Exponentials & logarithms · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เลขชี้กำลังและลอการิทึม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Exponentials and logs · equations and inequalities with e and ln
(a) Solve $e^{2x} + 2e^x - 24 = 0$, rejecting any value that is not possible.
(b) Solve the inequality $e^{3x} \gt 14$, giving your answer in terms of $\ln$.
Explain why the equation $e^x = -4$ has no solutions.
อธิบายว่าเหตุใดสมการ $e^x = -4$ จึงไม่มีคำตอบ
Answershow ▾
This is the fact behind every 'reject the invalid root' step involving $e^x$: whatever the algebra produces, a value of $e^x$ that comes out negative can never actually be reached.
Use the substitution $u = e^x$ to write $e^{2x} - 8e^x + 12 = 0$ as a quadratic equation in $u$.
ใช้การแทนค่า $u = e^x$ เขียน $e^{2x} - 8e^x + 12 = 0$ ในรูปสมการกำลังสองของ $u$
Answershow ▾
$e^{2x} = (e^x)^2 = u^2$ — the substitution turns the exponential equation into an ordinary quadratic.
Solve $e^{y} = 10$ for $y$, giving your answer in terms of $\ln$.
แก้สมการ $e^{y} = 10$ หา $y$ โดยตอบในรูป $\ln$
Answershow ▾
Taking $\ln$ of both sides undoes $e^{(\cdot)}$ directly, since $\ln(e^y) = y$.
A substitution only helps if every term becomes a power of the new letter. For $e^{2x} + 2e^{x} - 24 = 0$, which of $u = e^{x}$, $u = 2x$ and $u = e^{2x}$ does that — and write $e^{2x}$ in terms of the one that works.
การแทนค่าจะช่วยได้ก็ต่อเมื่อทุกพจน์กลายเป็นเลขยกกำลังของตัวอักษรใหม่ · สำหรับ $e^{2x} + 2e^{x} - 24 = 0$ ตัวไหนทำได้ระหว่าง $u = e^{x}$, $u = 2x$ และ $u = e^{2x}$ · แล้วเขียน $e^{2x}$ ในรูปของตัวที่ใช้ได้
Answershow ▾
$u = 2x$ leaves an $e$ behind and changes nothing. $u = e^{2x}$ turns the FIRST term into $u$ but leaves the second as $\sqrt{u}$, which is worse than what you started with. The test is on the exponents: $2x$ is twice $x$, so $u = e^{x}$ makes the powers read $u^2$, $u$, constant — the shape of a quadratic. The same test picks $u = 3^{x}$ for $9^{x} - 4\times 3^{x} + 3 = 0$. No mark is given for running it.$u = 2x$ ยังเหลือ $e$ ทิ้งไว้ และไม่ได้เปลี่ยนอะไร · $u = e^{2x}$ เปลี่ยนพจน์แรกเป็น $u$ แต่ทิ้งพจน์ที่สองเป็น $\sqrt{u}$ ซึ่งแย่กว่าโจทย์เดิม · ให้ดูที่เลขชี้กำลัง: $2x$ เป็นสองเท่าของ $x$ ดังนั้น $u = e^{x}$ ทำให้กำลังเรียงเป็น $u^2$, $u$, ค่าคงที่ ซึ่งคือรูปของสมการกำลังสอง · การทดสอบเดียวกันเลือก $u = 3^{x}$ ให้ $9^{x} - 4\times 3^{x} + 3 = 0$ · ไม่มีคะแนนให้กับการทดสอบนี้
Use $u = e^x$ to write $e^{2x} + 2e^x - 24 = 0$ as a quadratic equation in $u$.
Answershow ▾
Same move as question 2, now with the real numbers from the exam question.
Solve $u^2 + 2u - 24 = 0$.
Answershow ▾
Factorise as $(u - 4)(u + 6) = 0$ — the same skill as any other quadratic, just with the letter $u$ instead of $x$.
You have $u = 4$ and $u = -6$, where $u = e^{x}$. One must go. Which of these three is the REASON that earns the mark, and what is wrong with the other two?
