Trigonometry · practice ladders ชุดไต่ระดับ · ตรีโกณมิติ
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Trigonometry · the R-form
(a) Express $7\cos\theta + 8\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R \gt 0$ and $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to $2$ decimal places.
(b) Hence solve $7\cos\theta + 8\sin\theta = 4$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving your answers to $1$ decimal place.
(c) State the maximum value of $7\cos\theta + 8\sin\theta$, and the value of $\theta$ in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ at which it occurs, to $2$ decimal places.
Express $8\cos\theta + 15\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R \gt 0$ and $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to $2$ decimal places.
จงเขียน $8\cos\theta + 15\sin\theta$ ในรูป $R\cos(\theta-\alpha)$ โดย $R \gt 0$ และ $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$ พร้อมบอกค่า $R$ ที่แน่นอน และค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Match coefficients: $R\cos\alpha=8$ and $R\sin\alpha=15$, so $R=\sqrt{8^2+15^2}$ and $\tan\alpha=\dfrac{15}{8}$ — this pair is a Pythagorean triple so $R$ comes out a whole number, but $\alpha$ almost never does.
Given that $f(\theta) = R\cos(\theta-\alpha)$ with $R=50$ and $\alpha=50^\circ$, state the maximum value of $f(\theta)$ and the value of $\theta$ (in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$) at which it occurs.
กำหนด $f(\theta) = R\cos(\theta-\alpha)$ โดย $R=50$ และ $\alpha=50^\circ$ จงบอกค่าสูงสุดของ $f(\theta)$ และค่า $\theta$ ที่เกิดขึ้น
Answershow ▾
$\cos(\theta-\alpha)$ is largest, equal to $1$, exactly when $\theta-\alpha=0$ — no calculation needed once you know $R$ and $\alpha$.
Solve $\cos(\theta - 40^\circ) = \cos(25^\circ)$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
แก้สมการ $\cos(\theta - 40^\circ) = \cos(25^\circ)$ สำหรับ $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ โดยหาคำตอบทั้งหมด
Answershow ▾
$\cos(X)=\cos(Y)$ means $X = \pm Y + 360^\circ k$; here $X = \theta-40^\circ$, so $\theta - 40^\circ = \pm25^\circ$, adjusted by $360^\circ$ to land inside the range.
Set your calculator up before part (a). $\arctan\!\left(\dfrac{8}{7}\right)$ reads $0.85196$ in one mode and $48.81$ in another. Which mode does this question want, which line of the question tells you, and what would “$\alpha = 0.85$” be worth?
ตั้งเครื่องคิดเลขให้ถูกก่อนทำข้อ (a) · $\arctan\!\left(\dfrac{8}{7}\right)$ อ่านได้ $0.85196$ ในโหมดหนึ่ง และ $48.81$ ในอีกโหมดหนึ่ง · โจทย์ข้อนี้ต้องการโหมดไหน บรรทัดไหนของโจทย์เป็นตัวบอก และถ้าตอบ "$\alpha = 0.85$" จะได้เท่าไร
Answershow ▾
The degree symbol in $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$ and in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ is the whole instruction, and it appears in every part of this question. $0.85196$ radians and $48.81^\circ$ are the same angle, but an answer in the wrong unit is simply a different number and is marked wrong. Worse, it is wrong SILENTLY: parts (b) and (c) will both go on producing plausible-looking answers. Setting the mode costs one keypress and carries no mark at all.สัญลักษณ์องศาใน $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$ และใน $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ คือคำสั่งทั้งหมด และปรากฏอยู่ในทุกข้อย่อยของข้อนี้ · $0.85196$ เรเดียน กับ $48.81^\circ$ คือมุมเดียวกัน แต่คำตอบที่ผิดหน่วยคือตัวเลขคนละตัวและถือว่าผิด · ที่แย่กว่าคือมันผิดแบบเงียบ ๆ: ข้อ (b) และ (c) จะยังให้คำตอบที่ดูสมเหตุสมผลต่อไป · การตั้งโหมดใช้การกดปุ่มครั้งเดียว และไม่มีคะแนนให้เลย
Express $7\cos\theta + 8\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R \gt 0$ and $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to $2$ decimal places.
