Exponentials & logarithms · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เลขชี้กำลังและลอการิทึม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Exponentials and logs · equations and inequalities with e and ln
(a) Solve $e^{2x} + 2e^x - 24 = 0$, rejecting any value that is not possible.
(b) Solve the inequality $e^{3x} \gt 14$, giving your answer in terms of $\ln$.
Explain why the equation $e^x = -4$ has no solutions.
อธิบายว่าเหตุใดสมการ $e^x = -4$ จึงไม่มีคำตอบ
Answershow ▾
This is the fact behind every 'reject the invalid root' step involving $e^x$: whatever the algebra produces, a value of $e^x$ that comes out negative can never actually be reached.
Use the substitution $u = e^x$ to write $e^{2x} - 8e^x + 12 = 0$ as a quadratic equation in $u$.
ใช้การแทนค่า $u = e^x$ เขียน $e^{2x} - 8e^x + 12 = 0$ ในรูปสมการกำลังสองของ $u$
Answershow ▾
$e^{2x} = (e^x)^2 = u^2$ — the substitution turns the exponential equation into an ordinary quadratic.
Solve $e^{y} = 10$ for $y$, giving your answer in terms of $\ln$.
แก้สมการ $e^{y} = 10$ หา $y$ โดยตอบในรูป $\ln$
Answershow ▾
Taking $\ln$ of both sides undoes $e^{(\cdot)}$ directly, since $\ln(e^y) = y$.
A substitution only helps if every term becomes a power of the new letter. For $e^{2x} + 2e^{x} - 24 = 0$, which of $u = e^{x}$, $u = 2x$ and $u = e^{2x}$ does that — and write $e^{2x}$ in terms of the one that works.
การแทนค่าจะช่วยได้ก็ต่อเมื่อทุกพจน์กลายเป็นเลขยกกำลังของตัวอักษรใหม่ · สำหรับ $e^{2x} + 2e^{x} - 24 = 0$ ตัวไหนทำได้ระหว่าง $u = e^{x}$, $u = 2x$ และ $u = e^{2x}$ · แล้วเขียน $e^{2x}$ ในรูปของตัวที่ใช้ได้
Answershow ▾
$u = 2x$ leaves an $e$ behind and changes nothing. $u = e^{2x}$ turns the FIRST term into $u$ but leaves the second as $\sqrt{u}$, which is worse than what you started with. The test is on the exponents: $2x$ is twice $x$, so $u = e^{x}$ makes the powers read $u^2$, $u$, constant — the shape of a quadratic. The same test picks $u = 3^{x}$ for $9^{x} - 4\times 3^{x} + 3 = 0$. No mark is given for running it.$u = 2x$ ยังเหลือ $e$ ทิ้งไว้ และไม่ได้เปลี่ยนอะไร · $u = e^{2x}$ เปลี่ยนพจน์แรกเป็น $u$ แต่ทิ้งพจน์ที่สองเป็น $\sqrt{u}$ ซึ่งแย่กว่าโจทย์เดิม · ให้ดูที่เลขชี้กำลัง: $2x$ เป็นสองเท่าของ $x$ ดังนั้น $u = e^{x}$ ทำให้กำลังเรียงเป็น $u^2$, $u$, ค่าคงที่ ซึ่งคือรูปของสมการกำลังสอง · การทดสอบเดียวกันเลือก $u = 3^{x}$ ให้ $9^{x} - 4\times 3^{x} + 3 = 0$ · ไม่มีคะแนนให้กับการทดสอบนี้
Use $u = e^x$ to write $e^{2x} + 2e^x - 24 = 0$ as a quadratic equation in $u$.
Answershow ▾
Same move as question 2, now with the real numbers from the exam question.
Solve $u^2 + 2u - 24 = 0$.
Answershow ▾
Factorise as $(u - 4)(u + 6) = 0$ — the same skill as any other quadratic, just with the letter $u$ instead of $x$.
You have $u = 4$ and $u = -6$, where $u = e^{x}$. One must go. Which of these three is the REASON that earns the mark, and what is wrong with the other two?
(A) a negative answer is not allowed (B) $e^{x} \gt 0$ for every real $x$, so $e^{x} = -6$ has no solution (C) $-6$ is not a factor of $24$
ได้ $u = 4$ กับ $u = -6$ โดย $u = e^{x}$ · ต้องตัดทิ้งหนึ่งตัว · เหตุผลข้อไหนที่ได้คะแนน และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) คำตอบติดลบไม่ได้ (B) $e^{x} \gt 0$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ ดังนั้น $e^{x} = -6$ ไม่มีคำตอบ (C) $-6$ ไม่ใช่ตัวประกอบของ $24$
Answershow ▾
(A) is not true as a general statement — $x$ itself is allowed to be negative, and often is. (C) is arithmetic that has nothing to do with the question. The real reason is that $e^{x}$ is a positive quantity whatever $x$ does, so a NEGATIVE value of $u$ describes a point the exponential graph never visits. The question says “rejecting any value that is not possible”, so the reason must appear on the page: a crossing-out with no sentence beside it earns nothing.(A) ไม่จริงในฐานะข้อความทั่วไป เพราะ $x$ เองติดลบได้ และมักติดลบด้วย · (C) เป็นเลขคณิตที่ไม่เกี่ยวกับโจทย์เลย · เหตุผลจริงคือ $e^{x}$ เป็นปริมาณบวกไม่ว่า $x$ จะเป็นอะไร ค่า $u$ ที่ติดลบจึงบรรยายจุดที่กราฟเอกซ์โพเนนเชียลไม่เคยผ่าน · โจทย์เขียนว่า "rejecting any value that is not possible" เหตุผลจึงต้องปรากฏบนกระดาษ · ขีดฆ่าเฉย ๆ โดยไม่มีประโยคกำกับไม่ได้คะแนน
$u = 4$ or $u = -6$, where $u = e^x$. Decide which value of $u$ must be rejected, and find $x$ from the one that remains.
$u = 4$ หรือ $u = -6$ โดย $u = e^x$ จงตัดสินว่าค่าใดของ $u$ ต้องถูกตัดทิ้ง แล้วหาค่า $x$ จากค่าที่เหลือ
Answershow ▾
This is the step most students skip — writing down BOTH values of u as if they were both valid answers for x. Only one of them can ever equal $e^x$.
Solve $e^{2x} + 2e^x - 24 = 0$, rejecting any value that is not possible.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained together: substitute, solve the quadratic, reject the impossible root, then undo the remaining exponential.
Solve the inequality $e^{3x} \gt 14$, giving your answer in terms of $\ln$.
Answershow ▾
Taking $\ln$ of both sides is safe here because $e^{kx}$ is always positive, so the inequality sign does not flip; a flip only happens when you multiply or divide by a negative number, which never occurs in this method.
Part (b) is an inequality, and an inequality sign can flip. Solve $e^{3x} \gt 14$ line by line, and at each line say whether the sign flips. Then name the one operation that WOULD flip it, and check whether it ever happens here.
ข้อ (b) เป็นอสมการ และเครื่องหมายอสมการพลิกได้ · จงแก้ $e^{3x} \gt 14$ ทีละบรรทัด และบอกทุกบรรทัดว่าเครื่องหมายพลิกหรือไม่ · แล้วบอกชื่อการกระทำเดียวที่ทำให้มันพลิก และตรวจว่าเกิดขึ้นที่นี่หรือไม่
Answershow ▾
Taking $\ln$ is safe because $\ln$ is an increasing function: bigger goes to bigger, so the order survives. Dividing by $3$ is safe because $3$ is positive. Had the equation read $e^{-3x} \gt 14$, the final division would have been by $-3$ and the sign would have flipped. Deciding this in advance is worth no mark; the A1 is for the final line, and a flipped sign there is simply wrong.การใส่ $\ln$ ปลอดภัยเพราะ $\ln$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม: ค่ามากไปเป็นค่ามาก ลำดับจึงคงอยู่ · การหารด้วย $3$ ปลอดภัยเพราะ $3$ เป็นบวก · ถ้าโจทย์เป็น $e^{-3x} \gt 14$ การหารสุดท้ายจะเป็นการหารด้วย $-3$ และเครื่องหมายจะพลิก · การตัดสินใจล่วงหน้าเรื่องนี้ไม่มีคะแนน · A1 ให้กับบรรทัดสุดท้าย และถ้าเครื่องหมายพลิกผิดก็คือผิด
(a) Solve $e^{2x} + e^x - 6 = 0$, rejecting any value that is not possible.
(b) Solve the inequality $e^{x} \gt 5$, giving your answer in terms of $\ln$.
Answershow ▾
Same two methods as the exam question — a hidden quadratic with a rejected root, then a straightforward inequality — with smaller numbers throughout.
(a) Solve $e^{2x} + 2e^x - 24 = 0$, rejecting any value that is not possible.
(b) Solve the inequality $e^{3x} \gt 14$, giving your answer in terms of $\ln$.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 5 and 6 build part (a); question 8 is part (b) in full.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Exponentials and logs · a growth or decay model
The number of subscribers, $N$ thousand, to a newly launched streaming service, $t$ months after launch, is modelled by $N = 66 - Ae^{-kt}$, where $A$ and $k$ are positive constants. On the day of launch ($t = 0$), $N = 50$. After 3 months, $N = 60$.
(a) Find the value of $A$, and find the value of $k$, giving your answer to 3 significant figures.
(b) Use the model to predict the number of subscribers after 15 months, giving your answer to 3 significant figures.
(c) Find the number of months after launch at which the number of subscribers first reaches 63 thousand, giving your answer to 3 significant figures.
(d) State the number of subscribers that the model predicts in the long term, giving a reason for your answer.
Solve $e^{2t} = 2$ for $t$, giving your answer in terms of $\ln$.
แก้สมการ $e^{2t} = 2$ หาค่า $t$ โดยตอบในรูป $\ln$
Answershow ▾
Take $\ln$ of both sides, then divide by the coefficient of $t$ — the same skill needed to find $k$ and to find the time in a growth model.
A quantity is modelled by $Q = 100 - 10e^{-\frac{1}{10}t}$. Find the value of $Q$ when $t = 6$, giving your answer to 3 significant figures.
ปริมาณหนึ่งมีแบบจำลอง $Q = 100 - 10e^{-\frac{1}{10}t}$ จงหาค่า $Q$ เมื่อ $t = 6$ โดยตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่งนัยสำคัญ
Answershow ▾
Substitute the value of $t$ into the model and evaluate — a calculator step, but the one every part of the real question relies on.
A quantity is modelled by $Q = 120 - Ae^{-kt}$, where $A$ and $k$ are positive constants. State the value that $Q$ approaches as $t \to \infty$, and explain why.
ปริมาณหนึ่งมีแบบจำลอง $Q = 120 - Ae^{-kt}$ โดย $A$ และ $k$ เป็นค่าคงที่บวก จงบอกค่าที่ $Q$ เข้าใกล้เมื่อ $t \to \infty$ พร้อมอธิบายเหตุผล
Answershow ▾
This is the whole point of writing a model as (limit) minus a decaying exponential: the decaying term vanishes and only the limit is left.
$N = 66 - Ae^{-kt}$ has two unknowns and the question gives two data points. One point hands you a letter on its own; the other cannot. Say which is which, and what it is about $t = 0$ that does it.