(A) a negative answer is not allowed (B) $e^{x} \gt 0$ for every real $x$, so $e^{x} = -6$ has no solution (C) $-6$ is not a factor of $24$
ได้ $u = 4$ กับ $u = -6$ โดย $u = e^{x}$ · ต้องตัดทิ้งหนึ่งตัว · เหตุผลข้อไหนที่ได้คะแนน และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) คำตอบติดลบไม่ได้ (B) $e^{x} \gt 0$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ ดังนั้น $e^{x} = -6$ ไม่มีคำตอบ (C) $-6$ ไม่ใช่ตัวประกอบของ $24$
Answershow ▾
(A) is not true as a general statement — $x$ itself is allowed to be negative, and often is. (C) is arithmetic that has nothing to do with the question. The real reason is that $e^{x}$ is a positive quantity whatever $x$ does, so a NEGATIVE value of $u$ describes a point the exponential graph never visits. The question says “rejecting any value that is not possible”, so the reason must appear on the page: a crossing-out with no sentence beside it earns nothing.(A) ไม่จริงในฐานะข้อความทั่วไป เพราะ $x$ เองติดลบได้ และมักติดลบด้วย · (C) เป็นเลขคณิตที่ไม่เกี่ยวกับโจทย์เลย · เหตุผลจริงคือ $e^{x}$ เป็นปริมาณบวกไม่ว่า $x$ จะเป็นอะไร ค่า $u$ ที่ติดลบจึงบรรยายจุดที่กราฟเอกซ์โพเนนเชียลไม่เคยผ่าน · โจทย์เขียนว่า "rejecting any value that is not possible" เหตุผลจึงต้องปรากฏบนกระดาษ · ขีดฆ่าเฉย ๆ โดยไม่มีประโยคกำกับไม่ได้คะแนน
$u = 4$ or $u = -6$, where $u = e^x$. Decide which value of $u$ must be rejected, and find $x$ from the one that remains.
$u = 4$ หรือ $u = -6$ โดย $u = e^x$ จงตัดสินว่าค่าใดของ $u$ ต้องถูกตัดทิ้ง แล้วหาค่า $x$ จากค่าที่เหลือ
Answershow ▾
This is the step most students skip — writing down BOTH values of u as if they were both valid answers for x. Only one of them can ever equal $e^x$.
Solve $e^{2x} + 2e^x - 24 = 0$, rejecting any value that is not possible.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained together: substitute, solve the quadratic, reject the impossible root, then undo the remaining exponential.
Solve the inequality $e^{3x} \gt 14$, giving your answer in terms of $\ln$.
Answershow ▾
Taking $\ln$ of both sides is safe here because $e^{kx}$ is always positive, so the inequality sign does not flip; a flip only happens when you multiply or divide by a negative number, which never occurs in this method.
Part (b) is an inequality, and an inequality sign can flip. Solve $e^{3x} \gt 14$ line by line, and at each line say whether the sign flips. Then name the one operation that WOULD flip it, and check whether it ever happens here.
ข้อ (b) เป็นอสมการ และเครื่องหมายอสมการพลิกได้ · จงแก้ $e^{3x} \gt 14$ ทีละบรรทัด และบอกทุกบรรทัดว่าเครื่องหมายพลิกหรือไม่ · แล้วบอกชื่อการกระทำเดียวที่ทำให้มันพลิก และตรวจว่าเกิดขึ้นที่นี่หรือไม่
Answershow ▾
Taking $\ln$ is safe because $\ln$ is an increasing function: bigger goes to bigger, so the order survives. Dividing by $3$ is safe because $3$ is positive. Had the equation read $e^{-3x} \gt 14$, the final division would have been by $-3$ and the sign would have flipped. Deciding this in advance is worth no mark; the A1 is for the final line, and a flipped sign there is simply wrong.การใส่ $\ln$ ปลอดภัยเพราะ $\ln$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม: ค่ามากไปเป็นค่ามาก ลำดับจึงคงอยู่ · การหารด้วย $3$ ปลอดภัยเพราะ $3$ เป็นบวก · ถ้าโจทย์เป็น $e^{-3x} \gt 14$ การหารสุดท้ายจะเป็นการหารด้วย $-3$ และเครื่องหมายจะพลิก · การตัดสินใจล่วงหน้าเรื่องนี้ไม่มีคะแนน · A1 ให้กับบรรทัดสุดท้าย และถ้าเครื่องหมายพลิกผิดก็คือผิด
(a) Solve $e^{2x} + e^x - 6 = 0$, rejecting any value that is not possible.
