Logarithms & Exponentialsลอการิทึมและเอกซ์โพเนนเชียล

A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 & Edexcel IAL WMA13 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Add the indices, then hunt for the indexบวกเลขชี้กำลัง แล้วไปตามหาเลขชี้กำลัง

Panel 2 asks "what power?". That question is a log: $\log_2 32=5$.ช่อง 2 ถามว่า "กำลังเท่าไร?" · คำถามนี้คือล็อก: $\log_2 32=5$

1. $2^{3}\times 2^{4}=2^{\,?}$  What number goes in the box?$2^{3}\times 2^{4}=2^{\,?}$  ช่องว่างคือเลขอะไร?
   Answer:เฉลย: $2^{3}\times2^{4}=2^{7}$Multiply the numbers ⇒ add the powers. Today this one index law grows into every 'law of logs'.คูณตัวเลข ⇒ บวกเลขชี้กำลัง วันนี้กฎข้อเดียวนี้จะโตไปเป็น 'กฎของ log' ทุกข้อ
2. Solve $2^{x}=32$.แก้สมการ $2^{x}=32$
   Answer:เฉลย: $x=5$'What power?' gets a symbol: $2^{x}=32$   $2^{5}=32\ \Rightarrow\ x=5$ Soon the same question has answers that are not whole numbers.คำถาม 'กำลังเท่าไร' กำลังจะมีสัญลักษณ์: $2^{x}=32$   $2^{5}=32\ \Rightarrow\ x=5$ อีกไม่นาน คำถามเดิมนี้จะมีคำตอบที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

2. A question gets a nameคำถามเดิม ได้ชื่อใหม่

$\log_2 8=3$ is the question 'what power of 2 gives 8?'$\log_2 8=3$ คือคำถาม '2 ยกกำลังเท่าไรได้ 8'

What power of 2 gives 8?2 ยกกำลังเท่าไรได้ 8?

Answer: $3$, since $2^{3}=8$. Today this question gets a symbol.คำตอบคือ $3$ เพราะ $2^{3}=8$ · วันนี้คำถามนี้จะได้สัญลักษณ์

$\log_4 64=\,?$$\log_4 64=\,?$

1. $4^{\,?}=64$LABEL. Rewrite the log as its defining equation.ติดป้าย · เขียน log ใหม่เป็นสมการเลขยกกำลัง
2. $4^{3}=64$SUBSTITUTE. Climb the powers of 4 until you land on $64$.แทนค่า · ไต่กำลังของ 4 ไปจนถึง $64$
3. $\log_4 64=3$EVALUATE. The power you found is the answer.คิด · กำลังที่เจอคือคำตอบ

1. $\log_2 16 = \,?$$\log_2 16 = \,?$
   Answer:เฉลย: $\log_2 16=4$Read it as 'what power': $2^{4}=16$   $\log_2 16=4$อ่านว่า 'กำลังเท่าไร': $2^{4}=16$   $\log_2 16=4$
2. $\log_2 8$ and $\sqrt[3]{8}$ both come from $2^{3}=8$. Are they the same thing?$\log_2 8$ กับ $\sqrt[3]{8}$ มาจาก $2^{3}=8$ ทั้งคู่ — สองอันนี้คือของอย่างเดียวกันไหม?
   Answer:เฉลย: Different questions: the root hunts the base, the log hunts the power.คนละคำถาม: รากตามหาฐาน ส่วน log ตามหาเลขชี้กำลังRoot hunts base, log hunts power: $2^{3}=8$   $\sqrt[3]{8}:\ \ ?^{3}=8\ \Rightarrow\ 2$   $\log_2 8:\ \ 2^{?}=8\ \Rightarrow\ 3$ราก ตามหาฐาน · log ตามหากำลัง: $2^{3}=8$   $\sqrt[3]{8}:\ \ ?^{3}=8\ \Rightarrow\ 2$   $\log_2 8:\ \ 2^{?}=8\ \Rightarrow\ 3$

3. Every log is a questionlog ทุกตัวคือคำถาม

Fractions or letters: a log still asks the same question.เจอเศษส่วนหรือตัวอักษร log ก็ยังถามคำถามเดิม

Powers can go negative tooเลขชี้กำลังก็ติดลบได้

$2^{-2}=\tfrac14$ is still an index, so $\log_2\tfrac14$ still asks "what power?"$2^{-2}=\tfrac14$ ก็ยังเป็นเลขยกกำลังอยู่ · $\log_2\tfrac14$ เลยยังถามว่า "กำลังเท่าไร"

