqslant x\lt90^{\circ}$, the equation $2\cos^{2}(2x+20^{\circ})=1$, giving your answers in degrees to one decimal place.
(i) จงแสดงว่า $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\equiv\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$
(ii) แก้สมการ $2\cos^{2}(2x+20^{\circ})=1$ สำหรับ $0^{\circ}\leqslant x\lt90^{\circ}$ โดยให้คำตอบเป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same two moves: rewrite in sin, cos for (i); substitute and widen the interval for (ii).สองขั้นเดิม: เขียนในรูป sin, cos สำหรับข้อ (i) · แทนค่าและขยายช่วงสำหรับข้อ (ii)
(i) Show that $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\equiv\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$, $\theta\neq n\pi$, $n\in\mathbb{Z}$.
(ii) Solve, for $0^{\circ}\le x\lt90^{\circ}$, the equation $3\cos^{2}(2x+10^{\circ})=1$ giving your answers in degrees to one decimal place.
(i) แสดงว่า $\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\equiv\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$ โดยที่ $\theta\neq n\pi$, $n\in\mathbb{Z}$
(ii) แก้สมการ $3\cos^{2}(2x+10^{\circ})=1$ สำหรับ $0^{\circ}\le x\lt90^{\circ}$ โดยให้คำตอบเป็นองศา ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
7 marks: 3 for the identity, 4 for the equation - show both square roots, and convert back to $x$ before you round.7 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับเอกลักษณ์ 4 คะแนนสำหรับสมการ · ต้องเขียนรากทั้งสองเครื่องหมาย และแปลงกลับเป็น $x$ ก่อนปัดเศษ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A squared bracket that factorises วงเล็บยกกำลังสองที่แยกตัวประกอบได้
Solve, for $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$, $(2\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1$, giving your answers, as appropriate, to one decimal place.
แก้สมการ $(2\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ โดยให้คำตอบตามความเหมาะสม ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Expand $(2\sin\theta-\cos\theta)^{2}$.
จงกระจาย $(2\sin\theta-\cos\theta)^{2}$
Answershow ▾
Square each term, then double the product of the two terms for the middle one.ยกกำลังสองแต่ละพจน์ แล้วคูณผลคูณของสองพจน์ด้วย $2$ สำหรับพจน์กลาง
Use $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ to write $\cos^{2}\theta$ in terms of $\sin^{2}\theta$.
ใช้ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ เขียน $\cos^{2}\theta$ ในรูปของ $\sin^{2}\theta$
Answershow ▾
Move $\sin^{2}\theta$ to the other side.ย้าย $\sin^{2}\theta$ ไปอีกข้างหนึ่ง
Solve $\tan\theta=\dfrac{4}{3}$ for $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$, giving your answers to $1$ decimal place.
แก้สมการ $\tan\theta=\dfrac{4}{3}$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
tan is positive in quadrants 1 and 3: the base angle, and $180^{\circ}$ plus it.$\tan$ เป็นบวกในควอดแรนต์ 1 และ 3 คือมุมฐาน และ $180^{\circ}$ บวกมุมฐาน
The equation is $(2\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1$. Pick the first move.
(A) square-root both sides: $2\sin\theta-\cos\theta=\pm1$
(B) expand the bracket, then use $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
(C) replace $\cos\theta$ with $\sqrt{1-\sin^{2}\theta}$ inside the bracket
สมการคือ $(2\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ถอดรากทั้งสองข้าง: $2\sin\theta-\cos\theta=\pm1$
(B) กระจายวงเล็บ แล้วใช้ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
(C) แทน $\cos\theta$ ด้วย $\sqrt{1-\sin^{2}\theta}$ ในวงเล็บ
Answershow ▾
(A) leaves two mixed functions with no tool in this lesson to split them into separate angles. (C) hides a square root inside the bracket, bringing back a sign choice and still mixing sin and cos.(A) เหลือสองฟังก์ชันปนกัน ไม่มีเครื่องมือในบทนี้ที่แยกมันออกเป็นมุมเดี่ยวได้ · (C) ซ่อนรากที่สองไว้ในวงเล็บ ทำให้ต้องเลือกเครื่องหมายอีกครั้ง แล้วก็ยังปน sin กับ cos เหมือนเดิม
In $(2\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1$, expand the bracket and replace $\cos^{2}\theta$ with $1-\sin^{2}\theta$. Write the new equation.
ใน $(2\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1$ จงกระจายวงเล็บ แล้วแทน $\cos^{2}\theta$ ด้วย $1-\sin^{2}\theta$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Use rungs 1 and 2 on the real equation.ใช้ข้อ 1 และข้อ 2 กับสมการจริง
Collect like terms in $4\sin^{2}\theta-4\sin\theta\cos\theta+1-\sin^{2}\theta=1$, then subtract $1$ from both sides.
รวมพจน์ที่เหมือนกันใน $4\sin^{2}\theta-4\sin\theta\cos\theta+1-\sin^{2}\theta=1$ แล้วลบ $1$ ออกจากทั้งสองข้าง
Answershow ▾
$4\sin^{2}\theta-\sin^{2}\theta=3\sin^{2}\theta$, then the two $1$s cancel.$4\sin^{2}\theta-\sin^{2}\theta=3\sin^{2}\theta$ จากนั้น $1$ ทั้งสองตัวหักกัน
You have $3\sin^{2}\theta-4\sin\theta\cos\theta=0$. Pick the next move.
(A) divide both sides by $\sin\theta$
(B) factorise: take out $\sin\theta$ as a common factor
(C) divide both sides by $\sin\theta\cos\theta$
คุณมี $3\sin^{2}\theta-4\sin\theta\cos\theta=0$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $\sin\theta$
(B) แยกตัวประกอบ: ดึง $\sin\theta$ ออกมาเป็นตัวประกอบร่วม
(C) หารทั้งสองข้างด้วย $\sin\theta\cos\theta$
Answershow ▾
(A) and (C) both divide by something built from $\sin\theta$, which can be $0$ - that silently drops the solution $\sin\theta=0$, losing $\theta=180^{\circ}$. Factorising keeps $\sin\theta=0$ as one of the two equations instead of dividing it away.(A) และ (C) หารด้วยสิ่งที่สร้างจาก $\sin\theta$ ซึ่งอาจเป็น $0$ ได้ — ทำให้คำตอบ $\sin\theta=0$ หายไปเงียบๆ เสียคำตอบ $\theta=180^{\circ}$ · การแยกตัวประกอบเก็บ $\sin\theta=0$ ไว้เป็นหนึ่งในสองสมการ ไม่หารมันทิ้งไป
Factorise $3\sin^{2}\theta-4\sin\theta\cos\theta=0$, taking out $\sin\theta$.
จงแยกตัวประกอบ $3\sin^{2}\theta-4\sin\theta\cos\theta=0$ โดยดึง $\sin\theta$ ออกมา
Answershow ▾
Both terms share a factor of $\sin\theta$.ทั้งสองพจน์มี $\sin\theta$ เป็นตัวประกอบร่วม
From $\sin\theta(3\sin\theta-4\cos\theta)=0$, write the two separate equations, then write the second one using $\tan\theta$.
จาก $\sin\theta(3\sin\theta-4\cos\theta)=0$ จงเขียนสองสมการแยกกัน แล้วเขียนสมการที่สองในรูป $\tan\theta$
Answershow ▾
Dividing the second equation by $\cos\theta$ turns it into $\tan\theta$.การหารสมการที่สองด้วย $\cos\theta$ เปลี่ยนมันให้เป็น $\tan\theta$
Check $\theta=53.1^{\circ}$: evaluate $\tan53.1^{\circ}$ to $3$ significant figures, and compare with $\dfrac{4}{3}$.
ตรวจ $\theta=53.1^{\circ}$: คำนวณ $\tan53.1^{\circ}$ ให้เลขนัยสำคัญ $3$ ตัว แล้วเทียบกับ $\dfrac{4}{3}$
Answershow ▾
The two values round to the same $3$ significant figures.สองค่านี้ปัดเศษแล้วได้เลขนัยสำคัญ $3$ ตัวเท่ากัน
Solve, for $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$, $(3\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1$, giving your answers to $1$ decimal place.
แก้สมการ $(3\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same four moves: expand and swap, collect to zero, factorise out $\sin\theta$, then solve each branch.สี่ขั้นเดิม: กระจายและแทนเอกลักษณ์ รวมพจน์ให้เท่ากับศูนย์ แยกตัวประกอบ $\sin\theta$ ออกมา แล้วแก้แต่ละแขนง
Solve, for $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$, $(2\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1$, giving your answers, as appropriate, to one decimal place.
แก้สมการ $(2\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ โดยให้คำตอบตามความเหมาะสม ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
5 marks: two for expanding and factorising, two for both $\tan\theta$ solutions, one for the $\sin\theta=0$ solution.5 คะแนน: สองคะแนนสำหรับกระจายและแยกตัวประกอบ สองคะแนนสำหรับคำตอบของ $\tan\theta$ ทั้งคู่ หนึ่งคะแนนสำหรับคำตอบของ $\sin\theta=0$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A shifted tan-cos equation สมการ tan-cos ที่เลื่อนมุม
Solve, for $-180^{\circ}\lt\theta\le180^{\circ}$, the equation $3\tan(\theta+43^{\circ})=2\cos(\theta+43^{\circ})$.
แก้สมการ $3\tan(\theta+43^{\circ})=2\cos(\theta+43^{\circ})$ สำหรับ $-180^{\circ}\lt\theta\le180^{\circ}$
$\theta$ satisfies $-180^{\circ}\lt\theta\leqslant180^{\circ}$. Write the interval satisfied by $\theta+43^{\circ}$.
มุม $\theta$ อยู่ในช่วง $-180^{\circ}\lt\theta\leqslant180^{\circ}$ จงเขียนช่วงของ $\theta+43^{\circ}$
Answershow ▾
Add $43^{\circ}$ to every part of the interval.บวก $43^{\circ}$ เข้ากับทุกส่วนของช่วง
Write $\tan(\theta+43^{\circ})$ using $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}$.
จงเขียน $\tan(\theta+43^{\circ})$ โดยใช้ $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}$
Answershow ▾
Tan is sin over cos, for any angle.tan คือ sin ส่วน cos สำหรับมุมใดก็ได้
Write $\cos^{2}(\theta+43^{\circ})$ using $\cos^{2}=1-\sin^{2}$.