(b) Solve the inequality $e^{x} \gt 5$, giving your answer in terms of $\ln$.
Answershow ▾
Same two methods as the exam question — a hidden quadratic with a rejected root, then a straightforward inequality — with smaller numbers throughout.
(a) Solve $e^{2x} + 2e^x - 24 = 0$, rejecting any value that is not possible.
(b) Solve the inequality $e^{3x} \gt 14$, giving your answer in terms of $\ln$.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 5 and 6 build part (a); question 8 is part (b) in full.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 take $\ln$ of both sides (valid since both sides are positive): $3x \gt \ln 14$ A1 $x \gt \dfrac{\ln 14}{3}$.
Exponentials and logs · a growth or decay model
The number of subscribers, $N$ thousand, to a newly launched streaming service, $t$ months after launch, is modelled by $N = 66 - Ae^{-kt}$, where $A$ and $k$ are positive constants. On the day of launch ($t = 0$), $N = 50$. After 3 months, $N = 60$.
(a) Find the value of $A$, and find the value of $k$, giving your answer to 3 significant figures.
(b) Use the model to predict the number of subscribers after 15 months, giving your answer to 3 significant figures.
(c) Find the number of months after launch at which the number of subscribers first reaches 63 thousand, giving your answer to 3 significant figures.
(d) State the number of subscribers that the model predicts in the long term, giving a reason for your answer.
Solve $e^{2t} = 2$ for $t$, giving your answer in terms of $\ln$.
แก้สมการ $e^{2t} = 2$ หาค่า $t$ โดยตอบในรูป $\ln$
Answershow ▾
Take $\ln$ of both sides, then divide by the coefficient of $t$ — the same skill needed to find $k$ and to find the time in a growth model.
A quantity is modelled by $Q = 100 - 10e^{-\frac{1}{10}t}$. Find the value of $Q$ when $t = 6$, giving your answer to 3 significant figures.
ปริมาณหนึ่งมีแบบจำลอง $Q = 100 - 10e^{-\frac{1}{10}t}$ จงหาค่า $Q$ เมื่อ $t = 6$ โดยตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่งนัยสำคัญ
Answershow ▾
Substitute the value of $t$ into the model and evaluate — a calculator step, but the one every part of the real question relies on.
A quantity is modelled by $Q = 120 - Ae^{-kt}$, where $A$ and $k$ are positive constants. State the value that $Q$ approaches as $t \to \infty$, and explain why.
ปริมาณหนึ่งมีแบบจำลอง $Q = 120 - Ae^{-kt}$ โดย $A$ และ $k$ เป็นค่าคงที่บวก จงบอกค่าที่ $Q$ เข้าใกล้เมื่อ $t \to \infty$ พร้อมอธิบายเหตุผล
Answershow ▾
This is the whole point of writing a model as (limit) minus a decaying exponential: the decaying term vanishes and only the limit is left.
$N = 66 - Ae^{-kt}$ has two unknowns and the question gives two data points. One point hands you a letter on its own; the other cannot. Say which is which, and what it is about $t = 0$ that does it.