$N = 66 - Ae^{-kt}$ มีตัวไม่รู้ค่าสองตัว และโจทย์ให้ข้อมูลมาสองจุด · จุดหนึ่งให้ตัวอักษรมาโดด ๆ อีกจุดให้ไม่ได้ · จงบอกว่าจุดไหนเป็นจุดไหน และอะไรที่ $t = 0$ ทำให้เป็นอย่างนั้น
Answershow ▾
At $t = 0$ the exponential collapses to $1$ and takes $k$ with it, leaving one equation in one unknown. Start at the other point instead and you have one equation in two unknowns and no way forward. The order of the two substitutions is the whole of part (a), and the mark scheme lists two independent B1/M1 lines that say nothing about which to do first.ที่ $t = 0$ เอกซ์โพเนนเชียลยุบเป็น $1$ และพา $k$ หายไปด้วย เหลือสมการเดียวที่มีตัวไม่รู้ค่าตัวเดียว · ถ้าเริ่มจากอีกจุดหนึ่ง จะได้สมการเดียวที่มีตัวไม่รู้ค่าสองตัว และไปต่อไม่ได้ · ลำดับของการแทนค่าสองครั้งคือทั้งหมดของข้อ (a) และมาร์คสกีมเขียนบรรทัดแยกกันสองบรรทัดโดยไม่บอกเลยว่าต้องทำอันไหนก่อน
The number of subscribers is modelled by $N = 66 - Ae^{-kt}$. On the day of launch ($t = 0$), $N = 50$. Find the value of $A$.
Answershow ▾
At $t = 0$, $e^{-kt} = e^0 = 1$, so $N = 66 - A$ — set this equal to 50 and solve for $A$.
$N = 66 - 16e^{-kt}$. After 3 months, $N = 60$. Find the value of $k$, giving your answer to 3 significant figures.
Answershow ▾
Substitute $t = 3$ and $N = 60$, isolate $e^{-3k}$, then take $\ln$ of both sides and divide by $-3$.
$N = 66 - 16e^{-kt}$, with $k = 0.327$. Find $N$ when $t = 15$, giving your answer to 3 significant figures.
Answershow ▾
Substitute the value of $t$ and the value of $k$ already found, and evaluate.
Part (a) asks for $k$ to 3 significant figures and your calculator holds $k = 0.326937\ldots$. For part (b) you substitute $t = 15$. Work out $N$ twice — once with the rounded $0.327$ and once with the value still in the calculator — and say which one you should write down, and why.
ข้อ (a) ให้ตอบ $k$ เป็น 3 ตัวเลขนัยสำคัญ และเครื่องคิดเลขเก็บ $k = 0.326937\ldots$ ไว้ · ข้อ (b) ต้องแทน $t = 15$ · จงคำนวณ $N$ สองครั้ง ครั้งหนึ่งด้วย $0.327$ ที่ปัดแล้ว อีกครั้งด้วยค่าเต็มในเครื่อง แล้วบอกว่าควรเขียนค่าไหน และเพราะอะไร
Answershow ▾
Rounding is what you do to the answer you write, never to a number you are about to use again. Here the two routes agree, so nothing is lost and no mark notices; on a question with a larger exponent, or a third significant figure sitting on a boundary, they do not agree and the rounded route loses the accuracy mark. Keep the value in the calculator’s memory and round only at the last line of each part. The A1 is for $65.9$; nothing pays for how you got the $k$ you fed it.การปัดเศษเป็นสิ่งที่ทำกับคำตอบที่จะเขียนลงไป ไม่ใช่กับตัวเลขที่กำลังจะใช้ต่อ · ที่นี่สองทางให้ผลตรงกัน จึงไม่เสียอะไรและไม่มีคะแนนไหนสังเกต แต่ในข้อที่เลขชี้กำลังใหญ่กว่า หรือตัวเลขนัยสำคัญตัวที่สามอยู่ตรงเส้นแบ่งพอดี สองทางจะไม่ตรงกัน และทางที่ปัดก่อนจะเสียคะแนนความแม่นยำ · เก็บค่าไว้ในหน่วยความจำเครื่องคิดเลข แล้วปัดเฉพาะบรรทัดสุดท้ายของแต่ละข้อย่อย · A1 ให้กับ $65.9$ ไม่มีคะแนนให้กับที่มาของ $k$ ที่ป้อนเข้าไป
$N = 66 - Ae^{-kt}$. On the day of launch, $N = 50$; after 3 months, $N = 60$. Find the value of $A$, and find the value of $k$, giving your answer to 3 significant figures.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 chained together: the starting value gives $A$ directly, then the second data point gives an equation for $k$.
$N = 66 - 16e^{-kt}$, with $k = 0.327$. Find the number of months after launch at which $N$ first reaches 63 thousand, giving your answer to 3 significant figures.
Answershow ▾
Set $N$ equal to the stated level, isolate $e^{-kt}$ exactly as in question 5, then take $\ln$ and divide by $-k$ to find $t$ instead of $k$.
Part (d) asks for the long-term value with a reason. Which of these three is the answer, and which single phrase supplies the reason?
(A) $N \to 0$ (B) $N \to 66$ thousand (C) $N$ grows without limit
Then say which letter being positive is what makes the reason work.
ข้อ (d) ถามค่าระยะยาว พร้อมเหตุผล · ข้อไหนคือคำตอบ และวลีใดคือเหตุผล
(A) $N \to 0$ (B) $N \to 66$ พัน (C) $N$ เพิ่มขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด
แล้วบอกว่าตัวอักษรตัวไหนที่เป็นบวก ทำให้เหตุผลนั้นใช้ได้
Answershow ▾
The model is written as a ceiling minus a decaying term precisely so that this question has an answer: kill the decaying term and the ceiling is what is left. The sign of $k$ is doing all the work — with $k \lt 0$ the same expression would run away to minus infinity, which is why the question told you $k$ is positive. “Giving a reason” means the phrase $e^{-kt} \to 0$ must be written; the B1 is for the value and the reason together, and the number alone is worth nothing.แบบจำลองเขียนเป็น "เพดาน ลบ พจน์ที่สลายตัว" ก็เพื่อให้คำถามนี้มีคำตอบ: กำจัดพจน์ที่สลายตัวไป เหลือเพดาน · เครื่องหมายของ $k$ คือตัวทำงานทั้งหมด ถ้า $k \lt 0$ นิพจน์เดียวกันจะวิ่งไปลบอนันต์ นั่นคือเหตุผลที่โจทย์บอกว่า $k$ เป็นบวก · "giving a reason" แปลว่าต้องเขียนวลี $e^{-kt} \to 0$ ลงไป · B1 ให้กับค่าและเหตุผลรวมกัน ตัวเลขอย่างเดียวไม่มีคะแนน
The number of members of a running club, $N$ hundred, $t$ months after the club is founded, is modelled by $N = 18 - Ae^{-kt}$, where $A$ and $k$ are positive constants. On the day it is founded ($t = 0$), $N = 10$. After 5 months, $N = 14$.
(a) Find $A$, and find $k$ to 3 significant figures.
(b) Predict $N$ after 10 months, to 3 significant figures.
(c) Find when $N$ first reaches 15 hundred, to 3 significant figures.
(d) State the long-term value of $N$, with a reason.
Answershow ▾
Same four parts and the same methods as the exam question, with smaller numbers throughout.
The number of subscribers, $N$ thousand, to a newly launched streaming service, $t$ months after launch, is modelled by $N = 66 - Ae^{-kt}$, where $A$ and $k$ are positive constants. On the day of launch ($t = 0$), $N = 50$. After 3 months, $N = 60$.
(a) Find the value of $A$, and find the value of $k$, giving your answer to 3 significant figures.
(b) Use the model to predict the number of subscribers after 15 months, giving your answer to 3 significant figures.
(c) Find the number of months after launch at which the number of subscribers first reaches 63 thousand, giving your answer to 3 significant figures.
(d) State the number of subscribers that the model predicts in the long term, giving a reason for your answer.
Answershow ▾
8 marks. Questions 4 and 5 build part (a); question 6 is part (b); question 8 is part (c); question 3 is the idea behind part (d).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A log equation with hidden quadratic สมการ log ที่แฝงสมการกำลังสอง
Solve the equation $\ln(2x^{2}-3)=2\ln x-\ln 2$, giving your answer in an exact form.
แก้สมการ $\ln(2x^{2}-3)=2\ln x-\ln 2$ ตอบในรูป exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม)
Write $2\ln x$ as a single log.
จงเขียน $2\ln x$ เป็น log ตัวเดียว
Answershow ▾
The power law moves the coefficient $2$ up to become an index.กฎเลขชี้กำลังของ log ย้ายตัวเลข $2$ ขึ้นไปเป็นเลขชี้กำลัง
Combine $\ln x^{2}-\ln2$ into one log.
จงรวม $\ln x^{2}-\ln2$ ให้เป็น log ตัวเดียว
Answershow ▾
The quotient law turns a subtraction of logs into a division inside one log.กฎการหารเปลี่ยนการลบ log ให้เป็นการหารภายใน log ตัวเดียว
Solve $x^{2}=2$. Give both roots.
จงแก้สมการ $x^{2}=2$ ตอบทั้งสองค่า
Answershow ▾
Square rooting both sides gives a $\pm$.ถอดรากที่สองทั้งสองข้างได้เครื่องหมาย $\pm$
To turn $2\ln x-\ln2$ into one log, pick the correct law.
(A) $\ln(x^{2}-2)$
(B) $\ln\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)$
(C) $\ln(2x^{2})$
เพื่อรวม $2\ln x-\ln2$ เป็น log ตัวเดียว จงเลือกกฎที่ถูกต้อง
(A) $\ln(x^{2}-2)$
(B) $\ln\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)$
(C) $\ln(2x^{2})$
Answershow ▾
(A) subtracts inside the log, which is not a log law - only the ARGUMENTS can be divided, never subtracted. (C) uses the product law instead of the quotient law, multiplying by $2$ instead of dividing.(A) ลบภายใน log ซึ่งไม่ใช่กฎของ log - มีแต่การหารตัวเลขภายในเท่านั้นที่ทำได้ ไม่ใช่การลบ · (C) ใช้กฎการคูณแทนกฎการหาร คือคูณด้วย $2$ ทั้งที่ควรหาร
Combine $2\ln x-\ln2$ into a single log on the right of $\ln(2x^{2}-3)=2\ln x-\ln2$.
จงรวม $2\ln x-\ln2$ เป็น log ตัวเดียวทางขวาของ $\ln(2x^{2}-3)=2\ln x-\ln2$
Answershow ▾
Same quotient law as question $2$, now inside the real equation.กฎการหารเดียวกับข้อ $2$ แต่ใช้ในสมการจริง
Since the logs are equal, write the equation without logs.
เนื่องจาก log ทั้งสองข้างเท่ากัน จงเขียนสมการโดยไม่มี log
Answershow ▾
$\ln$ is one-to-one, so equal logs mean the insides are equal too.$\ln$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น log เท่ากันแปลว่าค่าภายในเท่ากันด้วย
Multiply $2x^{2}-3=\dfrac{x^{2}}{2}$ by $2$ and collect terms to get $3x^{2}=6$.
คูณ $2x^{2}-3=\dfrac{x^{2}}{2}$ ด้วย $2$ แล้วจัดรูปให้ได้ $3x^{2}=6$
Answershow ▾
Multiplying by $2$ clears the fraction, then the $x^{2}$ terms collect on one side.การคูณด้วย $2$ กำจัดเศษส่วน แล้วรวมพจน์ $x^{2}$ เข้าด้วยกัน
Solving $3x^{2}=6$ gives $x^{2}=2$, so $x=\sqrt2$ or $x=-\sqrt2$. Pick which to keep.