จงเขียน $7\cos\theta + 8\sin\theta$ ในรูป $R\cos(\theta-\alpha)$ พร้อมบอก ค่า $R$ ที่แน่นอน และค่า $\alpha$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same method as question 1, with the real coefficients of the exam question. This is part (a).
Using $R=\sqrt{113}$ and $\alpha=48.81^\circ$ from question 4, state the maximum value of $7\cos\theta+8\sin\theta$ and the value of $\theta$ at which it occurs, to $2$ decimal places.
Answershow ▾
Same fact as question 2: the extremes of $R\cos(\theta-\alpha)$ are $\pm R$, at $\theta=\alpha$ (maximum) or $\theta=\alpha+180^\circ$ (minimum). This is part (c).
$7\cos\theta+8\sin\theta$ can be written as $R\cos(\theta-\alpha)$ with $R=\sqrt{113}$ and $\alpha=48.81^\circ$ (question 4). Given that $7\cos\theta+8\sin\theta = 4$, write this as an equation for $\cos(\theta-\alpha)$.
Answershow ▾
Divide both sides of $R\cos(\theta-\alpha)=4$ by $R$ — the rearrangement every R-form equation needs before you can take $\cos^{-1}$.
You have $\cos(\theta - \alpha) = \dfrac{4}{\sqrt{113}}$ and press $\cos^{-1}$. Which of these three is what the calculator has just given you?
(A) $\theta = 67.90^\circ$ (B) $\theta - \alpha = 67.90^\circ$ (C) $\alpha = 67.90^\circ$
Name the quantity that is the unknown at this line, and say how many more steps stand between it and $\theta$.
ได้ $\cos(\theta - \alpha) = \dfrac{4}{\sqrt{113}}$ แล้วกด $\cos^{-1}$ · เครื่องคิดเลขเพิ่งให้อะไรมา
(A) $\theta = 67.90^\circ$ (B) $\theta - \alpha = 67.90^\circ$ (C) $\alpha = 67.90^\circ$
จงบอกว่าตัวไม่ทราบค่าที่บรรทัดนี้คืออะไร และเหลืออีกกี่ขั้นกว่าจะถึง $\theta$
Answershow ▾
$\cos^{-1}$ undoes the cosine and hands back whatever was inside the bracket — never the letter you are ultimately after. Reading it as $\theta$ gives $67.90^\circ$ and $292.10^\circ$, two wrong answers that sit inside the required interval and look entirely reasonable. Treat $\theta - \alpha$ as a single unknown until the very last line. The M1 pays for a correct bracket value; the swap is invisible to the mark scheme and fatal to both answers.$\cos^{-1}$ แก้ค่าโคไซน์และคืนสิ่งที่อยู่ในวงเล็บกลับมา ไม่ใช่ตัวอักษรที่เราต้องการในที่สุด · ถ้าอ่านว่าเป็น $\theta$ จะได้ $67.90^\circ$ กับ $292.10^\circ$ ซึ่งเป็นคำตอบผิดสองค่าที่อยู่ในช่วงที่กำหนดและดูสมเหตุสมผลทุกประการ · ให้ถือว่า $\theta - \alpha$ เป็นตัวไม่ทราบค่าก้อนเดียวจนถึงบรรทัดสุดท้าย · M1 ให้กับค่าในวงเล็บที่ถูก การสลับตัวนี้มาร์คสกีมมองไม่เห็น แต่ทำให้คำตอบผิดทั้งสองค่า
Given $\cos(\theta-\alpha) = \dfrac{4}{\sqrt{113}}$, find the two values of $\theta-\alpha$ in $(-360^\circ, 360^\circ)$, to $2$ decimal places.
Answershow ▾
$\cos^{-1}\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{113}}\right)=67.90^\circ$ is the principal value; cosine takes the same value at $+67.90^\circ$ and $-67.90^\circ$ in every period.
$\theta$ runs over $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$. Write down the interval that $\theta - \alpha$ must therefore run over, and say how many solutions of $\cos(\theta - \alpha) = 0.3764$ lie inside it. Then say what would have happened if you had solved only in $0^\circ$ to $360^\circ$.