$N = 66 - Ae^{-kt}$ มีตัวไม่รู้ค่าสองตัว และโจทย์ให้ข้อมูลมาสองจุด · จุดหนึ่งให้ตัวอักษรมาโดด ๆ อีกจุดให้ไม่ได้ · จงบอกว่าจุดไหนเป็นจุดไหน และอะไรที่ $t = 0$ ทำให้เป็นอย่างนั้น
Answershow ▾
At $t = 0$ the exponential collapses to $1$ and takes $k$ with it, leaving one equation in one unknown. Start at the other point instead and you have one equation in two unknowns and no way forward. The order of the two substitutions is the whole of part (a), and the mark scheme lists two independent B1/M1 lines that say nothing about which to do first.ที่ $t = 0$ เอกซ์โพเนนเชียลยุบเป็น $1$ และพา $k$ หายไปด้วย เหลือสมการเดียวที่มีตัวไม่รู้ค่าตัวเดียว · ถ้าเริ่มจากอีกจุดหนึ่ง จะได้สมการเดียวที่มีตัวไม่รู้ค่าสองตัว และไปต่อไม่ได้ · ลำดับของการแทนค่าสองครั้งคือทั้งหมดของข้อ (a) และมาร์คสกีมเขียนบรรทัดแยกกันสองบรรทัดโดยไม่บอกเลยว่าต้องทำอันไหนก่อน
The number of subscribers is modelled by $N = 66 - Ae^{-kt}$. On the day of launch ($t = 0$), $N = 50$. Find the value of $A$.
Answershow ▾
At $t = 0$, $e^{-kt} = e^0 = 1$, so $N = 66 - A$ — set this equal to 50 and solve for $A$.
$N = 66 - 16e^{-kt}$. After 3 months, $N = 60$. Find the value of $k$, giving your answer to 3 significant figures.
Answershow ▾
Substitute $t = 3$ and $N = 60$, isolate $e^{-3k}$, then take $\ln$ of both sides and divide by $-3$.
$N = 66 - 16e^{-kt}$, with $k = 0.327$. Find $N$ when $t = 15$, giving your answer to 3 significant figures.
Answershow ▾
Substitute the value of $t$ and the value of $k$ already found, and evaluate.
Part (a) asks for $k$ to 3 significant figures and your calculator holds $k = 0.326937\ldots$. For part (b) you substitute $t = 15$. Work out $N$ twice — once with the rounded $0.327$ and once with the value still in the calculator — and say which one you should write down, and why.
ข้อ (a) ให้ตอบ $k$ เป็น 3 ตัวเลขนัยสำคัญ และเครื่องคิดเลขเก็บ $k = 0.326937\ldots$ ไว้ · ข้อ (b) ต้องแทน $t = 15$ · จงคำนวณ $N$ สองครั้ง ครั้งหนึ่งด้วย $0.327$ ที่ปัดแล้ว อีกครั้งด้วยค่าเต็มในเครื่อง แล้วบอกว่าควรเขียนค่าไหน และเพราะอะไร
Answershow ▾
Rounding is what you do to the answer you write, never to a number you are about to use again. Here the two routes agree, so nothing is lost and no mark notices; on a question with a larger exponent, or a third significant figure sitting on a boundary, they do not agree and the rounded route loses the accuracy mark. Keep the value in the calculator’s memory and round only at the last line of each part. The A1 is for $65.9$; nothing pays for how you got the $k$ you fed it.การปัดเศษเป็นสิ่งที่ทำกับคำตอบที่จะเขียนลงไป ไม่ใช่กับตัวเลขที่กำลังจะใช้ต่อ · ที่นี่สองทางให้ผลตรงกัน จึงไม่เสียอะไรและไม่มีคะแนนไหนสังเกต แต่ในข้อที่เลขชี้กำลังใหญ่กว่า หรือตัวเลขนัยสำคัญตัวที่สามอยู่ตรงเส้นแบ่งพอดี สองทางจะไม่ตรงกัน และทางที่ปัดก่อนจะเสียคะแนนความแม่นยำ · เก็บค่าไว้ในหน่วยความจำเครื่องคิดเลข แล้วปัดเฉพาะบรรทัดสุดท้ายของแต่ละข้อย่อย · A1 ให้กับ $65.9$ ไม่มีคะแนนให้กับที่มาของ $k$ ที่ป้อนเข้าไป
$N = 66 - Ae^{-kt}$. On the day of launch, $N = 50$; after 3 months, $N = 60$. Find the value of $A$, and find the value of $k$, giving your answer to 3 significant figures.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 chained together: the starting value gives $A$ directly, then the second data point gives an equation for $k$.