$\log_5\dfrac{1}{25}=\,?$$\log_5\dfrac{1}{25}=\,?$

1. $5^{\,?}=\tfrac{1}{25}$LABEL. Rewrite the log as its defining equation.ติดป้าย · เขียน log ใหม่เป็นสมการเลขยกกำลัง
2. $5^{-2}=\tfrac{1}{25}$SUBSTITUTE. A fraction under $1$ needs a negative power.แทนค่า · เศษส่วนที่น้อยกว่า 1 ต้องใช้กำลังติดลบ
3. $\log_5\tfrac{1}{25}=-2$EVALUATE.คิด

1. $\log_5 \dfrac{1}{25} = \,?$$\log_5 \dfrac{1}{25} = \,?$
   Answer:เฉลย: $\log_5\tfrac{1}{25}=-2$The log only reports the power: $5^{-2}=\tfrac{1}{25}$   $\log_5\tfrac{1}{25}=-2$ Anything between $0$ and $1$ has a negative log.log แค่รายงานค่ากำลัง: $5^{-2}=\tfrac{1}{25}$   $\log_5\tfrac{1}{25}=-2$ อะไรที่อยู่ระหว่าง $0$ กับ $1$ ค่า log ติดลบ
2. $\log_3 \dfrac{1}{9} = \,?$$\log_3 \dfrac{1}{9} = \,?$
   Answer:เฉลย: $\log_3\tfrac19=-2$The log reports the power: $3^{-2}=\tfrac{1}{9}$   $\log_3\tfrac{1}{9}=-2$log รายงานค่ากำลัง: $3^{-2}=\tfrac{1}{9}$   $\log_3\tfrac{1}{9}=-2$

4. Laws grown from index lawsกฎ log งอกจากกฎเลขยกกำลัง

Multiply ⇒ add, divide ⇒ subtract, power ⇒ out front.คูณ ⇒ บวก · หาร ⇒ ลบ · ยกกำลัง ⇒ เด้งออกมาข้างหน้า

Each law is an index law, read upstairsแต่ละข้อคือกฎเลขยกกำลัง อ่านจากชั้นบน

Any base works. Law 3 pulls an $x$ out of an exponent.ใช้ได้ทุกฐาน · กฎข้อ 3 ดึง $x$ ออกจากเลขชี้กำลังได้

Multiply the numbers ⇒ add the powersคูณตัวเลข ⇒ บวกเลขชี้กำลัง

1. $2^{3}\times 2^{4}$$8\times16$, dressed as powers.$8\times16$ ในชุดเลขยกกำลัง
2. $=2^{3+4}$Numbers multiply ⇒ powers add.ตัวเลขคูณกัน ⇒ เลขชี้กำลังบวกกัน
3. $=2^{7}$$128$: same fact, upstairs.$128$ · ข้อเท็จจริงเดิม มองจากชั้นบน

1. $\log_2 8=3$ and $\log_2 16=4$.  So $\log_2(8\times16)=\log_2 128=\,?$$\log_2 8=3$ และ $\log_2 16=4$  ดังนั้น $\log_2(8\times16)=\log_2 128=\,?$
   Answer:เฉลย: $\log_2 128=7=3+4$Numbers multiply, powers add: $2^{3}\times 2^{4}=2^{3+4}=2^{7}$   $\log_2 128=7=3+4$   $\log ab=\log a+\log b$ตัวเลขคูณกัน กำลังบวกกัน: $2^{3}\times 2^{4}=2^{3+4}=2^{7}$   $\log_2 128=7=3+4$   $\log ab=\log a+\log b$
2. Which one equals $\log a+\log b$?อันไหนเท่ากับ $\log a+\log b$?
   Answer:เฉลย: $\log a+\log b=\log(ab)$Multiply downstairs, add upstairs: $\log a+\log b=\log(ab)$   $\log(a+b):\ \ \text{no law}$ข้างล่างคูณ ข้างบนบวก: $\log a+\log b=\log(ab)$   $\log(a+b):\ \ \text{no law}$
3. Write $\log 7+\log 3$ as a single logarithm.เขียน $\log 7+\log 3$ ให้เหลือ log เดียว
   Answer:เฉลย: $\log 21$Works both directions: $\log 7+\log 3=\log 21$   $\log 21=\log 7+\log 3$ The exam plays this law in both directions.ใช้ได้ทั้งไปและกลับ: $\log 7+\log 3=\log 21$   $\log 21=\log 7+\log 3$ ข้อสอบใช้กฎนี้ทั้งสองทาง

