Vectors · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เวกเตอร์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Vectors · two lines in three dimensions
Line $l_1$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$, and line $l_2$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-7\\-3\\-1\end{pmatrix}$ $+ \mu \begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$.
(a) Show that $l_1$ and $l_2$ intersect, and find the position vector of their point of intersection.
(b) Find the acute angle between $l_1$ and $l_2$, giving your answer correct to 1 decimal place.
Line $l_1$ has equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-2\\4\\-5\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$, and line $l_2$ has equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-3\\-7\\-6\end{pmatrix}$ $+ \mu \begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$. Equate the $x$ and $y$ components of $l_1$ and $l_2$, and solve the two equations simultaneously to find $\lambda$ and $\mu$.
เส้นตรง $l_1$: $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-2\\4\\-5\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$ และ $l_2$: $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-3\\-7\\-6\end{pmatrix}$ $+ \mu \begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$ จงให้องค์ประกอบ $x$ และ $y$ ของ $l_1$ กับ $l_2$ เท่ากัน แล้วแก้สมการหา $\lambda$ และ $\mu$
Answershow ▾
Two equations in two unknowns: write out the $x$ components equal, and the $y$ components equal, then solve them together (elimination or substitution).
For the two lines in question 1, $\lambda = 1$ and $\mu = 3$ solve the $x$ and $y$ equations. Substitute these into the $z$ component of $l_1$ and of $l_2$ separately. Do the lines intersect, and if so, at which point?
แทน $\lambda = 1$ และ $\mu = 3$ ในองค์ประกอบ $z$ ของ $l_1$ และ $l_2$ แยกกัน เส้นตรงทั้งสองตัดกันหรือไม่ และถ้าตัดกัน ตัดกันที่จุดใด
Answershow ▾
This check is the step students most often skip. Solving $x$ and $y$ only proves the lines meet in the $xy$-projection — the $z$ components must ALSO agree, or the lines only look like they cross and are actually skew.
Find the acute angle between the vectors $\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$, giving your answer correct to 1 decimal place.
จงหามุมแหลมระหว่างเวกเตอร์ $\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$ ให้คำตอบถูกต้อง 1 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
$\cos\theta = \dfrac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ — the modulus sign on the scalar product is what forces the ACUTE angle, even if the raw scalar product is negative.
Three components, two unknowns. Which TWO of the three component equations do you solve, and what job is the third one kept back for? Say what would go wrong if you solved all three at once from the start.
มีสามองค์ประกอบ แต่มีตัวไม่ทราบค่าสองตัว · จะแก้สมการองค์ประกอบไหนสองอัน และเก็บอันที่สามไว้ทำอะไร · บอกด้วยว่าถ้าแก้ทั้งสามพร้อมกันตั้งแต่ต้นจะเกิดอะไรขึ้น
Answershow ▾
Two unknowns need two equations, so the third is spare — and spare is exactly what makes it a test. In three dimensions two lines usually miss each other; solving $x$ and $y$ only proves their shadows on the floor cross. Part (a) says “show that they intersect”, so the third component is the show. Deciding in advance that it is a check rather than a fourth thing to solve is what stops a student solving $z$ for a new $\lambda$ and getting two different answers.ตัวไม่ทราบค่าสองตัวใช้สมการสองสมการ อันที่สามจึงเป็นส่วนเกิน และความเป็นส่วนเกินนั่นแหละที่ทำให้มันเป็นบททดสอบ · ในสามมิติ เส้นตรงสองเส้นมักไม่พบกัน · การแก้เฉพาะ $x$ กับ $y$ พิสูจน์ได้แค่ว่าเงาของมันบนพื้นตัดกัน · ข้อ (a) สั่งว่า "show that they intersect" องค์ประกอบที่สามจึงคือการแสดงนั้น · การตัดสินใจล่วงหน้าว่ามันเป็นการตรวจ ไม่ใช่สมการที่สี่ที่ต้องแก้ คือสิ่งที่กันไม่ให้นักเรียนแก้ $z$ หา $\lambda$ ตัวใหม่แล้วได้คำตอบสองค่า
Line $l_1$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$, and line $l_2$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-7\\-3\\-1\end{pmatrix}$ $+ \mu \begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$. Equate the $x$ and $y$ components, and solve for $\lambda$ and $\mu$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real coefficients from the exam question.
Using $\lambda = -2$ and $\mu = -3$, substitute into the $z$ component of $l_1$ and of $l_2$ to check whether $l_1$ $= \begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$ and $l_2$ $= \begin{pmatrix}-7\\-3\\-1\end{pmatrix}$ $+ \mu \begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$ actually intersect.
Answershow ▾
Same move as question 2, with the real numbers. This is the mark students most often lose in the exam question.
The $z$ components agree. Write the sentence that turns that agreement into the answer to “show that $l_1$ and $l_2$ intersect”, then say what the sentence would have had to be instead if they had disagreed — and what extra fact you would need before you could use the word “skew”.
องค์ประกอบ $z$ ตรงกัน · จงเขียนประโยคที่เปลี่ยนการตรงกันนี้ให้เป็นคำตอบของ "show that $l_1$ and $l_2$ intersect" · แล้วบอกว่าถ้าไม่ตรงกัน ประโยคนั้นต้องเปลี่ยนเป็นอะไร และต้องรู้ข้อเท็จจริงเพิ่มอะไรก่อนจะใช้คำว่า "skew" ได้
Answershow ▾
“Do not intersect” and “skew” are not the same claim: parallel lines also fail to intersect. Skew means neither meeting NOR parallel, so it needs the extra observation that $\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$ is not a multiple of $\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$. Question 8 is built on exactly this. The A1 pays for the point of intersection; nothing pays for knowing which of the two words the situation deserves."ไม่ตัดกัน" กับ "skew" ไม่ใช่ข้อความเดียวกัน เพราะเส้นขนานก็ไม่ตัดกันเหมือนกัน · skew แปลว่าทั้งไม่พบกันและไม่ขนาน จึงต้องมีข้อสังเกตเพิ่มว่า $\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$ ไม่ใช่พหุคูณของ $\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$ · ข้อ 8 สร้างขึ้นบนเรื่องนี้พอดี · A1 ให้กับจุดตัด ไม่มีคะแนนให้กับการรู้ว่าสถานการณ์นี้ควรใช้คำไหนในสองคำ
Find the acute angle between $\mathbf{d}_1$ $= \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$ and $\mathbf{d}_2$ $= \begin{pmatrix}$ $-2\\-2\\1\end{pmatrix}$, giving your answer correct to 1 decimal place.
Answershow ▾
Same move as question 3. This is part (b) of the exam question — the direction vectors, never the position vectors, go into the scalar product.
Part (b) asks for the acute angle. Four vectors are on the page: two position vectors and two direction vectors. Which pair goes into the scalar product, and which of these two formulas gives the acute angle?
(A) $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ (B) $\cos\theta = \dfrac{\left|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\right|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$
ข้อ (b) ถามมุม แหลม · บนกระดาษมีเวกเตอร์สี่ตัว: เวกเตอร์ตำแหน่งสองตัวและเวกเตอร์บอกทิศสองตัว · คู่ไหนใส่ลงในผลคูณสเกลาร์ และสูตรไหนให้มุมแหลม
(A) $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ (B) $\cos\theta = \dfrac{\left|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\right|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$
Answershow ▾
A line has no position as far as an angle is concerned: slide either line along itself and the angle does not change, which is why only the direction vectors matter. The modulus bars in (B) are what force the acute answer — a negative scalar product would otherwise give the obtuse partner, $180^\circ$ minus the one wanted. Here the product is already positive, so both formulas happen to agree and the decision leaves no trace. On the next question it will not. The A1 is for $57.7^\circ$.สำหรับเรื่องมุมแล้ว เส้นตรงไม่มีตำแหน่ง · เลื่อนเส้นไปตามตัวเองแล้วมุมไม่เปลี่ยน จึงมีแต่เวกเตอร์บอกทิศเท่านั้นที่มีความหมาย · ขีดค่าสัมบูรณ์ใน (B) คือสิ่งที่บังคับให้ได้มุมแหลม เพราะผลคูณสเกลาร์ที่ติดลบจะให้มุมป้านซึ่งเป็น $180^\circ$ ลบมุมที่ต้องการ · ที่นี่ผลคูณเป็นบวกอยู่แล้ว สองสูตรจึงบังเอิญให้ผลตรงกัน และการตัดสินใจนี้ไม่ทิ้งร่องรอยไว้เลย · ข้อสอบข้อหน้าจะไม่เป็นแบบนั้น · A1 ให้กับ $57.7^\circ$
Line $l_1$ has equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$, and line $l_2$ has equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-7\\-3\\-1\end{pmatrix}$ $+ \mu \begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$. Show that $l_1$ and $l_2$ intersect, and find the position vector of the point of intersection.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 chained into one answer: solve, then check. This is part (a) of the exam question in full.
Line $l_3$ has the same direction as $l_2$, but a different point: $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-7\\-3\\1\end{pmatrix}$ $+ \mu \begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$. Determine whether $l_1$ and $l_3$ intersect.
Answershow ▾
Only the constant term changed, so the $x, y$ equations solve exactly as before — but that is exactly why the third-component check matters: here it fails, and the correct conclusion is 'skew', not 'intersect'.
Line $l_1$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$, and line $l_2$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ $+ \mu \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
(a) Show that $l_1$ and $l_2$ intersect, and find the point of intersection.
(b) Find the acute angle between $l_1$ and $l_2$, to 1 decimal place.
Answershow ▾
The exact same two questions as question 10, with easier numbers throughout.
Line $l_1$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$, and line $l_2$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-7\\-3\\-1\end{pmatrix}$ $+ \mu \begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$.
(a) Show that $l_1$ and $l_2$ intersect, and find the position vector of their point of intersection.
(b) Find the acute angle between $l_1$ and $l_2$, giving your answer correct to 1 decimal place.
Answershow ▾
8 marks. Questions 4 and 7 build part (a) (with question 5 supplying the critical check); question 6 is part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Vectors · the perpendicular from a point to a line
The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}$. The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$.
(a) Find the position vector of the point $N$ on $l$ such that $PN$ is perpendicular to $l$.
(b) Find the exact shortest distance from $P$ to $l$.
(c) Find the position vector of the point $P'$, the reflection of $P$ in the line $l$.
The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}2\\11\\-7\end{pmatrix}$. The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}3\\3\\-3\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}$. A general point on $l$ is $N$ $= \begin{pmatrix}3\\3\\-3\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}$. Form $\overrightarrow{PN}$ in terms of $\lambda$, set $\overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d} = 0$, and solve for $\lambda$.
จุด $P$ มีเวกเตอร์ตำแหน่ง $\begin{pmatrix}2\\11\\-7\end{pmatrix}$ เส้นตรง $l$: $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}3\\3\\-3\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}$ จงตั้ง $\overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d} = 0$ แล้ว แก้หา $\lambda$
Answershow ▾
$\overrightarrow{PN} = N - P$. The perpendicularity condition turns into one linear equation in $\lambda$ once you expand the dot product — solve it like any other linear equation.
$N = \begin{pmatrix}-1\\9\\-7\end{pmatrix}$ and $P = \begin{pmatrix}2\\11\\-7\end{pmatrix}$. Find the exact distance $PN$.
$N = \begin{pmatrix}-1\\9\\-7\end{pmatrix}$ และ $P = \begin{pmatrix}2\\11\\-7\end{pmatrix}$ จงหาระยะทาง $PN$ ในรูปที่แน่นอน
Answershow ▾
Subtract the position vectors component by component, then take the square root of the sum of the squares — leave it as a surd unless told to round.
$N$ is the midpoint of $P = \begin{pmatrix}2\\11\\-7\end{pmatrix}$ and its reflection $P'$ in a line through $N$. Given $N = \begin{pmatrix}-1\\9\\-7\end{pmatrix}$, find $P'$.
$N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $P = \begin{pmatrix}2\\11\\-7\end{pmatrix}$ และภาพสะท้อน $P'$ กำหนด $N = \begin{pmatrix}-1\\9\\-7\end{pmatrix}$ จงหา $P'$
Answershow ▾
$N = \dfrac{1}{2}(P + P')$, so $P' = 2N - P$. Double $N$ and subtract $P$, component by component.
$N$ is on the line and $P$ is not. Which of these three do you write for a general point $N$, and what is wrong with the other two?
(A) $N = \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ (B) $N$ $= \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ $+ \lambda\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$ (C) $N = \lambda\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$
Then say how many unknown numbers $N$ contains.
