Trigonometry · practice ladders ชุดไต่ระดับ · ตรีโกณมิติ
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Trigonometry · the R-form
(a) Express $7\cos\theta + 8\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R \gt 0$ and $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to $2$ decimal places.
(b) Hence solve $7\cos\theta + 8\sin\theta = 4$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving your answers to $1$ decimal place.
(c) State the maximum value of $7\cos\theta + 8\sin\theta$, and the value of $\theta$ in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ at which it occurs, to $2$ decimal places.
Express $8\cos\theta + 15\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R \gt 0$ and $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to $2$ decimal places.
จงเขียน $8\cos\theta + 15\sin\theta$ ในรูป $R\cos(\theta-\alpha)$ โดย $R \gt 0$ และ $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$ พร้อมบอกค่า $R$ ที่แน่นอน และค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Match coefficients: $R\cos\alpha=8$ and $R\sin\alpha=15$, so $R=\sqrt{8^2+15^2}$ and $\tan\alpha=\dfrac{15}{8}$ — this pair is a Pythagorean triple so $R$ comes out a whole number, but $\alpha$ almost never does.
Given that $f(\theta) = R\cos(\theta-\alpha)$ with $R=50$ and $\alpha=50^\circ$, state the maximum value of $f(\theta)$ and the value of $\theta$ (in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$) at which it occurs.
กำหนด $f(\theta) = R\cos(\theta-\alpha)$ โดย $R=50$ และ $\alpha=50^\circ$ จงบอกค่าสูงสุดของ $f(\theta)$ และค่า $\theta$ ที่เกิดขึ้น
Answershow ▾
$\cos(\theta-\alpha)$ is largest, equal to $1$, exactly when $\theta-\alpha=0$ — no calculation needed once you know $R$ and $\alpha$.
Solve $\cos(\theta - 40^\circ) = \cos(25^\circ)$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
แก้สมการ $\cos(\theta - 40^\circ) = \cos(25^\circ)$ สำหรับ $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ โดยหาคำตอบทั้งหมด
Answershow ▾
$\cos(X)=\cos(Y)$ means $X = \pm Y + 360^\circ k$; here $X = \theta-40^\circ$, so $\theta - 40^\circ = \pm25^\circ$, adjusted by $360^\circ$ to land inside the range.
Set your calculator up before part (a). $\arctan\!\left(\dfrac{8}{7}\right)$ reads $0.85196$ in one mode and $48.81$ in another. Which mode does this question want, which line of the question tells you, and what would “$\alpha = 0.85$” be worth?
ตั้งเครื่องคิดเลขให้ถูกก่อนทำข้อ (a) · $\arctan\!\left(\dfrac{8}{7}\right)$ อ่านได้ $0.85196$ ในโหมดหนึ่ง และ $48.81$ ในอีกโหมดหนึ่ง · โจทย์ข้อนี้ต้องการโหมดไหน บรรทัดไหนของโจทย์เป็นตัวบอก และถ้าตอบ "$\alpha = 0.85$" จะได้เท่าไร
Answershow ▾
The degree symbol in $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$ and in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ is the whole instruction, and it appears in every part of this question. $0.85196$ radians and $48.81^\circ$ are the same angle, but an answer in the wrong unit is simply a different number and is marked wrong. Worse, it is wrong SILENTLY: parts (b) and (c) will both go on producing plausible-looking answers. Setting the mode costs one keypress and carries no mark at all.สัญลักษณ์องศาใน $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$ และใน $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ คือคำสั่งทั้งหมด และปรากฏอยู่ในทุกข้อย่อยของข้อนี้ · $0.85196$ เรเดียน กับ $48.81^\circ$ คือมุมเดียวกัน แต่คำตอบที่ผิดหน่วยคือตัวเลขคนละตัวและถือว่าผิด · ที่แย่กว่าคือมันผิดแบบเงียบ ๆ: ข้อ (b) และ (c) จะยังให้คำตอบที่ดูสมเหตุสมผลต่อไป · การตั้งโหมดใช้การกดปุ่มครั้งเดียว และไม่มีคะแนนให้เลย
Express $7\cos\theta + 8\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R \gt 0$ and $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to $2$ decimal places.
จงเขียน $7\cos\theta + 8\sin\theta$ ในรูป $R\cos(\theta-\alpha)$ พร้อมบอก ค่า $R$ ที่แน่นอน และค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same method as question 1, with the real coefficients of the exam question. This is part (a).
Using $R=\sqrt{113}$ and $\alpha=48.81^\circ$ from question 4, state the maximum value of $7\cos\theta+8\sin\theta$ and the value of $\theta$ at which it occurs, to $2$ decimal places.
Answershow ▾
Same fact as question 2: the extremes of $R\cos(\theta-\alpha)$ are $\pm R$, at $\theta=\alpha$ (maximum) or $\theta=\alpha+180^\circ$ (minimum). This is part (c).
$7\cos\theta+8\sin\theta$ can be written as $R\cos(\theta-\alpha)$ with $R=\sqrt{113}$ and $\alpha=48.81^\circ$ (question 4). Given that $7\cos\theta+8\sin\theta = 4$, write this as an equation for $\cos(\theta-\alpha)$.
Answershow ▾
Divide both sides of $R\cos(\theta-\alpha)=4$ by $R$ — the rearrangement every R-form equation needs before you can take $\cos^{-1}$.
You have $\cos(\theta - \alpha) = \dfrac{4}{\sqrt{113}}$ and press $\cos^{-1}$. Which of these three is what the calculator has just given you?
(A) $\theta = 67.90^\circ$ (B) $\theta - \alpha = 67.90^\circ$ (C) $\alpha = 67.90^\circ$
Name the quantity that is the unknown at this line, and say how many more steps stand between it and $\theta$.
ได้ $\cos(\theta - \alpha) = \dfrac{4}{\sqrt{113}}$ แล้วกด $\cos^{-1}$ · เครื่องคิดเลขเพิ่งให้อะไรมา
(A) $\theta = 67.90^\circ$ (B) $\theta - \alpha = 67.90^\circ$ (C) $\alpha = 67.90^\circ$
จงบอกว่าตัวไม่ทราบค่าที่บรรทัดนี้คืออะไร และเหลืออีกกี่ขั้นกว่าจะถึง $\theta$
Answershow ▾
$\cos^{-1}$ undoes the cosine and hands back whatever was inside the bracket — never the letter you are ultimately after. Reading it as $\theta$ gives $67.90^\circ$ and $292.10^\circ$, two wrong answers that sit inside the required interval and look entirely reasonable. Treat $\theta - \alpha$ as a single unknown until the very last line. The M1 pays for a correct bracket value; the swap is invisible to the mark scheme and fatal to both answers.$\cos^{-1}$ แก้ค่าโคไซน์และคืนสิ่งที่อยู่ในวงเล็บกลับมา ไม่ใช่ตัวอักษรที่เราต้องการในที่สุด · ถ้าอ่านว่าเป็น $\theta$ จะได้ $67.90^\circ$ กับ $292.10^\circ$ ซึ่งเป็นคำตอบผิดสองค่าที่อยู่ในช่วงที่กำหนดและดูสมเหตุสมผลทุกประการ · ให้ถือว่า $\theta - \alpha$ เป็นตัวไม่ทราบค่าก้อนเดียวจนถึงบรรทัดสุดท้าย · M1 ให้กับค่าในวงเล็บที่ถูก การสลับตัวนี้มาร์คสกีมมองไม่เห็น แต่ทำให้คำตอบผิดทั้งสองค่า
Given $\cos(\theta-\alpha) = \dfrac{4}{\sqrt{113}}$, find the two values of $\theta-\alpha$ in $(-360^\circ, 360^\circ)$, to $2$ decimal places.
Answershow ▾
$\cos^{-1}\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{113}}\right)=67.90^\circ$ is the principal value; cosine takes the same value at $+67.90^\circ$ and $-67.90^\circ$ in every period.
$\theta$ runs over $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$. Write down the interval that $\theta - \alpha$ must therefore run over, and say how many solutions of $\cos(\theta - \alpha) = 0.3764$ lie inside it. Then say what would have happened if you had solved only in $0^\circ$ to $360^\circ$.
$\theta$ อยู่ในช่วง $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ · จงเขียนช่วงที่ $\theta - \alpha$ ต้องอยู่ แล้วบอกว่ามีคำตอบของ $\cos(\theta - \alpha) = 0.3764$ กี่ค่าในช่วงนั้น · แล้วบอกว่าถ้าหาคำตอบเฉพาะในช่วง $0^\circ$ ถึง $360^\circ$ จะเกิดอะไรขึ้น
Answershow ▾
Shifting the unknown shifts its interval by exactly the same amount, and the shifted interval reaches below zero — which is where the second solution lives. A student who searches only from $0^\circ$ finds $67.90^\circ$, adds $\alpha$, gets $116.7^\circ$ and stops, having answered half the question. The A1 asks for both values of $\theta$; adjusting the interval before hunting is what makes both of them appear, and no mark is written for it.การเลื่อนตัวไม่ทราบค่าทำให้ช่วงของมันเลื่อนไปเท่ากันพอดี และช่วงที่เลื่อนแล้วลงไปต่ำกว่าศูนย์ ซึ่งเป็นที่อยู่ของคำตอบที่สอง · คนที่ค้นเฉพาะตั้งแต่ $0^\circ$ จะเจอ $67.90^\circ$ บวก $\alpha$ ได้ $116.7^\circ$ แล้วหยุด ซึ่งตอบไปได้ครึ่งเดียว · A1 ต้องการค่า $\theta$ ทั้งสองค่า การปรับช่วงก่อนออกค้นคือสิ่งที่ทำให้ทั้งสองค่าโผล่มา และไม่มีคะแนนเขียนไว้ให้
Using $\alpha=48.81^\circ$ and $\theta-\alpha=\pm67.90^\circ$ from question 7, find every value of $\theta$ in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, to $1$ decimal place.
Answershow ▾
Add $\alpha$ to each value of $\theta-\alpha$ from question 7, adjusting by $360^\circ$ so both answers land inside the given interval — this is part (b).
(a) Express $3\cos\theta + 4\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R \gt 0$ and $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to $2$ decimal places.
(b) Hence solve $3\cos\theta + 4\sin\theta = 2$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving your answers to $1$ decimal place.
(c) State the maximum value of $3\cos\theta + 4\sin\theta$, and the value of $\theta$ in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ at which it occurs, to $2$ decimal places.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
(a) Express $7\cos\theta + 8\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R \gt 0$ and $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to $2$ decimal places.
(b) Hence solve $7\cos\theta + 8\sin\theta = 4$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving your answers to $1$ decimal place.
(c) State the maximum value of $7\cos\theta + 8\sin\theta$, and the value of $\theta$ in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ at which it occurs, to $2$ decimal places.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (c); questions 6, 7 and 8 build part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Trigonometry · double angle formulae
(a) Prove that $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} \equiv \tan\theta$.
(b) Hence solve $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} = \sqrt{3}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Use the addition formula $\sin(A+B)\equiv\sin A\cos B+\cos A\sin B$, with $B=A=\theta$, to show that $\sin2\theta\equiv2\sin\theta\cos\theta$.
จงใช้สูตรผลบวกมุม $\sin(A+B)\equiv\sin A\cos B+\cos A\sin B$ โดยแทน $B=A=\theta$ เพื่อแสดงว่า $\sin2\theta\equiv2\sin\theta\cos\theta$
Answershow ▾
Setting $A=B=\theta$ turns the addition formula straight into the double angle formula — every double angle identity starts life this way.
Given that $\cos2\theta\equiv\cos^2\theta-\sin^2\theta$, use $\sin^2\theta+\cos^2\theta\equiv1$ to show that $\cos2\theta\equiv2\cos^2\theta-1$.
กำหนด $\cos2\theta\equiv\cos^2\theta-\sin^2\theta$ จงใช้ $\sin^2\theta+\cos^2\theta\equiv1$ เพื่อแสดงว่า $\cos2\theta\equiv2\cos^2\theta-1$
Answershow ▾
Replace $\sin^2\theta$ with $1-\cos^2\theta$ — this particular form of $\cos2\theta$, in cosine only, is the one that will simplify $1+\cos2\theta$ later on.
$\cos 2\theta$ has three standard forms, all true. The denominator you have to simplify is $1 + \cos 2\theta$. Which form do you reach for, and what does each of the other two leave you with?