(A) both, since $x^{2}=2$ has two roots
(B) only $x=\sqrt2$, because $\ln x$ needs $x\gt0$
(C) only $x=-\sqrt2$, because $2x^{2}-3$ must be positive
แก้ $3x^{2}=6$ ได้ $x^{2}=2$ จึงได้ $x=\sqrt2$ หรือ $x=-\sqrt2$ จงเลือกคำตอบที่ต้องเก็บ
(A) เก็บทั้งสองค่า เพราะ $x^{2}=2$ มีสองราก
(B) เก็บเฉพาะ $x=\sqrt2$ เพราะ $\ln x$ ต้องมี $x\gt0$
(C) เก็บเฉพาะ $x=-\sqrt2$ เพราะ $2x^{2}-3$ ต้องเป็นบวก
Answershow ▾
$\ln x$ in the original equation is only defined for $x\gt0$, so the negative root is rejected before checking anything else about $2x^{2}-3$.$\ln x$ ในสมการเดิมหาค่าได้เมื่อ $x\gt0$ เท่านั้น จึงต้องตัดรากลบทิ้งก่อน โดยไม่ต้องตรวจ $2x^{2}-3$ เลย
Solve $3x^{2}=6$ for $x$, giving both values.
จงแก้ $3x^{2}=6$ หาค่า $x$ ทั้งสองค่า
Answershow ▾
Divide by $3$, then square root both sides.หารด้วย $3$ แล้วถอดรากที่สองทั้งสองข้าง
Check that $x=\sqrt2$ satisfies $2x^{2}-3=\dfrac{x^{2}}{2}$.
จงตรวจว่า $x=\sqrt2$ สอดคล้องกับ $2x^{2}-3=\dfrac{x^{2}}{2}$
Answershow ▾
Both sides give the same number, so $x=\sqrt2$ is correct.ทั้งสองข้างได้ค่าเท่ากัน จึงยืนยันว่า $x=\sqrt2$ ถูกต้อง
Solve the equation $\ln(3x^{2}-8)=2\ln x-\ln3$, giving your answer in an exact form.
แก้สมการ $\ln(3x^{2}-8)=2\ln x-\ln3$ ตอบในรูปแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
Same three moves: combine the logs, drop them, then clear the fraction and solve.สามขั้นเดิม: รวม log ตัด log แล้วกำจัดเศษส่วนและแก้สมการ
Solve the equation $\ln(2x^{2}-3)=2\ln x-\ln 2$, giving your answer in an exact form.
แก้สมการ $\ln(2x^{2}-3)=2\ln x-\ln 2$ ตอบในรูป exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม)
Answershow ▾
3 marks: combine the logs, drop them, then solve and reject the negative root.3 คะแนน: รวม log ตัด log แล้วแก้สมการและตัดรากลบทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A log equal to a number log เท่ากับตัวเลข
Solve the equation $\ln(1+e^{-3x})=2$. Give the answer correct to 3 decimal places.
แก้สมการ $\ln(1+e^{-3x})=2$ ตอบถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
If $\ln y=2$, find $y$.
ถ้า $\ln y=2$ จงหาค่า $y$
Answershow ▾
Raise $e$ to both sides: $e^{\ln y}=e^{2}$, and $e^{\ln y}=y$.ยกกำลัง $e$ ทั้งสองข้าง: $e^{\ln y}=e^{2}$ และ $e^{\ln y}=y$
Make $e^{-3x}$ the subject of $1+e^{-3x}=e^{2}$.
จงจัด $1+e^{-3x}=e^{2}$ ให้ $e^{-3x}$ อยู่ตัวเดียว
Answershow ▾
Subtract $1$ from both sides.ลบ $1$ ออกจากทั้งสองข้าง
If $e^{-3x}=e^{2}-1$, write $-3x$ in terms of $\ln$.
ถ้า $e^{-3x}=e^{2}-1$ จงเขียน $-3x$ ในรูป $\ln$
Answershow ▾
Take $\ln$ of both sides: $\ln(e^{-3x})=-3x$.ใส่ $\ln$ ทั้งสองข้าง: $\ln(e^{-3x})=-3x$
To remove the log from $\ln(1+e^{-3x})=2$, pick the first move.
(A) divide both sides by $\ln$
(B) raise $e$ to both sides: $1+e^{-3x}=e^{2}$
(C) take $\ln$ of both sides again
เพื่อกำจัด log จาก $\ln(1+e^{-3x})=2$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $\ln$
(B) ยกกำลัง $e$ ทั้งสองข้าง: $1+e^{-3x}=e^{2}$
(C) ใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างอีกครั้ง
Answershow ▾
$\ln$ is not a factor, so (A) divides by something that is not a number. (C) takes $\ln$ of $2$ as well, which nests a log inside a log instead of removing one.(A) $\ln$ ไม่ใช่ตัวประกอบ จะหารด้วยมันไม่ได้ · (C) ใส่ $\ln$ ให้ $2$ ด้วย กลายเป็นซ้อน log ไว้ข้างในอีกชั้น ไม่ใช่การกำจัด log
Raise $e$ to both sides of $\ln(1+e^{-3x})=2$.
จงยกกำลัง $e$ ทั้งสองข้างของ $\ln(1+e^{-3x})=2$
Answershow ▾
Same move as question $1$, now on the real equation.ขั้นเดียวกับข้อ $1$ แต่ใช้กับสมการจริง
Isolate $e^{-3x}$ in $1+e^{-3x}=e^{2}$.
จงจัด $1+e^{-3x}=e^{2}$ ให้ $e^{-3x}$ อยู่ตัวเดียว
Answershow ▾
Subtract $1$ from both sides, same as question $2$.ลบ $1$ ออกจากทั้งสองข้าง เหมือนข้อ $2$
Take $\ln$ of both sides of $e^{-3x}=e^{2}-1$.
จงใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างของ $e^{-3x}=e^{2}-1$
Answershow ▾
Same move as question $3$: $\ln(e^{-3x})=-3x$.ขั้นเดียวกับข้อ $3$: $\ln(e^{-3x})=-3x$
You have $-3x=\ln(e^{2}-1)$. Pick the correct next step to find $x$.
(A) divide both sides by $-3$
(B) divide both sides by $3$, then keep the answer positive
(C) subtract $3$ from both sides
ได้ $-3x=\ln(e^{2}-1)$ จงเลือกขั้นถัดไปที่ถูกต้องเพื่อหาค่า $x$
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $-3$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $3$ แล้วบังคับให้คำตอบเป็นบวก
(C) ลบ $3$ ออกจากทั้งสองข้าง
Answershow ▾
$x$ is multiplied by $-3$, so dividing by $-3$ keeps the sign correct. (B) drops the negative sign instead of carrying it through, which can give the wrong sign. (C) does not undo multiplication at all.$x$ ถูกคูณด้วย $-3$ การหารด้วย $-3$ จึงรักษาเครื่องหมายให้ถูกต้อง · (B) ตัดเครื่องหมายลบทิ้ง โดยไม่คิดตามจริง อาจได้เครื่องหมายผิด · (C) ไม่ได้ย้อนการคูณเลย
Divide both sides of $-3x=\ln(e^{2}-1)$ by $-3$ to make $x$ the subject.
จงหารทั้งสองข้างของ $-3x=\ln(e^{2}-1)$ ด้วย $-3$ เพื่อจัดให้ $x$ อยู่ตัวเดียว
Answershow ▾
Dividing by a negative number carries the minus sign into the answer.การหารด้วยจำนวนลบนำเครื่องหมายลบไปอยู่ในคำตอบด้วย
Work out $-\dfrac{\ln(e^{2}-1)}{3}$ correct to 3 decimal places.
จงคำนวณ $-\dfrac{\ln(e^{2}-1)}{3}$ ถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$e^{2}-1\approx6.389$, and $\ln(6.389)\approx1.855$.$e^{2}-1\approx6.389$ และ $\ln(6.389)\approx1.855$
Solve the equation $\ln(1+e^{-2x})=3$. Give the answer correct to 3 decimal places.
แก้สมการ $\ln(1+e^{-2x})=3$ ตอบถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same three moves: raise $e$, isolate the exponential, take $\ln$ and solve.สามขั้นเดิม: ยกกำลัง $e$ จัดเอกซ์โพเนนเชียลให้อยู่ตัวเดียว ใส่ $\ln$ แล้วแก้สมการ
Solve the equation $\ln(1+e^{-3x})=2$. Give the answer correct to 3 decimal places.
แก้สมการ $\ln(1+e^{-3x})=2$ ตอบถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
3 marks: raise $e$ to remove the log, isolate the exponential, then $\ln$ and solve.3 คะแนน: ยกกำลัง $e$ กำจัด log จัดเอกซ์โพเนนเชียลให้อยู่ตัวเดียว แล้วใส่ $\ln$ และแก้สมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Different bases on each side ฐานต่างกันคนละข้าง
Solve the equation $2\times3^{2x-1}=4^{x+1}$, giving your answer correct to 2 decimal places.
แก้สมการ $2\times3^{2x-1}=4^{x+1}$ ตอบถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Take $\ln$ of $3^{2x-1}$.
จงใส่ $\ln$ ให้ $3^{2x-1}$
Answershow ▾
The power law brings the whole index down in front of the log.กฎเลขชี้กำลังดึงเลขชี้กำลังทั้งหมดลงมาไว้หน้า log
Take $\ln$ of $4^{x+1}$.
จงใส่ $\ln$ ให้ $4^{x+1}$
Answershow ▾
Same power law, different base and index.กฎเลขชี้กำลังเดียวกัน แต่ฐานและเลขชี้กำลังเปลี่ยนไป
Take $\ln$ of $2\times3^{2x-1}$.
จงใส่ $\ln$ ให้ $2\times3^{2x-1}$
Answershow ▾
The product law splits $\ln$ of a product into a sum of logs.กฎการคูณแยก $\ln$ ของผลคูณให้เป็นผลบวกของ log
Pick the first move to solve $2\times3^{2x-1}=4^{x+1}$.
(A) take $\ln$ of both sides
(B) divide both sides by $2$ first
(C) expand the brackets $2x-1$ and $x+1$ numerically
จงเลือกขั้นแรกในการแก้ $2\times3^{2x-1}=4^{x+1}$
(A) ใส่ $\ln$ ทั้งสองข้าง
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $2$ ก่อน
(C) กระจาย $2x-1$ และ $x+1$ เป็นตัวเลข
Answershow ▾
(B) still leaves two different bases, $3$ and $4$, tangled together with $x$ in the index - dividing by $2$ does not fix that. (C) cannot be done since $x$ is unknown.(B) ยังมีฐานต่างกันคือ $3$ กับ $4$ ที่มี $x$ อยู่ในเลขชี้กำลังเหมือนเดิม การหารด้วย $2$ ไม่ได้แก้ปัญหานี้ · (C) ทำไม่ได้เพราะยังไม่รู้ค่า $x$
Take $\ln$ of both sides of $2\times3^{2x-1}=4^{x+1}$.
จงใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างของ $2\times3^{2x-1}=4^{x+1}$
Answershow ▾
Product law on the left, power law on both sides.กฎการคูณทางซ้าย กฎเลขชี้กำลังทั้งสองข้าง
Expand $\ln2+(2x-1)\ln3=(x+1)\ln4$.
จงกระจาย $\ln2+(2x-1)\ln3=(x+1)\ln4$
Answershow ▾
Multiply $\ln3$ and $\ln4$ into each bracket.คูณ $\ln3$ และ $\ln4$ เข้าไปในวงเล็บแต่ละข้าง
Collect the $x$ terms of $\ln2+2x\ln3-\ln3=x\ln4+\ln4$ on the left, and factorise.
จงรวมพจน์ $x$ ของ $\ln2+2x\ln3-\ln3=x\ln4+\ln4$ ไว้ทางซ้าย แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move $x\ln4$ to the left and the constants to the right, then factor out $x$.ย้าย $x\ln4$ ไปทางซ้าย และย้ายค่าคงที่ไปทางขวา แล้วดึง $x$ เป็นตัวประกอบ
You have $x(2\ln3-\ln4)=\ln4-\ln2+\ln3$. Pick the correct next step.