$N$ อยู่บนเส้นตรง ส่วน $P$ ไม่อยู่ · จะเขียนจุดทั่วไป $N$ เป็นข้อไหน และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $N = \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ (B) $N$ $= \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ $+ \lambda\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$ (C) $N = \lambda\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$
แล้วบอกว่า $N$ มีจำนวนที่ไม่ทราบค่าอยู่กี่ตัว
Answershow ▾
(A) is one particular point of the line, not a general one, and pins $N$ before you have any reason to. (C) is a line through the ORIGIN with the same direction — parallel to $l$, but not $l$. The whole method depends on $N$ carrying exactly one unknown, because the perpendicularity condition supplies exactly one equation. Count them and the plan is obvious before any algebra. The M1 pays for the dot product being set to zero; nothing pays for writing $N$ in the only form that makes that possible.(A) คือจุดหนึ่งจุดบนเส้น ไม่ใช่จุดทั่วไป และตรึง $N$ ไว้ทั้งที่ยังไม่มีเหตุผล · (C) คือเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดและมีทิศเดียวกัน ขนานกับ $l$ แต่ไม่ใช่ $l$ · วิธีทั้งหมดขึ้นกับการที่ $N$ มีตัวไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียว เพราะเงื่อนไขตั้งฉากให้สมการมาเพียงสมการเดียว · นับดูแล้วแผนจะชัดก่อนลงมือคิดพีชคณิต · M1 ให้กับการตั้งผลคูณสเกลาร์เท่ากับศูนย์ ไม่มีคะแนนให้กับการเขียน $N$ ในรูปเดียวที่ทำให้ทำอย่างนั้นได้
The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}$. The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$. Find the position vector of the point $N$ on $l$ such that $PN$ is perpendicular to $l$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real coefficients. This is part (a).
$N = \begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}$ and $P = \begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}$. Find the exact shortest distance from $P$ to the line $l$.
Answershow ▾
Same move as question 2. Since $N$ is the FOOT of the perpendicular, $PN$ already IS the shortest distance from $P$ to $l$ — this is part (b).
Part (b) asks for the shortest distance from $P$ to $l$, not the distance from $P$ to some point of $l$. Explain in one sentence why $PN$ — and only $PN$ — is that shortest distance, and say what $|PA|$ would be for any other point $A$ on $l$.
ข้อ (b) ถามระยะทาง ที่สั้นที่สุด จาก $P$ ถึง $l$ ไม่ใช่ระยะจาก $P$ ถึงจุดใดจุดหนึ่งบน $l$ · จงอธิบายในหนึ่งประโยคว่าทำไม $PN$ และเฉพาะ $PN$ เท่านั้น ที่เป็นระยะสั้นที่สุด และบอกว่า $|PA|$ สำหรับจุด $A$ อื่นบน $l$ จะเป็นอย่างไร
Answershow ▾
$PNA$ is right-angled at $N$, so Pythagoras makes $PA$ the hypotenuse and $PN$ a leg — a leg is always shorter. That is the whole reason part (a) had to come first: the question is not asking for a distance, it is asking for the smallest of infinitely many, and only the foot of the perpendicular delivers it. The A1 pays for $\sqrt{5}$; the sentence explaining why it is the shortest is worth nothing and is the reason the method exists.สามเหลี่ยม $PNA$ มีมุมฉากที่ $N$ พีทาโกรัสจึงทำให้ $PA$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และ $PN$ เป็นด้านประกอบ ซึ่งสั้นกว่าเสมอ · นี่คือเหตุผลทั้งหมดที่ข้อ (a) ต้องมาก่อน: โจทย์ไม่ได้ถามระยะทาง แต่ถามระยะที่สั้นที่สุดจากระยะนับไม่ถ้วน และมีแต่เท้าของเส้นตั้งฉากเท่านั้นที่ให้ได้ · A1 ให้กับ $\sqrt{5}$ ประโยคที่อธิบายว่าทำไมมันสั้นที่สุดไม่มีคะแนน และเป็นเหตุผลที่วิธีนี้มีอยู่
$N = \begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}$ is the foot of the perpendicular from $P = \begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}$ to the line $l$. Find the position vector of $P'$, the reflection of $P$ in $l$.
Answershow ▾
Same move as question 3. This is part (c).
For the reflection, $N$ is the midpoint of $P$ and $P'$. Which of these three rearrangements of $N = \tfrac{1}{2}(P + P')$ gives $P'$, and what does each of the other two produce?
(A) $P' = 2N - P$ (B) $P' = N - P$ (C) $P' = 2(N - P)$
Check your answer by confirming $|NP'| = |PN|$.
สำหรับการสะท้อน $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $P$ กับ $P'$ · การจัดรูปของ $N = \tfrac{1}{2}(P + P')$ ข้อไหนให้ $P'$ และอีกสองข้อให้อะไร
(A) $P' = 2N - P$ (B) $P' = N - P$ (C) $P' = 2(N - P)$
ตรวจคำตอบโดยยืนยันว่า $|NP'| = |PN|$
Answershow ▾
A position vector and a displacement vector are written the same way and mean different things, and this is the line where mixing them up is easiest. $\overrightarrow{PP\,\prime} = 2\overrightarrow{PN}$ is true and is a displacement; adding it to $P$ gives the position, which is $2N - P$ again. The check is free: $P\,\prime$ must be the same distance from $N$ as $P$ is, and here both are $\sqrt{5}$. The A1 is for the position vector of $P\,\prime$, and nothing pays for telling the two kinds of vector apart.เวกเตอร์ตำแหน่งกับเวกเตอร์การกระจัดเขียนเหมือนกันแต่ความหมายต่างกัน และบรรทัดนี้คือจุดที่สับสนง่ายที่สุด · $\overrightarrow{PP\,\prime} = 2\overrightarrow{PN}$ เป็นจริงและเป็นการกระจัด · เอาไปบวกกับ $P$ จะได้ตำแหน่ง ซึ่งก็คือ $2N - P$ อีกครั้ง · การตรวจไม่เสียอะไร: $P\,\prime$ ต้องอยู่ห่างจาก $N$ เท่ากับ $P$ และที่นี่ทั้งคู่เป็น $\sqrt{5}$ · A1 ให้กับเวกเตอร์ตำแหน่งของ $P\,\prime$ และไม่มีคะแนนให้กับการแยกเวกเตอร์สองชนิดออกจากกัน
The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}$. The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$. Find $N$ on $l$ such that $PN$ is perpendicular to $l$, and hence find the exact shortest distance from $P$ to $l$.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 chained: find $N$ first, then use it immediately. This is parts (a) and (b) together.
$N = \begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}$ is claimed to be the foot of the perpendicular from $P = \begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}$ to $l$, which has direction $\mathbf{d} = \begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$. Verify this by showing $\overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d} = 0$ exactly, then find the reflection $P'$ of $P$ in $l$.
Answershow ▾
The check first, exactly as an examiner would want it: a genuine claim that $N$ is the foot only stands once the dot product is shown to be exactly zero — not just assumed from the working in question 4.
The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$. The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.
(a) Find $N$ on $l$ such that $PN$ is perpendicular to $l$.
(b) Find the exact shortest distance from $P$ to $l$.
(c) Find $P'$, the reflection of $P$ in $l$.
Answershow ▾
The exact same three parts as question 10, with easier numbers throughout.
The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}$. The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$.
(a) Find the position vector of the point $N$ on $l$ such that $PN$ is perpendicular to $l$.
(b) Find the exact shortest distance from $P$ to $l$.
(c) Find the position vector of the point $P'$, the reflection of $P$ in the line $l$.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two lines: skew, then the angle เส้นตรงสองเส้น: ไม่ขนานไม่ตัดกัน แล้วหามุม
Two lines have equations$$r=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\quad\text{and}\quad r=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}.$$
(a) Show that the lines are skew.
(b) Find the acute angle between the directions of the two lines.
เส้นตรงสองเส้นมีสมการ$$r=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\quad\text{และ}\quad r=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$$
(ก) จงแสดงว่าเส้นตรงทั้งสองเบี้ยวกัน (skew)
(ข) จงหามุมแหลม (acute angle) ระหว่างทิศทางของเส้นตรงทั้งสอง
Write the general point of the line $r=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$.
จงเขียนจุดทั่วไปของเส้นตรง $r=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$
Answershow ▾
Add $s$ times the direction vector to the fixed point, one component at a time.บวกเวกเตอร์ทิศทางคูณ $s$ เข้ากับจุดตั้งต้น ทีละองค์ประกอบ
Find the scalar product of $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$.
จงหาผลคูณสเกลาร์ของ $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$
Answershow ▾
Multiply matching components, then add the three results.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน แล้วบวกผลคูณทั้งสามเข้าด้วยกัน
Is $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ a scalar multiple of $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$?
$\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ เป็นเวกเตอร์ทิศทางเดียวกับ $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ คูณด้วยตัวเลขคงที่หรือไม่
Answershow ▾
Compare one pair of matching components at a time; one mismatch is enough.เทียบองค์ประกอบที่ตรงกันทีละคู่ พบไม่เท่ากันคู่เดียวก็เพียงพอ
The general points of $l_1$ and $l_2$ give three equations (one per coordinate) but only two unknowns, $s$ and $t$. Pick the correct way to test whether the lines meet.
(A) solve two of the equations for $s$ and $t$, then check whether the third equation also holds
(B) add all three equations together and solve the result for one combined unknown
(C) compare only the direction vectors $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$, and conclude the lines meet because they are not parallel
จุดทั่วไปของ $l_1$ และ $l_2$ ให้สามสมการ (ตัวละพิกัด) แต่มีตัวไม่รู้ค่าเพียงสองตัวคือ $s$ และ $t$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการตรวจว่าเส้นตรงทั้งสองตัดกันหรือไม่
(A) แก้สองในสามสมการหา $s$ และ $t$ แล้วตรวจว่าสมการที่สามเป็นจริงด้วยหรือไม่
(B) บวกสามสมการเข้าด้วยกัน แล้วแก้ผลบวกนั้นหาตัวไม่รู้ค่ารวมตัวเดียว
(C) เทียบแค่เวกเตอร์ทิศทาง $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ กับ $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ แล้วสรุปว่าเส้นตรงตัดกันเพราะไม่ขนานกัน
Answershow ▾
Three equations in two unknowns is one too many: solving all three at once (B) proves nothing, and comparing directions alone (C) only rules out the lines being parallel - it says nothing about whether they actually cross.สามสมการกับตัวไม่รู้ค่าสองตัวมีสมการเกินมาหนึ่งสมการ · การแก้สามสมการพร้อมกัน (B) ไม่พิสูจน์อะไรเลย · การเทียบแค่ทิศทาง (C) บอกได้แค่ว่าไม่ขนานกัน แต่ไม่ได้บอกว่าตัดกันจริงหรือไม่
Equate the first two coordinates of the general points of $l_1$ and $l_2$, and solve for $s$ and $t$.
จงให้สองพิกัดแรกของจุดทั่วไปของ $l_1$ และ $l_2$ เท่ากัน แล้วแก้หา $s$ และ $t$
Answershow ▾
Rearrange each equation for $t$, then set the two results equal to find $s$.จัดแต่ละสมการให้อยู่ในรูปของ $t$ แล้วให้สองผลลัพธ์เท่ากันเพื่อหา $s$
Substitute $s=-1$ and $t=-3$ into the third coordinates, $2+3s$ and $4+4t$. Do the lines meet?
จงแทน $s=-1$ และ $t=-3$ ในพิกัดที่สาม คือ $2+3s$ และ $4+4t$ เส้นตรงทั้งสองตัดกันหรือไม่
Answershow ▾
Two matching coordinates are not enough; all three must agree at the same point.พิกัดที่ตรงกันสองค่าไม่พอ ต้องตรงกันทั้งสามค่าที่จุดเดียวกัน
Show that $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ are not parallel, and state what this means for $l_1$ and $l_2$.
จงแสดงว่า $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ ไม่ขนานกัน แล้วสรุปว่าเส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ เป็นอย่างไร
Answershow ▾
No common point and no shared direction, both at once, is what the word describes.ไม่มีจุดร่วม และไม่มีทิศทางร่วมกัน สองอย่างนี้พร้อมกันคือสิ่งที่คำนี้อธิบาย
Use the direction vectors $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ to find the acute angle between $l_1$ and $l_2$.
จงใช้เวกเตอร์ทิศทาง $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ หามุมแหลมระหว่าง $l_1$ และ $l_2$
Answershow ▾
Divide the scalar product by the product of the two lengths, then take $\arccos$.หารผลคูณสเกลาร์ด้วยผลคูณของขนาดทั้งสอง แล้วหา $\arccos$
If $-\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ had been used in place of $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$, would the final angle change?