5. Pull the power downดึงเลขชี้กำลังลงมา

Solve $a^{x}=b$ even when no whole number works.แก้ $a^{x}=b$ ได้ แม้ไม่มีจำนวนเต็มตัวไหนลงตัว

No whole step lands on $10$ไม่มีก้าวจำนวนเต็มไหนลงที่ 10 พอดี

The answer exists, but it is not a whole number. Logs bring it down.คำตอบมีอยู่จริง แค่ไม่ใช่จำนวนเต็ม · log จะดึงมันลงมาให้

$2^{x}=10$$2^{x}=10$

1. $2^{x}=10$LABEL. $x$ is in the exponent, so log both sides.ติดป้าย · $x$ อยู่บนเลขชี้กำลัง · ใส่ log ทั้งสองข้าง
2. $x\log 2=\log 10$SUBSTITUTE. Law 3 pulls the power down.แทนค่า · กฎข้อ 3 ดึงเลขชี้กำลังลงมา
3. $x=\dfrac{\log 10}{\log 2}\approx 3.32$EVALUATE. Make $x$ the subject.คิด · ทำ $x$ เป็นตัวตั้ง
4. $\text{check}:\ 3.32\ \text{is between}\ 3\ \text{and}\ 4\ \checkmark$

1. In the warm-up you solved $2^{x}=32$ by spotting $x=5$. Now try $2^{x}=10$. Where does $x$ live?ตอนวอร์มอัพแก้ $2^{x}=32$ ได้เพราะมองออกว่า $x=5$ · คราวนี้ลอง $2^{x}=10$ · $x$ อยู่แถวไหน?
   Answer:เฉลย: Between 3 and 4.ระหว่าง 3 กับ 4The answer exists, but it is not whole and it is stuck in the exponent. Law 3 brings powers down.คำตอบมีจริง แต่ไม่ใช่จำนวนเต็ม และติดอยู่บนเลขชี้กำลัง · กฎข้อ 3 คือตัวที่ดึงกำลังลงมา
2. Solve $5^{x}=8$. Give the exact answer, or 3 s.f.แก้ $5^{x}=8$ · ตอบแบบ exact หรือทศนิยม 3 s.f. ก็ได้
   Answer:เฉลย: $x=\dfrac{\log 8}{\log 5}\approx 1.29$Law 3 frees $x$: $5^{x}=8$   $x\log 5=\log 8$   $x=\frac{\log 8}{\log 5}\approx 1.29$   $\text{check}:\ 5^{1.29}\approx 8\ \checkmark$กฎข้อ 3 ปลด $x$ ออกมา: $5^{x}=8$   $x\log 5=\log 8$   $x=\frac{\log 8}{\log 5}\approx 1.29$   $\text{check}:\ 5^{1.29}\approx 8\ \checkmark$
3. Which one equals $\log 20-\log 3$?อันไหนเท่ากับ $\log 20-\log 3$?
   Answer:เฉลย: $\log 20-\log 3=\log\dfrac{20}{3}$Subtracted logs, not divided logs: $\log 20-\log 3=\log\frac{20}{3}\approx 0.82$   $\frac{\log 20}{\log 3}\approx 2.73$ The divided form only turns up as the answer to $3^{x}=20$.log ที่ลบกัน ไม่ใช่ log ที่หารกัน: $\log 20-\log 3=\log\frac{20}{3}\approx 0.82$   $\frac{\log 20}{\log 3}\approx 2.73$ แบบหารกัน โผล่มาเป็นคำตอบของ $3^{x}=20$ เท่านั้น

6. Use it both waysใช้ได้สองทาง

$e$-equations forwards and backwards, then the straight-line trick.สมการ $e$ ทั้งไปและกลับ แล้วปิดท้ายด้วยท่าดัดเส้นโค้งให้ตรง

$e^{x}$ and $\ln x$, reflected in $y=x$$e^{x}$ กับ $\ln x$ สะท้อนกันผ่าน $y=x$

$x$ in the power needs $\ln$. $x$ inside a log needs $e$.$x$ อยู่บนกำลัง ต้องใช้ $\ln$ · $x$ อยู่ใน log ต้องใช้ $e$