จงเขียน $\cos^{2}(\theta+43^{\circ})$ โดยใช้ $\cos^{2}=1-\sin^{2}$
Answershow ▾
This is the Pythagorean identity, rearranged for cos squared.เป็นเอกลักษณ์พีทาโกรัส จัดรูปใหม่สำหรับ cos กำลังสอง
$3\tan(\theta+43^{\circ})=2\cos(\theta+43^{\circ})$. Pick the first move.
(A) write $\tan$ as $\dfrac{\sin}{\cos}$, then multiply both sides by $\cos(\theta+43^{\circ})$
(B) multiply both sides by $\sin(\theta+43^{\circ})$
(C) square both sides straight away
$3\tan(\theta+43^{\circ})=2\cos(\theta+43^{\circ})$ จงเลือกขั้นแรก
(A) เขียน $\tan$ เป็น $\dfrac{\sin}{\cos}$ แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย $\cos(\theta+43^{\circ})$
(B) คูณทั้งสองข้างด้วย $\sin(\theta+43^{\circ})$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างทันที
Answershow ▾
(B) does not remove the $\cos(\theta+43^{\circ})$ underneath tan - a fraction is still there. (C) squares tan and cos together with no single identity linking $\tan^{2}$ to $\cos^{2}$, and it can create solutions that do not fit the original equation.(B) ไม่ได้กำจัด $\cos(\theta+43^{\circ})$ ที่อยู่ใต้ tan ยังมีเศษส่วนเหลืออยู่ · (C) ยกกำลังสองทั้ง tan และ cos โดยไม่มีเอกลักษณ์เดียวที่เชื่อม $\tan^{2}$ กับ $\cos^{2}$ และอาจสร้างคำตอบที่ไม่ตรงกับสมการเดิม
Write $\tan(\theta+43^{\circ})$ as $\dfrac{\sin(\theta+43^{\circ})}{\cos(\theta+43^{\circ})}$ in $3\tan(\theta+43^{\circ})=2\cos(\theta+43^{\circ})$, then multiply both sides by $\cos(\theta+43^{\circ})$.
เขียน $\tan(\theta+43^{\circ})$ เป็น $\dfrac{\sin(\theta+43^{\circ})}{\cos(\theta+43^{\circ})}$ ใน $3\tan(\theta+43^{\circ})=2\cos(\theta+43^{\circ})$ แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย $\cos(\theta+43^{\circ})$
Answershow ▾
Multiplying by $\cos(\theta+43^{\circ})$ cancels the denominator inside tan.การคูณด้วย $\cos(\theta+43^{\circ})$ ตัดตัวหารที่อยู่ใน tan ออกไป
Use $\cos^{2}(\theta+43^{\circ})=1-\sin^{2}(\theta+43^{\circ})$ in $3\sin(\theta+43^{\circ})=2\cos^{2}(\theta+43^{\circ})$. Write the result as a quadratic equal to $0$.
ใช้ $\cos^{2}(\theta+43^{\circ})=1-\sin^{2}(\theta+43^{\circ})$ ใน $3\sin(\theta+43^{\circ})=2\cos^{2}(\theta+43^{\circ})$ แล้วเขียนผลลัพธ์เป็นสมการกำลังสองเท่ากับ $0$
Answershow ▾
Substitute, then collect everything onto one side.แทนค่าแล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว
Solve $2\sin^{2}(\theta+43^{\circ})+3\sin(\theta+43^{\circ})-2=0$ by factorising. Write both values of $\sin(\theta+43^{\circ})$.
แก้สมการ $2\sin^{2}(\theta+43^{\circ})+3\sin(\theta+43^{\circ})-2=0$ โดยแยกตัวประกอบ จงเขียนค่า $\sin(\theta+43^{\circ})$ ทั้งสองค่า
Answershow ▾
Check by expanding: $(2s-1)(s+2)$ gives $2s^{2}+3s-2$, where $s=\sin(\theta+43^{\circ})$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(2s-1)(s+2)$ ได้ $2s^{2}+3s-2$ โดย $s=\sin(\theta+43^{\circ})$
$\sin(\theta+43^{\circ})=\tfrac{1}{2}$ or $-2$. Pick what happens next.
(A) solve both with inverse sine
(B) reject $-2$, keep only $\sin(\theta+43^{\circ})=\tfrac{1}{2}$
(C) reject $\tfrac{1}{2}$, keep only $-2$
$\sin(\theta+43^{\circ})=\tfrac{1}{2}$ หรือ $-2$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) ใช้ไซน์ผกผัน (inverse sine) แก้ทั้งสองค่า
(B) ตัด $-2$ ทิ้ง เก็บเฉพาะ $\sin(\theta+43^{\circ})=\tfrac{1}{2}$
(C) ตัด $\tfrac{1}{2}$ ทิ้ง เก็บเฉพาะ $-2$
Answershow ▾
(A) fails because sine never leaves $[-1,1]$, so inverse sine of $-2$ does not exist. (C) throws away the valid root and keeps the impossible one, for no reason.(A) ผิด เพราะไซน์ไม่เคยออกนอกช่วง $[-1,1]$ ดังนั้นไซน์ผกผันของ $-2$ ไม่มีค่า · (C) ทิ้งคำตอบที่ถูกต้อง แล้วเก็บค่าที่เป็นไปไม่ได้ไว้โดยไม่มีเหตุผล
Using the interval $-137^{\circ}\lt\theta+43^{\circ}\leqslant223^{\circ}$ from question $1$, solve $\sin(\theta+43^{\circ})=\tfrac{1}{2}$. Write both values of $\theta+43^{\circ}$.
ใช้ช่วง $-137^{\circ}\lt\theta+43^{\circ}\leqslant223^{\circ}$ จากข้อ $1$ แก้ $\sin(\theta+43^{\circ})=\tfrac{1}{2}$ จงเขียนค่า $\theta+43^{\circ}$ ทั้งสองค่า
Answershow ▾
Sine is positive in the first and second quadrants.sine เป็นบวกในควอดรันต์ที่หนึ่งและสอง
Subtract $43^{\circ}$ from $30^{\circ}$ and from $150^{\circ}$ to find $\theta$. Check $\theta=-13^{\circ}$ in the original equation: does $3\tan(30^{\circ})=2\cos(30^{\circ})$?
ลบ $43^{\circ}$ ออกจาก $30^{\circ}$ และ $150^{\circ}$ เพื่อหา $\theta$ ตรวจ $\theta=-13^{\circ}$ ในสมการเดิม: $3\tan(30^{\circ})=2\cos(30^{\circ})$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
Both sides equal $\sqrt{3}$.ทั้งสองข้างเท่ากับ $\sqrt{3}$
Solve, for $-180^{\circ}\lt\theta\leqslant180^{\circ}$, the equation $3\tan(\theta+10^{\circ})=2\cos(\theta+10^{\circ})$.
แก้สมการ $3\tan(\theta+10^{\circ})=2\cos(\theta+10^{\circ})$ สำหรับ $-180^{\circ}\lt\theta\leqslant180^{\circ}$
Answershow ▾
Same five moves: sin over cos, clear the fraction, swap cos squared, factorise, shift back by $10^{\circ}$.ห้าขั้นเดิม: sin ส่วน cos กำจัดเศษส่วน สลับ cos กำลังสอง แยกตัวประกอบ แล้วเลื่อนกลับด้วย $10^{\circ}$
Solve, for $-180^{\circ}\lt\theta\le180^{\circ}$, the equation $3\tan(\theta+43^{\circ})=2\cos(\theta+43^{\circ})$.
แก้สมการ $3\tan(\theta+43^{\circ})=2\cos(\theta+43^{\circ})$ สำหรับ $-180^{\circ}\lt\theta\le180^{\circ}$
Answershow ▾
6 marks: tan as sin over cos, clear the fraction, swap cos squared for $1-\sin^{2}$, factorise, reject $\sin(\theta+43^{\circ})=-2$, then shift back by $43^{\circ}$.6 คะแนน: tan เป็น sin ส่วน cos กำจัดเศษส่วน สลับ cos กำลังสองเป็น $1-\sin^{2}$ แยกตัวประกอบ ตัด $\sin(\theta+43^{\circ})=-2$ ทิ้ง แล้วเลื่อนกลับด้วย $43^{\circ}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Factorise, then hence shift the angle แยกตัวประกอบ แล้วจากนั้นเลื่อนมุม
(a) Solve, for $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$, the equation $2\tan\theta+3\sin\theta=0$ giving your answers, as appropriate, to one decimal place.
(b) Hence, or otherwise, find the smallest positive solution of $2\tan(2x+40^{\circ})+3\sin(2x+40^{\circ})=0$ giving your answer to one decimal place.
(ก) แก้สมการ $2\tan\theta+3\sin\theta=0$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$ โดยให้คำตอบตามความเหมาะสม ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ข) จากนั้น (หรือวิธีอื่น) หาคำตอบบวกที่น้อยที่สุด (smallest positive solution) ของ $2\tan(2x+40^{\circ})+3\sin(2x+40^{\circ})=0$ โดยให้คำตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Write $2\tan\theta$ using $\sin\theta$ and $\cos\theta$.
จงเขียน $2\tan\theta$ โดยใช้ $\sin\theta$ และ $\cos\theta$
Answershow ▾
tan is sin over cos, so the $2$ stays on top.tan คือ sin หารด้วย cos ดังนั้น $2$ อยู่บนเศษเดิม
Factorise $2\sin\theta+3\sin\theta\cos\theta$.
จงแยกตัวประกอบ $2\sin\theta+3\sin\theta\cos\theta$
Answershow ▾
Both terms share the factor $\sin\theta$.ทั้งสองพจน์มี $\sin\theta$ เป็นตัวประกอบร่วม
Solve $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ for $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$.
จงแก้ $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$
Answershow ▾
The reference angle is $45^{\circ}$; cos is negative in quadrants 2 and 3.มุมอ้างอิงคือ $45^{\circ}$ · cos เป็นลบในควอดรันต์ 2 และ 3
$2\tan\theta+3\sin\theta=0$. Pick the first move.