ถ้าใช้ $-\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ แทน $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ มุมที่ได้จะเปลี่ยนไปหรือไม่
Answershow ▾
A line has two opposite direction vectors; the acute angle between two lines never depends on which one you pick.เส้นตรงหนึ่งเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางตรงข้ามได้สองแบบ แต่มุมแหลมระหว่างเส้นตรงสองเส้นไม่ขึ้นกับว่าเลือกแบบไหน
Lines $l_1: r=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ and $l_2: r=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$. Show that $l_1$ and $l_2$ do not meet and are not parallel, then find the acute angle between their directions.
เส้นตรง $l_1: r=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ และ $l_2: r=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ จงแสดงว่าเส้นตรงทั้งสองไม่ตัดกันและไม่ขนานกัน แล้วหามุมแหลมระหว่างทิศทางของเส้นตรงทั้งสอง
Answershow ▾
Same three moves: equate two coordinates, check the third, then the angle from the scalar product.สามขั้นเดิม: ให้สองพิกัดเท่ากัน ตรวจพิกัดที่สาม แล้วหามุมจากผลคูณสเกลาร์
Two lines have equations$$r=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\quad\text{and}\quad r=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}.$$
(a) Show that the lines are skew.
(b) Find the acute angle between the directions of the two lines.
เส้นตรงสองเส้นมีสมการ$$r=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\quad\text{และ}\quad r=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$$
(ก) จงแสดงว่าเส้นตรงทั้งสองเบี้ยวกัน (skew)
(ข) จงหามุมแหลม (acute angle) ระหว่างทิศทางของเส้นตรงทั้งสอง
Answershow ▾
8 marks: five for showing skew, three for the angle.8 คะแนน: ห้าคะแนนสำหรับการแสดงว่าไม่ขนานไม่ตัดกัน สามคะแนนสำหรับมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A rectangle proved from three vectors สี่เหลี่ยมมุมฉากที่พิสูจน์จากสามเวกเตอร์
Relative to the origin $O$, the position vectors of the points $A$, $B$ and $C$ are given by$$\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OB}=8\mathbf{i}+2\mathbf{j}-6\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-7\mathbf{k}.$$
(a) Show that $OABC$ is a rectangle.
(b) Use a scalar product to find the acute angle between the diagonals of $OABC$.
เทียบกับจุดกำเนิด (origin) $O$ จุด $A$, $B$ และ $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง (position vector)$$\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OB}=8\mathbf{i}+2\mathbf{j}-6\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-7\mathbf{k}$$
(ก) จงแสดงว่า $OABC$ เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangle)
(ข) จงใช้สเกลาร์โปรดักต์ (scalar product) หามุมแหลมระหว่างเส้นทแยงมุมของ $OABC$
Find the scalar product of $\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$ and $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-7\mathbf{k}$.
จงหาผลคูณสเกลาร์ของ $\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$ และ $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-7\mathbf{k}$
Answershow ▾
Multiply matching components, then add the three results.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน แล้วบวกผลคูณทั้งสามเข้าด้วยกัน
$\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$ and $\overrightarrow{OB}=8\mathbf{i}+2\mathbf{j}-6\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$ และ $\overrightarrow{OB}=8\mathbf{i}+2\mathbf{j}-6\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, the end point minus the start point.$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ คือจุดปลายลบจุดตั้งต้น
$\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$ and $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-7\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$ และ $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-7\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{AC}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$, the end point minus the start point.$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$ คือจุดปลายลบจุดตั้งต้น
To prove $OABC$ is a rectangle, pick the correct pair of facts to show.
(A) one pair of adjacent sides, $\overrightarrow{OA}$ and $\overrightarrow{OC}$, is perpendicular, AND the opposite sides $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{OC}$ are equal
(B) all four sides have the same length
(C) the two diagonals $\overrightarrow{OB}$ and $\overrightarrow{AC}$ have the same length
จงเลือกคู่ข้อเท็จจริงที่ถูกต้องสำหรับพิสูจน์ว่า $OABC$ เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก
(A) ด้านประชิดคู่หนึ่งคือ $\overrightarrow{OA}$ กับ $\overrightarrow{OC}$ ตั้งฉากกัน และด้านตรงข้ามคือ $\overrightarrow{AB}$ กับ $\overrightarrow{OC}$ เท่ากัน
(B) ด้านทั้งสี่ยาวเท่ากันทุกด้าน
(C) เส้นทแยงมุมทั้งสองคือ $\overrightarrow{OB}$ กับ $\overrightarrow{AC}$ ยาวเท่ากัน
Answershow ▾
(B) proves a rhombus, not necessarily a right angle. (C) equal diagonals alone do not prove a rectangle unless the shape is already known to be a parallelogram - here it is not given, it must be shown.(B) พิสูจน์ได้แค่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ไม่ได้มุมฉาก · (C) เส้นทแยงมุมเท่ากันอย่างเดียว พิสูจน์สี่เหลี่ยมมุมฉากไม่ได้ นอกจากจะรู้ก่อนแล้วว่าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งในที่นี้ยังไม่รู้ ต้องพิสูจน์เอง
$\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-7\mathbf{k}$. Use a scalar product to show $\overrightarrow{OA}$ and $\overrightarrow{OC}$ are perpendicular.
$\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-7\mathbf{k}$ จงใช้ผลคูณสเกลาร์แสดงว่า $\overrightarrow{OA}$ และ $\overrightarrow{OC}$ ตั้งฉากกัน
Answershow ▾
A scalar product of zero means the two vectors are perpendicular.ผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์ แปลว่าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน
Find $\overrightarrow{AB}$ and compare it with $\overrightarrow{OC}$. What does this show about $OABC$?
จงหา $\overrightarrow{AB}$ แล้วเทียบกับ $\overrightarrow{OC}$ สิ่งนี้แสดงว่า $OABC$ เป็นรูปอะไร
Answershow ▾
Equal opposite sides, together with the right angle at $O$, make $OABC$ a rectangle.ด้านตรงข้ามเท่ากัน รวมกับมุมฉากที่ $O$ ทำให้ $OABC$ เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก
Find $\overrightarrow{AC}$. This, with $\overrightarrow{OB}$, gives the two diagonals of $OABC$.
จงหา $\overrightarrow{AC}$ เวกเตอร์นี้คู่กับ $\overrightarrow{OB}$ คือเส้นทแยงมุมทั้งสองของ $OABC$
Answershow ▾
Same subtraction as before, now from $A$ to $C$.ลบแบบเดียวกับก่อนหน้า คราวนี้จาก $A$ ไปยัง $C$
$\overrightarrow{OB}=8\mathbf{i}+2\mathbf{j}-6\mathbf{k}$ and $\overrightarrow{AC}=-2\mathbf{i}+6\mathbf{j}-8\mathbf{k}$. Use a scalar product to find the acute angle between them.
$\overrightarrow{OB}=8\mathbf{i}+2\mathbf{j}-6\mathbf{k}$ และ $\overrightarrow{AC}=-2\mathbf{i}+6\mathbf{j}-8\mathbf{k}$ จงใช้ผลคูณสเกลาร์หามุมแหลมระหว่างทั้งสอง
Answershow ▾
Divide the scalar product by the product of the two lengths, then take $\arccos$.หารผลคูณสเกลาร์ด้วยผลคูณของขนาดทั้งสอง แล้วหา $\arccos$
For a parallelogram, the two diagonals bisect each other. Check this: compare the midpoint of $O$ and $B$ with the midpoint of $A$ and $C$.
ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นทแยงมุมสองเส้นแบ่งครึ่งกันและกัน จงตรวจ: เทียบจุดกึ่งกลางของ $O$ กับ $B$ กับจุดกึ่งกลางของ $A$ กับ $C$
Answershow ▾
Both midpoints land on the same point, confirming $OABC$ really is a parallelogram.จุดกึ่งกลางทั้งสองตรงกัน ยืนยันว่า $OABC$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานจริง
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}$. Show $OABC$ is a rectangle, then find the acute angle between its diagonals.
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ จงแสดงว่า $OABC$ เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก แล้วหามุมแหลมระหว่างเส้นทแยงมุม
Answershow ▾
Same four moves: right angle, equal sides, the diagonal, then the angle.สี่ขั้นเดิม: มุมฉาก ด้านเท่ากัน เส้นทแยงมุม แล้วมุม
Relative to the origin $O$, the position vectors of the points $A$, $B$ and $C$ are given by$$\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OB}=8\mathbf{i}+2\mathbf{j}-6\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-7\mathbf{k}.$$
(a) Show that $OABC$ is a rectangle.
(b) Use a scalar product to find the acute angle between the diagonals of $OABC$.
เทียบกับจุดกำเนิด (origin) $O$ จุด $A$, $B$ และ $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง (position vector)$$\overrightarrow{OA}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OB}=8\mathbf{i}+2\mathbf{j}-6\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-7\mathbf{k}$$
(ก) จงแสดงว่า $OABC$ เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangle)
(ข) จงใช้สเกลาร์โปรดักต์ (scalar product) หามุมแหลมระหว่างเส้นทแยงมุมของ $OABC$
Answershow ▾
8 marks: four for the rectangle, four for the angle.8 คะแนน: สี่คะแนนสำหรับการพิสูจน์สี่เหลี่ยมมุมฉาก สี่คะแนนสำหรับมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The fourth corner, then the exact area มุมที่สี่ของรูป แล้วหาพื้นที่แบบแม่นตรง
Relative to the origin $O$, the points $A$, $B$ and $C$ have position vectors given by$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}.$$The quadrilateral $ABCD$ is a parallelogram.
(a) Find the position vector of $D$.
(b) The angle between $BA$ and $BC$ is $\theta$. Find the exact value of $\cos\theta$.
(c) Hence find the area of $ABCD$, giving your answer in the form $p\sqrt{q}$, where $p$ and $q$ are integers.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$, $B$ และ $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$$รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelogram)
(ก) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $D$
(ข) มุมระหว่าง $BA$ กับ $BC$ คือ $\theta$ จงหาค่า $\cos\theta$ แบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม)
(ค) จากนั้นจงหาพื้นที่ของ $ABCD$ โดยตอบในรูป $p\sqrt{q}$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็ม
$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$ จงหา $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
End point minus start point, one component at a time.จุดปลายลบจุดตั้งต้น ทีละองค์ประกอบ
In parallelogram $ABCD$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Given $\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-6\end{pmatrix}$, find $\overrightarrow{OD}$.
ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน $ABCD$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ กำหนด $\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-6\end{pmatrix}$ จงหา $\overrightarrow{OD}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}$, and $\overrightarrow{AD}$ is the given side.$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}$ และ $\overrightarrow{AD}$ คือด้านที่กำหนดมาให้
$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-6\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-6\end{pmatrix}$ จงหา $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
Multiply matching components, then add the three results.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน แล้วบวกผลคูณทั้งสามเข้าด้วยกัน
$ABCD$ is a parallelogram and $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ are known. Pick the correct way to find $\overrightarrow{OD}$.
(A) $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}$
(B) $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$
(C) $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BA}$
$ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และรู้ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการหา $\overrightarrow{OD}$
(A) $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}$
(B) $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$
(C) $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BA}$
Answershow ▾
$AD$ is parallel and equal to $BC$ - the only relation that fixes $D$. (B) has no geometric relation behind it; (C) pairs $D$ with the wrong equal side.$AD$ ขนานและยาวเท่า $BC$ เป็นความสัมพันธ์เดียวที่กำหนดจุด $D$ ได้ · (B) ไม่มีความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตรองรับ · (C) จับคู่ $D$ กับด้านที่เท่ากันผิดคู่
$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$ จงหา $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
End point minus start point.จุดปลายลบจุดตั้งต้น
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$. Use $\overrightarrow{BC}$ to find $\overrightarrow{OD}$.
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$ จงใช้ $\overrightarrow{BC}$ หา $\overrightarrow{OD}$
Answershow ▾
Add $\overrightarrow{BC}$ to $\overrightarrow{OA}$.บวก $\overrightarrow{BC}$ เข้ากับ $\overrightarrow{OA}$
$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-6\end{pmatrix}$. Find the exact value of $\cos\theta$, where $\theta$ is the angle between $BA$ and $BC$.
$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-6\end{pmatrix}$ จงหาค่า $\cos\theta$ แบบแม่นตรง เมื่อ $\theta$ คือมุมระหว่าง $BA$ กับ $BC$
Answershow ▾
Divide the scalar product by the product of the two lengths; keep the surd, do not round.หารผลคูณสเกลาร์ด้วยผลคูณของขนาดทั้งสอง เก็บค่าในรูปรากที่สอง ไม่ปัดทศนิยม
$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{62}}{31}$. Find the exact value of $\sin\theta$.