(A) divide both sides by $2\ln3-\ln4$
(B) divide both sides by $\ln3$ only
(C) subtract $\ln3$ from both sides
ได้ $x(2\ln3-\ln4)=\ln4-\ln2+\ln3$ จงเลือกขั้นถัดไปที่ถูกต้อง
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $2\ln3-\ln4$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $\ln3$ เท่านั้น
(C) ลบ $\ln3$ ออกจากทั้งสองข้าง
Answershow ▾
$x$ is multiplied by the WHOLE bracket $2\ln3-\ln4$, not just $\ln3$, so (B) divides by part of the factor only. (C) does not isolate $x$ at all, since $x$ is not added to anything on the left.$x$ ถูกคูณด้วยวงเล็บทั้งหมด $2\ln3-\ln4$ ไม่ใช่แค่ $\ln3$ ดังนั้น (B) หารแค่บางส่วนของตัวประกอบ · (C) ไม่ได้ทำให้ $x$ อยู่ตัวเดียว เพราะ $x$ ไม่ได้ถูกบวกด้วยอะไรทางซ้าย
Divide both sides of $x(2\ln3-\ln4)=\ln4-\ln2+\ln3$ by $2\ln3-\ln4$.
จงหารทั้งสองข้างของ $x(2\ln3-\ln4)=\ln4-\ln2+\ln3$ ด้วย $2\ln3-\ln4$
Answershow ▾
Same move as the decision - divide by the whole bracket next to $x$.ขั้นเดียวกับที่เลือกไว้ - หารด้วยวงเล็บทั้งก้อนที่อยู่ติดกับ $x$
Work out $\dfrac{\ln4-\ln2+\ln3}{2\ln3-\ln4}$ correct to 2 decimal places.
จงคำนวณ $\dfrac{\ln4-\ln2+\ln3}{2\ln3-\ln4}$ ถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The top $\approx1.7918$ and the bottom $\approx0.8109$.ด้านบน $\approx1.7918$ และด้านล่าง $\approx0.8109$
Solve the equation $3\times2^{3x-1}=5^{x+1}$, giving your answer correct to 2 decimal places.
แก้สมการ $3\times2^{3x-1}=5^{x+1}$ ตอบถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same four moves: take logs, expand, collect the $x$ terms, then divide and evaluate.สี่ขั้นเดิม: ใส่ log กระจายวงเล็บ รวมพจน์ $x$ แล้วหารและคำนวณ
Solve the equation $2\times3^{2x-1}=4^{x+1}$, giving your answer correct to 2 decimal places.
แก้สมการ $2\times3^{2x-1}=4^{x+1}$ ตอบถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
4 marks: take logs, expand, collect the $x$ terms, then divide and evaluate.4 คะแนน: ใส่ log กระจายวงเล็บ รวมพจน์ $x$ แล้วหารและคำนวณ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Answer written as ln a over ln b คำตอบในรูป ln a หาร ln b
Solve the equation $2^{3x-1}=5\times3^{1-x}$. Give your answer in the form $\dfrac{\ln a}{\ln b}$, where $a$ and $b$ are integers.
แก้สมการ $2^{3x-1}=5\times3^{1-x}$ ตอบในรูป $\dfrac{\ln a}{\ln b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม
Take $\ln$ of $2^{3x-1}$.
จงใส่ $\ln$ ให้ $2^{3x-1}$
Answershow ▾
The power law brings the index down in front of the log.กฎเลขชี้กำลังดึงเลขชี้กำลังลงมาไว้หน้า log
Take $\ln$ of $3^{1-x}$.
จงใส่ $\ln$ ให้ $3^{1-x}$
Answershow ▾
Same power law, with the index $1-x$.กฎเลขชี้กำลังเดียวกัน แต่เลขชี้กำลังเป็น $1-x$
Write $\ln5+\ln3$ as a single log.
จงเขียน $\ln5+\ln3$ เป็น log ตัวเดียว
Answershow ▾
The product law turns a sum of logs into the log of a product.กฎการคูณเปลี่ยนผลบวกของ log ให้เป็น log ของผลคูณ
Pick the first move to solve $2^{3x-1}=5\times3^{1-x}$.
(A) take $\ln$ of both sides
(B) equate the exponents directly, since both sides are powers
(C) divide both sides by $5$
จงเลือกขั้นแรกในการแก้ $2^{3x-1}=5\times3^{1-x}$
(A) ใส่ $\ln$ ทั้งสองข้าง
(B) เทียบเลขชี้กำลังกันตรงๆ เพราะทั้งสองข้างเป็นเลขยกกำลัง
(C) หารทั้งสองข้างด้วย $5$
Answershow ▾
(B) only works when both sides have the SAME base - here the bases are $2$ and $3$, different numbers, so the exponents cannot be compared directly. (C) leaves $3^{1-x}$ with a coefficient attached, which does not solve the different-base problem.(B) ใช้ได้เฉพาะเมื่อฐานเหมือนกันทั้งสองข้าง แต่ที่นี่ฐานคือ $2$ กับ $3$ ต่างกัน จึงเทียบเลขชี้กำลังตรงๆไม่ได้ · (C) เหลือ $3^{1-x}$ ที่มีสัมประสิทธิ์ติดอยู่ ไม่ได้แก้ปัญหาฐานต่างกัน
Take $\ln$ of both sides of $2^{3x-1}=5\times3^{1-x}$.
จงใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างของ $2^{3x-1}=5\times3^{1-x}$
Answershow ▾
Power law on the left, product and power laws on the right.กฎเลขชี้กำลังทางซ้าย กฎการคูณและกฎเลขชี้กำลังทางขวา
Expand $(3x-1)\ln2=\ln5+(1-x)\ln3$.
จงกระจาย $(3x-1)\ln2=\ln5+(1-x)\ln3$
Answershow ▾
Multiply $\ln2$ into the left bracket and $\ln3$ into the right bracket.คูณ $\ln2$ เข้าไปในวงเล็บทางซ้าย และ $\ln3$ เข้าไปในวงเล็บทางขวา
Collect the $x$ terms of $3x\ln2-\ln2=\ln5+\ln3-x\ln3$ on the left, and factorise.
จงรวมพจน์ $x$ ของ $3x\ln2-\ln2=\ln5+\ln3-x\ln3$ ไว้ทางซ้าย แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move $-x\ln3$ to the left and $-\ln2$ to the right, then factor out $x$.ย้าย $-x\ln3$ ไปทางซ้าย และย้าย $-\ln2$ ไปทางขวา แล้วดึง $x$ เป็นตัวประกอบ
The answer must be in the form $\dfrac{\ln a}{\ln b}$. Pick the correct way to write $\ln5+\ln3+\ln2$ and $3\ln2+\ln3$ as single logs.
(A) $\ln5+\ln3+\ln2=\ln10$, and $3\ln2+\ln3=\ln18$ (treating $3\ln2$ as $\ln(3\times2)$)
(B) $\ln5+\ln3+\ln2=\ln30$, and $3\ln2+\ln3=\ln24$
(C) $\ln5+\ln3+\ln2=\ln30$, and $3\ln2+\ln3=\ln8$ (forgetting the $+\ln3$)
คำตอบต้องอยู่ในรูป $\dfrac{\ln a}{\ln b}$ จงเลือกวิธีเขียน $\ln5+\ln3+\ln2$ กับ $3\ln2+\ln3$ เป็น log ตัวเดียวที่ถูกต้อง
(A) $\ln5+\ln3+\ln2=\ln10$ และ $3\ln2+\ln3=\ln18$ (มองว่า $3\ln2$ คือ $\ln(3\times2)$)
(B) $\ln5+\ln3+\ln2=\ln30$ และ $3\ln2+\ln3=\ln24$
(C) $\ln5+\ln3+\ln2=\ln30$ และ $3\ln2+\ln3=\ln8$ (ลืมบวก $\ln3$)
Answershow ▾
(A) adds the numbers $5,3,2$ to get $10$ instead of multiplying them, and misreads $3\ln2$ as $\ln(3\times2)$ instead of using the power law $3\ln2=\ln2^{3}=\ln8$. (C) uses the power law correctly to get $\ln8$ but then drops the $+\ln3$ term entirely.(A) บวกตัวเลข $5,3,2$ ได้ $10$ แทนที่จะคูณกัน และอ่าน $3\ln2$ ผิดเป็น $\ln(3\times2)$ ทั้งที่ควรใช้กฎเลขชี้กำลัง $3\ln2=\ln2^{3}=\ln8$ · (C) ใช้กฎเลขชี้กำลังถูกต้องได้ $\ln8$ แต่ทิ้งพจน์ $+\ln3$ ไปเฉยๆ
Write $\ln5+\ln3+\ln2$ and $3\ln2+\ln3$ as single logs, then solve $x(3\ln2+\ln3)=\ln5+\ln3+\ln2$.
จงเขียน $\ln5+\ln3+\ln2$ และ $3\ln2+\ln3$ เป็น log ตัวเดียว แล้วแก้ $x(3\ln2+\ln3)=\ln5+\ln3+\ln2$
Answershow ▾
Same combine as the decision, then divide both sides by $\ln24$.รวม log เหมือนที่เลือกไว้ แล้วหารทั้งสองข้างด้วย $\ln24$
Check that $x=\dfrac{\ln30}{\ln24}$ makes $(3x-1)\ln2$ and $\ln5+(1-x)\ln3$ equal, numerically.
จงตรวจเชิงตัวเลขว่า $x=\dfrac{\ln30}{\ln24}$ ทำให้ $(3x-1)\ln2$ กับ $\ln5+(1-x)\ln3$ เท่ากัน
Answershow ▾
$\dfrac{\ln30}{\ln24}\approx1.07$, and both sides evaluate to the same number.$\dfrac{\ln30}{\ln24}\approx1.07$ และทั้งสองข้างได้ค่าเท่ากัน
Solve the equation $2^{2x-1}=3\times5^{1-x}$. Give your answer in the form $\dfrac{\ln a}{\ln b}$, where $a$ and $b$ are integers.
แก้สมการ $2^{2x-1}=3\times5^{1-x}$ ตอบในรูป $\dfrac{\ln a}{\ln b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
Same four moves: take logs, expand, collect the $x$ terms, then combine into single logs.สี่ขั้นเดิม: ใส่ log กระจายวงเล็บ รวมพจน์ $x$ แล้วรวมเป็น log ตัวเดียว
Solve the equation $2^{3x-1}=5\times3^{1-x}$. Give your answer in the form $\dfrac{\ln a}{\ln b}$, where $a$ and $b$ are integers.
แก้สมการ $2^{3x-1}=5\times3^{1-x}$ ตอบในรูป $\dfrac{\ln a}{\ln b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
4 marks: take logs, expand, collect the $x$ terms, then combine into the form $\ln a/\ln b$.4 คะแนน: ใส่ log กระจายวงเล็บ รวมพจน์ $x$ แล้วรวมเป็นรูป $\ln a/\ln b$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A straight line hiding y = ab^x เส้นตรงที่แฝง y = ab^x
The variables $x$ and $y$ are related by the equation $y=ab^{x}$, where $a$ and $b$ are constants. The diagram shows the result of plotting $\ln y$ against $x$ for two pairs of values of $x$ and $y$. The coordinates of these points are $(1, 3.7)$ and $(2.2, 6.46)$.
Use this information to find the values of $a$ and $b$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สัมพันธ์กันด้วยสมการ $y=ab^{x}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ แผนภาพแสดงผลการพล็อต $\ln y$ กับ $x$ จากค่า $x$ และ $y$ สองคู่ พิกัดของจุดทั้งสองคือ $(1, 3.7)$ และ $(2.2, 6.46)$
ใช้ข้อมูลนี้หาค่าของ $a$ และ $b$
Take $\ln$ of $b^{x}$.
จงใส่ $\ln$ ให้ $b^{x}$
Answershow ▾
The power law brings $x$ down in front of the log.กฎเลขชี้กำลังดึง $x$ ลงมาไว้หน้า log
Take $\ln$ of both sides of $y=ab^{x}$.
จงใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างของ $y=ab^{x}$
Answershow ▾
The product law splits $\ln(ab^{x})$ into $\ln a+\ln(b^{x})$, then the power law acts on the second part.กฎการคูณแยก $\ln(ab^{x})$ เป็น $\ln a+\ln(b^{x})$ แล้วกฎเลขชี้กำลังใช้กับส่วนหลัง
Find the gradient of the line through $(1, 3.7)$ and $(2.2, 6.46)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(1, 3.7)$ และ $(2.2, 6.46)$
Answershow ▾
Gradient is the change in $y$ over the change in $x$.ความชันคือการเปลี่ยนแปลงของ $y$ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$
The diagram plots $\ln y$ against $x$. In $\ln y=(\ln b)x+\ln a$, pick what the gradient and the vertical intercept represent.
(A) gradient $=\ln b$, intercept $=\ln a$
(B) gradient $=b$, intercept $=a$
(C) gradient $=\ln a$, intercept $=\ln b$
แผนภาพพล็อต $\ln y$ กับ $x$ จาก $\ln y=(\ln b)x+\ln a$ จงเลือกว่าความชันและจุดตัดแกนตั้งคือค่าใด
(A) ความชัน $=\ln b$ จุดตัด $=\ln a$
(B) ความชัน $=b$ จุดตัด $=a$
(C) ความชัน $=\ln a$ จุดตัด $=\ln b$
Answershow ▾
The equation $\ln y=(\ln b)x+\ln a$ has $\ln b$ and $\ln a$ sitting in the gradient and intercept positions, not $a$ and $b$ themselves - (B) skips the $\ln$. (C) swaps which constant is the gradient and which is the intercept.สมการ $\ln y=(\ln b)x+\ln a$ มี $\ln b$ กับ $\ln a$ อยู่ในตำแหน่งความชันและจุดตัด ไม่ใช่ $a$ กับ $b$ ตรงๆ (B) ลืมใส่ $\ln$ · (C) สลับตำแหน่งความชันกับจุดตัด
Substitute $(1, 3.7)$ into $\ln y=\ln a+x\ln b$.
จงแทนจุด $(1, 3.7)$ ใน $\ln y=\ln a+x\ln b$
Answershow ▾
$x=1$ and $\ln y=3.7$.$x=1$ และ $\ln y=3.7$
Substitute $(2.2, 6.46)$ into $\ln y=\ln a+x\ln b$.
จงแทนจุด $(2.2, 6.46)$ ใน $\ln y=\ln a+x\ln b$
Answershow ▾
$x=2.2$ and $\ln y=6.46$.$x=2.2$ และ $\ln y=6.46$
Using ① $3.7=\ln a+\ln b$ and ② $6.46=\ln a+2.2\ln b$, subtract ① from ② to find $\ln b$.
จาก ① $3.7=\ln a+\ln b$ และ ② $6.46=\ln a+2.2\ln b$ จงนำ ② ลบ ① เพื่อหา $\ln b$
Answershow ▾
The $\ln a$ terms cancel, leaving an equation in $\ln b$ alone.พจน์ $\ln a$ จะตัดกัน เหลือสมการของ $\ln b$ เพียงตัวเดียว
You have $\ln b=2.3$. Pick how to find $\ln a$ next.
(A) substitute $\ln b=2.3$ back into ① $3.7=\ln a+\ln b$
(B) substitute $x=1,y=3.7$ straight into $y=ab^{x}$ without using logs
(C) average the two given $y$ values
ได้ $\ln b=2.3$ แล้ว จงเลือกวิธีหา $\ln a$ ต่อไป
(A) แทน $\ln b=2.3$ กลับใน ① $3.7=\ln a+\ln b$
(B) แทน $x=1,y=3.7$ ลงใน $y=ab^{x}$ ตรงๆ โดยไม่ใช้ log
(C) หาค่าเฉลี่ยของ $y$ ทั้งสองค่า
Answershow ▾
(B) still leaves two unknowns, $a$ and $b$, tangled in one equation, since $b$ is not yet a known number there. (C) has no mathematical basis - averaging $y$ values is not part of any log law.(B) ยังมีตัวไม่รู้ $a$ กับ $b$ สองตัวปนกันในสมการเดียว เพราะยังไม่รู้ค่า $b$ เป็นตัวเลข · (C) ไม่มีหลักการทางคณิตศาสตร์ การเฉลี่ยค่า $y$ ไม่ใช่กฎของ log
Substitute $\ln b=2.3$ into ① $3.7=\ln a+\ln b$ to find $a$.
จงแทน $\ln b=2.3$ ใน ① $3.7=\ln a+\ln b$ เพื่อหาค่า $a$
Answershow ▾
Subtract $2.3$, then undo $\ln$ with $e$.ลบ $2.3$ แล้วย้อน $\ln$ ด้วย $e$
Undo $\ln b=2.3$ with $e$ to find $b$.
จงย้อน $\ln b=2.3$ ด้วย $e$ เพื่อหาค่า $b$
Answershow ▾
Raise $e$ to both sides, same move as question $7$.ยกกำลัง $e$ ทั้งสองข้าง ขั้นเดียวกับข้อ $7$
The diagram shows $\ln y$ against $x$ for $y=ab^{x}$, passing through $(0.2, 2.0)$ and $(1.2, 1.0)$. Find the values of $a$ and $b$.
แผนภาพแสดง $\ln y$ กับ $x$ ของ $y=ab^{x}$ ผ่านจุด $(0.2, 2.0)$ และ $(1.2, 1.0)$ จงหาค่าของ $a$ และ $b$
Answershow ▾
Same moves: two equations, subtract to find $\ln b$, then back-substitute for $\ln a$.ขั้นตอนเดิม: ตั้งสองสมการ ลบกันเพื่อหา $\ln b$ แล้วแทนกลับหา $\ln a$
The variables $x$ and $y$ are related by the equation $y=ab^{x}$, where $a$ and $b$ are constants. The diagram shows the result of plotting $\ln y$ against $x$ for two pairs of values of $x$ and $y$. The coordinates of these points are $(1, 3.7)$ and $(2.2, 6.46)$.
Use this information to find the values of $a$ and $b$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สัมพันธ์กันด้วยสมการ $y=ab^{x}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ แผนภาพแสดงผลการพล็อต $\ln y$ กับ $x$ จากค่า $x$ และ $y$ สองคู่ พิกัดของจุดทั้งสองคือ $(1, 3.7)$ และ $(2.2, 6.46)$
ใช้ข้อมูลนี้หาค่าของ $a$ และ $b$
Answershow ▾
4 marks: two equations from the two points, subtract to find $\ln b$, then back-substitute.4 คะแนน: ตั้งสองสมการจากสองจุด ลบกันเพื่อหา $\ln b$ แล้วแทนกลับหา $\ln a$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A straight line hiding x^n y^2 = C เส้นตรงที่แฝง x^n y^2 = C
The variables $x$ and $y$ satisfy the equation $x^{n}y^{2}=C$, where $n$ and $C$ are constants. The graph of $\ln y$ against $\ln x$ is a straight line passing through the points $(0.31, 1.21)$ and $(1.06, 0.91)$, as shown in the diagram.
Find the value of $n$ and find the value of $C$ correct to 2 decimal places.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการ $x^{n}y^{2}=C$ เมื่อ $n$ และ $C$ เป็นค่าคงที่ กราฟของ $\ln y$ กับ $\ln x$ เป็นเส้นตรงผ่านจุด $(0.31, 1.21)$ และ $(1.06, 0.91)$ ดังแผนภาพ
หาค่าของ $n$ และหาค่าของ $C$ ถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Take $\ln$ of both sides of $x^{n}y^{2}=C$.
จงใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างของ $x^{n}y^{2}=C$
Answershow ▾
The product law splits $\ln(x^{n}y^{2})$, then the power law acts on each part.กฎการคูณแยก $\ln(x^{n}y^{2})$ แล้วกฎเลขชี้กำลังใช้กับแต่ละส่วน
Make $\ln y$ the subject of $n\ln x+2\ln y=\ln C$.
จงจัด $n\ln x+2\ln y=\ln C$ ให้ $\ln y$ อยู่ตัวเดียว
Answershow ▾
Subtract $n\ln x$, then divide every term by $2$.ลบ $n\ln x$ ออก แล้วหารทุกพจน์ด้วย $2$
Find the gradient of the line through $(0.31, 1.21)$ and $(1.06, 0.91)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(0.31, 1.21)$ และ $(1.06, 0.91)$
Answershow ▾
Gradient is the change in $y$ over the change in $x$.ความชันคือการเปลี่ยนแปลงของ $y$ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$
Comparing $\ln y=\dfrac{\ln C}{2}-\dfrac{n}{2}\ln x$ with the line of gradient $-0.4$, pick the equation that finds $n$.
(A) $-\dfrac{n}{2}=-0.4$
(B) $-n=-0.4$
(C) $\dfrac{n}{2}=-0.4$
เทียบ $\ln y=\dfrac{\ln C}{2}-\dfrac{n}{2}\ln x$ กับเส้นตรงที่มีความชัน $-0.4$ จงเลือกสมการที่หา $n$
(A) $-\dfrac{n}{2}=-0.4$
(B) $-n=-0.4$
(C) $\dfrac{n}{2}=-0.4$
Answershow ▾
The gradient of the line is the WHOLE coefficient of $\ln x$, which is $-\dfrac{n}{2}$, not just $-n$ - (B) drops the $\div2$. (C) drops the negative sign that comes with the coefficient.ความชันของเส้นตรงคือสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของ $\ln x$ ซึ่งคือ $-\dfrac{n}{2}$ ไม่ใช่แค่ $-n$ (B) ลืมหารด้วย $2$ · (C) ลืมเครื่องหมายลบที่ติดมากับสัมประสิทธิ์
Solve $-\dfrac{n}{2}=-0.4$ for $n$.
จงแก้สมการ $-\dfrac{n}{2}=-0.4$ หาค่า $n$
Answershow ▾
Multiply both sides by $-2$.คูณทั้งสองข้างด้วย $-2$
Now that $n=0.8$ is known, pick which point(s) are needed to find $\ln C$.
(A) either point alone, substituted into the line equation
(B) both points, solved as simultaneous equations again
(C) the midpoint of the two points
ตอนนี้รู้ $n=0.8$ แล้ว จงเลือกว่าต้องใช้จุดใดเพื่อหา $\ln C$
(A) จุดใดจุดหนึ่งพอ โดยแทนลงในสมการเส้นตรง
(B) ใช้ทั้งสองจุด ตั้งสมการพร้อมกันอีกครั้ง
(C) จุดกึ่งกลางของทั้งสองจุด
Answershow ▾
With $n$ already known, the line equation has only ONE unknown left, $\ln C$, so one point is enough. (B) repeats work that is no longer necessary. (C) has no mathematical basis here.เมื่อรู้ $n$ แล้ว สมการเส้นตรงเหลือตัวไม่รู้เพียงตัวเดียวคือ $\ln C$ จุดเดียวก็พอ (B) ทำงานซ้ำที่ไม่จำเป็นแล้ว · (C) ไม่มีหลักการทางคณิตศาสตร์ในที่นี้
Substitute $(0.31, 1.21)$ and $n=0.8$ into $\ln y=\dfrac{\ln C}{2}-0.4\ln x$.
จงแทน $(0.31, 1.21)$ และ $n=0.8$ ใน $\ln y=\dfrac{\ln C}{2}-0.4\ln x$
Answershow ▾
$\ln x=0.31$ and $\ln y=1.21$ at this point.ที่จุดนี้ $\ln x=0.31$ และ $\ln y=1.21$
Solve $1.21=\dfrac{\ln C}{2}-0.4(0.31)$ for $\ln C$.
จงแก้ $1.21=\dfrac{\ln C}{2}-0.4(0.31)$ หาค่า $\ln C$
Answershow ▾
Simplify $0.4(0.31)=0.124$, add it across, then multiply by $2$.จัดรูป $0.4(0.31)=0.124$ ย้ายข้าง แล้วคูณด้วย $2$
Undo $\ln C=2.668$ with $e$ to find $C$, correct to 2 decimal places.
จงย้อน $\ln C=2.668$ ด้วย $e$ เพื่อหาค่า $C$ ถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Raise $e$ to both sides.ยกกำลัง $e$ ทั้งสองข้าง
Check that $(1.06, 0.91)$ satisfies $\ln y=\dfrac{\ln C}{2}-0.4\ln x$ using $\ln C=2.668$.
จงตรวจว่าจุด $(1.06, 0.91)$ สอดคล้องกับ $\ln y=\dfrac{\ln C}{2}-0.4\ln x$ โดยใช้ $\ln C=2.668$
Answershow ▾
The second point must lie on the same line, since both points came from the same graph.จุดที่สองต้องอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เพราะทั้งสองจุดมาจากกราฟเดียวกัน
The graph of $\ln y$ against $\ln x$ for $x^{n}y^{2}=C$ passes through $(0.2, 2.0)$ and $(1.2, 1.0)$. Find the value of $n$ and the value of $C$ correct to 2 decimal places.
กราฟของ $\ln y$ กับ $\ln x$ ของ $x^{n}y^{2}=C$ ผ่านจุด $(0.2, 2.0)$ และ $(1.2, 1.0)$ จงหาค่าของ $n$ และหาค่าของ $C$ ถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same moves: gradient gives $n$, then one point gives $\ln C$.ขั้นตอนเดิม: ความชันให้ค่า $n$ แล้วจุดหนึ่งจุดให้ค่า $\ln C$
The variables $x$ and $y$ satisfy the equation $x^{n}y^{2}=C$, where $n$ and $C$ are constants. The graph of $\ln y$ against $\ln x$ is a straight line passing through the points $(0.31, 1.21)$ and $(1.06, 0.91)$, as shown in the diagram.
Find the value of $n$ and find the value of $C$ correct to 2 decimal places.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการ $x^{n}y^{2}=C$ เมื่อ $n$ และ $C$ เป็นค่าคงที่ กราฟของ $\ln y$ กับ $\ln x$ เป็นเส้นตรงผ่านจุด $(0.31, 1.21)$ และ $(1.06, 0.91)$ ดังแผนภาพ
หาค่าของ $n$ และหาค่าของ $C$ ถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
5 marks: linear form, gradient gives $n$, one point gives $\ln C$, then $C$ to 2 d.p.5 คะแนน: รูปเชิงเส้น ความชันให้ค่า $n$ จุดหนึ่งจุดให้ค่า $\ln C$ แล้วหา $C$ ถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An exponential inequality อสมการเลขชี้กำลัง
Find the set of values of $x$ for which $2\times3^{1-2x}\lt5^{x}$. Give your answer in a simplified exact form.
หาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $2\times3^{1-2x}\lt5^{x}$ ตอบในรูป exact อย่างง่าย
Take $\ln$ of $3^{1-2x}$.
จงใส่ $\ln$ ให้ $3^{1-2x}$
Answershow ▾
The power law brings the index down in front of the log.กฎเลขชี้กำลังดึงเลขชี้กำลังลงมาไว้หน้า log
Take $\ln$ of $2\times3^{1-2x}$.
จงใส่ $\ln$ ให้ $2\times3^{1-2x}$
Answershow ▾
The product law splits $\ln$ of a product into a sum of logs.กฎการคูณแยก $\ln$ ของผลคูณให้เป็นผลบวกของ log
Take $\ln$ of $5^{x}$.
จงใส่ $\ln$ ให้ $5^{x}$
Answershow ▾
Same power law, with base $5$.กฎเลขชี้กำลังเดียวกัน แต่ฐานเป็น $5$
Taking $\ln$ of both sides of $2\times3^{1-2x}\lt5^{x}$, pick what happens to the inequality sign.
(A) it flips, because $\ln$ makes numbers smaller
(B) it stays pointing the same way
(C) it becomes an equation
ใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างของ $2\times3^{1-2x}\lt5^{x}$ จงเลือกว่าเครื่องหมายอสมการเป็นอย่างไร
(A) กลับทิศ เพราะ $\ln$ ทำให้ตัวเลขเล็กลง
(B) ยังชี้ทิศเดิม
(C) กลายเป็นสมการ
Answershow ▾
An inequality flips only on a negative multiplier. $\ln$ is increasing, and both sides here are positive, so it keeps the direction - (A) guesses with no rule behind it.อสมการจะกลับทิศเมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนลบเท่านั้น $\ln$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และทั้งสองข้างเป็นบวก จึงรักษาทิศทางเดิม (A) เดาโดยไม่มีกฎรองรับ
Take $\ln$ of both sides of $2\times3^{1-2x}\lt5^{x}$.
จงใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างของ $2\times3^{1-2x}\lt5^{x}$
Answershow ▾
Product law on the left, power law on both sides.กฎการคูณทางซ้าย กฎเลขชี้กำลังทั้งสองข้าง
Expand $\ln2+(1-2x)\ln3\lt x\ln5$.
จงกระจาย $\ln2+(1-2x)\ln3\lt x\ln5$
Answershow ▾
Multiply $\ln3$ into the bracket.คูณ $\ln3$ เข้าไปในวงเล็บ
Collect the $x$ terms of $\ln2+\ln3-2x\ln3\lt x\ln5$ on the right, and combine the constants.
จงรวมพจน์ $x$ ของ $\ln2+\ln3-2x\ln3\lt x\ln5$ ไว้ทางขวา และรวมค่าคงที่
Answershow ▾
Move $-2x\ln3$ to the right, then combine $\ln2+\ln3$ into $\ln6$.ย้าย $-2x\ln3$ ไปทางขวา แล้วรวม $\ln2+\ln3$ เป็น $\ln6$
To finish, divide both sides of $\ln6\lt x(2\ln3+\ln5)$ by $2\ln3+\ln5$. Pick what happens to the inequality.
(A) it stays the same way, because $2\ln3+\ln5$ is positive
(B) it flips, because you are dividing
(C) it cannot be determined without knowing $x$
จะแก้ต่อโดยหารทั้งสองข้างของ $\ln6\lt x(2\ln3+\ln5)$ ด้วย $2\ln3+\ln5$ จงเลือกว่าอสมการเป็นอย่างไร
(A) ทิศทางเดิม เพราะ $2\ln3+\ln5$ เป็นบวก
(B) กลับทิศ เพราะกำลังหาร
(C) ไม่สามารถระบุได้โดยไม่รู้ค่า $x$
Answershow ▾
An inequality flips only when dividing by a NEGATIVE number. $\ln3$ and $\ln5$ are both logs of numbers greater than $1$, so they are both positive, and so is their sum - (B) applies the flip rule without checking the sign.อสมการจะกลับทิศเฉพาะเมื่อหารด้วยจำนวนลบ $\ln3$ และ $\ln5$ เป็น log ของตัวเลขที่มากกว่า $1$ ทั้งคู่ จึงเป็นบวกทั้งคู่ และผลบวกก็เป็นบวกด้วย (B) ใช้กฎกลับทิศโดยไม่ตรวจเครื่องหมายก่อน
Divide both sides of $\ln6\lt x(2\ln3+\ln5)$ by $2\ln3+\ln5$, then combine the logs on the right.
จงหารทั้งสองข้างของ $\ln6\lt x(2\ln3+\ln5)$ ด้วย $2\ln3+\ln5$ แล้วรวม log ทางขวา
Answershow ▾
$2\ln3+\ln5=\ln9+\ln5=\ln45$, since $3^{2}=9$.$2\ln3+\ln5=\ln9+\ln5=\ln45$ เพราะ $3^{2}=9$
Check that $x=\dfrac{\ln6}{\ln45}$ makes $2\times3^{1-2x}$ and $5^{x}$ equal, numerically.
จงตรวจเชิงตัวเลขว่า $x=\dfrac{\ln6}{\ln45}$ ทำให้ $2\times3^{1-2x}$ กับ $5^{x}$ เท่ากัน
Answershow ▾
$\dfrac{\ln6}{\ln45}\approx0.47$, and both sides evaluate to the same number.$\dfrac{\ln6}{\ln45}\approx0.47$ และทั้งสองข้างได้ค่าเท่ากัน
Find the set of values of $x$ for which $2\times5^{1-2x}\lt3^{x}$. Give your answer in a simplified exact form.
หาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $2\times5^{1-2x}\lt3^{x}$ ตอบในรูปแม่นตรง (exact) อย่างง่าย
Answershow ▾
Same four moves: take logs, expand, collect the $x$ terms, combine into single logs.สี่ขั้นเดิม: ใส่ log กระจายวงเล็บ รวมพจน์ $x$ แล้วรวมเป็น log ตัวเดียว
Find the set of values of $x$ for which $2\times3^{1-2x}\lt5^{x}$. Give your answer in a simplified exact form.
หาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $2\times3^{1-2x}\lt5^{x}$ ตอบในรูป exact อย่างง่าย
Answershow ▾
4 marks: take logs, expand, collect the $x$ terms, combine into the simplified exact form.4 คะแนน: ใส่ log กระจายวงเล็บ รวมพจน์ $x$ แล้วรวมเป็นรูปแม่นตรง (exact) อย่างง่าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A growth model in disguise โมเดลการเติบโตที่แฝงอยู่
The number of bacteria in a population, $P$, at time $t$ hours, is modelled by the equation $P=ae^{kt}$, where $a$ and $k$ are constants. The graph of $\ln P$ against $t$, shown in the diagram, has gradient $\dfrac{1}{20}$ and intersects the vertical axis at $(0,3)$.
(a) State the value of $k$ and find the value of $a$ correct to 2 significant figures.
(b) Find the time taken for $P$ to double. Give your answer correct to the nearest hour.
จำนวนแบคทีเรียในประชากร $P$ ที่เวลา $t$ ชั่วโมง จำลองด้วยสมการ $P=ae^{kt}$ เมื่อ $a$ และ $k$ เป็นค่าคงที่ กราฟของ $\ln P$ กับ $t$ ดังแผนภาพ มีความชัน (gradient) $\dfrac{1}{20}$ และตัดแกนตั้งที่ $(0,3)$
(ก) ระบุค่าของ $k$ และหาค่าของ $a$ ถึงเลขนัยสำคัญ 2 ตำแหน่ง
(ข) หาเวลาที่ใช้ในการทำให้ $P$ เพิ่มเป็นสองเท่า ตอบถึงชั่วโมงที่ใกล้เคียงที่สุด
Take $\ln$ of both sides of $P=ae^{kt}$.
จงใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างของ $P=ae^{kt}$
Answershow ▾
The product law splits $\ln(ae^{kt})$, then $\ln(e^{kt})=kt$.กฎการคูณแยก $\ln(ae^{kt})$ แล้ว $\ln(e^{kt})=kt$
The graph of $\ln P$ against $t$ has gradient $\dfrac{1}{20}$. State the value of $k$.
กราฟของ $\ln P$ กับ $t$ มีความชัน $\dfrac{1}{20}$ จงระบุค่าของ $k$
Answershow ▾
In $\ln P=\ln a+kt$, the gradient of the line IS $k$.ในสมการ $\ln P=\ln a+kt$ ความชันของเส้นตรงคือ $k$ เลย
The graph crosses the vertical axis at $(0,3)$. Find $a$.