$\theta$ อยู่ในช่วง $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ · จงเขียนช่วงที่ $\theta - \alpha$ ต้องอยู่ แล้วบอกว่ามีคำตอบของ $\cos(\theta - \alpha) = 0.3764$ กี่ค่าในช่วงนั้น · แล้วบอกว่าถ้าหาคำตอบเฉพาะในช่วง $0^\circ$ ถึง $360^\circ$ จะเกิดอะไรขึ้น
Answershow ▾
Shifting the unknown shifts its interval by exactly the same amount, and the shifted interval reaches below zero — which is where the second solution lives. A student who searches only from $0^\circ$ finds $67.90^\circ$, adds $\alpha$, gets $116.7^\circ$ and stops, having answered half the question. The A1 asks for both values of $\theta$; adjusting the interval before hunting is what makes both of them appear, and no mark is written for it.การเลื่อนตัวไม่ทราบค่าทำให้ช่วงของมันเลื่อนไปเท่ากันพอดี และช่วงที่เลื่อนแล้วลงไปต่ำกว่าศูนย์ ซึ่งเป็นที่อยู่ของคำตอบที่สอง · คนที่ค้นเฉพาะตั้งแต่ $0^\circ$ จะเจอ $67.90^\circ$ บวก $\alpha$ ได้ $116.7^\circ$ แล้วหยุด ซึ่งตอบไปได้ครึ่งเดียว · A1 ต้องการค่า $\theta$ ทั้งสองค่า การปรับช่วงก่อนออกค้นคือสิ่งที่ทำให้ทั้งสองค่าโผล่มา และไม่มีคะแนนเขียนไว้ให้
Using $\alpha=48.81^\circ$ and $\theta-\alpha=\pm67.90^\circ$ from question 7, find every value of $\theta$ in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, to $1$ decimal place.
Answershow ▾
Add $\alpha$ to each value of $\theta-\alpha$ from question 7, adjusting by $360^\circ$ so both answers land inside the given interval — this is part (b).
(a) Express $3\cos\theta + 4\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R \gt 0$ and $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to $2$ decimal places.
(b) Hence solve $3\cos\theta + 4\sin\theta = 2$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving your answers to $1$ decimal place.
(c) State the maximum value of $3\cos\theta + 4\sin\theta$, and the value of $\theta$ in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ at which it occurs, to $2$ decimal places.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
(a) Express $7\cos\theta + 8\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R \gt 0$ and $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to $2$ decimal places.
(b) Hence solve $7\cos\theta + 8\sin\theta = 4$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving your answers to $1$ decimal place.
(c) State the maximum value of $7\cos\theta + 8\sin\theta$, and the value of $\theta$ in $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ at which it occurs, to $2$ decimal places.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (c); questions 6, 7 and 8 build part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $R\cos(\theta-\alpha)=4 \Rightarrow \cos(\theta-\alpha)=\dfrac{4}{\sqrt{113}}$ M1 $\theta-\alpha=\pm67.90^\circ$ A1 $\theta = 116.7^\circ$ or $\theta = 340.9^\circ$.
(c) B1 maximum value $= \sqrt{113}$ B1 when $\theta=48.81^\circ$.
Trigonometry · double angle formulae
(a) Prove that $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} \equiv \tan\theta$.
(b) Hence solve $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} = \sqrt{3}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Use the addition formula $\sin(A+B)\equiv\sin A\cos B+\cos A\sin B$, with $B=A=\theta$, to show that $\sin2\theta\equiv2\sin\theta\cos\theta$.
จงใช้สูตรผลบวกมุม $\sin(A+B)\equiv\sin A\cos B+\cos A\sin B$ โดยแทน $B=A=\theta$ เพื่อแสดงว่า $\sin2\theta\equiv2\sin\theta\cos\theta$
Answershow ▾
Setting $A=B=\theta$ turns the addition formula straight into the double angle formula — every double angle identity starts life this way.
Given that $\cos2\theta\equiv\cos^2\theta-\sin^2\theta$, use $\sin^2\theta+\cos^2\theta\equiv1$ to show that $\cos2\theta\equiv2\cos^2\theta-1$.
กำหนด $\cos2\theta\equiv\cos^2\theta-\sin^2\theta$ จงใช้ $\sin^2\theta+\cos^2\theta\equiv1$ เพื่อแสดงว่า $\cos2\theta\equiv2\cos^2\theta-1$
Answershow ▾
Replace $\sin^2\theta$ with $1-\cos^2\theta$ — this particular form of $\cos2\theta$, in cosine only, is the one that will simplify $1+\cos2\theta$ later on.
$\cos 2\theta$ has three standard forms, all true. The denominator you have to simplify is $1 + \cos 2\theta$. Which form do you reach for, and what does each of the other two leave you with?
(A) $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ (B) $2\cos^2\theta - 1$ (C) $1 - 2\sin^2\theta$
$\cos 2\theta$ มีสูตรมาตรฐานสามรูป ถูกทั้งหมด · ตัวส่วนที่ต้องทำให้ง่ายขึ้นคือ $1 + \cos 2\theta$ · จะหยิบรูปไหน และอีกสองรูปจะทิ้งอะไรไว้ให้
(A) $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ (B) $2\cos^2\theta - 1$ (C) $1 - 2\sin^2\theta$
Answershow ▾
Only (B) has a $-1$ waiting to cancel the $+1$ in front of it, and what is left, $2\cos^{2}\theta$, is a single term that will divide cleanly into the $2\sin\theta\cos\theta$ on top. (C) leaves $2 - 2\sin^{2}\theta$, which factorises but into the wrong function; (A) leaves three terms and no cancellation at all. All three are correct identities, so no line of working can be marked wrong here — which is exactly why no mark is given for the choice. This one decision is the whole of part (a).มีแต่ (B) เท่านั้นที่มี $-1$ รออยู่เพื่อหักล้างกับ $+1$ ข้างหน้า และสิ่งที่เหลือคือ $2\cos^{2}\theta$ ซึ่งเป็นพจน์เดียวที่หารเข้ากับ $2\sin\theta\cos\theta$ ข้างบนได้ลงตัว · (C) เหลือ $2 - 2\sin^{2}\theta$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้แต่เป็นฟังก์ชันผิดตัว · (A) เหลือสามพจน์และไม่มีอะไรตัดกันเลย · ทั้งสามรูปเป็นเอกลักษณ์ที่ถูกต้อง จึงไม่มีบรรทัดไหนถูกตัดว่าผิดได้ นั่นแหละคือเหตุผลที่ไม่มีคะแนนให้กับการเลือก · การตัดสินใจครั้งเดียวนี้คือทั้งหมดของข้อ (a)
Solve $\tan\theta = - \sqrt{3}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
แก้สมการ $\tan\theta = - \sqrt{3}$ สำหรับ $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ โดยหาคำตอบทั้งหมด
Answershow ▾
The tangent graph repeats every $180^\circ$, so once you have one solution the next is always exactly $180^\circ$ further on.
Rewrite $\sin2\theta$ using the double angle formula for sine.
Answershow ▾
Same substitution as question 1, now inside the actual identity of the exam question.
Rewrite $1+\cos2\theta$ using $\cos2\theta\equiv2\cos^2\theta-1$.
Answershow ▾
Same substitution as question 2 — this is exactly why that particular form of $\cos2\theta$ was the useful one.
Hence show that $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} \equiv \tan\theta$.
Answershow ▾
Cancel the common factor $2\cos\theta$ top and bottom, then simplify $\sin\theta/\cos\theta$ to $\tan\theta$ — this completes part (a).
Part (a) says Prove that $\dfrac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} \equiv \tan\theta$. Which of these three counts as a proof, and what is wrong with the other two?