$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{62}}{31}$ จงหาค่า $\sin\theta$ แบบแม่นตรง
Answershow ▾
Use $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$, and simplify under the root.ใช้ $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ แล้วจัดรูปในเครื่องหมายราก
$|\overrightarrow{BA}|=3$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{62}$, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{58}}{\sqrt{62}}$. Find the area of $ABCD$ in the form $p\sqrt{q}$.
$|\overrightarrow{BA}|=3$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{62}$, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{58}}{\sqrt{62}}$ จงหาพื้นที่ของ $ABCD$ ในรูป $p\sqrt{q}$
Answershow ▾
Area of a parallelogram: side $\times$ side $\times\sin\theta$; the $\sqrt{62}$ cancels.พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน: ด้าน $\times$ ด้าน $\times\sin\theta$ ตัว $\sqrt{62}$ จะตัดกัน
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}6\\3\\5\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}5\\1\\3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}8\\5\\3\end{pmatrix}$. $ABCD$ is a parallelogram. Find $\overrightarrow{OD}$, the exact value of $\cos\theta$ for angle $ABC$, and the area of $ABCD$ in the form $p\sqrt{q}$.
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}6\\3\\5\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}5\\1\\3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}8\\5\\3\end{pmatrix}$ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน จงหา $\overrightarrow{OD}$ ค่า $\cos\theta$ ของมุม $ABC$ แบบแม่นตรง และพื้นที่ของ $ABCD$ ในรูป $p\sqrt{q}$
Answershow ▾
Same four moves: BC, add to OA, the exact cosine, then the area.สี่ขั้นเดิม: หา BC บวกเข้ากับ OA หา cos แบบแม่นตรง แล้วหาพื้นที่
Relative to the origin $O$, the points $A$, $B$ and $C$ have position vectors given by$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}.$$The quadrilateral $ABCD$ is a parallelogram.
(a) Find the position vector of $D$.
(b) The angle between $BA$ and $BC$ is $\theta$. Find the exact value of $\cos\theta$.
(c) Hence find the area of $ABCD$, giving your answer in the form $p\sqrt{q}$, where $p$ and $q$ are integers.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$, $B$ และ $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$$รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelogram)
(ก) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $D$
(ข) มุมระหว่าง $BA$ กับ $BC$ คือ $\theta$ จงหาค่า $\cos\theta$ แบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม)
(ค) จากนั้นจงหาพื้นที่ของ $ABCD$ โดยตอบในรูป $p\sqrt{q}$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
10 marks: three for D, three for the exact cosine, four for the area.10 คะแนน: สามคะแนนสำหรับ D สามคะแนนสำหรับ cos แบบแม่นตรง สี่คะแนนสำหรับพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Cuboid: a line between two edge points ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก: เส้นตรงระหว่างจุดบนขอบสองจุด
In the diagram, $OABCDEFG$ is a cuboid in which $OA=2$ units, $OC=3$ units and $OD=2$ units. Unit vectors $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ and $\mathbf{k}$ are parallel to $OA$, $OC$ and $OD$ respectively. The point $M$ on $AB$ is such that $MB=2AM$. The midpoint of $FG$ is $N$.
(a) Express the vectors $\overrightarrow{OM}$ and $\overrightarrow{MN}$ in terms of $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ and $\mathbf{k}$.
(b) Find a vector equation for the line through $M$ and $N$.
(c) Find the position vector of $P$, the foot of the perpendicular from $D$ to the line through $M$ and $N$.
จากรูป $OABCDEFG$ เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (cuboid) โดยที่ $OA=2$ หน่วย $OC=3$ หน่วย และ $OD=2$ หน่วย เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ และ $\mathbf{k}$ ขนานกับ $OA$, $OC$ และ $OD$ ตามลำดับ จุด $M$ บน $AB$ โดยที่ $MB=2AM$ จุดกึ่งกลาง (midpoint) ของ $FG$ คือ $N$
(ก) จงเขียนเวกเตอร์ $\overrightarrow{OM}$ และ $\overrightarrow{MN}$ ในรูปของ $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ และ $\mathbf{k}$
(ข) จงหาสมการเวกเตอร์ (vector equation) ของเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
(ค) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $P$ ซึ่งเป็นจุดเชิงตั้งฉาก (foot of the perpendicular) จาก $D$ ไปยังเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}$. Point $M$ on $AB$ has $MB=2AM$. Find $\overrightarrow{OM}$.
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}$ จุด $M$ บน $AB$ มี $MB=2AM$ จงหา $\overrightarrow{OM}$
Answershow ▾
$MB=2AM$ means $M$ is one third of the way from $A$ to $B$.$MB=2AM$ แปลว่า $M$ อยู่ที่หนึ่งในสามของทางจาก $A$ ไป $B$
$\overrightarrow{OF}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OG}=3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$. $N$ is the midpoint of $FG$. Find $\overrightarrow{ON}$.
$\overrightarrow{OF}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OG}=3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ จุด $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $FG$ จงหา $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
A midpoint is the average of the two position vectors.จุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของเวกเตอร์ตำแหน่งทั้งสอง
$\overrightarrow{OM}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}$, $\overrightarrow{ON}=\mathbf{i}+3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{MN}$.
$\overrightarrow{OM}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}$, $\overrightarrow{ON}=\mathbf{i}+3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{MN}$
Answershow ▾
End point minus start point.จุดปลายลบจุดตั้งต้น
$D=2\mathbf{k}$ and the line through $M,N$ has equation $r=(2\mathbf{i}+\mathbf{j})+\lambda(-\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k})$. Pick the correct way to find the foot of the perpendicular from $D$ to this line.
(A) write the general point $P$ on the line, then solve $\overrightarrow{DP}\cdot(-\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k})=0$ for $\lambda$
(B) take the midpoint of $D$ and $M$
(C) scale $\overrightarrow{OD}$ by some factor to land on the line
$D=2\mathbf{k}$ และเส้นตรงผ่าน $M,N$ มีสมการ $r=(2\mathbf{i}+\mathbf{j})+\lambda(-\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k})$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการหาจุดเชิงตั้งฉากจาก $D$ ไปยังเส้นตรงนี้
(A) เขียนจุดทั่วไป $P$ บนเส้นตรง แล้วแก้ $\overrightarrow{DP}\cdot(-\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k})=0$ หา $\lambda$
(B) หาจุดกึ่งกลางของ $D$ กับ $M$
(C) ขยาย $\overrightarrow{OD}$ ด้วยตัวคูณบางค่าให้ไปอยู่บนเส้นตรง
Answershow ▾
The foot of a perpendicular is the point on the line where $DP$ is perpendicular to the direction of the line itself - a condition to solve, not a point you can read off directly like a midpoint (B) or a scaling (C).จุดเชิงตั้งฉากคือจุดบนเส้นตรงที่ $DP$ ตั้งฉากกับทิศทางของเส้นตรงเอง เป็นเงื่อนไขที่ต้องแก้สมการ ไม่ใช่จุดที่อ่านได้ตรงๆแบบจุดกึ่งกลาง (B) หรือการขยาย (C)
$OA=2$, $OC=3$, $OD=2$ units along $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$. $M$ on $AB$ has $MB=2AM$; $N$ is the midpoint of $FG$. Find $\overrightarrow{OM}$ and $\overrightarrow{MN}$.
$OA=2$, $OC=3$, $OD=2$ หน่วย ตามแนว $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$ จุด $M$ บน $AB$ มี $MB=2AM$ และ $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $FG$ จงหา $\overrightarrow{OM}$ และ $\overrightarrow{MN}$
Answershow ▾
$M$ from the ratio rule, $N$ from the midpoint rule, then subtract to get $MN$.$M$ จากกฎอัตราส่วน $N$ จากกฎจุดกึ่งกลาง แล้วลบเพื่อหา $MN$
Write a vector equation for the line through $M$ and $N$.
จงเขียนสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
Answershow ▾
A fixed point on the line, plus $\lambda$ times the direction $\overrightarrow{MN}$.จุดคงที่บนเส้นตรง บวก $\lambda$ คูณทิศทาง $\overrightarrow{MN}$
$D=2\mathbf{k}$. $P$ is the general point of the line in Q5. Write $\overrightarrow{DP}$, then solve $\overrightarrow{DP}\cdot(-\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k})=0$ for $\lambda$.
$D=2\mathbf{k}$ $P$ คือจุดทั่วไปของเส้นตรงในข้อ 5 จงเขียน $\overrightarrow{DP}$ แล้วแก้ $\overrightarrow{DP}\cdot(-\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k})=0$ หา $\lambda$
Answershow ▾
$P$ minus $D$ first, then the dot product gives one linear equation in $\lambda$.$P$ ลบ $D$ ก่อน แล้วผลคูณสเกลาร์จะได้สมการเชิงเส้นหนึ่งสมการของ $\lambda$
Use $\lambda=\dfrac49$ to find $\overrightarrow{OP}$.
จงใช้ $\lambda=\dfrac49$ หา $\overrightarrow{OP}$
Answershow ▾
Substitute $\lambda=\dfrac49$ back into the line from Q5.แทน $\lambda=\dfrac49$ กลับเข้าในสมการเส้นตรงจากข้อ 5
Check: does $\overrightarrow{DP}$ at $\lambda=\dfrac49$ really give a scalar product of $0$ with $\overrightarrow{MN}$?
จงตรวจ: ที่ $\lambda=\dfrac49$ ค่า $\overrightarrow{DP}$ คูณสเกลาร์กับ $\overrightarrow{MN}$ ได้ $0$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
Solving the perpendicular equation for $\lambda$ guarantees this check passes.การแก้สมการตั้งฉากหา $\lambda$ รับประกันว่าการตรวจนี้ผ่านอยู่แล้ว
A cuboid has $OA=4$, $OC=3$, $OD=2$ units along $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$, with the same layout as before. $M$ on $AB$ has $MB=2AM$; $N$ is the midpoint of $FG$. Find a vector equation for the line through $M$ and $N$, and the position vector of the foot of the perpendicular from $D$ to it.
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมี $OA=4$, $OC=3$, $OD=2$ หน่วย ตามแนว $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$ โครงเดียวกับก่อนหน้า จุด $M$ บน $AB$ มี $MB=2AM$ และ $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $FG$ จงหาสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงผ่าน $M$ และ $N$ และเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดเชิงตั้งฉากจาก $D$ ไปยังเส้นตรงนั้น
Answershow ▾
$\overrightarrow{OP}=\dfrac73\mathbf{i}+\dfrac83\mathbf{j}+\dfrac53\mathbf{k}$
Same moves: M and N, simplify MN, the line, then solve the perpendicular condition.ขั้นเดิม: หา M กับ N จัดรูป MN เขียนเส้นตรง แล้วแก้เงื่อนไขตั้งฉาก
In the diagram, $OABCDEFG$ is a cuboid in which $OA=2$ units, $OC=3$ units and $OD=2$ units. Unit vectors $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ and $\mathbf{k}$ are parallel to $OA$, $OC$ and $OD$ respectively. The point $M$ on $AB$ is such that $MB=2AM$. The midpoint of $FG$ is $N$.
(a) Express the vectors $\overrightarrow{OM}$ and $\overrightarrow{MN}$ in terms of $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ and $\mathbf{k}$.
(b) Find a vector equation for the line through $M$ and $N$.
(c) Find the position vector of $P$, the foot of the perpendicular from $D$ to the line through $M$ and $N$.
จากรูป $OABCDEFG$ เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (cuboid) โดยที่ $OA=2$ หน่วย $OC=3$ หน่วย และ $OD=2$ หน่วย เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ และ $\mathbf{k}$ ขนานกับ $OA$, $OC$ และ $OD$ ตามลำดับ จุด $M$ บน $AB$ โดยที่ $MB=2AM$ จุดกึ่งกลาง (midpoint) ของ $FG$ คือ $N$
(ก) จงเขียนเวกเตอร์ $\overrightarrow{OM}$ และ $\overrightarrow{MN}$ ในรูปของ $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ และ $\mathbf{k}$
(ข) จงหาสมการเวกเตอร์ (vector equation) ของเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
(ค) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $P$ ซึ่งเป็นจุดเชิงตั้งฉาก (foot of the perpendicular) จาก $D$ ไปยังเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
Answershow ▾
9 marks: three for the vectors, two for the line, four for the foot of the perpendicular.9 คะแนน: สามคะแนนสำหรับเวกเตอร์ สองคะแนนสำหรับเส้นตรง สี่คะแนนสำหรับจุดเชิงตั้งฉาก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Pyramid: a line and the length of a perpendicular พีระมิด: เส้นตรง และความยาวของเส้นตั้งฉาก
In the diagram, $OABCD$ is a pyramid with vertex $D$. The horizontal base $OABC$ is a square of side 4 units. The edge $OD$ is vertical and $OD=4$ units. The unit vectors $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ and $\mathbf{k}$ are parallel to $OA$, $OC$ and $OD$ respectively. The midpoint of $AB$ is $M$ and the point $N$ on $CD$ is such that $DN=3NC$.
(a) Find a vector equation for the line through $M$ and $N$.
(b) Show that the length of the perpendicular from $O$ to $MN$ is $\dfrac13\sqrt{82}$.
จากรูป $OABCD$ เป็นพีระมิด (pyramid) มียอด $D$ ฐานแนวนอน $OABC$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว 4 หน่วย ขอบ $OD$ ตั้งฉากกับฐานและ $OD=4$ หน่วย เวกเตอร์หนึ่งหน่วย $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ และ $\mathbf{k}$ ขนานกับ $OA$, $OC$ และ $OD$ ตามลำดับ จุดกึ่งกลางของ $AB$ คือ $M$ และจุด $N$ บน $CD$ โดยที่ $DN=3NC$
(ก) จงหาสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
(ข) จงแสดงว่าระยะตั้งฉากจาก $O$ ไปยัง $MN$ เท่ากับ $\dfrac13\sqrt{82}$
$\overrightarrow{OA}=4\mathbf{i}$, $\overrightarrow{OB}=4\mathbf{i}+4\mathbf{j}$. $M$ is the midpoint of $AB$. Find $\overrightarrow{OM}$.
$\overrightarrow{OA}=4\mathbf{i}$, $\overrightarrow{OB}=4\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ จงหา $\overrightarrow{OM}$
Answershow ▾
A midpoint is the average of the two position vectors.จุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของเวกเตอร์ตำแหน่งทั้งสอง
$\overrightarrow{OD}=4\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=4\mathbf{j}$. Point $N$ on $DC$ has $DN=3NC$. Find $\overrightarrow{ON}$.
$\overrightarrow{OD}=4\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=4\mathbf{j}$ จุด $N$ บน $DC$ มี $DN=3NC$ จงหา $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
$DN=3NC$ means $N$ is three quarters of the way from $D$ to $C$.$DN=3NC$ แปลว่า $N$ อยู่ที่สามในสี่ของทางจาก $D$ ไป $C$
$\overrightarrow{OM}=4\mathbf{i}+2\mathbf{j}$, $\overrightarrow{ON}=3\mathbf{j}+\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{NM}$.
$\overrightarrow{OM}=4\mathbf{i}+2\mathbf{j}$, $\overrightarrow{ON}=3\mathbf{j}+\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{NM}$
Answershow ▾
End point minus start point.จุดปลายลบจุดตั้งต้น
$\overrightarrow{ON}=3\mathbf{j}+\mathbf{k}$ and the line through $M,N$ has equation $r=(3\mathbf{j}+\mathbf{k})+\lambda(4\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})$. Pick the correct way to find the length of the perpendicular from $O$ to this line.
(A) write the general point $P$ on the line, solve $\overrightarrow{OP}\cdot(4\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})=0$ for $\lambda$, then find $|\overrightarrow{OP}|$
(B) take the midpoint of $M$ and $N$ as the foot of the perpendicular
(C) use Pythagoras directly on $|\overrightarrow{OM}|$ and $|\overrightarrow{ON}|$ without finding the foot
$\overrightarrow{ON}=3\mathbf{j}+\mathbf{k}$ และเส้นตรงผ่าน $M,N$ มีสมการ $r=(3\mathbf{j}+\mathbf{k})+\lambda(4\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการหาความยาวของเส้นตั้งฉากจาก $O$ ไปยังเส้นตรงนี้
(A) เขียนจุดทั่วไป $P$ บนเส้นตรง แก้ $\overrightarrow{OP}\cdot(4\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})=0$ หา $\lambda$ แล้วหา $|\overrightarrow{OP}|$
(B) ใช้จุดกึ่งกลางของ $M$ กับ $N$ เป็นจุดเชิงตั้งฉาก
(C) ใช้พีทาโกรัสกับ $|\overrightarrow{OM}|$ และ $|\overrightarrow{ON}|$ โดยตรง โดยไม่หาจุดเชิงตั้งฉากก่อน
Answershow ▾
The foot of the perpendicular is wherever $\overrightarrow{OP}$ is perpendicular to the line’s direction - the midpoint (B) has no reason to be that point, and Pythagoras (C) needs a right angle that has not been shown to exist at $M$ or $N$.จุดเชิงตั้งฉากคือจุดที่ $\overrightarrow{OP}$ ตั้งฉากกับทิศทางของเส้นตรง ไม่มีเหตุผลที่จุดกึ่งกลาง (B) จะเป็นจุดนั้น และพีทาโกรัส (C) ต้องมีมุมฉากที่ $M$ หรือ $N$ ซึ่งยังไม่ได้แสดงว่ามีอยู่
Square base $OABC$ side $4$, $OD=4$ vertical. $M$ is the midpoint of $AB$; $N$ on $DC$ has $DN=3NC$. Find $\overrightarrow{OM}$ and $\overrightarrow{ON}$.
ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส $OABC$ ด้านยาว $4$ และ $OD=4$ ตั้งฉากกับฐาน จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ และ $N$ บน $DC$ มี $DN=3NC$ จงหา $\overrightarrow{OM}$ และ $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
$M$ from the midpoint rule, $N$ from the ratio rule along $DC$.$M$ จากกฎจุดกึ่งกลาง $N$ จากกฎอัตราส่วนตาม $DC$
Write a vector equation for the line through $M$ and $N$.
จงเขียนสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
Answershow ▾
A fixed point on the line, plus $\lambda$ times the direction $\overrightarrow{NM}$.จุดคงที่บนเส้นตรง บวก $\lambda$ คูณทิศทาง $\overrightarrow{NM}$
$P$ is the general point of the line in Q5. Write $\overrightarrow{OP}$, then solve $\overrightarrow{OP}\cdot(4\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})=0$ for $\lambda$.
$P$ คือจุดทั่วไปของเส้นตรงในข้อ 5 จงเขียน $\overrightarrow{OP}$ แล้วแก้ $\overrightarrow{OP}\cdot(4\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})=0$ หา $\lambda$
Answershow ▾
$P$ is already a position vector from $O$, so the dot product gives one linear equation in $\lambda$.$P$ เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งจาก $O$ อยู่แล้ว ผลคูณสเกลาร์จะได้สมการเชิงเส้นหนึ่งสมการของ $\lambda$
Use $\lambda=\dfrac29$ to find $\overrightarrow{OP}$, then $|\overrightarrow{OP}|$.
จงใช้ $\lambda=\dfrac29$ หา $\overrightarrow{OP}$ แล้วหา $|\overrightarrow{OP}|$
Answershow ▾
Substitute, then $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{\text{sum of squares}}$; $738=81\times\dfrac{82}{9}$.แทนค่า แล้วหา $|\overrightarrow{OP}|$ จากรากที่สองของผลบวกกำลังสอง
Check: does $\overrightarrow{OP}$ at $\lambda=\dfrac29$ really give a scalar product of $0$ with the direction $4\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}$?
จงตรวจ: ที่ $\lambda=\dfrac29$ ค่า $\overrightarrow{OP}$ คูณสเกลาร์กับทิศทาง $4\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}$ ได้ $0$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
Solving the perpendicular equation for $\lambda$ guarantees this check passes.การแก้สมการตั้งฉากหา $\lambda$ รับประกันว่าการตรวจนี้ผ่านอยู่แล้ว
Square base $OABC$ side $4$, $OD=8$ vertical, same layout as before. $M$ is the midpoint of $AB$; $N$ on $DC$ has $DN=3NC$. Find a vector equation for the line through $M$ and $N$, and the length of the perpendicular from $O$ to it.
ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส $OABC$ ด้านยาว $4$ และ $OD=8$ ตั้งฉากกับฐาน โครงเดียวกับก่อนหน้า จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ และ $N$ บน $DC$ มี $DN=3NC$ จงหาสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงผ่าน $M$ และ $N$ และความยาวของเส้นตั้งฉากจาก $O$ ไปยังเส้นตรงนั้น
Answershow ▾
Same moves: M and N, the line, the perpendicular condition, then the length.ขั้นเดิม: หา M กับ N เขียนเส้นตรง แก้เงื่อนไขตั้งฉาก แล้วหาความยาว
In the diagram, $OABCD$ is a pyramid with vertex $D$. The horizontal base $OABC$ is a square of side 4 units. The edge $OD$ is vertical and $OD=4$ units. The unit vectors $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ and $\mathbf{k}$ are parallel to $OA$, $OC$ and $OD$ respectively. The midpoint of $AB$ is $M$ and the point $N$ on $CD$ is such that $DN=3NC$.
(a) Find a vector equation for the line through $M$ and $N$.
(b) Show that the length of the perpendicular from $O$ to $MN$ is $\dfrac13\sqrt{82}$.
จากรูป $OABCD$ เป็นพีระมิด (pyramid) มียอด $D$ ฐานแนวนอน $OABC$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว 4 หน่วย ขอบ $OD$ ตั้งฉากกับฐานและ $OD=4$ หน่วย เวกเตอร์หนึ่งหน่วย $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ และ $\mathbf{k}$ ขนานกับ $OA$, $OC$ และ $OD$ ตามลำดับ จุดกึ่งกลางของ $AB$ คือ $M$ และจุด $N$ บน $CD$ โดยที่ $DN=3NC$
(ก) จงหาสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
(ข) จงแสดงว่าระยะตั้งฉากจาก $O$ ไปยัง $MN$ เท่ากับ $\dfrac13\sqrt{82}$
Answershow ▾
9 marks: five for the line, four for the shown length.9 คะแนน: ห้าคะแนนสำหรับเส้นตรง สี่คะแนนสำหรับการแสดงความยาว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The angle to AB, then the equidistant point มุมกับ AB แล้วหาจุดที่ห่างจาก A และ B เท่ากัน
With respect to the origin $O$, the points $A$ and $B$ have position vectors given by$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\quad\text{and}\quad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}.$$The line $l$ has equation$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}.$$
(a) Find the acute angle between the directions of $AB$ and $l$.
(b) Find the position vector of the point $P$ on $l$ such that $AP=BP$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$ และ $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\quad\text{และ}\quad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}$$เส้นตรง $l$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$
(ก) จงหามุมแหลมระหว่างทิศทางของ $AB$ กับ $l$
(ข) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด $P$ บน $l$ ซึ่ง $AP=BP$
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
End point minus start point.จุดปลายลบจุดตั้งต้น
Find the scalar product of $2\mathbf{i}-\mathbf{j}-3\mathbf{k}$ and $\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$.
จงหาผลคูณสเกลาร์ของ $2\mathbf{i}-\mathbf{j}-3\mathbf{k}$ และ $\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$
Answershow ▾
Multiply matching components, then add the three results.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน แล้วบวกผลคูณทั้งสามเข้าด้วยกัน
Write the general point of $l: r=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$.
จงเขียนจุดทั่วไปของ $l: r=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$
Answershow ▾
Add $\lambda$ times the direction vector to the fixed point, one component at a time.บวกเวกเตอร์ทิศทางคูณ $\lambda$ เข้ากับจุดตั้งต้น ทีละองค์ประกอบ
$P$ is a general point on $l$ and must satisfy $AP=BP$. Pick the correct equation to set up.
(A) $|\overrightarrow{AP}|^{2}=|\overrightarrow{BP}|^{2}$
(B) $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BP}$
(C) the midpoint of $A$ and $B$ lies on $l$
$P$ เป็นจุดทั่วไปบน $l$ และต้องมี $AP=BP$ จงเลือกสมการที่ถูกต้องในการตั้งสมการ
(A) $|\overrightarrow{AP}|^{2}=|\overrightarrow{BP}|^{2}$
(B) $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BP}$
(C) จุดกึ่งกลางของ $A$ และ $B$ อยู่บน $l$
Answershow ▾
(B) forces $\overrightarrow{AP}$ and $\overrightarrow{BP}$ to be the same vector, which only happens if $A=B$. (C) assumes the midpoint happens to sit on $l$, which is not given and is usually false.(B) บังคับให้ $\overrightarrow{AP}$ กับ $\overrightarrow{BP}$ เป็นเวกเตอร์เดียวกัน ซึ่งเกิดได้ก็ต่อเมื่อ $A=B$ · (C) สมมติว่าจุดกึ่งกลางอยู่บน $l$ พอดี ซึ่งไม่ได้กำหนดมาและมักไม่จริง
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}$, $l$ has direction $\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AB}\cdot(\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k})$.
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}$, $l$ มีทิศทาง $\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$ และ $\overrightarrow{AB}\cdot(\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k})$
Answershow ▾
Subtract first, then multiply matching components and add.ลบก่อน แล้วคูณองค์ประกอบที่ตรงกันและบวกกัน
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{14}$, the direction of $l$ has length $\sqrt{6}$, and their scalar product is $1$. Find the acute angle between $\overrightarrow{AB}$ and $l$.
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{14}$ ทิศทางของ $l$ มีขนาด $\sqrt{6}$ และผลคูณสเกลาร์เท่ากับ $1$ จงหามุมแหลมระหว่าง $\overrightarrow{AB}$ กับ $l$
Answershow ▾
Divide the scalar product by the product of the two lengths, then take $\arccos$.หารผลคูณสเกลาร์ด้วยผลคูณของขนาดทั้งสอง แล้วหา $\arccos$
$P=(2+\lambda,\ 3-2\lambda,\ 1+\lambda)$. Write $\overrightarrow{AP}$ and $\overrightarrow{BP}$ in terms of $\lambda$.
$P=(2+\lambda,\ 3-2\lambda,\ 1+\lambda)$ จงเขียน $\overrightarrow{AP}$ และ $\overrightarrow{BP}$ ในรูปของ $\lambda$
Answershow ▾
$\overrightarrow{BP}=(-1+\lambda,\ 2-2\lambda,\ 3+\lambda)$
Subtract $A$ and $B$ from $P$ component by component.ลบ $A$ และ $B$ จาก $P$ ทีละองค์ประกอบ
Set $|\overrightarrow{AP}|^{2}=|\overrightarrow{BP}|^{2}$ and solve for $\lambda$, then find $\overrightarrow{OP}$.
จงตั้ง $|\overrightarrow{AP}|^{2}=|\overrightarrow{BP}|^{2}$ แล้วแก้หา $\lambda$ จากนั้นหา $\overrightarrow{OP}$
Answershow ▾
Expand both squares; most of the $\lambda^{2}$ terms cancel, leaving one linear equation.กระจายกำลังสองทั้งสองข้าง พจน์ $\lambda^{2}$ ส่วนใหญ่จะตัดกัน เหลือสมการเชิงเส้นหนึ่งสมการ
Check: at $\lambda=6$, are $|\overrightarrow{AP}|$ and $|\overrightarrow{BP}|$ really equal?
จงตรวจ: ที่ $\lambda=6$ ค่า $|\overrightarrow{AP}|$ และ $|\overrightarrow{BP}|$ เท่ากันจริงหรือไม่
Answershow ▾
Solving the equal-squared-distances equation for $\lambda$ guarantees this check passes.การแก้สมการระยะยกกำลังสองเท่ากันหา $\lambda$ รับประกันว่าการตรวจนี้ผ่านอยู่แล้ว
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{i}+\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}$. The line $l$ has equation $r=\mathbf{j}+2\mathbf{k}+\lambda(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k})$. Find the acute angle between $\overrightarrow{AB}$ and $l$, and the point $P$ on $l$ with $AP=BP$.
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{i}+\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}$ เส้นตรง $l$ มีสมการ $r=\mathbf{j}+2\mathbf{k}+\lambda(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k})$ จงหามุมแหลมระหว่าง $\overrightarrow{AB}$ กับ $l$ และจุด $P$ บน $l$ ที่ $AP=BP$
Answershow ▾
Same three moves: AB and its scalar product, the angle, then the equal-distances equation.สามขั้นเดิม: หา AB และผลคูณสเกลาร์ หามุม แล้วตั้งสมการระยะเท่ากัน
With respect to the origin $O$, the points $A$ and $B$ have position vectors given by$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\quad\text{and}\quad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}.$$The line $l$ has equation$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}.$$
(a) Find the acute angle between the directions of $AB$ and $l$.
(b) Find the position vector of the point $P$ on $l$ such that $AP=BP$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$ และ $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\quad\text{และ}\quad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}$$เส้นตรง $l$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$
(ก) จงหามุมแหลมระหว่างทิศทางของ $AB$ กับ $l$
(ข) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด $P$ บน $l$ ซึ่ง $AP=BP$
Answershow ▾
9 marks: four for the angle, five for the equidistant point.9 คะแนน: สี่คะแนนสำหรับมุม ห้าคะแนนสำหรับจุดที่ห่างเท่ากัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Right angle, isosceles, then the exact distance มุมฉาก สามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้วระยะทางแบบแม่นตรง
With respect to the origin $O$, the vertices of a triangle $ABC$ have position vectors$$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+5\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OC}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}.$$
(a) Using a scalar product, show that angle $ABC$ is a right angle.
(b) Show that triangle $ABC$ is isosceles.
(c) Find the exact length of the perpendicular from $O$ to the line through $B$ and $C$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุดยอด $A$, $B$, $C$ ของสามเหลี่ยม $ABC$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง$$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+5\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OC}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}$$
(ก) จงใช้สเกลาร์โปรดักต์แสดงว่ามุม $ABC$ เป็นมุมฉาก
(ข) จงแสดงว่าสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles)
(ค) จงหาระยะตั้งฉากจาก $O$ ไปยังเส้นตรงที่ผ่าน $B$ และ $C$ แบบ exact
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+5\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{BA}$.
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+5\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{BA}$
Answershow ▾
End point minus start point: $A$ minus $B$.จุดปลายลบจุดตั้งต้น: $A$ ลบ $B$
$\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
End point minus start point: $C$ minus $B$.จุดปลายลบจุดตั้งต้น: $C$ ลบ $B$
Find $|-\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}|$.
จงหา $|-\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}|$
Answershow ▾
Square each component, add, then take the square root.ยกกำลังสองแต่ละองค์ประกอบ บวกกัน แล้วถอดรากที่สอง
To show angle $ABC$ is a right angle using a scalar product, which two vectors should you use?
(A) $\overrightarrow{BA}$ and $\overrightarrow{BC}$, both starting at the vertex $B$
(B) $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{BC}$
(C) $\overrightarrow{AC}$ and $\overrightarrow{BC}$
จะแสดงว่ามุม $ABC$ เป็นมุมฉากด้วยผลคูณสเกลาร์ ต้องใช้เวกเตอร์คู่ใด
(A) $\overrightarrow{BA}$ กับ $\overrightarrow{BC}$ ซึ่งเริ่มจากจุดยอด $B$ ทั้งคู่
(B) $\overrightarrow{AB}$ กับ $\overrightarrow{BC}$
(C) $\overrightarrow{AC}$ กับ $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
The angle $ABC$ sits at $B$, between the two sides going OUT from $B$. (B) uses $\overrightarrow{AB}$, which points INTO $B$ - its scalar product with $\overrightarrow{BC}$ tests a different angle. (C) does not even start at $B$.มุม $ABC$ อยู่ที่จุด $B$ ระหว่างสองด้านที่ออกจาก $B$ · (B) ใช้ $\overrightarrow{AB}$ ซึ่งพุ่งเข้าหา $B$ ผลคูณสเกลาร์กับ $\overrightarrow{BC}$ จึงทดสอบมุมคนละมุม · (C) ไม่ได้เริ่มจาก $B$ เลยด้วยซ้ำ
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+5\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{BA}$ and $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+5\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{BA}$ และ $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
Both start at $B$, so subtract $\overrightarrow{OB}$ from the other point each time.ทั้งสองเริ่มจาก $B$ จึงลบ $\overrightarrow{OB}$ ออกจากอีกจุดทุกครั้ง
Use a scalar product to show angle $ABC$ is a right angle.
จงใช้ผลคูณสเกลาร์แสดงว่ามุม $ABC$ เป็นมุมฉาก
Answershow ▾
A scalar product of zero means the two vectors are perpendicular.ผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์ แปลว่าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน
Find $|\overrightarrow{BA}|$ and $|\overrightarrow{BC}|$. What does this show about triangle $ABC$?
จงหา $|\overrightarrow{BA}|$ และ $|\overrightarrow{BC}|$ สิ่งนี้แสดงว่าสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นอย่างไร
Answershow ▾
Two sides from the same vertex with equal length make the triangle isosceles.สองด้านจากจุดยอดเดียวกันยาวเท่ากัน ทำให้สามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว
The line through $B$ and $C$ has equation $r=(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})+\lambda(2\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k})$. Find the exact length of the perpendicular from $O$ to this line.
เส้นตรงผ่าน $B$ และ $C$ มีสมการ $r=(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})+\lambda(2\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k})$ จงหาความยาวของเส้นตั้งฉากจาก $O$ ไปยังเส้นตรงนี้แบบแม่นตรง
Answershow ▾
Write $P$ on the line, solve $\overrightarrow{OP}\cdot(2\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k})=0$, then find $|\overrightarrow{OP}|$.เขียน $P$ บนเส้นตรง แก้ $\overrightarrow{OP}\cdot(2\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k})=0$ แล้วหา $|\overrightarrow{OP}|$
Check: does $\overrightarrow{OP}$ at $\lambda=-\dfrac59$ really give a scalar product of $0$ with $2\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}$?
จงตรวจ: ที่ $\lambda=-\dfrac59$ ค่า $\overrightarrow{OP}$ คูณสเกลาร์กับ $2\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ ได้ $0$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
Solving the perpendicular equation for $\lambda$ guarantees this check passes.การแก้สมการตั้งฉากหา $\lambda$ รับประกันว่าการตรวจนี้ผ่านอยู่แล้ว
$\overrightarrow{OA}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{i}+\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$. Show angle $ABC$ is a right angle and triangle $ABC$ is isosceles, then find the exact length of the perpendicular from $O$ to the line through $B$ and $C$.
$\overrightarrow{OA}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OB}=2\mathbf{i}+\mathbf{k}$, $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ จงแสดงว่ามุม $ABC$ เป็นมุมฉากและสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นหน้าจั่ว แล้วหาความยาวของเส้นตั้งฉากจาก $O$ ไปยังเส้นผ่าน $B$ และ $C$ แบบแม่นตรง
Answershow ▾
Same moves: BA and BC, the right angle, equal lengths, then the perpendicular distance.ขั้นเดิม: หา BA กับ BC แสดงมุมฉาก แสดงด้านเท่ากัน แล้วหาระยะตั้งฉาก
With respect to the origin $O$, the vertices of a triangle $ABC$ have position vectors$$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+5\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OC}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}.$$
(a) Using a scalar product, show that angle $ABC$ is a right angle.
(b) Show that triangle $ABC$ is isosceles.
(c) Find the exact length of the perpendicular from $O$ to the line through $B$ and $C$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุดยอด $A$, $B$, $C$ ของสามเหลี่ยม $ABC$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง$$\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+5\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OB}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{OC}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}$$
(ก) จงใช้สเกลาร์โปรดักต์แสดงว่ามุม $ABC$ เป็นมุมฉาก
(ข) จงแสดงว่าสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles)
(ค) จงหาระยะตั้งฉากจาก $O$ ไปยังเส้นตรงที่ผ่าน $B$ และ $C$ แบบ exact
Answershow ▾
9 marks: three for the right angle, two for isosceles, four for the exact distance.9 คะแนน: สามคะแนนสำหรับมุมฉาก สองคะแนนสำหรับหน้าจั่ว สี่คะแนนสำหรับระยะแบบแม่นตรง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A midpoint, a ratio point, and where their line meets another จุดกึ่งกลาง จุดแบ่งอัตราส่วน และจุดที่เส้นตรงตัดกัน
With respect to the origin $O$, the position vectors of the points $A$, $B$ and $C$ are given by$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}.$$The midpoint of $AC$ is $M$ and the point $N$ lies on $BC$, between $B$ and $C$, and is such that $BN=2NC$.
(a) Find the position vectors of $M$ and $N$.
(b) Find a vector equation for the line through $M$ and $N$.
(c) Find the position vector of the point $Q$ where the line through $M$ and $N$ intersects the line through $A$ and $B$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$, $B$ และ $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}$$จุดกึ่งกลางของ $AC$ คือ $M$ และจุด $N$ อยู่บน $BC$ ระหว่าง $B$ กับ $C$ โดยที่ $BN=2NC$
(ก) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $M$ และ $N$
(ข) จงหาสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
(ค) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด $Q$ ซึ่งเป็นจุดที่เส้นตรงผ่าน $M$ และ $N$ ตัดกับเส้นตรงผ่าน $A$ และ $B$
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}$. $M$ is the midpoint of $AC$. Find $\overrightarrow{OM}$.
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}$ จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$ จงหา $\overrightarrow{OM}$
Answershow ▾
A midpoint is the average of the two position vectors.จุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของเวกเตอร์ตำแหน่งทั้งสอง
$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}$. Point $N$ on $BC$ has $BN=2NC$. Find $\overrightarrow{ON}$.