กราฟตัดแกนตั้งที่ $(0,3)$ จงหาค่า $a$
Answershow ▾
At $t=0$, $\ln P=\ln a$, so the intercept is $\ln a$.ที่ $t=0$ จะได้ $\ln P=\ln a$ ดังนั้นจุดตัดคือ $\ln a$
To find the time $T$ for $P$ to double, pick the correct equation to set up.
(A) $ae^{k(t+T)}=2ae^{kt}$
(B) $ae^{k(2t)}=2ae^{kt}$
(C) $ae^{kt}+T=2ae^{kt}$
เพื่อหาเวลา $T$ ที่ทำให้ $P$ เพิ่มเป็นสองเท่า จงเลือกสมการที่ถูกต้อง
(A) $ae^{k(t+T)}=2ae^{kt}$
(B) $ae^{k(2t)}=2ae^{kt}$
(C) $ae^{kt}+T=2ae^{kt}$
Answershow ▾
$T$ is a SPAN OF TIME added to $t$, so it belongs inside the exponent as $t+T$ - (B) doubles the time value $t$ itself instead of adding a span. (C) adds $T$ directly to the population, mixing a time quantity with a population quantity.$T$ คือช่วงเวลาที่บวกเข้ากับ $t$ จึงต้องอยู่ในเลขชี้กำลังเป็น $t+T$ (B) เพิ่มค่า $t$ เองเป็นสองเท่า แทนที่จะบวกช่วงเวลาเข้าไป · (C) บวก $T$ เข้ากับจำนวนประชากรตรงๆ ปนหน่วยเวลากับหน่วยประชากร
Write the equation for $P$ doubling from time $t$ to time $t+T$.
จงเขียนสมการของ $P$ ที่เพิ่มเป็นสองเท่าจากเวลา $t$ ไปเวลา $t+T$
Answershow ▾
Same equation as the decision.สมการเดียวกับที่เลือกไว้
Simplify $ae^{k(t+T)}=2ae^{kt}$ by cancelling $a$ and $e^{kt}$ from both sides.
จงจัดรูป $ae^{k(t+T)}=2ae^{kt}$ โดยตัด $a$ และ $e^{kt}$ ออกจากทั้งสองข้าง
Answershow ▾
$e^{k(t+T)}=e^{kt}\times e^{kT}$, and both sides share the factor $ae^{kt}$.$e^{k(t+T)}=e^{kt}\times e^{kT}$ และทั้งสองข้างมีตัวประกอบร่วม $ae^{kt}$
Take $\ln$ of both sides of $e^{kT}=2$ to make $T$ the subject.
จงใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างของ $e^{kT}=2$ เพื่อจัดให้ $T$ อยู่ตัวเดียว
Answershow ▾
$\ln(e^{kT})=kT$, then divide by $k$.$\ln(e^{kT})=kT$ แล้วหารด้วย $k$
You have $T=\dfrac{\ln2}{k}$ and $k=\dfrac{1}{20}$. Pick the correct value of $T$.
(A) $T=20\ln2$
(B) $T=\dfrac{\ln2}{20}$
(C) $T=\ln2-20$
ได้ $T=\dfrac{\ln2}{k}$ และ $k=\dfrac{1}{20}$ จงเลือกค่า $T$ ที่ถูกต้อง
(A) $T=20\ln2$
(B) $T=\dfrac{\ln2}{20}$
(C) $T=\ln2-20$
Answershow ▾
Dividing $\ln2$ by $\dfrac{1}{20}$ means multiplying by its reciprocal, $20$ - (B) divides by $20$ instead of multiplying by it, forgetting to flip the fraction. (C) invents a subtraction that is not in the formula at all.การหาร $\ln2$ ด้วย $\dfrac{1}{20}$ คือการคูณด้วยส่วนกลับ ซึ่งคือ $20$ (B) หารด้วย $20$ แทนที่จะคูณ ลืมกลับเศษส่วน · (C) สร้างการลบขึ้นมาเองซึ่งไม่มีอยู่ในสูตรเลย
Work out $T=20\ln2$, correct to the nearest hour.
จงคำนวณ $T=20\ln2$ ตอบถึงชั่วโมงที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
$20\ln2\approx13.86$, which rounds up to $14$.$20\ln2\approx13.86$ ปัดขึ้นเป็น $14$
Using $a=20$, $k=\dfrac{1}{20}$, $T=14$, check that $P$ at $t=14$ is close to double $P$ at $t=0$.
จงตรวจว่าเมื่อ $a=20$, $k=\dfrac{1}{20}$, $T=14$ แล้วค่า $P$ ที่ $t=14$ ใกล้เคียงสองเท่าของ $P$ ที่ $t=0$
Answershow ▾
$14$ hours is a rounded answer, so the check is close to double, not exact.$14$ ชั่วโมงเป็นคำตอบที่ปัดแล้ว การตรวจจึงใกล้เคียงสองเท่า ไม่ตรงพอดี
The number of bacteria $P$ at time $t$ hours is modelled by $P=ae^{kt}$. The graph of $\ln P$ against $t$ has gradient $\dfrac{1}{10}$ and intersects the vertical axis at $(0,2)$.
(a) State the value of $k$ and find the value of $a$ correct to 2 significant figures.
(b) Find the time taken for $P$ to double. Give your answer correct to the nearest hour.
จำนวนแบคทีเรีย $P$ ที่เวลา $t$ ชั่วโมง จำลองด้วย $P=ae^{kt}$ กราฟของ $\ln P$ กับ $t$ มีความชัน $\dfrac{1}{10}$ และตัดแกนตั้งที่ $(0,2)$
(ก) ระบุค่าของ $k$ และหาค่าของ $a$ ถึงเลขนัยสำคัญ 2 ตำแหน่ง
(ข) หาเวลาที่ใช้ในการทำให้ $P$ เพิ่มเป็นสองเท่า ตอบถึงชั่วโมงที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
Same four moves: gradient gives $k$, intercept gives $a$, then the doubling equation gives $T$.สี่ขั้นเดิม: ความชันให้ค่า $k$ จุดตัดให้ค่า $a$ แล้วสมการเพิ่มเป็นสองเท่าให้ค่า $T$
The number of bacteria in a population, $P$, at time $t$ hours, is modelled by the equation $P=ae^{kt}$, where $a$ and $k$ are constants. The graph of $\ln P$ against $t$, shown in the diagram, has gradient $\dfrac{1}{20}$ and intersects the vertical axis at $(0,3)$.
(a) State the value of $k$ and find the value of $a$ correct to 2 significant figures.
(b) Find the time taken for $P$ to double. Give your answer correct to the nearest hour.
จำนวนแบคทีเรียในประชากร $P$ ที่เวลา $t$ ชั่วโมง จำลองด้วยสมการ $P=ae^{kt}$ เมื่อ $a$ และ $k$ เป็นค่าคงที่ กราฟของ $\ln P$ กับ $t$ ดังแผนภาพ มีความชัน (gradient) $\dfrac{1}{20}$ และตัดแกนตั้งที่ $(0,3)$
(ก) ระบุค่าของ $k$ และหาค่าของ $a$ ถึงเลขนัยสำคัญ 2 ตำแหน่ง
(ข) หาเวลาที่ใช้ในการทำให้ $P$ เพิ่มเป็นสองเท่า ตอบถึงชั่วโมงที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
5 marks: linear form, $k$ from the gradient, $a$ from the intercept, then the doubling equation.5 คะแนน: รูปเชิงเส้น $k$ จากความชัน $a$ จากจุดตัด แล้วสมการเพิ่มเป็นสองเท่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic hiding inside a log equation สมการกำลังสองที่แฝงในสมการ log
(a) Show that the equation $\log_{3}(2x+1)=1+2\log_{3}(x-1)$ can be written as a quadratic equation in $x$.
(b) Hence solve the equation $\log_{3}(4y+1)=1+2\log_{3}(2y-1)$, giving your answer correct to 2 decimal places.
(ก) จงแสดงว่าสมการ $\log_{3}(2x+1)=1+2\log_{3}(x-1)$ เขียนใหม่ได้เป็นสมการกำลังสองของ $x$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $\log_{3}(4y+1)=1+2\log_{3}(2y-1)$ ตอบถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Write $2\log_{3}(x-1)$ as a single log.
จงเขียน $2\log_{3}(x-1)$ เป็น log ตัวเดียว
Answershow ▾
The power law run backwards turns a coefficient into an index.กฎเลขชี้กำลังย้อนทางเปลี่ยนสัมประสิทธิ์ให้เป็นเลขชี้กำลัง
Write $1$ as a log base $3$.
จงเขียน $1$ เป็น log ฐาน $3$
Answershow ▾
$3^{1}=3$, so $\log_{3}3=1$.$3^{1}=3$ ดังนั้น $\log_{3}3=1$
If $\log_{3}(2x+1)=\log_{3}\big(3(x-1)^{2}\big)$, write the equation without logs.
ถ้า $\log_{3}(2x+1)=\log_{3}\big(3(x-1)^{2}\big)$ จงเขียนสมการโดยไม่มี log
Answershow ▾
$\log_{3}$ is one-to-one, so equal logs mean equal insides.$\log_{3}$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง log เท่ากันแปลว่าค่าภายในเท่ากันด้วย
To combine $1+2\log_{3}(x-1)$ into one log, pick the correct order of moves.
(A) write $1=\log_{3}3$, use the power law on $2\log_{3}(x-1)$, then the product law
(B) add $1$ and $2$ to get $3\log_{3}(x-1)$
(C) multiply $1$ by $2\log_{3}(x-1)$
เพื่อรวม $1+2\log_{3}(x-1)$ เป็น log ตัวเดียว จงเลือกลำดับขั้นที่ถูกต้อง
(A) เขียน $1=\log_{3}3$ ใช้กฎเลขชี้กำลังกับ $2\log_{3}(x-1)$ แล้วใช้กฎการคูณ
(B) บวก $1$ กับ $2$ ได้ $3\log_{3}(x-1)$
(C) คูณ $1$ ด้วย $2\log_{3}(x-1)$
Answershow ▾
(B) adds a plain number to a log coefficient, which is not legal - $1$ and the $2$ in front of the log are not the same kind of quantity. (C) has no log law behind it.(B) บวกตัวเลขธรรมดาเข้ากับสัมประสิทธิ์ของ log ซึ่งทำไม่ได้ เพราะ $1$ กับเลข $2$ หน้า log ไม่ใช่ปริมาณชนิดเดียวกัน · (C) ไม่มีกฎ log รองรับ คูณด้วย $1$ ค่าเดิมไม่เปลี่ยน จึงไม่ได้รวมอะไรเลย
Use the power law and the product law to write $1+2\log_{3}(x-1)$ as one log.
จงใช้กฎเลขชี้กำลังและกฎการคูณเขียน $1+2\log_{3}(x-1)$ เป็น log ตัวเดียว
Answershow ▾
Same combine as the decision.รวม log เหมือนที่เลือกไว้
Since $\log_{3}(2x+1)=\log_{3}\big(3(x-1)^{2}\big)$, drop the logs and expand the bracket.
เนื่องจาก $\log_{3}(2x+1)=\log_{3}\big(3(x-1)^{2}\big)$ จงตัด log แล้วกระจายวงเล็บ
Answershow ▾
$(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$, then multiply by $3$.$(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$ แล้วคูณด้วย $3$
Collect everything in $2x+1=3x^{2}-6x+3$ on one side to show $3x^{2}-8x+2=0$.
จงรวมทุกพจน์ของ $2x+1=3x^{2}-6x+3$ ไว้ข้างเดียว เพื่อแสดงว่าได้ $3x^{2}-8x+2=0$
Answershow ▾
Subtract $2x$ and $1$ from both sides.ลบ $2x$ และ $1$ ออกจากทั้งสองข้าง
Part (b)'s equation is $\log_{3}(4y+1)=1+2\log_{3}(2y-1)$. Pick how it connects to part (a)'s equation in $x$.