(A) start from the left-hand side and work down to $\tan\theta$ (B) cross-multiply to $\sin 2\theta = \tan\theta\left(1 + \cos 2\theta\right)$ and rearrange until both sides match (C) put $\theta = 30^\circ$ into both sides and show they agree
ข้อ (a) สั่งว่า Prove ว่า $\dfrac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} \equiv \tan\theta$ · ข้อไหนนับเป็นการพิสูจน์ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) เริ่มจากฝั่งซ้าย แล้วทำลงมาจนได้ $\tan\theta$ (B) คูณไขว้เป็น $\sin 2\theta = \tan\theta\left(1 + \cos 2\theta\right)$ แล้วจัดรูปจนสองฝั่งเท่ากัน (C) แทน $\theta = 30^\circ$ ทั้งสองฝั่ง แล้วแสดงว่าเท่ากัน
Answershow ▾
(C) checks one value out of infinitely many; an identity claims every value, so a single agreement proves nothing. (B) assumes the identity holds in order to derive it, which some boards accept and others do not, and which is never worth the risk when (A) costs the same three lines. Work down ONE side until it becomes the other, and the argument is airtight in any mark scheme. The M1 marks pay for the two substitutions; nothing pays for choosing a form of argument that is allowed to be called a proof.(C) ตรวจค่าเดียวจากค่าที่มีอยู่นับไม่ถ้วน · เอกลักษณ์อ้างว่าเป็นจริงทุกค่า การตรงกันครั้งเดียวจึงไม่พิสูจน์อะไร · (B) สมมติว่าเอกลักษณ์เป็นจริงเพื่อจะพิสูจน์มัน บางบอร์ดรับ บางบอร์ดไม่รับ และไม่คุ้มจะเสี่ยงเลยเมื่อ (A) ใช้บรรทัดเท่ากัน · ทำลงมาจากฝั่งเดียวจนกลายเป็นอีกฝั่ง แล้วการให้เหตุผลจะแน่นหนาในมาร์คสกีมทุกฉบับ · คะแนน M1 ให้กับการแทนสูตรสองครั้ง ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกรูปแบบการให้เหตุผลที่นับว่าเป็นการพิสูจน์ได้
Given that $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} = \sqrt{3}$, use the identity from part (a) to write down the value of $\tan\theta$.
Answershow ▾
Rewrite the left-hand side as $\tan\theta$ using the identity just proved — this is the whole reason part (a) was worth proving.
Solve $\tan\theta = \sqrt{3}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Same skill as question 3, with the value of $\tan\theta$ found in question 7 — this completes part (b).
“Giving all solutions” means deciding how many to expect before you find any. In $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, how many solutions does $\tan\theta = \sqrt{3}$ have, and how many would $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ have? Say which feature of each graph decides the count.
"giving all solutions" แปลว่าต้องตัดสินใจว่าจะมีคำตอบกี่ค่า ก่อนจะเริ่มหา · ในช่วง $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$ สมการ $\tan\theta = \sqrt{3}$ มีคำตอบกี่ค่า และ $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ มีกี่ค่า · บอกด้วยว่าลักษณะใดของกราฟแต่ละอันเป็นตัวกำหนดจำนวน
Answershow ▾
Both counts come out as two here, but for completely different reasons, and the second solution is in a different place: tan repeats, so you ADD $180^\circ$; sin is symmetric about $90^\circ$, so you SUBTRACT from $180^\circ$. Use the wrong rule and you get $120^\circ$ instead of $240^\circ$ — a number that looks like a proper answer. The calculator gives one solution and never mentions the others. The A1 is for the complete set; deciding the count first is what makes it complete, and it earns nothing.ทั้งสองกรณีได้สองคำตอบเหมือนกัน แต่ด้วยเหตุผลคนละอย่าง และคำตอบที่สองอยู่คนละที่: tan ซ้ำรอบ จึง "บวก" $180^\circ$ ส่วน sin สมมาตรรอบ $90^\circ$ จึง "ลบ" จาก $180^\circ$ · ถ้าใช้กฎผิดจะได้ $120^\circ$ แทน $240^\circ$ ซึ่งเป็นตัวเลขที่ดูเหมือนคำตอบจริง ๆ · เครื่องคิดเลขให้คำตอบเดียวและไม่เคยเอ่ยถึงค่าที่เหลือ · A1 ให้กับชุดคำตอบที่ครบ การตัดสินจำนวนก่อนคือสิ่งที่ทำให้มันครบ และมันไม่ได้คะแนน
(a) Prove that $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} \equiv \tan\theta$.
(b) Hence solve $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Same two parts and the same method as the exam question, with the smallest standard angle that still differs from the exam numbers.
(a) Prove that $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} \equiv \tan\theta$.
(b) Hence solve $\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} = \sqrt{3}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 5 and 6 build part (a); questions 7 and 8 are part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 use part (a): $\tan\theta = \sqrt{3}$ M1 principal value $\theta = 60^\circ$ A1 second solution $\theta = 60^\circ + 180^\circ = 240^\circ$ A1 both solutions: $\theta = 60^\circ, 240^\circ$.