$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}$ จุด $N$ บน $BC$ มี $BN=2NC$ จงหา $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
$BN=2NC$ means $N$ is two thirds of the way from $B$ to $C$.$BN=2NC$ แปลว่า $N$ อยู่ที่สองในสามของทางจาก $B$ ไป $C$
Write the general point of the line $r=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\-5\\-1\end{pmatrix}$.
จงเขียนจุดทั่วไปของเส้นตรง $r=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\-5\\-1\end{pmatrix}$
Answershow ▾
Add $\mu$ times the direction vector to the fixed point, one component at a time.บวกเวกเตอร์ทิศทางคูณ $\mu$ เข้ากับจุดตั้งต้น ทีละองค์ประกอบ
The line through $M,N$ and the line through $A,B$ each give a general point, with parameters $\lambda$ and $\mu$. Pick the correct way to find where they meet.
(A) equate two of the three coordinates, solve for $\lambda$ and $\mu$, then check the third coordinate also agrees
(B) set the two direction vectors equal to each other
(C) average the two fixed points $\overrightarrow{OM}$ and $\overrightarrow{OA}$
เส้นตรงผ่าน $M,N$ และเส้นตรงผ่าน $A,B$ ต่างให้จุดทั่วไปด้วยตัวแปร $\lambda$ และ $\mu$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการหาจุดตัด
(A) ให้สองในสามพิกัดเท่ากัน แก้หา $\lambda$ และ $\mu$ แล้วตรวจว่าพิกัดที่สามตรงกันด้วย
(B) ให้เวกเตอร์ทิศทางทั้งสองเท่ากัน
(C) หาค่าเฉลี่ยของจุดตั้งต้นทั้งสองคือ $\overrightarrow{OM}$ และ $\overrightarrow{OA}$
Answershow ▾
(B) tests whether the lines are parallel, not whether they cross. (C) has no geometric meaning - a crossing point is not the average of the two starting points.(B) ทดสอบว่าเส้นตรงขนานกันหรือไม่ ไม่ใช่ว่าตัดกันหรือไม่ · (C) ไม่มีความหมายทางเรขาคณิต จุดตัดไม่ใช่ค่าเฉลี่ยของจุดตั้งต้นทั้งสอง
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}$. $M$ is the midpoint of $AC$; $N$ on $BC$ has $BN=2NC$. Find $\overrightarrow{OM}$ and $\overrightarrow{ON}$.
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}$ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$ และ $N$ บน $BC$ มี $BN=2NC$ จงหา $\overrightarrow{OM}$ และ $\overrightarrow{ON}$
Answershow ▾
$M$ from the midpoint rule, $N$ from the ratio rule along $BC$.$M$ จากกฎจุดกึ่งกลาง $N$ จากกฎอัตราส่วนตาม $BC$
Write a vector equation for the line through $M$ and $N$.
จงเขียนสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
Answershow ▾
A fixed point on the line, plus $\lambda$ times the direction $\overrightarrow{MN}$.จุดคงที่บนเส้นตรง บวก $\lambda$ คูณทิศทาง $\overrightarrow{MN}$
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$. Write a vector equation for line $AB$, with parameter $\mu$.
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ จงเขียนสมการเวกเตอร์ของเส้นตรง $AB$ ด้วยตัวแปร $\mu$
Answershow ▾
A fixed point on the line, plus $\mu$ times the direction $\overrightarrow{AB}$.จุดคงที่บนเส้นตรง บวก $\mu$ คูณทิศทาง $\overrightarrow{AB}$
Equate the first two coordinates of the lines in Q5 and Q6, solve for $\lambda$ and $\mu$, then find the point $Q$.
จงให้สองพิกัดแรกของเส้นตรงในข้อ 5 และข้อ 6 เท่ากัน แก้หา $\lambda$ และ $\mu$ แล้วหาจุด $Q$
Answershow ▾
Two linear equations in $\lambda$ and $\mu$; substitute one into the other.สองสมการเชิงเส้นของ $\lambda$ และ $\mu$ แทนตัวหนึ่งเข้าในอีกตัว
With $\lambda=-3$, check that the third coordinate of line $MN$ also matches line $AB$ at $\mu=-1$.
ที่ $\lambda=-3$ จงตรวจว่าพิกัดที่สามของเส้นตรง $MN$ ตรงกับเส้นตรง $AB$ ที่ $\mu=-1$ ด้วยหรือไม่
Answershow ▾
All three coordinates must agree, not just the two used to solve for $\lambda$ and $\mu$.ต้องตรงกันทั้งสามพิกัด ไม่ใช่แค่สองพิกัดที่ใช้แก้หา $\lambda$ และ $\mu$
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$. $M$ is the midpoint of $AC$; $N$ on $BC$ has $BN=2NC$. Find a vector equation for the line through $M$ and $N$, and the point where it meets line $AB$.
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$ และ $N$ บน $BC$ มี $BN=2NC$ จงหาสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงผ่าน $M$ และ $N$ และจุดที่เส้นตรงนี้ตัดกับเส้นตรง $AB$
Answershow ▾
Same moves: M and N, the line, then solve the intersection with AB.ขั้นเดิม: หา M กับ N เขียนเส้นตรง แล้วแก้จุดตัดกับ AB
With respect to the origin $O$, the position vectors of the points $A$, $B$ and $C$ are given by$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}.$$The midpoint of $AC$ is $M$ and the point $N$ lies on $BC$, between $B$ and $C$, and is such that $BN=2NC$.
(a) Find the position vectors of $M$ and $N$.
(b) Find a vector equation for the line through $M$ and $N$.
(c) Find the position vector of the point $Q$ where the line through $M$ and $N$ intersects the line through $A$ and $B$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$, $B$ และ $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}$$จุดกึ่งกลางของ $AC$ คือ $M$ และจุด $N$ อยู่บน $BC$ ระหว่าง $B$ กับ $C$ โดยที่ $BN=2NC$
(ก) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $M$ และ $N$
(ข) จงหาสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และ $N$
(ค) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด $Q$ ซึ่งเป็นจุดที่เส้นตรงผ่าน $M$ และ $N$ ตัดกับเส้นตรงผ่าน $A$ และ $B$
Answershow ▾
9 marks: three for M and N, two for the line, four for the intersection.9 คะแนน: สามคะแนนสำหรับ M และ N สองคะแนนสำหรับเส้นตรง สี่คะแนนสำหรับจุดตัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two lines with unknowns in the direction เส้นตรงสองเส้นที่มีตัวไม่รู้ค่าในทิศทาง
The lines $l$ and $m$ have vector equations$$r=-\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}+s(2\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})\quad\text{and}\quad r=5\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k}+t(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+\mathbf{k})$$respectively, where $a$ and $b$ are constants.
(a) Given that $l$ and $m$ intersect, show that $2b-a=4$.
(b) Given also that $l$ and $m$ are perpendicular, find the values of $a$ and $b$.
(c) When $a$ and $b$ have these values, find the position vector of the point of intersection of $l$ and $m$.
เส้นตรง $l$ และ $m$ มีสมการเวกเตอร์$$r=-\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}+s(2\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})\quad\text{และ}\quad r=5\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k}+t(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+\mathbf{k})$$ตามลำดับ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
(ก) กำหนดว่า $l$ กับ $m$ ตัดกัน จงแสดงว่า $2b-a=4$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่า $l$ กับ $m$ ตั้งฉากกัน จงหาค่า $a$ และ $b$
(ค) เมื่อ $a$ และ $b$ มีค่าดังกล่าว จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุดตัดของ $l$ กับ $m$
Write the general point of $l: r=-\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}+s(2\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})$.
จงเขียนจุดทั่วไปของ $l: r=-\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}+s(2\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})$
Answershow ▾
Add $s$ times the direction vector to the fixed point, one component at a time.บวกเวกเตอร์ทิศทางคูณ $s$ เข้ากับจุดตั้งต้น ทีละองค์ประกอบ
Write the general point of $m: r=5\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k}+t(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+\mathbf{k})$.
จงเขียนจุดทั่วไปของ $m: r=5\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k}+t(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+\mathbf{k})$
Answershow ▾
The unknowns $a$ and $b$ just travel along with $t$ as labels.ตัวไม่รู้ค่า $a$ และ $b$ ติดไปกับ $t$ เหมือนเป็นป้ายชื่อ
Solve $4-s=3+t$ for $s$ in terms of $t$.
จงแก้ $4-s=3+t$ หา $s$ ในรูปของ $t$
Answershow ▾
Move every $t$ and number to the other side of $s$, one move at a time.ย้าย $t$ และตัวเลขทุกตัวไปอีกข้างของ $s$ ทีละขั้น
$l$ and $m$ are given to intersect. Pick the correct first move to find the relation between $a$ and $b$.
(A) use the one component with no $a$ or $b$ to write $s$ in terms of $t$, then substitute into the other two components
(B) set $a=0$ and $b=0$ to simplify, then generalise the pattern
(C) set the two direction vectors equal to each other and solve for $a$ and $b$
กำหนดว่า $l$ กับ $m$ ตัดกัน จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้องในการหาความสัมพันธ์ระหว่าง $a$ กับ $b$
(A) ใช้พิกัดที่ไม่มี $a$ หรือ $b$ เขียน $s$ ในรูปของ $t$ แล้วแทนเข้าในอีกสองพิกัด
(B) กำหนด $a=0$ และ $b=0$ เพื่อให้ง่ายขึ้น แล้วขยายผลทั่วไป
(C) ให้เวกเตอร์ทิศทางทั้งสองเท่ากัน แล้วแก้หา $a$ กับ $b$
Answershow ▾
(B) throws away the very constants the question asks for. (C) tests whether the lines are parallel, not whether they meet - intersecting and being parallel are different conditions.(B) ทิ้งค่าคงที่ที่โจทย์ถามหาไปเลย · (C) ทดสอบว่าขนานกันหรือไม่ ไม่ใช่ว่าตัดกันหรือไม่ การตัดกันกับการขนานกันเป็นเงื่อนไขคนละอย่าง
Equate the third coordinates of $l$ and $m$: $4-s=3+t$. Solve for $s$ in terms of $t$.
จงให้พิกัดที่สามของ $l$ และ $m$ เท่ากัน: $4-s=3+t$ แล้วแก้หา $s$ ในรูปของ $t$
Answershow ▾
This component has no $a$ or $b$, so it is the easiest one to start from.พิกัดนี้ไม่มี $a$ หรือ $b$ จึงเป็นพิกัดที่ง่ายที่สุดสำหรับเริ่มต้น
Substitute $s=1-t$ into the first and second coordinates, $-1+2s=5+at$ and $3-s=4+bt$, and solve each for $t$.
จงแทน $s=1-t$ ใน $-1+2s=5+at$ และ $3-s=4+bt$ แล้วแก้แต่ละสมการหา $t$
Answershow ▾
Each substitution leaves one equation with $t$ on both sides; collect the $t$ terms.แต่ละการแทนค่าจะเหลือสมการที่มี $t$ อยู่ทั้งสองข้าง รวบพจน์ $t$ เข้าด้วยกัน
Set $\dfrac{-4}{a+2}=\dfrac{2}{1-b}$ and simplify to show $2b-a=4$.
จงให้ $\dfrac{-4}{a+2}=\dfrac{2}{1-b}$ แล้วจัดรูปจนได้ $2b-a=4$
Answershow ▾
Cross-multiply to clear both fractions at once.คูณไขว้เพื่อกำจัดเศษส่วนทั้งสองพร้อมกัน
$l$ and $m$ are also perpendicular. Use $(2\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})\cdot(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+\mathbf{k})=0$ together with $2b-a=4$ to find $a$ and $b$.
$l$ กับ $m$ ตั้งฉากกันด้วย จงใช้ $(2\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})\cdot(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+\mathbf{k})=0$ ร่วมกับ $2b-a=4$ หา $a$ และ $b$
Answershow ▾
The scalar product gives a second equation; solve the two equations together.ผลคูณสเกลาร์ให้สมการที่สอง แก้สองสมการร่วมกัน
With $a=2,b=3$, find $t$ and $s$, then the position vector of the intersection point.
ที่ $a=2,b=3$ จงหา $t$ และ $s$ แล้วหาเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดตัด
Answershow ▾
Use either $t$ formula from Q5, then $s=1-t$, then substitute into either line.ใช้สูตร $t$ จากข้อ 5 ตัวใดตัวหนึ่ง แล้ว $s=1-t$ แล้วแทนเข้าในเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่ง
Lines $l: r=\mathbf{i}+2\mathbf{k}+s(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k})$ and $m: r=2\mathbf{j}+\mathbf{k}+t(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+\mathbf{k})$ intersect and are perpendicular. Show the relation between $a$ and $b$ from intersecting, find $a$ and $b$, then the intersection point.
เส้นตรง $l: r=\mathbf{i}+2\mathbf{k}+s(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k})$ และ $m: r=2\mathbf{j}+\mathbf{k}+t(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+\mathbf{k})$ ตัดกันและตั้งฉากกัน จงแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง $a$ กับ $b$ จากการตัดกัน หา $a$ กับ $b$ แล้วหาจุดตัด
Answershow ▾
$a=5$, $b=-4$
$\overrightarrow{OP}=\dfrac53\mathbf{i}+\dfrac23\mathbf{j}+\dfrac43\mathbf{k}$
Same moves: eliminate s, eliminate t twice, equate, then perpendicularity.ขั้นเดิม: ตัด s ตัด t สองครั้ง ให้เท่ากัน แล้วใช้มุมฉาก
The lines $l$ and $m$ have vector equations$$r=-\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}+s(2\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})\quad\text{and}\quad r=5\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k}+t(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+\mathbf{k})$$respectively, where $a$ and $b$ are constants.
(a) Given that $l$ and $m$ intersect, show that $2b-a=4$.
(b) Given also that $l$ and $m$ are perpendicular, find the values of $a$ and $b$.
(c) When $a$ and $b$ have these values, find the position vector of the point of intersection of $l$ and $m$.
เส้นตรง $l$ และ $m$ มีสมการเวกเตอร์$$r=-\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}+s(2\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})\quad\text{และ}\quad r=5\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k}+t(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+\mathbf{k})$$ตามลำดับ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
(ก) กำหนดว่า $l$ กับ $m$ ตัดกัน จงแสดงว่า $2b-a=4$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่า $l$ กับ $m$ ตั้งฉากกัน จงหาค่า $a$ และ $b$
(ค) เมื่อ $a$ และ $b$ มีค่าดังกล่าว จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุดตัดของ $l$ กับ $m$
Answershow ▾
10 marks: four to show the relation, four for $a$ and $b$, two for the intersection point.10 คะแนน: สี่คะแนนสำหรับความสัมพันธ์ สี่คะแนนสำหรับ $a$ และ $b$ สองคะแนนสำหรับจุดตัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Perpendicular lines, their crossing, and a reflection เส้นตรงตั้งฉากกัน จุดตัด แล้วภาพสะท้อน
The equations of two straight lines $l_1$ and $l_2$ are$$l_1:\ r=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}+\lambda(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+a\mathbf{k})\quad\text{and}\quad l_2:\ r=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}+\mu(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k}),$$where $a$ is a constant. The lines $l_1$ and $l_2$ are perpendicular.
(a) Show that $a=4$.
(b) The lines $l_1$ and $l_2$ also intersect. Find the position vector of the point of intersection.
(c) The point $A$ has position vector $-5\mathbf{i}+\mathbf{j}-9\mathbf{k}$. Show that $A$ lies on $l_1$.
(d) The point $B$ is the image of $A$ after a reflection in the line $l_2$. Find the position vector of $B$.
เส้นตรงสองเส้น $l_1$ และ $l_2$ มีสมการ$$l_1:\ r=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}+\lambda(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+a\mathbf{k})\quad\text{และ}\quad l_2:\ r=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}+\mu(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k})$$เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่ เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตั้งฉากกัน
(ก) จงแสดงว่า $a=4$
(ข) เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันด้วย จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุดตัด
(ค) จุด $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $-5\mathbf{i}+\mathbf{j}-9\mathbf{k}$ จงแสดงว่า $A$ อยู่บน $l_1$
(ง) จุด $B$ เป็นภาพสะท้อน (reflection) ของ $A$ เมื่อสะท้อนข้ามเส้นตรง $l_2$ จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $B$
Write the general point of $l_1: r=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}+\lambda(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+a\mathbf{k})$.
จงเขียนจุดทั่วไปของ $l_1: r=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}+\lambda(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+a\mathbf{k})$
Answershow ▾
The unknown $a$ just travels along with $\lambda$ as a label.ตัวไม่รู้ค่า $a$ ติดไปกับ $\lambda$ เหมือนเป็นป้ายชื่อ
Does the point $(-5,1,-9)$ lie on $l_1: r=(1,-2,3)+\lambda(2,-1,4)$? Find $\lambda$ from the first component, then check the other two.
จุด $(-5,1,-9)$ อยู่บน $l_1: r=(1,-2,3)+\lambda(2,-1,4)$ หรือไม่ จงหา $\lambda$ จากพิกัดแรก แล้วตรวจอีกสองพิกัด
Answershow ▾
One component gives $\lambda$; the point lies on the line only if the rest agree too.พิกัดเดียวให้ค่า $\lambda$ แต่จุดจะอยู่บนเส้นตรงได้ก็ต่อเมื่อพิกัดที่เหลือตรงด้วย
Find $a$ if $(2,-1,a)\cdot(3,-2,-2)=0$.
จงหา $a$ ถ้า $(2,-1,a)\cdot(3,-2,-2)=0$
Answershow ▾
Expand the scalar product, then solve the single linear equation for $a$.กระจายผลคูณสเกลาร์ แล้วแก้สมการเชิงเส้นสมการเดียวหา $a$
To show point $A$ lies on a line, pick the correct method.
(A) equate one component to find $\lambda$, then check the other two components also match
(B) check that $|\overrightarrow{OA}|$ equals the length of the direction vector
(C) check that $\overrightarrow{OA}$ is a scalar multiple of the direction vector
จะแสดงว่าจุด $A$ อยู่บนเส้นตรง ต้องใช้วิธีใด
(A) ให้พิกัดหนึ่งเท่ากันเพื่อหา $\lambda$ แล้วตรวจว่าอีกสองพิกัดตรงกันด้วย
(B) ตรวจว่า $|\overrightarrow{OA}|$ เท่ากับขนาดของเวกเตอร์ทิศทาง
(C) ตรวจว่า $\overrightarrow{OA}$ เป็นเวกเตอร์ทิศทางคูณด้วยตัวเลขคงที่
Answershow ▾
(B) compares the wrong quantities - a length match proves nothing about lying on the line. (C) would only work if the line passed through the origin, which $l_1$ does not.(B) เทียบปริมาณผิด ความยาวเท่ากันไม่ได้พิสูจน์ว่าอยู่บนเส้นตรง · (C) จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด ซึ่ง $l_1$ ไม่ได้ผ่าน
$l_1$ has direction $2\mathbf{i}-\mathbf{j}+a\mathbf{k}$, $l_2$ has direction $3\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k}$, and $l_1\perp l_2$. Show that $a=4$.
$l_1$ มีทิศทาง $2\mathbf{i}-\mathbf{j}+a\mathbf{k}$ และ $l_2$ มีทิศทาง $3\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k}$ และ $l_1\perp l_2$ จงแสดงว่า $a=4$
Answershow ▾
Perpendicular directions have a scalar product of zero.เวกเตอร์ทิศทางที่ตั้งฉากกัน มีผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์
$l_1: r=(1,-2,3)+\lambda(2,-1,4)$, $l_2: r=(-1,-1,-1)+\mu(3,-2,-2)$. Find where they meet.
$l_1: r=(1,-2,3)+\lambda(2,-1,4)$, $l_2: r=(-1,-1,-1)+\mu(3,-2,-2)$ จงหาจุดตัด
Answershow ▾
Equate two coordinates, solve for $\lambda$ and $\mu$, then substitute back.ให้สองพิกัดเท่ากัน แก้หา $\lambda$ และ $\mu$ แล้วแทนกลับ
$A=-5\mathbf{i}+\mathbf{j}-9\mathbf{k}$. Show that $A$ lies on $l_1: r=(1,-2,3)+\lambda(2,-1,4)$.
$A=-5\mathbf{i}+\mathbf{j}-9\mathbf{k}$ จงแสดงว่า $A$ อยู่บน $l_1: r=(1,-2,3)+\lambda(2,-1,4)$
Answershow ▾
Solve one component for $\lambda$, then check the other two components agree.แก้พิกัดหนึ่งหา $\lambda$ แล้วตรวจว่าอีกสองพิกัดตรงกัน
$P$ is the general point of $l_2: r=(-1,-1,-1)+\mu(3,-2,-2)$. Write $\overrightarrow{AP}$, then solve $\overrightarrow{AP}\cdot(3,-2,-2)=0$ for $\mu$.
$P$ คือจุดทั่วไปของ $l_2: r=(-1,-1,-1)+\mu(3,-2,-2)$ จงเขียน $\overrightarrow{AP}$ แล้วแก้ $\overrightarrow{AP}\cdot(3,-2,-2)=0$ หา $\mu$
Answershow ▾
$P$ minus $A$ first, then the dot product gives one linear equation in $\mu$.$P$ ลบ $A$ ก่อน แล้วผลคูณสเกลาร์จะได้สมการเชิงเส้นหนึ่งสมการของ $\mu$
The foot of the perpendicular $F$ is at $\mu=0$, so $F=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}$. Find $B$, the reflection of $A=-5\mathbf{i}+\mathbf{j}-9\mathbf{k}$ in $l_2$.
จุดเชิงตั้งฉาก $F$ อยู่ที่ $\mu=0$ ดังนั้น $F=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}$ จงหา $B$ ซึ่งเป็นภาพสะท้อนของ $A=-5\mathbf{i}+\mathbf{j}-9\mathbf{k}$ ข้ามเส้น $l_2$
Answershow ▾
$F$ is the midpoint of $A$ and $B$, so $\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}$. Notice $F$ is the same point as the intersection in Q5 - it must be, since $l_1\perp l_2$ and $A$ lies on $l_1$.$F$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $A$ กับ $B$ จึงได้ $\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}$ สังเกตว่า $F$ คือจุดเดียวกับจุดตัดในข้อ 5 ซึ่งต้องเป็นเช่นนั้น เพราะ $l_1\perp l_2$ และ $A$ อยู่บน $l_1$
$l_1: r=-\mathbf{j}+\lambda(\mathbf{i}+2\mathbf{j}+a\mathbf{k})$ and $l_2: r=2\mathbf{i}+2\mathbf{k}+\mu(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k})$, where $l_1\perp l_2$. Show $a=1$, find where $l_1$ and $l_2$ meet, show $A=3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ lies on $l_1$, and find $B$, the reflection of $A$ in $l_2$.
$l_1: r=-\mathbf{j}+\lambda(\mathbf{i}+2\mathbf{j}+a\mathbf{k})$ และ $l_2: r=2\mathbf{i}+2\mathbf{k}+\mu(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k})$ โดย $l_1\perp l_2$ จงแสดงว่า $a=1$ หาจุดตัดของ $l_1$ กับ $l_2$ แสดงว่า $A=3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ อยู่บน $l_1$ แล้วหา $B$ ซึ่งเป็นภาพสะท้อนของ $A$ ข้าม $l_2$
Answershow ▾
$\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}$
$\text{shown}$
$-\mathbf{i}-3\mathbf{j}-\mathbf{k}$
Same four moves: perpendicularity for $a$, the intersection, checking $A$, then the reflection.สี่ขั้นเดิม: ใช้มุมฉากหา $a$ หาจุดตัด ตรวจ $A$ แล้วหาภาพสะท้อน
The equations of two straight lines $l_1$ and $l_2$ are$$l_1:\ r=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}+\lambda(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+a\mathbf{k})\quad\text{and}\quad l_2:\ r=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}+\mu(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k}),$$where $a$ is a constant. The lines $l_1$ and $l_2$ are perpendicular.
(a) Show that $a=4$.
(b) The lines $l_1$ and $l_2$ also intersect. Find the position vector of the point of intersection.
(c) The point $A$ has position vector $-5\mathbf{i}+\mathbf{j}-9\mathbf{k}$. Show that $A$ lies on $l_1$.
(d) The point $B$ is the image of $A$ after a reflection in the line $l_2$. Find the position vector of $B$.
เส้นตรงสองเส้น $l_1$ และ $l_2$ มีสมการ$$l_1:\ r=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}+\lambda(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+a\mathbf{k})\quad\text{และ}\quad l_2:\ r=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}+\mu(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k})$$เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่ เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตั้งฉากกัน
(ก) จงแสดงว่า $a=4$
(ข) เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันด้วย จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุดตัด
(ค) จุด $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $-5\mathbf{i}+\mathbf{j}-9\mathbf{k}$ จงแสดงว่า $A$ อยู่บน $l_1$
(ง) จุด $B$ เป็นภาพสะท้อน (reflection) ของ $A$ เมื่อสะท้อนข้ามเส้นตรง $l_2$ จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $B$
Answershow ▾
9 marks: one for $a$, four for the intersection, two for checking $A$, two for the reflection.9 คะแนน: หนึ่งคะแนนสำหรับ $a$ สี่คะแนนสำหรับจุดตัด สองคะแนนสำหรับตรวจ $A$ สองคะแนนสำหรับภาพสะท้อน