(A) divide both sides by $\sin\theta$
(B) write $\tan\theta$ as $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
(C) square both sides
$2\tan\theta+3\sin\theta=0$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $\sin\theta$
(B) เขียน $\tan\theta$ เป็น $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
Answershow ▾
(A) assumes $\sin\theta\ne0$, so it loses $\theta=180^{\circ}$ and $360^{\circ}$. (C) makes a new equation with extra roots that do not fit the original.(A) ตั้งสมมติฐานว่า $\sin\theta\ne0$ จึงทำให้เสีย $\theta=180^{\circ}$ และ $360^{\circ}$ ไป · (C) ได้สมการใหม่ที่มีคำตอบเกินซึ่งไม่ตรงกับสมการเดิม
Rewrite $2\tan\theta+3\sin\theta=0$ using $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
จงเขียน $2\tan\theta+3\sin\theta=0$ ใหม่ โดยใช้ $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
Answershow ▾
Same swap as question 1, inside the real equation.สลับแบบเดียวกับข้อ 1 แต่อยู่ในสมการจริง
Multiply $\dfrac{2\sin\theta}{\cos\theta}+3\sin\theta=0$ by $\cos\theta$, then factorise.
จงคูณ $\dfrac{2\sin\theta}{\cos\theta}+3\sin\theta=0$ ด้วย $\cos\theta$ แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Same factorising as question 2, now as an equation.แยกตัวประกอบแบบเดียวกับข้อ 2 แต่เป็นสมการแล้ว
Solve $\cos\theta=-\dfrac23$ for $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$, to 1 d.p.
จงแก้ $\cos\theta=-\dfrac23$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same quadrant 2/3 method as question 3, with this reference angle.ใช้วิธีควอดรันต์ 2 และ 3 แบบเดียวกับข้อ 3 แต่มุมอ้างอิงต่างกัน
$2x+40^{\circ}=131.8^{\circ}$. Pick the first move to find $x$.
(A) divide $131.8^{\circ}$ by $2$, then subtract $40^{\circ}$
(B) subtract $40^{\circ}$ from $131.8^{\circ}$, then divide by $2$
(C) subtract $40^{\circ}$ from $131.8^{\circ}$, then multiply by $2$
$2x+40^{\circ}=131.8^{\circ}$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $x$
(A) หาร $131.8^{\circ}$ ด้วย $2$ แล้วลบ $40^{\circ}$
(B) ลบ $40^{\circ}$ จาก $131.8^{\circ}$ แล้วหารด้วย $2$
(C) ลบ $40^{\circ}$ จาก $131.8^{\circ}$ แล้วคูณด้วย $2$
Answershow ▾
Undo $+40^{\circ}$ before $\times2$, the reverse order they were applied. (A) divides before subtracting, so the $40^{\circ}$ is divided too. (C) multiplies instead of dividing.ต้องย้อน $+40^{\circ}$ ก่อน $\times2$ ตามลำดับย้อนกลับ · (A) หารก่อนลบ ทำให้ $40^{\circ}$ ถูกหารไปด้วย · (C) คูณแทนที่จะหาร
Solve $\sin\theta=0$ for $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$, then combine with question 6 to give every solution of (a).
จงแก้ $\sin\theta=0$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$ แล้วรวมกับข้อ 6 เพื่อให้คำตอบ (a) ครบทุกค่า
Answershow ▾
$\theta=0^{\circ}$ is excluded, since the interval starts $0^{\circ}\lt\theta$.$\theta=0^{\circ}$ ไม่นับ เพราะช่วงเริ่มที่ $0^{\circ}\lt\theta$
The smallest solution from (a) above $40^{\circ}$ is $131.8^{\circ}$. Solve $2x+40^{\circ}=131.8^{\circ}$ for $x$.
คำตอบที่น้อยที่สุดจาก (a) ที่มากกว่า $40^{\circ}$ คือ $131.8^{\circ}$ จงแก้ $2x+40^{\circ}=131.8^{\circ}$ หา $x$
Answershow ▾
Subtract $40^{\circ}$ first, then divide by $2$, as in the decision above.ลบ $40^{\circ}$ ก่อน แล้วหารด้วย $2$ ตามการตัดสินใจข้างบน
(a) Solve, for $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$, the equation $\tan\theta+2\sin\theta=0$.
(b) Hence, find the smallest positive solution of $\tan(x+20^{\circ})+2\sin(x+20^{\circ})=0$.
(ก) จงแก้สมการ $\tan\theta+2\sin\theta=0$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$
(ข) จากนั้น จงหาคำตอบบวกที่น้อยที่สุดของ $\tan(x+20^{\circ})+2\sin(x+20^{\circ})=0$
Answershow ▾
Same two moves: factorise to $\sin\theta=0$ or $\cos\theta=-\tfrac12$, then shift and halve for $x$.สองขั้นเดิม: แยกตัวประกอบได้ $\sin\theta=0$ หรือ $\cos\theta=-\tfrac12$ แล้วเลื่อนและหารสองหา $x$
(a) Solve, for $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$, the equation $2\tan\theta+3\sin\theta=0$ giving your answers, as appropriate, to one decimal place.
(b) Hence, or otherwise, find the smallest positive solution of $2\tan(2x+40^{\circ})+3\sin(2x+40^{\circ})=0$ giving your answer to one decimal place.
(ก) แก้สมการ $2\tan\theta+3\sin\theta=0$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\le360^{\circ}$ โดยให้คำตอบตามความเหมาะสม ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ข) จากนั้น (หรือวิธีอื่น) หาคำตอบบวกที่น้อยที่สุด (smallest positive solution) ของ $2\tan(2x+40^{\circ})+3\sin(2x+40^{\circ})=0$ โดยให้คำตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
7 marks over two parts: factorise without dividing by $\sin\theta$, then shift the angle for $x$.7 คะแนน สองส่วน: แยกตัวประกอบโดยไม่หารด้วย $\sin\theta$ แล้วเลื่อนมุมเพื่อหา $x$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Divide for tan, substitute for cos หารเพื่อหา tan แทนค่าเพื่อหา cos
(i) Solve, for $-90^{\circ}\lt x\lt90^{\circ}$, the equation $3\sin(2x-15^{\circ})=\cos(2x-15^{\circ})$ giving your answers to one decimal place.
(ii) Solve, for $0\lt\theta\lt2\pi$, the equation $4\sin^{2}\theta+8\cos\theta=3$ giving your answers to 3 significant figures.
(i) แก้สมการ $3\sin(2x-15^{\circ})=\cos(2x-15^{\circ})$ สำหรับ $-90^{\circ}\lt x\lt90^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ii) แก้สมการ $4\sin^{2}\theta+8\cos\theta=3$ สำหรับ $0\lt\theta\lt2\pi$ โดยให้คำตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง (3 s.f.)
Divide both sides of $3\sin u=\cos u$ by $\cos u$. Write the new equation using $\tan u$.
หารทั้งสองข้างของ $3\sin u=\cos u$ ด้วย $\cos u$ แล้วเขียนสมการใหม่โดยใช้ $\tan u$
Answershow ▾
Dividing by $\cos u$ turns $\sin u$ into $\tan u$.การหารด้วย $\cos u$ เปลี่ยน $\sin u$ เป็น $\tan u$
Use inverse tan to find $u$, to 1 d.p., for $\tan u=\dfrac{1}{3}$ (the value between $0^{\circ}$ and $90^{\circ}$).
ใช้อาร์กแทนเจนต์หาค่า $u$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง สำหรับ $\tan u=\dfrac{1}{3}$ (ค่าระหว่าง $0^{\circ}$ และ $90^{\circ}$)
Answershow ▾
$\tan^{-1}$ of a positive number gives a value between $0^{\circ}$ and $90^{\circ}$.$\tan^{-1}$ ของจำนวนบวก ให้ค่าระหว่าง $0^{\circ}$ และ $90^{\circ}$
Replace $\sin^{2}\theta$ with $1-\cos^{2}\theta$ in $4\sin^{2}\theta+8\cos\theta=3$. Write the new equation (do not simplify yet).
แทน $\sin^{2}\theta$ ด้วย $1-\cos^{2}\theta$ ใน $4\sin^{2}\theta+8\cos\theta=3$ แล้วเขียนสมการใหม่ (ยังไม่ต้องจัดรูป)
Answershow ▾
The identity $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ swaps $\sin^{2}\theta$ for $1-\cos^{2}\theta$.เอกลักษณ์ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ ใช้แทน $\sin^{2}\theta$ ด้วย $1-\cos^{2}\theta$
You have $\tan u=\dfrac{1}{3}$ with one value $u=18.4^{\circ}$. To get the next solution, what do you add or subtract?
(A) $\pm360^{\circ}$, like $\sin$ or $\cos$
(B) $\pm180^{\circ}$
(C) $\pm90^{\circ}$
มี $\tan u=\dfrac{1}{3}$ และค่าหนึ่งคือ $u=18.4^{\circ}$ จะหาคำตอบถัดไป ต้องบวกหรือลบด้วยเท่าไร
(A) $\pm360^{\circ}$ แบบ $\sin$ หรือ $\cos$
(B) $\pm180^{\circ}$
(C) $\pm90^{\circ}$
Answershow ▾
$\tan$ repeats every $180^{\circ}$, not $360^{\circ}$ like $\sin$ and $\cos$; $90^{\circ}$ is not its period.$\tan$ ซ้ำทุก $180^{\circ}$ ไม่ใช่ $360^{\circ}$ แบบ $\sin$ และ $\cos$ และ $90^{\circ}$ ไม่ใช่คาบของมัน
$u=2x-15^{\circ}$ and $-90^{\circ}\lt x\lt90^{\circ}$. Work out the interval for $u$.
$u=2x-15^{\circ}$ และ $-90^{\circ}\lt x\lt90^{\circ}$ จงหาช่วงของ $u$
Answershow ▾
Multiply the interval by $2$, then subtract $15^{\circ}$ from both ends.คูณช่วงด้วย $2$ แล้วลบ $15^{\circ}$ จากทั้งสองปลาย
Using $u=18.4^{\circ}$ and step $180^{\circ}$, write both values of $u$ in $-195^{\circ}\lt u\lt165^{\circ}$.
ใช้ $u=18.4^{\circ}$ และก้าว $180^{\circ}$ จงเขียนค่า $u$ ทั้งสองค่าที่อยู่ในช่วง $-195^{\circ}\lt u\lt165^{\circ}$
Answershow ▾
$18.4^{\circ}-180^{\circ}=-161.6^{\circ}$, still inside the interval; one more step would leave it.$18.4^{\circ}-180^{\circ}=-161.6^{\circ}$ ยังอยู่ในช่วง ถ้าลบอีกครั้งจะหลุดช่วง
Use $x=\dfrac{u+15^{\circ}}{2}$ to find both values of $x$, to 1 d.p.