(A) it is $\log_{3}(2x+1)=1+2\log_{3}(x-1)$ with $x=2y$
(B) it is a completely different equation, solved from scratch
(C) it is part (a) with $y=2x$
สมการของ (b) คือ $\log_{3}(4y+1)=1+2\log_{3}(2y-1)$ จงเลือกว่าเชื่อมกับสมการของ $x$ ใน (a) อย่างไร
(A) คือ $\log_{3}(2x+1)=1+2\log_{3}(x-1)$ โดยใช้ $x=2y$
(B) เป็นสมการคนละตัว ต้องแก้ใหม่ทั้งหมด
(C) คือข้อ (a) โดยใช้ $y=2x$
Answershow ▾
With $x=2y$: $2x+1=4y+1$ matches, and $x-1=2y-1$ matches, so the two equations are the same one in disguise. (B) throws away the whole point of "hence". (C) writes the substitution backwards.เมื่อ $x=2y$: $2x+1=4y+1$ ตรงกัน และ $x-1=2y-1$ ตรงกัน แสดงว่าทั้งสองสมการคือสมการเดียวกันแค่สวมหน้ากาก · (B) ทิ้งประเด็นของคำว่า "จากข้อ (a)" ไปทั้งหมด · (C) เขียนการแทนค่ากลับทางผิด
Solve $3x^{2}-8x+2=0$ using the quadratic formula. Give both roots to 3 decimal places.
จงแก้ $3x^{2}-8x+2=0$ ด้วยสูตรกำลังสอง ตอบทั้งสองค่าถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$3x^{2}-8x+2=0$ has $a=3$, $b=-8$, $c=2$.$3x^{2}-8x+2=0$ มี $a=3$, $b=-8$, $c=2$
Use $x=2y$ to find $y$ for each root, then reject the value of $y$ for which $\log_{3}(2y-1)$ is undefined.
จงใช้ $x=2y$ หาค่า $y$ ของแต่ละราก แล้วตัดค่า $y$ ที่ทำให้ $\log_{3}(2y-1)$ หาค่าไม่ได้ทิ้ง
Answershow ▾
$y=0.279/2\approx0.14$ gives $2y-1\approx-0.72$, which is negative, so that root is rejected.$y=0.279/2\approx0.14$ ให้ $2y-1\approx-0.72$ ซึ่งเป็นลบ จึงต้องตัดรากนี้ทิ้ง
(a) Show that the equation $\log_{2}(5x-3)=1+2\log_{2}(x-1)$ can be written as a quadratic equation in $x$.
(b) Hence solve the equation $\log_{2}(10y-3)=1+2\log_{2}(2y-1)$, giving your answer correct to 2 decimal places.
(ก) จงแสดงว่าสมการ $\log_{2}(5x-3)=1+2\log_{2}(x-1)$ เขียนใหม่ได้เป็นสมการกำลังสองของ $x$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $\log_{2}(10y-3)=1+2\log_{2}(2y-1)$ ตอบถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same moves: write $1=\log_2 2$, combine, drop the logs, expand, then substitute $x=2y$.ขั้นตอนเดิม: เขียน $1=\log_2 2$ รวม log ตัด log กระจาย แล้วแทน $x=2y$
(a) Show that the equation $\log_{3}(2x+1)=1+2\log_{3}(x-1)$ can be written as a quadratic equation in $x$.
(b) Hence solve the equation $\log_{3}(4y+1)=1+2\log_{3}(2y-1)$, giving your answer correct to 2 decimal places.
(ก) จงแสดงว่าสมการ $\log_{3}(2x+1)=1+2\log_{3}(x-1)$ เขียนใหม่ได้เป็นสมการกำลังสองของ $x$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $\log_{3}(4y+1)=1+2\log_{3}(2y-1)$ ตอบถึงทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
5 marks: write $1=\log_3 3$, combine, drop the logs, expand to the quadratic, then substitute $x=2y$ and reject a root.5 คะแนน: เขียน $1=\log_3 3$ รวม log ตัด log กระจายเป็นสมการกำลังสอง แล้วแทน $x=2y$ และตัดรากทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic hiding inside e to the x สมการกำลังสองที่แฝงใน e กำลัง x
(a) Show that the equation $\ln(1+e^{-x})+2x=0$ can be expressed as a quadratic equation in $e^{x}$.
(b) Hence solve the equation $\ln(1+e^{-x})+2x=0$, giving your answer correct to 3 decimal places.
(ก) จงแสดงว่าสมการ $\ln(1+e^{-x})+2x=0$ เขียนใหม่ได้เป็นสมการกำลังสองของ $e^{x}$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $\ln(1+e^{-x})+2x=0$ ตอบถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
If $\ln(1+e^{-x})=-2x$, write the equation without logs.
ถ้า $\ln(1+e^{-x})=-2x$ จงเขียนสมการโดยไม่มี log
Answershow ▾
Raise $e$ to both sides: $e^{\ln(1+e^{-x})}=1+e^{-x}$.ยกกำลัง $e$ ทั้งสองข้าง: $e^{\ln(1+e^{-x})}=1+e^{-x}$
Multiply both sides of $1+e^{-x}=e^{-2x}$ by $e^{2x}$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $1+e^{-x}=e^{-2x}$ ด้วย $e^{2x}$
Answershow ▾
$e^{2x}\times e^{-x}=e^{x}$ and $e^{2x}\times e^{-2x}=1$.$e^{2x}\times e^{-x}=e^{x}$ และ $e^{2x}\times e^{-2x}=1$
Let $u=e^{x}$. Write $e^{2x}+e^{x}-1=0$ in terms of $u$.
ให้ $u=e^{x}$ จงเขียน $e^{2x}+e^{x}-1=0$ ในรูปของ $u$
Answershow ▾
$e^{2x}=(e^{x})^{2}=u^{2}$.$e^{2x}=(e^{x})^{2}=u^{2}$
Pick the first move to turn $\ln(1+e^{-x})+2x=0$ into an equation without logs.
(A) raise $e$ to both sides of $\ln(1+e^{-x})=-2x$
(B) divide both sides by $\ln$
(C) take $\ln$ of $2x$ as well
จงเลือกขั้นแรกที่เปลี่ยน $\ln(1+e^{-x})+2x=0$ ให้ไม่มี log
(A) ยกกำลัง $e$ ทั้งสองข้างของ $\ln(1+e^{-x})=-2x$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $\ln$
(C) ใส่ $\ln$ ให้ $2x$ ด้วย
Answershow ▾
$\ln$ is not a factor, so (B) divides by something that is not a number. (C) adds another log into the equation instead of removing the one that is already there.(B) $\ln$ ไม่ใช่ตัวประกอบ จะหารด้วยมันไม่ได้ · (C) เพิ่ม log เข้าไปอีกตัว ทั้งที่ควรกำจัด log ตัวที่มีอยู่แล้ว
Move $2x$ to the right of $\ln(1+e^{-x})+2x=0$, then raise $e$ to both sides.
จงย้าย $2x$ ไปทางขวาของ $\ln(1+e^{-x})+2x=0$ แล้วยกกำลัง $e$ ทั้งสองข้าง
Answershow ▾
Same two moves as warm-up $1$, now on the real equation.สองขั้นเดียวกับข้อ $1$ แต่ใช้กับสมการจริง
Multiply both sides of $1+e^{-x}=e^{-2x}$ by $e^{2x}$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $1+e^{-x}=e^{-2x}$ ด้วย $e^{2x}$
Answershow ▾
Same move as warm-up $2$.ขั้นเดียวกับข้อ $2$
Let $u=e^{x}$ and write $e^{2x}+e^{x}=1$ as a quadratic equation in $u$ equal to zero.
ให้ $u=e^{x}$ จงเขียน $e^{2x}+e^{x}=1$ เป็นสมการกำลังสองในรูป $u$ เท่ากับศูนย์
Answershow ▾
$e^{2x}=u^{2}$, then move the $1$ across.$e^{2x}=u^{2}$ แล้วย้าย $1$ ข้างสมการ
Solving $u^{2}+u-1=0$ gives $u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ or $u=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$. Pick which to keep.
(A) both, since the quadratic has two roots
(B) only $u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$, because $u=e^{x}$ can never be negative
(C) only $u=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$, because it is the smaller root
แก้ $u^{2}+u-1=0$ ได้ $u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ หรือ $u=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ จงเลือกคำตอบที่ต้องเก็บ
(A) เก็บทั้งสองค่า เพราะสมการกำลังสองมีสองราก
(B) เก็บเฉพาะ $u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ เพราะ $u=e^{x}$ เป็นลบไม่ได้
(C) เก็บเฉพาะ $u=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ เพราะเป็นรากที่เล็กกว่า
Answershow ▾
$u$ stands for $e^{x}$, and $e^{x}\gt0$ for every real $x$, so a negative value of $u$ is impossible - it is rejected for that reason, not because of its size, which rules out (C). (A) ignores the domain restriction entirely.$u$ แทน $e^{x}$ และ $e^{x}\gt0$ เสมอสำหรับ $x$ จริงทุกค่า จึงเป็นไปไม่ได้ที่ $u$ จะเป็นลบ ตัดทิ้งด้วยเหตุผลนี้ ไม่ใช่เพราะขนาดของมัน ซึ่งทำให้ (C) ผิดด้วย · (A) ไม่สนใจข้อจำกัดของโดเมน (domain) เลย
Solve $u^{2}+u-1=0$ using the quadratic formula.
จงแก้ $u^{2}+u-1=0$ ด้วยสูตรกำลังสอง
Answershow ▾
$u^{2}+u-1=0$ has $a=1$, $b=1$, $c=-1$.$u^{2}+u-1=0$ มี $a=1$, $b=1$, $c=-1$
Reject the root of $u^{2}+u-1=0$ that cannot equal $e^{x}$, then use $x=\ln u$ to find $x$, correct to 3 decimal places.
จงตัดรากของ $u^{2}+u-1=0$ ที่เป็น $e^{x}$ ไม่ได้ทิ้ง แล้วใช้ $x=\ln u$ หาค่า $x$ ถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\approx0.618$ is the only positive root.$u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\approx0.618$ เป็นรากบวกตัวเดียว
(a) Show that the equation $\ln(1+2e^{-x})+2x=0$ can be expressed as a quadratic equation in $e^{x}$.
(b) Hence solve the equation $\ln(1+2e^{-x})+2x=0$, giving your answer correct to 3 decimal places.
(ก) จงแสดงว่าสมการ $\ln(1+2e^{-x})+2x=0$ เขียนใหม่ได้เป็นสมการกำลังสองของ $e^{x}$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $\ln(1+2e^{-x})+2x=0$ ตอบถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same moves: remove the log, multiply by $e^{2x}$, substitute $u=e^{x}$, solve, reject the negative root.ขั้นตอนเดิม: กำจัด log คูณด้วย $e^{2x}$ แทน $u=e^{x}$ แก้สมการ แล้วตัดรากลบทิ้ง
(a) Show that the equation $\ln(1+e^{-x})+2x=0$ can be expressed as a quadratic equation in $e^{x}$.
(b) Hence solve the equation $\ln(1+e^{-x})+2x=0$, giving your answer correct to 3 decimal places.
(ก) จงแสดงว่าสมการ $\ln(1+e^{-x})+2x=0$ เขียนใหม่ได้เป็นสมการกำลังสองของ $e^{x}$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $\ln(1+e^{-x})+2x=0$ ตอบถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
6 marks: remove the log, multiply by $e^{2x}$, substitute $u=e^{x}$, solve, reject the negative root, then $\ln$ to find $x$.6 คะแนน: กำจัด log คูณด้วย $e^{2x}$ แทน $u=e^{x}$ แก้สมการ ตัดรากลบทิ้ง แล้วใช้ $\ln$ หา $x$