$e^{3x}=50$$e^{3x}=50$

1. $e^{3x}=50$LABEL. $x$ is in the exponent, so $\ln$ both sides.ติดป้าย · $x$ อยู่บนกำลัง · ใส่ $\ln$ ทั้งสองข้าง
2. $3x=\ln 50$SUBSTITUTE. $\ln$ and $e$ cancel.แทนค่า · $\ln$ กับ $e$ ตัดกัน
3. $x=\tfrac13\ln 50\approx 1.30$EVALUATE.คิด
4. $\text{check}:\ e^{3\times 1.30}\approx 50\ \checkmark$

Straighten the curve $y=Ab^{x}$ดัดเส้นโค้ง $y=Ab^{x}$ ให้เป็นเส้นตรง

1. $y=Ab^{x}$LABEL. Take $\ln$ of both sides.ติดป้าย · ใส่ $\ln$ ทั้งสองข้าง
2. $\ln y=\ln A+x\ln b$SUBSTITUTE. Law 1, then law 3.แทนค่า · กฎข้อ 1 ตามด้วยข้อ 3
3. $\ln y=(\ln b)x+\ln A$EVALUATE. Match $y=mx+c$.คิด · จับคู่กับ $y=mx+c$

Gradient $\ln b$, intercept $\ln A$. Recover with $e$: $b=e^{m}$, $A=e^{c}$.ความชัน $\ln b$ · จุดตัดแกน $\ln A$ · ถอดค่าคืนด้วย $e$: $b=e^{m}$, $A=e^{c}$

1. Solve $e^{2x}=7$. Give 3 s.f. (or exact).แก้ $e^{2x}=7$ · ตอบ 3 s.f. (หรือแบบ exact)
   Answer:เฉลย: $x=\tfrac12\ln 7\approx 0.973$$\ln$ and $e$ cancel: $\ln\big(e^{2x}\big)=2x$   $2x=\ln 7$   $x=\tfrac12\ln 7\approx 0.973$   $\text{check}:\ e^{2\times 0.973}\approx 7\ \checkmark$$\ln$ กับ $e$ ตัดกัน: $\ln\big(e^{2x}\big)=2x$   $2x=\ln 7$   $x=\tfrac12\ln 7\approx 0.973$   $\text{check}:\ e^{2\times 0.973}\approx 7\ \checkmark$
2. Now the other direction: solve $\ln(x-1)=2$. Give the exact answer.คราวนี้ทิศตรงข้าม: แก้ $\ln(x-1)=2$ · ตอบแบบ exact
   Answer:เฉลย: $x=e^{2}+1\approx 8.39$Undo the $\ln$ then check inside: $\ln(x-1)=2$   $x-1=e^{2}$   $x=e^{2}+1\approx 8.39$   $\text{check}:\ x-1=e^{2}>0\ \checkmark$ A log of zero or of a negative number does not exist.แกะ $\ln$ ก่อน แล้วตรวจข้างใน: $\ln(x-1)=2$   $x-1=e^{2}$   $x=e^{2}+1\approx 8.39$   $\text{check}:\ x-1=e^{2}>0\ \checkmark$ log ของศูนย์หรือของจำนวนลบ ไม่มีค่า
3. $y=Ab^{x}$ is plotted as $\ln y$ against $x$ and a straight line appears. Its gradient is:พล็อต $y=Ab^{x}$ เป็น $\ln y$ กับ $x$ แล้วได้เส้นตรง — ความชันของเส้นคือ:
   Answer:เฉลย: $\ln b$Read it as $y=mx+c$: $y=Ab^{x}$   $\ln y=\ln A+x\ln b$   $\text{gradient}=\ln b,\ \ \text{intercept}=\ln A$ Recover the constants with $e$: $b=e^{m}$ and $A=e^{c}$.อ่านเป็น $y=mx+c$: $y=Ab^{x}$   $\ln y=\ln A+x\ln b$   $\text{gradient}=\ln b,\ \ \text{intercept}=\ln A$ ถอดค่าคงที่ด้วย $e$: $b=e^{m}$ และ $A=e^{c}$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Same ideas, exam wording, full marks.ความคิดเดิม ภาษาข้อสอบ เก็บคะแนนเต็ม