(A) $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ (B) $2\cos^2\theta - 1$ (C) $1 - 2\sin^2\theta$
$\cos 2\theta$ มีสูตรมาตรฐานสามรูป ถูกทั้งหมด · ตัวส่วนที่ต้องทำให้ง่ายขึ้นคือ $1 + \cos 2\theta$ · จะหยิบรูปไหน และอีกสองรูปจะทิ้งอะไรไว้ให้
(A) $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ (B) $2\cos^2\theta - 1$ (C) $1 - 2\sin^2\theta$
Answershow ▾
Only (B) has a $-1$ waiting to cancel the $+1$ in front of it, and what is left, $2\cos^{2}\theta$, is a single term that will divide cleanly into the $2\sin\theta\cos\theta$ on top. (C) leaves $2 - 2\sin^{2}\theta$, which factorises but into the wrong function; (A) leaves three terms and no cancellation at all. All three are correct identities, so no line of working can be marked wrong here — which is exactly why no mark is given for the choice. This one decision is the whole of part (a).มีแต่ (B) เท่านั้นที่มี $-1$ รออยู่เพื่อหักล้างกับ $+1$ ข้างหน้า และสิ่งที่เหลือคือ $2\cos^{2}\theta$ ซึ่งเป็นพจน์เดียวที่หารเข้ากับ $2\sin\theta\cos\theta$ ข้างบนได้ลงตัว · (C) เหลือ $2 - 2\sin^{2}\theta$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้แต่เป็นฟังก์ชันผิดตัว · (A) เหลือสามพจน์และไม่มีอะไรตัดกันเลย · ทั้งสามรูปเป็นเอกลักษณ์ที่ถูกต้อง จึงไม่มีบรรทัดไหนถูกตัดว่าผิดได้ นั่นแหละคือเหตุผลที่ไม่มีคะแนนให้กับการเลือก · การตัดสินใจครั้งเดียวนี้คือทั้งหมดของข้อ (a)
Solve $\tan\theta = - \sqrt{3}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
แก้สมการ $\tan\theta = - \sqrt{3}$ สำหรับ $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ โดยหาคำตอบทั้งหมด
Answershow ▾
The tangent graph repeats every $180^\circ$, so once you have one solution the next is always exactly $180^\circ$ further on.
Rewrite $\sin2\theta$ using the double angle formula for sine.
Answershow ▾
Same substitution as question 1, now inside the actual identity of the exam question.
Rewrite $1+\cos2\theta$ using $\cos2\theta\equiv2\cos^2\theta-1$.
Answershow ▾
Same substitution as question 2 — this is exactly why that particular form of $\cos2\theta$ was the useful one.
Hence show that $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} \equiv \tan\theta$.
Answershow ▾
Cancel the common factor $2\cos\theta$ top and bottom, then simplify $\sin\theta/\cos\theta$ to $\tan\theta$ — this completes part (a).
Part (a) says Prove that $\dfrac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} \equiv \tan\theta$. Which of these three counts as a proof, and what is wrong with the other two?
(A) start from the left-hand side and work down to $\tan\theta$ (B) cross-multiply to $\sin 2\theta = \tan\theta\left(1 + \cos 2\theta\right)$ and rearrange until both sides match (C) put $\theta = 30^\circ$ into both sides and show they agree
ข้อ (a) สั่งว่า Prove ว่า $\dfrac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} \equiv \tan\theta$ · ข้อไหนนับเป็นการพิสูจน์ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) เริ่มจากฝั่งซ้าย แล้วทำลงมาจนได้ $\tan\theta$ (B) คูณไขว้เป็น $\sin 2\theta = \tan\theta\left(1 + \cos 2\theta\right)$ แล้วจัดรูปจนสองฝั่งเท่ากัน (C) แทน $\theta = 30^\circ$ ทั้งสองฝั่ง แล้วแสดงว่าเท่ากัน
Answershow ▾
(C) checks one value out of infinitely many; an identity claims every value, so a single agreement proves nothing. (B) assumes the identity holds in order to derive it, which some boards accept and others do not, and which is never worth the risk when (A) costs the same three lines. Work down ONE side until it becomes the other, and the argument is airtight in any mark scheme. The M1 marks pay for the two substitutions; nothing pays for choosing a form of argument that is allowed to be called a proof.(C) ตรวจค่าเดียวจากค่าที่มีอยู่นับไม่ถ้วน · เอกลักษณ์อ้างว่าเป็นจริงทุกค่า การตรงกันครั้งเดียวจึงไม่พิสูจน์อะไร · (B) สมมติว่าเอกลักษณ์เป็นจริงเพื่อจะพิสูจน์มัน บางบอร์ดรับ บางบอร์ดไม่รับ และไม่คุ้มจะเสี่ยงเลยเมื่อ (A) ใช้บรรทัดเท่ากัน · ทำลงมาจากฝั่งเดียวจนกลายเป็นอีกฝั่ง แล้วการให้เหตุผลจะแน่นหนาในมาร์คสกีมทุกฉบับ · คะแนน M1 ให้กับการแทนสูตรสองครั้ง ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกรูปแบบการให้เหตุผลที่นับว่าเป็นการพิสูจน์ได้
Given that $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} = \sqrt{3}$, use the identity from part (a) to write down the value of $\tan\theta$.
Answershow ▾
Rewrite the left-hand side as $\tan\theta$ using the identity just proved — this is the whole reason part (a) was worth proving.
Solve $\tan\theta = \sqrt{3}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Same skill as question 3, with the value of $\tan\theta$ found in question 7 — this completes part (b).
“Giving all solutions” means deciding how many to expect before you find any. In $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, how many solutions does $\tan\theta = \sqrt{3}$ have, and how many would $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ have? Say which feature of each graph decides the count.
"giving all solutions" แปลว่าต้องตัดสินใจว่าจะมีคำตอบกี่ค่า ก่อนจะเริ่มหา · ในช่วง $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ สมการ $\tan\theta = \sqrt{3}$ มีคำตอบกี่ค่า และ $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ มีกี่ค่า · บอกด้วยว่าลักษณะใดของกราฟแต่ละอันเป็นตัวกำหนดจำนวน
Answershow ▾
Both counts come out as two here, but for completely different reasons, and the second solution is in a different place: tan repeats, so you ADD $180^\circ$; sin is symmetric about $90^\circ$, so you SUBTRACT from $180^\circ$. Use the wrong rule and you get $120^\circ$ instead of $240^\circ$ — a number that looks like a proper answer. The calculator gives one solution and never mentions the others. The A1 is for the complete set; deciding the count first is what makes it complete, and it earns nothing.ทั้งสองกรณีได้สองคำตอบเหมือนกัน แต่ด้วยเหตุผลคนละอย่าง และคำตอบที่สองอยู่คนละที่: tan ซ้ำรอบ จึง "บวก" $180^\circ$ ส่วน sin สมมาตรรอบ $90^\circ$ จึง "ลบ" จาก $180^\circ$ · ถ้าใช้กฎผิดจะได้ $120^\circ$ แทน $240^\circ$ ซึ่งเป็นตัวเลขที่ดูเหมือนคำตอบจริง ๆ · เครื่องคิดเลขให้คำตอบเดียวและไม่เคยเอ่ยถึงค่าที่เหลือ · A1 ให้กับชุดคำตอบที่ครบ การตัดสินจำนวนก่อนคือสิ่งที่ทำให้มันครบ และมันไม่ได้คะแนน
(a) Prove that $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} \equiv \tan\theta$.
(b) Hence solve $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Same two parts and the same method as the exam question, with the smallest standard angle that still differs from the exam numbers.
(a) Prove that $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} \equiv \tan\theta$.
(b) Hence solve $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} = \sqrt{3}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 5 and 6 build part (a); questions 7 and 8 are part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Compound angle, then two quadrants for tan มุมประกอบ แล้วหาสองจตุภาคของ tan
(a) Given that $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$, show that $\tan x=\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}$.
(b) Hence solve the equation $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$, for $0^{\circ}\lt x\lt 360^{\circ}$.
(ก) กำหนดให้ $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$ จงแสดงว่า $\tan x=\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}$
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt 360^{\circ}$
Expand $\cos(x-30^{\circ})$.
จงกระจาย $\cos(x-30^{\circ})$
Answershow ▾
$\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$.$\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$
Expand $\sin(x+30^{\circ})$.
จงกระจาย $\sin(x+30^{\circ})$
Answershow ▾
$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$.$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
State the exact values of $\cos30^{\circ}$ and $\sin30^{\circ}$.
จงบอกค่าแม่นตรงของ $\cos30^{\circ}$ และ $\sin30^{\circ}$
Answershow ▾
These are the two standard angles you must know by heart.สองค่านี้เป็นมุมมาตรฐานที่ต้องจำได้เลย
Pick the first move to solve $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$.
(A) expand both compound-angle brackets, then use the exact values of $30^{\circ}$
(B) cancel the $\cos$ on the left with the $\sin$ on the right, since both sides start with a trig function
(C) square both sides so $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ can be used
จงเลือกขั้นแรกในการแก้ $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$
(A) กระจายวงเล็บมุมประกอบทั้งสองข้าง แล้วใช้ค่าแม่นตรงของ $30^{\circ}$
(B) ตัด $\cos$ ทางซ้ายกับ $\sin$ ทางขวาออก เพราะทั้งสองข้างเริ่มด้วยฟังก์ชันตรีโกณ
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อใช้ $\cos^{2}+\sin^{2}=1$
Answershow ▾
(B) is not valid - $\cos x$ and $\sin x$ are different functions, so neither cancels the other. (C) squaring throws away the sign of each side and can create extra, wrong solutions.(B) ใช้ไม่ได้ เพราะ $\cos x$ กับ $\sin x$ เป็นฟังก์ชันคนละตัว จึงตัดกันไม่ได้ · (C) การยกกำลังสองทำให้เครื่องหมายของแต่ละข้างหายไป และอาจได้คำตอบเกินที่ผิด
Substitute $\cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ and $\sin30^{\circ}=\dfrac12$ into the left side, $\cos x\cos30^{\circ}+\sin x\sin30^{\circ}$, and the right side, $2\sin x\cos30^{\circ}+2\cos x\sin30^{\circ}$.
จงแทน $\cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ และ $\sin30^{\circ}=\dfrac12$ ในด้านซ้าย $\cos x\cos30^{\circ}+\sin x\sin30^{\circ}$ และด้านขวา $2\sin x\cos30^{\circ}+2\cos x\sin30^{\circ}$
Answershow ▾
On the right, $2\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$ and $2\times\dfrac12=1$.ทางขวา $2\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$ และ $2\times\dfrac12=1$
Multiply $\dfrac{\sqrt3}{2}\cos x+\dfrac12\sin x=\sqrt3\sin x+\cos x$ by $2$, then collect every $\cos x$ on the left and every $\sin x$ on the right.
จงคูณ $\dfrac{\sqrt3}{2}\cos x+\dfrac12\sin x=\sqrt3\sin x+\cos x$ ด้วย $2$ แล้วรวม $\cos x$ ไว้ทางซ้าย และ $\sin x$ ไว้ทางขวา
Answershow ▾
Move $2\cos x$ left and $\sin x$ right, one term at a time.ย้าย $2\cos x$ ไปทางซ้าย และย้าย $\sin x$ ไปทางขวา ทีละพจน์
Divide $\cos x(\sqrt3-2)=\sin x(2\sqrt3-1)$ to find $\tan x$, then write it as $\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}$.
จงหาร $\cos x(\sqrt3-2)=\sin x(2\sqrt3-1)$ เพื่อหา $\tan x$ แล้วเขียนเป็น $\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}$
Answershow ▾
Multiply top and bottom by $-1$ to flip both signs.คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $-1$ เพื่อสลับเครื่องหมายทั้งคู่
$\tan x=\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}\approx-0.1087$, which is negative. For $0^{\circ}\lt x\lt360^{\circ}$, in which two quadrants is $\tan x$ negative?
(A) the 2nd and the 4th
(B) the 1st and the 3rd
(C) the 2nd and the 3rd
$\tan x=\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}\approx-0.1087$ ซึ่งเป็นลบ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt360^{\circ}$ $\tan x$ เป็นลบในสองจตุภาคใด
(A) จตุภาคที่ 2 และ 4
(B) จตุภาคที่ 1 และ 3
(C) จตุภาคที่ 2 และ 3
Answershow ▾
(B) is wrong because in both the 1st and the 3rd quadrant, $\sin x$ and $\cos x$ share the same sign, so $\tan x$ is positive there. (C) is wrong for the same reason - $\tan x$ is positive in the 3rd quadrant too.(B) ผิด เพราะในจตุภาคที่ 1 และ 3 ค่า $\sin x$ กับ $\cos x$ มีเครื่องหมายเดียวกัน $\tan x$ จึงเป็นบวก · (C) ผิดด้วยเหตุผลเดียวกัน เพราะจตุภาคที่ 3 ก็ทำให้ $\tan x$ เป็นบวก
Using the reference angle $\arctan(0.1087)\approx6.2^{\circ}$ and the 2nd and 4th quadrants, find both values of $x$.
ใช้มุมอ้างอิง $\arctan(0.1087)\approx6.2^{\circ}$ และจตุภาคที่ 2 และ 4 จงหาค่า $x$ ทั้งสองค่า
Answershow ▾
2nd quadrant: $180^{\circ}$ minus the reference angle. 4th quadrant: $360^{\circ}$ minus it.จตุภาคที่ 2: $180^{\circ}$ ลบมุมอ้างอิง · จตุภาคที่ 4: $360^{\circ}$ ลบมุมอ้างอิง
Check that $x=173.8^{\circ}$ fits $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$, numerically.
จงตรวจเชิงตัวเลขว่า $x=173.8^{\circ}$ เป็นจริงกับ $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$
Answershow ▾
A value that fits the original equation on both sides is a genuine solution.ค่าที่แทนแล้วทั้งสองข้างเท่ากัน คือคำตอบที่ถูกจริง
Solve the equation $\cos(x-60^{\circ})=2\sin(x+60^{\circ})$, for $0^{\circ}\lt x\lt360^{\circ}$.
จงแก้สมการ $\cos(x-60^{\circ})=2\sin(x+60^{\circ})$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt360^{\circ}$
Answershow ▾
Same four moves: expand, substitute the exact values of $60^{\circ}$, collect, then divide for $\tan x$.สี่ขั้นเดิม: กระจาย แทนค่าแม่นตรงของ $60^{\circ}$ รวมพจน์ แล้วหารเพื่อหา $\tan x$
(a) Given that $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$, show that $\tan x=\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}$.
(b) Hence solve the equation $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$, for $0^{\circ}\lt x\lt 360^{\circ}$.
(ก) กำหนดให้ $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$ จงแสดงว่า $\tan x=\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}$
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\cos(x-30^{\circ})=2\sin(x+30^{\circ})$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt 360^{\circ}$
Answershow ▾
6 marks: expand both brackets using exact values, collect into $\tan x$, then both quadrants.6 คะแนน: กระจายทั้งสองวงเล็บด้วยค่าแม่นตรง รวมพจน์เป็น $\tan x$ แล้วหาทั้งสองจตุภาค
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
R sin(x−α) form, then a squared range รูป R sin(x−α) แล้วหาพิสัยของกำลังสอง
(a) Express $5\sin x-3\cos x$ in the form $R\sin(x-\alpha)$, where $R\gt0$ and $0\lt\alpha\lt\tfrac12\pi$. Give the exact value of $R$ and give $\alpha$ correct to 2 decimal places.
(b) Hence state the greatest and least possible values of $(5\sin x-3\cos x)^{2}$.
(ก) เขียน $5\sin x-3\cos x$ ในรูป $R\sin(x-\alpha)$ โดยที่ $R\gt0$ และ $0\lt\alpha\lt\tfrac12\pi$ (เรเดียน) บอกค่า $R$ แบบ exact และค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) จากนั้นระบุค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $(5\sin x-3\cos x)^{2}$
State the exact value of $R=\sqrt{5^{2}+3^{2}}$.
จงบอกค่าแม่นตรงของ $R=\sqrt{5^{2}+3^{2}}$
Answershow ▾
$5^{2}+3^{2}=34$, and $34$ has no square factor, so leave it under the root.$5^{2}+3^{2}=34$ และ $34$ ไม่มีตัวประกอบที่เป็นกำลังสอง จึงเหลือไว้ใต้เครื่องหมายกรณฑ์
Expand $R\sin(x-\alpha)$.
จงกระจาย $R\sin(x-\alpha)$
Answershow ▾
$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$, with $A=x$ and $B=\alpha$.$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$ โดย $A=x$ และ $B=\alpha$
Given $R\cos\alpha=5$ and $R\sin\alpha=3$, find $\tan\alpha$.
กำหนดให้ $R\cos\alpha=5$ และ $R\sin\alpha=3$ จงหา $\tan\alpha$
Answershow ▾
$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, so divide the $R\sin\alpha$ row by the $R\cos\alpha$ row.$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ จึงนำแถว $R\sin\alpha$ หารด้วยแถว $R\cos\alpha$
$R\cos\alpha=5$ and $R\sin\alpha=3$. Which ratio gives $\tan\alpha$ directly?
(A) $\tan\alpha=\dfrac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}=\dfrac35$
(B) $\tan\alpha=\dfrac{R\cos\alpha}{R\sin\alpha}=\dfrac53$
(C) $\sin\alpha=\dfrac{3}{34}$, using $R^{2}=34$
$R\cos\alpha=5$ และ $R\sin\alpha=3$ จงเลือกอัตราส่วนที่ให้ $\tan\alpha$ ตรงๆ
(A) $\tan\alpha=\dfrac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}=\dfrac35$
(B) $\tan\alpha=\dfrac{R\cos\alpha}{R\sin\alpha}=\dfrac53$
(C) $\sin\alpha=\dfrac{3}{34}$ โดยใช้ $R^{2}=34$
Answershow ▾
(B) inverts the ratio - $\tan\alpha$ is $\sin$ over $\cos$, not the other way round. (C) divides by $R^{2}$ instead of $R$, so it is not $\sin\alpha$ at all.(B) กลับอัตราส่วน เพราะ $\tan\alpha$ คือ $\sin$ หาร $\cos$ ไม่ใช่สลับกัน · (C) หารด้วย $R^{2}$ แทน $R$ จึงไม่ใช่ $\sin\alpha$
Find $\alpha=\arctan\dfrac35$, correct to 2 decimal places.
จงหา $\alpha=\arctan\dfrac35$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง (เรเดียน)
Answershow ▾
The bound $0\lt\alpha\lt\tfrac12\pi$ is in radians, so the calculator must be in radian mode.ขอบเขต $0\lt\alpha\lt\tfrac12\pi$ เป็นเรเดียน เครื่องคิดเลขจึงต้องอยู่ในโหมดเรเดียน
Since $5\sin x-3\cos x=\sqrt{34}\sin(x-\alpha)$ and $\sin$ never exceeds $1$ in size, state the greatest value of $(5\sin x-3\cos x)^{2}$.
เนื่องจาก $5\sin x-3\cos x=\sqrt{34}\sin(x-\alpha)$ และ $\sin$ มีขนาดไม่เกิน $1$ จงบอกค่ามากที่สุด ของ $(5\sin x-3\cos x)^{2}$
Answershow ▾
$\big(\sqrt{34}\sin(x-\alpha)\big)^{2}$ is largest when $\sin^{2}(x-\alpha)=1$, giving $R^{2}$.$\big(\sqrt{34}\sin(x-\alpha)\big)^{2}$ มากที่สุดเมื่อ $\sin^{2}(x-\alpha)=1$ ซึ่งให้ $R^{2}$
State the least value of $(5\sin x-3\cos x)^{2}$.
จงบอกค่าน้อยที่สุดของ $(5\sin x-3\cos x)^{2}$
Answershow ▾
$\sin^{2}(x-\alpha)$ can be $0$, and a square is never negative.$\sin^{2}(x-\alpha)$ เป็น $0$ ได้ และกำลังสองเป็นลบไม่ได้
Write $5\sin x-3\cos x$ in the form $R\sin(x-\alpha)$, then state the greatest and least values of its square.
จงเขียน $5\sin x-3\cos x$ ในรูป $R\sin(x-\alpha)$ แล้วบอกค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดของกำลังสอง
Answershow ▾
Same three facts: $R$ from the coefficients, $\alpha$ from their ratio, then $R^{2}$ and $0$.สามข้อเดิม: $R$ จากสัมประสิทธิ์ $\alpha$ จากอัตราส่วน แล้ว $R^{2}$ และ $0$
Check that at $x=\alpha+\tfrac12\pi$, $5\sin x-3\cos x$ reaches $\sqrt{34}$.
จงตรวจว่าเมื่อ $x=\alpha+\tfrac12\pi$ ค่า $5\sin x-3\cos x$ เท่ากับ $\sqrt{34}$
Answershow ▾
$\sin(x-\alpha)=\sin\!\big(\tfrac12\pi\big)=1$ there, so the expression equals $R$.ที่จุดนี้ $\sin(x-\alpha)=\sin\!\big(\tfrac12\pi\big)=1$ นิพจน์จึงเท่ากับ $R$
Express $8\sin x-6\cos x$ in the form $R\sin(x-\alpha)$, where $R\gt0$ and $0\lt\alpha\lt\tfrac12\pi$. Give the exact value of $R$ and $\alpha$ correct to 2 decimal places. Hence state the greatest and least possible values of $(8\sin x-6\cos x)^{2}$.
จงเขียน $8\sin x-6\cos x$ ในรูป $R\sin(x-\alpha)$ โดยที่ $R\gt0$ และ $0\lt\alpha\lt\tfrac12\pi$ บอกค่า $R$ แบบแม่นตรงและค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง แล้วบอกค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดของ $(8\sin x-6\cos x)^{2}$
Answershow ▾
Same method; here $8^{2}+6^{2}=100$ is already a perfect square, so $R$ is a whole number.วิธีเดิม ที่นี่ $8^{2}+6^{2}=100$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์อยู่แล้ว $R$ จึงเป็นจำนวนเต็ม
(a) Express $5\sin x-3\cos x$ in the form $R\sin(x-\alpha)$, where $R\gt0$ and $0\lt\alpha\lt\tfrac12\pi$. Give the exact value of $R$ and give $\alpha$ correct to 2 decimal places.
(b) Hence state the greatest and least possible values of $(5\sin x-3\cos x)^{2}$.
(ก) เขียน $5\sin x-3\cos x$ ในรูป $R\sin(x-\alpha)$ โดยที่ $R\gt0$ และ $0\lt\alpha\lt\tfrac12\pi$ (เรเดียน) บอกค่า $R$ แบบ exact และค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) จากนั้นระบุค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $(5\sin x-3\cos x)^{2}$
Answershow ▾
5 marks: $R$ from the coefficients, $\alpha$ from their ratio, then the greatest and least of the square.5 คะแนน: $R$ จากสัมประสิทธิ์ $\alpha$ จากอัตราส่วน แล้วค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดของกำลังสอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two tan brackets, one quadratic in tan θ วงเล็บ tan สองตัว รวมเป็นสมการกำลังสองของ tan θ
Express the equation $\tan(\theta+60^{\circ})=2+\tan(60^{\circ}-\theta)$ as a quadratic equation in $\tan\theta$, and hence solve the equation for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$.
เขียนสมการ $\tan(\theta+60^{\circ})=2+\tan(60^{\circ}-\theta)$ ให้อยู่ในรูปสมการกำลังสองของ $\tan\theta$ จากนั้นแก้สมการสำหรับ $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$
Expand $\tan(\theta+60^{\circ})$, using $\tan60^{\circ}=\sqrt3$.
จงกระจาย $\tan(\theta+60^{\circ})$ โดยใช้ $\tan60^{\circ}=\sqrt3$
Answershow ▾
$\tan(A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$.$\tan(A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$
Expand $\tan(60^{\circ}-\theta)$.
จงกระจาย $\tan(60^{\circ}-\theta)$
Answershow ▾
$\tan(A-B)=\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}$.$\tan(A-B)=\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}$
Write $2+\dfrac{\sqrt3-t}{1+\sqrt3t}$ as a single fraction.
จงเขียน $2+\dfrac{\sqrt3-t}{1+\sqrt3t}$ เป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Multiply $2$ by $\dfrac{1+\sqrt3t}{1+\sqrt3t}$, then add the numerators.คูณ $2$ ด้วย $\dfrac{1+\sqrt3t}{1+\sqrt3t}$ แล้วบวกเศษเข้าด้วยกัน
Pick the first move to solve $\tan(\theta+60^{\circ})=2+\tan(60^{\circ}-\theta)$.
(A) expand both $\tan$ brackets using $\tan(A\pm B)$
(B) write $\tan(\theta+60^{\circ})=\tan\theta+\tan60^{\circ}$
(C) cross-multiply the whole equation before expanding either bracket
จงเลือกขั้นแรกในการแก้ $\tan(\theta+60^{\circ})=2+\tan(60^{\circ}-\theta)$
(A) กระจาย $\tan$ ทั้งสองวงเล็บด้วย $\tan(A\pm B)$
(B) เขียน $\tan(\theta+60^{\circ})=\tan\theta+\tan60^{\circ}$
(C) คูณไขว้ทั้งสมการ ก่อนกระจายวงเล็บใดๆ
Answershow ▾
(B) is wrong - $\tan$ does not distribute over a sum of angles, there is no such identity. (C) cannot work yet - the right side is a sum, $2+\tan(60^{\circ}-\theta)$, not a single fraction, so there is nothing valid to cross-multiply with.(B) ผิด เพราะ $\tan$ ไม่กระจายบนผลบวกของมุม ไม่มีเอกลักษณ์แบบนี้ · (C) ยังทำไม่ได้ เพราะด้านขวาเป็นผลบวก $2+\tan(60^{\circ}-\theta)$ ไม่ใช่เศษส่วนเดียว จึงไม่มีอะไรให้คูณไขว้
Using $\tan(60^{\circ}-\theta)=\dfrac{\sqrt3-\tan\theta}{1+\sqrt3\tan\theta}$, write $2+\tan(60^{\circ}-\theta)$ as a single fraction.
ใช้ $\tan(60^{\circ}-\theta)=\dfrac{\sqrt3-\tan\theta}{1+\sqrt3\tan\theta}$ จงเขียน $2+\tan(60^{\circ}-\theta)$ เป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Same combine as the warm-up, with $t=\tan\theta$.รวมเศษส่วนแบบเดียวกับข้อก่อนหน้า โดย $t=\tan\theta$
Set $\dfrac{\tan\theta+\sqrt3}{1-\sqrt3\tan\theta}$ equal to $\dfrac{(2+\sqrt3)+(2\sqrt3-1)\tan\theta}{1+\sqrt3\tan\theta}$, cross-multiply, and show the result reduces to $3\tan^{2}\theta+4\tan\theta-1=0$.
ตั้ง $\dfrac{\tan\theta+\sqrt3}{1-\sqrt3\tan\theta}$ เท่ากับ $\dfrac{(2+\sqrt3)+(2\sqrt3-1)\tan\theta}{1+\sqrt3\tan\theta}$ คูณไขว้ แล้วแสดงว่าลดรูปได้ $3\tan^{2}\theta+4\tan\theta-1=0$
Answershow ▾
Multiply both numerators across the two denominators, then expand every bracket.คูณเศษแต่ละข้างข้ามตัวส่วนของอีกฝั่ง แล้วกระจายทุกวงเล็บ
Solve $3\tan^{2}\theta+4\tan\theta-1=0$ for $\tan\theta$.
จงแก้สมการ $3\tan^{2}\theta+4\tan\theta-1=0$ หา $\tan\theta$
Answershow ▾
Use the quadratic formula with $a=3$, $b=4$, $c=-1$.ใช้สูตรกำลังสองโดย $a=3$, $b=4$, $c=-1$
Find $\theta$, for $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$, from $\tan\theta=\dfrac{-2+\sqrt7}{3}$.
จงหา $\theta$ สำหรับ $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$ จาก $\tan\theta=\dfrac{-2+\sqrt7}{3}$
Answershow ▾
$\tan\theta$ is positive here, so $\theta$ is in the 1st quadrant.$\tan\theta$ เป็นบวก มุม $\theta$ จึงอยู่ในจตุภาคที่ 1
Find $\theta$, for $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$, from $\tan\theta=\dfrac{-2-\sqrt7}{3}$.
จงหา $\theta$ สำหรับ $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$ จาก $\tan\theta=\dfrac{-2-\sqrt7}{3}$
Answershow ▾
$\tan\theta$ is negative here, so $\theta$ is in the 2nd quadrant: $180^{\circ}$ minus the reference angle.$\tan\theta$ เป็นลบ มุม $\theta$ จึงอยู่ในจตุภาคที่ 2 คือ $180^{\circ}$ ลบมุมอ้างอิง
Express the equation $\tan(\theta+45^{\circ})=2+\tan(45^{\circ}-\theta)$ as a quadratic equation in $\tan\theta$, and hence solve the equation for $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$.
เขียนสมการ $\tan(\theta+45^{\circ})=2+\tan(45^{\circ}-\theta)$ ให้อยู่ในรูปสมการกำลังสองของ $\tan\theta$ จากนั้นแก้สมการสำหรับ $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$
Answershow ▾
Same moves, with $\tan45^{\circ}=1$ in place of $\tan60^{\circ}=\sqrt3$.ขั้นเดิม แต่ใช้ $\tan45^{\circ}=1$ แทน $\tan60^{\circ}=\sqrt3$
Express the equation $\tan(\theta+60^{\circ})=2+\tan(60^{\circ}-\theta)$ as a quadratic equation in $\tan\theta$, and hence solve the equation for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$.
เขียนสมการ $\tan(\theta+60^{\circ})=2+\tan(60^{\circ}-\theta)$ ให้อยู่ในรูปสมการกำลังสองของ $\tan\theta$ จากนั้นแก้สมการสำหรับ $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$
Answershow ▾
6 marks: expand both $\tan$ brackets, combine into one quadratic, then both angles.6 คะแนน: กระจายทั้งสองวงเล็บ $\tan$ รวมเป็นสมการกำลังสองสมการเดียว แล้วหาทั้งสองมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
cot of a double angle, quadratic in tan θ cot มุมสองเท่า รวมเป็นสมการกำลังสองของ tan θ
(a) Show that the equation $\cot2\theta+\cot\theta=2$ can be expressed as a quadratic equation in $\tan\theta$.
(b) Hence solve the equation $\cot2\theta+\cot\theta=2$, for $0\lt\theta\lt\pi$, giving your answers correct to 3 decimal places.
(ก) จงแสดงว่าสมการ $\cot2\theta+\cot\theta=2$ เขียนให้อยู่ในรูปสมการกำลังสองของ $\tan\theta$ ได้
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\cot2\theta+\cot\theta=2$ สำหรับ $0\lt\theta\lt\pi$ (เรเดียน) โดยตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Write $\cot2\theta$ in terms of $\tan\theta$.
จงเขียน $\cot2\theta$ ในเทอมของ $\tan\theta$
Answershow ▾
$\cot2\theta=\dfrac{1}{\tan2\theta}$, and $\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$ flips upside down.$\cot2\theta=\dfrac{1}{\tan2\theta}$ และ $\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$ กลับเศษส่วน
Write $\cot\theta$ in terms of $\tan\theta$.
จงเขียน $\cot\theta$ ในเทอมของ $\tan\theta$
Answershow ▾
Cotangent is the reciprocal of tangent.โคแทนเจนต์คือส่วนกลับของแทนเจนต์
Write $\dfrac{1-t^{2}}{2t}+\dfrac1t$ as a single fraction.
จงเขียน $\dfrac{1-t^{2}}{2t}+\dfrac1t$ เป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Write $\dfrac1t$ as $\dfrac{2}{2t}$, then add the numerators.เขียน $\dfrac1t$ เป็น $\dfrac{2}{2t}$ แล้วบวกเศษเข้าด้วยกัน
Pick the first move to solve $\cot2\theta+\cot\theta=2$.
(A) rewrite both $\cot$ terms using $\tan\theta$
(B) use $\cot2\theta=2\cot\theta$
(C) multiply the whole equation by $\tan\theta$ before rewriting anything
จงเลือกขั้นแรกในการแก้ $\cot2\theta+\cot\theta=2$
(A) เขียน $\cot$ ทั้งสองพจน์ใหม่ด้วย $\tan\theta$
(B) ใช้ $\cot2\theta=2\cot\theta$
(C) คูณทั้งสมการด้วย $\tan\theta$ ก่อนเขียนอะไรใหม่
Answershow ▾
(B) is wrong - no identity doubles cotangent that way. (C) has nothing to multiply yet, since the equation is still in $\cot$, not $\tan\theta$.(B) ผิด เพราะไม่มีเอกลักษณ์ที่ทำให้ cot เป็นสองเท่าแบบนั้น · (C) ยังไม่มีอะไรให้คูณ เพราะสมการยังอยู่ ในรูป $\cot$ ไม่ใช่ $\tan\theta$
Using $\cot2\theta=\dfrac{1-\tan^{2}\theta}{2\tan\theta}$ and $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$, write $\cot2\theta+\cot\theta$ as a single fraction and set it equal to $2$.
ใช้ $\cot2\theta=\dfrac{1-\tan^{2}\theta}{2\tan\theta}$ และ $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$ จงเขียน $\cot2\theta+\cot\theta$ เป็นเศษส่วนเดียวแล้วเท่ากับ $2$
Answershow ▾
Same combine as the warm-up, with $t=\tan\theta$.รวมเศษส่วนแบบเดียวกับข้อก่อนหน้า โดย $t=\tan\theta$
Cross-multiply $\dfrac{3-\tan^{2}\theta}{2\tan\theta}=2$ to clear the fraction.
จงคูณไขว้ $\dfrac{3-\tan^{2}\theta}{2\tan\theta}=2$ เพื่อล้างเศษส่วน
Answershow ▾
Multiply both sides by $2\tan\theta$.คูณทั้งสองข้างด้วย $2\tan\theta$
Rearrange $3-\tan^{2}\theta=4\tan\theta$ into a 3-term quadratic, and solve it for $\tan\theta$.
จงจัดรูป $3-\tan^{2}\theta=4\tan\theta$ เป็นสมการกำลังสอง 3 พจน์ แล้วแก้หา $\tan\theta$
Answershow ▾
Move everything to one side, then use the quadratic formula.ย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว แล้วใช้สูตรกำลังสอง
The interval is $0\lt\theta\lt\pi$. In which unit must $\theta$ be given?
(A) radians, because the interval itself is written using $\pi$
(B) degrees, then convert $\pi$ to $180^{\circ}$ at the very end
(C) either unit, since they describe the same angle
ขอบเขตคือ $0\lt\theta\lt\pi$ จงเลือกหน่วยที่ต้องตอบ
(A) เรเดียน เพราะขอบเขตเขียนด้วย $\pi$
(B) องศา แล้วแปลง $\pi$ เป็น $180^{\circ}$ ตอนจบ
(C) หน่วยใดก็ได้ เพราะเป็นมุมเดียวกัน
Answershow ▾
(B) and (C) both miss that "correct to 3 decimal places" is set by the question for a radian-sized answer - converting at the end changes what "3 decimal places" means and risks the wrong precision.(B) และ (C) มองข้ามว่า "ทศนิยม 3 ตำแหน่ง" ที่โจทย์กำหนดเหมาะกับคำตอบขนาดเรเดียน การแปลงตอนจบจะเปลี่ยนความหมายของ "ทศนิยม 3 ตำแหน่ง" และเสี่ยงได้ความละเอียดที่ผิด
Find $\theta$, for $0\lt\theta\lt\pi$, from $\tan\theta=-2+\sqrt7$, correct to 3 decimal places.
จงหา $\theta$ สำหรับ $0\lt\theta\lt\pi$ จาก $\tan\theta=-2+\sqrt7$ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\tan\theta$ is positive here, so $\theta$ is the principal value itself.$\tan\theta$ เป็นบวก มุม $\theta$ จึงเป็นค่าหลักตรงๆ
Find $\theta$, for $0\lt\theta\lt\pi$, from $\tan\theta=-2-\sqrt7$, correct to 3 decimal places.
จงหา $\theta$ สำหรับ $0\lt\theta\lt\pi$ จาก $\tan\theta=-2-\sqrt7$ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\tan\theta$ is negative here, so $\theta=\pi$ minus the reference angle.$\tan\theta$ เป็นลบ มุม $\theta$ จึงเท่ากับ $\pi$ ลบมุมอ้างอิง
Show that the equation $\cot2\theta+\cot\theta=3$ can be expressed as a quadratic equation in $\tan\theta$. Hence solve the equation for $0\lt\theta\lt\pi$, giving your answers correct to 3 decimal places.
จงแสดงว่าสมการ $\cot2\theta+\cot\theta=3$ เขียนให้อยู่ในรูปสมการกำลังสองของ $\tan\theta$ ได้ จากนั้นแก้สมการสำหรับ $0\lt\theta\lt\pi$ โดยตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same moves, with $3$ in place of $2$ on the right.ขั้นเดิม แต่ด้านขวาเป็น $3$ แทน $2$
(a) Show that the equation $\cot2\theta+\cot\theta=2$ can be expressed as a quadratic equation in $\tan\theta$.
(b) Hence solve the equation $\cot2\theta+\cot\theta=2$, for $0\lt\theta\lt\pi$, giving your answers correct to 3 decimal places.
(ก) จงแสดงว่าสมการ $\cot2\theta+\cot\theta=2$ เขียนให้อยู่ในรูปสมการกำลังสองของ $\tan\theta$ ได้
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\cot2\theta+\cot\theta=2$ สำหรับ $0\lt\theta\lt\pi$ (เรเดียน) โดยตอบทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
6 marks: rewrite both cot terms, form the quadratic, then both angles in radians.6 คะแนน: เขียน cot ทั้งสองพจน์ใหม่ จัดเป็นสมการกำลังสอง แล้วหาทั้งสองมุมเป็นเรเดียน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Prove a cot 2x identity, then solve it พิสูจน์เอกลักษณ์ cot 2x แล้วแก้สมการ
(a) Show that $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=2\cot2x$.
(b) Hence solve the equation $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=4$, for $0\lt x\lt\pi$.
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=2\cot2x$
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=4$ สำหรับ $0\lt x\lt\pi$ (เรเดียน)
Write $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}$ as one fraction over $\sin x\cos x$.
จงเขียน $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}$ เป็นเศษส่วนเดียวที่มีตัวส่วน $\sin x\cos x$
Answershow ▾
Multiply each fraction up to the common denominator $\sin x\cos x$.คูณเศษส่วนทั้งสองให้มีตัวส่วนร่วม $\sin x\cos x$
Simplify $\cos3x\cos x+\sin3x\sin x$ using $\cos(A-B)$.
จงลดรูป $\cos3x\cos x+\sin3x\sin x$ ด้วย $\cos(A-B)$
Answershow ▾
$\cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B)$, with $A=3x$, $B=x$.$\cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B)$ โดย $A=3x$, $B=x$
Write $\sin x\cos x$ using the double angle formula.
จงเขียน $\sin x\cos x$ ด้วยสูตรมุมสองเท่า
Answershow ▾
$\sin2A=2\sin A\cos A$, so divide by $2$ to isolate $\sin A\cos A$.$\sin2A=2\sin A\cos A$ จึงหารด้วย $2$ เพื่อแยก $\sin A\cos A$
Pick the first move to simplify $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}$.
(A) write it as one fraction over $\sin x\cos x$ first
(B) cancel $\sin x$ with $\cos x$ directly, since both are trig functions
(C) multiply both terms by $\sin x\cos x$, without dividing back afterwards
จงเลือกขั้นแรกในการลดรูป $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}$
(A) เขียนเป็นเศษส่วนเดียวที่มีตัวส่วน $\sin x\cos x$ ก่อน
(B) ตัด $\sin x$ กับ $\cos x$ ออกตรงๆ เพราะทั้งคู่เป็นฟังก์ชันตรีโกณ
(C) คูณทั้งสองพจน์ด้วย $\sin x\cos x$ โดยไม่หารกลับทีหลัง
Answershow ▾
(B) is wrong - $\sin x$ and $\cos x$ have unrelated denominators, nothing cancels between them. (C) is wrong because multiplying without dividing back changes the value of the expression, not just its form.(B) ผิด เพราะ $\sin x$ กับ $\cos x$ เป็นตัวส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกัน ไม่มีอะไรตัดกันได้ · (C) ผิด เพราะการคูณโดยไม่หารกลับทำให้ค่าของนิพจน์เปลี่ยนไป ไม่ใช่แค่รูปแบบ
Using questions 1-3, write $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}$ as a single fraction in terms of $2x$.
ใช้ข้อ 1-3 จงเขียน $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}$ เป็นเศษส่วนเดียวในเทอมของ $2x$
Answershow ▾
Swap in $\cos2x$ for the numerator and $\tfrac12\sin2x$ for the denominator.แทนเศษด้วย $\cos2x$ และแทนส่วนด้วย $\tfrac12\sin2x$
Simplify $\dfrac{\cos2x}{\frac12\sin2x}$ to show it equals $2\cot2x$.
จงลดรูป $\dfrac{\cos2x}{\frac12\sin2x}$ เพื่อแสดงว่าเท่ากับ $2\cot2x$
Answershow ▾
Dividing by $\tfrac12$ is the same as multiplying by $2$.หารด้วย $\tfrac12$ เท่ากับคูณด้วย $2$
Using $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=2\cot2x$, rewrite $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=4$, then find $\tan2x$.
ใช้ $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=2\cot2x$ จงเขียน $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=4$ ใหม่ แล้วหา $\tan2x$
Answershow ▾
$\cot2x$ is the reciprocal of $\tan2x$.$\cot2x$ คือส่วนกลับของ $\tan2x$
Since $0\lt x\lt\pi$, $2x$ ranges over $0\lt2x\lt2\pi$. $\tan2x=\dfrac12$ is positive. In which quadrants, for $0\lt2x\lt2\pi$, is $\tan$ positive?
(A) the 1st and the 3rd
(B) the 1st and the 2nd
(C) the 2nd and the 4th
เนื่องจาก $0\lt x\lt\pi$ ค่า $2x$ จึงอยู่ในช่วง $0\lt2x\lt2\pi$ และ $\tan2x=\dfrac12$ เป็นบวก จงเลือกจตุภาคที่ $\tan$ เป็นบวก สำหรับ $0\lt2x\lt2\pi$
(A) จตุภาคที่ 1 และ 3
(B) จตุภาคที่ 1 และ 2
(C) จตุภาคที่ 2 และ 4
Answershow ▾
(B) is wrong - $\tan$ is negative in the 2nd quadrant, where $\sin$ and $\cos$ have opposite signs. (C) is wrong for the same reason in both the 2nd and the 4th quadrant.(B) ผิด เพราะจตุภาคที่ 2 ค่า $\sin$ กับ $\cos$ มีเครื่องหมายต่างกัน $\tan$ จึงเป็นลบ · (C) ผิดด้วยเหตุผลเดียวกันทั้งจตุภาคที่ 2 และ 4
Find both values of $2x$, for $0\lt2x\lt2\pi$, from $\tan2x=\dfrac12$.
จงหาค่า $2x$ ทั้งสอง สำหรับ $0\lt2x\lt2\pi$ จาก $\tan2x=\dfrac12$
Answershow ▾
1st quadrant: the reference angle itself. 3rd quadrant: $180^{\circ}$ plus it.จตุภาคที่ 1: มุมอ้างอิงตรงๆ · จตุภาคที่ 3: $180^{\circ}$ บวกมุมอ้างอิง
Divide by $2$ to find $x$, then check that $x=0.232$ fits $2\cot2x=4$, numerically.
จงหาร 2 เพื่อหา $x$ แล้วตรวจว่า $x=0.232$ เป็นจริงกับ $2\cot2x=4$
Answershow ▾
A value that fits the simplified equation also fits the original.ค่าที่เป็นจริงกับสมการที่ลดรูปแล้ว ก็เป็นจริงกับสมการเดิมด้วย
Using $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=2\cot2x$, solve the equation $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=6$, for $0\lt x\lt\pi$.
ใช้ $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=2\cot2x$ จงแก้สมการ $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=6$ สำหรับ $0\lt x\lt\pi$
Answershow ▾
Same identity; here $2\cot2x=6$ gives $\tan2x=\dfrac13$ instead of $\dfrac12$.เอกลักษณ์เดิม แต่ $2\cot2x=6$ ให้ $\tan2x=\dfrac13$ แทน $\dfrac12$
(a) Show that $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=2\cot2x$.
(b) Hence solve the equation $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=4$, for $0\lt x\lt\pi$.
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=2\cot2x$
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\dfrac{\cos3x}{\sin x}+\dfrac{\sin3x}{\cos x}=4$ สำหรับ $0\lt x\lt\pi$ (เรเดียน)
Answershow ▾
7 marks: combine into one fraction, simplify to $2\cot2x$, then solve for both $x$.7 คะแนน: รวมเป็นเศษส่วนเดียว ลดรูปเป็น $2\cot2x$ แล้วแก้หาค่า $x$ ทั้งสอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
cos 4θ as a power of cos θ, then solve cos 4θ ในเทอมกำลังของ cos θ แล้วแก้สมการ
(a) Prove the identity $\cos4\theta+4\cos2\theta+3\equiv8\cos^{4}\theta$.
(b) Hence solve the equation $\cos4\theta+4\cos2\theta=4$ for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$.
(ก) จงพิสูจน์เอกลักษณ์ $\cos4\theta+4\cos2\theta+3\equiv8\cos^{4}\theta$
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\cos4\theta+4\cos2\theta=4$ สำหรับ $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$
Write $\cos4\theta$ in terms of $\cos2\theta$.
จงเขียน $\cos4\theta$ ในเทอมของ $\cos2\theta$
Answershow ▾
$4\theta$ is double $2\theta$, so use the double angle formula $\cos2A=2\cos^{2}A-1$.$4\theta$ เป็นสองเท่าของ $2\theta$ จึงใช้สูตรมุมสองเท่า $\cos2A=2\cos^{2}A-1$
Write $\cos2\theta$ in terms of $\cos\theta$.
จงเขียน $\cos2\theta$ ในเทอมของ $\cos\theta$
Answershow ▾
Same double angle formula, one level down.สูตรมุมสองเท่าเดียวกัน แต่ลงมาอีกชั้น
Expand $(2\cos^{2}\theta-1)^{2}$.
จงกระจาย $(2\cos^{2}\theta-1)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets multiplied together, like question 1 in another ladder.เขียนเป็นสองวงเล็บคูณกัน
Pick the first move to prove $\cos4\theta+4\cos2\theta+3\equiv8\cos^{4}\theta$.
(A) write everything in terms of $\cos\theta$ by applying $\cos2A=2\cos^{2}A-1$ twice
(B) treat $\cos4\theta$ as $4\cos\theta$
(C) divide the whole identity by $\cos\theta$ first
จงเลือกขั้นแรกในการพิสูจน์ $\cos4\theta+4\cos2\theta+3\equiv8\cos^{4}\theta$
(A) เขียนทุกพจน์ในเทอมของ $\cos\theta$ โดยใช้ $\cos2A=2\cos^{2}A-1$ สองรอบ
(B) มองว่า $\cos4\theta$ คือ $4\cos\theta$
(C) หารทั้งเอกลักษณ์ด้วย $\cos\theta$ ก่อน
Answershow ▾
(B) is wrong - cosine does not distribute over multiplying the angle, $\cos4\theta\ne4\cos\theta$. (C) is wrong because $\cos\theta$ could be $0$, and the right side, $8\cos^{4}\theta$, would lose its own $\cos\theta$ factor unevenly from the other terms.(B) ผิด เพราะโคไซน์ไม่กระจายบนการคูณมุม $\cos4\theta\ne4\cos\theta$ · (C) ผิด เพราะ $\cos\theta$ อาจเป็น $0$ ได้ และด้านขวา $8\cos^{4}\theta$ จะเสียตัวประกอบ $\cos\theta$ ไปไม่เท่ากับพจน์อื่น
Substitute $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ into $\cos4\theta=2\cos^{2}2\theta-1$, then expand, to write $\cos4\theta$ in terms of $\cos\theta$.
จงแทน $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ ใน $\cos4\theta=2\cos^{2}2\theta-1$ แล้วกระจาย เพื่อเขียน $\cos4\theta$ ในเทอมของ $\cos\theta$
Answershow ▾
Use question 3 for the squared bracket, then double it.ใช้ข้อ 3 สำหรับวงเล็บยกกำลังสอง แล้วคูณสอง
Substitute $\cos4\theta=8\cos^{4}\theta-8\cos^{2}\theta+1$ and $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ into $\cos4\theta+4\cos2\theta+3$, and simplify.
จงแทน $\cos4\theta=8\cos^{4}\theta-8\cos^{2}\theta+1$ และ $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ ใน $\cos4\theta+4\cos2\theta+3$ แล้วลดรูป
Answershow ▾
The constant terms and the $\cos^{2}\theta$ terms all cancel.พจน์ค่าคงที่และพจน์ $\cos^{2}\theta$ หักลบกันหมด
Use $\cos4\theta+4\cos2\theta+3=8\cos^{4}\theta$ to turn $\cos4\theta+4\cos2\theta=4$ into an equation in $\cos\theta$ only.
ใช้ $\cos4\theta+4\cos2\theta+3=8\cos^{4}\theta$ จงเขียน $\cos4\theta+4\cos2\theta=4$ ใหม่ให้เป็น สมการในเทอมของ $\cos\theta$ อย่างเดียว
Answershow ▾
Add $3$ to both sides of the given equation, then compare with the identity.บวก $3$ ทั้งสองข้างของสมการที่ให้ แล้วเทียบกับเอกลักษณ์
Solve $8\cos^{4}\theta=7$ for $\theta$, $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$, taking the positive root of $\cos\theta$.
จงแก้ $8\cos^{4}\theta=7$ หา $\theta$ สำหรับ $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$ โดยใช้รากบวกของ $\cos\theta$
Answershow ▾
Take the fourth root of $\dfrac78$, then $\cos^{-1}$.ถอดรากที่สี่ของ $\dfrac78$ แล้วใช้ $\cos^{-1}$
Use $\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$ to find the other value of $\theta$.
ใช้ $\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$ จงหามุม $\theta$ อีกค่า
Answershow ▾
The negative fourth root gives the supplementary angle.รากที่สี่ตัวลบให้มุมที่เป็นมุมประกอบ (180° ลบมุม)
Using the identity $\cos4\theta+4\cos2\theta+3\equiv8\cos^{4}\theta$, solve the equation $\cos4\theta+4\cos2\theta=2$ for $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$.
ใช้เอกลักษณ์ (identity) $\cos4\theta+4\cos2\theta+3\equiv8\cos^{4}\theta$ จงแก้สมการ $\cos4\theta+4\cos2\theta=2$ สำหรับ $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$
Answershow ▾
Same moves; here adding $3$ to both sides gives $8\cos^{4}\theta=5$.ขั้นเดิม แต่บวก $3$ ทั้งสองข้างแล้วได้ $8\cos^{4}\theta=5$
(a) Prove the identity $\cos4\theta+4\cos2\theta+3\equiv8\cos^{4}\theta$.
(b) Hence solve the equation $\cos4\theta+4\cos2\theta=4$ for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$.
(ก) จงพิสูจน์เอกลักษณ์ $\cos4\theta+4\cos2\theta+3\equiv8\cos^{4}\theta$
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\cos4\theta+4\cos2\theta=4$ สำหรับ $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$
Answershow ▾
7 marks: write everything in $\cos\theta$, reduce to the identity, then both angles.7 คะแนน: เขียนทุกพจน์ในเทอม $\cos\theta$ ลดรูปจนได้เอกลักษณ์ แล้วหาทั้งสองมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
R cos(x+α) form, then a double-angle equation รูป R cos(x+α) แล้วแก้สมการมุมสองเท่า
(a) Express $4\cos x-\sin x$ in the form $R\cos(x+\alpha)$, where $R\gt0$ and $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$. State the exact value of $R$ and give $\alpha$ correct to 2 decimal places.
(b) Hence solve the equation $4\cos2x-\sin2x=3$ for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$.
(ก) เขียน $4\cos x-\sin x$ ในรูป $R\cos(x+\alpha)$ โดยที่ $R\gt0$ และ $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$ ระบุค่า $R$ แบบ exact และค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $4\cos2x-\sin2x=3$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$
State the exact value of $R=\sqrt{4^{2}+1^{2}}$.
จงบอกค่าแม่นตรงของ $R=\sqrt{4^{2}+1^{2}}$
Answershow ▾
$4^{2}+1^{2}=17$, and $17$ has no square factor.$4^{2}+1^{2}=17$ และ $17$ ไม่มีตัวประกอบที่เป็นกำลังสอง
Expand $R\cos(x+\alpha)$.
จงกระจาย $R\cos(x+\alpha)$
Answershow ▾
$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$, with $A=x$ and $B=\alpha$.$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ โดย $A=x$ และ $B=\alpha$
Given $R\cos\alpha=4$ and $R\sin\alpha=1$, find $\tan\alpha$, then $\alpha$ to 2 decimal places.
กำหนดให้ $R\cos\alpha=4$ และ $R\sin\alpha=1$ จงหา $\tan\alpha$ แล้วหา $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Divide the $R\sin\alpha$ row by the $R\cos\alpha$ row to get $\tan\alpha$.นำแถว $R\sin\alpha$ หารด้วยแถว $R\cos\alpha$ เพื่อให้ได้ $\tan\alpha$
Pick the first move to write $4\cos x-\sin x$ as $R\cos(x+\alpha)$.
(A) match $R\cos\alpha=4$ with the $\cos x$ coefficient and $R\sin\alpha=1$ with the $\sin x$ coefficient
(B) match $R\cos\alpha=1$ and $R\sin\alpha=4$
(C) take $\tan\alpha=4$, reading it straight off the $\cos x$ coefficient
จงเลือกขั้นแรกในการเขียน $4\cos x-\sin x$ เป็น $R\cos(x+\alpha)$
(A) จับคู่ $R\cos\alpha=4$ กับสัมประสิทธิ์ $\cos x$ และ $R\sin\alpha=1$ กับสัมประสิทธิ์ $\sin x$
(B) จับคู่ $R\cos\alpha=1$ และ $R\sin\alpha=4$
(C) ใช้ $\tan\alpha=4$ โดยอ่านจากสัมประสิทธิ์ $\cos x$ ตรงๆ
Answershow ▾
(B) swaps the two coefficients, which gives the wrong $\alpha$. (C) is not a valid shortcut - $\tan\alpha$ only equals $\dfrac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}$, it is never just one coefficient alone.(B) สลับสัมประสิทธิ์ทั้งสอง ทำให้ได้ $\alpha$ ผิด · (C) ไม่ใช่วิธีลัดที่ใช้ได้ เพราะ $\tan\alpha$ เท่ากับ $\dfrac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}$ เท่านั้น ไม่ใช่สัมประสิทธิ์ตัวเดียวลำพัง
Use $R=\sqrt{17}$ and $\alpha=14.04^{\circ}$ to write $4\cos2x-\sin2x$ in the form $R\cos(2x+\alpha)$.
ใช้ $R=\sqrt{17}$ และ $\alpha=14.04^{\circ}$ จงเขียน $4\cos2x-\sin2x$ ในรูป $R\cos(2x+\alpha)$
Answershow ▾
Replace $x$ with $2x$ in the $R$-form; $R$ and $\alpha$ stay the same.แทน $x$ ด้วย $2x$ ในรูป $R$ โดย $R$ และ $\alpha$ ไม่เปลี่ยน
Use $\sqrt{17}\cos(2x+14.04^{\circ})=3$ to find $\cos^{-1}\!\left(\dfrac{3}{\sqrt{17}}\right)$.
ใช้ $\sqrt{17}\cos(2x+14.04^{\circ})=3$ จงหา $\cos^{-1}\!\left(\dfrac{3}{\sqrt{17}}\right)$
Answershow ▾
Divide by $R=\sqrt{17}$ first, then take $\cos^{-1}$.หารด้วย $R=\sqrt{17}$ ก่อน แล้วใช้ $\cos^{-1}$
Use $2x+14.04^{\circ}=43.31^{\circ}$ to find $x$.
ใช้ $2x+14.04^{\circ}=43.31^{\circ}$ จงหา $x$
Answershow ▾
Subtract $14.04^{\circ}$, then halve.ลบ $14.04^{\circ}$ แล้วหารครึ่ง
Cosine is also positive at $360^{\circ}-43.31^{\circ}$. Which equation gives the second value of $2x+14.04^{\circ}$?
(A) $2x+14.04^{\circ}=360^{\circ}-43.31^{\circ}$
(B) $2x+14.04^{\circ}=180^{\circ}-43.31^{\circ}$
(C) $2x+14.04^{\circ}=-43.31^{\circ}$
โคไซน์ยังเป็นบวกที่ $360^{\circ}-43.31^{\circ}$ ด้วย จงเลือกสมการที่ให้ $2x+14.04^{\circ}$ ค่าที่สอง
(A) $2x+14.04^{\circ}=360^{\circ}-43.31^{\circ}$
(B) $2x+14.04^{\circ}=180^{\circ}-43.31^{\circ}$
(C) $2x+14.04^{\circ}=-43.31^{\circ}$
Answershow ▾
(B) finds where $\cos$ is NEGATIVE of the reference value, which is the wrong sign entirely. (C) is the reflection used for a NEGATIVE cosine value going the other way round the circle, not for a second positive solution.(B) หาจุดที่ $\cos$ เป็นค่าลบของมุมอ้างอิง ซึ่งเป็นเครื่องหมายที่ผิดไปเลย · (C) เป็นมุมสะท้อนที่ใช้กับ ค่า $\cos$ ที่เป็นลบ ไม่ใช่สำหรับคำตอบที่สองที่เป็นบวก
Use $2x+14.04^{\circ}=360^{\circ}-43.31^{\circ}$ to find the second value of $x$.
ใช้ $2x+14.04^{\circ}=360^{\circ}-43.31^{\circ}$ จงหาค่า $x$ ที่สอง
Answershow ▾
Simplify the right side, subtract $14.04^{\circ}$, then halve.ลดรูปด้านขวา ลบ $14.04^{\circ}$ แล้วหารครึ่ง
Check that $x=14.6^{\circ}$ and $x=151.3^{\circ}$ both lie in $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$, and that no third value of $2x$ exists in $0^{\circ}\lt2x\lt360^{\circ}$.
จงตรวจว่า $x=14.6^{\circ}$ และ $x=151.3^{\circ}$ อยู่ในช่วง $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$ ทั้งคู่ และไม่มีค่า $2x$ ที่สามในช่วง $0^{\circ}\lt2x\lt360^{\circ}$
Answershow ▾
Cosine is positive in only two places per full turn, and both have already been used.โคไซน์เป็นบวกเพียงสองจุดต่อการวนครบรอบ และใช้ไปแล้วทั้งสองจุด
Express $3\cos x-4\sin x$ in the form $R\cos(x+\alpha)$, where $R\gt0$ and $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$. State the exact value of $R$ and give $\alpha$ correct to 2 decimal places. Hence solve the equation $3\cos2x-4\sin2x=2$ for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$.
จงเขียน $3\cos x-4\sin x$ ในรูป $R\cos(x+\alpha)$ โดยที่ $R\gt0$ และ $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$ ระบุค่า $R$ แบบแม่นตรงและค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง แล้วแก้สมการ $3\cos2x-4\sin2x=2$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$
Answershow ▾
Same method; here $3^{2}+4^{2}=25$ is already a perfect square, so $R=5$ exactly.วิธีเดิม ที่นี่ $3^{2}+4^{2}=25$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์อยู่แล้ว $R=5$ พอดี
(a) Express $4\cos x-\sin x$ in the form $R\cos(x+\alpha)$, where $R\gt0$ and $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$. State the exact value of $R$ and give $\alpha$ correct to 2 decimal places.
(b) Hence solve the equation $4\cos2x-\sin2x=3$ for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$.
(ก) เขียน $4\cos x-\sin x$ ในรูป $R\cos(x+\alpha)$ โดยที่ $R\gt0$ และ $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$ ระบุค่า $R$ แบบ exact และค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $4\cos2x-\sin2x=3$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$
Answershow ▾
8 marks: find $R$ and $\alpha$, rewrite in $2x$, then both angles from $\cos^{-1}$.8 คะแนน: หา $R$ และ $\alpha$ เขียนใหม่ในเทอม $2x$ แล้วหาทั้งสองมุมจาก $\cos^{-1}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
cos 3θ via 2θ+θ, then factor out cos θ cos 3θ จาก 2θ+θ แล้วดึง cos θ เป็นตัวร่วม
(a) By expressing $3\theta$ as $2\theta+\theta$, prove the identity $\cos3\theta\equiv4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$.
(b) Hence solve the equation $\cos3\theta+\cos\theta\cos2\theta=\cos^{2}\theta$ for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$.
(ก) โดยเขียน $3\theta$ เป็น $2\theta+\theta$ จงพิสูจน์เอกลักษณ์ $\cos3\theta\equiv4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\cos3\theta+\cos\theta\cos2\theta=\cos^{2}\theta$ สำหรับ $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$
Expand $\cos(2\theta+\theta)$.
จงกระจาย $\cos(2\theta+\theta)$
Answershow ▾
$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$, with $A=2\theta$, $B=\theta$.$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ โดย $A=2\theta$, $B=\theta$
Substitute $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ and $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ into $\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta$.
จงแทน $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ และ $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ ใน $\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta$
Answershow ▾
Multiply each bracket out term by term.คูณแต่ละวงเล็บออกทีละพจน์
Replace $\sin^{2}\theta$ with $1-\cos^{2}\theta$ in $2\cos\theta\sin^{2}\theta$.
จงแทน $\sin^{2}\theta$ ด้วย $1-\cos^{2}\theta$ ใน $2\cos\theta\sin^{2}\theta$
Answershow ▾
$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$, so $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$.$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ จึงได้ $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$
Pick the first move to prove $\cos3\theta\equiv4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$, given $3\theta=2\theta+\theta$.
(A) expand $\cos(2\theta+\theta)$ with the addition formula, then substitute the double angle forms
(B) treat $\cos3\theta$ as $3\cos\theta$
(C) assume $\cos3\theta=\cos2\theta+\cos\theta$
จงเลือกขั้นแรกในการพิสูจน์ $\cos3\theta\equiv4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$ โดยใช้ $3\theta=2\theta+\theta$
(A) กระจาย $\cos(2\theta+\theta)$ ด้วยสูตรมุมประกอบ แล้วแทนสูตรมุมสองเท่า
(B) มองว่า $\cos3\theta$ คือ $3\cos\theta$
(C) สมมติว่า $\cos3\theta=\cos2\theta+\cos\theta$
Answershow ▾
(B) is wrong - cosine does not distribute over multiplying the angle, $\cos3\theta\ne3\cos\theta$. (C) is wrong because cosine does not distribute over adding the angles either.(B) ผิด เพราะโคไซน์ไม่กระจายบนการคูณมุม $\cos3\theta\ne3\cos\theta$ · (C) ผิดด้วยเหตุผลเดียวกัน เพราะโคไซน์ไม่กระจายบนการบวกมุมด้วย
Using $\cos3\theta\equiv4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$ and $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$, write $\cos3\theta+\cos\theta\cos2\theta=\cos^{2}\theta$ as an equation in $\cos\theta$ only.
ใช้ $\cos3\theta\equiv4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$ และ $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ จงเขียน $\cos3\theta+\cos\theta\cos2\theta=\cos^{2}\theta$ ให้เป็นสมการในเทอมของ $\cos\theta$ อย่างเดียว
Answershow ▾
$=\cos^{2}\theta$
Substitute both identities directly into the left side.แทนทั้งสองเอกลักษณ์เข้าไปในด้านซ้ายโดยตรง
Expand and collect the equation from question 4 so one side is $0$.
จงกระจายและรวมพจน์สมการจากข้อ 4 ให้ด้านหนึ่งเป็น $0$
Answershow ▾
Expand the bracket, collect like powers of $\cos\theta$, then move $\cos^{2}\theta$ across.กระจายวงเล็บ รวมพจน์ที่มีกำลังของ $\cos\theta$ เท่ากัน แล้วย้าย $\cos^{2}\theta$ ข้าม
Factor $\cos\theta$ out of $6\cos^{3}\theta-\cos^{2}\theta-4\cos\theta=0$.
จงดึง $\cos\theta$ ออกจาก $6\cos^{3}\theta-\cos^{2}\theta-4\cos\theta=0$
Answershow ▾
Every term has at least one factor of $\cos\theta$.ทุกพจน์มีตัวประกอบ $\cos\theta$ อย่างน้อยหนึ่งตัว
$\cos\theta(6\cos^{2}\theta-\cos\theta-4)=0$. What should you do next?
(A) keep $\cos\theta=0$ as one full root, and separately solve the quadratic bracket for the others
(B) divide the whole equation by $\cos\theta$ to simplify before solving
(C) ignore the $\cos\theta$ factor and solve only the quadratic bracket
$\cos\theta(6\cos^{2}\theta-\cos\theta-4)=0$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) เก็บ $\cos\theta=0$ เป็นหนึ่งราก แล้วแก้สมการกำลังสองในวงเล็บแยกหาค่าที่เหลือ
(B) หารทั้งสมการด้วย $\cos\theta$ เพื่อให้ง่ายก่อนแก้
(C) ไม่สนใจตัวประกอบ $\cos\theta$ แล้วแก้แค่สมการกำลังสองในวงเล็บ
Answershow ▾
(B) and (C) both silently lose the root $\cos\theta=0$ (so $\theta=90^{\circ}$) - dividing by $\cos\theta$ assumes it is not zero, which throws that solution away.(B) และ (C) ทำให้เสียราก $\cos\theta=0$ (คือ $\theta=90^{\circ}$) ไปโดยไม่รู้ตัว การหารด้วย $\cos\theta$ เท่ากับสมมติว่ามันไม่เป็นศูนย์ จึงทิ้งคำตอบนี้ไป
Find $\theta$ from $\cos\theta=0$, for $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$.
จงหา $\theta$ จาก $\cos\theta=0$ สำหรับ $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$
Answershow ▾
This root came straight from factoring, not from the quadratic formula.รากนี้ได้มาจากการดึงตัวประกอบ ไม่ใช่จากสูตรกำลังสอง
Solve $6\cos^{2}\theta-\cos\theta-4=0$ for $\cos\theta$, then find the two remaining values of $\theta$.
จงแก้ $6\cos^{2}\theta-\cos\theta-4=0$ หา $\cos\theta$ แล้วหา $\theta$ ที่เหลืออีกสองค่า
Answershow ▾
Use the quadratic formula with $a=6$, $b=-1$, $c=-4$.ใช้สูตรกำลังสองโดย $a=6$, $b=-1$, $c=-4$
By expressing $3\theta$ as $2\theta+\theta$, show that $\cos3\theta\equiv4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$. Hence solve the equation $\cos3\theta+2\cos\theta\cos2\theta=\cos^{2}\theta$ for $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$.
จงเขียน $3\theta$ เป็น $2\theta+\theta$ เพื่อแสดงว่า $\cos3\theta\equiv4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$ จากนั้นแก้สมการ $\cos3\theta+2\cos\theta\cos2\theta=\cos^{2}\theta$ สำหรับ $0^{\circ}\leqslant\theta\leqslant180^{\circ}$
Answershow ▾
Same identity; here the coefficient on the middle term is $2$ instead of $1$.เอกลักษณ์เดิม แต่สัมประสิทธิ์ของพจน์กลางเป็น $2$ แทน $1$
(a) By expressing $3\theta$ as $2\theta+\theta$, prove the identity $\cos3\theta\equiv4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$.
(b) Hence solve the equation $\cos3\theta+\cos\theta\cos2\theta=\cos^{2}\theta$ for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$.
(ก) โดยเขียน $3\theta$ เป็น $2\theta+\theta$ จงพิสูจน์เอกลักษณ์ $\cos3\theta\equiv4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\cos3\theta+\cos\theta\cos2\theta=\cos^{2}\theta$ สำหรับ $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$
Answershow ▾
8 marks: prove the identity, form the equation in $\cos\theta$, factor, then all three angles.8 คะแนน: พิสูจน์เอกลักษณ์ จัดเป็นสมการในเทอม $\cos\theta$ ดึงตัวประกอบ แล้วหาทั้งสามมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
tan(x+45°) and cot x, one quadratic in tan x tan(x+45°) กับ cot x รวมเป็นสมการกำลังสองของ tan x
By first expressing the equation $\tan(x+45^{\circ})=2\cot x+1$ as a quadratic equation in $\tan x$, solve the equation for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$.
โดยเริ่มจากเขียนสมการ $\tan(x+45^{\circ})=2\cot x+1$ ให้อยู่ในรูปสมการกำลังสองของ $\tan x$ จงแก้สมการสำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$
Expand $\tan(x+45^{\circ})$, using $\tan45^{\circ}=1$.
จงกระจาย $\tan(x+45^{\circ})$ โดยใช้ $\tan45^{\circ}=1$
Answershow ▾
$\tan(A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$, with $\tan45^{\circ}=1$.$\tan(A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$ โดย $\tan45^{\circ}=1$
Write $\cot x$ in terms of $\tan x$.
จงเขียน $\cot x$ ในเทอมของ $\tan x$
Answershow ▾
Cotangent is the reciprocal of tangent.โคแทนเจนต์คือส่วนกลับของแทนเจนต์
Write $\dfrac{2}{t}+1$ as a single fraction.
จงเขียน $\dfrac{2}{t}+1$ เป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Write $1$ as $\dfrac{t}{t}$, then add the numerators.เขียน $1$ เป็น $\dfrac{t}{t}$ แล้วบวกเศษเข้าด้วยกัน
Pick the first move to solve $\tan(x+45^{\circ})=2\cot x+1$.
(A) expand $\tan(x+45^{\circ})$ and rewrite $\cot x$ as $\dfrac{1}{\tan x}$
(B) write $\tan(x+45^{\circ})=\tan x+\tan45^{\circ}$
(C) multiply both sides by $\tan x$ before expanding $\tan(x+45^{\circ})$
จงเลือกขั้นแรกในการแก้ $\tan(x+45^{\circ})=2\cot x+1$
(A) กระจาย $\tan(x+45^{\circ})$ และเขียน $\cot x$ ใหม่เป็น $\dfrac{1}{\tan x}$
(B) เขียน $\tan(x+45^{\circ})=\tan x+\tan45^{\circ}$
(C) คูณทั้งสองข้างด้วย $\tan x$ ก่อนกระจาย $\tan(x+45^{\circ})$
Answershow ▾
(B) is wrong - $\tan$ does not distribute over a sum of angles. (C) multiplies before the left side is in a usable fraction form, so the $\tan x$ terms do not clear cleanly.(B) ผิด เพราะ $\tan$ ไม่กระจายบนผลบวกของมุม · (C) คูณก่อนที่ด้านซ้ายจะอยู่ในรูปเศษส่วนที่ใช้ได้ พจน์ $\tan x$ จึงไม่หมดไปอย่างสะอาด
Using questions 1-3, write $\tan(x+45^{\circ})=2\cot x+1$ as $\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}=\dfrac{2+\tan x}{\tan x}$.
ใช้ข้อ 1-3 จงเขียน $\tan(x+45^{\circ})=2\cot x+1$ เป็น $\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}=\dfrac{2+\tan x}{\tan x}$
Answershow ▾
Swap in the rewritten left and right sides.แทนด้านซ้ายและด้านขวาที่เขียนใหม่
Cross-multiply $\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}=\dfrac{2+\tan x}{\tan x}$, then expand both sides.
จงคูณไขว้ $\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}=\dfrac{2+\tan x}{\tan x}$ แล้วกระจายทั้งสองข้าง
Answershow ▾
$=2-2\tan x+\tan x-\tan^{2}x$
Multiply each numerator by the denominator of the other side.คูณเศษแต่ละด้านด้วยตัวส่วนของอีกฝั่ง
Collect the result of question 5 into a 3-term quadratic, and solve it for $\tan x$.
จงรวมพจน์ผลลัพธ์จากข้อ 5 เป็นสมการกำลังสอง 3 พจน์ แล้วแก้หา $\tan x$
Answershow ▾
Move everything to the left, then use the quadratic formula.ย้ายทุกพจน์มาทางซ้าย แล้วใช้สูตรกำลังสอง
$\tan x=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\approx0.618$ and $\tan x=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}\approx-1.618$ - one positive, one negative. For $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$, which quadrants can $x$ be in?
(A) the 1st (where $\tan$ is positive) and the 2nd (where it is negative)
(B) the 1st and the 3rd
(C) the 2nd and the 4th
$\tan x=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\approx0.618$ และ $\tan x=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}\approx-1.618$ ค่าหนึ่งบวก ค่าหนึ่งลบ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$ จงเลือกจตุภาคที่เป็นไปได้
(A) จตุภาคที่ 1 (ที่ $\tan$ เป็นบวก) และจตุภาคที่ 2 (ที่เป็นลบ)
(B) จตุภาคที่ 1 และ 3
(C) จตุภาคที่ 2 และ 4
Answershow ▾
(B) is wrong - the 3rd quadrant needs $x\gt180^{\circ}$, outside this range entirely. (C) is wrong for the same reason - the 4th quadrant also needs $x\gt180^{\circ}$ here.(B) ผิด เพราะจตุภาคที่ 3 ต้องการ $x\gt180^{\circ}$ ซึ่งอยู่นอกช่วงนี้ไปเลย · (C) ผิดด้วยเหตุผลเดียวกัน เพราะจตุภาคที่ 4 ก็ต้องการ $x\gt180^{\circ}$ เช่นกันในช่วงนี้
Find $x$, for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$, from $\tan x=0.618\ldots$.
จงหา $x$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$ จาก $\tan x=0.618\ldots$
Answershow ▾
$\tan x$ is positive, so $x$ is the principal value itself.$\tan x$ เป็นบวก มุม $x$ จึงเป็นค่าหลักตรงๆ
Find $x$, for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$, from $\tan x=-1.618\ldots$.
จงหา $x$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$ จาก $\tan x=-1.618\ldots$
Answershow ▾
$\tan x$ is negative, so $x=180^{\circ}$ minus the reference angle.$\tan x$ เป็นลบ มุม $x$ จึงเท่ากับ $180^{\circ}$ ลบมุมอ้างอิง
By first expressing the equation $\tan(x+45^{\circ})=3\cot x+1$ as a quadratic equation in $\tan x$, solve the equation for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$.
โดยเริ่มจากเขียนสมการ $\tan(x+45^{\circ})=3\cot x+1$ ให้อยู่ในรูปสมการกำลังสองของ $\tan x$ จงแก้สมการ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$
Answershow ▾
Same moves, with $3$ in place of $2$ in front of $\cot x$.ขั้นเดิม แต่หน้า $\cot x$ เป็น $3$ แทน $2$
By first expressing the equation $\tan(x+45^{\circ})=2\cot x+1$ as a quadratic equation in $\tan x$, solve the equation for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$.
โดยเริ่มจากเขียนสมการ $\tan(x+45^{\circ})=2\cot x+1$ ให้อยู่ในรูปสมการกำลังสองของ $\tan x$ จงแก้สมการสำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$
Answershow ▾
6 marks: expand the compound angle, rewrite $\cot x$, form the quadratic, then both angles.6 คะแนน: กระจายมุมประกอบ เขียน $\cot x$ ใหม่ จัดเป็นสมการกำลังสอง แล้วหาทั้งสองมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
sec x rewritten with cos x, then R cos(x+α) again เขียน sec x ด้วย cos x แล้วใช้รูป R cos(x+α) อีกครั้ง
(a) Show that the equation $\sqrt5\sec x+\tan x=4$ can be expressed as $R\cos(x+\alpha)=\sqrt5$, where $R\gt0$ and $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ correct to 2 decimal places.
(b) Hence solve the equation $\sqrt5\sec2x+\tan2x=4$, for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$.
(ก) จงแสดงว่าสมการ $\sqrt5\sec x+\tan x=4$ เขียนให้อยู่ในรูป $R\cos(x+\alpha)=\sqrt5$ ได้ โดยที่ $R\gt0$ และ $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$ บอกค่า $R$ แบบ exact และค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\sqrt5\sec2x+\tan2x=4$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$
Multiply every term of $\sqrt5\sec x+\tan x=4$ by $\cos x$.
จงคูณทุกพจน์ของ $\sqrt5\sec x+\tan x=4$ ด้วย $\cos x$
Answershow ▾
$\sec x\cos x=1$ and $\tan x\cos x=\sin x$.$\sec x\cos x=1$ และ $\tan x\cos x=\sin x$
Rearrange $\sqrt5+\sin x=4\cos x$ so the trig terms are on one side.
จงจัดรูป $\sqrt5+\sin x=4\cos x$ ให้พจน์ตรีโกณอยู่ด้านเดียวกัน
Answershow ▾
Move $\sin x$ to the right by subtracting it from both sides.ย้าย $\sin x$ ไปทางขวา โดยลบออกจากทั้งสองข้าง
State the exact value of $R=\sqrt{4^{2}+1^{2}}$.
จงบอกค่าแม่นตรงของ $R=\sqrt{4^{2}+1^{2}}$
Answershow ▾
$4^{2}+1^{2}=17$, and $17$ has no square factor.$4^{2}+1^{2}=17$ และ $17$ ไม่มีตัวประกอบที่เป็นกำลังสอง
Pick the first move to tackle $\sqrt5\sec x+\tan x=4$.
(A) multiply every term by $\cos x$, turning $\sec x$ and $\tan x$ into $\cos x$ and $\sin x$
(B) write $\sec x=\dfrac{1}{\sin x}$
(C) square both sides straight away
จงเลือกขั้นแรกในการจัดการ $\sqrt5\sec x+\tan x=4$
(A) คูณทุกพจน์ด้วย $\cos x$ ทำให้ $\sec x$ และ $\tan x$ กลายเป็น $\cos x$ และ $\sin x$
(B) เขียน $\sec x=\dfrac{1}{\sin x}$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างทันที
Answershow ▾
(B) is wrong - secant is $\dfrac{1}{\cos x}$, not $\dfrac{1}{\sin x}$, a common mix-up with cosecant. (C) is wrong because squaring the mixed sec/tan equation early can create extra, wrong solutions and does not simplify the mix of functions.(B) ผิด เพราะ ซีแคนต์ (secant) คือ $\dfrac{1}{\cos x}$ ไม่ใช่ $\dfrac{1}{\sin x}$ ซึ่งสับสนกับ โคซีแคนต์ (cosecant) บ่อย · (C) ผิด เพราะการยกกำลังสองสมการที่ผสม sec กับ tan ตั้งแต่ต้น อาจได้คำตอบเกินที่ผิด และไม่ได้ช่วยลดรูป
Using $4\cos x-\sin x=\sqrt5$ and $R=\sqrt{17}$, find $\tan\alpha$, then $\alpha$ to 2 decimal places.
ใช้ $4\cos x-\sin x=\sqrt5$ และ $R=\sqrt{17}$ จงหา $\tan\alpha$ แล้วหา $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Match $R\cos\alpha=4$ with the $\cos x$ coefficient and $R\sin\alpha=1$ with the $\sin x$ coefficient.จับคู่ $R\cos\alpha=4$ กับสัมประสิทธิ์ $\cos x$ และ $R\sin\alpha=1$ กับสัมประสิทธิ์ $\sin x$
Write $4\cos x-\sin x=\sqrt5$ in the form $R\cos(x+\alpha)=\sqrt5$.
จงเขียน $4\cos x-\sin x=\sqrt5$ ในรูป $R\cos(x+\alpha)=\sqrt5$
Answershow ▾
Swap $R$ and $\alpha$ straight into the $R\cos(x+\alpha)$ pattern.แทน $R$ และ $\alpha$ ลงในรูปแบบ $R\cos(x+\alpha)$ ตรงๆ
For part (b), $\sqrt5\sec2x+\tan2x=4$ leads to $4\cos2x-\sin2x=\sqrt5$ by the same working as questions 1-2. Write this as $R\cos(2x+\alpha)=\sqrt5$.
สำหรับส่วน (b) $\sqrt5\sec2x+\tan2x=4$ นำไปสู่ $4\cos2x-\sin2x=\sqrt5$ ด้วยวิธีเดียวกับข้อ 1-2 จงเขียนเป็น $R\cos(2x+\alpha)=\sqrt5$
Answershow ▾
Replace $x$ with $2x$ in the $R$-form; $R$ and $\alpha$ stay the same.แทน $x$ ด้วย $2x$ ในรูป $R$ โดย $R$ และ $\alpha$ ไม่เปลี่ยน
$\sqrt{17}\cos(2x+14.04^{\circ})=\sqrt5$. What is the next correct move?
(A) divide by $\sqrt{17}$, then take $\cos^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{17}}\right)$
(B) divide by $\sqrt{17}$, then take $\sin^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{17}}\right)$
(C) square both sides to remove the square roots first
$\sqrt{17}\cos(2x+14.04^{\circ})=\sqrt5$ จงเลือกขั้นถูกต้องถัดไป
(A) หารด้วย $\sqrt{17}$ แล้วใช้ $\cos^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{17}}\right)$
(B) หารด้วย $\sqrt{17}$ แล้วใช้ $\sin^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{17}}\right)$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อลบรากที่สองก่อน
Answershow ▾
(B) is wrong - the bracket is in $\cos$, so its inverse must be $\cos^{-1}$, not $\sin^{-1}$. (C) is wrong because it is unnecessary here and would introduce extra, wrong solutions.(B) ผิด เพราะวงเล็บอยู่ในรูป $\cos$ จึงต้องใช้ตัวผกผันเป็น $\cos^{-1}$ ไม่ใช่ $\sin^{-1}$ · (C) ผิด เพราะไม่จำเป็นในที่นี้ และจะทำให้ได้คำตอบเกินที่ผิด
Use $\cos^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{17}}\right)=57.15^{\circ}$ to find the first value of $x$.
ใช้ $\cos^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{17}}\right)=57.15^{\circ}$ จงหาค่า $x$ ค่าแรก
Answershow ▾
Subtract $14.04^{\circ}$ from $57.15^{\circ}$, then halve.ลบ $14.04^{\circ}$ จาก $57.15^{\circ}$ แล้วหารครึ่ง
Use $2x+14.04^{\circ}=360^{\circ}-57.15^{\circ}$ to find the second value of $x$.
ใช้ $2x+14.04^{\circ}=360^{\circ}-57.15^{\circ}$ จงหาค่า $x$ ที่สอง
Answershow ▾
Simplify the right side, subtract $14.04^{\circ}$, then halve.ลดรูปด้านขวา ลบ $14.04^{\circ}$ แล้วหารครึ่ง
Show that the equation $2\sec x+\tan x=3$ can be expressed as $R\cos(x+\alpha)=2$, where $R\gt0$ and $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$. Give the exact value of $R$ and $\alpha$ correct to 2 decimal places. Hence solve the equation $2\sec2x+\tan2x=3$, for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$.
จงแสดงว่าสมการ $2\sec x+\tan x=3$ เขียนให้อยู่ในรูป $R\cos(x+\alpha)=2$ ได้ โดยที่ $R\gt0$ และ $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$ บอกค่า $R$ แบบแม่นตรงและค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง แล้วแก้สมการ $2\sec2x+\tan2x=3$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$
Answershow ▾
Same method; here $3^{2}+1^{2}=10$, which has no square factor either.วิธีเดิม ที่นี่ $3^{2}+1^{2}=10$ ไม่มีตัวประกอบที่เป็นกำลังสองเช่นกัน
(a) Show that the equation $\sqrt5\sec x+\tan x=4$ can be expressed as $R\cos(x+\alpha)=\sqrt5$, where $R\gt0$ and $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ correct to 2 decimal places.
(b) Hence solve the equation $\sqrt5\sec2x+\tan2x=4$, for $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$.
(ก) จงแสดงว่าสมการ $\sqrt5\sec x+\tan x=4$ เขียนให้อยู่ในรูป $R\cos(x+\alpha)=\sqrt5$ ได้ โดยที่ $R\gt0$ และ $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$ บอกค่า $R$ แบบ exact และค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) จากนั้นจงแก้สมการ $\sqrt5\sec2x+\tan2x=4$ สำหรับ $0^{\circ}\lt x\lt180^{\circ}$
Answershow ▾
8 marks: clear the secant, find $R$ and $\alpha$, rewrite in $2x$, then both angles.8 คะแนน: ล้าง secant หา $R$ และ $\alpha$ เขียนใหม่ในเทอม $2x$ แล้วหาทั้งสองมุม