$N = 66 - 16e^{-kt}$, with $k = 0.327$. Find the number of months after launch at which $N$ first reaches 63 thousand, giving your answer to 3 significant figures.
Answershow ▾
Set $N$ equal to the stated level, isolate $e^{-kt}$ exactly as in question 5, then take $\ln$ and divide by $-k$ to find $t$ instead of $k$.
Part (d) asks for the long-term value with a reason. Which of these three is the answer, and which single phrase supplies the reason?
(A) $N \to 0$ (B) $N \to 66$ thousand (C) $N$ grows without limit
Then say which letter being positive is what makes the reason work.
ข้อ (d) ถามค่าระยะยาว พร้อมเหตุผล · ข้อไหนคือคำตอบ และวลีใดคือเหตุผล
(A) $N \to 0$ (B) $N \to 66$ พัน (C) $N$ เพิ่มขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด
แล้วบอกว่าตัวอักษรตัวไหนที่เป็นบวก ทำให้เหตุผลนั้นใช้ได้
Answershow ▾
The model is written as a ceiling minus a decaying term precisely so that this question has an answer: kill the decaying term and the ceiling is what is left. The sign of $k$ is doing all the work — with $k \lt 0$ the same expression would run away to minus infinity, which is why the question told you $k$ is positive. “Giving a reason” means the phrase $e^{-kt} \to 0$ must be written; the B1 is for the value and the reason together, and the number alone is worth nothing.แบบจำลองเขียนเป็น "เพดาน ลบ พจน์ที่สลายตัว" ก็เพื่อให้คำถามนี้มีคำตอบ: กำจัดพจน์ที่สลายตัวไป เหลือเพดาน · เครื่องหมายของ $k$ คือตัวทำงานทั้งหมด ถ้า $k \lt 0$ นิพจน์เดียวกันจะวิ่งไปลบอนันต์ นั่นคือเหตุผลที่โจทย์บอกว่า $k$ เป็นบวก · "giving a reason" แปลว่าต้องเขียนวลี $e^{-kt} \to 0$ ลงไป · B1 ให้กับค่าและเหตุผลรวมกัน ตัวเลขอย่างเดียวไม่มีคะแนน
The number of members of a running club, $N$ hundred, $t$ months after the club is founded, is modelled by $N = 18 - Ae^{-kt}$, where $A$ and $k$ are positive constants. On the day it is founded ($t = 0$), $N = 10$. After 5 months, $N = 14$.
(a) Find $A$, and find $k$ to 3 significant figures.
(b) Predict $N$ after 10 months, to 3 significant figures.
(c) Find when $N$ first reaches 15 hundred, to 3 significant figures.
(d) State the long-term value of $N$, with a reason.
Answershow ▾
Same four parts and the same methods as the exam question, with smaller numbers throughout.
The number of subscribers, $N$ thousand, to a newly launched streaming service, $t$ months after launch, is modelled by $N = 66 - Ae^{-kt}$, where $A$ and $k$ are positive constants. On the day of launch ($t = 0$), $N = 50$. After 3 months, $N = 60$.
(a) Find the value of $A$, and find the value of $k$, giving your answer to 3 significant figures.
(b) Use the model to predict the number of subscribers after 15 months, giving your answer to 3 significant figures.
(c) Find the number of months after launch at which the number of subscribers first reaches 63 thousand, giving your answer to 3 significant figures.
(d) State the number of subscribers that the model predicts in the long term, giving a reason for your answer.
Answershow ▾
8 marks. Questions 4 and 5 build part (a); question 6 is part (b); question 8 is part (c); question 3 is the idea behind part (d).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 substitute $t = 15$: $N = 66 - 16e^{-15k}$ A1 $N = 65.9$ (3 s.f.).
(c) M1 set $N = 63$: $63 = 66 - 16e^{-kt}$, so $e^{-kt} = \frac{3}{16}$, then take $\ln$ of both sides A1 $t = 5.12$ months (3 s.f.).
(d) B1 as $t \to \infty$, $e^{-kt} \to 0$ (since $k \gt 0$), so $N \to 66$ — the model predicts the number of subscribers levels off at 66 thousand.