What the marker is looking forกรรมการตรวจอยากเห็นอะไร

Brackets are marks: write $(2x+1)\log 3$, never $2x+1\log 3$.วงเล็บมีคะแนน: เขียน $(2x+1)\log 3$ ห้ามเขียน $2x+1\log 3$

1. $3^{2x+1}=5^{x+2}$. Best first move?$3^{2x+1}=5^{x+2}$ · ก้าวแรกที่ดีที่สุดคือ?
   Answer:เฉลย: Log both sides, brackets on.ใส่ log ทั้งสองข้าง พร้อมวงเล็บBrackets on the whole exponent: $3^{2x+1}=5^{x+2}$   $(2x+1)\log 3=(x+2)\log 5$ Missing brackets is the most common lost mark in this question type.ใส่วงเล็บครอบเลขชี้กำลังทั้งก้อน: $3^{2x+1}=5^{x+2}$   $(2x+1)\log 3=(x+2)\log 5$ ลืมวงเล็บ คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุดของโจทย์แบบนี้
2. Exam: Solve $3^{2x+1}=5^{x+2}$, giving $x$ to 3 significant figures.  (5 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $3^{2x+1}=5^{x+2}$ ตอบ $x$ เป็นทศนิยม 3 significant figures  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(2x+1)\log3=(x+2)\log5\;\Rightarrow\; x=\dfrac{2\log5-\log3}{2\log3-\log5}\approx 3.61$5 marks: $\text{M1}\ \ (2x+1)\log 3=(x+2)\log 5$   $\text{M1}\ \ 2x\log 3+\log 3=x\log 5+2\log 5$   $\text{M1}\ \ x(2\log 3-\log 5)=2\log 5-\log 3$   $\text{A1}\ \ x=\frac{2\log 5-\log 3}{2\log 3-\log 5}$   $\text{A1}\ \ x\approx 3.61$ Always write the exact line, not only the decimal.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ (2x+1)\log 3=(x+2)\log 5$   $\text{M1}\ \ 2x\log 3+\log 3=x\log 5+2\log 5$   $\text{M1}\ \ x(2\log 3-\log 5)=2\log 5-\log 3$   $\text{A1}\ \ x=\frac{2\log 5-\log 3}{2\log 3-\log 5}$   $\text{A1}\ \ x\approx 3.61$ เขียนบรรทัด exact ด้วยเสมอ ไม่ใช่ตอบทศนิยมอย่างเดียว
3. Exam: Solve $3^{2x+1}+8=11\times 3^{x}$.
   Give both roots — the exact values, with the non-integer one also to 3 significant figures.
   Type: x=…, x=…  (6 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $3^{2x+1}+8=11\times 3^{x}$
   ตอบให้ครบสองราก — เป็นค่าตรง ๆ และรากที่ไม่ใช่จำนวนเต็มให้ตอบ 3 significant figures ด้วย
   พิมพ์เป็น x=…, x=…  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $y=3^{x}$ gives $3y^{2}-11y+8=0$, so $y=1$ or $y=\tfrac83$:  $x=0$ or $x=\log_{3}\tfrac83=\dfrac{\ln 8-\ln 3}{\ln 3}\approx0.893$6 marks: $\text{M1}\ \ 3^{2x+1}=3\big(3^{x}\big)^{2}$   $\text{M1}\ \ y=3^{x}:\ \ 3y^{2}-11y+8=0$   $\text{A1}\ \ (3y-8)(y-1)=0\ \Rightarrow\ y=\tfrac83\ \text{or}\ y=1$   $\text{A1}\ \ 3^{x}=1\ \Rightarrow\ x=0$   $\text{M1}\ \ 3^{x}=\tfrac83\ \Rightarrow\ x=\frac{\ln(8/3)}{\ln 3}$   $\text{A1}\ \ x\approx 0.893$ The root $x=0$ gets thrown away for looking too easy.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ 3^{2x+1}=3\big(3^{x}\big)^{2}$   $\text{M1}\ \ y=3^{x}:\ \ 3y^{2}-11y+8=0$   $\text{A1}\ \ (3y-8)(y-1)=0\ \Rightarrow\ y=\tfrac83\ \text{or}\ y=1$   $\text{A1}\ \ 3^{x}=1\ \Rightarrow\ x=0$   $\text{M1}\ \ 3^{x}=\tfrac83\ \Rightarrow\ x=\frac{\ln(8/3)}{\ln 3}$   $\text{A1}\ \ x\approx 0.893$ รากที่ $x=0$ มักโดนทิ้ง เพราะดูง่ายเกินไป
4. Solve $2\ln x-\ln 3=\ln 12$.แก้สมการ $2\ln x-\ln 3=\ln 12$
   Answer:เฉลย: $\ln\dfrac{x^{2}}{3}=\ln 12\Rightarrow x^{2}=36\Rightarrow x=6$  ($x=-6$ is rejected)$x$ inside the log: laws first: $2\ln x-\ln 3=\ln\frac{x^{2}}{3}$   $\ln\frac{x^{2}}{3}=\ln 12\ \Rightarrow\ \frac{x^{2}}{3}=12$   $x^{2}=36\ \Rightarrow\ x=6\ \ (\text{reject }-6)$ $x$ in the exponent: log both sides. $x$ inside: laws first.$x$ อยู่ในลอการิทึม: ใช้กฎก่อน: $2\ln x-\ln 3=\ln\frac{x^{2}}{3}$   $\ln\frac{x^{2}}{3}=\ln 12\ \Rightarrow\ \frac{x^{2}}{3}=12$   $x^{2}=36\ \Rightarrow\ x=6\ \ (\text{reject }-6)$ $x$ อยู่บนกำลัง = ใส่ log สองข้าง · $x$ อยู่ข้างใน = ใช้กฎก่อน