ใช้ $x=\dfrac{u+15^{\circ}}{2}$ หาค่า $x$ ทั้งสองค่า ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same formula, both values of $u$ in turn.สูตรเดียวกัน ใช้กับค่า $u$ ทั้งสองค่า
$4\cos^{2}\theta-8\cos\theta-1=0$. Pick the way to solve it.
(A) factorise, since the numbers are small
(B) use the quadratic formula
(C) complete the square by halving the $\cos^{2}\theta$ coefficient
$4\cos^{2}\theta-8\cos\theta-1=0$ จงเลือกวิธีแก้สมการ
(A) แยกตัวประกอบ เพราะตัวเลขไม่ใหญ่
(B) ใช้สูตรกำลังสอง
(C) หารครึ่งสัมประสิทธิ์ของ $\cos^{2}\theta$ เพื่อทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
Answershow ▾
(A) fails: $4\cos^{2}\theta-8\cos\theta-1$ has no integer factor pair, since $80$ is not a perfect square. (C) halves the wrong term: the method halves the $\cos\theta$ coefficient, not $\cos^{2}\theta$.(A) ทำไม่ได้ เพราะ $4\cos^{2}\theta-8\cos\theta-1$ ไม่มีตัวประกอบจำนวนเต็ม เนื่องจาก $80$ ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ ถอดรากที่สองไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม · (C) หารครึ่งพจน์ผิด ต้องหารครึ่งสัมประสิทธิ์ของ $\cos\theta$ ไม่ใช่ $\cos^{2}\theta$
Collect $4\left(1-\cos^{2}\theta\right)+8\cos\theta=3$ into the form $a\cos^{2}\theta+b\cos\theta+c=0$, then use the quadratic formula to write $\cos\theta$ as a surd.
จัดรูป $4\left(1-\cos^{2}\theta\right)+8\cos\theta=3$ ให้อยู่ในรูป $a\cos^{2}\theta+b\cos\theta+c=0$ แล้วใช้สูตรกำลังสองเขียน $\cos\theta$ ในรูปกรณฑ์
Answershow ▾
$\sqrt{80}=4\sqrt{5}$, and $\dfrac{4\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.$\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ และ $\dfrac{4\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$\cos\theta=1+\dfrac{\sqrt5}{2}\approx2.12$ or $\cos\theta=1-\dfrac{\sqrt5}{2}\approx-0.118$. Only one fits $-1\leqslant\cos\theta\leqslant1$. Use it to find both values of $\theta$ in $0\lt\theta\lt2\pi$, to 3 s.f.
$\cos\theta=1+\dfrac{\sqrt5}{2}\approx2.12$ หรือ $\cos\theta=1-\dfrac{\sqrt5}{2}\approx-0.118$ มีเพียงค่าเดียว ที่อยู่ในช่วง $-1\leqslant\cos\theta\leqslant1$ จงใช้ค่านั้นหา $\theta$ ทั้งสองค่าในช่วง $0\lt\theta\lt2\pi$ หน่วยเรเดียน (radians) ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\theta_{1}=\cos^{-1}(-0.118)$ is in $(0,\pi)$; the second solution is $2\pi-\theta_{1}$.$\theta_{1}=\cos^{-1}(-0.118)$ อยู่ในช่วง $(0,\pi)$ · คำตอบที่สองคือ $2\pi-\theta_{1}$
(i) Solve, for $-90^{\circ}\lt x\lt90^{\circ}$, the equation $\sin(2x-15^{\circ})=\cos(2x-15^{\circ})$, giving your answer to 1 d.p.
(ii) Solve, for $0\lt\theta\lt2\pi$, the equation $2\sin^{2}\theta+5\cos\theta=4$, giving your answer to 3 s.f.
(i) แก้สมการ $\sin(2x-15^{\circ})=\cos(2x-15^{\circ})$ สำหรับ $-90^{\circ}\lt x\lt90^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ii) แก้สมการ $2\sin^{2}\theta+5\cos\theta=4$ สำหรับ $0\lt\theta\lt2\pi$ โดยให้คำตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same two moves: divide by $\cos$ for (i), swap $\sin^{2}$ for (ii).สองขั้นเดิม หารด้วย $\cos$ สำหรับ (i) แทน $\sin^{2}$ สำหรับ (ii)
(i) Solve, for $-90^{\circ}\lt x\lt90^{\circ}$, the equation $3\sin(2x-15^{\circ})=\cos(2x-15^{\circ})$ giving your answers to one decimal place.
(ii) Solve, for $0\lt\theta\lt2\pi$, the equation $4\sin^{2}\theta+8\cos\theta=3$ giving your answers to 3 significant figures.
(i) แก้สมการ $3\sin(2x-15^{\circ})=\cos(2x-15^{\circ})$ สำหรับ $-90^{\circ}\lt x\lt90^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ii) แก้สมการ $4\sin^{2}\theta+8\cos\theta=3$ สำหรับ $0\lt\theta\lt2\pi$ โดยให้คำตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง (3 s.f.)
Answershow ▾
8 marks: divide for $\tan$ then shift the interval for (i); swap $\sin^{2}$ for a quadratic in $\cos$, rejecting the root outside $[-1,1]$, for (ii).8 คะแนน หารหา $\tan$ แล้วแปลงช่วงสำหรับ (i) · แทน $\sin^{2}$ ให้ได้สมการกำลังสองของ $\cos$ แล้วตัดรากที่อยู่นอก ช่วง $[-1,1]$ สำหรับ (ii)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Identity to a quadratic, then double the angle เอกลักษณ์สู่สมการกำลังสอง แล้วมุมสองเท่า
(a) Show that the equation $8\tan\theta=3\cos\theta$ may be rewritten in the form $3\sin^{2}\theta+8\sin\theta-3=0$.
(b) Hence solve, for $0^{\circ}\le x\lt90^{\circ}$, the equation $8\tan2x=3\cos2x$ giving your answers to 2 decimal places.
(ก) แสดงว่าสมการ $8\tan\theta=3\cos\theta$ เขียนใหม่ได้เป็น $3\sin^{2}\theta+8\sin\theta-3=0$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $8\tan2x=3\cos2x$ สำหรับ $0^{\circ}\le x\lt90^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Write $8\tan\theta$ in terms of $\sin\theta$ and $\cos\theta$.
จงเขียน $8\tan\theta$ ในรูปของ $\sin\theta$ และ $\cos\theta$
Answershow ▾
$\tan\theta$ is $\sin\theta$ divided by $\cos\theta$.$\tan\theta$ คือ $\sin\theta$ หารด้วย $\cos\theta$
Write $3\cos^{2}\theta$ in terms of $\sin\theta$ only.
จงเขียน $3\cos^{2}\theta$ ในรูปของ $\sin\theta$ เท่านั้น
Answershow ▾
Use $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$.ใช้ $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$
Factorise $3s^{2}+8s-3$.
จงแยกตัวประกอบ $3s^{2}+8s-3$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to give $3\times(-3)=-9$ and add to give $8$ are $9$ and $-1$.สองจำนวนที่คูณกันได้ $3\times(-3)=-9$ และบวกกันได้ $8$ คือ $9$ กับ $-1$
Multiply both sides of $8\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=3\cos\theta$ by $\cos\theta$. Write the result.
จงคูณทั้งสองข้างของ $8\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=3\cos\theta$ ด้วย $\cos\theta$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Multiplying by $\cos\theta$ cancels the $\cos\theta$ underneath on the left.การคูณด้วย $\cos\theta$ ทำให้ $\cos\theta$ ที่อยู่ข้างใต้ด้านซ้ายหายไป
Substitute $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ into $8\sin\theta=3\cos^{2}\theta$. Write the result, do not expand yet.
จงแทน $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ ใน $8\sin\theta=3\cos^{2}\theta$ แล้วเขียนสมการใหม่ ยังไม่ต้องกระจาย
Answershow ▾
Same move as question 2, now on the whole equation.ขั้นเดียวกับข้อ 2 แต่ใช้กับสมการทั้งสมการ
Expand and rearrange $8\sin\theta=3\left(1-\sin^{2}\theta\right)$ into the form $3\sin^{2}\theta+8\sin\theta-3=0$.
จงกระจายและจัดรูป $8\sin\theta=3\left(1-\sin^{2}\theta\right)$ ให้เป็นรูป $3\sin^{2}\theta+8\sin\theta-3=0$
Answershow ▾
Move every term to the left, one balancing step at a time.ย้ายทุกพจน์ไปด้านซ้าย ทีละขั้นด้วยการบวก/ลบทั้งสองข้าง
Factorising $3\sin^{2}\theta+8\sin\theta-3=0$ gives $\sin\theta=\tfrac13$ or $\sin\theta=-3$. Which do you keep?
(A) keep both values
(B) keep $\sin\theta=-3$, reject $\sin\theta=\tfrac13$
(C) keep $\sin\theta=\tfrac13$, reject $\sin\theta=-3$
แยกตัวประกอบ $3\sin^{2}\theta+8\sin\theta-3=0$ ได้ $\sin\theta=\tfrac13$ หรือ $\sin\theta=-3$ จงเลือกค่าที่เก็บไว้
(A) เก็บทั้งสองค่า
(B) เก็บ $\sin\theta=-3$ ตัด $\sin\theta=\tfrac13$ ทิ้ง
(C) เก็บ $\sin\theta=\tfrac13$ ตัด $\sin\theta=-3$ ทิ้ง
Answershow ▾
(A) and (B) both keep $\sin\theta=-3$, but sine never leaves $[-1,1]$, so that value is impossible.(A) กับ (B) เก็บ $\sin\theta=-3$ ไว้ แต่ไซน์ไม่เคยออกนอกช่วง $[-1,1]$ ค่านี้จึงเป็นไปไม่ได้
Hence, using $\theta=2x$, solve $3\sin^{2}2x+8\sin2x-3=0$ for $\sin2x$, keeping only the valid root.
จากนั้น ใช้ $\theta=2x$ แก้สมการ $3\sin^{2}2x+8\sin2x-3=0$ เพื่อหา $\sin2x$ เก็บเฉพาะค่าที่เป็นไปได้
Answershow ▾
Same factorising as question 3, now with $\sin2x$ in place of $s$.แยกตัวประกอบแบบเดียวกับข้อ 3 แต่ใช้ $\sin2x$ แทน $s$
For part (b), $0^{\circ}\leqslant x\lt90^{\circ}$. What interval must $2x$ satisfy before you invert $\sin$?
(A) $0^{\circ}\leqslant2x\lt90^{\circ}$
(B) $0^{\circ}\leqslant2x\lt180^{\circ}$
(C) $0^{\circ}\leqslant2x\lt360^{\circ}$
ในข้อ (b) $0^{\circ}\leqslant x\lt90^{\circ}$ แล้ว $2x$ ต้องอยู่ในช่วงใดก่อนหาไซน์ผกผัน (inverse sine)
(A) $0^{\circ}\leqslant2x\lt90^{\circ}$
(B) $0^{\circ}\leqslant2x\lt180^{\circ}$
(C) $0^{\circ}\leqslant2x\lt360^{\circ}$
Answershow ▾
(A) keeps the interval for $x$, forgetting to double it for $2x$. (C) doubles it twice, which is the full period of $\sin\theta$, not the doubled interval.(A) ใช้ช่วงของ $x$ โดยไม่ได้คูณสอง · (C) คูณสองซ้ำสองครั้ง กลายเป็นคาบเต็มของ $\sin\theta$ ไม่ใช่ช่วงที่คูณสองแล้ว
Solve $\sin2x=\tfrac13$ for $0^{\circ}\leqslant2x\lt180^{\circ}$, then halve to find $x$. Give both values to 2 decimal places.
จงแก้สมการ $\sin2x=\tfrac13$ สำหรับ $0^{\circ}\leqslant2x\lt180^{\circ}$ แล้วหารด้วย $2$ เพื่อหา $x$ ให้คำตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$2x=19.47^{\circ}$ gives one value directly; $180^{\circ}-19.47^{\circ}=160.53^{\circ}$ gives the other, from the symmetry of sine.$2x=19.47^{\circ}$ ให้ค่าหนึ่งตรง ๆ ส่วน $180^{\circ}-19.47^{\circ}=160.53^{\circ}$ ให้อีกค่า จากความสมมาตรของไซน์
Show that $3\tan\theta=2\cos\theta$ can be written as $2\sin^{2}\theta+3\sin\theta-2=0$. Hence solve $3\tan2x=2\cos2x$ for $0^{\circ}\leqslant x\lt90^{\circ}$.
จงแสดงว่า $3\tan\theta=2\cos\theta$ เขียนใหม่ได้เป็น $2\sin^{2}\theta+3\sin\theta-2=0$ จากนั้นแก้สมการ $3\tan2x=2\cos2x$ สำหรับ $0^{\circ}\leqslant x\lt90^{\circ}$
Answershow ▾
Same three moves: multiply by $\cos\theta$, substitute $\cos^{2}\theta$, then solve the quadratic in $\sin2x$.สามขั้นเดิม: คูณด้วย $\cos\theta$ แทนค่า $\cos^{2}\theta$ แล้วแก้สมการกำลังสองของ $\sin2x$
(a) Show that the equation $8\tan\theta=3\cos\theta$ may be rewritten in the form $3\sin^{2}\theta+8\sin\theta-3=0$.
(b) Hence solve, for $0^{\circ}\le x\lt90^{\circ}$, the equation $8\tan2x=3\cos2x$ giving your answers to 2 decimal places.
(ก) แสดงว่าสมการ $8\tan\theta=3\cos\theta$ เขียนใหม่ได้เป็น $3\sin^{2}\theta+8\sin\theta-3=0$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $8\tan2x=3\cos2x$ สำหรับ $0^{\circ}\le x\lt90^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
7 marks: multiply by $\cos\theta$, substitute $\cos^{2}\theta$, factorise, reject $\sin2x=-3$, then invert sine and halve.7 คะแนน: คูณด้วย $\cos\theta$ แทนค่า $\cos^{2}\theta$ แยกตัวประกอบ ตัด $\sin2x=-3$ ทิ้ง แล้ว inverse sine และหารสอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An identity that hides a quadratic เอกลักษณ์ที่แฝงสมการกำลังสองไว้
(a) Show that $3\cos\theta(\tan\theta\sin\theta+3)=11-5\cos\theta$ may be written as $3\cos^{2}\theta-14\cos\theta+8=0$.
(b) Hence solve, for $0\lt x\lt360^{\circ}$, $3\cos2x(\tan2x\sin2x+3)=11-5\cos2x$ giving your answers to one decimal place.
(ก) แสดงว่า $3\cos\theta(\tan\theta\sin\theta+3)=11-5\cos\theta$ เขียนใหม่ได้เป็น $3\cos^{2}\theta-14\cos\theta+8=0$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $3\cos2x(\tan2x\sin2x+3)=11-5\cos2x$ สำหรับ $0\lt x\lt360^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Simplify $\cos\theta\times\tan\theta$.
จงลดรูป $\cos\theta\times\tan\theta$
Answershow ▾
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, so the $\cos\theta$s cancel.$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ดังนั้น $\cos\theta$ ตัดกัน
Use $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ to rewrite $3\sin^{2}\theta$ in terms of $\cos\theta$.
ใช้ $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ เขียน $3\sin^{2}\theta$ ในรูป $\cos\theta$
Answershow ▾
Multiply the identity through by $3$.คูณเอกลักษณ์ด้วย $3$ ตลอดสมการ
Factorise $3x^{2}-14x+8$.
จงแยกตัวประกอบ $3x^{2}-14x+8$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $3\times8=24$ and add to $-14$: $-2$ and $-12$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $3\times8=24$ และบวกกันได้ $-14$ คือ $-2$ และ $-12$
$3\cos\theta(\tan\theta\sin\theta+3)=11-5\cos\theta$. Pick the first move.
(A) expand the bracket: $3\cos\theta\tan\theta\sin\theta+9\cos\theta$
(B) divide every term by $\cos\theta$ first
(C) use $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ to replace $\sin\theta$ before expanding
$3\cos\theta(\tan\theta\sin\theta+3)=11-5\cos\theta$ จงเลือกขั้นแรก
(A) กระจายวงเล็บ: $3\cos\theta\tan\theta\sin\theta+9\cos\theta$
(B) หารทุกพจน์ด้วย $\cos\theta$ ก่อน
(C) ใช้ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ แทน $\sin\theta$ ก่อนกระจาย
Answershow ▾
(B) turns the lone $\cos\theta$ into $\sec\theta$ without touching $\tan\theta\sin\theta$, adding a function instead of removing one; (C) is a squared identity, but $\sin\theta$ here is to the first power.(B) ทำให้ $\cos\theta$ เดี่ยวกลายเป็น $\sec\theta$ โดยไม่ช่วย $\tan\theta\sin\theta$ เลย กลับเพิ่มฟังก์ชันใหม่ · (C) เป็นเอกลักษณ์ของค่ากำลังสอง แต่ $\sin\theta$ ที่นี่เป็นกำลังหนึ่ง
Expand $3\cos\theta(\tan\theta\sin\theta+3)$.
จงกระจาย $3\cos\theta(\tan\theta\sin\theta+3)$
Answershow ▾
Multiply $3\cos\theta$ into both terms in the bracket.คูณ $3\cos\theta$ เข้าไปทั้งสองพจน์ในวงเล็บ
Use $\cos\theta\tan\theta=\sin\theta$ (question $1$) to simplify $3\cos\theta\tan\theta\sin\theta+9\cos\theta$.
ใช้ $\cos\theta\tan\theta=\sin\theta$ (ข้อ $1$) ลดรูป $3\cos\theta\tan\theta\sin\theta+9\cos\theta$
Answershow ▾
$\cos\theta\tan\theta\sin\theta$ becomes $\sin\theta\times\sin\theta$.$\cos\theta\tan\theta\sin\theta$ กลายเป็น $\sin\theta\times\sin\theta$
Combine $3\sin^{2}\theta+9\cos\theta=11-5\cos\theta$ with the substitution from question $2$, and collect everything on one side.
รวม $3\sin^{2}\theta+9\cos\theta=11-5\cos\theta$ กับการแทนค่าจากข้อ $2$ แล้วจัดทุกพจน์มาไว้ข้างเดียว
Answershow ▾
Collect, then multiply by $-1$ so $\cos^{2}\theta$ is positive.จัดรวมพจน์ แล้วคูณด้วย $-1$ เพื่อให้ $\cos^{2}\theta$ เป็นบวก
$(3\cos\theta-2)(\cos\theta-4)=0$. Pick the useable root for $\cos\theta$.
(A) $\cos\theta=\dfrac{2}{3}$ only
(B) $\cos\theta=\dfrac{2}{3}$ or $\cos\theta=4$
(C) $\cos\theta=4$ only
$(3\cos\theta-2)(\cos\theta-4)=0$ จงเลือกรากที่ใช้ได้จริงสำหรับ $\cos\theta$
(A) $\cos\theta=\dfrac{2}{3}$ เท่านั้น
(B) $\cos\theta=\dfrac{2}{3}$ หรือ $\cos\theta=4$
(C) $\cos\theta=4$ เท่านั้น
Answershow ▾
(B) keeps $\cos\theta=4$ even though cosine never leaves $[-1,1]$; (C) keeps only the impossible root and drops the real one.(B) ยังเก็บ $\cos\theta=4$ ไว้ ทั้งที่โคไซน์ไม่เคยออกนอกช่วง $[-1,1]$ · (C) เก็บเฉพาะรากที่เป็นไปไม่ได้ แล้วทิ้งรากที่ใช้ได้จริง
The equation is in terms of $2x$, and $0\lt x\lt360^{\circ}$. Write the interval for $2x$.
สมการอยู่ในรูปของ $2x$ และ $0\lt x\lt360^{\circ}$ จงเขียนช่วงของ $2x$
Answershow ▾
Multiply every part of the interval by $2$.คูณทุกส่วนของช่วงด้วย $2$
$\cos2x=\dfrac{2}{3}$ gives $2x=48.2^{\circ}$ or $2x=311.8^{\circ}$ in the first $360^{\circ}$. Add $360^{\circ}$ to each to find the other two values of $2x$, up to $720^{\circ}$.
$\cos2x=\dfrac{2}{3}$ ให้ $2x=48.2^{\circ}$ หรือ $2x=311.8^{\circ}$ ในช่วง $360^{\circ}$ แรก จงบวก $360^{\circ}$ เข้าไปในแต่ละค่า เพื่อหา $2x$ อีกสองค่า จนถึง $720^{\circ}$
Answershow ▾
Cosine repeats every $360^{\circ}$, so the first-cycle roots repeat one cycle later.cosine ซ้ำทุก $360^{\circ}$ รากในรอบแรกจึงซ้ำอีกครั้งในรอบถัดไป
Show that $2\cos\theta(\tan\theta\sin\theta+2)=4-\cos\theta$ may be written as $2\cos^{2}\theta-5\cos\theta+2=0$. Hence solve, for $0\lt x\lt360^{\circ}$, $2\cos2x(\tan2x\sin2x+2)=4-\cos2x$.
แสดงว่า $2\cos\theta(\tan\theta\sin\theta+2)=4-\cos\theta$ เขียนใหม่ได้เป็น $2\cos^{2}\theta-5\cos\theta+2=0$ จากนั้นแก้สมการ $2\cos2x(\tan2x\sin2x+2)=4-\cos2x$ สำหรับ $0\lt x\lt360^{\circ}$
Answershow ▾
Same three moves: collapse $\cos\theta\tan\theta$ to $\sin\theta$, swap $\sin^{2}\theta$, then extend the interval and halve.สามขั้นเดิม: ยุบ $\cos\theta\tan\theta$ เป็น $\sin\theta$ สลับ $\sin^{2}\theta$ แล้วขยายช่วงและหารสอง
(a) Show that $3\cos\theta(\tan\theta\sin\theta+3)=11-5\cos\theta$ may be written as $3\cos^{2}\theta-14\cos\theta+8=0$.
(b) Hence solve, for $0\lt x\lt360^{\circ}$, $3\cos2x(\tan2x\sin2x+3)=11-5\cos2x$ giving your answers to one decimal place.
(ก) แสดงว่า $3\cos\theta(\tan\theta\sin\theta+3)=11-5\cos\theta$ เขียนใหม่ได้เป็น $3\cos^{2}\theta-14\cos\theta+8=0$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $3\cos2x(\tan2x\sin2x+3)=11-5\cos2x$ สำหรับ $0\lt x\lt360^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
7 marks: 3 for the quadratic in $\cos\theta$, 4 for all four values of $2x$ then halved.7 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับสมการกำลังสองของ $\cos\theta$ อีก 4 คะแนนสำหรับ $2x$ ครบสี่ค่าแล้วหารสอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Identity into quadratic, then solve แปลงเอกลักษณ์เป็นสมการกำลังสอง แล้วแก้
(a) Show that the equation $(3\cos\theta-\tan\theta)\cos\theta=2$ can be written as $3\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0$.
(b) Hence solve for $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$, $(3\cos2x-\tan2x)\cos2x=2$, giving your answers to 3 significant figures.
(ก) แสดงว่าสมการ $(3\cos\theta-\tan\theta)\cos\theta=2$ เขียนใหม่ได้เป็น $3\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $(3\cos2x-\tan2x)\cos2x=2$ สำหรับ $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง (3 s.f.)
Simplify $\tan\theta\cos\theta$.
จงจัดรูป $\tan\theta\cos\theta$ ให้ง่ายขึ้น
Answershow ▾
Write $\tan\theta$ as $\sin\theta$ over $\cos\theta$, then the $\cos\theta$ cancels.เขียน $\tan\theta$ เป็น $\sin\theta$ หาร $\cos\theta$ แล้ว $\cos\theta$ จะตัดกัน
Write $3\cos^{2}\theta$ in terms of $\sin\theta$.
จงเขียน $3\cos^{2}\theta$ ในรูปของ $\sin\theta$
Answershow ▾
Use $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$, then multiply out the $3$.ใช้ $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ แล้วกระจาย $3$ เข้าไป
Solve $3s^{2}+s-1=0$ for $s$, leaving your answer as a surd.
จงแก้สมการ $3s^{2}+s-1=0$ หาค่า $s$ โดยเขียนคำตอบเป็นกรณฑ์
Answershow ▾
These numbers do not give a whole-number factor pair, so use the quadratic formula.ตัวเลขนี้ไม่มีคู่ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็ม จึงต้องใช้สูตรกำลังสอง
$(3\cos\theta-\tan\theta)\cos\theta=2$. Pick the first move.
(A) expand the bracket, then use $\tan\theta\cos\theta=\sin\theta$
(B) square both sides of the equation
(C) divide both sides by $\cos\theta$
$(3\cos\theta-\tan\theta)\cos\theta=2$ จงเลือกขั้นแรก
(A) กระจายวงเล็บ แล้วใช้ $\tan\theta\cos\theta=\sin\theta$
(B) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ
(C) หารทั้งสองข้างด้วย $\cos\theta$
Answershow ▾
(B) makes $\cos^{4}\theta$ terms you do not need - nothing here is a square root. (C) turns $\tan\theta\cos\theta$ back into $\tan\theta$ alone, so the identity no longer applies.(B) ทำให้เกิดพจน์ $\cos^{4}\theta$ ที่ไม่จำเป็น เพราะไม่มีรากที่สองในสมการนี้ · (C) ทำให้ $\tan\theta\cos\theta$ กลายเป็น $\tan\theta$ เดี่ยวๆ เอกลักษณ์จึงใช้ไม่ได้อีก
Expand $(3\cos\theta-\tan\theta)\cos\theta$.
จงกระจาย $(3\cos\theta-\tan\theta)\cos\theta$
Answershow ▾
Multiply $\cos\theta$ onto both terms inside the bracket.คูณ $\cos\theta$ เข้าไปทั้งสองพจน์ในวงเล็บ
Use $\tan\theta\cos\theta=\sin\theta$ to simplify $3\cos^{2}\theta-\tan\theta\cos\theta=2$.
ใช้ $\tan\theta\cos\theta=\sin\theta$ เพื่อจัดรูป $3\cos^{2}\theta-\tan\theta\cos\theta=2$ ให้ง่ายขึ้น
Answershow ▾
Only the $\tan\theta\cos\theta$ term changes.มีแค่พจน์ $\tan\theta\cos\theta$ ที่เปลี่ยน
Use $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ to show that $3\cos^{2}\theta-\sin\theta=2$ can be written $3\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0$.
ใช้ $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ แสดงว่า $3\cos^{2}\theta-\sin\theta=2$ เขียนใหม่ได้เป็น $3\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0$
Answershow ▾
Move the $2$ across, then multiply by $-1$ so the $\sin^{2}\theta$ term is positive.ย้าย $2$ ข้ามไป แล้วคูณด้วย $-1$ เพื่อให้พจน์ $\sin^{2}\theta$ เป็นบวก
$3\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0$ does not factorise with whole numbers. Pick the method to solve it for $\sin\theta$.
(A) try integer factor pairs of $-3$
(B) use the quadratic formula, treating $\sin\theta$ as the unknown
(C) take the square root of both sides
$3\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0$ แยกตัวประกอบด้วยจำนวนเต็มไม่ได้ จงเลือกวิธีแก้สมการหา $\sin\theta$
(A) ลองคู่ตัวประกอบของ $-3$
(B) ใช้สูตรกำลังสอง โดยถือว่า $\sin\theta$ เป็นตัวไม่รู้ค่า
(C) ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง
Answershow ▾
(A) fails because $1^{2}-4(3)(-1)=13$ is not a perfect square. (C) fails because there is a $\sin\theta$ term on its own, not only $\sin^{2}\theta$.(A) ใช้ไม่ได้ เพราะ $1^{2}-4(3)(-1)=13$ ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ · (C) ใช้ไม่ได้ เพราะมีพจน์ $\sin\theta$ เดี่ยวๆ ไม่ใช่มีแค่ $\sin^{2}\theta$
Let $\theta=2x$. Solve $3\sin^{2}2x+\sin2x-1=0$ for $\sin2x$, giving both values to 3 significant figures.
กำหนด $\theta=2x$ จงแก้สมการ $3\sin^{2}2x+\sin2x-1=0$ หา $\sin2x$ โดยให้คำตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง (3 s.f.)
Answershow ▾
Same quadratic formula as question 3, now with $\sin2x$ in place of $s$.สูตรกำลังสองเดิมจากข้อ 3 เพียงแต่เปลี่ยน $s$ เป็น $\sin2x$
For $\sin2x=0.434$, find every value of $2x$ in $-\pi\leqslant2x\leqslant\pi$ (radians), then find $x$. Give your answers to 3 s.f.
สำหรับ $\sin2x=0.434$ จงหาค่า $2x$ ให้ครบในช่วง $-\pi\leqslant2x\leqslant\pi$ หน่วยเรเดียน (radian) แล้วหา $x$ โดยให้คำตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง (3 s.f.)
Answershow ▾
A positive $\sin$ value gives one solution near $0$ and one near $\pi$.ค่า $\sin$ ที่เป็นบวก ให้คำตอบหนึ่งใกล้ $0$ และอีกคำตอบใกล้ $\pi$
Show that $(2\cos\theta-\tan\theta)\cos\theta=1$ can be written $2\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0$. Hence solve, for $-\dfrac{\pi}{2}\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$, $(2\cos2x-\tan2x)\cos2x=1$.
แสดงว่า $(2\cos\theta-\tan\theta)\cos\theta=1$ เขียนใหม่ได้เป็น $2\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0$ จากนั้นแก้สมการ $(2\cos2x-\tan2x)\cos2x=1$ สำหรับ $-\dfrac{\pi}{2}\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$
Answershow ▾
Same four moves as the exam question, but this quadratic factorises and the roots are exact fractions of $\pi$.สี่ขั้นเดิมเหมือนข้อสอบจริง แต่สมการกำลังสองนี้แยกตัวประกอบได้ และได้รากเป็นเศษส่วนของ $\pi$ พอดี
(a) Show that the equation $(3\cos\theta-\tan\theta)\cos\theta=2$ can be written as $3\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0$.
(b) Hence solve for $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$, $(3\cos2x-\tan2x)\cos2x=2$, giving your answers to 3 significant figures.
(ก) แสดงว่าสมการ $(3\cos\theta-\tan\theta)\cos\theta=2$ เขียนใหม่ได้เป็น $3\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $(3\cos2x-\tan2x)\cos2x=2$ สำหรับ $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง (3 s.f.)
Answershow ▾
8 marks: 4 for method (the identity steps and the formula), 4 for correct values - show every line, including both square roots.8 คะแนน: 4 คะแนนเป็นวิธีทำ (ขั้นเอกลักษณ์และสูตรกำลังสอง) อีก 4 คะแนนเป็นคำตอบที่ถูก จึงต้องเขียนทุกบรรทัด รวมทั้งรากที่สองทั้งสองค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic in sin, shifted interval สมการกำลังสองของ sin ช่วงที่เลื่อน
In this question you must show detailed reasoning. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
(a) Show that the equation $2\tan\theta=3\cos\theta$ can be written as $3\sin^{2}\theta+2\sin\theta-3=0$.
(b) Hence solve, for $-\pi\lt x\lt\pi$, the equation $2\tan\left(2x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=3\cos\left(2x+\dfrac{2\pi}{3}\right)$ giving your answers to 3 significant figures.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำอย่างละเอียด คำตอบที่ได้จากการใช้เครื่องคิดเลขล้วนๆ (calculator technology) จะไม่ได้รับคะแนน
(ก) แสดงว่าสมการ $2\tan\theta=3\cos\theta$ เขียนใหม่ได้เป็น $3\sin^{2}\theta+2\sin\theta-3=0$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $2\tan\left(2x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=3\cos\left(2x+\dfrac{2\pi}{3}\right)$ สำหรับ $-\pi\lt x\lt\pi$ โดยให้คำตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง (3 s.f.)
Write $2\tan\theta=3\cos\theta$ using $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, then multiply both sides by $\cos\theta$.
จงเขียน $2\tan\theta=3\cos\theta$ โดยใช้ $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย $\cos\theta$
Answershow ▾
Replace $\tan\theta$, then clear the fraction by multiplying by $\cos\theta$.แทน $\tan\theta$ แล้วคูณด้วย $\cos\theta$ เพื่อกำจัดเศษส่วน
Write $3\cos^{2}\theta$ in terms of $\sin\theta$, using $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$.
จงเขียน $3\cos^{2}\theta$ ในรูปของ $\sin\theta$ โดยใช้ $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$
Answershow ▾
Multiply $1-\sin^{2}\theta$ by $3$.คูณ $1-\sin^{2}\theta$ ด้วย $3$
Use the quadratic formula to solve $3t^{2}+2t-3=0$ for $t$, giving both roots to 3 s.f.
จงใช้สูตรกำลังสองแก้สมการ $3t^{2}+2t-3=0$ หา $t$ โดยให้คำตอบทั้งสองค่า ทศนิยม 3 ตำแหน่ง (3 s.f.)
Answershow ▾
$t=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+36}}{6}$.$t=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+36}}{6}$
$t=\sin\theta$, and the quadratic gives $t=0.721$ or $t=-1.39$. Pick the correct move.
(A) keep $t=-1.39$, the more extreme value
(B) keep $t=0.721$, since $\sin\theta$ never leaves $[-1,1]$
(C) keep both roots
$t=\sin\theta$ และสมการกำลังสองให้ $t=0.721$ หรือ $t=-1.39$ จงเลือกขั้นที่ถูกต้อง
(A) เก็บ $t=-1.39$ เพราะเป็นค่าที่สุดโต่งกว่า
(B) เก็บ $t=0.721$ เพราะ $\sin\theta$ ไม่เคยออกนอกช่วง $[-1,1]$
(C) เก็บรากทั้งสอง
Answershow ▾
(A) picks the bigger-looking number, but sine cannot be less than $-1$; (C) ignores that one root is impossible.(A) เลือกตัวเลขที่ดูมากกว่า แต่ไซน์ต่ำกว่า $-1$ ไม่ได้ · (C) ไม่ได้ตัดรากที่เป็นไปไม่ได้ทิ้ง
Show that $2\sin\theta=3\left(1-\sin^{2}\theta\right)$ can be written as $3\sin^{2}\theta+2\sin\theta-3=0$.
จงแสดงว่า $2\sin\theta=3\left(1-\sin^{2}\theta\right)$ เขียนใหม่ได้เป็น $3\sin^{2}\theta+2\sin\theta-3=0$
Answershow ▾
Expand the bracket, then collect everything on one side.กระจายวงเล็บ แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว
Solve $3\sin^{2}\theta+2\sin\theta-3=0$ for $\sin\theta$, keeping only the valid root, to 3 s.f.
จงแก้ $3\sin^{2}\theta+2\sin\theta-3=0$ หา $\sin\theta$ เก็บเฉพาะรากที่ใช้ได้ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง (3 s.f.)
Answershow ▾
Same formula as before; $-1.39$ is rejected.ใช้สูตรเดิม ส่วน $-1.39$ ตัดทิ้ง
Solve $\sin\theta=0.721$: find $\theta=\arcsin(0.721)$ and its second-quadrant partner $\pi-\theta$, to 3 d.p.
จงแก้ $\sin\theta=0.721$: หา $\theta=\arcsin(0.721)$ และค่าคู่ในควอดรันต์ที่สอง $\pi-\theta$ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\pi-0.805=2.337$ gives the second-quadrant value.$\pi-0.805=2.337$ คือค่าในควอดรันต์ที่สอง
You need $\theta=2x+\dfrac{2\pi}{3}$ for $-\pi\lt x\lt\pi$. Pick the first move to get the interval for $\theta$.
(A) use $0\lt\theta\lt2\pi$, the usual sine range
(B) multiply $-\pi\lt x\lt\pi$ by $2$, then add $\dfrac{2\pi}{3}$
(C) solve $\sin\theta=0.721$ for $-\pi\lt\theta\lt\pi$ directly
ต้องหาช่วงของ $\theta=2x+\dfrac{2\pi}{3}$ จาก $-\pi\lt x\lt\pi$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ใช้ $0\lt\theta\lt2\pi$ ซึ่งเป็นช่วงปกติของไซน์
(B) คูณ $-\pi\lt x\lt\pi$ ด้วย $2$ แล้วบวก $\dfrac{2\pi}{3}$
(C) แก้ $\sin\theta=0.721$ สำหรับ $-\pi\lt\theta\lt\pi$ โดยตรง
Answershow ▾
(A) ignores the shift onto $\theta$; (C) uses the wrong interval, since $\theta$ is not the same range as $x$.(A) ไม่ได้ขยับช่วงไปเป็นของ $\theta$ · (C) ใช้ช่วงผิด เพราะ $\theta$ ไม่ใช่ช่วงเดียวกับ $x$
$\theta=0.805$ or $2.337$ repeats every $2\pi$. List every value in $-\tfrac{4\pi}{3}\lt\theta\lt\tfrac{8\pi}{3}$, to 3 d.p.
$\theta=0.805$ หรือ $2.337$ ซ้ำทุก $2\pi$ จงหาทุกค่าในช่วง $-\tfrac{4\pi}{3}\lt\theta\lt\tfrac{8\pi}{3}$ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Add or subtract $2\pi$ from each value, keeping only what lands inside the interval.บวกหรือลบ $2\pi$ จากแต่ละค่า เก็บเฉพาะที่อยู่ในช่วง
Use $x=\dfrac{\theta-\frac{2\pi}{3}}{2}$ to find $x$ for $\theta=0.805$, then check it against $-\pi\lt x\lt\pi$.
ใช้ $x=\dfrac{\theta-\frac{2\pi}{3}}{2}$ หา $x$ เมื่อ $\theta=0.805$ แล้วตรวจกับ $-\pi\lt x\lt\pi$
Answershow ▾
$0.805$ is less than $\tfrac{2\pi}{3}$, so $x$ comes out negative.$0.805$ น้อยกว่า $\tfrac{2\pi}{3}$ จึงได้ $x$ เป็นลบ
Show that $3\tan\theta=2\cos\theta$ can be written as $2\sin^{2}\theta+3\sin\theta-2=0$, then hence solve, for $-\pi\lt x\lt\pi$, $3\tan(2x)=2\cos(2x)$.
จงแสดงว่า $3\tan\theta=2\cos\theta$ เขียนใหม่ได้เป็น $2\sin^{2}\theta+3\sin\theta-2=0$ จากนั้นแก้สมการ $3\tan(2x)=2\cos(2x)$ สำหรับ $-\pi\lt x\lt\pi$
Answershow ▾
Same method as the real question: clear the fraction, use the identity, solve the quadratic, then shift the interval before listing every $x$.วิธีเดียวกับข้อสอบจริง: กำจัดเศษส่วน ใช้เอกลักษณ์ แก้สมการกำลังสอง แล้วขยับช่วงก่อนหาทุกค่า $x$
In this question you must show detailed reasoning. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
(a) Show that the equation $2\tan\theta=3\cos\theta$ can be written as $3\sin^{2}\theta+2\sin\theta-3=0$.
(b) Hence solve, for $-\pi\lt x\lt\pi$, the equation $2\tan\left(2x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=3\cos\left(2x+\dfrac{2\pi}{3}\right)$ giving your answers to 3 significant figures.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำอย่างละเอียด คำตอบที่ได้จากการใช้เครื่องคิดเลขล้วนๆ (calculator technology) จะไม่ได้รับคะแนน
(ก) แสดงว่าสมการ $2\tan\theta=3\cos\theta$ เขียนใหม่ได้เป็น $3\sin^{2}\theta+2\sin\theta-3=0$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $2\tan\left(2x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=3\cos\left(2x+\dfrac{2\pi}{3}\right)$ สำหรับ $-\pi\lt x\lt\pi$ โดยให้คำตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง (3 s.f.)
Answershow ▾
7 marks: 3 for the identity, 4 for solving - the interval shift finds all four $x$.7 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับเอกลักษณ์ 4 คะแนนสำหรับการแก้สมการ ซึ่งการขยับช่วงทำให้ได้ $x$ ครบสี่ค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Ratio to tan, cubic to quadratic อัตราส่วนเป็น tan สมการกำลังสามเป็นกำลังสอง
(i) Solve, for $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$, the equation $3\sin(\theta+30^{\circ})=7\cos(\theta+30^{\circ})$ giving your answers to one decimal place.
(ii)(a) Show that the equation $3\sin^{3}x=5\sin x-7\sin x\cos x$ can be written in the form $\sin x\left(a\cos^{2}x+b\cos x+c\right)=0$ where $a$, $b$ and $c$ are constants to be found.
(ii)(b) Hence solve for $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ the equation $3\sin^{3}x=5\sin x-7\sin x\cos x$.
(i) แก้สมการ $3\sin(\theta+30^{\circ})=7\cos(\theta+30^{\circ})$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ii)(a) แสดงว่าสมการ $3\sin^{3}x=5\sin x-7\sin x\cos x$ เขียนได้ในรูป $\sin x\left(a\cos^{2}x+b\cos x+c\right)=0$ โดยหาค่าคงที่ $a$, $b$ และ $c$
(ii)(b) จากนั้นแก้สมการ $3\sin^{3}x=5\sin x-7\sin x\cos x$ สำหรับ $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$
Divide both sides of $3\sin\theta=7\cos\theta$ by $\cos\theta$ and simplify.
จงหารทั้งสองข้างของ $3\sin\theta=7\cos\theta$ ด้วย $\cos\theta$ แล้วจัดรูป
Answershow ▾
$\sin\theta$ divided by $\cos\theta$ is $\tan\theta$.$\sin\theta$ หารด้วย $\cos\theta$ คือ $\tan\theta$
Given $\tan\theta=\dfrac{7}{3}$, use inverse tan to write $\theta$ to one decimal place, for $0^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$.
กำหนด $\tan\theta=\dfrac{7}{3}$ จงใช้แทนผกผันหาค่า $\theta$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$
Answershow ▾
$\tan^{-1}$ on the calculator, rounded to 1 d.p.ใช้ $\tan^{-1}$ บนเครื่องคิดเลข แล้วปัดเศษ 1 ตำแหน่ง
$\tan$ repeats every $180^{\circ}$. Given one solution $\theta=66.8^{\circ}$, write the other solution for $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$.
$\tan$ มีคาบ $180^{\circ}$ กำหนดคำตอบหนึ่งค่า $\theta=66.8^{\circ}$ จงเขียนคำตอบอีกค่าสำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$
Answershow ▾
Add $180^{\circ}$ to the first solution.บวก $180^{\circ}$ เข้ากับคำตอบแรก
$3\sin(\theta+30^{\circ})=7\cos(\theta+30^{\circ})$. Pick the first move.
(A) divide both sides by $\cos(\theta+30^{\circ})$
(B) expand each bracket with the compound-angle formulas first
(C) square both sides and use $\sin^{2}+\cos^{2}=1$
$3\sin(\theta+30^{\circ})=7\cos(\theta+30^{\circ})$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $\cos(\theta+30^{\circ})$
(B) กระจายวงเล็บทั้งสองด้วยสูตรมุมประกอบก่อน
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้าง แล้วใช้ $\sin^{2}+\cos^{2}=1$
Answershow ▾
(B) expands into four sin/cos terms needing collection back into one tan equation - more algebra, more chances to slip a sign. (C) loses the sign relationship between the sides, creating solutions that fail the original equation.(B) กระจายออกเป็นสี่พจน์ sin/cos ที่ต้องรวมกลับเป็นสมการ tan เดิม ทำให้มีพีชคณิตมากขึ้นและมีโอกาสผิดเครื่องหมายมากขึ้น · (C) ทำให้ความสัมพันธ์ของเครื่องหมายระหว่างสองข้างหายไป จึงเกิดคำตอบที่ไม่เป็นจริงกับสมการเดิม
Divide both sides of $3\sin(\theta+30^{\circ})=7\cos(\theta+30^{\circ})$ by $\cos(\theta+30^{\circ})$ and simplify.
จงหารทั้งสองข้างของ $3\sin(\theta+30^{\circ})=7\cos(\theta+30^{\circ})$ ด้วย $\cos(\theta+30^{\circ})$ แล้วจัดรูป
Answershow ▾
Same move as question $1$, now on $\theta+30^{\circ}$.ขั้นเดียวกับข้อ $1$ แต่ทำกับ $\theta+30^{\circ}$
$\theta$ satisfies $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$. Write the interval that $\theta+30^{\circ}$ runs over.
$\theta$ อยู่ในช่วง $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ จงเขียนช่วงที่ $\theta+30^{\circ}$ วิ่งอยู่
Answershow ▾
Add $30^{\circ}$ to every part of the inequality.บวก $30^{\circ}$ เข้ากับทุกส่วนของอสมการ
Solve $\tan(\theta+30^{\circ})=\dfrac{7}{3}$ for $30^{\circ}\lt\theta+30^{\circ}\lt390^{\circ}$, then subtract $30^{\circ}$ to find both values of $\theta$, to 1 d.p.
จงแก้ $\tan(\theta+30^{\circ})=\dfrac{7}{3}$ สำหรับ $30^{\circ}\lt\theta+30^{\circ}\lt390^{\circ}$ แล้วลบ $30^{\circ}$ เพื่อหา $\theta$ ทั้งสองค่า ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same inverse-tan and period-$180^{\circ}$ moves as questions $2$ and $3$, then shift back.ขั้นเดียวกับแทนผกผันและคาบ $180^{\circ}$ จากข้อ $2$ กับ $3$ แล้วเลื่อนกลับ
$3\sin^{3}x=5\sin x-7\sin x\cos x$. Pick the first move.
(A) divide every term by $\sin x$
(B) replace $\sin^{3}x$ with $\sin x\left(1-\cos^{2}x\right)$, then factor $\sin x$ out of every term
(C) replace $\sin^{3}x$ with $\sin x\left(1-\cos^{2}x\right)$, then divide every term by $\sin x$
$3\sin^{3}x=5\sin x-7\sin x\cos x$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารทุกพจน์ด้วย $\sin x$
(B) แทน $\sin^{3}x$ ด้วย $\sin x\left(1-\cos^{2}x\right)$ แล้วแยก $\sin x$ ออกจากทุกพจน์
(C) แทน $\sin^{3}x$ ด้วย $\sin x\left(1-\cos^{2}x\right)$ แล้วหารทุกพจน์ด้วย $\sin x$
Answershow ▾
(A) and (C) divide by $\sin x$, assuming it is nonzero, and silently lose the solution $x=0$. Factoring keeps $\sin x$ as a factor, so $x=0$ survives.(A) และ (C) หารด้วย $\sin x$ โดยสมมติว่าไม่เท่ากับศูนย์ จึงทำให้คำตอบ $x=0$ หายไปโดยไม่รู้ตัว · การแยกตัวประกอบเก็บ $\sin x$ ไว้เป็นตัวประกอบ คำตอบ $x=0$ จึงยังอยู่
Starting from $3\sin x\left(1-\cos^{2}x\right)=5\sin x-7\sin x\cos x$, collect every term onto one side and factor out $\sin x$.
เริ่มจาก $3\sin x\left(1-\cos^{2}x\right)=5\sin x-7\sin x\cos x$ จงรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว แล้วแยก $\sin x$ ออก
Answershow ▾
Move every term to the left; $\sin x$ is common to all three.ย้ายทุกพจน์ไปด้านซ้าย · $\sin x$ เป็นตัวร่วมของทั้งสามพจน์
From $\sin x\left(-3\cos^{2}x+7\cos x-2\right)=0$, write $a$, $b$, $c$, and the value of $x$ that comes from $\sin x=0$.
จาก $\sin x\left(-3\cos^{2}x+7\cos x-2\right)=0$ จงเขียน $a$, $b$, $c$ และค่า $x$ ที่ได้จาก $\sin x=0$
Answershow ▾
The bracket is $a\cos^{2}x+b\cos x+c$; $\sin x=0$ gives $x=0$ directly.วงเล็บคือ $a\cos^{2}x+b\cos x+c$ · $\sin x=0$ ให้ $x=0$ ทันที
(i) Solve, for $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$, the equation $\sin(\theta+30^{\circ})=\cos(\theta+30^{\circ})$. (ii) $2\sin^{3}x=4\sin x-5\sin x\cos x$ can be written $\sin x\left(a\cos^{2}x+b\cos x+c\right)=0$. Find $a$, $b$, $c$, then solve for $-\dfrac{\pi}{2}\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$.
(i) จงแก้สมการ $\sin(\theta+30^{\circ})=\cos(\theta+30^{\circ})$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ (ii) $2\sin^{3}x=4\sin x-5\sin x\cos x$ เขียนได้เป็น $\sin x\left(a\cos^{2}x+b\cos x+c\right)=0$ · จงหา $a$, $b$, $c$ แล้วแก้สมการสำหรับ $-\dfrac{\pi}{2}\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$
Answershow ▾
Same two moves: divide to a tan equation for (i); factor out $\sin x$, never divide by it, for (ii).สองขั้นเดิม: หารเพื่อให้ได้สมการ tan สำหรับ (i) · แยก $\sin x$ ออก ไม่หารด้วยมัน สำหรับ (ii)
(i) Solve, for $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$, the equation $3\sin(\theta+30^{\circ})=7\cos(\theta+30^{\circ})$ giving your answers to one decimal place.
(ii)(a) Show that the equation $3\sin^{3}x=5\sin x-7\sin x\cos x$ can be written in the form $\sin x\left(a\cos^{2}x+b\cos x+c\right)=0$ where $a$, $b$ and $c$ are constants to be found.
(ii)(b) Hence solve for $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ the equation $3\sin^{3}x=5\sin x-7\sin x\cos x$.
(i) แก้สมการ $3\sin(\theta+30^{\circ})=7\cos(\theta+30^{\circ})$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ โดยให้คำตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ii)(a) แสดงว่าสมการ $3\sin^{3}x=5\sin x-7\sin x\cos x$ เขียนได้ในรูป $\sin x\left(a\cos^{2}x+b\cos x+c\right)=0$ โดยหาค่าคงที่ $a$, $b$ และ $c$
(ii)(b) จากนั้นแก้สมการ $3\sin^{3}x=5\sin x-7\sin x\cos x$ สำหรับ $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$
Answershow ▾
10 marks across three parts: divide to a tan equation for (i); factor out $\sin x$ (never divide by it) to keep $x=0$, then solve the quadratic in $\cos x$ for (ii).10 คะแนน สามส่วน: หารเพื่อให้ได้สมการ tan สำหรับ (i) · แยก $\sin x$ ออก (ไม่หารด้วยมัน) เพื่อเก็บ $x=0$ แล้วแก้สมการกำลังสองใน $\cos x$ สำหรับ (ii)