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Solve $2^{x}=11$, giving $x$ to 3 s.f.
   Answer:เฉลย: $x=\dfrac{\log11}{\log2}\approx3.46$Identical to the taught move: log both sides, power down, divide. Confidence first, and proof the move transferred.ท่าเดียวกับที่สอน · ใส่ log สองข้าง ดึงกำลังลง แล้วหาร · เริ่มจากความมั่นใจ และพิสูจน์ว่าท่านี้ติดตัวไปแล้ว
2. Solve $4^{x}=\dfrac{1}{7}$, giving $x$ to 3 s.f.
   Answer:เฉลย: $x=-\dfrac{\log7}{\log4}\approx-1.40$Same move, but the fraction forces a negative answer: checks the sign survives the algebra.ท่าเดิม แต่เศษส่วนบังคับให้คำตอบติดลบ · ตรวจว่าเครื่องหมายรอดจนจบ
3. $N=3e^{2t}$. Find $t$ when $N=45$.
   Answer:เฉลย: $e^{2t}=15,\;\;t=\tfrac12\ln15\approx1.35$New letters, a real context: divide by $3$ first, then take $\ln$.ตัวแปรใหม่ บริบทจริง · หารด้วย $3$ ก่อน แล้วค่อยใส่ $\ln$
4. Solve $e^{2x}-5e^{x}+6=0$.
   Answer:เฉลย: $(e^{x}-2)(e^{x}-3)=0\;\Rightarrow\;x=\ln2$ or $x=\ln3$Logs chained with the Quadratics lesson: substitute $u=e^{x}$, factorise, then $\ln$. Nothing new: two known moves joined.เอา log ไปต่อกับบทสมการกำลังสอง: แทน $u=e^{x}$ แยกตัวประกอบ แล้วค่อย $\ln$ · ไม่มีอะไรใหม่ · แค่ต่อสองท่าที่รู้แล้วเข้าด้วยกัน
5. Plotting $\ln y$ against $x$ gives a straight line through $(0,\ln4)$ with gradient $\ln3$. Find $y$ in terms of $x$.
   Answer:เฉลย: $\ln y=\ln4+x\ln3\;\Rightarrow\;y=4\cdot3^{x}$The straight-line trick run backwards: given the line, rebuild the curve.ท่าดัดเส้นตรงแต่วิ่งย้อนทาง · ให้เส้นมา แล้วสร้างเส้นโค้งคืน
6. Solve $5^{2x}=3^{x+1}$, giving the exact answer and then $x$ to 3 s.f.  (5 marks)
   Answer:เฉลย: $2x\log5=(x+1)\log3\;\Rightarrow\;x=\dfrac{\log3}{2\log5-\log3}\approx0.518$Full exam format: brackets on the exponent, exact form for the method marks, 3 s.f. for the final mark.ชุดข้อสอบเต็มยศ: วงเล็บครอบเลขชี้กำลัง · รูป exact เก็บคะแนนวิธีทำ · 3 s.f. เก็บคะแนนสุดท้าย

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี